egião Sul - Rio Grande - RS - FURG - IV Colóquio de Matemática da Região Sul - Rio Grande - RS - FURG - IV Colóquio de Matemática da Regi
1.2. MISCELÂNEA DE BELOS PROBLEMAS COM INDUÇÃO
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Exercício 55. The Reve’s Puzzle: Considere o problema das Torres de Hanói com 4 hastes: A, B, C e D. Inicialmente há n discos de diâmetros diferentes, fincados inicialmente na haste A, nas mesmas condições do problema original. O objetivo, seguindo as duas regras acima, é passá-las para a haste D. Nesse caso as hastes B e C funcionam como intermediárias. Descubra o número mínimo de movimentos necessários para o resolver o problema para n = 1, 2, 3, 4 e 5. Consegues conjecturar uma fórmula para n discos? Observação. Até o momento não se conhece o número mínimo de movimentos para resolver o problema com n discos. Há uma conjectura, formulada em 1941, de que o número mínimo de movimentos necessários é igual ao número de movimentos usados por um algoritmo criado por Frame e Stewart (Conjectura de Frame-Stewart). Exercício 56. Uma Torre de Hanói dupla contém 2n discos de n tamanhos diferentes, dois de cada um dos tamanhos. As regras continuam as mesmas: mover um disco de cada vez e não é permitido colocar um disco sobre outro menor. (a) Quantos movimentos são necessários para transferir os 2n discos da torre A para a C, supondo que discos de mesmo tamanho sejam idênticos? Conjecture uma fórmula para o número mínimo de movimentos e prove-a. (b) Suponha agora que discos de mesmo tamanho são pintados com cores diferentes e o objetivo é mudá-los da haste A para a C, mantendo a ordem de cores em todas as jogadas. Conjecture uma fórmula para o número mínimo de movimento e prove-a. Exercício 57. Uma Torre de Hanói dupla contém 3n discos de n tamanhos diferentes, dois de cada um dos tamanhos. As regras continuam as mesmas: mover um disco de cada vez e não é permitido colocar um disco sobre outro menor. (a) Quantos movimentos são necessários para transferir os 3n discos da torre A para a C, supondo que discos de mesmo tamanho sejam idênticos? Conjecture uma fórmula para o número mínimo de movimentos e prove-a. (b) Suponha agora que discos de mesmo tamanho são pintados com cores diferentes e o objetivo é mudá-los da haste A para a C, mantendo a ordem de cores em todas as jogadas. Conjecture uma fórmula para o número mínimo de movimento e prove-a. Exercício 58. Seja n um número ímpar, maior que 5 e não divisível por 3. Mostre que o tabuleiro de damas n × n com um quadrado removido pode ser ladrilhado com triminós. Exercício 59. Mostre que um tabuleiro de damas 5 × 5 com um quadrado do canto removido pode ser ladrilhado por triminós.