egião Sul - Rio Grande - RS - FURG - IV Colóquio de Matemática da Região Sul - Rio Grande - RS - FURG - IV Colóquio de Matemática da Regi 20 CAPÍTULO 1. PRÉ-REQUISITOS O exemplo acima nos diz que podemos estudar a estrutura dos ideais de um anel, estudando a estrutura de submódulos de um módulo. Assim, toda propriedade válida para módulos pode ser traduzida para a linguagem de anéis, via ideais à esquerda (ou à direita). Exemplo 1.2.9. Os submódulos de um espaço vetorial são exatamente os seus subespaços vetoriais. Exemplo 1.2.10. Os subgrupos de um grupo abeliano G são os Z-submódulos de G. O próximo exemplo nos dá uma receita de como obtermos novos submódulos a partir de outros já conhecidos. Exemplo 1.2.11. Sejam M um R-módulo à esquerda e F = {Ni }i∈I uma família de R-submódulos de M . é fácil verificar que N = ∩i∈I Ni é um submóduo de M . Num primeiro curso de álgebra linear vemos que a união de subespaços não é, em geral, um espaço vetorial, pois esta não é fechada para a soma. O mesmo fenômeno ocorre no contexto de módulos. Assim, tal como no caso dos espaços vetoriais, nasce o conceito de submódulo gerado por um conjunto, para contornar este problema. Definição 1.2.12. Sejam R um anel, M um R-módulo à esquerda e K ⊆ M . Chamamos de submódulo de M gerado por K, e denotamos por < K >, ao menor submódulo de M que contém K. Do exemplo anterior, se K ⊆ R M , então < K >= ∩{N ≤ M : N ⊇ K}. P Afirmamos que este último conjunto é igual ao conjunto K = { ni=1 ri xi : n ∈ N, ri ∈ R e xi ∈ K, 1 ≤ i ≤ n}. De fato, pois como estamos assumindo que R tem unidade, segue facilmente que K é um R-submódulo de M que contém K, de onde decorre que < K >⊆ K. Por outro lado, todo submódulo de M que contém K deve conter todas as somas finitas de múltiplos escalares de elementos de K, de onde segue que K ⊆< K >. Um outro exemplo de ideal gerado que será útil mais adiante é dado pelo produto de ideais. Sejam I e J ideais (bilaterais) de R, e consideremos o conjunto S = {ab : a ∈ I, b ∈ J} ⊆ I ∩ J. Chamamos de ideal produto de I e J ao ideal IJ :=< S >. Assim, claramente temos IJ ⊆ I ∩ J. Quando K é um subconjunto finito de M , digamos K = {x1 , x2 , ..., xn }, vamos escrever < x1 , x2 , ..., xn >, em lugar de < {x1 , x2 , ..., xn } >, para denotar o submódulo de M gerado pelo conjunto {x1 , x2 , ..., xn }. Os elementos x1 , x2 , ..., xn serão chamados de geradores do submódulo < K >. Quando K = {y} é um conjunto unitário, então diremos que < y > é um módulo cíclico. Mais ainda, dizemos que um módulo M é finitamente gerado, se existir um conjunto finito {m1 , m2 , ..., mt } ⊆ M tal que M =< m1 , m2 , ..., mt >. Pela argumentação acima, se M é um R-módulo à esquerda e m1 , m2 , ..., mt ∈ M ,