egião Sul - Rio Grande - RS - FURG - IV Colóquio de Matemática da Região Sul - Rio Grande - RS - FURG - IV Colóquio de Matemática da Regi 12 CAPÍTULO 1. PRINCÍPIO DE INDUÇÃO MATEMÁTICA 4 + 2 + 1 e, com isso, o resultado vale para todo n 6 7. Supõe que o resultado vale até um certo k > 7. Se k + 1 é uma potência de 2, então está provado. Caso contrário, existe j tal que 2j < k + 1 < 2j+1 = 2j + 2j . Logo k + 1 − 2j 6 k e como qualquer número menor ou igual a k é soma de potências de 2, segue que existem inteiros não negativos 0 6 e0 < e1 < · · · < el tais que k + 1 − 2j = 2e0 + 2e1 + · · · + 2el . Como k + 1 − 2j < 2j segue que 2e0 + 2e1 + · · · + 2el < 2j e assim el < j. Logo k + 1 = 2e0 + 2e1 + · · · + 2el + 2j , com 0 6 e0 < e1 < · · · < el < j. Agora provaremos a unicidade da representação. Supõe que a representação é única até um certo k e que k + 1 = 2a0 + 2a1 + · · · + 2ar = 2b0 + 2b1 + · · · + 2bs , com 0 6 a0 < a1 < · · · < ar e 0 6 b0 < b1 < · · · < bs . Então 2ar 6 2a0 + 2a1 + · · · + 2ar = 2b0 + 2b1 + · · · + 2bs 6 20 + 21 + · · · + 2bs = 2bs +1 − 1. Logo 2ar < 2bs +1 e assim ar < bs + 1, ou seja, ar 6 bs . De maneira análoga podemos mostrar que bs 6 ar e, portanto ar = bs . Usando a hipótese de indução concluímos que r − 1 = s − 1 e que ai = bj , para i, j ∈ {0, 1 . . . , r − 1}. Portanto está provada a unicidade. Faremos a mágica com os Cartões Mágicos Binários, usando o seguinte roteiro: O matemágico escolhe alguém da plateia e pede que essa pessoa pense num número de 1 a 63, sem revelá-lo. Em seguida, são apresentadas as 6 cartelas abaixo e o matemático faz 6 perguntas. O número que você pensou está na primeira cartela? está na segunda cartela? E assim por diante. Ao final das 6 perguntas o matemático revela o número que a pessoa pensou. Após realizar a mágica umas duas ou três vezes, a plateia deve deduzir o truque utilizado e por que ele sempre funciona. Cartões Mágicos Binários 1 17 33 49 3 19 35 51 5 21 37 53 7 23 39 55 9 25 41 57 11 27 43 59 13 29 45 61 15 31 47 63 2 18 34 50 3 19 35 51 6 22 38 54 7 23 39 55 10 26 42 58 11 27 43 59 14 30 46 62 15 31 47 63 4 20 36 52 5 21 37 53 6 22 38 54 7 23 39 55 12 28 44 60 13 29 45 61 14 30 46 62 15 31 47 63 8 24 40 56 9 25 41 57 10 26 42 58 11 27 43 59 12 28 44 60 13 29 45 61 14 30 46 62 15 31 47 63 16 24 48 56 17 25 49 57 18 26 50 58 19 27 51 59 20 28 52 60 21 29 53 61 22 30 54 62 23 31 55 63 32 40 48 56 33 41 49 57 34 42 50 58 35 43 51 59 36 44 52 60 37 45 53 61 38 46 54 62 39 47 55 63