Escuela de Matemáticas y Estadística – UPTC Duitama
EL USO DE MODELOS GEOMÉTRICOS COMO HERRAMIENTA DE ENSEÑANZA PARA EL APRENDIZAJE DE LA FACTORIZACIÓN.
Elaborado por: EDGAR FELIPE RUIZ ROBERTO
El presente artículo muestra el desarrollo de un proyecto de aula en estudiantes de grado octavo, donde se describe el proceso de enseñanza-aprendizaje de algunos casos de factorización de expresiones algebraicas utilizando modelos geométricos como fuentes de significado.
11/07/2012
Escuela de Matemáticas y Estadística – UPTC Duitama EL USO DE MODELOS GEOMETRICOS COMO HERRAMIENTA DE ENSEÑANZA PARA EL APRENDIZAJE DE LA FACTORIZACIÓN. EDGAR FELIPE RUIZ ROBERTO
*
ANA CECILIA MEDINA MARIÑO**
Dir. Proyecto Pedagógico VII Licenciatura en Matemáticas y Estadística – UPTC -Duitama_______________________________________
Resumen Este proyecto de aula se desarrolló con estudiantes del grado octavo con el propósito de fortalecer los conceptos previos como productos notales y dotar de significado a los procedimientos para factorizar expresiones algebraicas mediante el uso de modelos geométricos. El empleo del algebra geométrica permitió construir ideas algebraicas a partir de construcciones de figuras geométricas rectangulares y, posteriormente, se estableció el método de factorización propuesto, aplicándolo al tipo de polinomios que usualmente aparecen en el contexto escolar del bachillerato. Además se logró captar el interés en los estudiantes, así como, mejorar la creatividad y las capacidades para resolver diferentes problemas matemáticos.
Palabras Clave: Modelos geométricos, álgebra geométrica, factorización y casos de factorización.
Abstract This classroom project was developed with students of the grade eighth with the purpose of strengthening the previous concepts as products you notice them and to endow from meaning to the procedures to factor algebraic expressions by means of the use of geometric models. The employment of the geometric algebra allowed to build algebraic ideas starting from constructions of rectangular geometric figures and, later on, the proposed factoring method settled down, applying it to the type of polynomials that you/they usually appear in the school context of the high school. It was also possible to capture the interest in the students, as well as, to improve the creativity and the capacities to solve different mathematical problems.
* E-mail: feliperuiz86@yahoo.com **E-mail: aceciliamedina@gmail.com
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1. INTRODUCCIÓN
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El presente proyecto de aula se desarrolló en la asignatura de Proyecto Pedagógico VII que hace parte del undécimo semestre de la licenciatura en Matemáticas y Estadística. Este proyecto fue implementado con los estudiantes del grado 809 de la Institución Educativa Integrado Joaquín González Camargo de la ciudad de Sogamoso. El objetivo principal del proyecto fue fortalecer los conocimientos relacionados con los productos notables y propiedades de la potenciación, así mismo, dotar de significado los procedimientos asociados a la factorización de expresiones algebraicas mediante el empleo de modelos geométricos. Este artículo muestra el proceso de análisis y valoración del proceso de enseñanza aprendizaje de algunos casos de factorización. Inicialmente se presenta el análisis de los errores para identificar el nivel de comprensión de los productos notables y propiedades de la potenciación. En la siguiente sección se muestran las nociones teóricas que guiaron el proyecto de aula, como el análisis epistemológico de la factorización, la tipología de errores y la propuesta de enseñanza adoptada. A continuación se muestra la fundamentación de las etapas de la metodología Investigación-Acción como eje primordial del mejoramiento de los procesos enseñanza-aprendizaje y de la evaluación del proceso de formación de docentes. Luego, se presenta la propuesta secuencial de enseñanza con relación a la factorización utilizando factor común, diferencia de cuadrados y trinomios. En seguida se muestran los resultados alcanzados por la los estudiantes, así como, la valoración de la idoneidad didáctica de la secuencia implementada. Finalmente se presentan algunas conclusiones y reflexiones de la idoneidad de proyecto y de la misma práctica docente. 2. DIAGNÓSTICO En esta sección se describen los errores que cometen los estudiantes de grado octavo, en relación con los conceptos previos a la factorización. La recolección de la información se logró mediante observación no participante y el uso de dos instrumentos: matriz de observación y cuestionario inicial. La observación se realizó durante dos semanas comprendidas desde el 26 de marzo al 4 de abril.
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2.1 ANÁLISIS Y RESULTADOS DE LA PRUEBA DIAGNÓSTICA.
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A continuación se presenta el porcentaje de estudiantes que cometen errores, teniendo en cuenta los registros de observación y los resultados del cuestionario inicial. Para el análisis de los errores, se tomaron como referencia investigaciones realizadas por Palarea (1998) y Cardozo & Meza (2010) con el fin de identificar el nivel de comprensión de productos notables y propiedades de la potenciación. A continuación se muestran los resultados de los porcentajes de estudiantes por tipo de error:
Tipo de Error
PORCENTAJE DE ESTUDIANTES DEL GRADO 809 QUE COMETEN ERRORES CON RESPECTO A LOS CONCEPTOS PREVIOS A LA FACTORIZACIÓN Errores relativos al mal uso de operaciones aritméticas
95%
Errores al agrupar términos y al suprimir paréntesis
95%
Errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva
85%
Errores relativos al usar del signo menos
90% 0%
20%
40%
60%
80%
100%
Porcentaje
Se observa que los porcentajes de errores para todas las categorías son mayores que el 85%. Aproximadamente 1 de cada 10 estudiantes, tiene una concepción acerca de cómo resolver expresiones matemáticas cuando el signo menos aparece delante de un paréntesis. En relación con los errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva el 85% de los estudiantes utilizan incorrectamente esta propiedad. Asimismo, un alto porcentaje de estudiantes 95%, tienen errores al suprimir paréntesis y no utilizan correctamente la propiedad asociativa. Finalmente, se muestra que para los errores relativos al mal uso de las operaciones aritméticas el porcentaje de estudiantes es del 95%. Algunos de los errores se pueden evidenciar en los protocolos que se muestran a continuación: Errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva: Este tipo de error surge por la utilización de la estructura 𝑎. 𝑏
2
= 𝑎2 . 𝑏 2 , en la que se relaciona el producto y la
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potencia, se extiende fĂĄcilmente al caso de la suma, đ?‘Ž + đ?‘? evidenciar en preguntas como:
đ?‘Ľ+2
2
2
= đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 y que se puede
y đ?‘›âˆ’6 . 2
El estudiante respondĂa de la siguiente manera: Es decir no utilizaba correctamente la propiedad distributiva para desarrollar el cuadrado de un binomio. Una posible explicaciĂłn a este tipo de error segĂşn Palarea (1998), es que la concepciĂłn de los estudiantes estĂĄ asociada a un pensamiento lineal, lo cual obstaculiza implĂcitamente a otros modelos no lineales. Errores al agrupar tĂŠrminos y al suprimir parĂŠntesis: Errores de este tipo surgen cuando los estudiantes consideran que el orden de cĂĄlculo en que deben realizar las operaciones es de izquierda a derecha, de la manera como se presentan los tĂŠrminos, sin tener en cuenta que al suprimir el parĂŠntesis puede verse afectado por el signo que le precede. Por ejemplo, cuando se les pedĂa suprimir los signos de agrupaciĂłn teniendo y reducir los tĂŠrminos semejantes en el polinomio: −(đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś) − {3đ?‘Ľ − (2đ?‘Ś − đ?‘§)} − {4đ?‘Ľ − (3đ?‘Ś − 2đ?‘§)} ResolvĂa de la siguiente manera: Se observa que el estudiante no suprime
signos
correctamente
de y
agrupaciĂłn
ademĂĄs
suma
algebraicamente tĂŠrminos sin tener en cuenta aquellos que tengan la misma parte literal. TambiĂŠn es importante
considerar
que
el
estudiante no identifica hasta cuĂĄndo finaliza la reducciĂłn de tĂŠrminos semejantes, y que segĂşn CaronĂa (2004) se puede considerar como la no-aceptaciĂłn de la falta de cierre, es decir, los estudiantes tienen arraigada la aritmetizaciĂłn en los problemas algebraicos, ostentan la necesidad de arribar a un nĂşmero concreto.
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2.2 PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
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Los estudiantes de secundaria y bachillerato manifiestan regularmente dificultades de aprendizaje en el álgebra; el nivel de competencia alcanzado por muchos de ellos les impide resolver satisfactoriamente los problemas algebraicos que se les presentan. La factorización es un proceso inverso al de la multiplicación y tiene como finalidad descomponer una expresión algebraica en un producto de otras expresiones algebraicas, cuyos procedimientos provienen, necesariamente, de las propiedades de campo de los números reales. Existe consenso de que la factorización es uno de los temas del curso de álgebra que más se dificultan a los estudiantes: primero, porque el reconocimiento del tipo de expresión algebraica ya implica dificultades asociadas con la utilización de números, letras y signos de operación para conformarlas, así como por la noción de variable; y segundo, porque aun conociendo los diferentes métodos no saben cuál de ellos utilizar en un determinado momento (Morales & Sepúlveda, 2003). Por tanto, es necesario utilizar una estrategia de enseñanza que permita fortalecer los conocimientos que tienen los estudiantes en relación con los productos notables y propiedades de la potenciación, asimismo, dotar de significado a los procedimientos asociados para factorizar expresiones algebraicas. En este sentido, el álgebra geométrica es una alternativa que puede proporcionar ideas para factorizar cierta clase de polinomios que aparecen en el contexto escolar; sin duda, es una opción didáctica que se debe explorar ya que los estudiantes están familiarizados con situaciones de adición y sustracción áreas, permite la visualización y manipulación de estos elementos, lo cual puede contribuir a un mejor entendimiento de los procedimientos algebraicos de factorización (Morales & Sepúlveda, 2003). Por lo expuesto anteriormente, el proyecto de aula intenta responder a la siguiente pregunta de investigación: ¿El uso de modelos geométricos son fuentes de significado para fortalecer los procedimientos asociados a la factorización de expresiones algebraicas? 3. MARCO TEÓRICO
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En esta sección se describen las nociones teóricas que guiaron el proyecto de aula. Inicialmente se muestra análisis epistemológico de la factorización de acuerdo con Cruz (2008) y la configuración epistémica según Cardozo & Meza (2010), luego se presenta la noción conceptos previos de acuerdo con Lopez (2009), la noción de error según Malisani (1999), la noción de conflicto semiótico según Godino y otros (2006), y la noción de aprendizaje desde el Enfoque Ontosemiótico (E.O.S) de acuerdo con Godino (2011), en seguida se muestran las categorías de error acorde con las investigaciones realizadas por Paralea (1998) y Cardozo & Meza (2010), y finalmente la propuesta de enseñanza adoptada según Morales & Sepúlveda (2003) y Campos (2004). 3.1 PERSPECTIVA EPISTEMOLÓGICA Según Cruz (2008) una figura importante dentro de la matemática árabe es el geógrafo, astrónomo, y matemático Al-khuwarizmi, que reinó entre 813 a 833. El libro más importante de Al-khuwarizmi, y que ha dado el nombre a una rama de la matemática es Hisab al-jabar wa-al-muqabala, término al-jabar dio nacimiento a nuestro vocablo álgebra. En aquellos tiempos las raíces que no fueran enteras y positivas no tenía sentido. Los árabes operaron siempre con ecuaciones de coeficientes enteros y positivos. Se sabe que la exigencia de los coeficientes positivos aumenta el número de casos de ecuaciones de segundo grado. Menciona tres casos posibles de ecuaciones de segundo grado de coeficientes positivos, agregando: “Encuentro que esas tres especies de números pueden combinarse entre sí y dan lugar a tres tipos compuestos que son: cuadrados y raíces igual a números; cuadrados y números igual a raíces; cuadrados igual a raíces y números”, o lo que es lo mismo, distingue los tres casos de ecuaciones. x2 + px = q x2 + q = px x2 = px + q Para resolver el primer caso, tomando al ejemplo numérico: ¿Cuál es el cuadrado que sumado a diez raíces da el número 39? (x2 +10x = 39) Dice: Debes tomar la mitad del número de las raíces, en este caso 5 y multiplicarlo por sí mismo y obtienes 25 al que le sumas el número 39, con el resultado 64. Tomas la raíz cuadrada de este número que es 8 y le restas la mitad de las raíces 5 y obtienes 3, que es el valor buscado”. Se puede
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observar que se está utilizando la estrategia de completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP). El segundo caso es interesante, pues la ecuación tiene dos raíces positivas. Con el ejemplo: x2 + 21 = 10x, dice Al-khuwarizmi: “Debes tomar la mitad del número de las raíces, en este caso 5, multiplicarlo por sí mismo, obtienes 25 al que debes restar los números, en este caso 21, obteniéndose 4. Extraes la raíz cuadrada que es 2 y lo restas del número de la mitad de las raíces que era 5 y obtienes 3 que es la solución. Sí deseas, puedes también sumar ese valor de 2 a la mitad de las raíces que es 5 y obtienes 7, que también es solución. Revisemos la forma de abordar un conocimiento en dos épocas diferentes, digamos el caso 1 según Al-khuwarizmi, la ecuación con su forma: x2 + px = q Para abordar esta ecuación se propone el siguiente ejemplo: Para resolver el primer caso, ateniéndose al ejemplo numérico: ¿Cuál es el cuadrado que sumado a diez raíces da el número 39? Dice: Debes tomar la mitad del número de las raíces, en este caso 5 y multiplicarlo por sí mismo y obtienes 25 al que le sumas el número 39, con el resultado 64. Tomas la raíz cuadrada de este número que es 8 y le restas la mitad de las raíces 5 y obtienes 3, que es el valor buscado”. (TCP) Ahora comparemos ésta redacción con la presentada en el texto de Carreño (2003), para abordar el producto de dos binomios con un término común. Producto de binomios con término común Es el cuadrado del término común más el producto del término común por la suma de los términos no comunes y más el producto de los términos no comunes, o sea:
(x +
a)(x + b) = x2 + x • (a + b) + ab Con respecto a cómo se describen los conocimientos en las dos redacciones estamos de acuerdo, pero… es sólo una forma de verlos, en este caso el punto de vista de los autores, pero… si lo que deseamos es una didáctica de las matemáticas, por sí solas no serían suficientes; en ambas redacciones todo está consumado, no existe la estrategia de que el estudiante se enfrente a un problema para descubrir el conocimiento en juego. En la actualidad, para desarrollar un aprendizaje significativo en los estudiantes, necesitamos más elementos.
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Cuando hacemos que el estudiante se enfrente sólo a este tipo de redacciones, lo único que podremos lograr es el desinterés, además de que lo estaremos privando del desarrollo de otras habilidades matemáticas. Si nos damos cuenta bien, en muchos casos estamos manejando el conocimiento descontextualizado, a veces lo que enseñamos tiene sólo el contexto de antaño, lo cual no debe ser así, se necesita una transposición didáctica, acorde a nuestro tiempo. Pero además, incluso, no utilizamos ni los diferentes contextos utilizados en épocas anteriores, es interesante darse cuenta que desde esa época ya se utilizaban figuras geométricas como representaciones de estos procesos, se relacionaba el conocimiento con alguna aplicación o una situación real. Y ¿qué pasa en las aulas?, en muchos casos se han hecho un lado los diferentes contextos, y se ha utilizado únicamente el contexto algebraico. Veamos el siguiente ejemplo que nos muestra Alkhuwarizmi. En el que se puede encontrar el contexto geométrico. Para el primer caso, de forma general x2 + px = q y en el ejemplo x2 +10x = 39 da dos comprobaciones geométricas. Por tanto, los principios del álgebra estuvieron acompañados de figuras geométricas, sin embargo, a veces se dan cursos de álgebra, sin utilizar ni una sola figura geométrica. Consideramos que este es un error, este contexto puede brindar elementos que ayuden al aprendizaje significativo. El último, cronológicamente de los matemáticos hindúes de importancia es Baskhara del siglo XII. En este periodo aparece cierto simbolismo precursor del álgebra sincopada, así como del uso del cero como símbolo, vieron además los hindúes claramente la diferencia entre números positivos y negativos que interpretaban como créditos y débitos que distinguían simbólicamente, hecho que les permitió unificar las ecuaciones de segundo grado en un solo tipo, cualesquiera fueran los coeficientes y hasta admitir las soluciones negativas, aunque sin tomarlas en consideración, pues como dice Baskhara, “la gente no aprueba las raíces negativas” (Cruz, 2008). CONFIGURACIÓN EPISTÉMICA ASOCIADA A LA FACTORIZACIÓN: Para poder valorar la idoneidad epistémica es necesario establecer el significado de referencia que sirva de comparación. A continuación se describe de de manera sintética los principales elementos sobre el significado de referencia:
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LENGUAJE VERBAL GRĂ FICO SIMBĂ“LICO
Propiedad distributiva, propiedad asociativa, propiedad conmutativa, ley de los signos, parĂŠntesis, trinomio cuadrado, diferencia de cuadrados, factor comĂşn. Dibujos o figuras geomĂŠtricas como rectĂĄngulos donde se evidencia la factorizaciĂłn de polinomios, a travĂŠs del algebra geomĂŠtrica. +, −,
,∗,á,
,
,
SITUACIONES Problemas contextualizados en los cuales se necesita calcular: las dimensiones de lados, perĂmetros, ĂĄreas, volĂşmenes, entre otros. Situaciones de la misma matemĂĄtica.
PROCEDIMIENTOS ď‚Ž ContextualizaciĂłn de enunciados descontextualizados. ď‚Ž Aplicar el manejo de la aritmĂŠtica en los problemas. ď‚Ž Factorizar un polinomio. ď‚Ž ComprobaciĂłn de trinomios cuadrados con los productos notables y cocientes notables. ď‚Ž UtilizaciĂłn del proceso inverso de la propiedad distributiva. PROPIEDADES Conmutativa
Asociativa
, �2 , �� , ‌
CONCEPTOS PREVIOS: Expresiones algebraicas. Propiedad distributiva Productos notables. EMERGENTES: ď‚Ž Significado de FactorizaciĂłn. ď‚Ž Factor comĂşn ď‚Ž Diferencia de cuadrados. ď‚Ž Trinomios cuadrados perfectos. ď‚Ž Trinomios de la forma đ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? y đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?.
Distributiva (Suma respecto al producto)
ARGUMENTOS ď‚Ž ComprobaciĂłn de las propiedades de la factorizaciĂłn en diferentes problemas geomĂŠtricos. ď‚Ž JustificaciĂłn de las propiedades usando el ĂĄlgebra geomĂŠtrica. ď‚Ž ArgumentaciĂłn de procedimientos para desarrollar los casos de factorizaciĂłn mencionados. 3.2 PERSPECTIVA COGNITIVA 3.2.1 Errores sobre Conceptos Previos a la FactorizaciĂłn Para el anĂĄlisis de los conceptos previos, se requiere una tipologĂa de errores que
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permita observar el nivel de comprensión acerca de dichos conceptos. Por esta razón, es necesario conocer la noción de conceptos previos y la noción de error. Según López (2009) los conceptos previos son aquellas ideas previas que los estudiantes han construido sobre determinados temas, tópicos o conceptos. En este sentido, un conocimiento básico de las ideas o conceptos iniciales de los estudiantes es importante para el profesor, porque provee información sobre la forma en que los estudiantes interpretan los problemas y utilizan los diferentes procedimientos para alcanzar una buena meta. Pero, ¿qué se entiende por error? Con respecto a la noción de error, Malisani (1999) aclara que el error no es sólo el efecto de la ignorancia, de la duda o del azar, como suponían las teorías conductistas del aprendizaje, sino que es la consecuencia de un conocimiento anterior que se manifiesta falso o no apropiado a una nueva situación. Así, la noción de error está relacionada con la noción de obstáculo epistemológico. Al respecto señala Palarea (1998), un obstáculo es un conocimiento adquirido, no una falta de conocimiento, sino de algo que se conoce positivamente, o sea, está constituyendo un conocimiento. El estudiante lo utiliza para producir respuestas adaptadas en un cierto contexto en el que el dominio de ese conocimiento es eficaz y adecuado. Categorías de errores Para el análisis de los errores se tienen en cuenta las siguientes categorías de error planteadas por Socas (1997) y Caronia y otros (2004), tomando como base el diseño de la tipología de errores de Cardozo y Meza (2010) y que se resumen en la siguiente tabla: No. CATEGORÍA 1
2
ERROR
DESCRIPCIÓN
Errores relativos Este tipo de error se presenta cuando el estudiante al usar del signo no sabe distribuir el signo menos colocado delante de menos un paréntesis Dentro de esta categoría se pueden distinguir los siguientes tipos de error como: a) Extensión de la propiedad distributiva de la multiplicación con relación a la adición (o sustracción) al caso de la Errores relativos multiplicación. b) La estructura 𝑎. 𝑏 2 = 𝑎2 . 𝑏 2 , en la al mal uso de la que se relaciona el producto y la potencia, se propiedad extiende fácilmente al caso de la suma, 𝑎 + 𝑏 2 = distributiva 𝑎2 + 𝑏 2 . c) De la misma forma que con las potencias, sucede con las raíces: se extiende la distributividad de la radicación respecto a la multiplicación, a la distributividad de la radicación respecto a la adición o sustracción.
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Errores al agrupar términos y al suprimir paréntesis
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Errores relativos al mal uso de operaciones aritméticas
Los estudiantes consideran que el orden del cálculo que deben realizar es de izquierda a derecha, de la manera como se presentan los términos, sin tener en cuenta que se tiene que suprimir el paréntesis conservando la equivalencia o a aplicar la propiedad asociativa de la adición con paréntesis precedidos por el signo menos. Este tipo de errores aparece en procedimientos de la adición, sustracción y potenciación de números reales.
3.3 PERSPECTIVA DIDÁCTICA La propuesta de enseñanza procura fortalecer los conocimientos previos, así como, dotar de significado a los procedimientos para factorizar expresiones algebraicas mediante el uso de modelos geométricos. Se tomó como referencia la propuesta de enseñanza de la factorización en un curso de algebra según Morales & Sepúlveda (2003), teniendo en cuenta el material didáctico según Campos (2004) para la factorización de trinomios. Esta propuesta se basa en el álgebra geométrica, mediante el método de la “geometría de cortar y pegar” (Radford, 1996). El método de la geometría de cortar y pegar consiste en dividir las áreas de una figura rectangular rectilínea (que será definida más adelante) en rectángulos o cuadrados y adjuntarlas de tal manera que formen un solo rectángulo o cuadrado (Morales & Sepúlveda, 2003). El objetivo de la propuesta es que los estudiantes logren construir ideas algebraicas a partir de construcciones de figuras geométricas rectangulares y, posteriormente, se desprendan de estas construcciones para generalizar y establecer el método de factorización propuesto y lo aplique al tipo de polinomios que usualmente aparecen en el contexto escolar. 3.3.1 Propuesta de enseñanza adoptada Álgebra Geométrica Según Morales & Sepúlveda (2003) las expresiones algebraicas son combinaciones de números y letras relacionadas por medio de las operaciones básicas. Cuando operamos con ellas estamos realizando operaciones con operaciones; en el caso de la multiplicación de polinomios el desarrollo es directo a través de la aplicación de las propiedades campo de los reales, para la factorización realizamos el proceso inverso. Las literales representan cantidades desconocidas que pueden ser sustituidas por otras o
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pueden variar; este uso generalizado de las expresiones proporciona al álgebra la potencia necesaria que permite resolver una gran variedad de problemas. Los números o literales pueden representarse mediante figuras geométricas por medio de áreas. Por ejemplo: el 4 un área de un cuadrado de 2 por 2, el 6 un área de un rectángulo de base 1 y altura 6 o de altura 2 y de base 3, etc.
Las literales cuyos valores sean positivos representan segmentos o áreas de cualquier magnitud o cantidad desconocida.
Los coeficientes numéricos representan múltiplos o submúltiplos de la magnitud geométrica (área de un rectángulo o cuadrado). Así por ejemplo: 2x puede representar el área de un rectángulo de altura 2 y de base x; o bien de base 2 y altura x.
Los números negativos se pueden representar mediante áreas con líneas punteadas, al ser sumadas se restan de las áreas con líneas continuas, las cuales representan los números positivos; o bien, si se suman áreas de líneas punteadas se obtienen regiones de líneas punteadas de mayor magnitud. Esto nos permite factorizar polinomios y obtener soluciones negativas de ecuaciones cuadráticas.
Una “figura rectangular rectilínea” se define la figura geométrica que se obtiene de adicionar o sustraer áreas de rectángulos o cuadrados de cualquier altura y cuyas bases
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estĂĄn sobre una misma recta y la suma de sus bases es igual a su base.
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Suma y resta de ĂĄreas: Dadas las ĂĄreas: đ?‘Ľ , 5đ?‘Ľ y 2, obtener đ?‘Ľ + 5đ?‘Ľ + 4 y đ?‘Ľ − 4. 2
Cuadrado
RectĂĄngulo
RectĂĄngulo
2
2
Figura rectangular rectilĂnea
MultiplicaciĂłn o producto de magnitudes geomĂŠtricas: se representa grĂĄficamente por una figura rectangular y la llamaremos operaciĂłn rectangular, porque como resultado de la multiplicaciĂłn de dos segmentos se obtiene un rectĂĄngulo o un cuadrado. Ejemplo 1: El producto ab es un rectĂĄngulo de base a y altura b o de base b y altura a.
Ejemplo puede
2: ser
cualquiera
El
monomio
12xy
representado
por
de
los
Entonces: ab = ba
siguientes
rectĂĄngulos Potencias: Las potencias son tambiĂŠn ĂĄreas, dado que las literales con exponentes 2, 3, 4 etc., son un nĂşmero cualquiera y representarĂĄn tambiĂŠn ĂĄreas. Ejemplo: Las potencias a2 y y3 se pueden representar por los siguientes rectĂĄngulos y cuadrados:
Figuras geomĂŠtricas rectilĂneas: Los polinomios pueden ser representados mediante este tipo de figuras; es decir, una figura geomĂŠtrica rectilĂnea es un polinomio cuyos tĂŠrminos son representados por cuadrados o rectĂĄngulos y su ĂĄrea es igual al valor
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numĂŠrico del polinomio.
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Actividad de enseùanza sobre factorización. El contenido de esta propuesta didåctica estå relacionado con la parte simbólica del ålgebra y consiste en construir ideas algebraicas a partir de figuras geomÊtricas, en el que sus åreas son representadas por expresiones algebraicas. En la primera parte se factoriza algunos polinomios y en la segunda se resuelven ecuaciones cuadråticas. Factorización por factor común: MODELO GEOMÉTRICO
FACTOR COMĂšN
EXPRESIĂ“N ALGEBRAICA
3đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś
3đ?‘Ľ 3 đ?‘Ś + 6đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3 + 12đ?‘Ľ 4 đ?‘Ś 2 = 3đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 + 4đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś
12đ?‘Ľđ?‘Ś 3
24đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3 − 36đ?‘Ľđ?‘Ś 4 = 12đ?‘Ľđ?‘Ś 3 2đ?‘Ľ − 3đ?‘Śđ?‘Ą
3đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś
Factorizar 3đ?‘Ľ 3 đ?‘Ś + 6đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3 + 12đ?‘Ľ 4 đ?‘Ś 2
3đ?‘Ľ 3 đ?‘Ś
6đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3
12đ?‘Ľ 4 đ?‘Ś 2
đ?‘Ľ
2đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2
4đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś
12đ?‘Ľđ?‘Ś 3
Factorizar 24đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3 − 36đ?‘Ľđ?‘Ś 4
24đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3
6đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3
2đ?‘Ľ
3đ?‘Ś
FactorizaciĂłn de diferencia de cuadrados: a2 – b2 MODELO GEOMÉTRICO Factorizar đ?‘Ľ 2 − 16
EXPRESIĂ“N ALGEBRAICA
Formando un nuevo rectĂĄngulo con el ĂĄrea restante se tiene:
Por tanto: đ?‘Ľ 2 − 16 = đ?‘Ľ − 4 đ?‘Ľ + 4 Entonces, el ĂĄrea del nuevo rectĂĄngulo es: đ?‘Ľâˆ’4 đ?‘Ľ+4
FactorizaciĂłn de trinomios cuadrados perfectos: Un trinomio de la forma ax2 + bx + c se puede representar geomĂŠtricamente mediante el
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siguiente material:
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
Tabletas cuadradas de lado x

Regletas de cuisinaire de dimensiones 1 y x

Regletas cuisinaire de color madera que van a representar cuadrados de lado 1.
MODELO GEOMÉTRICO
EXPRESIĂ“N ALGEBRAICA
Factorizar: x2 + 2x + 1. Luego podemos o formar un Para representar cada uno cuadrado con todas las de los tĂŠrminos del piezas: trinomio se toman los siguientes recortables: Es decir: x2+2x+1=(x+1)(x+1)=(x+1)2
Las dimensiones de los lados son (x+1) y (x+1). Para el desarrollo de esta propuesta se seleccionan los siguientes contenidos que se muestran a continuaciĂłn. SELECCIĂ“N DE LOS CONTENIDOS
CONCEPTOS
PROCEDIMIENTOS
Factor comĂşn
RepresentaciĂłn geomĂŠtrica por medio de rectĂĄngulos que tienen un lado comĂşn.
Diferencia de cuadrados
InterpretaciĂłn de la diferencia de las ĂĄreas de dos cuadrados. El estudiante reconoce que con el ĂĄrea de la diferencia es posible construir un nuevo rectĂĄngulo, cuyas dimensiones del largo y ancho, es la factorizaciĂłn que se busca.
Trinomios cuadrados perfectos
FactorizaciĂłn de trinomios cuadrados perfectos utilizando las regletas de cuisinaire. Estas regletas permiten representar cada uno de los tĂŠrminos de un trinomio, el estudiante debe construir un cuadrado y calcular las dimensiones de los lados. Estas dimensiones es la factorizaciĂłn que se busca.
Trinomios de la forma đ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? y đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?
Este tipo de trinomios se pueden representar de una manera similar utilizando las regletas, aunque con estas
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es posible construir un rectángulo y las dimensiones de este, es la factorización que se busca. ACTITUDINAL Actitud positiva y perseverante hacia la solución de problemas. Reflexión sobre el significado de las informaciones recibidas, así como de los resultados obtenidos al resolver cualquier actividad o problema. 4. LA METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN Para el desarrollo del proyecto de aula se tomó como metodología de investigación: La Investigación-Acción (I-A); ya que permite dar solución a problemas en educación, además, fortalece el proceso de formación de docentes investigadores con el fin de mejorar el dominio de su disciplina y minimizar la carencia de experiencia en la investigación. Según Castillo y colaboradores (2001), la investigación acción surge por problemas como ausentismo, deserción, repitencia, así como el bajo nivel de los estudiantes, entre otros; que generan cuestionamientos de los docentes frente a este tipo de problemáticas. Por consiguiente el docente es el principal elemento en la solución a estas dificultades como primordial actor investigador a ese entorno que lo rodea, igualmente le permite expandir su conocimiento, conocer sus debilidades y plantear oportunidades de mejora. 4.1 ETAPAS DEL PROCESO INVESTIGATIVO La I-A significa exploración y reflexión, planificación, acción y observación, y evaluación cuidadosa, sistemática y rigurosa acerca de lo que sucede en la vida cotidiana, y significa utilizar las relaciones en estos momentos, distintos del proceso, como fuente de mejora tanto de conocimiento. Los anteriores momentos se describen a continuación: La exploración y reflexión: En esta etapa se exploraron que investigaciones se han realizado para comprender mejor el proceso de enseñanza-aprendizaje de la factorización, que corresponde al diagnostico de errores. Planificación: Como acción organizada debe ser flexible para adoptarse a efectos imprevistos y a limitaciones presentadas. En esta etapa se elaboró la propuesta secuencial de enseñanza, teniendo en cuenta los riesgos que implican un cambio y sus limitaciones. La acción y la observación: En esta etapa se llevó a cabo la ejecución de la propuesta secuencial de enseñanza, regulada por la planificación previa. Se tomaron registros diarios de la experiencia con las recomendaciones del profesor titular.
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La evaluación: Pretende hallar el sentido de los procesos, los problemas y las restricciones. Se ayuda con la discusión de sus participantes. La evaluación tiene un carácter valorativo y formativo (Castillo, Chaparro, & Jaimes, 2001). 4.2 IDONEDIDAD DIDÁCTICA En esta sección se muestra los fundamentos para la evaluación del proceso-enseñanza, que corresponde a la última etapa de la metodología Investigación-Acción. Para este propósito se presenta la noción de idoneidad didáctica como herramienta para valorar dicho proceso. Según Godino (2011) la idoneidad didáctica de un proceso de instrucción se define como la articulación coherente y sistémica de las seis componentes siguientes (Godino, Batanero & Font, 2007): Idoneidad epistémica, se refiere al grado de representatividad de los significados institucionales implementados (o pretendidos), respecto de un significado de referencia. Idoneidad
cognitiva,
expresa
el
grado
en
que
los
significados
pretendidos/
implementados estén en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la proximidad de los significados personales logrados a los significados pretendidos/ implementados. Idoneidad interaccional. Un proceso de enseñanza-aprendizaje tendrá mayor idoneidad desde el punto de vista interaccional si las configuraciones y trayectorias didácticas permiten, por una parte, identificar conflictos semióticos potenciales, y por otra parte permitan resolver los conflictos que se producen durante el proceso de instrucción. Idoneidad mediacional, grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje. Idoneidad afectiva, grado de implicación (interés, motivación,…) del alumnado en el proceso de estudio. La idoneidad afectiva está relacionada tanto con factores que dependen de la institución como con factores que dependen básicamente del alumno y de su historia escolar previa. Idoneidad ecológica, grado en que el proceso de estudio se ajusta al proyecto educativo del centro, la escuela y la sociedad y a los condicionamientos del entorno en que se desarrolla. Cada uno de estos criterios mencionados anteriormente serán las directrices que guiarán la recapitulación y evaluación del proceso enseñanza-aprendizaje como plan de sistematización de la práctica educativa.
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19 5. PROPUESTA SECUENCIAL DE ENSEÑANZA SECUENCIA
Secuencia 1: Factor común
Secuencia 2: Diferencia cuadrados
Secuencia 3: Trinomios cuadrados perfectos TCP
ACTIVIDADES DESCRIPCION SINTÉTICA
QUE SE PRETENDE
Expresiones algebraicas representadas geométricamente que tienen un lado común.
Al final de esta secuencia se pretende que el estudiante descubra que Factorizar una expresión algebraica geométricamente significa transformar una figura lineal rectilínea en un rectángulo de la misma altura o bien de igual base o cuadrado, cuya área o producto de sus lados es la factorización de la expresión algebraica.
Diferencia de áreas de expresiones algebraicas cuya de representación geométrica son cuadrados.
Al finalizar esta secuencia el estudiante debe interpretar que la diferencia de las áreas de dos cuadrados, se puede expresar como un nuevo rectángulo y que las dimensiones de este es la factorización que se desea encontrar.
Al final de la secuencia el estudiante Representación comprende que la factorización TCP se geométrica de puede lograr mediante la construcción de Trinomios cuadrados un cuadrado y las dimensiones de este perfectos indican la factorización.
El estudiante está en la capacidad de Representación Secuencia 4: construir un rectángulo utilizando las geométrica de Trinomios de la regletas de Cuisinaire, cuyas dimensiones Trinomios de la de la figura es la factorización que se forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 busca. Representación Secuencia 5: geométrica de Trinomios de la Trinomios de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
El estudiante está en la capacidad de construir un rectángulo utilizando las regletas de Cuisinaire, cuyas dimensiones es la factorización que se busca
Problemas y Consolidación y formalización de la ejercicios para la factorización sin utilizar las Secuencia 6: aplicación de los representaciones mencionadas Ejercicios de casos de anteriormente. El estudiante ya establece Recapitulación factorización un método de factorización propuesto mencionados para cada caso. anteriormente. Con respecto a la anterior propuesta secuencial de enseñanza, veamos el siguiente
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ejemplo para factorizar trinomios de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
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Ejemplo: Factorizar 𝑥 + 3𝑥 + 2 2
Solución. Para el término 𝑥 2 tomamos una tableta cuadrada, para el término 3𝑥 tomamos 3 regletas cuisinaire, para el término 2 tomamos 2 regletas como se aprecia en la siguiente en la figura:
Con estas piezas formaremos un rectángulo y hallamos las longitudes de los lados como se observa a continuación:
y finalmente calculamos el área del rectángulo formado: 𝑥+1 𝑥+2 Entonces, la factorización del trinomio es: 𝑥 2 + 3𝑥 + 2 = 𝑥 + 1 𝑥 + 2 6. RESULTADOS DE LA SISTEMATIZACIÓN DEL PROYECTO Teniendo en cuenta las dimensiones de la idoneidad didáctica expuestos en la sección 2.4.2, las valoraciones de la matriz de sistematización (ANEXO A), a continuación se narran algunos de los resultados observados en cada idoneidad. Idoneidad Epistémica: Para poder valorar la idoneidad epistémica de un proceso de instrucción (significado implementado) o bien en un proceso de instrucción planificado en un libro de texto (significado pretendido) fue necesario establecer el significado de referencia que sirve de comparación, en este sentido se elaboro la configuración epistémica de la factorización, con el fin de que las definiciones, proposiciones y procedimientos sean representativos de los identificados en el significado de referencia y adaptados al nivel, capacidades y recursos disponibles en el marco institucional correspondiente, dando lugar a una idoneidad epistémica con nivel alto. Idoneidad Cognitiva: En general el proceso de enseñanza de la factorización de
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expresiones algebraicas se basó en: a) la existencia de una evaluación inicial de los significados personales de los estudiantes, a fin de comprobar que los significados pretendidos son alcanzables; b) la existencia de adaptaciones curriculares que tengan en cuenta las diferencias individuales; y, finalmente, c) que los aprendizajes logrados estén lo más próximos posible a los significados institucionales pretendidos/ implementados. Un indicador que los aprendizajes de los estudiantes están más cerca de los significados institucionales, es el contraste del porcentaje de estudiantes que cometen errores en el cuestionario inicial y el cuestionario final:
Porcentaje de Estudiantes
Gráfico 3. Porcentaje de errores de los estudiantes de grado 809 con respecto a los conceptos previos a la factorización por tipo de error 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%
95%
90%
95%
85%
Cuestionario Inicial Cuestionario Final
65%
60% 45%
40%
Errores relativos Errores relativos Errores al agrupar Errores relativos al usar del signo al mal uso de la términos y al al mal uso de menos propiedad suprimir operaciones distributiva paréntesis aritméticas
Tipo de error
Se observa que para todas las categorías el porcentaje de errores disminuye en un 30% o más. Una explicación de esta reducción, se debe al uso de modelos geométricos y a la conversión entre los distintos sistemas de representación. Al respecto Palarea (1998), señala que el uso de modelos geométricos, por medio del cálculo de áreas, permite llenar los vacios conceptuales de los estudiantes. Igualmente, el empleo de las distintas situaciones del área del rectángulo mediante diferentes sistemas de representación: un sistema de representación geométrico (áreas de los mismos), un sistema de representación mixta visual/formal (cuadro de doble entrada denominada “visualización simplificada”) y la expresión algebraica; se consideran como fuentes de significado. En el momento de la aplicación del taller de factorización (ANEXO M) los estudiantes no recibieron instrucción previa, sólo se hizo un sencillo comentario instruccional con el ejemplo que se presentaba, y se solicitó completar en cada ejercicio las situaciones ausentes. En definitiva se pretendía que los estudiantes hiciesen conversión entre los
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distintos sistemas de representación.
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De otra parte, durante el desarrollo del taller de factorización empleando una aproximación geométrica, se evidenciaron algunos conflictos cognitivos identificados por Chalouh y Herscovics (1988) citados por Palarea (1998), relacionados con: la necesidad de una referencia numérica, Incapacidad para aceptar la falta de clausura, Dilema nombre – proceso y la Concatenación. Sin embargo, se encontró que el planteamiento hecho ayudó a los estudiantes a desarrollar significados para expresiones algebraicas y facilitó el proceso de enseñanza-aprendizaje de la factorización, dotando de significado a los procedimientos algebraicos de la factorización. Los criterios anteriormente mencionados permiten concluir una idoneidad cognitiva con nivel alto. Idoneidad mediacional: Aunque no se utilizan medios informáticos pertinentes para el estudio del tema en cuestión, se utilizaron recursos materiales manipulativos como carteleras, guías de taller y recortes de cuadrados y rectángulos en papel iris que proporcionaron ciertas ideas para factorizar cierta clase de polinomios, ya que los estudiantes están familiarizados con situaciones de adición y sustracción de áreas. Igualmente permitió la manipulación y visualización de estos elementos, lo cual contribuye a mejorar los procesos algebraicos. Estos medios interaccionan con los distintos elementos de las configuraciones epistémicas y cognitivas, en donde el profesor y los estudiantes tienen a su alcance los medios materiales adaptados a los significados pretendidos, el cual afectaría la idoneidad del proceso de estudio positivamente. De otra parte, como se había señalado previamente, se utilizaron diferentes sistemas de representación como fue la representación geométrica y la representación formal (Expresión
Algebraica),
además
de
un
sistema
de
representación
intermedia
visual/formal, con el propósito de que los diferentes significados de los objetos matemáticos interaccionen con el lenguaje configurado en la dimensión epistémica. Se puede valorar esta dimensión con un nivel de idoneidad alta. Idoneidad emocional: Teniendo en cuenta que la configuración didáctica intentó motivar a la acción y participación de los estudiantes, se puede inferir que se crea un ambiente que favorece los intereses, afectos y emociones de los estudiantes hacia las matemáticas. Además se mostró actividades de contextualización que le permiten al estudiante responder ¿para qué me sirve esto? Por lo tanto, se valora esta dimensión como alta.
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Idoneidad interaccional: Los formatos de tipo dialógico y trabajo cooperativo
son
elementos de una idoneidad interaccional potencialmente mayor. Con el apoyo de la guía de taller y el trabajo en grupo para la solución del taller de factorización aplicado en la geometría, los estudiantes encontraron la relación de los objetos matemáticos y los recortes de papel, ayudando a mejorar el diálogo y comunicación entre los estudiantes. La guía taller de factorización y el taller de aplicación de la factorización, permitieron la exploración, formulación y validación teniendo como base las etapas del taller constructivo, contemplando momentos en los que los estudiantes asumen la responsabilidad del estudio. Se valora esta dimensión con un nivel de idoneidad medio. Idoneidad Ecológica: La factorización de expresiones algebraicas es uno de los temas más importantes del algebra de octavo grado, ya que estos procedimientos son necesarios para cursos de trigonometría, calculo y física. De esta manera se está contribuyendo a la formación socio-profesional de los estudiantes. Puesto que se muestran actividades de aplicación en un contexto matemático, donde los estudiantes reflexionan de su misma práctica y del trabajo con los compañeros para algunas secuencias del proyecto, se intenta formar estudiantes consientes de su formación personal, de modo que sean estudiantes críticos y propositivos frente a la solución de problemas matemáticos. Se puede valorar la idoneidad didáctica ecológica con un nivel de medio. 7. CONCLUSIONES Según Mejia & Barrios (2008) el uso del álgebra geométrica se convierte en puente entre las representaciones y las expresiones algebraicas, porque permite
que los
estudiantes observen la equivalencia entre las áreas de figuras geométricas y la factorización de un polinomio. Además con este tipo de estrategias se puede lograr el interés, así como, desarrollar otras habilidades matemáticas del estudiante como la creatividad para desarrollar otro tipo de ejercicios. De otra parte, durante la ejecución del proyecto se presentaron algunos obstáculos cognitivos, especialmente durante el desarrollo del taller de factorización utilizando modelos geométricos ya que, por ejemplo, muchos estudiantes no se desprendían del contexto aritmético para representar un cuadrado de lado x, siempre hacían referencia a la longitud en centímetros del lado del cuadrado dificultando la representación de los términos de un polinomio y por ende el aprendizaje de la factorización por medio del cálculo de áreas. Se ha concluido entonces, que para abordar la enseñanza de la
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factorización por medio del algebra geométrica, es necesario realizar más énfasis en la representación de expresiones algebraicas a través de modelos geométricos, facilitando el aprendizaje de los procedimientos relacionados con la factorización polinomios. 8. BIBLIOGRAFÍA Campos, F. (2004). Hacia el rescate de material didáctico para la enseñanza de las matemáticas. Memorias XIV Encuentro de Geometría y II de Aritmética , 387-390. Cardozo, Y., & Meza, D. (2010). Diagnóstico sobre errores en el aprendizaje de conceptos previos a la factorización. Caronía, S., Zoppi, A., Palasek, M., Rivero, M., & Roxana, O. (2004). Un Análisis desde la didáctica de la Matemática sobre algunos errores en el Álgebra. Provincia de Misiones: Universidad Nacional de Misiones. Castillo, N., Chaparro, R., & Jaimes, G. (2001). Una aproximación a la investigación cualitativa. Editorial Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia . Cruz, E. (2008). Diseño de una secuencia Didáctica, donde se generaliza el metodo de factorización en la solución de una ecuación cuadrática. Mexico D.F.: Instituto Politécnico Nacional. Godino, J. D., Bencomo, D., Font, V., & Wilhelmi, M. R. (2006). ANÁLISIS Y VALORACIÓN DE LA IDONEIDAD DIDÁCTICA DE PROCESOS DE ESTUDIO DE LAS MATEMATICAS. Madrid. Godino, J. D., Bencomo, D., Font, V., & Wilhelmi, M. R. (2006). Análisis y valoración de la idoneidad didáctica de procesos de estudio de las matemáticas. Madrid. Godino, J. (2011). EOS, Motivación, supuestos, herramientas teóricas y ejemplos de aplicación. Madrid. Godino, J. (2011). EOS,Motivación, supuestos, herramientas teóricas y ejemplos de aplicación. Madrid. Godino, J. (2011). Indicadores de la idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Conferencia Interamericana de educación Matemática . Godino, J., & Batanero, C. (1994). Significado Institucional y Personal de los Objetos Matemáticos. Madrid. Lopez, A. (2009). La importancia de los conceptos previos para el aprendizaje de nuevos contenidos. Revista digital: Innovación y experiencias educativas No. 16 . Malisani, E. (1999). Los obstáculos epistemológicos en el desarrollo del pensamiento algebraico - Visión histórica. Revista IRICE . Mejia, G., & Barrios, N. (2008). El álgebra geométrica como recurso didáctico en la ense anza-aprendizaje del álgebra escolar. Encuentro colombiano de matemática educativa .
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