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¿Qué hay detrás de los números? Esp. Martha Edilma Márquez Gutiérrez


¿Qué hay detrás de los números? Esp. Martha Edilma Márquez Gutiérrez

Alguna vez te has preguntado qué hay detrás de los números que utilizas a diario? - ¿Qué conoces de ellos? - ¿Has visto algo más que los simples símbolos que utilizas para contar, o simplemente para efectuar operaciones? Pues bien, la mayoría de nosotros tan solo conocemos los números como símbolos que representan cantidades o magnitudes y los utilizamos simplemente para hacer cálculos, para indicar fechas especiales, en fin para resolver situaciones que requieren del uso de estos elementos, pero desconocemos los verdaderos secretos que ellos esconden. Este documento resalta las principales relaciones, propiedades y curiosidades que tanto Pitágoras como Fermat, Fibonacci, entre otros grandes matemáticos han dejado como legado a través de la historia, producto de su curiosidad y desvelo por descubrir los secretos que estos maravillosos objetos matemáticos esconden. Algunas de esas historias y relaciones numéricas se describen a continuación: Pitágoras de Samos (572-497 a. C), vivió en el siglo VI a. C., fue una de las figuras más influyentes de la historia de la matemáticas y también una de las más misteriosas. Fue quién desarrolló la idea de lógica numérica y el responsable de la primera edad de oro de las matemáticas. Inicialmente los números eran utilizados solamente para contar y calcular, a las matemáticas simplemente se les veía como una herramienta para resolver problemas prácticos, por ejemplo: los egipcios y babilónico descubrieron las reglas básicas de la geometría, que les permitía la reconstrucción de los linderos que que se perdían durante la inundación anual del rio Nilo; de ahí que la palabra “Geometría” significa “medir la tierra”.


¿Qué hay detrás de los números?

Pitágoras fundó una comunidad religiosa, en la que uno de los ídolos era el número, creían que entendiendo las relaciones entre los números, podrían descubrir los secretos espirituales del universo y acercarse más a los Dioses. En particular, la Hermandad centró su atención en el estudio de los números utilizados para contar { 1, 2, 3, 4, …} y tras las fracciones. Pitágoras se dio cuenta que los números se esconden en todas partes, desde la armonía de la música, hasta las órbitas de los planetas y esto fue lo que lo llevó a proclamar que “Todo es número” . Con esta frase, de alguna manera, se encierra místicamente la filosofía de que el universo y todos sus secretos, misterios y milagros están regidos por el número y sus propiedades. Al explorar el significado de las matemáticas, Pitágoras estaba desarrollando el lenguaje que le permitía a él y a otros describir la naturaleza del universo. En adelante, cada avance de las matemáticas daría a los científicos el vocabulario que necesitaban para explicar mejor los fenómenos a su alrededor. De hecho, los adelantos en las matemáticas serían la inspiración de revoluciones científicas. De todos los vínculos entre los números y la naturaleza estudiados por la hermandad, el más importante es la relación que lleva el nombre de su fundador. El teorema de Pitágoras nos suministra una ecuación que es verdadera para todos los triángulos rectángulos y que por tanto sirve también para definir el ángulo recto. A su vez, el ángulo recto define la perpendicular, es decir la relación de la vertical con la horizontal, y, en última instancia, la relación entre las tres dimensiones del universo que nos es familiar. Las matemáticas, a través del ángulo recto, definen la estructura misma del espacio en que vivimos. El teorema de Pitágoras dice: “en un triángulo rectángulo el cuadrado de la

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Entre la infinidad de números, la Hermandad Pitagórica buscó aquellos con un significado especial, y cualidades particulares que se establecen entre ellos. Son así:

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hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados”.

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Números Pitagóricos: Los números x,y,z, se llaman Pitagóricos si satisfacen la ecuación

Es decir, (x; y; z), será una tripleta pitagórica si los tres números corresponden a las medidas de los lados de un triángulo rectángulo. Ejemplo 2. Las tripletas (3; 4; 5) y (7; 24; 25) son pitagóricas.

El número 7 se considera mágico, es la unión de lo divino con lo terrenal pues es la suma del 3 y del 4, conocidos como el número divino y el número terrestre respectivamente.

Los números perfectos: de acuerdo con Pitágoras, la perfección numérica dependía de los divisores de un número (números que dividen exactamente al número original). Los números perfectos son aquellos cuyos divisores suman exactamente el mismo número.

El primer número perfecto es 6: sus divisores son 1, 2 y 3, luego su suma El siguiente número perfecto es 28 porque . A medida que se hacen más grandes los números para contar, se hace más difícil encontrar números perfectos. El tercer número es 496, el cuarto es 8.128, el quinto es 33.550.336 y el sexto es 8.589.869.056.

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Euclides, dos siglos más tarde descubrió que los números perfectos siempre son el producto de dos números, uno de los cuales es una potencia de dos y el otro la siguiente potencia de dos menos 1. Es decir:

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Además de ser la suma de sus divisores, Pitágoras observó que todos los números perfectos presentan otras propiedades elegantes. Por ejemplo, los números perfectos son siempre la suma de una serie consecutiva de números para contar:


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( ( ( ( 

) ) ) )

Números Abundantes: son aquellos cuando la suma de los divisores es mayor que el número mismo.

Por ejemplo los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, y 6., es un número abundante porque

Números Deficientes: cuando la suma de los divisores de un número es menor que el mismo número. 10 es un número deficiente por que

Números primos: Se dice que un número natural n, mayor o igual que 2, es un número primo si los únicos divisores de n son 1 y n. Si n no es primo, se llama número compuesto. Además dos enteros n y m, son primos relativos, primos entre sí o coprimos si mcd(n,m)=1.

Los primeros 10 números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... Eratóstenes (276 – 194 a.C.) desarrolló un método para determinar los números primos menores que n, conocido como la criba de Eratóstene. Uno de los problemas más famoso relativo a los números primos es conocida como “La conjetura de Goldbach”, propuesta por Christian Goldbach en una carta que envió a Leonard Euler en el año de 1742, en la que afirma “que todo número entero, par, mayor o igual que 4 se puede escribir como la suma de dos números primos”. Ejm. 10 = 7+3; 50 = 43+7.

El matemático estadounidense, D.N. Lerner en 1914, publicó una lista de todos los números primos menores que 10 millones, y son 664579 números. Esp- Martha Edilma Márquez G.

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Leonard Euler en el año de 1742, afirma “que todo número entero, par, mayor o igual que 4 se puede escribir como la suma de dos números primos”. Ejm. 10 = 7+3; 50 = 43+7.


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Números Primos gemelos: Se dice que dos números primos p y q, son primos gemelos si |

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Los números 11 y 13 son primos gemelos, al igual que 41 y 43.

Número sin cuadrados: Se dice que un numero natural n, es un numero sin cuadrados, si los exponentes de los factores en la descomposición en factores primos del número n, no exceden la unidad. 42 es un numero sin cuadrados, pues

Número cuadrado perfecto: Un número es cuadrado perfecto si resulta del cuadrado de otro número. Es decir, cubo perfecto si

es cuadrado perfecto si

.

Sera un

Los números 25 y 121 son cuadrados perfectos pues se cumple que , además, los números 27 y 125 son cubos perfectos ya que 

Números amigos: Dos números son amigos si la suma de todos los divisores positivos y propios de uno, da como resultado el otro número.

Los números 220 y 284 son amigos pues los divisores de 220 son: 1, 2, 4,5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110 y

Además, se tiene que los divisores de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142 y: .

Números Poligonales: El número entero positivo n se llama poligonal si es posible representarlo por medio de puntos colocados en forma poligonal, de manera que Esp- Martha Edilma Márquez G.

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Las parejas 17296, 18416 y 9363584, 9437056 fueron descubiertos en el siglo IX d.C. por el matemático árabe Tabitibn Qurra (826-901), que encontró la fórmula: si n > 1 y p, q y r son primos de la forma , entonces son amigos.


¿Qué hay detrás de los números?

se construyan polígonos encajados con igual número de puntos en cada lado del polígono. Dependiendo del polígono inicial, se hablará de números triangulares, cuadráticos, pentagonales, hexagonales y así sucesivamente. La razón de esta nomenclatura geométrica, se aclara cuando los números se representan por medio de puntos colocados en forma de triángulos, cuadrados, pentágonos, etc., tal como se ilustra en la figura 2 para triangulares, en la figura 3 para cuadráticos y en la figura 4 para pentagonales.

Número sensato: Se dice que un número natural n es sensato, si existe alguna base entera b, con , tal que la representación en esta base tiene todos sus dígitos iguales.

Ejemplo. El número 62 es sensato pues 62 = (222)5; (62 es igual al número 222 en base 5).

Números tricúbicos: Se dice que un número natural n, de tres dígitos, es tricúbico si n es igual a las suma de los cubos de sus dígitos.

Ejemplo. El número 371 es tricúbico pues 

Números capicúas: Se dice que un número natural n, es un número capicúa si se lee de igual forma de derecha a izquierda o de izquierda a derecha.

Las oraciones o escritos que satisfacen la misma propiedad de los números capicúas se les conoce como palíndromos, por ejemplo, las palabras \reconocer\ o \sometemos\ , o las Esp- Martha Edilma Márquez G.

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Son números capicúas: 121, 353, 1456541, etc.


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oraciones \amor a Roma\ y \dábale arroz a la zorra el abad\ son palíndromos ya que si se leen de derecha a izquierda como de izquierda a derecha, resulta ser la misma oración. Número cíclico: Se dice que el número natural c, de n dígitos, es cíclico si al multiplicar c por un Múltiplo menor o igual que n, el producto tiene los mismos dígitos siguiendo un orden cíclico.

Ejemplo. El número

es cíclico, pues se verifica que: , , , y

Se sabe que los números cíclicos son el resultado del período de la expresión decimal para algún p primo, por ejemplo, de

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ se obtiene el número cíclico del

ejemplo anterior. Otros cíclicos son generados por

y otro generado por

Número Bueno: Se dice que el número natural n, es bueno si n se puede escribir como una suma de Números naturales, distintos o no, de manera que la suma de sus inversos multiplicativos es 1. Si n no es bueno, se llamará número malo.

Ejemplo. Se tiene que 11 es bueno, pues 

Números de Fermat: Los números de la forma números de Fermat.

Fermat creía que para ; la fórmula los cinco primeros son ellos son primos. Sin embargo, en 1732, Euler halló que que hallado otros primos de Fermat. 

.

y además

= 1.

se les conoce como los

, daría siempre un primo, , y todos es compuesto demostrando Más allá de , no se han

Número primo de Germain: Un primo p se llama primo de Germain si 2p + 1 es primo.

Ejemplo. Es claro que es primo de Germain pues y es primo; también lo es pues *3+1=7, 7 es primo; pero 13 no es primo de Germain pues y 27 no es primo.

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El mayor primo de Germain conocido hasta ahora es encontrado en octubre de 1995 por Dubner. 

Números de Fibonacci: La sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, que define el término nésimo como la suma de los dos términos anteriores, es decir, se cumple que con condiciones iniciales se conoce como la sucesión de Fibonacci y los números que conforman esta sucesión se conocen como números de Fibonacci.

Números de Mersenne: Para p primo, los números de la forma Mp = 2p - 1 se conoce como los números de Mersenne, en caso que Mp sea primo se le llama primo de Mersenne.

Ejemplo. Los primeros cinco primos de Mersenne son Mp para 2, 3, 5, 7 y 13. Esto es solo un preámbulo de lo que podemos encontrar con el estudio de los números. Los invito para que sigan leyendo y descubriendo las maravillas que los números y las matemáticas nos ofrecen… BIBLIOGRAFÍA Enzensberger, Hans Magnus. El Diablo de los Números. Ediciones Siruela, España, 1980. Perero, Mariano. Historia e Historias de Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1994. Tahan, Malba (Seudónimo). El hombre que calculaba. Editorial Crear. Venezuela, 1985.

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Simon Singh. El último teorema de Fermat. Grupo Editorial Norma.sta. Fe de Bogotá, 1999.

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