Matematik i middelalderen. Abbaco-kulturen i Firenze by Alinea

A k se l Bertel s en

Matematik i middelalderen Abbaco-kulturen i Firenze

Lam, simo magniscias modis eos dolupta temolorumet exerest re vellace rspidis etus et in pelibus, ipiet rae. Od ut parum nesequam qui remposa amendem rerspel estrum iurecep elendigentem ra dis ut officiae rerum et es niment aut ut ut acepuditet doluptur? Quibus. Uptas dolut a dempere si sincta veniscipiet libus porersp ellicaborem apiendiam esed quas dolorum expelestrum id qui a nia nusdam qui voluptatur anihica tenihillenis plic tet volorep eratint que num reriam est, sequiat emporem poreprerspe nobisciis delessi

Matematik i middelalderen Abbaco-kulturen i Firenze

Matematik i middelalderen

Quibus. Uptas dolut a dempere si sincta veniscipiet libus porersp ellicaborem apiendiam esed quas dolorum expelestrum id qui a nia nusdam qui voluptatur anihica tenihillenis plic tet volorep eratint que num reriam est, sequiat emporem poreprerspe nobisciis delessi

A k se l Be rt e l se n Lam, simo magniscias modis eos dolupta temolorumet exerest re vellace rspidis etus et in pelibus, ipiet rae. Od ut parum nesequam qui remposa amendem rerspel estrum iurecep elendigentem ra dis ut officiae rerum et es niment aut ut ut acepuditet doluptur? Quibus. Uptas dolut a dempere si sincta veniscipiet libus porersp ellicaborem apiendiam esed quas dolorum expelestrum id qui a nia nusdam qui voluptatur anihica tenihillenis plic tet volorep eratint que num reriam est, sequiat emporem poreprerspe nobisciis delessi

Lindhar dt og Ring hof

9 2 9 3

2 0 3 2

3 7 9 6

0 0 1 7

17 30

4 9 3 2

1 0 1 6

2 4

1 3

9 10

6 4

9 2 9 3

2 0 3 2

3 7 9 6

0 0 1 7

17 30

4 9 3 2

1 0 1 6

2 4

1 3

9 10

6 4

4. Numeriske metoder

Den simple positionsmetode . . . . . . . . . . . . . 45 Den dobbelte positionsmetode . . . . . . . . . . . . 49 Kontinuerte proportioner . . . . . . . . . . . . . . 54

Indholdsfortegnelse

5. Retorisk algebra

Seks ligninger med løsningsformler . . . . . . . . . 57 Omskrivning af ligninger . . . . . . . . . . . . . . 61 To ligninger med to ubekendte . . . . . . . . . . . 65

Forord

1. Abbaco-bøgerne

En introduktion til abbaco-bøgerne . . . . . . . . . 9 Hvem skrev dem og hvorfor? . . . . . . . . . . . . 15 2. Verdens femte element

Firenze 1300-1500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Bogholderi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Renter og vekselbreve . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3. Købmandsregning

Regneteknikker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Handelsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6. Praktisk geometri

Areal og rumfang . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Linjestykkers længde . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7. Skolerne

Mariano di Michele . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8. Sum-produkt-problemets historie

Ligninger p˚a lertavler . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Al-Khwarizmi og arabisk matematik . . . . . . . . 93 Den moderne udgave . . . . . . . . . . . . . . . . 95 9. Vejen omkring Pisa

Fibonacci og Liber Abaci . . . . . . . . . . . . . . 99 Abbaco-forfatternes kilder . . . . . . . . . . . . . . 104

4. Numeriske metoder

Den simple positionsmetode . . . . . . . . . . . . . 45 Den dobbelte positionsmetode . . . . . . . . . . . . 49 Kontinuerte proportioner . . . . . . . . . . . . . . 54

Indholdsfortegnelse

5. Retorisk algebra

Seks ligninger med løsningsformler . . . . . . . . . 57 Omskrivning af ligninger . . . . . . . . . . . . . . 61 To ligninger med to ubekendte . . . . . . . . . . . 65

Forord

1. Abbaco-bøgerne

En introduktion til abbaco-bøgerne . . . . . . . . . 9 Hvem skrev dem og hvorfor? . . . . . . . . . . . . 15 2. Verdens femte element

Firenze 1300-1500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Bogholderi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Renter og vekselbreve . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3. Købmandsregning

Regneteknikker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Handelsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6. Praktisk geometri

Areal og rumfang . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Linjestykkers længde . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7. Skolerne

Mariano di Michele . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8. Sum-produkt-problemets historie

Ligninger p˚a lertavler . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Al-Khwarizmi og arabisk matematik . . . . . . . . 93 Den moderne udgave . . . . . . . . . . . . . . . . 95 9. Vejen omkring Pisa

Fibonacci og Liber Abaci . . . . . . . . . . . . . . 99 Abbaco-forfatternes kilder . . . . . . . . . . . . . . 104

10. Tredje- og fjerdegradsligninger

109

Sm˚a skridt og fejltrin . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Cardanos formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Fjerdegradsligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 11. Billedkunsten

121

Centralprojektioner . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Privatforbruget f˚ar lov at vokse . . . . . . . . . . . 125 12. Abbaco-periodens afslutning

129

Første halvdel af 1500-tallet . . . . . . . . . . . . . 131 13. Dengang og nu

137

14. Opgaver

145

15. Ture og projekter

173

Enheder for vægt, mønter og længder.

183

Litteratur

184

Henvisninger

187

Billedliste

188

Stikordsregister

190

Forord Indførelsen af regning med arabertal var tæt knyttet til den voldsomme økonomiske vækst i Italien fra omkring a˚ r 1200. Regnefærdighederne blev indlært i s˚akaldte abbaco-skoler, der især var rettet mod handel. Der blev ogs˚a skrevet abbaco-bøger, hvoraf mange gik langt ud over simpel købmandsregning og brugte matematiske metoder, der banede vejen for løsning af tredje- og fjerdegradsligninger i 1500-tallet. Matematik i middelalderen handler først og fremmest om abbacokulturen i Firenze, da det var her, den efterlod sig flest spor. Bogen viser et andet Firenze end det, der normalt fokuseres p˚a, idet den giver baggrunden for den rigdom, der muliggjorde de mange kunstværker og den arkitektur, der præger byen. Bogen kan læses af alle med interesse for matematik og kan blandt andet bidrage til at belyse forholdet mellem anvendt og teoretisk matematik. Den vil være velegnet til studieretningsprojekter i gymnasiet med matematik og historie som fag, og den vil kunne bruges i forbindelse med studierejser til Firenze. Endelig h˚aber jeg ogs˚a, at man kan finde inspiration til den daglige undervisning, for eksempel til historiske forløb og til opgaver. Matematik i middelalderen beskæftiger sig fortrinsvist med matematik i 1300-1500-tallet, der ifølge manges begreber omfatter den tidlige renæssance. I titlen er alligevel valgt betegnelsen middelalder, fordi næsten al bogens matematik blev udviklet i middelalderen, og der kun skete f˚a nyskabelser i 1300-1500-tallet. I modsætning til mange matematik-historiske bøger handler denne ikke om et enkelt menneskes bidrag til et stort matematisk gennembrud, men om noget matematik, der blev videreført over en lang periode af mange mennesker, hvoraf en stor er ukendte for os. Jeg har som baggrundsmateriale brugt en del tekster, der i deres originale form var h˚andskrevne manuskripter p˚a italiensk; heldigvis er mange af disse siden 1960 blevet transskriberet, alts˚a udgivet i bog-

10. Tredje- og fjerdegradsligninger

109

Sm˚a skridt og fejltrin . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Cardanos formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Fjerdegradsligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 11. Billedkunsten

121

Centralprojektioner . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Privatforbruget f˚ar lov at vokse . . . . . . . . . . . 125 12. Abbaco-periodens afslutning

129

Første halvdel af 1500-tallet . . . . . . . . . . . . . 131 13. Dengang og nu

137

14. Opgaver

145

15. Ture og projekter

173

Enheder for vægt, mønter og længder.

183

Litteratur

184

Henvisninger

187

Billedliste

188

Stikordsregister

190

form med trykte bogstaver. Jeg har selv oversat fra italiensk, og søgt at bevare manuskripternes lidt primitive sprog. Jeg har haft stort udbytte af især to værker p˚a engelsk. Det ene er Warren van Egmonds afhandling The Commercial Revolution and the Beginnings of Western Mathematics in Renaissance Florence. Det andet værk er Jens Høyrups Jacopo da Firenze’s ”Tractatus Algorismi”and Early Italian Abbacus Culture fra 2007, hvor man kan finde en oversættelse til engelsk af en hel abbaco-bog. Jeg vil benytte lejligheden til endnu en gang at takke Jens Høyrup for det store materiale, han har givet mig adgang til. Aksel Bertelsen, Tjæreby 2014.

1. Abbaco-bøgerne Omkring a˚ r 1300 var der i mange italienske byer et voksende behov for at kunne regne og anvende regnefærdigheder inden for handel. Behovet var skabt af en forøget international handel, især med uld, og brug af nye forretningsmetoder i stedet for den traditionelle byttehandel. Man taler direkte om den kommercielle revolution for at give indtryk af en omvæltning af samme betydning som den industrielle revolution i 1700-tallet, der havde England som centrum. Tidligere var handelsfolk selv rejst rundt for at sælge og købe varer, men de blev gradvist afløst af store handelshuse med et netværk af afdelinger rundt omkring i Europa og Nærorienten, der blev styret fra handelshusets hjemby. Nogle handelshuse tjente s˚a meget, at de kunne l˚ane ud til fyrster i de lande, hvor der var afdelinger, og derved ogs˚a tjene p˚a handel med penge. I mange tilfælde var der tale om egentlig bankvirksomhed. Firenze var i starten af 1300-tallet ved at blive førende inden for denne form for handelsog bankvirksomhed, og det er p˚a denne baggrund, at man skal forst˚a de mange bøger, der i perioden 1300-1500 blev skrevet p˚a italiensk om brug af regning til løsning af problemer med relation til handel. Bøgerne kaldes, og kaldtes ogs˚a dengang, abbaco-bøger, og der er bevaret omkring 300 af dem. Ordet abbaco kommer af abacus, som er betegnelsen for et regnebræt, men det er misvisende, for et af abbaco-bøgernes karakteristiske træk var brugen af arabertal, som bøgerne var med til at udbrede, og som gjorde handelsmændenes regnearbejde lettere, end det var med romertal. Bøgerne var alle h˚andskrevne indtil slutningen af 1400-tallet, hvor bogtrykkerkunsten var blevet opfundet. Hovedparten af dem eksisterer kun i et enkelt eksemplar, men den oftest kopierede bog, Benedetto da Firenzes Trattato d’abacho, findes i 18 eksemplarer. Det voksende behov for at kunne regne resulterede ogs˚a i, at der blev oprettet abbaco-skoler specielt med henblik p˚a regneundervis-

ning for drenge. I Firenze var det typiske skoleforløb, at drengen indtil 10-˚arsalderen først gik i e´ n skole for at lære at læse og skrive, og derefter to a˚ r i en abbaco-skole. En dreng kom derefter ofte ud at arbejde i et handelshus, alts˚a allerede som 12-˚arig. Man ved ikke s˚a meget om forbindelsen mellem abbaco-bøgerne og abbaco-skolerne. Nogle af bøgerne har været skrevet af abbacolærere, men langt fra alle. Det indledende stof kan i mange tilfælde godt have været brugt i forbindelse med undervisning p˚a en abbacoskole, men som vi skal se, er der ogs˚a stof i bøgerne, som m˚a have været alt for svært for en 10-12 a˚ rig.

En introduktion til abbaco-bøgerne Den typiske abbaco-bog begyndte med et kort afsnit om regning med arabertal, ofte med ret omfattende gangetabeller. Et eksempel 1 p˚a en del af en s˚adan er vist nedenfor.

Eksempel 1. Handelsregning Kernestoffet i abbaco-bøgerne var problemer, som købmænd kom ud for i virkelighedens hverdag. Som for eksempel følgende. For 9 lire kan man fa˚ 7 braccia klæde. Hvor meget kan man f˚a for 10 lire? Gang de 7 braccia klæde med de 10 lire, det giver 70, del med 9 lire, som giver 7 braccia og 7 a for 10 lire kan du fa˚ 7 braccia klæde og 79 . 9 ; s˚ Denne type af forholdsregning blev ogs˚a brugt i forbindelse med for eksempel omregning af pengebeløb, hvad der ofte var behov for, da mange byer havde deres egen møntfod. P˚a side 183 omtales nogle af de mest brugte længde-, vægt- og møntenheder i Firenze. Eksempel 2. Problemløsning med og uden forklaring Abbaco-bøgerne indeholdt ogs˚a fiktive problemer, der tydeligvis ikke var nogle, man kom ud for i praksis, og hvor man typisk ikke umiddelbart kan se, hvad man skal gøre for at komme frem til svaret. Det følgende er et eksempel p˚a et s˚adant problem.

Resten af bogen bestod af en lang række af problemer med tilhørende løsning. De næste fire eksempler repræsenterer nogle karakteristiske problemtyper og løsningsmetoder. 1

Et skib sejler fra Livorno til Marseilles p a˚ 7 dage og et andet skib kommer fra Marseilles til Livorno p a˚ 4 dage. Der spørges om, hvor mange dage der g a˚ r, før de mødes, n˚ar de tager af sted pa˚ samme tidspunkt. Gør s˚adan. Find et tal, som har 14 og 17 , det kan være 28: sig s˚a: 14 er 7, og 17 af 28 er 4. Læg dem sammen, det giver 11, og dette er nævneren; del nu 28 med 6 6 11, det giver 2 og 11 og efter 2 og 11 mødes de.

I denne bog fungerer notetegnene som reference. P˚a side 188 er der en liste, hvor man kan se, hvilken kilde og hvilket sidetal notetegnet refererer til.

Resten af bogen bestod af en lang række af problemer med tilhørende løsning. De næste fire eksempler repræsenterer nogle karakteristiske problemtyper og løsningsmetoder. 1

I denne bog fungerer notetegnene som reference. P˚a side 188 er der en liste, hvor man kan se, hvilken kilde og hvilket sidetal notetegnet refererer til.

Ofte er der, som i tekstuddraget ovenfor, ikke nogen forklaring p˚a, hvorfor man kan udregne svaret p˚a den angivne m˚ade, og man kan derfor undre sig over, hvad form˚alet med en s˚adan bog har været. Det vender vi tilbage til senere. Ligesom andre problemtyper findes dette eksempel i mange forskellige abbaco-bøger. Der blev ikke skrevet direkte af, men antal dage og bynavne blev ændret, og i nogle bøger blev løsningen begrundet. En alternativ version2 har illustrationen nedenfor, hvor der i teksten over tegningen st˚ar, at herfra og til Firenze er der 60 mil, og at der er e´ n, der kan g˚a turen p˚a 8 dage, og e´ n der kan g˚a den p˚a 5 dage. Der spørges s˚a om, hvor mange dage der g˚ar, før de mødes. Der st˚ar ikke noget om, hvor herfra er.

Eksempel 3. Retorisk algebra Det næste eksempel viser, at man ogs˚a kunne løse problemer ved at opstille og løse ligninger. Den ubekendte blev kaldt en cosa, en ting. Del for mig 10 i 2 dele, sa˚ den ene del divideret med den anden giver 5. Gør sa˚ dan. Antag, at den ene del er en ting, den anden del er derfor 10 minus en ting. At dele 10 minus en ting med en ting giver nu 5, s a˚ 5 ganges med en ting, som giver 5 ting. S a˚ vi har, at 5 ting er lig med 10 minus ting. Men læg til hver del en ting, s˚a 10 er hel, og vi vil som den ene del have 6 ting, og som den anden del have 10. Sa˚ del 10 med 6, som er 1 23 , og s˚a meget er tingen, og du antog, at den ene del er en ting, sa˚ den ene del er 1 23 , den anden del er det tilbageværende, som er 8 og 13 . Med nutidens brug af symboler ser fremgangsm˚aden s˚aledes ud. Det ene tal kaldes x, det andet er s˚a 10 − x. Det ene divideret med det andet skal være 5, s˚a 10 − x =5 x Derefter ganges med x p˚a begge sider 10 − x = 5x

I teksten under tegningen løses problemet ved at gange 8 med 5 og sige, at p˚a 40 dage kan den ene gøre turen 5 gange, og den anden 8 gange. Tilsammen kan de alts˚a gøre turen 13 gange. N˚ar de mødes, vil de kun have gjort turen e´ n gang tilsammen, s˚a de mødes efter 40 1 divideret med 13 dage, alts˚a efter 3 13 dag.

Lægges x til p˚a begge sider, og divideres derefter med 6 p˚a begge sider, f˚ar man 10 =x 6

Den form for algebra, hvor man som i tekstuddraget stort set formulerer det hele i ord uden brug af symboler, kaldes ofte retorisk algebra.

Lægges x til p˚a begge sider, og divideres derefter med 6 p˚a begge sider, f˚ar man 10 =x 6

Den form for algebra, hvor man som i tekstuddraget stort set formulerer det hele i ord uden brug af symboler, kaldes ofte retorisk algebra.

Eksempel 4. Et geometrisk problem Det sidste eksempel er et geometrisk problem, hvor man skal finde bredden af en voldgrav. Et t˚arn har højden 40 braccia, og for foden af dette t˚arn har man en voldgrav. Og jeg trækker et reb, som har længden 50 braccia og forbinder kanten af voldgraven med toppen af ta˚ rnet. Sig mig, hvor bred er denne voldgrav? Gør sa˚ dan, gang 50 med 50, det giver 2500. Og da højden af ta˚ rnet er 40 braccia, ganger man 40 med 40, det giver 1600. Nu trækkes 1600 fra 2500, der er 900 tilbage, og man finder roden af 900, som er 30. Og vi siger, at voldgraven er 30 braccia bred, som du ser pa˚ tegningen.

Manuskriptet er skrevet p˚a vellum, som er en slags fint pergament, hvilket var typisk for 1300-tals-bøger, mens bøger fra 1400-tallet oftest var skrevet p˚a papir. Abbaco-bøgerne var ofte skrevet p˚a begge sider af arkene, der typisk havde en størrelse i nærheden af det, som svarer til A4.

Teksten er fra andet afsnit i det manuskript, der er vist p˚a næste side. I indledningen til hele manuskriptet st˚ar, at forfatteren er Jacopo da Firenze, og at det er skrevet i 1307 i Montpellier. Det viste manuskript er fremstillet senere, men det er vanskeligt at datere præcist. Der er bevaret tre manuskripter baseret p˚a Jacopos oprindelige tekst, og det ene er med sikkerhed fremstillet s˚a sent som i midten af 1400-tallet. Selvom Pythagoras’ sætning ikke nævnes direkte, er det tydeligvis den, der bruges, idet bredden af voldgraven udregnes som p 502 − 402 Dette geometriske problem er næppe et, som man har haft brug for at løse i virkeligheden, men der er ingen tvivl om, at de geometriske metoder har været brugt i praksis. Man ved, at flere abbaco-lærere og forfattere har været r˚adgivere ved nogle af de store byggerier i Firenze. Det foreg˚aende problem p˚a den viste side drejer sig om at finde længden af rebet, n˚ar t˚arnets højde og voldgravens bredde kendes. Det efterfølgende problem drejer sig om omkreds og areal af en cirkel.

Fa cosi: Gør sa˚ dan Størstedelen af en typisk abbaco-bog best˚ar af isolerede matematiske problemer med tilhørende løsning. Med isolerede menes, at et problem kan læses uafhængigt af de foreg˚aende, og at der ikke har været nogen indledende redegørelse for en generel metode. Ind i mellem finder man dog ogs˚a afsnit med nogle generelle regler, der efterfølgende eksemplificeres. Det er meget almindeligt, at problemløsningen indledes med ordene fa cosi, der betyder gør sa˚ dan. Det sker i tre af de fire foreg˚aende eksempler, der vel at mærke er taget fra tre forskellige abbaco-bøger, som tidsmæssigt spænder over hele perioden fra a˚ r 1300 til a˚ r 1500. Som helhed m˚a man sige, at abbaco-bøgerne ikke ændrer sig meget hverken med hensyn til indhold eller form i løbet af de to hundrede a˚ r. Vendingen fa cosi kunne næsten være en betegnelse for den matematiske tilgang til problemløsning i abbaco-bøgerne. Der lægges vægt p˚a, hvad man skal gøre, ikke hvorfor man kan gøre s˚adan. I nogle af de følgende kapitler vil vi se nærmere p˚a de matematiske metoder, der bruges i abbaco-bøgerne. Det skal understreges, at det ikke var metoder, som abbaco-forfatterne fandt p˚a; langt de fleste af metoderne var opfundet tidligere, hvor de ogs˚a var blevet forklaret mere grundigt med beviser for, hvorfor de fungerer. Det specielle ved abbaco-bøgerne var deres fokus p˚a praktiske anvendelser, specielt inden for handel.

Hvem skrev dem og hvorfor? De fleste forfattere er anonyme. Nogle kender man næsten kun navnet p˚a, som Jacopo da Firenze, der blev omtalt p˚a de forrige sider. Enkelte forfattere er kendt i andre sammenhænge, for eksempel Piero della Francesca, der er en af de mest berømte malere fra slutningen af 1400-tallet. Piero della Francesca skrev ud over en abbaco-

bog ogs˚a en bog med teoretiske bidrag til perspektivlæren, der blev udviklet i løbet af 1400-tallet. Et af hans malerier er vist nedenfor.

Det er, som allerede antydet, noget af et mysterium, hvad form˚alet med bøgerne har været. Kun en mindre del af indholdet kan have været brugt til undervisning af 10-12 a˚ rige drenge, mens resten ville have været for vanskeligt. Spredte bemærkninger antyder, at bøgerne ogs˚a kan have været henvendt til dem, der havde afsluttet skolegangen, og som kunne bruge bøgerne som opslagsbøger over metoder, en slags formelsamlinger. En del bøger har forfatterne muligvis skrevet for at have et bevis for, hvor dygtige de var, n˚ar de skulle søge en stilling, og nogle er brugt som gaver. Først inden for de sidste 50 a˚ r er man for alvor begyndt at interessere sig for abbaco-bøgerne, og kun ganske f˚a er endnu oversat til engelsk, men med den megen nye forskning er det muligt, at man vil komme tættere p˚a at forst˚a, hvorfor bøgerne blev skrevet. Det følgende kapitel handler om den historiske og økonomiske udvikling i Firenze i a˚ rene 1300-1500.

bog ogs˚a en bog med teoretiske bidrag til perspektivlæren, der blev udviklet i løbet af 1400-tallet. Et af hans malerier er vist nedenfor.

2. Verdens femte element I 1299 begyndte man i Firenze opførelsen af et nyt r˚adhus, Palazzo della Signoria. R˚adhuset markerer, at byen havde f˚aet et stærkt selvstændigt styre, uden overherredømme fra hverken adel eller kirke, det vil sige fra hverken det tysk-romerske kejserrige eller pavedømmet i Rom. Magten l˚a hos rige købmænd, bankfolk og h˚andværkere organiseret i lav, og republikken Firenze blev ledet af et bystyre med en vis form for demokrati, hvilket fortsatte de næste to hundrede a˚ r, alts˚a i hele abbaco-perioden.

Paladset med det høje t˚arn, der ses til højre for midten p˚a fotografiet ovenfor, kom senere til at hedde Palazzo Vecchio, det gamle r˚adhus. I løbet af 1200-tallet var byen blevet et økonomisk centrum i Europa i kraft af sin handelsog bankvirksomhed, og det var et samfund, der krævede stor administration b˚ade i de private handelshuse og den offentlige styring. De følgende to sider handler om baggrunden for denne udvikling, og resten af kapitlet handler om den politiske og økonomiske udvikling i Firenze i abbaco-perioden.

Den økonomiske forhistorie Den kommercielle revolution i 1200-tallet er allerede er omtalt kort p˚a side 8, men vi vil nu se nærmere p˚a nogle af forudsætningerne for handelshusenes vækst; herunder ogs˚a p˚a a˚ rsagerne til, at netop Firenze fik en førerstilling, En øget rejsesikkerhed i Europa, bl.a. fordi vikingerne ikke længere hærgede, har været en afgørende forudsætning for handelshusenes fremkomst. Købmænd behøvede ikke selv følge deres eksportvarer, men kunne overlade transport og salg til andre, s˚aledes at forretningen kunne styres hjemmefra. Det havde ogs˚a betydning, at der blev indført forsikringer ved søtransport og bedre bogholderi-metoder. Da handelshusenes netværk af kontorer rundt omkring i Europa var etableret, kunne de supplere varehandel med bankvirksomhed, og her spillede opfindelsen af vekselbreve en stor rolle. Med et vekselbrev fik en rejsende mulighed for at transportere penge over lange afstande uden brug af kontanter. Man kan forestille sig en florentinsk købmand, der vil købe krydderier i Barcelona. Han indbetaler et beløb til en bankmand i Firenze og modtager et vekselbrev, som bliver sendt til leverandøren i Barcelona. I vekselbrevet st˚ar, at bankens kontor i Barcelona skal udbetale beløbet til leverandøren i lokal valuta. Tidligere havde handel mest været byttehandel, hvor e´ n vare blev byttet for en anden vare; nu opstod en pengeøkonomi, hvor penge blev en vare i sig selv. Handelshusene kunne tjene store summer ved b˚ade at l˚ane penge ud og ved at udnytte forskelle i vekselkurser, som vi skal se i slutningen af dette kapitel. Historikere har forsket meget i a˚ rsagerne til, at Firenze i a˚ r 1300 havde overtaget den økonomiske førerposition foran havnebyer som Pisa, der i kraft af deres beliggenhed tidligere havde haft større handel med fjerntliggende lande. Der bliver især peget p˚a tre faktorer. For det første havde byen held med en kraftig satsning p˚a udvikling af tekstiler af uld. For det andet begyndte Firenze i 1250 at produ-

cere en guldmønt, guldflorinen, som blev en slags fælles international mønt, blandt andet fordi florentinerne sørgede for, at den holdt sin guldvægt. Endelig lykkedes det familier fra Firenze at f˚a overdraget den pavelige skatteopkrævning. Medvirkende hertil kan have været, at florentinerne havde ry for at være handelspartnere, man kunne regne med, og at pave Bonifacius d. 8. (1294-1303) kaldte florentinerne verdens femte element, underforst˚aet efter jord, ild, vand og luft. At florentinerne havde succes med deres uldvarer, skyldtes blandt andet, at de var særligt gode til at farve ulden. Det var ogs˚a vigtigt, at man importerede uld helt fra England, hvor klimaet er koldere, og ulden derfor bedre. Endelig spillede det en rolle, at floden Arno, der løber gennem byen, dels kunne give vand til vask og farvning af ulden, og dels havde strøm nok til at drive møller til valkning af ulden.

Mange var beskæftiget i uldindustrien, og dens store betydning har efterladt sig mange spor i bybilledet, som p˚a fotografiet ovenfor; lammet med fanen, der symboliserer den sejrende Kristus, brugte uldfabrikanternes lav som deres v˚aben. Selv om de tidligste abbaco-bøger, vi kender, er fra omkring a˚ r 1300, havde arabertallene været i brug i nogen tid før, og det er muligt, at det gav florentinerne en handelsmæssig fordel, at de var begyndt at regne med arabertal. Om det virkelig er tilfældet, er vanskeligt at afgøre med de f˚a historiske kilder, vi har adgang til.

Firenze 1300-1500 I 1302 stod r˚adhuset, Palazzo della Signoria, færdigt. Navnet refererer til byr˚adet, der hed La Signoria. Byr˚adets sammensætning blev fastlagt i Firenzes forfatning, Ordinamenti di Giustizia, Retfærdighedens forordninger, fra 1293. I følge denne forfatning skulle byr˚adets medlemmer vælges blandt lavenes medlemmer. Kun nogle af lavene havde bestemmende indflydelse, nemlig: dommere og notarer, vekselerere, uldfabrikanter, læger og apotekere, pelshandlere og bundtmagere, silkefabrikanter og endelig lokale storkøbmænd. I alt var der i slutningen af 1200-tallet 21 lav med en vis politisk indflydelse. B˚ade blandt de rigeste og de fattigste fandtes grupper, der ikke var organiserede i lav, for eksempel de, der var beskæftiget med international handel, og arbejderne i uldindustrien. Et lavs oprindelige form˚al var at varetage en faggruppes interesser; det skete bl.a. ved at opstille krav til oplæring af svende og kvaliteten af produkter og ved at fastsætte fælles priser. Kampene mellem forskellige politiske fraktioner kunne være h˚arde. Det var ikke ualmindeligt, at man fik sendt modstandere i eksil, fik deres huse ødelagt eller ligefrem fik sine fjender myrdet. De største kampe udspillede sig i 1200-tallet mellem tilhængere af paven p˚a den ene side (guelferne) og tilhængere af kejseren p˚a den anden (ghibellinerne). Pavens tilhængere gik af med sejren, og det kan have medvirket til, at det var florentinere, der fik overdraget den pavelige skatteopkrævning. Der var ogs˚a familier, der bekæmpede andre familier, simpelthen for at sikre sig størst mulig indflydelse, og s˚adanne familiefejder fortsatte op gennem 1300- og 1400-tallet. I begyndelsen af 1300-tallet havde byen op mod 100.000 indbyggere. Uldfabrikationen gjorde store dele af byen larmende og ildelugtende. Man kan stadig se gadenavne, der refererer til datidens arbejde, som Corso dei Tintori, farvernes strøg. Arbejderne var d˚arligt lønnede,

hvilket skabte en utilfredshed, der senere i a˚ rhundredet blev s˚a voldsom, at den resulterede i en opstand mod forholdene. Fremgangen for banker fortsatte frem til 1343, hvor de største bankhuse krakkede, og man fik den første større finanskrise i den europæiske bankverdens historie. Stærkt medvirkende til krakket var, at den engelske konge ikke kunne tilbagebetale flere store l˚an, der skulle finansiere en række krige, som imidlertid gik d˚arligt. L˚anene hos de florentinske handelshuse havde han kun kunnet opn˚a ved at true med ikke at ville tilbagebetale tidligere l˚an. Finanskrisen havde de samme følger som nutidens kriser, for eksempel stor arbejdsløshed og en kritik af handelsfolkene for at have været for griske og egoistiske. Kritikken blev forstærket, da der de følgende a˚ r flere gange udbrød pest, som mange fortolkede som en straf for, at man havde tænkt for meget p˚a at tjene penge. Især pesten i 1348, den sorte død, var voldsom, og sammen med de foreg˚aende sygdomsepidemier reducerede den Firenzes befolkning til omkring det halve. Den økonomiske krise fik byen til at udvikle en ny form for finansiering af de offentlige udgifter, idet borgerne blev tvunget til at optage l˚an, typisk til en rente p˚a cirka 5 procent. Der blev alts˚a stiftet en offentlig gæld, og l˚anene kom til at virke som en indirekte skat. Denne form for beskatning udviklede sig i de følgende a˚ rtier og var i 1378 medvirkende til, at uldarbejderne gjorde opstand. De m˚atte som nævnt ikke organisere sig i lav, og opstanden, der blev kaldt Tumulto dei Ciompi, fik det midlertidige resultat, at antallet af lav blev udvidet, men allerede i 1382 var de nye lav nedlagt. I a˚ rene efter uldarbejdernes oprør ændredes forfatningen, s˚a færre familier fik adgang til de ledende poster, og magten koncentreredes hos f˚a familier, som reelt kunne styre byen gennem deres medlemskab af lavene og alliancer med andre familier. Under dette styre, der varede frem til 1433, erobrede Firenze det meste af Toscana. De mange krige var kostbare, men der var penge nok i byen til at finansiere en række af de store bygningsværker, der præger byen

stadigvæk. Et eksempel er domkirkens kuppel, der blev færdig i 1436. For at finansiere krigene var bystyret nødt til at f˚a hjælp fra de rigeste familier, men udgifterne endte med at blive s˚a store, at der kun var en enkelt familie, der havde tilstrækkelig kapital, nemlig Medicifamilien. Herved blev styret s˚a afhængigt af denne familie, at den i 1434 reelt kunne overtage magten i byen, og Medici-familien har i højere grad end nogen anden familie sat deres præg p˚a Firenze. Deres v˚aben med de seks kugler, som ses nedenfor til venstre, genfindes mange steder i byen i dag.

Giovanni de’ Medici, 1360-1429, lagde grunden til familieformuen, mens sønnen Cosimo de’ Medici (1389-1464) var den første i familien, der fik reel magt gennem politiske støtter. Cosimos sønnesøn Lorenzo de’ Medici (1449–1492), der fik tilnavnet il Magnifico, den prægtige, ses p˚a billedet ovenfor til højre. Lorenzo var ikke beskeden som sine forgængere; ligesom andre af de velhavende familier i anden halvdel af 1400-tallet havde hans familie et voksende privatforbrug, som de ikke var bange for at vise frem. Han arrangerede offentlige fester og karnevaller og støttede mange af tidens kunstnere, som for eksempel maleren Botticelli. Republikkens endelige fald kom i 1530, hvor Firenze blev et hertugdømme under paven med en Medici som fyrste. Den anden hertug,

Cosimo I, gav i 1540 byens befolkning en klar demonstration af de nye magtforhold, da han flyttede ind i Palazzo della Signoria.

Bogholderi At de florentinske handelsfolk blev anset for særligt p˚alidelige kan hænge sammen med, at de omhyggeligt førte et omfattende bogholderi, hvor man kunne følge alle faser af deres transaktioner. Mange af handelshusenes arkiver er bevaret, og man kan se, hvor mange posteringer selv en mindre ordre kunne give anledning til ved handel med udlandet. Det følgende eksempel er fra handelshuset Datinis arkiver 3 . En af handelshusets kunder i Firenze ville købe noget keramik i Valencia til videresalg i Genova. I forbindelse med opfyldelsen af ordren registrerede handelshuset i a˚ rene 1389-99 følgende: modtagelse af ordren i Firenze, dens overførsel til Valencia, forhandlinger med keramikeren, afsendelse til Barcelona, afsendelse til Genova, salg af keramikken i Genova og rapport tilbage til kunden i Firenze. Keramikken kostede 2 12 florin, hvilket svarer til omkring 25.000 kr, som m˚a siges at være et lille beløb i forhold til handelshusets arbejde. Handelshusene i Firenze havde et veludviklet system af regnskabsbøger med e´ n bog til indtægter og udgifter, en anden til ordrer og s˚a videre. Denne form for bogholderi var noget specielt for Firenze, og de florentinske handelshuse behandlede deres regnskabsbøger med en s˚adan respekt, at bøgerne kunne indg˚a som bevismateriale i forbindelse med økonomiske stridigheder. Det dobbelte bogholderi I regnskabsføring kan man nemt komme til at skrive tal forkert, og for bedre at kunne kontrollere om der var sket fejl, begyndte man i abbaco-periodens Italien at bruge det dobbelte bogholderi. Den ældste mere generelle beskrivelse af det dobbelte bogholderis metode finder man i en abbaco-bog skrevet af franciskanermunken

Luca Pacioli. Bogen, hvis lange titel normalt forkortes til Summa, er fra 1494 og er en af de første trykte abbaco-bøger. Nogle af principperne i metoden har imidlertid været brugt i praksis s˚a tidligt som i slutningen af 1200-tallet. Det fremg˚ar for eksempel af en regnskabsbog skrevet af en mand ved navn Amatino Manucci, som var en af de florentinske partnerne i et firma med hovedsæde i Frankrig. Paciolis bog indeholder ogs˚a praktiske eksempler men var en lærebog. Det dobbelte bogholderi forudsætter, at regnskabet er opdelt i en række konti, s˚aledes at enhver økonomisk transaktion udløser mindst to posteringer. Som eksempel tænker vi os en klædehandler, der køber uld til 400 kr. Fra den konto, der hedder kasse, tages 400 kr., mens der p˚a kontoen lager tilføres 400 kr. Det indføres i regnskabet som vist nedenfor. Konto

Plus Debet

Kasse Lager

Minus Kredit

400 400

Hver konto har en debet- og en kreditside, og et beløb skrives p˚a den ene eller den anden side, alt efter om beløbet skal lægges til eller trækkes fra den p˚agældende konto. Allerede Pacioli brugte de regnskabstekniske betegnelser debet og kredit. Fidusen ved det dobbelte bogholderi er den kontrol, man kan lave ved at regne efter, om summen af alle beløb p˚a debetsiderne er lig med summen af alle beløb p˚a kreditsiderne. Ulempen er naturligvis det ekstra skrivearbejde. De regnskabsmæssige detaljer i forbindelse med gæld, salg og lignende, der ogs˚a blev opdelt i konti, vil vi ikke g˚a i dybden med. I anden halvdel af 1300-tallet var det almindeligt at lave dobbelt bogholderi i Firenze, og det var ikke kun de store handelshuse, men ogs˚a lokale h˚andværkere, der lavede regnskaber p˚a denne m˚ade.

Cosimo I, gav i 1540 byens befolkning en klar demonstration af de nye magtforhold, da han flyttede ind i Palazzo della Signoria.

Plus Debet

Kasse Lager

Minus Kredit

400 400

En handelslærlings brev hjem

Skattevæsnets catasto

Det omfattende bogholderi betød, at skrivearbejde kom til at fylde meget i en ung handelslærlings uddannelse. Man f˚ar et godt indtryk af en s˚adan uddannelse ved at læse den 14-˚arige Lorenzo di Matteo Strozzis breve til sin moder Alessandra Strozzi. Familien Strozzi blev i 1400-tallet en af de rigeste familier i handelsog bankverdenen. Sønnen Lorenzo forlod Firenze i 1446 for at arbejde i Valencia i Spanien i en af familiens forretninger. Den 28. april skrev han sit første brev hjem til sin moder. I uddraget nedenfor indleder han med at fortælle om sin ubehagelige sørejse og de steder, han har været, og han fortæller s˚a videre om sit arbejde.

Det store antal efterladte regnskabsbøger vidner om, hvor omhyggelige florentinerne var, men de giver ogs˚a mange konkrete oplysninger om datidens Firenze. Et andet vigtigt kildemateriale stammer fra de offentlige myndigheders liges˚a grundige arbejde. Til brug ved skattefastsættelse indsamlede skattevæsnet informationer om borgerne, som giver os et enest˚aende statistisk materiale om 1400-tallets Firenze. De mange krige i starten af 1400-tallet, specielt den mod hertugen af Milano fra 1422, var som nævnt kostbare, og de medførte, at bystyret igen kom til at mangle penge. For at gøre de forøgede skatter mere retfærdige besluttede man, at alle formuer skulle registreres. Borgerne i Firenze og de afhængige omr˚ader skulle selv udfylde papirer med oplysninger om formue, erhverv, adresse, familie o.a. Ud fra disse selvangivelser udarbejdede myndighederne en catasto (matrikel), og den første blev lavet i a˚ rene 1427-1429. Mange af oplysningerne er bearbejdet elektronisk og ligger som en database, man kan søge i p˚a nettet, hvilket omtales nærmere p˚a side 181. Man har her mulighed for at lave studier af hele befolkningen, for eksempel af formuefordeling og erhvervsfordeling. Man kan ogs˚a finde enkeltpersoner ved at søge efter et bestemt navn. En søgning p˚a navnet Medici giver blandt andet adgang til oplysninger om Giovanni di Bicci Medici. Man kan f.eks. se størrelsen af hans enorme formue, og at han har oplyst sin alder til 79 a˚ r. Som eksempel p˚a en komplet original selvangivelse med samtlige personlige oplysninger, er der p˚a bogens side 86 gengivet en abbacolærers selvangivelse i oversættelse. Oplysningerne i selvangivelserne skal tages med forbehold, da der nok har været nogle, der satsede p˚a, at myndighederne ikke havde resurser til at kontrollere alle oplysningerne. Dette problem blev tydeligere og tydeligere i de efterfølgende selvangivelser, der blev lavet med mellemrum frem til 1480.

Jeg har været i mange lande, men ingen s a˚ smukke som Firenze ... Jeg var meget syg og gik i tre dage uden at spise og drikke, jeg spiste kun et halvt æble og kastede det op ... Jeg laver regnskaber og har gjort det i to uger. Jeg kan halvt tale catalansk, nok til at de kan forst a˚ , hvad jeg siger, og jeg dem ... Og jeg vil sige, at jeg ikke har noget imod at kopiere breve; jeg er i skriverummet hele dagen og kopierer tolv breve om dagen. Jeg skriver s a˚ hurtigt, at du ville blive forbavset, hurtigere end nogen anden i huset. Drengen vil vist gerne imponere sin moder, s˚a m˚aske praler han en smule i brevet, men det er sikkert rigtigt, at han havde meget skrivearbejde. Det var ogs˚a typisk, at handelselever, der kom til fremmede lande, lærte de indfødtes sprog. Lorenzos moder, der tidligt var blevet enke, havde to andre sønner, Filippo og Matteo. Filippo, den ældste, p˚abegyndte i 1489 Palazzo Strozzi, der er et af Firenzes største paladser; det ses p˚a fotografiet side 127. P˚a side 84 vender vi tilbage til familien i forbindelse med Matteos skolegang.

En handelslærlings brev hjem

Skattevæsnets catasto

Renter og vekselbreve Vi vender nu tilbage til handelshusene for at se p˚a, hvordan de kunne udnytte vekselbreve til at omg˚a kirkens forbud mod at tage renter p˚a l˚an. Kirken havde i a˚ rhundreder anset det for en synd at tage renter, og allerede i Bibelen, i Ezekiels bog kapitel 18, st˚ar: Den retfærdige gør, hvad der er godt og ret, han yder la˚ n uden at kræve renter. Det var imidlertid ikke let, at definere præcist hvilke økonomiske arrangementer man skulle forst˚a som l˚an, og hvad der reelt var renter. Som eksempel vil vi se p˚a en forretningsmetode med vekselbreve, som kirken godtog, selv om der reelt var tale om l˚an med renter. Forretningsmetoden bliver illustreret med et fiktivt eksempel baseret p˚a [31], side 159. Bankerne udnyttede, at vekselkursen varierede fra land til land. Vi vil se p˚a en situation, hvor 1 florin veksles til 40 pence i Firenze, men til 36 pence i London. At en valuta var mere værd i udstedelseslandet end i udlandet, hænger sammen med, at man i udstedelseslandet hellere vil have sin egen valuta, som man altid kan bruge uden at skulle veksle først. Vi forestiller os nu en købmand, der planlægger at sælge klæde i England, og som har brug for at l˚ane 1000 floriner til køb af klæde og transport. Han f˚ar banken til at udbetale 1000 floriner, som skal betales tilbage i pence i London. Et vekselbrev skrives: I det Herrens a˚ r 1417 15. juni i Florence, 1000 floriner. Betal som det bruges 1000 floriner til 40 pence for hver florin til hvem der udpeges af Giovanni de’ Medici og partnere i London. M˚a Gud bevare dig. Udtrykket som det bruges (al usanza) henviser til den tid, som det officielt tager at rejse fra Firenze til London med skib. S˚adanne tidsrum var fastsat af vekselerernes lav (Arte del Cambio). I Benedetto da

Firenzes Trattato d’abacho er der et kapitel om vekselkurser og rejsedage som det bruges. Her finder man, at rejsen fra Firenze til London var fastsat til 90 dage4 . I London modtager bankens kontor s˚a p˚a den fastsatte dag 1000 gange 40 pence, alts˚a 40.000 pence. Banken kan nu udl˚ane dette beløb til en englænder, der vil sælge uld i Firenze, og som har behov for pengene. Han skal efter 90 dage tilbagebetale beløbet i floriner i Firenze, men det skal ske til kursen i London. P˚a det fastsatte tidspunkt skal han alts˚a betale 40000 ≈ 1111 36 Reelt har banken alts˚a p˚a seks m˚aneder f˚aet en gevinst p˚a ca. 11 %. Teologer kunne acceptere denne praksis, da banken løb en vis risiko. Vekselkurser blev nemlig fastsat dagligt, s˚a der kunne forekomme kursændringer, som medførte tab for banken. Den slags tab var dog meget sjældne. De følgende kapitler viser, at beregninger med l˚an med renter indg˚ar i mange abbaco-bøger; de fleste steder uden antydning af, at der skulle være noget forkert ved denne praksis. Benedettos førnævnte bog er en undtagelse; her indledes et kapitel om regning med renter med ordene Skønt fortjeneste opna˚ et som i dette kapitel er forbudt ifølge den kristne lov, demonstreres metoden ikke desto mindre. Benedetto gør alts˚a opmærksom p˚a kirkens holdning, men citatet ændrer ikke ved det klare indtryk af, at der var mange, der ikke tog kirkens forbud alvorligt. Til slut i dette kapitel skal bemærkes, at Firenze ikke var den eneste by i Italien, hvor der i 1200-tallet opstod større handelshuse med forbindelser til udlandet, men det var alts˚a handelshusene fra Firenze, der blev dominerende.

A k se l Bertel s en

Matematik i middelalderen Abbaco-kulturen i Firenze

Matematik i middelalderen

Lindhar dt og Ring hof