Kernestof 1, HHX_kap. 1-6 (foreløbig, uden opgaver)

Af Henrik Bindesbøll Nørregaard og Per Gregersen

Kernestof Mat 1 hhx Lindhardt og Ringhof

KERNESTOF Mat 1 hhx Henrik Bindesbøll Nørregaard og Per Gregersen © 2020 Lindhardt og Ringhof Uddannelse, København – et forlag under Lindhardt og Ringhof Forlag A/S, et selskab i Egmont Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler.

Forlagsredaktion: Iben Stampe Sletten Principlayout og omslag: andresen design Grafisk tilrettelægning: Schnalke Kommunikations-Design Tryk: Livonia Print 1. udgave 1. oplag 2020 ISBN 978 87 7066 961 0 www.lru.dk

Indhold Forord 1. Modeller og variable 1.1 Modeller med én variabel

6 8 8

1.2 Ligninger og deres løsninger

10

1.3 Overslagsregning og principskitser

12

1.4 Modeller med to variable

14

Opgaver til kapitel 1

16

Træningssider 1

22

2. Lineære funktioner

24

2.1 Lineær vækst

24

2.2 Beregning a og b

26

2.3 Lineære modeller

28

2.4 Lineær regression

30

2.5 Grafisk løsning af førstegrads-ligninger og -uligheder

32

2.6 Stykkevist lineære funktioner, definitionsmængde og værdimængde 2.7 Ræsonnementer og beviser

34 36

Opgaver til kapitel 2

38

Træningssider 2

46

3. Procent

48

3.1 Fremskrivningsfaktor

48

3.2 Procentregning og indekstal

50

3.3 Beregning af start- og slutkapital

52

3.4 Beregning af renter r og terminer n

54

Opgaver til kapitel 3

56

Træningssider 3

64

4. Statistik

66

4.1 Ikke-grupperede observationer

66

4.2 Diagrammer og kvartilsæt

68

4.3 Boksplot og spredning

70

4.4 Grupperede observationer

72

4.5 Diagrammer for grupperede observationer

74

Opgaver til kapitel 4

76

Træningssider 4

70

Indhold

3

5. Eksponentielle funktioner 5.1 Eksponentiel vækst

86

5.2 Beregning af a og b

88

5.3 Halverings- og fordoblingskonstant

90

5.4 Eksponentielle vækstmodeller

92

5.5 Logaritmefunktioner

94

5.6 Logaritmer og eksponentielle ligninger

96

5.7 Ræsonnementer og beviser

Indhold

98

Opgaver til kapitel 5

100

Træningssider 5

108

6. Proportionalitet

110

6.1 Ligefrem proportionalitet

110

6.2 Omvendt proportionalitet

112

Opgaver til kapitel 6

114

Træningssider 6

120

7. Funktioner

4

86

122

7.1 Parabler og koefficienter

122

7.2 Diskriminant og toppunktsformel

124

7.3 Nulpunkter

126

Opgaver til kapitel 7

128

Træningssider 7

132

8. Funktionsundersøgelse

134

8.1 Definitions- og værdimængde

134

8.2 Nulpunkter og fortegnsvariation

136

8.3 Monotoniforhold og ekstrema

138

Opgaver til kapitel 8

140

Træningssider 8

148

9. LĂĽn og opsparing

150

9.1 Opsparingsannuitet

150

9.2 Terminsindbetaling, rente og antal terminer

152

9.3 AnnuitetslĂĽn

154

9.4 Hovedstol, antal terminer og rentefod

156

9.5 Frem- og tilbageskrivning

158

9.6 Gennemsnitlig rente

160

9.7 Nominel og effektiv rente

162

Opgaver til kapitel 9

164

Facitliste

172

Indhold

5

Forord Denne bog præsenterer den første del af matematikken på den gymnasiale uddannelse hhx. Den kan bruges alene på C-niveau, eller som første del af undervisningen på B-niveau.

Matematik i opslag Sideopslagene indledes med en kort case, der introducerer det nye område med fokus på anvendelser, og indeholder teori, eksempler og øvelser. Der er facitliste til alle øvelser bagerst i bogen.

I mere end 100 screencasts uddybes forklaringerne til begreber, eksempler, formler, sætninger og beviser. En stjerne (*) markerer, at beviset for en sætning er placeret i afsnittet 'Ræsonnementer og beviser'.

Efter hvert kapitel er der opgaver, der følger kapitlets og bogens progression.

Mellem alle kapitler er der træningssider med små opgaver om regneoperationer, regnearternes hierarki, brøkregning og parentesregneregler mv.

At forstå matematik Alt, hvad man forsøger at lære, bliver forstået ved, at hjernen kobler det nye stof til de begreber, den allerede kender. Forståelse er knyttet til hjernens netværk af nerveceller.

Hjernen har 125 milliarder nerveceller, der hver er forbundet til 10 000 andre. Når man forstår noget, er der skabt forbindelser mellem hjernecellerne. Hjernen danner disse forbindelser helt ubemærket, mens man kæmper med at bruge det nye begreb på alle mulige måder, tænker over det, prøver det af i alle mulige forbindelser og situationer og tager noter, laver et minilex, regner øvelser og opgaver, forklarer ting til andre i små oplæg eller snakker om begreber og opgaver.

To typer forståelse Lad os se på de to grundlæggende typer forståelse instrumentel forståelse og relationel forståelse.

Instrumentel forståelse er en forståelse, hvor man (kun) ved, hvad man skal gøre for at løse en given problemstilling, men ikke rigtigt, hvorfor det virker. Den indledende forståelse af et nyt emne/matematisk område vil ofte være instrumentel. Forståelsen er ikke særlig dyb, fordi det nye stof (endnu) ikke er koblet til så mange andre begreber.

Man genkender måske x + 2 = 3 som "en ligning", men er usikker på, hvad en ligning egentlig er. Man tænker, at nu skal man det der med at "trække over på den anden side", og tager så 2-tallet og flytter over på den anden side, og skifter fortegn – sådan er reglen jo.

6

Forord

Og der skrives fx: x + 2 = 3, derefter: x = –2 + 3, derefter: x = 1 Relationel forståelse er en forståelse, hvor man har fundet ud af, hvordan ting hænger sammen.

Fx at x + 2 = 3 udtrykker en balance mellem to talstørrelser. Man ved nu, at det der med at "trække over på den anden side" er rent vrøvl!

Det, der sker, er i virkeligheden, at man trækker 2 fra på begge sider, fordi man derved ikke forstyrrer balancen, samtidigt med at man får isoleret x på den ene side. Man skriver måske nøjagtigt det samme ned på papiret, som man gjorde tidligere, men nu med en dybere forståelse. Man ville nu kunne argumentere for metoden, hvis man blev spurgt.

Gå efter den relationelle forståelse Der er mange fordele ved at opbygge en relationel forståelse af matematik. Blandt andet er det smart at kunne forklare andre (en kammerat, en lærer – eller en censor ...), hvordan en bestemt metode virker.

Den største fordel er dog, at en relationel forståelse gør det lettere at koble nye begreber på netværket – og dermed lettere at lære nyt stof. Gamle og nye elementer kan så indgå i en sammenhæng, der giver mening.

Hvilken bogstavrække tror du for eksempel, du bedst vil kunne huske?

• "aekljtgjkltvtbtwertbrt" • "prøvathuskedetteher" Den effektive måde at skabe stærke forbindelser mellem begreber er ved aktivitet. Så man skal spørge, svare, forklare, regne, tegne og bruge masser af krussedullepapir, hvor tankerne flyder, mens man skriver og tegner, hvad man mener, opgaven går ud på. Krussedullepapiret smides ud, når man har forstået det, man skulle. Krussedullepapiret er et frirum, hvor man kan udtrykke sig mere kreativt end på computeren, og man kan med fordel tænke i at have begge dele klar, når der skal arbejdes med matematikken.

Nye begreber sidder ikke ordentlig fast, hvis du kun lytter eller læser. Du skal være i målrettet aktivitet.

God fornøjelse med bogen.

Henrik og Per

Forord

7

1. Modeller og variable 1.1 Modeller med én variabel 1 Introduktion Der skal købes is til en klasse.

Hvis der er 30 elever, og stykprisen er 25 kr., bliver udgiften 30 · 25 kr. = 750 kr.

Hvis der er n elever, bliver udgiften i kr. n · 25.

Udgift i kr. = 25 · n Variabel Bogstavet n er her brugt som variabel for antal elever.

En variabel er en størrelse, som kan antage forskellige værdier.

Ved at indføre en variabel kan vi nu regne på forskellige muligheder.

2 Eksempel En elev har 300 kr. og vil gerne give is, der koster 12 kr. pr. styk til hele klassen.

Hvor mange elever må der højst være i klassen den dag?

Det svarer til at spørge: Hvad kan n være, for at 12 · n = 300 .

Dette er et eksempel på en ligning.

Det viser sig, at 12 · 25 = 300. Dvs. ligningen har løsningen n = 25.

Der må, med andre ord, højst være 25 elever i klassen den dag.

3 Eksempel En lærer vil give is til 15 kr. pr. styk. til de elever, der kommer til tiden en mandag morgen. Hvad vil det koste?

Igen lader vi n stå for antal elever, og formlen til beregning af udgiften i kr. er: 15 · n = udgift.

Her er udgiften i kr. udregnet for forskellige værdier af n: n

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Udgift

240

255

270

285

300

315

330

345

360

375

390

405

420

435

450

For at kunne regne på sammenhænge fra virkeligheden indføres variable, og herefter beskrives deres sammenhænge med symbolsprog.

I matematikken bruger man ofte bogstavet n som variabel, når det tal, som n betegner, er et helt tal.

De hele tal er tallene …, –2, –1, 0, 1, 2, … og denne talmængde har symbolet .

I arbejdet med ligninger er det dog mere almindeligt at bruge bogstavet x som pladsholder. Talmængden bestående af alle tal kaldes ”de reelle tal”, og symbolet er .

8

1. Modeller og variable

4 Eksempel En 1.g’er er 15 år og vil holde en rund fødselsdag sammen med sin 6 år ældre bror.

Hun indfører nogle variable og opstiller en sammenhæng for at finde ud af, hvor gammel hun vil være, når de fylder 40 år tilsammen: Hendes egen alder benævnes x.

Hendes brors alder er dermed x + 6.

Deres samlede alder er x + x + 6 = 2x + 6 Hun sætter nu 40 lig med 2x + 6 (som var deres samlede alder).

Det giver ligningen 40 = 2x + 6.

Løsningen til ligningen er x = 17. De må altså vente, til 1.g’eren er 17 år.

5 Den matematiske modelleringsproces Det er en god ide at lade x betegne den

Problemstilling

størrelse, man skal bestemme.

Matematisk beskrivelse ’ligning med x'

I eksempel 4 var problemstillingen at bestemme 1.g’erens alder, derfor betegnede vi hendes alder med x. Herefter skal de

Tolkning af x i forhold til problemstillingen

Matematisk løsning ’talværdi af x’

øvrige oplysninger udtrykkes ud fra x.

6 Øvelse En elev har 125 kr. og vil give is i en klasse, hvor der er 25 elever. a. Opstil en ligning, der kan bruges til at finde ud af, hvad isene må koste. b. Løs ligningen.

7 Øvelse En person har en 4 år ældre storesøster. Hvor gammel er søsteren, når: a. Personen er 15 år? b. Personen er x år?

8 Øvelse Din hund er 8 år yngre end dig, og du overvejer at fejre jeres ”tilsammen 30-års fødselsdag”. a. Indfør en variabel for din alder målt i år. b. Udtryk hundens alder ud fra variablen. c. Udtryk summen af jeres aldre og forkort udtrykket, så variablen kun optræder et sted. d. Opstil en ligning og løs den. e. Hvor gammel er du, og hvor gammel er hunden, når I kan fejre 30-års fødselsdag sammen?

1. Modeller og variable

9

1.2 Ligninger og deres løsninger 9 Introduktion Disse to kvinder er i perfekt balance. En matematisk ligning udtrykker også en perfekt balance.

10 Definition Et lighedstegn er et symbol ’=’, der viser, at talstørrelserne på hver side af tegnet er ens. En ligning er to talstørrelser skrevet på hver sin side af et lighedstegn. Talstørrelserne kan være sammensat af tal og bogstaver. Typisk bruges et x for en ubekendt.

En løsning er et tal, der gør ligningen sand, når det indsættes på x's plads.

11 Eksempel 2x = 10 er en ligning, for der er et lighedstegn og talstørrelser på hver side.

Vi påstår, at ligningen har løsningen 5.

Det kan vi teste ved at indsætte 5 på x’s plads og kontrollere, om lighedstegnet kommer til at passe: 2 · 5 = 10 10 = 10 Vi er nu kommet frem til noget, som åbenlyst er sandt: 10 er lig med 10.

Dermed har vi vist, at 5 er en løsning.

I dette eksempel blev det påstået, at tallet 5 var en løsning, og det blev kontrolleret, at det var sandt. Denne metode har en række ulemper: Det kan nemlig være svært at gætte en løsning, og der kan være flere løsninger end den gættede.

For at finde frem til en løsning på en mere systematisk måde, kan man omforme ligningen, så man får x til at stå alene på den ene side af lighedstegnet. Det kaldes at isolere x. Når man isolerer x, er det vigtigt at huske, at en ligning er en balance. For at opretholde balancen, skal man altid gøre det samme på begge sider af lighedstegnet.

12 Eksempel Vi løser ligningen 3x + 8 = –x – 4 3x + x + 8 = –x + x – 4 4x + 8 = –4 4x + 8 – 8 = –4 – 8

1. Modeller og variable

Ligningen er reduceret.

8 er trukket fra på begge sider.

4x = –12

Ligningen er reduceret.

4 x −12 = 4 4

Begge sider er divideret med 4.

x = –3

10

x er lagt til på begge sider.

Løsningen er altså –3.

Man kan også løse ligninger grafisk ved at indtegne dem i et koordinatsystem.

13 Eksempel

y 7

Løsningen på ligningen 2x – 3 = 5 findes ved at aflæse x-værdien til

6

skæringspunktet mellem linjen y = 5 og linjen y = 2x – 3.

5

Det ses, at graferne skærer hinanden, når x = 4. Så x = 4 er løsning

4

til ligningen 2x – 3 = 5.

3 2 1 –1

1

2

3

4

5

6

7 x

3

4

5

6

7

8 x

–1

Ligninger kan også løses ved hjælp af et Computer Algebra System, hvilket forkortes CAS. Der er flere forskellige CAS-programmer, og deres skrivemåder (syntax) er lidt forskellige.

14 Eksempel Ligningen 2x + 14 = 2 – 4x kan, i nogle CAS-programmer, løses med kommandoen: solve(2x+14=2–4x,x) Programmet vil returnere noget i stil med: x = –2 Det betyder, at løsningen til ligningen netop er –2.

15 Øvelse a. Vis, at x = 2 er en løsning til ligningen 4x = 8. Argumenter som i eksempel 11. b. Vis, at x = 5 ikke er en løsning til ligningen 4x = 8.

16 Øvelse Løs ligningerne ved omformning og derefter med CAS. a. 4x – 2 = 18 b. 1 + 4x = 2 + 3x c. 3x + 1 = 2x

17 Øvelse

y 7

På figuren ses graferne for y = –0,5x + 4 og y = x + 1.

6

a. Aflæs løsningen til ligningen –0,5x + 4 = x + 1.

5

b. Kontroller ved indsættelse, at løsningen er rigtig.

4 3 2

18 Øvelse

1

a. Opskriv en ligning, der har tallet 3 som løsning.

–1

1

2

1. Modeller og variable

11

1.3 Overslagsregning og principskitser 19 Introduktion Et firma sælger vand på flaske. De har brug for en vurdering af, hvor meget væske man indtager på et helt liv. De laver en overslagsberegning: • Væskeindtag = dagligt indtag · antal levedage.

• Dagligt indtag: 2 liter.

• Der er 365 dage på et år og 36500 dage på 100 år.

Dette afrundes til 35000 dage.

Væskeindtag = 35 000 dage · 2 liter pr. dag = 70 000 liter.

Overslagsregning Overslagsregning handler om at regne sig frem til et kvalificeret gæt på størrelsen af noget, uden at have adgang til hjælpemidler. Man kan strukturere processen ved at: • vælge nogle størrelser, som man mener, svaret afhænger af • bygge en formel, som viser, hvordan man skal regne med disse størrelser • gætte kvalificeret på nogle afrundede værdier af hver størrelse • beregne et cirka-svar på spørgsmålet • vurdere svaret: Virker cirka-svaret fornuftigt i forhold til spørgsmålet, eller skal formlen og/eller nogle af de kvalificerede gæt på talværdierne laves anderledes?

20 Eksempel Hvor lang tid tager det at tælle til 1 milliard?

Vi vil vurdere, hvor mange tal der kan tælles pr. time, og hvor mange timer om dagen man kan tælle.

• Det tager omkring 6 sekunder pr. tal, så man kan nå 10 pr. minut og dermed 600 pr. time.

• Vi regner med, at man kan tælle 10 timer hver dag.

Antal tal pr. dag = 10 timer · 600 tal pr. time = 6 000.

Der er cirka 1 000 dage på tre år, hvor der så vil kunne tælles 1000 · 6000 = 6 000 000, altså 6 millioner tal.

Det vil sige, at man kan nå 600 mio. tal på 300 år, og så er vi kun lidt over halvvejs.

Et menneske kan altså ikke nå at tælle til 1 milliard på et helt liv.

I de to indledende eksempler er der truffet en lang række valg, som indvirker på beregningerne.

Usikkerhedsvurdering Det er relativt let at få et indtryk af usikkerheden ved en overslagsberegning.

Man kan fx prøve at regne det hele igennem med let ændrede tal.

12

1. Modeller og variable

21 Eksempel I modellen for hvor lang tid det tager at tælle til 1 milliard, kan vi ændre tælletiden pr. tal. Måske tælles der hurtigere eller langsommere end 6 sek. pr. tal.? Husk at 90 % af tallene er større end 100 000 000. Prøv selv at tælle et minut, hvor du starter ved 143 736 415 (et hundrede tre og fyrre millioner syvhundrede seks og tredive tusind fire hundrede og femten). Måske mener du, at man ikke kan tælle 10 timer nonstop pr. dag 7 dage om ugen, og vil indføre lidt pauser og ferier osv.

Principskitser En principskitse viser en overordnet sammenhæng mellem nogle størrelser.

22 Eksempel I økonomien taler man ofte om udbuds- og efterspørgselskurverne. Bemærk, at Pris

mængde er afsat ud ad førsteaksen og pris op ad andenaksen. Udbudskurven U er

E

U

den røde opadgående kurve på figuren.

Kurven skal ikke aflæses præcist. Den viser en principiel sammenhæng: ”jo lavere pris – jo større udbud”.

Antal

23 Eksempel Kurven viser sammenhængen mellem alder og højde for et menneske. På tidspunktet 0 fødes vi med en given længde. Herefter stiger højden, efterhånden som

Højde

tiden går, og på et tidspunkt omkring gymnasietiden stopper højdevæksten.

I alderdommen falder man lidt sammen.

24 Øvelse a. Gennemfør en overslagsberegning af væskeindtaget fra introduktionen med

Alder

nogle antagelser, du mener også godt kunne være rigtige. b. Beregn forskellen mellem dit resultat fra a. og de 70000 liter fra introduktionen.

Denne forskel er et godt bud på usikkerheden i beregningen.

25 Øvelse Tegn principskitser for: a. Sammenhængen mellem alder og vægt for et menneske. b. Sammenhængen mellem alder og årsløn for et menneske.

26 Øvelse a. Giv et argument for, at den blå efterspørgselskurve fra eksempel 22 er nedadgående.

27 Øvelse a. Hvor lang tid tager det at gå 5 kilometer? b. Hvor mange skridt tager man, når man går 1 kilometer? c. Hvor lang tid tager det at køre 5 kilometer gennem en by?

1. Modeller og variable

13

1.4 Modeller med to variable 28 Introduktion En person drømmer om at åbne en cafe. Han starter med at arbejde hos en ven, og han får 15 kr. pr. kop kaffe, han sælger.

Hans indtægt pr. dag er en funktion af, hvor meget han sælger pr. dag.

Sælger han 20 kopper, tjener han 300 kr.: 20 · 15 kr. = 300 kr.

Vi kunne have lavet en principskitse for, hvordan hans indtjening stiger, for hver kop han sælger. Nu vil vi imidlertid beskrive mere præcist, hvordan to variable kan afhænge af hinanden. Vi starter med at se på de variable, der er i spil i cafe-eksemplet.

29 Eksempel Vi indfører to variable: x betegner det antal kopper, han sælger pr. dag. y betegner hans samlede indtægt i kr. pr. dag. x

y

I tabellen her har vi indsat en række valgte tal i x-kolonnen.

0

Dvs. vi har udvalgt nogle forskellige antal solgte kopper, for

1

at regne på forskellige tilfælde.

5 10 50

Når x-værdierne er valgt, kan y-værdierne beregnes.

0 kopper: 15 · 0 = 0 1 kop: 15 · 1 = 15 5 kopper: 15 · 5 = 75, osv. x

y

0

0

1

15

5

75

10

150

50

750

I tabellen her er y-værdierne sat ind.

Da der kun er én y-værdi til hver x-værdi, siger man, at ”y er en funktion af x”.

Det kan man også skrive således: ”y = f(x)”.

Funktionen, der ligger bag tallene i tabellen, er altså y = f(x) = 15x eller blot f(x) = 15x.

14

1. Modeller og variable

30 Definition En funktion er en sammenhæng mellem to variable størrelser: en uafhængig, som vi kalder x, og en, der afhænger af x, som vi kalder f(x) eller y. Sammenhængen beskrives med en regneforskrift, tabel, graf eller tekst. Til ét x må kun være ét f(x).

Grafen for en funktion er mængden af punkter (x,y), der opfylder, at y = f(x).

Det betyder, at en given y-værdi fremkommer som funktion af en x-værdi.

Vi har allerede set tre repræsentationer af den samme funktion.

Sprogligt: Værdien af y er 15 gange værdien af x.

Med en regneforskrift: f(x) = 15x Med en tabel i eksempel 29.

Den fjerde repræsentationsform – den grafiske – ser vi på nu.

Vi minder først om et par ting ved koordinatsystemet. y-aksen 4

31 Definition

3

Et koordinatsystem består af to akser, en vandret (første-

2. kvadrant (– , +)

aksen) og en lodret (andenaksen). Normalt kaldes den vandrette akse x-aksen og den lodrette akse y-aksen.

1 -4

-3

-2

-1

1 -1

Akserne skærer hinanden i punktet (0,0), og akserne ind-

3. kvadrant (– , –) -2

deler planen i fire kvadranter.

1. kvadrant (+ , +)

2

2

3

4

5 x-aksen

4. kvadrant (+ , –)

-3

y

32 Eksempel Til højre ses grafen for funktionen f(x) = 15x.

Bemærk, at enhederne på de to akser er valgt forskelligt – ellers bliver grafen meget stejl.

10

33 Øvelse a. Hvilke to kvadranter løber grafen igennem?

-1

1

x

-10

34 Øvelse En funktion har regneforskriften f(x) = 3x a. Udfyld en tabel som den viste x f(x)

–1

0

1

2

3

35 Øvelse a. Tegn grafen for funktionen f(x) = 2x – 3 i et CAS-program.

1. Modeller og variable

15

2. Lineære funktioner 2.1 Lineær vækst 1 Introduktion Et firma udlejer telte og borde til havefester. Det koster 2000 kr. i faste udgifter, og derefter koster det 50 kr. pr. gæst.

Det giver en lineær sammenhæng mellem den samlede pris i kr. og antal gæster til festen.

Hvis x er antal gæster, og f(x) er prisen (i kr.), kan denne lineære sammenhæng beskrives ved funktionen f(x) = 50x + 2000.

2 Definition En lineær funktion har en regneforskrift af typen f(x) = ax + b, hvor a og b er reelle tal. y 3500

3 Eksempel

3000

f

2500

I tabellen ses prisen beregnet for forskellige antal gæster. På figuren er

2000

grafen for funktionen tegnet i intervallet [0;20].

1500 1000 500 0

5

10

15

x

20

x f(x)

0 2000

1 2050

2 2100

3 2150

10 2500

Bemærk at f (0 ) = 2000, svarende til at prisen ved 0 gæster er 2000 kr.

Bemærk også, at f(x) vokser med præcis 50, når x vokser med 1, svarende til at prisen vokser med 50 kr. pr. gæst.

4 Sætning I en lineær funktion vokser f(x) med et fast tal, hver gang x vokser med et fast tal. Grafen for en lineær funktion er en ret linje. y

5 Eksempel 7

En høj person tager lange skridt, når han går. Hver gang han tager ét skridt,

6

kommer han 1,5 meter frem.

5

Vi kan modellere sammenhængen mellem skridt og afstand med funktionen

4

1,5

f(x) = 1,5x, hvor x er antal skridt, og f(x) er afstanden i meter.

3 1 2 1 1

24

2

3

4

5

6

x

2. Lineære funktioner

x f(x)

0 0

1 1,5

2 3

3 4,5

4 6

5 7,5

Bemærk, at en x-tilvækst på 1 enhed giver en f(x)-tilvækst på 1,5 enhed.

Det er netop betydningen af konstanten a.

I tabellen ses det ved, at når x-værdierne vokser 1, så vokser f(x) værdierne med 1,5.

6 Matematisk modellering af lineære forhold I situationer, hvor et eller andet vokser eller aftager med en bestemt værdi, når noget andet vokser med 1 (fx et beløb, der stiger, hver gang du køber en liter benzin mere, en afstand, der bliver større, hver gang du tager et skridt mere, osv.), kan situationen modelleres med den lineære funktion f(x) = ax + b.

Det første skridt er at indføre variable og oversætte den virkelige problemstilling til matematisk symbolsprog.

7 Eksempel På en given crosstrainer forbrændes 60 kJ pr. minut.

Vi sætter variablen x til antal minutter, og f(x) til den samlede forbrænding i kJ. Den samlede forbrænding kan nu modelleres med funktionen f(x) = 60x, hvor tallet 60 er det antal kJ, forbrændingen vokser med, hver gang der går et minut.

Vi har antaget, at der trænes med en konstant intensitet.

8 Eksempel Hvis der allerede var forbrændt 210 kJ på opvarmningen, og vi gerne ville regne opvarmningen med i den samlede forbrænding, bliver funktionen f(x) = 60x + 210, idet vi blot lægger de 210 til.

9 Øvelse a. Udfyld resten af tabellen for f(x) = 3x + 1 b. Tegn grafen for f.

x

–1

0

f(x)

–2

1

1

2

3

10 Øvelse Opstil regneudtryk for lineære funktioner, der kan være matematiske modeller for følgende situationer: a. Prisen for småkager er 3 kr. pr. styk købt hos en bager, hvor x er antal kager, og f(x) er den samlede pris. b. Prisen for et givent antal liter benzin til 10,50 kr. pr. liter købt på en tankstation. c. Afstand gået af en person med en skridtlængde på 1,2 m, der har taget et givent antal skridt. d. Vandmængden i et badekar, hvor der er 200 liter i starten, hvorefter der løber 5 liter ud, for hvert minut der går.

2. Lineære funktioner

25

2.2 Beregning af a og b 11 Introduktion En klasse vil spare op til en vandretur i Norge. Efter 2 måneder har de 800 kr. i klassekassen, og efter 7 måneder har de 2 200 kr.

Hvis de fortsætter med den samme opsparingshastighed, hvor mange penge har de så efter 18 måneder (dvs. midt i 2.g)?

Inden klassekassens saldo bestemmes, vil vi se på nogle nyttige

y

sætninger.

2.800 2.400 2.000

Vi starter med at se på, hvordan man kan bestemme en regne-

(7,2200)

1.600

forskrift for en lineær funktion, ud fra koordinaterne til to punkter

1.200

på grafen.

800 (2,800)

400 1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

10

12* Bestemmelse af hældningskoefficienten a Hvis to forskellige punkter ( x1 ,y1) og ( x2 ,y2) ligger på grafen for en lineær funktion f(x) = ax + b, kan hældningskoefficienten a beregnes med formlen: y −y

a = x 2 − x1 2 1 y 6 5

13 Eksempel

4

Grafen for en lineær funktion går gennem punkterne ( x1 ,y1) = (2,3) og

3

( x2 ,y2) = (6,5). Vi beregner hældningskoefficienten:

2

a=

1

–1

1

2

3

4

5

6

7

x

y 2 − y1 5 − 3 1 = = x 2 − x1 6 − 2 2

Hældningskoefficienten er dermed a =

1 2

Når hældningskoefficienten a er beregnet, kan konstanten b beregnes ud fra følgende sætning:

14* Bestemmelse af konstantleddet b Når a er kendt, og punktet ( x1 ,y1) ligger på grafen for den lineære funktion f (x) = ax + b, kan konstantleddet b beregnes med formlen: b = y1 – ax1

26

* Stjernen markerer, at beviset for en sætning findes i afsnittet 'Ræsonnementer og beviser'.

15 Eksempel 1

I eksempel 13 beregnede vi hældningskoefficienten til 2 . Vi vil nu beregne konstanten b for denne funktion. Vi vælger derfor et tilfældigt kendt punkt på grafen, eksempelvis (2,3), og indsætter det i formlen i sætning 14: b = y1 – ax1 = 3 –

1 2

·2=3–1=2

Konstanten b er altså 2.

Konstanterne a og b i forskriften for den lineære funktion, hvis graf går gennem punkterne ( x1 ,y1) = (2,3) og ( x2 ,y2) = (6,5), er altså a = 1 2

1 2

og b = 2. Dermed er forskriften

f(x) = x + 2.

16 Øvelse Beregn konstanterne a og b for de rette linjer, der går gennem de angivne punkter: a. (1,3) og (4,9) b. (3,5) og (5,17)

17 Øvelse a. Beregn hældningskoefficient og konstantled for den lineære funktion, hvis graf går gennem punkterne (1,7) og (4,22). b. Beregn konstantleddet for en ret linje, der har hældningen a = 3 og går gennem punktet (5,7). c. Bestem forskriften for den lineære funktion, hvis graf går gennem (–1,0) og (1,4).

18 Øvelse a. Beregn konstanterne a og b for klassens opsparingsfunktion i eksempel 11. b. Bestem regneforskriften for klassens opsparing som funktion af antal måneder, siden de startede. c. Benyt regneforskriften til at bestemme, hvor mange penge de har sparet op efter 18 måneder.

19 Øvelse Prisen for en tur med en bestemt cykeltaxa er en lineær funktion af antal kørte km. En tur på 2 km koster 35 kr., og en tur på 5 km koster 65 kr. Antal kørte km betegnes x og prisen i kr. for turen betegnes f(x). Regneforskriften for f(x) er af typen f(x) = ax + b. a. Brug oplysningerne til at beregne konstanterne a og b. b. Hvor meget koster taxaturen pr. km? c. Bestem taxaens startpris. d. Kan man køre en tur på 10 km for 120 kr.?

2. Lineære funktioner

27

2.3 Lineære modeller 20 Introduktion En ægproducent anslår, at en økologisk høne kan lægge 306 æg om året.

Hvor mange æg kan x økologiske høns så lægge? Vi vil opstille en model for dette, og bruge modellen til at besvare forskellige spørgsmål.

21 Lineære modeller En lineær model kan tegnes som en ret linje og opskrives symbolsk som y = ax + b eller f(x) = ax + b.

22 Eksempel 5 000

Vi vil opstille en lineær model for, hvor mange æg man kan få ved varierende Antal æg pr. år

antal økologiske høns. Først vælger vi de variable:

4 000 3 000

Den ene variabel kaldes x og angiver antallet af økologiske høns i hønsehol-

2 000

det. Den anden variabel kaldes f(x) og betegner det samlede antal æg pr. år.

1 000

Vi antager, at alle høns lægger det samme antal æg om året. Når antallet af høns ganges op, vokser antallet af æg med samme faktor. Så hvis man ved, 2

4

6

8

10 12 Antal høns

at en høne kan lægge 306 æg om året, kan 2 høns lægge 2 · 306 = 612 æg om året, og x høns kan lægge x · 306 æg om året.

a. Vi får dermed følgende model f(x) = x · 306 Skrevet på formen f(x) = ax + b bliver det f(x) = 306 · x eller kort: f(x) = 306x b. Modellen kan bruges til at forudse, hvor mange æg man vil få om året med 10 høns: f(10) = 306 · 10 = 3060. Altså 3060 æg om året. c. Modellen kan også bruges til at løse problemer: Hvor mange høns skal man have for at få en årlig produktion på 5000 æg?

Her drejer det sig om at løse ligningen: 5000 = 306x 5000 = 306x

Ligningen, der skal løses.

5000 = x 306

Der er divideret med 306 på begge sider.

x = 16,33

Brøken er beregnet og afrundet.

Det er altså nødvendigt med 17 høns for at få 5000 æg om året. (Der findes ikke brøkdele af en høne, så vi må op på 17 hele høns for at være sikre).

Modellen med ægproduktionen hos de økologiske høns er erfaringsbaseret, fordi det ikke er en naturlov, at en høne lægger 306 æg om året. Det er en observation.

I modsætning hertil står de mere teoretiske modeller.

28

2. Lineære funktioner

23 Definition En model, der udelukkende opstilles på baggrund af teori, matematik og logik, kaldes en teoribaseret model.

24 Eksempel O=π·d

Vi vil opstille en model for omkredsen O af en cirkel som funktion af diameteren d.

Fra definitionen af tallet π ved vi, at dette tal netop er forholdet mellem omkreds og diameter: π = O d

πd =

O ⋅d = O d

Vi isolerer d: d

Vi ganger med d på begge sider.

Vores model bliver så O = π · d som er en lineær model med d som uafhængig variabel og O som den afhængige variabel.

25 Øvelse a. Brug modellen O = π · d, hvor O er omkreds, og d er diameteren, til at beregne omkredsen af et racercykelhjul, hvor diameteren er 64 cm.

26 Øvelse En flade har form som et kvadrat, men sidelængden kan variere, så den betegnes med en variabel x.

x

a. Opstil en model for omkredsen O af fladen udtrykt ved sidelængden x. b. Er modellen lineær? x

27 Øvelse En have har form som et rektangel. Længden af den korte side er konstant 5 m, mens længden af den lange side kan variere.

5

a. Opstil en model for omkredsen O af haven udtrykt ved sidelængden af den aflange side x. b. Er modellen lineær?

x

28 Øvelse I gennemsnit forbrænder en voksen 0,15 promille alkohol pr. time. a. Opstil en matematisk model for den samlede alkoholpromille, f(x), der bliver forbrændt som funktion af tiden, x, målt i timer. b. Brug modellen til at bestemme, hvor lang tid det tager at forbrænde 1 promille.

29 Øvelse På en indisk restaurant er der et grundgebyr på 75 kr. pr. person, og herefter betaler man 15 kr. pr. 100 gram mad, der bestilles. a. Opstil en model over den samlede pris pr. person som funktion af antal hundrede gram, der bestilles. b. Benyt modellen til at beregne, hvor mange gram der kan bestilles, hvis man har 150 kr.

2. Lineære funktioner

29

2.4 Lineær regression 30 Introduktion Vi vil gerne opstille en model for udviklingen af aktiekursen for cafekæden Starbucks. Vi har en formodning om, at en lineær model er god, men hvordan kan vi undersøge det?

31 Empiriske modeller En model, der opstilles på baggrund af målte data, kaldes en tilpasset model eller en empirisk model. En tilpasset model kan i nogle tilfælde bruges som en forenklet fremstilling af en sammenhæng mellem to variable.

32 Eksempel En undersøgelse af antallet af bævere i forskellige naturområder viser følgende sammenhæng mellem områdets areal og antal bævere:

Aktiekurs 40

År efter 2009 30

Aktiekurs $

0

1

2

3

4

5

7,26

12,18

20,10

26,66

32,76

38,96

20

Vi har tegnet tabellens værdier ind som punkter i et koordinatsystem og

10

ser, at punkterne med tilnærmelse følger en ret linje.

1

2

3

4 5 År efter 2009

Når en række datapunkter som her grupperer sig tilfældigt omkring en ret linje, og afvigelserne er små og usystematiske, kalder man sammenhængen tilnærmelsesvis lineær.

33 Lineær regression En mere præcis modelbeskrivelse af punkterne i eksempel 32 kan skaffes ved lineær regression. Ved lineær regression vil et CAS-værktøj udregne ligningen for den linje, der passer bedst muligt med punkterne.

34 Eksempel Aktiekurs

Figuren viser resultatet af en lineær regression udført på tallene ovenfor.

40

Regressionsmodellen er f(x) = 6,48x + 6,79, hvor x er antal år efter 2009, 30

og f (x) er aktiekursen i $. Ud fra det kan vi fx konkludere, at aktiekursen i

20

f(x) = 6,48x + 6,79

gennemsnit er vokset med 6,48 $ om året i perioden fra 2009 til 2014.

Vi kan også bruge modellen til at komme med en prognose, dvs. en forud

10

sigelse om, hvordan aktiekursen vil udvikle sig i fremtiden. I 2025 (svarende 1

2

3

4 5 År efter 2009

til x = 16) bliver det f(9) = 6,48 · 9 + 6,79 = 110,5.

Aktiekursen i år 2025 vil være 110,5 $ ifølge modellen.

30

2. Lineære funktioner

Man skal dog altid være meget forsigtig med at bruge denne slags modeller til forudsigelser, for det er langt fra sikkert, at udviklingen vil fortsætte på nøjagtig samme måde.

35 Determinationskoefficient Når man udfører en lineær regression med

25

25

et CAS-værktøj, bliver man oftest præsenteret

20

20

for to tal, som kan bruges til at vurdere, hvor

15

15

god den lineære model er. De to tal er

10 5

korrelationskoefficienten R og

5

10

15

5

25

25

20

20

R og R2. Jo tættere punkterne er på at ligge

15

15

10

på en ret linje, jo tættere er R på 1. Hvor tæt

5

2

R skal være på 1, for at man kan konkludere,

10

R = –0,69 R = 0,48 5

10

15

10

15

20

10

15

20

R = –0,34

5

2

at modellen er god, afhænger af, hvad det

R2 = 0,86

20

datasæt, og deres tilhørende værdier for 2

R = –0,93

5

R2 = 0,96

determinationskoefficienten R2.

De fire figurer er punktplot af fire forskellige

10

R = –0,98

R2 = 0,12

20

5

er, man helt konkret modellerer.

36 Øvelse Ud over at se på om R2 er tæt på 1, skal man også altid se på punktplottet. Se fx

12

R = 0,975

10

R2 = 0,951

på dataene, der er plottet i figuren i margenen. Her er R 2 = 0,951, men hvis man

8

ser på punkterne, kan man tydeligt se, at den lineære model ikke er god!

6

Punkterne ser ud til at ligge omkring en krum linje.

4 2 2

4

6

8

10

37 Øvelse Et band har lagt en musikvideo på YouTube og har registreret udviklingen i antal afspilninger i ugerne efter upload. Vi antager i første omgang, at udviklingen er lineær.

Uger efter upload Tusind afspilninger

0

1

2

3

4

5

6

7

8

140

192

241

284

328

367

401

430

451

a. Lav lineær regression på alle tabellens tal og bestem derved a og b. b. Angiv korrelationskoefficienten R og determinationskoefficienten R2. c. Lav et punktplot af dataene og regressionslinjen sammen. d. Giv en samlet vurdering af den lineære model ud fra R2 og plottet.

2. Lineære funktioner

31

2.5 Grafisk løsning af førstegradsligninger og -uligheder 38 Introduktion En biograf får ny ledelse. De griber tingene videnskabeligt an, og begynder straks at lave en model for efterspørgslen.

På baggrund af kundeundersøgelser har de fundet ud af, at ingen gider se film y

hos dem, hvis de hæver prisen til 200 kr. pr. billet, og at hvis de sætter prisen til

220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

0 kr., ville der være 1000 besøgende. De antager, at sammenhængen mellem pris og antal er lineær. f

39 Eksempel Hvis x er antal besøgende, og f(x) er prisen i kr., er efterspørgslen beskrevet ved funktionen f (x) = –0,2x + 200. Se grafen i margenen.

200

400

600

800

1000 x

40 Eksempel

y 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

Ledelsen har også regnet på udbuddet. Økonomien skal hænge sammen, og de finder frem til følgende udbudsfunktion g(x) = 0,3x, hvor 100 ≤ x ≤ 800.

Her er x det antal billetter, biografen udbyder, og g (x) er prisen. g

Hvis biografen kan få fx 180 kr. pr. billet, vil de udbyde 600 billetter.

Se grafen i margenen.

200

400

600

800

1000 x

41 Eksempel I økonomien er det en modelantagelse, at hvis der er fri konkurrence, fuld prisinformation hos alle, og alle handler rationelt, så vil prisen dannes, dér hvor udbud møder efterspørgsel.

y 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

Rent matematisk kan det gøres ved at løse ligningen f(x) = g(x) ved beregning, men det kan også gøres ved at aflæse de to grafers skæringspunkt. Vi kan se, at de skærer hinanden i punktet (400,120). Ud fra det kan vi konkludere, at ligevægtsprisen er 120 kr. pr. billet, og at biografen ved denne pris

g

vil sælge 400 billetter.

200

400

600

800

1000 x

42 Definition En ligning, hvor talstørrelsen på hver side af lighedstegnet kan opfattes som en lineær funktion, kaldes en lineær ligning.

43 Eksempel 3x – 8 = –0,5x + 2,5 er et eksempel på en lineær ligning. Vi kan nemlig opfatte venstre side som f(x) = 3x – 8 og højre side som g(x) = –0,5x + 2,5.

Begge er lineære funktioner.

32

2. Lineære funktioner

44 Bemærkning Grafisk løsning af en førstegradsligning foregår ved, at talstørrelsen på hver side af lighedstegnet opfattes som en funktion, hvis graf derefter tegnes.

Når en ligning løses grafisk, er skæringspunktets x-koordinat løsningen til ligningen.

y 3

45 Eksempel

1

funktionerne f(x) = 3x – 8 og g(x) = –0,5x + 2,5 i samme koordinatsystem. Vi kan nu aflæse skæringspunktets x-koordinat til x = 3. Ligningen har altså løsningen x = 3.

f

g

2

Løsningen på ligningen 3x – 8 = –0,5x + 2,5 findes ved først at tegne graferne for

–1

1

2

3

4

x

5

–1

46 Definition Et nulpunkt for en funktion f er en løsning til ligningen f(x) = 0. y

Grafisk findes nulpunkter som grafens skæring med x-aksen

3

47 Eksempel

f

g

2

Funktionen g(x) = –0,5x + 2,5 har nulpunktet x = 5.

1

48 Bemærkning

–1

1

2

3

4

5

6 7

8

x

–1

Grafisk løsning af førstegradsuligheder foregår ved, at talstørrelsen på hver side af ulighedstegnet opfattes som en funktion, hvis graf derefter tegnes.

Når en ulighed løses grafisk, bestemmes først skæringspunktets x-koordinat. Talstørrelserne på hver størrelse af ulighedstegnet er y-værdier, så løsningen findes som det interval på x-aksen, hvor y-værdierne passer med ulighedstegnet.

49 Eksempel

y

Vi vil løse uligheden 2x – 1 > –x + 5 Vi tegner graferne for de to funktioner f(x) =2x – 1 og g(x) = –x + 5.

5

Vi kan nu aflæse skæringspunktets x-koordinat til x = 2.

3

Vi ser i koordinatsystemet, at grafen for f(x) ligger over grafen for g(x), når x > 2

2

(markeret med rødt på x-aksen).

Løsningsmængden er det interval, vi har markeret med rødt. Dvs. ]2;∞[.

f

4 g

1 –1 –1

1

2 3 4

5

x

Øvelse 50 Biografen fra indledningen finder ud af, at det er mere realistisk med efterspørgselsfunktionen f(x) =-0,2x+160 og udbudsfunktionen g(x) = 0,4x-20. a. Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem. b. Bestem ligevægtsprisen på biografbilletterne. c. Hvor mange billetter bliver der solgt ved denne pris?

Øvelse 51 a. Løs uligheden x + 2 < –x + 6 grafisk.

2. Lineære funktioner

33

2.6 Stykkevis lineære funktioner, definitionsmængde og værdimængde 52 Introduktion Et grossistfirma sælger kaffe til restauranter og cafeer efter følgende priser: 0-10 kg: 100 kr./kg, 10-20 kg: 50 kr./kg, over 20 kg: 25 kr./kg.

Da der er 3 forskellige priser, som kommer i spil ved forskellige mængder, må vi bruge en funktion med 3 forskellige forskrifter. Hertil kan vi bruge en såkaldt stykkevist lineær funktion.

53 Definition En stykkevist lineær funktion er en funktion, hvis graf er opbygget af rette linjestykker. y

54 Eksempel

2

2x for x < 1 Funktionen f ( x ) = ⎧⎨ er stykkevist defineret. ⎩ − x + 3 for x ≥ 1 I CAS håndteres stykkevise funktioner lidt forskelligt.

f

1

–1

1

2

3

x

4

–1

55 Eksempel

–2

Priserne for kaffen i introduktionen kan modelleres med funktionen: for 0 < x ≤ 10 ⎧⎪100 x f ( x ) = ⎨50 x + 500 for 10 < x ≤ 20 ⎪25 x + 1000 for x > 20 ⎩

y 1500

f

1000

hvor x er antal kilo og f(x) er den samlede pris. Prisen på 30 kg kaffe kunne

500

aflæses grafisk, hvis vi enten havde tegnet den i stor opløsning på kvadreret 5

10

papir, eller hvis vi havde adgang til grafen via et CAS-program. Her vil vi i

25 30 x

15 20

stedet udregne den som f(30) = 25 · 30 + 1000 = 1750. Altså 1 750 kr.

56 Definition De tilladte tal x, som funktionen må bruges på, kaldes definitionsmængden.

Vi vil forkorte den Dm(f). y 5

57 Eksempel

f

4

Funktionen f(x) = –0,25x + 5,25, 1 ≤ x < 9 har definitionsmængden

3 2

Dm(f ) = [1 : 9[ . Tallet 1 er med i definitionsmængden, så intervalklammen

1

vender ”indad”. På grafen er det markeret ved, at der er sat en udfyldt ’bolle’ 1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

i den ende, der svarer til x = 1. Tallet 9 er ikke med i definitionsmængden, så intervalklammen vender ”udad”. På grafen er det markeret ved, at der er sat en tom ’bolle’ i den ende, der svarer til x= 9.

Definitionsmængden er en del af x-aksen.

34

2. Lineære funktioner

58 Definition De værdier, som f(x) antager, når x-værdierne gennemløber definitionsmængden, kaldes værdimængden. Vi forkorter den Vm(f).

59 Eksempel Funktionen f(x) = –0,25x + 5,25, 1 ≤ x < 9 har værdimængden Vm(f) = ]3:5] .

y 6 5

Intervalgrænserne er fundet ved at indsætte 1 og 9 i funktionen.

4

f(1) = 5 og f(9) = 3.

3

Værdimængden er en del af y-aksen.

2

f

1

60 Eksempel

⎧x + 3 , − 2 ≤ x ≤ 4 Den stykkevist lineære funktion f ( x ) = ⎨ ⎩ −2 x + 15 , 4 < x ≤ 6 har definitionsmængden Dm(f ) = [– 2 : 6] og værdimængden Vm(f) = [2:7].

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

5

6

x

Definitionsmængden er markeret med rødt og værdimængden er markeret y

med blåt.

7 6 5 4 3 2 1

61 Øvelse En fabrikant køber noget frugtsaft til følgende priser: Fra 0 til og med 20 liter: 6 kr. pr. liter Fra 20 til og med 60 liter: 4 kr. pr. liter. Øvelsen handler om at opstille en model for situationen, hvor f(x) betegner

–2 –1

f

1

2

3

4

prisen og x er antal liter. a. Bestem regneforskriften for prisen fra 0 til og med 20 liter. b. Bestem prisen for 20 liter. c. Brug oplysningerne fra teksten og svaret på b. til at bestemme regneforskriften for prisen fra 20 til og med 60 liter. d. Skriv regneforskriften for den stykkevist lineære funktion op. e. Bestem prisen for 50 liter af frugtsaften. f. Tegn grafen i et koordinatsystem, hvor x-værdierne går fra 0-60 og y-værdierne fra 0-300. g. Løs ligningen f (x )= 200 og oversæt til modelleringscasen, hvad du har bestemt (husk enheder).

62 Øvelse

⎧ −4 x + 18 , 2 ≤ x ≤ 5 En stykkevist lineær funktion er givet ved f ( x ) = ⎨ , 5 < x < 10 ⎩x − 7 a. Beregn f (3) og f (7). b. Tegn grafen for funktionen. c. Bestem definitionsmængde og værdimængde for funktionen.

2. Lineære funktioner

35

2.7 Ræsonnementer og beviser 63 Introduktion Et bevis kan rumme svaret på spørgsmålet ”Hvorfor?”.

I dette afsnit skal vi se nærmere på definitioner, sætninger og beviser.

En definition kan sammenlignes med en navngivning. En sætning derimod er en påstand, der er sand, fordi der findes et matematisk bevis for den.

64 Definition 6 I fo forskriften f(x) = ax + b kaldes tallet a for hældningstallet eller hældningskoefficienten.

Det er nu fastlagt, hvordan vi skal benævne konstanten a i den givne regneforskrift.

Men vi har ikke taget stilling til, hvad den kan bruges til, eller hvilke egenskaber den har. Den følgende sætning omhandler en bestemt egenskab ved a.

[12 Sætning ] Hvis to forskellige punkter (x1 ,y1) og (x2 ,y2) ligger på grafen for den lineære funktion f(x) = ax + b, kan hældningskoefficienten a beregnes ved formlen: y −y

a = x 2 − x1 2 1

Vi har tidligere anvendt denne formel til beregning af konstanten a. Men hvordan kan vi give et argument, der er stensikkert i alle situationer, uanset hvordan værdien af a er? Hertil må vi have et argument, der er overbevisende for alle, der har de matematiske forudsætninger. Det er det, vi i matematikken kalder et bevis.

65 Bevis for sætning 12 y1 = ax1 + b f y2

y2 = ax2 + b y2 – y1 = ax2 + b –y1

y1

x1

x2

Koordinaterne (x1 ,y1) skal passe i ligningen y = ax + b Punktet (x2 ,y2) ligger også på grafen for y = ax + b y1 er trukket fra på begge sider af lighedstegnet.

y2 – y1 = ax2 + b – (ax1 + b)

y1 er erstattet af ax1 + b på højre side.

y2 – y1 = ax2 + b – ax1 – b

Parentesen er ophævet.

y2 – y1 = ax2 – ax1

+b og –b på højre side gik ud.

y2 – y1 = a(x2 – x1)

a sættes uden for parentes (a er en faktor i begge led).

y 2 − y1 =a x 2 − x1

Der divideres på begge sider med tallet x2 – x1 Hermed er sætningen bevist.

36

2. Lineære funktioner

66 Definition I forskriften f(x) = ax + b kaldes tallet b for konstantleddet.

[14 Sætning ] Når a er kendt, og punktet (x1 ,y1) ligger på grafen for den lineære funktion f(x) = ax + b, kan konstantleddet b beregnes med formlen: b = y1 – ax1.

67 Bevis for sætning 14 y1 = ax1 + b y1 – ax1 = b

(x1 ,y1) ligger på grafen og skal så passe i y = ax + b ax1 trækkes fra på begge sider af lighedstegnet.

Hermed er sætningen bevist.

68 Sætning I forskriften f(x) = ax + b angiver hældningskoefficienten, a, hvor meget y-værdien ændres, når x vokser med 1.

69 Bevis for sætning 47 f(x + 1) = a(x + 1) + b

x + 1 er indsat på x’ets plads i f(x) = ax + b

f(x + 1) = ax + a ·1 + b

Parentesen er udregnet.

f(x + 1) = ax + a + b

a ·1 = a

f(x + 1) = ax + b + a

Rækkefølgen af a og b er ændret.

f(x + 1) = f(x) + a

ax + b er erstattet af f(x)

a b

1

Det vil sige, at f(x) ændres med tallet a, når vi lægger 1 til x-værdien.

Hermed er sætningen bevist.

70 Sætning I forskriften f(x) = ax + b angiver konstantleddet, b, skæringspunktet med y–aksen.

71 Bevis for sætning 49 På y-aksen har alle punkter x-koordinaten 0.

Vi indsætter 0 på x’s plads og udregner funktionsværdien: y = f(0) = a · 0 + b = 0 + b = b Linjen med ligningen y = ax + b går altså altid gennem punktet (0,b).

Hermed er sætningen bevist.

2. Lineære funktioner

37

3. Procent 3.1 Fremskrivningsfaktor 1 Introduktion 62 procent af alt det affald, der fjernes fra verdenshavene, er plastik, og det meste heraf er emballage. I 2014 blev der produceret 311 millioner tons plastik i verden, og af denne mængde blev 26 procent brugt til emballage og resten til forskellige produkter.

2 Definition Procent betyder ”per hundrede” eller ”hundrededel” 1% = 1 = 0,01.

100

3 Eksempel 5 % = 0,05

26 % = 0,26

100 % = 1

129 % = 1,29

4 Eksempel Vi vil fortsætte intro-eksemplet ved at beregne, hvor mange millioner tons plastik der bruges til emballage i 2014. Vi skal altså have beregnet, hvor meget 26 % er ud af 311 millioner tons. Det kan gøres ved at dividere med 100 for at finde mængden 311 ⋅ 26 = 80,86 . Der blev altså produceret svarende til 1% og herefter gange med 26. 100

80,86 millioner tons plastik til emballage i 2014.

Vi kunne imidlertid noget hurtigere have beregnet 26 % af 311 således: 311 ∙ 0,26 = 80,86.

5 Eksempel En t-shirt koster 196 kr., før momsen på 25 % lægges til. Hvad bliver prisen inkl. moms?

Momsbeløbet:

196 ∙ 0,25 = 49

Prisen inkl. moms: 196 + 49 = 245. Altså bliver prisen 245 kr. inkl. moms.

De to udregninger kan slås sammen til én blot ved at gange med 1,25: 196 ∙ 1,25 = 245. Årsagen er, at vi kan opfatte tallet 1,25 som summen 1 + 0,25, og dermed har vi: 196 ∙ (1 + 0,25) = 196 ∙ 1 + 196 ∙ 0,25 = 196 + 49 = 245.

6 Eksempel En aktiebeholdning har først en værdi på 278 000 kr. Aktierne stiger med 5 %. Vi vil bestemme værdien efter 5 % stigningen: 278 000 ∙ 1,05 = 291900. Aktieposten er altså 291900 kr. værd efter stigningen.

I eksemplerne 5 og 6 er der multipliceret med hhv. 1,25 og 1,05 for at lægge hhv. 25 % og 5 % til.

De to tal 1,25 og 1,05 kaldes ”fremskrivningsfaktorer”.

48

3. Procent

7 Definition Fremskrivningsfaktoren (1 + r) er den faktor, man skal gange med for at lægge r ∙ 100% til. Tallet r kaldes vækstraten. Hvis der skal trækkes r ∙ 100% fra, er r negativ.

8 Eksempel En studerende betaler 900 kr. for et værelse. Huslejen stiger 17%.

Vi vil beregne den nye husleje.

Vækstraten er 0,17 og fremskrivningsfaktoren 1 + 0,17 = 1,17.

Vi ganger huslejen med fremskrivningsfaktoren: 900 ∙ 1,17 = 1053.

Altså er den nye husleje 1053 kr.

9 Eksempel I et akvarium på 300 liter fordamper ca. 5 % af vandet om måneden.

Da der forsvinder vand, er vækstraten negativ, r = –0,05.

Fremskrivningsfaktoren er nu mindre end en: ( 1 + (–0,05)) = 0,95.

Vi beregner antal liter vand efter en måned ved 300 ∙ 0,95 = 285.

Der vil altså være 285 liter vand i akvariet efter en måned.

10 Øvelse a. Omskriv 32 % til decimaltal. b. Beregn 32 % af 1 074 kr.

11 Øvelse I 2014 blev der solgt 9912 tons økologiske æg i Danmark. Denne mængde steg 4 % i 2015. a. Bestem vækstrate og fremskrivningsfaktor. b. Beregn, hvor mange tons økologiske æg der blev solgt i Danmark i 2015.

12 Øvelse I en reklame fremgår det, at man kan spare 23 % ved at udskifte gamle termostater med nye. I et bestemt hus bruger man 15 500 kr. pr. år til varme og vil skifte termostater. a. Bestem vækstraten og fremskrivningsfaktoren. b. Bestem den nye udgift til varme.

13 Øvelse I 2014 blev der solgt 843 tons økologisk svinekød i Danmark. Denne mængde steg 30 % i 2015. a. Bestem vækstrate og fremskrivningsfaktor. b. Beregn, hvor meget den solgte mængde steg til i 2015. c. Bestem, hvor meget økologisk svinekød der sælges i Danmark i 2016, hvis vækstraten igen er 30 %.

3. Procent

49

3.2 Procentregning og indekstal 14 Introduktion Prisen på en vare bliver sat 45 kr. op, svarende til en prisstigning på 7 % .

Vi vil beregne den nye pris. Da vækstraten er 7 %, har vi en fremskrivningsfaktor på 1,07. Dermed gælder der, at 1,07 ∙ førprisen = førprisen + 45 kr.

Vi indfører nu variablen x som førprisen i kr. og har derved ligningen: 1,07x = x + 45. Denne løses ved omformning: 1,07x = x + 45 1,07x – x = x + 45 – x 0,07x = 45 45 , som med 2 decimaler er lig med 642,86. x = 0,07

Førprisen er altså 642,86 kr. Den nye pris i kr. er: 642,86 kr. + 45 kr. = 687,86 kr.

De fleste procentopgaver kan med fordel løses med en ”mini-modelleringsproces” som den ovenstående. Vi vil først se nærmere på yderligere et eksempel og herefter bruge metoden på de såkaldte indekstal.

15 Eksempel Eksporten af økologiske varer satte rekord for 10. gang i år 2015, hvor Danmark eksporterede for 1983 mio. kr. I år 2014 var eksporten på 1721 mio. kr. Vi vil bestemme den absolutte og den relative stigning.

Den absolutte stigning er blot forskellen på tallene: 1983 mio. kr. – 1721 mio. kr. = 262 mio. kr.

Den relative stigning er stigningen fra 1721 til 1983 i procent.

Vi lader x betegne fremskrivningsfaktoren og kan nu opstille ligningen: 1721 ∙ x = 1983 Vi løser denne ligning ved division med 1721 på begge sider af lighedstegnet og får x = 1983 1721 =1,15 Fremskrivningsfaktoren x er altså 1,15 og vækstraten 0,15. Den relative stigning er altså 15 %.

Når man skal beskrive en udvikling i nogle tal, som fx den danske, økologiske eksport, bruger man ofte indekstal. De beskriver den relative udvikling.

16 Indekstal Først vælges et bestemt år som udgangspunkt. Dette kaldes basisåret, og indekstallet sættes til 100. Herefter beregner man fremskrivningsfaktorerne for de følgende år, ganger dem med 100 og får derved indekstallene.

50

3. Procent

17 Eksempel Eksporten af økologiske varer målt i mio. kr. for årene 2009 til 2015 ses i nedenstående tabel. År

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

Eksport i mio. kr.

745

857

1038

1166

1533

1721

1983

Vi vælger 2009 som basisår og beregner fremskrivningsfaktoren fra år 2009 til år 2010 med samme metode, som vi benyttede i eksempel 15: Vi indfører derfor ligningen 745 ∙ x = 857 og løser den ved division x = 857 745 = 1,15.

Fremskrivningsfaktoren er altså 1,15 og indekstallet er derfor 115.

Fremskrivningsfaktoren fra 2009 til 2011 udregnes således: 745 ∙ x = 1038 =1,39 x = 1038 745 Fremskrivningsfaktoren er altså 1,39 og indekstallet er derfor 139.

På tilsvarende vis udregnes resten, og det hele opstilles i en tabel: År

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

Indekstal

100

115

139

157

206

231

266

Vi kan nu let danne os et overblik over den relative udvikling. Eksempelvis kan vi se, at eksporten fra 2009 til 2012 er vokset 57 %, og at den fra 2009 til 2015 er vokset hele 166 %.

18 Øvelse Beregn den absolutte og relative ændring, når et tal ændres fra: a. 50 til 60. b. 1000 til 850.

19 Øvelse Befolkningstallet på jorden var omkring 6 600 mio. i slutningen af 2006. Dette tal steg til 7 000 mio. i slutningen af 2011. Her blev pigen Danica May Camcho født og symbolsk udpeget som menneske nummer 7 millard af FN. a. Bestem den absolutte stigning i befolkningtallet fra 2006 til 2011. b. Bestem den relative stigning i befolkningstallet fra 2006 til 2011.

20 Øvelse Tabellen viser befolkningsantallet på jorden i millioner individer i udvalgte år. År

2000

2005

2010

2015

2020

Mio. individer

6127

6520

6930

7349

7795

a. Beregn fremskrivningsfaktoren fra år 2000 til 2005. b. Opstil tabellen som indekstal, med år 2000 som basisår.

3. Procent

51

3.3 Beregning af start- og slutkapital 21 Eksempel En velhaver køber aktier for 100 000 kr. til sit barnebarn. Hun regner med et årligt afkast på 15%: • I år 1 er værdien 100 000 · 1,15 = 115 000 kr.

2 • I år 2 er værdien 100 000 · 1,15 · 1,15 = 100 000 · 1,15 = 132 250 kr.

3

• I år 3 er værdien 100 000 · 1,15 = 152 088 kr.

4

• I år 4 er værdien 100 000 · 1,15 = 174 901 kr.

Bemærk, at når værdien i år 4 udregnes, så ganges startbeløbet med fremskrivningsfaktoren opløftet i 4. potens. Sådan er det generelt, og derved kan sammenhængen udtrykkes i en formel.

22 Renteformlen Hvis et bestemt beløb (startkapital) vokser med en bestemt vækstrate gennem flere terminer med fast rente, så beregnes slutkapitalen med denne formel: K n = K 0 ∙ (1 + r )

n

K0

er startbeløbet (startkapitalen)

Kn

er slutbeløbet (slutkapitalen)

n

er antallet af terminer

1+ r

er fremskrivningsfaktoren

r

er vækstraten

Antallet af terminer er det antal gange, hvor der tilskrives rente. Hvis renten er 2 % p.a., betyder det, at der tilskrives 2 % p.a., altså 1 gang om året.

Antallet af terminer er da lig med antallet af år.

Om at beregne slutbeløbet K n 23 Eksempel Et person investerer 20 000 kr. og forventer, at værdien stiger 4% pr. år.

Vi vil bestemme den forventede værdi efter 5 år: De kendte størrelser er: K0 = 20 000, r = 0,04 og n = 5 Størrelserne indsættes i formlen, og vi udregner resultatet: K5 = 20000 · 1,045 = 24333,06 Altså er den forventede værdi 24 333 kr. efter 5 år.

52

3. Procent

Om at beregne startbeløbet K0 24 Eksempel Efter 3 år står der 1500 kr. på en konto, hvor renten konstant har været 6% p.a.

Vi vil bestemme, hvor meget der blev indsat fra start.

De kendte størrelser er: K3 = 1500, r = 0,06 og n = 3. Disse indsættes i renteformlen: 1500 = K0 · 1,063 For at løse ligningen må vi i dette tilfælde enten omforme ligningen for at isolere K0 eller løse ligningen i et CAS-værktøj.

Ved omformning isoleres K0 ved at dividere med 1,063 på begge sider af lighedstegnet: 1500 = K0 · 1,063 K0= 15003 1,06

K0= 1259,43 Altså blev der indsat 1259,43 kr. til start.

25 Eksempel Værdien af en båd faldt 15 % om året i 4 år i træk. Den endte med at blive solgt for 250 000 kr. Hvad kostede den oprindeligt?

De kendte størrelser er: K4 = 250 000, r = –0,15 og n = 4.

Fremskrivningsfaktoren er nu: 1– 0,15 = 0,85, og vi har derfor ligningen: 250 000 = K 0 ⋅ 0,854 ⇔ K 0 =

250 000 = 478 921, 47 0, 854

Båden kostede altså oprindeligt 478 921 kr.

26 Øvelse En person køber et investeringsbevis på 10 000 kr. med en garanteret forrentning på 6 % p.a. a. Bestem værdien af hendes investering efter 1 år. b. Bestem værdien af hendes investering efter 4 år.

27 Øvelse a. På en konto med en fast rente på 3 % p.a. indsættes 5 000 kr.

Hvad er beløbet steget til efter 4 år. b. En ladcykel til 15 000 kr. anslås til at tabe 12% i værdi om året.

Hvad kan den sælges for efter 6 år?

28 Øvelse Værdien af en bestemt ny bil antages af falde 27% om året de første 3 år efter købet.

Efter 3 år var den 180 000 kr. værd. a. Hvad kostede bilen fra ny? b. Bestem, hvor meget bilen er værd, når den er 6 år gammel, hvis den taber 15% i værdi om året fra år 3 til 6.

3. Procent

53

3.4 Beregning af renter r og terminer n 29 Introduktion En person indsatte kr. 1800 på en speciel opsparingskonto med fast rente.

Efter 4 år var saldoen vokset til kr. 3000. Vi vil nedenfor bestemme den årlige rentesats ved hjælp af renteformlen: K n = K0(1 + r)n

Om at beregne renten r 30 Eksempel Vi fortsætter eksemplet fra introduktionen. De kendte størrelser er: K0 = 1800, n = 4 og K4 = 3000.

I renteformlen K n = K0(1 + r)n kan r isoleres ved omformning, hvorved man får formlen: r= n

Kn −1 K0

Vi indsætter de kendte størrelser og får: r=

4

3000 1 1800 −

r = 0,1362 Renten er altså 13,62 % p.a.

Vi kan også bestemme r ved at indsætte de kendte størrelser i renteformlen og løse ligningen med et CAS-værktøj.

Når ligningen løses i CAS, er der nogle ting, man skal være opmærksom på. Der vil nogle gange komme en negativ løsning også, og CAS vil måske udtrykke løsningen med eksakte tal.

Om at beregne antal terminer n 31 Eksempel Der indsættes 1000 kr. på en konto, hvor renten fast er 8 % p.a. Hvor mange terminer vil der gå, før der står 2000 kr. på kontoen? De kendte størrelser er: K0 = 1000, r = 0,08 og K n = 2000.

I renteformlen K n = K0(1 + r)n kan n isoleres ved omformning, hvorved man får formlen: log ⎛⎜

n=

Kn ⎞ ⎝ K 0 ⎟⎠

log(1+ r )

Størrelserne indsættes i formlen: n=

log ⎛⎝

2000 ⎞ 1000 ⎠

log(1+ 0, 08)

n = 9,00647 Der går altså 9 terminer, før der står 2000 kr. på kontoen.

54

3. Procent

Udledning af formlerne 32 Begyndelsesværdien K0

34 Antal terminer n

Der divideres med (1 + r)n på begge

Først divideres med K0 på begge sider,

sider af lighedstegnet og byttes rundt

herefter tages logaritmen på begge sider,

på højre og venstre side.

så udnyttes en logaritmeregneregel på

K n = K 0 (1+ r )

højre side. Til sidste divideres med

Kn K0 = n (1 + r )

log(1 + r) på begge sider af lighedstegnet.

n

K n = K 0 (1+ r )n Kn = (1+ r )n K0

33 Renten r Der divideres med K0 på begge sider, herefter tages den n’te rod på begge sider, og endeligt trækkes der 1 fra på begge sider.

K n = K 0 (1+ r )n Kn = (1+ r )n K0 n

Kn = 1+ r K0

r=n

⎛K ⎞ log ⎜ n ⎟ = log((1+ r )n ) ⎝ K0 ⎠ ⎛K ⎞ log ⎜ n ⎟ = n ⋅ log(1+ r ) ⎝ K0 ⎠ ⎛ Kn ⎞ ⎝ K 0 ⎟⎠

log ⎜

log(1+ r )

=n

Kn −1 K0

35 Øvelse En person køber aktier for 4000 kr. Efter 3 år er aktierne 5470 kr. værd. a. Bestem vækstraten pr. år (”renten p.a.”) i perioden.

36 Øvelse En anden person graver 4000 kr. ned i haven. Efter 3 år har hun kun 3650 kr. i købekraft pga. inflation. a. Bestem vækstraten i perioden (bemærk, at den er negativ).

37 Øvelse Der indsættes 1700 kr. i år 0 på en konto. Renten er konstant 3% p.a. a. Bestem, hvor mange terminer der går, før der står 2000 kr. på kontoen.

38 Øvelse Brug de relevante formler og beregn: a. Startkapitalen, når slutkapitalen er 4500 kr. efter 8 terminer til en rente på 3 % p.a. b. Renten, når startkapitalen er 10 000 kr., og slutkapitalen er 12 000 kr. efter 5 terminer. c. Antallet af terminer, når 20 000 kr. i startkapital ved en konstant rente på 5 % vokser til 34 000 kr.

3. Procent

55

4. Statistik 4.1 Ikke-grupperede observationer 1 Introduktion I en løbeklub tog man en stikprøve, hvor 30 løberes puls blev målt lige efter en træningstur: 147, 156, 176, 157, 155, 167, 138, 167, 176, 159, 165, 181, 148, 169, 156, 167, 165, 147, 154, 153, 172, 132, 163, 170, 152, 160, 153, 174, 148, 175.

Det er svært at se det overordnede mønster i tallene. Statistik handler blandt andet om at beskrive sådanne tal på en overskuelig måde.

En stikprøve siges

2 Definition

at være repræsen-

En stikprøve består af nogle elementer udvalgt fra en population. Populationen

tativ, hvis den er

er den mængde, der er genstand for undersøgelsen. Samlingen af observationer i

udvalgt tilfældigt

stikprøven kaldes et datasæt eller et observationssæt. I et ordnet observationssæt

blandt den popu-

er observationerne ordnet i rækkefølge.

lation, man ønsker at undersøge.

3 Eksempel a. I en klasse lavede man et skema med elevernes skostørrelser. Hvis man opskriver skostørrelserne i ordnet rækkefølge 35, 35, 36, 37, 37, 38 … osv., får man et ordnet observationssæt. b. Løbeklubbens målinger i stikprøven på 30 løbere er et datasæt med enkeltstående tal, der ikke er ordnet i rækkefølge.

4 Definition I et ikke-grupperet observationssæt beskrives observationerne med enkeltstående tal, farver, rejsemål eller lignende. Ikke-grupperede observationer kan beskrives med forskellige tal, såkaldte statistiske deskriptorer. Antallet af observationer kaldes observationssættets størrelse, N . Hvis alle observationerne er tal, er variationsbredden lig med forskellen på værdien af den største og mindste observation.

5 Eksempel Blandt 25 elever undersøgte man elevernes antal søskende.

Svarene var: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4. Forskellen på det største og det mindste tal er 4 – 0 = 4, så variationsbredden er altså 4.

Observationssættet har størrelsen N = 25.

6 Definition Hyppigheden, h(x) af en observation x er det antal gange, som observationen forekommer i observationssættet. Frekvensen, f(x) er den brøkdel eller procentdel, hyppigheden udgør af hele observationssættets størrelse. Den kumulerede hyppighed, H(x) og den kumulerede frekvens, F(x) af en observation x er summen af hyppighederne eller frekvenserne af alle de observationer, der er mindre eller lig med x.

66

4. Statistik

7 Eksempel Observationssættet med antal søskende fra eksempel 5 kan skrives op i en hyppighedstabel, hvori vi har beregnet de nævnte deskriptorer: Observation

Hyppighed

Kumuleret hyppighed

Frekvens

Kumuleret frekvens

0

4

4

4 25 = 0,16 = 16 %

16 %

1

8

12

32 %

48 %

2

6

18

24 %

72 %

3

4

22

16 %

88 %

4

3

25

12 %

100 %

8 Definition Et observationssæts typetal er den observation, der optræder flest gange. Gennemsnittet eller middelværdien, x , er summen af observationerne divideret med observationssættets størrelse, N.

9 Eksempel Typetallet for observationssættet: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2,2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4 er lig med 1, fordi tallet 1 er det tal der optræder flest gange.

Gennemsnittet er x=

0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 44 = = 1,76 25 25

10 Øvelse a. Opstil observationerne fra løbeklubben i introduktionen i rækkefølge. Dvs. omform til et ordnet observationssæt. b. Beregn variationsbredden og gennemsnittet.

11 Øvelse a. Slå op på 20 forskellige sider i denne bog, og tæl antallet af billeder på siden. b. Stil observationerne op på en række i et ordnet observationssæt. c. Opstil en tabel med observationer, hyppigheder, frekvenser, de kumulerede hyppigheder og de kumulerede frekvenser.

12 Øvelse a. Opstil en tabel med observationer, hyppigheder, frekvenser, de kumulerede hyppigheder og de kumulerede frekvenser for observationssættet: 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9.

13 Øvelse a. Bestem typetallet og gennemsnittet for observationssættet: 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9.

4. Statistik

67

4.2 Diagrammer og kvartilsæt 14 Introduktion Et lille galleri ønsker at få overblik over, hvor mange kunder de har.

De vælger at registrere antallet af kunder hver dag i 20 dage. De vil gerne have et grafisk overblik over dataene.

15 Definition I et pindediagram vises observationernes hyppighed eller frekvens som længder af pinde. I et prikdiagram (eller punktdiagram) vises observationernes hyppigheder med prikker.

16 Eksempel Resultatet af galleriets undersøgelse fremgår af tabellen. Nederst på siden er hyppigheden vist med et pindediagram, og et prikdiagram.

Observation

Kumuleret frekvens kaldes også nogle gange summeret frekvens.

6

x

Hyppighed h(x)

Kumuleret hyppighed H (x )

Frekvens f(x)

Kumuleret frekvens F (x )

0

1

1

0,05

0,05

1

2

3

0,10

0,15

2

4

7

0,20

0,35

3

5

12

0,25

0,60

4

6

18

0,30

0,90

5

2

20

0,10

1,00

Hyppighed

5 4 3 2 1 0 0

68

4. Statistik

1

2

3

4

5

6 Antal kunder

0

1

2

3

4

5

6 Antal kunder

17 Kvartilsæt for ikke-grupperede observationer For ikke-grupperede observationer i et ordnet observationssæt defineres kvartiler således: Medianen, M, eller anden kvartil, Q2, er den midterste observation. Ved et lige antal observationer vil der ikke være en midterste observation. Så tager man gennemsnittet af de to midterste.

Første kvartil, Q1, er medianen af de observationer, der står til venstre for M. Tredje kvartil, Q3, er medianen af de observationer, der står til højre for M. Tilsammen udgør de tre tal kvartilsættet (Q1, Q2 , Q3 ).

Kvartilafstanden er Q3 – Q1 (kaldes også kvartilbredden).

I regneark og CAS kan du også udregne kvartilsættet. Tallene kan afvige lidt fra dem, der fås manuelt, fordi beregningsmetoden kan variere en lille smule mellem programmerne.

18 Eksempel Herunder ses vægten i kg på et udvalg af 6 rådyr.

23,4

24,1

28,0

31,7

31,9

33,8

Medianen er gennemsnittet af de to midterste grå tal M =

28, 0 + 31,7 = 29,85 2

og de andre kvartiler er lig med de blå tal Q1 = 24,1 og Q3 = 31,9

19 Øvelse Herunder ses vægten i kg for en gruppe på 9 rådyr.

23,4 24,1 28,0 31,7 31,9 32,9 33,1 33,8 37,2 a. Opskriv kvartilsættet for dette nye datasæt.

20 Øvelse a. Tegn et pindediagram og et trappediagram for, hvor mange besøgende en kaffebar har på en formiddag. Observationerne for 100 dage fremgår af tabellen: Antal kunder, x

0

1

2

3

4

5

6

Hyppighed, h(x)

5

5

20

30

20

10

10

21 Øvelse 5 venner har en lottoklub, hvor de mødes en gang om ugen og spiller lotto.

En uge ser gevinsterne i kr. således ud: 0, 0, 0, 43, 1000000. a. Bestem medianen. b. Beregn gennemsnittet og forklar, hvad forskellen er på de to begreber median og gennemsnit.

4. Statistik

69

4.3 Boksplot og spredning 22 Introduktion En elev vil gerne skabe sig et overblik over sine eksamenskarakterer.

Det kan gøres med et boksplot.

23 Definition De fem værdier: mindste observation, første kvartil, median, tredje kvartil og største observation kaldes det udvidede kvartilsæt.

Et boksplot er en grafisk fremstilling af de fem værdier.

24 Eksempel Eleven fra introduktionen fik eksamenskaraktererne: 00, 02, 02, 02, 02, 02, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 7, 7, 10, 10. Det udvidede kvartilsæt er (0, 2, 4, 5,5, 10).

25 Eksempel Sådan kan et boksplot tegnes: Tegn en tallinje, hvor værdierne af observationerne er afsat. Sæt 5 lodrette streger ovenover: ud for (1) mindste observation, (2) nedre kvartil, (3) median, (4) øvre kvartil og (5) største værdi. Tegn en boks rundt om selve kvartilsættet og en streg ud fra enderne af boksen til mindste og største observation. Boksens højde har ingen betydning. Matematikprogrammer kan også tegne boksplot.

Eleven fra eksempel 24 tegnede dette boksplot over karaktererne i sin studenterhue:

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

26 Eksempel En outlier er en observation, der ligger mere end 1,5 gange kvartilbredden væk fra boksen.

Hvis eleven fra eksemplet ovenfor havde fået karakteren 12 i stedet for et af 10-tallerne, ville det udvidede kvartilsæt være (0, 2, 4, 5,5, 12), og 12 ville være en outlier.

Kvartilbredden er Q3 – Q1 = 5,5 – 2 = 3,5, så 1,5 gange kvartilbredden er 1,5 · 3,5 = 5,25. Afstanden fra boksen til 12 er større, nemlig 12 – 5,5 = 6,5.

Dermed har vi vist, at 12 er en outlier.

Vi har indtil nu mødt variationsbredden og kvartilbredden som mål for, hvor spredt dataene ligger. Et tredje tal, som kan beskrive, hvor spredte dataene ligger, er den såkaldte spredning, s. Ofte vil man beregne spredningen med et CAS-program.

70

4. Statistik

27 Definition Formlen for spredningen på et datasæt med N observationer x1, x2, x3, ... og med middelværdi x er ( x1 − x ) + ( x 2 − x ) + ( x 3 − x ) + " N −1 2

s=

2

2

Tallet s2 kaldes ofte for variansen.

28 Eksempel Vi vil beregne spredningen af tallene 2, 5, 8, 10, 17.

Først beregnes middelværdien til x = 8,4. Spredningen bliver (2 − 8, 4 ) + (5 − 8, 4 ) + (8 − 8, 4 ) + (10 − 8 , 4 ) + (17 − 8, 4 ) = 5,68 4 −1 2

s=

2

2

2

2

29 Eksempel De tre pindediagrammer nedenfor viser karakterfordelingen for 3 forskellige elever.

Alle 3 har fået 10 karakterer, og alle tre har gennemsnit tæt på 4. Men spredningen er meget forskellig. frekvens

frekvens

frekvens

0,7

0,7

0,7

0,6

0,6

0,6

0,5

0,5

0,5

0,4

0,4

0,4

0,3

0,3

0,3

0,2

0,2

0,2

0,1

0,1

0,1

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x = 3,9

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

s = 1,37

x = 3,9

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

s = 2,64

x = 4,0

s = 4,55

30 Øvelse En dyrlæge udarbejder sin egen lille kvantitative undersøgelse af granddanoishundes levealder (målt i antal år). Registreringerne i notesbogen er: 5, 6, 4, 8, 7, 6, 9, 8, 9, 7, 7, 5, 9, 11, 8, 12, 6, 8 a. Bestem det udvidede kvartilsæt. b. Tegn boksplottet. c. Er der outliers i datasættet? b. Beregn spredningen og variansen af datasættet.

31 Øvelse I margenen ses et bloksplot. a. Aflæs største- og mindsteværdi. b. Aflæs kvartilsættet. c. Hvad fortæller medianen om datasættet?

6

7

8

9

10

11

12

13

4. Statistik

14

71

4.4 Grupperede observationer 32 Introduktion Næsten ingen er nøjagtig lige høje. Så hvis man måler højden på en flok unge mennesker, vil stort set alle hyppighederne blive meget små. I sådanne tilfælde er det en god ide at gruppere observationerne.

33 Definition I et grupperet observationssæt samles observationerne i intervaller. Ligger en observation netop på grænsen mellem to intervaller, tælles observationen med i det nærmeste lavere interval. Intervalhyppigheden er antallet af observationer i intervallet, intervalfrekvensen er den brøkdel eller procentdel, som intervalhyppigheden udgør af observationssættets størrelse. Den kumulerede intervalhyppighed og den kumulerede intervalfrekvens er summen af intervalhyppighederne eller frekvenserne i intervaller op til og med det aktuelle interval.

Højde i cm 166 159 173 173 170 192 158 183 188 175 184 171 174 177 180 185 170 169 159 182 176 163

34 Eksempel En gruppe elever måler hinandens højder. Resultatet ses i tabellen i margenen. De grupperer målingerne i intervaller af 10 cm's længde og udfylder tabellen herunder.

Højdeinterval; cm

Intervalhyppighed

Kumuleret intervalhyppighed

]155, 165]

4

4

4 22

= 0,18

0,18

]165, 175]

9

13

9 22

= 0, 41

0,59

]175, 185]

7

20

7 22

= 0, 32

0,91

]185, 195]

2

22

2 22

= 0, 09

1,00

Intervalfrekvens

Kumuleret intervalfrekvens

35 Definition Et grupperet observationssæts typeinterval er det interval, der har flest observationer. Gennemsnittet eller middelværdien, x , beregnes ved at gange midtpunktet af hvert interval med intervalhyppigheden, lægge det sammen og dividere med antallet, N, af observationer: x=

m1 ⋅ h1 + m2 ⋅ h2 + " , N

hvor m1, m2, . . . er intervalmidtpunkterne og h1, h2, . . . er intervalhyppighederne.

Alternativt kan man gange intervalmidtpunkterne med de tilhørende intervalfrekvenser f1, f2, . . . og gange det sammen: x = m1 · f1 + m2 · f2 + . . .

72

4. Statistik

36 Eksempel I eksemplet med højderne er typeintervallet ]165, 175]. Den gennemsnitlige højde beregnes til x =

160 ⋅ 4 + 170 ⋅ 9 + 180 ⋅ 7 + 190 ⋅ 2 = 173,2 22

37 Definition Et grupperet observationssæts spredning, s beregnes med formlen ( m1 − x ) ⋅ h1 + ( m2 − x ) ⋅ h2 + . . . , N −1 2

s=

2

hvor x er middelværdien, m1, m2, . . . er intervalmidtpunkterne, h1, h2, . . . er hyppighederne, og N er antallet af observationer.

Igen kaldes kvadratet s2 af spredningen for variansen.

38 Eksempel I eksemplet med højderne bliver spredningen (160 − 173, 2 ) ⋅ 4 + (170 − 173, 2 ) ⋅ 9 + (180 − 173, 2 ) ⋅ 7 + (190 − 173, 2) ⋅ 2 = 8,9 22 − 1 2

s=

2

2

2

39 Øvelse På et gymnasium fordelte den samlede gennemsnitlige månedlige indtægt blandt de 692 elever sig således: Månedsindtægt i kr.

Antal (hyppighed)

]0;2000]

]2000;4000]

]4000;6000]

]6000;8000]

384

207

78

23

a. Bestem typeintervallet. b. Beregn middelværdien.

40 Øvelse 22 elever målte afstanden mellem navle og gulv og fik resultaterne (målt i cm): 100, 95, 104, 104, 100, 116, 97, 114, 116, 105, 107, 103, 109,108,114,116,106, 102, 95, 109, 108, 94 a. Grupper observationerne i passende intervaller og opstil en hyppighedstabel. b. Bestem typeintervallet og beregn middelværdien. c. Bestem spredningen og variansen.

4. Statistik

73

4.5 Diagrammer for grupperede observationer 41 Introduktion I en hyggelig lille dansk by var der et år 100 fødsler.

Hvis mødrenes alder samles i intervaller på 5 år, vil man ikke kunne beregne median og kvartilsæt på samme måde som i et ugrupperet datasæt.

I stedet for kan vi bruge den såkaldte sumkurve til at aflæse kvartilerne.

Sumkurven er en af de grafer, vi ser nærmere på her.

42 Definition I et histogram vises observationernes hyppighed eller frekvens som arealet af søjler, der er tegnet med samme bredde som intervallerne. Hvis intervallerne har samme bredde, viser søjlernes højde observationernes hyppighed/frekvens i det pågældende interval.

De frekvenser kan afbildes i en sumkurve med punkter, hvor x-koordinaten er intervallernes højre endepunkt, og y-koordinaten er intervallernes kumulerede frekvens. Den højeste værdi på y-aksen er altså 100 %. Punkterne forbindes med rette linjestykker.

43 Eksempel Herunder ses en grupperet opgørelse over 100 mødres alder med tilsvarende histogram og sumkurve.

Alder

]15;20]

]20 ; 25]

]25 ; 30]

]30 ; 35]

]35 ; 40]

]40 ; 45]

Frekvens

5%

12 %

38 %

32 %

11 %

2%

Kumuleret frekvens

5%

17 %

55 %

87 %

98 %

100 %

Kumuleret frekvens [%]

Frekvens 40 100 90 75 % 80 70 60 50 % 50 40 30 25 % 20 10 0

35 30 25 20 15 10 5 0 10

15

20

25

30

35

40

10

45 Alder

74

4. Statistik

15

20

25 Q1

30 M

35 Q3

40

45 Alder

Kvartilsæt for grupperede observationer 44 Flere definitioner (deskriptorer for grupperede datasæt) Kvartilerne aflæses på x-aksen i en sumkurve ud fra y-værdierne 25%, 50% og 75% • Første kvartil, Q1, er det tal, der skiller de mindste 25 % af observationerne fra resten.

• Medianen, M, eller anden kvartil, Q2, er det tal, der skiller de mindste 50 % af observationerne fra de største 50 %.

• Tredje kvartil, Q3, er det tal, der skiller de mindste 75% af observationerne fra resten.

• Kvartilsættet er talsættet (Q1; M; Q3).

• Kvartilafstanden er Q3 – Q1 (kaldes også kvartilbredden).

45 Eksempel I eksempel 42 på forrige side aflæses kvartilsættet på x–aksen i sumkurven ud fra y-værdierne 25 % , 50 % og 75 %. Vi får: Q1 = 26, M = 29,3 og Q3 = 33.

46 Øvelse I et boligkvarter i København fordelte de barslende kvinder sig således mht. alder: Alder (år)

]15;20]

]20;25]

]25 ; 30]

]30 ; 35]

]35 ; 40]

]40 ; 45]

Frekvens

3%

11 %

35 %

28 %

19 %

4%

Kumuleret frekvens

3%

14 %

49 %

77 %

96 %

100 %

a. Tegn et histogram over frekvenserne og en sumkurve over de kumulerede frekvenser.

47 Øvelse a. Aflæs kvartilsættet på sumkurven fra øvelse 46. b. Sammenlign kvartilerne med kvartilerne i eksempel 43. Hvad siger det om forskellen på storbyen og den lille by?

48 Øvelse En pakkecentral registerede vægten i kg af 50 pakker: 7

19

24

38

34

11

5

12

14

33

4

28

4

18

13

14

3

9

6

16

31

2

32

17

7

21

19

23

20

5

26

9

22

36

29

10

4

13

14

22

21

15

8

21

17

12

4

10

7

16

a. Grupper observationerne i fire grupper, og opstil en hyppighedstabel. b. Tegn sumkurven. c. Aflæs kvartilsættet på sumkurven. d. Bestem den vægt, der afgrænser de letteste 75% fra de tungeste 25%.

4. Statistik

75

5. Eksponentielle funktioner 5.1 Eksponentiel vækst 1 Introduktion Sociale netværk kan vokse meget hurtigt, fordi hvert nyt medlem skaffer flere nye medlemmer, som skaffer flere nye medlemmer osv. I en model antager vi, at et netværk, der starter med 100 medlemmer, vokser 15 % om måneden.

Hvis f(x) betegner netværkets størrelse, og x er antal måneder efter starten, er forskriften f(x) = 100 · 1,15x.

Allerede efter 3 år er der mere end 15000 medlemmer i netværket, hvis vækstraten på 15 % pr. måned fortsætter. Det beregnes ved at indsætte x = 36 i forskriften. Vi finder, at f(36) = 100 · 1,1536 = 15315,2.

2 Definition En eksponentiel funktion har forskriften: f(x) = b · ax Tallet b kaldes begyndelsesværdien, og tallet a kaldes fremskrivningsfaktoren.

Både a og b er positive tal, og a må ikke være lig med 1.

Definitionsmængden er de reelle tal, dvs. x kan være ethvert tal.

Eksponentielle funktioner kan modellere vækstsituationer, hvor en størrelse vokser eller aftager med en bestemt procentdel, hver gang en anden størrelse vokser med en bestemt enhed.

Det har vi set eksempler på tidligere med renteformlen Kn = K0 · (1 + r)n , og der er også en nær sammenhæng mellem den eksponentielle funktion f(x) = b · ax og renteformlen.

I renteformlen kan renten r være negativ. Derved bliver fremskrivningsfaktoren 1 + r mindre end 1.

I den eksponentielle funktion f(x) = b · ax gælder der tilsvarende, at hvis fremskrivningsfaktoren a er mindre end 1, svarer det til en negativ vækstrate. Derfor er den aftagende, hvis a er mindre end 1:

3 Sætning For f(x) = b · ax gælder om fremskrivningsfaktoren a, at hvis: 0 < a < 1, så er den eksponentielle funktion aftagende, a > 1, så er den eksponentielle funktion voksende.

a>1

86

5. Eksponentielle funktioner

0<a<1

y

4 Eksempel

800

På figuren vises grafen for den eksponentielle funktion, der blev nævnt i introduktionen:

600

f(x) = 100 · 1,15x

400

Værdierne af de to konstanter, a = 1,15 og b = 100, har betydning for grafens forløb.

200

• Grafen går opad, fordi funktionen er voksende, og funktionen er voksende, fordi konstanten a = 1,15 er større end 1.

5

10

15

x

• Grafen skærer y-aksen ved værdien 100, fordi konstanten b = 100.

5 Sætning Grafen for en eksponentiel funktion f(x) = b · ax skærer y-aksen i punktet (0,b).

b

6 Eksempel En eksponentiel funktion har regneforskriften f(x) = 2 · 1,1x Dens graf skærer y-aksen i (0,2).

Indsætter vi x = 0, får vi da også f(0) = 2 · 1,10 = 2 · 1 = 2

7 Sætning Værdimængden for en eksponentiel funktion f(x) = b · ax er alle positive reelle tal.

8 Øvelse En eksponentiel funktion har regneforskriften f(x) = 21 · 1,07x a. Bestem fremskrivningsfaktoren. b. Bestem begyndelsesværdien. c. Er funktionen voksende eller aftagende? Begrund svaret. d. Bestem skæringspunktet mellem grafen og y-aksen.

9 Øvelse En eksponentiel funktion har regneforskriften f(x) = 4 · 0,9x a. Bestem værdien af fremskrivningsfaktoren og begyndelsesværdien. b. Er funktionen voksende eller aftagende? Begrund svaret. c. Bestem skæringspunktet mellem grafen og y-aksen. d. Tegn grafen for f, gerne i CAS.

10 Øvelse I en model antages det, at en bestemt mønt steg 30 % i værdi hvert år fra år 2000 og frem. Mønten købes til 2400 kr. i år 2000. a. Bestem fremskrivningsfaktoren ud fra oplysningen om, at vækstraten er r = 0,30. b. Bestem forskriften for den funktion, der udtrykker møntens værdi f(x) som funktion af antal år efter 2000. c. Udregn f(20), og bestem, hvor meget mønten er steget til i år 2020.

5. Eksponentielle funktioner

87

5.2 Beregning af a og b 11 Introduktion Retsmedicinere kan bestemme det omtrentlige dødstidspunkt ud fra to målinger af kropstemperaturen, hvis liget ikke er helt afkølet. For en nylig afdød kan forskellen mellem legemstemperaturen og stuetemperaturen nemlig modelleres med en aftagende eksponentialfunktion f(x) = b · ax.

12* Sætning For en eksponentiel funktion med forskriften f(x) = b · ax, hvis graf går gennem de to punkter

P1(x1,y1)

(x1 , y1) og (x 2 , y2), gælder det, at konstanterne a og b kan bestemmes ud fra formlerne: a = x2 − x1 b=

y2 y1

P2(x2,y2)

y1 a

x1

13 Eksempel

y

En eksponentiel funktions graf går gennem punkterne (–1,3) og

40

(2,24). Vi vil bestemme konstanterne a og b. Vi sætter derfor 30

x1 = –1, y1 = 3, x2 = 2 og y2 = 24, og indsætter i formlerne i sætningen. a = 2−( −1)

20

Forskriften for den eksponentielle funktion er dermed f(x) = 6 · 2x

10

–1

24 3 = 2 og b = −1 = 6 3 2

1

2

3

x

Formlerne i sætning 12 bør kun bruges, hvis man er sikker på, at punkterne ligger præcist på en graf for en eksponentiel funktion. Hvis der er tale om at tilpasse en model, og der er usikkerhed forbundet med koordinaterne, må man have flere data i form af flere punkter, og i stedet foretage en eksponentiel regression.

14 Eksempel Billedet viser en Osborne Executive bærbar computer fra 1982, og en iphone fra 2007. Osborne Executive vejer 100 gange så meget, fylder 500 gange så meget, kostede omkring 10 gange så meget og har en 1

ydeevne på 100 af iphonen.

Moores lov siger, at det maksimale antal transistorer i en chip i en almindelig computer vil fordobles ca. hvert andet år.

Moores lov er et eksempel på eksponentiel vækst, fordi antallet af transistorer påstås at vokse med en bestemt procentdel, hver gang vi går et bestemt antal år frem.

88

5. Eksponentielle funktioner

15 Eksempel

y 60000

I tabellen ses data om antallet af transistorer i en chip. Årstal

1971

1972

1974

1976

1979

1982

Transistorer

2 300

3 500

4 500

6 500

29 000

55 000

40000

I koordinatsystemet, hvor x er antal år efter 1971, og y er antal transistorer,

20000

er disse punkter plottet ind, og endvidere ses grafen for den eksponentielle funktion f(x) = 2157 · 1,34x, der beskriver disse data bedst muligt.

Forskriften er fundet vha. eksponentiel regression.

20 x

10

16 Eksempel Tabellen viser udviklingen i antallet af indbyggere i New York i perioden 1790–1900. y

Årstal

1790

1800

1820

1840

1860

1880

1900

33

60

124

312

813

1 912

3 437

Indbyggerantal i tusinde

4000

3000

Et punktplot af dataene viser, at indbyggertallet ser ud til at vokse eksponentielt i perioden. En eksponentiel regression giver forskriften: 2000

f(x) = 36,28 · 1,04x Regressionen passer tilsyneladende godt, men alligevel er der noget galt.

1000

Der boede 8,5 mio. mennesker i New York i 2015. 2015 er 225 år efter 1790.

Ved ukritisk brug af modellen ville man beregne sig frem til, at der var f(225) = 246 699,7 tusinder. Altså næsten 247 mio. mennesker i New York i 2015.

50

100

x

Så hvad er de galt med modellen? Ingenting. Den kan blot ikke bruges på år, der rækker langt ud over det, vi har data for.

17 Øvelse En graf for en eksponentiel sammenhæng går gennem punkterne (1,10) og (3,40). a. Beregn først konstanten a og dernæst konstanten b.

En graf for en anden eksponentiel sammenhæng går gennem punkterne (0,4) og (3,9). b. Bestem konstanten b ved at tænke lidt over oplysningerne, og beregn så konstanten a.

18 Øvelse En belgisk pate skal opbevares på køl. I skemaet er data fra en række målinger af holdbarheden ved forskellige temperaturer. Vi antager, at holdbarheden aftager eksponentielt med temperaturen, og at sammenhængen derfor kan beskrives ved en funktion af typen f(x) = b · ax Temperatur

1

5

11

18

Holdbarhed i døgn

25

12

4

1

a. Bestem a og b ved hjælp af eksponentiel regression. b. Tegn grafen for funktionen. c. Beregn holdbarheden ved en temperatur på 3°C.

5. Eksponentielle funktioner

89

5.3 Halverings- og fordoblingskonstant 19 Introduktion Udviklingen i antal millioner solgte billetter i krydstogtindustrien som funktion af tiden (målt i antal år efter 1980) er i en matematisk model beskrevet ved den eksponentielle funktion f(x) = 2,25 · 1,076x.

I forskriften er begyndelsesværdien b = 2,25 og fremskrivningsfaktoren a = 1,076.

Modelbyggeren regner altså med, at der blev solgt 2,25 mio. billetter i 1980, og at antal solgte billetter herefter vokser 7,6 % pr. år. En anden måde at angive væksten på er ved at udregne den tid, der går, før antallet af solgte billetter er fordoblet. Det viser sig at være et fast tal, når man har at gøre med eksponentiel udvikling.

Det stykke på x-aksen, man skal gå frem, for at y-værdien bliver fordoblet, kaldes for fordoblingskonstanten (eller fordoblingstiden, hvis x-aksen er en tidsakse).

20* Sætning

y

For en voksende eksponentiel funktion f(x) = ba

x

4y

kan fordoblingskonstanten T2 beregnes med formlen:

2y

log(2) ln(2) T2 = = log( a ) ln( a )

y x

y

x + T2

x

x+2T2

21 Eksempel

40

I forlængelse af introduktionen kan vi udregne fordoblingstiden for antal 30

solgte billetter i krydstogtindustrien:

f

20

T2 =

10

log(2) = 9, 46 log(1, 076)

Altså fordobles antallet af solgte billetter, hver gang der er gået 9,46 år 10

20

30

40

ifølge modellen. På grafen ses dette ved, at hver gang vi går 9,46 ud på

x

x-aksen, så fordobles y-værdien.

For en aftagende eksponentiel funktion kaldes den tilsvarende konstant for halveringskonstanten (eller halveringstiden).

22 Sætning

y

For en aftagende eksponentiel funktion f(x) = bax

y

kan halveringskonstanten T1 beregnes med formlen: T1 = 2

1 log ⎛⎝ ⎞⎠ 2

log( a )

=

1 ln ⎛⎝ ⎞⎠ 2

2

1 2

y

1 4

y

ln( a ) x

x+T1 x+2 T1 2

90

5. Eksponentielle funktioner

2

x

23 Eksempel Når en organisme dør, stopper optagelsen af det radioaktive kulstof 14. Mængden vil efter døden aftage med en halveringstid på ca. 5730 år. Ved at måle indholdet af kulstof 14 kan man derved udregne, hvornår et oldtidsfund var levende. Hvis en egetræsplanke, der bruges til kølen på et vikingeskib, indeholder 0,16 mikrogram kulstof 14, så vil planken 5730 år senere kun indeholde 0,08 mikrogram kulstof 14.

24 Eksempel I et land med inflation på 5 % mister pengene 5 % af deres værdi hvert år. Regneforskriften i en model over, hvor meget 10 000 kr. forringes over årene, er f(x) = 10 000 · 0,95x. Halveringstiden for pengenes købekraftværdi udregnes ved brug af formlen i sætning 22: T2 =

1 log ⎛⎝ ⎞⎠ 2

log(0, 95)

= 13,51

Altså halveres værdien hver gang, der er gået 13,5 år ifølge modellen.

Da variablen x ikke indgår i de to formler, er det ligegyldigt, hvor på kurven vi starter:

25* Sætning Uanset hvor på kurven vi starter, vil funktionsværdien fordobles, når vi går T2 frem ved en eksponentielt voksende funktion, og halveres, når vi går T1 frem ved en eksponentielt aftagende funktion.

2

Ved udregning af fordoblingskonstanten leder vi efter den x-værdi, der får y-værdien fordoblet. Det svarer til at løse ligningen ax = 2 mht. x. Ved halvering skal vi løse ligningen ax = 12 . Begge ligninger kan løses med et CAS-værktøj.

26 Eksempel Fordoblingstiden målt i år for antal solgte billetter i krydstogtsindustrien kan bestemmes ved at løse ligningen 1,076 x = 2.

27 Øvelse I perioden 1964 til 2014 fik Warren Buffett den investerede kapital til at vokse med 20 % pr. år. Regneforskriften for den funktion, der modellerer udviklingen af 1000 kr. investeret hos Warren Buffett som funktion af antal år siden 1964, er f(x) = 1000 · 1,20x. a. Bestem fordoblingskonstanten (og husk enhed).

28 Øvelse En person indtager en pille med en bestemt type medicin, hvor der er 2 mikrogram aktivt stof. Indholdet af det aktive stof i kroppen aftager eksponentielt med 2,7 % pr. time.

Lad f(x) betegne antal mikrogram aktivt stof og x betegne antal timer efter indtagelsen: a. Bestem forskriften for f. b. Bestem halveringskonstanten (husk enhed).

5. Eksponentielle funktioner

91

5.4 Eksponentielle vækstmodeller 29 Introduktion Billedet viser et af de datacentre, der opbevarer data fra internettet. Man regner med, at datamængden vokser mindst 40 % om året.

Hvis vi sætter datamængden et givet år til indeks 100, kan udviklingen modelleres med funktionen f(x) = 100 · 1,40x, hvor x er antal år efter startåret.

Der er flere måder at opstille eksponentielle vækstmodeller på: Modelforskriften kan opskrives på baggrund af viden om halverings- eller fordoblingstid, ud fra to punkter på grafen, ved eksponentiel regression eller som her ud fra nogle antagelser om vækstraten.

Vi skal her se lidt nærmere på modelleringsprocessen og nogle af de problemstillinger, der er knyttet til brug af modeller.

30 Eksempel Et nystartet tv-show har 500 000 seere i januar 2017, og i de seneste 6 måneder er der i gennemsnit kommet omkring 10 % flere seere til hver måned. Vi vil bestemme antal seere i januar 2018 og om 5 år.

Problemstilling Hvor mange seere har showet om 1 og om 5 år?

Model f(x) = bax a = 1,10 b = 500 000 x = antal måneder efter januar 2017

Konklusion Der vil være 1,5 mio. seere i januar 2018 og 152 mio. seere i januar 2022, ifølge modellen.

Matematisk løsning Vi indsætter x = 12 og x = 60: f(12) = 500 000 · 1,112 = 1 569 214 f(60) = 500 000 · 1,160 = 152 240 820

31 Modelkritik Det virker urealistisk med over 150 mio. seere efter 5 år. Vækstraten vil sandsynligvis aftage til under 10 % pr. måned, inden der er gået fem år. Vi har imidlertid ikke nok informationer til at vurdere, hvordan den vil aftage.

Som en grov tommelfingerregel skal vi være meget forsigtige med at bruge vækstraten længere frem i tiden end det tidsrum, den er estimeret ud fra.

De 10 % pr. måned var estimeret ud fra 6 måneder i eksemplet her, så allerede vores første beregning for 1 år må antages at rumme store usikkerheder.

92

5. Eksponentielle funktioner

y

32 Alternativ repræsentationsform for den eksponentielle forskrift Indimellem ses eksponentielle forskrifter skrevet på formen f(x) = c · e x

kx

i

k

stedet for f(x) = b · a . Man har sat fremskrivningsfaktoren a = e , og begyndelsesværdien er omdøbt, så b = c.

f

4

g

Bogstavet e i fremskrivningsfaktoren er en talkonstant, der kaldes Eulers konstant.

2

Det er et irrationalt tal, der med 4 decimaler er lig med 2,7183.

I koordinatsystemet ses graferne for g(x) = 0,5 · e–0,8x og f(x) = e0,4x

2

4

x

Ideen med at bruge repræsentationsformen f(x) = c · ekx er, at funktionen er voksende, når konstanten k er positiv, og aftagende, når k er negativ.

33 Eksempel y

Vi ser på f(x) = 5 · 2x. Når vi skal omskrive til f(x) = c · ekx, udnytter vi, at a = 2, så 2 = ek.

20

Vi kan bestemme k ved at løse ligningen ek = 2 fx med et CAS-værktør. g

Med 2 decimaler giver det k = 0,69. Forskriften bliver dermed f(x) = 5 · e0,69x.

f

Vi ser så på g(x) = 3 · e–2x. Når vi skal omskrive til g(x) = b · ax, udnytter vi, at a = e–2 = 0,14 (med 2 decimaler). Forskriften er altså f(x) = 3 · 0,14x.

2

x

5. Eksponentielle funktioner

93

34 Øvelse En smertestillende pille indeholder 50 mikrogram aktivt stof. Stoffet optages i blodet, og mængden i blodet aftager derefter eksponentielt med tiden. Nogle forskere regner med, at der nedbrydes 2 % pr. time. Men grundet fysiologi, højde og vægt osv. vil nedbrydningshastigheden variere lidt fra menneske til menneske. a. Argumenter for, at vi har at gøre med en eksponentiel model, og at den er aftagende. b. Opstil en model på formen f(x) = b · ax, der beskriver mængden af medicin i blodet, hvor x er antal timer efter indtagelsen. c. Brug modellen til at vurdere, hvor mange mikrogram der er tilbage efter 8 timer.

35 Øvelse a. Skriv forskriften for f(x) = 4 · 1,6x på formen f(x) = c · ekx b. Skriv forskriften for f(x) = 100 · e–2,4x på formen f(x) = b · ax

5.5 Logaritmefunktioner 36 Introduktion Bakterier formerer sig ved deling. En bestemt bakterie kan blive til 10, for hver time der går. Efter 4 timer er hver bakterie blevet til: 104 = 10 000 styk. x (timer)

0

1

2

3

4

f(x)=10x (bakterier)

1

10

100

1000

10 000

Vi skal her se på den omvendte funktion til 10x. Den kaldes f(x) = log10(x) og gør det omvendte af 10x , så tabellen med funktionsværdier bliver også omvendt. x (bakterier)

1

10

100

1000

10 000

f(x)=log(x) (timer)

0

1

2

3

4

37 Definition Titalslogaritmen f(x) = log10(x) er den omvendte funktion til eksponentialfunktionen 10x. Den er defineret for alle positive tal.

Grafen for f(x) = log10(x) findes ved at spejle grafen for 10x i linjen y = x.

I koordinatsystemet er graferne for funktionerne log10(x) og 10x tegnet.

10x

Endvidere er linjen y = x vist med stiplet linje. log10(x)

• At funktionen log10(x) er omvendt funktion til funktionen 10x betyder, at vi bytter om på x og y-værdierne.

• Når vi spejler i linjen y = x, byttes rundt på x-koordinat og y-koordinat.

• Man finder altså log10(100) ved at forestille sig, hvad der skal stå på x-plads i 10x, for at det giver 100. Vi har altså log10(100) = 2, fordi 102 = 100.

38 Eksempel Vi vil se nærmere på udvalgte funktionsværdier for f(x) = log10(x). log10(1 000) er lig med 3, fordi 103 = 1 000. log10(100 000) er lig med 5, fordi 105 = 100 000.

39 Eksempel Titalslogaritmen skærer x-aksen i x = 1: log10(1) = 0, fordi 100 = 1.

For tal mellem 0 og 1 bliver logaritmen negativ: log10(0,1) = –1, fordi 10–1 = 0,1. log10(0,0001) = –4, fordi 10–4 = 0,0001.

94

5. Eksponentielle funktioner

40 Eksempel

y

På figuren ses grafen for funktionen f(x) = log10(x). Den viser, at funktionen er konstant voksende, men også, at funktionen vokser meget hurtigt for små

4 f

x-værdier og langsomt for store x-værdier.

2

f(1) = 0 f(100) = 2

200

f(1000) = 3

400

600

x

800

–2

f(1000000) = 6 Grafen når altså ikke y-værdien 6, før x-værdien er 1 million!

Der findes uendeligt mange forskellige logaritmefunktioner, idet alle tal kan være grundtal, på samme måde som tallet 10 er det i 10-talslogaritmen.

41 Definition

ex

Den naturlige logaritme skrives ln(x) eller loge(x) og er den omvendte funktion loge(x)

til eksponentialfunktionen f(x) = ex

Titalslogaritmen og den naturlige logaritme er de mest almindeligt brugte logaritmer.

Hvis man blot skriver log(x), er det underforstået, at der menes titalslogaritmen. ln(x)

42 Eksempel

log10(x)

På figuren vises graferne for de to logaritmefunktioner.

Alle logaritmefunktionernes grafer går gennem punktet (1,0).

(1,0)

43 Øvelse Beregn følgende uden CAS, men brug gerne tabellen med udvalgte funktionsværdier for f(x) = 10x : x

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

10x

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

10 000

100 000

1 000 000

a. log10(10) b. log10(1000 000) c. log10(0,01) d. log10(0,001) e. ln(e).

5. Eksponentielle funktioner

95

5.6 Logaritmer og eksponentielle ligninger 44 Introduktion Lydtryksniveau måles med decibelskalaen (dB).

Ved en rockkoncert tæt på højttaleren er lydtryksniveauet tæt på smertegrænsen på 130 dB. Når smertegrænsen kun ligger dobbelt så højt på skalaen som almindelig tale, skyldes det, at dB-skalaen er logaritmisk.

Den fysiske enhed for lydintensitet er Watt pr. m2.

Man kan forestille sig et areal i luften på 1 m2 og lydintensiteten er så det antal Watt, der kommer gennem arealet.

• 70 dB svarer til 0,00002 W/m2 • 96 dB svarer til 0,004 W/m2 (altså 200 gange større lydintensitet end ved 70 dB) • 130 dB svarer til 10 W/m2 (altså 500 000 gange større lydintensitet end ved 70 dB) Det er svært at tegne en graf i et koordinatsystem, hvor en af y-værdierne er

1 2

mio.

gange større end en anden.

45 Enkeltlogaritmisk koordinatsystem Et koordinatsystem, hvor y-aksen er logaritmisk, kaldes et enkeltlogaritmisk koordinatsystem.

Man kan konstruere et koordinatsystem med logaritmisk skala ved at starte med et almindeligt koordinatsystem. På y-aksen opfattes tallene nu som eksponenter i 10x. Der, hvor der står 2, skal der nu stå 102 = 100 og der, hvor der står 3, skal der stå 1000, da 103 = 1000, osv.

3

103 = 1 000

2

102 = 100

1

101 = 10 100 = 1 1

2

3

4

1

2

3

4

46 Eksempel Grafen for f(x) = 5x er svær at tegne i et almindeligt koordinatsystem, hvis man skal kunne se de tre punkter i tabellen. Her er

3

10 = 1 000

en logaritmisk skala smart. Bemærk, at grafen for f(x) = 5x, der er

2

10 = 100

en eksponentiel funktion, bliver en ret linje. Dette gælder for

101 = 10

alle eksponentielle funktioner; deres graf er en ret linje, når

100 = 1 1

96

2

3

4

y-aksen er logaritmisk.

5. Eksponentielle funktioner

x

f(x)=5x

0

1

1

5

4

625

Logaritmer viser sig at være meget nyttige, når man skal løse eksponentielle ligninger som fx 2x = 5.

47 Sætning 1. log(a · b) = log(a) + log(b) 2. log( a ) = log(a) – log(b b

48 Eksempel Vi vil løse ligningen 2x = 5 uden brug af CAS. log(2x) = log(5)

Vi har taget logaritmen på begge sider af lighedstegnet.

x · log(2) = log(5)

Vi har brugt regel 3 på venstre side.

log(5) x= log(2)

Vi har divideret med log(2) på begge sider af lighedstegnet.

Med 2 decimaler kan det udregnes til x = 2,32.

49 Eksempel Fordi log(x) er omvendt funktion til 10x gælder der om ethvert positivt tal x, at: x = log(10x) og x = 10log(x). Om tallet 7 gælder eksempelvist 7 = 10log(7).

50 Eksempel Ligningen log(x)= 3 kan løses ved at udnytte at log(x) er den omvendte funktion til 10x på følgende måde 10log(x) = 103 x = 103

51 Øvelse Brug logaritmeregneregler til at isolere den ubekendte i nedenstående ligninger. a. 8x = 3 b. 15 = 2n c. 10 = 5 · 3x d. 1200 = 1000 · 1,05n

52 Øvelse Løs nedenstående ligninger a. log(x) = 5 b. log(5x) = 2

5. Eksponentielle funktioner

97

5.7 Ræsonnementer og beviser – eksponentielle funktioner

[5 Sætning]

y

Grafen for en eksponentiel funktion f(x) = b · ax skærer y-aksen i punktet (0,b). b

x

53 Bevis for sætning 5 På y-aksen er x-værdien 0. Vi indsætter 0 på x’s plads og beregner funktionsværdien: f(0) = b · a0 = b · 1 = b. Funktionsværdien i 0 er altså altid lig med konstanten b. Derfor kan vi konkludere, at grafen går gennem punktet (0,b).

[12 Sætning] For en eksponentiel funktion med forskriften

y

f(x) = b · ax, hvis graf går gennem de to punkter (x1 , y 1) og (x 2 , y2), gælder det, at konstanterne a

P1(x1,y1)

og b kan bestemmes ud fra formlerne: y

a. a = x2 − x1 y2 1 b. b =

y1 a

x1

P2(x2,y2)

x

54 Bevis for sætning 12 Hvis en eksponentiel funktion med forskriften f(x) = b · ax går gennem to punkter med koordinaterne (x1 , y1) og (x2 , y2), så passer disse to punkters koordinater i forskriften: y1 = b · ax1 og y2 = b · ax2

98

5. Eksponentielle funktioner

Vi regner nu således for at vise formlen

Og vi regner således for at vise

til beregning af a (vi husker, at a > 0):

formlen til beregning af b:

y2 b⋅a = x y1 b⋅a

x2

y1 = b ⋅ a x1

1

y1 x = b a

x2

y2 a = x y1 a

1

1

y2 = a x2 − x1 y1 x 2 − x1

y2 =a y1

[20 Sætning] Fordoblingskonstanten T2 kan beregnes med formlen: T2 =

log(2) ln(2) = log( a ) ln( a ) y

55 Bevis for sætning 20 T2 er en afstand, der, lagt til x, vil give den

ba x +T2 = 2ba x

dobbelte y-værdi, dvs. 2bax, derfor gælder:

a x +T2 = 2a x

ba x +T2 = 2ba x I denne ligning isoleres størrelsen T2 ved en række omformninger.

8bax f

a x aT2 = 2a x aT2 = 2 log(2) = T2 log(a)

4bax 2bax

log(2) ln(2) T2 = = log( a ) ln( a )

bax x

x + T2

x + 2T2 x + 3T2

x

[25 Sætning] Uanset hvor på kurven vi starter, vil funktionsværdien fordobles, når vi går T2 frem ved en eksponentielt voksende funktion, og halveres, når vi går T1 frem ved en eks2

ponentielt aftagende funktion.

56 Bevis for sætning 25 I beviset for sætning 20 ovenfor foretog vi udregningen: ba x +T2 = 2ba x a x +T2 = 2a x a x aT2 = 2a x aT2 = 2

Derved kan det ses, at variablen x er gået ud, og at T2 udelukkende afhænger af fremskrivningsfaktoren a. Når a er kendt, kan T2 altså bestemmes ved at løse ligningen: 2 = aT2

57 Øvelse Bevis, at: Halveringskonstanten T1 kan beregnes med formlen: T1 = 2

2

1 log ⎛⎝ ⎞⎠ 2

log( a )

=

1 ln ⎛⎝ ⎞⎠ 2

ln( a )

5. Eksponentielle funktioner

99