Hvad er matematik? 2 by Alinea

0. Hvad er matematik?

Hvad er matematik?

2 Grundbog BjĂ¸rn GrĂ¸n Bodil Bruun Olav Lyndrup

L&R Uddannelse

9788770668699_indhold.indb 1

08/05/2019 11.52

Hvad er matematik? 2 Bjørn Grøn, Bodil Bruun, Olav Lyndrup © 2018 L&R Uddannelse, København - et forlag under Lindhardt og Ringhof A/S, et selskab i Egmont Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler. Forlagsredaktion: Iben Stampe-Sletten Billedredaktion: Nina Jensen Grafisk tilrettelægning: Andreas Schnalke, Kommunikations-Design Omslagslayout: Ulla Korgaard, Designeriet Tryk: Livonia Print 1. udgave 2. oplag 2019 ISBN 978 87 7066 869 9 www.lru.dk Bogens illustrationer Forlaget har forsøgt at finde og kontakte eventuelle rettighedshavere, som kan tilkomme honorar i henhold til loven om ophavsret. Skulle der mod forventning være rettighedshavere, som måtte have krav på vederlag, vil forlaget udbetale et sådant, som om der var indgået aftale. Alessio Bernardelli: 33 American Lung Association: 237 Andreas Schnalke: 18th, 18tv Anthony Hare: 93n Archiv der BBAW: 206n Bankof England, 125mf Bjørn Felsager: 76, 268 Carlsberg Laboratory: 141tv CartoonStock/W.B. Park: 17 Charles Tilford: 27mf Coin Archives, LCC: 124 Colourbox: 246 Danske Spil: 350ø Det videnskabshistoriske Billedarkiv: 141th EPFL: 147ø Egmont: 32 Serieforlaget Epipnion: 367, 369, 373 Europe Cultural Heritage: 35, 36, 54ø/n, 56n, 57, 207 Flickr: 8n, Chris Moran 19 Frederiksborgmuseet: 145n Gauß-Gesellschaft Göttingen e.V.: 110 A. Wittmann Growth Dynamics: 260 GM Racing Photo: 94 Richard Prince Guido B: 74, 75 Harvest/Capitol: 29nth Hawk Films/Columbia Pictures: 339ntv International Institute of Social History: 233th iStockPhoto: 93mf, 258, 347, 348 JP/Politikens Hus: 340, 346 Keith Flaherty: 93ø

Kroppedal Museum: 122 Københavns Bymuseum: 335ø Københavns Politis Informationsafdeling: 272 Library of Congress: 242, 336th Museo Galileo: 61 NASA: 8ø, 335nth Nasim Mansurov: 27n One Man/v Jakob Strandberg: 29ø, 31ø, 56ø Photos.com: 145ø, 244 Joggie Botma, 260 Oleg Fedorenko Polfoto: 30øtv Bettmann, 31 Corbis, 121 Iberfoto, 140 Povlonis Innovation: 146ø Portsmouth Estate: 206ø Royal Society Picture Library: 199n Scanpix: 30øth SPL, 119, 125n, 146n Mary Evans Picture Library: 199ø Shutterstock: Robert Neumann 28 Smithsonian: 201, 202 Stanford University: 350n Sund og Bælt: 185 Søren Madsen The Trustees of the British Museum: 81 Thinkstock: 62 Tourstart.org: 282 University of Delaware: 233tv University of California: 339nth White Sands Missile Range/ Applied Physics Laboratory: 339ø Wikimedia Commons: 24ø Wolfgang Beyer, 24n a-e, 148, 265m, 305, 325th

HEM2_00.indd 2

28/05/2019 09.22

Indholdsfortegnelse

Indholdsfortegnelse Forord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0. Hvad er matematik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1. 1.1 1.2 1.3 2. 2.1 2.2 2.3 3.

Iteration og kaos – værktøjsprogrammer åbner nye verdener. . . . . . . . . . . . . . . . 9 Kan vi bevise det? – Om tiltrækkende og frastødende fixpunkter . . . . . . . . . . . . . . . 10 Kan vi generalisere? – Kvadratisk iteration og opdagelsen af Figentræet . . . . . . . . . 12 Feigenbaums opdagelse af en ny naturkonstant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Matematikkens skønhed – fraktalernes verden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Generalisering af dimensionsbegrebet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Kan vi beregne det? Areal og omkreds af Kochs fraktale figurer . . . . . . . . . . . . . . . 22 Opdagelsen af Mandelbrotmængden i den komplekse talplan. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1. Matematisk modellering med funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1. 1.1 1.2 1.3 2. 2.1 3. 4.

Regnbuen – lys og farver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Den matematiske modellering af regnbuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modellering af spredningsvinklen som funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Descartes geometriske modellering af spredningsvinklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Løsning af optimeringsproblemer ved matematisk modellering . . . . . . . . . . . . . . Eksempler på optimeringsproblemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regningsarterne anvendt på funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 31 32 35 37 39 49 51

2. Andengradspolynomiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 2. 2.1 2.2

3. 4. 4.1 5. 5.1 5.2 5.3 6.

Ballistik – I krig med matematikken som våben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ulven kommer – om kunsten at skyde med artilleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parablen kommer på banen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Galileis metode og ræsonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Det skrå kast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andengradspolynomiet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Betydning af koefficienterne a, b og c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parablens symmetri og toppunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prototypen for andengradspolynomiet p1(x) = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andengradspolynomiet pa (x) = a · x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andengradspolynomiet p(x) = a · x2 + b · x + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bestemmelse af forskrift ud fra graf – andengradsregression . . . . . . . . . . . . . . . Andengradsligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafisk løsning af andengradsligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anvendelser af andengradspolynomiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hvor bred skal stien være?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gødskning i landbruget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flere anvendelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 53 56 58 62 64 65 67 67 68 68 73 77 82 85 85 87 89 91

9788770668699_indhold.indb 3

08/05/2019 11.52

3. Polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 1. 1.1 1.2 2. 2.1 2.2 3. 3.1 4. 4.1 4.2 5.

Moderne design med Bézier-kurver og tredjegradspolynomier . . . . . . . . . . . . . . Syning af en Bézier-kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konstruktion af Beziér-kurven som geometrisk kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tredjegradspolynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Betydningen af koefficienterne a, b, c og d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vendepunktet og symmetrien for et tredjegradspolynomium (især for A-niveau) . . Vilkårlige polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynomiernes egenskaber og grafiske forløb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anvendelse af polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regressionsmodeller med polynomier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynomierne i Pascals trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 95 96 98 102 104 107 108 114 114 116 117

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . 118 1. Den franske revolutions logaritmefabrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 1.1 Tabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 1.2 Konstruktionen af logaritmerne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 John Napiers logaritmer og Henry briggs forbedringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 1.3 Tabelfabrikken og princippet i interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2. Logaritmefunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 2.1 log(x) og 10x som omvendte funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 2.2 Den naturlige logaritmefunktion, ln(x) og den naturlige eksponentialfunktion ex som omvendte funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3. Logaritmeregneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4. Sammenhængen mellem a x og e k·x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5. Linearisering og anvendelsen af logaritmer i andre fag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.1 Linearisering af eksponentielle sammenhænge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.2 Linealisering af potenssammenhænge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.3 Richterskalaen – et mål for hvor kraftige jordskælv er. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.4 pH-skalaen – et mål for hvor stærke syrer eller baser er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.5 Decibelskalaen – et mål for lydstyrke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6. P rojekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5A. Differentialregning 1 – Om polynomier og monotoniforhold . . . . . 144 1. 1.1 1.2 1.3 2. 3. 3.1 3.2 4. 4.1 4.2 5.

Hvordan udnytter man vindens energi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poul la Cour og den danske vindmølletradition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energien i den luftmængde der rammer en mølle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Betz’ lov – der er en grænse for, hvor stor en del vi kan udnytte . . . . . . . . . . . . . . . Kontinuitet, grænseværdi og kontinuerte funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentiable kurver og differentialkvotienter – introduktion . . . . . . . . . . . . . . . Væksthastighed og de fire repræsentationsformer for f ′. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentiabilitet udtrykt i formel-sprog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentiation af polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentiation af x2, x3, ..., xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regneregler – differentiation af k · f, f + g, f – g og f · g . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bestemmelse af tangentligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145 145 148 151 154 160 165 167 172 172 176 180

9788770668699_indhold.indb 4

08/05/2019 11.52

Indholdsfortegnelse

6. 6.1 6.2 6.3 6.4 7. 7.1 7.2 8.

ifferentialregningens hovedsætninger – lokale ekstrema D og monotoniforhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Maks-min-sætningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Rolles sætning og middelværdisætningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Monotonisætningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Monotoniforhold i praksis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Anvendelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Toppunkter og vendepunkter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Værktøjer og optimeringsopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Projekter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5B. Differentialregning 2 – Om specialfunktioner og krumningsforhold . 198 1. 1.1 2. 2.1 2.2 2.3 3. 4. 4.1 4.2 5. 5.1 6. 7. 8.

Det store paradigmeskifte – fra geometri til analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Er alle funktioner polynomier? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Differentialregningens oprindelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Betegnelserne x, f ′( x), dy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 dx Differentialkvotient – via sekantligninger eller via differenskvotienter . . . . . . . . . . . . . 208 Differenskvotient og tretrinsreglen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Sammensat funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Differentiation af sammensat funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Det lineære tilfælde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Det generelle tilfælde (især for A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Differentiation af eksponential-, logaritme-, og potensfunktioner . . . . . . . . . . . . 218 To specialtilfælde af potensfunktioner: 1x , x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Grafers krumning og den anden afledede funktion (supplerende stof) . . . . . . . . 225 Hvad man skal kunne differentiere på B og på A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Projekter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

6. Matematisk modellering med afledede funktioner . . . . . . . . . . . . . . 232 1. 1.1 1.2 2. 2.1 2.2 3.

Den logistiske vækstmodel – 2 gange glemt – 2 gange genopdaget. . . . . . . . . Verhulsts opdagelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modellen genopdages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentialligningsmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineære og eksponentielle modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fra sproglig form til logistisk differentialligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

233 233 239 243 249 254 263

7. Vektorer og analytisk geometri i planen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 1. 1.1 1.2 1.3 2. 3. 4.

Ellipsens fantastiske egenskaber. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ellipsen karakteriseret ved dens geometriske egenskaber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ellipsens ligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hvor fladtrykt er ellipsen – ellipsens excentricitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Begreber og metoder fra vektorregningen genopfriskes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cirkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Den rette linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

265 265 269 270 271 273 279

9788770668699_indhold.indb 5

08/05/2019 11.52

4.1 4.2 5. 6. 6.1 6.2 7. 8.

Parameterfremstilling for en ret linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ligningen for en ret linje på normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vinkel mellem linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skæring mellem linjer og cirkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skæring mellem linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skæring mellem linje og cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Afstand mellem punkt og linje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

279 285 291 294 294 297 297 303

8. Numeriske metoder og algoritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 1. 1.1 1.2 1.3 2. 2.1 2.2 3. 3.1 3.2 4. 4.1 4.2 5. 5.1 5.2 6. 7.

Regression, interpolation og secret sharing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Runges eksempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lagrangeinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Secret sharing – om at gemme og dele hemmeligheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regressionsanalyse og bedste rette linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Residualplottet og spredning af residualerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stykkevis definerede funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Det lineære tilfælde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Det eksponentielle tilfælde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modellering af svingninger og sinusregression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinusregression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Harmoniske svingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numerisk bestemmelse af nulpunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bisektionsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Newton Raphsons metode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynomiers division og polynomiumsbrøker (især A-niveau) . . . . . . . . . . . . . . . Projekter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

305 307 309 312 314 314 317 320 320 322 324 325 327 328 329 329 331 333

9. Binomialfordelingen – Om testteori og konfidensintervaller . . . . . . 334 1. 2. 2.1 3. 4. 4.1 4.2 5. 5.1 6. 7. 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 8.

Bomberegn over London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tankegangen i binomialtest – handskerne i Jammerbugten . . . . . . . . . . . . . . . . . Simulering under antagelsen af nulhypotesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Retssagsmetaforen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomialmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Middelværdi og spredning af stokastiske variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Middelværdi og spredning i Bernoulliforsøg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomialfordelingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Det mest sandsynlige udfald i en binomialfordeling (især for A-niveau) . . . . . . . . . . Binomialfordelingen og normalfordelingstilnærmelsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anvendelser af binomialfordelingen – testteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opinionsundersøgelser og usikkerhed på stikprøver – konfidensintervaller. . . . . . . Betydning af stikprøvens størrelse og estimering af andelen . . . . . . . . . . . . . . . . . Besvarelse af vejledende eksamensopgave med konfidensintervaller . . . . . . . . . . . Binomialtest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Besvarelse af vejledende eksamensopgave med binomialtest . . . . . . . . . . . . . . . . . Projekter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

335 340 342 347 349 352 357 358 362 364 367 367 369 373 374 375 377

9788770668699_indhold.indb 6

08/05/2019 11.52

Indholdsfortegnelse

Forord – Før du går i gang Hvad er matematik? 2 dækker sammen med bog 1 B-niveau og er 2. bog ud af 3 til A-niveau. Bogen er skræddersyet til de faglige mål, det faglige indhold og de krav til tilrettelæggelse af undervisningen, som er formuleret i læreplanerne fra 2017. Bogen findes som papirbog og som e-bog. De to versioner er fuldstændigt identiske mht. sidetal og opsætning, og de kan således umiddelbart anvendes sammen. Den nye serie af Hvad er matematik? har tre nye features i forhold til de tidligere C, B og A-bøger:

• QR-koder med direkte links til projekter, studieretningskapitler, vejledninger til værktøjsprogrammer, større datamaterialer, alternative beviser, filmklip og andre ekstra materialer. I e-bogen er disse links aktive. Arbejder man med papirbogen, skal man anvende en app, der kan læse QR-koder.

• Facitliste til bogens mange øvelser. Dette giver bedre muligheder for at lade eleverne selv arbejde med stoffet, som lektier og i de enkelte lektioner. Facitlisten ligger på bogens website. • Kontrolspørgsmål til alle bogens begreber, definitioner og metoder. Der er udarbejdet spørgsmål til alle bogens afsnit, også de indledende fortællinger. Spørgsmålene kan fx anvendes til at præcisere en lektie og som grundlag for et gruppearbejde, og kan anvendes af eleverne i en repetitionsfase. Spørgsmålene findes på bogens website og indgår også i opgavebøgerne. Alt ekstramateriale kan let tilgås samlet på bogens website.

Kernestof og ekstramaterialer Læreplanens faglige mål er beskrevet i temaer. En del er foldet ud i kernestof og supplerende stof, andet er formuleret i overskrifts-form, som læreren selv må give kød og blod. Blandt de mere end 80 projekter, de 10 indledende fortællinger til bogens kapitler og de 5 særlige studieretningskapitler findes inspiration og færdige forløb. Det kan være eksempler på matematikkens anvendelser eller på matematikkens udvikling, større autentiske datasæt, matematiske tekster på engelsk og forløb om matematisk modellering, om diskret matematik eller om matematisk teori.

Arbejdsformer og de matematiske værktøjsprogrammer Til alle bogens emner er der forslag til eksperimenterende forløb, hvor eleverne selv kan arbejde sig frem til ny indsigt. Overalt, hvor en ny metode introduceres, kan man finde vejledning til hvordan dette håndteres i de gængse matematiske værktøjsprogrammer.

Siden vi startede arbejdet, har vi desværre mistet vores nære ven og altid inspirerende deltager i vores arbejdsfællesskab, Bjørn Felsager. Hans aftryk findes i mange af bøgernes materialer. Bjørn Grøn

Bodil Bruun

Olav Lyndrup

9788770668699_indhold.indb 7

08/05/2019 11.52

Hvad er matematik?

Iteration og kaos – værktøjsprogrammer åbner nye verdener. . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1 Kan vi bevise det? – Om tiltrækkende og frastødende fixpunkter . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Kan vi generalisere? – Kvadratisk iteration og opdagelsen af Figentræet . . . . . . . . . . 12 1.3 Feigenbaums opdagelse af en ny naturkonstant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. 2.1 2.2 2.3

Matematikkens skønhed – fraktalernes verden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Generalisering af dimensionsbegrebet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Kan vi beregne det? Areal og omkreds af Kochs fraktale figurer . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Opdagelsen af Mandelbrotmængden i den komplekse talplan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Matematik er både en meget gammel og en meget moderne videnskab. Fra de tidligste vidnesbyrd om skrift og tal i oldtidens forskellige kulturer kan vi se, at de har stillet sig opgaver, hvis løsning kræver beregninger. Det har i alle kulturer både drejet sig om praktiske opgaver som udmåling af landområder, og om opgaver af mere erkendelsesmæssig karakter. Er der et system i himmellegemernes bevægelser? Er der en metode, en algoritme til at foretage multiplikation og division eller til at løse ligningssystemer? Gennem hele historien er der udviklet stadig mere raffinerede hjælpemidler, tabeller, tegneredskaber, regnemaskiner frem til de moderne værktøjsprogrammer. I den græske kultur udvikles ideen om det matematiske bevis for en matematisk sætning. Man stræber efter sikker viden, men når så også frem til, at dette kræver, vi selv definerer vores objekter, og skaber vores eget univers. På den måde er matematikkens verden blevet stadig større og stadig mere forunderlig. Vi fortæller i det følgende historien om, hvordan nye fraktale verdener blev opdaget eksperimentelt med brug af de nye værktøjer, og hvordan de med definitioner og sætninger er blevet en del af matematikken store bygningsværk

9788770668699_indhold.indb 8

08/05/2019 11.52

0. Hvad er matematik?

1. I teration og kaos – værktøjsprogrammer åbner nye verdener I 1970’erne kom de første programmerbare lommeregnere på markedet. Det løftede disse matematiske hjælpemidler op i et nyt univers, fra at være regnemaskiner med stadig større regnekraft, der kunne løse store ligningssystemer og andre klassiske opgaver, blev det nu til matematiske værktøjsprogrammer, der kunne anvendes til at udforske nye verdener, der ikke før var tilgængelige. Et program er et sæt af instruktioner, der skal udføres i en bestemt rækkefølge, og hvor kørslen af dette program kontrollerer en avanceret lommeregner eller en computer. Det kan fx være, at programmet får computeren til at bestemme et nulpunkt for en funktion ved at gentage den samme beregning igen og igen, indtil vi har opnået et ønsket antal decimaler. Det karakteristiske træk ved alle programmer er netop gentagelsen af en række instruktioner indtil … Instruktionerne skrives i et særligt programmeringssprog, og der findes i dag tusindvis af sådanne sprog. Men alle programmer har jo kun et endeligt antal instruktioner, og for at kunne styre komplicerede processer, så er kernen i al matematisk programmering gentagelse.

Da Sally Ride i 1983 som den første kvindelige amerikanske astronaut blev sendt op og svæve i rummet med en rumfærge, var hun ledsaget af den uundværlige lommeregner – ikonet på den moderne naturvidenskab.

En gentagelse af en procedure eller af en række instruktioner kalder vi i matematik for en iteration. Og det var netop gennem studiet af iterative processer, at pionererne inden for dette nye matematiske felt gjorde deres store opdagelser – i første omgang ved hjælp af en programmerbar lommeregner! Lad os i det følgende tænke på et konkret eksempel. Vi lader xn betegne størrelsen af en bestemt population til tiden n, hvor størrelsen af det næste års population xn+1 alene afhænger af størrelsen af den foregående, dvs. xn+1 = f(xn) Vi kalder funktionen f for fremskrivningsfunktionen og ligningen for fremskrivningsligningen. Vi siger også, at vi itererer (dvs. gentager regneoperationen), når vi benytter fremskrivningsligningen mange gange for at se, hvordan populationen udvikler sig i det lange løb:

x1 = f(x0)

x2 = f(x1)

x3 = f(x2) osv.

Mitchell Feigenbaum (f. 1944) i 70'erne. I 1974 fik han sin første programmerbare lommeregner, den legendariske HP65, og startede øjenlikkeligt sin udforskning af iterationernes verden.

Matematiske eksperimenter

9788770668699_indhold.indb 9

08/05/2019 11.52

Øvelse 0.1

Iteration

2 1  a) Prøv fx at vælge startværdien x0 = 1, og gentag iterationen x → 2 ⋅  x + x  mange   gange. Hvad sker der? a 1  b) Opret en skyder for parameteren a. Hvad sker der i iterationen x → 2 ⋅ x + x for   forskellige værdier af a?

Hjælp: I mange værktøjsprogrammer findes metoder til hurtige genberegninger.

1.1 Kan vi bevise det? Om tiltrækkende og frastødende fixpunkter Hvis fremskrivningsfunktionen f er lineær, f(x) = a·x+ b, fås en lineær iteration. Hvordan populationen udvikler sig, afhænger nu af størrelsen af parameteren a, dvs. hældningskoefficienten for fremskrivningsfunktionen.

Øvelse 0.2

Lineær iteration

a) Opret skydere for a og b, hvor a kan antage værdier i intervallet fra –2 til 2, mens b kun kan antage positive værdier, fx fra 0 til 5. Vælg en passende startværdi, fx x0 = 2, og opret et passende regneark, der viser populationens udvikling i de første 100 år/ generationer. Find selv ud af, hvordan dit værktøjsprogram håndterer iterationer. b) Opret tidsserie-grafen for xn som funktion af generationsnummeret n. Hvordan afhænger populationens opførsel af a og b? Illustrer opførslen med billedet af typiske grafer.

xn+1 x1

(x0 ,x1)

xn+1

y=x x1

(x1,x1)

y=x

(x0 ,x1)

(x1,x1)

y=x

(x0 ,x1)

(x1,x1)

x3 (x2 ,x2)

(x1,x2)

y=f(x)

Første iteration: x0→ x1

Diagrammer viser strukturen og giver overblik.

(x1,x2) y=f(x)

y=f(x)

xn x0

(x2 ,x2)

xn x0

Anden iteration: x1→ x2

Spindelvæv: xn→ xn+1

Når man skal undersøge opførslen grafisk, bruges ofte et returplot også kaldet et webdiagram (spindelvæv), fordi det i nogle sammenhænge kan minde lidt om et edderkoppespind. I et returplot afbildes xn+1 op ad andenaksen og xn ud ad førsteaksen. Graf-

9788770668699_indhold.indb 10

08/05/2019 11.52

0. Hvad er matematik?

punktet (xn,xn+1) ligger da netop på grafen for fremskrivningsfunktionen f, som derfor tegnes med ind i diagrammet. Endelig tegner man også diagonalen y = x. Første iteration: Man vælger nu en tilfældig startværdi x0 på førsteaksen. Derefter trækkes en lodret linje op til grafen for fremskrivningsfunktionen f. Den tilhørende y-værdi er da netop x1. Traditionelt overføres den til y-aksen, men her skal vi have den tilbage til x-aksen. Vi trækker derfor en vandret linje hen til diagonalen. Den tilhørende x-værdi er da netop x1. Anden iteration: Derefter gentages processen (iteration), dvs. der trækkes en lodret linje til grafen for fremskrivningsfunktionen f. Traditionelt gøres det fra x-aksen, men her gør vi det fra diagonalen. Den tilhørende y-værdi er da netop x2. Traditionelt overføres den til y-aksen, men her skal vi have den tilbage til x-aksen. Vi trækker derfor en vandret linje hen til diagonalen. Den tilhørende x-værdi er da netop x2. Spindelvæv: Fortsættes på denne måde, får vi nu spundet web-diagrammet på samme måde, som en edderkop spinder sit spind.

Øvelse 0.3

Webdiagrammer – parametrenes betydning

a) Undersøg, hvordan dit værktøjsprogram håndterer web-diagrammer. Hvis det ikke er indbygget som en mulighed, kan du i stedet forskyde listen med populationsværdierne på passende vis og så selv bygge grafen op. På bogens website er der hjælp til, hvordan man gør. b) Opret igen skydere for parametrene a og b. Hvilken indflydelse har a på spindets udseende? Hvilken indflydelse har b?

Definition: Fixpunkt Et punkt, hvorom det gælder, at det afbildes i sig selv, kaldes for et fixpunkt. Er vi i to dimensioner, og ser vi på den grafiske repræsentation, så fremtræder et fixpunkt som skæringspunktet (x* , x*) mellem grafen for fremskrivningsfunktionen f og diagonalen y = x. I et sådant punkt gælder der åbenlyst x* = f ( x* ).

Hvis vi vælger x∗ som startværdi, finder vi

x1 = f(x0) dvs. f(x∗) = x∗

x2 = f(x1) dvs. f(x∗) = x∗ osv.

Matematisk definition

y y=x y=f(x)

Dvs. populationen ændres ikke. En sådan løsning kaldes derfor også for et stationært punkt. Der findes to slags fixpunkter, idet de kan være tiltrækkende, (hvor nærtliggende x-værdier bevæger sig ind mod fixpunktet), eller de kan være frastødende, (hvor nærtliggende x-værdier bevæger sig væk fra fixpunktet). For en lineær iteration gælder åbenbart (jfr. øvelse 0.1):

(x∗,x∗ )

x x0

9788770668699_indhold.indb 11

08/05/2019 11.52

Sætning 1: Tiltrækkende og frastødende fixpunkter Matematisk sætning

Hvis parameteren a er mellem -1 og 1 (dvs. | a| < 1), så er fixpunktet tiltrækkende. Hvis parameteren a er numerisk større end 1, dvs. | a| > 1, så er fixpunktet frastødende.

Hvis parameteren a har den numeriske værdi 1, dvs. | a| = 1, så er iterationen stationær.

Bevis Matematisk bevis

Vi udregner afstanden til fixpunktet: x − x = f(x ) − f(x ) x nn ++11 − x* = f ( x nn ) − f ( x* ) * * = a ⋅ x n + b − a ⋅ x* + b = a ⋅ x n + b − a ⋅ x* + b = a ⋅ x n − a ⋅ x* = a ⋅ x n − a ⋅ x* = a ⋅ x n − x* = a ⋅ x n − x*

((

( (

))

) )

Anvend definitionen på fremskrivningsformlen og på et fikspunkt Indsæt forskriften for fremskrivningsfunktionen f Reducer Sæt parameteren a uden for en parentes

Konklusion: Afstanden fra populationen til fixpunktet bliver ganget med a ved hver iteration. Afstanden følger en eksponentiel udvikling med grundtallet | a|. Vores viden om eksponentielle udviklinger giver så konklusionen – se fx sætning 2, side 142 i bog 1. Lineær iteration kan åbenbart føre til eksponentiel vækst!

1.2 Kan vi generalisere? Kvadratisk iteration og opdagelsen af Figentæet y

y=x

1 a 4

y = a·x· (1– x)

V i vender os derefter mod iterationer, hvor fremskrivningsfunktionen ikke er lineær, men er et andengradspolynomium på formen f(x) = a · x · (1– x). Grafen for fremskrivningsfunktionen er en parabel, der skærer x-aksen i x= 0 og x=1. I kapitel 2, Andengradspolynomier, går vi i dybden med parabler. Af grafen fremgår det, at parablen har toppunkt i x = 1 med 2 funktionsværdien f 21 = a ⋅ 21 ⋅ 1 − 21 = 4a . Startværdien x0 for populationen ligger mellem 0 og 1. Hvis de følgende iterationer også skal ligge mellem 0 og 1, må vi forlange, at der gælder: 0 < a < 4. Overvej selv hvorfor!

()

x 1 2

(

)

D enne type iteration kaldes ofte for kvadratisk iteration. Men til ære for Feigenbaum, der gjorde sine "vidunderlige opdagelser" med netop denne type iteration, kaldes den også for Feigenbaum-iteration. I kapitel 6 vender vi tilbage til den under emnet logistisk vækst. I kapitlet ligger et projekt om logistisk iteration.

9788770668699_indhold.indb 12

08/05/2019 11.52

0. Hvad er matematik?

Øvelse 0.4

Hvordan afhænger populationens udvikling af parameteren a

a) Opret skydere for a og startværdien x0, hvor a kan antage værdier i intervallet fra 0 til 4, mens x0 kan antage værdier fra 0 til 1. Opret et passende regneark, der viser populationens udvikling i de første 100 år/generationer. Hvordan kan du se i regnearket, om populationens udvikling stabiliseres i et bestemt mønster? b) Opret tidsserie-grafen for xn som funktion af generationsnummeret n. Hvordan afhænger populationens udvikling af a og x0? Illustrer dette med billedet af typiske grafer.

Øvelse 0.5

Webdiagrammer og parameteren a

a) Opret skydere for a og startværdien x0, hvor a kan antage værdier i intervallet fra 0 til 4, mens x0 kan antage værdier fra 0 til 1. Opret som i øvelse 0.4 et passende regneark, der viser populationens udvikling de første 100 generationer. b) Opret web-diagrammer for xn+1 som funktion af xn. Illustrer igen udviklingen med billedet af typiske grafer. Angiv også passende udsnit af regnearket, der illustrerer dette.

Øvelserne illustrerer, at den kvadratiske iteration afhængigt af parameteren a kan have et tiltrækkende fixpunkt. Så længe der er et tiltrækkende fixpunkt, er dynamikken meget overskuelig, idet alle startværdier mellem 0 og 1 før eller siden suges ind til fixpunktet. Men hvad sker der for andre værdier af parameteren a? Som du måske så i øvelse 0.5 dukker der tiltrækkende periodiske punkter op efter a=3. De kaldes også for cykler. Tabellen viser en typisk firecykel {x1, x2, x3, x4}, med periode 4, dvs. alting gentager sig efter netop fire iterationer: x1 → f ( x1 ) = x2 → f ( x2 ) = x3 → f ( x3 ) = x4 → f ( x4 ) = x1 Havde vi startet et lidt andet sted, ville vi hurtigt være blevet tiltrukket af denne 4-cykel.

Øvelse 0.6

a4 = 3,49856169933 n

0,5000000000

0,8746404248

0,3835982305

0,8272371111

0,5000000000

Matematiske eksperimenter åbner for ny indsigt

Tiltrækkende 2- og 4-cykler

a) Hvordan ser en typisk tiltrækkende 2-cykel ud i et tidsseriediagram? Hvordan ser den ud i et webdiagram? b) Hvordan ser en typisk tiltrækkende 4-cykel ud i et tidsseriediagram? Hvordan ser den ud i et webdiagram?

9788770668699_indhold.indb 13

08/05/2019 11.52

En ny type diagram kan hjælpe os med at forstå dynamikken, efter vi har passeret a = 3. Ideen er: For en given værdi af a er vi interesseret i, hvad der sker på langt sigt, dvs. når vi gentager iterationerne mange gange. Vi springer derfor de første 100 iterationer over og ser kun på de næste 100. For nogle værdier af a vil alle 100 celler have samme tal, for andre værdier af a vil der være to, tre, fire osv. forskellige tal. 1 Vi bruger hver gang startværdien 2 . Man kan nemlig vise, at er der en tiltrækkende 1 cykel, vil den med sikkerhed tiltrække 2 . (Det er et vanskeligt bevis, vi ikke vil komme ind på). I diagrammet afsættes nu parameteren a op ad den lodrette andenakse. På den vandrette linje y = a afsættes de x-værdier, der findes i de 100 celler hørende til a-værdien. For a-værdier under 3 afsættes således kun et punkt.

Øvelse 0.7

Dynamikken i den kvadratiske iteration

a) Opret et regneark med tilhørende graf og skyder for parameterværdien a. I regnearket oprettes tre søjler: Først en for selve den kvadratiske iteration, der udføres 1 200 gange med startværdi 2 . Derefter en for den aktuelle a-værdi, der hentes fra skyderen og gentages de første 100 gange. Endelig en for den langsigtede opførsel af iterationen, dvs. værdierne af de sidste 100 elementer i den første søjle. b) Afbild søjlen for parameterværdierne lodret (med værdier fra 0 til 4) og søjlen med den langsigtede opførsel vandret (med værdier fra 0 til 1). Varier parameteren a i trin af 0.001. Noter interessante værdier for parameteren a undervejs!

4,0 3,9 3,8 3,7 3,6 3,5 3,4 3,3 3,2 3,1 3,0 2,9 2,8 2,7 2,6 2,5 2,4 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Kan vi få tegnet alle banerne for de forskellige værdier af parameteren a på en gang, fås et diagram som dette. Det kræver typisk adgang til specialprogrammer. Det fremkomne diagram minder om et træ – med en stamme, grene og løv, og har derfor fået kælenavnet figentræet, idet Feigenbaum på tysk netop betyder figentræ. Stammen svarer til det tiltrækkende fikspunkt. Det afløses af en tiltrækkende 2-cykel, der igen afløses af en tiltrækkende 4-cykel, en tiltrækkende 8-cykel osv. Denne kaskade af periodefordoblinger er meget karakteristisk for dynamikken. Derefter opstår der et stort område, løvet, der er karakteriseret ved vinduer, hvor nye tiltrækkende cykler dukker op. Inde i parameterintervallet mellem 3,8 og 3,9 kan man finde et vindue med en 3-cykel. Kigger man godt efter, kan man finde en 5-cykel i parameterintervallet mellem 3,7 og 3,8 samt en 6-cykel i parameterintervallet mellem 3,6 og 3,7. Zoomer man ind og ind et tilfældigt sted i figentræet, vil man opdage, at det, der ser ud som træets løv, opløses i stadigt flere, meget tynde vinduer.

Med en passende applet, der kan hentes på bogens website, kan man nu gå på opdagelse i figentræet og finde vinduer med vilkårlige cykellængder. Man vil også opdage figentræets fraktale struktur: I hvert vindue ligger der kopier af det store figentræ.

9788770668699_indhold.indb 14

08/05/2019 11.52

0. Hvad er matematik?

Matematiske diagrammer – omfattende information i et billede Der zoomes ind på 3-vinduet og derefter på det midterste babytræ i 3-vinduet. Læg mærke til, at træet nu ligger vandret.

1.3 Feigenbaums opdagelse af en ny naturkonstant Det var inde i dette diagrams komplekse fraktale struktur, at Feigenbaum gjorde sin vidunderlige opdagelse: At periodefordoblingerne følger et karakteristisk universelt mønster, styret af nye universelle naturkonstanter. For at kunne følge i hans fodspor, bliver vi nu nødt til at lære at regne på cykler. For udvalgte parameterværdier vil toppunktsværdien x = 21 selv være et element i en tiltrækkende cykel, dvs. hvis vi itererer x = 21 , vil den vende tilbage til sig selv efter et vist antal iterationer. Af grunde, som vi forklarer nærmere om på bogens website, kaldes sådanne cykler for supertiltrækkende cykler. Vi vil nu undersøge følgende spørgsmål: For hvilke a-værdier er der supertiltrækkende cykler?

Øvelse 0.8

Grafisk undersøgelse af supertiltrækkende cykler

Spørgsmålet kunne principielt godt undersøges grafisk. At x = 21 er med i en tiltrækkende cykel betyder, at den lodrette linje med ligning x = 21 skærer træet (ligger figentræet ned, er x = 21 en vandret linje – det er tilfældet i eksemplerne nedenfor). Bemærk: Træets løv er jo ikke massivt! Vi kan se, at det sker ved a = 2, samt igen ved a ≈ 2,25. I stedet for at gå videre her, vil vi anvende det grafiske billede til at kontrollere de følgende udregninger.

Eksempel 1 1-cykel, dvs. x = 21 er fixpunkt og skal vende tilbage efter en enkelt iteration:

1 → 2

a ⋅ 21 ⋅ (1 − 21 ) = 4a

x = 21 skal være et fixpunkt, så:

1 2

a 4

1 x 0,5 0

1 ·a 4

1 2

, der har løsningen: a = 2

For a = 2 har vi altså et supertiltrækkende fixpunkt.

9788770668699_indhold.indb 15

08/05/2019 11.52

Eksempel 2 2-cykler. Her skal x = 21 vende tilbage efter to iterationer, dvs. 1 2

1 x 0,5

a a a aa a 1 a 12 1 1 1 1 11 1 a 1 a 121 213 13 a⋅ (1 ⋅ 2a −⋅ (1 ⋅22)−⋅=(1 )−= )→ =→4→a ⋅→ a⋅ (1 ⋅ 4a−⋅ ⋅(1 )−⋅=(1)−=⋅ a) =⋅−a416 ⋅−a ⋅ a16−⋅ a16 ⋅ a3 2→ 2→a→⋅→ 2 24 24 4 44 4 4 4 4 1 2

skal være element i en to-cykel, så: 11 22

11 === 4141⋅⋅aa22 −− 1616 ⋅⋅aa33, der har løsningen:

1 2 1 3 ·a – · a 4 16

1 2

2 a

1+√5

a = 2 og a = 1 ± 5

dvs. parameterværdien a skal løse en tredjegradsligning. For a = 2 genfinder vi det supertiltrækkende fikspunkt, idet x = 21 selvfølgelig også vender tilbage til sig selv efter to iterationer. Men derudover er der kun en relevant supertiltrækkende 2-cykel svarende til parameterværdien a = 1 + 5 . I hele figentræet er der derfor kun et sted med en supertiltrækkende 2-cykel. I kapitel 3 ser vi nærmere på tredjegradsligninger.

Øvelse 0.9

Supertiltrækkende 3-cykler og 4-cykler

a) Opstil nu selv de tilsvarende ligninger for de supertiltrækkende 3-cykler og 4-cykler. b) Hvor mange 3-cykler findes der? Hvor mange 4-cykler findes der? c) Illustrer de fundne cykler med tidsseriediagrammer, webdiagrammer, og marker også deres placering i figentræet.

Feigenbaum, der udelukkende arbejdede numerisk på sin programmerbare HP65, fokuserede på periode-fordoblingen: Hvor splitter stammen til grenene for den tiltrækkende 2-cykel? Hvor splitter grenene for den tiltrækkende 2-cykel til grenene for den tiltrækkende 4-cykel osv. Det indebærer løsningen af stadigt mere komplicerede polynomiale ligninger med stadigt flere skinløsninger: Når man leder efter 2-cykler, finder man også fikspunkter, når man leder efter 4-cykler, finder man også fikspunkter og 2-cykler osv. Det er derfor vigtigt at kunne dirigere løsningsprocessen rimeligt præcist ved at angive en startværdi lige i nærheden af den søgte løsning.

8-vindue

4-vindue

2-vindue

Matematike beregninger åbner for ny og overraskende indsigt

Feigenbaum lagde nu mærke til, at de enkelte vinduer bliver kortere og kortere med en typisk faktor, der ligger mellem 4 og 5. Kalder vi parameterværdien, hvor 2-cyklen opstår for a2, hvor 4-cyklen opstår for a4, hvor 8-cyklen opstår for a8 osv., så gælder der med god tilnærmelse: a8 a4

− a4 ≈ − a2

a16 a8

− a8 ≈ − a4

a32 a16

− a16 ≈ − a8

a8 ≈ a4 + 0,214 ⋅ ( a4 − a2 ),

1 4, 669...

≈ 0,214...

a16 ≈ a8 + 0,214 ⋅ ( a8 − a4 ),

a32 ≈ a16 + 0,214 ⋅ ( a16 − a8 ), ...

Men det betyder også, at vi kan finde et bud på den næste i rækken, når vi først har fundet de første tre splitpunkter, og skalafaktoren bliver mere og mere præcist bestemt ud fra de tre foregående løsninger.

9788770668699_indhold.indb 16

08/05/2019 11.52

0. Hvad er matematik?

y Feigenbaum var langt fra den første, der opdagede denne skalering af 0≤r≤1 fordoblingspunkterne. Fx havde biologen Robert May også bemærket 1 den, men ikke tillagt den synderlig betydning. Men nu skete miraklet: y= r·sin(p·x) Feigenbaum vidste, at det ikke var afgørende for at frembringe periodefordoblinger, at iterationen var præcist givet ved et andengradspolynomium. Fx ville en sinus-iteration frembringe en tilsvarende periodefordobling (og et tilsvarende figentræ). Ligningerne ville blot blive meget mere komplicerede at løse, ikke mindst på den, set med vores øjne, primitive programmerbare HP65. Det blev derfor endnu mere afgørende at kunne gætte, hvor det næste fordoblingspunkt dukkede op. 0 Feigenbaum satsede derfor på, at de opfyldte en tilsvarende skalering. 0 Stor var hans forbavselse, da de ikke blot skalerede lige så pænt som fordoblingspunkterne for den kvadratiske iteration, men skalafaktoren var præcis den samme! Feigenbaum havde altså opdaget en mystisk naturkonstant 4,669…, der regulerede overgangen mellem den systematiske periodefordobling og det efterfølgende kaos. Og konstanten syntes ikke at være beslægtet med de allerede kendte naturkonstanter som p, e osv.

y=x

x 1

På bogens website kan du finde et projekt, hvor du kan gå i Feigenbaums fodspor og selv finde konstanten. Her slutter vi lidt mere jordnært. Studiet af simple dynamiske systemer har vist, hvor kompleks deres opførsel kan være. Og det har været en øjenåbner. Feigenbaum-iterationen kaldes også logistisk iteration, fordi den for 1 < a < 3 er tæt beslægtet med den logistiske vækst, der til at begynde med vokser eksponentielt med vækstfaktoren a og derefter flader ud og nærmer sig sin bæreevne, svarende til fixpunktet. Længe mente man, at de reproduktive cykler i naturen holder sig inden for dette parameterområde, så den logistiske model giver en god beskrivelse af, hvordan naturlige systemer opfører sig. Men i dag ved man, at der er dyr, der reproducerer sig så voldsomt, at vækstfaktoren ryger op over 3. Et godt eksempel er lemmingen. Men hvis den får en vækstfaktor, der ligger helt oppe i det kaotiske område, vil det resultere i voldsomme uforudsigelige fluktuationer i populationen med store populationer det ene år og næsten forsvindende det næste. Dette besynderlige fænomen, at det kan vrimle med lemminger det ene år, og at de kan være næsten forsvundet det næste, førte tidligere til vandrehistorien/myten om lemmingernes kollektive selvmord, hvor lemminger i tusindtal styrter sig i havet. Men den virkelige forklaring er altså den komplekse opførsel af simple dynamiske systemer, når parameteren vokser ind i de kaotiske områder. Historien om lemmingerne er fx fortalt i BBC-filmen The Code af den engelske matematiker Marcus du Sautoy.

9788770668699_indhold.indb 17

08/05/2019 11.52

2. Matematikkens skønhed – fraktalernes verden Billedet af figentræet var ét blandt mange fantastiske billeder, der begyndte at dukke op i 1970’erne og 80’erne. Det siger sig selv, at man aldrig havde opdaget disse nye kontinenter inden for matematikkens verden, hvis man ikke havde haft de matematiske værktøjsprogrammer. Et af kontinenterne er fraktalernes verden, men det er blot et af de nye kontinenter. På bogens website kan du finde link til en film, hvor der fortælles om en anden af disse verdener, minimalfladernes verden. Figentræet repræsenterer en ret kompliceret fraktal struktur, dvs. en struktur, hvor vi ser en gentagelse af det oprindelige billede, når vi zoomer ind – og når vi zoomer ind igen. Vi kan faktisk ikke vide, hvor henne vi er på skaleringernes trappestige – er det den oprindelige figur, eller er der blevet zoomet ind 5 gange? I naturen finder vi samme fænomen – tænk fx på skysystemer. Ser man et billede af skyformationer, er det umuligt at afgøre alene ud fra billedet, om det er i stor skala, eller om der er zoomet ind, og det, vi ser, er et billede af et lille udsnit.

Denne egenskab kaldes for selv-similær – det lille udsnit er ”magen til” det større billede. Fraktaler er selv-similære figurer og fænomener. Det var den fransk-amerikanske matematiker Benoit Mandelbrot (f. 1924), der i 1975 indførte betegnelsen fraktal efter det latinske ord for ”brud” for at minde om de uregelmæssige brudflader, der ofte opstår, hvis man knækker en gren eller flækker en sten, jf. fraktur = benbrud. Fraktaler er derfor velegnede, når man skal lave modeller af naturens former og ønsker at fremhæve deres uregelmæssige struktur. Fx er kystlinjer fulde af bugter og sving af alle mulige størrelser. Ligegyldigt, hvor tæt man kommer på en kyst, vil der dukke stadig mindre bugter og sving op, indtil vi kommer så tæt på, at mikrostrukturen drukner i havet, der skyller frem og tilbage i vandkanten.

Målestok 100 km giver 28 enheder med samlet længde: 2800 km.

Målestok 50 km giver 70 enheder med samlet længde: 3500 km.

I 1967 publicerer Mandelbrot artiklen How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension, som du kan finde via bogens website. Han tager udgangspunkt i den simple iagttagelse, at en længde afhænger af den målestok, man anvender: Hvis målestokken er 100 km eller 50 km, får man resultater som vist i marginen. Hvis målestokken er 1 m eller 1 cm, får man en betydeligt højere værdi. Og hvis kystlinjen er en fraktal, bliver længden uendelig! Det ser vi på nedenfor i undersøgelsen af Kochs kurve.

9788770668699_indhold.indb 18

08/05/2019 11.52

0. Hvad er matematik?

2.1 Generalisering af dimensionsbegrebet Men Mandelbrot tænker nu ”ud af boksen”: Dette forhold mellem skaleringsgrad og kompleksitet af kystlinjen kan anvendes til at generalisere dimensionsbegrebet. Selv om det hedder en kyst-linje, så har den en større dimension, end en lige linje, men naturligvis en mindre dimension end en flade. Det kan synes mærkeligt at tale om en dimension på fx halvanden. I daglig tale er vi vant til at betragte dimension som et af de hele tal 0, 1, 2 eller 3. Et punkt har dimensionen 0, en linje dimensionen 1, en plan figur som fx et kvadrat har dimensionen 2, og endelig har en rumlig figur, som fx en kasse, dimensionen 3. Vores intuitive fornemmelse for dimensionsbegrebet er nok noget i retning af følgende:

a) Hvis man står i et punkt, kan man slet ikke flytte sig uden at forlade punktet. Et punkt har dimension nul. b) Hvis man står på en linje, kan man bevæge sig i præcis én ”retning” (idet vi ikke skelner mellem frem og tilbage), hvis man ikke må forlade linjen. En linje har dimension 1. Det samme gælder for en cirkelbue eller andre krumme kurver. c) Hvis man står inde i et kvadrat, eller på en flade, har man altid to på hinanden vinkelrette retninger at bevæge sig i, hvis man ikke må lette. Det samme fænomen gælder på fx en kugleflade eller andre krumme flader. Så plane figurer og flader har dimension 2. d) I rummet kan man lette! Her har man tre på hinanden vinkelrette retninger at bevæge sig i. Rummets dimension er derfor 3. Men hvad med denne kystlinje? Den er meget krøllet, og hvis man bevæger sig selv et nok så lille stykke langs den, kan man ligeså vel risikere at være gået i lodret retning som i vandret retning. Den er derfor indrettet som en mellemting mellem en sædvanlig glat kurve og en plan figur. Det er derfor, man kan finde på at tilskrive den en dimension mellem 1 og 2. Hvordan oversættes den intuitive fornemmelse af dimensionsbegrebet til matematik? Lad os følge i Mandelbrots fodspor. I artiklen tager han Kysten af Lake Mead i Arizona udgangspunkt i den viden, vi har om skalering af geometriske objekter. Det har vi bl.a. behandlet i Hvad er matematik? 1, kapitel 5, afsnit 4.1 Skalering. Hvis længden af siderne i et kvadrat skaleres op med en faktor 4, så vil 2 arealet blive skaleret op med en faktor på 4 · 4 = 4 . Det gælder også for trekanter og alle andre plane figurer. Og rumfanget af en terning vil blive skaleret op med en faktor 3 på 4 · 4 · 4 = 4 . Det samme gælder for alle andre rumlige figurer.

9788770668699_indhold.indb 19

08/05/2019 11.52

Øvelse 0.10 a) Vis, at hvis siderne i en given trekant bliver skaleret op med en faktor 3, så bliver trekantens areal 9 gange så stort b) Vis, at hvis siderne i en given trekant bliver skaleret op med en faktor k, så bliver 2 trekantens areal k gange så stort. c) Argumenter for, at hvis siderne i en 7-kant, eller i en vilkårlig n-kant skaleres op (eller 2 ned) med en faktor k, så vil arealet blive skaleret med faktoren k .

De figurer, der kunne være en matematisk model for en kystlinje, fremkommer ved at skalere en bestemt simpel figur ned, erstatte de oprindelige linjestykker med den nedskalerede figur, og så gentage (iterere) denne proces mange gange. Derved genererer den lille figur den store ”kystlinje” efter blot 2 iterationer:

Grundfiguren

Efter 1 iteration

”Kystlinje” efter 2 iterationer

Vi måler, hvor meget en figur fylder, ved hjælp af små linjestykker, kvadrater, henholdsvis terninger. Nedskaleres linjestykker med faktoren s = og rumfang nedskaleret med s3 = (

1 1 2 , bliver arealer nedskaleret med s2 = ( ) k k

1 ) . Og derfor skal vi: k

- bruge N1 = k gange så mange små linjestykker til at måle længden af en ret linje, L,

- bruge N2 = k 2 gange så mange små kvadrater til at måle arealet, A

3 - bruge N3 = k gange så mange små terninger til at måle rumfanget, V

Dette kan også udtrykkes ved ligningerne: N1 · s = L –1

eller: N1 = L · s

N2 · s2 = A N2 = A · s

–2

N3 · s3 = V,

N3 = V · s

(*)

–3

9788770668699_indhold.indb 20

08/05/2019 11.52

0. Hvad er matematik?

Disse tre ligninger kan nu udtrykkes i én formel:

Definition af dimensionsbegrebet Dimensionerne 1, 2 og 3 opfylder formlen

N = α · s–D, hvor

– N er fremskrivningsfaktoren for antal måleenheder, – s er den lineære skaleringsfaktor – D er dimensionen – α er en proportionalitetskonstant. For en kompleks figur, der fremkommer gennem en iterativ proces, og hvor vi kan opstille en tilsvarende proportionalitet mellem antal linjestykker (måleenheder) N og skaleringsfaktoren s:

N = α · s–D,

angiver D dimensionen af figuren.

Via bogens website kan du finde en film, der fortæller om det fraktale dimensionsbegreb. Hvis vi i (*) tager udgangspunkt i længder, arealer og rumfang af størrelsen 1, så bliver proportionalitetskonstanten 1. Med α = 1 omskrives formlen ofte til formlen: log( N ) D=− log( s )

Øvelse 0.11 a) Udled formlen. b) I formlen indgår et minus. Men vi forventer, at dimensionen er et positivt tal. Hvordan hænger det sammen?

Øvelse 0.12 Linjestykkerne i de to figurer, du ser her, er lige lange. a) Tegn selv på et papir, hvordan den næste iteration ser ud. b) Hvad er skaleringsfaktoren i de to figurer? c) Hvad er fremskrivningsfaktoren for antallet af linjestykker i de to figurer? d) B estem dimensionen af de fraktale figurer, der er resultatet af den uendelige iterative proces. Du kan på bogens website se de fraktale figurer.

9788770668699_indhold.indb 21

08/05/2019 11.52

Man anvender ofte definitionen på det udvidede dimensionsbegreb til at definere, hvad en fraktal egentlig er: En fraktal er en geometrisk figur med en dimension, der ikke er et helt tal!

Øvelse 0.13 Benyt de to tegninger af en opmåling af Englands kystlinje på s. 18 til at give et bud på dimensionen af denne. (Hint: Benyt oplysningerne til at bestemme skaleringsfaktor og fremskrivningsfaktoren for antal linjestykker vi måler med.) For sådanne naturlige fænomener er vi naturligvis nødt til at have en del flere målinger, så med kun en iteration vil der være en vis usikkerhed. Men vi kan dog få en acceptabel tilnærmelse til den estimerede dimension, der er 1.25.

2.2 Kan vi beregne det? – areal og omkreds af Kochs fraktale figurer De første af figurerne i øvelse 0.12 genererer en af de mest berømte fraktale figurer, nemlig Kochs snefnug. Denne blev præsenteret i en artikel af den svenske matematiker Helge von Koch (1870-1924) i en artikel fra 1904 med titlen: On a continuous curve without tangents, constructible from elementary geometry. Som titlen siger, var Kochs ærinde ikke så meget studiet af fraktale figurer. Hans arbejde var en del af en trend dengang, nemlig at udfordre vores forestillinger om differentiabilitet gennem konstruktion af de særeste kurver. Denne kurve er kontinuert i alle punkter, men der findes ikke noget sted på kurven, hvor man kan lægge en tangent. Men den udfordrer også vores geometriske forestillinger. Kochs snefnug konstrueres som alle fraktale figurer i en iterationsproces. Udgangspunktet er en ligesidet trekant med sidelængde 1, og de første iterationer ser du her. Iterationsprocessen foregår altså således: 1. Ethvert linjestykke i trekanten tredeles. 2. P å det linjestykke, der udgør den midterste tredjedel, konstrueres en ligesidet trekant. 3. L injestykket, der udgør den midterste tredjedel, fjernes og erstattes således af de to resterende sider i den ligesidede trekant. På bogens website kan du finde en animation, der viser, hvordan den ene figur afløses af den følgende.

9788770668699_indhold.indb 22

08/05/2019 11.52

0. Hvad er matematik?

Processen fortsættes i det uendelige. Det er klart, at man ikke kan tegne den endelige udgave af Kochs Snefnug. Men man kan vise, at der faktisk er en sammenhængende figur, der er ’grænse-figur’, dvs. den figur man ender med efter uendeligt mange tredelinger.

Øvelse 0.14

Areal og omkreds af Kochs snefnug n=0

Vi vil nu forsøge at beregne areal og omkreds af denne ’grænse-figur’. På hvert trin har alle linjestykker samme længde. Vi ønsker at finde længden af et sådant linjestykke som funktion af antallet af trin. a) Betragt figuren og lad os sige længden af startlinjen er 1, så de enkelte 1 stykker har længde 3 . Så er længden af den knækkede linje i 1. iteration 4 lig med . Hvis længden havde været a i stedet for 1, hvad var så længden 3 af den knækkede linje?

n=1

e) Hvis længden af den knækkede linje er b, hvad bliver så længden af den tredje linje med de mange knæk?

n=2

f) Hvis startlinjen har længde 1, hvad er så formlen for længden af linjen i 2. trin med de mange knæk? Hvad er formlen for længden af den næste knækkede linje? g) Hvad er længden af linjen blevet til, efter at vi har gentaget denne proces 10 gange? n gange? h) H vor lang er den samlede omkreds efter 10 gange? Efter n gange? i) Hvor lang er omkredsen af den endelige grænsefigur af Kochs snefnug? j) Hvor stor er arealet af den ligesidede trekant med sidelængde 1? (Hint: Bestem først højden i den ligesidede trekant ved at opdele trekanten og anvende Pythagoras sætning) 1

k) Når sidelængden i de ligesidede trekanter i første trin af iterationerne er på 3 , hvor stor er arealet da af en af disse trekanter? l) H vor mange nye små trekanter er figuren øget med? Hvad er det samlede areal af figuren i 1. trin? 1

m) S idelængderne i et givet trin er på 3 af sidelængderne i det foregående trin. Hvor stor en brøkdel udgør arealet af en trekant i forhold til arealet af trekanterne i det foregående trin? n) H vor mange nye små trekanter er figuren øget med i trin nr. n? Hvad er det samlede areal af figuren i trin nr. n? o) Hvor stort er arealet af den endelige ’grænse-figur’ af Kochs snefnug?

9788770668699_indhold.indb 23

08/05/2019 11.52

Ovenstående udregninger viser blot en enkelt af de mange overraskende fænomener i fraktalernes verden: En figur med et meget begrænset areal kan godt have en omkreds bestående af en sammenhængende kurve, der er uendelig lang. Som vi så i øvelse 0.12, har kurven, der udgør omkredsen, en fraktal dimension på ln(4) = 1,26186 . ln(3)

2.3 Opdagelsen af Mandelbrotmængden i den komplekse talplan Mandelbrot er i dag mest berømt for sin opdagelse af den mængde, der er opkaldt efter ham. Ligesom kvadratiske iterationer inden for de reelle tal frembragte Figentræet, så opdagede Mandelbrot, at kvadratiske iterationer inden for de komplekse tal frembringer en endnu mere fascinerende fraktal figur.

2 D en funktion, han undersøgte, var fc: z → z + c, hvor z er det variable komplekse tal, og c er en konstant, men også et komplekst tal. De komplekse tal er todimensionelle tal, der kan indtegnes i et koordinatsystem. Ligesom Feigenbaum gjorde med de reelle tal, så vælger han et startpunkt, ofte tallet 0, og foretager iterationer, dvs. udregner fc(0), fc(fc(0)), fc(fc(fc(0))), ... . Og så spørger han: For hvilke tal c er det sådan, at den følge af iterationer vokser mod uendelig? Og for hvilke tal er det en begrænset følge? De sidste er dem, der indgår i Mandelbrotmængden.

Mandelbrot publicerede sine resultater og sine første billeder af Mandelbrotmængden i 1982. Men det var faktisk to andre matematikere, der i en artikel fra 1978 publicerede det allerførste primitive billede af denne mængde. Du kan finde artiklen og billedet på bogens website. Mandelbrot var fra 1979 ansat hos IBM og havde der adgang til datidens mest kraftige computere, og han opdagede ved kørsler her, at der var et mønster i, hvor hurtigt punkterne i en iterativ følge forsvandt mod uendelig. Måleenheden var selvfølgelig antallet af iterationer, og for at fastholde billederne fik han den geniale ide at farvelægge punkterne. Punkter med samme farve forsvandt lige hurtigt. Det gav mønstre som de følgende:

Vi ser, at den grundlæggende figur opstår igen og igen, når man zoomer ind. Og man kan principielt fortsætte med at zoome ind fra nu og til verdens ende. Vi vil ikke her gå dybere ned i matematikken bag denne fantastiske fraktal, men via bogens website kan du finde yderligere materiale, også om den komplekse talplan, hvor det hele foregår.

9788770668699_indhold.indb 24

08/05/2019 11.52

0. Hvad er matematik?

3. Projekter På bogens website ligger der en række projekter, der knytter sig til kapitel 0. På websitet ligger yderligere særlige studieretningskapitler med oplæg til samarbejde mellem studieretningsfagene, samt kapitel 10, Matematik og kultur, med materialer og projekter, der kan anvendes i et samarbejde mellem humanistiske fag eller i selvstændige forløb.

9788770668699_indhold.indb 25

08/05/2019 11.53

Matematisk modellering med funktioner

1. 1.1 1.2 1.3

Regnbuen – lys og farver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Den matematiske modellering af regnbuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modellering af spredningsvinklen som funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Descartes geometriske modellering af spredningsvinklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 31 32 35

2. Løsning af optimeringsproblemer ved matematisk modellering . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1 Eksempler på optimeringsproblemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.

Regningsarterne anvendt på funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

I Hvad er matematik? 1 har vi set en lang række eksempler på, hvorledes det moderne funktionsbegreb kan anvendes til at opstille matematiske modeller. Det var først og fremmest lineære, eksponentielle og potensmodeller. I kapitel 8 indførte vi en række begreber som monotoniforhold og lokale og globale ekstrema, der gør det lettere at kommunikere præcist om en given matematisk model. I Hvad er matematik? 2 udvides værktøjskassen af funktioner betydeligt, og vi får under emnet differentialregning redskaber til at svare helt præcist på fx spørgsmål om monotoniforhold. Vi får således stadigt bedre muligheder for at gennemføre en matematisk modellering. Vi giver her i kapitel 1 en række eksempler på matematisk modellering, der alle demonstrerer hvorledes de fire repræsentationsformer spiller sammen – tabelformen, den grafiske fremstilling, formeludtrykket og oversættelsen til og fra den sproglige fremstilling. Vi starter omtrent der, hvor funktionsbegrebet startede, med en fortælling om, hvorfor regnbuen altid befinder sig i samme højde over horisonten, en fortælling der foregår på grænsen mellem geometriens æra og den nye algebraens og den matematiske analyses æra.

9788770668699_indhold.indb 26

08/05/2019 11.53

1. Matematisk modellering med funktioner

1. Regnbuen – lys og farver

Når sollys spredes gennem regndråber, opstår der nærmest på magisk vis en kulørt bue på himlen. Regnbuen er et så imponerende naturfænomen, at den naturligt har indgået i myter og religioner, som fx i den nordiske mytologi, hvor regnbuen Bifrost var den vej, der førte fra menneskenes til gudernes rige. Den har fascineret kunstnere til alle tider, og videnskabsfolk har gennem årtusinder prøvet at forstå dette fænomen. Den lysende bue, som man ser efter eller under en regnbyge (eller i et vandfalds sprøjtende vandforstøvning), kaldes hovedregnbuen. Dens mest iøjnefaldende egenskab er naturligvis de mange farvenuancer, som står mere eller mindre klart, men som altid følger det samme mønster: Inderst ses violet, som gradvist blander sig med varierende nuancer af blå, grøn, gul samt orange, og endelig ses yderst rød. Andre af regnbuens egenskaber er svagere og ikke altid synlige. Højere på himlen finder vi biregnbuen, hvor farverne optræder i omvendt rækkefølge. Ved nøjere iagttagelse viser det sig, at området mellem de to buer er relativt meget mørkere end himlen rundt om buen – også selvom biregnbuen ikke er synlig, vil hovedregnbuen have en lys side og en mørk side. Denne mørke side kaldes Alexanders mørke bånd opkaldt efter den græske filosof Alexander af Aphrodisias, som var den første, der beskrev dette fænomen omkring år 200 e.v.t.

9788770668699_indhold.indb 27

08/05/2019 11.53

På indersiden af hovedregnbuen (de kan også sjældnere ses på ydersiden af biregnbuen) kan vi sommetider være heldige at se en række svagt lyserøde og grønne buer. Disse kaldes interferensbuer, og de er som oftest mest klare tæt på regnbuens øverste punkt. Disse blev første gang beskrevet af Thomas Young i 1803.

Øvelse 1.1

Eksperimenterende undersøgelse af regnbuer

Du kan via bogens website finde mange flere billeder og information om regnbuer. Man kan blandt andet afprøve sammenhæng mellem skarpheden af disse interferensbuers og regndråbernes størrelse.

I løbet af 1600-tallet nåede videnskabsfolk frem til at forstå fænomenet gennem en kombination af fysikkens studier af sollyset og matematikkens modellering af sollysets gang gennem regndråber. Det store gennembrud kom i 1637, hvor den franske filosof og matematiker Rene Descartes, der er en af hovedskikkelserne i vores fortælling om modellering af regnbuen, udgav sit hovedværk Om metoden. For at illustrere sin analytiske metode havde han udarbejdet tre bilag med tre eksempler på, hvordan han med sin metode kunne udrede og forklare ting, man ikke tidligere havde magtet. Et af de tre bilag handlede netop om regnbuen. Descartes skriver: Regnbuen er et så bemærkelsesværdigt naturfænomen, og årsagen til dens fremkomst på himlen har været genstand for diskussion i årtusinder, så jeg kunne næppe vælge et mere passende objekt til at påvise, at vi med min metode kan opnå viden, som endnu ikke er beskrevet i noget tilgængeligt skrift. … I betragtning af, at denne bue ikke kun fremkommer på himlen, men også i luften omkring os, når mange vanddråber oplyses af solen, som vi kan se i visse springvand,

9788770668699_indhold.indb 28

08/05/2019 11.53

1. Matematisk modellering med funktioner

så fandt jeg det indlysende, at den måtte opstå ved, at lysstråler rammer og går igennem disse dråber og videre til vores øjne. Vel vidende at dråberne, som det tidligere er bevist, er runde, og det faktum at buens udseende ikke ændrede sig på nogen måde, uanset om dråberne er store eller små, gav mig ideen til at lave en meget stor dråbe, så jeg bedre kunne undersøge den.

Øvelse 1.2

Descartes modellering af en regndråbe

Descartes er ved at forberede en matematisk modellering af regnbuen. Hvad er hans første skridt? Søg på nettet og find ud af, hvordan han skabte den meget store dråbe.

Ved hjælp af sin modellering kunne Descartes vise, at hovedregnbuen opstår, når solstråler går igennem en dråbe, reflekteres en gang inde i dråben og derefter igen forlader dråben. Tilsvarende viste han, at biregnbuen skabes af stråler, der reflekteres to gange inde i dråben, inden de forlader dråben. For hver refleksion tabes lys (energi), og derfor er biregnbuen svagere end hovedregnbuen. I 1666 viste Sir Isaac Newton (16451719), at når hvidt lys passerer igennem et glasprisme, dannes et farvespektrum, som netop viser de farver, lyset består af. Vi siger, at lyset spredes, og de farver, vi ser, kaldes spektralfarver. Disse rækker fra rød over orange, gul, grøn og blå til violet. Men hvis lyset spredes i sine farver, når det bevæger sig fra luft ind i glas, vil det samme ske, når lyset bevæger sig fra luft ind i vand. Det betyder så, at de enkelte farver får en lidt forskellig strålegang inde i vanddråben, som skaber de forskellige farvebånd i regnbuen i lidt forskellige højder. Faktisk er regnbuen et helt kontinuum af farver fra rød til violet og endda flere end de farver, øjet kan se.

Her ser vi, hvordan sollyset spredes gennem to forskellige regndråber, hvor strålegangen i den ene regndråbe skaber observatørens hovedregnbue, mens den anden skaber observatørens biregnbue. 1000 900 800 700 600 500 400 300 200

Forskellige farvers bølgelængder.

Pink Floyds album: ”The Dark Side of the Moon”.

9788770668699_indhold.indb 29

08/05/2019 11.53

Newton eksperimenterer med lysets spredning. Newton opfattede lys som partikler og antog, at de forskellige farver opstod i øjet som følge af disse partiklers varierende størrelse.

I 1803 viste Thomas Young, at lys med forskellig farve har forskellig bølgelængde, og disse opfattes forskelligt af øjet. Thomas Young er blevet kaldt "The Last Man Who Knew Everything!"

Eksempel: Goethes farvelære Videnskabelig indsigt har ikke altid været hilst velkommen, og den moderne fysiks beskrivelse af lysets dobbeltnatur – at lys i nogle sammenhænge fremtræder for os i partikelform, i andre sammenhænge i bølgeform – viser også, hvor vanskeligt det kan være at forstå naturfænomener. Store forfattere som den tyske Johann Wolfgang Goethe (17491832) og den engelske John Keats (1795-1821) opponerede kraftigt mod Newtons analyse af regnbuens farver og udtrykte den holdning, at en sådan beskrivelse ville "cribble nature's heart". Goethe udviklede selv en farvelære, som han beskrev i et værk fra 1810. Du kan hente et materiale om dette på bogens website. Materialet kan evt. indgå i et samarbejde med billedkunst, dansk eller tysk.

9788770668699_indhold.indb 30

08/05/2019 11.53

1. Matematisk modellering med funktioner

1.1 Den matematiske modellering af regnbuen De stråler, der skaber regnbuen set fra observatørens ståsted, kaldes regnbuestrålerne. Den vinkel, der dannes mellem sollyset og regnbuestrålerne, kaldes regnbuevinklen eller spredningsvinklen. Denne blev første gang målt af Roger Bacon i 1266. Han målte vinklen til omkring 42º, mens biregnbuen ses 8º højere oppe på himlen.

Øvelse 1.3

Modelleringsprocessen

I første trin af Descartes modelleringsproces gik vi fra de mange dråber til kun at betragte, hvad der sker i en vanddråbe. Hvad er det, der sker i de næste trin af modelleringsprocessen, som illustreres med tegningerne ovenfor? Hensigten med denne del af modelleringen er at forenkle analysen af strålegangen, samtidig med at vi bevarer det centrale i problemstillingen.

For at se regnbuen skal man stå med ryggen mod solen. Regnbuerne opstår som nævnt i regndråber og viser sig som cirkelformede buer med centrum i et punkt under horisonten. Man kan ikke se en fuld cirkel, fordi jorden kommer i vejen, men jo lavere solen står over horisonten, des mere vil vi kunne se af cirklen – og lige præcis ved solnedgang, ville vi kunne se en fuld halvcirkel af regnbuen med toppen af buen 42º over horisonten svarende til den røde farve, hvorefter de andre farver med lavere bølgelængde følger tæt efter. Jo højere solen står på himlen, des mindre kan vi se af den cirkulære regnbue. Regnbuen dannes i de regndråber, vi ser op på, Hvis ikke jorden var i vejen, så ville vi kunne se regnbuen som og det ser ud som om, der faktisk er en cirkelbue en fuld cirkel. Under flyvning, mens solen står højt på himlen, et sted deroppe med et centrum under horisonten. kan man dog være heldig at se hele den cirkulære regnbue. Man skulle derfor tro, at man kunne komme hen under buen og kigge op på den, ja måske endda hen, hvor buen rammer Jorden. Det har givet anledning til mange eventyrlige fortællinger om, hvad der findes af skatte for enden af regnbuen. Men når vi bevæger os, bevæger regnbuen sig med os, og der bliver ved med at være en vinkel på 42º – indtil den forsvinder. For når mængden

9788770668699_indhold.indb 31

08/05/2019 11.53

af regndråber udtyndes, sker det samme med regnbuens farver. Vi kan kun i fantasien nå hen, hvor regnbuen ender. Vi følger nu en solstråles gang i en regndråbe, hvor vi lader strålen komme ind vandret. Strålegangen for hovedregnbuen er den venstre, hvor strålen rammer en regndråbes øverste halvdel. Strålegangen for biregnbuen er vist til højre, hvor strålen rammer en regndråbes nederste halvdel.

Brydning

Solstråle

P2 Refleksion

Brydning

P3 Brydning

Refleksion

Brydning P4

P3 Solstråle

Observatør hovedregnbue

Refleksion P2 P1

Brydning

Observatør biregnbue

Øvelse 1.4 Via bogens website kan du få adgang til to små videoer om regnbuens matematik: The Scientific Explanation of Rainbows Part 1 and 2.

1.2 Modellering af spredningsvinklen som funktion I mange hundrede år vidste man, at spredningsvinklen, dvs. vinklen mellem solens stråler og linjen fra vort øje til regnbuens top, altid lå omkring 42º. Men hvorfor? Det var en erfaringsviden. Men hvis det altid er sådan, må der være et sikkert argument. Et sådant argument fandt Descartes. På hans tid i 1600-tallet var matematikkens kerne geometri, og langt hovedparten af de matematiske metoder og argumenter byggede på geometrien. Det gør hans argumentation vedrørende regnbuen også. Vi vil i dette afsnit modellere situationen ved hjælp af det moderne funktionsbegreb og samtidig hermed demonstrere styrken i dette, idet vi ved hjælp af funktionsforskriften umiddelbart kan bestemme maksimum for spredningsvinklen, og dermed argumentere for de 42º.

9788770668699_indhold.indb 32

08/05/2019 11.53

1. Matematisk modellering med funktioner

Målet er altså at opstille et udtryk for spredningsvinklen, hvori indfaldsvinklen indgår som eneste uafhængige variabel. Ved hjælp af dette udtryk kan vi derefter nemt udregne spredningsvinkler for forskellige værdier af indfaldsvinklen og bestemme maksimum for spredningsvinklen. Når en lysstråle passerer fra luft gennem vand, vil den normalt blive spaltet i to dele, således at den ene del af lyset kastes tilbage ved refleksion, mens en anden del af lyset fortsætter ned igennem vandet. Når lys reflekteres, så er indfaldsvinklen lig med udfaldsvinklen, mens lysets brydning er afhængig af mediets egenskaber. På illustrationen ser vi, hvordan sollyset reflekteres, men også brydes, når det passerer igennem vandoverfladen i karret. På figurerne ovenfor er refleksionen udeladt. Forholdet mellem lysets hastighed i vakuum og lysets hastighed i et bestemt stof kaldes stoffets brydningsforhold. Ved passagen forsinkes lysstrålen, og denne hastighedsnedsættelse resulterer i en retningsændring, således at strålen brydes og udbredes i en anden retning.

Lyskilde Refleksion i

Luft Vand

Brydning

Descartes opdagede brydningsloven og formulerede den geometrisk. I et moderne matematisk sprog formuleres den således:

sin( i ) =n sin( b)

hvor i er indfaldsvinklen, b er brydningsvinklen, og n er brydningsforholdet for lys, der passerer fra et medium til et andet. Når lyset passerer fra luft til vand er n = 1,33. Hvis man kender indfaldsvinklen i og brydningsforholdet n, kan man beregne brydningsvinklen b ved at isolere b i brydningsloven:

sin( i ) = n sin( b) sin( i ) = n ⋅ sin( b) 1 ⋅ sin( i ) = sin( b) n 1  sin−1  ⋅ sin( i ) = b n 

Gang med sin(b) Divider med n Isoler b vha. den omvendte sinusfunktion

Dvs. vi har nu en variabelsammenhæng mellem brydningsvinklen og indfaldsvinklen, hvor brydningsvinklen er den afhængige variabel, og indfaldsvinklen er den uafhængige variabel. Ved hjælp af denne kan vi let udregne brydningsvinklen, når vi kender indfaldsvinklen.

9788770668699_indhold.indb 33

08/05/2019 11.53

Men vi vil jo gerne have en variabelsammenhæng mellem spredningsvinklen og indfaldsvinklen. Vi husker, at spredningsvinklen er vinklen mellem solens stråler og linjen fra vort øje til regnbuens top. Hvis vi vender tilbage til Descartes' model, så kan vi finde en sådan sammenhæng ved hjælp af et geometrisk ræsonnement baseret på egenskaberne ved refleksion og brydning.

Øvelse 1.5

P1 i b

Matematisk modellering med brug af sinusfunktionen

Vi tegner videre på den tidligere figur: Den gule linje med pilene er stadig sollyset. Gennem de tre punkter P1, P2 og P3 er der tegnet radier, der er forlænget (sorte linjer). Disse svarer hver for sig til den lodrette stiplede linje ved illustrationen af brydningsforholdet ovenfor. Solstrålen på vej ind og solstrålen på vej ud er begge forlænget med fiktive linjer, der skærer hinanden i S. Dette punkt ligger af symmetrigrunde på den forlængede radius gennem P3. Vinklen ∠P1SP3 kaldes for spredningsvinklen, s. a) Benyt illustrationen samt viden om vinkelsummen i en trekant til at argumentere for, at sammenhængen mellem s og S i må være: s = 4b – 2i. (Se fx på trekant s i–b P1SP2 og bestem vinklen ved P2). b P2 b i–b

b) Vi ved fra tidligere, at 1  b = sin−1  ⋅ sin( i ) n  Indsætter vi nu dette udtryk for b i s = 4b – 2i, får vi s udtrykt ved i alene, dvs. vi kan betragte s som en funktion af i : 1  s( i ) = 4 ⋅ sin−1  ⋅ sin( i ) − 2 ⋅ i n  Plot grafen for s som funktion af i.

c) For enhver given værdi af indfaldsvinklen i, kan vi nu ved hjælp af formlen beregne den tilsvarende spredningsvinkel. Vælg selv nogle værdier for indfaldsvinklen og beregn hhv. brydningsvinklerne b og spredningsvinklerne s. d) B enyt dit værktøjsprograms indbyggede faciliteter til at bestemme den maksimale spredningsvinkel. Funktionen viser sig at være voksende indtil i = 42,52º og derefter aftagende, dvs. den har et maksimum. Det var netop dette resultat, Descartes kom frem til via geometriske beregninger.

9788770668699_indhold.indb 34

08/05/2019 11.53

1. Matematisk modellering med funktioner

Øvelse 1.6

Matematisk beregning af biregnbuens spredningsvinkel

Descartes lader strålen reflekteres endnu en gang i P3 for at skabe biregnbuen. Man kan beregne, at spredningsvinklen i dette tilfælde bliver 180º – 2i + 6b. Prøv selv at argumentere for biregnbuens spredningsvinkel, idet du følger strålegangen rundt i dråben og beregner den samlede afbøjningsvinkel efter to refleksioner. Bemærk i øvrigt, at lyset også bryder igennem dråben ved første refleksion, men den funktion s1(i), der her beskriver spredningsvinklen, bliver konstant voksende (monoton) og har derfor ikke noget maksimum. Spredningsvinklen skal antage et maksimum, for at buen skabes. Derfor får vi ingen regnbue ved den første refleksion.

Øvelse 1.7

Brydning P3 Refleksion

Brydning P4 Solstråle

Refleksion P2 P1

Brydning

Observatør biregnbue

Eksperimenterende undersøgelse med brug af en animation

Du kan på bogens website hente en vejledning til i at konstruere en animation, der viser lysets brydning i en regndråbe. Animationen giver et klart indtryk af geometrien og af, hvordan der sker en samling af de spredte stråler, når vi nærmer os den maksimale spredningsvinkel. Desuden skabes spredningsfunktionen som geometrisk sted via animationen.

1.3 Descartes geometriske modellering af spredningsvinklen Descartes beskriver, hvordan han holdt en stor glaskugle med vand op imod lyset og så på, hvordan sollyset reflekteredes i den (bemærk, at Descartes tillader sig at arbejde med horisontalt sollys – det indgår i hans metode). Jeg fandt ud af, at hvis solen for eksempel kom fra den del af himlen, der er markeret AFZ og mit øje var i punktet E, og jeg satte kuglen i positionen BCD, så blev kuglen helt rød ved punktet D, og meget mere strålende end på resten af kuglen, og det uanset om jeg nærmede mig det eller trak mig tilbage fra det, eller satte den til højre for mig eller til venstre for mig, eller endda drejede det rundt om mit hoved, forudsat at linjen DE altid dannede en vinkel på ca. 42 grader med den linje EM, som vi skal tænke på, som den linje, der kan trækkes fra centrum af solen til øjet, så havde kuglen ved punktet D altid samme røde farve; men så snart jeg gjorde vinkel DEM lidt større, så forsvandt den røde farve, og hvis jeg gjorde vinklen lidt mindre, så forsvandt farven ikke på en gang, men delte sig først i to mindre strålende dele, hvor jeg kunne se gul, blå og andre farver ...

9788770668699_indhold.indb 35

08/05/2019 11.53

Da jeg undersøgte nærmere, hvad det var, der gjorde kuglen BCD ved D så rød, fandt jeg, at det var solens stråler, der kommer fra A til B, brydes ved gennemtrængning i vandet ved punktet B, og passerer videre til C, hvor de reflekteres videre til D, hvor de brydes igen, idet de passerer ud af vandet, og videre til punktet E. Descartes bemærkede under sine observationer af lysstrålernes vej gennem glaskuglen, at når han holdt glaskuglen i en bestemt vinkel op mod lyset, så var der kun en af regnbuens farver, der var synlig. De andre farver fremkom først, når han ændrede vinklen! Dvs. hver af regnbuens farver skabes altså ud fra hver sin spredningsvinkel af lysstrålerne, og derfor konkluderede han, at regnbuens farver må være et resultat af lysets brydning i flere forskellige regndråber samtidigt set fra observatøren ståsted. Dette betyder, at når vi ser en regnbue og dens bånd af farver, så ser vi i virkeligheden, som Descartes beskriver det, på lysstråler, der brydes og reflekteres i forskellige regndråber – nogle ser vi i en vinkel på 42º, nogle i en vinkel på 40º og andre ind imellem. Descartes observerede systematisk lysets vej igennem glaskuglen ved forskellige indfaldsvinkler og beregnede ud fra geometriske overvejelser den spredningsvinkel, som hver af disse resulterede i. I projekt 1.6 om Descartes og brydningsloven foretager vi en grundig gennemgang af Descartes skrifter og metode og læser teksten som et eksempel på en matematisk kildetekst.

9788770668699_indhold.indb 36

08/05/2019 11.53

1. Matematisk modellering med funktioner

2. L øsning af optimeringsproblemer ved matematisk modellering Descartes løste regnbuens gåde ved at opstille en matematisk model for regnbuestrålernes forløb. Herved oversatte han spørgsmålet om de magiske 42º til et matematisk optimeringsproblem, og dette løste han ved hjælp af geometriske metoder. I afsnit 1.2 ovenfor viste vi, hvorledes problemet kunne beskrives med brug af matematiske funktioner, og dernæst løses ved hjælp af analytiske metoder. Analytiske metoder betyder i korthed: At anvende grafiske fremstillinger og argumentere ud fra disse. Dette er hovedtemaet i denne bog. Og det centrale værktøj er det moderne funktionsbegreb, hvor y-værdierne skrives på formen f(x). En af styrkerne i dette værktøj er, at y-værdierne altid ”husker hvor de kommer fra”. f(2) betyder: Den y-værdi, der svarer til x = 2. Har vi flere funktioner i spil, indføres særskilte navne for hver af dem, som fx f1(x), f2(x), h(x), x A(x). Vi kender allerede en række specialfunktioner som sin(x), cos(x), ln(x), e , og vi vil i de følgende kapitler studere en række familier af funktioner nærmere, som fx andengradspolynomierne. Vi vil i dette afsnit demonstrere styrken i funktionsbegrebet gennem en række eksempler, der samtidig giver øget indblik i, hvordan matematiske optimeringsproblemer analyseres og løses. Som eksempel ser vi først på følgende problem: En lagerhal skal have en indgangsport i gavlen. Porten skal være rektangulær, og skal være så stor som mulig, men skal holde sig inden for den bærende konstruktion. Lægger vi et koordinatsystem med x-aksen langs jorden og med y-aksen lodret op midt i gavlen, så kan den bærende konstruktion 2 modelleres med funktionen f(x) = –x + 9, hvis graf er en parabel. Hvor stor en port kan vi få placeret under denne parabel? I vores model oversættes dette til følgende optimeringsproblem: Bestem det maksimale areal af rektanglet, der er begrænset til at ligge under grafen for f, som illustreret på figuren.

Metode 1: Geometrisk løsning Vi vil først løse problemet rent geometrisk. Vi kan se på grafen for f, at x skal være større end 0 og mindre end 3, for at rektanglet kan være under parablen, dvs. arealfunktionen giver kun mening for 0 < x < 3. Vi konstruerer derfor rektanglet, således at det nederste højre hjørnepunkt kan bevæges på x-aksen i intervallet fra 0 til 3. Derefter aflæser vi x-koordinaten i punktet og måler arealet. Herefter afsætter vi arealværdien som y-værdi og plotter punktet (x,y), hvor y er arealværdien. Vi kan nu spore punktet og konstruere det geometriske sted for punktet. Vi ser, at arealværdierne først vokser, men senere igen aftager, så der findes et maksimum for arealet. Vi kan aflæse dette maksimum til omkring 20,78, og det opnår vi, når x-værdien er 1,73, hvilket svarer til, at rektanglets bredde er b = 2 · 1,73 = 3,46.

f ( x ) = 9 – x2

P( x,f( x ))

x –3

9788770668699_indhold.indb 37

08/05/2019 11.53

M(1.73,20.78)

A(1,73)

f(x) = 9 – x2

P(1.73,f(1.73))

Areal = 20,78 cm x = 1,73

x –3

1,73

Metode 2: Løsning ved opstilling af variabelsammenhænge Vi vil dernæst løse problemet analytisk, dvs. ved at opstille variabelsammenhænge. Vi kan se på grafen for f, at x skal være større end 0 og mindre end 3, for at rektanglet kan være under parablen. Rektanglets bredde må være to gange så stor som x-værdien, dvs. b = 2x, og højden 2 må svare til y-værdien, dvs. h = –x + 9. Da både højden og bredden afhænger af x, kan vi opstille en variabelsammenhæng mellem x og arealet, hvor arealet er den afhængige variabel, og x er den uafhængige variabel. Dvs. vi kan opstille en funktion, der beskriver arealet som en funktion af x:

A(x) = b · h

2 A(x) = 2x · (–x + 9)

Indsæt udtrykkene for b og h

A(x) = –2x + 18x Gang parentesen ud y M(1.73,20.78) 20,78

f(x) = 18x – 2x3

x 1,73

Vi tegner grafen for arealfunktionen, hvoraf det klart fremgår, at funktionen først er voksende og dernæst aftagende, så funktionen har et maksimum. Ved hjælp af værktøjsprogrammet bestemmer vi maksimum til 20,78. Maksimum opnås, når x-værdien er 1,73. Dvs. vi har vist, at arealet af rektanglet maksimalt kan blive 20,78, og det bliver det netop, når bredden af rektanglet er 3,46.

9788770668699_indhold.indb 38

08/05/2019 11.53

1. Matematisk modellering med funktioner

Øvelse 1.8 Benyt arealfunktionen A(x) = –2x3 + 18x til at besvare nedenstående spørgsmål: a) Hvor stort er rektanglets areal, når x = 1? b) Hvor stor skal x være, for at rektanglets areal bliver 10?

2.1 Eksempler på optimeringsproblemer Vi vil nu se på nogle eksempler på geometriske optimeringsproblemer af forskellig karakter. Eksemplerne stiger i sværhedsgrad og abstraktion, idet flere og flere oplysninger udelades, og der stilles større og større krav til, at du selv kan gennemføre argumentationen. Geometriske optimeringsproblemer handler ofte om at maksimere et areal eller et rumfang eller at minimere en omkreds eller et overfladeareal i forhold til bestemte betingelser.

Eksempel 1: Helt lukket problemstilling (variable, figur, ligninger – kun optimering) En familie vil konstruere en rektangulær hønsegård i baghaven ved hjælp af 60 meter hegn. De to par af sider skal altså være lige lange, som vist på de to eksempler til højre. De finder ud af, at arealet af indhegningen som funktion af indhegningens ene side kan beskrives ved

2 A(x) = –x + 30x,

hvor A(x) betegner arealet af indhegningen, når det ene par af sider har længden x. Når vi alene betragter forskriften for A(x), kan x være hvad som helst. Men i dette eksempel, hvor der er 60 m hegn til rådighed, er der en øvre og nedre grænse for x: x > 0 og x < 30, hvilket også kan skrives 0 < x < 30. y

Bestem sidelængden x i indhegningen, så arealet bliver størst muligt. Hvor lang bliver den anden side?

225

M(15,225) A(x) = –x 2 + 30x

Løsning Vi tegner grafen for funktionen A(x) i det relevante interval:

x 15

9788770668699_indhold.indb 39

08/05/2019 11.53

Vi ser, at funktionen først er voksende og derefter aftagende, dvs. funktionen har et maksimum. Ved hjælp af værktøjsprogrammet bestemmer vi, at det maksimale areal 2 bliver 225 m , og at det indtræffer, når x = 15. Hvis det ene par af sider er 15 meter lange, så må det andet par af sider jo også være 15 meter lange, når de fire sidelængder tilsammen skal være 60 meter. Altså skal indhegningen være kvadratisk!

Eksempel 2: Lukket problemstilling (variable, figur, eftervise ligninger) En rende med lodrette sider fremstilles af en rektangulær blikplade ved at bukke pladen langs de stiplede linjer, således at tværsnittet af renden bliver et rektangel. Rektanglets højde betegnes x, og rektanglets bredde betegnes b. Det oplyses, at bredden af blikpladen er 20 cm.

x x

a) Gør rede for, at rektanglets bredde b udtryk ved x er: b = 20 – 2x. b) Gør rede for, at arealet af det rektangulære tværsnit kan beskrives ved funktionen:

2 A(x) = 20x – 2x , 0 < x < 10

og bestem den værdi af x, der giver det største areal. Løsning ved opstilling af variabelsammenhænge Løsning af a) Vi kender blikpladens bredde, som er 20 cm, dvs.:

x + b + x = 20 2x + b = 20 b = 20 – 2x

Reducer Isoler b

Løsning af b) Arealet af rektanglet kan beregnes ved at gange bredden med højden, som begge afhænger af x. Derfor afhænger arealet også af x, og vi kan derfor udtrykke arealet som en funktion af x:

A(x) = b · x

A(x) = (20 – 2x) · x

Indsæt b udtrykt ved x

A(x) = 20x – 2x Gang parenteserne ud

9788770668699_indhold.indb 40

08/05/2019 11.53

1. Matematisk modellering med funktioner

Vi mangler at argumentere for, hvilke værdier af x vi kan bruge. Det er blikpladens bredde, der sætter en begrænsning på værdien af x. Da vi ombukker x i hver side, så skal vi ombukke under 10 cm i hver side, da vi jo højst kan ombukke halvdelen! Hvis vi ikke ombukker noget, får vi heller ikke et rektangulært tværsnit! Altså må der gælde, at 0 < x < 10. y

Vi tegner grafen i det relevante interval, hvor det tydeligt fremgår, at funktionen har et maksimum.

M(5,50) 50 A(x) = 20x – 2x

Vi ser at arealfunktionen er voksende indtil x = 5, og derefter er den aftagende. Vi bestemmer grafisk i værktøjsprogrammet funktionens maksimum til 50, og dette opnår vi, når rektanglets højde er 5. Tværsnittets dimensioner bliver altså 5 cm x 10 cm.

Konklusion: Vi skal altså ombukke 5 cm i hver side af blikpladen, for at rendens tværsnitsareal bliver størst muligt.

Geometrisk løsning y

Hvis vi blot ønskede at bestemme det maksimale areal, kunne vi have løst opgaven eksperimentelt i et dynamisk geometriprogram. Vi konstruerer tværsnittet, som beskrevet i opgaven, således at højden x kan varieres inden for halvdelen af metalstykkets bredde. Vi måler højden og arealet. Herefter kan vi plotte punktet (højde, areal) i et koordinatsystem, og ved at variere højden kan vi nu bestemme den værdi af x, der giver det største areal – hvis man er omhyggelig, kan man faktisk gøre det ret præcist! Hvis man sporer punktet, så kan man få overblik over sammenhængen mellem højden og arealet for mange forskellige højder, men vi kan gøre det endnu bedre, fordi vi kan bestemme det geometriske sted for punktet (højde, areal), som jo netop svarer til grafen for den før omtalte arealfunktion! Vi ser, at arealet først bliver større og senere mindre igen, og at vi får det største areal, når der ombukkes 5 cm i hver side. Du kan på bogens website hente en animation, der illustrerer den geometriske løsning af problemet.

M(5,50)

A(5)

x 5

Areal = 50 cm

x = 5,00 cm b

9788770668699_indhold.indb 41

08/05/2019 11.53

Øvelse 1.9

Rende med maksimalt tværsitsareal

Af en blikplade med bredde 30 cm skal laves en rende med plan bund som i eksemplet, men således at den ene kant forstærkes ved, at der først bukkes et dobbelt så stort stykke op, som så dernæst bukkes ned, så denne kant lægges dobbelt. Bestem de dimensioner af renden, der giver det største tværsnitsareal. Sammenlign din modellering med den du kan finde på bogens website, se eksempel ovenfor.

Eksempel 3: Delvis lukket problemstilling (variable, figur, ingen ligninger) Fra Hvad er matematik? 1, kapitel 1 kender vi allerede et optimeringsproblem, nemlig kasseproblemet: Man har et stykke pap med dimensionerne 30 cm x 20 cm, som skal foldes til en kasse ved at afskære små kvadrater i hjørnerne som vist på figuren. Afskæret, som svarer til kassens højde, betegnes x. Kassens længde betegnes l, og dens bredde betegnes b.

Længde

Højde

a) Udtryk l og b ved x. b) Bestem rumfanget V(x) som funktion af x, og bestem den værdi af x, der giver det største rumfang. Løsning ved opstilling af variabelsammenhænge Løsning af a) Vi kender papstykkets mål, som er 30 x 20, og vi afskærer stykket x i alle fire hjørner, så det må betyde, at:

l = 30 – 2x og b = 20 – 2x

Løsning af b) Vi ved, at rumfanget kan beregnes ved at gange længden med bredden og højden, som alle afhænger af x. Derfor afhænger rumfanget også af x, og vi kan udtrykke rumfanget som en funktion af x:

V(x) = l · b · x

V(x) = (30 – 2x) · (20 – 2x) · x 3

Indsæt l og b udtrykt ved x

Gang parenteserne ud V(x) = 4x – 100x + 600x (evt. med værktøjsprogram)

9788770668699_indhold.indb 42

08/05/2019 11.53

1. Matematisk modellering med funktioner

Vi mangler at argumentere for, hvilke værdier af x vi kan bruge. Det er papstykkets dimensioner, der sætter en begrænsning på værdien af x. Da vi skærer to kvadrater væk på hver side, og den korteste side er 20 cm, så skal vi afskære under 10 cm i hvert hjørne – ellers får vi ingen kasse! Tilsvarende får vi heller ingen kasse, hvis vi intet skærer væk! Altså må der gælde, at 0 < x < 10. Vi tegner grafen i det relevante interval, hvor det tydeligt fremgår, at funktionen først er voksende og dernæst aftagende, dvs. funktionen har et maksimum. Vi bestemmer grafisk i værktøjsprogrammet funktio3 nens maksimum til 1056,31 cm , og det opnår vi, når afskæret har sidelængden 3,92 cm. Vi afrunder tallene og konkluderer: De fire kvadratiske fraklip skal hver have dimensionerne 3,9 cm x 3,9 cm for at kassens rumfang bliver størst mulig.

M(3.92,1056.31) 1056,31

V(x) = 4x – 100x + 600x

x 3,92

Øvelse 1.10 a) Benyt et værktøjsprogram til at udregne V(2,5). Forklar med ord, hvad der her er udregnet. b) Benyt et værktøjsprogram til at bestemme, hvilke typer af afskær der giver et rumfang større end 800.

Øvelse 1.11 Tegn grafen for arealfunktionen i et større interval end 0 < x < 10. Er der andre ekstremumspunkter? Giver tallene mening i forhold til det virkelige problem?

Geometrisk løsning Hvis vi blot ønskede at bestemme det maksimale rumfang, kunne vi have løst opgaven eksperimentelt i et dynamisk geometriprogram, som vi gjorde i Hvad er matematik? 1, kapitel 1. Vi konstruerer den udfoldede kasse, som beskrevet i opgaven, således at afskæret x kan varieres inden for halvdelen af papstykkets bredde. Vi måler afskæret, bredden og længden, og vi beregner rumfanget derudfra. Herefter kan vi plotte punktet (afskær, rumfang) i et koordinatsystem, og ved at variere afskæret kan vi nu bestemme den værdi af x, der giver det største rumfang – hvis man er omhyggelig, kan man faktisk gøre det ret præcist! Hvis man sporer punktet, kan man få overblik over sammenhængen mellem afskæret og rumfanget for mange forskellige længder af afskæret. Vi kan også bestemme det geometriske sted for punktet (afskær, rumfang), som jo netop svarer til grafen for den før omtalte rumfangsfunktion! Vi ser, at rumfanget

9788770668699_indhold.indb 43

08/05/2019 11.53

først bliver større og senere mindre igen, og at vi får det største rumfang, når det kvadratiske fraklip har sidelængden 3,9 cm. y V(1,53)

M(1.53,63.36)

x = 1,53 cm l = 8,69 cm b = 4,77 cm 3 x · l · b = 63,36 cm l x

x x

1,53

Du kan på bogens website hente en animation, der illustrerer den geometriske løsning af problemet.

Eksempel 4: Delvis åben problemstilling (figur, ingen variable, ingen ligninger) Et stort åbent akvarium skal have form som vist på figuren, hvor endefladerne skal være 3 kvadratiske. Akvariet skal kunne rumme 2 m . Indfør passende variable, og bestem akvariets mål, så glasforbruget bliver mindst muligt. Løsning ved opstilling af variabelsammenhænge Først analyserer vi opgaven: Vi kender rumfanget af en kasseformet beholder, og vi skal bestemme kassens længde, bredde og højde, således at overfladearealet af beholderen bliver mindst muligt. Da endefladerne skal være kvadratiske, vil bredden og højde være ens. Vi har altså et problem, der involverer tre variable: Længde, bredde (eller højde) og overfladeareal. Vi skitserer først situationen, og indfører betegnelser for de relevante variable: Vi lader x betegne sidelængden i de kvadratiske endeO = Overfladeareal x = Glasareal flader, dvs. akvariets højde og bredde betegnes begge med x. Vi lader l betegne længden x l af akvariet. Overfladearealet, dvs. glasforbruget, betegnes O.

9788770668699_indhold.indb 44

08/05/2019 11.53

1. Matematisk modellering med funktioner

Vi kender akvariets rumfang, som skal være 2 m3. Rumfanget af en kasse kan beregnes ved længde gange bredde gange højde, så der skal gælde at:

l·x·x=2 2 l · x = 2

Gang x'erne sammen

Vi vælger nu, at lade x være den uafhængige variabel, dvs. længden l bliver afhængig af x. Vi udtrykker l ved x, idet vi isolerer l i rumfangsudtrykket ovenfor: 2 l= 2 x Bemærk, at man naturligvis også kunne have valgt, at udtrykke x ved l, men så havde vi fået et langt mere kompliceret udtryk at skulle regne videre med. Nu kender vi altså sammenhængen mellem to af de tre variable. Den sidste variabel, overfladearealet, afhænger jo af både længden og bredden (og højden). Overfladen består af de fire sider og bunden: x l Forside, bagside og bund

2 Endeflader

Overfladearealet kan beregnes som en sum af arealerne af de nævnte flader:

Overfladeareal = 2 Endeflader + Forside + Bagside + Bund

= 2 ⋅ x ⋅ x + 3 ⋅ l ⋅ x

= 2⋅ x2 + 3 ⋅

= 2⋅ x2 +

6⋅ x x2

Gang op i tælleren

= 2⋅ x2 +

6 x

Forkort

2 ⋅x x2

Udnyt, at l =

2 x2

Dvs. vi kan opskrive overfladearealet som en funktion af x: 6 O( x ) = 2 ⋅ x 2 + x Hvilke værdier af x kan vi bruge? Kun positive værdier af x giver mening i denne sammenhæng, dvs. vi må forlange, at x > 0. Men matematisk er der ikke yderligere begrænsninger på x! Vi tegner grafen i det relevante interval, hvor det tydeligt fremgår, at funktionen har et minimum. Bemærk, at rumfang og overfladeareal egentlig er funktioner af to variable, V(x,l) og O(x,l). I bog 3 lærer vi at tegne grafer og bestemme ekstrema for sådanne funktioner. Men det er også en vigtig teknik, at kunne skaffe en variabel af vejen, som vi gør her.

2 f(x) = 2x + 6 x

M(1.14,7.86) 7,86

x 1,14

9788770668699_indhold.indb 45

08/05/2019 11.53

Vi ser, at funktionen først er aftagende og derefter voksende, dvs. funktionen har et minimum. Vi bestemmer grafisk i værktøjsprogrammet funktionens minimum til 7,86, og det opnår vi, når x = 1,14. 2 = 1,53 1,142 3 Dvs. hvis akvariets bredde og højde er 1,14 m, og længden er 1,53 m, så får vi et 2 m akvarium med mindst mulig overflade, dvs. med det mindst mulige glasforbrug.

Vi udregner dernæst l =

Geometrisk løsning Hvis vi blot ønskede at bestemme det minimale overfladeareal, kunne vi ligesom ovenfor have løst opgaven eksperimentelt i et dynamisk geometriprogram, idet vi her blot konstruerer det "udfoldede akvarium". Vi må dog her regne lidt først, fordi vi har brug for at kende længden af akvariet udtrykt ved x, således at rumfanget fastholdes på de 3 nævnte 2 m . Vi bestemmer som ovenfor l udtrykt ved x til:

l·x·x=2 2 l · x = 2 2 l= 2 x

Gang x'erne sammen Isoler l

Vi konstruerer nu det udfoldede akvarium, med kvadratiske endeflader, således at sidelængden x i de kvadratiske endeflader kan varieres. Vi måler sidelængden x og længden l samt arealet A af det udfoldede akvarium, som jo netop svarer til overfladearealet (glasarealet). Herefter kan vi plotte punktet (sidelængde, areal) i et koordinatsystem, og ved at variere sidelængden kan vi nu bestemme den værdi af x, der giver det mindste overfladeareal. Vi kunne også konstruere grafen for overfladearealfunktionen som det geometriske sted for punktet (sidelængde, areal). y x = 1,14 cm l = 1,55 cm 2 Areal = 7,86 cm l x

x x

O(1.14)

x x

M(1.14,7.86)

x x

x l

1.14

Du kan på bogens website hente en animation, der illustrerer den geometriske løsning af problemet.

9788770668699_indhold.indb 46

08/05/2019 11.53

1. Matematisk modellering med funktioner

Eksempel 5: Åben problemstilling (ingen figur, ingen variable, ingen ligning) En drikkedunk skal udformes som en cylinder, og den skal kunne rumme 0,5 liter. Bestem dåsens dimensioner, idet materialeforbruget skal minimeres. Bemærk: Når vi her og andre steder arbejder med pæne geometriske objekter som en cylinder, er det ikke fordi de er ideelle at drikke af, men fordi vi i en matematisk modellering idealiserer, så vi kan regne på det. I kapitel 6 afsnit 2 vender vi tilbage til dette. Løsning ved opstilling af variabelsammenhænge Først analyserer vi opgaven: Vi kender rumfanget af en cylinderformet beholder, og vi skal bestemme cylinderens højde samt radius i den cirkulære top og bund. Vi har altså et problem, der involverer tre variable: Højde, radius og overfladeareal. Vi skitserer først situationen og indfører betegnelser for de relevante variable: Vi lader r betegne radius i de cirkulære endeflader. Vi lader h betegne beholderens højde. Overfladearealet, dvs. materialeforbruget, betegnes O.

3 Vi kender beholderens rumfang, som skal være 0,5 liter, dvs. 0,5 dm . Rumfanget af en cylinder beregnes ved formlen:

2 V=π·r ·h

Altså må der gælde, at

2 0,5 = π · r · h

Vi vælger nu, at lade r være den uafhængige variabel, dvs. højden h bliver afhængig af r. Vi udtrykker h ved r, idet vi isolerer h i rumfangsudtrykket ovenfor: 0,5 h= π ⋅ r2 Nu kender vi altså sammenhængen mellem to af de tre variable. Den sidste variabel, overfladearealet, afhænger af både radius og højden af beholderen. Overfladen består af den cirkulære bund og top samt den krumme overflade. Klipper vi cylinderen op, så vil den krumme overflade kunne foldes ud til et rektangel med sidelængderne h og 2 · π · r, som jo svarer til cirklens omkreds: 2πr

Overfladearealet kan beregnes som en sum af arealet af rektanglet og de to cirkulære endeflader:

Overfladeareal = Top + Bund + Krum overflade

9788770668699_indhold.indb 47

08/05/2019 11.53

Overfladeareal = π ⋅ r 2 + π ⋅ r 2 + 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h

= 2⋅ π ⋅ r + 2⋅ π ⋅ r ⋅ h

= 2⋅ π ⋅ r2 + 2⋅ π⋅ r ⋅

= 2⋅ π ⋅ r2 +

1 r

Reducer

0,5 π⋅ r2

Udnyt at h =

0,5 π ⋅ r2

Reducer

Dvs. vi kan opskrive overfladearealet som en funktion af r: y

O( r ) = 2 ⋅ π ⋅ r 2 + 1 r Kun positive værdier af r giver mening i denne sammenhæng, dvs. vi må forlange at r > 0. Og det første led bliver hurtigt dominerende, så vi kan nøjes med at se på et begrænset interval.

O( r ) = 2 ⋅ π ⋅ r 2 + 1 r

1,63

M(0.29,1.63)

0,29

Vi tegner grafen i det relevante interval, hvor det tydeligt fremgår, at funktionen først er aftagende og derefter voksende, dvs. funktionen har et minimum. Vi bestemmer grafisk i værktøjsprogrammet funktio2 nens minimum til 1,63 dm , og det opnår vi, når r = 0,29 dm. Dvs. for at få det mindst mulige materialeforbrug, så skal radius i den cirkulære top og bund være 0,29 dm, mens højden skal være 3,69 dm. h=

1 = 3,69 dm. π ⋅ 0,292

ia bogens website er der adgang til projekter, hvor man arbejder med V at bestemme optimale figurer, bl.a. drikkedunke efter eget design.

På baggrund af de fem eksempler sammenfatter vi nu:

Praxis: De fire faser i en matematisk modellering 1. Problemformulering: • Afgrænsning af problemet – hvilken situation ønsker vi at beskrive? • Hvad ønsker vi at opnå viden om? Hvilke forudsætninger har vi?

2. Analyse samt matematisk beskrivelse: • Analyser problemet, identificer de variable og indfør relevante variabelbetegnelser • Opstil relevante variabelsammenhænge og eliminer de overflødige variable – overvej grundigt valget af den uafhængige variabel. Undgå om muligt komplicerede udtryk, som fx indeholder rødder – så hellere vælge om! • Overvej, hvilke værdier af den uafhængige variabel der giver mening i relation til det virkelige problem

3. Matematisk løsning af problemet: • Løsning af problemet ved relevante matematiske metoder

4. Fortolkning af resultatet: • Den matematiske løsning oversættes til "naturligt sprog" og fortolkes i relation til det virkelige problem

9788770668699_indhold.indb 48

08/05/2019 11.53

1. Matematisk modellering med funktioner

Opgaver I opgavebogen ligger der opgaver i tilknytning til afsnit 2. I kapitel 5A, Differentialregning 1, undersøger vi funktioners monotoniforhold nærmere.

3. Regningsarterne anvendt på funktioner I Hvad er matematik? 1 gav vi en grundig gennemgang af de fire repræsentationsformer for en funktion: tabelform, sproglig form, graf og regneforskrift. Somme tider er alle fire former i spil, men langt fra altid. Hvis f er den funktion, der til enhver måned angiver antallet af nyfødte i Danmark i pågældende måned, så er funktionen defineret på en sproglig form. Fra Danmarks Statistik kan vi få funktionen repræsenteret ved en tabel, og vi kan tegne en graf ud fra tabellen. Men det er ret indlysende, at der ikke findes en regneforskrift for f. 2 Hvis p er den funktion, der til ethvert tal x knytter tallet y = 2x – 5x + 3, så er funktio2 nen defineret ved en regneforskrift, og vi skriver: p(x) = 2x – 5x + 3. Et værktøjsprogram kan hurtigt tegne et udsnit af den tilhørende graf. Vi kan også selv udregne og opstille en tabel over nogle få funktionsværdier, der kunne give os støttepunkter til at tegne en graf uden hjælpemidler. Men i dette tilfælde er en tabel ikke rigtig repræsentativ, for der er jo uendeligt mange funktionsværdier. Tabellen skulle egentlig erstattes af mængden {(x, p(x)), hvor x løber gennem alle reelle tal} – men dette er lige præcis alle punkterne på grafen.

Når vi navngiver funktionerne som f og p, vil vi dermed angive, at de er selvstændige objekter. De er ikke bare grafer eller en samling tabelværdier. Sådan kan de måske repræsenteres. En person kan repræsenteres ved sit cpr-nummer eller sin facebookprofil, men er jo meget mere end det – det er et selvstændigt individ i menneskenes verden. f og p er selvstændige objekter i funktionernes verden. 2 Har vi givet et konkret tal, fx x = 7, kan vi udregne p(7) = 2·7 – 5 ·7+ 3 = 98 – 35 + 3 = 66 . Når vi udregner funktionsværdier, er vi i tallenes verden. Når vi møder et tal som 66, har vi lært, at de to sekstaller betyder noget forskelligt. I virkeligheden står der: 6 · 10 + 6 · 1, og tallene 1, 10, 100 osv. er en slags basis-tal i titalsystemet. Men vi kan også regne i funktionernes verden. Funktionen p er i virkeligheden dannet 2 ved at kombinere de simple basis-funktioner p0(x) = 1, p1(x) = x og p2(x) = x :

p = 2 · p2 – 5 · p1 + 3 · p0 (*)

9788770668699_indhold.indb 49

08/05/2019 11.53

Her er vi i funktionernes verden. Funktionen 2 · p2 – 5 · p1 + 3 · p0 defineres ved at angive, hvad funktionsværdien er i et vilkårligt tal x. Det gøres på den naturlige måde: (2 · p2 – 5 · p1 + 3 · p0) (x) := 2 · p2(x) – 5 · p1(x) + 3 · p0(x) (**) hvor := er det såkaldte definerende lighedstegn. Indsætter vi 7 på x’s plads, ser vi ved udregning af højre side, at vi får præcis 66, altså p(7) som ovenfor. Så (*) giver god mening.

Praxis: Sådan regnes i funktionernes verden Vi anvender en metode som (**) til at definere udtryk som f + g, k · f og f · g for givne funktioner: (f + g)(x) := f(x) + g(x), (k · f)(x) := k · f(x), (f · g)(x) := f(x) · g(x) Derved fører vi udregninger i funktionernes verden tilbage til tallenes verden. Det betyder, at alle regneregler for tal ”arves” ved regning med funktioner, fx: 1a) f + g = g + f 1b) f · g = g · f

(den kommutative lov for + og for · )

2a) f + (g + h) = (f + g) + h 2b) f · (g · h) = (f · g) · h

(den associative lov for + og for · )

k · (f + g) = k · f + k · g

(den distributive lov for konstantfaktor)

f · (g + h) = f · g + f · h

(den distributive lov for + og for · )

hvor f, g og h er funktioner med samme definitionsmængde, og k er et tal.

Bemærkning 1: Sådanne udtryk kan også læses fra højre mod venstre, fx:

9788770668699_indhold.indb 50

08/05/2019 11.53

1. Matematisk modellering med funktioner

f(x) + g(x) = (f + g)(x) Bemærkning 2: Betegnelserne kommutativ, associativ og distributiv mødte vi også under vektorregning.

Eksempel: Funktioner og vektorer I vektorernes verden har vi set et tilsvarende eksempel på, hvordan regneregler ”arves”: Geometriske vektorer bestemt ved en retning og en længde kan repræsenteres af koordinatsæt. Addition af koordinatvektorer sker koordinatvis. Derved ”arves” regnereglerne fra de reelle tal. Men slægtskabet er faktisk endnu dybere. De beviser, vi gennemførte for sætningerne om vektorer i bog 1 og tilsvarende her i bog 2, bygger alle på de forskellige regneregler. Men når de samme regneregler gælder i funktionernes verden, så gælder også de samme sætninger! Vektorbegrebet er altså langt større og rigere end blot knyttet til geometriske vektorer. Funktioner kan også betragtes som vektorer. Indholdet i sætningerne skal naturligvis fortolkes ud fra, hvilke slags vektorer vi taler om. Et eksempel: I bog 1 indførte vi begrebet basisvektorer som vektorer af længde 1 med retning ud af henholdsvis 1. og 2. aksen. Ovenfor så vi, at dette begreb helt naturligt n optræder i polynomiernes verden som basis-polynomierne p(x) = x , n = 0, 1, 2, ... . Denne generalisering af vektorbegrebet bliver særligt interessant, når man indfører et skalarprodukt, for så kan man definere vinkler mellem vektorer og fx se på ortogonale basisvektorer. I funktionernes verden indføres skalarproduktet ved hjælp af integralregning, som vi lærer om i bog 3. Vi vil dér vende tilbage til, hvordan nogle af de grundlæggende sætninger fra vektorernes verden, fx om projektioner, kan fortolkes i funktionernes verden.

Eksempel: Betegnelserne f og f(x) Selv om navnet på funktionen med regneforskrift p(x) = 2x2 – 5x + 3 er p, så vil vi i 2 praksis ofte tillade en sprogbrug som: ”funktionen 2x – 5x + 3”. Dvs. p og p(x) betegner begge funktionen, når x angiver en vilkårlig variabel. Det skyldes dels, at vi i matematik med symboler ønsker at gøre livet lettere og ikke mere besværligt, men også, at den variable x indgår naturligt i en række funktioners navne: Eksponentialfunktionerne x x a og e kan ikke omtales uden x, hvis vi ikke skal indføre nye navne. Tilsvarende med a potenspunkterne x , eksempelvis x og 1x .

4. Projekter På bogens website ligger der en række projekter, der knytter sig til kapitel 1. På bogens website ligger yderligere særlige studieretningskapitler med oplæg til samarbejde mellem studieretningsfagene, samt kapitel 10, Matematik og kultur, med

9788770668699_indhold.indb 51

08/05/2019 11.53

Andengradspolynomiet

Ballistik – I krig med matematikken som våben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ulven kommer – om kunsten at skyde med artilleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parablen kommer på banen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Galileis metode og ræsonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Det skrå kast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Andengradspolynomiet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Betydning af koefficienterne a, b og c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Parablens symmetri og toppunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prototypen for andengradspolynomiet p1(x) = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andengradspolynomiet pa(x) = a · x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andengradspolynomiet p(x) = a · x2 + b · x + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64 65 67 67 68 68

Bestemmelse af forskrift ud fra graf – andengradsregression . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Andengradsligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Grafisk løsning af andengradsligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 82

5. 5.1 5.2 5.3

Anvendelser af andengradspolynomiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hvor bred skal stien være? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gødskning i landbruget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flere anvendelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85 87 89

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1 1.2 1.3 1.4

53 56 58 62

Et andengradspolynomium er en funktion med forskriften p(x) = a · x + b · x + c . Grafen for et andengradspolynomium kaldes en parabel. Parablen har været kendt siden oldtiden, hvor den græske matematiker Apollonius opdagede, at parablen sammen med cirklen, ellipsen og hyperblen udgør en særlig familie af kurver, de såkaldte keglesnit. Anden2 gradsligningen a · x + b · x + c = 0 har en historie, der går endnu længere tilbage, idet allerede babylonierne havde fundet metoder til at løse bestemte andengradsligninger. Parablen hører egentlig til i geometriens verden, og andengradsligningen hører til i algebraens verden, og det var ikke let at indse, at keglesnit og babyloniske andengradsligninger havde noget med hinanden at gøre. Men med brug af koordinatsystemer og matematisk symbolsprog ser vi umiddelbart, at andengradsligningen og parablen er tæt forbundet. I dette kapitel vil vi undersøge karakteristiske egenskaber ved andengradspolynomiet som toppunkt og symmetriakse, og vi vil se, hvordan løsningen af andengradsligningen afspejles i den tilhørende parabel. For grækerne var parablen ren matematik. I dag er andengradspolynomiet et vigtigt værktøj i matematisk modellering. Den historie starter i renæssancen, hvor matematikere blev inddraget i krigens uvæsen, da de opdagede, at parablen kan være en matematisk model for de baner, kanonkugler følger.

9788770668699_indhold.indb 52

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

1. B allistik – I krig med matematikken som våben 1.1 Ulven kommer – om kunsten at skyde med artilleri I 1537 udkommer den første systematiske lærebog i ballistik, læren om kanonkuglers opførsel. Den var skrevet af en norditaliensk matematiker Nicolo Fontana, der i eftertiden er kendt under navnet Tartaglia (1500-1557), og som vi vil møde igen i historien om, hvordan man lærte at løse tredjegradsligningen. Tartaglia havde i sin barndom selv oplevet krigens grusomhed, da en fransk hærstyrke erobrede hans hjemby og myrdede stort set alle indbyggerne. Han fik selv voldsomme sværdslag i ansigtet og blev anset for død. Han overlevede dog, men sværdslagene havde vansiret hans ansigt og ødelagt hans gane, så han aldrig kom til at tale normalt, og det var derfor, han fik tilnavnet "Tartaglia", som betyder stammeren. Tartaglias egen historie gav ham en sådan afsky for krig, at han dybest set ikke ønskede at bidrage til at forbedre våbenteknologien. Men nu stod tyrkerne for døren, og Venedigs eksistens, og dermed også Tartaglias eksistens, var truet. Det fik Tartaglia til at skifte holdning og udgive sit hovedværk Nova Scientia, hvor han i forordet til fyrsten bl.a. skriver: Gennem disse opdagelser ville jeg fremsætte regler for kunsten at skyde med artilleri, og ved hjælp af særlige eksperimenter ville jeg gøre dette i den største detalje, ... Men så en dag kom jeg til at tænke på, at det er en nedrig ting, som bør fordømmes – grusom og hjemfalden til en ikke ringe straf fra Gud – at studere og forbedre en sådan forkastelig aktivitet, der ødelægger den menneskelige race, og især de kristne, i deres evindelige krige. Af denne grund, Ærværdige Hertug, lagde jeg ikke blot undersøgelserne af disse emner til side, jeg ødelagde og brændte også alle mine skrifter og udregninger, der omhandlede dette emne. Jeg skammede mig over og beklagede den tid, jeg havde brugt på det, og de detaljer som (mod min vilje) blev tilbage i min hukommelse, ønskede jeg, at jeg aldrig ville afsløre skriftligt til nogen, hverken i venskab eller for fortjeneste (skønt mange har ønsket, at jeg skulle gøre dette). En sådan undervisning, forekom det mig, ville betyde ulykke og store fejltagelser. Men nu, hvor ulven er opsat på at angribe vor flok, mens alle fårehyrder iler til for at forsvare, synes det mig ikke længere tilladeligt, at jeg holder disse oplysninger skjult. Jeg har derfor besluttet at offentliggøre dem, dels skriftligt, dels mundtligt, til enhver tro kristen, så at enhver kan være bedre rustet, både i angreb og i forsvar. Og jeg beklager meget, Herre, at jeg nogensinde opgav mit studium, for jeg er sikker på, at hvis jeg var blevet ved det uden afbrydelse, så ville jeg have opdaget ting, som var endnu mere værdifulde, hvilket jeg snart håber at gøre. Venedig, ved de nye huse i San Salvatore 20. december, 1537 Deres Excellences mest ydmyge tjener, Nicolo Tartaglia fra Brescia

9788770668699_indhold.indb 53

08/05/2019 11.53

Øvelse 2.1

Tartaglia og ballistik

På bogens website ligger et større uddrag af Tartaglias forord til Nova Scientia. Hvad var Tartaglias væsentligste opdagelser inden for ballistikken?

Øvelse 2.2

Tartaglias vinkelinstrument

På illustrationen kan du se Tartaglias vinkelinstrument til udmåling af kanoners skudvinkel, dvs. vinklen mellem kanonrøret og vandret. Forklar ud fra tegningen, hvordan vi får skudvinklen ud fra det, vi aflæser.

Kopi fra det 17. århundrede af Tartaglias kvadrant. Kvadranten består af to ben med forskellig længde, som er forbundet i en ret vinkel. Kvadrantens lange ben satte man ned i kanonrøret, og ved at lade et lod hænge lodret ned fra toppunktet kunne man så bestemme kanonrørets skudvinkel.

Tartaglia havde stor praktisk erfaring med skydevåben og var samtidig velbevandret i den antikke matematik og fysik. Som forsidebladet til Nova Scientia viser, ønskede han at inddrage Euklid i sin analyse af projektilers bevægelse. Man ser også to kanoner, der skyder kanonkugler hen over pladsen: En i en meget stejl, næsten lodret vinkel, og en i en meget flad, næsten vandret vinkel.

Tartaglias værk: ”Nova Scientia”, Venedig, 1537.

9788770668699_indhold.indb 54

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

Når man på Tartaglias tid skulle prøve at forstå og at beskrive fysiske bevægelser, var det teoretiske grundlag Aristoteles' fysik. Den græske filosof og naturvidenskabsmand Aristoteles (384-322 f.v.t.) skelnede mellem naturlige bevægelser, som fx det lodrette frie fald, når man taber en genstand, og den søger ned mod Jorden, og voldsomme bevægelser forårsaget af fx kanonkrudt, der eksploderer og slynger kuglen ud af røret med stor kraft. Den samlede bevægelse betragtede man derfor i oldtiden og middelalderen som naturligt opdelt i tre faser: Først en voldsom startfase, hvor kuglen slynges ud, så en blidere mellemfase, hvor virkningen af eksplosionen langsomt Tartaglias tegning. aftager, og til sidst en slutfase, hvor kuglen falder lodret ned til Jorden. Selv om dette ikke er korrekt, er det ikke nogen dårlig beskrivelse af den bane, en rigtig kanonkugle følger, og man kunne nemt opstille simple Den skrå rækkevide geometriske modeller for banen: Fx en skrå ret linje for den AB = 7,21 B første voldsomme fase, en cirkelbue som mellemfasen, hvor eksplosionens virkning fases ud, og en lodret linje for Skudvidden slutfasen, hvor kuglen falder til jorden. Men Tartaglia forSkudvinklen AC = 11,72 θ = 26,82º ° enklede beskrivelsen og lod de to sidste faser smelte samC A men til en enkelt cirkelbue, der tangerede den oprindelige Tartaglias model i et dynamisk geometriprogram. skrå linje og ramte jorden lodret.

Øvelse 2.3

Animation af Tartaglias model

Vi vil undersøge Tartaglias model i et dynamisk geometriprogram. Du kan enten anvende animationen på bogens website eller konstruere din egen model. Hvis du vil konstruere, kan du fx oprette to skydere for de to uafhængige parametre i modellen, henholdsvis skudvinklen θ , og den skrå rækkevidde AB, bestemt af det punkt B, hvor den skrå linje ophører, og cirklen tager over (se figuren). Tartaglia har ingen ide, om hvordan de to hænger sammen, men hvis en skudvinkel på 45 º skal give det længst rækkende skud – således som han påstår på grundlag af erfaringer med kanonskud – må den skrå rækkevidde AB først blive større, nå sit maksimum ved 45 º og derefter blive mindre. Du kan på bogens website se et bud på en dynamisk model, der netop simulerer et kanonskud med en maksimal rækkevidde ved en vinkel på 45 º.

9788770668699_indhold.indb 55

08/05/2019 11.53

1.2 Parablen kommer på banen Det afgørende gennembrud i forståelsen af projektilers baner kommer i 1592 med et simpelt eksperiment udført af Galilei (1564-1642) sammen med en ven. De dypper en kugle i blæk og kaster den opad langs en stor plade sat på skrå, så de kan følge sporet af kuglen, mens den danser hen over pladen. Det skal gøre det ud for et projektil, der skydes skråt opad. Til deres overraskelse ser de, at banen tydeligvis hele tiden krummer – der er altså ikke, som man troede, tale om et retlinjet stykke til at begynde med. Desuden ser banen højst symmetrisk ud – faktisk ligner banen et stykke af en parabelbane eller måske en hyperbelbane! Der er altså alvorlige fejl i Tartaglias model, og Galilei indser også de store begrænsninger i sin egen mekanik.

Øvelse 2.4

Parabelbane og hyperbelbane

Vi lægger et koordinatsysyem på den skrå plade, således at x-aksen er vandret, og kurven går gennem punkterne (–1,0) og (1,0). De nævnte kurver er grafer for følgende funktioner: Parabelbane: p( x ) = a ⋅ (1 − x 2 )

2 Hyperbelbane: h( x ) = b ⋅ ( 2 − 1 + x )

Tegn graferne for de to funktioner, idet du fx bruger skydere til at repræsentere parametrene a og b. Overvej, idet a og b varieres, hvor velegnede de er til at repræsentere en projektilbane. For hvilke parameterværdier kan man skelne dem fra hinanden?

I de følgende fyrre år arbejder Galilei fra tid til anden på at skabe en ny type teori for mekanikken, som kan gøre rede for det epokegørende eksperiment og afsløre præcis, hvilken type bane der er tale om. I 1638 beslutter han sig for at samle sine skitser i bogen Dialog om To nye videnskaber.

Galileis bog "Dialog om To nye videnskaber" findes i engelsk oversættelse i en online-udgave.

9788770668699_indhold.indb 56

Der er et link til online-udgaven på bogens website.

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

Vi har omtalt Galileis værk flere steder i bog 1. Det centrale i værket er bevægelseslæren, hvor Galilei fortæller om sine eksperimenter med bl.a. det frie fald. Aristoteles havde stadig på dette tidspunkt stor autoritet, og man kan i bogen følge, hvor svært det var, også for en som Galilei, at frigøre sig fra tankegangen i det antikke verdensbillede. Galilei sidder på dette tidspunkt i husarrest efter at være blevet dømt af den katolske inkvisition, og har forbud mod at ytre sig offentligt. Derfor bliver manuskriptet smuglet til Holland og udgivet i Leiden uden for den katolske kirkes rækkevidde. Denne historie indgår i et projekt om Brecht og Galilei. Projektet kan tilgås via bogens website.

De tre samtalepartnere fra forsiden af en anden af Galileis bøger "Dialog om de to verdenssystemer", den bog der førte til,

Galileis værk er opbygget som en dialog mellem tre personer Simplicio, Sagredo og Salviati, der måske var tænkt som repræsentanter for henholdsvis den unge Galilei, den midaldrende Galilei og den modne Galilei, der også fungerer som talsmand for forfatteren. Men kirken tolkede det anderledes.

at Galilei fik husarrest og forbud mod at publicere. Simplicio, der på italiensk kan opfattes som betegnelse for en lidt tungt opfattende og simpel person, fik lagt citater fra paven i sin mund, og blev derfor opfattet som en karikatur af paven. Galilei påstod, at han havde en antik filosof med samme navn i tankerne.

De mødes over fire dage for at diskutere forskellige emner, og det er de to sidste dage, de diskuterer bevægelseslæren. Den tredje dag starter således: Bevægelseslæren (De Motu Locali) eg har til hensigt at fremsætte en helt ny videnskab om et meget gammelt emne. J I naturen findes der næppe noget, der går forud for bevægelsen, som filosoffer da også har skrevet både mange og tykke bøger om. Ikke desto mindre har jeg gennem undersøgelser fundet nogle egenskaber om bevægelse, som er værd at kende til, og som man hidtil hverken har lagt mærke til eller diskuteret. Der har været gjort nogle overfladiske bemærkninger som for eksempel, at den frie bevægelse af et tungt legeme, der falder, foregår hurtigere og hurtigere; men præcis på hvilken måde denne acceleration foregår, er der ingen, der har haft et bud på; for så vidt jeg ved, er der ingen, der endnu har påpeget, at de strækninger, der tilbagelægges i lige store tidsrum, når et legeme falder fra hvile, står i samme forhold til hinanden som de ulige tal begyndende med enheden. Man har også bemærket, at missiler og projektiler følger en krum bane af en eller anden slags; men ingen har endnu påpeget, at der faktisk er tale om en parabel. Det er sådanne kendsgerninger, og mange tilsvarende som også er værd at kende til, som det er lykkedes for mig at bevise; og hvad der er endnu mere vigtigt, det åbner op for en ny omfattende og yderst fremragende videnskab, hvoraf mit værk kun rummer begyndelsen, med metoder og midler som andre hjerner, der er skarpere end min, vil udforske i de yderste hjørner.

Galilei indser, at nøglen til forståelsen af projektilers baner er det frie fald. Derfor begynder han med studiet af dette.

9788770668699_indhold.indb 57

08/05/2019 11.53

Øvelse 2.5

Galileis undersøgelse af det frie fald

I teksten omtales de ulige tal 1, 3, 5, 7, … og deres forbindelse til det frie fald. De strækninger, der tilbagelægges i samme tidsrum, fx i løbet af en enhed, står ifølge Galilei i samme forhold til hinanden som de ulige tal. a) Hvis strækningen, der tilbagelægges i løbet af første tidsenhed, fastsættes til at være 1 enhed, så tilbagelægges 3 enheder i løbet af næste tidsenhed osv. Vis nu, at en tabel over, hvor genstanden befinder sig til forskellige tider, vil se således ud: Tid

…

Sted

…

b) Tegn også punktplottet for stedet som funktion af tiden, og bestem fx ved regression en model, der beskriver sammenhængen mellem tid og sted. Prøv dig frem! Tegn grafen for det fundne funktionsudtryk sammen med punktplottet, og overbevis dig om, at grafen går gennem datapunkterne.

1.3 Galileis metode og ræsonnement Dette repræsenterer et af Galileis vigtigste resultater. Men hvordan nåede han frem til det? Galilei formulerer i bogen sin metode, der grundlæggende bygger på middelalderens filosofi om, at naturen er indrettet fornuftigt. Skal vi vælge mellem en indviklet og en simpel model, så vælger vi den simple. Galilei opstiller nu ud fra sådanne overvejelse en dristig antagelse: Om det frie fald … Først og fremmest er det ønskværdigt at finde og udrede en definition, som bedst passer med naturens opførsel. ... Så når jeg derfor iagttager en sten, der oprindeligt var i hvile, falde ned fra en ophøjet beliggenhed og derefter vedvarende forøge sin hastighed, hvorfor skulle jeg da ikke tro, at disse tilvækster [i hastighed] finder sted på en måde, som er uhyre simpel og indlysende for enhver? … den bevægelse, vi skal undersøge i det følgende, kan derfor karakteriseres således: En bevægelse er jævnt accelereret, hvis den, når den starter fra hvile, opnår lige store hastighedstilvækster i lige store tidsintervaller. (ibid) Galilei argumenterer, som det ses, med naturens simpelhed: Hvis det frie fald er karakteriseret ved, at hastigheden hele tiden vokser, så er den simpleste måde hastigheden kan vokse på, at den vokser proportionalt med tiden. Galilei gætter derfor på denne variabelsammenhæng:

I et frit fald vokser hastigheden proportionalt med tiden.

9788770668699_indhold.indb 58

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

Oversætter vi den sproglige form til et formeludtryk, ser det sådan ud:

v=g·t

hvor proportionalitetskonstanten kaldes g, v betegner hastigheden, og t betegner tiden. Inddrager vi nu den grafiske repræsentation, så er g hældningskoefficienten. Dvs. g er den tilvækst, hastigheden får i løbet af et enkelt tidsinterval. Tilvækst i hastighed kaldes også for acceleration. Konsekvensen af Galileis antagelse er derfor, at i et frit fald er accelerationen den samme for alle tunge genstande. Opskrevet med de enheder, vi 2 bruger i dag, er tyngdeaccelerationen g ca. 9,8 m/s .

Øvelse 2.6

Galileis argumentationsmetode

Galilei overvejer også, om der er andre simple beskrivelser af det frie fald, der kunne konkurrere med den ovenstående. Kunne man fx ikke forestille sig, at hastigheden vokser proportionalt med strækningen, i stedet for at den vokser proportionalt med tiden? Men i et af Galileis mest spektakulære argumenter viser han, at denne antagelse fører til en logisk modstrid, og derfor slet ikke kan lade sig gøre af rent matematiske grunde. På bogens website kan du finde Galileis begrundelse for, at hastigheden af en genstand, der starter fra hvile, umuligt kan vokse proportionalt med strækningen – samt forskellige varianter af denne begrundelse.

Galileis antagelse drejer sig om sammenhængen mellem hastigheden og tiden. Spørgsmålet er nu, om vi her ud fra kan sige noget om sammenhængen mellem strækningen, der tilbagelægges, og tiden? Her viser Galilei sin hovedsætning:

Sætning II, Påstand II De strækninger, en genstand tilbagelægger, når den falder fra hvile med konstant acceleration, forholder sig til hinanden som kvadratet på de tidsintervaller, der bruges til at tilbagelægge disse strækninger.

Lad os først prøve at forstå sætningen. Vi indfører moderne matematiske symboler og oversætter Galileis sproglige formulering til formelsprog. Hvis genstanden til tiden t1 har tilbagelagt strækningen s1, og den til tiden t2 har tilbagelagt strækningen s2, så vil forholdet mellem strækningerne være det samme som forholdet mellem kvadraterne på tiderne: s2 t22 = 2 s1 t1 Hvis genstanden til tiden t1 =1 har tilbagelagt strækningen s1 = k, så får vi sammenhængen: s t2 = = t2 k 12 s = k ⋅t 2 Galilei påstår altså, at strækningen vokser proportionalt med kvadratet på tiden.

9788770668699_indhold.indb 59

08/05/2019 11.53

Øvelse 2.7

Tabelrepræsentation for k = 5

Antag k = 5, dvs. genstanden falder 5 meter i løbet af det første sekund. Opstil en tabel over sammenhørende værdier af tiden t og strækningen s, og tegn en graf, der beskriver denne sammenhæng.

En funktion af typen y = a · x 2 kaldes en parabel. Udtrykt i moderne sprogbrug er Galileis påstand altså, at i et frit fald er den grafiske repræsentation af sammenhængen mellem de to variable s og t en parabel. Galileis argumentation for Sætning II Galileis udgangspunkt er antagelsen om sammenhængen mellem hastighed og tid: v=g·t

v4 v1 ∆t

v2 ∆t

v3 ∆t

∆t

...

Hvis hastigheden var konstant, så kunne strækningen s beregnes som: s=v·t Afsættes hastigheden v op af 2. aksen og tiden t ud af 1. aksen, så svarer v · t til et areal af et rektangel med bredde t og højde v. Nu er hastigheden ikke konstant, men i et lille tidsinterval ∆t kan vi betragte den som næsten konstant. Den ekstra strækning, vi gennemløber i ∆t, svarer til arealet af et smalt rektangel med bredden ∆t og den aktuelle hastighed som højde. Når tiden t er gået, har vi gennemløbet hele strækningen. Men så kan denne jo findes ved at lægge alle de smalle arealer sammen, hvilket svarer til arealet af den blå trekant! Arealet af den blå trekant er det samme som arealet af det gule rektangel. vn Det gule rektangel svarer til den strækning, vi gennemløber i løbet af tiden t, når vi bevæger os med konstant hastighed, nemlig hastigheden svarende til højden af rektanglet. Og denne hastighed kaldes den gennemsnitlige hastighed. På tegningen kan vi se, at gennemsnitshastigheden i dette tilfælde, hvor grat ∆t . . . fen for v er lineær, netop vil være gennemsnittet af start- og sluthastigheden. v

vslut

vslut vslut = g · t

vmiddel = 1 g · t 2

vmiddel

1 ·s 2

vmiddel 1 ·s 4

t 1 ·t 2

Grafen for hastigheden som funktion af tiden bestemmer det blå område under kurven. Arealet af dette svarer til den strækning, der gennemløbes i løbet af tiden t.

9788770668699_indhold.indb 60

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

Da vi starter fra hvile, er starthastigheden 0, hvorfor gennemsnitshastigheden netop er det halve af sluthastigheden, dvs.

v middel =

1 ⋅v 2 slut

og da v slut = g ⋅ t får vi ved indsættelse ovenfor, at v middel =

1 ⋅ g⋅t 2

Den tilbagelagte strækning er nu den samme, som hvis genstanden havde bevæget sig jævnt med middelhastigheden i hele tidsrummet, dvs. s=v middel ⋅ t 1 s =  ⋅ g ⋅ t ⋅ t 2  s=

1 ⋅ g ⋅ t2 2

Dette er netop Galileis faldlov, svarende til hans påstand om, at strækningen vokser proportionalt med kvadratet på tiden. Hos Galilei gennemføres argumentet rent geometrisk og fylder derfor en del mere end det ovenstående. Argumenter som disse er ikke opfundet af Galilei, men stammer fra middelalderen, hvor fx fysikeren Oresme omkring 1350 præsenterer tilsvarende argumenter. Dermed er det lykkedes Galilei at opfylde sit første løfte: At give en simpel karakterisering af bevægelser med konstant acceleration. Han har også lovet at underbygge sin model eksperimentelt, og han vier derfor et længere afsnit til bevægelsen af kugler på skråplan. Han angiver omstændighederne omkring de eksperimenter, han har udført, og viser, at bevægelsen af en kugle langs en blankpoleret rende netop foregår med konstant acceleration.

Galileis faldrende fra Det Videnskabshistoriske Museum i Firenze.

Fortalt i moderne sprog finder han: En genstand, der starter fra hvile og bevæger sig med konstant acceleration, vil følge bevægelsesligningerne, v=a ·t 0

s = 1 · a 0 · t2 2 hvor a0 er den konstante acceleration. Grafen for strækningen s som funktion af tiden t vil være en parabel med toppunkt i (0,0). På bogens website ligger der et projekt med en matematisk modellering af Galileis historisk enestående tabeller over kanoners skudvidde.

9788770668699_indhold.indb 61

08/05/2019 11.53

1.4 Det skrå kast (Dette afsnit er hentet fra kapitel 11 om studieretningssamarbejdet mellem matematik og fysik. I dette kapitel vil du finde mere materiale om det skrå kast, både eksperimenterende med fx Angry Birds og teoretisk) Selv om frit fald og skråt kast umiddelbart lyder som to helt forskellige situationer, så kan vi faktisk nu, med udgangspunkt i den viden vi har med Galileis faldlov, også svare på spørgsmål om det skrå kast og dermed spørgsmålet om projektilbaner. Som standard-eksempel på et skråt kast tænker vi i det følgende på et stød med en kuglestødskugle . Her kan man nemlig se bort fra alle andre kræfter end tyngdekraften og kuglestøderens aktion. I et sådant tilfælde kan vi vise, at kuglen vil følge en parabel med forskriften

y( x ) = −

2 ⋅ v0 ⋅ (cos( α ))

⋅ x 2 + tan( α ) ⋅ x + y0 ,

hvor v0 er starthastigheden, α er startvinklen, y0 er starthøjden og g er tyngde2 accelerationen på 9,82 m/s . Udledning af formlen for kasteparablen Når man ser bort fra alle andre kræfter end tyngdekraften, så kan det skrå kast ses som to uafhængige bevægelser i henholdsvis x-aksens og y-aksens retning. Tyngdekraften virker nedad i y-aksens retning, og der er ingen kraft i x-aksens retning. Dette giver accelerationerne a x = 0 og ay = –g, hvor a x og ay er accelerationen i henholdsvis x-aksens og y-aksens retning. Vi får derfor en bevægelse med konstant hastighed i x-aksens retning, og en bevægelse med konstant acceleration i y-aksens retning. Begyndelsesværdierne vil være givet ved den starthastighed, kaldet v0, og den vinkel, kaldet α, som man støder kuglen med, se figuren.

Øvelse 2.8

Animation af det skrå kast

Opret en animation for sammenhængen mellem y og x, hvor v0, g, α og y0 styres med skydere. Lad dig inspirere af figuren. Du kan også hente en færdig animation på bogens website. Prøv at ændre starthastigheden og vinklen på figuren, og se, hvordan grafen ændrer sig. S tarthastigheden i x-aksens retning er givet ved v0cos(α) og i y-aksens retning givet ved v0sin(α), se figuren. Nu kan vi sætte det hele sammen. I x-aksens retning får vi

x(t) = v0cos(α) · t + x0 vx = v0cos(α) og i y-aksens retning 1 2

y ( t ) = − gt 2 + v0 sin( α ) ⋅ t + y0 v y = − g ⋅ t + v0 sin( α ) Dette er bevægelsesligningerne for et skråt kast.

9788770668699_indhold.indb 62

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

Øvelse 2.9 Argumentér for de fire bevægelsesligninger.

Hvis man isolerer t i ligningen for x, samt har sat x0 = 0, og derefter indsætter dette i ligningen for y, så får man g y( x ) = − ⋅ x 2 + tan( α ) ⋅ x + y0 2 2 2 ⋅ v0 ⋅ (cos( α )) hvilket netop var den ønskede formel. Undervejs har vi udnyttet, at: sin( α ) = tan( α ) cos( α )

Øvelse 2.10 Vis omskrivningerne til ligning.

Øvelse 2.11

Gennemfør et eksperiment sammen med fysik

a) Optag en film af et kuglestød – eller et andet kast, hvor I kan udelukke luftmodstand. Husk, at der skal være en meterstok eller andet med på billedet, som I kan bruge til at fastlægge en målestok. Sørg desuden for, at kameraet holdes helt stille, og at I filmer vinkelret på bevægelsen, samt at hele bevægelsen er med på filmen. Vær opmærksomme på, om man kan se kuglen på den valgte baggrund. b) Filmen indsættes i et passende videoanalyse program. Punkterne markeres, og målestokken bruges til at lave en skala. Nulpunktet for parablen vælges til jordoverfladen lige under det punkt, hvor kuglen slippes. 1. Lav en (x,y)-graf, og beskriv grafen med ord. Ligner grafen en parabel som forventet? 2. Lav en 2.-gradsregression, og bestem koefficienterne a, b og c. 3. B rug koefficienterne til at bestemme y0, α og v0. Bestem først y0 = c. Bestem derefter α ud fra tan(α) = c. Brug så denne værdi af α til at bestemme v0 ud fra y ( xa) = −

2 2 ⋅ v0

⋅ (cos( α ))

⋅. x 2 + tan( α ) ⋅ x + y0

4. V urdér ud fra jeres film, om værdierne virker rimelige. 5. Lav et residualplot. Ser der ud til at være nogen tendenser her? Hvilke faktorer kan der i givet fald være tale om? 6. Bestem toppunktet ud fra jeres 2.-gradsfit. Hvordan passer det med grafen?

I Hvad er matematik? 3 vender vi tilbage til det skrå kast og undersøger bl.a. fænomenet at ”skrue” en bold.

9788770668699_indhold.indb 63

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet Andengradspolynomier er en ny type funktioner, som bygger videre på førstegradspolynomier, der har forskriften f(x) = a · x + b. Førstegradspolynomier kender vi fra bog 1, hvor de blev kaldt for lineære funktioner.

Øvelse 2.12

Førstegradspolynomium og nultegradspolynomium

a) Førstegradspolynomiets består af to led: Et konstant led og et førstegradsled. Angiv disse. Vi siger, at førstegradspolynomiet indeholder to parametre (tal). Disse kaldes også førstegradspolynomiets koefficienter. b) Angiv disse, og forklar betydningen af disse parametre i relation til førstegradspolynomiets graf. c) Giv et bud på, hvad man forstår ved et nultegradspolynomium. Overvej fx, hvordan grafen for en sådan funktion ser ud.

Andengradspolynomiet opstår ud fra førstegradspolynomiet ved, at vi tilføjer et andengradsled til de to eksisterende led i forskriften. Et andengradsled er et led, hvor x opløftes til anden potens.

Definition: Andengradspolynomium

Et andengradspolynomium er en funktion med forskriften

p(x) = a · x2 + b · x + c, a ≠ 0

Parametrene a, b og c kaldes andengradspolynomiets koefficienter. Den ovenstående forskrift kaldes standardformen for andengradspolynomiet. Grafen for et andengradspolynomium kaldes en parabel. x

Øvelse 2.13

Koefficienter i forskrifter

Angiv koefficienterne a, b og c i de følgende andengradspolynomier: 2 a) p(x) = 2x – 7x + 25

b) p(x) = 0,25x2 + 2x – 3,5

2 c) p(x) = –4x + 2x + 1

d) p(x) = – x2

2 e) p(x) = x – 4

f) p(x) = 3x2 – 9x

9788770668699_indhold.indb 64

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

2.1 Betydningen af koefficienterne a, b og c I forskriften for andengradspolynomiet indgår som nævnt de tre koefficienter a, b og c. De har hver for sig en karakteristisk betydning for parablens form og beliggenhed i koordinatsystemet.

Øvelse 2.14

Betydningen af a, b og c

Vi vil nu undersøge betydningen af andengradspolynomiets koefficienter ved hjælp af skydere i et værktøjsprogram, ligesom vi gjorde med koefficienterne a og b i den lineære funktion i bog 1. Opret selv en graf som på figuren, hvor du kan eksperimentere. Eller hent en sådan via bogens website.

b=1

a=1 –5

c=1

–5

5 –5

a) Tegn en graf for andengradspolynomiet p(x) = a · x + b · x + c med en skyder for hver af koefficienterne a, b og c. Brug fx x-intervallet fra –5 til 5 og y-intervallet fra –10 til 10. Sæt som udgangspunkt alle skyderne på værdien 1, og husk: Variabelkontrol, dvs. sæt undervejs de "inaktive" skydere på 1. b) Tilføj grafen for den konstante funktion f(x) = c, svarende til den konstante del af andengradspolynomiet. Hvad sker der med graferne for f og p, når vi varierer på koefficienten c? Hvilken betydning har koefficienten c for parablens beliggenhed? Hvad sker der med parablen, hvis c har værdien 0? Hvordan kan vi aflæse fortegnet for c?

2 f(x) = x + x + 1

x 1

c) Tilføj grafen for den lineære funktion g(x) = b · x + c, svarende til den lineære del af andengradspolynomiet. Hvad sker der med graferne for g og p, når vi varierer på koefficienten b? Hvilken betydning har koefficienten b for parablens beliggenhed? Hvad sker der med parablen, hvis b har værdien 0? Hvordan kan vi aflæse fortegnet for b? 2 d) T ilføj grafen for andengradspolynomiet h(x) = a · x , svarende til andengradsleddet i andengradspolynomiet. Skjul evt. de foregående hjælpefunktioner f og g. Hvad sker der med graferne for h og p, når vi varierer på koefficienten a? Hvilken betydning har koefficienten a? Hvad sker der med parablen, hvis a får den forbudte værdi 0? Hvordan kan vi aflæse fortegnet for a?

9788770668699_indhold.indb 65

08/05/2019 11.53

Øvelse 2.15

Aflæse fortegn for koefficienter ud fra en parabel

Nedenfor ses fire parabler. Aflæs fortegnene for koefficienterne a, b og c for det tilhørende andengradspolynomium. y = a · x2 + b · x + c

Øvelse 2.16

a·x 2 + b·x + c

Skitsere en parabel ud fra fortegn for koefficienter

Skitser grafen for en parabel, der opfylder betingelserne: a) a > 0, b > 0 og c > 0

b) a < 0, b < 0 og c > 0

c) a > 0, b > 0 og c < 0

Vi har i det foregående eksperimenteret med parablers form og beliggenhed og også udledt en lang række karakteristiske egenskaber for parablen udtrykt ved dens koefficienter a, b og c. Vi opsamler nu de vigtigste af disse egenskaber, som vi alt i alt har fundet frem til:

Sætning 1: Betydningen af koefficienterne a, b og c i et andengradspolynomium p(x) = a · x2 + b · x + c Betydningen af a:

a pos.

a nul

Fortegnet for a: Hvis a er negativ, vender parabelgrenene nedad (parablen er sur). Hvis a er nul, er der ikke tale om et andengradspolynomium. Grafen udarter da til en ret linje. Hvis a er positiv, vender parabelgrenene opad (parablen er glad). a neg.

Størrelsen af a: Hvis a ligger tæt på 0, er krumningen lille og parablen derfor meget bred. Hvis a ligger langt fra 0, er krumningen stor og parablen derfor meget smal.

a=1 a>1

smal 0<a<1 a lille

bred

9788770668699_indhold.indb 66

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

Betydningen af b: Koefficienten b angiver hældningskoefficienten for parablens tangent i punktet, hvor parablen skærer y-aksen. Fortegnet for b: Hvis b er negativ, er andengradspolynomiet aftagende omkring skæringspunktet med y-aksen. Hvis b er nul, er hældningskoefficienten for tangenten i skæringspunktet nul, og parablen skærer y-aksen i sit toppunkt. Hvis b er positiv, er andengradspolynomiet voksende omkring skæringspunktet med y-aksen.

b nul

b neg.

b pos.

Betydningen af c: Parablen skærer y-aksen i punktet (0,c).

c pos.

Fortegnet for c: Hvis c er negativ, skærer parablen y-aksen under x-aksen. Hvis c er nul, går parablen gennem koordinatsystemets begyndelsespunkt (0,0). Hvis c er positiv, skærer parablen y-aksen over x-aksen.

Øvelse 2.17

c nul c neg.

Toppunktets placering ud fra fortegnene for a og b

Hvor ligger parablens toppunkt i forhold til y-aksen, hvis a og b har samme fortegn? Hvor ligger det, hvis a og b har modsat fortegn?

2.2 Parablens symmetri og toppunkt Vi vil nu undersøge parablens form nærmere. Vi vil starte med det simpleste anden2 gradspolynomium p(x) = x , den såkaldte prototype med enhedsparablen som graf. Derfra vil så arbejde os frem mod at vise, at alle graferne for vilkårlige andengradspolynomier har samme form som prototypen. Hvis vi kan forstå prototypen, kan vi altså forstå dem alle! 2

Prototypen for andengradspolynomiet p1(x) = x Enhedsparablen er særlig simpel. 2 2 Den er tydeligvis symmetrisk omkring y-aksen, fordi x og (–x) er det samme. Den har toppunkt i (0,0), som er et globalt minimum for funktionen, fordi et tal opløftet i anden altid giver noget positivt eller evt. 0, og derfor er alle y-værdierne større end eller lig med 0. Endelig går den gennem punktet (1,1). Når vi går 1 ud fra toppunktet (hvad enten vi går fremad eller bagud langs x-aksen), går vi altså samtidigt 1 op.

9788770668699_indhold.indb 67

08/05/2019 11.53

y (–4,16)

F ortsætter vi med at gå 1 fremad (eller bagud), gennemløber vi på samme måde alle kvadrattallene 4, 9, 16, 25, … . Tilvæksterne svarer netop til de ulige tal 1, 3, 5, 7, … og de voksende stigningstal viser, hvordan parablen bliver mere og mere stejl i takt med, at vi fjerner os fra toppunktet. Faktisk vokser stigningen jævnt, også når vi inddrager alle decimaltal; dette vil vi præcisere, når vi går i gang med differentialregningen.

(4,16) Symmetri

–7

(–3,9)

(3,9)

–5

(–2,4)

(2,4)

–3

3 +1 (–1,1) (1,1) +1 1 –1

Toppunkt (0,0) Prototypen p1(x)=x

(4,16a)

(–4,16a)

2 Andengradspolynomiet p(x) = a · x + b · x + c

+7a

–7a

(–3,9a)

(3,9a)

–5a

+1 +5a

+1 –3a

Andengradspolynomiet pa(x) = a · x H vis fx a har værdien 2, ser vi, at alle y-værdier bliver dobbelt så store. Det viser, at grafen er blevet strakt ud med en faktor 2 i lodret retning ud fra x-aksen, dvs. alle y-værdierne er blevet to gange så store. Men derud over er formen uændret, dvs. grafen er stadigvæk symmetrisk omkring y-aksen. Tilsvarende hvis a har værdien –3, så har alle y-værdierne skiftet fortegn, og de er samtidigt blevet numerisk tre gange så store. Denne gang vender parablen altså grenene nedad, men derud over har den samme form. D a parablen denne gang går gennem punkterne (–1,a) og (1,a), ser vi, at når vi går 1 ud fra toppunktet, går vi samtidigt stykket a op (eller ned, hvis a er negativ). K onstanten a regulerer altså parablens krumning: For små værdier af a (tæt på 0) er parablen meget bred, og den krummer kun lidt, mens den for numerisk store værdier af a langt over 1 er meget smal og krummer voldsomt.

+1 +1 (–1,a) (1,a) +1 –1a +1a +1 +1

+3a x

pa (x)=a·x2

Øvelse 2.18

2 V i vil nu prøve at forstå sammenhængen mellem parablen y = a · x og 2 y = a · x + b · x + c (samme a-værdi!). Vi kan forstå det ud fra en tabelrepræsentation, en graf-repræsentation og en symbolsk repræsentation. Den symbolske repræsentation er den mest generelle, men for at skyde os ind på ideen, kigger vi først på tabel- og graf-repræsentationerne. Når vi tegner graferne for andengradspolynomierne, kan vi tydeligt se slægtsskabet med enhedsparablen: De har et tydeligt toppunkt, der er tydeligvis symmetri, og de ser ud til at krumme på samme måde.

Tabel-repræsentation og toppunktet

a) Benyt et værktøjsprogram til at bestemme tabelværdier for p(x) = x2 – 4x + 7, hvor den uafhængige variabel x antager værdier i de hele tal. b) Find toppunktet for parablen i tabellen, og vælg et udsnit af tabellen, fx 7 punkter på hver side af toppunktet (dvs. 15 i alt), så du tydeligt kan se, hvordan funktionsværdien vokser, når du bevæger dig væk fra toppunktet. 2 c) Bestem tilsvarende en funktionstabel for prototypen p1(x) = x , og udvælg på samme måde 15 punkter i denne tabel.

9788770668699_indhold.indb 68

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

d) S ammenlign nu de to funktionstabeller med udgangspunkt i de to toppunkter – opstil fx de to tabeller ved siden af hinanden i et regneark, således at de to toppunkter står i samme række. Hvilken sammenhæng ser du mellem x-værdierne i samme række? Lad fx x1 være en tilfældig x-værdi i tabellen for p og x2 en tilfældig x-værdi i tabellen for p1, og opskriv sammenhængen mellem x1 og x2. Beskriv på lignende vis sammenhængen mellem y-værdierne i samme række i de to funktionstabeller. Besvar nu de samme spørgsmål for andengradspolynomierne: 2 2 1. p(x) = x – 5x + 8, der sammenholdes med p1(x) = x 2 2 2. p(x) = 2x – 3x + 4, der sammenholdes med p2(x) = 2x

Øvelse 2.19

Graf-repræsentation og toppunktet

a) Tegn grafen for andengradspolynomiet p(x) = x2 – 4x + 7 i et dynamisk geometriprogram og afsæt toppunktet for parablen ved hjælp af et passende værktøj. Tegn også 2 grafen for prototypen p1(x) = x . b) Tegn den forskydningsvektor (orienteret linjestykke), der forbinder toppunktet (0,0) for enhedsparablen med toppunktet for parablen p. Hvis du parallelforskyder (0,0) langs denne forskydningsvektor, fører parallelforskydningen altså toppunktet fra enhedsparablen over i toppunktet for den forskudte parabel. c) Afsæt nu et frit punkt på enhedsparablen og parallelforskyd det langs den ovenstående forskydningsvektor. Hvad observerer du, når du trækker i punktet? Hvad fortæller det, om de to parabler? d) P røv derefter at besvare de samme spørgsmål for graferne for andengradspolynomierne: 2 2 1. p(x) = x – 5x + 8, der sammenholdes med p1(x) = x

2 2 2. p(x) = 2x – 3x + 4, der sammenholdes med p2(x) = 2x

De foregående øvelser kunne tyde på, at grafen for andengradspolynomiet 2 2 p(x) = a · x + b · x + c har samme form som grafen for pa(x) = a · x . Hvis vi kan vise dette, vil vi altså netop have påvist, at alle parabler har samme form, og at det kun er beliggenheden, der adskiller dem. Vi vil derfor nu undersøge, hvad der sker, når vi parallelforskyder grafen for anden2 gradspolynomiet pa(x) = a · x med det vandrette stykke h og det lodrette stykke k. Vi vil benytte en blanding af geometriske og symbolske argumenter. Vi starter derfor med at tegne grafen for pa(x) = a · x2 og afsætter et frit punkt (x0,y0) på grafen. Dette punkt forskydes med det vandrette stykke h og det lodrette stykke k over i punktet (x,y). Der gælder derfor sammenhængen:

9788770668699_indhold.indb 69

08/05/2019 11.53

x = x0 + h y = y0 + k

(x0 ,y0)

(x,y)=(x0+h,y0+k)

(x0 ,y0)

x pa (x) = a · x

p(x) = a·(x – h) + k

2 Når det uafhængige punkt (x0,y0) gennemløber parablen y = a · x , vil det afhængige punkt nu gennemløbe den forskudte parabel. Denne kan derfor enten tegnes som det geometriske sted frembragt af det afhængige punkt (x,y) drevet af det uafhængige punkt (x0,y0). Eller den kan tegnes som sporet af det afhængige punkt (x,y). Vi ønsker nu at finde funktionsforskriften for den forskudte parabel. 2 Det uafhængige punkt (x0,y0) ligger på parablen y = a · x , så derfor skal punktets koordinater passe ind i forskriften, dvs.

y0 = a · x0 (*)

Det afhængige punkt (x,y) er givet ved (x0 + h, y0 + k), dvs. x = x0 + h og y = y0 + k Når vi isolerer x0 og y0, får vi x0 = x – h og y0 = y – k Dette indsættes i (*) 2 y – k = a · (x – h) Når vi isolerer y, får vi 2 y = a · (x – h) + k 2 Forskriften for den forskudte parabel er altså givet ved p(x) = a · (x – h) + k. Men er det nu også et andengradspolynomium? Ja, for vi kan gange parentesen ud og omskrive den til standardformen:

2 p(x) = a · (x – h) + k

Forskriften for den forskudte parabel

2 2 p(x) = a · (x – 2 · h · x + h ) + k

Gang parentesen ud (kvadratsætningen)

2 2 p(x) = a · x – 2 · a · h · x + a · h + k

Gang a ind i parentesen

2 2 p(x) = a · x + ( –2 · a · h) · x + (a · h + k) Saml leddene til standardformen

2 p(x) = a · x + b · x + c

Sæt b = –2 · a · h og c = a · h2 + k

9788770668699_indhold.indb 70

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

Vi spørger nu: Kan alle andengradspolynomier frembringes på denne måde? Svaret er bekræftende. 2 Hvis vi starter med et andengradspolynomium p(x) = a · x + b · x + c, kan vi nemlig finde et h og et k, der opfylder ligningerne:

2 b = –2 · a · h og c = a · h + k

Det er nemmest at finde h, dvs. det vandrette forskydningsstykke: b = −2 ⋅ a ⋅ h

h=−

b 2⋅ a

Divider –2 · a over

Øvelse 2.20

Symmetriakse for parabel

Overvej, at denne værdi samtidig er x-koordinaten for toppunktet, således at symmetrib aksen for parablen har ligningen: xh== − 2⋅ a

Det er noget mere kompliceret at finde udtrykket for k, men for fuldstændighedens skyld udleder vi også en formel for k, dvs. det lodrette forskydningsstykke:

2 c=a·h +k

 −2b  k k = c −– aa⋅ · h Isoler  2 ⋅ a 

 −b  k = c − a⋅  2 ⋅ a 

k = c − a⋅

k = c−

a ⋅ b2 Brug en brøkregel 4 ⋅ a2

k = c−

b2 Forkort det ene a væk i tæller og nævner 4⋅a

4 ⋅ a ⋅ c b2 Omskriv c til en brøk med samme nævner − 4⋅a 4⋅a

4 ⋅ a ⋅ c − b2 4⋅a

b2 4 ⋅ a2

Indsæt det fundne udtryk for h Brug en potensregel

Sæt på fælles brøkstreg

b2 − 4 ⋅ a ⋅ c Byt om på leddene og sæt minus 4⋅ a ud foran brøken d Kald tælleren for d (diskriminanten) k=− 4⋅a

k=−

9788770668699_indhold.indb 71

08/05/2019 11.53

Vi samler ovenstående i hovedsætningen for parabler:

Sætning 2: Parablens form og beliggenhed – toppunkt og symmetrilinje Grafen for andengradspolynomiet p(x) = a · x2 + b · x + c har samme form som parablen med forskriften pa(x) = a · x2, idet den er en parallelforskydning af denne. b Parablen er symmetrisk omkring den lodrette linje x = − og har toppunkt i 2 ·⋅ a d   b  − 2 ·⋅ a , − 4 ·⋅ a , hvor d er den såkaldte diskriminant for andengradspolynomiet givet ved d = b2 – 4 · a · c. Koefficienten a bestemmer parablens krumning: Går vi stykket 1 vandret ud fra toppunktet, skal vi gå stykket a lodret op (hvis a er positiv) eller lodret ned (hvis a er negativ).

Øvelse 2.21

Prototype for en funktionsfamilie

Den ovenstående måde at analysere en funktion ud fra en prototype er standard for mange funktioner, ikke blot for andengradspolynomier. Prototypen genererer en hel funktionsfamilie ud fra vandrette og lodrette forskydninger samt vandrette og lodrette skaleringer. Dette undersøgte vi nærmere i kapitel 8 i Hvad er matematik 1, og i denne bogs kapitel 8 genoptager vi det med de nye funktionstyper, vi møder her.

Øvelse 2.22

Krumning for grafer

Vi har flere gange brugt begrebet krumning uden at præcisere, hvad vi forstår herved. Der findes forskellige krumningsmål for kurver og grafer, og vi vil under differentialregningen vende tilbage med de præcise definitioner. På bogens website ligger en kort første introduktion til begrebet.

Opgaver I opgavebogen ligger der opgaver i tilknytning til afsnit 2.

9788770668699_indhold.indb 72

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

3. Bestemmelse af forskrift ud fra graf – andengradsregression Vi kan ud fra grafen bestemme værdien af de tre koefficienter a, b og c i forskriften for andengradspolynomiet. Dvs. vi kan ikke alene bestemme fortegnet for de tre konstanter, men deres faktiske værdi.

Eksempel: Bestemmelse af forskrift ved løsning af ligningssystem Der er givet følgende graf og tilhørende punkter for en funktion, som vi får oplyst er et andengradspolynomium.

(4,5) (–2,1)

(2,3) x

Vi ved, at et andengradspolynomium har en forskrift på formen

2 p(x) = a · x + b · x + c

Vi skal bestemme a, b og c. Ud fra forskriften og de tre opgivne punkter opstilles tre ligninger med de tre ubekendte a, b og c: Punkt

Indsætter i p(x)

Udregner funktionsværdien udtrykt ved a, b og c

(–2,1)

p(–2) = 1

4a – 2b + c = 1

(2,3)

p(2) = 3

4a + 2b + c = 3

(4,5)

p(4) = 5

16a – 4b + c = 5

Man kan godt bestemme a, b og c i hånden. Men det nemmeste er at bruge solvekommandoen i et værktøjsprogram. På bogens website kan du finde en vejledning til, hvordan man gør.    p(-2) = 1 1 1 5  og b = og c = Solve  p(2) = 3 ,a, b, c → a = 12 2 3    p(4) = 5





  

Konklusion: Det søgte andengradspolynomium har forskriften

p( x ) =

1 1 5 ⋅ x2 + ⋅ x + 12 2 3

Øvelse 2.23

Forskrift ud fra tre punkter på en parabel

Grafen for et andengradspolynomium f går igennem punkterne (–2,–8), (1,3) og (10,–5). Bestem forskriften for f ved løsning af et ligningssystem.

9788770668699_indhold.indb 73

08/05/2019 11.53

Øvelse 2.24

Forskrift ud fra to, tre eller fire punkter

a) Argumenter for, at man ikke kan bestemme forskriften for andengradspolynomiet ud fra to punkter. b) Givet tre punkter i et koordinatsystem. Kan man altid bestemme et andengradspolynomiet, hvis graf går gennem de valgte tre punkter? c) Hvad gør man, hvis man kender 4 punkter?

Hvis vi kender flere end tre punkter, og punkterne ikke passer præcist med forskriften for et andengradspolynomium, selvom vi har en formodning om, at der ligger et andengradspolynomium bag datapunkterne, så skal vi bruge en anden metode. Lad os fx se på billedet af et springvand. Billedet kan lægges ind i et dynamisk geometriprogram, sammen med et passende koordinatsystem, hvorved vi kan aflæse koordinaterne til et passende antal punkter: y

D C B A

E F G H

A: (0.48,1.40) B: (1.11,3.04) C: (1.93,4.79) D: (3.28,6.03) E: (4.71,5.85) F: (5.79,4.47) G: (6.67,2.86) H: (7.17,0.93)

Vi vælger at tro på, at dråberne bevæger sig stort set som en kanonkugle, dvs. de følger en parabelbue. Sammenhængen mellem de to variable, længden x og højden y af dråbens vej fra hanen til landing i bassinet, må derfor kunne beskrives ved et andengradspolynomium. Virkeligheden er altid noget "grumset" i forhold til teorien, men man kan sige, at vi tror på, at der bag målepunkterne ligger nogle ideelle teoretiske værdier, som vi ikke umiddelbart kan se, men som målepunkterne er en genspejling af. De teoretiske værdier ligger præcist på en parabel, men på grund af bl.a. måleusikkerhed ligger målepunkterne spredt tilfældigt rundt omkring den teoretiske parabel. Værktøjsprogrammerne har en indbygget metode, der kaldes andengradsregression, til at tegne den bedst mulige parabel gennem datapunkterne. Metoden kaldes også kvadratisk regression. Ligesom ved lineær regression bygger metoden på mindste kvadraters metode. Til hvert datapunkt knyttes det punkt på parablen, der har den

9788770668699_indhold.indb 74

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

samme x-værdi. Det lodrette linjestykke, det såkaldte residual, mellem datapunktet og grafpunktet udspænder et kvadrat. Det er summen af disse residualkvadraters arealer, der udgør et mål for, hvor god modellen er. I en andengradsregression bestemmes koefficienterne a, b og c nu således, at summen af residualkvadraternes arealer er mindst mulig. Der findes formler for a, b og c, der er indbygget i værktøjsprogrammet. I bog 3 viser vi i detaljer, hvordan man finder koefficienterne. Her bruger vi blot den indbyggede andengradsregression i værktøjsprogrammet.

Øvelse 2.25

Når værktøjsprogrammet udregner forskriften for det andengradspolynomium, der passer bedst mulig til de givne datapunkter, udregner den samtidigt et mål for, hvor godt andengradspolynomiet og regressionsgrafen passer med målepunkterne. Dette mål har i 2 matematik symbolet r og kaldes ofte forklaringsgraden. I bog 3 går vi nærmere ind i den såkaldte regressionsanalyse og får et mere præcist billede af, hvilken rolle forklaringsgraden spiller i vurderingen af andengradsregressionen. Et godt grafisk værktøj til at svare på, hvor godt andengradspolynomiet passer med målepunkterne, er det såkaldte residualplot, som vi også kender fra lineær, eksponentiel- og potensregression.

D C B A

E F G H x

p(x) = –0,444605 · x2 + 3,36796 · x – 0,126748

Vurdering af regressionsmodel ud fra residualplot og residualer

a) Benyt et værktøjsprogram til at bestemme såvel forklaringsgraden som residualplottet for den ovenstående andengradsregression. b) Vurder om forskellen mellem model og målepunkter kan tilskrives rene tilfældigheder, eller om der er tale om en systematisk afvigelse.

Øvelse 2.26

Analyse af modellen for springvandet

a) Bestem toppunktet for den parabel, som springvandet frembringer. b) Hvor højt op over hanens munding kommer springvandet?

Eksempel: Bestemmelse af forskrift ved kvadratisk regression Når man kaster en bold, vil bolden følge en bestemt kurve, der ifølge Galileis bevægelseslove bør ligne en parabel (vi ser bort fra luftens modstand mod bevægelsen). Et sådant kast kan optages med et lille kamera og analyseres i et værktøjsprogram. Det gøres ved at indlægge et passende koordinatsystem og udnytte, at afstanden mellem de to røde kegler er sat til 3,00 m. Når man spoler filen frem billede for billede, kan man nu afsætte boldens centrum som en prik og få aflæst såvel

9788770668699_indhold.indb 75

08/05/2019 11.53

Tid t (s)

Længde x (m)

Højde y (m)

0,0

0,00

2,20

0,1

0,47

2,66

0,2

0,91

3,00

0,3

1,36

3,30

0,4

1,81

3,46

0,5

2,26

3,52

0,6

2,69

3,49

0,7

3,13

3,38

0,8

3,56

3,16

tidspunktet som x- og y-koordinaterne. På bogens website kan du hente den originale tabel med datapunkterne – her nøjes vi med et udsnit. Vi ønsker at analysere baneformen og fokuserer derfor på sammenhængen mellem x og y. Vi plotter datapunkterne i et koordinatsystem og udfører andengradsregression (se figurerne).

y 4

1 x 0

t = 0,2s

t = 0s

t = 0,4s

p(x) = –0,244x2 + 1,14x + 2,19 x 0

t = 0,6s

Vi finder som vist forskriften:

2 p(x) = –0,244x + 1,14x + 2,19

Her passer konstantleddet 2,19 meget godt med den højde, bolden slippes i (2,20). Tilsvarende passer førstegradskoefficienten 1,14 meget godt med hældningen for tangenten.

Øvelse 2.27

t = 0,8s

Analyse af model for boldens kasteparabel, del 1

a) Hvad bliver forklaringsgraden for regressionen i eksemplet ovenfor? b) Tegn også et residualplot for regressionen mellem længden x og højden y, og vurder om forskellen mellem model og målepunkter kan tilskrives rene tilfældigheder, eller om der er tale om en systematisk afvigelse.

9788770668699_indhold.indb 76

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

Øvelse 2.28

Analyse af model for boldens kasteparabel, del 2

Bestem toppunktet for parablen, og bestem dermed boldens maksimale højde over gulvet. På bogens website findes et projekt, hvor vi går i dybden med en analyse af boldens bane.

Opgaver I opgavebogen ligger der opgaver i tilknytning til afsnit 3.

4. Andengradsligningen I det foregående så vi, at konstanten c i andengradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c bestemmer parablens skæring med y-aksen. I det følgende vil vi undersøge parablens beliggenhed i forhold til x-aksen og se på, hvordan vi kan bestemme en parabels eventuelle skæringspunkter med x-aksen.

Øvelse 2.29

Parablens mulige skæringer med x-aksen

En parabels beliggenhed i forhold til x-aksen kan beskrives ved en af følgende tre situationer:

1. Parablen skærer ikke x-aksen

2. Parablen rører x-aksen i et punkt

3. Parablen skærer x-aksen i to punkter.

Overvej i hvert tilfælde, hvordan parablen ligger, når a > 0 og når a < 0. y

Når vi vil bestemme mulige skæringspunkter for en parabel med x-aksen, skal vi løse ligningen p(x) = 0, fordi vi skal bestemme de x-værdier, der giver funktionsværdien nul. 2 Dvs. vi skal løse ligningen ax + bx + c = 0. Vi kalder denne type ligning for en andengradsligning, fordi højestegradsleddet er et andengradsled.

y=0 x=?

9788770668699_indhold.indb 77

08/05/2019 11.53

Sætning 3: Andengradsligningens løsningsformel Antallet af løsninger til andengradsligningen ax2+ bx + c = 0 afhænger af fortegnet for andengradsligningens diskriminant d = b2– 4 · a · c : d < 0 Andengradsligningen har ingen løsning d = 0 Andengradsligningen har netop en løsning: x = − b 2a d > 0 Andengradsligningen har to løsninger: x=

b d og x = 2a

b d 2a

Beviset for sætning 3 følger nedenfor.

Eksempel: Løsning af en andengradsligning Vi skal løse ligningen x2+ 2x – 8 = 0. Løsningsmetode 1 Ligningen løses med brug af løsningformlen. 2 I andengradsligningen x + 2x – 8 = 0 er a = 1, b = 2 og c = –8. 2 Diskriminanten d bliver så d = 2 – 4 · 1 · (–8) = 4 + 32 = 36 > 0. Dvs. andengradsligningen har to løsninger: −2 − 36 −2 − 6 −8 −2 + 36 −2 + 6 4 x= = = = −4 og x = = = =2 2 ⋅1 2 2 2 ⋅1 2 2 Vi kan kontrollere, om løsningerne er korrekte ved at indsætte de fundne værdier i andengradsligningen:

Løsning x = –4:

2 (–4) + 2 · (–4) – 8 = 16 – 8 – 8 = 0

Løsning x = 2:

22 + 2 · 2 –8 = 4 + 4 – 8 = 0

Da vi i begge tilfælde får nul, så er begge de fundne løsninger korrekte, og der findes ikke flere! Konklusion: Ligningen har løsningerne x = – 4 og x = 2. Løsningsmetode 2 Ligningen løses med brug af en solve-kommando: 2 Solve(x + 2x – 8 = 0, x) → x = – 4 og x = 2

Konklusion: Ligningen har løsningerne x = – 4 og x = 2. Bemærk: De matematiske værktøjsprogrammer reagerer lidt forskelligt på situationen, hvor der ingen løsninger er. Undersøg, hvordan dit program svarer.

Løsningsmetode 3 x –4

Ligningen løses grafisk: Vi tegner grafen og ser om grafen skærer x-aksen. Hvis den gør det, benytter vi værktøjsprogrammets muligheder for at bestemme disse skæringspunkters x-koordinater. Vi angiver, hvilken metode vi bruger. Konklusion: Ligningen har løsningerne x = -4 og x = 2.

9788770668699_indhold.indb 78

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

Øvelse 2.30

Løsning af andengradsligninger

Løs følgende andengradsligninger. Du skal anvende hver af de tre løsningsmetoder mindst én gang: 2 a) x – 12x + 20 = 0

b) –x2 – 2x + 3 = 0

2 c) 2x – 4x + 2 = 0

d) 3x2 – 5x + 6 = 0

Bevis for sætning 3 Bevisets ide er at omskrive ligningen ved hjælp af en af kvadratsætningerne: 2 2 2 (e + f ) = e + 2 · e · f + f , hvor vi her har anvendt e og f, fordi der er så mange andre symboler i spil. Men det særligt smarte er her, at vi anvender den ”baglæns”: 2 2 2 e + 2 · e · f + f = (e + f ) , fordi vi så ender med en ligning, hvor vi bare kan tage kvadratroden. Prøv at afkode, hvad henholdsvis e og f kommer til at svare til nedenfor. 2 ax + bx + c = 0

2 2 4a x + 4abx + 4ac = 0 Gang med 4a, så alt i første led er kvadrater

2 2 2 2 2 a x + 4abx + 4ac = 0 Udnyt 4 = 2 , så alle faktorer i første led er skrevet som kvadrater - det må man godt, da a ≠ 0

2 (2ax) + 4abx + 4ac = 0 2 (2ax) + 4abx = –4ac

Anvend potensregel på første led Træk 4ac fra på begge sider

2 2 2 Læg b2 til på begge sider (2ax) + 4abx + b = b – 4ac 2 2 (2ax) + 2 · 2ax · b + b = b – 4ac Omskriv det andet led til et dobbelt produkt, så vi har to kvadrater og et dobbelt produkt på venstre side 2

2 2 (2ax + b) = b – 4ac Anvend den første kvadratsætning, og omskriv venstresiden til et kvadrat med to led (se øvelse nedenfor)

2 Erstat b2– 4ac med d, som er ligningens (2ax + b) = d diskriminant

Nu vil vi tage kvadratroden, men vi må passe på, da vi ikke må tage kvadratroden af negative tal.

9788770668699_indhold.indb 79

08/05/2019 11.53

Vi er derfor nødt til at opdele i flere tilfælde: d<0

(2ax + b)2 = d På venstre side står der et tal opløftet i anden. Det kan aldrig blive et negativt tal, så derfor har ligningen ingen løsning.

Ingen løsning!

d=0

(2ax + b)2 = 0 2ax + b = 0

Anvend kvadratroden, og udnyt Træk b fra på begge sider

2ax = –b x= d>0

0=0

−b 2a

Divider med 2a – det er tilladt da a ≠ 0

(2ax + b)2 = d 2ax + b = − d

2ax = − b − d og x=

−b − d og 2a

2ax + b = d 2ax = − b + d x=

−b + d 2a

Anvend kvadratroden. Vi får 2 muligheder, idet både ( − d )2 = d og ( d )2 = d Træk b fra på begge sider Divider med 2a

Hermed har vi bevist sætning 3.

Øvelse 2.31

Kvadratsætning i beviset for løsninger til andengradsligningen

I beviset ovenfor anvendte vi den første kvadratsætning: Kvadratet på en toleddet størrelse er kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus det dobbelte produkt til omskrivningen: 2 2 2 (2ax) + 2 · 2ax · b + b = (2ax + b)

Vi bruger her kvadratsætningen omvendt, dvs. vi går fra kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus det dobbelte produkt, dvs. fra to kvadrater og et dobbeltprodukt til kvadratet på en to-leddet størrelse (dvs. et kvadrat med to led). Denne proces kaldes kvadratkomplettering. Kvadratsætningerne er behandlet i bog 1, kapitel 7, afsnit 2. På bogens website findes et projekt, hvor vi fordyber os i denne proces. Hent dette og kontroller, om du behersker metoden ved at regne nogle af opgaverne.

9788770668699_indhold.indb 80

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

Øvelse 2.32

Kinesisk andengradsligning

En gammel kinesisk by er omgivet af en kvadratisk mur. I midten af hver af siderne er der en byport (på tegningen markeret med sorte prikker). 20 meter foran porten i nord står der et træ. Hvis man går 14 meter direkte væk fra porten i syd, drejer til venstre og dernæst går 1775 meter mod øst, kan man lige netop skimte træet. Hvor stor er byen? Benyt tegningen, der viser situationen set ovenfra, til at opstille en andengradsligning og løse problemet. Den variable x angiver den halve sidelængde i kvadratet. 20

Træ 20

20 + 2x + 14 1775

1775 14

Øvelse 2.33

Babylonisk andengradsligning

På babylonske lertavler har man fundet regnestykker, som faktisk er opstilling og løsning af andengradsligninger. Her er et eksempel fra lertavlen BM 13901 (let tilrettet tekst): Jeg har lagt arealet til to tredjedele af siden i mit kvadrat, og det er 0;35. Du tager 1, "koefficienten". To tredjedele af 1 er 0;40. Halvdelen deraf, 0;20, ganger du med 0;20, (og resultatet) 0;6,40 lægger du til 0;35, og (resultatet) 0;41,40 har 0;50 til kvadratrod. 0;20 som du gangede med sig selv, trækker du fra 0;50, og 0;30 er (siden i) kvadratet. I bog 1, kapitel 7 så vi, hvordan babylonierne regnede i 60-talssystem, så de tal, der er gengivet i teksten, er skrevet i 60-talssystemet. a) Omskriv de tal, der indgår i teksten til 10-talssystemet, som vist i nedenstående beregning (bemærk, at semikolon skiller de hele tal fra decimalerne), idet vi anvender et værktøjsprogram ved det sidste lighedstegn 1 0;6,40 = 0 ⋅ 600 + 6 ⋅ 60 −1 + 40 ⋅ 60 −2 = 9

b) Lad nu x betegne siden i kvadratet, og opstil en andengradsligning, der svarer til teksten, men med tallene skrevet i 10-talssystemet. c) Løs den fundne andengradsligning, og kontroller derved det resultat, som teksten foreskriver.

2 Hvis et andengradspolynomium p(x) = ax + bx + c har rødderne r1 og r2, så kan det faktoriseres, og skrives på formen: p(x) = a(x – r1)(x – r2). Det indgår i et projekt, der kan tilgås via bogens website.

9788770668699_indhold.indb 81

08/05/2019 11.53

4.1 Grafisk løsning af andengradsligningen Da løsning af andengradsligningen ax2 + bx + c = 0 svarer til at bestemme x-koordina2 terne i skæringspunkterne mellem parablen p(x) = ax + bx + c og x-aksen, formulerer vi nu sætning 3 i en grafisk udgave:

Sætning 4: Grafisk løsning andengradsligningen Antallet af skæringspunkter mellem parablen for andengradspolynomiet p(x) = ax2+ bx + c og x-aksen afhænger af diskriminanten d = b2– 4 · a · c på denne måde:

d < 0

Parablen skærer ikke x-aksen

d = 0

Parablen rører x-aksen netop et sted, nemlig i det punkt, hvor x = − b 2a

d > 0

Parablen skærer x-aksen to steder, nemlig i de to punkter, hvor x=

b d 2a

Løsningerne til andengradsligningen ax2+ bx + c = 0 kaldes også for andengradspolynomiets rødder.

Eksempel: Negativ diskriminant – ingen skæringspunkter – ingen rødder For andengradspolynomiet

2 p1(x) = x + x + 1

har koefficienterne følgende værdier a = 1, b = 1 og c = 1. Diskriminanten d bliver:

d = 12 – 4 · 1 · 1 = 1 – 4 = –3 < 0 p1(x) = x2 + x + 1

Konklusion: Andengradspolynomiet har ingen rødder, dvs. parablen skærer ikke x-aksen.

x 1

Eksempel: Diskriminant nul – et skæringspunkt – en rod For andengradspolynomiet 2 p2(x) = x + 4x + 4 er koefficienterne a = 1, b = 4 og c = 4. Diskriminanten d bliver: 2 d=4 –4·1·4=0 Parablen skærer altså x-aksen i et punkt. Vi bestemmer xkoordinaten i skæringspunktet: −4 −4 = = −2 x= 2 ⋅1 2 Konklusion: Andengradspolynomiet har en rod, og parablen skærer x-aksen i punktet (–2,0).

2 p2(x) = x + 4x + 4

x –2

9788770668699_indhold.indb 82

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

Eksempel: Positiv diskriminant – to skæringspunkter – to rødder For andengradspolynomiet 2 p3(x) = x – 6x + 5

p3(x) = x2 – 6x + 5

er koefficienterne a = 1, b = –6 og c = 5. Diskriminanten d bliver: 2 d = (–6) – 4 · 1 · 5 = 36 – 20 = 16 > 0 Parablen skærer altså x-aksen i to punkter. Vi bestemmer x-koordinaten i hvert af de to skæringspunkter: −( −6) − 16 6 − 4 2 x= = = =1 2 ⋅1 2 2

x 1

−( −6) + 16 6 + 4 10 = = =5 2 ⋅1 2 2

Konklusion: Andengradspolynomiet har to rødder, og parablen skærer x-aksen i de to punkter (1,0) og (5,0).

Øvelse 2.34

Bestemmelse af diskriminant og diskriminantens grafiske betydning

Bestem diskriminanten for andengradspolynomierne, og undersøg om parablerne skærer, rører eller ikke skærer x-aksen: 2 2 a) f(x) = –x + 2x + 8 b) g(x) = 2 x – 2x – 4

c) h(x) = – 2 x2 – 8 x – 6

Eksempel: Rod i et polynomium Vi vil undersøge, om 2 er en rod i andengradspolynomiet f(x) = 3 x2 – 10x + 3. En rod i et andengradspolynomium er en løsning til andengradsligningen: 2 3 x – 10x + 3 = 0

Hvis 2 er en rod, så skal x = 2 altså gøre ligningen sand. Vi får: 2 3 · 2 – 10 · 2 + 3 = 3 · 4 – 20 + 3 = 12 – 20 + 3 = –5 ≠ 0

Konklusion: 2 er ikke en rod i f.

Øvelse 2.35

Rødder for andengradspolynomier

Undersøg, om følgende andengradspolynomier har nogen rødder, og bestem i givet fald disse. Hvordan kunne man undersøge dette grafisk? 2 a) f(x) = x – 12x + 20

b) g(x) = – 3 x2 + 40x – 200

2 c) h(x) = 5x + 30x + 100

d) i(x) = – 4 x2 + 100x

9788770668699_indhold.indb 83

08/05/2019 11.53

Eksempel: Skæring mellem parabel og vandret linje

Vi tegner graferne for de to funktioner

2 f(x) = 3 og g(x) = x + 2x + 4

i samme koordinatsystem. Vi ser, at der er et skæringspunkt, og bestemmer dette til (–1,3). Vi kan også beregne koordinaterne til skæringspunktet. I skæringspunktet er funktionsværdierne for de to funktioner ens. Dvs. vi skal løse ligningen:

(–1,3)

f(x) = g(x)

2 3 = x + 2x + 4 2

0 = x + 2x + 1 x=

−2 ± 4 − 4 ⋅ 1⋅ 1 2 ⋅1

−2 2 x = –1 x=

Indsæt forskrifter Træk 3 fra på begge sider Anvend løsningsformlen Diskriminanten er 0

y-koordinaten må være 3, da f er konstant lig med 3.

Konklusion: Skæringspunktet mellem parablen og linjen er punktet (–1,3).

Øvelse 2.36

Generalisering af skæring mellem vandret linje og parabel

a) For hvilke værdier af k er der henholdsvis ingen, et eller to skæringspunkter mellem parablen i eksemplet ovenfor og linjen med ligning y = k? Undersøg problemet grafisk, ved at lade f(x) = k og indføre en skyder for k. b) Løs ligningen g(x) = k ved beregning, og anvend din viden om diskriminantens betydning for antallet af løsninger til at svare på, for hvilke værdier af k ligningen har henholdsvis ingen, en eller to løsninger.

Eksempel: Skæring mellem parabel og skrå linje Vi tegner graferne for de to funktioner

2 f(x) = 2x + 8 og g(x) = x + 2x + 4

i samme koordinatsystem. Vi ser, at der er to skæringspunkter, og bestemmer disse til (–2,4) og (2,12). Vi kan også beregne koordinaterne til skæringspunkterne. I skæringspunkterne er funktionsværdierne for de to funktioner ens.

9788770668699_indhold.indb 84

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

Dvs. vi skal løse ligningen:

f(x) = g(x)

(2,12)

2x + 8 = x + 2x + 4

2 4 = x Reducer ligningen

x = –2 og x = 2

y-koordinaterne kan vi bestemme ved indsættelse i en af funktionsforskrifterne. Her vælger vi f, fordi det giver den simpleste beregning:

f(–2) = 2 · (–2) + 8 = 4 og f(2) = 2 · 2 + 8 = 12

Konklusion: Parablen og den skrå linje skærer hinanden i punkterne (–2,4) og (2,12).

Øvelse 2.37

g (–2,4) f 1

x 1

Generalisering af skæring mellem skrå linje og parabel (Især for A-niveau)

Vi ser nu på de to funktioner

2 f(x) = a · x og g(x) = x – 2x + 4

Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem, idet du indfører en skyder for a. a) For hvilke værdier af a er der henholdsvis ingen, et eller to skæringspunkter mellem parablen og linjen med ligning y = a · x? Undersøg problemet grafisk. 2 b) Løs ligningen x – 2x + 4 = a · x ved beregning, og anvend din viden om diskriminantens betydning for antallet af løsninger til at svare på, for hvilke værdier af a ligningen har henholdsvis ingen, en eller to løsninger.

Opgaver I opgavebogen ligger en række opgaver i tilknytning til afsnit 4.

5. A nvendelser af andengradspolynomiet og andengradsligninger I kapitel 1 betragtede vi en række optimeringsproblemer, hvoraf nogle involverede andengradspolynomier: Bygningen af en hønsegård og bukningen af en tagrende. Optimale løsninger er i sådanne tilfælde ofte knyttet til toppunktet. Vi vil demonstrere, at anvendelsen af andengradspolynomier har et meget bredere felt.

5.1 Hvor bred skal stien være? Familien Jensen har lige anlagt et svømmebassin, der har form som et rektangel. Svømmebassinet er 8 meter langt og 4 meter bredt. Som kronen på værket ønsker

9788770668699_indhold.indb 85

08/05/2019 11.53

de at lægge et lag kunstigt græs rundt langs svømmebassinet, hvor de kan ligge og 2 slappe af oven på svømmeturen. De har købt 50 m kunstigt græs på et godt tilbud i den lokale tømmerhandel. Det kunstige græslag skal have samme bredde hele vejen rundt langs kanten af svømmebassinet. Problem: Gør rede for, at bredden x af det kunstige græslag skal opfylde ligningen: 2 4 · x + 24 · x – 50 = 0

og bestem bredden af græslaget. Løsning: x

Vi tegner først en skitse af situationen.

Svømmebassin

–7,64

2 Vi ser da, at græslaget består af fire kvadrater med arealet x og fire rektangler med arealerne 8x, 4x, 8x og 4x. Tilsammen har kvadra2 terne derfor arealet 4 · x og rektanglerne arealet 2 2 · 4x + 2 · 8x = 24 · x. Men det samlede areal skulle være 50 m , hvorfor der må gælde: 2 4x + 24x = 50

4x 2 + 24x – 50 = 0

Vi skal så løse denne andengradsligning for at finde bredden. y Vi bemærker først, at venstresiden er et andengradspolynomium, hvis graf er en glad parabel, som skærer y-aksen i –50. Den må derfor nødvendigvis skære x-aksen to steder, den ene gang i et negativt tal (som ikke kan bruges i modellen), og den anden gang i et positivt x tal (den søgte bredde). Vi ser også, at parablen skærer y-aksen med 1,64 den positive hældning 24, dvs. den positive løsning ligger tættest på 0. Vi kan selvfølgelig aflæse skæringspunkterne med x-aksen på –50 grafen. Vi ser da, at den søgte bredde er ca. 1,64 m, men vi kan også løse ligningen ved hjælp af formlen for andengradsligningen, hvor vi kun vælger den positive: 2 2 aa= 4,4, b = b 24, −=50 4 x 2 + 24 x − 50 = 0, 4x 4ax 2=++4,24x 24 xb–−=50 50 24,== 0,c = = 24,c =c–50, = −50d = b – 4ac = 1376

242 + 900 −24 + 1376 − b + b2 − 4 a ⋅ c −−24 b + 24 b2 2−+4900 a ⋅ c −24 + 1376 x= x== = ≈ 1,63681 = ≈ 1,63681 2 8 2a 8a 8 8 Eller blot ved hjælp af solve i et værktøjsprogram – kontroller fx beregningen ovenfor ved denne metode. Vi finder altså igen, at den søgte bredde er ca. 1,64 m.

Øvelse 2.38

Ændring af modellen for bassinet

Hvilken bredde skal familien benytte, hvis de i stedet beslutter at sætte et hegn op langs en af bassinets langsider, og de derfor kun skal lægge græs ud langs de resterende tre sider?

9788770668699_indhold.indb 86

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

5.2. Optimering af landbrugets afgrøder Når en landmand planlægger sin produktion, forsøger han at give afgrøden præcis den mængde kvælstof, der medfører det største økonomiske overskud. Principperne er vist i figur 1.

Øvelse 2.39

Forklare og fortolke en graf

a) Forklar indretningen af koordinatsystemet i figur 1.

kr.

Vi ser i det følgende udelukkende på kvælstofforbruget og dets indvirkning på høsten samt på den samlede økonomi.

Indtægt

b) På figuren ser vi en graf over udgifterne. Forklar det grafiske forløb, vi ser her.

Udgift

c) På figuren ses yderligere en graf over indtægter. Hvor stammer indtægter fra? Hvad er sammenhængen mellem produktion og indtægter? Hvad kan være forklaringen på, at denne kurve ikke er lineær? Hvad kan være forklaringen på, at denne funktion på et tidspunkt bliver aftagende? d) D e to kurver skærer hinanden et sted. Hvordan fortolkes dette skæringspunkt?

Maksimal udbytte

Faste omkostninger Optimal mængde

kg kvælstof pr. ha

Figur 1. Principskitse for økonomisk optimering af kvælstoftilførsel.

e) På figuren er angivet to begreber:

– Maksimalt udbytte

– Optimal mængde. Giv ud fra det grafiske billede en fortolkning af de to begreber.

Det kan være ganske svært for landmanden at ramme netop den optimale mængde kvælstof. Uanset hvor godt han forbereder og planlægger en afgrøde, vil vejret altid være den altafgørende faktor for udbyttets størrelse – og dermed den optimale kvælstofmængde. Når landmanden har planlagt, at en given mark skal beplantes med vårbyg, så forberedes marken via den afgrøde, der har været på marken sidst. Dette kaldes forfrugt, og arten af forfrugten kan have stor betydning for gødningsbehovet. I det danske landbrug har der i mange år foregået et omfattende forsøgsarbejde, og resultaterne af forsøgene lægges altid offentlig frem. Landmændene og deres konsulenter kan hente viden i disse rapporter. Talmaterialet i dette afsnit er hentet fra en sådan rapport, som kan hentes i sin helhed på bogens website.

9788770668699_indhold.indb 87

08/05/2019 11.53

Variationen for vårbyg i relation til mængden af kvælstof kan ses i tabel 1. 2010-2014

2015

Vårbyg

Kar. for lejesæd ved høst

Procent råprotein i kernetørstof

Udb. og mereudb., hkg kerne pr. ha

Kar. for lejesæd ved høst

Procent råprotein i kernetørstof

Udbytte, kg N i kerne pr. ha

Udb. og mereudb., hkg kerne pr. ha

Netto merudb. Netto merudb. uden proteinmed proteinkorr., hkg kerne korr., hkg kerne pr. ha pr. ha

Forfrugt korn Antal forsøg

Grundgødet

8,9

38,6

8,9

43,1

40 N

8,8

13,4

8,8

18,0

14,5

15,0

80 N

9,4

21,9

9,4

28,3

22,0

23,8

120 N

10,0

27,7

10,1

106

34,2

25,1

28,6

160 N

10,8

29,8

10,8

117

35,9

24,1

29,3

200 N

11,5

30,2

11,5

126

36,9

22,3

29,3

Gødning 40

Udbytte 13,4

21,9

120 160 200

27,7 29,8 30,2

I tabellens første kolonne er angivet forbrug af kvælstof. Tabellen rummer oplysninger om 2015, der ifølge rapporten var et særligt gunstigt år, samt gennemsnitstal for årene 2010-2014. Vi er interesseret i kolonnen, der angiver udbytte/merudbytte ved øget forbrug af kvælstof. Kontroller med brug af tabel 1, at sammenhæng mellem gødning og udbytte i 2010-14 er som vist til venstre.

Øvelse 2.40

At uddrage information fra tabeller og oversætte til matematik

a) Kan der være tale om en proportionalitet? Hvorfor/hvorfor ikke? b) Kan der være tale om en lineær sammenhæng? Hvorfor/hvorfor ikke? c) Fremstil en grafisk repræsentation for tabellen: Giv en sproglig beskrivelse af grafens forløb. d) H vad er karakteristisk for ændringen i udbyttet, når man anvender mere og mere gødning?

Øvelse 2.41

Optimering med parabler

a) Bestem den bedste parabel gennem de fem punkter. b) Bestem parablens toppunkt. c) Hvilken gødningsmængde giver ifølge denne model det maksimale udbytte? Landmanden er interesseret i at maksimere sin indtjening. Landmanden har nogle faste udgifter, der er uafhængige af gødningen, og han har også nogle variable omkostninger, der er proportionale med gødningsmængden. d) H vilken type funktion kan beskrive landmanden udgifter? Samtidigt giver høstudbyttet anledning til en indtjening, der er proportional med udbyttet. e) Gør rede for, at landmandens fortjeneste kan beskrives ved en sammenhæng af typen: Fortjeneste = andengradspolynomium – førstegradspolynomium f) Hvilken type funktion er fortjenesten?

9788770668699_indhold.indb 88

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

Indtægterne er proportional med udbyttet, så indtægtskurven er også en parabel. Men formen af denne parabel afhænger naturligvis af salgsprisen. Stiger kornprisen til det dobbelte pga. internationale forhold, vil det kunne betale sig at ”gøre en ekstra indsats”, dvs. gødske endnu mere, selv om gødning er dyrt. Vi kender heller ikke landmandens startomkostninger. Så i den følgende øvelse afrunder vi med nogle fiktive tal.

Øvelse 2.42

Optimale gødningsforbrug

Set over et kort tidsrum ligger prisen på 1 hkg korn nogenlunde stabilt, så indtægten er proportional med udbyttet. Vi kan derfor vælge enheder, så indtægtskurven er identisk med udbyttekurven. Antag desuden, at udgifterne ved produktionen, målt i samme møntenhed og som funktion af mængden af kvælstof, har forskriften:

u(x) = 0,07532 · x + 10

a) Tegn det grafiske billede af indtægtskurven og udgiftsfunktionen i samme koordinatsystem. Indret, så vi kan se det væsentlige. b) Hvis hældningen for en tangent på indtægtskurven ligger over hældningen for udgiftsfunktionen, kan det så betale sig at hæve eller sænke gødningsmængden? c) Hvis hældningen for indtægtskurven ligger under hældningen for udgiftskurven, kan det så betale sig at hæve eller sænke gødningsmængden? d) G iv en sproglig formulering af, hvor det optimale gødningsforbrug ligger? e) Læg et grid ind over dit grafiske billede, og giv et skøn over, hvor på kurven den tangent ligger, der giver den optimale gødningsmængde.

I rapporten angives, at den optimale gødningsmængde i årene 2010-14 var 136 hkg / ha. Hvordan stemmer det med dit resultat?

5.3 Mangeartede anvendelser af andengradspolynomier og -ligninger Andengradsligninger optræder i et væld af forskellige problemstillinger. Vi vil blot her omtale nogle enkelte, der er behandlet andre steder i lærebogssystemet: • I Hvad er matematik? 1, kapitel 6, afsnit 7 blev cosinusrelationerne præsenteret i sammenhæng med prikproduktet. Samtidig så vi, at cosinusrelationerne var et værktøj, der kunne løse trekantsproblemer, hvor vi: – kender alle tre sider, eller – kender en vinkel og de to sider der udgør vinklens ben.

Der findes to andre trekantstilfælde, der behandles i den plane trigonometri, nemlig hvor vi: – kender en vinkel, en side langs vinklens ben og siden overfor vinklen – kender to vinkler og én side.

9788770668699_indhold.indb 89

08/05/2019 11.53

F or at løse de andre to trekantstilfæde fortalte vi, at man måtte anvende sinusrelationerne. Men det tredje trekantstilfælde kan faktisk løses med brug af cosinusrelationerne, der her opfattes som en andengradsligning. Denne løsningsmetode giver også en ny indsigt i den såkaldte ”sinusfælde”, hvor der er to løsninger til en given trekantsopgave. De to løsninger optræder som de to løsninger til en andengradsligning. På bogens website ligger et miniprojekt om dette.

• Det gyldne snit er et princip, som kunstmalere har anvendt i opbygningen af malerier og skulpturer, og som designere har anvendt fx i udformningen af emballage. Konstruktionen af det gyldne snit har været kendt siden oldtiden og kom ikke mindst til at spille en rolle i renæssancen, hvor det blev kaldt for det guddommelige forhold. Ordet "Det gyldne snit" er først formuleret som et kompositionsprincip i nyere tid. Man kan konstruere det gyldne snit, men ønsker man at have helt styr på de talforhold, der indgår, skal man anvende en andengradsligning. Vi vil se nærmere på en af varianterne af det gyldne snit, nemlig Det gyldne rektangel i et projekt, der ligger på bogens website. I dette projekt kommer man også ind på Fibonacci-tallene, der viser sig at være forbundet med det gyldne snit.

• Den spanske arkitekt Ildefons Cerdà (1815 -1876) skabte i 1859 en byplan for en stor ny bydel i Barcelona. Cerdà var en del af en stærk social bevægelse, hvor man bl.a. ønskede at sikre gode boligforhold for almindelige mennesker. Det var på det tidspunkt brokvarterne i København voksede frem til det rene slum, og det samme var tilfældet i stort set alle andre storbyer. Men i bydelen Eixample i Barcelona skabte Cerdà med matematikken som uundværligt redskab en plan, der sikrede, at alle lejligheder fik lys, at alle beboere havde et passende antal rummeter til rådighed osv. Sidelængderne i de enkelte boligblokke fremkom som en af løsningerne til en andengradsligning. På bogens website ligger et projekt om Cerdàs Barcelona.

• Parabelbuer anvendes i en række store konstruktioner inden for design og arkitektur. I kapitel 8 i bog 1 mødte vi dem i forbindelse med hængebroer, og i kapitel 10 møder vi parabler i forbindelse med spanske arkitekt Antoni Gaudis (1852-1926) særegne byggestil. • Parabelsyning og i bredere forstand kurvesyning var en specialitet, der blev udviklet i 1800-tallets England og især kan tilskrives M.E. Boole (1832-1916). Hun gav en række anvisninger på, hvordan man ved at sy bestemte tråde, svarende til tangenter til kurver, kunne skabe det, man i matematik kalder indhyldningskurver. Parablen er der altså kun virtuelt, men kommer frem efterhånden som dens tangenter bliver ”tegnet”, dvs. syet. På bogens website ligger et projekt, hvor vi forklarer matematikken bag parabelsyningen, som fører os ind i parablens geometri med brændpunkt og ledelinje.

9788770668699_indhold.indb 90

08/05/2019 11.53

2. Andengradspolynomiet

Opgaver I opgavebogen ligger en række opgaver i tilknytning til afsnit 5.

6. Projekter På bogens website ligger der en række projekter, der knytter sig til kapitel 2. På bogens website ligger yderligere særlige studieretningskapitler med oplæg til samarbejde mellem studieretningsfagene, samt kapitel 10, Matematik og kultur, med materialer og projekter, der kan anvendes i et samarbejde mellem humanistiske fag eller i selvstændige forløb.

9788770668699_indhold.indb 91

08/05/2019 11.53

Polynomier

1. Moderne design med Bézier-kurver og tredjegradspolynomier . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Syning af en Bézier-kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Konstruktion af Beziér-kurven som geometrisk kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 95 96

2. Tredjegradspolynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.1 Betydningen af koefficienterne a, b, c og d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.2 Vendepunktet og symmetrien for et tredjegradspolynomium (især for A-niveau) . . . . 104 3. Vilkårlige polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.1 Polynomiernes egenskaber og grafiske forløb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4. Anvendelse af polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.1 Regressionsmodeller med polynomier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.2 Polynomierne i Pascals trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Polynomier er funktioner med forskriften p(x) = a n· x n + an-1· x n-1 + … + a 1· x + a 0. Vi har allerede stiftet bekendtskab med førstegradspolynomier, p1(x) = a 1· x + a 0, som også kaldes for lineære funktioner, og andengradspolynomier, p2(x) = a 2· x 2+ a 1· x + a 0. Grafen for p1(x) er en ret linje, der bl.a. er karakteriseret ved sin hældningskoefficient a1, og grafen for p2(x) er en parabel, som bl.a. er karakteriseret ved sit toppunkt. I dette kapitel vil vi i første del undersøge polynomier af tredje grad med forskriften p3(x) = a3· x 3 + a2· x 2 + a 1· x + a0. Grafen kaldes en kubisk kurve og er bl.a. karakteriseret ved sit vendepunkt. I anden del vil vi undersøge polynomier af vilkårlig grad. Polynomier udgør den mest simple generelle funktionsfamilie, både hvad angår beregninger og egenskaber. Polynomier spiller derfor ikke blot rollen som en simpel model for mange vigtige sammenhænge, men også rollen som en tilnærmet model for mange fænomener, hvor det er for besværligt eller ligefrem ikke muligt at undersøge den eksakte model i detaljer. Polynomier kan nemlig bruges til at tilnærme stort set alle funktioner, fx eksponentielle, trigonometriske eller logaritmiske, vilkårligt nøjagtigt på ethvert endeligt interval. De udgør derfor det naturlige springbræt som afsæt for studiet af mere generelle funktioner. Vi begynder med en fortælling om moderne design, hvor tredjegradspolynomier kom til at spille en hovedrolle, da man endelig vristede sig helt fri af cirkelbuernes tyranni. Det skete, da man skabte et nyt formsprog, ud fra de muligheder, som de elektroniske computere i tiden efter anden verdenskrig åbnede – såvel numerisk som grafisk.

9788770668699_indhold.indb 92

08/05/2019 11.53

3. Polynomier

1. Moderne design med Bézier-kurver og tredjegradspolynomier Når man skal designe en ny bilmodel, en ny flytype, eller en ny skrifttype, har man brug for at kunne tegne bløde kurver. Her er det ikke nok med cirkelbuer. I 1960'erne voksede behovet for computerautomatiserede tegneprogrammer, der kunne hjælpe med at at udforme sådanne designs. Man havde brug for en simpel fleksibel tegnerutine, der kunne hjælpe med at tegne de kurver, der indgik i den ønskede form. I kapitel 2 har vi set, at der findes en simpel geometrisk rutine for at tegne parabelbuer. I parabelrutinen tegner man med andengradskurver. Flere industrimatematikere fik nu uafhængigt af hinanden den ide, at man i stedet kunne få den ønskede fleksibilitet ved at bruge tredjegradskurver. Ferguson fra Boeing-fabrikkerne og Casteljau fra Citroen udviklede teknikken, men den blev holdt hemmelig, for at konkurrenterne ikke skulle kunne få glæde af den! I stedet blev det Bézier fra Renault-fabrikkerne, der som den første offentliggjorde teknikken, som i dag er gået sin sejrsgang og nu er implementeret i alle tegneprogrammer. Som vi skal se, er parabelrutinen en simpel forløber for Bézier-kurven, så vi starter med at se den i et nyt lys for bagefter at generalisere den til Bézier-kurven. Før computernes tid tegnede man kurver ved at benytte lange fleksible metallinealer, der kunne formes til den ønskede kurve. Sådanne linealer kaldte man for splines. Når den ønskede form var fremkommet, holdt man linealen fast med en stribe ducks. Da processen ofte foregik på loftet af store fabrikshaller eller hangarer, kaldtes den lofting. Det var en langsommelig affære, men var længe den eneste praktiske mulighed for at forme skibsskrog og lignende. Alt dette ændredes radikalt, da Bézier udviklede sin nye tegnerutine: I de tidlige 60'ere, hvor jeg arbejdede som ingeniør på Renault-fabrikkerne, gik jeg til min overordnede for at fortælle ham, at jeg havde fundet en helt ny matematisk metode til at tegne kurver; denne metode ville kunne erstatte alle de tidligere klodsede beregningsmetoder såvel som brugen af drejebænke til at forme modeller. Han så mit projekt, kiggede på mig, og sagde så: "Hr. Bézier, hvis dette virkede, ville Amerikanerne allerede være i gang med at bruge det". Kilde: P. Bézier, How a simple System was born, Elsevier Science & Technology Books, 1988

9788770668699_indhold.indb 93

08/05/2019 11.53

Hvad hans overordnede ikke vidste, var at amerikanerne allerede var i gang med at bruge et lignede system på Boeing-fabrikkerne – men at de holdt det hemmeligt af konkurrencehensyn!

Bézier-kurven gik sin sejrsgang i Computer Aided Design. Først til industriel design, fx biler eller rumfærger, senere til helt andre områder som design af skrifttyper, de såkaldte postscripttyper, der kunne skaleres vilkårligt op og ned uden at miste formen. De udgør fundamentet for de såkaldte True Type skrifttyper, der bl.a. benyttes i pdf-filer. Bézier blev således selv prototypen på den innovative kreative matematiker, der berigede verden med nye værktøjer til at frembringe æstetisk tilfredsstilende genstande. Det er vigtigt, at "fornuftige" mennesker en gang imellem giver frie tøjler til visionære mennesker. "Jeg fik succes," sagde Henry I. Ford, "fordi jeg lod nogle tåber afprøve deres ideer, som vise mennesker allerede havde rådet mig til ikke at lade dem afprøve." Hvad er så matematikken bag Bézier-kurven? Vi så i et projekt i kapitel 2, hvordan man kan sy parabelbuer ved at indføre passende delepunkter undervejs. Det giver faktisk anledning til en Bézier-kurve af anden grad. Det er denne konstruktion, vi nu vil generalisere til Bézier-kurver af tredje grad. Først viser vi derfor, hvordan vi kan sy en Bézier-kurve, og derefter konstruerer vi den som en geometrisk kurve. Via bogens website er der adgang til sider, hvor du selv kan lege med Bézier-kurver af forskellig orden og derved få et indtryk af de designmæssige muligheder.

9788770668699_indhold.indb 94

08/05/2019 11.53

3. Polynomier

1.1 Syning af en Bézier-kurve Man kan fx sy kurven med garn på et papstykke, men vi vil sy den i et dynamisk geometriprogram. 1. C

A4 A3

C 4 C5

D4 6

D5 7

A1 A

C5 C 6

C4 6

A7 A6

D7 B

Først syr vi den blå parabel fra A til D over C ved at dele linjestykkerne AC og CD i 8 lige store stykker, og sy som følger: Fra A til C, hvor vi stikker igennem og kommer op igen ved C1, og videre herfra til A1, hvor vi igen stikker igennem og kommer op igen ved A2, og videre herfra til C2 osv. indtil vi til sidst kommer op igennem ved D.

Derefter syr vi på samme måde den røde parabelbue fra C til B over D ved at dele linjestykkerne CD og DB i 8 lige store stykker, og sy som følger: Fra C til D, hvor vi stikker igennem og kommer op igen ved D1, og videre herfra til C1, hvor vi igen stikker igennem og kommer op igen ved C2, og videre herfra til D2 osv. indtil vi til sidst kommer op igennem ved B.

Delepunkterne (gule) på parablen, der er nummereret 0 – 8, er midtpunkterne mellem de blå snores yderste skæringspunkter, som er markeret med små sorte punkter på figuren.

Delepunkterne (gule) på parablen, nummereret 0 – 8, er midtpunkterne mellem de røde snores yderste skæringspunkter, som er markeret med små sorte punkter på figuren.

D C

1 5 4 3

2 1 A

2 6

D C

5 4

4 5

3 6

2 7

1 B

Vi forbinder nu det første blå parabelpunkt 1 med det første røde parabelpunkt 1 osv. Derved fremkommer de sorte snore, der indhyller Bézier-kurven, dvs. alle de sorte linjestykker er tangenter til Bézierkurven. Man kan altså frembringe Bézier-kurven ved at lade et linjestykke glide passende langs de to parabler. Når vi kun benytter 8 delepunkter, bliver indhylningen dog som vist lidt grov.

2 6 4

7 3 5

5 6 6 7

7 B

I det forrige trin syede vi sorte tangentstykker til indhylningskurven. Hvis vi vil sy sekantstykker, dvs. linjestykker, som forbinder to punkter på Bézierkurven, så skal vi først finde røringspunkterne for tangenterne. Det kræver lidt mere fingerfærdighed end ved parablerne. Hver af de sorte snore skal nemlig deles i det rigtige forhold: Forbindelseslinjen 1–1 deles i forholdet 1:8, forbindelseslinjen 2–2 deles i forholdet 2:8 osv. Derved kan man som vist sy den lyserøde Bézier-kurve.

9788770668699_indhold.indb 95

08/05/2019 11.53

1.2 Konstruktion af Bézier-kurven som geometrisk kurve Vi konstruerer nu Bézier-kurven som en geometrisk kurve i et dynamisk geometri-program. For at kunne arbejde videre med konstruktionen i næste øvelse vælges startpunktet A til at være koordinatsystemets begyndelsespunkt, dvs. (0,0), og slutpunktet B vælges til at være enhedspunktet på den vandrette akse, dvs. (1,0). Kontrolpunkterne C og D vælges tilfældigt. 2.

D' B'

AP = 0,2910 AB

A t=0

t = 0,2910

t=1

t=0

t = 0,2910

t=1

Vi begynder med at forbinde A og B med et linjestykke. På dette linjestykke afsætter vi et frit punkt P. Derefter måler vi forholdet, som P deler linjestykket AB i. Dette delingsforhold kaldes parameteren t. Parameteren t har altså værdien 0 i startpunktet A, værdien 12 i midtpunktet og værdien 1 i slutpunktet B.

Dette delingsforhold overføres nu til linjestykkerne AC, CD og DB, som er de tre andre sider i firkanten, der repræsenterer omvejen over kontrolpunkterne. Det gøres ved hjælp af værktøjsprogrammets indbyggede multiplikationsværktøj, idet vi ud fra startpunktet multiplicerer slutpunktet med forholdet t. Derved fås de tre delepunkter: C', D' og B'.

D' C

D' B'

t=0

P t = 0,2910

t=1

t=0

Vi forbinder så C'D' med et linjestykke og tilsvarende D'B' med et linjestykke og deler dem i det samme forhold – igen ved hjælp af multiplikationsværktøjet. Derved fås delepunkterne D" og B".

P t = 0,2910

B t=1

Endelig forbinder vi D"B" med et linjestykke og deler dette i samme forhold ved hjælp af multiplikation. Det fremkomne delepunkt kaldes Q. D"B" er tangent til Bézier-kurven i røringspunktet Q.

9788770668699_indhold.indb 96

08/05/2019 11.53

3. Polynomier

D D' C

A t=0

P t = 0,2910

B t=1

Når styrepunktet P nu gennemløber den direkte vej fra A til B, vil følgepunktet Q gennemløbe Bézierkurven. Kurven kan du få at se ved at udnytte værktøjsprogrammet muligheder for at spore punktet Q eller endnu bedre ved at konstruere kurven som det geometriske sted for følgepunktet Q drevet af styrepunktet P langs stien AB.

Øvelse 3.1

Seks parabelbuer syet i en regulær sekskant.

Formeludtryk for Bézier-kurvens koordinater

Vi vil nu undersøge Bézier-kurven lidt nærmere og forsøge at finde ud af, hvilke kurver der ligger bag Bézier-kurven. Vi vil undersøge sammenhængen mellem Q´s koordinater og parameteren t, som jo er bestemt af P´s beliggenhed på AB. Aflæs koordinatsættet for følgepunktet Q samt værdien af parameteren t. Flyt nu rundt på følgepunktet Q ved at trække i styrepunktet P, og konstruer på denne måde en tabel over sammenhørende værdier af t, x og y for punktet Q. Undersøg grafen for x som funktion af t, henholdsvis y som funktion af t, ved hjælp af et værktøjsprograms indbyggede regressionsmodeller, og overvej i hvert tilfælde, hvilken kurve der bedst beskriver samtlige punkter (t,x) og (t,y) fx begrundet i sammenligning af residualplot for hver af de valgte modeller.

Øvelsen fortæller, at Bézier-kurver i virkeligheden fremkommer udfra tredjegradspolynomier. Du kan på bogens website finde et projekt, der mere indgående beviser sammenhængen mellem Bézier-kurver og tredjegradspolynomier.

Øvelse 3.2

Design en figur – og bestem forskrifterne

Benyt din konstruktion til at fremstille fx et par af passende Bézier-kurver, der tilsammen tegner et hjerte, eller en anden simpel figur, som du selv sætter som passende mål. Husk, at du kan udnytte programmets muligheder til fx at spejle, dreje osv. Bestem som ovenfor sammenhørende værdier af t, x og y for punktet Q, og bestem forskrifterne for de tilhørende tredjegradspolynomier.

9788770668699_indhold.indb 97

08/05/2019 11.53

2. Tredjegradspolynomier I kapitel 2 undersøgte vi andengradspolynomier. I dette kapitel vil vi undersøge polynomier i almindelighed. Vi lægger ud med tredjegradspolynomierne. I Hvad er matematik? 1 øvelse 1.29 og 1.37 så vi på et rumfangsproblem, hvor vi foldede en kasse af et stykke papir og spurgte, hvor meget der skal bøjes op for at få det maksimale rumfang. Det samme problem blev taget op igen i denne bogs kapitel 1 om modellering. Vi vil nu se på en variant af dette problem, den forstærkede kasse. Den forstærkede kasse frembringes ved som vist at klippe små kvadrater af de fire hjørner i papiret. Her vil vi som i de andre eksempler fokusere på afskæret, dvs. højden som den uafhængige variabel x og rumfanget som den afhængige variabel V. Du kan på bogens website finde en animation, der viser, hvordan den forstærkede kasse kan konstrueres. Rumfang (cm3) 2500 (0, 2020.21) (4.55, 2020.21)

2000

1500

1000

Bredde = 14,6 cm Højde = 4,69 cm

500

Længde = 29,2 cm 0

Højde (cm)

24 cm

P 48 cm

Kassen er konstrueret ud fra et stykke pap med dimensionerne 24 cm x 48 cm.

9788770668699_indhold.indb 98

08/05/2019 11.53

3. Polynomier

Øvelse 3.3

Optimering af rumfang

a) Indfør passende variable for længden og bredden, og opstil udtryk for disse, som afhænger af x. b) Indsættes de fundne udtryk for længden og bredden i udtrykket for V, kan vi se, at rumfanget kan opfattes som en funktion af x, som vi betegner V. Opstil en regneforskrift for V som funktion af x. Rumfangsfunktionen er jo knyttet til en situation i virkeligheden, og vi vil i det følgende kalde denne for den fysiske model. Men vi vil bevæge os væk fra den virkelige verden og blot se på rumfangsfunktion som et abstrakt matematisk udtryk, og i den forbindelse vil vi kalde rumfangsfunktionen for den matematiske funktion V. c) Overvej, hvilke x-værdier der giver mening i den fysiske model. d) T egn grafen for den fysiske model af rumfangsfunktionen V i det fundne x-interval. e) Opskriv funktionstabellen for den fysiske model af rumfangsfunktionen V, og giv et bud på det maksimale rumfang på baggrund af denne. f) T egn grafen for den matematiske funktion V, og beskriv denne med henblik på 1. Nulpunkter og fortegn, dvs. angiv de x-værdier, hvor funktionsværdien er nul, samt de x-intervaller, der giver positive funktionsværdier, og de x-intervaller, der giver negative funktionsværdier. 2. M onotoniforhold og lokale ekstrema, dvs. angiv de x-intervaller, hvor funktionen er voksende eller aftagende, samt lokale maksimums- og minimumspunkter. 3. Krumningsforhold, dvs. angiv de x-intervaller, hvor grafen krummer opad ("glad") eller nedad ("sur"), idet du udnytter værktøjsprogrammets muligheder for at bestemme grafens "vendepunkt". 4. U ndersøg grafens symmetriforhold, og inddrag krumningsforholdene i din beskrivelse. g) Hvilke af de fundne nulpunkter for den matematiske funktion giver mening i den fysiske model? h) H vilke af de fundne lokale ekstrema for den matematiske funktion giver mening i den fysiske model?

Eksempel: Arkimedes' undersøgelse af kugleafsnit (især for A-niveau) Det ældste kendte eksempel på en diskussion af tredjegradspolynomiers egenskaber stammer fra Arkimedes afhandling om kuglen og cylinderen. Arkimedes havde hverken vores variabelbegreb eller koordinatsystem til rådighed og argumenterede derfor rent geometrisk. Men her vil vi gengive problemet i et moderne matematisk sprog. Arkimedes forestillede sig, at kuglen blev skåret igennem af en lodret plan, som vist på figuren. Vi lægger en tallinje vandret gennem centrum, og snittet gennem kuglen kan

9788770668699_indhold.indb 99

08/05/2019 11.53

nu karakteriseres ved den afstand x, som snitplanen har fra kuglens kant. Dvs. tallinjens 0-punkt ligger i punktet på kuglen, der ligger helt til venstre. Det venstre kugleafsnit siges at have højden x. Kuglens radius kaldes r. Arkimedes spørger nu, hvordan snittet skal lægges, hvis vi ønsker at finde et kugleafsnit, hvis rumfang udgør en bestemt brøkdel af hele kuglens rumfang. Arkimedes kan støtte sig til sætninger, han selv har udledt, dels om kuglens samlede rumfang og dels om rumfanget af et kugleafsnit (et kugleafsnit kaldes også af og til en kuglekalot): 4 1 Vkugle = ⋅ π ⋅ r 3 Vkugleafsnit = ⋅ π ⋅ x 2 ⋅ (3 r − x ) 3 3

I bog 3 under emnet integralregning vil vi vende tilbage og se på, hvordan man kan udlede sådanne formler. Da vi er interesseret i at kunne svare på spørgsmålet om, hvor stor en brøkdel kugleafsnittet udgør af hele rumfanget, opstiller vi brøken, der beskriver forholdet mellem de to rumfang. Vi kalder denne rumfangsandel for VAndel : 1 Vkugleafsnit ⋅ π ⋅ x 2 ⋅ (3 r − x ) 1 VAndel = = 3 = 3 ⋅ x 2 ⋅ (3 r − x ) 3 4 π Vkugle ⋅ ⋅ r r 4 3 Hvis vi kender radius og får oplyst, hvor vi lægger snittet, dvs. hvor stor x er, så kan vi indsætte i formlen og beregne brøkdelen. Hvis vi omvendt ønsker at afskære en 2 bestemt brøkdel, skal vi løse en tredjegradsligning på formen x ⋅ (3 r − x ) = k. Det er netop denne ligning, Arkimedes har undersøgt i stor detalje.

Øvelse 3.4

Hvordan afskæres en bestemt rumfangsandel? (Især for A-niveau)

Vi ser nu på en kugle med radius 5. Vi lader f(x) betegne rumfangsandelen, når snitplanens afstand fra kuglens kant er x. a) Opskriv forskriften for f, og angiv definitionsmængden for den fysiske model f. b) Tegn grafen for den fysiske model f i det relevante interval. c) Tegn nu grafen for den matematiske funktion f, og beskriv grafens forløb ved at besvare følgende spørgsmål: 1. Hvad er x-koordinaten i grafens skæringspunkter eller røringspunkter med xaksen? 2. For hvilke x-værdier har funktionen lokale ekstrema? 3. H vordan vil du beskrive betydningen af de fundne x-værdier i forhold til den fysiske model? 4. H vilken form for symmetri har grafen? Kan du begrunde denne ud fra den fysiske model?

100

9788770668699_indhold.indb 100

08/05/2019 11.53

3. Polynomier

d) Hvor skal snittet lægges, hvis vi ønsker at afskære en rumfangsandel på 25%? e) Løs samme spørgsmål som i d) for en kugle med radius på 10, 15, 20, og udregn x for hver af dem forholdet r . Hvad er din konklusion? Kan du argumentere for, at dette resultat må gælde uanset hvilken rumfangsandel, vi ser på? Hjælp: Enten kan man argumentere ud fra skaleringsovervejelser. Eller man kan lave en algebraisk omskrivning af udtrykket for VAndel , så det bliver en funktion af den nye x variabel x1 = . r

Vi har ovenfor mødt to eksempler på tredjegradspolynomier. I mange praktiske situationer kan det være en fordel at have skrevet et tredjegradspolynomium som et produkt, hvor der indgår nogle parenteser med førstegrads- eller andengradsudtryk. Når vi tager fat på den generelle undersøgelse, vil vi starte med at betragte situationer, hvor parenteserne er ganget helt ud.

Definition: Tredjegradspolynomium Et tredjegradspolynomium er en funktion med en forskrift på formen 3 2 p(x) = a · x + b · x + c · x + d , a ≠ 0

Parametrene a, b, c og d kaldes tredjegradspolynomiets koefficienter. Den ovenstående forskrift kaldes standardformen for tredjegradspolynomiet.

Øvelse 3.5

At kunne afkode koefficienterne

Angiv koefficienterne a, b, c og d i følgende tredjegradspolynomier: 3 2 a) p(x) = 2x – 7x + 25x –9 3

d) p(x) = – x

Øvelse 3.6

b) p(x) = 0,75x3 + 5x2 – 10 3

e) p(x) = x – 8

c) p(x) = –6x3 + 7x + 1 3

f) p(x) = 2x – 4x

Omskrivning til standardform

a) Brug dit værktøjsprogram til at omskrive følgende tredjegradpolynomium til standardform, og angiv koefficienterne a, b, c og d:

2 p1(x) = 3 · (x – 2x) · (5x + 1)

p2(x) = –(x + 2) · (x – 4) · (3x + 5)

b) Omskriv de to tredjegradspolynomier, vi undersøgte i de to øvelser ovenfor (rumfanget for den forstærkede kasse og rumfangsandelen for kuglen), til standardform.

101

9788770668699_indhold.indb 101

08/05/2019 11.53

2.1 Betydningen af koefficienterne a, b, c og d I kapitel 2 undersøgte vi koefficienternes betydning for andengradspolynomiernes grafer, dvs. for parablernes form og beliggenhed. Her vil vi gennemføre en tilsvarende undersøgelse af tredjegradspolynomiernes grafer.

Praxis: Beskrivelse af grafiske forløb Når vi skal beskrive et grafisk forløb for en funktion, indebærer dette anvendelse af følgende begreber: – definitionsmængden. – fortegnsundersøgelse, dvs. angivelse af funktionens nulpunkter og af, hvor funktionsværdierne er positive, og hvor de er negative.

– monotoniforhold, dvs. angivelse af, i hvilke intervaller funktionen er voksende, og i hvilke den er aftagende. – lokale og globale ekstrema, dvs. angivelse af funktionens lokale (evt. globale) maksima eller minima herunder angivelse af de tilhørende x-værdier. – krumningsforhold, dvs. angivelse af i hvilke intervaller grafen krummer opad ("glad"), og i hvilke den krummer nedad ("sur"). – asymptotiske forhold, dvs. angivelse af om grafen systematisk nærmer sig en ret linje (lodret, vandret eller skrå) i en proces, hvor punkterne på grafen bevæger sig uendelig langt væk fra koordinatsystemets begyndelsespunkt. Af og til ønskes yderligere angivet hvilken værdimængde, der hører til definitionsmængden. Det afhænger af opgaven og de stillede spørgsmål, hvilke af punkterne der bringes i spil.

Øvelse 3.7 Betydningen af koefficienterne a, b, c og d y

a = 2,00 –5

a) Opret en graf for tredjegradspolynomiet 3 2 p(x) = a · x + b · x + c · x + d med fire skydere for a, b, c og d. Brug fx x-intervallet fra –10 til 10 og y-intervallet fra –100 til 100. Sæt som udgangspunkt alle skyderne på værdien 1.

b = –4,00

–5

60 40 20 x –8

–6

–4

–2 –20

–40 –60 c = –15,00 –20

–80

d = 25,00 –50

b) Tilføj grafen for den konstante funktion f(x) = d. Hvad sker der med graferne for f og p, når vi varierer koefficienten d? Hvilken betydning har koefficienten d for beliggenheden af grafen for p? Hvor kan vi aflæse værdien af d?

102

9788770668699_indhold.indb 102

08/05/2019 11.53

3. Polynomier

c) Tilføj grafen for den lineære funktion g(x) = c · x + d. Hvad sker der med graferne for g og p, når vi varierer koefficienten c? Hvilken betydning har koefficienten c for forløbet af grafen for p? Hvor kan vi aflæse værdien af c? 2 d) T ilføj grafen for andengradspolynomiet h(x) = b · x + c · x + d. Hvad sker der med graferne for h og p, når vi varierer koefficienten b? Hvilken betydning har koefficienten b for forløbet af grafen for p? Hvordan kan fortegnet for b aflæses på grafen? 3

e) Tilføj grafen for tredjegradspolynomiet k(x) = a · x . Skjul de foregående hjælpefunktioner f, g og h. Hvad sker der med graferne, når vi varierer koefficienten a? Hvilken betydning har koefficienten a? Hvordan kan fortegnet for a aflæses på grafen? Prøv evt. at zoome ud.

Øvelse 3.8

At aflæse informationer fra graferne

Nedenfor ses graferne for 4 forskellige tredjegradspolynomier 3 2 p(x) = a · x + b · x + c · x + d

Aflæs fortegnene for koefficienterne a, b, c og d ud fra graferne. y

Øvelse 3.9

At tegne grafskitser ud fra koefficienternes fortegn

Fremstil skitser af grafer for tredjegradspolynomier, der opfylder følgende (der er naturligvis uendelig mange muligheder): a) p1(x) opfylder, at p1(0) = 2 og a > 0, b < 0, c > 0. b) p2(x) opfylder, at p2(0) = 2 og a > 0, b < 0, c < 0. c) p3(x) opfylder, at a < 0, b > 0, c > 0, d > 0. d) p4(x) opfylder, at a < 0, b > 0, c < 0, d < 0.

103

9788770668699_indhold.indb 103

08/05/2019 11.53

Praxis: Koefficienternes betydning for det grafiske forløb Graferne for tredjegradspolynomier med forskriften p(x) = a · x3 + b · x2 + c · x + d har mange træk fælles. Betydning af a: a bestemmer funktionens monotoniforhold, når vi "zoomer ud". a > 0, dvs. a er positiv

a < 0 , dvs. a er negativ

p er voksende, evt. afbrudt af et kort agtagende forløb for små værdier af x.

p er aftagende, evt. afbrudt af et kort voksende forløb for små værdier af x.

Betydning af b: b bestemmer grafens krumningsforhold omkring grafens skæringspunkt med y-aksen. b > 0 , dvs. b er positiv

b < 0 , dvs. b er negativ

Grafen for p krummer opad (”glad” eller ”opadhul”) omkring grafens skæringspunkt med y-aksen.

Grafen for p krummer nedad (”sur” eller ”nedadhul”) omkring grafens skæringspunkt med y-aksen.

Betydning af c: c bestemmer funktionens monotoniforhold omkring grafens skæringspunkt med y-aksen. c > 0 , dvs. c er positiv

c < 0 , dvs. c er negativ

p er voksende omkring grafens skæringspunkt med y-aksen

p er aftagende omkring grafens skæringspunkt med y-aksen.

Vi kan aflæse c som hældningskoefficienten for tangenten til grafen for p i grafens skæringspunkt med y-aksen.

Betydning af d: d bestemmer grafens lodrette placering. d > 0 , dvs. d er positiv

d < 0 , dvs. d er negativ

p skærer y-aksen over x-aksen.

p skærer y-aksen under x-aksen.

Vi kan aflæse d , som y-koordinaten i grafens skæringspunkt med y-aksen.

Opgaver I opgavebogen kan du finde opgaver i tilknytning til afsnit 2.1.

2.2 V endepunktet og symmetrien for et tredjegradspolynomium (især for A-niveau) Vi har set, at grafen for et andengradspolynomium, parablen, krummer på en karakteristisk måde: Den kan enten krumme nedad (sur parabel) eller krumme opad (glad parabel). Vi bemærker, at grafen for en sur parabel ligger under enhver af dens tangenter, mens grafen for en glad parabel ligger over enhver af dennes tangenter. Dette vil vi her acceptere ud fra en grafisk betragtning. Under emnet differentialregning vil vi bevise det. y

Sur parabel

Glad parabel

104

9788770668699_indhold.indb 104

08/05/2019 11.53

3. Polynomier

Når vi betragter grafen for et tredjegradspolynomium, kan vi tilsvarende se, at grafen krummer på en karakteristisk måde: Dels har grafen en gren, hvor den krummer nedad (den er sur, hvilket fx viser sig ved, at tangenten ligger over grafen lige i nærheden af røringspunktet), dels har den en gren, hvor den krummer opad (den er glad, hvilket fx viser sig ved, at tangenten ligger under grafen lige i nærheden af røringspunktet). y

Blå gren sur – rød gren glad

Vendepunkt med vendetangent

Definition: Vendepunkt og vendetangent Givet en funktion f med tilhørende graf. Hvis der findes et sted på grafen, hvor denne skifter fra at krumme nedad til at krumme opad eller omvendt, så kaldes det pågældende sted for et vendepunkt, og den tilhørende tangent kaldes en vendetangent. Geometrisk betyder dette, at grafen i vendepunktet skifter fra at ligge helt under til at ligge helt over vendetangenten (eller omvendt).

Enhver graf for et tredjegradspolynomium har et sådant vendepunkt med tilhørende vendetangent, hvor grafen skifter fra at krumme nedad til at krumme opad, dvs. grafen "skifter humør". De fleste værktøjsprogrammer har et indbygget værktøj til at finde vendepunkter og/eller vendetangenter for grafer. Vendepunkt hedder inflection point på engelsk.

Øvelse 3.10

Tredjegradspolynomiets vendepunkt

Vi vil ved hjælp af et dynamisk geometriprogram undersøge symmetrien i grafen for et tredjegradspolynomium. 3 2 a) Tegn grafen for tredjegradspolynomiet p(x) = a · x + b · x + c · x + d med fire skydere for a, b, c og d. Brug fx x-intervallet fra –10 til 10 og y-intervallet fra –100 til 100.

b) Afsæt ved hjælp af dit værktøj vendepunktet på grafen, dvs. det punkt S, hvor grafen skifter fra at være "glad" til at være "sur" eller omvendt. c) Afsæt et vilkårligt punkt P på grafen, og udnyt værktøjsprogrammets muligheder til at spejle dette punkt i vendepunktet S. Flyt rundt på P. Hvad observerer du?

105

9788770668699_indhold.indb 105

08/05/2019 11.53

d) D u kan også godtgøre resultatet algebraisk. Vi ser på to grafpunkter, P og Q, der ligger symmetrisk omkring vendepunktet S. Hvis det ene har førstekoordinaten xp = xs – h, hvilken førstekoordinat får da det andet punkt Q? e) Vi ved nu, at P og Q ligger lige langt på hver sin side af vendepunktet i vandret retning. Hvilken ligning skal så gælde, hvis de også skal ligge lige langt på hver sin side i lodret retning?

3 2 Fælles for alle grafer for tredjegradspolynomier p(x) = a · x + b · x + c · x + d er altså, at de har et symmetripunkt S(x0, p(x0)).

y a=1 b=1 c = –3 d=5

a=1 b=1 c=3 d=5 S

S x

Vi vil nu vise, at vendepunktet har førstekoordinaten x S = −

b : 3a

Hvis der findes et symmetripunkt S(x0, p(x0)), så skal punkterne P(x0 – h,p(x0 – h)) og Q(x0+ h,p(x0+ h)) ligge lige langt på hver sin side af S både i vandret og lodret retning. Andenkoordinaten p(x0) for S skal altså være midtpunktet mellem de to punkters andenkoordinater:

p( x0 ) =

p( x0 − h) + p( x0 + h) 2

Løser vi denne ligning mht. x0, så kan vi få x0 udtrykt ved koefficienterne i p, og på den måde kan vi let bestemme vendepunktet for et givet tredjegradspolynomium. Vi løser ligningen i et værktøjsprogram:

solve p( x0 ) =

−b p( x0 − h) + p( x0 + h) , x0 , x0 = 3⋅ a 2

Man kan også ved hjælp af et værktøjsprogram udregne de to udtryk p(x0 – h) og p(x0 + h) og derefter reducere og bestemme x0.

106

9788770668699_indhold.indb 106

08/05/2019 11.53

3. Polynomier

Vi har dermed vist den følgende nøglesætning om tredjegradspolynomier:

Sætning 1: Tredjegradspolynomiets vendepunkt Grafen for tredjegradspolynomiet p(x) = a · x 3 + b · x 2 + c · x + d er symmetrisk omkring vendepunktet S, der har koordinaterne

 b  b  S− , p −   3a  3a  

Blandt andengradspolynomier er der grundlæggende kun én type parabel, y = x2, idet alle andre kan fremkomme af denne ved parallelforskydninger og skalering. Blandt tredjegradspolynomier er der derimod tre prototyper. Det undersøger vi nærmere i projekter på bogens website. Her kan du også finde en video, der fortæller om denne egenskab ved tredjegradspolynomier.

Opgaver Du kan i opgavebogen finde opgaver i tilknytning til afsnit 2.2.

3. Vilkårlige polynomier Definition: Polynomium af n'te grad Et polynomium af n'te grad er en funktion med en forskrift på formen p(x) = an · xn + an–1 · xn–1 + ... + a1 · x + a0 , an ≠ 0 Parametrene a0, a1, ..., an–1, an kaldes polynomiets koefficienter. Polynomiets grad bestemmes af den højeste potens, hvor koefficienten er ≠ 0 Den ovenstående forskrift kaldes standardformen for n'te-gradspolynomiet.

Vi kan undersøge polynomier af højere grad på samme måde som tredjegradspolynomierne.

Øvelse 3.11

At afkode graden for et polynomium

Angiv graden af følgende polynomier: a) p1(x) = 3 – x d) p4(x) = 10

b) p2(x) = 7x5 + 3x – 5 – x7 5

c) p3(x) = 2(x – 5) · (x + 1) 3

e) p5(x) = 0,005 · (x + 500x )

2 3 2 f) p6(x) = 3x · (4x + 5) · (6 – x – 7x ) · (8x + 9x )

107

9788770668699_indhold.indb 107

08/05/2019 11.53

Øvelse 3.12

Sammenhængen mellem graden n og udseendet af grafen for xn

a) Tegn graferne for polynomierne på formen pn(x) = xn , for n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hvilke ligheder og hvilke forskelle er der mellem disse polynomier? n b) Hvis du får forelagt et polynomium på formen a · x , hvad skal du da vide om koefficienten a, og hvad skal du vide om eksponenten n, for at kunne sige noget om grafens udseende?

Øvelse 3.13

Grafen for fjerdegradspolynomier

a) Tegn grafen for et typisk fjerdegradspolynomium

4 3 2 p4(x) = a · x + b · x + c · x + d · x + e

hvor koefficienternes værdi fastlægges med skydere. Vælg selv intervaller for disse. b) Hvilken rolle spiller de enkelte koefficienter for det grafiske forløb? c) Er der nogle af koefficienterne, som man ud fra det grafiske forløb kan angive fortegnet for?

Øvelse 3.14

Grafen for femtegradsploynomier

a) Tegn grafen for et typisk femtegradspolynomium

5 4 3 2 p5(x) = a · x + b · x + c · x + d · x + e · x + f

3.1 Polynomiernes egenskaber og grafiske forløb

Vi sammenfatter her nogle af de centrale pointer om polynomiernes grafiske forløb. 1

Førstegradspolynomier x Grafen for et førstegradspolynomium 1 p1(x) = a · x + b , a ≠ 0 er en ret linje med den konstante hældning a. Grafen for et førstegradspolynop1(x) = 2x + 1 b mium skærer x-aksen i netop ét punkt, dvs. den har netop én rod x = − a

108

9788770668699_indhold.indb 108

08/05/2019 11.53

3. Polynomier

Andengradspolynomier Grafen for et andegradspolynomium

p (x) = a · x2 + b · x + c , a ≠ 0 2 er en parabel med et (globalt) ekstremum. Det globale maksimum eller minimum indtræffer for x = − b . Grafen har to grene, der peger 2a samme vej. Parablen er symmetrisk omkring den lodrette linje gennem x = − b . Polynomiet har op til to rødder, men behøver ikke 2a have nogen.

p2(x) = x2 – 5x + 4

Tredjegradspolynomier Grafen for et tredjegradspolynomium 3 2 p3(x) = a · x + b · x + c · x + d , a ≠ 0

er en kubisk kurve med et vendepunkt, der indtræffer for x = − 3ba , dvs. grafen skifter fra at være "sur" til at være "glad" – eller omvendt. De yderste grene peger altid hver sin vej. Grafen er symmetrisk omkring vendepunktet. Den kan også have to lokale ekstrema, men den behøver ikke have nogen. Den har mindst en rod, men kan have op til tre rødder.

x 1

p3(x) = x3 –3x2 + x + 4

Fjerdegradspolynomier Grafen for et fjerdegradspolynomium 4 3 2 p4(x) = a · x + b · x + c · x + d · x + e , a ≠ 0 har op til to vendepunkter, mindst et og op til tre lokale ekstrema, og op til fire rødder, men den behøver ikke have nogen. De yderste grene peger altid samme vej. Grafen behøver ikke være symmetrisk omkring nogen linje. På bogens website er der et projekt, hvor du kan finde ud af, hvad der sker i punktet med: x = − 4ba for et fjerdegradspolynomium!

x 1

p4(x) = x4 –4x2 + 2x + 3

Sådan fortsætter det op gennem graderne: Hver gang graden stiger med en, giver det mulighed for grafen at slå et ekstra sving, hvor den sidste gren skiftevis peger opad og nedad. Det giver anledning til de følgende simple regler for grafernes opførsel:

109

9788770668699_indhold.indb 109

08/05/2019 11.53

Praxis: Antallet af rødder, ekstrema og vendepunkter for polynomier 1) G rafen for et n'te-gradspolynomium har op til n rødder, n –1 lokale ekstrema og n –2 vendepunkter. 2) Rødder, ekstrema og vendepunkter er indbyrdes forbundne: Mellem to på hinanden følgende rødder er der altid mindst ét lokalt ekstremum. Mellem to på hinanden følgende lokale ekstrema er der altid mindst ét vendepunkt. 3) Polynomier af ulige grad, har altid mindst en rod, men de behøver ikke have nogen lokale ekstrema, idet de yderste grene peger hver sin vej. 4) Polynomier af lige grad, behøver ikke have nogen rødder, men de har altid mindst et lokalt ekstremum, idet de yderste grene peger samme vej.

Bemærkning nr. 1: Vi har ikke på dette tidspunkt matematiske værktøjer til at bevise påstandene i boksen ovenfor. Det får vi først under emnet differentialregning. På dette tidspunkt accepterer vi intuitive argumenter ud fra grafiske betragtninger. Bemærkning nr. 2: Når grafen for et n'te-gradspolynomium højst har n rødder, betyder det tilsvarende, at en n'te-gradsligning højst har n løsninger. Hvis vi udvider talbegrebet til de komplekse tals verden, som vi omtalte flere gange i C-bogen, så sker det højst forunderlige, at en n'te-gradsligning har præcis n løsninger. Dette resultat kaldes for algebraens fundamentalsætning og blev bevist af Carl Friedrich Gauss i 1799. I A-bogen vil vi studere denne sætning nærmere. På bogens website ligger et projekt om faktorisering af polynomier, hvor vi inddrager denne sætning. Gauss: Diagrammet stammer fra hans doktordisputats, hvor han visualiserer opførslen af fjerdegradspolynomiet f(z) = z 4 – 2z 2 + 3z + 10 inden for det komplekse talplan.

Øvelse 3.15 Argumenter for punkt 2, 3 og 4 i boksen ved hjælp af grafiske betragtninger.

Øvelse 3.16 Kan du uden at tegne grafen sige noget om antallet af rødder for de følgende polynomier? Kan du også sige noget om røddernes fortegn?

2 p(x) = x + 3x – 2

q(x) = x3 – x2 + 4x – 1

110

9788770668699_indhold.indb 110

08/05/2019 11.53

3. Polynomier

Blot ved at se på forskriften kan man altså skaffe sig et vist overblik over antallet af rødder. Vi vil nu se på det modsatte: Hvad kan man sige om graden af et polynomium alene ud fra grafens forløb?

Eksempel: Anslå graden af et polynomium ud fra det grafiske forløb Man kan ikke svare udtømmende på overskriften, dvs. man kan ikke altid se på grafen for et polynomium, hvilken grad det har. Men man kan ofte komme med nogle kvalificerede bud! Praxis-boxen giver umiddelbart: y 1. regel: Graden af et polynomium er større end eller lig med antallet af rødder. Men grafen for tredjegradspolynomiet på figuren viser, at antallet af rødder ikke nødvendigvis er en særlig effektiv måde at finde graden på, idet begge ekstremumspunkterne her ligger over x-aksen, og at der derfor kun er én rod.

Men figuren giver os også den første ide til at generalisere 1. regel. Hvis vi parallelforskyder grafen i lodret retning, så er det alene konstantleddet, der ændres. Graden bevares. At parallelforskyde grafen nedad svarer til at forskyde 1. aksen opad. At tælle skæringspunkter med en vandret linje svarer til at løse n'te-gradsligningen:

p(x) = k p(x) – k = 0

n n–1 an · x + an–1 · x + . . . + a1 · x + a0 – k = 0

p(x) og p(x) – k er polynomier af samme grad. Derfor har vi: 2. regel: Graden af et polynomium er større end eller lig med antallet af skæringspunkter med en vandret linje. Men dette havde ikke hjulpet os, hvis vi havde et tredjegradspolynomium af Type III, for det har jo ingen ekstremumspunkter, så vandrette linjer skærer kun grafen et sted. Men ligningen p(x) = k giver os den næste ide til at generalisere. I stedet for k kan vi indsætte ligningen for en ret linje. Omskrivningen: p(x) = ax + b p(x) – ax – b = 0 fortæller os, løsningen af ligningen svarer til at bestemme rødder i polynomiet p(x) – ax – b, og dette polynomium har samme grad som p(x). Løsningen af ligningen p(x) = ax + b svarer til at finde skæringspunkter med en skrå linje.

111

9788770668699_indhold.indb 111

08/05/2019 11.53

3. regel: Graden af et polynomium er større end eller lig med antallet af skæringspunkter med en skrå linje. Dette kunne vi umiddelbart generalisere til skæring med parabler, dvs. til løsning af ligningen 2 p(x) = ax + bx + c

p(x) – ax2 – bx – c = 0

Vi kan nemlig altid se, om graden er større end eller lig 2, så vi kunne formulere: 4. regel: G raden af et polynomium er større end eller lig med antallet af skæringspunkter med en parabel. Men hvor det er let at lægge rette linjer, er det lidt vanskeligere at rokere rundt med parabler. Det kan dog gøres ved hjælp af skydere. Og man kan også se, at vi kan generalisere yderligere. Hvis vi allerede ved noget om graden, så kan vi generelt undersøge skæring med polynomiegrafer af mindre grad. Men dette er ikke så håndterbart, så vi vil sjældent argumentere ud fra en 4. eller 5. regel. Overvejelserne vedrørende rødder kombineres med vores øvrige viden om polynomier. Det drejer sig om følgende: -H vis de to yderste grene peger samme vej, er graden lige, og hvis de peger hver sin vej er graden ulige. -H vis graden er lige, og grafen ikke har en symmetriakse, er graden mindst 4. - Hvis graden er ulige, og grafen ikke er symmetrisk om et vendepunkt, er graden mindst 5.

Øvelse 3.17 De to figurer viser graferne for to polynomier. Hvad kan vi sige om graden af hvert af de to polynomier? y

112

9788770668699_indhold.indb 112

08/05/2019 11.53

3. Polynomier

Eksempel: Bestem forskriften for et polynomium ud fra grafen

Hvis vi kender graden af et polynomium, kan vi bestemme ligningen for polynomiet ud fra grafen. Det kan illustreres 20 med følgende eksempel. 15 Vi har givet vedlagte graf og får oplyst, at det er et tredje10 gradspolynomium: (0,8) 5 3 2 (1,3) p(x) = a · x + b · x + c · x + d p( −2) = −12 –2 –1 0 1 2 Vi skal bestemme de fire koefficienter a, b, c og d og skal –5 p(0) = 8 derfor opstille fire ligninger med de fire ubekendte. Vi aflæp(1) = 3 –10 ser fire punkter på grafen: (–2,–12), (0,8), (1,3) samt (5,23) og (–2,–12) p (5) = 23 opstiller følgende ligningssystem: –15 dvs. p( −2) = −12 −8 a + 4 b − 2c + d = −12 p(0) = 8 d=8 dvs. p(1) = 3 a+ b+c+ d = 3 p(5) = 23 125a + 25b + 5c + d = 23 dvs. Dette kan godt gøres i hånden (vi kender allerede d, og vi kan nemt eliminere c fra −8 a + 4 b − 2c + d = −12 den tredje ligning, så reelt er det to ligninger med to ubekendte). Vi vælger at bruge en d=8 solve-kommando: a+ b+c+ d = 3 125a + 25b + 5 p(–2) c + d = 23 = –12 p(0) = 8 ,{a,b,c,d} solve p(1) = 3 p(5) = 23

(5,23)

x 3

→ a = 1 og b = –4 og c = –2 og d = 8

Konklusion: Det søgte tredjegradspolynomium har forskriften p(x) = x3 – 4x2 – 2x + 8. Man kan også bestemme tredjegradspolynomiet ved tredjegradsregression: y x-koordinat

–2

y-koordinat

–12

p(x) = x 3 – 4x 2 – 2 x – 8

20 15 10 5 0 –5 –10

–15 –3

–2

–1

113

9788770668699_indhold.indb 113

08/05/2019 11.53

Øvelse 3.18 Vi får oplyst, at p(x) er et polynomium af grad 4, og q(x) er et polynomium af grad 5. a) Hvor mange punkter på hver af de to grafer skal vi bruge for at bestemme forskrifterne? b) Tabellen til højre viser en række funktionsværdier for hvert af de to polynomier p og q. Bestem forskrifterne for p og q.

p(x)

q(x)

–4

841

4180

–2

162

–7

–122

329

– 4068

868

–12452

Opgaver I opgavebogen kan du finde opgaver i tilknytning til afsnit 3.1.

4. Anvendelser af polynomier 4.1 Regressionsmodeller med polynomier

Lorenzdiagram 100

Netop på grund af polynomiernes fleksibilitet bliver de ofte brugt som universelle modeller i mangel af bedre. I samfundsfag arbejdes ofte med Lorenzdiagrammer, eksempelvis når man studerer indkomstfordeling. Et Lorenzdiagram er en speciel udgave af en sumkurve, hvor man på 1. aksen afsætter den kumulerede procentandel af den givne befolkning i stedet for intervalendepunkterne – se diagrammet.

Kumuleret indtægt i %

90 80 70 60 50 40 30 20 10

Kumuleret antal i %

0 0

Øvelse 3.19

90 100

Her vil man efterspørge en graf, der forbinder datapunkterne, og som man let kan regne på. Man vælger da ofte at tilnærme datapunkterne med en fjerdegradskurve, som findes ved at lave polynomisk regression på datasættet.

Matematisk modellering af indkomstfordelingen i Danmark

På Danmarks Statistiks hjemmeside kan man hente oplysninger om, hvor stor en procentdel af befolkningen der tjener hvor stor en procentdel af den samlede indkomst. Det er nærmere omtalt i studieretningskapitlet om matematik og samfundsfag, hvor også evt. ukendte begreber i denne øvelse er forklaret. Den følgende tabel viser et typisk udsnit af sådanne data:

114

9788770668699_indhold.indb 114

08/05/2019 11.53

3. Polynomier

Indkomstintervaller

Kumuleret antal i procent

Kumuleret indtægt i procent

0 kr.

0,00

Under 100.000 kr.

13,07

1,65

100.000-199.999 kr.

39,42

15,98

200.000-299.999 kr.

62,77

36,97

300.000-399.999 kr.

82,94

61,80

400.000-499.999 kr.

91,75

75,68

500.000 kr. og derover

100,00

a) Tegn et Lorenzdiagram. b) Bestem ved hjælp af en fjerdegradsregression det bedste fjerdegradspolynomium, der går gennem datapunkterne. Læg mærke til, at grafen for fjerdegradspolynomiet kun er en tilnærmelse til sumkurven, og at den i et lille interval til at begynde med endda antager negative værdier. Den ligger dog så tæt på sumkurven, at man normalt vælger at ignorere sådanne brud på forløbet af en Lorenzkurve. c) Grafen for fjerdegradspolynomiet og linjen med ligningen y = x afgrænser nu sammen et område, der har et areal. Konstruer grafernes areal. Bestem grafisk arealet af det område, de afgrænser. Bestem på grundlag heraf Ginikoefficienten, der er defineret som forholdet mellem det fundne areal og arealet af tre-kanten under diagonalen y = x. d) P røv nu i stedet at benytte et dynamisk geometriprogram til at bestemme arealet under den polygon, der udspændes af datapunkterne, og bestem Ginikoefficienten i dette tilfælde. e) Hvilken af de to modeller, fjerdegradsregressionen eller polygonen, vil du foretrække til håndtering af de ovenstående data? Bemærkning: Den polygonkurve, der tales om, er graf for en såkaldt stykkevis lineær funktion. Disse er behandlet i et projekt i bog 1, og vi vender tilbage til dem i kapitel 8 her i bog 2. I idræt anvendes ofte polynomisk regression til at bestemme polynomier, der kan tilnærme bestemte dataværdier. Hvis man fx optager mellemtiderne for et 100 m sprint, vil man ofte tilnærme datapunkterne med grafen for et fjerdegradspolynomium, som findes ved polynomisk regression, og så regne videre på det. Modellen er ikke begrundet ud fra idrætsfaglige overvejelser, men anvendes, fordi den ofte vil føre til rimelige resultater, og den er nem at udføre. Du kan på bogens website finde et projekt med data fra Usain Bolts verdensrekord i 100-meter løb i 2008.

115

9788770668699_indhold.indb 115

08/05/2019 11.53

4.2 Polynomierne i Pascals trekant

Pascals trekant er et berømt og uhyre centralt talmønster i matematik, som vi allerede har omtalt i 1. bog. Vi vil nu prøve at forstå strukturen af tabellen i lidt større detalje. I den forbindelse spiller polynomier en helt central rolle. Typisk frembringer man Pascals trekant ved at udfylde de to yderste lag med 1-taller og derefter resten ved hjælp af sumreglen: Hvert nyt element er netop summen af de to foregående lige til venstre og lige ovenover. Pascals egen tegning af den "aritmetiske trekant"

Øvelse 3.20 a) Gå ind i dit regneark og opbyg på denne måde Pascals trekant: Søjle A og række 1 udfyldes med 1-taller. Overvej derefter hvilken celleformel, du skal sætte i B2, og træk den derefter igennem resten af tabellen! A

120

165

220

126

210

330

495

715

126

252

462

792

1287

2002

210

462

924

1716

3003

5005

120

330

792

1716

3432

6435

11440

165

495

1287

3003

6435

12870

24310

220

715

2002

5005

11440

24310

48620

b) Afbild nu tallene i søjlerne B, C, D, og E som funktion af deres indeks (dvs. listen {1,2,3, …,}, dvs. i realiteten tallene i søjle B). Hvilke slags funktioner synes at ligge bag disse grafer? Vi forestiller os nu, at der ligger en kontinuert funktion bag punktplottet. c) Bestem forskrifterne for funktionerne ved hjælp af dit værktøjsprograms indbyggede polynomielle regression. Du har frit valg af graden. Prøv forskellige, og sammenlign med residualplots. Hvad kan du konkludere? d) B estem dernæst sksakte udtryk ved hjælp af programmets solve-funktion. Har du stadig frit valg af grad? Hvis svaret er nej, hvilken grad skal du så vælge? Vi får brug for Pascals trekant i kapitlerne om sandsynlighedsregning og statistik.

116

9788770668699_indhold.indb 116

08/05/2019 11.53

3. Polynomier

På bogens website kan du finde et projekt, hvor vi dykker dybere ned i tallene fra Pascals trekant og herunder finder en formel for de enkelte tal i trekanten.

5. Projekter På bogens website ligger der en række projekter, der knytter sig til kapitel 3. På bogens website ligger yderligere særlige studieretningskapitler med oplæg til samarbejde mellem studieretningsfagene, samt kapitel 10, Matematik og kultur, med materialer og projekter, der kan anvendes i et samarbejde mellem humanistiske fag eller i selvstændige forløb.

117

9788770668699_indhold.indb 117

08/05/2019 11.53

Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

1. Den franske revolutions logaritmefabrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 1.1 Tabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 1.2 Konstruktionen af logaritmerne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 John Napiers logaritmer og Henry briggs forbedringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 1.3 Tabelfabrikken og princippet i interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2. Logaritmefunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 2.1 log(x) og 10x som omvendte funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 2.2 Den naturlige logaritmefunktion, ln(x) og den naturlige eksponentialfunktion ex som omvendte funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.

Logaritmeregneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Sammenhængen mellem a x og ek·x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Linearisering og anvendelsen af logaritmer i andre fag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Linearisering af eksponentielle sammenhænge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Linealisering af potenssammenhænge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Richterskalaen – et mål for hvor kraftige jordskælv er. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 pH-skalaen – et mål for hvor stærke syrer eller baser er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Decibelskalaen – et mål for lydstyrke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Et af de vigtige spor i matematikkens udvikling udgøres af tabellerne. I oldtidens samfund var udarbejdelsen af tabeller over himmellegemernes vandring et vigtigt fælles projekt mellem astronomi og matematik: Sådanne tabeller var en forudsætning for pålidelige kalendere. Med matematikkens anvendelser til beregninger af afstande og vinkler på Jorden, og af planeters og kometers nøjagtige bevægelser over himmelkuglen, blev tabeller uundværlige hjælpemidler. Først de trigonometriske tabeller og fra 1600-tallet logaritme-tabellerne. Konstruktionen af logaritmefunktionerne betød en revolution, der næsten kan sammenlignes med lommeregnernes indtog i vor tid. Med logaritmetabellerne kunne man nu løse vanskelige opgaver som at opløfte tal i skæve potenser eller at dividere med fx otte-cifrede tal. Brugen af tabeller har været en fast del af matematikundervisningen helt op til 1970’erne. Fortællingen begynder under den franske revolution, hvor arbejdsløse parykmagere og frisører bliver omskolet til at kunne deltage i udarbejdelsen af nye logaritmetabeller.

118

9788770668699_indhold.indb 118

08/05/2019 11.53

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

1. Den franske revolutions logaritmefabrik Den franske revolution, der blev indledt med stormen på Bastillen, 14. juli 1789 og videreført under parolen om frihed, lighed og broderskab (Liberté – Egalité – Fraternité), fik med sine ideer om menneskerettigheder og om samfundets indretning en enorm betydning for hele den verdenshistoriske udvikling. I Frankrig selv kom den hurtigt til at vende op og ned på alting. Videnskaben havde i 1700-tallet et højt niveau i Frankrig, og Paris var det naturlige centrum i oplysningstidens Europa. Det var her, man for første gang i historien satte sig for at lave en encyklopædi: Et leksikon over alt hvad mennesEn flok naturvidenskabsmænd gør sig klar til at møde Solkongen kene ved, skrevet af de største eksperter på på Versailles. At få lov til at fremlægge sin forskning for den hvert deres område. Arbejdet, der blev ledet af franske konge var den største hæder, man kunne opnå, og kan filosoffen Diderot og matematikeren d’Alembert, sammenlignes med at få Nobelprisen i dag. var med til at give de intellektuelle og hele det På bogens website ligger en artikel om videnskabens videnskabelige miljø en tro på mennesket og på status i samfundet i middelalderen, renaissancen og oplysningstiden. videnskabens muligheder for at bidrage til et bedre liv. De franske kejsere var også interesserede i videnskabens muligheder, og mange af verdens førende videnskabsmænd i 1600- og 1700-tallet arbejde hos Solkongen Ludvig 14. i Versailes. Men det var ofte blot som underholdning. Kongen var således interesseret i hydraulik og ansatte den danske videnskabsmand Ole Rømer til at konstruere et system, så Versailles-parkens 1400 springvand kunne springe uafbrudt.

Øvelse 4.1

De franske encyklopædister

Find selv på nettet yderligere oplysninger om encyklopædisterne. Hvem var de, hvad drev dem i deres arbejde, hvilken rolle spillede de i samfundet, og hvilken rolle kom de til at spille i den franske revolution?

De revolutionære ønskede at gøre op med alt det gamle og gøre alt nyt. Gamle videnskabscentre blev lukket, og nye universiteter blev etableret, som École Polytechnique, der skulle uddanne ingeniører i stor skala, og École Normale, der fik til opgave på kort tid at omlægge hele den franske skoleundervisning og uddanne lærere hertil. École Normale producerede nærmest lærere på samlebånd. Hver fjerde måned blev 1400 nyuddannede efter et koncentreret kursus sendt ud som instruktører med den opgave selv at uddanne nye lærere.

119

9788770668699_indhold.indb 119

08/05/2019 11.53

For at demokratisere undervisningen og gøre regning til et fag alle kunne lære, og for at lette arbejdet i naturvidenskaberne og finde et fælles sprog på tværs af grænserne, besluttede man at afskaffe alle gamle mål for længder, vægt og rumfang og indføre titalssystemet overalt. På bogens website kan du finde fortællingen om, hvordan man fastlagde længden af 1 meter.

Øvelse 4.2

Hvad gik forud for metersystemet?

Hvilke gamle mål for længder, vægt, rumfang eller antal kender du?

Også tidsregningen startede de forfra, hvor år 0 blev sat til datoen for den franske republiks grundlæggelse 22. september 1792. De bevarede årets inddeling i 12 måneder, men gav dem nye navne og satte hver måned til 30 dage. De overskydende 5-6 dage på et år var særlige festdage. En måned blev inddelt i 3 uger hver med 10 dage, døgnet blev inddelt i 10 timer hver med 100 minutter, og hvert minut blev igen opdelt i 100 sekunder. Det var et opgør med det gamle trestalssystem, som stammer helt tilbage fra Babylonien et par tusinde år f.v.t. Dette opgør skulle også føres igennem i geometrien. I stedet for det gamle vinkelmål, hvor en ret vinkel er 90°, indførte man nygrader, hvor en ret vinkel er 100°. Selv om det umiddelbart forekommer indlysende at gå over til titalssystemet, stødte det på store vanskeligheder netop med vinkelmålene. Alle matematiske tabeller var indrettet efter trestalssystemet.

1.1 Tabeller I alle kulturer har tabeller været uundværlige hjælpemidler for matematikere, astronomer og andre videnskabsfolk. Via bogens website er der adgang til et site med en enorm samling af matematiske tabelværker fra hele historien. Tabeller over himmellegemernes bevægelse kender vi fra mayaerne, babylonierne og grækerne. De har hjulpet med til at se mønstre, finde et system og fx lave pålidelige kalendere. Optegnelserne, der gennem århundreder blev stadig mere omfattende, blev foretaget i 60-talsystemet. Da Ptolemaios omkring 150 e.v.t. opdagede de sammenhænge mellem sider og vinkler, der blev grundlaget for trigonometrien, begyndte han at udarbejde de første trigonometriske tabeller, som vi omtalte i kapitel 3, Geometri – konstruktion og beregning. Tabellerne blev stadigt mere nøjagtige, de blev uundværlige hjælpemidler i geometriske beregninger, og de var udarbejdet i trestalssystemet. Da matematikerne Napier og Briggs omkring 1620 konstruerer de første logaritmefunktioner, som vi omtaler nedenfor, sker det i form af et omfattende tabelværk. Da logaritmerne hurtigt viser sig uundværlige for alle større beregninger, udarbejdes også særlige logaritmetabeller over de trigonometriske funktioner, igen i trestalssytemet.

120

9788770668699_indhold.indb 120

08/05/2019 11.53

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

Tabeller er uundværlige hjælpemidler i matematik. Derfor besluttede de revolutionære i Frankrig, at der i forlængelse af indførelsen af titalssystemet skulle udarbejdes nye tabeller over både de trigonometriske funktioner og over logaritmefunktionerne. Før vi går videre i den fortælling, vil vi opholde os ved disse logaritmefunktioner, som vi i bind 1, kapitel 3 introducerede som regnetekniske funktioner, og som kom til at betyde en revolution i udviklingen af hjælpemidler.

1.2 Konstruktionen af logaritmerne I 1500-tallet var det blevet almindeligt at bruge titalssystemet i stedet for romer-tallene, hvorved addition og subtraktion (plus og minus) var blevet lettere. Men multiplikation (gange) og division var stadig vanskelige opgaver, for slet ikke at tale om at opløfte i potens eller uddrage rødder! Ikke mindst astronomer som Tycho Brahe havde brug for hjælpemidler til de store beregningsopgaver. Han havde dygtige assistenter, der hjalp med de tidkrævende opgaver, men lange beregninger var altid forbundet med en risiko for at regne forkert, hvilket jo kunne få stor betydning for fx bestemmelse af planetbaner. Derfor ledte man efter metoder, der kunne lette disse beregninger ved at omdanne gange og division til plus og minus. Det blev den skotske godsejer John Napier, der løste dette gennem konstruktion af et omfattende tabelværk over tal, han kaldte logaritmer, og som ifølge Napier havde disse "vidunderlige egenskaber". Napier har ikke selv fortalt, hvad der satte ham i gang med dette arbejde, der kom til at tage 20 år af hans liv. Men man ved, at en af hans nære venner, en læge John Craig, var med i følget, da den skotske kong James 1. i 1589 rejste til Danmark for at forberede sit bryllup med den danske prinsesse Anna, søster til Christian 4.

John Napier (1550-1617)

Det blev et langt ufrivilligt ophold på grund af tilfrosne farvande og voldsomme vinterstorme. Mens følget var i Danmark, besøgte de Tycho Brahe på øen Hven, og vi ved, at John Craig var med. Tycho Brahe (1546-1601) var Europas førende astronom, og den danske konge havde allerede i 1576 stillet Hven i Øresund til rådighed for ham, så han kunne etablere sine observatorier her. Man formoder, at John Craig efter sin hjemkomst har fortalt John Napier om Tycho Brahe, og om hvor omfattende et arbejde det er at beregne himmellegemernes gang. Vi ved, at lægen havde brevforbindelse med Tycho Brahe i tiden efter, og her begynder Napier det arbejde, der fører frem til konstruktionen af logaritmerne. Du kan på bogens website finde en nærmere redegørelse for ”den danske forbindelse”.

121

9788770668699_indhold.indb 121

08/05/2019 11.53

Tycho Brahe kendte og anvendte faktisk en metode, der kunne omdanne gange og division til plus og minus, via omskrivninger med brug af trigonometriske funktioner. Denne beregningsproces blev kendt under navnet Prosthaphaeresis, der er en sammentrækning af de græske ord for addition og subtraktion. Metoden blev fra omkring 1580 udbredt blandt astronomer, og en af datidens største eksperter inden for dette felt var ansat hos Tycho Brahe. Han er i eftertiden blevet kendt under navnet Longomontanus (15621647), men han hed egentlig Chresten Sørensen. Han var bondesøn fra Lomborg ved Lemvig, og det var karakteristisk for Tycho Brahe, at han så efter talent og ikke efter slægt, når han knyttede folk til sig. Heri lå også kimen til den senere konflikt med adelen, ikke mindst da han også giftede sig med en ikke-adelig. Tycho Brahe forlod Danmark i 1597. Longomontanus' ”Astronomica Danica” fra 1622.

Longomontanus blev hjemme og udgav i 1622 et stort værk om astronomi, hvori han også sammenfattede sin viden om Prosthaphaeresismetoden.

På bogens website ligger et projekt om denne beregningsmetode. John Napier så altså behovet for at udvikle et nyt hjælpemiddel til at udføre store beregninger. Men hvordan han fik ideen til sine logaritmer, ved vi ikke med sikkerhed. n m n+m Meget taler for, at den simpelthen udsprang af potensreglen: a · a = a , hvor vi ser, at en multiplikation på venstre side er knyttet til en addition på højre side. I et værk fra 1544 skrev forfatteren Michael Stifel (1487-1567) om talfølger som disse:

+ 0

128 256

at "addition i den øverste række svarer til multiplikation i den nederste række, ligesom subtraktion i den øverste svarer til division i den nederste."

Øvelse 4.3 Forklar, hvad forfatteren mener med denne formulering. Indfør gerne symbolsprog i din forklaring.

122

9788770668699_indhold.indb 122

08/05/2019 11.53

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

I Hvad er matematik? 1, kapitel 3: Procent og rentesregning, diskuterede vi udvidelsen x af potensbegrebet, og hvordan a kan defineres for alle tal x på en sådan måde, at n m n+m stadig vil gælde. Det blev også diskuteret på Stifels tid. potensreglen a · a = a Han skriver endda: "Man kunne skrive en helt ny bog om de vidunderlige egenskaber, disse tal har, men jeg må på dette sted lade det ligge, lukke øjnene og gå videre." Napier kendte til dette værk, der havde titlen Arithmetica Integra, og det er tankevækkende, at netop formuleringen om tallenes vidunderlige egenskaber kom til at indgå på titelbladet, da han udgav sine tabeller. Napiers ide er således meget kort fortalt, at havde vi en tabel som den ovenfor med sammenhørende værdier for "alle" tal, så vil vi kunne udregne produktet af to tal fra den nederste række, fx tallene 7,61 og 10,93, ved at aflæse, hvilke tal der står i den øverste række, addere disse og finde denne sum i den øverste række, og endelig gå ned og aflæse, hvilket tal dette hører sammen med i den nederste række.

Øvelse 4.4 a) Bestem de tal x og y, der står i den øverste række i tabellen oven over henholdsvis x y 7,61 og 10,93, ved at løse ligningerne 2 = 7,61 og 2 = 10,93 med en solvekommando. b) x + y kan vi udregne i hånden. Bestem nu det tal i den nederste række, som x + y x+y hører sammen med ved at udregne 2 . c) Kontroller på dit værktøj, at dette faktisk er produktet 7,61 · 10,93. Bemærk, at de udregninger, vi foretager i a) og i b), faktisk svarer til opslag i tabeller!

John Napiers logaritmer og Henry Briggs forbedringer Napier udgav sit første tabelværk om logaritmerne i 1614. Det var ikke de logaritmer, vi kender i dag. Napiers logaritmer logN opfyldte en lidt anden regel, nemlig forholdsreglen:

x1 x3 = ⇒ logN ( x1 ) − logN ( x2 ) = logN ( x3 ) − logN ( x4 ) x2 x4

Navnet logaritme er græsk og betyder netop forholdstal.

Øvelse 4.5 a⋅ b a = følgende formel for Napiers logaritme: b 1 (*) logN ( a ⋅ b) = logN ( a ) + logN ( b) − logN (1)

Vis ved hjælp af ligningen

123

9788770668699_indhold.indb 123

08/05/2019 11.53

Da den engelske matematiker og astronom Henry Briggs (1561-1630) ser Napiers første tabelværk i 1614, bliver han begejstret for de nye muligheder. Briggs ser den enkle forbedring af Napiers logaritme, der kunne opnås ved at konstruere logaritmerne, således at det sidste led i ligningen ovenfor bliver 0. Han besøger Napier i 1615, og de bliver enige om at gennemføre denne ændring. Men Napier dør kort efter, så Briggs gør selv arbejdet færdigt. I 1628 udkommer de første komplette tabeller over det, som vi i dag kalder titalslogaritmen og betegner log. Briggs definerer heri logaritmerne, således at

log(10) = 1 og log(1) = 0.

Således bliver (*) til logN (x1 · x2) = logN (x1) + logN (x2) – 0

logN (x1 · x2) = logN (x1) + logN (x2)

som svarer til den måde, vi regner med logaritmer i dag. Logaritmetabellerne udfyldte et stort behov, og tabellerne spredtes hurtigt, selv om det var under 30-års-krigen. Allerede i årtiet efter findes der kopier af tabellerne i de fjerneste egne af Europa.

1.3 Tabelfabrikken og princippet i interpolation Da man under den franske revolution beslutter at indføre titalssystemet overalt, bliver der som omtalt ovenfor brug for nye trigonometriske tabeller. Når man alligevel skal i gang, beslutter man sig derfor for yderligere at lave helt nye og langt mere nøjagtige logaritmetabeller fra bunden. Det er et kæmpearbejde, som man pålægger matematikeren de Prony (1755–1839) til dennes store utilfredshed. Det tog 20 år af Napiers liv, og nu vil man have tabeller med omkring 20 decimaler! Der skal beregnes op mod en halv million værdier. Hvordan skal han dog organisere det? Men så får han nærmest en åbenbaring gennem læsning af økonomen Adam Smiths (1723-1790) epokegørende værk om Nationernes Velstand. Det er i dette værk, man finder den første gennemgribende argumentation for betydningen af arbejdsdeling. Prony har senere fortalt om denne inspiration (citeret fra en engelsk matematikhistorikers værk): "I came across the chapter where the author treats of the division of work; citing, as an example of the great advantages of this method, the manufacture of pins. I conceived all of a sudden the idea of applying the same method to the immense work with which I had been burdened, and to manufacture logarithms as one manufactures pins. I have reason to believe that I had already been prepared for this conception by certain parts of mathematical analysis, on which I was then lecturing at the Ecole Polytechnique."

124

9788770668699_indhold.indb 124

08/05/2019 11.53

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

Øvelse 4.6 På bogens website ligger det uddrag af Adam Smith, Nationernes Velstand, som Prony omtaler. Læs uddraget, og giv et referat. Læs oversætterens kommentarer: Hvad er det centrale spørgsmål, han rejser?

Prony oprettede derfor en tabelfabrik med tre niveauer af arbejdere. Det øverste niveau, teoretikerne, bestod af nogle få professionelle matematikere som han selv. De besluttede, hvilke formler der skulle anvendes, hvilke særlige værdier i tabellerne, der skulle beregnes helt fra bunden, og hvor mange decimaler der skulle arbejdes med. Det mellemste niveau bestod af et hold matematikere, der kunne forestå udregningen af disse særlige værdier. Der var et par tusinde af disse værdier. Beregnerne skulle have en solid uddannelse, som fx ingeniører, for at kunne gennemføre disse avancerede beregninger.

M I C

E P S

M I C

E P S

En engelsk tyvepundseddel, der viser Adam Smith og hans berømte nålefabrik, der illustrerer betydningen af arbejdsdeling.

Endelig bestod det laveste niveau, assistenterne, af et stort hold arbejdere, fra 60 til 80 i alt, der var ansvarlige for at udfylde resten af tabelværdierne ved brug af såkaldte interpolationsmetoder. I realiteten krævede det kun kendskab til addition og subtraktion af hele tal. På dette niveau var udregningerne helt mekaniske, og det var på ingen måde afgørende, om man forstod ideen bag interpolationsmetoden. Hvem som helst kunne derfor i princippet udføre interpolationen. Prony fik da den ide at bruge arbejdsløse frisører til arbejdet! Før revolutionen havde det franske aristokrati været storforbrugere af specialister i håropsætning for at kunne sætte de yderst kunstfærdige frisurer, som var på mode blandt adelen. Revolutionen havde derfor kastet et stort antal parykmagere, frisører osv. ud i arbejdsløshed. Prony tilbød dem at blive omskolet til at kunne lægge tal sammen og trække tal fra hinanden og arbejde i tabelfabrikken.

Tryk efter kobberstik af Dupin fra 1778. Billedet viser en ung kvinde og hendes frisør.

Øvelse 4.7 Interpolation betyder, at man ud fra kendte værdier i en tabel beregner værdier, man ikke havde i forvejen. Antag, at vi har bestemt logaritmerne til tal med én decimal, så vi kender tallene log(7,1), log(7,2), log(7,3) og log(7,4) i tabellen. Hvordan beregnes nu logaritmerne til tallene imellem disse?

125

9788770668699_indhold.indb 125

08/05/2019 11.53

log(x)

7,1

0,8513

Den simpleste metode er at trække en linje mellem to kendte punkter på grafen, fx punkterne (7,3, log(7,3)) og (7,4, log(7,4)), som vi ved er lig med (7,3, 0,8633) og (7,4, 0,8692), og anvende denne linje til at beregne den nye logaritmeværdi – i dette tilfælde log(7,35). Vi regner med 4 decimaler.

7,15 7,2

0,8573

7,25 7,3 7,35 7,4

a) Hvilken metode vil du anvende til at bestemme værdien i 7,35?

(7,4, 0,8692)

0,8633 y = log (x)

0,8692

∆y

(x,y) (7,3, 0,8633)

y – 0,8633 x – 7,3 ∆x

b) Bestem nu ved lineær interpolation y-værdien hørende til x = 7,35, og sammenlign med log(7,35) udregnet på et værktøjsprogram. c) F ind herefter på samme måde tilnærmede værdier for logaritmen til 7,15 og 7,25.

På bogens website ligger yderligere materiale om Pronys tabeller og interpolation.

Det tog ca. 10 år for Pronys tabelfabrik at udarbejde tabellerne. Beregningen blev udført af to uafhængige hold, så man kunne kontrollere de to tabeller mod hinanden for eventuelle regnefejl. De to tabeller bestod begge af 19 bind med 251 folioark i hvert bind, hvor hvert folioark rummede 100 håndskrevne tabelværdier. Men da man derefter skulle trykke tabellerne, gik det galt. De økonomiske omkostninger var skyhøje, og den franske økonomi kunne ikke klare det ambitiøse projekt alene. Et forsøg på at gøre det til et internationalt projekt strandede også – englænderne ville ikke gå over til titalssystemet generelt. Også i Frankrig havde man forladt ideen om at indføre titalssystemet i kalenderen og ved gradmålinger. Tabellerne blev først trykt i 1891 og i en noget reduceret udgave. Men ideen om nygrader havde slået rod nogle steder. I dag anvendes de fx ved landmåling, hvor vinkelenheden for nygrader kaldes gon. Brugen af logaritmetabeller var en fast del af undervisningen i realskoler og på gymnasier frem til lommeregnernes indtog. Danske gymnasieelever fik udleveret regnestokke som denne, hvor logaritmiske skalaer var indgraveret, så man ikke behøvede papirtabeller. Alle beregninger kunne udføres med regnestok. På bogens website ligger et projekt, hvorudfra man kan konstruere sin egen papirregnestok. Gennem små regneøvelser kan man få indtryk af, hvor effektivt et hjælpemiddel regnestokken var.

126

9788770668699_indhold.indb 126

08/05/2019 11.53

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

2. L ogaritmefunktioner Mange funktioner er igennem historien første gang opstået som tabellagte funktioner. Sådanne tabeller kender vi helt tilbage fra den old-ægyptiske og den old-babylonske matematik for ca. 4000 år siden. Disse tabeller, der repræsenterer en ganske avanceret matematik, kan du møde som projekter forskellige steder i lærebogssystemet, fx i Hvad er matematik? 1, kapitel 7 om Tal og Ligninger. Via bogens website er der yderligere adgang til en enestående portal med scannede eller digitaliserede versioner af tabeller fra hele matematikhistorien. Logaritmefunktionerne opstår som et omfattende tabelværk i første del af 1600-tallet. De blev konstrueret som regnetekniske funktioner, der er i stand til at oversætte multiplikation og division til ”plus og minus-stykker”. Og logaritmernes ”vidunderlige egenskaber” rakte endnu videre – ved hjælp af dem kunne man meget enkelt uddrage kvadratrødder og løse eksponentielle ligninger. Hovedparten af æren for opfindelsen af logaritmerne og konstruktionen af tabellerne tilfalder den skotske godsejer John Napier, der brugte de 20 sidste år af sit liv på dette. Den historie er fortalt i afsnit 1. Som regnetekniske funktioner er logaritmerne i dag overhalet af lommeregnere og matematiske værktøjsprogrammer. Men ud af de logaritmeregneregler, vi behandler i afsnit 3, voksede en anvendelse, som har sat sig dybe spor: Bestemte variabelsammenhænge kan ved logaritmernes hjælp transformeres til lineære sammenhænge. Det er forholdsvis svært at afgøre, om en given graf ”ligner” grafen for en eksponentialfunktion, mens det er let med øjet at vurdere, om et punktplot kan beskrives ved en lineær model. Derfor indførte man særlige koordinatsystemer, henholdsvis enkeltlogaritmiske og dobbelt-logaritmiske koordinatsystemer, som man kunne tegne i, før de matematiske værktøjsprogrammer gav muligheder for at arbejde med regression. I afsnit 5 vender vi tilbage til det. Men anvendelsen af logaritmisk transformation i andre fag skyldtes i endnu højere grad to andre fænomener knyttet til logaritmerne:

• Ved hjælp af logaritmer kan man komprimere meget store intervaller af tal, så det bliver overskueligt. Dette udnyttes stadig i en række skalaer, som du kender, fx: Decibel-skalaen, pH-skalaen og Richterskalaen. Det vender vi tilbage til i afsnit 5. • Vores hjernes tolkning af sanseindtryk er i vid udstrækning logaritmisk! Det gælder vores talsans, vores fornemmelse af lydtryk, af lysstyrke, af vægt osv. Når noget vokser, oplever vi det relativt, ikke absolut. Læs mere om det på bogens website.

110

120

I begge søjler øges antallet af punkter med 10. Vi kan se forøgelsen til venstre, men næppe til højre.

127

9788770668699_indhold.indb 127

08/05/2019 11.53

Øvelse 4.8

A nvendelse af logaritmisk transformation og af enkelt-logaritmisk koordinatsystem

Vi har givet et datasæt, og vi skal undersøge, om det kan beskrives ved en eksponentiel model. x

–3

–2

–1

1,54

1,92

2,4

3,75

4,68 5,85

7,32

9,15

11,4

14,3

17,9

22,4

27,9

a) Udfør et punktplot af datasættet. b) Udfør eksponentiel regression på datasættet. c) Tegn datapunkterne og regressionsgrafen i samme koordinatsystem. Det skal ligne den første tegning nedenfor. d) O pret en ny række, hvor værdierne udregnes som log(y). Dette kaldes en logaritmisk transformation. e) Udfør lineær regression på datasættet bestående af x-værdierne og log(y)-værdierne. f) Tegn datapunkterne (x, log(y)) og regressionsgrafen fra punkt e) i samme koordinatsystem. Det skal ligne den anden tegning nedenfor. g) Lav en kopi af det grafiske billede fra c), og anvend en facilitet i dit værktøjsprogram, så du kan omforme andenaksen til en logaritmisk skala. Dette nye koordinatsystem kaldes for et enkelt-logaritmisk koordinatsystem. Herved skal du få en tegning, der ligner den tredje nedenfor. y 24 20 16

10 8 6 4

8 4 –3 –2 –1

log(y)

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Punktplot af data og eksponentiel regression.

x –3 –2 –1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Log-tranformation af data og lineær regression.

–3 –2 –1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Punktplot af data i enkeltlogaritmisk koordinatsystem.

h) Diskuter fordele og ulemper ved hver af de tre metoder.

Vi vil nu give en systematisk indføring i logaritmefunktionerne. I moderne matematik bliver logaritmefunktionerne indført på en helt anden måde, hvilket vi vender tilbage til i Hvad er matematik? 3, under emnet Integralregning. I det følgende vil vi gå en mellemvej, der i vid udstrækning bygger på grafiske og mere intuitive metoder.

128

9788770668699_indhold.indb 128

08/05/2019 11.53

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

2.1 log(x) og 10x som omvendte funktioner I Hvad er matematik? 1, kapitel 3 udvidede vi potensbegrebet, så udtryk som a x giver mening for alle tal x, når a er et positivt tal.

Øvelse 4.9

Det udvidede potensbegreb

a5 = a · a · a · a · a, men hvordan definerede vi tal som: 0 a) a

b) a–7

c) a 2

d) a 5

f) a2,76

e) a 7

Slå evt. tilbage, og repeter reglerne.

Når vi har defineret potenser af alle brøker, har vi også defineret potenser af alle endelige decimaltal, som 3.1415, og potenser af alle periodiske decimaltal, som 3,14285714 …er= 3,142857 = 22 . 3,14285714 … = 3,142857 . Disse kan nemlig skrives som brøker. Fx 7 Dette er vist i Hvad er matematik? 1, kapitel 7. x Vi har ikke dermed fået defineret a for alle reelle tal, men alle de decimaltal, der svarer til brøker, ligger meget tæt på tallinjen. Så det sidste skridt med at få alle tal med tager x vi ved at kræve, at grafen for a skal være kontinuert (sammenhængende). x 1,39 Det betyder specielt, at 10 er defineret for alle tal. Hvad er fx 10 ? 0 2 1,39 være et tal mellem 1 og 100. Da 10 = 1 og 10 = 100, så må 10 Værktøjsprogrammet giver: 1,39

= 24,547, med 3 decimalers nøjagtighed.

Men vi kan også gøre det omvendte og spørge: Hvilken potens skal 10 opløftes til for at få 40? Igen kan værktøjsprogrammet løse det: X 10 = 40 har løsningen x = 1,602, med 3 decimalers nøjagtighed

Dette tal kalder vi for logaritmen til 40, og det betegnes log(40). X Generelt er altså logaritmen til et positivt tal y, løsningen til ligningen 10 = y.

Definition: Titalslogaritmen log x

Givet et positivt tal y. Logaritmen til y, som skrives log(y), er løsningen til ligningen 10 = y:

10 = y ⇔ x = log( y)

(*)

Ved at udnytte (*) to gange, får vi følgende:

log(y)

= y og x = log(10x) (**) x

Funktionen log er således den omvendte funktion til 10 . x Vi udtrykker (**) kort ved at sige, at log og 10 ophæver hinanden. x Bemærkning: Eksponentialfunktioner som 10 giver kun positive værdier. Derfor er logaritmen kun defineret for positive tal.

129

9788770668699_indhold.indb 129

08/05/2019 11.53

Eksempel: Titalspotenser

1) log(1000) = 3 , fordi 103 = 1000

2) log(1) = 0, fordi 100 = 1

6 3) log(1000000) = 6, fordi 10 = 1000000

log( 10 ) = 1 2 log( 10 ) = 10 4) log( 10 ) = 11, fordi

Eksempel: Graferne for de omvendte funktioner log(x) og 10x log(x) er den omvendte funktion til 10x. Dvs. hvis vi starter på 2. aksen med et y, så finder vi log(y) på 1. aksen ved at gå vandret ud fra y's punkt til vi rammer grafen x for 10 , og derfra lodret ned til 1. aksen, hvor vi aflæser log(y). Det betyder, at vi for logaritmefunktionerne har byttet om på, hvor den uafhængige og den afhængige variabel aflæses. Ønsker vi grafen for log præsenteret på sædvanlig vis med den uafhængige variabel ud af 1. x aksen, kan vi blot spejle grafen for 10 i linjen y = x, så 1. og 2. aksen bytter plads.

y 10

1 log(x) x

2.2 D en naturlige logaritmefunktion, ln(x) og den naturlige eksponentialfunktion ex som omvendte funktioner Under emnet differentialregning i kapitel 5 vil vi studere grafers forløb ved at se på tangenterne til grafen og undersøge, hvordan deres hældning varierer. Hældningen af en tangent måler, hvor hurtigt eller hvor langsomt den afhængige variabel vokser eller aftager, og det er en vigtig metode at kunne bestemme sådanne hældninger. Det viser sig, at blandt eksponentialfunktionerne er der én, der udmærker sig som særlig betydningsfuld, og som ofte indgår i modeller over naturlige fænomener. x Den har fået sit eget navn, Den naturlige eksponentialfunktion, og sit eget symbol e . x x Af og til anvendes notationen: exp(x) = e , men vi vil hovedsageligt bruge e .

Definition: Den naturlige eksponentialfunktion x

Den naturlige eksponentialfunktion, e , er den funktion blandt alle eksponentialfunktioner, a , hvis tangent til grafen har hældningen 1, hvor grafen skærer y-aksen.

Øvelse 4.10

På jagt efter tallet e

Anvend dit værktøjsprogram til at gennemføre en eksperimentel undersøgelse af, hvilket tal, e, der opfylder definitionen: x a) Tegn grafen for funktionen f(x) = a sammen med tangenten til grafen i punktet (0,1). Parameteren a defineres med en skyder i dit værktøjsprogram. Tegn i samme koordinatsystem grafen for funktionen t(x) = x + 1, der er den rette linje gennem (0,1) med hældning 1. Via bogens website kan du finde en vejledning i, hvordan man tegner tangenter til grafer.

130

9788770668699_indhold.indb 130

08/05/2019 11.53

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

b) Forsøg nu at bestemme tallet a, så tangenten falder sammen med grafen for t(x). Det tal, du bestemmer, er en tilnærmelse til tallet e.

y = 3x

y=2

4 3

c) Bestem tallet e med 10 cifre ved hjælp af dit værktøjsprogram.

y=x+1

2 1 –0,5

x 0,5

1,5

Eksempel: Tallet e Tallet e er på linje med tallet π en af ”naturkonstanterne” i matematik. Tallet optræder første gang i 1731 i et brev fra den meget produktive matematiker Leonard Euler (17071783). Han lod det indgå i et af sine mest berømte værker fra 1748 (Introductio), som er en introduktion til infinitesimalregningen (differential og integralregning), og derfra har tallet fået navnet Eulers tal. Euler skrev over 800 bøger og artikler og har påvirket stort set alle grene af matematik, så man skal passe lidt på: Eulers konstant er fx et helt andet tal. Euler var faktisk ikke den første, der havde opdaget, at der var et helt særligt tal inden for logaritmernes og eksponentialfunktionernes verden, som det var værd at få styr på. Første gang, vi ser et forsøg på at bestemme tallet e, er hos John Napier, opfinderen af logaritmerne, der omtaler det i et tillæg til sine første logaritmetabeller fra 1618. I det omtalte værk af Euler viser han, at tallet e kan defineres på en række forskellige måder, bl.a. følgende to:

1 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... = 1. e = 1 + + 1!

∞

∑ i1! , hvor fx

4! = 4 · 3 · 2 · 1

i =0

ormlen udtrykker, at tager vi summen af stadig flere led, 10 led, 20 led, F 100 led … – så vil denne sum nærme sig et bestemt tal, nemlig tallet e.

2. e = lim 1 + n1 , hvor ”lim” er en forkortelse for det latinske ord limes, der x →∞ betyder grænse. Formlen siger, at udregnes tallene:

(

)

(1+ 11) , (1+ 21) , (1+ 31 ) , (1+ 41 ) , ... 1

s å vil disse nærme sig et bestemt tal, nemlig tallet e. Det er en meget langsom konvergens – prøv selv på et værktøjsprogram at udregne de første 100 tal.

Euler beregnede tallet e med 18 decimaler:

e = 2,718281828459045235

Tallet e er ligesom tallet π både irrationalt, dvs. decimalerne gentages ikke efter en vis periode, og transcendent, dvs. tallet er ikke rod i noget polynomium med hele tal som koefficienter. Man taler inden for matematik om de 5 fundamentale konstanter: 0, 1, π, e og den imaginære enhed i (= −1 ), der er omtalt i Hvad er matematik? 1, kapitel 6.

131

9788770668699_indhold.indb 131

08/05/2019 11.53

Disse er forbundet i den fantastiske formel, der har fået navnet Eulers identitet: e

i·π

+1=0

y 20

Funktionen e er en monotont voksende funktion. Værdimængden er alle positive tal. Hvis vi spørger: Hvilken potens skal tallet e opløftes til for at få 10, så kan værktøjsprogrammet løse det:

15 10 5 x –3

–2

–1

x e = 10 har løsningen x = 2,30258509 med 8 decimalers nøjagtighed.

Dette tal kaldes for den naturlige logaritme til 10, og det betegnes ln(10). x Generelt er ln(a) løsningen til ligningen: e = a. Løsningen findes altså ved at fjerne eksponentialfunktionen med den omvendte operation ln.

Definition: Den naturlige logaritme ln x

Givet et positivt tal y. Den naturlige logaritme til y, der skrives ln(y), er løsningen til ligningen e = y:

e = y ⇔ x = ln( y)

(*)

Ved at udnytte (*) to gange, får vi følgende:

ln(y)

= y og x = ln(ex)

(**) x

Funktionen ln er således den omvendte funktion til e . x Vi udtrykker (**) kort ved at sige, at ln og e ophæver hinanden. x Bemærkning: Eksponentialfunktioner som e giver kun positive værdier, så længe vi holder os inden for de reelle tal. Derfor er ln(x) kun defineret for positive tal.

Øvelsen 4.11

Ligningsløsning uden brug af solve, men med brug af ln og ex

Løs følgende ligninger. Gør omhyggeligt rede for hvert trin i løsningen a) 2 · ln(3x – 5) = 8 b) 5,7 · e y

Eksempel: Graferne for de omvendte funktioner ln(x) og ex

l n(x) er den omvendte funktion til ex. Dvs. hvis vi starter på 2. aksen med et y, så finder vi ln(y) på 1. aksen ved at gå vandret ud fra y's punkt til vi rammer grafen, og derfra lodret ned til 1. aksen, hvor vi aflæser ln(y). Det betyder, at vi for loga-ritmefunktionerne har byttet om på, hvor den uafhængige og den afhængige variabel aflæses. Ønsker vi grafen for ln(x) præsenteret på sædvanlig vis med den uafhængige variabel ud af 1. aksen, kan vi blot spejle x grafen for e i linjen y = x, så 1. og 2. aksen bytter plads.

x 1

= 1256

ln(x)

0,08x

132

9788770668699_indhold.indb 132

08/05/2019 11.53

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

3. Logaritmeregneregler Sætning 1: Logaritmeregnereglerne Lad a og b være positive tal, og x et vilkårligt tal. Der gælder, da 1) log( a ⋅ b) = log( a) + log( b)

1) ln(a · b) = ln(a) + ln(b)

 a 2) log   = log( a) − log( b)  b

 a log( b) 2)log ln   == log( ln(a)a)–−ln(b)  b

3) log( a x ) = x ⋅ log( a)

3) ln(a x) = x · ln(a)

4) log( x a ) = x1 ⋅ log( a)

4)log( ln xx aa)) === x1x1⋅⋅log( ·log( ln(a) log( aa))

5) log(10) = 1

5) ln(e) = 1

Bemærkning: Formlerne i punkt 5 indgår i definitionerne: sæt x = 1.

Bevis for logaritmeregel 1: Ifølge punkt 1 i definitionen ovenfor gælder der, at

a = 10log(a) og b = 10log(b).

Vi indsætter dette i udtrykket på venstre side og omskriver:

log(a · b) = log(10log(a) · 10log(b))

= log(10log(a) + log(b))

Potensregel

= log(a) + log(b)

log og 10x ophæver hinanden

Øvelse 4.12 Vis logaritmeregel 2. (Hint: Udnyt en af de andre potensregler).

Bevis for logaritmeregel 3: Lad a være et positivt tal, og x et vilkårligt tal. log(a) i udtrykket på venstre side og omskriver: Igen indsætter vi a = 10 log(a x) = log((10log(a))x )

= log(10log(a)·x) Potensregel

= log(a) · x

= x · log(a)

x log og 10 ophæver hinanden

Øvelse 4.13 Vis logaritmeregel 4.

Via bogens website kan du finde alle beviserne samlet.

133

9788770668699_indhold.indb 133

08/05/2019 11.53

Eksempel: Uendeligt mange logaritmefunktioner De to definitioner af logaritmefunktionerne log(x) og ln(x) er skrevet på en sådan måde, x at det er let at se, at der er en logaritmefunktion loga(x) til enhver eksponentialfunktion a . Prøv selv at opskrive en definition på fx logaritmefunktionen log2(x), der hører sammen x med 2 . Givet et tal A, så er log(A) et mål for størrelsesordenen af tallet A, når dette er skrevet i 10-talsystemet, idet log(A) – rundet op til nærmeste hele tal – fortæller, hvor mange cifre der er i tallet A. På samme måde angiver tallet log2(A) – rundet op til nærmeste hele tal – hvor mange cifre der er i tallet A, når dette er skrevet i 2-talssystemet. Men dette er jo lig med antallet af bits, vi skal bruge for at skrive tallet digitalt. Hvert ciffer i et tal som 101011 er en bit, så dette tal har 6 bits. Det er tallet 43, og log2(43) = 5,4, altså ca. 6. For dataloger er log2(x) langt mere interessant end log(x) og ln(x) Udregningerne i beviserne ovenfor byggede på potensregler og på definitionen af logaritmefunktionen. Beviserne kunne derfor gennemføres for alle logaritmefunktioner. Derfor: Regnereglerne gælder for alle logaritmefunktioner, specielt også for den naturlige logaritmefunktion, ln(x). I gymnasiet koncentrerer vi os om de to funktioner log(x) og ln(x). Af og til skriver vi log10(x) for log(x). I mange udenlandske matematikbøger gør man dette konsekvent, fordi log(x) dèr betyder ln(x). log(x) er voksende, men væksten er meget langsom:

• Når vi bevæger os ud til x = 100, er log-funktionen nået op på 2.

• Når vi bevæger os ud til 1 million, er log-funktionen nået op på 6.

Øvelse 4.14

log(x) går mod uendelig, når x går mod uendelig

a) Hvor langt skal vi ud af 1. aksen, før logaritmeværdien bliver 100? b) Selv om log(x) vokser langsomt, kan logaritmeværdierne alligevel blive så store, det skal være. Hvis vi har givet et stort tal K, hvor langt skal vi så bevæge os ud af 1. aksen, før der gælder log(x) > K? Bemærkning: På bogens website er øvelsen gennemregnet.

Øvelse 4.15

log(x) går mod minus uendelig, når x går mod 0 – via generalisering

Dm(log) er de positive tal. Vi har ovenfor set på situationen med meget store tal, dvs. hvor x → ∞. Hvad sker der, når vi vælger meget små positive tal, dvs. når x → 0? –1 • Bestem tallet log(0,1) uden brug af værktøj. (Hint: 0,1 = 10 , og udnyt regnereglerne) •B estem tallet log(0,000001) uden brug af værktøj. (Hint: Skriv 0,000001 som en titalspotens) • Hvordan vil du generalisere a) og b)?

134

9788770668699_indhold.indb 134

08/05/2019 11.53

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

Øvelse 4.16

log(x) går mod minus uendelig, når x går mod 0 – via teoretisk bevis

a) Hvor tæt på 0 skal x-værdierne ligge, før logaritmefunktionen kommer under –10? b) Givet et stort negativt tal: –K. Hvor tæt på 0 skal x-værdierne ligge, før logaritmefunktionen kommer under –K? Bemærkning: På bogens website er øvelsen gennemregnet.

Resultaterne af de foregående øvelser sammenfattes i

Sætning 2: Asymptotiske egenskaber for log(x) og ln(x) Når x nærmer sig 0, vil log(x) bevæge sig mod –∞. 2. aksen er en lodret asymptote til grafen for log(x) og til grafen for ln(x).

Bemærkning: Overvej selv, at vi i øvelserne, og dermed i sætningen, kan udskifte log med ln. I opgavebogen ligger opgaver i tilknytning til afsnit 3.

4. Sammenhængen mellem ax og ek · x I kapitel 4 blev eksponentialfunktionerne introduceret med regneforskriften y = b · a x. I mange andre fag og i videregående matematik foretrækker man ofte at skrive regnek·x forskriften således: y = b · e . x k·x Men hvad er sammenhængen mellem a og e ? Der gælder følgende:

Sætning 3: Omskrivning mellem ax og ek · x 1. y = b · ek · x kan omskrives til formen y = b · a x ved at sætte a = ek 2. y = b · a x kan omskrives til formen y = b · ek · x ved at sætte k = ln(a).

Bemærkning: Vi husker, at der altid gælder, at a > 0

Bevis for 1) Regneforskriften er givet på formen y = b · ek · x. x Vi ønsker at omskrive til formen y = b · a .

k·x

= (ek )x

k·x

k x

= (e

) =a x

Vi udnytter en af potensreglerne Vi kalder ek for a

x Med denne værdi af a har vi således fået omskrevet til formen y = b · a .

135

9788770668699_indhold.indb 135

08/05/2019 11.53

Bevis for 2) Regneforskriften er givet på formen y = b · a x Vi ønsker at omskrive til formen y = b · ek · x

ek = a

Ligningen opstilles inspireret af det foregående

ln(e ) = ln(a)

Vi anvender ln for at ophæve eksponentialfunktionen

k = ln(a)

x ln(x) og e ophæver hinanden x

k x k k·x Med denne værdi af k er a = e , og derfor er y = b · a = b · (e ) = b · e , hvad vi ønskede.

Eksempel: Omskrivning fra y = ek · x til y = ax En funktion har forskriften y = e0,35x. Omskriv til formen: y = a x.

a=e

0,35

= 1,419

Udnyt sætning 3

x Konklusion: Vi kan omskrive forskriften til y = 1,419 .

Eksempel: Omskrivning fra y = ax til y = ek · x En funktion har forskriften y = 0,892 x. Omskriv til formen: y = ek · x.

k e = 0,892 k

ln(e ) = ln(0,892)

Udnyt sætning 3 Vi anvender ln for at ophæve eksponentialfunktionen

x k = ln(0,892) = –0,114 ln(x) og e ophæver hinanden

Konklusion: Vi kan omskrive forskriften til y = e

–0,114x

Øvelse 4.17 Omskriv: x k·x a) y = 4,1 · 1,29 til formen: y = 4,1 · e

b) y = 0,69 · e –0,821 · t til formen: y = 0,69 · at

Øvelse 4.18

Modellering med brug af den naturlige eksponentialfunktion

Ved en bestemt biokemisk proces bliver et stof dannet med en hastighed, der kan beskrives med funktionen:

(–1,5t)

v(t) = (1,1 + 3,5t) · e a) Tegn grafen for funktionen i intervallet, hvor t løber fra 0 til 3,0. Hastigheden v(t) måles i enheden mol pr. liter pr. x sekund og afsættes op af 2. aksen. Tiden måles i sekunder og afsættes ud af 1. aksen. b) Læg en tangent på grafen, således at du med en skyder kan lade den glide langs grafen. Brug tangenten til at svare på de følgende spørgsmål, og kontroller med dit værktøjsprogram:

136

9788770668699_indhold.indb 136

08/05/2019 11.53

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

c) Hvad er hastigheden til tiden 0? d) Hvornår er hastigheden størst? Udfordring!: e) Hvor er det sted på grafen, hvor hastigheden aftager mest?

Opgaver I opgavebogen ligger opgaver i tilknytning til afsnit 4.

5. L inearisering og anvendelsen af logaritmer i andre fag Logaritmefunktioner kan komprimere enorme og uoverskuelige intervaller af tal, fx tallene fra 1 til 100 milliarder, og ekspandere meget små talområder, fx tallene fra 0,00001 til 1, så det samlet bliver små og overskuelige områder. I dette tilfælde henholdsvis intervallet fra 0 til 11 og intervallet fra –5 til 0. Disse intervaller skrives symbolsk således: [0;11] og [–5;0].

Øvelse 4.19

Log-funktionen kan ekspandere og komprimere intervaller

• Argumenter for påstanden, at logaritmefunktionen transformerer intervallet fra 1 til 100 milliarder til intervallet fra 0 til 11. (Hint: Tænk på eksponentiel notation).

• Argumenter for påstanden, at logaritmefunktionen transformerer intervallet fra 0,00001 til 1 til intervallet af tal fra –5 til 0. (Hint: Tænk på eksponentiel notation).

Denne egenskab udnyttes af en række fag, der håndterer fænomener, hvor de variable har talværdier fra meget små til enorme tal. Logaritmeregnereglerne giver også mulighed for at transformere eksponentielle modeller og potensmodeller til lineære udtryk. Det er eksempler på en mere generel metode, der kaldes linearisering, og som går ud på at omforme komplicerede udtryk og grafiske sammenhænge, vi ikke umiddelbart kan overskue, til udtryk, der er mere overskuelige og lettere at genkende. Lineære sammenhænge udmærker sig frem for alle andre variabelsammenhænge ved, at vi med øjet kan identificere disse. I Hvad er matematik? 1, kapitel 5 om Potensmodeller så vi eksempler på en transformation af data over planeters omløbstid om Solen og deres afstand fra Solen, der resulterede i, at der fremkom en lineær sammenhæng. Denne linearisering skete ved at opløfte de to sæt af data i hver sin potens. Vi kunne også have valgt at lave en logaritmisk transformation af de to datasæt, og så se, hvordan det grafiske billede af de transformerede data så ud. Denne teknik vil vi nu demonstrere generelt i de to tilfælde: Eksponentielle sammenhænge og potenssammenhænge.

137

9788770668699_indhold.indb 137

08/05/2019 11.53

5.1 Linearisering af eksponentielle sammenhænge Vi har givet en eksponentiel udvikling: y = b · a x, som vi omskriver ved hjælp af log: x log(y) = log(b · a ),

Anvend log på begge sider

log(y) = log(b) + log(a )

Udnyt logaritmeregel 1

log(y) = log(b) + x · log(a)

Udnyt logaritmeregel 3

(I) log(y) = log(a) · x + log(b) Nu omdøbes de variable således:

Roker rundt

log(y) betegnes Y, log(b) betegnes B, log(a) betegnes A, og med de nye betegnelser bliver (I) til:

Y = A · x + B.

Dette genkender vi som en lineær sammenhæng mellem Y og x. Konklusionen sammenfattes i følgende

Sætning 4: Logaritmisk transformation af eksponentielle sammenhænge En eksponentiel sammenhæng mellem de variable x og y svarer til en lineær sammenhæng mellem den variable x og den transformerede variabel Y = log(y). Dette betyder, at grafen for en eksponentiel sammenhæng bliver til en ret linje, hvis vi tegner den i et enkelt-logaritmisk koordinatsystem, hvor 2. aksen er en logaritmisk skala. Bemærkning: Når et tal y afsættes på en logaritmisk skala, betyder det, at afstanden fra y ned til 1. aksen er lig med log(y), målt i en passende enhed.

Øvelse 4.20

Eksponentiel model for insektpopulations udvikling

Tabellen viser udviklingen i antallet af insekter i populationen i en periode på 60 døgn. Antal døgn (x) Antal insekter (y)

3012

5925

11656

22928

45103

88725

174535

I en model antager vi, at antallet af insekter i populationen som funktion af tiden kan beskrives ved en eksponentiel udvikling

x y=b·a,

hvor y er antallet af insekter til tiden x målt i døgn. a) Bestem a og b ved eksponentiel regression. b) Tilføj en række til tabellen, hvori log(y) udregnes. c) Udfør nu en lineær regression på de sammenhørende værdier af x og log(y), og undersøg om lineariseringen af denne eksponentielle udvikling stemmer overens med teorien ovenfor. Via bogens website er der adgang til et projekt om linearisering af data fra radioaktivt henfald.

138

9788770668699_indhold.indb 138

08/05/2019 11.53

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

5.2 Linearisering af potenssammenhænge Vi har givet en potensudvikling: y = b · xa, som vi omskriver ved hjælp af log: a log(y) = log(b · x ) a

Anvend log på begge sider

log(y) = log(b) + log(x )

Udnyt logaritmeregel 1

log(y) = log(b) + a · log(x)

Udnytter logaritmeregel 3

(II) log(y) = a · log(x) + log(b)

Roker rundt

Nu omdøbes de variable således: log(y) betegnes Y, log(b) betegnes B, log(x) betegnes X, og med de nye betegnelser bliver (II) til: Y = a · X + B. Dette genkender vi som en lineær sammenhæng mellem Y og X. Konklusionen sammenfattes i følgende

Sætning 5: Logaritmisk transformation af potenssammenhænge En potenssammenhæng mellem de variable x og y svarer til en lineær sammenhæng mellem den transformerede variable X = log(x) og den transformerede variabel Y = log(y). Dette betyder, at grafen for en potenssammenhæng bliver til en ret linje, hvis vi tegner den i et dobbelt-logaritmisk koordinatsystem, hvor både 1. og 2. aksen er logaritmiske skalaer. Bemærkning: Når et tal x afsættes på en logaritmisk skala, betyder det, at afstanden fra x ind til 2. aksen er lig med log(x), målt i en passende enhed.

Øvelse 4.21

P otenssammenhængen mellem planeternes afstand til solen og deres hastighed

Tabellen viser nogle planeters afstand til og gennemsnitshastighed i deres bane omkring solen. Afstanden til solen er angivet i AE (astronomisk enhed). Planet

Merkur

Venus

Jorden

Mars

Jupiter

Saturn

Afstand (AE)

0,387

0,723

1,000

1,524

5,203

9,555

Gennemsnitshastighed (km/s)

47,89

35,03

29,73

24,13

13,06

9,64

I en model antager vi, at gennemsnitshastigheden (målt i km/s) som funktion af afstanden (målt i AE) kan beskrives ved en potensudvikling

a y=b·x,

hvor y er gennemsnitshastigheden (målt i km/s), og x er afstanden (målt i AE). a) Bestem a og b ved potensregression. b) Tilføj to rækker til tabellen, hvori logaritmen til x-værdierne hhv. logaritmen til y-værdierne udregnes. c) Udfør nu en lineær regression på de sammenhørende værdier af log(x) og log(y), og undersøg, om lineariseringen af denne potensudvikling stemmer overens med teorien ovenfor.

139

9788770668699_indhold.indb 139

08/05/2019 11.53

5.3 Richterskalaen – et mål for hvor kraftige jordskælv er Energi som 36.543 atombomber

Energien er angivet med enheden Hiroshima1.156 bomber(!) og vi ser en stejlt stigende kurve. 36 Prøv, at lave en tabel, 1 hvor logaritmen til tallene udregnes. 1 2 3 4 5 6 7 8 Richterskala Hvad ser vi?

Et jordskælvs styrke bliver altid angivet med et tal fra Richterskalaen. Denne skala blev udviklet i 1935 af Charles F. Richter og andre amerikanske geologer til at sammenligne styrken af forskellige jordskælv. Den grundlæggende idé var at omregne udsvinget på en seismograf til, hvad dette udsving ville være, hvis seismografen befandt sig 100 kilometer fra jordskælvets epicenter. Herefter blev det maksimale udsving i denne bestemte afstand ved hjælp af en logaritmisk formel omregnet til et tal, der netop er det tal, vi siden har kaldt Richtertallet.

Skalaen af Richtertal var konstrueret således, at jordskælv af styrke 7 på Richterskalaen giver 10 gange så store udsving, som jordskælv af styrke 6. Og den energi, der udløses af jordskælv, når vi går et trin op på Richterskalaen, vokser endnu mere dramatisk. Ved et jordskælv af styrke 7,0 udløses en energi ved overfladen, der er ca. 30 gange større end ved jordskælv af styrke 6,0.

Inge Lehmann

Den danske geolog Inge Lehman (1888-1993) var en af pionererne i arbejdet med at forstå, hvordan bølgerne fra jordskælv udbredes gennem Jorden. I sine studier i 1930’erne, hvor hun sammenlignede og bearbejdede data fra mange hundrede jordskælv – det var i tiden før computere – indså hun, at en række af måleresultaterne ikke kunne forklares inden for den hidtidige opfattelse af Jordens opbygning. Et jordskælv udsender Primære bølger og Sekundære bølger gennem Jordens forskellige lag, og som ved andre bølgefænomener opstår der brydningsfænomener ved overgangen mellem to forskellige lag. Ligesom en fisk i vandet ikke kan se alt oven for vandet, noget ligger i ”skygge” for den, således vil også dele af jordkloden ligge i ”skygge” for P-bølgerne gennem jordens kerne. I 1929 skete der et meget stort jordskælv på New Zealand, og de indsamlede data om, hvad der lå i ”skyggen”, kunne ikke forklares. Lehmanns genialitet som forsker er nu, at hun ikke prøver at bortforklare data, men når frem til, at teorien om Jordens opbygning måtte laves om. I en artikel fra 1936 med den korte titel: P` fremlagde hun som den første en ny og siden anerkendt teori om, at Jordens kerne består af to dele, en indre fast og en ydre flydende del. Inge Lehman blev 104 år og skrev sin sidste videnskabelige artikel som 99-årig. Denne og meget mere om Danmarks store kvindelige naturvidenskabelige forsker kan du læse på bogens website.

Øvelse 4.22 Den energi, der udløses ved et stort jordskælv, består af flere elementer: En stor del af energien udløses på stedet i form af mekanisk energi, der brækker hul på jordskorpen, og i form af varmeenergi, hvor de to kontinentalplader glider mod hinanden. Men en del af energien transporteres væk i form af jordskælvsbølger, der enten løber langs overfladen eller tværs gennem Jorden. Det er de bølger, der kan få huse på stor afstand til at svinge og måske styrte sammen, og det er dem, der registreres på seismo-

140

9788770668699_indhold.indb 140

08/05/2019 11.53

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

grafer i form af Richtertal. Sammenhængen mellem energien E i jordskælvsbølgerne og Richtertallet M kan udtrykkes i den empirisk bestemte formel: log(E) = 1,5 · M + 4,8 , hvor energien måles i Joule 12 Atombombers styrke angives i kiloton, hvor 1 kiloton svarer til 4,2 · 10 Joule.

a) De atomvåben, Nordkorea testede ved underjordiske sprængninger, vurderes at have været af samme størrelsesorden som bomben over Hiroshima, nemlig på ca. 20 kiloton. Hvis sprængningen betragtes som et jordskælv, hvor ligger så dette på Richterskalaen? b) På wikipedia kan man finde ”List of earthquakes in –”, hvor der på den tomme plads kan stå et land eller et årstal. Find eksempler på voldsomt store jordskælv i din levetid, og beregn energien ifølge formlen. Omregn til enheden: Antal Hiroshimabomber.

På bogens website ligger et projekt om jordskælv.

5.4 pH-skalaen – et mål for, hvor stærke syrer og baser er pH-skalaen blev udviklet af de danske kemikere S. P. L. Sørensen (t.v.) og Johannes Brøndsted (t.h.), mens de arbejdede som forskere på Carlsberg. Den omtales første gang i en artikel af S. P. L. Sørensen fra 1909.

I kemi anvendes en logaritmisk skala, der kaldes pH-skalaen, til at angive, om en bestemt opløsning er sur (som vi kender fra citrusfrugter eller fra mavesyre, hvis man har prøvet at kaste op), eller om den er basisk (som man kender fra sæbe og stærke rengøringsmidler som ammoniak). Rent teknisk finder man pH-værdien som:

)

(

pH = − log H3O +  + pH = −hvor log H3O +  er koncentrationen af H3O -ioner (målt i mol/Liter). pH = − log H3O +  = 10 –7, For almindeligt rent vand er koncentrationen så derfor er:

(

)

(

)

(

)

pH ( vand) = −log H3O +  = −log 10 −7 = −( −7) = 7 7 er således det neutrale sted på pH-skalaen. Ionkoncentrationerne for forskellige opløsninger svinger fra forsvindende små tal som fx ved ammoniakopløsninger, hvor –13 den er mindre end 10 til saltsyre, hvor den er den er mellem 0,1 og 1. Logaritmefunktionen komprimerer intervallet så det bliver overskueligt.

141

9788770668699_indhold.indb 141

08/05/2019 11.53

• pH-tal over 7 svarer til basiske opløsninger.

• pH-tal under 7 svarer til syreagtige opløsninger.

• pH for almindelig kaffe er 5,0, for øl er det 4,5 og for cola 2,5.

Via bogens website er der adgang til projekter med en eksperimentel og teoretisk undersøgelse af pH-skalaen, samt om Titreringskurver, gerne i et samarbejde mellem matematik og kemi i studieretningen.

5.5 Decibel-skalaen – et mål for lydstyrke Relation between sound pressure in micropascals and sound pressure level in decibels re 20 µPa. Sound pressur level in Decibels 130 Ships engine room

120

Percussive piling at 10 m

110

Loud music in discotheque/Textile mills

100

Breaker at 10 m

Diesel freight train at high speed at 25 m Average road traffic at 25 m from busy primary distriburor road

Conservation in quiet living room

Activities in business office

Soft whisper at 2 m in library

Country park

Unoccupied broadcast studio

20 10

Threshold of hearing for normal young people

Sound pressure in Micropascals 100.000.000

10.000.000

1.000.000

100.000

10.000

1.000

100 20

Lyd forplanter sig gennem luften fra en lydkilde til vores ører via svingninger. En højtalers membran sætter luften i svingninger, og når disse rammer vores trommehinder, sættes disse i tilsvarende svingninger, så vi kan opfatte musikken, som den blev spillet. Står man tæt ved højtalerne under en rockkoncert, kan man rent fysisk mærke disse svingninger i luftens molekyler som et pulserende lydtryk på kroppen. Lydtrykket kan måles, og det interval vores ører kan opfatte er enormt – fra de svageste lyde til 10 et lydtryk, der er mere end 10 gange så stort. Lydtrykket måles normalt i en enhed, der kaldes decibel, hvor det faktiske lydtryk, vi kan opfatte, er logaritmisk transformeret til en skala fra 0 til ca. 150 (men i virkeligheden uden en øvre grænse). De laveste værdier, unge mennesker kan opfatte, har et lydtryk på 20 mikropascal. Det er lyden af et blad, der glider hen over nogle fliser. På decibelskalaen sættes dette til 0.

20 dB svarer til en hvisken, 80 dB svarer til en trafikeret gade, 110 til en rockkoncert. Når man fordobler lydtrykket (eller energien i lyden) øges indekset med ca. 3. Et lydniveau på 100 dB indeholder således dobbelt så meget energi som et lydniveau på 97 dB. Decibel er altså en logaritmisk skala, der måler det objektive fysiske fænomen lydtryk. Den subjektive oplevelse af lydstyrke er hjernens transformation af den objektive påvirkning. De fleste mennesker vil sige, at hvis man øger dB(A) med 10, så fordobler man den subjektive oplevelse af lydstyrken.

142

9788770668699_indhold.indb 142

08/05/2019 11.53

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

Øvelse 4.23 Energien i lydbølger (og dermed lydtrykket) falder med kvadratet af afstanden til lydkilden. Hvis man fx bevæger sig 200 meter væk fra en vindmølle, vil energien generelt være 1/4 af energien 100 meter væk. a) Vis, at en fordobling af afstanden betyder et fald i dB(A) på 6. En given vindmølle med rotordiameter på 43 meter har tæt ved møllen et støjniveau på 100 dB. I en af-stand svarende til rotordiameteren er lydniveauet målt til 56 dB, hvilket svarer til lyden fra en tørretumb-ler. b) Hvad er lydniveauet (målt i dB) i en afstand på ca. 170? Hvad er den i en afstand på ca 260 m? Find i figurens oversigt, hvad dette svarer til. c) Der opstilles ikke 1, men 10 vindmøller af samme størrelse og i samme afstand. Vis, at dette betyder, at den subjektive oplevelse vil være, at lydstyrken er ca. fordoblet.

Via bogens website kan man finde yderligere materiale om støj, lyd og decibel.

6. Projekter På bogens website ligger en række projekter, der knytter sig til kapitel 4. På bogens website ligger yderligere særlige studieretningskapitler med oplæg til samarbejde mellem studieretningsfagene, samt kapitel 10: Matematik og kultur med materialer og projekter, der kan anvendes i et samarbejde med humanistiske fag eller i selvstændige forløb.

143

9788770668699_indhold.indb 143

08/05/2019 11.53