Uma consequência do Teorema de Jensen Seja f uma função real a valores reais, definida no intervalo I , I = ]a,b[ . Se f ´´(x) 0 [ função côncava ] em I , e x1, x2, x3,..., xn são reais pertencentes a I, então f x1 f x 2 f x3 ... f x n x x1 x1 ... x n f 1 n n PROBLEMA ˆ ˆ A , Bˆ e C são ângulos internos de um triângulo ABC, determine o máximo da soma sen Aˆ + sen Bˆ + sen Cˆ . RESOLUÇÃO Seja f uma função definida no intervalo I = ] 0, [ , dada por f (x) = senx . e senx 0 , para quaisquer x I = ] 0, [ .
Claramente,
f´´(x) = - senx
Deste modo,
f´´(x) 0 para x I = ] 0, [ e, portanto, f é côncava em I.
ˆ , Bˆ e Cˆ , tem – se Denotando por , , medidas, em radianos, dos ângulos internos A
= e, em consequência,
, , I = ] 0, [ .
Nestas condições, da consequência do TEOREMA DE JENSEN,
sen sen sen sen = sen . 3 3 3 Dai,
3 3 . Note que para ; a igualdade ocorre.. sen sen sen 3. sen = 3 3 2
Portanto, o máximo da soma “sen Aˆ + sen Bˆ + sen Cˆ " existe, e é igual a
RESPOSTA
3 3 2
AUTOR: LUIZ ANTONIO PONCE ALONSO ( 04/06/2016).
3 3 . 2