Angulos no pentagono regular [ carlos victor]solução ponce

PROBLEMA PROPOSTO POR CARLOS VICTOR A figura mostra um pentágono regular ABCDE , de lado medindo a e um ponto F em seu interior.

Sabendo que AEF = 420 e FC = a , calcule a medida  , em graus, do ângulo FCB. RESOLUÇÃO [ POR GEOMETRIA SINTÉTICA] Dos ângulos internos do pentágono regular ABCDE, e dos ângulos agudos de suas diagonais com os lados, obtém-se DCB = 108 0 e DCE = 36 0 , respectivamente.

Nestas condições, claramente, existe um, e somente um ponto P, interior do pentágono, tais que AEP = 42 0 e DCP = 60 0.

no

Marcando este ponto no interior do pentágono, construímos o quadrilátero convexo DCPE .

Como a medida, em graus, do ângulo interno do pentágono regular é 1080,  EDC = 1080 e  PED = 1080 – AEP = 660 .

Já, do quadrilátero DCPE, PED +  EDC +  DCP +  CPE = 3600, o que implica, 660 + 1080 + 60 0 + CPE = 3600, ou seja,  CPE = 1260.

Agora, construímos uma circunferência Ω, de centro D e raio a (figura).

A medida do maior arco EQC de Ω é 3600 - 1080 ,ou seja, 2520 .

Mas, esta medida é 2 . CPE, então P  Ω e, portanto, DP = a.

Entretanto, por construção, DCP = 600. Mas, como DP = DC= a, conclui-se que o ∆ CPD é equilátero e, portanto, que PC = a.

Portanto, como o ponto P construído acima, é único, AEP = AEF = 420 e PC = FC = a, Claramente P = F e, em consequência,  =  FCB =  PCB = DCB – DCP = 1080 – 600 = 480.

RESPOSTA: 480

RESOLUÇÃO [ POR CONCEITOS TRIGONOMÉTRICOS] Dos ângulos internos do pentágono regular ABCDE, e dos ângulos agudos de suas diagonais com os lados, obtém-se: AED = EDC = DCB = 108 0 e DCE = DEC = 36 0 respectivamente.

Nestas condições,  FEC =  AED –  AEF –  DEC = 108 0 – 420 – 360 = 30 0.

Conectando E e C por um segmento de reta, determinamos os triângulos: ∆EDC é isósceles de base EC , com ED = DC = a e ∆EFC, com EC = d, FC = a,  FEC = 30 0,  EFC =  e  FCE = , (medidas em graus).

Do ∆EDC, d = 2. DC. cos36 0 = 2acos360. Como 360 + 540 =900 , cos360 = sen540 e,portanto,

Enquanto, do ∆EFC,

d  2sen54 0 a d sen  a sen30 0

    300  1800

e

[ I ]. [ II ], (teorema dos senos ) [III]

Por outro lado, de [ I ] e [ II ], resulta sen = sen 54 0 . Dai,  = 1800 – 540 = 1260 ou  = 540 .

Entretanto,  = 540 , não convém ao problema, pois com este valor, resulta de [III],  = 960 , o que implicaria que a medida do ângulo interno de vértice C do pentágono, fosse     360  1320    1080 ; o que é um absurdo!!

Assim, devemos ter necessariamente  = 1260 .

Portanto, de [III], 126o    300  1800 , ou seja,  = 240 e, em consequência, do ângulo interno de vértice C do pentágono, 240    360  1080 , ou seja ,  = 480.

RESPOSTA: 480

AUTOR :LUIZ ANTONIO PONCE ALONSO [ 26/05/ 2016]

NOTA: O problema proposto pelo Carlos Victor é similar ao problema abaixo de uma olimpíada REGIONAL AMERICANA, acredito que seja da década de 90. Eu inseri ele no material de olimpíada TOM , escrito por mim, para o anglo SP, em 2008-2009. (OLIMPIADA AMERICANA-ADAPTADO) Na figura ao lado, ABCDE é um pentágono regular.

P é um ponto interno a este pentágono de modo que PAE = 480 e PCD = 420, nestas condições, a medida do ângulo CPE, em graus, e´ A) 132 RESPOSTA E

B) 148

C) 150

D) 160

E) 168