PROBLEMA PROPOSTO POR CARLOS VICTOR A figura mostra um pentágono regular ABCDE , de lado medindo a e um ponto F em seu interior.
Sabendo que AEF = 420 e FC = a , calcule a medida , em graus, do ângulo FCB. RESOLUÇÃO [ POR GEOMETRIA SINTÉTICA] Dos ângulos internos do pentágono regular ABCDE, e dos ângulos agudos de suas diagonais com os lados, obtém-se DCB = 108 0 e DCE = 36 0 , respectivamente. Nestas condições, claramente, existe um, e somente um ponto P, interior do pentágono, tais que AEP = 42 0 e DCP = 60 0.
no
Marcando este ponto no interior do pentágono, construímos o quadrilátero convexo DCPE . Como a medida, em graus, do ângulo interno do pentágono regular é 1080, EDC = 1080 e PED = 1080 – AEP = 660 . Já, do quadrilátero DCPE, PED + EDC + DCP + CPE = 3600, o que implica, 660 + 1080 + 60 0 + CPE = 3600, ou seja, CPE = 1260. Agora, construímos uma circunferência Ω, de centro D e raio a (figura). A medida do maior arco EQC de Ω é 3600 - 1080 ,ou seja, 2520 . Mas, esta medida é 2 . CPE, então P Ω e, portanto, DP = a. Entretanto, por construção, DCP = 600. Mas, como DP = DC= a, conclui-se que o ∆ CPD é equilátero e, portanto, que PC = a. Portanto, como o ponto P construído acima, é único, AEP = AEF = 420 e PC = FC = a, Claramente P = F e, em consequência, = FCB = PCB = DCB – DCP = 1080 – 600 = 480. RESPOSTA: 480
RESOLUÇÃO [ POR CONCEITOS TRIGONOMÉTRICOS] Dos ângulos internos do pentágono regular ABCDE, e dos ângulos agudos de suas diagonais com os lados, obtém-se: AED = EDC = DCB = 108 0 e DCE = DEC = 36 0 respectivamente. Nestas condições, FEC = AED – AEF – DEC = 108 0 – 420 – 360 = 30 0. Conectando E e C por um segmento de reta, determinamos os triângulos: ∆EDC é isósceles de base EC , com ED = DC = a e ∆EFC, com EC = d, FC = a, FEC = 30 0, EFC = e FCE = , (medidas em graus). Do ∆EDC, d = 2. DC. cos36 0 = 2acos360. Como 360 + 540 =900 , cos360 = sen540 e,portanto,
Enquanto, do ∆EFC,
d 2sen54 0 a d sen a sen30 0
300 1800
e
[ I ]. [ II ], (teorema dos senos ) [III]
Por outro lado, de [ I ] e [ II ], resulta sen = sen 54 0 . Dai, = 1800 – 540 = 1260 ou = 540 . Entretanto, = 540 , não convém ao problema, pois com este valor, resulta de [III], = 960 , o que implicaria que a medida do ângulo interno de vértice C do pentágono, fosse 360 1320 1080 ; o que é um absurdo!! Assim, devemos ter necessariamente = 1260 . Portanto, de [III], 126o 300 1800 , ou seja, = 240 e, em consequência, do ângulo interno de vértice C do pentágono, 240 360 1080 , ou seja , = 480. RESPOSTA: 480
AUTOR :LUIZ ANTONIO PONCE ALONSO [ 26/05/ 2016]
NOTA: O problema proposto pelo Carlos Victor é similar ao problema abaixo de uma olimpíada REGIONAL AMERICANA, acredito que seja da década de 90. Eu inseri ele no material de olimpíada TOM , escrito por mim, para o anglo SP, em 2008-2009. (OLIMPIADA AMERICANA-ADAPTADO) Na figura ao lado, ABCDE é um pentágono regular. P é um ponto interno a este pentágono de modo que PAE = 480 e PCD = 420, nestas condições, a medida do ângulo CPE, em graus, e´ A) 132 RESPOSTA E
B) 148
C) 150
D) 160
E) 168