Issuu on Google+

M A T E M À T I Q U E S

Unitat 4: Fraccions, decimals i percentatges EL TANGRAM: El trencaclosques de set peces. Diuen les males llengües que "El Tangram" es un joc mil·lenari d'origen xinés. El creador d'aquesta llegenda es el creador de jocs d'entreteniment nordamericà Sam Lloyd. Sembla que tota aquesta fàula va ser publicada pel Lloyd l'any 1903 en un llibre anomenat "El vuitè llibre del TAN". Martin Gardner en el seu excel·lent llibre "Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas", recopilatori d'articles publicats a "Investigación y ciencia", fa una breu però interessant passejada per l'historia d'aquest trencaclosques geomètric. Anem a utilitzar el joc del TANGRAM per treballar les fraccions, els nombres decimals i els percentatges.

Comencem per familiaritzar-nos amb el joc. En la figura annexa hi ha les set peces del tangram. Pots utilitzar-les per construir-te un tangram. Quan ho hagis fet podràs realitzar les següents activitats.

1.- La següent figura mostra 4 figures que és poden construir amb les 7 peces. En algunes ja n'hi tenim col·locada una, de peça. Completa les figures amb

les peces que falten. Ha estat fàcil aconseguir-ho? Quin figura t'ha donat més dificultats?

2.- Observa els següents tangrames. Tots es poden construir excepte un. Podries dir quin? Explica el procediment que has seguit per trobar-l


Unitat 4: Fraccions, decimals i percentatges

Ara que ens hem familiaritzat amb el joc, anem a familiaritzar-nos amb les set peces que formen el trencaclosques. Per fer la següent activitat pots utilitzar un joc del TANGRAM . Mesura les longituds dels costats de totes les figures i anota-la en la següent taula: a

b

c

Triangle gran Triangle mitjà Triangle petit Quandrat Romboide Observes alguna relació entre els resultats de la mesura? Descriu-la.

ESTUDIEM LES RELACIONS ENTRE LES PECES: Fraccions de la unitat Amb quants triangles grans pots recobrir completament el quadrat del TANGRAM? Quina fracció del TANGRAM representa aquest triangle? I quin percentatge? Completa la següent taula per totes les peces. Nº peces que recobreixen el TANGRAM Triangle gran(2) Triangle mitjà Triangle petit (2) Quadrat Romboide Com segurament has trobat, fan falta 4 triangles grans per recobrir completament el quadrat del TANGRAM. Això vol dir que cadascun dels triangles representa ¼ de la figura inicial. Això es equivalent a parlar del 25%. Un triangle representa el 25% de la figura, o dit d’altra manera, un triangle representa 0,25 de la figura total.


M A T E M À T I Q U E S

Unitat 4: Fraccions, decimals i percentatges Completa ara la següent taula per la resta de peces del TANGRAM Fracció Decimal

Percentatge

Triangle gran(2) Triangle mitjà Triangle petit (2) Quadrat Romboide Explica el procediment que has seguit a l'hora de fer els teus càlcusl.

Contesta ara la següent pregunta: Si el quadrat tingués l'àrea de 128 cm2 , quant amidaria cada peça? Explica el procediment que seguiràs per fer el càlcul.

COMPAREM Ara ja sabem quina fracció del total representen cadascuna de les peces. Fes el mateix amb les següents figures que hem obtingut combinant algunes de les set peces inicials. Quina fracció del total representen les figures representades?

fracció

fracció

fracció

decimal

decimal

decimal

percentatge

percentatge

percentatge


Unitat 4: Fraccions, decimals i percentatges fracció

fracció

fracció

decimal

decimal

decimal

percentatge

percentatge

percentatge

CÀLCUL D'ÀREES Ordena les 5 peces diferents de menor a major àrea. Utilitza el nom de cada figura

2.- Utilitza les dades trobades anteriorment per calcular l’àrea de cada peça. Després calcula l’àrea total del TANGRAM. Recorda: Triangle: Àrea = ( base · altura)/2 Quadrat: Àrea = costat·costat Romboide: Àrea = base·altura ÀREA 1 peça Triangle gran(2) Triangle mitjà Triangle petit (2) Quadrat Romboide ÀREA TOTAL

ÀREA totes les peces iguals


M A T E M À T I Q U E S

Unitat 4: Fraccions, decimals i percentatges Fins ara amb els nombres naturals hem fet gran quantitat de coses: hem comptat, hem ordenat, els hem transformat amb l'ajut de les operacions matemàtiques. En l'activitat anterior hem vist a més, que hi ha altres números, els que s'expressen en forma de fracció, de decimal o de percentatge. Aquests són els números amb els que anirem a treballar a partir d'ara. FRACCIONS IRREDUCTIBLES I EQUIVALENTS Una fracció es irreductible si el numerador i denominador no tenen cap divisor comú. Per exemple 1 3 7 , , 2 5 5 Com podem obtenir la fracció irreductible d'una altra fracció? Hi ha diverses possibilitats: 1. Busquem el mcd de numerador i denominador i dividim tots dos per aquest nombres. Exemple: 18 18 3 mcd(18,12) = 6,  fracció irreductibe ( )= 12 12 2 2. Pots utilitzar la calculadora. Si introdueixes la fracció a la calculadora utilitzant la tecla ab/c i després prems la tecla igual, la calculadora et dirà la fracció irreductible de la que has introduit. 1.- Calcula les fraccions irreductibles de les següents fraccions. 60 72 48 36 30 72, 48, 36, 30, 18

2.- Calcula les fraccions irreductibles de les següents fraccions 6 18 30 12 42 7, 21, 35, 14, 49 Què observes?


Unitat 4: Fraccions, decimals i percentatges Les anteriors fraccions són EQUIVALENTS, atès que totes es poden convertir en la mateixa fracció irreductible. Una altra manera de definir fraccions equivalents és la següent: a c i Dues fraccions si es compleix a·d = b·c. Exemple b d 5 15 i són equivalents atès que 5·21=7·15=105 7 21 3.- De les següents parelles de fraccions digues quines són equivalents . Raona la teva resposta 2 4 i 3 6 5 7 i 6 4

10 20 i 12 24 32 65 i 46 83

52 104 i 32 64

4.- En cada conjunt, assenyala les fraccions que són equivalents a la primera. 3 2

6 4

12 9

7 12

24 14

21 36

280 480

5 6

25 26

25 30

5000 6000

2 3

6 4

18 27

300 200

10 15

18 12

21 14

36 24

35 36

49 84

6 5

40 48 400 600

15 10 14 24 75 90 24 36

5.- Troba el nombre representat per la lleta X de manera que les dues fraccions següents siguin equivalents 12 X = 13 36


M A T E M À T I Q U E S

Unitat 4: Fraccions, decimals i percentatges Segurament coneixes el joc del dominó. És un joc format per les següents 28 peces:

Cada peça està formada per 2 quadrats enganxats, d'aqui el nom de dominó. Cada quadrat pot tenir cap, 1, 2, 3, 4, 5 o 6 punts dibuixats a sobre seu. Hi ha moltes maneres de jugar. Però el que anem a fer és a utilitzar aquest joc de peces per treballar les fraccions equivalents.

Ponts de dominó Fixa't en la següent estructura, l'anomenarem el pont de dominó.

Pots veure que porta associada un fracció. Quin criteri s'ha utilitzat per construirlo?

Escriu les fraccions associades als següents ponts.Argumenta la teva resposta. Què en pots dir de les fraccions resultants?


Unitat 4: Fraccions, decimals i percentatges Estableix les regles per construir un altre serie de ponts com l'anterior i quan l'hagis escrit dibuixa 2 o tres ponts d'exemple.

Dibuix els ponts


M A T E M À T I Q U E S

Unitat 4: Fraccions, decimals i percentatges Avui el professor ens ha plantejar com a feina per casa de trobar una fracció que estigui situada entre 2/3 i ½ . En Pere ho ha plantejat de la següent manera: a) primer busco fraccions equivalents a 2/3 = 4/6, 6/9, 8/12 .... b) Faig el mateix amb l'altra fracció ½ = 2/4, 3/6, 4/8, 5/10, 6/12, c) Després em fixo amb aquelles que tenen el mateix denominador, 4/6 i 3/6 són les primeres que trobo, però no puc trobar-ne una que estigui entre les dues. Vaig a les següents 8/12 i 6/12. Ja està entre les dues i puc posar el 7/12. En Manel ho fa d'una altra manera. Jo sumo el 2 i l'1 del numerador, i el 3 i el 2 del denominador. Obtinc la fracció 3/5 que està entre 2/3 i ½. Quin dels dos mètodes és correcte? Explica el procediment que has sguit per comprovar-ho.

SUM I RES DE FRACCIONS Amb el mateix denominador Per sumar fraccions amb el mateix denominador es sumen els numeradors i no es toquen els denominadors. Per exemple: 3 2 1 6 3   = = 4 4 4 4 2 Per restar fraccions amb el mateix denominador es resten els numeradors i no es toquen els denominadors. Per exemple: 3 1 2 1 − = = 4 4 4 2 Les següents fitxes del dominó es poden considerar com fraccions, i les dues primeres sumades obtenent el valor 1(Si el numerador i el denominador són iguals la fracció val la unitat). +

=

1.- Quantes parelles hi ha en el joc del dominó que sumin la unitat?


Unitat 4: Fraccions, decimals i percentatges 2.- Pots fer que les següents quatre fitxes sumint 2? pots buscar unes altres 4 fitxes diferents que sumint 2?

3.- Pots fer que les 4 fitxes de l'exercici anterior sumint un altre número? Quants números podríes arribar a obtenir?

4.- Calcula les següents operacions amb fraccions a)

12 7 1   =¿ 5 5 5

b)

6 3 8  − =¿ 7 7 7

c)

5 2 1 −  =¿ 3 3 3

a)

5 2 1 5 −   =¿ 3 3 3 3

5.- Calcula les següents operacions amb fraccions a)

3 4 1 5  − − =¿ 7 7 7 7

b)

9 6 2 3 2 − − −  =¿ 5 5 5 5 5

Amb diferent denominador S'ha de fer igual que amb els casos anteriors però amb el pas previ d'haver de convertir les fraccions en altres fraccions que tinguin totes el mateix denominador. Per exemple: 1 1 1   2 3 4 Primera possibilitat: buscar el mcm dels tres denominadors. mcm(2,3,4) = 12 1 1 1 6 4 3 13   =   = 2 3 4 12 12 12 12 Pots explicar d'on ha sortit el 6, el 4 i el 3?


M A T E M À T I Q U E S

Unitat 4: Fraccions, decimals i percentatges 2.- Calcula les següents sumes i restes de fraccions a)

1 1 1   =¿ 3 4 5

b)

1 1 1  − =¿ 3 4 5

c)

1 1 1 −  =¿ 3 4 5

d)

1 1 1 − − =¿ 3 4 5

Inventa un problema per cadascuna de les operacions que acabes de resoldre.

3.- Avui el profe s'ha despistat. Ha escrit a la pissarra les següents operacions, 1 3 4  = 2 6 8

1 1 2  = 3 3 6

perquè diem que s'ha despistat?

1 1 2  = 5 2 7


Unitat 4: Fraccions, decimals i percentatges 4.- Treballant sola, l'Anna pot pintar la seva habitació en 4 hores. La seva germana gran Clàudia, podria pintar l'habitació en 3 hores. El dissabte les dues estan lliures i es proposen pintar l'habitació. Quant temps trigaran a pintar-la?

5.- A l'ascensor de l'institut hi poden pujar o bé 15 nens i nenes o bé 10 adults. Si a l'ascensor hi ha 10 nens, quants adults hi poden pujar? I si hi ha 5 adults, quans nens hi poden pujar?

6.- Entre les fraccions 1/3 i ½ n'hi ha moltes, escriu-ne 5.

7.- Fixa't en la següent sèrie de fraccions Quantes fraccions ¼ caben n ½? Quantes fraccions 1/8 caben en ¼? Quantes fraccions 1/16 caben en 1/8?

111 1 ... 2 4 8 16


M A T E M À T I Q U E S

Unitat 4: Fraccions, decimals i percentatges MUL I DIV DE FRACCIONS Per multiplicar dues o més fraccions cal multiplicar els seus numeradors entre si i els seus denominadors entre si. Exemple: 2 3 4 2 x 3 x 4 24 4 x x = = = 3 4 5 3 x 4 x 5 60 15 1.- Calcula a.-

2 3 4 x x =¿ 5 7 9

b.-

5 3 1 x x =¿ 4 2 4

b.-

5 de 90=¿ 6

2.- Calcula a.-

2 5 de =¿ 3 2

Per dividir dues fraccions cal multiplicar la primera fracció per la inversa de la segona. Exemple: 2 3 2 4 2x4 8 : = x = = 3 4 3 3 3x3 9 3.- Calcula a.-

2 3 : =¿ 5 7

b.-

7 5 : =¿ 9 11

4.- Calcula el valor de les lletres que fan que les igualtats inferiors siguin certes a.-

2 a 5 de = 3 b 6

b.-

3 de A=60 5

5.- En Joan beu 2/5 d'una botella d'aigua, la marta els 3/8 i el Pere 1/10. Contesta les següents preguntes: a) Quina part de la botella han begut entre els tres?

b) Quina part d'aigua queda a la botella?

c) Quin dels tres n'ha begut més?


Unitat 4: Fraccions, decimals i percentatges d) Quina part de la botella no ha egut el Pere?

e) Després de beure en Joan i la Marta, quina part de l'aigua queda?

f) Si després de beure tots tres es reparteixen l'aigua que queda, quina part toca a cadascú?

tres ?

g) Després d'aquest últim repartiment, quina part d'aigua han begut cadascun dels


M A T E M À T I Q U E S

Unitat 4: Fraccions, decimals i percentatges FRACCIONS A L'ÀNTIC EGIPTE Les operacions amb fraccions és un element particular de les matemàtiques egípcies. Segurament el fet que no utilitzessin moneda i que tot el seu comerç es fonamentés en l'intercanvi, feia necessari una gran exactitud en el càlcul. Segurament també, el fet que la duplicació i la divisió entre 2 fos l'element fonamental del seu mètode per multiplicar i dividir va fer que utilitzessin en les seves operacions nombres fraccionaris. Un altre element a tenir en compte es que només utilitzaven fraccions amb numerador unitat. Les altres fraccions les descomposaven en sumes de fraccions amb un 1 en el numerador. Per exemple: 2/5 = 1/3 + 1/15 En la representació de les fraccions s'utilitzava el símbol que volia dir part. Quan es volia representar 1/5 es feia de la següent manera: Les úniques excepcions eren ½, 2/3, ¼ i ¾ que es representaven de la següent manera: i Era molt habitual l'ús de les fraccions de l'anomenat “ull d'horus” que representaven cadascuna de les parts en les que va ser dividit l'ull d'aquest deu en la seva batalla amb en Seth. Més informació: http://capolatell.iespana.es/mitologies/egipte/09venjansahorus.html

A l'antic Egipte, la unitat de capacitat era el heqat (HqAt), representat amb l'Ull d'Horus. S'utilitzava fonamentalment per mesurar el blat, la civada i la cervesa, i equivalia a uns 4,8 litres. Cadascuna de les parts de l'Ull d'Horus era una fracció de heqat i es coneixen amb el nom de fraccions "Ull d'Horus". La divisió era, considerant l'ull esquerra, la següent: Les celles equivalien a 1/8, la nineta 1/4, la part esquerra de la nineta 1/2, la part dreta de la nineta 1/16, la part inferior diagonal sota l'ull 1/32 i la part inferior vertical de l'ull representava 1/64.


Unitat 4: Fraccions, decimals i percentatges Completa la següent taula d'equivalències entre la mesura egípcia i les del sistema internacional Unitat de capacitat egípcia

Equivalència en el S.I. (litres)

Heqat

4,8 litres

Cella Nineta Dreta de la nineta Esquerra de la nineta Inferior diagonal Inferior vertical

El hekat tenia múltiples i divisor. Els múltiples eren el jar ( 20 vegades), el oipe ( 4 vegades). Divisors n'eren el hin (1/10), el dja (1/64) i el ro (1/320). Completeu la següent taula Unitat de capacitat egípcia

Equivalència en el S.I. (litres)

Heqat

4,8 litres

jar oipe hin dja ro


TANGRAM: Un trencaclosques geomètric