88
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(a) Calculer l’erreur
1
E(f ) = −1
f (x) − (f (ω) + f (âˆ’Ď‰))
pour f (x) = 1, x, x2 respectivement. D´eterminer l’ordre de la m´ethode (M) en fonction de ω. (b) On se place ici dans le cas o` u la m´ethode (M) est d’ordre 1. (Îą) Calculer le noyau de Peano K1 (t), et tracer le graphe de K1 pour ω = 5/8. Pour quelles valeurs de ω le noyau K1 est-il de signe constant ? (β) Montrer que l’erreur v´eriďŹ e une majoration |E(f )| ≤ C(ω) f ∞ o` u C(ω) est une constante dont on d´eterminera la valeur optimale : • lorsque K1 est de signe constant ; • lorsque ω = 5/8. (c) Calculer le noyau de Peano dans le cas o` u la m´ethode (M) est d’ordre 3 et v´eriďŹ er que ce noyau est une fonction paire. En d´eduire qu’il existe Ξ ∈ ] − 1, 1[ tel que 1 f (4) (Ξ). E(f ) = 135 (d) En utilisant le r´esultat du (c), estimer l’erreur obtenue par la m´ethode compos´ee associ´ee `a la m´ethode (M) pour le calcul d’une int´egrale
b
g(x)dx a
avec une subdivision de [a, b] de pas constant h = (b − a)/k, k ∈ N . 6.4. Soit p un entier naturel et soit f (x) = xp . On note Sn,p =
n
mp .
m=1
On utilise la formule du d´eveloppement asymptotique de Sn (f ) avec ι = 0. (a) Montrer que pour k assez grand, le reste Rn,k est nul. En d´eduire une expression de Sn,p ; on calculera la valeur de la constante C en observant que S0,p = 0. (b) Donner une expression factoris´ee de Sn,p pour p = 2, 3, 4, 5. 6.5. Soit β un r´eel > 1. On consid`ere la fonction f (x) =
1 xβ
et on note
Μ(β) =
+∞ 1 . β n n=1