Analyse Numérique et Optimisation.[Grégoire.Allaire]

L'ouvrage complet est disponible auprès des Éditions de l'École Polytechnique Cliquez ici pour accĂŠder au site des Éditions

T Y POL

N H EC

E U IQ

L E O ÉC

! " # $ # % & ' ( ) * + , + , , . " + " / 0 0 " ' ) .

ÉC

E L O

T Y POL

N H EC

1 ( ) , 1 . ' 0 # 2 ' . " . $ 3 , .

LE O ÉC

Y L O P

E U IQ

H C E T

N

" " $ &

" & $ " " "

E U IQ

N H EC

E U IQ

T Y L

4 2 , 3 . 2 4 2 . 5 67 ' 0 3

. 2 0 . 8 0 , 1 . 8 0 1 ) 9 H 1 (Ω) 9 H01 (Ω) 5 8 4 " 9 H m (Ω) 1 5 " 9 H(div) 9 W m,p (Ω) 1 " . 0

O P LE O ÉC

O P E L ÉCO

C E T LY

IQ N H

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

$" $" $$ $& $$& & & &&

UE

" " " ' 1 " ' / " ' : . 0 " * . " + , " # , " %

N

- - -$ -$ & " $ -

" &

E U IQ

C E T LY

HN

E U IQ

$ 3 . $ $ 3 $ 7 4 % $ 7 ) ; < $ ) N = 1 $ ) P1 $ ' . , $ ) P2 $ * . $ " ) ,= $ ) N ≥ 2 $ ) $ ' . , $ ) $ ) % $ " >

- 7 . - - 7 , 0 - 7 , # 0 - 9 0 - 2 . - - 3 - 9 # 0

E U IQ

O P LE O ÉC

N H EC

T Y L

& 7 . & & + 0 & 5 & 4 & 1 , & > , 0 & * 0 . & > & 3 & 7 & 1 ) & ' . ,

O P E L ÉCO

E U IQ

!

LE O ÉC

Y L O P

" " " "" "" "$ "$ $ $$ $ & & & -$ "

H C E T

N

" $

" " $ & " "

.

-

- 2 . - - 3 * . 0 - ' # - * - * ? . ) - + ( - " , * . # 0 - " + . 0 - " ' #

, - " > ) 7 0 - $ 6 - $ 1 6 7 # 0 - & 6 - & 1 6

O P LE O ÉC - "

- $ - &

HN

E U IQ

C E T LY

T Y L

N H EC

" !

O P E L ÉCO

7 . 9 1 ) @ ) 9 , ) 9 6 3 # . + ,

! # 4 1 ( 0 ' , ,9 . 7 * 6 A B 5 % A * 6 5 B 5 % 1 3

LE O ÉC

Y L O P

" " " "& "& " $ $ $ $" $" $$ $& $ $ & & &" &$

E U IQ

H C E T

N

- - -- &

& & -

E U IQ

HN

E U IQ

' @ # 0 " 3 " " 3 # ; < " 3 # ; . < " 7 / C

O P LE O ÉC

C E T LY

.

$ %&'(% )* +,--./,0.1',* .2)+ 1%34.*) #.5/)016

* 1 ) 3 3 1 * # * . 7 * 0 D * # * , E * 0 F ) * 0 G A , H " 3 " 4 " 3 B % 0 , 0 . G $ $ . ;0 0 < $ + 0 0

ÉC

E L O

T Y POL

N H EC

LE O ÉC

" " " "& $ $ $$ $$ $ & &$ &$ && - -" -" -$ - -

7 8

Y L O P

E U IQ

7 + # + ' 0 7 7 . " 7 I ' . . 7

7 4 . 6=

" & & &

H C E T

N

E U IQ

"

.

N H EC

E U IQ

7 F $

LE O ÉC

ÉC

T Y POL

E L O

T Y POL

LE O ÉC

N H EC

Y L O P

E U IQ

H C E T

N

E U IQ

LE O ÉC

T Y POL

N H EC

E U IQ

.

!" #$ %% %

ÉC

E L O

T Y POL

LE O ÉC

N H EC

Y L O P

E U IQ

H C E T

N

E U IQ

.

N H EC

LE O ÉC

T Y POL

E U IQ

' I A , A 6 J , # , 3. H A

,? . , 0I 8 ,

9,&%-':.1',* 9.14%9.1';5) :'95-.1',* *59%0';5)

0 ;

, < , ; A . < ; 8 < # 6 0 0 ? , # A 0 G A

A # 7 A , 0 A K 1 , , . 8 6 9 ( A 0 , # A , 6 . 9 8 A . , * , . J ( . . A

, 8 ; 8 L M , 8 # <A , # . . 0 J , 6 ' , ? 0 0 A . 6 ) A ? 8 . . J , @ 6 1 . A 6 ? , ) J A 8 A # A A A 0 6 A A , ; . 0

( , , A , A ) A < N B : 8 0 L I 0 M . 8 ; ,

, . ? L M

ÉC

E L O

T Y POL

LE O ÉC

N H EC

Y L O P

E U IQ

H C E T

N

E U IQ

N H EC

E U IQ

( < 9 , ) 0 A * 6

J &' ' $ ( " ) . 0 G # 0 ; I ) ,

<A ; I ) ? <A , . , # ;

0 < 3 ; < . . , #

O #

* , 6

, 8 A A , # 8 ', ,/<)+1'=: &) +) +,50: 8 . 6 ;

. . <A 6 E G A , 0 0

8 0 , . *,52).5> 9,&?-): *,52).5> .-(,0'149): *59%0';5): 0 ' A H

? H ? 0 I 9 ( A 0

8

I ;5.-'1% @./'-'1%

' P

.

. 3 , L M ? A ' ? , &'A%0)*+): @*'): ' , . . 6

. .

. ' A A " ? -!.330,+4) 2.0'.1',**)--) 6 ; < 0 , A %-%9)*1: @*':A

' $ ) ? 0 0 ' & - 30,/-?9): '*:1.1',**.'0): ; , . <A . 6 - ? , # A &!,31'9':.1',* ' , 0 , , ? 0 ' . ; : < , 6 ' . 9 A ? 0 . 2 A '

? 0)+4)0+4) ,3%0.1',**)--) 3 .

LE O ÉC

ÉC

T Y POL

E L O

T Y POL

LE O ÉC

N H EC

Y L O P

E U IQ

H C E T

N

E U IQ

N H EC

E U IQ

A O , 0 ; , 6 ?6 , . 0 <

) Q '

,

J

A 0 . 6

L , M 8 . , . , , , . 8 * , 1 0 , . L 6 M . 8 . ? , . ' 0 0 , #

A . ? L0 M

L

M ) 1 0 A . A ? , 8 L # ) M , H

LE O ÉC

T Y POL

E U IQ

L M

N H EC

$ $ " " *$ " $

T Y POL

$" $ "+ " & , ) , A

) , , • 0 ? ) , . 8

. )6 0 C 0 R 0 ( ) A ) A 0 . , /+ 3 0

C 0

) 0 ? , 2 2 SS . 2 = @ * 0

C 0 * A ) 0 6 ) 6 ? , . 2 O N . ? ,9 * # 0

C 0 C 0 , . , .

ÉC

E L O

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

N H EC

E U IQ

!

. . 6 . 0 ) 7 3

A # 8 3 7 6

LE O ÉC

T Y POL

. 8 ,

.

# . 6 + , : 8 . 0 , I I? 0 9 A 0 6 ? E A * 6 A * 63 + . 8 8 ,

A 2 E A E 1 A 4 0 ;

? ' < ? @ . * F

, . 0 , A

. ) , 6 ? , .

. 0

. 0

8 A ? , "

ÉC

E L O

T Y POL

LE O ÉC

N H EC

E U IQ

4 3 * A N . "

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

LE O ÉC

ÉC

T Y POL

E L O

N H EC

T Y POL

LE O ÉC

E U IQ

N H EC

Y L O P

E U IQ

H C E T

N

E U IQ

ÉC

T Y POL

N H EC

E U IQ

E L O

U E IQ N CH

E L O

E T Y POL

ÉC

' ? A A 6 J 9,&%-':.1',* 9.14%9.1';5) :'95-.1',* *5 9%0';5) 0 #

0 ? , # 6 A # 1 A . ; 0 <A , 6?6 ( ? . 0 ; , A < * , 8 6 A ? . , # A .

. 9 A . A . I ) , # / . A ( A # . 8 ; 0 <

. , , . 0 + 8 8 6 A A

H A 8 A , E 0

. 6

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

N H EC

E U IQ

8 *,* -'*%.'0): ;. T UA T U<A . 0 1 H 8 O A , . 0 A , 6?6 , 9 ) A . 6 8 8A . D , , J

. ?

? -!%;5.1',* &) -. +4.-)50 . . , 6 A # A , F 8 ? 6 &'A%0)*+): @*'): 9 ) A " ) , 30,/-?9) /')* 3,:% , ) ; < .

LE O ├ЙC

T Y POL

N H EC

T Y POL

E U IQ

0 . 8 A A ) ? , 9 ( A 0 , 0 A 0

8 0 A 8 ) / A 0 . I , J 8 0 0 V ',

? . , # A . # , . ? .

&!%;5.1',* &) -. +4. -)50A , ( ' тДж , ? N ; RN A . N = 1, 2A < , A A @ x . 0 , A , 6?6 тДжA t . 0 1 тДж ; . 8 . 0 < 8 f (x, t)A 8 ╬╕(x, t) ? ╬╕ . c╬╕ R c # ;

# < ) * ╬╕A . -,' &) +,*:)02.1',* &) -!%*)0(') 1 . V тДжA .

├ЙC

E L O

LE O ├ЙC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

N H EC

E U IQ

0

? . 3 A d cθ dx = f dx − q ¡ n ds ; < dt V V ∂V

LE O ÉC

T Y POL

R ∂V 0 V ; , 8 ds<A n V A q . D 4 A 0 q ¡ n ds = divq dx. ∂V

V

+ ( ; < 8 . V A A

, . , ∂θ + divq = f c ; < ∂t

x ∈ â„Ś ? t + , . ) N ∂qi divq = . q = (q1 , ..., qN )t . ∂x i i=1

T Y POL

N H EC

E U IQ

8 D ? A 8 ? , -,' +,*:1'151'2) 1 A , 2

D

ÉC

E L O

; <

q = −k∇θ,

R k . ;

# < . + , ) t ∂θ ∂θ ∇θ = , ..., . ∂x1 ∂xN 9 0 . ; < . ; <A 0 θ c

∂θ − k∆θ = f, ∂t

R ∆ = div∇ , ∆θ =

N ∂2θ . ∂x2i i=1

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

8 I ?

. 0 â„ŚA A +,*&'1',* .5> -'9'1):A

? 8

LE O ÉC

n

LE O ÉC

T Y POL Ω

N H EC

E U IQ ∂Ω

W > . , 0 ∂Ω A

, * . A , t = 0 H A +,*&'1',* '*'1'.-) θ(t = 0, x) = θ0 (x),

C E T LY

HN

E U IQ

; <

R θ0 8 0 Ω 9

A # 0 ? A A

? ) , A . ) 1

O P E L ÉCO

θ(t, x) = 0 x ∈ ∂Ω t > 0.

; "<

0 , A D 0 . ) / ∂θ (t, x) ≡ n(x) · ∇θ(t, x) = 0 x ∈ ∂Ω t > 0, ∂n

; $<

R n Ω ;. 2 < 6 . J D 0 , , A . ) 2

H C E T

∂θ (t, x) + αθ(t, x) = 0 x ∈ ∂Ω, t > 0 ∂n

Y L O P

N

E U IQ ; &<

R α . *

, 8 ; , 6 <A 1 ; "< + 6 0 ) , A A 8

LE O ÉC

N H EC

A 0 , ⎧ ∂θ ⎪ ⎪ − k∆θ = f ⎨ c ∂t θ(t, x) = 0 ⎪ ⎪ ⎩ θ(t = 0, x) = θ (x) 0

LE O ÉC

T Y POL

"

E U IQ

(x, t) ∈ Ω × R+ ∗

; -<

(x, t) ∈ ∂Ω × R+ ∗ x ∈ Ω

0 ; -< , . , 3 A ; -< 30,/-?9) .5> -'9'1):A , 30,/-?9) &) .5+4B ?

)9.0;5) C C 1 A 8

# J θ , B . ;K <A ) c N % B . ;J/(kg × K)<A . ; < k N % B . ;Jm2 /(kg × K × s)< 1, . A . 0 A H A c k . ; . ? # < •

N H EC

E U IQ

)9.0;5) C C / . # A 1 6

T Y POL

A / A 2 ; , <

, 8 ∂Ω E G A R J 1 ∂ΩD A / ∂ΩN A 2 ∂ΩF A . ∂ΩD , ∂ΩN , ∂ΩF 8 8 ∂Ω •

ÉC

E L O

)9.0;5) C C , ; -< -'*%.'0) R

θ (f, θ0 ) 9 # .

8 , J 0 (f, θ0 )

? θ

H 0 ? 1, . # A , , # , 9 ( A 0 ? 8 . A 2 8 A 8 . k 8 θ ∇θ ;

0 6 < 9 A H ; A < , 0 H 2

D q . ∇θ 9 ( A # ;L M ? . < P J ? . ) Ω / . ;. + < 0 + , , 8 # . •

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

)9.0;5) C C 0 ; -< ,

LE O ÉC

8 . A .

$

N H EC

E U IQ

0 ; 8 6 . . 0 0 < * A ; -< &!%;5.1',* &) &'A5:',*A ( , ? . Ω ; ( , A 0 0 < 1 A θ A q D A k ( 6 . A c . , 1 H A . ; < 0 A . ; < 2 % •

LE O ÉC

T Y POL

)9.0;5) C C 0 ; -< . ) R 9,&?-) &) -.+D )1 +4,-): . ; -< .

, , ; < ,

. x , k T ' u ⎧ ∂u ∂2u ⎨ ∂u − ru + 1/2rx + 1/2σ 2 x2 2 = 0 (x, t) ∈ R × (0, T ) ; < ∂t ∂x ∂x ⎩ u(t = T, x) = max(x − k, 0) x ∈ R

N H EC

E U IQ

* A u(0, x) t = 0 , , , k ? , T > 0A , 8 x t = 0 @ σ . , r , H + ; < 0 . ) A . ?

; -< * A . ; < 0 0 •

ÉC

E L O

T Y POL

0 . , ; -< 6 N , . 0 ? ,

. A A D

, . V (x, t) ; 8 ? . . RN < 3 A 8 . D , D ( ; < , D . ; ? . V <A ?

? 0 A +,*2)+1',* &'A5:',* ⎧ ∂θ ⎪ ⎪ + cV · ∇θ − k∆θ = f Ω × R+ ⎨ c ∗ ∂t ; < + θ=0 ∂Ω × R∗ ⎪ ⎪ ⎩ θ(t = 0, x) = θ (x) Ω 0

H C E T

N

E U IQ

( ; -< ; < , , . @ 0 . . ( 0 A *,9/0) &) %+-)1A )

ÉC

OLE

Y L O P Pe =

cV L , k

; <

N H EC

&

E U IQ

R L 0 ; 6 Ω< 0 * A ( ( 8 ( . 8 A ; -< : 0 * , A ; , , , <A ; < ; -< * A 0 * A ) ; < ( @ 0 , &!.&2)+1',* ⎧ ∂θ ⎪ ⎪ + cV · ∇θ = f Ω × R+ ⎨ c ∗ ∂t ; < θ(t, x) = 0 (x, t) ∈ ∂Ω × R+ ⎪ ∗ V (x) · n(x) < 0 ⎪ ⎩ θ(t = 0, x) = θ (x) Ω

LE O ÉC

T Y POL 0

+ ( ; < ? ; < J , ? θ ,H 0 ∂Ω 0 R . V / . . 6 ( A ; -<A ; <A ; <A

. ? . ( 0 * E G A #

F ( , ? , 6 J 8 . L M 3) ( 8

A . R Ω = R , ;

. <A R f A R . V @ * A ; < . ⎧ ∂θ ∂2θ ⎨ ∂θ +V − ν 2 = 0 (x, t) ∈ R × R+ ∗ ; < ∂t ∂x ∂x ⎩ θ(t = 0, x) = θ0 (x) x ∈ R

ÉC

E L O

T Y POL

N H EC

E U IQ

. ν = k/cA

+∞ 1 (x − V t − y)2 θ(t, x) = √ θ0 (y) exp − dy. 4νt 4πνt −∞

; <

E U IQ

; -< 8 0 8 V = 0 , ; <

>)0+'+) C C θ0

H C E T

R

N

3. H # ) A , , . . ⎧ ∂θ ⎨ ∂θ +V =0 (x, t) ∈ R × R+ ∗ ; "< ∂t ∂x ⎩ θ(t = 0, x) = θ (x) x ∈ R

ÉC

OLE

Y L O P 0

@ . )

N H EC

θ(t, x) = θ0 (x − V t)

T Y POL

, ; "<

E U IQ

; $<

>)0+'+) C C θ0

LE O ÉC

R ! " ν #

)9.0;5) C C , . , ; -< . 0 ; , <A , # 2 ;. T$U< ' L M ; < ) ,

) + , , • 2 . , #

E U IQ

)9.0;5) C C X 8 ( ; -< ; < 9 ( A A f = 0A t

. A , , . ; < ; A < 3 A , ; -< H L M . ', 8 8 J ; $< . t V A ; < ; . V = 0 P

LD M @ , , . 0%2)0:'/-) A , '00%2)0:'/-) ' 0 . 8 ? ,

# J . 0 A , ; ( , < •

ÉC

E L O

T Y POL

N H EC

)9.0;5) C C ( 8 ; -< ; < &!'*2.0'.*+) 3.0 +4.*()9)*1 &!%+4)--) A f = 0 8 . θ(x, t) , ; -<A A λ > 0A θ( xλ , λt2 ) H ; ( < 1 H A . V A θ(x, t) , , . ; <A θ( λx , λt ) @ . 0 ? , . 0 , H + A A , . •

H C E T

N

E U IQ

)9.0;5) C C ; . # <

, ; -< (x, t) . R ;. A 8 ; << 9 A ; <A . ? A t > 0 ; 6 < . R J

LE O ÉC

Y L O P

N H EC

E U IQ

A , ( 8 L M ? , ) @ 30,3.() .2)+ 5*) 2'1)::) '*@*') ;

0 G < 3 A , , . ; "< . ? • . V ;. 8 ; $<< J # 30,3.(.1',* E 2'1)::) @*')

T Y POL

)9.0;5) C C 4 Q 8 ; < ; $<A . )

LE O ÉC

, . 6 ( ; < , , . 6 ; "< . ) min θ0 (x) ≤ θ(x, t) ≤ max θ0 (x) (x, t) ∈ R × R+ , x∈R

x∈R

30'*+'3) &5 9.>'959 ' ; A 0

. # < 8 , . 6 ( ; < , , . ; < / • ,

N H EC

E U IQ

1 8 6 0 , .

A I X ) . 1 . 0 A

) ?

E L O

T Y POL

É C

' . . A , . 0 0 , 9 , ⎧ ∂u ⎪ ⎪ − ∆u = f Ω × R+ ⎨ ∗ ∂t ; &< + u=0 ∂Ω × R∗ ⎪ ⎪ ⎩ u(t = 0) = u Ω 0

E U IQ

, , , , ; ,

. . < @ 0 ;. 6 " < / . I? . J . 0 A ? . ) A

Y L O P

H C E T

N

>)0+'+) C C $ % & ' $ ( Ω = (0, 1)

LE O ÉC

N H EC

E U IQ

f = 0 ) u(t, x) * & ' $ u * + x( $ *

2 1 1 ∂u 1 d 2 u (t, x) dx = − ∂x (t, x) dx 2 dt 0 0

LE O ÉC

T Y POL

" v(x) , [0, 1]( v(0) = 0( $ * -

2 dv v (x) dx ≤ dx (x) dx. 0 0

1 ' 0 u2 (t, x) dx

1

2

1

f(x)

N H EC x

Ω

ÉC

L E O

E U IQ

u(x) T Y POL

W 1 ,

, , . 0 * A , . 0 , 0 ; , 0 < 9

, A . 0 3 A 0 Ω , , 8 ? , f A 8 u ;. 2 < @ , ) 0 A

1 , u ⎧ 2 ∂ u ⎪ ⎪ − ∆u = f Ω × R+ ⎪ ∗ 2 ⎪ ∂t ⎪ ⎪ ⎨ u=0 ∂Ω × R+ ∗ ; -< ⎪ u(t = 0) = u Ω 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∂u (t = 0) = u1 Ω ∂t + , , , , 8 u @ # 0 ;. 6 " <

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

N H EC

E U IQ

>)0+'+) C C N = 1 $ u0 u1 * ( f = 0 Ω = R U1 u1 u(t, x) =

LE O ÉC

T Y POL

1 1 (u0 (x + t) + u0 (x − t)) + (U1 (x + t) − U1 (x − t)) , 2 2

; <

. *

, . , , . ; < 6 30,3.(.1',* E 2'1)::) @*') 9 ( A ,9 (x, t) . . . &,9.'*) &) &%3)* &.*+) ; X Y . 2 < + , ,

, A ? . 8 ; <A (x, t) . , .

t −tA 8 , @ L M , . 8 8 H @ , 0%2)0:'/-) )* 1)93:

T Y POL

N H EC

E U IQ

>)0+'+) C C / (x, t) u0 u1 $+ * [x − t, x + t] u(−t, x) . Ω × R− ∗ + % * * u1 (x)

ÉC

E L O

t (x,t)

x−t

x+t

x

N

E U IQ

W 1 X ,

Y L O P

H C E T

>)0+'+) C C $ * $ . / ' $ ( Ω = (0, 1) f = 0 ) u(t, x) *

LE O ÉC

. ' $ $ *

∂u ∂t

0

N H EC

* + x( $ *

2 ∂u (t, x) dx + ∂t

T Y POL

d dt

1

E U IQ

0

1

2

∂u (t, x) dx = 0. ∂x

0 + $ %

LE O ÉC

* f A , ; &< :1.1',**.'0)A , 6?6 u(t, x) u∞ (x) t . , ) . A 1 A f (x) A −∆u = f Ω ; < ∂Ω, u=0

N H EC

E U IQ

, @ ;. 6 " < +

. , ; < .

0 , * A ; < 6 . , 0 ? 8 f )

T Y POL

E L O C É

, ! , . 8 , u , ? V + u(t, x) 8 R+ ×RN ? . C |u|2 , 0 0 . (t, x) V (x) 8 ? . 8 , u ⎧ ⎨ ∂u + ∆u − V u = 0 RN × R+ i ∗ ; < ∂t ⎩ u(t = 0) = u RN 0

E U IQ

,# ; <

, , ;

, 0 < / A . , L 0 M , 8 P 8 ? , ) u

,

? , )

Y L O P

H C E T

N

>)0+'+) C C $ *

LE O ÉC

$ ) % 1 * 2 ) u(t, x) * 2

HN

$ 3 # v(t)

C E T LY

O P LE O ÉC

R

∂v v ∂t

∂u ∂x

E U IQ

|x| → +∞ "

1 ∂|v|2 , 2 ∂t

=

4 R * v 5 * v ' $ u * + x( $ * $ *

2

R

' $

|u(t, x)| dx =

∂u ∂t (

R

|u0 (x)|2 dx.

2 2 ∂u ∂u0 2 2 (t, x) + V (x) |u(t, x)| dx = ∂x ∂x (x) + V (x) |u0 (x)| dx. R R

N H EC

E U IQ

# , 6

8 , , # 8 ;. 6 " < * 0 # A , ) 0 ( . 6 , , , :B:1?9) , A , 6?6 Ω , RN , , 8 f 8 A x x+ u(x) 8 f (x) 8 . Ω RN A u(x) ' −µâˆ†u − (µ + λ)∇(divu) = f Ω ; < ∂Ω u=0

ÉC

E L O

T Y POL

R λ µ A A 6 * . ) µ > 0 2µ + N λ > 0 1 u

8 ) 0 0 ∂Ω # ; < . fi ui A 1 ≤ i ≤ N A f u 0 RN A ; <

. ? −µâˆ†ui − (µ + λ) ∂(divu) = fi Ω ∂xi ui = 0 ∂Ω

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

1 ≤ i ≤ N + A (µ + λ) = 0A ui . . A N = 1A # , ,

LE O ÉC

T Y POL

N H EC

E U IQ

# % , , D

. 0 ? . @ D

Ω , ?

6 A , 6?6 . ;

? 1 < , , 8 f (x) ; 8 Ω RN <A . u(x) ; . < p(x) ; < ⎧ ⎨ ∇p − µ∆u = f Ω divu = 0 Ω ; < ⎩ ∂Ω u=0

LE O ÉC

R µ > 0 . D

+ , N ∇p − µ∆u = f ; ? +,*:)02.1',* &) -. ;5.*1'1% &) 9,52)9)*1<A

# divu = 0 +,*&'1',* &!'*+,930)::'/'-'1% ;

? +,*:)02.1',* &) -. 9.::)< , N = 1A # % H . 8 . . 8 * N ≥ 2A # % 0 J A . 0 . ; A A <

T Y OL P E L ÉCO

N H EC

E U IQ

@ 8 , , ; 6 0 . < Ω 8 # A f (x) ; 8 Ω R< 8 A 6 u(x) ; < , ; D < ⎧ ⎨ ∆ (∆u) = f Ω u=0 ∂Ω ; < ⎩ ∂u = 0 ∂Ω ∂n ∂u R ∂n = ∇u·n . n . ? ∂Ω + , , , . ; 0 6 < ', , . '

, ; 0 < + , 0 I ) , ; < # ? # ; < 8 , . F , ? ,

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

!! !

N H ! C E T Y OL P LE O ÉC

E U IQ

"

3 A 0 6 ( 6 , . . . 6 . , 0 . ; , 6?6 0 ) <

F.330,+4)*1G ; . 0 ? < 1 8 0 H 8 J A 6 Y A &':+0%1':) 0 8

0 ) . A , 6?6 -!,* 3.::) &5 F+,*1'*5G .5 F&':+0)1GC 0 , , 6 . / A ( ) ; . A ) < * ) A ? , ;. 6 $ < / , 0 , 6 A , 6?6 , :+4%9.: *59%0';5): / . ' I ) A , 6?6 , . ; <

ÉC

E L O

T Y POL

N H EC

E U IQ

t

n∆t

(tn, x j)

x j∆ x

H C E T

W 7 ( )

Y L O P

N

E U IQ

*

6 A

3.: &!):3.+) ∆x > 0 3.: &) 1)93: ∆t > 0

@ )

LE O ÉC

$

N H EC

, ;. 2 <

E U IQ

(tn , xj ) = (n∆t, j∆x) n ≥ 0, j ∈ Z.

T Y POL

@ unj . , (tn , xj )A u(t, x) ; < ( ) . ( ) 8 5 # * A . ; <

LE O ÉC

−

−unj−1 + 2unj − unj+1 ∂ 2u (tn , xj ) ≈ 2 ∂x (∆x)2

; "<

R , P 8 5 # −u(t, x − ∆x) + 2u(t, x) − u(t, x + ∆x) =

−(∆x)2

∂2u (t, x) ∂x2

E U IQ

(∆x)4 ∂ 4 u 6 − (t, x) + O (∆x) 12 ∂x4

N H EC

; $<

∆x L MA 8 ; "< L0 M ; < 8 ; "< +)*10%) # j * , . 6 (

ÉC

E L O

T Y POL

∂u ∂2u ∂u +V −ν 2 =0 ∂t ∂x ∂x

; &<

8 . 8 V

unj+1 − unj−1 ∂u (tn , xj ) ≈ V ∂x 2∆x

,? 8 H . @ 8 ( ) J A 9 8 L M 9 A ( ) − un−1 un+1 ∂u j j (tn , xj ) ≈ ∂t 2∆t

E U IQ

# ? n j ; :+4%9. &) '+4.0&:,*<

H C E T

N

un+1 − un−1 unj+1 − unj−1 −unj−1 + 2unj − unj+1 j j +V +ν = 0. 2∆t 2∆x (∆x)2

Y L O P

; -<

3 L M . 6 A +) :+4%9. ):1 '*+.3./-) &) +.-+5-)0 &): :,-51',*: .330,+4%): , . 6 ( ; &< ;.

LE O ÉC

!! !

N H EC

E U IQ

&

, 2 "< V / I )

? * , A 6 : . ( )

.

T Y POL

( ) ; Y :+4%9. &! 5-)0 0%10,(0.&)<

LE O ÉC

unj − un−1 ∂u j (tn , xj ) ≈ ∂t ∆t

unj − un−1 unj+1 − unj−1 −unj−1 + 2unj − unj+1 j +V +ν = 0. ∆t 2∆x (∆x)2

; <

E U IQ

# J ( ) . ; . Y :+4%9. &! 5-)0 30,(0)::'=<

N H EC

− unj un+1 ∂u j (tn , xj ) ≈ ∂t ∆t

ÉC

E L O

T Y POL

un+1 − unj unj+1 − unj−1 −unj−1 + 2unj − unj+1 j +V +ν = 0. ∆t 2∆x (∆x)2

; <

( ; < '9 3-'+'1) 8 # , . (unj )j∈Z 8 . (un−1 )j∈Z A ; < )> j )j∈Z 8 (unj )j∈Z 3-'+'1)

, . (un+1 j , n ; < ; < , . ,

,

. ; < 8 n−1 n−1 un−1 −un−1 unj − un−1 − un−1 j j+1 − uj−1 j−1 + 2uj j+1 +V +ν = 0. ∆t 2∆x (∆x)2

E U IQ

1 . ) A # 0 G

n J . (u0j )j∈Z ) A A u0j = u0 (j∆x) R u0 , . 6 ( ; &< + L . M ; -< # : J n = 1 0 P . (u1j )j∈Z , 8 ; A , <

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

-

LE O ÉC

T Y POL

N H EC

E U IQ

" W

N H EC

E U IQ

0 . ν∆t = 0.1(∆x)2

T Y POL

" # ' O 8 R V = 0 ν = 1A , 6?6 -!,* 0%:,51 *59%0';5)9)*1 -!%;5.1',* &) -. +4.-)50C @ 8

ÉC

E L O

u0 (x) = max(1 − x2 , 0).

* . . ; <A . . ) Ω = RA , 6?6 A n ≥ 0A ) . (unj )j∈Z A , ) V 9 A O R L M Ω = (−10, +10) 1 / . ;

) 6 6 < / ) , ? ∆x = 0.05 J # . (unj )−200≤j≤+200 ? + . unj , , , . J A A , 0 ( 0 . ) A . 8 ; <A +

; -< J , . 6 A 0 ,

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

!! !

N H EC

E U IQ

∆tA '*:1./-)A , 6 ?6 0 , . ∆x ∆t ' ; , < 2 " 8 ;5)- ;5) :,'1 -) +4,'> ∆t ∆xA 0 . ; # A 0 G < @ 0 I )

. ;. <

LE O ÉC

T Y POL

ÉC

E L O

T Y POL

$ W

N H EC

E U IQ

. ν∆t = 2(∆x)2

3 , A ; < L0 M , ;5)- ;5) :,'1 ∆t ;. 2 $< 9 A , 0 . I , ∆t ∆x @ 0 ' ; < J 8 . ∆t 6 ;. 2 &< 0 8 ? . J ∆t ∆x

2%0'@)*1 2ν∆t ≤ (∆x)2 ; <

H C E T

N

E U IQ

0 A ; < , . ) A 6 0 @ 0 0 ; < 5*) &): 0)9.0;5): -): 3-5: :'93-): )1 -): 3-5: 30,=,*&): &) -!.*.-B:) *59%0';5) 9 8 . - ; . , 6

LE O ÉC

Y L O P

N H EC

E U IQ

V< ' A 2 A C# 9

+,*&'1',* ,5 +,*&'1',* &) ,50.*1H 0')&0'+4:H )1 )IB

LE O ÉC

T Y POL

#

ÉC

& W

E L O

T Y POL

N H EC

E U IQ

. ν∆t = 0.4(∆x)2 ; < ν∆t = 0.51(∆x)2 ;0 <

E U IQ

/ I ) 0 . 0 ; # 6 ( < + . 8 ν∆t n ν∆t ν∆t n n+1 uj = uj−1 + 1 − 2 u . ; < unj + 2 2 (∆x) (∆x) (∆x)2 j+1

Y L O P

H C E T

N

0

'2 . ) A ; < un+1 j . . unj−1 , unj , unj+1 ; :

LE O ÉC

!! !

N H EC

E U IQ

0 ; < 8 . < 9 A u0 0 m M

T Y POL

m ≤ u0j ≤ M j ∈ Z,

8 H .

LE O ÉC

m ≤ unj ≤ M j ∈ Z n ≥ 0.

; <

; < H , 0 J 0 '2 ; < J , ,

. &':+0)1 +,*1'*5 . . ? +

'2 . ) A , 6?6 2ν∆t > (∆x)2 .

N H EC

E U IQ

3 A 0 ; H 0 L M J A u0 ≡ 0 V< * ) u0j = (−1)j

T Y POL

0 8 0 n ν∆t unj = (−1)j 1 − 4 (∆x)2

ÉC

E L O

ν∆t

. , ) n . , ) 1 − 4 (∆x) 2 < −1 0 '2 , 8

>)0+'+) C C % 2/ (

V = 0( 6 % ( $ + 2/ 1 ≤ j ≤ J un0 = unJ+1 = 0 n ∈ N ) m ≤ 0 ≤ M m ≤ u0j ≤ M 1 ≤ j ≤ J $ un+1 unj " n ≥ 0 j * m ≤ unj ≤ M 1 ≤ j ≤ J ∆t ∆x

E U IQ

. ? 0 A , . . A , 6?6 ? 6 / ?

+ 0 A 0 G A . A : ' , . ) 6 . A , 6?6 , .

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

LE O ÉC

T Y POL

N H EC

E U IQ

- W

N H EC

E U IQ

. ν∆t = 0.4(∆x)2 . . ∆x

T Y POL

. 0 ; . . ) 6

, 0 < 2 - . ) A , : , ∆x ;

. 0.5A 0.1A 0.05< ∆t ν∆t/(∆x)2 ; 0 '2 <A ; , ( H ) t = 1A 0 ∆t < ' F2%0'@+. 1',* *59%0';5) &) -. +,*2)0()*+)G I ? , 8 ; , 6?6 , # .

0 : <

ÉC

E L O

" # # $

9( , -!%;5.1',* &) +,* 2)+1',* &'A5:',* ; &< . . V = 1 /

E U IQ

H . ν∆t = 0.4(∆x)2 / , D . ( 6 ν ; . 0 * < 0 2 0 ν = 1A 0 ν = 0.01A . ν = 0.1A 0 0 ( @ 0 , .

0 * ν A . 8 ( 8 * A '2 ; <A 0 . V

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

!! !

ÉC

OLE

T Y POL

E U IQ

#

T Y POL

ÉC

N H EC

E L O

N H EC

E U IQ

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

W , . 6 ( . ν∆t = 0.4(∆x)2 V = 1 9 A ν = 1A ν = 0.1A 0 ν = 0.01

LE O ÉC

N H EC

E U IQ

A . 0 8 ? ν * A -!%;5.1',* &!.&2)+1',*

, 06 ? ν = 0 + , 0 '2 ; < 8 ν = 0 ; ∆t ∆x<A

0 6 . 0 2

LE O ÉC

T Y POL

#

E L O

T Y POL

N H EC

E U IQ

W , , . . ∆t = 0.9∆xA V = 1A ν = 0

ÉC

* , , . ; , 6?6 ; &< . ν = 0<A ; < V ∆t n V ∆t n uj−1 + unj − u . ; < 2∆x 2∆x j+1 '

2 H 6 , I ; 0 2 @ . 0 un+1 j ∆t< 0 . unj−1 A unj A unj+1 # . A

6 0 ; . < , 0 A ; <A .

. 8 / . , . 8 . 1 0 J . . . V 0 G J

V > 0 ; # . 0 V < 0< * V > 0A ? &%+)*10)9)*1 .2.- J 0 unj+1 − unj ∂u (tn , xj ) ≈ V V ∂x ∆x un+1 = j

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

!! !

N H EC

"

E U IQ

L , 8 M

. '

? . L M

T Y POL

un+1 − unj unj+1 − unj j +V =0 ∆t ∆x

LE O ÉC

; "<

0 3 &%+)*10)9)*1 .9,*1 ; , 6?6 ? V > 0<A

. L , 8 M unj − unj−1 ∂u (tn , xj ) ≈ V V ∂x ∆x

un+1 − unj unj − unj−1 j +V =0 ∆t ∆x

; $<

2 @ . ) ; $<

ÉC

E L O

T Y POL

N H EC

E U IQ

W , , . . ∆t = 0.9∆xA V = 1

E U IQ

0 . '2 ; ( '2 ; << |V |∆t ≤ ∆x. ; &<

Y L O P

H C E T

9 ( A ; $< 8 V ∆t n V ∆t u un+1 = + 1 − unj , j ∆x j−1 ∆x

LE O ÉC

N

$

N H EC

E U IQ

0 .

A ; &< 8 A unj−1 unj * A ; $< . ) A

P 0 , &%+)*10) 9)*1 .9,*1 ):1 5*) .510) '&%) 9.<)50) &) -!.*.-B:) *59%0';5) 9 0 D

R 8 , 0 . ; 53I'*&'*(A , 6?6 . <A P 0 , , , . . 6 ( . 8 0 . ( ν A 8 0 . , . 8

. '2 ; &< X ; < 3 2 un+1 j

LE O ÉC

T Y POL

>)0+'+) C C " ( 07 & $ ( %

$ $ u0j = (−1)j

N H EC

E U IQ

>)0+'+) C C 8 % $ . $ - $ $ 9 * + 7 * ' ( % * ( $ : 07 ∆t ≤ ∆x

ÉC

E L O

T Y POL

0 . D 5 , 0 A L 0 M 8 A , 8 @ 0 0 ; . <

, # J , ,H , #

0I 8 9 ) A L0 M . 0 ; A A <

; . < # , . * *) 3)51 &,*+ 3.: =.'0) -!%+,*,9')

&!5*) /,**) +,930%4)*:',* &) -. 9,&%-':.1',* 34B:';5) )1 &): 30,30'%1%: 9.14%9.1';5): &): 9,&?-): :' -!,* 2)51 0%.-':)0 &) /,**): :'95-.1',*: *59%0';5):C

H C E T

N

E U IQ

Y L O P

/ 0 )

,# . . 0 # . , #

LE O ÉC

"

N H EC

% & &

&

E U IQ

$ )) 30,/-?9) .5> -'9'1): $ " $ & - ) " $ $ " $ & " " " " $" + $ " ) , %@*'1',* C C

LE O ÉC

T Y POL

* A ; < 0 3 A , ( dy dt = f (t, y) 0 < t < T ; -< y(t = 0) = y0 , 0

, (0, T )A . 0 < T ≤ +∞A , L 0 M , t = 0 ; t = T <

$ )) 30,/-?9) &) .5+4B $ " $ & - ) " .' ) $ $ - / 0 $ $" " ) t ' $ " $ 1 / 2 $" $ " $ $ " " $ ) " $" $ / t = 0' " ) $ t = T , %@*'1',* C C

N H EC

E U IQ

* A , ( ; -< 0 ' #A ; < ; . 0 , x ?

8 I X < 1 0 ? 8 0 0 ' # 3 A , ; -< 0 ' # ? . 0 t 0 ? . 0 , x 5 0

ÉC

E L O

T Y POL

8 , 0 ' # 0 , , , , L0 M , 6 /,* 9,&?-) , # #

A ' . . . H . # N = ) , L0 M A 30,/-?9) /')* 3,:% ; 0 , 0 0 < @ f ; 0 A A A <A u A A L , M

u , 0 A A ? 8 , . # 0 . u A(u) = f ; <

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

$ " ) / + ,3 " /')* 3,:% ) " " $$ " $ " $ $ u' " "" " $ u ) $ $" $4 $" $$ f , %@*'1',* C C

f

LE O ÉC

-

N H EC

E U IQ

9 ) = J 8 , 0 0 * A 8 ,

J , 0 ? ? V 1 A 8 J , A , A . , . 8 A . . L M L

M ; . L M 8< . A , 0

L 0 M ) * A 0 . J

X X . A H A . * ? / C Z %A . . # . 8 X E

A X , I A . 6 = ) # 0 J )

A ; , . L 6 0 M I ?< A I 8 0 ',

J A 8

I L0 M ;. , # # F T -U< 5 A , . A 8 G 3 0 A 0 8 A , . &!.330,>'9.1',* *59%0';5) 9 ( A 8 , ; < . ? 0 ;

. < ? ; < 0

0

? 0 A ,# ; < * A 0 . + , . # # , , . J , 0

? ( A ; < , . . A H ?

5 . ,? . 1 ) ; " < 0 D A

8 0 G 8 A

, ( , , ;0 < P , , 8 ( V

LE O ÉC

ÉC

T Y POL

E L O

>)0+'+) C C

T Y POL

N H EC

Y L O P

E U IQ

H C E T

N

E U IQ

0 %:

) Ω = (0, 1) × (0, 2π)

LE O ÉC

"

N H EC

E U IQ

0 %: x y ⎧ ∂2u ∂2u ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ − ∂x2 − ∂y 2 = 0 u(x, 0) = u(x, 2Ď€) = 0 ⎪ ⎪ √ ⎪ ⎊ u(0, y) = 0, ∂u (0, y) = −e− n sin(ny) ∂x

O P LE O ÉC −

T Y L

√

â„Ś 0 < x < 1

0 < y < 2Ď€

n

u(x, y) = e n sin(ny)sh(nx) " x = 0 * ;( ( x > 0( u(x, y) n $ 0

' ( ) $

! " " " " #! " " $

% & % ' t & % ' x " " " ( )!

" " )!

% '

% " %

' % " % * % ' u(x, y)

( ( ' & + "

! , "

ÉC

E L O a

T Y POL

N H EC

E U IQ

∂2u ∂u ∂2u ∂2u ∂u + c +e + f u = g. + b +d ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y

# !

" a, b, c, d, e, f

b

− 4ac < 0

b − 4ac > 0 % ' ' - " " . / / " 0 + ' " "

b − 4ac = 0 2

2

2

ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0

N

E U I Q

' " * ! b − 4ac < 0 ' b2 − 4ac = 0 ( ' b2 − 4ac > 0 1 " . / / % "

% % " ( 2

(x, y) % ' (t, x) !

" " " % + ! " " , "

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

2

E U " " % ( ' " " I Q " 1 3

" " 0 ' N ! C H " " ' % ' "

( ' " E T 4

% " Y ' '

" L

% " " ' 5 ( O ' " % ' " P E

( ' " 6

+ L " O ÉC

" ' "

( ' " " # ! ( % ' 1 (x, y) → (X, Y ) ( % ' & " 7 ' J = Xx Yy − Xy Yx Zz % Z & z! , " # ! % A

∂2u ∂u ∂2u ∂2u ∂u +C +E + F u = G, +B +D 2 ∂X ∂X∂Y ∂Y 2 ∂X ∂Y

% A C = aYx2

E U IQ

= aXx2 + bXx Xy + cXy2 B = 2aXx Yx + b(Xx Yy + Xy Yx ) + 2cXy Yy + bYx Yy + cYy2 % " B 2 − 4AC = J 2 (b2 − 4ac) 0

N H EC

( % ' " " % # !

* 8 " 9

" " ∂ ∂ + ∂Y

" ' " & " ( ∂X ∂ ∂ ∂ ∂ −

" ( ' " & " ∂X − ∂Y • ∂X ∂Y 2

2

2

T Y POL 2

2

2

2

E L ' O : " ' C %

% % É % " % # ! " 2

2

2

$ ' " " " ∂2u ∂x2

= 1

a = 1

' " ' " b2 − 4ac = 0! " % ' y ;

< ! 6 * * % " 8 9 • b=c=d=e=f =0

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

T Y POL

N H EC

E U IQ

LE O ÉC

T Y POL

N H EC

E U IQ

1 # ( ) / ) :1./'-'1% +,*:':1.*+) , A . ? : A 0 0 ? , +,*2)0()*+)

ÉC

E L O

. ,

' , , , . 0 8 , # ( ) 0 . . ? ? 8 ? . 5 ( )

A , ; 6 < D

0 * , A D

0 A

8 . ) / A 0 ( ) . 3 A 6 ' - 0 ) ( ) ( ) . 0 .

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

!! !

N H * $ ) C E T Y L O P LE O ÉC

E U IQ

! "

/ ? , . # ? 6 $ , / , 0 (0, 1) ⎧ ⎨ ∂u ∂2u − ν 2 = 0 (x, t) ∈ (0, 1) Ă— R+ ∗ ; < ∂t ∂x ⎊ u(0, x) = u0 (x) x ∈ (0, 1). * (0, 1)Ă—R+ A

, ∆x = 1/(N +1) > 0 ; . N 8< ∆t > 0A ) ,

E U IQ

(tn , xj ) = (n∆t, j∆x) n ≼ 0, j ∈ {0, 1, ..., N + 1}.

N H EC

@ unj . , (tn , xj )A u(t, x) ; <

T Y POL

u0j = u0 (xj ) j ∈ {0, 1, ..., N + 1}.

E L O

; < . H # A , . ) A 1

ÉC

u(t, 0) = u(t, 1) = 0 t ∈ R+ ∗

un0 = unN +1 = 0 n > 0.

* A ? . ? . (unj )1≤j≤N

8 . RN / 0 , ; < 5 ) N ; xj A 1 ≤ j ≤ N <

/ . unj 3

' . I? :+4%9. )>3-'+'1) un+1 − unj −unj−1 + 2unj − unj+1 j +ν =0 ∆t (∆x)2

C E T Y L PO

n ≼ 0 j ∈ {1, ..., N }A :+4%9. '93-'+'1)

n+1 −un+1 un+1 − unj − un+1 j j−1 + 2uj j+1 +ν = 0. ∆t (∆x)2

LE O ÉC

HN

E U IQ ; <

; <

!! ! #

N H EC

E U IQ

8 . ) ; < ( . 0 ) A , 6 8 unj J ( A 8 . ?6 , . un+1 j N ⎛ ⎞ 1 + 2c −c 0 ⎜ −c âŽ&#x; 1 + 2c −c ⎜ âŽ&#x; ν∆t ⎜ âŽ&#x; , ; < ⎜ âŽ&#x; . c = ⎜ âŽ&#x; (∆x)2 âŽ? −c 1 + 2c −c ⎠0 −c 1 + 2c

LE O ÉC

T Y POL

. ) ) 8A . 0 9 8 0 . ; < ; <A 0 ≤ θ ≤ 1A 0 θ :+4%9. n+1 −un+1 un+1 − unj − un+1 −unj−1 + 2unj − unj+1 j j−1 + 2uj j+1 + θν + (1 − θ)ν = 0. ; "< ∆t (∆x)2 (∆x)2

E U IQ

E G A . ; < θ = 0A ; < θ = 1 θ6 ; "< θ = 0 * . θ = 1/2A 0 :+4%9. &) 0.*D '+4,-:,* A ? A

T Y POL

N H EC

n n 5(un+1 un+1 − unj ) un+1 j+1 − uj+1 j j−1 − uj−1 + + 12∆t 6∆t 12∆t

ÉC

E L O

n+1 −un+1 − un+1 −unj−1 + 2unj − unj+1 j−1 + 2uj j+1 +ν + ν = 0. 2(∆x)2 2(∆x)2

; $<

>)0+'+) C C " % 2 $ $ θ % θ = 1/2 − (∆x)2 /12ν∆t

5

E &)5> *'2).5> 8 . @ 0 G

. J ? . 9 ; 0 < + . ' A :+4%9. &) 5 ,01 0.*D)−unj−1 + un+1 un+1 − un−1 + un−1 − unj+1 j j j j +ν = 0, 2∆t (∆x)2

:+4%9. &) #).0

H C E T

n+1 −un+1 3un+1 − 4unj + un−1 − un+1 j j j−1 + 2uj j+1 +ν = 0. 2∆t (∆x)2

Y L O P

; &<

N

E U IQ ; -<

/ . ? 8 0 V 9 6 , . V 0 , # . H

. A G A 0

LE O ÉC

!! !

N H EC

E U IQ

)9.0;5) C C , # 0 f (t, x) , ; <A ) O F 0 f (t, x) (tn , xj ) * A , f (tn , xj )A ; < .

LE O ÉC

T Y POL

un+1 − unj −unj−1 + 2unj − unj+1 j +ν = f (tn , xj ). ∆t (∆x)2 •

)9.0;5) C C 6 A , 6?6 , 8 . 0 ) A A . unj (n , j )

. , (n, j) :1)*+'- ; , #

:533,01< 9 A A G : ? ; ? L ( 0 MA , 6?6 R (n , j ) < •

N H EC

E U IQ

)9.0;5) C C @ 1 ; < / A 0 ; < ' O ( /

ÉC

E L O

T Y POL

∂u ∂u (t, 0) = 0 (t, 1) = 0. ∂x ∂x

5 , 0 A

un − unN un1 − un0 = 0 N +1 =0 ∆x ∆x

, . un0 unN +1 N . (unj )1≤j≤N ' / , A 0 ', ; < un − unN un1 − un−1 = 0 N +2 =0 2∆x 2∆x

E U IQ

A , I L ) 8 M x−1 xN +2 @ . un−1 unN +2 A ? ) 8 A N +2 . ? A ? . (unj )0≤j≤N +1 1, A , .

H C E T

N

u(t, x + 1) = u(t, x) x ∈ [0, 1], t ≥ 0.

Y L O P

9 un0 = unN +1 n ≥ 0A unj = unN +1+j •

LE O ÉC

!! ! #

N H EC

'

"

E U IQ

E G A 8 6 J , , . 5 # , . ' * 8 , . ( ) A

+,*:':1.*+) 30%+':',* E , , ; <A ) . 0 , . F (u) = 0 + F (u)

8 u . (t, x) 1 ( ) ) A 0 n, j A 8 n+m F∆t,∆x {uj+k }m− ≤m≤m+ , k− ≤k≤k+ = 0 ; <

LE O ÉC

T Y POL

R m− , m+ , k − , k + ) ;. + <

E U # & 5 $ *$ , " " $ " $" Q - ' ' ) " " " $N I 6 $" " $ & - ) " H 0 + "" " $' # ' *$ ) C E T Y L ' " " $ $" - 7 " $ - 7 ' $ $" ) )) " O P $ ) $ $", E 8 ) ' O $ "L

# " ) $ ) " $ " ) É C " $ " , " $ - 7 " " $ $" - 7 , %@*'1',* C C

F (u) = 0

u(t, x)

-!)00)50 &) 10,*+.150)

F∆t,∆x {u(t + m∆t, x + k∆x)}m− ≤m≤m+ , (t, x)

k− ≤k≤k+

∆t

p

; <

,

∆x

O (∆x) + (∆t) p

q

q

∆t

∆x

)9.0;5) C C 8 8 ; < ? 0 [

? ) 9 ( A I , 8

: . ∆t ∆x ? , . F ' , V * n+m }) = 0 . . A I 8 F∆t,∆x ({uj+k A 8 u(t, x)

, , A , , •

N

E U IQ

n+m ' , , O uj+k 8 ; < u(t + m∆t, x + k∆x) ' 1 ) A

.

Y L O P

H C E T

)99) C C # &) " , " $ " $"' ) $ " ) " $ ) , 8 ) ' $ # " 0 $ " $" )) " ν∆t/(∆x)2 = 1/6' # " ) $ " ) " 9 $ ) ,

LE O ÉC

!! !

$

N H EC

E U IQ

)9.0;5) C C 1 , $ 6 ) ) ) ∆t ∆x , . F ' , . , 9 A 0 . ( 6 . 0 ∆t ∆x •

LE O ÉC

T Y POL

%9,*:10.1',*C v(t, x) 8 C 6 * . 5 #

(t, x)A , ; <

−v(t, x − ∆x) + 2v(t, x) − v(t, x + ∆x) v(t + ∆t, x) − v(t, x) +ν ∆t (∆x)2 ∆t ν(∆x)2 vtt − vxxxx + O (∆t)2 + (∆x)4 , = vt − νvxx + 2 12

E U IQ

R vt , vx . v v , ; <A 0 ? , ν∆t/(∆x)2 = 1/6A ∆t (∆x)2 ) vtt = νvtxx = ν 2 vxxxx 9 ; <

ÉC

E L O

; <

' %6/ ; "< ; . θ = 1/2< θ6 ; "< ; . θ = 1/2<

? $ ; $< 1 2 62 % ; &< 4 ; -<

T Y POL

N H EC

9 O ∆t + (∆x)2 O ∆t + (∆x)2 O (∆t)2 + (∆x)2 O ∆t + (∆x)2 O (∆t)2 + (∆x)4 ∆t 2 O ( ∆x ) + (∆x)2 O (∆t)2 + (∆x)2

0

0 L2 L∞

'2 2ν∆t ≤ (∆x)2 0 L2 L∞ 0 L2 0 L2 '2 2(1 − 2θ)ν∆t ≤ (∆x)2 0 L2 0 L2 0 L2

E U IQ

W 9 0 . ,

Y L O P

H C E T

N

>)0+'+) C C - % % ) 2 2 ( $ : < 2 % 6 7 7 =

LE O ÉC

!! ! #

N H EC

& +

&

E U IQ

1 ' . . 0 ( ) ) 5 . A 6 A , 0 8 0 ) 0 6 * . 0 ) un = (unj )1≤j≤N / RN , ∆x J ⎞1/p ⎛ N un p = � ∆x|unj |p ⎠1 ≤ p ≤ +∞, ; <

LE O ÉC

T Y POL j=1

R p = +∞ H un ∞ = max1≤j≤N |unj | + ) ∆x ? . ? . , N ∆x = 1/(N +1) 4 Q ? ∆xA un p ? Lp (0, 1) 8 6 . [xj , xj+1 [ [0, 1] . A , L Lp M 9 . p = 2, +∞

E U IQ

N H E :$ # & 5 $ T *$ "C " ) $ ' *$ ) , ' & " $ $ " $" $ ) $ $" " Y - " $ $" - 7 " O L P E ) " " L O C " $$ $ " ,

É , $ ) ) " " $" " $ $ 0 " ' $

%@*'1',* C C

:1./-)

K>0

un ≤ K u0

∆t

∆x

; <

n ≼ 0,

u0

∆t

∆x

" # " +,*&'1',**)--)9)*1 :1./-),

)9.0;5) C C *

. RN A

0 ? 0 6 ? 7 ,

0 ? ? ;. , 6\ ( . 9 < 9 ( A 1 ) - I 8 ? ∆x H ) ; < ∆x •

E U IQ

:$ # & 5 $ *$ " " -'*%.'0) n+m n+m F∆t,∆x ({uj+k }) = 0 *$ " " $ ) )) " 0 $" uj+k , %@*'1',* C C

H C E T

N

0 , ? . 8 ? 9 ( A ? . , 8 un+1 = Aun , ; <

LE O ÉC

Y L O P

!! !

-

N H EC

E U IQ

R A ; A , < RN RN * A ; < A . ⎛ ⎞ 1 − 2c c 0 ⎜ ⎟ c 1 − 2c c ⎜ ⎟ ν∆t ⎜ ⎟ , ; < ⎜ ⎟ . c = ⎜ ⎟ (∆x)2 ⎝ ⎠ c 1 − 2c c 0 c 1 − 2c

T Y POL

LE O ÉC

; < A , . ; < 3 , , A un = An u0 ; A An

n6 A<A 0

. ? An u0 ≤ K u0 ∀ n ≥ 0, ∀ u0 ∈ RN .

E U IQ

0 ;. 1 ) < M =

M u , u∈RN ,u =0 u sup

T Y POL

0

. ?

An ≤ K

E L O

N H EC

; "<

∀ n ≥ 0,

.

A 0

ÉC

1./'-'1% )* *,09) L∞C

0 L∞ . . I? . ' + )

%@*'1',* C C 959 &':+0)1

:$ # & 5 $ *$ - * 30'*+'3) &5 9.>' ) " " n ≥ 0 " " " 1 ≤ j ≤ N $

min 0,

min

0≤j≤N +1

u0j

≤ unj ≤ max 0,

max

0≤j≤N +1

u0j

" $$ $ " u0 ,

E U IQ

)9.0;5) C C 1 1 ) 6 u0 F

. 0 1 '

u0 . ) 1 ;

, <A •

Y L O P

H C E T

N

' , . . ' ;. ; < ,9 <A . ) 6

.

LE O ÉC

!! ! #

E U " $" # &) " , " " / $ $ Q ,3 I ) " N $ " $ ;< " " " , # " " / $ $

" ) " ) C " H ) $ " " $ $ E " $$ $" " / , T Y OL P LE O ÉC

)99) C C L∞

L∞

2ν∆t ≤ (∆x)

2

∆t

∆x

>)0+'+) C C " % 0 = > % 2 ! θ = 1/2

L∞ ν∆t ≤ (∆x)2 ( % 6 7 7 = 2 & L∞ 2ν∆t ≤ (∆x)2

1./'-'1% )* *,09) L2 C

1 0 . ) L0 M * 6 ?A 8 . ) 0 L∞ L2 H 0 ? , 0 Q ? ,

, # 2 * 8 A , +,*&'1',*: .5> -'9'1): &) 3%0',&'+'1%A

, . u(t, x+ 1) = u(t, x) x ∈ [0, 1] t ≼ 0 * A

un0 = unN +1 n ≼ 0A unj = unN +1+j ? N + 1 . unj 3 . un = (unj )0≤j≤N 8 un (x)A A A ) [0, 1]

E L O

T Y POL

N H EC

E U IQ

un (x) = unj xj−1/2 < x < xj+1/2

. xj+1/2 = (j + 1/2)∆x 0 ≤ j ≤ N A x−1/2 = 0A xN +1+1/2 = 1 3

) A 8 un (x) ? L2 (0, 1) @ A , , # 2 A 8 L2 (0, 1) 2 ;. " T$U< * un (x) = u ˆn (k) exp(2iπkx), ; $<

ÉC

k∈Z

ˆn (k) = . u

1 0

un (x) exp(−2iĎ€kx) dx 8 * 1 |un (x)|2 dx = |ˆ un (k)|2 . 0

; &<

k∈Z

E U IQ

+ H un 8 A : u ˆn (k) 2

8 2 8

. J v n (x) = un (x + ∆x)A vˆn (k) = uˆn (k) exp(2iĎ€k∆x) 9 , ; < 3. A A 0 ≤ x ≤ 1A

Y L O P

H C E T

N

−un (x − ∆x) + 2un (x) − un (x + ∆x) un+1 (x) − un (x) +ν = 0. ∆t (∆x)2

LE O ÉC

!! !

N H EC

E U IQ

* 8 2 A . ν∆t n+1 uˆ (k) = 1 − (− exp(−2iπk∆x) + 2 − exp(2iπk∆x)) u ˆn (k). (∆x)2

T Y POL

3

ÉC

OLE

uˆn+1 (k) = A(k)ˆ un (k) = A(k)n+1 u ˆ0 (k) . A(k) = 1 −

4ν∆t (sin(πk∆x))2 . (∆x)2

* k ∈ ZA : 2 u ˆn (k) 0 n . , ) 8 , ) . ) |A(k)| ≤ 1A , 6?6 ; -<

2ν∆t(sin(πk∆x))2 ≤ (∆x)2 .

'2 ; <A 2ν∆t ≤ (∆x)2 A 8 A , ; -< . 2 k ∈ ZA 8 *

1 1 n 2 n 2 n 2 0 2 u 2 = |u (x)| dx = |ˆ u (k)| ≤ |ˆ u (k)| = |u0 (x)|2 dx = u0 22 , 0

k∈Z

k∈Z

T Y POL

N H EC 0

E U IQ

, , 0 L2 '2 , 8 A 0 9 ( A : ∆x ; . 6 : < k0 ; : < #

2 u ˆ0 (k0 ) = 0 . πk0 ∆x ≈ π/2 ; π < |A(k0 )| > 1 @

.

E L O # &) " , " " / $ $

É C;< $ " $

)99) C C

2ν∆t ≤ (∆x)

2

" " " ,

L2

" $"

1 H 8 O . 0

)99) C C

# ) " ,3 " " / $ $ L2 ,

)9.0;5) C C * ; < ; < 0 L2 H 0 L∞ ' , I , •

E U IQ

%9,*:10.1',*C ?

A 0 ≤ x ≤ 1A ?

H C E T

N

−un+1 (x − ∆x) + 2un+1 (x) − un+1 (x + ∆x) un+1 (x) − un (x) +ν = 0, ∆t (∆x)2

Y L O P

8 2 ν∆t uˆn+1 (k) 1 + (− exp(−2iπk∆x) + 2 − exp(2iπk∆x)) =u ˆn (k). (∆x)2

LE O ÉC

!! ! #

3 u ˆ

n+1

T Y POL n

(k) = A(k)ˆ u (k) = A(k)

N H EC

u ˆ (k) . A(k) =

n+1 0

E U IQ

−1 4ν∆t 2 1+ (sin(πk∆x)) . (∆x)2

' |A(k)| ≤ 1 2 k A 8 * ? 0 L2

LE O ÉC

)9.0;5) C C , # 2

@ , ( , . R [0, 1] ; ( ? 2 X ,? 2 < / A , R

0 ) . unj ? n , 0 ) . 0 L2 1 8 , # 2 * A

8 2 0 . , ; <

. un . un+1 •

N H EC

E U IQ

)9.0;5) C C $ ::)*1')--) &!5* 3,'*1 &) 25) 30.1';5)6 5

T Y POL

8 L M , # 2 . 0 L2 , @ I 2

ÉC

E L O

unj = A(k)n exp(2iπkxj ) . xj = j∆x,

. 8 , ) A(k) + A , 6 A A , 6?6 A(k) 0 C @ +,*&'1',* &) :1./'-'1% &) ,* )59.** , |A(k)| ≤ 1 k ∈ Z.

; <

0 > / 8 ; . . ∆t ∆x<A 0 L2 A

0 9 A 0 ; < . ;. 6 < 9 A 0 L 0 M 9 ( A H , ? , 2 0 A . 0 ,

. ;0 < 0 0 P , L M . L M •

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

>)0+'+) C C " θ % 2 ! L2

LE O ÉC

1/2 ≤ θ ≤ 1( 07 2(1 − 2θ)ν∆t ≤ (∆x)2 0 ≤ θ < 1/2

!! !

N H EC

E U IQ

>)0+'+) C C " % + 2 L2

T Y POL

! 5 ' % " . ) . ( '

T > 0 K(T ) > 0 ∆t ∆x " un ≤ K(T ) u0

0 ≤ n ≤ T /∆t, " " u0 5

% & = %

"

LE O ÉC

∂2u ∂u − ν 2 = cu ∂t ∂x

(t, x) ∈ R+ × R,

" ( v(t, x) = e−ctu(t, x) & " (

c > 0 u = ! %

' ' > 4 % |A(k)| ≤ 1 + C∆t

k ∈ Z.

*

& . ) ' •

T Y POL

' $

E L O

N H EC

E U IQ

/ . . ( ) 6 5

: A A +,*:':1.*+) )1 :1./'-'1% '93-';5) +,*2)0()*+) 8 0 ( ) * ; ( ) A ) A < . I J 0 6 ; ) . , ? , < 1, . A 5 J , ;

< , , 0 . , 6 ; , 6?6 , 0 <A ; . <

ÉC

" u(t, x) " $ 6 $" 0 + " $ # , - $ " $ & " )) ) , " unj " $ $ +" /" $ ) $ # 5 $ *$ - $$ $ " u0j = u0 (xj ), $ )) # " $ ' & $ - &' $ " $"' " " / ) $ $ , # " $- 0 $" $ .

4%,0?9) C C $ .>6

Y L O - " 1 2 *$ ) P ) $" E L O ÉC ∀ T > 0,

- en

H C E T

lim

∆t,∆x→0

sup en

tn ≤T

N

= 0,

enj = unj − u(tn , xj ),

E U IQ ; <

!! ! #

E U $ " ) ' 8 ) ' # " ) $ ) "I Q ) " " " ) & " $ $ " $" H N " C E T Y L O P LE O ÉC p

T >0

q

CT > 0

sup en ≤ CT (∆x)p + (∆t)q .

; <

tn ≤T

)9.0;5) C C / , . , , , ; < ; . 1 < * , 8 , # , , , ; <A . ' - • .

%9,*:10.1',*C * ) A 1 H . 0 / ; . H < ? . , 8 ; <A u

n+1

n

N H EC

= Au ,

E U IQ

R A , ; N < u ; : < , ; < @ u ˜n = (˜ unj )1≤j≤N n . u ˜j = u(tn , xj ) ' A . n

E L O

T Y POL

u ˜n+1 = A˜ un + ∆t n .

ÉC

lim

∆t,∆x→0

;

n = 0,

<

. n 8 0 ≤ tn ≤ T ? , p ? , q A n ≤ C((∆x)p + (∆t)q ) 9 enj = unj − u(tn , xj ) 0 ; < ? ; < en+1 = Aen − ∆t n

, R en = An e0 − ∆t

n

; <

An−k k−1 .

k=1

E U IQ

@ A 0 . un = An u0 ≤ K u0

A , 6?6 An ≤ K R K n 1, A e0 = 0A ; < en ≤ ∆t

n

H C E T

N

An−k k−1 ≤ ∆tnKC (∆x)p + (∆t)q ,

k=1

Y L O P

, ; < . CT = T KC ; <

LE O ÉC

!! !

N H EC

E U IQ

)9.0;5) C C 5 8 . 0 . R ? .

. 0 + . . ; < 9 ) A 0 ; < , . 0 . 0 [0, T ] , 0 N •

T Y POL

LE O É C $ )

N , . # ? . A , 6?6

. un+1 ? un @ 8 . . A . I?

? . R un+1 un un−1 ; + A 1 2 62 % A 4 < 9 . ; ? . < 1 ) - 0 , 0 . 5 8 A , 0 , ? . 9 ( A un+1 un un−1 A ; < * A un Un = ; < , un−1

ÉC

E L O

T Y POL

N H EC

E U IQ

, N A A1 A2 A A1 A2 n+1 n U = AU = U n, Id 0

; "<

R , A 2N ' A U n = An U 1 0

. ? An =

An U 1 ≤K 1 U 1 ∈R2N ,U 1 =0 U sup

∀ n ≥ 1.

1 H , # 2 , ? . Q ? . ; < 9

, A

'

)99) C C

H C E T

# $" , " $ " / $ $ L2 ,

Y L O P

N

E U IQ

%9,*:10.1',*C 3. ; -< , A x ∈ [0, 1]A −un (x − ∆x) + 2un (x) − un (x + ∆x) un+1 (x) − un−1 (x) +ν = 0, 2∆t (∆x)2

LE O ÉC

!! ! #

N H EC

8 2

3 A n+1 8ν∆t 2 − (∆x) (k) u ˆ 2 (sin(Ď€k∆x)) ˆ n+1 (k) = U = n u ˆ (k) 1

ÉC

OLE

E U IQ

8ν∆t (k) + (sin(Ď€k∆x))2 uˆn (k) − u ˆn−1 (k) = 0. (∆x)2

T Y POL

uˆ

n+1

"

1 0

ˆ n (k) = A(k)U ˆ n (k), U

ˆ n+1 (k) = A(k)n U ˆ 1 (k) A A(k) , U ? . , * k ∈ ZA . Uˆ n (k)A : 2 uˆn (k)A 0 n . , ) , ) . ) A(k)n 2 =

A(k)n U 2 ≤K U 2 U∈R2 ,U =0 sup

∀ n ≼ 1,

; $<

E U IQ

R U 2 R2 * A , ; $< . 2 k ∈ ZA 8 *

|ˆ u0 (k)|2 + |ˆ un 22 = |ˆ un (k)|2 ≤ K u1 (k)|2 = u0 22 + u1 22 , k∈Z

T Y POL k∈Z

N H EC

, 6?6 0 L2 3 , . A , k0 A(k0 )n , 0 n . , ) A . 0

. u ˆ0 (k0 ) ; uˆ1 (k0 )<A 0 , 0 L2

' , ) A(k) # A A(k) 2 = Ď (A(k)) A(k)n 2 = A(k) n2 A R Ď (M ) # M ;. $< 1 A , ; $< 8 Ď (A(k)) ≤ 1 . A(k) # X 8ν∆t Îť2 + (sin(Ď€k∆x))2 Îť − 1 = 0 (∆x)2

I

. −1 * 6 A , ; < . 0 A Ď (A(k)) > 1 * A 0 L2

ÉC

E L O

N

E U IQ

)9.0;5) C C , # 2 . , . ? . ;. + -< , I 2 A 0 n+1 1 uj uj n = A(k) exp(2iπkxj ) u0j unj

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

!! !

$

N H EC

E U IQ

R A(k) 9.10'+) , ) ; 8 < @ +,*&'1',* &) :1./'-'1% &) ,* )59.**

T Y L

ρ(A(k)) ≤ 1 k ∈ Z,

O P LE O ÉC

; &<

R ρ(A(k)) # A(k) ' 6 B B ≥ ρ(B) B n ≥ ρ(B)n ,

0 > / +,*&'1',* *% +)::.'0) 0 L2 ; . < A(k) A . ) A(k) 2 = ρ(A(k)) A(k)n 2 = A(k) n2 ;. $<A > / ; &< : ; . L M 0 8 . 0 < ' A A(k) , A 0 > / , 3.: :5J:.*1) 8 8 # 0 A(k) ; < •

E U IQ

)9.0;5) C C 5 : 6 . L2 6 J , # 2 . ; < •

T Y POL

N H EC

)9.0;5) C C 5 . 0 . . # 6 , 1 A ( ? . ; "< ? , ) ; , 8 • <

ÉC

E L O

>)0+'+) C C " % ? 2 . * L2 >)0+'+) C C " % 6 7 7 = 2 & L2 " ( ∆t ∆x ; ∆t/(∆x)2 ( % 6 7 7 = * $ @ A *

E U IQ

( ) , : 0 6 , ' , , ; , , 6 A < Ω = (0, 1) × (0, L) . 1 ⎧ ∂2u ∂2u ⎪ ∂u ⎪ ⎨ − ν 2 − ν 2 = 0 (x, y, t) ∈ Ω × R+ ∗ ∂t ∂x ∂y ; -< u(t = 0, x, y) = u0 (x, y) (x, y) ∈ Ω ⎪ ⎪ ⎩ + u(t, x, y) = 0 t ∈ R∗ , (x, y) ∈ ∂Ω.

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

!! ! #

N H EC

&

E U IQ

* ΩA

, ∆x = 1/(Nx + 1) > 0 ∆y = L/(Ny + 1) > 0 ; . Nx Ny 8 < 3. ∆t > 0A ) , ;. 2 <

T Y POL

(tn , xj , yk ) = (n∆t, j∆x, k∆y) n ≥ 0, 0 ≤ j ≤ Nx + 1, 0 ≤ k ≤ Ny + 1.

LE O ÉC

@ unj,k . , (tn , xj , yk )A u(t, x, y) ; -<

y

(x j, y k)

k ∆y

ÉC

E L O

T Y POL

N H EC

E U IQ x

j∆ x

W 7 , ( )

1

A n > 0A un0,k = unNx +1,k = 0, ∀ k, unj,0 = unj,Ny +1 = 0, ∀ j.

u0j,k = u0 (xj , yk ) ∀ j, k.

0 :+4%9. )>3-'+'1) . n un+1 j,k − uj,k

∆t

+ν

−unj−1,k + 2unj,k − unj+1,k −unj,k−1 + 2unj,k − unj,k+1 + ν = 0 ; < (∆x)2 (∆y)2

E U IQ

n ≥ 0A j ∈ {1, ..., Nx} k ∈ {1, ..., Ny } ( 0 .

8 . '2

H C E T

N

>)0+'+) C C " % 2 2/ L∞

Y L O P

B $ 07 ν∆t ν∆t 1 + ≤ . 2 2 (∆x) (∆y) 2

LE O ÉC

!! !

-

N H EC

E U IQ

/ ; < ; I . < 2

. 6 ( , L0 M ; : ( . 0.01 . (1., 0.)<

LE O ÉC

T Y POL

ÉC

E L O

T Y POL

N H EC

E U IQ

W , . 6 ( 6 J ; < ;0 < 1 H A :+4%9. '93-'+'1) un+1 j,k

− unj,k

∆t

+ν

n+1 n+1 −un+1 j−1,k + 2uj,k − uj+1,k

(∆x)2

Y L O P +ν

H C E T

N

n+1 n+1 −un+1 j,k−1 + 2uj,k − uj,k+1

(∆y)2

E U IQ

= 0. ; <

+ A un+1 8 un A , # 0 ,

LE O ÉC

!! ! #

N H EC

E U IQ

, ; < + , 6 A : , . / . , , unj,k j k A % un 8 , . , ; : <

. unj,k ,

LE O ÉC

T Y POL

un = (un1,1 , ..., un1,Ny , un2,1 , ..., un2,Ny , ..., unNx ,1 , ..., unNx ,Ny ).

+ , L MA , 0 8 L M L M , 0 , j X k ;Nx 0 Ny

< 3. . A

; <

, . # L 0 M ⎞ ⎛ D1 E1 0 ⎟ ⎜ E1 D2 E2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ M =⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ENx −2 DNx −1 ENx −1 ⎠ 0 ENx −1 DN x

T Y POL

N H EC

E U IQ

R 0 Dj Ny ⎛ 1 + 2(cy + cx ) −cy 0 ⎜ −c 1 + 2(c + c ) −c y y x y ⎜ ⎜ Dj = ⎜ ⎜ ⎝ −cy 1 + 2(cy + cx ) −cy 0 −cy 1 + 2(cy + cx )

ÉC

E L O

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

ν∆t ν∆t t . cx = (∆x) 2 cy = (∆y)2 A 0 6 Ej = (Ej ) Ny ⎞ ⎛ −cx 0 0 ⎟ ⎜ 0 −cx 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Ej = ⎜ ⎟. ⎟ ⎜ ⎝ 0 −cx 0 ⎠ 0 0 −cx

H C E T

N

E U IQ

3 M # ' ] A

P 0 G , # ? M ;. , , # + <

LE O ÉC

Y L O P

!! !

"

N H EC

E U IQ

>)0+'+) C C " % - C % n+1/2

uj,k

− unj,k

∆t

n+1/2

+ν

O P LE O ÉC n+1/2

un+1 j,k − uj,k

T Y L

n+1/2

−uj−1,k + 2uj,k

n+1/2

− uj+1,k

2(∆x)2

n+1/2

+ν

∆t

n+1/2

−uj−1,k + 2uj,k

+ν

−unj,k−1 + 2unj,k − unj,k+1

n+1/2

− uj+1,k

+ν

2(∆x)2

2(∆y)2

=0

n+1 n+1 −un+1 j,k−1 + 2uj,k − uj,k+1

2(∆y)2

= 0.

$ 2 L2 %

3 G . A .

? , A 0 6 &'0)+1',*: .-1)0*%): ; , A :3-'11'*( < , A , 0 ; -<A . ∂2u ∂u − 2ν 2 = 0 ∂t ∂x

∂2u ∂u − 2ν 2 = 0 ∂t ∂y

T Y POL

N H EC

E U IQ

L # M ; -< * A ' %6/ ∆/2A 0 :+4%9.

&) &'0)+1',*: .-1)0*%): n+1/2

uj,k

E L O

− unj,k

ÉC ∆t

n+1/2

+ν

n+1/2

un+1 j,k − uj,k ∆t

n+1/2

−uj−1,k + 2uj,k

+ν

n+1/2

− uj+1,k

2(∆x)2

n+1 n+1 −un+1 j,k−1 + 2uj,k − uj,k+1

2(∆y)2

+ν

−unj−1,k + 2unj,k − unj+1,k =0 2(∆x)2 n+1/2

+ν

n+1/2

−uj,k−1 + 2uj,k

n+1/2

− uj,k+1

2(∆y)2

=0

; < , . # , : A ? A , .

# ; , < 9 A : 8 6 ' 0 . , 0 ; -<

E U IQ

>)0+'+) C C " % 2 $ 2 L2

%

H C E T

N

' ? 6 ( ) . 0 6 . 8 9 0 8

A 0 0 A

8 8 , 6 ) ;. ' $ -<

LE O ÉC

Y L O P

LE O ÉC

T Y POL

N H EC

E U IQ

"

zone oÚ l’on veut de la prÊcision

W + : ( ) J F R , .

N H EC

E U IQ

, 8 A 0)+1.*(5-.'0): , I 8 . , V * A , 0 : .

0 8 . , 6 . 8 ;∆x ∆y . x y A . A . 6 8 Y . 2 < : ( )

F , H * A ( ) 6 : . . 0 0 6

ÉC

E L O

T Y POL

#

# $

E U IQ

/ , , . , 6 0 (0, 1) . . V > 0 ⎧ ∂u ∂u ⎪ ⎨ +V = 0 (x, t) ∈ (0, 1) Ă— R+ ∗ ∂t ∂x ; < u(t, x + 1) = u(t, x) (x, t) ∈ (0, 1) Ă— R+ ⎪ ∗ ⎊ u(0, x) = u0 (x) x ∈ (0, 1).

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

!! !

"

N H EC

E U IQ

@ I , . ∆x = 1/(N +1) > 0 ;N 8< . ∆t > 0A (tn , xj ) = (n∆t, j∆x) n ≥ 0, j ∈ {0, 1, ..., N + 1}A unj . , (tn , xj )A u(t, x) ; <

un0 = unN +1 n ≥ 0A unj = unN +1+j * A , 6 ? . un = (unj )0≤j≤N ∈ RN +1 / 0 , , . ; < 3 ' . I? . :+4%9. )>3-'+'1)

LE O ÉC

T Y POL

+)*10%

un+1 − unj unj+1 − unj−1 j +V =0 ; < ∆t 2∆x n ≥ 0 j ∈ {0, ..., N } 0 )

.

)99) C C # &) " $" ,33 " $ " $" - " $ - " $ ,3 ' ) $ " ) " $ ) ' $ $ " $$ $" $ " / $ $ L2,

N H EC

E U IQ

%9,*:10.1',*C 3 , , . 5 # (tn , xj )A

. ) 8 A ? , * # 2 A 0 L2 3. 6 A 2 u ˆn (k) un . ) V ∆t sin(2πk∆x) u ˆn (k) = A(k)ˆ u ˆn+1 (k) = 1 − i un (k). ∆x

ÉC

E L O

T Y POL

@ . ) 8 , ) I A 2 V ∆t 2 |A(k)| = 1 + sin(2πk∆x) ≥ 1, ∆x . 2k∆x , 1 0 @ .

. 0 J , :+4%9. '93-'+'1) +)*10% n+1 un+1 un+1 − unj j j+1 − uj−1 +V = 0. ∆t 2∆x

; <

E U IQ

>)0+'+) C C " % 2 $

$ 2 2 ( + $ 2 ( L2 ( *

H C E T

N

, 0 ? A :+4%9. &) .> 0')&0'+4:

Y L O P

2un+1 − unj+1 − unj−1 unj+1 − unj−1 j +V =0 2∆t 2∆x A 0 A

LE O ÉC

; "<

"

E U # & < # ,3= " I " / Q $ $ N $ " $ ;< H C E " " $ $" - 7 ' " T )) " " 0 $ " $" Y L $ " $" - " $ - " $ ,3 " ) $ ) " " ) , $ $"' P "O $ " $$ $" $- 0 $", LE O ÉC

)99) C C

L2

|V |∆t ≤ ∆x.

∆t/∆x

∆t

∆x

%9,*:10.1',*C * # 2 u ˆn+1 (k) =

V ∆t sin(2Ď€k∆x) uˆn (k) = A(k)ˆ cos(2Ď€k∆x) − i un (k). ∆x

8 , ) |A(k)|2 = cos2 (2Ď€k∆x) +

V ∆t ∆x

2 sin2 (2Ď€k∆x).

E U IQ

@ . ) |A(k)| ≤ 1 k |V |∆t ≤ ∆x 8 A , 0 k |A(k)| > 1 0 * A ( . 5 # (tn , xj ) u J

T Y POL

N H EC

u(tn , xj+1 ) − u(tn , xj−1 ) 2u(tn+1 , xj ) − u(tn , xj+1 ) − u(tn , xj−1 ) +V = 2∆t 2∆x (∆x)2 (∆x)4 (V ∆t)2 2 . ; $< (ut + V ux ) (tn , xj ) − (t , x ) + O (∆x) + u 1− xx n j 2∆t (∆x)2 ∆t ' , O (∆x)2 /∆t A ,

ÉC

E L O

∆t . F . (∆x)2 * A , ∆t/∆x * 0 . 5 , en I I , A

en ≤ ∆tnKC

(∆x)2 ∆t

+ ∆t .

E U IQ

) ∆x/∆t , I 8 ∆t

0 . F A , R .

H C E T

N

)9.0;5) C C 62 , ;

. 1 ) < / . 6 8 8 ∆t 0

'2 0 A . 9 62 , •

LE O ÉC

Y L O P

!! !

"

N H EC

E U IQ

A A :+4%9. &) .> K)*&0,A un+1 − unj unj+1 − unj−1 j +V − ∆t 2∆x

O P LE O ÉC

T Y L

V 2 ∆t 2

unj−1 − 2unj + unj+1 = 0. (∆x)2

; &<

. , A @ . ? , u(tn+1 , xj ) = u(tn , xj ) + (∆t)ut (tn , xj ) +

(∆t)2 utt (tn , xj ) + O (∆t)3 . 2

9 , , . . . u(tn+1 , xj ) = u(tn , xj ) − (V ∆t)ux (tn , xj ) +

(V ∆t)2 uxx (tn , xj ) + O (∆t)3 . 2

E U IQ

9 ) A . 8 , u(tn+1 , xj ) = u(tn , xj ) − V ∆t +

N H EC

u(tn , xj+1 ) − u(tn , xj−1 ) 2∆x

T Y POL

(V ∆t)2 u(tn , xj+1 ) − 2u(tn , xj ) + u(tn , xj−1 ) 3 2 . + O (∆t) + ∆t(∆x) 2 (∆x)2

E L O

@ . 0 6\ ( O u(tn , xj ) unj + A A L M . , 6 , . * A 6\ ( ? , @ , . ) ;. ,9 < * A 0 L2 . '2 |V |∆t ≤ ∆x

ÉC

>)0+'+) C C " % D E * L2 |V |∆t ≤ ∆x >)0+'+) C C " % 7 % 07 |V |∆t ≤ ∆x ( %

D E V ∆t/∆x −1, 0, 1

H C E T

N

E U IQ

>)0+'+) C C " % D E 2 & % + $ 2 :

Y L O P

un+1 = αunj−1 + βunj + γunj+1 , j

LE O ÉC

4 α, β, γ V ∆t/∆x

N H EC

""

E U IQ

' , . I? ' A 8 0 L0 M , , . ; < &%+)*10)9)*1 .9,*1 / 8 :+4%9. &%+)*10% .9,*1

ÉC

OLE

T Y POL

un+1 − unj unj − unj−1 j +V =0 ∆t ∆x − unj un+1 unj+1 − unj j +V =0 ∆t ∆x

V >0

V < 0.

; -<

@ I? . ' 0 L∞ '2 A |V |∆t ≤ ∆xA 8 ' , A . L∞ , H . L2 . H '2

>)0+'+) C C " % 2 .

$ $ 2 2 ( + $ ( * L2 07 |V |∆t ≤ ∆x

N H EC

E U IQ

)9.0;5) C C * 0 6 ; R . V 6 H , u<A , D

A . ? 0 A 0 , ;. ? I T -U< 9 A 0 , A • . ,

ÉC

E L O

T Y POL 0

9 ; <

0

; <

0 L2

62 ; "<

0 L2 L∞

'2 |V |∆t ≤ ∆x

6\ ( ; &<

0 L2

'2 |V |∆t ≤ ∆x

1 ; -<

0 L2 L∞

'2 |V |∆t ≤ ∆x

9 O ∆t + (∆x)2 O ∆t + (∆x)2 2 O ∆t + (∆x) ∆t O (∆t)2 + (∆x)2 O ∆t + ∆x

H C E T

N

E U IQ

W + . , , .

Y L O P

* . , . A ; 8 <

,

.

LE O ÉC

!! !

"$

E U $ )) $ # " $ /" IQ N $ $ > " $" + " ) " ) $ ) " " H $ $" " $ " # , C E T Y OL P LE O ÉC %@*'1',* C C

%;5.1',* %;5'2.-)*1)

ÉC

E L O

T Y POL

N H EC

E U IQ

E U IQ

W D '2 ( 62 ; < ;0 <

H C E T

N

5 . . ' A I ? , , , A . . L

. MA H

. 9 , A L M . ,

. , . , 6

LE O ÉC

Y L O P

N H EC

E U IQ

"&

, * , 62 ; "< , 6 , . J , ; $<A 2 (V ∆t)2 − (∆x) * A ,

. 6 1 − u xx 2∆t (∆x)2 2 ∂u ∂2u ∂u (∆x)2 (V ∆t)2 +V − ν 2 = 0 . ν = ; < . 1− ∂t ∂x ∂x 2∆t (∆x)2

LE O ÉC

T Y POL

'

. . 6 9 ( A 62 0 ;? , < , . 6 ( ; < R :6 ( ν ;. '2 8 A

∆x = |V |∆t< + A :6 ( ν H . ? ( ;. 2 < : ( ν ,

. &'A5:',* *59%0';5) , A &'A5:'= ; 8< # , ( 8 ? ) ( 8 L . M

T Y POL

N H EC

E U IQ

>)0+'+) C C " $ % 2 .

∂u |V | ∂2u ∂u +V − (∆x − |V |∆t) 2 = 0. ∂t ∂x 2 ∂x

ÉC

E L O

( 8 ; 8 '2 6 8 A ∆x = |V |∆t< 9 A : ( ,

. . , ) . F ;? ∆x ) <A

62 ;. 2 < ' ( ( 2 R , , , . . . A [ A , ∆x = 0.01A . V = 1 ) T = 5 @ . ∆t = 0.9∆x ∆t = 0.45∆x

>)0+'+) C C " $ % D E 2 &

∂u V (∆x)2 ∂u +V + ∂t ∂x 6

(V ∆t)2 ∂ 3 u = 0. 1− (∆x)2 ∂x3

H C E T

N

E U IQ

' 6\ ( , A ,

. ( A &':3)0:'= + : . 8 : (

. ( 8 ', 6 ( 8 . A A ( 8

LE O ÉC

Y L O P

!! !

"-

N H EC

E U IQ

# , 8 ,

;. 2 "< 9 ( A 8 ) . 2 ; 6 8 . <A , ( 8 8 , ;. ,9 -<

LE O ÉC

T Y POL

ÉC

E L O

T Y POL

N H EC

E U IQ

N

E U IQ

" W ' 62 A 6\ (A [ ; < ;0 <

H C E T

3) , ( . . A , ∆x = 0.01A ∆t = 0.9 ∗ ∆xA . V = 1 ) T = 5 1 # J , 0

LE O ÉC

Y L O P

N H EC

E U IQ

"

A A

A ;. 2 "< ? , ( 8 J 6\ ( ? , 0 8 ,

.

LE O ÉC

T Y POL

>)0+'+) C C ) $

⎧ 2 3 ⎨ ∂u + V ∂u − ν ∂ u − µ ∂ u = 0 (x, t) ∈ R × R+ ∗ ∂t ∂x ∂x2 ∂x3 ⎩ u(t = 0, x) = sin(ωx + φ) x ∈ R,

V, ν, µ, ω, φ ∈ R "

u(t, x) = exp(−νω 2 t) sin ω(x − (V + µω 2 )t) + φ

E U IQ

' E $ ( *

N H EC

>)0+'+) C C % @ A *( * − 2∆t

un+1 j

T Y L

un−1 j

O P E L ÉCO

+V

− 2∆x

unj+1

unj−1

= 0.

8 $ % " : 7 $ 07 |V |∆t ≤ M ∆x M < 1

>)0+'+) C C % 0 = > % n+1 un+1 un+1 − unj unj+1 − unj−1 j j+1 − uj−1 +V +V = 0. ∆t 4∆x 4∆x

8 $ % " : 7 $

/ , 0 (0, 1) . ⎧ 2 ∂ u ∂2u ⎪ ⎪ ⎪ − 2 = 0 (x, t) ∈ (0, 1) × R+ ∗ ⎪ 2 ⎪ ∂t ∂x ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ u(t, x + 1) = u(t, x) (x, t) ∈ (0, 1) × R+ ∗ ; < ⎪ ⎪ ⎪ u(t = 0, x) = u0 (x) x ∈ (0, 1) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u ⎪ ⎩ (t = 0, x) = u1 (x) x ∈ (0, 1). ∂t

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

!! !

$

N H EC

E U IQ

3. H A , ? . un = (unj )0≤j≤N ∈ RN +1 6

un0 = unN +1 n ≼ 0A unj = unN +1+j ' ) . u 6 , . (0, 1) ; F ? , . 0 <A u 0 A

, 0 * A u0 ≥ 0 u1 ≥ C (0, 1)A ; < u(t, x) = Ct * ( A 8 , # .

# 1 u1 (x) dx = 0. ; <

LE O ÉC

T Y POL 0

* , ; < 0 θ :+4%9. +)*10% J n ≼ 1 j ∈ {0, ..., N }A un+1 − 2unj + un−1 j j (∆t)2 −unj−1 + 2unj − unj+1 +(1 − 2θ) (∆x)2

E U IQ

n+1 − un+1 −un+1 j−1 + 2uj j+1 (∆x)2 n−1 − un−1 −un−1 j−1 + 2uj j+1 +θ =0 (∆x)2

+θ

T Y POL

N H EC

; <

. 0 ≤ θ ≤ 1/2 θ = 0 0 A θ = 0

ÉC

E L O

u0j = u0 (xj )

u1j − u0j = ∆t

xj+1/2

u1 (x) dx, xj−1/2

. . ) ; < ' ( )

. ; < , A θ6 ; < ? , + . ;

0 . . 0 , A . 6 <

)99) C C 1/4 ≤ θ ≤ 1/2' θ # $" ,9 " $ $ " $$ $" " / $ $ L2, 0 ≤ θ < 1/4' " " / $ " $ ;< ∆t < ∆x

" $ " / ∆t/∆x > 1/

√ 1 − 4θ,

1 , 1 − 4θ

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

%9,*:10.1',*C ' , # 2 0 u ˆ

n+1

(k) + Îą(k) θˆ un+1 (k) + (1 − 2θ)ˆ un (k) + θˆ un−1 (k) = 0,

LE O ÉC

(k) − 2ˆ u (k) + uˆ n

n−1

.

α(k) = 4

T Y POL

N H EC ∆t ∆x

2

$

E U IQ

sin2 (πk∆x).

, , ? . ,

n+1 2−(1−2θ)α(k) uˆ (k) −1 n+1 1+θα(k) ˆ ˆ n (k), ˆ n (k) = A(k)U U (k) = = U uˆn (k) 1 0

LE O ÉC

ˆ 1 (k) . (λ1 , λ2 ) A(k) Uˆ n+1 (k) = A(k)n U # X λ2 −

2 − (1 − 2θ)α(k) λ + 1 = 0. 1 + θα(k)

∆=−

α(k)(4 − (1 − 4θ)α(k)) . (1 + θα(k))2

N H EC

E U IQ

, 0 A(k) , A(k)n 2 = ρ(A(k))n R ρ(A(k)) = max(|λ1 |, |λ2 |) # A(k) @ . ) *%+)::.'0) 0 > / A ρ(A(k)) ≤ 1 ;. + √ <A . ? ,9 : ∆t/∆x > 1/ 1 − 4θA I k ; sin2 (πk∆x) ≈ 1<

? ∆ > 0A λ1 λ2 A

? , 8 √ . 0 A ρ(A(k)) > 1A 0 ∆t/∆x < 1/ 1 − 4θA ∆ ≤ 0 k A I ? * A ρ(A(k)) = 1 0 > / 8

ÉC

E L O

T Y POL

>)0+'+) C C 7 2 A(k)n ( % 07 * F + 2 >)0+'+) C C 2 ( $ + ∆t/∆x = √

1/ 1 − 4θ 0 ≤ θ < 1/4 " θ % 2 2 unj = (−1)n+j (2n − 1) # $ $ * $ @ A un

H C E T

N

E U IQ

/ 2 $ 0 . θ6 ; θ = 0.25< ( . . A , ∆x = 0.01A ∆t = 0.9 ∗ ∆xA ) T = 5 u0 A u1

LE O ÉC

Y L O P

!! !

$

T Y POL

LE O ÉC

N H EC

E U IQ

N H EC

$ W ,

T Y POL

E U IQ

/ . . ,9 , ; < . ) . , A , 6?6 A t > 0A

E L O

E(t) = E(0) . E(t) =

ÉC

0

1

2 2 1 ∂u ∂u (t, x) dx + (t, x) dx. ∂t ∂x 0

. 0 , . ) ; 6 . < . . , * θ6

-!%*)0(') &':+0?1) E n+1 =

N

j=0

− unj un+1 j ∆t

2

. a∆x (u, v) =

+ a∆x (un+1 , un ) + θa∆x (un+1 − un , un+1 − un ) N uj+1 − uj vj+1 − vj ∆x

j=0

∆x

.

H C E T

N

E U IQ

' A E n+1 A ? O(∆x + ∆t) A , E(tn+1 ) / . ,

Y L O P

>)0+'+) C C " θ % 2 2 $ * (

LE O ÉC

$ + E = E n ≥ 0 n

0

N H EC

$

E U IQ

8 O ) , ; < # ,

∂u v = ∂u ∂t w = ∂x A ; <

. ? ⎧ ∂ ∂ v 0 1 v ⎪ ⎪ (x, t) ∈ (0, 1) × R+ = ⎪ ∗ ⎪ w 1 0 w ∂t ∂x ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ v(t, x + 1) = v(t, x), w(t, x + 1) = w(t, x) (x, t) ∈ (0, 1) × R+ ∗ ; < ⎪ ∂u ⎪ 0 ⎪ w(t = 0, x) = ⎪ (x) x ∈ (0, 1) ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎩ v(t = 0, x) = u1 (x) x ∈ (0, 1).

LE O ÉC

T Y POL

@ # . . 0

u ;

. 0 A <A v

. w 8 # ; < P , , . @ ) # .> 0')&0'+4: n n n n 1 1 − vj−1 2vjn+1 − vj+1 vj+1 − vj−1 0 1 − = 0, ; < n n n n wj+1 − wj−1 1 0 2wjn+1 − wj+1 − wj−1 2∆t 2∆x

T Y POL

N H EC

E U IQ

0 # .> K)*&0,A n+1 n n 1 1 vj − vjn vj+1 − vj−1 0 1 − n n wj+1 − wj−1 1 0 wjn+1 − wjn ∆t 2∆x

ÉC

E L O +

∆t 2(∆x)2

0 1 1 0

2

n n −vj−1 + 2vjn − vj+1 n n n −wj−1 + 2wj − wj+1

; "<

= 0.

>)0+'+) C C " % 7 % 2

L2 07 ∆t ≤ ∆x( $ + $ ∆t/∆x * ∆t ∆x #

>)0+'+) C C " % D E 2 ! L2 07 ∆t ≤ ∆x( $ + $ 2

' , , . A 8 0 L0 M &%+)*10)9)*1 .9,*1 ' A , , # , . .

. 9 8 A : 0 1 J= 1 0

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

0 , .

6 ( , , ' .

LE O ÉC

!! !

$

N H EC

E U IQ

J ;1 −1 , <

I X . A 0 . 6 ' # # # # 0 A A # F ;. T -U . # <

LE O ÉC

ÉC

T Y POL

E L O

T Y POL

LE O ÉC

N H EC

Y L O P

E U IQ

H C E T

N

E U IQ

ÉC

T Y POL

N H EC

E U IQ

E L O

UE

$

,

O P E L ÉCO

C E T LY

IQ N H

1 ? , # %;5.1',*: .5> &%0'2%): 3.01')--): &) 1B3) )--'31';5) ;. 1 ) " "< 9 6

? # A , 6?6 / 0 6 0 A , 6?6 , A A G ,

. .330,+4) 2.0'.1',**)--) 1

, H A A H , # L M , 9 86 8 A . 0 , . ; # 0 # 0 <A 6 ) . ' $ * A # 3 8 ,

. V 3

. A , # , 6 . # 0

. −∆u = f Ω ; < ∂Ω u=0

LE O ÉC

Y L O P $"

H C E T

N

E U IQ

! $

$$

N H EC

E U IQ

R 1 ; . # ? 6 < 1 ; <A Ω . , RN A ∂Ω 0 ; 8 <A f 0 ;

0 <A u , E G A ' " 0 , . #

. , Q ? , .

. 1 8 , A =,095-): &) #0))*A

) , =,095-.1',* 2.0'.1',**)--) 14%,0?9) &) .> '-(0.9

, , , 8 . / . . 0 . 0 , C 1 (Ω) 8 G ( 0 ) L MA , 6 0 . H 1 (Ω) ' , , .

, . ; . # ? , # T &U <

LE O ÉC

T Y POL

T Y POL

+

N H EC

E U IQ

8 L M ; <A

P L M ? . A : u ) 6 ; < Ω ∂Ω + , 0 , 8

ÉC

E L O

" Ω $ - " RN ' Ω " , $ $ " C(Ω) ) " - $"' C(Ω) ) $ " $ $" $ $ Ω ) " - $"' $ Ω , " $ $" k ≥ 0, $ $ " C k (Ω) ) " - $"' C k (Ω) ) $ " $ k $" $4 $" - / $ Ω ) " - $"' $ Ω , %@*'1',* C C

:,-51',* +-.::';5) ; :,-51',* =,01)< ; < u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω)A

0 f ? C(Ω) ' 8 0 0 V A A # f ∈ C(Ω)A , C 2 ; < , ;N ≥ 2< 9 8 A 0 A . A , C 2 ; 8 f C(Ω)< , ;N = 1<

, 8 . ;. ,9 <A . A H 8 . 0 A 8 1

A ; <A 8

8 A . A 0 .

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

%

E U

# I Q N H C E T Y L O P LE O ÉC

$&

9 , ;N = 1<A Ω = (0, 1)A 0 ; < . ⎧ ⎨ d2 u − 2 =f 0 < x < 1 ; < dx ⎩ u(0) = u(1) = 0. ' 0 , V

>)0+'+) C C ) f [0, 1]( 2 C 2 ([0, 1])

1

u(x) = x

f (s)(1 − s)ds −

0

x

f (s)(x − s)ds x ∈ [0, 1].

; <

0

E U IQ

* 6 0 8 ; <

, I ,

. 0 9 , A , L . M I

A ,# , . 0 A L , ( M ' A , ; < , ( L M R 8 L 0 M X , , . [0, 1] ', ? ( 0 ; . L 0 M< 0 ' # ; . L 0 M< . A H A , ( ; < ; < * m ∈ RA 0 ' # . ⎧ ⎨ d2 u − 2 = f 0 < x < 1 ; < dx ⎩ (0) = m. u(0) = 0, du dx

ÉC

E L O

T Y POL

N H EC

1 8 O . ; < J : , ; , , ' #6 F< , A A ; < [ . ; < ; <

. ,

m ; < . ) u(1) = 0 ; < ', 9%14,&) &5 1'0

A 0 , . A 0 ; < . A . m ; <A 0 ' # ; < ; I <A

u(1) . m 9 , :

, . I

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

! $

$-

N H EC

E U IQ

, 8 0

, ? . . 0 ' #

T Y POL

# %

LE O ├ЙC

, . 6 . , 8

. A . 6 A 0 , 8 A ' ? , 6 0 8 . A O ? I

+ -

E U IQ

1 6 тДж . , RN ;0 <A 0 ; 8 < тИВтДж / тДж . 0%(5-')0 C 1 ) , . 0 1 ) "A , 0 0

: I . , . 0 . 0 # 8 ; . N тИТ 1< A . , 8 @ ) *,09.-) )>1%0')50) 0 тИВтДж .

n = (ni )1тЙдiтЙдN тДж . , тДж ;. 2 < 1 тДж тКВ RN dx . A 0 N тИВтДжA ds 8 A 0 N тИТ 1 . тИВтДж 6

. ;. & $ T &U

8 ? ( A " T$U<

├ЙC

T Y POL

E L O

N H EC

" тДж $ - " 0 C 1 , " $ $ " $ C 1 (тДж) )) " / $ $ тДж, - * ? $

4%,0?9) C C $ ,095-) &) #0))*6 w

тДж

тИВw (x) dx = тИВxi

; "<

w(x)ni (x) ds, тИВтДж

. ni " i + ) $" $ &" $ " тДж,

H C E T

N

E U IQ

)9.0;5) C C 1 , 8 w 0 8

тДж . , , ? , ) 8 , 0 @ 8 w тДж ; J , w , 0 тИВтДж< 9 A , # 5 ?

0 8 w тДж , . тДж 0 тДж , 0 A # ; "< ) тАв

LE O ├ЙC

Y L O P

$

∂Ω

ÉC

OL

O P ω 0 E

T Y L

N H EC

$

E U IQ yN Q+

φi

y

ωi+1

Q

ωi ωi−1

Ω

E U IQ

W 1 ) , .

T Y POL

N H EC

5 0

6 8 4 ; "<

. 8 4 ; "< V

E L , " " & $ " $ O

" Ω $ - " 0 C u v C 1 (Ω) )) " / $ $ Ω, - * $" $" 0 " $ ) ) " ,0,--.'0) C C $ ,095-) &!'*1%(0.1',* 3.0 3.01')6

ÉC

1

∂v u(x) (x) dx = − ∂x i Ω

∂u v(x) (x) dx + ∂x i Ω

; $<

u(x)v(x)ni (x) ds. ∂Ω

%9,*:10.1',*C : w = uv 5

" Ω $ - " 0 C 1 , " u $ $ " $ C 2 (Ω) " v $ $ " $ C 1 (Ω)' " " & )) " / $ $ Ω, - * $" $" 0 " $ ) ) " ,0,--.'0) C C

∆u(x)v(x) dx = −

. ∇u =

Ω ∂u ∂xi

1≤i≤N

∇u(x) · ∇v(x) dx + Ω

H C E T

" - " 0 $" u' "

Y L O P

∂Ω

∂u ∂n

%9,*:10.1',*C @ ' ? v

LE O ÉC

∂u (x)v(x) ds, ∂n

= ∇u · n,

∂u ∂xi

N

E U IQ

i

; &<

! $

&

E U " 0 $ " $ - " I Q - $ $" & " $ $ / *$ - " H N " C E T Y " ' ) # - < 0 3, ' & " $ )) " $ / > " - L ' P O $ $ / E L O É C $" $- " ' " " %@*'1',* C C

Ω

k≥1

Ck

(ωi )0≤i≤I

ω0 ⊂ Ω,

Ck

φi

R

N

Ω⊂

∪Ii=0 ωi ,

∂Ω ⊂ ∪Ii=1 ωi ,

i ∈ {1, ..., I} ωi Q = y = (y , yN ) ∈ RN −1 × R, |y | < 1, |yN | < 1 ,

Ck φi (ωi ∩ Ω) = Q ∩ y = (y , yN ) ∈ RN −1 × R, yN > 0 = Q+ , φi (ωi ∩ ∂Ω) = Q ∩ y = (y , yN ) ∈ RN −1 × R, yN = 0 .

Ω

Ω

T Y POL

N H EC

E U IQ

W 1 , . J . ) ? A . .

0 ?

E L O

)9.0;5) C C E 2 .

0 A 1 ) " , ? . 0 1 ) " , 6 . 0 , 8 A .

, 8 2 # , .

0 A 0 ) A 0 ' L . M J , . ) # 0 ) @ . . L MA ? 8 L M 8 ( ; , 0 <

2π ; , ) < 5 A . # ? + & 0 •

ÉC

H C E T

N

>)0+'+) C C 6 ? ! ) =

divσ(x)φ(x) dx = − Ω

σ(x) · ∇φ(x) dx + Ω

Y L O P

E U IQ

σ(x) · n(x) φ(x) ds,

∂Ω

4 φ C 1 (Ω) σ + C 1 (Ω)( + Ω

LE O ÉC

$

N H EC

&

E U IQ

>)0+'+) C C ' N = 3 $ Ω R3 ( φ = (φ1 , φ2 , φ3 )( Ω R3 ∂φ3 ∂φ2 ∂φ1 ∂φ3 ∂φ2 ∂φ1 rotφ = − , − , − . ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2

LE O ÉC

T Y POL

- φ ψ ( + C 1 (Ω)( +

Ω( ? !

rotφ · ψ dx −

φ · rotψ dx = −

Ω

Ω

(φ × n) · ψ ds. ∂Ω

+ $

* ) A , . Ω 0 A 0 f ; < Ω 6

.

0,3,:'1',* C C

E U Q ) , " ) I *$ N H C E

" u $ $ " $ C 2 (Ω) X = φ ∈ C 1 (Ω) " φ = 0

T Y POL

X

∂Ω .

u " $ " $ ) / + & " 3, " $" u )) " $" X " - * 0 "

ÉC

E L O

∇u(x) · ∇v(x) dx =

Ω

f (x)v(x) dx Ω

) " " $ " $ v ∈ X.

; -<

0 " 3, " )) =,095-.1',* 2.0'.1',**)--) ) / + & " 3, , )9.0;5) C C H 8 . ; -< , u 8 C 1 (Ω)A 6 ? 8 L M ; <

u ? C 2 (Ω) @ I? , ; -< ; <

, 1 8 . ; -<A 8 v =,*+1',* 1):1 8 . 8 8 8 0 0 ; < 9 A 8 . L . . M 9 # A , 0

8 , v = u ; -<A 0 , . , %(.-'1% &!%*)0(')A

, % Ω ; ; -<< ? f ; ; -<< •

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

! $

&

N H EC

E U IQ

%9,*:10.1',*C u 0 ; <A , 6 v ∈ X 8 , ' ∂u ∆u(x)v(x) dx = − ∇u(x) · ∇v(x) dx + (x)v(x) ds. Ω Ω ∂Ω ∂n

LE O ÉC

T Y POL

@ v = 0 ∂Ω

v ∈ X A f (x)v(x) dx = ∇u(x) · ∇v(x) dx, Ω

Ω

, , 8 ; -< + A u ∈ X . ) ; -<A

L? , . M 8 , 0 ∆u(x) + f (x) v(x) dx = 0 8 v ∈ X. Ω

E U IQ

' (∆u + f ) 8 A Q −∆u(x) = f (x) x ∈ Ω * A u ∈ X A . u = 0 ∂ΩA , 6?6 u 0 ; <

T Y POL

N H EC

" Ω $ - " RN , " g(x) $ $ " $ $" $ $ Ω, ) " " $ " $ φ C ∞ (Ω) )) " ) " $ Ω' $

)99) C C

ÉC

E L O

g(x)φ(x) dx = 0,

Ω

$ " $ g " $ $ Ω, %9,*:10.1',*C , x0 ∈ Ω g(x0 ) = 0 A g(x0 ) > 0 ; −g < *

A . . ω ⊂ Ω x0 g(x) > 0 x ∈ ω 8 . A A φ ? ω @ g(x)φ(x) dx = g(x)φ(x) dx = 0, Ω

ω

E U IQ

. , # g 1 g(x) = 0 x ∈ Ω

)9.0;5) C C 9 8 . 6

; -< 8 J . u ∈ X

H C E T

a(u, v) = L(v) 8 v ∈ X,

.

OLE

a(u, v) =

ÉC

Y L O P

∇u(x) · ∇v(x) dx

Ω

N

$

N H EC

L(v) =

T Y POL

f (x)v(x) dx,

&

E U IQ

Ω

R a(·, ·) 8 0 X L(·) 8 X ', 8 0 ; . # < 8 . •

LE O ÉC

, -!.330,+4) 2.0'.1',**)--) , , 6 8 . ; -<A

P H , ; < ? * & 9 ( A . , ? 8

# 8 6 . / 8 , 8 ; A , X < = 0 A

, X = {v ∈ C 1 (Ω), v = 0 ∂Ω}

L M 0 : , , . , 8 X A ? . , 0 . H01 (Ω)

0 = 0 ;. ' <

N H EC

E U IQ

>)0+'+) C C >

T Y POL

E L O

−∆u = f ∂u ∂n = 0

Ω ∂Ω.

; <

) u C 2 (Ω) " u / u + C 1 (Ω) $ *

ÉC

f (x)v(x) dx v ∈ C 1 (Ω).

∇u(x) · ∇v(x) dx =

Ω

; <

Ω

2 '

$ $ $ C (Ω) / Ω f (x)dx = 0

>)0+'+) C C $ ⎧ ⎨ ∆ (∆u) = f u=0 ⎩ ∂u ∂n = 0

Ω ∂Ω ∂Ω

H C E T

E U IQ ; <

N

∂v $ ∂Ω ) X $ v C 2 (Ω) v ∂n 4 u C (Ω) " u u + X $ *

Ω

Ω

Y L O P

f (x)v(x) dx v ∈ X.

LE O ÉC

∆u(x)∆v(x) dx =

; <

! $

&

N H EC

& ' ()

' &

T Y POL

E U IQ

/ . 0 0 , , , 8 . = 0 @ V = 0

,

. + 8 . # J

LE O ÉC

. u ∈ V a(u, v) = L(v) 8 v ∈ V.

; <

# a L L(·) 8 V A , 6?6 v → L(v) V R C > 0 |L(v)| ≤ C v v ∈ V ;

E U IQ

a(·, ·) 8 0 V A , 6?6 w → a(w, v) 8 V R v ∈ V A v → a(w, v) 8 V R w ∈ V Y a(·, ·) A , 6?6 , M > 0

T Y POL

N H EC

|a(w, v)| ≤ M w v w, v ∈ V ;

E L O

; <

a(·, ·) +,)0+'2) ; <A , 6?6 , ν > 0

ÉC

a(v, v) ≥ ν v 2 v ∈ V.

; "<

' . 6 A # 6 . ; < 9 A . a(·, ·)

4%,0?9) C C $ .> '-(0.96 " V $ ) @ / " ' L(·) $ $ $" $ V ' a(·, ·) $ / $ $" $ - V , " $ - " $$ 3, 3 " $ $ " $, 8 ) "" " $ ) $ $" $4 $" $ L, %9,*:10.1',*C * w ∈ V A , v → a(w, v) 8

E U IQ

V J A 5 - + F P , V A A(w)A

H C E T

a(w, v) = A(w), v v ∈ V.

Y L O P

N

* A 0 a(w, v) . , w → A(w) 1 A v = A(w)A

; < a(w, v)

LE O ÉC

A(w) = a(w, A(w)) ≤ M w A(w) , 2

& %

N H EC

E U IQ

&"

, 6?6 A(w) ≤ M w w → A(w) 6 5 - + F , V A f A f V = L V

T Y POL

L(v) = f, v v ∈ V.

LE O ÉC

2 A 0 . ; <

. ? J . u ∈ V A(u) = f.

; $<

* 8 , A 0 I 8 V V ;

, , u< .

;

. u ? L< . ; "< a(w, v) ν w 2 ≤ a(w, w) = A(w), w ≤ A(w) w ,

ν w ≤ A(w) w ∈ V,

E U IQ

; &<

, 6?6 A I 8 * A I 8A , 6?6 Im(A) = V ;

, . V ) <A : Im(A) 8 V Im(A)⊥ = {0} 9 ( A . V = {0}⊥ = ( Im(A)⊥ )⊥ = Im(A) = Im(A)A

. 0 A I 8 A(wn )

Im(A)

. . b V 9 . ; &< ν wn − wp ≤ A(wn ) − A(wp )

ÉC

E L O

T Y POL

N H EC

. F n p . , ) 1 wn

' # , = 0 V A , 6?6 , . . w ∈ V 3 A

A

A(wn ) . . A(w) = bA , 6?6 b ∈ Im(A) Im(A) 8 1, A v ∈ Im(A)⊥ Y . ; "< a(w, v) ν v 2 ≤ a(v, v) = A(v), v = 0,

, 6?6 v = 0 Im(A)⊥ = {0}A

. A 0 I 8 A−1 . J , ; &< . w = A−1 (v) . A−1 A u G f

E U IQ

)9.0;5) C C , = 0 V ) ;

, 6 I . <A

5 67 ) 0 9 ( A ) , I . ; &< A

. ? . 0 @ . 0 ; < , # . 8 0 a(w, v) 0

,

, I . A + ) A V = RN A 8 . , , A Au, v = f, v v ∈ RN A , # Au = f •

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

! $

&$

N H EC

E U IQ

)9.0;5) C C ;

6 D < 5 67

. @ I ,? 8 ; $< 6 0 * , , u ; $<A

: T V V A ) ν T (w) = w − µ A(w) − f . µ = 2 , M

LE O ÉC

T Y POL

. , A

. , , u ∈ V T (u) = u ; , R < 9 ( A T (v) − T (w) 2

= v − w − µA(v − w) 2 = v − w 2 − 2µ A(v − w), v − w + µ2 A(v − w) 2 = v − w 2 − 2µa(v − w, v − w) + µ2 A(v − w) 2 ≤ (1 − 2µν + µ2 M 2 ) v − w 2 ≤ (1 − ν 2 /M 2 ) v − w 2 .

T Y POL

N H EC

E U IQ

•

8 . . # A 8 0 # 9 ( A 8 . ; < 9'*'959 &!5*) %*)0(') ; # <

ÉC

E L O $ ) #!) "#+ A# + 3,3, &

0,3,:'1',* C C

B 0 , $ )) $ ) / $ " ! " a(w, v) = a(v, w) ) " " v, w ∈ V , " J(v) $ 0 *$ ) v ∈ V ) J(v) =

1 a(v, v) − L(v). 2

; -<

" u ∈ V " $ $ " $ - " $$ 3, 3 , u " $ ) $" $ $ 0 ' " J(u) = min J(v). v∈V

E U IQ

C ) $"' u ∈ V " $ ) $" $ $ 0 J(v)' u " " $ $ " $ - " $$ 3, 3 ,

H C E T

N

%9,*:10.1',*C u 8 . ; <A . 6 ; Q ? # a<

LE O ÉC

Y L O P

1 1 J(u + v) = J(u) + a(v, v) + a(u, v) − L(v) = J(u) + a(v, v) ≥ J(u). 2 2

& %

N H EC

E U IQ

&&

' u + v V A u 0 , J V + 6 A u ∈ V J(u) = min J(v).

O P LE O ÉC

T Y L

v∈V

* v ∈ V ) 8 j(t) = J(u + tv) R R ; , , # X t< ' t = 0 j A

j (0) = 0

A A 8 . ; <

)9.0;5) C C / . ' A 8 0 6 a # A 5 6 7 ? , , , ; < 9 ( A , , , J(v) 9 . * A , , 8 . •

.

N H EC

E U IQ

9 # , 5 67 ? 8 . 6 ; -< . 1 ' 6 , 0 8 ; < . a(u, v) = ∇u(x) · ∇v(x) dx

ÉC

E L O

T Y POL Ω

L(v) =

f (x)v(x) dx, Ω

R a(·, ·) 8 0 A L(·) 8 , V ; X < V = v ∈ C 1 (Ω), v = 0 ∂Ω . ; < '

V w, v = ∇w(x) · ∇v(x) dx,

; <

Ω

v =

1/2 |∇v(x)|2 dx .

Ω

H C E T

N

E U IQ

@ . ) ; < )

V J

,# v = 0 ⇒ v = 0 9 ( A , |∇v(x)|2 dx = 0

ÉC

OLE

Y L O P

Ω

! $

&-

N H EC

E U IQ

v ΩA v = 0 ∂Ω 0 v = 0 . ; <

0 G 8 8 0 a(·, ·) .51,9.1';5)9)*1 +,)0+'2) ; < @ . ) a * L A 8 8 ? , * $ J 1/2 1/2 2 2 f (x)v(x) dx ≤ |f (x)| dx |v(x)| dx ≤ C v ,

LE O ÉC

T Y POL

Ω

Ω

Ω

R C

f v 1 L V 5 # 5 67 0 . ) A

H J , V , = 0 ,

; < V , 0 .

, C 1 8 , V 8 O A A : V V A 8

; < . A , 8 : J ? 0 0 , V K ' J V , 0 . H01 (Ω) 8 0 : . * & ;

,

. 0 ; < 8 . ; -<< . , V V / . . +.0.+1?0) *.150)- )1 '*%-5+

T Y POL

N H EC

E U IQ

1./-) &): ):3.+): &) ,/,-)2 &.*: -. 0%:,-51',* &): =,095-.1',*: 2.0'.1',* *)--): , . 5

ÉC

E L O

A * A .

)99) C C " Ω $ - " RN / $ $ $ $ " $ ) , & " $ $ " $" C > 0 " ' ) " " $ " $ v ∈ C 1 (Ω) $$ / ∂Ω' |v(x)|2 dx ≤ C Ω

|∇v(x)|2 dx. Ω

%9,*:10.1',*C , # 0 Ω ; . < x ∈ Ω x1 0 A −∞ < a ≤ x1 ≤ b < +∞ v 8 C 1 (Ω)

∂Ω @ ,

F Ω ;v 8 C 1 RN < A x ∈ ΩA x1 ∂v v(x) = (t, x2 , ..., xN ) dt, ∂x 1 a

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

, R ,

, ' #6 C F 2 2 x1 b ∂v ∂v 2 |v(x)| ≤ (x1 − a) ∂x1 (t, x2 , ..., xN ) dt ≤ (b − a) ∂x1 (t, x2 , ..., xN ) dt. a a

LE O ÉC

& %

Ω 0

N H EC

T Y POL |v(x)|2 dx ≤ (b − a)

Ω

Ω

b

a

&

E U IQ

2 ∂v ∂x1 (t, x2 , ..., xN ) dt dx,

? t x1 A 2 ∂v 2 2 dx ≤ (b − a)2 |v(x)| dx ≤ (b − a) (x) |∇v(x)|2 dx. Ω Ω ∂x1 Ω

LE O ÉC

>)0+'+) C C

$ V ( / 2; ( $ ) Ω RN ) N = 1( ⎧ − 1 < x < −n−1 , ⎨ −x − 1 2 (n/2)x − 1 + 1/(2n) − n−1 ≤ x ≤ n−1 , un (x) = ⎩ x−1 n−1 < x < 1.

) N = 2( 0 < α < 1/2(

T Y POL

N H EC

E U IQ

un (x) = | log(|x|2 + n−1 )|α/2 − | log(1 + n−1 )|α/2 .

E L O

) N ≥ 3( 0 < β < (N − 2)/2(

ÉC

un (x) =

(|x|2

1 1 − . −1 β/2 +n ) (1 + n−1 )β/2

" un 0 %: V $ * V n $

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

! $

-

LE O ÉC

ÉC

T Y POL

E L O

N H EC

T Y POL

LE O ÉC

E U IQ

N H EC

Y L O P

E U IQ

H C E T

N

E U IQ

T Y POL

N H EC

E U IQ

LE O ÉC

%

T Y POL

N H EC

E U IQ

1 ) 0 .

-): ):3.+): F*.150)-:G &) =,*+1',*: 3)09)11.*1 &) 0%:,5&0) -): =,095-.1',*: 2.0'.1',* *)--): &!%;5.1',*: .5> &%0'2%): 3.01')--): * # A 0 . , =,*+1',*: &!%*)0(') @*') '

E L O

L M . . , L M / A 0 P 6 0

A # 9 A , P ; 8 < ' A ) , . 8 . ? , . A . 6 A A # .

0 , H 0 . *:':1,*: )*+,0) 3,50 &'0) ;5) +!):1 -!):30'1 &): 0%:5-1.1: 3-5: ;5) -. -)110) &): &%9,*:10.1',*: ;5' ):1 '93,01.*1 '+'

ÉC

. ' 0 .

6 ? 8 0 , L2 8 0 A ? I @ #

&%0'2.1',* =.'/-) ) , 8 0 P 0 .

. 9 ) A "

P 0 ;

, <A 8 0 . 0 3 ) ./-).5 C 0%+.3'15-) 1,5: -): 0%:5-1.1:

LE O ÉC

*%+)::.'0): 3,50 -. :5'1)C

Y L O P -

H C E T

N

E U IQ

$

-

N H / #

C E T Y L O P LE O ├ЙC

E U IQ

* + % , +

5 6 6 T$U тДж . RN 0 @ ) , L2 (тДж) 8 0 0 тДж 7

f, g = f (x)g(x) dx, тДж

L2 (тДж) = 0 ;. T$U< @ f L2 (тДж) =

1/2 |f (x)| dx 2

тДж

E U IQ

+ 8 0 тДж ) 30):;5) 3.01,51 тДж J . , 8 0 f

6 0 тДж A 8 0 f 3 A 8 0 f g f (x) = g(x) тДжA , 6?6 , E тКВ тДж 0 E f (x) = g(x) x тИИ (тДж \ E) @ CcтИЮ (тДж) ; D(тДж)< , 8 C тИЮ ? тДж + , CcтИЮ (тДж) ,

? 8 ;

, . V > $ T$U< / 8 CcтИЮ (тДж) , A . A 0 тДж /

. ;. T$U<

├ЙC

E L O

T Y POL

N H EC

) CcтИЮ (тДж) " $ $ L2 (тДж)' " ) " " (тДж) & " $ " fn тИИ CcтИЮ (тДж) "

4%,0?9) C C f тИИL

2

lim f тИТ fn L2 (тДж) = 0.

nтЖТ+тИЮ

.

,0,--.'0) C C

" f тИИ L2 (тДж), ) " " $ " $ ╧Ж тИИ CcтИЮ (тДж) $

f (x)╧Ж(x) dx = 0, тДж

f (x) = 0 ) ) " " $ тДж,

H C E T

N

E U IQ

%9,*:10.1',*C fn тИИ CcтИЮ (тДж)

8

. .

Y L O P

f L2 (тДж) . 5 @ 0 = lim f (x)fn (x) dx = |f (x)|2 dx,

OLE nтЖТ+тИЮ

├ЙC

тДж

тДж

!

$ !

E U IQ

-

H N %

C * ' ' ? E T Y L # ! O P E @ ( & %

L O * ' ' & " C

" "

? ├Й , R ,

f (x) = 0 тДж p

1 тЙд p тЙд +тИЮ p

L (тДж)

+тИЮ Lp (тДж)

f Lp (тДж) =

1тЙдp< тДж

1/p

|f (x)|p dx

,

тДж

Lp (тДж) LтИЮ (тДж)

p = +тИЮ

f |f (x)| тЙд C

C>0

f LтИЮ (тДж) = inf C тИИ R+ LтИЮ (тДж) @ ( Lq (тДж)

1 тЙд q тЙд p тЙд +тИЮ

тДж

тДж

" |f (x)| тЙд C тДж

# !

,

A " тДж

% ' Lp (тДж) тКВ

* $ 0 &

N H EC

E U IQ

@ ) , 0 . 8 0 L (тДж) ' . ; 8 A A . 8 < . 0 ;. T$U " 0 8 < 2

T Y $ O L , $ " P $ " $

" v L2 (тДж) v " - / $ / $ L (тДж) & " $ " $ wi тИИ L2 (тДж)' ) i тИИ {1, ..., N }' " ' ) " " $ " $ ╧Ж тИИ CcтИЮ (тДж)' $

%@*'1',* C C

E L O 2

├ЙC

v(x) тДж

тИВ╧Ж (x) dx = тИТ тИВxi

wi (x)╧Ж(x) dx. тДж

;# wi " )) i + - ) " / v " $ "

тИВv тИВxi

,

тИВv . 1 ) 0 J A wi = тИВx i A . ' A 8 wi ; < E G A v . 0 . ? L2 (тДж)A . 8 0 v [ 1

8 . 0 8 0

E U IQ

" v $ $ " $ L2 (тДж), & " $ $ " $" C > 0 "

' ) " " $ " $ ╧Ж тИИ CcтИЮ (тДж) " ) " " $ i тИИ {1, ..., N }' $

)99) C C

H C E T

v(x) тИВ╧Ж (x) dx тЙд C ╧Ж L2 (тДж) , тИВxi тДж

v

Y L O " - / $ / , P LE O ├ЙC

N

; <

$

-

N H EC

%9,*:10.1',*C L 8 )

E U IQ

∂φ L(φ) = v(x) (x) dx. ∂x i Ω

T Y POL

3 L(φ) , ) φ ∈ Cc∞ (Ω)A Q ? , ; <A L

? 8 L2 (Ω) Cc∞ (Ω) L2 (Ω) , 5 9 8 A , ; < . 8 L L2 (Ω) 9 . 5 - + FA 8 (−wi ) ∈ L2 (Ω) L(φ) = − wi (x)φ(x) dx,

LE O ÉC

Ω

. v . 0 8 0 L2 (Ω)

E U IQ

>)0+'+) C C ) Ω = (0, 1) " xα

L2 (Ω) α > 1/2

N H EC

>)0+'+) C C ) Ω " $ Ω( C 1

L2 (Ω)

T Y POL

>)0+'+) C C ) Ω " $ C 1

$ L2 (Ω)

E L O

@ . 0 .

C " $ $ " $ É

" " - ) " / ' )

L2 (Ω) - / $ / " " 1 ≤ i ≤ N ' $" $ , ' ) ) $" $$ & Ω' & " $ $ " $" C " v(x) = C )

0,3,:'1',* C C

v

# ) " " $ "" ) $" $$ & ,

∂v ∂xi

%9,*:10.1',*C * ψ ∈ Cc∞ (Ω)A

v(x) Ω

∂ψ (x) dx = 0. ∂xi

; <

E U IQ

Q =] − , + [N 0 . Ω ; . > 0<A θ(t) ∈ Cc∞ (− , + ) + θ(t) dt = 1. −

* 8 φ ∈

Cc∞ (Q)

H C E T

)

xi + ψ(x , xi ) = φ(x , s) ds − φ(x , t) dt, θ(t)

OLE −

ÉC

Y L O P −

N

!

$ !

N H EC

. x = (x , xi ) x ∈ R ? Cc∞ (Q)

T Y L

∂ψ (x , xi ) = θ(xi ) ∂xi

O P LE O ÉC

N −1

+

−

xi ∈ R @ . ) 8 ψ

φ(x , s) ds − φ(x , xi ).

3. 8 ψ , ; < .

+

v(x)φ(x) dx

Q

=

v(x)θ(xi ) = φ(x , s)

− +

Q

φ(x , s) ds dx dxi

v(x , xi )θ(xi ) dxi

−

Q

E U IQ

-"

dx ds

Q 2 0 ' φ A '

+ v(x) = v(x , s)θ(s) ds, −

N H EC

E U IQ

, 6?6 v xi Q 9 xi A 0 v(x) Q ' H Ω . H P 0 ; . 0 <

A v(x) Ω

ÉC

E L O

T Y POL

@ 8 1 ) . 8 0 ? (

8 . 0 . ; < ', . , 8 ? . .

$ $ " $ Ω $ RN $" " " ) $" )) " $$ $" L (Ω) $ $ " σ ∈ L2 (Ω)N , $ " σ " $ - 0 $ $ / $ L2(Ω) & " $ $ " $ w ∈ L2(Ω) " ' ) " " $ " $ φ ∈ Cc∞ (Ω)' $ %@*'1',* C C

"

σ

2

σ(x) · ∇φ(x) dx = − Ω

w(x)φ(x) dx. Ω

E U IQ

$ " $ w " )) - 0 $ / σ " $ " divσ,

H C E T

N

I ) 1 ) $ A σ 8 A

;. ' < , 0 w = divσ 8 . 8 0

. ;

, <

LE O ÉC

Y L O P

$

-$

E U , & " I $ " $ $ " $ Q $ " $" N

' ) " " $ " $ ' $ H C E T Y L O P " $ - 0 $ $ / , LE O ├ЙC

)99) C C

2

╧Г

N

L (тДж) ╧Ж тИИ CcтИЮ (тДж) ╧Г(x) ┬╖ тИЗ╧Ж(x) dx тЙд C ╧Ж L2 (тДж) ,

C >0

"

тДж

╧Г

>)0+'+) C C ) тДж тДж1 тДж2 ╬У = тИВтДж1 тИй тИВтДж2 " $ C 1 % тДж1 тДж2 * L2 (тДж)

+ ╬У

" % * '

Lp (тДж)

1 тЙд p тЙд +тИЮ 5

p = 2 Lp (тДж) B ' % * ' # C! v(x) тИВ╧Ж (x) dx тЙд C ╧Ж p L (тДж) тИВxi тДж

%

1 1 + =1 p p

E U IQ

1 < p тЙд +тИЮ,

N H EC

D( ) A E Lp (тДж) Lp (тДж) % FGH! тАв

T Y POL

E L O H (тДж) C ├Й 1

" $ - "

! 1

%@*'1',* C C

тДж

H 1 (тДж) =

.

тИВv тИВxi

v тИИ L2 (тДж)

RN ,

) / - H 1 (тДж) " *$ )

" тИА i тИИ {1, ..., N }

тИВv тИИ L2 (тДж) , тИВxi

; "<

" - ) " / v $ 8 *$ " $ 9, ,3,

9 # , 0 . . ):3.+) &!%*)0(') R 8 , ) ; , 6?6

E U IQ

u H 1 (тДж) ) < 8 , ) . . H L 6 M

# 0 ; < @ . H ,9 "

0,3,:'1',* C C

B $ ) " тДж

Y L O P

u(x)v(x) + тИЗu(x) ┬╖ тИЗv(x) dx

LE O ├ЙC u, v =

H C E T

N

; $<

!

" $ ) / - H

T "Y $ ) @ / ", L Ω

(Ω)

O P LE O ÉC

E U IQ

1/2 |u(x)|2 + |∇u(x)|2 dx

u H 1 (Ω) = 1

N H EC

-&

%9,*:10.1',*C . ; $< 0

H 1 (Ω)

? H 1 (Ω) (un )n≥1

' # H 1 (Ω) * ) H 1 (Ω)A (un )n≥1 2 2 n ( ∂u ∂xi )n≥1 i ∈ {1, ..., N }

' # L (Ω) ' L (Ω) ∂un A u wi un . . u ∂xi . . wi L2 (Ω) @ A ) . 8 0 un A 8 φ ∈ Cc∞ (Ω)A ∂φ ∂un un (x) (x) dx = − (x)φ(x) dx. ; &< ∂x i Ω Ω ∂xi * ? n → +∞ ; &<A 0 ∂φ u(x) (x) dx = − wi (x)φ(x) dx, ∂xi Ω Ω

T Y POL

N H EC

E U IQ

. u . 0 8 0 wi i6 . ∂u 8 0 uA ∂x 1 A u 0 ? H 1 (Ω) (un )n≥1 . . u i 1 H (Ω)

E L O

>)0+'+) C C " ( C 1 +

ÉC

Ω( + H 1 (Ω)

9 N ≥ 2A 8 H 1 (Ω) *' +,*1'*5): *' /,0*%):A 6

.

>)0+'+) C C ) B RN ) N = 2(

u(x) = | log(|x|)|α + H 1 (B) 0 < α < 1/2( $ * $ * ) N ≥ 3( u(x) = |x|−β + H 1 (B) 0 < β < (N − 2)/2( $ * $ *

, N = 1 8 L M ? 6

8 H 1 (Ω) , :

. RA A Ω = (0, 1)

)99) C C

E U IQ

" " $ " $ v ∈ H 1 (0, 1) " ) " " x, y ∈ [0, 1]' $

y

v(y) = v(x) +

H C E T

v (s) ds.

Y L O P x

N

; -<

0 $ $"' ) " " x ∈ [0, 1]' )) " $ v → v(x)' *$ H 1 (0, 1) $ R' " $ $ $" $ H 1 (0, 1), $ ) " ' " " $ " $ v ∈ H 1 (0, 1) " $" $ [0, 1],

LE O ÉC

$

--

N H EC

E U IQ

%9,*:10.1',*C v ∈ H (0, 1) @ ) 8 w(x) [0, 1] 1

T Y POL

x

w(x) =

v (s) ds.

0

' ) A , ' #6 C FA x 1 x √ 2 v (s) ds ≤ x |v (s)| ds ≤ |v (s)|2 ds < +∞.

LE O ÉC 0

0

0

9 8 A H 8 w [0, 1] x 1 x |w(x) − w(y)| = v (s) ds ≤ |x − y| |v (s)|2 ds ≤ |x − y| |v (s)|2 ds. y

y

0

7 w . 0 8 0 w = v φ ∈ Cc∞ (0, 1) 9 T T = {(x, s) ∈ R2 , 0 ≤ s ≤ x ≤ 1}A 1 x 1 w(x)φ (x) dx = v (s) ds φ (x) dx = v (s)φ (x) ds dx. 0

0

0

N H EC T

* 2 0 A 1 1 v (s)φ (x) ds dx = φ (x) dx v (s) ds = −

T Y POL 0

T

s

1

E U IQ

φ(s)v (s) ds,

0

' #6 C F

1 w(x)φ (x) dx ≤ v L2 (0,1) φ L2 (0,1) .

ÉC

E L O 0

1 A w 0 . 0 8 0 ) w 1 1 1 − w (x)φ(x) dx = w(x)φ (x) dx = − φ(s)v (s) ds, 0

0

0

φ ∈ Cc∞ (0, 1)A

w = v " w − v ? (0, 1)A

0 ; -< 3 ; -< ' #6 C F 0 1 y |v(x)| ≤ |v(y)| + |y − x| |v (s)|2 ds ≤ |v(y)| + |v (s)|2 ds, x

0

? y 1 |v(x)| ≤ |v(y)| dy + 0

≤ 0

1

|v (s)|2 ds

0

1

Y L O P

|v(y)|2 dy +

OLE

0

1

H C E T

|v (s)|2 ds

≤

N

√ 2 v H 1 (0,1) ,

. v → v(x) 8 H 1 (0, 1)

ÉC

E U IQ

!

-

E U I Q '

# "

* H (0, 1) & % % * " * H 1 (0, 1)

* ' " "

( % v ( * H 1 (0, 1) v!

* " * H 1 (0, 1) * * " * "

* "

! . # C C " * v ∈ H 1 (0, 1) "

N H EC 1

LE O ÉC

T Y POL

•

. -): =,*+1',*: 0%(5-'?0): :,*1 &)*:): &.*: -!):3.+) &) ,/,-)2 H 1 (Ω) ' I ) , 6

0 .

P , 0 8

8 , u H 1 (Ω) ' 8 0 0 , 0 8

L M ;. 5 " 6 <

N H EC

E U IQ

Ω " $ - " / $ 0 C 1 ' / $ Ω = RN+ ' $ Ω = RN ' Cc∞ (Ω) " $ $ H 1 (Ω), 4%,0?9) C C $&) &)*:'1%6

T Y POL

5 " ; , < . ? + RN + 6 {x ∈ RN xN > 0}

ÉC

E L O

)9.0;5) C C , Cc∞ (Ω)

H 1 (Ω) 8 6

C ∞ ? 0 ; < 8 Ω 9 A Ω 0 A 8 C ∞ (Ω) 6 0 A Cc∞ (Ω) = C ∞ (Ω) * 8 Cc∞ (Ω) , 0 , . ΩA

( Cc∞ (Ω) ;. + < * A Ω , 0 A 8 Cc∞ (Ω) , L? , ) M •

)9.0;5) C C , .

1 6

) " , P ) , . : . 0 , 0 , . 8 , L M ;. + $< O # , . A I ; 0 8 . A . 6 ,9 < / A , #

. 1 ) " . H ( 0 J , 6 ? 8 C 1 H , ? 8 F ;. T &U< E 6 A 8 )

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

$

N H EC

E U IQ

, ; R , # < , . L . M

;. (

• <

T Y L 1 P HO (Ω) LE O ÉC 1 0

1 ) 0 .

6 H 1 (Ω)

0 . 1

" Cc∞ (Ω) ) $ " $ C ∞ )) " ) " $ Ω, ) / - H01 (Ω) " *$ # $ Cc∞ (Ω) $ H 1 (Ω), %@*'1',* C C

E U IQ

@ . ;. ' $< H01 (Ω) 8 6 H 1 (Ω) =,*+1',*: ;5' :!.**5-)*1 :50 -) /,0& ∂Ω

8 Cc∞ (Ω) 9 A H01 (Ω) :10'+1)9)*1 3-5: 3)1'1 H 1 (Ω) Cc∞ (Ω) 6 :10'+1 Cc∞ (Ω) ;. 5 " + $< R Ω = RN J ( A Ω = RN = Ω 5 " : Cc∞ (RN ) H 1 (RN )A H01 (RN ) = H 1 (RN ) '

, RN , 0

T Y POL

N H EC

E ) " 9,% LB $ " $O ) @ / ", ÉC

0,3,:'1',* C C H01 (Ω)

H 1 (Ω)'

) / -

%9,*:10.1',*C * ) H01 (Ω) 6 8 H 1 (Ω) ;

= 0 <A , = 0

,

6 .

" Ω $ - " RN / $ $ $ $ " $ ) , & " $ $ " $" C > 0 " ' ) " " $ " $ v ∈ H01 (Ω)' 0,3,:'1',* C C $ *%(.-'1% &) ,'*+.0%6 |v(x)|2 dx ≤ C Ω

E U IQ ; <

|∇v(x)|2 dx. Ω

N

%9,*:10.1',*C * 8 v ∈ Cc∞ (Ω) I? ,

H C E T

* ; < $ * .

8 v ∈ H01 (Ω) 9 ( A Cc∞ (Ω) H01 (Ω) ; 1 ) -<A

vn ∈ Cc∞ (Ω) |v − vn |2 + |∇(v − vn )|2 dx = 0. lim v − vn 2H 1 (Ω) = lim n→+∞

ÉC

OLE

Y L O P

n→+∞

Ω

!

N H EC

9 A

lim

n→+∞

Ω

O P LE O ÉC

T Y L

|v| dx

|vn | dx = 2

2

Ω

E U IQ

|∇vn | dx =

lim

n→+∞

|∇v|2 dx.

2

Ω

Ω

* $A

|vn (x)| dx ≤ C

; <

|∇vn (x)|2 dx.

2

Ω

Ω

@ ? n → +∞ , ; < 0 ' # , L M .

)9.0;5) C C

, * ; < , . 8 H 1 (Ω) 9 ( A 8 ; < ; < , # 6I , * 8 H01 (Ω) , 0 ∂Ω , . Ω ;. + - . # < •

T Y POL

N H EC

E U IQ

, *

.

8

. H01 (Ω)

E L $ - " " O ) ,C $ É ,0,--.'0) C C

Ω

RN

|v|H01 (Ω) =

/ $ $ $ $ " $

1/2 |∇v(x)|2 dx

Ω

" $ $ H01 (Ω) - $" $ $ " ) H 1 (Ω), %9,*:10.1',*C v ∈ H01 (Ω) 1/2 2 2 |v| + |∇v| dx

|v|H01 (Ω) ≤ v H 1 (Ω) =

Ω

H C E T

N

E U IQ

. 1, A , * $

?

Y L O P

v 2H 1 (Ω) ≤ (C + 1)

OLE

Ω

|∇v|2 dx = (C + 1)|v|2H 1 (Ω) , 0

. |v|H01 (Ω)

. ? v H 1 (Ω)

ÉC

$

N H EC

2 0 -

E U IQ

/ . . , N ≥ 2 8 H 1 (Ω) ;. 6 ,9 < ' 8 0 A . , 8 v ∈ H 1 (Ω) L M Ω 9 A , . ) L. 0 MA L M v 0 ∂Ω ∂Ω 0 0 2 0 A # H # ) v|∂Ω , 8 H 1 (Ω) ' A A

.

T Y POL

LE O ÉC

" Ω $ - " / $ 0 C 1 ' / $ , $ *$ " )) " $ " γ0

4%,0?9) C C $&) 10.+)6 Ω=

RN +

H 1 (Ω) ∩ C(Ω) v

→ L2 (∂Ω) ∩ C(∂Ω) → γ0 (v) = v|∂Ω .

; <

E U IQ

; "" )) " $ γ0 ) $0 ) $" $ " $ $ )) " $ $ $" $ H 1 (Ω) $ L2 (∂Ω)' $ " $ γ0 , $ ) " ' & " $ $ " $" C > 0 " ' ) " " $ " $ v ∈ H 1 (Ω)' $

T Y L

N H EC

; <

v L2 (∂Ω) ≤ C v H 1 (Ω) .

O P E L ÉCO

)9.0;5) C C 4 Q 5 . , 8 H 1 (Ω) 0 ∂Ω ' 0 , . 8 L2 (Ω) ;. ,9 < • %9,*:10.1',*C 1 6 Ω = RN + = {x ∈ RN , xN > 0} v ∈ Cc∞ (RN + ) 3. x = (x , xN )A

|v(x , 0)|2 = −2

+∞

v(x , xN )

0

∂v (x , xN ) dxN , ∂xN

A , 2ab ≤ a2 + b2 A

+∞

|v(x , 0)| ≤ 2

0

2

∂v (x , xN ) dxN . |v(x , xN )| + ∂xN

2

* x A

RN −1

|v(x , 0)| dx ≤ 2

2

∂v (x) dx, |v(x)| + ∂xN 2

Y L O P RN +

H C E T

N

E U IQ

∞ 1 N N , 6?6 v L2 (∂RN ) ≤ v H 1 (RN ) * Cc (R+ ) H (R+ )A 06 + +

LE O ÉC

!

N H EC

E U IQ

* . 0 C A 0

Ω = RN + / ; F <

H

* 6 1

T Y POL

5 8 H 1 (Ω) 8 4 0 8 C 1 '

LE O ÉC

" Ω $ - " / $ 0 u " v $" $ " $ H 1 (Ω)' - * $"

4%,0?9) C C $ ,095-) &) #0))*6 C 1,

u(x) Ω

∂v (x) dx = − ∂xi

v(x) Ω

∂u (x) dx + ∂xi

u(x)v(x)ni (x) ds,

; <

∂Ω

. n = (ni )1≤i≤N " $ $ " &" ∂Ω,

E U IQ

%9,*:10.1',*C + 8 ; < 0 8

C 1 ' @ ? . * Cc∞ (Ω) H 1 (Ω) ;. 5 "<A

(un )n≥1 (vn )n≥1 Cc∞ (Ω)

. H 1 (Ω) . u v A . 9 . ' ∂vn ∂un un dx = − vn dx + un vn ni ds. ; < ∂xi ∂xi Ω Ω ∂Ω

E L O

T Y POL

N H EC

@ ? n → +∞ ; < ∂vn ∂u n un ∂u ∂xi ; . A vn ∂xi < . . u ∂xi ; . A v ∂v ∂x < L2 (Ω) * ? ; <A i

, γ0 A , 6?6 , ; <A

, : γ0 (un ) ; . A γ0 (vn )< . . γ0 (u) ; . A γ0 (v)< L2 (∂Ω) @ 0 8 ; < 8 u v H 1 (Ω)

ÉC

' 5 0 , H01 (Ω)

" Ω $ - " / $ 0 C 1 , ) H01 (Ω) D$ - ) H 1 (Ω) $ " " $ " $ $$ $" / ∂Ω, ,0,--.'0) C C

E U IQ

%9,*:10.1',*C ' 8 H01 (Ω) ,

8

H C E T

N

? Cc∞ (Ω)

0 G A

, γ0 @

H01 (Ω) 6 H 1 (Ω) 8

, 0 ∂Ω , 0 ;. . * <

; ? . 5 < / . # ? T&UA T "U

LE O ÉC

Y L O P

$

N H EC

E U IQ

)9.0;5) C C ' $ : # , γ0

H01 (Ω) A 0 A , γ0 ' Im(γ0 ) , L2 (∂Ω)A 6 A L2 (∂Ω)A 8 L MA H 1/2 (∂Ω) * A . # ? T U •

LE O ÉC

T Y POL

4 Q ' $ . * ? , * ' . , L . M 0

8 9 ( A 0 . , * A ( , . 3 . ,

A ,

, 0 ? )

510) &%9,*:10.1',* &) -. 0,3,:'1',* C C C @ , , C > 0 A 8 v ∈ H01 (Ω)A |v(x)|2 dx ≤ C |∇v(x)|2 dx, Ω

Ω

N H EC

E U IQ

. ,

vn ∈ H01 (Ω) 1= |vn (x)|2 dx > n |∇vn (x)|2 dx.

E L O

T Y POL Ω

; "<

Ω

9 A ; "<

vn 0 H01 (Ω) * 5 + A 6

vn

. L2 (Ω) 1 A ; "<

∇vn . . F L2 (Ω) ; < * A vn

' # H01 (Ω)A

= 0 A . H01 (Ω) . v ' 1 = 0, |∇v(x)|2 dx = lim |∇vn (x)|2 dx ≤ lim n→+∞ n→+∞ n Ω Ω

ÉC

A . "A v 6 Ω 7 v 0 ∂Ω ; . ' $<A v Ω * A |v(x)|2 dx = lim |vn (x)|2 dx = 1, Ω

n→+∞

Ω

. 8 v = 0

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

)9.0;5) C C * 8 * A , . ΩA 0 C 1 A 0 ∂Ω I

LE O ÉC

!

N H EC

"

E U IQ

∂ΩN ∂ΩD ) ;. 2 < @ ) V

T Y POL

V = {v ∈ H 1 (Ω) v = 0 ∂ΩD }.

* 5 A 8 . V 6 8 H 1 (Ω)A = 0

H 1 (Ω) ' H01 (Ω)A , , 6 , C > 0 8 v ∈ V . ) , • * ; <

LE O ÉC

* 8 4 5 "A .

8 , 8 ? H 1 (Ω) ' 8 ,

6 6 ) H 1 (Ω)

E U IQ

" Ω $ - " / $ 0 C 1 , " (ωi)1≤i≤I $ ) " " $ 0 + Ω' " # ωi " $ - " 0 C 1 ' ωi ∩ ωj = ∅ i = j ' " Ω = ∪Ii=1 ωi , " v $ $ " $ $" " " $ # ωi' vi = v|ω ' )) " $" H 1 (ωi ), v " $" $ Ω' v )) " $" H 1 (Ω),

)99) C C

i

T Y POL

N H EC

%9,*:10.1',*C ' . 8 0 v J φ ∈ Cc∞ (Ω)A 8 4 ωi

E L O

∂φ v(x) (x) dx ∂xj Ω

ÉC

=

I i=1

=− =−

vi (x)

ωi

I i=1 ωi I i=1

ωi

∂φ (x) dx ∂xj

I ∂vi (x)φ(x) dx + vi (x)φ(x)nij (x) ds ∂xj ∂ω i i=1

∂vi (x)φ(x) dx, ∂xj

0 , ? 9 ( A Γ = ∂ωi ∩ ∂ωk 0 . ωi ωk nij (x) = −nkj (x) A

v φA vi (x)φ(x)nij (x) ds + vk (x)φ(x)nkj (x) ds = 0. Γ

Γ

H C E T

@

v . 0 8 0 ∂v ∂vi = . ∂xj ωi ∂xj

OLE

Y L O P

9 A v ? H 1 (Ω)

ÉC

N

E U IQ

$

$

N H EC тИВтДжD

LE O ├ЙC

E U IQ

T Y POL тДж

тИВтДжN

W * I 0 , .

# $ 6 * *

% тДж

E U IQ

% (╧Йi )1тЙдiтЙдI B # C I % '

% ╧Йi 8 9 4

* # C I тАв y

├ЙC

E L O

T Y POL

N H EC

y=xr

тДж x

W 9 , .

>)0+'+) C C <% $ $ тДж $ * ) $ тДж тКВ R2 0 < x < 1 0 < y < xr r > 2 7 * 2 ) v(x) = x╬▒ " v тИИ H 1 (тДж) 2╬▒ + r > 1( v тИИ L2 (тИВтДж) 2╬▒ > тИТ1 0 B <% ! - 2 *

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

>)0+'+) C C $ :

LE O ├ЙC

L (тДж)( $ + $ $ C > 0 2

!

N H EC

( v ∈ L (Ω)(

2

T Y POL

E U IQ

&

v|∂Ω L2 (∂Ω) ≤ C v L2 (Ω) .

- ( % Ω 0 * Ω * + ∂Ω L2 (Ω) # 0

L3 E O ÉC

/ 6 ? , , +

I X 0 ;. ' &< 0 , . + , 0 A = 0 ) A , . A

0 A

6

. ;

) A . ,9 "<

E U IQ

Ω " $ - " / $ 0 C 1 ' 1 " " " / $ H (Ω) $ ) " &" $ " $- 0 $" $ L2(Ω) $ " $> " $ $ $ H 1 (Ω) $ L2 (Ω) " ) " ,

4%,0?9) C C $&) )--'+46

T Y POL

N H EC

5 H 8 , . Ω , 0 * A

Ω = RN A , I H 1 (RN ) L2 (RN ) , * , . :

un (x) = u(x + ne) R e . u 8 H 1 (RN ) ; u e< , 6

un . L2 (RN )

ÉC

E L O

)9.0;5) C C , H 1 (Ω) H01 (Ω)A 5 6

+ . A , , . Ω •

5 ; 8 ? 8 2 A ,3 Y . A A T&UA T "U< / L M N = 1

E U IQ

%9,*:10.1',*C @ , N = 1 A A Ω = (0, 1) (un )n≥1

0 H 1 (0, 1)A , 6?6 , K > 0

H C E T

un H 1 (0,1) ≤ K ∀ n ≥ 1.

Y L O P

1, A x, y ∈ [0, 1]

OLE

|un (x)| ≤ CK |un (x) − un (y)| ≤ CK

ÉC

|x − y|.

N

; $<

$

-

N H EC

E U IQ

;@ , ' #6 C F ? ; -< <

; 0 0 < (xp )p≥1 [0, 1]

. ; A Q ∩ [0, 1]< * p ) A

un (xp ) 0 R ?

; $< @ 6

. R @ , 0 ?

un (x1 ) 0 6

un1 (x1 )

. R *

6

A n1 A . 6

A n2 A un2 (x2 ) . R ; A 0 G A

un2 (x1 )

. < 9 # . 6

A A

6

A np A unp (xp ) . A unp (xk ) 1 ≤ k ≤ p . A 6

unp L M ? p * . , , L? MA ,

3 A 6

; < 0 6

A , 6?6 , 6

un1 A

un2 A

p6 p6 unp

0 um . A p ≥ 1A

um (xp ) . R x ∈ [0, 1] > 0 ; < '

(xp )p≥1 [0, 1]A xp |x − xp | ≤ * A um (xp ) . R m . , ) A m0 A m, m ≥ m0 A |um (xp ) − um (xp )| ≤ * A 0

LE O ÉC

|um (x) − um (x)|

ÉC

T Y POL

T Y POL

N H EC

E U IQ

≤ |um (xp ) − um (x)| + |um (xp ) − um (xp )| + |um (xp ) − um (x)| √ ≤ + 2CK

E L O

.

um (x) ' # RA . x ∈ [0, 1] * . 0 A

um . L2 (0, 1)

>)0+'+) C C ) Ω = (0, 1) un (x) = sin(2πnx) " un L2 (Ω)( $ $ * - ( * F + * ( ( φ ∈ Cc∞ (Ω)(

1

lim

n→+∞

un (x)φ(x) dx = 0, 0

E U IQ

un * L2 (Ω) ? + H 1 (Ω) un

1 H m (Ω)

Y L O P

H C E T

N

@ 1 ) , 0 . H 1 (Ω) 8

m ≥ 0 8 . 0 8 0 ' O . , 0 α = (α1 , ..., αN ) 95-1' '*+'&)A , 6?6

LE O ÉC

!

HN

E U IQ

. ? N . αi ≥ 0 @ |α| = 8 v A ∂ |α| v ∂ α v(x) = (x). α1 N ∂x1 · · · ∂xα N

O P LE O ÉC

C E T LY

N i=1

αi A

3 1 ) . 8 0 A ) m . , m 8 0 J , 8 v ∈ L2 (Ω) m 8 . 0 8 0 . 8 0 , m − 1 . 0 8 0 1 ) + A ) , . A , . , A ? 2 2 v v = ∂x∂j ∂x A

I ) ∂ α v R , . , C F ∂x∂i ∂x j i

%@*'1',* C C

$ $" m ≥ 0' ) / - H m (Ω) " *$ )

H m (Ω) = v ∈ L2 (Ω)

. - ) " ∂

α

v

" ' ∀ α - |α| ≤ m,

∂ α v ∈ L2 (Ω) ,

" ) $ $ / ,

N H EC

E U IQ

; &<

/ . ) 8

.

0,3,:'1',* C C

ÉC

E L O

" $ @ / ",

T Y POL

B $ ) "

u, v =

u H m (Ω) =

; -<

∂ α u(x)∂ α v(x) dx

Ω |α|≤m

u, u '

) / -

H m (Ω)

" $ )

8 H m (Ω) I ; m N <A m : 8 H m (Ω) + , . A , N = 1A 8 H 1 (Ω) /

.

;. A A , <

E U IQ

Ω " $ - " / $ 0 C 1 ' " m > N/2' H m(Ω) " $ ) $ / C(Ω) $ " $ $" $ Ω,

4%,0?9) C C

H C E T

N

)9.0;5) C C * 5 " ? 8 ?

Y L O P

. A 8 , k ≥ 0 m − N/2 > k A H m (Ω) 6 , 0 C k (Ω) 8 k 8 ( 0 Ω •

LE O ÉC

$

N H EC

E U IQ

L M 5 " m A 8 H m (Ω) A , 6?6 . 0 ; : , . 5 " ? 8 v ∈ H m (Ω) ? . ∂ α v ∈ H m−|α| (Ω)< ' H 1 (Ω)A 8 H m (Ω) ; , . Ω Y . 1 ) "< 5 " 8 ? H m (Ω) / O

.

LE O ÉC

T Y POL

Ω " $ - " / $ 0 C m ' / $ Ω = RN+ ' " $ $ H m (Ω),

4%,0?9) C C

Cc∞ (Ω)

@ 0 8 4 , . , H m (Ω) * A m = 2 ;

<

4%,0?9) C C

" $ " γ1

E U IQ

" Ω $ - " / $ 0 C 1 , $ *$ " ))

N H EC

H 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) → L2 (∂Ω) ∩ C(∂Ω) ∂v v → γ1 (v) = , ∂n

T Y POL

; <

∂Ω

∂v = ∇u · n, ; "" )) " $ γ1 ) $0 ) $" $ " $ $ )) " $ - ∂n $ $" $ H 2 (Ω) $ L2 (∂Ω), $ ) " ' & " $ $ " $" C > 0 " ' ) " " $ " $ v ∈ H 2 (Ω)' $

ÉC

E L O

∂v ≤ C v H 2 (Ω) . ∂n 2 L (∂Ω)

; <

%9,*:10.1',*C , , γ1 ; < 5 8 H 1 (Ω) 9 ( A v ∈ H 2 (Ω)A ∇v ∈ H 1 (Ω)N ) ∇v ∂Ω 8 L2 (∂Ω)N ' 8 ∂v 0 ∂ΩA

0 ∂n ∈ L2 (∂Ω)

# ! 1 Ω

% ' C 2

D( # C C $ γ0 H 2 (Ω) ∩ C(Ω) v

→ →

H 1 (∂Ω) ∩ C(∂Ω) γ0 (v) = v|∂Ω ,

H C E T

N

E U IQ # !

" H 2 (Ω) H 1 (∂Ω)

γ0 (v) % 1 Ω = RN+ E * & % & . * % 1 ' % % ∂Ω! "

4 " " %

LE O ÉC

Y L O P

E U 8% % 9 & * ' I Q% " + % " * "

'

% N H " * " ! C E T Y L O P L E " $ - " / $ 0 , " O C ' $ É •

5 - 8 H 2 (Ω) 8 4 0 8 C 2 '

4%,0?9) C C

C2

Ω

v ∈ H (Ω)

u ∈ H 2 (Ω)

1

∆u(x)v(x) dx = − Ω

∇u(x) · ∇v(x) dx + Ω

∂Ω

∂u (x)v(x) ds. ∂n

;

<

%9,*:10.1',*C ' ; < . 8 C 2

8 H 2 (Ω) H 1 (Ω)A / . # ? 5 " . , 8

, γ1 A , 6?6 , ; <

T Y POL

N H EC

E U IQ

' H

E L O

* 2

4

2 Ω = RN "

ÉC

% & C RN

H 1 (RN )

∞ N c (R )

!

C∞

nN

ζn

ρ n

1 n

1 n

1

−2n −n

H C E T n

2n

N

E U IQ

W 2 ρn ;? <A ζn ;? <

Y L O % '

! P " E L O ÉC

+ 1 ρ ∈

Cc∞ (B)

B

ρ ≥ 0

B

ρ(x) dx = 1

$

$

E U I 8 9 Q '

% J # C! $ % * N H C E T Y L " " $ % * " % O P % % ! K % % ! % !L E * % D( O 6 " & " # ! &

* " É C 1 N

ρn (x) = n ρ(nx)

1/n

v ∈ H 1 (RN )

ρn (x − y)v(y) dy,

vn (x) = v ρn (x) =

RN

C∞

∇vn ∇v

∇vn = (∇v) ρn ∇v

v

2

L2 (RN )

L2 (RN )

N

L (R ) ζ ∈ C c∞ (RN ) ζn (x) = ζ nx %

vn

vn v

0≤ζ≤1

ζ(x) = 1

|x| ≤ 1 ζ(x) = 0 |x| ≥ 2 $ J # C! " vn v˜n (x) = vn (x)ζn (x) $ % * " v˜n % ∇˜vn ! % % v % ∇v! L2 (RN ) D( # C /

%

" % ' % D( # # RN

E U Q

I N H

' " Ω C Ω = R 1

N +

! P H (Ω) H (R ) v ∈ H 1 (Ω) P v|Ω = v # P v L (R ) ≤ C v L (Ω) $ P v H (R ) ≤ C v H (Ω) % C > 0 ! Ω D

'

Ω = RN+ $ x = (x , xN ) % x = (x1 , ..., xN−1 ) 1 v ∈ H 1 (RN+ ) $ v(x , xN ) xN > 0 P v(x) = v(x , −xN ) xN < 0. $ % "

1 ≤ i ≤ N − 1 ∂v (x , xN ) xN > 0 ∂P v ∂x (x) = ∂v ∂xi (x , −xN ) xN < 0, ∂x " ∂v (x , xN ) xN > 0 ∂x ∂P v (x) = ∂v ∂xN − ∂x (x , −xN ) xN < 0. 5 % v * ; " v % ' " * ' 4

* ! " ; * L P v M % FC/H

! $

√ P % C = 2 Ω = RN + ! 1 Ω

% ' C 1 8 9

Ω = RN+ 0 . C /

% 1

O P E L ÉCO 2

N

1

N

2

1

1

C E T LY

N

i i

N N

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

∂Ω

ÉC

OLE

T Y L

P O ω0

N H EC

E U IQ yN Q+

φi

y

Q

ωi Ω

W ' , .

E U I$ Q

%

% N

8 9 &

% & * H " C E T Y L O P E L " K % ( C I FNH ! O

* $ % C É Ω

(ωi )0≤i≤I

(θi )0≤i≤I

Cc∞ (RN )

θi ∈ Cc∞ (ωi ),

0 ≤ θi (x) ≤ 1,

I

θi (x) = 1

Ω.

i=0

Pv

Pv =

I

Pi (θi v),

i=0

: ( " Pi ωi 5 θ0 v & Ω P0 (θ0 v) θ0 v E ( Ω

( " i ∈ {1, ..., I} φi " * ωi * Q % . C / J # #!

+) wi = (θi v) ◦ ( φ−1 i Q

% Q+ = Q ∩ RN+ .

E U IQ

5 * wi & H 1 (Q+) % ∂Q+ ∩ RN+ 1

RN+ \ Q+ ' * w˜i ∈ H 1 (RN+ ) $ L w˜i

' * P w˜i ∈ H 1 (RN ) P " %

RN+ ! $ % ωi

Y L O P

Pi (θi v) = (P w ˜ i ) ◦ φi .

H C E T

N

C 1 φi % '

Pi P

LE O ÉC

$

E U # 8 9 " I Q

' 5

E N H ( "

% " * C E T 1 H(div)LY O P 4

* E & % L % 5 % O A " / /! C É •

L2 (â„Ś)

H 1 (â„Ś)

H(div) &

H(div) = Ďƒ ∈ L2 (â„Ś)N

divĎƒ ∈ L2 (â„Ś)

# C!

,

% divĎƒ Ďƒ ' & # (

E U IQ

$ % * " B '

!

' )

T Y POL

Ďƒ, Ď„ =

E L O

! Ďƒ H(div) =

ÉC

N H EC

# #!

(Ďƒ(x) ¡ Ď„ (x) + divĎƒ(x)divĎ„ (x)) dx

â„Ś

Ďƒ, Ďƒ

H(div) *

5

1 ' % *

" &

D( # C /!

% & " â„Ś C â„Ś = R Cc∞ (â„Ś)N

1

H(div)

N +

, H(div) " (

* O % " 1 ' % H 1 (â„Ś) 0 + Ďƒ & H(div) 8 < 9 " ' %

H 1 (â„Ś)! & Ďƒ ¡ n âˆ‚â„Ś 5 2 " Îł0 H 1 (â„Ś) L2 (âˆ‚â„Ś) % D( # C C! " Im(Îł0 ) = H 1/2 (âˆ‚â„Ś) "

L2 (âˆ‚â„Ś) % A " # C G! $ H 1/2 (âˆ‚â„Ś) %

N H C " E YT L " * @ ( O B ' ! $ P E L O ÉC

v H 1/2 (âˆ‚â„Ś) = inf φ H 1 (â„Ś)

H

1/2

γ0 (φ) = v

E U IQ

H −1/2 (âˆ‚â„Ś)

(âˆ‚â„Ś)

"

E U % & () * + , " I Q & + ! , N H C E T Y L - % O ! P '

E L O C É # /! ℌ

C1

Îłn

H(div) ∊ C(â„Ś) Ďƒ = (Ďƒi )1≤i≤N

→ →

H −1/2 (âˆ‚â„Ś) ∊ C(âˆ‚â„Ś) Îłn (Ďƒ) = (Ďƒ ¡ n)|âˆ‚â„Ś

n = (ni )1≤i≤N

âˆ‚â„Ś H(div)

φ ∈ H 1 (â„Ś)

Ďƒ ∈ H(div)

Îłn H −1/2 (âˆ‚â„Ś)

divĎƒĎ† dx +

â„Ś

â„Ś

Ďƒ ¡ âˆ‡Ď† dx = Ďƒ ¡ n, Îł0 (φ) H −1/2 ,H 1/2 (âˆ‚â„Ś) .

1 â„Ś

% C 0 C *

*

% %

Ďƒ ¡ âˆ‡Ď† dx =

divĎƒĎ† dx + â„Ś

1

â„Ś

# N!

Ďƒ ¡ nφ ds,

E U IQ

âˆ‚â„Ś

* Ďƒ φ $ " ' " 8% 9 # /! " 8 9 ' # N! $ % " ( # N! '

φ ∈ H 1 (â„Ś) Ďƒ ∈ H(div) * H 1 (â„Ś) H(div) ( # N! = * Im(Îł0 ) H 1/2 (âˆ‚â„Ś) , * * # /! Îłn (Ďƒ) ' H −1/2 (âˆ‚â„Ś)

E L O

T Y POL

N H EC

$ ' - " % H01 (â„Ś)

H(div) $

H0 (div) H(div) ( Cc∞ (â„Ś) H(div) 5 B ' "

% !

* H(div)

ÉC

1 W m,p (â„Ś) W m,p (â„Ś)

m ≼ 0

1 ≤ p ≤ +∞ 5 @ ( Lp (â„Ś) % # ! # !! 5

% & A " # ) % * ' & Lp (â„Ś) 4

% %

" . m ≼ 0 " W

∀ Îą |Îą| ≤ m, ∂ % ∂ Îą v ? ⎛ ⎞1/p W

m,p

(â„Ś) = {v ∈ L (â„Ś) p

Y L O P

u W m,p (ℌ) = �

ÉC

OLE

|ι|≤m

m,p

Îą

(â„Ś)

v∈L

p

H C E T

∂ Îą u p âŽ

E U IQ

& (â„Ś)} , # G!

N

$

$

E U @ ( 5

% " I Q

' "

' % F IH! N ' C H ' + - * 4

2 1

%

'

E T Y L O % P E # )! L O C É % ; & " % " W

m,p

(Ω)

Ω = RN

Ω

⎧ ⎨

W 1,p (Ω) ⊂ Lq (Ω) ∀ q ∈ [1, p∗ ] W 1,p (Ω) ⊂ Lq (Ω) ∀ q ∈ [1, +∞[ W 1,p (Ω) ⊂ C(Ω),

p<N p=N p>N

⎩

"

u ∈ W

1,p

1/p∗ = 1/p − 1/N

W 1,p (Ω) ⊂ E

(Ω)

Ω = RN +

C

u E ≤ C u W 1,p (Ω) .

p = 1 m = N " '

1 ' %

! W

(RN ) / Cb (RN )

E U IQ

0! 1 u ∈ W N,1 (RN ) u L (R ) ≤ u W (R ) . # I! 1 u ∈ Cc∞ (RN )

x = (x1, ..., xN ) N,1

R N

∞

E : O L ÉC

u(x) =

N

T Y POL

x1

···

−∞

u L∞ (RN ) ≤

xN

−∞

N H EC

N,1

N

∂N u (y) dy1 ...dyN , ∂x1 · · · ∂xN

∂N u 1 N ≤ u W N,1 (RN ) . ∂x1 · · · ∂xN L (R )

$ Cc∞ (RN ) W N,1 (RN ) D( # #

H 1 (RN )! . ' # I!

u ∈ W N,1 (RN ) * Cc∞ (RN )

L∞ (RN ) Cb (RN ) * ! . # I! " " * W N,1 (RN ) ' * A " V B ' V ' * V D( ) A E L2 (Ω) & L2 (Ω) $ 1 ' % 0 H01 (Ω) ;

< L, φ H −1 ,H 1 (Ω) = L(φ)

L ∈ H −1 (Ω)

ÉC

N

Y ! 1 L O P OLE

$ " 0

H C E T

E U IQ

H01 (Ω) H01 (Ω)

φ ∈ H01 (Ω)

H −1 (Ω)

&

E U $ $ I Q % % FGH! N H ' C E T Y L O P E 2 ! L ! O ÉC H

−1

(Ω)

H −1 (Ω)

H

−1

(Ω) =

f = v0 +

2

v0 , v1 , ..., vN ∈ L (Ω)

∂xi

i=1

φ∈

!

N ∂vi

H01 (Ω)

H01 (Ω)

v0 φ −

L(φ) =

N

Ω

i=1

.

L ∈ H −1 (Ω)

∂φ vi ∂xi

dx

v0 , v1 , ..., vN ∈ L2 (Ω) O P & H −1 (Ω)

% %

* L2 (Ω) * ' " % * ' . # C! . % Q % " "

% % ' ; ( ' % % !

N H EC

E U IQ

" v ∈ L (Ω) . 1 ≤ i ≤ N & ! ∂v ∂xi

H

2

−1

(Ω)

T Y POL

!

∂v , φ H −1 ,H 1 (Ω) = − 0 ∂xi

&

E L O

v

Ω

C É "

! ∂v ∂xi

# C !

≤ v L2 (Ω) .

H −1 (Ω)

v ∈ H 1 (Ω) v

∂φ dx ∀ φ ∈ H01 (Ω), ∂xi

∂v ∂xi

3 L2 (Ω)

$ % * " ' # C ! * H01 (Ω) " Li ∈ H −1 (Ω) "

Li (φ) = −

v Ω

∂φ dx. ∂xi

$ % * " v → Li L2 (Ω) H −1 (Ω) " %

* v

% * '

v ∈ H 1 (Ω)! " % &

* L2 (Ω) Li = ∂x∂v

E U IQ

N H C B ' % 5 " E

T ; 0 + Y L ! $ ;&

! ; % P O % ! LE O ÉC i

# O P ( A E " H −1 (Ω) L2 (Ω)

H01 (Ω)

H01 (Ω) L2 (Ω)

$

-

E U % ! I Q N H C E

: Y T OL P E L O ├Й C D

( % ( ' H

тИТ1

(тДж)

H01 (тДж)

H01 (тДж) тКВ L2 (тДж) тЙб L2 (тДж)

тКВ H тИТ1 (тДж),

тАв

' % +

%

FNH! 1

% ' ( '

1 ' %

' ( " ' " ( ( " 1 ' % ( %

" % ! 5 ( '

" " " ( "

% R * % ( % & ' ' 5

*

' "

% " % ! ' * ( ' 1 тДж

% RN $ CcтИЮ (тДж)

D(тДж)! * C тИЮ & тДж $ CcтИЮ (тДж) 8 9 & " % CcтИЮ (тДж) $ " (╧Жn )nтЙе1 CcтИЮ (тДж) % % ╧Ж тИИ CcтИЮ (тДж) ╧Жn K тДж

╬▒ тИВ ╬▒ ╧Жn % * K % тИВ ╬▒ ╧Ж D (тДж) 8 9 D(тДж) & * 8 9 D(тДж) D(тДж) % 4 D (тДж)

├ЙC

E L O

T Y POL

N H EC

E U IQ

4 T тИИ D (тДж) ! D(тДж) &

lim T (╧Жn ) = T (╧Ж)

nтЖТ+тИЮ

(╧Жn )nтЙе1 CcтИЮ (тДж) ╧Ж тИИ CcтИЮ (тДж) & 1 $ T, ╧Ж = T (╧Ж) ' T тИИ D (тДж) * ╧Ж тИИ D(тДж) K 8 9 тДж T ╧Ж dx 0 +

% " f * ' тДж! ' Tf Tf , ╧Ж =

f ╧Ж dx. тДж

H C E T

N

E U IQ

" * ' Tf тЙб f $ D (тДж) % K " Tn тИИ D (тДж) * + % T тИИ D (тДж)

╧Ж тИИ D(тДж)

OLE

Y L O P

lim Tn , ╧Ж = T, ╧Ж .

nтЖТ+тИЮ

├ЙC

" $

E U 5 % ' % * '

IQ ! & %

8 9 N . * C H

K E T Y L O P $ % " + % % ' & " ' E % ' S 5 & ' $ L O % * % ' " % C ' % % É " T ∂T ∂xi

T ∈ D (Ω)

∈ D (Ω)

∂T ∂φ , φ = − T, ∀ φ ∈ D(Ω). ∂xi ∂xi ∂T ∂xi

f

@ - = % * ' . # C % ' .

Lp (Ω)

1 ' % H m (Ω)

' D (Ω) 0

% "

% " % ' " * ! 0 * % "

% "

! " '

ÉC

E L O

T Y POL

LE O ÉC

N H EC

Y L O P

E U IQ

H C E T

N

E U IQ

$

2 u ∈ L (Ω) . 0 8 0 A ∀ iA ∂φ u dx ≤ C φ L2 (Ω) ∀ φ ∈ Cc∞ (Ω) ∂xi

T Y POL

; . 8 0 <

Ω

*

LE O ÉC

N H EC

H 1 (Ω) = 0

u, v = (∇u · ∇v + uv) dx Ω

5 " ; <

Cc∞ (Ω)

* ; * <

∀ u ∈ H01 (Ω) ;Ω 0 < u L2(Ω) ≤ C ∇u L2 (Ω)

5 ; < 5 " ;8 4 <

E L O

5 ; + < 5 ;8 4 <

H 1 (Ω)

u → u|∂Ω H 1 (Ω) L2 (∂Ω)

N H EC

E U IQ

∀ u, v ∈ H 1 (Ω) ∂v ∂u u dx = − v dx + uv ni ds Ω ∂xi Ω ∂xi ∂Ω

T Y POL

' $ ; H01 (Ω)<

ÉC

E U IQ

H01 (Ω) 6 8 H 1 (Ω)

, ∂Ω

, I H 1 (Ω) L2 (Ω) ;Ω 0 < 2 1 ∀ u ∈ H (Ω), v ∈ H (Ω) v∆u dx = − ∇u · ∇v dx + Ω

Ω

W * P

LE O ÉC

Y L O P

∂Ω

∂u v ds ∂n

0 . , 8 0

H C E T

N

E U IQ

T Y POL

N H EC

E U IQ

LE

O ÉC

E U IQ N H O P E L ÉCO

C E T LY

1 , # 6 . # ' * 0 0 A , 6?6 , A A G A

. -!.330,+4) 2.0'.1',**)--) ' ):3.+): &) ,/,-)2

'

. 1 " 8 , . . . # / 0%:5-1.1: &!)>':1)*+) )1 &!5*'+'1% &): :,-51',*: / 9'*'9':)*1 5*) %*)0(') , . ) 0 30,30'%1%: ;5.-'1.1'2):

. ; A < " H ,

-!%-.:1'+'1% -'*%.0':%)

%;5.1',*: &) 1,D): , , 0 0 A , H .

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

"

N H ' ) E C * T Y L O P LE O ÉC

- '

E U IQ

/ 0

. −∆u = f Ω u=0 ∂Ω

;" <

R Ω . 0 , RN A f 0

? , L2 (Ω) , . ;" <

1.3)

7 0 , 8 .

1 8 8 . 6 0 ;" <A , 6?6 , 8 . 8 0 a(·, ·)A 8 L(·)A = 0 V ;" <

. ? J

HN

E U IQ

5 . u ∈ V a(u, v) = L(v) v ∈ V.

C E T LY

;" <

0 . 8 . ;" < Y . ) ,

. . ;" < * . 8 . , ;" < 8 v ' 8 R , , u ) ( 3 , 8 4 ; < ;. ; &<< . ∂u v ds. f v dx = − ∆uv dx = ∇u · ∇v dx − ;" < ∂n Ω Ω Ω ∂Ω

O P E L ÉCO

' u 8 1 A u = 0 ∂ΩA = 0 V 8 v ∈ V . ) v = 0 ∂Ω 1 A , ;" < . ∇u(x) · ∇v(x) dx = f (x)v(x) dx. ;" < Ω

Ω

E U IQ

* ;" < : ∇u ∇v ? L2 (Ω) ; <A ;" < : v ? L2 (Ω) ; f ∈ L2 (Ω)< * A 0 , = 0 V = H01 (Ω)A 6 H 1 (Ω) , 0 ∂Ω 9 A 8 . ;" < J . u ∈ H01 (Ω) ∇u · ∇v dx = f v dx ∀ v ∈ H01 (Ω). ;" "<

ÉC

OLE

Y L O P

Ω

H C E T

Ω

N

"

N H EC

E U IQ

. A . 8 0 . ? ;" "< Y ,

? , 8 . 0 I 6 ) ;" "< , ( J , 0 A ? . ) ;" "< 0 A

;" "< 0 ;" < ; ? <

LE O ÉC

T Y POL

1.3) 7 + 8 .

1 . ) 8 . ;" "< * 5 67 . ) # . a(u, v) = ∇u(x) · ∇v(x) dx L(v) = f (x)v(x) dx. Ω

Ω

@ . 8 , ' #6 C F a 8 0 H01 (Ω) L 8 H01 (Ω) 1 A . , * ;. ' Y

0 , . Ω<A 8 0 a . A , 6?6 , ν > 0 a(v, v) = |∇v(x)|2 dx ≥ ν v 2H 1 (Ω) ∀ v ∈ H01 (Ω).

T Y POL Ω

E L O

N H EC

E U IQ

0

' H01 (Ω) = 0 ;. * <A # 6 5 67 8 , u ∈ H01 (Ω) 8 . ;" "<

ÉC

)9.0;5) C C / . ' A A

8 0 a # A 5 6 67 9 ( A 8 . 6 , , ) J(v) =

1 a(v, v) − L(v) 2

∀ v ∈ H01 (Ω)

;. * " &< * A J A 0 8 . •

1.3) 7

. . ,

H C E T

N

E U IQ

; < ? . ) , . 8 . ;" "< 0 0 ;" <A ? ;" "< ;" < 9 , A , , 8 . ? , * H

? 8 . A . A I )

LE O ÉC

Y L O P

"

N H EC

E U IQ

' I ) 8 , u 8 . ;" "< ; u тИИ H 2 (тДж)< , . тДж A 8 9 ( A : , . 8 4 ; <

A v тИИ H01 (тДж)A тИЗu ┬╖ тИЗv dx = тИТ vтИЖu dx

├ЙC

OLE

T Y POL тДж

тДж

v = 0 0 тИВтДж @

(тИЖu + f ) v dx = 0 тИА v тИИ CcтИЮ (тДж), тДж

A . ' A тИТтИЖu = f L2 (тДж)A , тИТтИЖu = f тДж. ;" $<

E U IQ

1 A тДж . 0 C 1 A 5 ; ' $< : 8 H01 (тДж) тИВтДж L2 (тДж) @

A A

T Y L

N H EC

u = 0 тИВтДж.

O P E L ├ЙCO

;" &<

@ 0 . , ;" <

, u ;" "< , . тДж A 8 . . ; 8 4 ; <

u тИИ H 2 (тДж)< @ ╧Г = тИЗu

8 ? . . L2 (тДж)N * , ' #6 C FA

8 . ;" "< A v тИИ H01 (тДж)A ╧Г ┬╖ тИЗv dx = f v dx тЙд C v L2 (тДж) . ;" -< тДж

тДж

' CcтИЮ (тДж) тКВ H01 (тДж)A ;" -< , , , , . 8 0 ╧Г L2 (тДж) ;. 1 ) $ &<

. ) A v тИИ CcтИЮ (тДж)A ╧Г ┬╖ тИЗv dx = тИТ div╧Гv dx. тДж

@

тДж

(div╧Г + f ) v dx = 0 тДж

H C E T

тИА v тИИ CcтИЮ (тДж),

Y L O P

N

E U IQ

A . ' A тИТdiv╧Г = f L2 (тДж) * 6 div╧Г = тИЖu ? L2 (тДж) ; divтИЗ = тИЖ<A .

LE O ├ЙC

"

N H EC

E U IQ

"

, ;" $< @ . ;" &<

, . Ω C 1 Ω , A

. 5 0 ;" &< / A 8 , ? H01 (Ω) 1 . A ? =,09)--)9)*1 u = 0 ∂Ω 9 .

.

LE O ÉC

T Y POL

" Ω $ - " / $ RN , " f ∈ L2 (Ω), & " $ $ " $ u ∈ " $ - " $$ =,= , 8 ) ' u - * −∆u = f ) ) " " $ Ω, " u ∈ H01 (Ω). ;" < $ )) $ ) Ω " 0 C 1 ' u " " $ ) / + & " =, $ . −∆u = f ) ) " " $ Ω, u = 0 ) ) " " ∂Ω. 4%,0?9) C C

H01 (Ω)

E U IQ

@ u ∈ H01 (Ω) 8 . ;" "< :,-5 1',* 2.0'.1',**)--) 0 ;" < * 0 A ,* &'0. ;5) -!5*';5) :,-51',* u ∈ H01 (Ω) &) -. =,095-.1',* 2.0'. 1',**)--) $ C 6 ):1 -!5*';5) :,-51',* &5 30,/-?9) .5> -'9'1): $ C 6 ' 0 G I ) 5 " ;" <A . , 0 A . ) ) , L8 0 MA , 6?6 ; H , . , < @ :,-51',* =.'/-) 8 , 0 8 ;" < ;. 6 < 1 H A 8 8 . =,095-.1',* =.'/-) ,

ÉC

E L O

T Y POL

N H EC

)9.0;5) C C 9 8 A 8 0 H 8 0 f 3 A , ;" < . H . ) A , 6?6 x ∈ ΩA x ∈ ∂ΩA . ', , ;. ' " &< •

)9.0;5) C C 8 0 , ∆u , ;" < 5 " * 8 v H01 (Ω) , . ; H 8 0 < ? ∆v * A u ∈ H01 (Ω) 8 . ;" "<A . ∆u ? L2 (Ω) •

H C E T

N

E U IQ

* 0 ;" < 0 ; = Y . 1 ) " <A 8 A , , A G ', 5 67 . .

LE O ÉC

Y L O P

"

$

E U " $ - " / $ ' " "I Q , )) " $ N

" ) $ " $ $ " $ H - " $$ =, " $ " $" $ $ , $ ) " ' C E & " $ $ " $" " ' ) " " ' $ T Y L O P LE O ÉC 0,3,:'1',* C C

R

Ω

f ∈ L (Ω) 2

C>0

f ∈ L2 (Ω) u ∈ H01 (Ω) 2 L (Ω) H 1 (Ω) 2 f ∈ L (Ω)

N

;" <

u H 1 (Ω) ≤ C f L2 (Ω) .

)9.0;5) C C , ;" < , ):1'9.1',* &!%*)0(') 9 , X , , . # , . • %9,*:10.1',*C f → u . * 0

v = u 8 . ;" "< |∇u|2 dx = f u dx. Ω

Ω

N H EC

E U IQ

@ I ? , , ' #6 C FA

. 8 0

T Y POL

ν u 2H 1 (Ω) ≤ f L2 (Ω) u L2 (Ω) ≤ f L2(Ω) u H 1 (Ω) ,

E L O

, R ,

ÉC

/ . I? 8 . . 6 # ; , A A . . < 9 8 A 8 . ;" "< , ; # <

.

*

0,3,:'1',* C C

" J(v) $ 0 *$ ) v ∈ H01 (Ω) ) 1 J(v) = 2

|∇v| dx − 2

Ω

;" <

f v dx. Ω

E U IQ

" u ∈ H01 (Ω) " $ $ " $ - " $$ =,= , u " $ ) $" $ $ 0 ' " J(u) =

min J(v). 1

Y L O P v∈H0 (Ω)

H C E T

N

C ) $"' u ∈ H01 (Ω) " $ ) $" $ $ 0 J(v)' u " " $ $ " $ - " $$ =,= ,

LE O ÉC

"

N H EC

E U IQ

&

)9.0;5) C C * " & 8

8 0 8 . # , A 8 . , ;. 6 ,9 " < . , # 8 , J(v) 0 0 u , . ; . ) J(u) , 8 ∆u< ' ) L M 8 . # . •

LE O ÉC

T Y POL

>)0+'+) C C G $ $ % $ $

−∆u + u = f u=0

Ω ∂Ω

;" <

E U IQ

4 Ω $ RN ( f ∈ L2 (Ω) " $ 5 $ $ # $%: % Ω

N H EC

>)0+'+) C C ) Ω RN G $ $ %

T Y POL

$ $ E

E L O

V · ∇u − ∆u = f u=0

Ω ∂Ω

;" <

4 f ∈ L2 (Ω) V * + divV = 0 Ω

ÉC

>)0+'+) C C %: % $' ! 2 2 " v ∈ H01 (Ω) vV · ∇v dx = 0. Ω

" E H01 (Ω) $ * 1 J(v) = 2

|∇v|2 + vV · ∇v dx −

Ω

f v dx. Ω

E U IQ

L M 5 " # , ,

.

H C E T

N

>)0+'+) C C + !

$ Ω : + $%: xN = 0 B f f (x , xN ) = f (x , −xN ) " ! B : " ! + Ω+ = Ω ∩ {xN > 0} > Ω ∩ {xN = 0}

LE O ÉC

Y L O P

"

-

N H EC

E U IQ

)9.0;5) C C N , . 0 f ;" < 6

? L2 (Ω)A . 0 f ∈ H −1 (Ω) ; L8 M <

6 ? , Ω f v dx

f, v H −1 ,H01 (Ω) ; L(v) 0 8 H01 (Ω)< 1 A , −∆u = f ,

, , H −1 (Ω) ; Ω< ' : ? # 6 * , 0 #6 8 X 0 Ω Γ # 8 ; . N − 1< Ω * ΓA f˜ ∈ L2 (Γ) ) f ∈ H −1 (Ω) f, v H −1 ,H01 (Ω) = f˜v ds,

LE O ÉC

T Y POL

Γ

0 8 •

H01 (Ω)

T Y POL

E U IQ

Q 5

N H EC

)9.0;5) C C 1 ;" < . 1 L MA , 6?6 A . 0 6 ' 0 −∆u = f Ω ;" < ∂Ω, u = u0

ÉC

E L O

R u0 ∂Ω , 8 H 1 (Ω)A I u0 * # ;" < u = u0 + u ˜A −∆˜ u = f˜ = f + ∆u0 Ω ;" "< u ˜=0 ∂Ω.

. + " ;" "< , . f˜ ? H −1 (Ω) 9 ( A f˜, v H −1 ,H01 (Ω) = f v dx − ∇u0 · ∇v dx Ω

0 8

Ω

H01 (Ω)

H C E T

' ) %

Y L O P

/ 0

. −∆u + u = f Ω ∂u ∂Ω ∂n = g

LE O ÉC

N

E U IQ •

;" $<

"

N H EC

E U IQ

R Ω . ; 0 < , RN A f ∈ L2 (Ω) g ∈ L2 (∂Ω) , ;" $< . R . I

, F ) , . ; 0 < : 6 5 " - , . ;" $< 0 ( ? 6 6 ', ? . ,

LE O ÉC

1.3)

T Y POL

7 0 , 8 .

* . 8 . , ;" $< 8 v u : ) ( 8 4 ; < ;. ; &<< f (x)v(x) dx = (−∆u(x) + u(x)) v(x) dx Ω

Ω

HN

(∇u(x) · ∇v(x) + u(x)v(x)) dx −

= Ω

TEC

∂Ω

(∇u(x) · ∇v(x) + u(x)v(x)) dx −

= Ω

Y L O P

E U IQ

∂u (x)v(x) ds ∂n

;" &<

g(x)v(x) ds.

∂Ω

/ . / ;" &< , , , = 0 V * ;" &< : V = H 1 (Ω) ;

5 I ) , 0 < 9 A 8 . ;" $< J . u ∈ H 1 (Ω) (∇u · ∇v + uv) dx = gv ds + f v dx ∀ v ∈ H 1 (Ω). ;" -<

ÉC

E L O Ω

∂Ω

Ω

. I ) ;" -<

)9.0;5) C C

( 8 . ;" -< / ;" "< 1 . 1 , / P 8 , 1 )::)*1')--) ; < 8 , ? A / *.150)--) ; < ,

• ? 8 .

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

1.3) 7 + 8 .

N

E U IQ

"

N H EC

E U IQ

1 . ) 8 . ;" -< * 5 67 . ) # . a(u, v) = (∇u · ∇v + uv) dx L(v) = gv ds + f v dx.

LE O ÉC

T Y POL Ω

∂Ω

Ω

9 , ' #6 C F ? , 5 A . a 8 0 H 1 (Ω) L 8 H 1 (Ω) * A 8 0 a 8 . ; , , I , F < a(v, v) = v 2H 1 (Ω) ∀ v ∈ H 1 (Ω).

' H 1 (Ω) = 0 ;. * <A # 6 5 67 8 , u ∈ H 1 (Ω) 8 . ;" -<

E U IQ

)9.0;5) C C * # 0 ;" $< R g = 0A

N H EC

H , / , ∂v = 0 V , 0 V = {v ∈ H 1 (Ω), ∂n = 0 ∂Ω} A ∂v 1

8 v ∈ H (Ω) ∂n , ∂Ω 9 ( A ∇v , , 8 L2 (Ω) ; < , ,# ∂v ∂Ω 8 L2 (Ω) @ V = {v ∈ H 2 (Ω), ∂n = 0 ∂Ω} 2

0 6 8 H (Ω) . 5 - 7 . . : J 8 0 a , . V 5 67 ,# # / • , = 0

ÉC

E L O

T Y POL

1.3) 7

. . , / 8 . ;" -< . ) , 0 0 ;" $<A ? / ;. + " " , 8 # < * ,

. ;. 6 " <

E U IQ

" Ω $ - " 0 C 1 RN , " f ∈ L2 (Ω) " g " ∂Ω $ $ " $ H 1 (Ω), " $ u " $ - " $$ =, )) " $" H 2 (Ω),

)99) C C

Y L O P

H C E T

N

4 Q " 8 4 5 ∂u (x)v(x) ds. ∆u(x)v(x) dx = − ∇u(x) · ∇v(x) dx + ;" < Ω Ω ∂Ω ∂n

LE O ÉC

"

N H EC

E U IQ

. 0 u тИИ H (тДж) v тИИ H (тДж) + , 0 ;" < 0 ? 5 -

: тИВu u тИИ H 2 (тДж) . тИВn L2 (тИВтДж) @

;" -< 1 ;" < A v тИИ H (тДж)A тИВu (тИЖu тИТ u + f )v dx = ;" < gтИТ v ds. тИВn тДж тИВтДж 2

LE O ├ЙC

1

T Y POL

, v тИИ CcтИЮ (тДж) тКВ H 1 (тДж) ;" <A 0 P ,

A . ' A тИЖu тИТ u + f = 0 L2 (тДж)A тДж * A 0 ;" < A тИВu gтИТ v ds = 0 тИА v тИИ H 1 (тДж). тИВn тИВтДж

@ , H 1 (тДж) , L2 (тИВтДж) ;. тИВu &<A

P g тИТ тИВn = 0 L2 (тИВтДж)A тИВтДж 9 .

.

N H EC

E U IQ

" тДж $ - " 0 C 1 RN , " f тИИ L2 (тДж) " g " тИВтДж $ $ " $ H 1 (тДж), & " $ $ " $ u тИИ H 1 (тДж) " $ - " $$ =, , 8 ) ' u )) " $" H 2 (тДж) " " " $ =, % $ . 4%,0?9) C C

T Y POL

E ) ) " " $ L O

тИТтИЖu + u = f

├ЙC

тДж,

тИВu =g тИВn

) ) " " тИВтДж.

>)0+'+) C C 6 $ u тИИ H 1 (тДж)

! . $ $ *

u H 1 (тДж) тЙд C f L2(тДж) + g L2 (тИВтДж) ,

4 C > 0 u, f g ' 6 A 0 ; H ? 8 < , u тИИ H 1 (тДж) 8 . ;" -< , :,-51',* =.'/-) 0 ;" $<

E U

* " I Q N " * % / )!

" % "

*

H " C E 0 / )! "

T Y L O P E L O ├ЙC ( , "

% тДж " g 2

1

u тИИ H (тДж)

L (тИВтДж)

тИТтИЖu + u = f ╧Г = тИЗu тИИ L2 (тДж)N

тДж

v тИИ CcтИЮ (тДж)

╧Г ┬╖ тИЗv dx тЙд uv dx + f v dx тЙд C v L2 (тДж) тДж

тДж

тДж

"

E U " " % I* ' Q % . # N # G! $ N H C E T Y L # " O 5 " " %

P $

% 4 * ' E L

% !

* & O 1

# # " D( C É

L2 (â„Ś)

Ďƒ

divĎƒ ∈ L2 (â„Ś)

∀ v ∈ Cc∞ (â„Ś),

(divĎƒ − u + f ) v dx = 0

â„Ś

L2 (â„Ś)

−divĎƒ = −∆u = f − u

g H(div) = Ďƒ ∈ L2 (â„Ś)N

H(div) divĎƒ ∈ L2 (â„Ś) .

# # G " â„Ś

% C 1 * %

divĎƒv dx + â„Ś

â„Ś

/ !

Ďƒ ¡ ∇v dx = Ďƒ ¡ n, v H −1/2 ,H 1/2 (âˆ‚â„Ś) ,

v ∈ H 1 (â„Ś) Ďƒ ∈ H(div) / ! H 1/2 (âˆ‚â„Ś) H −1/2 (âˆ‚â„Ś) 1 Ďƒ v

* 8% 9 " ' âˆ‚â„Ś vĎƒ ¡ n ds 1 * / ! & Ďƒ ¡ n âˆ‚â„Ś H −1/2 (âˆ‚â„Ś)!

Ďƒ ∈ H(div) 1 " & / )! % Ďƒ = ∇u! " 4 % H −1/2 (âˆ‚â„Ś) g ∈ L2 (âˆ‚â„Ś) ⊂ H −1/2 (âˆ‚â„Ś)! 5 ' " "

" * % 4 ( ' & . ∂u " ∂n = g âˆ‚â„Ś •

ÉC

T Y POL

E L O

N H EC

E U IQ

' 6 A ;" $< + A g = 0A , ;" < H ;" < ) . 1 / A H ( A ? . H01 (â„Ś) H 1 (â„Ś) *

. *

0,3,:'1',* C C

" J(v) $ 0 *$ ) v ∈ H 1 (â„Ś) )

1 J(v) = 2

|∇v|2 + |v|2 dx −

â„Ś

f v dx − â„Ś

;"

gv ds. âˆ‚â„Ś

<

E U IQ

" u ∈ H 1 (â„Ś) " $ $ " $ - " $$ =, , u " $ ) $" $ $ 0 ' " J(u) =

min J(v). 1

Y L O P v∈H (â„Ś)

H C E T

N

C ) $"' u ∈ H 1 (â„Ś) " $ ) $" $ $ 0 J(v)' u " " $ $ " $ - " $$ =, ,

LE O ÉC

"

N H EC

E U IQ

>)0+'+) C C тДж * C 1 G $

$ % $ $

7

T Y POL

LE O ├ЙC

тИТтИЖu = f тИВu тИВn + u = g

тДж тИВтДж

;" <

4 f тИИ L2 (тДж) g тИВтДж $ H 1 (тДж) $ *

* - v L2 (тДж) тЙд C v L2 (тИВтДж) + тИЗv L2 (тДж) тИА v тИИ H 1 (тДж).

>)0+'+) C C тДж G $ $ % $ $ B тОз тОи тИТтИЖu = f тДж тИВu ;" < =0 тИВтДжN тОй тИВn u=0 тИВтДжD

N H EC

E U IQ

4 f тИИ L2 (тДж)( (тИВтДжN , тИВтДжD ) тИВтДж тИВтДжN тИВтДжD 7 * H C .

T Y POL

/ . . 0 ; I , , F ;" $<< 0 тИТтИЖu = f тДж ;" "< тИВu тИВтДж тИВn = g

├ЙC

E L O

R тДж . 0 , RN A f тИИ L2 (тДж) g тИИ L2 (тИВтДж) : . ;" "< ? ;" $< , , f g . ) +,*&'1',* &) +,93.1'/'-'1% 9 ( A 8 . , u тИИ H 2 (тДж)A , тДж ;

0 8 4 ; << f (x) dx + g(x) ds = 0. ;" $< тДж

тИВтДж

E U IQ

+ u u + C A . C тИИ RA 9 8 A ;" $< : , , H 1 (тДж)A ? , , + A , . тДж , A 8 ;" $< тДж , . ? , , ; . )

. . 0 <

Y L O P

H C E T

N

)9.0;5) C C * # A 0 ;" $< , +,*&'1',* &!%;5'-'/0) J f ? . A g ?

LE O ├ЙC

"

E U IQ

N H EC

D 0 * , ,

0 ; , 6?6

;" "<<A 8 0 8 1 H A , L? . M ? , 0 , 8 ,

. u ; A < •

T Y POL

" E L " $ O C É " $ /

Ω $ g ∈ L2 (∂Ω) u ∈ H 1 (Ω)

4%,0?9) C C f ∈ L2 (Ω)

- " / $ $$ & 0 C 1 RN , " - * $" $ " $ ) " / " =, % , & " =, = ' $ " $ $ $ " $" ) + ,

%9,*:10.1',*C * . 8 . , ;" $<

? ∇u · ∇v dx = gv ds + f v dx Ω

∂Ω

Ω

E U IQ

8 v * ? A H 1 (Ω) = 0 V A . 8 0 ' : 8 A u A u + C * . . A . , . . , . 8 # 3 A V = v ∈ H 1 (Ω), v(x) dx = 0

ÉC

E L O

T Y POL

N H EC

Ω

8 . ;" "< J . u ∈ V ∇u · ∇v dx = Ω

f v dx ∀ v ∈ V.

gv ds +

∂Ω

;" &<

Ω

@ V = H 1 (Ω)/RA , 6?6 H 1 (Ω) ; H 1 (Ω)/R 8 H 1 (Ω) ?

< * . 5 67 ? 8 . 6 ;" &<A # ? . ) . 8 0 ' 6 , 0 Q ? , * A , * 6\ J Ω 0 A C > 0 A v ∈ H 1 (Ω)A

v dx v − m(v) L2 (Ω) ≤ C ∇v L2 (Ω) . m(v) = Ω ;" -< . Ω dx

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

, ;" -< 6 * ; < ' m(v) = 0 v ∈ V A ;" -< . ∇v L2 (Ω) V A

LE O ÉC

"

N H EC

"

E U IQ

. ? v H 1 (Ω) A 8 0 . V 2 A ;" &< 0 0 ;" "<A 6 5 " @ 0 v ∈ V A ∂u (∆u + f )v dx = ;" < g− v ds. ∂n Ω ∂Ω

LE O ÉC

T Y POL

@ A w ∈ H 1 (Ω)A 8 v = w − m(w) ? V 9

8 ;" <A 8 m(w) 0 ;" $< , Ω ∆u dx =

∂u dsA

;" < ∂Ω ∂n ∂u (∆u + f )w dx = g− w ds ∀w ∈ H 1 (Ω). ∂n Ω ∂Ω

E U IQ

@ , 0 u . ) 0 0 ;" "<

N H EC

>)0+'+) C C 6 $ * - D * ! 2.

T Y POL

>)0+'+) C C Ω * ) f ∈ L2 (Ω)

I u ∈ H 1 (Ω)

ÉC

E L O

Ω

∇u · ∇v dx +

u dx v dx = f v dx

Ω

Ω

∀ v ∈ H 1 (Ω).

Ω

6 $ $ J

K ' ( Ω f dx = 0( 5+ K

' 4

$ &

1 6 . 0 , @ 8 0 ? A E +,)J+')*1: 2.0'./-): ' # 0

, , ; ' <A . k(x) 8 . 0 , ? , 1 A 0 −div(k∇u) = f Ω ;" < u=0 ∂Ω

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

R Ω . 0 , RN A f ∈ L2 (Ω) E G A k(x) ≡ 1A . 8 5 "

LE O ÉC

"

$

E U " $ - " / $ , " I Q , $ )) 6 $" " $ $ " $ / "H

N & " & $ " $" " " $" ) " - " C E) ) " " T Y L / O " $ =,3 , ' & " $ P $ E L O ÉC 0,3,:'1',* C C

R

Ω k(x) 0 < k− ≤ k+

f ∈ L (Ω)

N

2

0 < k − ≤ k(x) ≤ k +

;" <

x ∈ Ω.

u ∈ H01 (Ω)

%9,*:10.1',*C * . 8 . , ;" < 8 v 8 4 ,9 divσ(x)v(x) dx = − σ(x) · ∇v(x) dx + σ(x) · n(x) v(x) ds, Ω

Ω

∂Ω

. σ = k∇u * 1 H01 (Ω) = 0 A . 8 . ;" < J k∇u · ∇v dx = f v dx ∀ v ∈ H01 (Ω). ;" < . u ∈ H01 (Ω) Ω

N H EC Ω

E U IQ

4 Q ? , # ;" < . ) 8 0 ;" < k∇u · ∇v dx ≤ k + ∇u L2 (Ω) ∇v L2 (Ω) ,

E L O Ω

, .

ÉC

T Y POL

k∇u · ∇u dx ≥ k −

Ω

Ω

|∇u|2 dx ≥ ν u H01 (Ω) ,

. ν > 0 Q ? , * @ 5 67 A

, , 8 . ;" < * . 0 6 0 ;" <A 5 "

)9.0;5) C C , ;" < 8 . J ) ,

−div(k∇u) = −k∆u − ∇k · ∇u,

H C E T

N

E U IQ

8 , : k . 0 3 A , ;" < H k •

Y L O P

9 8 A , ;" < 8 . A L 8 0 M , 8 * 6 A . 8 0 ,

LE O ÉC

"

N H EC

&

E U IQ

+,*&'1',*: .5> -'9'1): &) 10.*:9'::',* 6 . ( ' R (тДж1 , тДж2 )

тДж k(x)

T Y POL

k(x) = ki > 0 x тИИ тДжi , i = 1, 2.

LE O ├ЙC

;" <

@ ╬У = тИВтДж1 тИй тИВтДж2 , 8 ; тДж< тДж1 тДж2 ;. 2 " <A ui = u|тДжi u ? тДжi

╬У тДж2 тДж1

N H EC

E U IQ

" W 8 6

T Y POL

#!) "#+ =,33 ) / + =,3 " - $" тОз тИТki тИЖui = f $ тДжi, i = 1, 2, тОк тОк тОи u1 = 0 тИВтДж, ;" < u = u ╬У, тОк 1 2 тОк тОй k1 тИЗu1 ┬╖ n = k2 тИЗu2 ┬╖ n ╬У. & $ + 0$ =,39 $" )) +,*&'1',*: .5> -'9'1): &) 10.*: 9'::',* $" ╬У,

)99) C C

├ЙC

E L O

%9,*:10.1',*C u тИИ H01 (тДж) ;" <A 5

A . u1 = u2 ╬У ╧Г = kтИЗu ╧Гi = ╧Г|тДжi = ki тИЗui ? тДжi A ╧Г A . A ? L2 (тДж) 3 A . 5 &A ╧Г ┬╖ n ╬У . ╧Г1 ┬╖ n = ╧Г2 ┬╖ n ╬У + A

8 . ;" < 6 ,

[ . u ;" < @ ui тИИ H 1 (тДжi ) тДжi H 8 v тИИ H01 (тДж) 9 0 тИВu1 тИВu2 тИЗu1 ┬╖тИЗv dx+ тИЗu2 ┬╖тИЗv dx+ + k2 f v dx+ f v dx. k1 v ds = тИВn1 тИВn2 тДж1 тДж2 ╬У тДж1 тДж2 ;" "< ' n1 = тИТn2 , , 8 ╬У P ? 1, A u ) u1 тДж1 u2

LE O ├ЙC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

"

-

N H EC

E U IQ

Ω2 A u1 = u2 Γ u ∈ H 1 (Ω) .

* A ;" "< , , 8 . 6 ;" <

T Y POL

>)0+'+) C C ) Ω K RN

Ω Ω \ K * ) f ∈ L2 (Ω) Ω 4 K ( $ + $ u ( K $ $: K 0

LE O ÉC

⎧ −∆u = f ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u=C ⎨ ∂u ds = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ∂n ⎪ ⎩ ∂K u=0

Ω \ K ∂K ∂K

E U IQ

∂Ω,

N H C % $ " & E $ " * T %

%

" ! LY & " " "

P O E L

/ CN! O C É 4 C + < $ $ $ (u, C) A(x) = (aij (x))1≤i,j≤N Ω Ω A(x)ξ · ξ =

N

A

α>0

aij (x)ξi ξj ≥ α|ξ|2

ξ ∈ RN ,

i,j=1

" * ' & " β > 0 " "

Ω |A(x)ξ| ≤ β|ξ|

ξ ∈ RN . / CG! $ −div(A∇·) = −

N ∂ i,j=1

∂xi

aij (x)

/ C)!

∂ · , ∂xj

'

E U IQ

Ω, / CI! ∂Ω. % ( " & / CI! . (

" %

! " % A(x) & ! A(x) " & + % 0 + A = −div(A∇u) = f u=0

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

" A +A " A

" s

a

s

E U " IQ N H C T E %

E L O É C/0

Aa = (A−At )/2

t

= (A+A )/2

Y L PO

−div(A∇u) = −div(As ∇u) + V · ∇u

Vj (x) =

N 1 ∂(aji − aij ) i=1

2

∂xi

(x),

: V % % f ∈ L2 (Ω) $ . ( / CI! 4 "

/ C)! u ∈ H01 (Ω)

N ∂u ∂u = A(x)∇u · n = aij (x) ni = 0 ∂nA ∂xj

∂Ω,

i,j=1

E U IQ

: ∂n∂u % u & / C)! 5 4 % ( " " L σ = A∇u " L ' σ · n = 0 ∂Ω A

T Y POL

N H EC

/0 f ∈ L (Ω) g ∈ L (∂Ω) ! ! 2

E L O

2

−div(A∇u) + u = f ∂u =g ∂nA

É C! $

Ω, ∂Ω.

1 6 . 6 . 1 1 6 A Ω . 0 RN f ∈ L2 (Ω) 5 " 8

u ∈ H01 (Ω) −∆u = f Ω ;" < ∂Ω. u=0

0'*+'3) &5 9.>'959

H C E T

N

E U IQ

/ O . . ' ; Q ? 8 N = 1 Y . + < '

Y L O ,P

4%,0?9) C C $ 0'*+'3) &5 9.>'9596

LE O ÉC

u ≥ 0 ) ) " " $ Ω

f ≥ 0

) ) " " $ Ω'

"

N H EC

E U IQ

)9.0;5) C C 8

6 8 . # J , 6 A ( ;f ≥ 0<A I 0 ;u ≥ 0< . 0 , ;" -< ? :6 . 0 L∞ (Ω) 0 , 0 ;" $< . / . 8 L M , ; , 6?6 , u ? . R< ' 0 8 , u ? . . ; # ;" "$< , < •

LE O ÉC

T Y POL

%9,*:10.1',*C @ 8 . ;" "< ;" < . v =

u− = min(u, 0)

0 ? H01 (Ω) . " ; u = u+ + u− < @ − − f u dx = ∇u · ∇u dx = 1u<0 ∇u · ∇u dx = |∇u− |2 dx ≥ 0. ;" < Ω

Ω

Ω

Ω

−

N H EC

E U IQ

7 u ≤ 0 f ≥ 0 Ω * A ;" < A u− ∈ H01 (Ω)

u− = 0A , 6?6 u ≥ 0 Ω

T Y POL

v ∈ H01 (Ω)' v+ = max(v, 0) )) " $" H01 (Ω) " ∇v + = 1v>0 ∇v ) ) " " $ Ω, . 1v>0 (x) " $ " $ - " . v(x) > 0 " ,

)99) C C

ÉC

E L O

)9.0;5) C C " F

; H < 9 6 , A

: , 8 ) L MA ? H 1 6 8 6 8 ? H 1 9 ( A ? v 6 v > 0 ? 6 v < 0A I 0 , 8 6 ; ) v = 0< , ; 1 ) "< H v 8 •

E U I Q

?

' " v ∈ H (Ω) G(t) * 1 0

N

R R C " G(0) = 0 G (t) ' R ∇(G(v)) = G (v)∇v H01 (Ω) * " % % v H 1 (Ω)

vn % "

Ω % v ∇v % M % C C C 1

$

LE O ÉC

Y L O P

|G(vn ) − G(v)| ≤

H C E T

sup |G (t)| |vn − v| , t∈R

G(v) ∈ H01 (Ω) vn ∈ Cc∞ (Ω)

∇vn FNH! / # !

"

E U % % .

IQ N H / #C! C E T Y % "

%

! 5 L O ; " & ( P % E ' % ( C G FNH! * L% ; / #C! % % % O C

5 ( " B É ' K % %

% " G(vn )

G(v)

2

1≤i≤N

L (Ω)

∂G(vn ) ∂v ∂v ∂v ∂vn − G (v) ≤ G (v ) − G (v) + sup |G (t)| − . n ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi t∈R ∂v |G (vn ) − G (v)| ∂x i 2 (sup |G (t)|) ∂v L2 (Ω) ∂xi

L2 (Ω) G(vn )

2

L (Ω)

H01 (Ω)

w ∈ H01 (Ω) ∂w ∂v = G (v) ∂x ∂xi i

L2 (Ω) " L2 (Ω) : 4

( * t → max(t, 0) * Gn (t)

" v + & H01 (Ω) 1 G(t) * C 1 (R) " w = G(v)

t ≤ 21 , 0 ≤ G (t) ≤ 1 12 ≤ t ≤ 1, G (t) = 1 1 ≤ t. $ Gn (t) = G(nt)/n

n ≥ 1 " Gn (v) ∈ ∂v H01 (Ω) ∂G∂x(v) = G n (v) ∂x . % " G(t) = 0

n

i

i

T Y POL +

N H EC +

|Gn (v) − v | ≤ sup |Gn (t) − t | ≤ t∈R

E U IQ

1 , n

Gn (v) % % v+ L2 (Ω) $

1 ≤ i ≤ N

ÉC

E L O

∂Gn (v) ∂v ∂v ∂v − 1 = |G (v) − 1 | ≤ 1 , v>0 v>0 0<v<1/n n ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi

10<v<1/n % % "

( % '

% " ∂G∂x(v) % % 1v>0 ∂x∂v L2 (Ω) $ " Gn (v) % % v+ H01 (Ω) " ∇v+ = 1v>0 ∇v n

i

i

>)0+'+) C C " $

v → v+ L2 (Ω)

B ( H 1 (Ω) B ∇u = 0 $ u−1 (0)

%(5-.0'1%

E U Q/ $ I " $ $" , " $N - " , " , ' $ " $ H =,9 C )) " $" , 8 ) ' )) " $ " E $ $" $ T " $ ' " & " $ $ " $" Y L O P LE O ÉC / , 0 .

4%,0?9) C C $&) 0%(5-.0'1%6 RN

C m+2 m+2 H (Ω) H m+2 (Ω)

f ∈ H m (Ω)

m≥0

f →u

C>0

u H m+2 (Ω) ≤ C f H m (Ω) .

Ω u ∈ H01 (Ω)

H m (Ω)

"

N H EC

E U IQ

* 5 " $ 5 " ;

8 H m (Ω)<A 0 . + " A ? . 8 0 , 6 . 8 8 ; <

LE O ÉC

T Y POL

Ω " $ - " / $ RN C m+2 ' f ∈ H m (Ω)' " m > N/2' " $ - " $$ u ∈ H01 (Ω) =,9 " $ " $ " )) " $" C 2 (Ω), $ ) " ' Ω " $ - " / $ RN C ∞ ' " f ∈ C ∞ (Ω)' " $ u ∈ H01 (Ω) =,9 " $ C ∞ (Ω),

,0,--.'0) C C

)9.0;5) C C 0 9 ∆uA

0 . uA ? 8 A

1,51): . u ? H V E G A . N = 1

[ . . , 8 . •

T Y POL

N H EC

E U IQ

)9.0;5) C C 5 " $ ' " & . 0 /

? : . 0 ; 6 " < 1 A 8 I ? , # 0 . : A , # : C m+1 Ω ; Ω 0 C m+2 f ∈ H m (Ω)< •

ÉC

E L O

4

D( / N

" A " / C ! $ Ω = RN

f ∈ L2 (RN ) ' −∆u + u = f RN . / ##! 6 0 / ##! " ' 4 & 0 f L2 (RN )

% ( " ( ( u H 1 (RN ) & " u(x) 8 % E 9 & " R |u|2 dx % , * % / ##! K

% u ∈ H 1 (RN ) " N

(∇u · ∇v + uv) dx = RN

Y L O P RN

H C E T

f v dx ∀ v ∈ H 1 (RN ).

N

E U IQ / #/!

, D( ? C C

% " " u ∈ H 1 (RN ) / #/! 0 " &

"

% ;& * ( " * %

LE O ÉC

"

E U " % / ##! 4

% I Q N H C ' #$ "

E 5 ' !6! LY T O 8 ( P 9

L E "

+ O ÉC 2

f ∈ L2 (RN ) f ∈ H m (RN )

N

H (R )

u ∈ H 1 (RN ) m≥0 u

H m+2 (RN )

h ∈ RN h = 0

Dh v(x) =

v(x + h) − v(x) |h|

" ' & H 1 (RN ) v ∈ H 1 (RN ) $ % " ∇(Dh v) = Dh (∇v) "

v, φ ∈ L2 (RN ) 8* 9

(Dh v)φ dx = RN

v(D−h φ) dx. RN

E U IQ

. "

Dh v / C . * % / #/! v = D−h (Dh u) " '

|∇(Dh u)|2 + |Dh u|2 dx =

T Y L

RN

$ ;

O P E L $ / #)! O C É

N H EC

f D−h (Dh u) dx.

RN

Dh u 2H 1 (RN ) ≤ f L2 (RN ) D−h (Dh u) L2 (RN ) .

D−h (Dh u) L2 (RN ) ≤ ∇(Dh u) L2 (RN ) ≤ Dh u H 1 (RN ) .

. Dh u H

1 (RN )

≤ f L2 (RN )

1 ≤ i ≤ N

∂u Dh ∂xi

L2 (RN )

≤ f L2 (RN ) ,

∂u " " / C

" ∂x & H 1 (RN ) & 2 N " u ∈ H (R ) ∂u " 1 " f ∈ H 1 (RN ) ? " ∂x H 1 (RN ) ∂f −∆ui + ui = RN . / #N! ∂xi 1 % " ∂u & H 2 (RN ) & " u ∈ H 3 (RN ) % U % * ∂x ∂φ % / #/! % * ∂x

φ ∈ Cc∞ (RN ) i

i

i

LE O ÉC RN

Y L O P i

∇u · ∇

∂φ ∂φ +u ∂xi ∂xi

H C E T

dx =

f RN

∂φ dx. ∂xi

N

E U IQ

"

E U

' 5 IQ N H / #G! C E T Y " / #G! * " % ' L

O / #N!

" $ % ' " P E / #N! L O C % *

É 2

1

u ∈ H (R )

f ∈ H (R )

N

∇

RN

N

∂u ∂u · ∇φ + φ dx = ∂xi ∂xi

RN

∂f φ dx ∂xi

φ ∈ H 1 (RN )

1

∂u ∂xi

N

= ui

H (R )

f ∈ H m (RN ) ⇒ u ∈ H m+2 (RN ) m=1

m

# . v ∈ L (R ) h ∈ R h = 0 & 7 2

N

N

Dh v(x) =

v(x + h) − v(x) ∈ L2 (RN ). |h|

" v ∈ H 1 (RN ) ! Dh v L2 (RN ) ≤ ∇v L2 (RN ) .

N H EC

E / #)! U IQ

8 ! v ∈ L2 (RN ) 9 C h = 0 Dh v L (R ) ≤ C, / #I! v ∈ H 1 (RN ) e · ∇v L (R ) ≤ C e ∈ RN

T Y POL 2

E L O

2

N

N

. ' / #)!

v ∈ C

ÉC

1

0

2

1

|Dh v(x)| ≤

|∇v(x + th)|2 dt.

0

6 x % Dh v 2L2 (RN )

h · ∇v(x + th) dt, |h|

Dh v(x) =

" ;

∞ N c (R )

1

2

≤

|∇v(x + th)| dx dt ≤ 0

RN

0

1

∇v 2L2 (RN ) dt = ∇v 2L2 (RN ) .

E U IQ

/ #)! %

* H 1 (RN ) 1 v ∈ L2 (RN ) " % / #I! $ "

φ ∈ Cc∞ (RN )

RN

Y L O P

$

LE O ÉC

(Dh v)φ dx =

RN

H C E T

Dh vφ dx ≤ C φ L2 (RN ) .

v(D−h φ) dx,

RN

N

"

N H EC

E U

I Q

"

φ h = te % e ∈ R e = 0 N

lim D−h φ(x) = −e · ∇φ(x).

T Y POL t→0

" "

1 ≤ i ≤ N

φ ∈ Cc∞ (RN )

E L O É C " " RN

∂φ v dx ≤ C φ L2 (RN ) , ∂xi

# C !

v

& H 1 (RN ) % .

# ( , 0 "

/ C % Ω = RN ! D( / N $ # # 1 % . C /

% % J # #!

% Ω

% (ωi )0≤i≤I (θi )0≤i≤I " N H EC

I

θi ∈ Cc∞ (ωi ),

0 ≤ θi (x) ≤ 1,

T Y POL

θi (x) = 1

E U IQ

Ω.

i=0

% ω0 & Ω * ω0 ⊂ Ω! "

% ωi

i ≥ 1

% ' ∂Ω 1 u ∈ H01 (Ω) " / # !

u = Ii=0 θi u % ( θi u

θ0 u u 6 " θ0 u

" H 1 (RN ) −∆(θ0 u) + θ0 u = f0 RN , % f0 = θ0 (f − u) − 2∇θ0 · ∇u − u∆θ0 " & L2 (RN ) / C " θ0 u ∈ H 2 (RN ) 5 f0 % / C " f ∈ H m (Ω) " " θ0 u ∈ H m+2 (Ω)

θi u

i ≥ 1 * ' 8 9 '

Ω = RN + 6 * " / C

Ω = RN+ 5 ' ( " % & % ' 1

/ C! K

% & FGH

0 * "

% •

% '

ÉC

E L O

>)93-) &) :'*(5-.0'1%

H C E T

N

E U IQ

> # :'*(5-'?0):A , 6?6 6 , , 0 . 5 6 " $ ' " & 8 9 A 0 , 8 0 ; , 6?6 ? , 0 . H 1 (Ω)< ,# 8 ; , 6?6 8 . 0 < 0 /

LE O ÉC

Y L O P

"

$

Γ0

T Y L ΘP O Ω

ÉC

OLE Γ2

"

N H EC

E U IQ Ω

Γ2

Γ1

Θ Γ0

Γ1

W Ω , Θ ; π <

E U IQ

O N = 2 , A Ω ) ;. 2 " <

N H EC

Ω = {(r, θ) 0 ≤ r < R 0 < θ < Θ}

T Y POL

. 0 < R < +∞ 0 < Θ ≤ 2π ; x1 = r cos θ x2 = r sin θ< @ Γ0 0 Ω R r = RA Γ1 R θ = 0 Γ2 R θ = Θ ' . Ω L MA , ; 0 Γ1 Γ2 < 0 6 * # A , Θ < π 8 , ( A Θ > π ? ; H ? @::50) Θ = 2π < * k ≥ 1A 0

. ⎧ ⎨ −∆u = 0 Ω u = cos kπθ Γ0 ;" " < Θ ⎩ ∂u = 0 Γ ∪ Γ 1 2 ∂n

ÉC

E L O

⎧ ⎨ −∆u = 0 u = sin kπθ Θ ⎩ u=0

Ω Γ0 Γ1 ∪ Γ2

;" " <

E U IQ

/ ;" " < ;" " < , 6 0 . H m (Ω)A A # . ? A

∇u . , 1, . # A ? D A A ? J . 0 ? ,

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

"

&

E U & " $ $ " $ / I =,= Q $ ' $$ N ) H C E T Y L " $ / =,= $ ' $$ ) 8 E ' & " $ $ O P E L O ÉC

)99) C C

H 1 (â„Ś)

u(r, θ) =

r kĎ€ Θ R

cos

kĎ€θ Θ

;" " <

.

H 1 (â„Ś)

u(r, θ) =

r kĎ€ Θ R

sin

kĎ€θ Θ

;" " <

.

8 $ & ' k = 1 " Ď€ < Θ' 0 $" ∇u $ " ) / $ 0 $ ' " $ k ≼ 2 Ď€ ≼ Θ' 0 $" ∇u " $" $ 0 $ ,

)9.0;5) C C , 1

0 ;" " < ;" " <A 2 θ Γ0 ? " ; 8 1 Γ0 0 . Γ1 Γ2 < @

A Θ ≤ Ď€ A ;" " < ;" " < I 1 Γ0 3 A Θ > Ď€ A ;" " < ;" " < . H * # A , ;Θ > Ď€ < A , ;Θ ≤ Ď€ < 1 A 8 8 . D A A ) ? , , # 1 . H ? , 6 # J , A

, I L 8 M . L MA , A ∇u A

. ; # A . 2 ; < . 6 . 6 H 8 ∇u< 9 A ; < 1 R Θ = 2Ď€ A , . â„Ś @::50% "

0 ;" " < ;" " < 6 6 , # 0 â„Ś ;. ,9 " &< 1 A : , k = 1 2 ;

? , < =.+1)50 &!'*1)*:'1% &): +,*10.'*1):

. )

;. T -U< •

ÉC

E L O

T Y POL

N H EC

E U IQ

H C E T

N

E U IQ

)9.0;5) C C 8 "

6 J . H . 6 ;. 2 $ -< 3I : ;. + $ "<

) • , H

LE O ÉC

Y L O P

"

-

N H EC

E U IQ

)9.0;5) C C @ , 1 Γ1 / Γ2 ; A 8 u = sin( kĎ€θ 2Θ ) Γ0 < ( kĎ€ = Θ ∇u 0 ? , 9 A . k = 1 Ď€ = ΘA /')* ;5!'- *!B .'1 3.: &) +,'*A ' G 8 •

LE O ÉC

T Y POL

%9,*:10.1',*C / 0 ? 0 ;" " < . / ; , 0 ;" " < H < @ L . M 6 ) 8 u0 ∈ H 1 (â„Ś) 0 [ . @ . ) kĎ€θ r2 u0 (r, θ) = 2 cos R Θ

? A , 6?6 u = u0 + v R v , 0 ⎧ ⎨ −∆v = ∆u0 â„Ś Γ0 v=0 ;" " < ⎊ ∂v Γ1 âˆŞ Γ2 . ∂n = 0 + . 0 Γ0 0 . Γ1 Γ2 A , 6?6 . θ ; . < , θ = 0A Θ ' ∆u0 ? L2 (â„Ś)A ;" " < H 1 (â„Ś)A ;" " < H 1 (â„Ś) > ) ;" " < +

ÉC

E L O

T Y POL

âˆ†Ď†(r, θ) =

N H EC

E U IQ

1 ∂2φ ∂ 2 φ 1 âˆ‚Ď† + + . ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2

2 2 ∂ 1 ∂ r kĎ€ kĎ€ 1 r kĎ€ Θ Θ + = , ∂r2 r ∂r R Θ r2 R ;" " < 0 ;" " < @ . ) 8 ;" " < ? H 1 (â„Ś) 2 A 8 0 (er , eθ ) âˆ‚Ď† 1 âˆ‚Ď† âˆ‡Ď†(r, θ) = er + eθ ∂r r ∂θ r kĎ€ kĎ€θ kĎ€θ Θ −1 kĎ€ ∇u = cos er − sin eθ R Θ Θ Θ

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

A A , 0 ? , 0 < kĎ€ < Θ ? , kĎ€ > Θ kĎ€ = Θ ? 8 u = x1 V

LE O ÉC

" #

N H #

C E T Y L O P LE O ÉC

"

E U IQ

/ , . ? # , , ' O . . ' ' 8 , , # 8 ; # 6

, 0 Y , R , -'*%.0':%)A . T $U< @ , A , 6 ?6 Ω . 0 RN 8 f (x)A

8 Ω RN , u ; < 8 Ω RN 8 . 8 A e(u)A

8 ? . , 0 # 1 ∂u 1 ∂uj i e(u) = + , ∇u + (∇u)t = 2 2 ∂xj ∂xi 1≤i,j≤N

N H EC

E U IQ

σ ; 8 ? . , 0 # <

? e(u) = %

T Y POL

σ = 2µe(u) + λ tr(e(u)) Id,

R λ µ :

Ω * # : . )

ÉC

E L O

µ > 0 2µ + N λ > 0.

@ I ? . 0 8 −divσ = f Ω

RA ) A . σ . ⎞ ⎛ N ∂σij ⎠ divσ = ⎝ . ∂xj j=1 1≤i≤N

8 tr(e(u)) = divuA

1 ≤ i ≤ N N ∂ui ∂ ∂uj − + ;" ""< µ + λ(divu)δij = fi Ω ∂xj ∂xj ∂xi j=1

H C E T

N

E U IQ

. fi ui A 1 ≤ i ≤ N A f u 0 RN 9 I 1 A . A 0 −div (2µe(u) + λ tr(e(u)) Id) = f Ω ;" "$< ∂Ω. u=0

LE O ÉC

Y L O P

"

N H EC

E U IQ

/ . , ,

# ,

T Y POL

4%,0?9) C C " Ω $ - " / $ RN , " $ " $ / u ∈ H01 (Ω)N =,=% ,

LE O ÉC

f ∈ L2 (Ω)N ,

& " $

%9,*:10.1',*C * . 8 . ;" ""< 8 vi ;

, 0 ∂Ω 1 < 0

µ Ω

N ∂ui j=1

∂xj

+

∂uj ∂xi

∂vi dx + ∂xj

λdivu Ω

∂vi dx = ∂xi

fi vi dx. Ω

@ A i 1 ? N A ) 8 P . 8 v = (v1 , ..., vN ) )

E U IQ

N N ∂ui ∂vi ∂uj ∂vi 1 ∂ui ∂uj ∂vj + = + + = 2e(u) · e(v). ∂xj ∂xi ∂xj 2 i,j=1 ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi i,j=1

T Y POL

N H EC

' H01 (Ω)N = 0 A 0 8 . 6 J . u ∈ H01 (Ω)N 2µe(u) · e(v) dx + λ divu divv dx = f · v dx ∀ v ∈ H01 (Ω)N . ;" "&< Ω

ÉC

E L O

Ω

Ω

@ . ) ;" "&< 0 * . 5 67 ? 8 . 6 ;" "&<A # ? . ) . 8 0 @ * A 2 2 2µ|e(v)| dx + λ|divv| dx ≥ ν |e(v)|2 dx, Ω

Ω

Ω

. ν = min(2µ, (2µ + N λ)) > 0 * A 0 J

A · B = N i,j=1 aij bij

# A # A 8 A = Ad + Ah . Ad = A −

1 1 trA Id Ah = trA Id, N N

H C E T

Ad · Ah = 0 |A|2 = |Ad |2 + |Ah |2 @

Y L O P

N

E U IQ

2µ|A|2 + λ( trA)2 = 2µ|Ad |2 + (2µ + N λ)|Ah |2 ≥ ν|A|2

. ν = min(2µ, (2µ+N λ))A

A = e(u) 8 ν > 0 , J #

LE O ÉC

" #

N H EC

E U IQ

µ > 0 (2µ + N λ) > 0 H 1 A

, B ; X A . " 6 <

C > 0 |e(v)|2 dx ≥ C |∇v|2 dx

LE O ÉC

T Y POL Ω

Ω

v ∈ H01 (Ω)N 5 A , * ; A . * <

C > 0 A v ∈ H01 (Ω)N A |v|2 dx ≤ C Ω

|∇v|2 dx. Ω

3 A

? . 2 2µ|e(v)| dx + λ|divv|2 dx ≥ C v 2H 1 (Ω) . Ω

Ω

E U IQ

5 67 , , 8 . ;" "&< 2 A ;" "&< 0 0 ;" "$<A 5 "

)99) C C

ÉC

T Y POL

N H EC

" Ω $ - " RN , " " $ " $ v ∈ H01 (Ω)N ' $

E L O

∇v L2 (Ω) ≤

√ 2 e(v) L2 (Ω) .

;" "-<

%9,*:10.1',*C v ∈ Cc∞ (Ω)N * 0

|e(v)| dx =

2

Ω

|∇v| dx +

2

Ω

∇v · (∇v) dx =

2

Ω

|∇v| dx +

t

|divv|2 dx.

2

Ω

Ω

* Cc∞ (Ω) H01 (Ω)A

;" "-<

>)0+'+) C C " $ L2 (Ω)N H01 (Ω)N + f u( $ ! ! (

, # 0 ;" "$< . 1 6 :50 1,51 -) /,0& ∂Ω 9 ( A ,

; A / <

0 A . 8 . . 0 : , " A A B ;. " 6 < + , A A , 1 , 0 ∂Ω , 8 ) 0 0 9 A 0 , 0 . 0 0 0 A 0

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

"

N H EC

E U IQ

8 8 ' ) /

, .

O P LE O ├ЙC

T Y L

╧Гn = g тИВтДж,

;" " <

R g 8 ? . . / ;" " < , 6 g 8 0 g = 0A 8 , 0 0 J 0 0 / # , . H ; 1 / <A , 6?6 тОз тОи тИТdiv (2┬╡e(u) + ╬╗ tr(e(u)) Id) = f тДж тИВтДжD u=0 ;" $ < тОй ╧Гn = g тИВтДжN , R (тИВтДжN , тИВтДжD ) тИВтДж ) тИВтДжN тИВтДжD ;. 2 < , # . 0 1 J

8 , B 6 R

N H EC

" тДж $ - " / $ 0 C 1 , & " $ $ " $" C > 0 " ' ) " " $ " $ v тИИ H 1 (тДж)N ' $

)99) C C $ *%(.-'1% &) L,0*6 N

E U IQ

T Y POL

1/2 v H 1 (тДж) тЙд C v 2L2 (тДж) + e(v) 2L2 (тДж) .

E L O

;" $ <

, ;" $ < , 0 J ( A 0 . v 0 8 . 6 0 . ' , . ;" $ < . A

0 ;" $ <

. " ;. A A T U< / , . 0 , B ;" $ < v ? H01 (тДж)N 9 ( A 0 " , * ;

. 0 < 0 , ;" $ < , , B

. , 6 A ? 8 e(u) L2 (тДж)A X u H 1 (тДж)N A ? , u L2 (тДж) ' . ,9 " A I ? 9,52)9)*1: &) +,03: 0'('&): , 6?6 u ,

├ЙC

H C E T

N

E U IQ

>)0+'+) C C ) тДж RN ) $ R @

* A тДж

Y L O P

R = v(x) = b + M x b тИИ RN , M = тИТM t : .

LE O ├ЙC

" v тИИ H 1 (тДж)N e(v) = 0 тДж v тИИ R

;" $ <

" #

N H EC

E U IQ

/ . , , # , . H

T Y POL

" Ω $ - " / $ $$ & 0 C 1 RN , " f ∈ L (Ω) " g ∈ L2 (∂ΩN )N , $ *$ " ) V = v ∈ H 1 (Ω)N " v = 0 ∂ΩD . ;" $ < & " $ $ " $ / u ∈ V =,% ) $ $ $" " $" $4 $" $$ f " g, 4%,0?9) C C 2

N

LE O ÉC

%9,*:10.1',*C 8 . ;" $ < , 0

5 " , V A ) ;" $ <A 1 ∂ΩD 0 = 0 6 8 H 1 (Ω)N ; 5 < @ 0 8 . J . u ∈ V 2µe(u) · e(v) dx + λ divu divv dx = f · v dx + g · v ds ∀ v ∈ V. ;" $ < Ω

Ω

Ω

N H EC ∂ΩN

E U IQ

* . 5 67 ? 8 . 6 ;" $ <A # ? . ) 8 . 8 0 3 A 8 , C > 0 A 8 v ∈ V A

ÉC

E L O

T Y POL

;" $"<

v H 1 (Ω) ≤ C e(v) L2 (Ω) .

5 , 0 A e(v) L2 (Ω) V ? . )

, ,# e(v) L2 (Ω) = 0 v = 0 e(v) L2 (Ω) = 0 J ,9 " v A , 6?6 v(x) = b + M x . M = −M t @ . ) 8 A

M = 0A xA b + M x = 0A 8 R3

R2 @ v(x) = 0 ∂ΩD A

8 A M = 0 b = 0 1 ;" $"< ;. + -< ;" $"< 8 A

vn ∈ V vn H 1 (Ω) = 1 > n e(vn ) L2 (Ω) . 2

E U IQ

9 A

e(vn ) . L2 (Ω)N 1, A vn 0 H 1 (Ω)N A 5 + A

6

vn

. L2 (Ω)N , B "

Y L O P

H C E T

N

vn − vp 2H 1 (Ω) ≤ C vn − vp 2L2 (Ω) + e(vn ) − e(vp ) 2L2 (Ω) ,

, R ,

vn ' # H 1 (Ω)N A . .

v∞

. ) e(v∞ ) L2 (Ω) = 0 ' , ,

LE O ÉC

"

N H EC

E U IQ

vтИЮ = 0A

. 8 vn H 1 (тДж) = 1 , 8 . ;" $ < . , ;" $ < 0 0 ? . 8 5 " . / 2 A , 6 (f, g) тЖТ u * , L2 (тДж)N ├Ч L2 (тИВтДж)N H 1 (тДж)N A v = u 8 . ;" $ < 9 6 . 8 0 I 8 A 0

LE O ├ЙC

T Y POL

-!):1'9.1',* &!%*)0(')

;" $$<

C u 2H 1 (тДж) тЙд f L2(тДж) u L2(тДж) + g L2 (тИВтДжN ) u L2 (тИВтДж) .

4 Q ? , * A I ;" $$< C f L2 (тДж) + g L2 (тИВтДжN ) u H 1 (тДж) A

.

E U IQ

)9.0;5) C C * # , . 1 ; / < H , . ;. 5 " $< * A ? ( A ,# # , ; # < / 6 ? 2 " J , 0 8 A f = 0A / 8 8 A 1 u = 0 ? u = e1 ? ' . ?

A A , A

?

.

тАв

├ЙC

E L O

T Y POL

N H EC

" W ' 6 3 A ? 8 R D ; . < / . I? 8 . , ,

E U IQ

30'*+'3) &): 10.2.5> 2'015)-: *

. A , V , &%3-.+)9)*1: v +'*%9.1';5)9)*1 .&9'::'/-):A , 2

N

# ╧Г тИИ L (тДж) A тИТdiv╧Г = f тДж ╧Гn = g тИВтДжN A

+,*10.'*1): :1.1';5)9)*1 .&9'::'/-): ' A 8 . ;" $ < , ) v тИИ V 1 2┬╡|e(v)|2 + ╬╗|divv|2 dx тИТ J(v) = f ┬╖ v dx тИТ g ┬╖ v ds. ;" $&< 2 тДж тДж тИВтДжN 2

N

LE O ├ЙC

Y L O P

H C E T

" #

N H EC

"

E U IQ

9 J(v) -!%*)0(') &) &%=,09.1',* 1 2µ|e(v)|2 + λ|divv|2 dx 2 Ω

T Y POL

-!%*)0(') 3,1)*1')--) &): =,0+): )>1%0')50): ; . 8 <

LE O ÉC

−

f · v dx −

Ω

g · v ds. ∂ΩN

>)0+'+) C C " u ∈ V $ ! u

V $ * J(v) ! & L I $ - >)0+'+) C C ) Ω RN :

$ > ! !/ ∂Ω "

$

f · (M x + b) dx + Ω

g · (M x + b) ds = 0 ∂Ω

E U IQ

∀b ∈ RN , ∀M = −M t ∈ RN ×N

N H EC

M $ $ $ H 1 (Ω)N $ + $ $ @ * A ( ! 2

E L O

T Y POL

)9.0;5) C C : 6 # 1 A , . # ; ' < −µâˆ†u − (µ + λ)∇(divu) = f Ω ;" $-< u=0 ∂Ω.

ÉC

, . ;" $-< ? ;" "$< e(u) , , B 8 8 ;" $-< ,

. ? ;" "$< : x / 0 1, . A ;" "$< •

>)0+'+) C C Ω RN f ∈ L2 (Ω)N " $ $ ! . H01 (Ω)N $ * N $ E %: % M µ > 0 2µ + λ > 0

H C E T

N

E U IQ

>)0+'+) C C $ ! . ! ! λ µ "

Y L O P

! . ! ! λ µ * ( B $ ! .

LE O ÉC

−div(µâˆ‡u) − ∇((µ + λ)divu) = f Ω.

"

$

N H EC

E U IQ

1 A 30,/-?9) &5 +':.'--)9)*1 .*1' 3-.*A # , ) 0

, ? , 0 ' 8 ,

, 0 0 , 0 ' 6 ,

.

LE O ÉC

T Y POL

>)0+'+) C C : $

$ : % * Ω * L > 0 ω ( 4 ω * RN −1 M λ µ G ( Ω = ω × (0, L)( x ∈ Ω( x = (x , xN ) 0 < xN < L x ∈ ω ⎧ −div (2µe(u) + λ tr(e(u)) Id) = 0 ⎪ ⎪ ⎨ σn = g =0 u ⎪ ⎪ ⎩ (σn) · n = 0

Ω ∂ω × (0, L) ω × {0, L} ω × {0, L}

N H EC

E U IQ

;" $ <

4 ( v = (v1 , ..., vN )( v = (v , vN ) v ∈ RN −1 vN ∈ R g : @ A( $ + g = (g1 , ..., gN −1 ) = 0 gN x " ! / u = (0, ..., 0, uN ) 4 uN (x )

ÉC

E L O

T Y POL

ω ∂ω

−∆ uN = 0 N µ ∂u ∂n = gN

4 ∆ x ∈ RN −1

>)0+'+) C C ? $' ! & $ :

u = 0 (σn) · eN = gN ∂ω × (0, L).

>)0+'+) C C G $ $ % $ $

$ ⎧ ⎨ ∆ (∆u) = f u=0 ⎩ ∂u ∂n = 0

Ω ∂Ω ∂Ω

H C E T

4 f ∈ L2 (Ω) ( u ∈ H02 (Ω)(

N ∂ 2 u 2 |∆u| dx = ∂xi ∂xj dx. 2

OLE Ω

ÉC

Y L O P

∂u ∂xi

i,j=1

Ω

N

∈ H01 (Ω)

E U IQ ;" & <

" #

N H EC

E U IQ

&

* I w ∈ L (Ω) f ∈ L2 (Ω) v ∈ Cc∞ (Ω) 2

T Y L −

w∆v dx =

Ω

O P E L O ÉC

f v dx,

Ω

(θw) ∈ H 2 (Ω) θ ∈ Cc∞ (Ω)

/ , . ? # , % Ω . 0 RN 8 f (x)A 8 Ω RN # J . u

8 . A p

8 9 . A 0 ⎧ ⎨ ∇p − µ∆u = f Ω divu = 0 Ω ;" & < ⎩ ∂Ω u=0

E U IQ

R µ > 0 . D

;" & < , 0 D

A 0 8 6 1 , D

T Y POL

N H EC

)9.0;5) C C 0 % ;" & < :'93-'@% , 6 , D

. 0 ; < 9 ( A L. M . , D

/ . 6 % ;. T -U< ⎧ ⎨ (u · ∇)u + ∇p − µ∆u = f Ω divu = 0 Ω ;" & < ⎩ ∂Ω. u=0

ÉC

E L O

. D

u 8 0 A 6 (u·∇)u u . 0 @ 0 % 8 . ? , . # • .

" Ω $ - " / $ $$ & 0 C 1 RN , " f ∈ L (Ω) , & " $ $ " $ / u ∈ H01 (Ω)N " p ∈ L2 (Ω)/R =,F ) $ " $ $ $ " $" " - ) + $ Ω , 4%,0?9) C C 2

N

N

E U IQ

%9,*:10.1',*C * . 8 .

H C E T

# ;" & < 8 vi ;

, 0 ∂Ω 1 <A i 1 ? N ; 8 P . 8 v = (v1 , ..., vN )<

LE O ÉC

Y L O P

µ∇u · ∇v dx −

Ω

f · v dx,

pdivv dx =

Ω

Ω

"

N

N H EC

E U IQ

. ∇u · ∇v = i=1 ∇ui · ∇vi 3) , 6 0 divu = 0A = 0 6

. H01 (Ω)N V = v ∈ H01 (Ω)N divv = 0 Ω , ;" & <

T Y POL

0 = 0 6 8 H01 (Ω)N @ . 8 . J µ∇u · ∇v dx = f · v dx ∀ v ∈ V, ;" & < . u ∈ V

LE O ÉC

Ω

Ω

V @ . ) ;" & < 0 , 5 67 ? 8 . ;" & < 0 9 A . 8 0 . H01 (Ω)N ; Q ? , * < V

6 H01 (Ω)N ;" & < 0

0 ;" & < 9 : H u A , 6?6 ? H 2 (Ω)N *

A ;" & < (µ∆u + f ) · v dx = 0 ∀ v ∈ V,

T Y POL

Ω

E L O

N H EC

E U IQ

(µ∆u + f ) = 0 , V L2 (Ω)N , . V 9 ( A . 8 φ 8 A A v ∈ V A ∇φ · v dx = − φdivv dx = 0,

ÉC

Ω

Ω

, 6?6 , V 9 8 5 + " , V [ . , 4 Q 5 + " .

@ L(v) = µ∇u · ∇v dx − f · v dx, Ω

Ω

E U IQ

0 8 V * A

p ∈ L2 (Ω)A ? A L(v) = p divv dx ∀ v ∈ H01 (Ω)N . H01 (Ω)N

Ω

Y L O P 2

H C E T

σ = µ∇u − p Id

? L2 (Ω)N A σ · ∇v dx = f · v dx ≤ C v L2 (Ω) ,

ÉC

OLE Ω

Ω

N

" #

N H EC

E U IQ

. Ďƒ . 8 0 L (â„Ś) A −divĎƒ = f * A

T Y POL

2

N

∇p − Âľâˆ†u = f â„Ś.

;" &"<

1, A u ∈ V A divu L2 (â„Ś)A

ÉC

OLE

divu = 0 â„Ś.

1 H A , 0 u = 0 âˆ‚â„Ś

/ O 8 :

. ? 8 . ;" & < # % R . V ; , , 8 . L M 6 Y . T U<

E U IQ

" â„Ś $ - " / $ $$ & 0 C 1 RN , " L $ $ $" $ H01 (â„Ś)N , L $$ V " $" & " $ $ " $ p ∈ L2 (â„Ś) "

4%,0?9) C C $&) &) 4.96

T Y POL

L(v) =

E L O

â„Ś

N H EC

;" &$<

p divv dx ∀ v ∈ H01 (â„Ś)N .

8 ) p " $ $ $ " $" " - ) + ,

ÉC

)9.0;5) C C * % , ) /

, . Âľ

∂u − pn = g âˆ‚â„Ś, ∂n

;" &&<

R g 8 ;? . . < L2 (âˆ‚â„Ś)N ' , A / ;" &&< , g 8 0 •

)9.0;5) C C

* # % ;" & < H 6 # , ;. 5 " $< * A % # A

,# ; , H # , < * # A ? , 0 D

0 9 ( A , % # ; < A 0 A . D

. . , # ;

. , 0 • 8 <

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

"

"

N H EC

E U IQ

' # , , ; &'::'3.1',* 2':;5)5:)< %

T Y POL

>)0+'+) C C ) V $ % + * ! & ) J(v) $ * v ∈ V

ÉC

OLE

J(v) =

1 2

µ|∇v|2 dx −

Ω

;" &-<

f · v dx. Ω

) u ∈ V ! & " u $ $ * ( $ + J(u) = minv∈V J(v) C ( ( u ∈ V $ * J(v)( u ! & 1 ,

. . %

>)0+'+) C C

E U IQ

) = * ( - ) Ω = ω × (0, L) 4 L > 0 * ω (

* RN −1 - x ∈ Ω( x = (x , xN ) 0 < xN < L x ∈ ω

ÉC

T Y POL

⎧ ∇p − µ∆u = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ divu = 0 u=0 ⎪ ∂u ⎪ pn − µ ∂n = p0 n ⎪ ⎪ ⎩ ∂u pn − µ ∂n = pL n

E L O

N H EC

Ω Ω ∂ω × (0, L) ω × {0} ω × {L}

;" & <

4 p0 pL " ! &/ p(x) = p0 + xLN (pL − p0 )( u = (0, ..., 0, uN ) 4 uN

−p0 ) −µ∆ uN = − (pLL uN = 0

ω ∂ω

4 ∆ x ∈ RN −1

E U IQ

>)0+'+) C C ? $' ! > ) =

! &2

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

T Y POL

N H EC

E U IQ

LE O ÉC

.

N H EC

# %

,

T Y POL

E U IQ

1 %-%9)*1: @*':

6 8 0 A 0 # 0 .

-!.330,+4) 2.0'.1',* *)--) . , 0 ) , = 0 V 8 . 6 Vh ) 0 L M Vh ? , # A 9.10'+) &) 0'('&'1% * A Vh ? 6 Vh 0 V uh Vh 8 . F30,+4)G u V = A ) + ' ; < A

. A A , : " 6 $ ;

< 3 A 0 . 8 ) . ', 0 6 R ( I 8 8 ? ; .

<

ÉC

E L O

LE O ÉC

Y L O P "

H C E T

N

E U IQ

' !

"

N H EC

E U IQ

. 1

&!.330,>'9.1',* 2.0'.1',**)--) '*1)0*) $ ) , RA . 0 A @ ; 0 A 8 A < ; . A , < $ ) ;N ≥ 2< @

9.'--.() ; < &)(0%: &) -'/)01%

8 , ) @ I? 0 N = 1 5 , ( ) , ) A

A 0 , , . 6 . ) A , ) 8 ; <A A 2 A ;. # T UA T &U< * ) . # ? T UA T UA T UA T UA T UA T "U ;.

T "UA T $UA T U 8 <

LE O ÉC

T Y POL

N H EC

E U IQ

. )

T Y POL

/ ? . 8 .

' = 0 V A 8 0 . a(u, v)A 8 L(v)A 8 . J

ÉC

E L O

. u ∈ V a(u, v) = L(v) ∀ v ∈ V,

;$ <

, 5 67

!.330,>'9.1',* '*1)0*) ;$ < ? , = 0 V

6 ) Vh A , 6?6 ? J . uh ∈ Vh a(uh , vh ) = L(vh ) ∀ vh ∈ Vh .

;$ <

, ;$ < 8

.

E U IQ

" V $ ) @ / " ' " Vh $ ) $ $ *$ , " a(u, v) $ / $ $" $ " - V ' " L(v) $ $ $" $ V , )) & " $ $" $ %, " $ $ " $, "" " $ ) " /" $ $ - $" $ ! "+ $ " *$ ) " - " ! " a(u, v) " ! " ,

)99) C C

Y L O P

H C E T

N

%9,*:10.1',*C , , uh ∈ Vh A ;$ <A

LE O ÉC

5 67 ? Vh * 0

' $

E U IQ

"

h 8 A

0 (φj )1≤j≤Nh Vh uh = N j=1 uj φj A Uh = (u1 , ..., uNh ) . RNh uh 0 ;$ <

. ? J ⎞ ⎛ Nh uj φj , φi ⎠ = L(φi ) ∀ 1 ≤ i ≤ Nh , . Uh ∈ RNh a ⎝

ÉC

OLE

T Y POL

N H EC j=1

, 8 , # ;$ <

Kh Uh = bh ,

. A 1 ≤ i, j ≤ Nh A (Kh )ij = a(φj , φi ),

(bh )i = L(φi ).

E U IQ

. 8 0 a(u, v) P ) 8 Kh A . 0 9 ( A . Uh ∈ RNh A

N H EC

2 Nh 2 Kh Uh · Uh ≥ ν u φ . C > 0, j j ≥ C|Uh | j=1

T Y POL

. ) ;| · | RNh < 1 H A # a(u, v) Kh 1 Kh 9.10'+) &) 0'('&'1%

ÉC

E L O

/ , O , V 6 Vh * A I ( u − uh R u V ;$ < uh Vh ;$ < * . J ν > 0 . M > 0

8 0 a(u, v)

. ) a(u, u) ≥ ν u 2 ∀ u ∈ V, |a(u, v)| ≤ M u v ∀ u, v ∈ V

E U IQ

. A G ? N ' A u uh I 5*'=,09%9)*1 3.0 0.33,01 .5 :,5: ):3.+) Vh u Vh

H C E T

N

$ ) #!) "#+ %, , , " u " $ %, " uh %, , $

)99) C C $&) %.6

Y L O P

u − uh ≤

LE O ÉC

M inf u − vh . ν vh ∈Vh

;$ <

' !

"

N H EC

E U IQ

%9,*:10.1',*C *

Vh ⊂ V A

A 8 . ;$ < ;$ <A

T Y POL

a(u − uh , wh ) = 0 ∀ wh ∈ Vh .

9 wh = uh − vh 0

LE O ÉC

ν u − uh 2 ≤ a(u − uh , u − uh ) = a(u − uh , u − vh ) ≤ M u − uh u − vh ,

, R ,

;$ <

>)0+'+) C C 6 0

2( (

a(u, v) : ( u − uh ≤

M inf u − vh . ν vh ∈Vh

E U IQ

L I uh 2

$

*

N H EC

2 A . . A + Vh 6 h > 0 , ) / A , h → 0 , ;$ < L . M . 8 . ;$ <

ÉC

T Y POL

E L O $ ) #!) "#+ %, , , $ ))

)99) C C

& " $ ) V ⊂ V $ $ V " $ )) " $ )) ,3%0.1)50 &!'*1)03,-.1',* " lim v − rh (v) = 0

h→0

rh

V

$

Vh

;$ "<

∀ v ∈ V.

"# )) & " $ - " $$ $" $ $- 0 ' " ;$ $<

lim u − uh = 0.

h→0

%9,*:10.1',*C > 0 * V A v ∈ V u − v ≤ * A h0 > 0 ; < A v ∈ V A v − rh (v) ≤ ∀ h ≤ h0 . 9 . $ A

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

u − uh ≤ C u − rh (v) ≤ C ( u − v + v − rh (v) ) ≤ 2C ,

OLE

, R ,

ÉC

' $

N H EC

""

E U IQ

$ A $ $ 6 ,50 ,/1)*'0 5*) .330,>'9.1',* *59%0';5) &) -. :,-51',* )>.+1) &5 30,/-?9) 2.0'.1',**)- $ C 6H '- =.51 '*10,&5'0) 5* ):3.+) Vh &) &'9)*:',*

T Y POL

@*') 35': 0%:,5&0) 5* :'93-) :B:1?9) -'*%.'0) .::,+'% E -!.330,>'9.1',* 2.0'.1',**)--) '*1)0*) $ C 6 / A Vh , . 8

LE O ÉC

, J

.

, rh V Vh 6 8 ;$ "< ; R # V 8 <A 8 # Kh Uh = bh ; # <

) ? 8 L0 M Vh 3. , A 4 %

5 -

N H EC

E U IQ

4 % ) E , , , H A , . ; , 0 6 < 9 , . 6 @ , = 0 V 0 ) A

6 P A * "A , 0 0 (ei )i≥1 V @ V 6 0 0 ; 0 ) <

0 G V 9 h = 1/nA ) Vh 6 ) (e1 , ..., en ) 2 6 A , , rh I Vh ;

) V V < 5 # $ A $ $ 8

uh . . u + uh . # Kh Uh = bh R Uh . Rn uh 0 (e1 , ..., en ) 7 . 6 A 4 % , . 9 ( A Kh , 0 L MA , 6?6 : A L 6 MA , 6?6 # 0 0 , 1 . A ) 0 8 8 0 ? 4 %

ÉC

E L O

T Y POL

E U IQ

N H C E 5

( 6 )7 T Y L O P E L O ÉC

)

, 6 Vh 8 H 1 (Ω), H01 (Ω), H 2 (Ω), ...

' !

"$

N H EC

E U IQ

) 0 9.'--.() Ω . , . J A A ;. A A 2 $ &< / ) , ) 1 h Vh ? 1.'--) 9.>'9.-) &): 9.'--):

5# 0 Vh 8 -,+.-':% '

J , A h → 0A , Vh L M , V A , A Kh # ;$ < +0)5:)A , 6 ?6 : ;

G < ) : 0 9 ? 0 , 0 0

LE O ÉC

.

T Y POL

N H EC

-

T Y POL

N =1

E U IQ

* ) , O 6 ) , Ω =]0, 1[ 9 , 6 (xj )0≤j≤n+1 ; ( ) A . ' < x0 = 0 < x1 < ... < xn < xn+1 = 1.

ÉC

E L O

5*'=,09) xj

A , 6?6 xj = jh . h =

1 , 0 ≤ j ≤ n + 1. n+1

xj :,99)1: ; < * A , A 0

. −u = f ]0, 1[ ;$ &< u(0) = u(1) = 0, . , H01 (Ω) f ∈ L2 (Ω) ;. ' "< 1

Pk , 0 # X ? : , . 0 8 ? k

( P1

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

) P1 , 8 0 6 : Vh = v ∈ C([0, 1]) v [xj ,xj+1 ] ∈ P1 0 ≤ j ≤ n , ;$ -<

LE O ÉC

' ! N = 1 6

T Y POL

N H EC

"&

E U IQ

V0h = {v ∈ Vh v(0) = v(1) = 0} .

;$ <

) P1 , . 6 $ Vh V0h ) ;$ -< ;$ <

LE O ÉC

vh

φj

x0 =0

x1

x2

E L O

T Y POL

N H EC

xj

xn

E U IQ xn+1=1

$ W 7 Ω =]0, 1[ 8 0 ) P1

ÉC

@ 8 Vh V0h A : A ? , 8 0

L8 M φ ) 1 − |x| |x| ≤ 1, φ(x) = 0 |x| > 1.

8 A 0 ≤ j ≤ n + 1 ) 8 0 ;. 2 $ < x − xj φj (x) = φ ;$ < . h

N

E U I Q

)99) C C ) Vh ' *$ ) %, ' " $ ) H (0, 1) $ $ n + 2' " " " $ " $ vh ∈ Vh " *$ $ + $ ) - & " (xj )0≤j≤n+1

Y L O P

n+1

LE O ÉC vh (x) =

j=0

vh (xj )φj (x)

H C E T

∀x ∈ [0, 1].

1

' !

"-

N H EC

E U I Q $ $

n' " 8 E ' V0h ' *$ ) %, ' " $ ) " " $ " $ vh ∈ V0h " *$ $ + $ ) - & " H01 (0, 1)

(xj )1≤j≤n

T Y POL vh (x) =

LE O ÉC

n

∀x ∈ [0, 1].

vh (xj )φj (x)

j=1

%9,*:10.1',*C + , . A 8 C 1 ? H 1 (Ω) 1 Vh V0h 0 6 H 1 (0, 1) . φj (xi ) = δij A R δij # 0 B %

. i = j ;. 2 $ < )9.0;5) C C 0 (φj )A ) ;$ <A 8 6 Vh . 1 &!%-%9)*1: @*': &) .(0.*() / . ? 6 $ " , 6

E U IQ

, Vh 8 A . A . . @ &!%-%9)*1: @*': &) )09'1) A 8 P1 A , Vh A ) ;$ -<A , ) , ' ) P1 ? . , H 8 . 9 ( A 8 Vh 8 . 0 [0, 1] , A H A , ;$ &< ; 8 . , 8 Vh 1 V< 3 A 8 , 8 Vh 8 . ;$ <

, . •

ÉC

E L O

T Y POL

N H EC

1 . 0%:,-51',* 30.1';5) 0 1 ;$ &< ) P1 8 . ;$ < , . J 1 1 u h (x)vh (x) dx = f (x)vh (x) dx ∀ vh ∈ V0h . ;$ < . uh ∈ V0h 0

0

@ uh 0 (φj )1≤j≤n vh = φi

n j=1

1

uh (xj ) 0

φ j (x)φ i (x) dx

9 Uh = (uh (xj ))1≤j≤n A bh =

9.10'+) &) 0'('&'1%

LE O ÉC Kh =

0

1

1 0

=

1

f (x)φi (x) dx. 0

H C E T

f (x)φi (x) dx

Y L O P

1≤i≤n

φ j (x)φ i (x) dx

1≤i,j≤n

,

N

E U IQ

A

' ! N = 1

N H EC

"

E U IQ

8 . V0h . ? Rn # Kh Uh = bh .

T Y POL

' 8 0 φj L M A , φj φi . . : Kh ⎧ −h−1 j = i − 1 ⎪ ⎪ 1 ⎨ 2h−1 j = i φ j (x)φ i (x) dx = −1 j = i + 1 −h ⎪ 0 ⎪ ⎩ 0

LE O ÉC

Kh ⎛

2 −1 0 ⎜ −1 2 −1 ⎜ ⎜ Kh = h−1 ⎜ ⎜ ⎝ −1 2 −1 0 −1 2

T Y POL

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

N H EC

E U IQ

;$ <

* 0 0 bh 8 xi+1 (bh )i = f (x)φi (x) dx 1 ≤ i ≤ n.

ÉC

E L O

xi−1

, . 0 bh H : 0 8 6 f 9 ? =,095-): &) ;5.&0.150) ; 8 , <

) bh * A 8 L M xi+1 xi+1 + xi 1 ψ(x) dx ≈ ψ , xi+1 − xi xi 2 8 L F M 1 xi+1 − xi

0 1 xi+1 − xi

xi+1

xi+1

ψ(x) dx ≈

xi

ψ(x) dx ≈

xi

1 (ψ(xi+1 ) + ψ(xi )) , 2

H C E T

1 1 2 ψ(xi+1 ) + ψ(xi ) + ψ 6 6 3

Y L O P

N

xi+1 + xi 2

E U IQ

.

8 8 ψ : A # X ;

bh

LE O ÉC

' !

$

N H EC

E U IQ

f ∈ Vh < 8 ψ A 8 . , O(h2 )A O(h2 )A O(h3 ) . # Kh Uh = bh G ', 8 + Kh . 0 $

LE O ÉC

T Y POL

)9.0;5) C C Kh ? I?

, ( ) 9 8 A hKh ; < ; 1/c< , . , ) / . ? ,9 $ , , , [ •

0,/-?9) &) )59.**C . ) P1 0 /

. −u + au = f ]0, 1[ u (0) = α, u (1) = β.

T Y POL

N H EC

E U IQ

;$ <

+ ;$ < H 1 (Ω) f ∈ L2 (Ω)A α, β ∈ RA a ∈ L∞ (Ω) a(x) ≥ a0 > 0 Ω ;. ' "< 8 . ;$ < , . J . uh ∈ Vh

1

ÉC 0

E L O

(u h (x)vh (x)

1

+ a(x)uh (x)vh (x)) dx =

f (x)vh (x) dx − αvh (0) + βvh (1),

0

vh ∈ Vh 9 uh 0 (φj )0≤j≤n+1 A 8 . Vh . ? Rn+2 # Kh Uh = bh ,

. Uh = (uh (xj ))0≤j≤n+1 A . Kh = 0

1

φj (x)φ i (x) + a(x)φj (x)φi (x) dx

, 0≤i,j≤n+1

1 (bh )i = 0 f (x)φi (x) dx 1 ≤ i ≤ n,

1 (bh )0 = 0 f (x)φ0 (x) dx − α,

1 (bh )n+1 = 0 f (x)φn+1 (x) dx + β.

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

a(x) , 8 A , 8 . : Kh ; , . 8 , 0 bh <

LE O ÉC

' ! N = 1

N H EC

E U IQ

$

>)0+'+) C C G % P1

−u = f ]0, 1[ u(0) = α, u(1) = β,

T Y POL

6 % % * :

LE O ÉC

>)0+'+) C C > a(x) = 0 Ω " :

%

P1 * " $

:

1

f (x) dx = α − β,

0

E U IQ

$ 0 <% ! 2 .

N H EC

>)0+'+) C C G % E 0% 2 6 % & $ % $ ( :

+ B Kh + M bh E "B >

ÉC

E L O

T Y POL

>)0+'+) C C (n + 2) *

xj = j/(n + 1) 0 ≤ j ≤ n + 1 B k > 0 + % * fj 6 $%: % * $ * : $ L % % $ : $

' $

#

* . ) P1 6 ,

.

6 $ / ) , 0 ,3%0.1)50 &!'*1)03,-.1',* rh ; $ <

H C E T

N

$ )) ) " $" ) " $ P1 )) " $ $ rh $ Vh *$ ' ) " " v ∈ H 1 (0, 1)' )

%@*'1',* C C H 1 (0, 1)

E U IQ

Y L O P

(rh v)(x) =

LE O ÉC

n+1 j=0

v(xj )φj (x).

' !

$

N H EC

E U IQ

' ) 0 A . A 8 H 1 (0, 1) . 0 ) , 6 rh v , 8 v 8 :

[ . v xj ;. 2 $ < + , , , ) 8 H 1 (0, 1)A 8 H 1 (0, 1) ;

<

T Y POL

LE O ÉC

rhv

v x0 =0

xn+1=1

x2

$

N H EC

E U IQ

T Y POL

W P1 , 8 H 1 (0, 1)

. ) P1

.

E L ' - * ÉCO

)99) C C $&!'*1)03,-.1',*6 v ∈ H (0, 1) 1

" rh ) " $" ) " $ P1 , " "

lim v − rh v H 1 (0,1) = 0.

h→0

8 ) ' v ∈ H 2 (0, 1)' & " $ $ " $" C $ ) $ $" h " v − rh v H 1 (0,1) ≤ Ch v L2 (0,1) .

/

6

0 . ) P1 0 1

" u ∈ H01 (0, 1) " uh ∈ V0h " $ %,F " %, ' ) " - $", ' "# $" *$ P1 $- 0 ' "

4%,0?9) C C

lim u − uh H 1 (0,1) = 0.

h→0

C E T Y L PO

HN

E U IQ ;$ <

8 ) ' u ∈ H 2 (0, 1) " - f ∈ L2 (0, 1) ' & " $ $ " $" C $ ) $ $" h "

LE O ÉC

u − uh H 1 (0,1) ≤ Ch u L2 (0,1) = Ch f L2(0,1) .

;$ "<

' ! N = 1

N H EC

E U IQ

$

)9.0;5) C C ;$ < 5 $ $ .

0 f ? H −1 (0, 1) , ;$ "< . . ) P1 ' I 6 ? hA ) P1 . + 5 $ $ . . 0 Kh 0 bh . ' A 6 ) P1 . , 8 Kh bh ;. T "U< •

LE O ÉC

T Y POL

)9.0;5) C C / 5 $ $ , 6

8 A , 6?6 xj

[0, 1] ; xj+1 − xj = h< ? 6 8 ; 1 ) $ <A h • J h = max0≤j≤n (xj+1 − xj )

E U IQ

)9.0;5) C C @ 8 . ,

N H EC

, ) . , ( ) + A , 5 A . , ( ) 0

. ;8 6 < ) X ) I , $ "A X 0 . 8 0

; 0 < •

ÉC

E L O

T Y POL

%9,*:10.1',*C $ " , .

$

P ;$ < * 0 ;$ "<A I , 6 $ ' u − uh H 1 (0,1) ≤ C inf u − vh H 1 (0,1) ≤ C u − rh u H 1 (0,1) , vh ∈Vh

Q $ "

/ $ " 8

E U Q" " & " $ $ " $" $ ) $ $" " ' I ) N ' H C E T Y L O P LE O ÉC

)99) C C

v ∈ H 2 (0, 1)

"

C

h

v − rh v L2 (0,1) ≤ Ch2 v L2 (0,1) ,

;$ $<

v − (rh v) L2 (0,1) ≤ Ch v L2 (0,1) .

;$ &<

' !

$

N H EC

E U IQ

%9,*:10.1',*C v ∈ C ([0, 1]) * ) A , rh v 8 : A x ∈]xj , xj+1 [A v(xj+1 ) − v(xj ) v(x) − rh v(x) = v(x) − v(xj ) + (x − xj ) xj+1 − xj x xj+1 x − xj v (t) dt − v (t) dt = x − x j+1 j xj xj ;$ -< = (x − xj )v (xj + θx ) − (x − xj )v (xj + θj ) ∞

LE O ÉC

T Y POL (x − xj )

=

xj +θx

v (t) dt,

xj +θj

8 ) . 0 ≤ θx ≤ x − xj 0 ≤ θj ≤ h @

, ' #6 C F

2 xj+1

2

|v(x) − rh v(x)| ≤ h2

|v (t)| dt

xj

xj+1

≤ h3

E U IQ

|v (t)|2 dt.

N H EC xj

;$ <

9 ;$ < ? x , . [xj , xj+1 ]A 0 xj+1 xj+1 |v(x) − rh v(x)|2 dx ≤ h4 |v (t)|2 dt, xj

E L O

T Y POL

xj

A j A ;$ $< * . v ∈ H 2 (0, 1) ;$ &< ? 8 J v ∈ C ∞ ([0, 1]) x ∈]xj , xj+1 [ 1 xj+1 v(xj+1 ) − v(xj ) v (x) − v (t) dt = v (x) − (rh v) (x) = v (x) − h h xj 1 xj+1 x = v (y) dy. h xj t

ÉC

. A ' #6 C F 8 j 0 ;$ &<A

. v ∈ H 2 (0, 1)

)99) C C v ∈ H 1 (0, 1)'

"

& " $ $ " $"

C

$ ) $ $"

rh v H 1 (0,1) ≤ C v H 1 (0,1) ,

Y L O P

lim v − (rh v) L2 (0,1) = 0.

LE O ÉC h→0

" ' ) " "

H C E T

v − rh v L2 (0,1) ≤ Ch v L2 (0,1) .

8 ) ' ) " " v ∈ H 1 (0, 1)' $

h

N

E U IQ ;$ < ;$ < ;$

<

' ! N = 1

N H EC

$"

E U IQ

%9,*:10.1',*C . ;$ < ;$ < H v ∈ H 1 (0, 1) 5 , 0

T Y POL

rh v L2 (0,1) ≤ max |rh v(x)| ≤ max |v(x)| ≤ C v H 1 (0,1) , x∈[0,1]

LE O ÉC

x∈[0,1]

. 1, A rh v : A Q ? ; -<

: v 0 . v A

xj+1

|(rh v) (x)| dx 2

=

xj

=

(v(xj+1 ) − v(xj ))2 h

2 xj+1 xj+1 1 2 v (x) dx ≤ |v (x)| dx, h xj xj

' #6 C FA

A j A

? ;$ < * 0 ;$ < ;$ -< , R ,

|v(x) − rh v(x)| ≤ 2

N H EC

xj+1

xj

T Y POL

|v (t)| dt.

E U IQ

9 . A ' #6 C FA ? xA

j A 0 0 ;$ < * ? ;$ < > 0 ' C ∞ ([0, 1]) H 1 (0, 1)A v ∈ H 1 (0, 1) φ ∈ C ∞ ([0, 1])

ÉC

E L O

v − φ L2 (0,1) ≤ .

@ rh

. ) ;$ <A

(rh v) − (rh φ) L2 (0,1) ≤ C v − φ L2 (0,1) ≤ C .

φ ) A

;$ &< ? φ A h :6 A φ − (rh φ) L2 (0,1) ≤ . * A 0

N

E U IQ

v − (rh v) L2 (0,1) ≤ v − φ L2 + φ − (rh φ) L2 + (rh v) − (rh φ) L2 ≤ C ,

;$ <

Y L O P

H C E T

>)0+'+) C C 6 $ <% 2 *

LE O ÉC

>

' !

$$

( P2

N H EC

E U IQ

) P2 , Vh = v ∈ C([0, 1]) v [xj ,xj+1 ] ∈ P2 0 ≤ j ≤ n ,

LE O ÉC

T Y POL

;$ <

6

V0h = {v ∈ Vh v(0) = v(1) = 0} .

;$ <

) P2 , . 6 6 $ ? Vh V0h ' 6 8 A 0 , ? , 8 0 ψj+1/2

1 ψj

0

ÉC

E L O

T Y POL xj-1

xj-1/2 xj

N H EC

E U IQ

xj+1/2 xj+1

$ W 8 0 ) P2

, 0 [xj , xj+1 ] ) xj+1/2 = xj + h/2 0 ≤ j ≤ n @ ) 8 L M ⎧ ⎨ (1 + x)(1 + 2x) (1 − x)(1 − 2x) φ(x) = ⎩ 0

ψ(x) =

1 − 4x2 0

− 1 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ x ≤ 1, |x| > 1, |x| ≤ 1/2, |x| > 1/2.

H C E T

N

E U IQ

8 A 0 ≤ j ≤ n + 1 ) 8 0 ;. 2 $ < ψj (x) = φ

x − xj h

Y L O P

, 0 ≤ j ≤ n + 1, ψj+1/2 (x) = ψ

LE O ÉC

x − xj+1/2 h

, 0 ≤ j ≤ n.

' ! N = 1

$&

E U ) ' *$ ) %, 3 ' " $ I ) Q $ + $ ) N $ $ ' " " " $ " $ " *$ H - & " " & & C E T Y OL P L E' *$ ) %, 9 ' " $ ) $ $ ' 8 O E ' " *$ $ + $ ) - & " É C " " " $ " $

)99) C C

H 1 (0, 1)

Vh

vh ∈ Vh

2n + 3

(xj )0≤j≤n+1

vh (x) =

n+1

(xj+1/2 )0≤j≤n

vh (xj )ψj (x) +

j=0

V0h

(xj )1≤j≤n

n

vh (xj+1/2 )ψj+1/2 (x)

∀x ∈ [0, 1].

j=0

H01 (0, 1)

vh ∈ V0h

2n + 1

" & & (xj+1/2 )0≤j≤n

vh (x) =

n

vh (xj )φj (x) +

j=1

n

vh (xj+1/2 )ψj+1/2 (x)

∀x ∈ [0, 1].

j=0

E U IQ

)9.0;5) C C A Vh , ) ; 8

+ $ < ' 8 P2 A , Vh A • ) ;$ <A , ) ,

N H EC

%9,*:10.1',*C * Vh V0h 0 6

T Y POL

H (0, 1) 0 . 8 ψj (xi ) = δij A ψj+1/2 (xi+1/2 ) = δij A ψj (xi+1/2 ) = 0A ψj+1/2 (xi ) = 0 ;. 2 $ < 1

E L O

1 . 0%:,-51',* 30.1';5) 0 1 ;$ &< ) P2 8 . ;$ < , . ? R2n+1 #

ÉC

;$ "<

Kh Uh = bh .

* # , (x1/2 , x1 , x3/2 , x2 , ..., xn+1/2 ) 8 (xk/2 )1≤k≤2n+1 A 0 (ψ1/2 , ψ1 , ψ3/2 , ψ2 , ..., ψn+1/2 ) V0h 8 (ψk/2 )1≤k≤2n+1 1 0 Uh ∈ R2n+1 . uh

. ) uh (x) =

2n+1

(Uh )k/2 ψk/2 (x) . (Uh )k/2 = uh (xk/2 ),

1

Kh = 0

ψk/2 (x)ψl/2 (x) dx

1

T Y L PO , bh =

1≤k,l≤2n+1

0

N H C E

f (x)ψk/2 (x) dx

E U IQ ;$ $<

k=1

.

1≤k≤2n+1

8 0 ψk/2 L M A : Kh Kh

LE O ÉC

' !

$ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ −1 ⎜ Kh = h ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

N H EC

E U IQ

16/3 −8/3 0 −8/3 14/3 −8/3 1/3 0 0 −8/3 16/3 −8/3 0 1/3 −8/3 14/3 −8/3 1/3 0 −8/3 16/3 −8/3 0 0 1/3 −8/3 14/3 −8/3 0 −8/3 16/3

O P LE O ÉC

T Y L

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

+ L M 0 ) P1 A # G * . 0 bh H 8 ; 8 , < P1

E U IQ

" u ∈ H01 (0, 1) " uh ∈ V0h " $ %,F " %, = %, % ' ) " - $", ' "# $" *$ P2 $- 0 ' "

4%,0?9) C C

T Y L 8 ) ' " - $ ) $ $" " P O E L ÉCO

N H EC

lim u − uh H 1 (0,1) = 0.

h→0

f ∈ H 1 (0, 1) '

u ∈ H (0, 1) h 3

C

& " $ $ " $"

u − uh H 1 (0,1) ≤ Ch2 u L2 (0,1) .

>)0+'+) C C ' * * ( <% 2

5 $ , . ) P2 J A . ;5.&0.1';5) ; . . ? h2 < . ) P1 ; ? h< E G . J # 8 , ; 2n + 1 n ) P1 < 8 A P1 + , ;u ∈ H 3 (0, 1)< ,# . ; < ? ) P2 X P1

! $

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

/ . , 0 1 . )

;. 5 " < . . , .

LE O ÉC

' ! N = 1

HN

E U I $Q ))

0,3,:'1',* C C $30'*+'3) &5 9.>'959 &':+0)16

$

f ≥ 0

) ) " " $ ]0, 1[, ' " $ uh )) & " $ - " $$ %, ) "# $" *$ P1 - * uh ≥ 0 $ [0, 1],

C E T LY

%9,*:10.1',*C uh ;$ < 9 . $ A

O P LE O ÉC

uh (x) =

n

uh (xj )φj (x),

j=1

R 8 φj 8 0 ) P1 V0h Uh = (uh (xj ))1≤j≤n # ;$ &<

Kh Uh = bh .

8 φj 8 L M ;. 2 $ <

. J

: . Uh = (Uhj )1≤j≤n . . 8 uh . [0, 1] + A Uh0 = Uhn+1 = 0A # ;$ &<

. ?

N H EC

E U IQ

−Uhj−1 + 2Uhj − Uhj+1 = hbjh 1 ≤ j ≤ n.

T Y POL

;$ -<

Uhj0 = minj Uhj Uh J , # A j0 j0 = 0A Uhj ≥ Uh0 = 0 j A

j0 ≥ 1A Uhj0 < Uh0 = 0A

1 Uhn+1 = 0

j0 ≤ n ' bjh = 0 f ψj dx ≥ 0 # f A

;$ -< j0 Uhj0 − Uhj0 −1 + Uhj0 − Uhj0 +1 ≥ 0,

ÉC

E L O

. ; < Uhj0 * ) P1 . ) / . 6 . / . 2%0'@)0 *59%0';5)9)*1 -): 2'1)::): &) +,*2)0()*+) . 0 1 ;$ &< ) . ' ,

. − ((1 + x)u ) + (1 + cos(πx)) u = f 0 < x < 1 ;$ < u(0) = u(1) = 0

H C E T

N

E U IQ

. f (x) = −π cos(πx) + sin(πx)(1 + cos(πx) + π 2 (1 + x))A u(x) = sin(πx) , , u − uh H 1 (0,1) A 8 , A

, u 9 ; , 8 < , I Vh A , 6?6 , rh (u − uh ) H 1 (0,1) ;

LE O ÉC

Y L O P

' !

&

N H EC

E U IQ

, , *,09) &':+0?1) Vh < , H ,

rh (u − uh ) = rh u − uh ∈ Vh ; . ? , H 1 (0, 1) Vh < @ rh (u − uh ) H 1 (0,1) 8 h A 5 $ $ . . ; h< , ) P1 A 5 $ . . ; h2 < , ) P2 1 , ;$ < ( . h 2 $ ; < ? A 8 8 h2 h3 . + , , 6 0 . . .

, 8 h @ 0 . :53)0 +,*2)0()*+)A , 6?6 ) .

. J , h2 P1 h3 P2 ' G ? , 8 Vh

T Y POL

LE O ÉC

T Y POL

0

10 −1

10

E L O −2

10

ÉC

−3

N H EC

E U IQ

+ + Ο

+

10

Ο

+

−4

10

+ −5

Ο

+

10

+ +

−6

+

Ο

10 Ο −7

10

Ο −8

Ο

10

Ο Ο −9

10

−3

10

−2

10

−1

10

0

10

$ W ' , J ;$

E U IQ

< / H 1 , 8 h ; ) P1 A ) P2 A h → h2 h → h3 <

H C E T

N

, A # I . . . 8 0

5 $ $ $ * 0 A 0 H −1 (0, 1)

, ? L2 (0, 1) 9 ,

LE O ÉC

Y L O P

' ! N = 1

N H EC

1 ' , −u = 6x − 2 + δ1/2 u(0) = u(1) = 0

O P LE O ÉC

T Y L

E U IQ

0 < x < 1

&

;$ <

. δ1/2 1 x = 1/2A u(x) = 1/2 − |x − 1/2| + x2 (1 − x) @ , rh (u − uh ) H 1 (0,1) 8 h 2 $ " ; < ? ;P1 P2 . <A 8 8 √ h h . @ √ . ) P1 P2 . ? H . ? hA

0 8 ? . h ; H h2 < 9 A ,# H ? ) P2 A X P1 A

0

10

N H EC +

T Y L +

+

+

10

E L O +

Ο

ÉC

PO +

−1 +

Ο

+

Ο

Ο

Ο

Ο

Ο

E U IQ

+

Ο

Ο

−2

10

−3

10

−3

10

−2

10

−1

10

0

10

$ " W ' , J ;$ < / H 1

, 8 h ; √ ) P1 A ) P2 A h → h h → h<

E U IQ

* , 2 $ $ " . ' A 6 , A 0 . ) ; H . < ' +,*2)0()*+) *59%0';5) H . , A # ; < , , . ', . # L M . ) . ? . :

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

' !

&

N H EC

( #8

E U IQ

3 . ) ) P1 P2 A 8 6 ) ) Pk . k ∈ N∗ ' ) A A 8 0

G . 0 5 8 A # X P3 . 6 G . 0 1 . . 8 ;. + $ < @

%-%9)*1: @*': &) )09'1) P3

, Vh = v ∈ C 1 ([0, 1]) v [xj ,xj+1 ] ∈ P3 0 ≤ j ≤ n . ;$ <

LE O ÉC

T Y POL

8 0 8 ) ;$ < Vh 8 6 , ? C 1 ([0, 1])A ? C([0, 1]) ',

8 ( ) = A . 1 φj

T Y POL ψj

0

E L O

É C

xj-1

xj

N H EC

E U IQ

xj+1

$ $ W 8 0 ) ,= P3

@ 8 Vh ? , 8 0 @ ) 8 L M ⎧ ⎨ (1 + x)2 (1 − 2x) − 1 ≤ x ≤ 0, (1 − x)2 (1 + 2x) 0 ≤ x ≤ 1, φ(x) = ⎩ |x| > 1, 0

⎧ ⎨ x(1 + x)2 x(1 − x)2 ψ(x) = ⎩ 0

− 1 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ x ≤ 1, |x| > 1.

H C E T

N

E U IQ

8 A 0 ≤ j ≤ n + 1 ) 8 0 ;. 2 $ $< x − xj x − xj φj (x) = φ 0 ≤ j ≤ n + 1, ψj (x) = ψ 0 ≤ j ≤ n + 1. h h

LE O ÉC

Y L O P

' ! N = 1

)99) C C

E U ) ' *$ ) %,3 ' " $ I ) Q $ + $ ) N , A " $ " $ " *$ H & " ' " $ ) " " C E T Y L PO H 1 (0, 1)

Vh

$ $ 2(n + 2)

2.-)50: )1 +)--): &) :. &%0'2%) [0, 1]

LE O ÉC

&

vh (x) =

n+1

vh

Vh

vh (xj )φj (x) +

j=0

:):

x∈

(xj )0≤j≤n+1

n+1

(vh ) (xj )ψj (x).

;$ <

j=0

%9,*:10.1',*C 8 Vh C 1 A , 0 , 6

H 1 (0, 1) @ . ) 8 (φj , ψj ) 8 0 Vh φj (xi ) = δij A ψj (xi ) = 0A φ j (xi ) = 0A ψj (xi ) = δij ;. 2 $ $<

@ 0 G , Vh ; 6 8

, < 0 1 ;$ &<A , , Vh 9 Vh 0%:,5&0) -!%;5.1',* &): 3-.;5): ;. ;" & < ' <A X N = 1A u = f ]0, 1[ ;$ < u(0) = u(1) = u (0) = u (1) = 0,

T Y POL

N H EC

E U IQ

;

u ∈ f ∈ L (0, 1)< 9 ( A Vh , 6 H 1 (0, 1)A 6 H 2 (0, 1) ;

, ) < * ;$ < 0 6 H02 (0, 1)

C É )

E L O

2

V0h = {v ∈ Vh v(0) = v(1) = v (0) = v (1) = 0} .

;$ <

) Vh ' " $ ) V0h *$ ) %,39 ' $" " H02 (0, 1) ) " - $"' $ $ 2(n + 2)' " 2n ) " - $", A " $ " $ vh V0h " *$ $ + $ ) - " - & " (xj )1≤j≤n ' " $ ) " " x ∈ [0, 1]

)99) C C

H 2 (0, 1)'

vh (x) =

n

vh (xj )φj (x) +

j=1

n

(vh ) (xj )ψj (x).

j=1

%9,*:10.1',*C vh ∈ Vh J C 1 [0, 1] C 2

1 . vh A C 1 A 0 ? H 1 (0, 1) ; . < * A vh H 2 (0, 1) 0 0 $ $

H C E T

N

E U IQ

1 . 0 . , ;$ < ) ,= P3 8 . , 6 1 1 . uh ∈ V0h u h (x)vh (x) dx = f (x)vh (x) dx ∀ vh ∈ V0h . ;$ "<

ÉC

OLE 0

Y L O P 0

' !

&

N H EC

E U IQ

@ uh 0 (φj , ψj )1≤j≤n Uh = (uh (xj ), u h (xj ))1≤j≤n . 0 8 . ;$ "< . ? R2n #

LE O ÉC

T Y POL

Kh Uh = bh .

>)0+'+) C C 0 * Kh !

.

-

N ≥2

/ O , N ≥ 2 ; N = 2, 3< * ) , A , N = 2A , ? N = 3 ; A 8 A < / 0 1

T Y L

−∆u = f u=0

O P E L ÉCO

N H EC

E U IQ

Ω ∂Ω,

;$ $<

. , H01 (Ω)A f ∈ L2 (Ω) ;. ' "< 1

Ω 3,-B%&0';5) ; #6 N = 2<A , 6?6 Ω ) # RN + , # ) 6 RN 0

? # 8 # , , 0 . /

? 0 L 0 M ;. + $ -<

(

E U IQ

5 ) , Ω N = 2 N = 3 @ 8 N 6 @ N 6 K RN , . . (N +1) (aj )1≤j≤N +1 RN A K E G 26 36 ;. 2 $ < @ N 6 K (aj )1≤j≤N +1 , ? H # RN ; L M< (ai,j )1≤i≤N . aj A

LE O ÉC

Y L O P

H C E T

N

' ! N ≥ 2

N H EC

K ⎛ a1,1 a1,2 ⎜ a2,1 a2,2 ⎜ ⎜ A = ⎜ ⎜ ⎝ aN,1 aN,2 1 1

ÉC

OLE

PO

T Y L

&"

E U IQ

... a1,N +1 ... a2,N +1

... aN,N +1 ... 1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

;$ &<

. 0 ; , I

< N 6 8 A

6 H (N − 1)6

E L O

T Y POL

N H EC

E U IQ

$ & W 9 N = 2

ÉC

" Ω $ - " $$ & ) ! RN , :$ 9.'--.() " $ 0 $ " $0 " $ Ω " $ $ / Th N ) & $ $ 0 $ (Ki )1≤i≤n - * $" , Ki ⊂ Ω " Ω = ∪ni=1 Ki' , $" " $ Ki ∩ Kj & N ) & " $ " " $ m ) & ' - 0 ≤ m ≤ N − 1' $" " " $" " Ki " Kj , $ $ $ N = 2' $" " $ & " $0 " " - ' " " $ " $' " $ E" $ )*1'?0) G $ $ $ N = 3' $" " $ & " " + " " - ' " $ " $' " $ E" $ $" + ' " $ $ $" + , :,99)1: *,)5&: 0 Th $" " N ) & Ki ) $", $- $" $' ) +" h 0$ & +" N ) & Ki ,

%@*'1',* C C

Y L O P

H C E T

N

E U IQ

1 ) $ , ,? . # ? . 1 ) $ 0

LE O ÉC

' !

&$

N H EC

E U IQ

J . 9.'--.() +,*=,09) 8 ? 2 $ &A 2 $ 1 ) $

ÉC

OLE

T Y POL Ki

Ki

Kj Kj

$ - W 9

E U IQ

)9.0;5) C C /

6

N H EC

' A , . 8 ; 0 0

8 <A F / . # ? , . T U I •

E L O

T Y POL

>)0+'+) C C ) Th * Ω Ω :* R2 nt * Th ( nc * + * $ $ ( ns * ( n0s * ∂Ω 6 ( $' ( nt + ns = nc + 1 3nt + ns = 2nc + n0s

ÉC

1 N 6 K , 0 # 6 + A K N 6 (aj )1≤j≤N +1 A +,,0&,**%): /.0B+)*10';5): (λj )1≤j≤N +1 x ∈ RN ) N +1 j=1

λj = 1,

N +1

ai,j λj = xi

1 ≤ i ≤ N,

;$ -<

j=1

N

E U IQ

0 AA ) ;$ &<A . 0 + λj 8 : x @ . ) K = x ∈ RN λj (x) ≥ 0 1 ≤ j ≤ N + 1 ,

Y L O P

H C E T

(N + 1) 8 K K # λj (x) = 0A 1 ≤ j ≤ N + 1 @ ) 0 K

. I

LE O ÉC

' ! N ≥ 2 Σ1

LE O ÉC

N H EC Σ2

T Y POL

$ W 5 , A

E U IQ

&&

Σ3

N H EC

E U IQ

A ; < ; 0 <

T Y POL

X

J k ≥ 1 10)'--': &!,0&0) k , 0 k−1 1 , 1} 1 ≤ j ≤ N . Σk = x ∈ K λj (x) ∈ {0, , ..., ;$ < k k

ÉC

E L O

* k = 1 , , 0 K A k = 2 H ;. 2 $ < 1 A Σk 0 ) (σj )1≤j≤nk / ) , 0 Pk # X ? : RN R 8 ? k A , 6?6 p ∈ Pk , 8 p(x) = αi1 ,...,iN xi11 · · · xiNN . x = (x1 , ..., xN ). i1 ,...,iN ≥0 i1 +...+iN ≤k

E U Q I ' " N " " $ ) & , $ $" ' *$ ) %,3 ' $" ) $" $" $ " , 'H " " ) !$H C " " $ $ + $ ) - & ) $" , " $" E "' & " $ / " Y T OL P LE O ÉC

, H Σk , N 6 K , # X Pk ; Σk 5*':,-2.*1 Pk <

)99) C C

K

k≥1 (σj )1≤j≤nk

N

k Pk

(ψj )1≤j≤nk

(σj )1≤j≤nk

Pk

ψj (σi ) = δij

Σk

1 ≤ i, j ≤ nk .

' !

&-

N H EC

E U IQ