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Analyse numérique - Couv

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2/03/06

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C I E N C E S

Université Joseph Fourier - BP 53 - 38041 Grenoble Cedex 9 - Tél : (33)4 76 51 46 95

J.-P. DEMAILLY

ANALYSE NUMÉRIQUE ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

ANALYSE NUMÉRIQUE ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Cet ouvrage est un cours d’introduction à la théorie des équations différentielles ordinaires, accompagné d’un exposé détaillé de différentes méthodes numériques permettant de les résoudre en pratique. La première partie présente quelques techniques importantes de l'analyse numérique : interpolation polynomiale, méthodes d'intégration numérique, méthodes itératives pour la résolution d'équations. Suit un exposé rigoureux des résultats de base sur l'existence, l'unicité et la régularité des solutions des équations différentielles, incluant une étude détaillée des équations usuelles du premier et du second ordre, des équations et systèmes différentiels linéaires, de la stabilité des solutions et leur dépendance par rapport aux paramètres. Une place substantielle est accordée à la description des méthodes numériques à un pas ou multi-pas, avec une étude comparative de la stabilité et du coût en temps de calcul. Agrémenté de nombreux exemples concrets, le texte propose des exercices et des problèmes d'application à la fin de chaque chapitre. Cette troisième édition a été enrichie de nouveaux exemples et exercices et de compléments théoriques et pratiques : compor tement des suites itératives, théorème des fonctions implicites et ses conséquences géométriques, critère de maximalité des solutions d'équations différentielles, calcul des géodésiques d'une surface, flots de champ de vecteurs... Cet ouvrage est surtout destiné aux étudiants (licence (L3), masters scientifiques, écoles d’ingénieurs, agrégatifs de mathématiques). Les enseignants, professionnels (physiciens, mécaniciens…) l’utiliseront comme outil de base.

Jean-Pierre DEMAILLY Ancien élève de l'Ecole normale supérieure (rue d'Ulm), professeur à l'Université Joseph Fourier de Grenoble, titulaire d’une chaire à l’Institut universitaire de France, Jean-Pierre Demailly est un universitaire maintes fois distingué pour ses travaux de recherche et son rayonnement (médaille du CNRS, prix Rivoire, prix du Collège de France, prix scientifique IBM, grand prix de l’Académie des sciences, prix Humboldt). Les étudiants connaissent bien ses qualités pédagogiques. Jean-Pierre Demailly préside le Groupe de Réflexion Interdisciplinaire sur les Programmes qui milite pour que les savoirs fondamentaux soient au centre des préoccupations de l’école.

9 782868 838919

ISBN 2 86883 891 X

GRENOBLE SCIENCES UNIVERSITE

JOSEPHFOURIER

O L L E C T I O N

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R E N O B L E

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C I E N C E S

DIRIGÉE PAR JEAN BORNAREL

29 €

ANALYSE NUMÉRIQUE ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Nouvelle édition

Jean-Pierre DEMAILLY


ANALYSE NUMÉRIQUE ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES


Grenoble Sciences Grenoble Sciences poursuit un triple objectif!: ! réaliser des ouvrages correspondant à un projet clairement défini, sans contrainte de mode ou de programme, ! garantir les qualités scientifique et pédagogique des ouvrages retenus, ! proposer des ouvrages à un prix accessible au public le plus large possible. Chaque projet est sélectionné au niveau de Grenoble Sciences avec le concours de referees anonymes. Puis les auteurs travaillent pendant une année (en moyenne) avec les membres d’un comité de lecture interactif, dont les noms apparaissent au début de l’ouvrage. Celui-ci est ensuite publié chez l’éditeur le plus adapté. (Contact!: Tél.!: (33)4 76 51 46 95 - E-mail!: Grenoble.Sciences@ujf-grenoble.fr) Deux collections existent chez EDP Sciences!: ! la Collection Grenoble Sciences, connue pour son originalité de projets et sa qualité ! Grenoble Sciences!-!Rencontres Scientifiques, collection présentant des thèmes de recherche d’actualité, traités par des scientifiques de premier plan issus de disciplines différentes. Directeur scientifique de Grenoble Sciences Jean BORNAREL, Professeur à l'Université Joseph Fourier, Grenoble 1 Comité de lecture pour Analyse numérique et équations différentielles ! M. ARTIGUE, Professeur à l'IUFM de Reims ! A. DUFRESNOY, Professeur à l'Université Joseph Fourier - Grenoble 1 ! J.R. JOLY, Professeur à l'Université Joseph Fourier - Grenoble 1 ! M. ROGALSKI, Professeur à l'Université des Sciences et Techniques - Lille 1

Grenoble Sciences bénéficie du soutien du Ministère de l'Éducation nationale, de l'Enseignement supérieur et de la Recherche et de la Région Rhône-Alpes. Grenoble Sciences est rattaché à l'Université Joseph Fourier de Grenoble.

Illustration de couverture : Alice GIRAUD

ISBN 2-86883-891-X © EDP Sciences, 2006


ANALYSE NUMÉRIQUE ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Jean-Pierre DEMAILLY

17, avenue du Hoggar Parc d’Activité de Courtabœuf - BP 112 91944 Les Ulis Cedex A - France


Ouvrages Grenoble Sciences édités par EDP Sciences Collection Grenoble Sciences Chimie. Le minimum à savoir (J.!Le!Coarer) • Electrochimie des solides (C.!Déportes et!al.) • Thermodynamique chimique (M.!Oturan & M.!Robert) • CD de Thermodynamique chimique (J.P.!Damon & M.!Vincens) • Chimie organométallique (D.!Astruc) • De l'atome à la réaction chimique (sous la direction de R.!Barlet) Introduction à la mécanique statistique (E.!Belorizky & W.!Gorecki) • Mécanique statistique. Exercices et problèmes corrigés (E.!Belorizky & W.!Gorecki) • La cavitation. Mécanismes physiques et aspects industriels (J.P.!Franc et al.) • La turbulence (M.!Lesieur) • Magnétisme!: I!Fondements, II!Matériaux et applications (sous la direction d’E.!du Trémolet de Lacheisserie) • Du Soleil à la Terre. Aéronomie et météorologie de l’espace (J.!Lilensten & P.L.!Blelly) • Sous les feux du Soleil. Vers une météorologie de l’espace (J.!Lilensten & J.!Bornarel) • Mécanique. De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien (C.!Gignoux & B.!Silvestre-Brac) • Problèmes corrigés de mécanique et résumés de cours. De Lagrange à Hamilton (C.!Gignoux & B.!Silvestre-Brac) • La mécanique quantique. Problèmes résolus, T.!1!et!2 (V.M.!Galitsky, B.M.!Karnakov & V.I.!Kogan) • Description de la symétrie. Des groupes de symétrie aux structures fractales (J.!Sivardière) • Symétrie et propriétés physiques. Du principe de Curie aux brisures de symétrie (J.!Sivardière) Exercices corrigés d'analyse, T.!1!et!2 (D.!Alibert) • Introduction aux variétés différentielles (J.!Lafontaine) Mathématiques pour les sciences de la vie, de la nature et de la santé (F.!& J.P.!Bertrandias) • Approximation hilbertienne. Splines, ondelettes, fractales (M.!Attéia & J.!Gaches) • Mathématiques pour l’étudiant scientifique, T.!1!et!2 (Ph.J.!Haug) • Analyse statistique des données expérimentales (K.!Protassov) • Nombres et algèbre (J.Y.!Mérindol) Bactéries et environnement. Adaptations physiologiques (J.!Pelmont) • Enzymes. Catalyseurs du monde vivant (J.!Pelmont) • Endocrinologie et communications cellulaires (S.!Idelman & J.!Verdetti) • Eléments de biologie à l'usage d'autres disciplines (P.!Tracqui & J.!Demongeot) • Bioénergétique (B.!Guérin) • Cinétique enzymatique (A.!Cornish-Bowden, M.!Jamin & V. Saks) • Biodégradations et métabolismes. Les bactéries pour les technologies de l'environnement (J.!Pelmont) • Enzymologie moléculaire et cellulaire, T.!1!et 2 (J.!Yon-Kahn & G.!Hervé) La plongée sous-marine à l'air. L'adaptation de l'organisme et ses limites (Ph.!Foster) • L'Asie, source de sciences et de techniques (M.!Soutif) • La biologie, des origines à nos jours (P.!Vignais) • Naissance de la physique. De la Sicile à la Chine (M.!Soutif) • Le régime oméga!3. Le programme alimentaire pour sauver notre santé (A.!Simopoulos, J.!Robinson, M.!de!Lorgeril & P.!Salen) • Gestes et mouvements justes. Guide de l'ergomotricité pour tous (M.!Gendrier) • Science expérimentale et connaissance du vivant. La méthode et les concepts (P.!Vignais, avec la collaboration de P.!Vignais) Listening Comprehension for Scientific English (J.!Upjohn) • Speaking Skills in Scientific English (J.!Upjohn, M.H.!Fries & D.!Amadis) • Minimum Competence in Scientific English (S.!Blattes, V.!Jans & J.!Upjohn)

Grenoble Sciences - Rencontres Scientifiques Radiopharmaceutiques. Chimie des radiotraceurs et applications biologiques (sous la direction de M.!Comet & M.!Vidal) • Turbulence et déterminisme (sous la direction de M.!Lesieur) • Méthodes et techniques de la chimie organique (sous la direction de D.!Astruc) • L’énergie de demain. Techniques, environnement, économie (sous la direction de J.L.!Bobin, E.!Huffer & H.!Nifenecker) • Physique et biologie. Une interdisciplinarité complexe (sous la direction de B.!Jacrot)


 

Le pr´esent ouvrage reprend avec beaucoup de compl´ements un cours de “Licence de Math´ematiques” – ex troisi`eme ann´ee d’Universit´e – donn´e `a l’Universit´e de Grenoble I pendant les ann´ees 1985-88. Le but de ce cours ´etait de pr´esenter aux ´etudiants quelques notions th´eoriques de base concernant les ´equations et syst`emes d’´equations diff´erentielles ordinaires, tout en explicitant des m´ethodes num´eriques permettant de r´esoudre effectivement de telles ´equations. C’est pour cette raison qu’une part importante du cours est consacr´ee `a la mise en place d’un certain nombre de techniques fondamentales de l’Analyse Num´erique : interpolation polynomiale, int´egration num´erique, m´ethode de Newton `a une et plusieurs variables. L’originalit´e de cet ouvrage ne r´eside pas tant dans le contenu, pour lequel l’auteur s’est inspir´e sans vergogne de la litt´erature existante – en particulier du livre de Crouzeix-Mignot pour ce qui concerne les m´ethodes num´eriques, et des livres classiques de H. Cartan et J. Dieudonn´e pour la th´eorie des ´equations diff´erentielles – mais plutˆ ot dans le choix des th`emes et dans la pr´esentation. S’il est relativement facile de trouver des ouvrages sp´ecialis´es consacr´es soit aux aspects th´eoriques fondamentaux de la th´eorie des ´equations diff´erentielles et ses applications (Arnold, Coddington-Levinson) soit aux techniques de l’Analyse Num´erique (Henrici, Hildebrand), il y a relativement peu d’ouvrages qui couvrent simultan´ement ces diff´erents aspects et qui se situent `a un niveau accessible pour l’honnˆete  ´etudiant de second cycle. Nous avons en particulier consacr´e deux chapitres entiers `a l’´etude des m´ethodes ´el´ementaires de r´esolution par int´egration explicite et a` l’´etude des ´equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients constants, ces questions ´etant g´en´eralement omises dans les ouvrages de niveau plus avanc´e. Par ailleurs, un effort particulier a ´et´e fait pour illustrer les principaux r´esultats par des exemples vari´es. La plupart des m´ethodes num´eriques expos´ees avaient pu ˆetre effectivement mises en œuvre par les ´etudiants au moyen de programmes ´ecrits en Turbo Pascal – `a une ´epoque remontant maintenant a` la pr´ehistoire de l’informatique. Aujourd’hui, les environnements disponibles sont beaucoup plus nombreux, mais nous recommandons certainement encore aux ´etudiants d’essayer d’impl´ementer les algorithmes propos´es dans ce livre sous forme de programmes ´ecrits dans des langages de base


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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

comme C ou C++, et particuli`erement dans un environnement de programmation libre comme GCC sous GNU/Linux. Bien entendu, il existe des logiciels libres sp´ecialis´es dans le calcul num´erique qui impl´ementent les principaux algorithmes utiles sous forme de librairies toutes prˆetes – Scilab est l’un des plus connus – mais d’un point de vue p´edagogique et dans un premier temps au moins, il est bien plus formateur pour les ´etudiants de mettre vraiment “la main dans le cambouis” en programmant eux-mˆemes les algorithmes. Nous ne citerons pas d’environnements ni de logiciels propri´etaires ´equivalents, parce que ces logiciels dont le fonctionnement intime est inaccessible `a l’utilisateur sont contraires a` notre ´ethique scientifique ou ´educative, et nous ne souhaitons donc pas en encourager l’usage. L’ensemble des sujets abord´es dans le pr´esent ouvrage d´epasse sans aucun doute le volume pouvant ˆetre trait´e en une seule ann´ee de cours – mˆeme si jadis nous avions pu en enseigner l’essentiel au cours de la seule ann´ee de Licence. Dans les conditions actuelles, il nous paraˆıt plus judicieux d’envisager une r´epartition du contenu sur l’ensemble des deux ann´ees du second cycle universitaire. Ce texte est probablement utilisable aussi pour les ´el`eves d’´ecoles d’ing´enieurs, ou comme ouvrage de synth`ese au niveau de l’agr´egation de math´ematiques. Pour guider le lecteur dans sa s´election, les sous-sections de chapitres les plus difficiles ainsi que les d´emonstrations les plus d´elicates sont marqu´ees d’un ast´erisque. Le lecteur pourra trouver de nombreux exemples de trac´es graphiques de solutions d’´equations diff´erentielles dans le livre d’Artigue-Gautheron : on y trouvera en particulier des illustrations vari´ees des ph´enom`enes qualitatifs ´etudi´es au chapitre X, concernant les points singuliers des champs de vecteurs. Je voudrais ici remercier mes coll`egues grenoblois pour les remarques et am´eliorations constantes sugg´er´ees tout au long de notre collaboration pendant les trois ann´ees qu’a dur´e ce cours. Mes plus vifs remerciements s’adressent ´egalement a Mich`ele Artigue, Alain Dufresnoy, Jean-Ren´e Joly et Marc Rogalski, qui ont ` bien voulu prendre de leur temps pour relire le manuscrit original de mani`ere tr`es d´etaill´ee. Leurs critiques et suggestions ont beaucoup contribu´e `a la mise en forme d´efinitive de cet ouvrage. Saint-Martin d’H`eres, le 5 novembre 1990

La seconde ´edition de cet ouvrage a b´en´efici´e d’un bon nombre de remarques et de suggestions propos´ees par Marc Rogalski. Les modifications apport´ees concernent notamment le d´ebut du chapitre VIII, o` u la notion d´elicate d’erreur de consistance a ´et´ e plus clairement explicit´ee, et les exemples des chapitres VI et XI traitant du mouvement du pendule simple. L’auteur tient ` a remercier de nouveau Marc Rogalski pour sa pr´ecieuse contribution. Saint-Martin d’H`eres, le 26 septembre 1996

La troisi`eme ´edition de cet ouvrage a ´et´ e enrichie d’un certain nombre de compl´ements th´eoriques et pratiques : comportement g´eom´etrique des suites it´eratives en dimension 1, th´eor` eme des fonctions implicites et ses variantes g´eom´etriques dans le chapitre IV ; crit`ere de maximalit´e des solutions dans le chapitre V ; calcul de g´eod´esiques dans le chapitre VI ; quelques exemples et exercices additionnels dans les chapitres suivants ; notions ´el´ ementaires sur les flots de champs de vecteurs dans le chapitre XI. Saint-Martin d’H`eres, le 28 f´evrier 2006


 

     L’objet de ce chapitre est de mettre en ´evidence les principales diďŹƒcult´es li´ees `a la pratique des calculs num´eriques sur ordinateur. Dans beaucoup de situations, il existe des m´ethodes sp´eciďŹ ques permettant d’accroˆĹtre a` la fois l’eďŹƒcacit´e et la pr´ecision des calculs.

      

             La capacit´e m´emoire d’un ordinateur est par construction ďŹ nie. Il est donc n´ecessaire de repr´esenter les nombres r´eels sous forme approch´ee. La notation la plus utilis´ee `a l’heure actuelle est la repr´esentation avec virgule ottante : un nombre r´eel x est cod´e sous la forme x  Âą m ¡ bp o` u b est la base de num´eration, m la mantisse, et p l’exposant. Les calculs internes sont g´en´eralement eectu´es en base b = 2, mˆeme si les r´esultats aďŹƒch´es sont ďŹ nalement traduits en base 10. La mantisse m est un nombre ´ecrit avec virgule ďŹ xe et poss´edant un nombre maximum N de chires signiďŹ catifs (impos´e par le choix de la taille des emplacements m´emoires allou´es au type r´eel) : suivant les machines, m s’´ecrira • m = 0, a1 a2 . . . aN =

N  k=1

• m = a0 , a1 a2 . . . aN −1 =

ak b−k , 

bâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;¤ m < 1 ;

ak bâ&#x2C6;&#x2019;k , 1 â&#x2030;¤ m < b.

0â&#x2030;¤k<N

Ceci entraË&#x2020;Äąne que la pr´ecision dans lâ&#x20AC;&#x2122;approximation dâ&#x20AC;&#x2122;un nombre r´eel est toujours une pr´ecision relative : â&#x2C6;&#x2020;x â&#x2C6;&#x2020;m bâ&#x2C6;&#x2019;N = â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2019;1 = b1â&#x2C6;&#x2019;N . x m b


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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

On notera Îľ = b1â&#x2C6;&#x2019;N cette pr´ecision relative. En Langage C standard (ANSI C), les r´eels peuvent occuper â&#x20AC;&#x201C; pour le type  ďŹ&#x201A;oat , 4 octets de m´emoire, soit 1 bit de signe, 23 bits de mantisse et 8 bits dâ&#x20AC;&#x2122;exposant (dont un pour le signe de lâ&#x20AC;&#x2122;exposant). Ceci permet de repr´esenter les r´eels avec une mantisse de 6 `a 7 chiďŹ&#x20AC;res signiďŹ catifs apr`es la virgule, dans une a 2127 soit environ de 10â&#x2C6;&#x2019;38 = 1 E â&#x2C6;&#x2019; 38 a` 1038 = 1 E + 38. ´echelle allant de 2â&#x2C6;&#x2019;128 ` La pr´ecision relative est de lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de 10â&#x2C6;&#x2019;7 . â&#x20AC;&#x201C; pour le type  double , 8 octets de m´emoire, soit 1 bit de signe, 51 bits de mantisse et 12 bits dâ&#x20AC;&#x2122;exposant (dont un pour le signe de lâ&#x20AC;&#x2122;exposant). Ceci permet de repr´esenter les r´eels avec une mantisse de 15 chiďŹ&#x20AC;res signiďŹ catifs apr`es la virgule, dans une ´echelle allant de 2â&#x2C6;&#x2019;2048 `a 22047 soit environ de 10â&#x2C6;&#x2019;616 = 1 E â&#x2C6;&#x2019; 616 a` 10616 = 1 E + 616. La pr´ecision relative est de lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de 10â&#x2C6;&#x2019;15 .

              Supposons par exemple que les r´eels soient calcul´ees avec 3 chiďŹ&#x20AC;res signiďŹ catifs et arrondis a` la d´ecimale la plus proche. Soit a` calculer la somme x + y + z avec x = 8, 22,

y = 0, 00317,

z = 0, 00432

(x + y) + z donne : x + y = 8, 22317  8, 22 (x + y) + z  8, 22432  8, 22 x + (y + z) donne : y + z = 0, 00749 x + (y + z) = 8, 22749  8, 23. Lâ&#x20AC;&#x2122;addition est donc non associative par suite des erreurs dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi !

      On se propose dâ&#x20AC;&#x2122;´etudier quelques m´ethodes permettant de majorer les erreurs dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi dues aux op´erations arithm´etiques. Soient x, y des nombres r´eels suppos´es repr´esent´es sans erreur avec N chiďŹ&#x20AC;res signiďŹ catifs : x = 0, a1 a2 . . . aN ¡ bp , bâ&#x2C6;&#x2019;1+p â&#x2030;¤ x < bp y = 0, a1 a2 . . . aN ¡ bq , bâ&#x2C6;&#x2019;1+q â&#x2030;¤ y < bq Notons â&#x2C6;&#x2020;(x + y) lâ&#x20AC;&#x2122;erreur dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi commise sur le calcul de x + y. Supposons par exemple p â&#x2030;Ľ q. Sâ&#x20AC;&#x2122;il nâ&#x20AC;&#x2122;y a pas d´ebordement, câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire si x + y < bp , le calcul de x + y sâ&#x20AC;&#x2122;accompagne dâ&#x20AC;&#x2122;une perte des p â&#x2C6;&#x2019; q derniers chiďŹ&#x20AC;res de y correspondant aux puissances bâ&#x2C6;&#x2019;k+q < bâ&#x2C6;&#x2019;N +p ; donc â&#x2C6;&#x2020;(x + y) â&#x2030;¤ bâ&#x2C6;&#x2019;N +p , alors que x + y â&#x2030;Ľ x â&#x2030;Ľ bâ&#x2C6;&#x2019;1+p . En cas de d´ebordement x + y â&#x2030;Ľ bp (ce qui se produit par exemple si p = q et a1 + a1 â&#x2030;Ľ b), la d´ecimale correspondant `a la puissance bâ&#x2C6;&#x2019;N +p est elle aussi perdue, dâ&#x20AC;&#x2122;o` u â&#x2C6;&#x2020;(x + y) â&#x2030;¤ b1â&#x2C6;&#x2019;N +p . Dans les deux cas : â&#x2C6;&#x2020;(x + y) â&#x2030;¤ Îľ(|x| + |y|), o` u Îľ = b1â&#x2C6;&#x2019;N est la pr´ecision relative d´ecrite au §1.1. Ceci reste vrai quel que soit le signe des nombres x et y.


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I â&#x20AC;&#x201C; Calculs num´ eriques approch´ es

En g´en´eral, les r´eels x, y ne sont eux-mË&#x2020;emes connus que par des valeurs approch´ees x , y  avec des erreurs respectives â&#x2C6;&#x2020;x = |x â&#x2C6;&#x2019;x|, â&#x2C6;&#x2020;y = |y  â&#x2C6;&#x2019;y|. A ces erreurs sâ&#x20AC;&#x2122;ajoute lâ&#x20AC;&#x2122;erreur dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi â&#x2C6;&#x2020;(x + y  ) â&#x2030;¤ Îľ(|x | + |y  |) â&#x2030;¤ Îľ(|x| + |y| + â&#x2C6;&#x2020;x + â&#x2C6;&#x2020;y). Les erreurs â&#x2C6;&#x2020;x, â&#x2C6;&#x2020;y sont elles-mË&#x2020;emes le plus souvent dâ&#x20AC;&#x2122;ordre Îľ par rapport a` |x| et |y|, de sorte que lâ&#x20AC;&#x2122;on pourra n´egliger les termes Îľâ&#x2C6;&#x2020;x et Îľâ&#x2C6;&#x2020;y. On aura donc : â&#x2C6;&#x2020;(x + y) â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2020;x + â&#x2C6;&#x2020;y + Îľ(|x| + |y|).

Soit plus g´en´eralement `a calculer une somme

n 

uk de r´eels positifs. Les sommes

k=1

partielles sk = u1 +u2 +. . .+uk vont se calculer de proche en proche par les formules de r´ecurrence  s0 = 0 sk = skâ&#x2C6;&#x2019;1 + uk , k â&#x2030;Ľ 1. Si les r´eels uk sont connus exactement, on aura sur les sommes sk des erreurs â&#x2C6;&#x2020;sk telles que â&#x2C6;&#x2020;s1 = 0 et â&#x2C6;&#x2020;sk â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2020;skâ&#x2C6;&#x2019;1 + Îľ(skâ&#x2C6;&#x2019;1 + uk ) = â&#x2C6;&#x2020;skâ&#x2C6;&#x2019;1 + Îľsk . Lâ&#x20AC;&#x2122;erreur globale sur sn v´eriďŹ e donc â&#x2C6;&#x2020;sn â&#x2030;¤ Îľ(s2 + s3 + . . . + sn ), soit â&#x2C6;&#x2020;sn â&#x2030;¤ Îľ(un + 2unâ&#x2C6;&#x2019;1 + 3unâ&#x2C6;&#x2019;2 + . . . + (n â&#x2C6;&#x2019; 1)u2 + (n â&#x2C6;&#x2019; 1)u1 ). Comme ce sont les premiers termes somm´es qui sont aďŹ&#x20AC;ect´es des plus gros coeďŹ&#x192;cients dans lâ&#x20AC;&#x2122;erreur â&#x2C6;&#x2020;sn , on en d´eduit la r`egle g´en´erale suivante (cf. exemple 1.2).

R` egle g´ en´ erale â&#x20AC;&#x201C; Dans une sommation de r´eels, lâ&#x20AC;&#x2122;erreur a tendance `a Ë&#x2020;etre minimis´ee lorsquâ&#x20AC;&#x2122;on somme en premier les termes ayant la plus petite valeur absolue.

          Le produit de deux mantisses de N chiďŹ&#x20AC;res donne une mantisse de 2N ou 2N â&#x2C6;&#x2019; 1 chiďŹ&#x20AC;res dont les N ou N â&#x2C6;&#x2019; 1 derniers vont Ë&#x2020;etre perdus. Dans le calcul dâ&#x20AC;&#x2122;un produit xy (o` u x, y sont suppos´es repr´esent´es sans erreur) il y aura donc une erreur dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi â&#x2C6;&#x2020;(xy) â&#x2030;¤ Îľ|xy|,

o` u Îľ = b1â&#x2C6;&#x2019;N .

Si x et y ne sont eux-mË&#x2020;emes connus que par des valeurs approch´ees x , y  et si â&#x2C6;&#x2020;x = |x â&#x2C6;&#x2019; x|, â&#x2C6;&#x2020;y = |y  â&#x2C6;&#x2019; y|, on a une erreur initiale |x y  â&#x2C6;&#x2019; xy| = |x(y  â&#x2C6;&#x2019; y) + (x â&#x2C6;&#x2019; x)y  | â&#x2030;¤ |x|â&#x2C6;&#x2020;y + â&#x2C6;&#x2020;x|y  | â&#x2030;¤ |x|â&#x2C6;&#x2020;y + â&#x2C6;&#x2020;x|y| + â&#x2C6;&#x2020;xâ&#x2C6;&#x2020;y.


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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

A cette erreur sâ&#x20AC;&#x2122;ajoute une erreur dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi â&#x2C6;&#x2020;(x y  ) â&#x2030;¤ Îľ|x y  | â&#x2030;¤ Îľ(|x| + â&#x2C6;&#x2020;x)(|y| + â&#x2C6;&#x2020;y). En n´egligeant les termes â&#x2C6;&#x2020;xâ&#x2C6;&#x2020;y, Îľâ&#x2C6;&#x2020;x, Îľâ&#x2C6;&#x2020;y, on obtient la formule approximative â&#x2C6;&#x2020;(xy) â&#x2030;¤ |x|â&#x2C6;&#x2020;y + â&#x2C6;&#x2020;x|y| + Îľ|xy|.

(â&#x2C6;&#x2014;)

Soit plus g´en´eralement des r´eels x1 , . . . , xk , suppos´es repr´esent´es sans erreur. La formule (â&#x2C6;&#x2014;) entraË&#x2020;Äąne â&#x2C6;&#x2020;(x1 x2 . . . xk ) â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2020;(x1 . . . xkâ&#x2C6;&#x2019;1 )|xk | + Îľ|x1 . . . xkâ&#x2C6;&#x2019;1 ¡ xk |, dâ&#x20AC;&#x2122;o` u par une r´ecurrence ais´ee : â&#x2C6;&#x2020;(x1 x2 . . . xk ) â&#x2030;¤ (k â&#x2C6;&#x2019; 1)Îľ|x1 x2 . . . xk |. Lâ&#x20AC;&#x2122;erreur sur un quotient est donn´ee de mË&#x2020;eme par â&#x2C6;&#x2020;(x/y) â&#x2030;¤ Îľ|x/y|. On en d´eduit pour tous exposants Îąi â&#x2C6;&#x2C6; Z la formule g´en´erale Îąk Îąk Îą1 Îą2 1 Îą2 â&#x2C6;&#x2020;(xÎą 1 x2 . . . xk ) â&#x2030;¤ (|Îą1 | + . . . + |Îąk | â&#x2C6;&#x2019; 1)Îľ|x1 x2 . . . xk | ;

on observera que |Îą1 | + . . . + |Îąk | â&#x2C6;&#x2019; 1 est exactement le nombre dâ&#x20AC;&#x2122;op´erations requises Îąk 1 Îą2 pour calculer xÎą 1 x2 . . . xk par multiplications ou divisions successives des xi . Contrairement au cas de lâ&#x20AC;&#x2122;addition, la majoration de lâ&#x20AC;&#x2122;erreur dâ&#x20AC;&#x2122;un produit ne d´epend pas de lâ&#x20AC;&#x2122;ordre des facteurs.

 

   On sâ&#x20AC;&#x2122;int´eresse ici au probl`eme de lâ&#x20AC;&#x2122;´evaluation dâ&#x20AC;&#x2122;un polynË&#x2020; ome P (x) =

n 

a k xk .

k=0

La m´ethode la plus  na¨Ĺve  qui vient a` lâ&#x20AC;&#x2122;esprit consiste a` poser x0 = 1, s0 = a0 , puis a` calculer par r´ecurrence  k kâ&#x2C6;&#x2019;1  ¡x x = x pour k â&#x2030;Ľ 1. uk = a k ¡ xk   sk = skâ&#x2C6;&#x2019;1 + uk Pour chaque valeur de k, deux multiplications et une addition sont donc n´ecessaires. Il existe en fait une m´ethode plus eďŹ&#x192;cace :

R` egle de H¨ orner â&#x20AC;&#x201C; On factorise P (x) sous la forme : P (x) = a0 + x(a1 + x(a2 + . . . + x(anâ&#x2C6;&#x2019;1 + xan ) . . .)).


11

I – Calculs num´ eriques approch´ es

Si l’on pose pk = ak + ak+1 x + . . . + an xn−k , cette m´ethode revient a` calculer P (x) = p0 par r´ecurrence descendante :  pn = an pk−1 = ak−1 + xpk , 1 ≤ k ≤ n. On effectue ainsi seulement une multiplication et une addition a` chaque ´etape, ce qui ´economise une multiplication et donc une fraction substantielle du temps d’ex´ecution. Comparons maintenant les erreurs d’arrondi dans chacune des deux m´ethodes, en supposant que les r´eels x, a0 , a1 , . . . , an sont repr´esent´es sans erreur. • M´ ethode



na¨ıve . On a ici P (x) = sn avec

∆(ak · xk ) ≤ kε|ak ||x|k , ∆sk ≤ ∆sk−1 + kε|ak ||x|k + ε(|sk−1 | + |uk |) ≤ ∆sk−1 + kε|ak ||x|k + ε(|a0 | + |a1 ||x| + . . . + |ak ||x|k ). Comme ∆s0 = 0, il vient apr`es sommation sur k : ∆sn ≤ ≤

n  k=1 n 

kε|ak ||x| + ε k

kε|ak ||x|k + ε

k=1

n 

(|a0 | + |a1 ||x| + . . . + |ak ||x|k )

k=1 n 

(n + 1 − k)|ak ||x|k .

k=0

On obtient par cons´equent ∆P (x) ≤ (n + 1)ε

n 

|ak ||x|k .

k=0

• R` egle de H¨ orner. Dans ce cas, on a ∆pk−1 ≤ ∆(xpk ) + ε(|ak−1 | + |xpk |) ≤ (|x|∆pk + ε|xpk |) + ε(|ak−1 | + |xpk |) = ε(|ak−1 | + 2|x||pk |) + |x|∆pk . En d´eveloppant ∆P (x) = ∆p0 , il vient    ∆p0 ≤ ε(|a0 | + 2|x||p1 |) + |x| ε|a1 | + 2|x||p2 | + |x| ε|a2 | + . . . d’o` u ∆P (x) ≤ ε ∆P (x) ≤ ε ∆P (x) ≤ ε

n 

|ak ||x|k + 2ε

k=0 n  k=0 n 

|ak ||x|k + 2ε

n  k=1 n  k=1

(2k + 1)|ak ||x|k .

k=0

|x|k |pk |, (|ak ||x|k + . . . + |an ||x|n ),


12

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

On voit que la somme des coeďŹ&#x192;cients dâ&#x20AC;&#x2122;erreur aďŹ&#x20AC;ect´es aux termes |ak ||x|k , soit n  (2k + 1) = Îľ(n + 1)2 , est la mË&#x2020;eme que pour la m´ethode na¨Ĺve ; comme Îľ k=0

2k + 1 â&#x2030;¤ 2(n + 1), lâ&#x20AC;&#x2122;erreur commise sera dans le pire des cas ´egale `a 2 fois celle de la m´ethode na¨Ĺve. N´eanmoins, les petits coeďŹ&#x192;cients portent sur les premiers termes calcul´es, de sorte que la pr´ecision de la m´ethode de H¨orner sera nettement meilleure si le terme |ak ||x|k d´ecroË&#x2020;Äąt rapidement : câ&#x20AC;&#x2122;est le cas par exemple si P (x) est le d´ebut dâ&#x20AC;&#x2122;une s´erie convergente.

Exercice â&#x20AC;&#x201C; Evaluer dans les deux cas lâ&#x20AC;&#x2122;erreur commise sur les sommes partielles de la s´erie exponentielle

n  xk k=0

k!

,

xâ&#x2030;Ľ0

en tenant compte du fait quâ&#x20AC;&#x2122;on a une certaine erreur dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi sur ak =

1 k! .

R´eponse. On trouve â&#x2C6;&#x2020;P (x) â&#x2030;¤ Îľ(1 + (n + x)ex ) pour la m´ethode na¨Ĺve, tandis que la factorisation   x x  x   x 1+ 1 + ... 1 + 1+ ... P (x) = 1 + x 1 + 2 3 nâ&#x2C6;&#x2019;1 n donne â&#x2C6;&#x2020;P (x) â&#x2030;¤ Îľ(1 + 3xex ), ce qui est nettement meilleur en pratique puisque n doit Ë&#x2020;etre choisi assez grand.

       Les majorations dâ&#x20AC;&#x2122;erreurs que nous avons donn´ees plus haut pË&#x2020;echent en g´en´eral par exc`es de pessimisme, car nous nâ&#x20AC;&#x2122;avons tenu compte que de la valeur absolue des erreurs, alors quâ&#x20AC;&#x2122;en pratique elles sont souvent de signe al´eatoire et se compensent donc partiellement entre elles. Supposons par exemple cherche a` calculer une somme sn de rang ´elev´e dâ&#x20AC;&#x2122;une quâ&#x20AC;&#x2122;on +â&#x2C6;&#x17E; s´erie convergente S = k=0 uk , les uk ´etant des r´eels â&#x2030;Ľ 0 suppos´es repr´esent´es sans erreur. On pose donc sk = skâ&#x2C6;&#x2019;1 + uk ,

s0 = u0 ,

et les erreurs â&#x2C6;&#x2020;sk v´eriďŹ ent â&#x2C6;&#x2020;sk = â&#x2C6;&#x2020;skâ&#x2C6;&#x2019;1 + Îąk avec â&#x2C6;&#x2020;s0 = 0 et |Îąk | â&#x2030;¤ Îľ(skâ&#x2C6;&#x2019;1 + uk ) = Îľsk â&#x2030;¤ ÎľS. On en d´eduit donc â&#x2C6;&#x2020;sn = Îą1 + Îą2 + . . . + Îąn et en particulier |â&#x2C6;&#x2020;sn | â&#x2030;¤ nÎľS. Dans le pire des cas, lâ&#x20AC;&#x2122;erreur est donc proportionnelle ` n. On va voir quâ&#x20AC;&#x2122;on peut en fait esp´erer beaucoup mieux sous des hypoth`eses a raisonnables.


13

I â&#x20AC;&#x201C; Calculs num´ eriques approch´ es

Hypoth` eses (1) Les erreurs Îąk sont des variables al´eatoires globalement ind´ependantes les unes des autres (lorsque les uk sont choisis al´eatoirement). (2) Lâ&#x20AC;&#x2122;esp´erance math´ematique E(Îąk ) est nulle, ce qui signiďŹ e que les erreurs dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi nâ&#x20AC;&#x2122;ont aucune tendance a` se faire par exc`es ou par d´efaut. Lâ&#x20AC;&#x2122;hypoth`ese (2) entraË&#x2020;Äąne E(â&#x2C6;&#x2020;sn ) = 0 tandis que lâ&#x20AC;&#x2122;hypoth`ese (1) donne var(â&#x2C6;&#x2020;sn ) = var(Îą1 ) + . . . + var(Îąn ). Comme E(Îąk ) = 0 et |Îąk | â&#x2030;¤ ÎľS, on a var(Îąk ) â&#x2030;¤ Îľ2 S 2 , dâ&#x20AC;&#x2122;o` u

â&#x2C6;&#x161; Ď&#x192;(â&#x2C6;&#x2020;sn ) = var(â&#x2C6;&#x2020;sn ) â&#x2030;¤ nÎľS Lâ&#x20AC;&#x2122;erreur quadratique moyenne croË&#x2020;Äąt seulement dans ce cas comme lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev on a :

â&#x2C6;&#x161; n. Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es

P (|â&#x2C6;&#x2020;sn | â&#x2030;Ľ Îą Ď&#x192;(â&#x2C6;&#x2020;sn )) â&#x2030;¤ Îąâ&#x2C6;&#x2019;2 . â&#x2C6;&#x161; La probabilit´e que lâ&#x20AC;&#x2122;erreur d´epasse 10 nÎľS est donc inf´erieure `a 1%.

 

       Les ph´enom`enes de compensation se produisent lorsquâ&#x20AC;&#x2122;on tente dâ&#x20AC;&#x2122;eďŹ&#x20AC;ectuer des soustractions de valeurs tr`es voisines. Ils peuvent conduire a` des pertes importantes de pr´ecision. Les exemples suivants illustrent les diď��&#x192;cult´es pouvant se pr´esenter et les rem`edes `a apporter dans chaque cas.

   

 x2 â&#x2C6;&#x2019; 1634x + 2 = 0     Supposons que les calculs soient eďŹ&#x20AC;ectu´es avec 10 chiďŹ&#x20AC;res signiďŹ catifs. Les formules habituelles donnent alors â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x2020;  816, 9987760 â&#x2C6;&#x2020; = 667 487, â&#x2C6;&#x161; x1 = 817 + â&#x2C6;&#x2020;  1633, 998776, â&#x2C6;&#x161; x2 = 817 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2020;  0, 0012240. On voit donc quâ&#x20AC;&#x2122;on a une perte de 5 chiďŹ&#x20AC;res signiďŹ catifs sur x2 si lâ&#x20AC;&#x2122;on eďŹ&#x20AC;ectue la soustraction telle quâ&#x20AC;&#x2122;elle se pr´esente naturellement ! Ici, le rem`ede est simple : il u suďŹ&#x192;t dâ&#x20AC;&#x2122;observer que x1 x2 = 2, dâ&#x20AC;&#x2122;o` x2 =

2  1, 223991125 ¡ 10â&#x2C6;&#x2019;3 . x1

Câ&#x20AC;&#x2122;est donc lâ&#x20AC;&#x2122;algorithme num´erique utilis´e qui doit Ë&#x2020;etre modiďŹ Â´e.


14

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

  eâ&#x2C6;&#x2019;10   

    Supposons quâ&#x20AC;&#x2122;on utilise pour cela la s´erie e

â&#x2C6;&#x2019;10



n 

(â&#x2C6;&#x2019;1)k

k=0

10k , k!

les calculs ´etant toujours eďŹ&#x20AC;ectu´es avec 10 chiďŹ&#x20AC;res signiďŹ catifs. Le terme g´en´eral |uk | = 10k /k! est tel que |uk | 10 = â&#x2030;Ľ 1 d`es que |ukâ&#x2C6;&#x2019;1 | k

k â&#x2030;¤ 10.

On a donc 2 termes de valeur absolue maximale |u9 | = |u10 | =

1010  2, 755 ¡ 103 10!

tandis que eâ&#x2C6;&#x2019;10  4, 5 ¡ 10â&#x2C6;&#x2019;5 . Comparons u10 et eâ&#x2C6;&#x2019;10 :

u10 : eâ&#x2C6;&#x2019;10 :

2

7

5

5,

¡

¡

¡

¡

¡

¡

0,

0

0

0

0

4

5

Ceci signiďŹ e quâ&#x20AC;&#x2122;au moins 8 chiďŹ&#x20AC;res signiďŹ catifs vont Ë&#x2020;etre perdus par compensation des termes uk de signes oppos´es. Un rem`ede simple consiste `a utiliser la relation eâ&#x2C6;&#x2019;10 = 1/e10

avec e10 

n  10k k=0

k!

.

On essaiera dans la mesure du possible dâ&#x20AC;&#x2122;´eviter les sommations dans lesquelles des termes de signes oppos´es se compensent.

  Ď&#x20AC;          

    Soit Pn le demi-p´erim`etre du polygone r´egulier a` n cË&#x2020;ot´es inscrit dans un cercle de rayon 1. Le cË&#x2020;ot´e de ce polygone vaut 2 ¡ R sin Ď&#x20AC;/n = 2 sin Ď&#x20AC;/n, dâ&#x20AC;&#x2122;o` u Ď&#x20AC; , n 1 Ď&#x20AC;3 Pn = Ď&#x20AC; â&#x2C6;&#x2019; 2 + o 3 . 6n n

Pn = n sin

On obtient donc une approximation de Ď&#x20AC; avec une pr´ecision de lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de 6/n2 .


15

I – Calculs num´ eriques approch´ es

R=1 π/n

Pour ´evaluer Pn , on utilise une m´ethode de dichotomie permettant de calculer par r´ecurrence π xk = P2k = 2k sin k . 2 Si α est un angle compris entre 0 et π2 on a α sin = 2

1 (1 − cos α) = 2

1 (1 − 2

1 − sin2 α).

(∗)

En substituant α = π/2k , on en d´eduit les formules

xk+1 = 2k 2(1 − 1 − (xk /2k )2 ) x1 = 2, et d’apr`es ce qu’on a dit plus haut lim xk = π. k→+∞

Ce n’est pourtant pas du tout ce qu’on va observer sur machine ! D`es que (xk /2k )2 sera inf´erieur `a la pr´ecision relative des calculs, l’ordinateur va donner

1 − (xk /2k )2 = 1 d’o` u xk+1 = 0. Pour ´eviter cette difficult´e, il suffit de remplacer (∗) par sin α 1 1 − cos2 α α =

sin = 2 2 1 + cos α 2(1 + cos α) d’o` u sin

(∗∗)

sin α α = .

2 2(1 + 1 − sin2 α)

On obtient alors la formule de r´ecurrence 2xk xk+1 =

2(1 + 1 − (xk /2k )2 ) qui ´evite le ph´enom`ene de compensation pr´ec´edent, de sorte que le calcul des xk peut ˆetre pouss´e beaucoup plus loin.


16

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

On obtiendra une m´ethode plus eďŹ&#x192;cace encore en observant quâ&#x20AC;&#x2122;on peut ´evaluer cos Îą dans (â&#x2C6;&#x2014;â&#x2C6;&#x2014;) par la formule cos Îą = 2sinsin2ιι . Ceci donne Îą sin = sin Îą 2  xk+1 = xk

sin Îą , 2 sin Îą + sin 2Îą

dâ&#x20AC;&#x2122;o` u

2xk . xk + xkâ&#x2C6;&#x2019;1

Deux valeurs â&#x2C6;&#x161; dâ&#x20AC;&#x2122;initialisation sont alors requises pour d´emarrer, par exemple x1 = 2 et x2 = 2 2.

 

         Il sâ&#x20AC;&#x2122;agit de ph´enom`enes dâ&#x20AC;&#x2122;ampliďŹ cation des erreurs dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi. Une telle ampliďŹ cation se produit assez fr´equemment dans le cas de calculs r´ecurrents ou it´eratifs.

        Supposons a` titre dâ&#x20AC;&#x2122;exemple quâ&#x20AC;&#x2122;on cherche a` ´evaluer num´eriquement lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale  In =

1 0

xn , 10 + x

n â&#x2C6;&#x2C6; N.

Un calcul imm´ediat donne  1  1 dx 11 = ln (10 + x) = ln , I0 = 10 0 0 10 + x  1  1 10  nâ&#x2C6;&#x2019;1 x 1â&#x2C6;&#x2019; In = ¡ xnâ&#x2C6;&#x2019;1 dx = x dx 10 + x 0 10 + x 0  1  1 nâ&#x2C6;&#x2019;1 1 x = dx = â&#x2C6;&#x2019; 10 Inâ&#x2C6;&#x2019;1 . xnâ&#x2C6;&#x2019;1 dx â&#x2C6;&#x2019; 10 10 + x n 0 0 Ceci permet de calculer In par r´ecurrence avec I0 = ln 11 10 In = n1 â&#x2C6;&#x2019; 10 Inâ&#x2C6;&#x2019;1 . Ce probl`eme apparemment bien pos´e math´ematiquement conduit num´eriquement a des r´esultats catastrophiques. On a en eďŹ&#x20AC;et ` â&#x2C6;&#x2020;In  10 â&#x2C6;&#x2020;Inâ&#x2C6;&#x2019;1 , mË&#x2020;eme si on n´eglige lâ&#x20AC;&#x2122;erreur dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi sur 1/n. Lâ&#x20AC;&#x2122;erreur sur In explose donc exponentiellement, lâ&#x20AC;&#x2122;erreur initiale sur I0 ´etant multipli´ee par 10n `a lâ&#x20AC;&#x2122;´etape n. Comment faire alors pour calculer par exemple I36 ? La suite xn ´etant d´ecroissante


17

I â&#x20AC;&#x201C; Calculs num´ eriques approch´ es

pour x â&#x2C6;&#x2C6; [0, 1], on voit que la suite In est elle-mË&#x2020;eme d´ecroissante. 10 â&#x2030;¤ 10 + x â&#x2030;¤ 11, on a de plus

Comme

1 1 â&#x2030;¤ In â&#x2030;¤ . 11(n + 1) 10(n + 1) Lâ&#x20AC;&#x2122;approximation In  â&#x2C6;&#x2020;In In

1 1 11(n+1) donne une erreur absolue â&#x2030;¤ 110(n+1) et donc 1 10 . Ceci donne lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de grandeur mais nâ&#x20AC;&#x2122;est pas

erreur relative â&#x2030;¤ satisfaisant. Lâ&#x20AC;&#x2122;id´ee est alors de renverser la r´ecurrence en posant Inâ&#x2C6;&#x2019;1 =

une tr`es

 1 1 â&#x2C6;&#x2019; In . 10 n

1 â&#x2C6;&#x2020;In , estimation qui En n´egligeant lâ&#x20AC;&#x2122;erreur sur n1 , on a donc cette fois â&#x2C6;&#x2020;Inâ&#x2C6;&#x2019;1  10 1 va dans le bon sens. Si lâ&#x20AC;&#x2122;on part de I46  11.47 , on obtiendra pour I36 une erreur relative sans doute meilleure que 10â&#x2C6;&#x2019;10 .

Exercice â&#x20AC;&#x201C; Montrer que 0 â&#x2030;¤ In â&#x2C6;&#x2019; In+1 â&#x2030;¤ la formule exprimant In en fonction de In+1

1 10(n+1)(n+2) ,

et en d´eduire a ` partir de que lâ&#x20AC;&#x2122;on a en fait lâ&#x20AC;&#x2122;estimation

1 1 1 â&#x2030;¤ In â&#x2030;¤ + , 11(n + 1) 11(n + 1) 110(n + 1)(n + 2) donc â&#x2C6;&#x2020;In 

1 11(n+1)

avec erreur relative â&#x2030;¤

1 10(n+2) .

On voit donc le rË&#x2020; ole fondamental jou´e par le coeďŹ&#x192;cient dâ&#x20AC;&#x2122;ampliďŹ cation de lâ&#x20AC;&#x2122;erreur, 10 dans le premier cas, 1/10 dans le second. En g´en´eral, si on a un coeďŹ&#x192;cient dâ&#x20AC;&#x2122;ampliďŹ cation A > 1, il est imp´eratif de limiter le nombre n dâ&#x20AC;&#x2122;´etapes en sorte que An Îľ reste tr`es inf´erieur `a 1, si Îľ est la pr´ecision relative des calculs.

    Soit a` calculer une suite (un ) d´eďŹ nie par sa valeur initiale u0 et par la relation de r´ecurrence un+1 = f (un ), u f n = f â&#x2014;Ś f â&#x2014;Ś . . . â&#x2014;Ś f est la o` u f est une fonction donn´ee. On a donc un = f n (u0 ) o` n-i`eme it´er´ee de f . On consid`ere par exemple la suite (un ) telle que u0 = 2,

un+1 = | ln (un )|,

dont on cherche a` ´evaluer le terme u30 . Un calcul eďŹ&#x20AC;ectu´e `a la pr´ecision 10â&#x2C6;&#x2019;9 sur un ordinateur nous a donn´e u30  0, 880833175. A la lumi`ere de lâ&#x20AC;&#x2122;exemple pr´ec´edent, il est n´eanmoins l´egitime de se demander si ce calcul est bien signiďŹ catif, compte tenu de la pr´esence des erreurs dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi. En partant de valeurs de u0 tr`es voisines de 2, on obtient en fait les r´esultats suivants


18

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

(arrondis a` 10â&#x2C6;&#x2019;9 pr`es, sur la mË&#x2020;eme impl´ementation de calcul que ci-dessus) : u0 u5 u10 u15

2,000000000 5,595485181 0,703934587 1,126698502

2,000000001 5,595484655 0,703934920 1,126689382

1,999999999 5,595485710 0,703934252 1,126707697

5 ¡ 10â&#x2C6;&#x2019;10 9 ¡ 10â&#x2C6;&#x2019;8 5 ¡ 10â&#x2C6;&#x2019;7 8 ¡ 10â&#x2C6;&#x2019;6

u20 u24 u25 u26 u30

1,266106839 1,000976376 0,000975900 6,932150628 0,880833175

1,266256924 1,001923276 0,001921429 6,254686211 0,691841353

1,265955552 1,000022532 0,000022532 10,700574400 1,915129896

10â&#x2C6;&#x2019;4 10â&#x2C6;&#x2019;3 100% 50% 100%

La derni`ere colonne donne lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de grandeur de lâ&#x20AC;&#x2122;´ecart relatif â&#x2C6;&#x2020;un /un observ´e entre la deuxi`eme ou troisi`eme colonne et la premi`ere colonne. On voit que cet ´ecart augmente constamment pour atteindre environ 10â&#x2C6;&#x2019;3 sur u24 . Pour le calcul de u25 , il se produit une v´eritable catastrophe num´erique : lâ&#x20AC;&#x2122;´ecart relatif devient voisin de 100% ! Il en r´esulte que toutes les valeurs calcul´ees `a partir de u25 sont certainement non signiďŹ catives pour une pr´ecision des calculs de 10â&#x2C6;&#x2019;9 . Pour comprendre ce ph´enom`ene, il suďŹ&#x192;t dâ&#x20AC;&#x2122;observer quâ&#x20AC;&#x2122;une erreur â&#x2C6;&#x2020;x sur la variable x entraË&#x2020;Äąne une erreur â&#x2C6;&#x2020;f (x) sur f (x), approximativement donn´ee par â&#x2C6;&#x2020;f (x) = |f  (x)| â&#x2C6;&#x2020;x. Ceci se voit bien sË&#x2020; ur en approximant f (x + â&#x2C6;&#x2020;x) â&#x2C6;&#x2019; f (x) par sa diďŹ&#x20AC;´erentielle f  (x)â&#x2C6;&#x2020;x, lorsque f est d´erivable au point x. Le coeďŹ&#x192;cient dâ&#x20AC;&#x2122;ampliďŹ cation de lâ&#x20AC;&#x2122;erreur absolue est donc donn´e par la valeur absolue de la d´eriv´ee |f  (x)| ; ce coeďŹ&#x192;cient peut Ë&#x2020;etre parfois assez grand. Souvent dans les calculs num´eriques (et ici en particulier), il est plus pertinent de consid´erer les erreurs relatives. La formule |f  (x)||x| â&#x2C6;&#x2020;x â&#x2C6;&#x2020;f (x) = |f (x)| |f (x)| |x| montre que le coeďŹ&#x192;cient dâ&#x20AC;&#x2122;ampliďŹ cation de lâ&#x20AC;&#x2122;erreur relative est |f  (x)||x|/|f (x)|. Dans le cas f (x) = ln (x) qui nous int´eresse, ce coeďŹ&#x192;cient vaut 1/| ln x| ; il devient tr`es grand lorsque x est proche de 1, comme câ&#x20AC;&#x2122;est le cas par exemple pour u24 .

   2 4.1. Soit x â&#x2030;Ľ 0 ; on note F (x) = â&#x2C6;&#x161; Ď&#x20AC;



x

2

eâ&#x2C6;&#x2019;t dt.

0

(a) Encadrer F (x) par deux entiers cons´ecutifs. 2

(b) En rempla¸cant eâ&#x2C6;&#x2019;t par un d´eveloppement en s´erie enti`ere de x, exprimer F (x) comme somme dâ&#x20AC;&#x2122;une s´erie. On choisit x = 3 ; calculer les 10 premiers termes


19

I â&#x20AC;&#x201C; Calculs num´ eriques approch´ es

de la s´erie. En d´eduire que pour x â&#x2030;Ľ 3 on a un ph´enom`ene de compensation dans le calcul de la somme des premiers termes de la s´erie. 2

(c) On d´eďŹ nit g(x) par F (x) = eâ&#x2C6;&#x2019;x g(x). Montrer que g est solution dâ&#x20AC;&#x2122;une ´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle. Exprimer g(x) comme somme dâ&#x20AC;&#x2122;une s´erie enti`ere en x. +â&#x2C6;&#x17E; u les an (x) sont tous positifs. (d) En d´eduire lâ&#x20AC;&#x2122;expression F (x) = n=0 an (x) o` D´eterminer a0 (x) et donner la solution de r´ecurrence entre an (x) et anâ&#x2C6;&#x2019;1 (x). Montrer lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e +â&#x2C6;&#x17E; 

an (x) â&#x2030;¤ aN

n=N +1

x2 N â&#x2C6;&#x2019; x2

(pour N > x2 )

(e) En utilisant les r´esultats pr´ec´edents, ´ecrire un programme en langage informatique qui, a` la lecture de x et dâ&#x20AC;&#x2122;un entier k â&#x2030;¤ 1 calcule une valeur approch´ee de F (x) a` 10â&#x2C6;&#x2019;k pr`es. 4.2. Soit (In )nâ&#x2C6;&#x2C6;N la suite des int´egrales  In =

0

1

xn dx. 6 + x â&#x2C6;&#x2019; x2

(a) Montrer que In v´eriďŹ e une relation de r´ecurrence de la forme In+1 = ÎąIn + βInâ&#x2C6;&#x2019;1 + cn

(â&#x2C6;&#x2014;)

o` u Îą, β sont des constantes et (cn ) une suite num´erique explicite. (b) On envisage le calcul r´ecurrent de In `a partir de I0 et I1 par la formule (â&#x2C6;&#x2014;). On suppose que les valeurs de I0 et I1 sont aďŹ&#x20AC;ect´ees dâ&#x20AC;&#x2122;erreurs dâ&#x20AC;&#x2122;arrondis Îľ0 et Îľ1 , et on note Îľn lâ&#x20AC;&#x2122;erreur qui en r´esulte sur In (on n´eglige ici lâ&#x20AC;&#x2122;erreur sur le calcul de cn et les erreurs dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi pouvant intervenir dans lâ&#x20AC;&#x2122;application de la formule (â&#x2C6;&#x2014;)). (Îą) D´eterminer Îľn en fonction de Îľ0 et Îľ1 . (β) Est-il possible de calculer I50 par ce proc´ed´e avec un ordinateur donnant une pr´ecision relative de 10â&#x2C6;&#x2019;10 ? 4.3. Etant donn´e une suite xk , k = 1, . . . , n de r´eels, on note Âľn =

n 2 la moyenne et Ď&#x192;n = Ď&#x192;n2 lâ&#x20AC;&#x2122;´ecart type avec Ď&#x192;n2 = n1 k=1 (xk â&#x2C6;&#x2019; Âľn ) . n (a) Soit qn = k=1 x2k . Exprimer Ď&#x192;n2 en fonction de qn et de Âľn .

1 n

n k=1

xk

(b) Ecrire un programme qui calcule les moyennes et lâ&#x20AC;&#x2122;´ecart type dâ&#x20AC;&#x2122;un nombre ind´etermin´e de r´eels. Les donn´ees r´eelles sont entr´ees au clavier ; apr`es chaque entr´ee on aďŹ&#x192;chera la moyenne et lâ&#x20AC;&#x2122;´ecart type de la suite des nombres d´ej`a entr´es.


20

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

(c) On suppose que pour k = 1, . . . , n on a xk = µ +εk avec |εk | < ε o` u ε est petit devant µ. Montrer que l’on a l’in´egalit´e  qnn − µ2  ≤ 3µε. En d´eduire que la m´ethode de calcul de σn utilisant la formule du (a) est inadapt´ee pour une telle suite. (d) On veut obtenir un algorithme de calcul de σn plus stable. Etablir les ´egalit´es : 2 (n + 1)σn+1 = nσn2 + n(µn+1 − µn )2 + (xn+1 − µn+1 )2 , (n + 1)µn+1 = nµn + xn+1 . 2 = En d´eduire σn+1

n n+1

σn2 +

1 n

(xn+1 − µn+1 )2 .

(e) Reprendre la question (b) avec le nouvel algorithme. (f) On consid`ere une suite de r´eels xk = 1 + ε moyenne et son ´ecart type.

2k−n−1 n−1 ,

k = 1, . . . , n. D´eterminer sa

(g) Mˆeme question pour la suite des 2n r´eels xk , k = 1, . . . , 2n telle que pour √ (On pourra remarquer que p = 0, . . . , n on ait Cpn termes ´egaux a` µ + 2p−n n p2 Cpn = pnCp−1 n−1 ).




             Les fonctions les plus faciles `a ´evaluer num´eriquement sont les fonctions polynË&#x2020; omes. Il est donc important de savoir approximer une fonction arbitraire par des polynË&#x2020; omes. Dans ce cadre, lâ&#x20AC;&#x2122;un des outils de base est la m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation de Lagrange.

Notations â&#x20AC;&#x201C; Dans toute la suite, on d´esignera par Pn lâ&#x20AC;&#x2122;espace vectoriel des

fonctions polynË&#x2020; omes sur R ` a coeďŹ&#x192;cients r´eels, de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n. On a donc dim Pn = n + 1. Par ailleurs, si f est une fonction d´eďŹ nie sur un intervalle [a, b] â&#x160;&#x201A; R `a valeurs dans R ou C, la norme uniforme de f sur [a, b] sera not´ee f [a,b] = sup |f (x)| xâ&#x2C6;&#x2C6;[a,b]

o` u mË&#x2020;eme simplement f sâ&#x20AC;&#x2122;il nâ&#x20AC;&#x2122;y a pas dâ&#x20AC;&#x2122;ambigu¨Ĺt´e. EnďŹ n C([a, b]) d´esignera lâ&#x20AC;&#x2122;espace des fonctions continues sur [a, b] a` valeurs dans R.

          

            Soit f : [a, b] â&#x2020;&#x2019; R une fonction continue. On se donne n + 1 points x0 , x1 , . . . , xn dans [a, b], deux a` deux distincts, non n´ecessairement rang´es par ordre croissant.

Probl` eme â&#x20AC;&#x201C; Existe-t-il un polynË&#x2020;ome pn â&#x2C6;&#x2C6; Pn tel que pn (xi ) = f (xi ), â&#x2C6;&#x20AC;i = 0, 1, . . . , n ?

Un tel polynË&#x2020; ome sera appel´e polynË&#x2020; ome dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation (de Lagrange) de f aux points x0 , x1 , . . . , xn . Posons  (x â&#x2C6;&#x2019; xj ) , 0 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n, li (x) = (xi â&#x2C6;&#x2019; xj ) j=i


22

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

o` u le produit est effectu´e sur les indices j tels que 0 ≤ j ≤ n, j = i. Il est clair que li ∈ Pn et que li (xj ) = 0 si j = i, li (xi ) = 1. Le probl`eme ci-dessus admet donc au moins une solution pn (x) =

n 

pn ∈ Pn .

f (xi )li (x),

(∗)

i=0

Th´ eor` eme – Le probl`eme d’interpolation pn (xi ) = f (xi ), 0 ≤ i ≤ n, admet une solution et une seule, donn´ee par la formule (∗). Il reste `a prouver l’unicit´e. Supposons que qn ∈ Pn soit une autre solution du probl`eme. Alors pn (xi ) = qn (xi ) = f (xi ), donc xi est racine de qn − pn . Par suite le polynˆ ome n  πn+1 (x) = (x − xj ) j=0

divise qn − pn . Comme deg πn = n + 1 et qn − pn ∈ Pn , la seule possibilit´e est que qn − pn = 0.

Remarque 1 – On a πn+1 (x) = (x − xi ) ·  πn+1 (xi ) =





j=i (x

− xj ), d’o` u

(xi − xj ).

j=i

Ceci donne la formule li (x) =

πn+1 (x) .  (x − xi )πn+1 (xi )

Remarque 2 – Pour d´emontrer le th´eor`eme, on peut ´egalement poser pn (x) = n j=0

aj xj et r´esoudre un syst`eme lin´eaire de n + 1 ´equations  n  

aj xji = f (xi ),

0 ≤ i ≤ n,

j=0

en les n+1 inconnues a0 , a1 , . . . , an . Le d´eterminant du syst`eme est un d´eterminant dit de Van der Monde :   1 x0   1 x1 ∆ =  . .. .  ..  1 xn

x20 x21

... ...

x2n

...

 xn0   xn1  .   n xn


II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques

23

ome de Il s’agit de montrer que ∆ = 0 si les xi sont distincts. Or ∆ est un polynˆ en les variables x , x , . . . , x . Il est clair que degr´e total 1 + 2 + . . . + n = n(n+1) 0 1 n 2 couple (i, j) tel que 0 ≤ j < i ≤ n. ∆ = 0 chaque fois que xi = xj pour un  ∆ est donc divisible par le polynˆ ome 0≤j<i≤n (xi − xj ), qui est lui aussi de . Le quotient est donc une constante, donn´ee par exemple par le degr´e total n(n+1) 2 coefficient de x1 x22 . . . xnn dans ∆, qui vaut 1. Par suite ∆=



(xi − xj ).

0≤j<i≤n

Il n’est pas recommand´e de r´esoudre num´eriquement le syst`eme pr´ec´edent pour obtenir pn . Nous verrons plus loin une m´ethode beaucoup plus efficace (cf. § 1.3).

Exercice – On se propose de donner deux autres d´emonstrations des r´esultats ci-dessus, grˆ ace ` a des arguments d’alg`ebre lin´eaire. (a) Montrer que l’application φn : Pn → Rn+1 , p → (p(xi ))0≤i≤n est lin´eaire. En d´eduire que φn est injective si et seulement si elle est surjective. Traduire ces r´esultats en terme d’existence et d’unicit´e du polynˆ ome d’interpolation. (b) Montrer par r´ecurrence sur n que φn est surjective [Indication : si le r´esultat a l’aide du polynˆ ome de degr´e n est vrai pour n − 1, ajuster la valeur p(xn ) ` (x − x0 ) . . . (x − xn−1 )]. Conclure. (c) Montrer directement que les polynˆ omes (li )0≤i≤n forment une famille libre. En d´eduire que c’est une base de Pn et que φn est un isomorphisme.

 

  L’erreur d’interpolation est donn´ee par la formule th´eorique suivante.

Th´ eor` eme – On suppose que f est n + 1 fois d´erivable sur [a, b]. Alors pour tout x ∈ [a, b], il existe un point ξx ∈ ] min (x, xi ), max (x, xi )[ tel que f (x) − pn (x) =

1 πn+1 (x)f (n+1) (ξx ). (n + 1)!

On a besoin du lemme suivant, qui d´ecoule du th´eor`eme de Rolle.

Lemme – Soit g une fonction p fois d´erivable sur [a, b]. On suppose qu’il existe p + 1 points c0 < c1 < . . . < cp de [a, b] tels que g(ci ) = 0. Alors il existe ξ ∈ ]c0 , cp [ tel que g (p) (ξ) = 0. Le lemme se d´emontre par r´ecurrence sur p. Pour p = 1, c’est le th´eor`eme de Rolle. Supposons le lemme d´emontr´e pour p − 1. Le th´eor`eme de Rolle donne des points γ0 ∈ ]c0 , c1 [, . . . , γp−1 ∈ ]cp−1 , cp [ tels que g  (γi ) = 0. Par hypoth`ese de r´ecurrence, il existe donc ξ ∈ ]γ0 , γp−1 [ ⊂ ]c0 , cp [ tel que (g  )(p−1) (ξ) = g (p) (ξ) = 0.


24

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

D´ emonstration du th´ eor` eme â&#x20AC;˘ Si x = xi , on a Ď&#x20AC;n+1 (xi ) = 0, tout point Ξx convient. â&#x20AC;˘ Supposons maintenant x distinct des points xi . Soit pn+1 (t) le polynË&#x2020; ome dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation de f (t) aux points x, x0 , . . . , xn+1 , de sorte ome que pn+1 â&#x2C6;&#x2C6; Pn+1 . Par construction f (x)â&#x2C6;&#x2019;pn (x) = pn+1 (x)â&#x2C6;&#x2019;pn (x). Or le polynË&#x2020; pn+1 â&#x2C6;&#x2019; pn est de degr´e â&#x2030;¤ n + 1 et sâ&#x20AC;&#x2122;annule aux n + 1 points x0 , x1 , . . . , xn . On a donc pn+1 (t) â&#x2C6;&#x2019; pn (t) = c ¡ Ď&#x20AC;n+1 (t), c â&#x2C6;&#x2C6; R. Consid´erons la fonction g(t) = f (t) â&#x2C6;&#x2019; pn+1 (t) = f (t) â&#x2C6;&#x2019; pn (t) â&#x2C6;&#x2019; cĎ&#x20AC;n+1 (t). Cette fonction sâ&#x20AC;&#x2122;annule en les n + 2 points x, x0 , x1 , . . . , xn donc dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es le lemme il existe Ξx â&#x2C6;&#x2C6; ] min (x, xi ), max (x, xi )[ tel que g (n+1) (Ξx ) = 0. Or p(n+1) = 0, n

(n+1)

Ď&#x20AC;n+1 = (n + 1)!

On a par cons´equent g (n+1) (Ξx ) = f (n+1) (Ξx ) â&#x2C6;&#x2019; c ¡ (n + 1)! = 0, dâ&#x20AC;&#x2122;o` u f (x) â&#x2C6;&#x2019; pn (x) = pn+1 (x) â&#x2C6;&#x2019; pn (x) = cĎ&#x20AC;n+1 (x) =

f (n+1) (Ξx ) Ď&#x20AC;n+1 (x). (n + 1)!

En prenant la borne sup´erieure de la valeur absolue des deux membres dans la formule dâ&#x20AC;&#x2122;erreur, on obtient en particulier :

Corollaire â&#x20AC;&#x201C; f â&#x2C6;&#x2019; pn â&#x2030;¤

1 Ď&#x20AC;n+1 f (n+1) . (n + 1)!

Ces formules montrent que la taille de lâ&#x20AC;&#x2122;erreur dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation f (x) â&#x2C6;&#x2019; pn (x) d´epend ` la fois de la quantit´e f (n+1) , qui peut Ë&#x2020;etre grande si f oscille trop vite, et de la a quantit´e Ď&#x20AC;n+1 , qui est li´ee `a la r´epartition des points xi dans lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [a, b].

  

 

     On va d´ecrire ici une m´ethode simple et eďŹ&#x192;cace permettant de calculer les ome dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation de f aux polynË&#x2020; omes dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation de f . Soit pk le polynË&#x2020; points x0 , x1 , . . . , xk .

Notation â&#x20AC;&#x201C; On d´esigne par f [x0 , x1 , . . . , xk ] le coeďŹ&#x192;cient directeur du polynË&#x2020;ome pk ( = coeďŹ&#x192;cient de tk dans pk (t)).

Alors pk â&#x2C6;&#x2019; pkâ&#x2C6;&#x2019;1 est un polynË&#x2020; ome de degr´e â&#x2030;¤ k, sâ&#x20AC;&#x2122;annulant aux points x0 , x1 , . . . , xkâ&#x2C6;&#x2019;1 , et admettant f [x0 , x1 , . . . , xk ] pour coeďŹ&#x192;cient directeur. Par suite : pk (x) â&#x2C6;&#x2019; pkâ&#x2C6;&#x2019;1 (x) = f [x0 , x1 , . . . , xk ](x â&#x2C6;&#x2019; x0 ) . . . (x â&#x2C6;&#x2019; xkâ&#x2C6;&#x2019;1 ). Comme p0 (x) = f (x0 ), on en d´eduit la formule fondamentale


25

II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques

pn (x) = f (x0 ) +

n 

f [x0 , x1 , . . . , xk ](x − x0 ) . . . (x − xk−1 ).

(∗∗)

k=1

Pour pouvoir exploiter cette formule, il reste bien entendu a` ´evaluer les coefficients f [x0 , x1 , . . . , xk ]. On utilise a` cette fin une r´ecurrence sur le nombre k de points xi , en observant que f [x0 ] = f (x0 ).

Formule de r´ ecurrence – Pour k ≥ 1, on a f [x0 , x1 , . . . , xk ] =

f [x1 , . . . , xk ] − f [x0 , . . . , xk−1 ] . xk − x0

(∗∗∗)

A cause de cette formule, la quantit´e f [x0 , x1 , . . . , xk ] est appel´ee diff´erence divis´ee d’ordre k de f aux points x0 , . . . , xk . V´ erification de (∗∗∗). D´esignons par qk−1 ∈ Pk−1 le polynˆ ome de f aux points x1 , x2 , . . . , xk . Posons pk (x) =

(x − x0 )qk−1 (x) − (x − xk )pk−1 (x) . xk − x0

Alors pk ∈ Pk , pk (x0 ) = pk−1 (x0 ) = f (x0 ), pk (xk ) = qk−1 (xk ) = f (xk ) et pour 0 < i < k on a pk (xi ) =

(xi − x0 )f (xi ) − (xi − xk )f (xi ) = f (xi ). xk − x0

Par cons´equent pk = pk . Comme le coefficient directeur de qk−1 est f [x1 , . . . , xk ], on obtient la formule (∗∗∗) cherch´ee en ´egalant les coefficients de xk dans l’identit´e pk (x) =

(x − x0 )qk−1 (x) − (x − xk )pk−1 (x) . xk − x0

Algorithme pratique – On range les valeurs f (xi ) dans un tableau TAB, puis on modifie ce tableau en n ´etapes successives, en proc´edant par indices d´ecroissants : Tableau

Etape 0

TAB [n]

f (xn )

Etape 1 f [xn−1 , xn ]

TAB [n − 1]

f (xn−1 )

f [xn−2 , xn−1 ]

TAB [n − 2] .. . TAB [2]

f (xn−2 ) .. . f (x2 )

.. . f [x1 , x2 ]

TAB [1]

f (x1 )

f [x0 , x1 ]

TAB [0]

f (x0 )

Etape 2

...

f [xn−2 , xn−1 , xn ] . . .

.. . f [x0 , x1 , x2 ]

Etape n f [x0 , . . . , xn ]


26

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

A lâ&#x20AC;&#x2122;issue de la n-i`eme ´etape, la case m´emoire TAB[k] contient le coeďŹ&#x192;cient f [x0 , . . . , xk ] cherch´e, et on peut alors utiliser la formule (â&#x2C6;&#x2014;â&#x2C6;&#x2014;). Il est commode dâ&#x20AC;&#x2122;appliquer ici la r`egle de H¨orner : pn (x) = TAB [0] + (x â&#x2C6;&#x2019; x0 )(TAB [1] + (x â&#x2C6;&#x2019; x1 )(TAB [2] + . . . + (x â&#x2C6;&#x2019; xnâ&#x2C6;&#x2019;1 )TAB [n]))) On eďŹ&#x20AC;ectue donc une r´ecurrence descendante  un = TAB [n] uk = TAB [k] + (x â&#x2C6;&#x2019; xk )uk+1 ,

0 â&#x2030;¤ k < n,

qui aboutit a` u0 = pn (x).

Remarque â&#x20AC;&#x201C; Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es lâ&#x20AC;&#x2122;´egalit´e pr´ec´edant (â&#x2C6;&#x2014;â&#x2C6;&#x2014;) on a pk (xk ) â&#x2C6;&#x2019; pkâ&#x2C6;&#x2019;1 (xk ) = f [x0 , x1 , . . . , xk ](xk â&#x2C6;&#x2019; x0 ) . . . (xk â&#x2C6;&#x2019; xkâ&#x2C6;&#x2019;1 ). Or la formule dâ&#x20AC;&#x2122;erreur 1.2 donne pk (xk ) â&#x2C6;&#x2019; pkâ&#x2C6;&#x2019;1 (xk ) = f (xk ) â&#x2C6;&#x2019; pkâ&#x2C6;&#x2019;1 (xk ) =

1 Ď&#x20AC;k (xk )f (k) (Ξ) k!

avec Ď&#x20AC;k (x) = (x â&#x2C6;&#x2019; x0 ) . . . (x â&#x2C6;&#x2019; xkâ&#x2C6;&#x2019;1 ) et Ξ â&#x2C6;&#x2C6; ] min(x0 , . . . , xk ), max (x0 , . . . , xk )[. En comparant les deux ´egalit´es il vient f [x0 , x1 , . . . , xk ] =

1 (k) f (Ξ), k!

Ξ â&#x2C6;&#x2C6; ] min(xi ), max(xi )[.

Si lâ&#x20AC;&#x2122;on suppose que f, f  , . . . , f (n) existent et sont continues, on voit que les diďŹ&#x20AC;´erences divis´ees f [x0 , . . . , xk ] sont born´ees ind´ependamment du choix des xi , mË&#x2020;eme si certains de ces points sont tr`es voisins.

                 On consid`ere la subdivision de lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [a, b] de pas constant h = dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation sont donc xi = a + ih = a + i

bâ&#x2C6;&#x2019;a , n

bâ&#x2C6;&#x2019;a n .

Les points

0 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n.

On note fi = f (xi ) les valeurs de f correspondantes, et on introduit un op´erateur not´e â&#x2C6;&#x2020;, appel´ee op´erateur aux diďŹ&#x20AC;´erences ďŹ nies, d´eďŹ ni par â&#x2C6;&#x2020; : (f0 , f1 , . . . , fn ) â&#x2020;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2020;f0 , â&#x2C6;&#x2020;f1 , . . . , â&#x2C6;&#x2020;fnâ&#x2C6;&#x2019;1 ) avec â&#x2C6;&#x2020;fi = fi+1 â&#x2C6;&#x2019; fi ,

0 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n â&#x2C6;&#x2019; 1.

Lorsquâ&#x20AC;&#x2122;on it`ere lâ&#x20AC;&#x2122;op´eration â&#x2C6;&#x2020;, on obtient des r´eels â&#x2C6;&#x2020;k fi , 0 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n â&#x2C6;&#x2019; k, d´eďŹ nis par la formule de r´ecurrence â&#x2C6;&#x2020;k fi = â&#x2C6;&#x2020;kâ&#x2C6;&#x2019;1 fi+1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2020;kâ&#x2C6;&#x2019;1 fi ,

k â&#x2030;Ľ 1,

0 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n â&#x2C6;&#x2019; k,


27

II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques

o` u l’on convient que ∆0 fi = fi , 0 ≤ i ≤ n.

Exercice – V´erifier que ∆k fi =

k

j j j=0 (−1) Ck fi+j ,

Il est alors facile de montrer par r´ecurrence que les diff´erences divis´ees sont donn´ees par ∆ k fi . f [xi , xi+1 , . . . , xi+k ] = k!hk R´ecrivons avec ces notations la formule fondamentale (∗∗). effectuons le changement de variable x = a + sh,

Pour x ∈ [a, b],

s ∈ [0, n].

On a alors (x − x0 ) . . . (x − xk−1 ) = sh(sh − h) . . . (sh − (k − 1)h) = hk s(s − 1) . . . (s − k + 1). On obtient la formule de Newton suivante, dans laquelle s = (x − a)/h : n 

s(s − 1) . . . (s − k + 1) k! k=0     s s−1 s−n+1 n ∆ f0 . . . . = f0 + ∆ 1 f0 + ∆2 f0 + . . . + 1 2 n

pn (x) =

∆ k f0 ·

Les coefficients ∆k f0 se calculent suivant le sch´ema d´ecrit au § 1.3 : fn fn−1 fn−2 f2 f1 f0

∆fn−1 ∆fn−2

∆f1 ∆f0

∆2 fn−2 . . . ∆n−1 f1 ∆n−1 f0 2

∆ f0

∆ n f0

.. .

A l’issue de la n-i`eme ´etape, le tableau contient les coefficients ∆k f0 cherch´es.

Estimation de l’erreur d’interpolation – On a πn+1 (x) = (x − x0 ) . . . (x − xn ) = hn+1 s(s − 1) . . . (s − n), d’o` u f (x) − pn (x) =

s(s − 1) . . . (s − n) n+1 (n+1) h f (ξx ). (n + 1)!


28

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

La fonction Ď&#x2022;(s) = |s(s â&#x2C6;&#x2019; 1). . . (s â&#x2C6;&#x2019; n)|, s â&#x2C6;&#x2C6; [0, n], v´eriďŹ e Ď&#x2022;(n â&#x2C6;&#x2019; s) = Ď&#x2022;(s), donc elle atteint son maximum dans 0, n2 . Comme Ď&#x2022;(s â&#x2C6;&#x2019; 1)/Ď&#x2022;(s) = (n + 1 â&#x2C6;&#x2019; s)/s > 1 pour 1 â&#x2030;¤ s â&#x2030;¤ n2 , on voit que Ď&#x2022; atteint en fait son maximum dans [0, 1], dâ&#x20AC;&#x2122;o` u max Ď&#x2022; = max Ď&#x2022;(s) â&#x2030;¤ n! [0,n]

sâ&#x2C6;&#x2C6;[0,1]

Il en r´esulte

1 max |f (n+1) |. n + 1 [x0 ,...,xn ] Une application typique de ces formules est le calcul dâ&#x20AC;&#x2122;une valeur approch´ee de lâ&#x20AC;&#x2122;image f (x) au moyen dâ&#x20AC;&#x2122;une table num´erique donnant les valeurs successives f (xi ) avec un pas constant h. Supposons par exemple que h = 10â&#x2C6;&#x2019;2 et que lâ&#x20AC;&#x2122;on cherche a ´evaluer f (x) a` 10â&#x2C6;&#x2019;8 pr`es. Une interpolation lin´eaire (cas n = 1) donnerait une ` erreur en h2 = 10â&#x2C6;&#x2019;4 beaucoup trop grande. On doit ici aller jusquâ&#x20AC;&#x2122;au degr´e n = 3, ce qui permet dâ&#x20AC;&#x2122;obtenir un erreur â&#x2030;¤ h4 = 10â&#x2C6;&#x2019;8 pourvu que max |f (4) | â&#x2030;¤ 4. |f (x) â&#x2C6;&#x2019; pn (x)| â&#x2030;¤ hn+1 ¡

Remarque â&#x20AC;&#x201C; Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es lâ&#x20AC;&#x2122;expression de Ď&#x20AC;n+1 donn´ee plus haut, on voit que Ď&#x20AC;n+1 [a,b] = hn+1 max Ď&#x2022;(s) â&#x2030;¤ hn+1 n! = sâ&#x2C6;&#x2C6;[0,n]

et la formule de Stirling n! â&#x2C6;ź est

n! (b â&#x2C6;&#x2019; a)n+1 nn+1

â&#x2C6;&#x161;  n 2Ď&#x20AC;n ne montre que lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de grandeur de Ď&#x20AC;n+1 

Ď&#x20AC;n+1 = O

bâ&#x2C6;&#x2019;a e

n+1 quand

Comme

 1 1 1 3 1 Ď&#x2022; = ¡ ¡ ... n â&#x2C6;&#x2019; â&#x2030;Ľ 2 2 2 2 2 1 1 â&#x2C6;&#x161; nn â&#x2030;Ľ n! â&#x2030;Ľ 6n n â&#x2030;Ľ 4n 4n e pour n grand, on voit en fait que Ď&#x20AC;n+1 â&#x2030;Ľ

1 nnâ&#x2C6;&#x2019; 2 hn+1 n+1 e

=

1

n â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;.

1 1 ¡ 2 . . . (n â&#x2C6;&#x2019; 1) 4 1 nnâ&#x2C6;&#x2019; 2 en+1 

bâ&#x2C6;&#x2019;a e

n+1

. n3/2 Nous obtiendrons au § 2.2 des estimations beaucoup plus pr´ecises. Lâ&#x20AC;&#x2122;exercice suivant montre lâ&#x20AC;&#x2122;int´erË&#x2020;et de la formule de Newton en arithm´etique.

Exercice (a) Montrer que les polynË&#x2020; omes de Newton Nk (s) =

s(s â&#x2C6;&#x2019; 1) . . . (s â&#x2C6;&#x2019; k + 1) , k!

0â&#x2030;¤kâ&#x2030;¤n

forment une base de Pn et que pour tout s â&#x2C6;&#x2C6; Z on a Nk (s) â&#x2C6;&#x2C6; Z ` partir de la relation [Indication : utiliser les Cnk ou une r´ecurrence a Nk (s) â&#x2C6;&#x2019; Nk (s â&#x2C6;&#x2019; 1) = Nkâ&#x2C6;&#x2019;1 (s)]. (b) Montrer quâ&#x20AC;&#x2122;un polynË&#x2020; ome p â&#x2C6;&#x2C6; Pn est tel que p(s) â&#x2C6;&#x2C6; Z pour tout s â&#x2C6;&#x2C6; Z si et seulement si p est combinaison lin´eaire a ` coeďŹ&#x192;cients dans Z de N0 , . . . , Nn .


29

II â&#x20AC;&#x201C; Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques

        On d´eďŹ nit les polynË&#x2020; omes de Tchebychev par x â&#x2C6;&#x2C6; [â&#x2C6;&#x2019;1, 1]

tn (x) = cos(n Arccos x),

Il nâ&#x20AC;&#x2122;est pas ´evident a priori que tn est un polynË&#x2020; ome ! Pour le voir, on proc`ede comme suit. Posons θ = Arc cos x, câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire x = cos θ avec θ â&#x2C6;&#x2C6; [0, Ď&#x20AC;]. Il vient alors tn (x) = cos nθ, tn+1 (x) + tnâ&#x2C6;&#x2019;1 (x) = cos ((n + 1)θ) + cos ((n â&#x2C6;&#x2019; 1)θ) = 2 cos nθ cos θ = 2xtn (x). La fonction tn se calcule donc par les formules de r´ecurrence  t0 (x) = 1, t1 (x) = x tn+1 (x) = 2x tn (x) â&#x2C6;&#x2019; tnâ&#x2C6;&#x2019;1 (x). Il en r´esulte que tn est un polynË&#x2020; ome de degr´e n, dont le coeďŹ&#x192;cient directeur est 2nâ&#x2C6;&#x2019;1 si n â&#x2030;Ľ 1. D´eterminons les racines de tn . Si x = cos θ â&#x2C6;&#x2C6; [â&#x2C6;&#x2019;1, 1] avec θ â&#x2C6;&#x2C6; [0, Ď&#x20AC;], on a tn (x) = cos nθ = 0 si et seulement si nθ = Ď&#x20AC;2 + iĎ&#x20AC;, soit θ = 2i+1 2n Ď&#x20AC; avec 0 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n â&#x2C6;&#x2019; 1. Le polynË&#x2020; ome tn admet donc exactement n racines distinctes : cos

2i + 1 Ď&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; ] â&#x2C6;&#x2019; 1, 1[, 2n

0 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n â&#x2C6;&#x2019; 1.

Comme tn est de degr´e n, il ne peut avoir dâ&#x20AC;&#x2122;autres racines.

D´ eďŹ nition â&#x20AC;&#x201C; Les points dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation de Tchebychev dâ&#x20AC;&#x2122;ordre n sont les points xi = cos

2i+1 2n+2

Ď&#x20AC;, 0 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n, racines du polynË&#x2020; ome tn+1 .

Les points xi sont r´epartis sym´etriquement autour de 0 (avec xnâ&#x2C6;&#x2019;i = â&#x2C6;&#x2019;xi ), de fa¸con plus dense au voisinage de 1 et â&#x2C6;&#x2019;1 : x11 x9 â&#x2C6;&#x2019;1

x10

0

x7 x8

x6

x4 x5

x2 x0 x3

x1

n = 11 1

Puisque le coeďŹ&#x192;cient directeur de tn+1 est 2n , il vient tn+1 (x) = 2n

n 

(x â&#x2C6;&#x2019; xi ) = 2n Ď&#x20AC;n+1 (x).

i=0

Pour se ramener `a un intervalle [a, b] quelconque au lieu de [â&#x2C6;&#x2019;1, 1], on utilisera la bijection lin´eaire [â&#x2C6;&#x2019;1, 1] â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; [a, b] a+b bâ&#x2C6;&#x2019;a + u u â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; x = 2 2


30

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

qui envoie â&#x2C6;&#x2019;1 sur a et 1 sur b. Les images des points dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation de Tchebychev ui â&#x2C6;&#x2C6; ] â&#x2C6;&#x2019; 1, 1[ sont donn´es par xi =

2i + 1 a+b bâ&#x2C6;&#x2019;a + cos Ď&#x20AC;, 2 2 2n + 2

0 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n.

Ces points sont encore appel´es points dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation de Tchebychev dâ&#x20AC;&#x2122;ordre n de lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [a, b]. Dans ce cas, on a x â&#x2C6;&#x2019; xi = bâ&#x2C6;&#x2019;a ome Ď&#x20AC;n+1 2 (u â&#x2C6;&#x2019; ui ), donc le polynË&#x2020; est donn´e par  n+1  n n  bâ&#x2C6;&#x2019;a (x â&#x2C6;&#x2019; xi ) = (u â&#x2C6;&#x2019; ui ) Ď&#x20AC;n+1 (x) = 2 i=0 i=0 n ome Ď&#x20AC;n+1 (u) correspondant a` [â&#x2C6;&#x2019;1, 1]. On o` u i=0 (u â&#x2C6;&#x2019; ui ) = 21n tn+1 (u) est le polynË&#x2020; obtient donc    2 (b â&#x2C6;&#x2019; a)n+1 (b â&#x2C6;&#x2019; a)n+1 a+b Ď&#x20AC;n+1 (x) = t (u) = t x â&#x2C6;&#x2019; . n+1 n+1 22n+1 22n+1 bâ&#x2C6;&#x2019;a 2 Par d´eďŹ nition des polynË&#x2020; omes de Tchebychev on a tn+1 = 1, donc  n+1 bâ&#x2C6;&#x2019;a Ď&#x20AC;n+1 = 2 . 4 Cette valeur est beaucoup plus petite que lâ&#x20AC;&#x2122;estimation (b â&#x2C6;&#x2019; a/e)n+1 obtenue pour Ď&#x20AC;n+1 avec des points xi ´equidistants, surtout lorsque n est assez grand : pour n = 30 par exemple, on a (e/4)n+1 < 7 ¡ 10â&#x2C6;&#x2019;6 . Il en r´esulte que lâ&#x20AC;&#x2122;interpolation aux points de Tchebychev est en g´en´eral consid´erablement plus pr´ecise que lâ&#x20AC;&#x2122;interpolation en des points ´equidistants, dâ&#x20AC;&#x2122;o` u son int´erË&#x2020;et pratique. Nous reviendrons sur ces questions au § 3.

    pn        n   +â&#x2C6;&#x17E; Soit f : [a, b] â&#x2020;&#x2019; R une fonction continue. Pour chaque entier n â&#x2C6;&#x2C6; N, on se donne une suite de n + 1 points xi,n â&#x2C6;&#x2C6; [a, b], 0 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n, deux a` deux distincts et on consid`ere le polynË&#x2020; ome dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation pn de f aux points x0,n , x1,n , . . . , xn,n .

Probl` eme â&#x20AC;&#x201C; A quelle(s) condition(s) (portant sur la nature de la fonction f ur que pn converge uniform´ement et/ou le choix des points xi,n ) pourra-t-on Ë&#x2020;etre sË&#x2020; vers f quand n â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; ? Si lâ&#x20AC;&#x2122;on ne dispose dâ&#x20AC;&#x2122;aucune information sur la r´epartition des points xi,n , la meilleure majoration de Ď&#x20AC;n+1 (x) dont on dispose a priori est |Ď&#x20AC;n+1 (x)| =

n  i=0

|x â&#x2C6;&#x2019; xi,n | â&#x2030;¤ (b â&#x2C6;&#x2019; a)n+1 ,

â&#x2C6;&#x20AC;x â&#x2C6;&#x2C6; [a, b],


II â&#x20AC;&#x201C; Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques

31

u les points xi sont ´equidistants ou en majorant |x â&#x2C6;&#x2019; xi,n | par b â&#x2C6;&#x2019; a. Dans le cas o` sont les points de Tchebychev, on a bien entendu une meilleure estimation Ď&#x20AC;n+1 â&#x2030;¤

 b â&#x2C6;&#x2019; a n+1 e

,

 b â&#x2C6;&#x2019; a n+1 resp. Ď&#x20AC;n+1 â&#x2030;¤ 2 . 4

Comme lâ&#x20AC;&#x2122;erreur dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation d´epend par ailleurs de f (n+1) dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es le § 1.2, on est amen´e `a chercher une majoration des d´eriv´ees successives de f .

      Une fonction analytique est par d´eďŹ nition une fonction qui est somme dâ&#x20AC;&#x2122;une s´erie enti`ere au voisinage de tout point o` u elle est d´eďŹ nie. +â&#x2C6;&#x17E; u la s´erie a un rayon de convergence R > 0. La Supposons f (x) = k=0 ak xk , o` fonction f est donc d´eďŹ nie sur ] â&#x2C6;&#x2019; R, R[ au moins. Pour tout r < R, la s´erie ak r k k est convergente, donc la suite ak r est born´ee (et tend vers 0), câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire quâ&#x20AC;&#x2122;il existe une constante C(r) â&#x2030;Ľ 0 telle que |ak | â&#x2030;¤

C(r) , rk

â&#x2C6;&#x20AC;k â&#x2C6;&#x2C6; N.

On peut alors d´eriver terme `a terme f (x) sur ] â&#x2C6;&#x2019; r, r[ â&#x160;&#x201A; ] â&#x2C6;&#x2019; R, R[, ce qui donne f (n) (x) =

+â&#x2C6;&#x17E; 

ak

k=0

dn (xk ), dxn

+â&#x2C6;&#x17E;  1 dn (xk ) si x â&#x2030;Ľ 0 rk dxn k=0 +â&#x2C6;&#x17E;  dn   x k = C(r) n dx r k=0   1 dn dn  r  = C(r) n = C(r) n x dx 1â&#x2C6;&#x2019; r dx r â&#x2C6;&#x2019; x n!rC(r) = . (r â&#x2C6;&#x2019; x)n+1

|f (n) (x)| â&#x2030;¤ C(r)

Sur tout intervalle [â&#x2C6;&#x2019;Îą, Îą] avec Îą < r < R, on a donc 1 rC(r) f (n) [â&#x2C6;&#x2019;Îą,Îą] â&#x2030;¤ . n! (r â&#x2C6;&#x2019; Îą)n+1 Supposons maintenant que f : [a, b] â&#x2020;&#x2019; R soit somme dâ&#x20AC;&#x2122;une s´erie enti`ere de centre bâ&#x2C6;&#x2019;a bâ&#x2C6;&#x2019;a c = a+b 2 et de rayon R > Îą = 2 . Pour tout r tel que 2 < r < R et tout n â&#x2C6;&#x2C6; N on a alors dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es ce qui pr´ec`ede rC(r) 1 f (n) [a,b] â&#x2030;¤  n+1 . n! r â&#x2C6;&#x2019; bâ&#x2C6;&#x2019;a 2


32

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Lâ&#x20AC;&#x2122;erreur dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation admet donc la majoration  b â&#x2C6;&#x2019; a n+1 rC(r) 1 Ď&#x20AC;n+1 f (n+1) â&#x2030;¤ 2 f â&#x2C6;&#x2019; pn â&#x2030;¤  n+2 (n + 1)! Îť r â&#x2C6;&#x2019; bâ&#x2C6;&#x2019;a 2  n+1 bâ&#x2C6;&#x2019;a 2rC(r) Îť â&#x2030;¤ bâ&#x2C6;&#x2019;a r â&#x2C6;&#x2019; bâ&#x2C6;&#x2019;a r â&#x2C6;&#x2019; 2 2 avec respectivement Îť = 1 si les points xi,n sont quelconques, Îť = e sâ&#x20AC;&#x2122;ils sont ´equidistants, Îť = 4 si ce sont les points de Tchebychev. Lâ&#x20AC;&#x2122;erreur vers   va converger 0 si lâ&#x20AC;&#x2122;on peut choisir r tel que (b â&#x2C6;&#x2019; a)/Îť < r â&#x2C6;&#x2019; (b â&#x2C6;&#x2019; a)/2, soit r > Îť1 + 12 (b â&#x2C6;&#x2019; a). Ceci est possible d`es que le rayon de convergence R v´eriďŹ e lui-mË&#x2020;eme cette minoration. On peut donc ´enoncer :

Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; Soit f : [a, b] â&#x2020;&#x2019; R une fonction analytique donn´ee par une s´erie enti`ere de rayon de convergence R centr´ee au point c = a+b 2 . Alors pour des points dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation xi,n quelconques et Îť = 1 (respectivement, ´equidistants et Îť = e, de Tchebychev et Îť = 4), les polynË&#x2020; omes dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation pn aux points xi,n convergent   uniform´ement vers f pourvu que R > Îť1 + 12 (b â&#x2C6;&#x2019; a). Exercice â&#x20AC;&#x201C; c=

a+b 2 ,

Si les points xi,n sont r´epartis syst´ematiquement par rapport a ` montrer que lâ&#x20AC;&#x2122;on peut prendre Îť = 2.

Indication : en supposant c = 0 pour simpliďŹ er, utiliser le fait que |(x â&#x2C6;&#x2019; xi,n )(x + xi,n )| â&#x2030;¤

1 (b â&#x2C6;&#x2019; a)2 4

pour tout x â&#x2C6;&#x2C6; [a, b] et tout i = 0, 1, . . . , n. Ces r´esultats sont en fait un peu grossiers, car ils fournissent des conditions suďŹ&#x192;santes de convergence qui sont en g´en´eral tr`es loin dâ&#x20AC;&#x2122;Ë&#x2020;etre n´ecessaires. Par ailleurs, ce sont des r´esultats purement th´eoriques qui ne tiennent aucun compte des erreurs dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi. Nous allons maintenant faire des calculs plus ďŹ ns sur des exemples, en estimant de fa¸con pr´ecise le produit Ď&#x20AC;n+1 pour des points ´equidistants.

   Ď&#x20AC;n(z) z â&#x2C6;&#x2C6; C               Posons h =

bâ&#x2C6;&#x2019;a n ,

xj = aj + jh, 0 â&#x2030;¤ j â&#x2030;¤ n, et soit z â&#x2C6;&#x2C6; C,  |Ď&#x20AC;n+1 (z)| = |z â&#x2C6;&#x2019; xi | ¡ |z â&#x2C6;&#x2019; xj |, j=1

ln |Ď&#x20AC;n+1 (z)| = ln δn (z) +



ln |z â&#x2C6;&#x2019; xj |

j=i

o` u δn (z) = |z â&#x2C6;&#x2019; xi | est la distance de z au plus proche point xi . La derni`ere sommation apparaË&#x2020;Äąt comme une somme de Riemann de la fonction x â&#x2020;&#x2019; ln |z â&#x2C6;&#x2019; x|. On va donc comparer cette sommation `a lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale correspondante.


33

II â&#x20AC;&#x201C; Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques

Lemme 1 â&#x20AC;&#x201C; Pour tout a â&#x2C6;&#x2C6; C, on pose Ď&#x2020;(a) =

1 0

ln |1 â&#x2C6;&#x2019; at| dt. Alors lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale converge et la fonction Ď&#x2020; est continue sur C. De plus :   h  1 xj+1 , 0â&#x2030;¤j â&#x2030;¤iâ&#x2C6;&#x2019;1 ; (i) ln |z â&#x2C6;&#x2019; x|dx â&#x2C6;&#x2019; ln |z â&#x2C6;&#x2019; xj | = Ď&#x2020; h xj z â&#x2C6;&#x2019; xj    1 xj+1 h (ii) ln |z â&#x2C6;&#x2019; x|dx â&#x2C6;&#x2019; ln |z â&#x2C6;&#x2019; xj+1 | = Ď&#x2020; â&#x2C6;&#x2019; , i â&#x2030;¤ j â&#x2030;¤ n â&#x2C6;&#x2019; 1. h xj z â&#x2C6;&#x2019; xj+1 D´ emonstration. Si a â&#x2C6;&#x2C6; [1, +â&#x2C6;&#x17E;], la fonction t â&#x2020;&#x2019; ln |1 â&#x2C6;&#x2019; at| est d´eďŹ nie et continue sur [0, 1]. Soit Log la d´etermination principale du logarithme complexe, d´eďŹ nie sur C  ] â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;, 0]. Comme ln |z| = Re(Log z), on en d´eduit ais´ement Ď&#x2020;(0) = 0,

Ď&#x2020;(a) = Re

  1 1â&#x2C6;&#x2019; Log (1 â&#x2C6;&#x2019; a) â&#x2C6;&#x2019; 1 si a â&#x2C6;&#x2C6; {0} â&#x2C6;Ş [1, +â&#x2C6;&#x17E;[ a

grË&#x2020; ace `a une int´egration  parties. Si a â&#x2C6;&#x2C6; [1, +â&#x2C6;&#x17E;[, un calcul analogue donne  par Ď&#x2020;(1) = â&#x2C6;&#x2019;1 et Ď&#x2020;(a) = 1 â&#x2C6;&#x2019; a1 ln (a â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2019; 1 pour a > 1. La continuit´e de Ď&#x2020; se v´eriďŹ e sur ces formules (exercice !) ´ Egalit´ e (i) : on eďŹ&#x20AC;ectue le changement de variable x = xj + ht,

t â&#x2C6;&#x2C6; [0, 1].

dx = h dt,

Il vient :  1  1 xj+1 ln |z â&#x2C6;&#x2019; x| dx = ln |z â&#x2C6;&#x2019; xj â&#x2C6;&#x2019; ht| dt h xj 0  1    ln |z â&#x2C6;&#x2019; xj | ¡ 1 â&#x2C6;&#x2019; = 0

  h  h  . t dt = ln |z â&#x2C6;&#x2019; xj | + Ď&#x2020; z â&#x2C6;&#x2019; xj z â&#x2C6;&#x2019; xj

´ Egalit´ e (ii) : sâ&#x20AC;&#x2122;obtient de mË&#x2020;eme en posant x = xj+1 â&#x2C6;&#x2019; ht. En sommant les diďŹ&#x20AC;´erentes ´egalit´es (i) et (ii), on obtient 1 h



b

ln |z â&#x2C6;&#x2019; x|dx â&#x2C6;&#x2019; a



ln |z â&#x2C6;&#x2019; xj | =

j=i

iâ&#x2C6;&#x2019;1   Ď&#x2020; j=0

n   h  h  + . Ď&#x2020; â&#x2C6;&#x2019; z â&#x2C6;&#x2019; xj z â&#x2C6;&#x2019; xj j=i+1

z

x0

x1

xj

xiâ&#x2C6;&#x2019;1

xi

xi+1

xn

(â&#x2C6;&#x2014;)


34

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Si 0 â&#x2030;¤ j < i, le fait que |z â&#x2C6;&#x2019; xi | = min |z â&#x2C6;&#x2019; xk | implique Re z â&#x2030;Ľ xi â&#x2C6;&#x2019; |z â&#x2C6;&#x2019; xj | â&#x2030;Ľ Re(z â&#x2C6;&#x2019; xj ) â&#x2030;Ľ xi â&#x2C6;&#x2019; car

1 2

h 2

dâ&#x20AC;&#x2122;o` u

 h 1 1 â&#x2C6;&#x2019; xj = i â&#x2C6;&#x2019; j â&#x2C6;&#x2019; h â&#x2030;Ľ (i â&#x2C6;&#x2019; j)h 2 2 2

â&#x2030;¤ 12 (i â&#x2C6;&#x2019; j). Comme Re w > 0 implique Re (1/w) > 0, on en d´eduit donc :  Re

h  > 0, z â&#x2C6;&#x2019; xj

  

h  2 â&#x2030;¤ 2. â&#x2030;¤ z â&#x2C6;&#x2019; xj iâ&#x2C6;&#x2019;j

Si i < j â&#x2030;¤ n, on obtient de mË&#x2020;eme Re z â&#x2030;¤ xi +

h 2

et

1 1 h  h â&#x2030;Ľ (j â&#x2C6;&#x2019; i)h, |z â&#x2C6;&#x2019; xj | â&#x2030;Ľ Re(xj â&#x2C6;&#x2019; z) â&#x2030;Ľ xj â&#x2C6;&#x2019; xi â&#x2C6;&#x2019; = j â&#x2C6;&#x2019; i â&#x2C6;&#x2019; 2 2 2  h   2 h    > 0,  â&#x2030;¤ 2. Re â&#x2C6;&#x2019; â&#x2030;¤ z â&#x2C6;&#x2019; xj z â&#x2C6;&#x2019; xj jâ&#x2C6;&#x2019;i

Lemme 2 â&#x20AC;&#x201C; Pour a â&#x2C6;&#x2C6; C tel que Re a â&#x2030;Ľ 0 et |a| â&#x2030;¤ 2 on a Ď&#x2020;(a) = â&#x2C6;&#x2019;

1 ln |1 + a| + O(|a|2 ). 2

D´ emonstration. Les deux membres ´etant continus sur Re a â&#x2030;Ľ 0, il suďŹ&#x192;t de montrer lâ&#x20AC;&#x2122;estimation lorsque a est voisin de 0. On sait que Log (1 + z) = z + O(|z|2 ) dâ&#x20AC;&#x2122;o` u ln |1 + z| = Re Log(1 + z) = Re Log(1 + z) = Re z + O(|z|2 ),  1 1 (â&#x2C6;&#x2019; Re a ¡ t + O(|a|2 t2 ))dt = â&#x2C6;&#x2019; Re a + O(|a|2 ), Ď&#x2020;(a) = 2 0 tandis que ln |1 + a| = Re a + O(|a|2 ). Le lemme sâ&#x20AC;&#x2122;ensuit. h Lâ&#x20AC;&#x2122;´egalit´e (â&#x2C6;&#x2014;) ci-dessus et le lemme 2 appliqu´e avec a = Âą zâ&#x2C6;&#x2019;x =O j alors

 j=i

1 ln |z â&#x2C6;&#x2019; xj | â&#x2C6;&#x2019; h



b



1 jâ&#x2C6;&#x2019;i



impliquent

iâ&#x2C6;&#x2019;1 n  h  1  h  1    ln 1 + ln 1 â&#x2C6;&#x2019; +  2 j=0 z â&#x2C6;&#x2019; xj 2 j=i+1 z â&#x2C6;&#x2019; xj     1 1 1 1 1 +O 2 + + . . . + + . . . + + O . i (i â&#x2C6;&#x2019; 1)2 12 12 (n â&#x2C6;&#x2019; i)2

ln |z â&#x2C6;&#x2019; x|dx = a

+â&#x2C6;&#x17E; Comme la s´erie n=1 n12 est convergente, les termes compl´ementaires sont born´es, câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire O(1). De plus z â&#x2C6;&#x2019; xj + h z â&#x2C6;&#x2019; xjâ&#x2C6;&#x2019;1 h = = , z â&#x2C6;&#x2019; xj z â&#x2C6;&#x2019; xj z â&#x2C6;&#x2019; xj z â&#x2C6;&#x2019; xj â&#x2C6;&#x2019; h z â&#x2C6;&#x2019; xj+1 h 1â&#x2C6;&#x2019; = = . z â&#x2C6;&#x2019; xj z â&#x2C6;&#x2019; xj z â&#x2C6;&#x2019; xj 1+


II â&#x20AC;&#x201C; Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques

35

Dans les deux sommations, les logarithmes se simpliďŹ ent alors mutuellement, ce qui donne      z â&#x2C6;&#x2019; xâ&#x2C6;&#x2019;1 z â&#x2C6;&#x2019; xn+1  1 b 1   + O(1) ln |z â&#x2C6;&#x2019; xj | â&#x2C6;&#x2019; ln |z â&#x2C6;&#x2019; x|dx = ln  ¡ h a 2 z â&#x2C6;&#x2019; xiâ&#x2C6;&#x2019;1 z â&#x2C6;&#x2019; xi+1  j=i

avec xâ&#x2C6;&#x2019;1 = a â&#x2C6;&#x2019; h et xn+1 = b + h. En prenant lâ&#x20AC;&#x2122;exponentielle et en multipliant par |z â&#x2C6;&#x2019; xi |, on obtient      |z â&#x2C6;&#x2019; x1 | |z â&#x2C6;&#x2019; xn+1 | 1 b ¡ . (â&#x2C6;&#x2014;â&#x2C6;&#x2014;) ln |zâ&#x2C6;&#x2019;x|dx ¡ |zâ&#x2C6;&#x2019;xj | = |zâ&#x2C6;&#x2019;xi | exp O(1)+ h a |z â&#x2C6;&#x2019; xiâ&#x2C6;&#x2019;1 | |z â&#x2C6;&#x2019; xi+1 | La quantit´e sous la racine est comprise entre 1 et (1 + 2n)2 . En eďŹ&#x20AC;et on a 1â&#x2030;¤

|z â&#x2C6;&#x2019; xiâ&#x2C6;&#x2019;1 | + ih |z â&#x2C6;&#x2019; xâ&#x2C6;&#x2019;1 | â&#x2030;¤ â&#x2030;¤ 1 + 2i, |z â&#x2C6;&#x2019; xiâ&#x2C6;&#x2019;1 | |z â&#x2C6;&#x2019; xiâ&#x2C6;&#x2019;1 |

car |z â&#x2C6;&#x2019;xiâ&#x2C6;&#x2019;1 | â&#x2030;Ľ Re(z â&#x2C6;&#x2019;xiâ&#x2C6;&#x2019;1 ) â&#x2030;Ľ h2 si i = 0, le premier quotient ´etant ´egal `a 1 si i = 0. Le deuxi`eme quotient est major´e de mË&#x2020;eme par 1 + 2(n â&#x2C6;&#x2019; i). Comme exp(O(1)) est n , on obtient lâ&#x20AC;&#x2122;estimation suivante. encadr´e par deux constantes positives et h1 = bâ&#x2C6;&#x2019;a  1  b  ln |z â&#x2C6;&#x2019; x|dx . bâ&#x2C6;&#x2019;a a Alors il existe des constantes C1 , C2 > 0 telles que

Estimation de Ď&#x20AC;n+1 â&#x20AC;&#x201C; On pose A(z) = exp

C1 δn (z)A(z)n â&#x2030;¤ |Ď&#x20AC;n+1 (z)| â&#x2030;¤ C2 nδn (z)A(z)n .

On voit donc que le terme dominant du comportement de |Ď&#x20AC;n+1 (z)| est le facteur exponentiel A(z)n . Pour ´evaluer Ď&#x20AC;n+1 [a,b] , il suďŹ&#x192;t de calculer A(x) lorsque x â&#x2C6;&#x2C6; [a, b] :   1  b ln |x â&#x2C6;&#x2019; t|dt . A(x) = exp bâ&#x2C6;&#x2019;a a La fonction t â&#x2020;&#x2019; ln |t â&#x2C6;&#x2019; x| est discontinue en t = x, mais le lecteur pourra sâ&#x20AC;&#x2122;assurer que lâ&#x20AC;&#x2122;int´egration par parties suivante est l´egitime : 

b



b

dt t â&#x2C6;&#x2019; x a = (b â&#x2C6;&#x2019; x) ln (b â&#x2C6;&#x2019; x) + (x â&#x2C6;&#x2019; a) ln (x â&#x2C6;&#x2019; a) â&#x2C6;&#x2019; (b â&#x2C6;&#x2019; a),

ln |t â&#x2C6;&#x2019; x|dt = [(t â&#x2C6;&#x2019; x) ln |t â&#x2C6;&#x2019; x|]ba â&#x2C6;&#x2019; a

(t â&#x2C6;&#x2019; x)

car la fonction t â&#x2020;&#x2019; (t â&#x2C6;&#x2019; x) ln |t â&#x2C6;&#x2019; x| est continue sur [a, b] et on peut passer a` la limite sur chacun des intervalles [a, x â&#x2C6;&#x2019; Îľ] et [x + Îľ, b]. Il en r´esulte  xâ&#x2C6;&#x2019;a bâ&#x2C6;&#x2019;x 1   A(x) = (x â&#x2C6;&#x2019; a) bâ&#x2C6;&#x2019;a (b â&#x2C6;&#x2019; x) bâ&#x2C6;&#x2019;a e   A(a) = A(b) = 1 (b â&#x2C6;&#x2019; a). e

si x â&#x2C6;&#x2C6; ]a, b[,


36

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Une ´etude de x â&#x2020;&#x2019; A(x) donne lâ&#x20AC;&#x2122;allure du graphe :

y 1 e (b

â&#x2C6;&#x2019; a)

1 2e (b

â&#x2C6;&#x2019; a)

0

A(x)

a

b

a+b 2

x

La fonction A atteint donc son maximum A = 1e (b â&#x2C6;&#x2019; a) en x = a ou b et son 1 (b â&#x2C6;&#x2019; a) en x = a+b esulter minimum 2e 2 . Dâ&#x20AC;&#x2122;un point de vue pratique, il va en r´ que la convergence de pn (x) est en g´en´eral beaucoup moins bonne au voisinage des extr´emit´es a, b quâ&#x20AC;&#x2122;au centre de lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle.

 

      Lâ&#x20AC;&#x2122;objet de ce paragraphe est de donner un exemple concret de fonction analytique f pour laquelle les polynË&#x2020; omes dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation ne forment pas une suite convergente. Nous consid´erons pour cela la fonction fÎą (x) =

1 , x2 + Îą 2

x â&#x2C6;&#x2C6; [â&#x2C6;&#x2019;1, 1],

o` u Îą > 0 est un param`etre. y 1/Îą2

pn (n = 14)

fÎą

â&#x2C6;&#x2019;1

0

1

x

Soit pn le polynË&#x2020; ome dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation de f aux points xj = â&#x2C6;&#x2019;1 + j n1 , 0 â&#x2030;¤ j â&#x2030;¤ n.


II â&#x20AC;&#x201C; Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques

On a ici fÎą (x) =

37

+â&#x2C6;&#x17E;  x2 k 1 1 1  = (â&#x2C6;&#x2019;1)k 2 2 2 2 x Îą 1 + Îą2 Îą Îą k=0

avec rayon de convergence R = Îą. Dâ&#x20AC;&#x2122;apr` esle § 2.1, on voit donc que pn converge  uniform´ement vers fÎą d`es que Îą > 2 12 + 1e  1, 74. Quâ&#x20AC;&#x2122;en est-il si Îą est petit ?

Calcul de pn(x) â&#x20AC;&#x201C; Lâ&#x20AC;&#x2122;erreur dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation est donn´ee ici par fÎą (x) â&#x2C6;&#x2019; pn (x) =

x2

1 1 â&#x2C6;&#x2019; (x2 + Îą2 )pn (x) â&#x2C6;&#x2019; pn (x) = . 2 +Îą x2 + Îą 2

Le polynË&#x2020; ome 1 â&#x2C6;&#x2019; (x2 + Îą2 )pn (x) est de degr´e â&#x2030;¤ n + 2, nul aux points x0 , . . . , xn (puisque pn interpole f ) et ´e gal `a 1 aux points ÂąiÎą. En particulier 1â&#x2C6;&#x2019;(x2 +Îą2 )pn (x) est divisible par Ď&#x20AC;n+1 (x) = (x â&#x2C6;&#x2019; xj ), le quotient ´etant de degr´e 0 ou 1. Examinons la parit´e de ce quotient. ome pn Comme les points xj sont r´epartis sym´etriquement par rapport a` 0, le polynË&#x2020; est toujours pair, tandis que Ď&#x20AC;n+1 est pair si n est impair et vice-versa. Le quotient est un binË&#x2020; ome c0 + c1 x, pair si n est impair, impair si n est pair. Par cons´equent  c0 ¡ Ď&#x20AC;n+1 (x) si n est impair, 1 â&#x2C6;&#x2019; (x2 + Îą2 )pn (x) = c1 x ¡ Ď&#x20AC;n+1 (x) si n est pair. En substituant x = iÎą, on trouve c0 = 1/Ď&#x20AC;n+1 (iÎą) et c1 = 1/iÎąĎ&#x20AC;n+1 (iÎą), dâ&#x20AC;&#x2122;o` u  1 Ď&#x20AC;n+1 (x)   si n est impair,  x2 + Îą 2 Ď&#x20AC; n+1 (iÎą) fÎą (x) â&#x2C6;&#x2019; pn (x) =  x Ď&#x20AC;n+1 (x)   si n est pair. iÎą(x2 + Îą2 ) Ď&#x20AC;n+1 (iÎą) On va maintenant ´etudier tr`es pr´ecis´ement la convergence ponctuelle de pn (x), en utilisant les estimations du § 2.2.

´ Etude de la convergence ponctuelle de la suite pn(x)

1 Si x = Âą1, pn (x) = pn (Âą1) = fÎą (Âą1) = 1+Îą 2 est une suite constante. On suppose donc dans la suite que x est un point ďŹ x´e dans ] â&#x2C6;&#x2019; 1, 1[ et on cherche `a obtenir une estimation de |Ď&#x20AC;n+1 (x)/Ď&#x20AC;n+1 (iÎą). Pour x = iÎą, la formule (â&#x2C6;&#x2014;â&#x2C6;&#x2014;) du § 2.2 montre quâ&#x20AC;&#x2122;il existe des constantes C3 , C4 > 0 telles que

C3 A(iÎą)n â&#x2030;¤ |Ď&#x20AC;n+1 (iÎą)| â&#x2030;¤ C4 A(iÎą)n â&#x2C6;&#x161; car Îą â&#x2030;¤ |iÎą â&#x2C6;&#x2019; xj | â&#x2030;¤ Îą2 + 4 pour tout j â&#x2C6;&#x2C6; {â&#x2C6;&#x2019;1, . . . , n + 1}. De mË&#x2020;eme pour z = x â&#x2C6;&#x2C6; ] â&#x2C6;&#x2019; 1, 1[, les quantit´es |z â&#x2C6;&#x2019; xiâ&#x2C6;&#x2019;1 | et |z â&#x2C6;&#x2019; xi+1 | sont du mË&#x2020;eme ordre de grandeur que h = n2 , tandis que |z â&#x2C6;&#x2019; xâ&#x2C6;&#x2019;1 | et |z â&#x2C6;&#x2019; xn+1 | tendent respectivement vers 1 + x et 1 â&#x2C6;&#x2019; x. On a donc des constantes positives C5 , C6 , . . . telles que C5 nδn (x)A(x)n â&#x2030;¤ |Ď&#x20AC;n+1 (x)| â&#x2030;¤ C6 nδn (x)A(x)n ,   n n A(x) A(x) C7 nδn (x) â&#x2030;¤ |fÎą (x) â&#x2C6;&#x2019; pn (x)| â&#x2030;¤ C8 nδn (x) . A(iÎą) A(iÎą)


38

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Les calculs du § 2.2 donnent 1+x 1â&#x2C6;&#x2019;x 1 (1 + x) 2 (1 â&#x2C6;&#x2019; x) 2 , e 1  1  1  1  A(iÎą) = exp ln |iÎą â&#x2C6;&#x2019; x|dx = exp ln (x2 + Îą2 )dx 2 â&#x2C6;&#x2019;1 4 â&#x2C6;&#x2019;1  1

 1  1 1 ln(x2 + Îą2 )dx = 1 + Îą2 exp Îą Arctg = exp , 2 0 e Îą

A(x) =

ln (x2 + Îą2 ) ayant pour primitive x ln (x2 + Îą2 ) â&#x2C6;&#x2019; 2x + Îą Arctg x/Îą. La fonction Îą â&#x2020;&#x2019; A(iÎą) est strictement croissante sur ]0, +â&#x2C6;&#x17E;[, avec lim A(iÎą) =

Îąâ&#x2020;&#x2019;0

1 , e

lim A(iÎą) = +â&#x2C6;&#x17E;.

Îąâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

La valeur critique est la valeur Îą0 telle que A(iÎą0 ) =

sup A(x) = xâ&#x2C6;&#x2C6;[â&#x2C6;&#x2019;1,1]

2 , e

soit Îą0  0, 526. Pour Îą > Îą0 , la suite (pn ) converge ponctuellement (et mË&#x2020;eme uniform´ement) vers fÎą sur [â&#x2C6;&#x2019;1, 1]. Pour Îą < Îą0 , on a le sch´ema suivant :

y 2/e A(iÎą)

A(x)

1/e

â&#x2C6;&#x2019;1

0

x 1

â&#x20AC;˘ Si A(x) < A(iÎą) (intervalle ouvert hachur´e), pn (x) converge vers fÎą (x). â&#x20AC;˘ Si x â&#x2C6;&#x2C6; ] â&#x2C6;&#x2019; 1, 1[ et A(x) â&#x2030;Ľ A(iÎą), la suite (pn (x)) diverge comme on le voit `a lâ&#x20AC;&#x2122;aide du lemme suivant.

Lemme â&#x20AC;&#x201C; Pour tout n â&#x2C6;&#x2C6; Nâ&#x2C6;&#x2014; , max (nδn (x), (n + 1)δn+1 (x)) â&#x2030;Ľ

1 min(1 + x, 1 â&#x2C6;&#x2019; x) > 0. 2


II â&#x20AC;&#x201C; Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques

39

Il existe en eďŹ&#x20AC;et des indices j, k tels que   2   δn (x) = |x â&#x2C6;&#x2019; xj,n | = x â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1 + j ¡ , n   2   δn+1 (x) = |x â&#x2C6;&#x2019; xk,n | = x â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1 + k ¡ . n+1 On obtient donc max (nδn (x), (n + 1)δn+1 (x)) â&#x2030;Ľ

1 (nδn (x) + (n + 1)δn+1 (x)) 2

 1 |n(x + 1) â&#x2C6;&#x2019; 2j| + |(n + 1)(x + 1) â&#x2C6;&#x2019; 2k| 2 1 1 â&#x2030;Ľ |diďŹ&#x20AC;´erence| = |x + 1 â&#x2C6;&#x2019; 2k + 2j| 2 2 1 â&#x2030;Ľ distance (x, entiers impairs dans Z) 2 1 min(|x â&#x2C6;&#x2019; 1|, |x + 1|). = 2 â&#x2030;Ľ

GrË&#x2020; ace au lemme, on voit que  n   A(x) max |fÎą (x) â&#x2C6;&#x2019; pn (x)| , |fÎą (x) â&#x2C6;&#x2019; pn+1 (x)| â&#x2030;Ľ C , A(iÎą) donc la suite (|fÎą (x) â&#x2C6;&#x2019; pn (x)|)nâ&#x2C6;&#x2C6;N nâ&#x20AC;&#x2122;est pas born´ee si A(x) > A(iÎą) et ne tend pas vers 0 si A(x) = A(iÎą). Cet exemple montre donc que, mË&#x2020;eme pour une fonction f parfaitement r´eguli`ere, il ne faut pas sâ&#x20AC;&#x2122;attendre a` ce que les polynË&#x2020;omes dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation pn aux points ´equidistants convergent vers f sur lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation.

 

                

  

  On munit lâ&#x20AC;&#x2122;espace vectoriel C([a, b]) des fonctions continues f : [a, b] â&#x2020;&#x2019; R de la norme uniforme f = sup |f (x)|, xâ&#x2C6;&#x2C6;[a,b]

et de la distance uniforme associ´ee d(f, g) = f â&#x2C6;&#x2019; g . On note donc d(f, Pn ) = inf f â&#x2C6;&#x2019; p . pâ&#x2C6;&#x2C6;Pn


40

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Th´ eor` eme et d´ efinition – Pour tout n ∈ N, il existe un unique polynˆome qn ∈ Pn qui r´ealise le minimum de la distance f − qn = d(f, Pn ) Ce polynˆ ome est appel´ee polynˆ ome de meilleure approximation uniforme de f `a l’ordre n. D´emontrons d’abord l’existence de qn . En approximant f par p = 0, on voit que omes p ∈ Pn tels que f − p ≤ f est d(f, Pn ) ≤ f . L’ensemble des polynˆ une partie ferm´ee et born´ee K ⊂ Pn , non vide puisque 0 ∈ K. Comme Pn est de dimension finie, K est une partie compacte, donc la fonction continue p → f − p atteint son inf en un point p = qn ∈ K. Avant de prouver l’unicit´e, nous introduisons une d´efinition commode.

D´ efinition – On dit qu’une fonction g ∈ C([a, b]) ´equioscille sur (k + 1) points de [a, b] s’il existe des points x0 < x1 < . . . < xk dans [a, b] tels que ∀i = 0, 1, . . . , k,

|g(xi )| = g

et

∀i = 0, 1, . . . , k − 1,

g(xi+1 ) = −g(xi ).

y g

g 0

a x0

x1

x2

x3

x4 b

x

− g

Preuve de l’unicit´ e.* Montrons que si p ∈ Pn est un polynˆ ome r´ealisant le minimum de la distance f − p , alors g = f − p ´equioscille sur n + 2 points de [a, b]. Si ce n’est pas le cas, soit x0 = inf {x ∈ [a, b] ; |g(x)| = g } le premier point en lequel g atteint sa valeur absolue maximum, puis x1 le premier point > x0 en lequel g(x1 ) = −g(x0 ), . . . , xi+1 le premier point > xi en lequel g(xi+1 ) = −g(xi ). Supposons que cette suite s’arrˆete en i = k ≤ n. D’apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, g s’annule n´ecessairement sur chaque intervalle


II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques

41

[xi−1 , xi ]. Soit ci ∈ [xi−1 , xi ] le plus grand r´eel de cet intervalle tel que g(ci ) = 0, de sorte que a ≤ x0 < c1 < x1 < c2 < . . . < xk−1 < ck < xk ≤ b. Supposons par exemple g(x0 ) > 0 et posons π(x) = (c1 − x)(c2 − x) . . . (ck − x), π ∈ Pn , gε (x) = g(x) − επ(x) = f (x) − (p(x) + επ(x)). On va montrer que gε < g pour ε > 0 assez petit, ce qui contredira la minimalit´e de f − p . Par construction, on a signe(g(xi )) = (−1)i et − g < g(x) ≤ g

sur [a, x0 ],

− g ≤ (−1) g(x) < g sur i

[xi−1 , ci ]

(si on avait seulement ≤ au lieu de <, alors on aurait xi ≤ ci ), 0 ≤ (−1)i g(x) ≤ g

sur [ci , xi ]

(si on avait une valeur < 0, g(x) s’annulerait sur ]ci , xi [), − g < (−1)k g(x) ≤ g

sur [xk , b]

(si on avait seulement ≤ au lieu de <, il y aurait un point xk+1 ). Il existe donc une constante A < g positive telle que g(x) ≥ −A sur [a, x0 ], (−1)i g(x) ≤ A sur [xi−1 , ci ] et (−1)k g(x) ≥ −A sur [xk , b]. En notant M = sup[a,b] |π(x)| et en tenant compte du fait que signe(π(x)) = (−1)i sur ]ci , ci+1 [, on obtient donc sur [a, x0 ], −A − εM ≤ gε (x) < g − g < (−1)i gε (x) ≤ A + εM sur [xi−1 , ci ], sur [ci , xi ], −εM ≤ (−1)i gε (x) < g −A − εM ≤ (−1)k gε (x) < g sur [xk , b], ce qui implique gε < g d`es que ε est assez petit. Cette contradiction entraˆıne k ≥ n + 1, ce qu’il fallait d´emontrer. Pour v´erifier l’unicit´e de p, il suffit de montrer que pour tout polynˆ ome q ∈ Pn , q = p, il existe un point xi avec 0 ≤ i ≤ n + 1 tel que (−1)i (f (xi ) − q(xi )) > (−1)i (f (xi ) − p(xi )) ; ceci entraˆınera en particulier f − q > f − p . Sinon, pour tout i = 0, 1, . . . , n + 1 on aurait (−1)i (p(xi ) − q(xi )) ≤ 0. D’apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, il existerait un point ξi ∈ [xi , xi+1 ] tel que p(ξi ) − q(ξi ) = 0 pour i = 0, 1, . . . , n. Si les ξi sont tous distincts, alors p − q aurait n + 1 racines, donc p = q contrairement a` l’hypoth`ese. Or, on peut choisir ome (−1)i (p(x) − q(x)) ne ξi−1 < ξi , sauf si dans l’intervalle [xi−1 , xi+1 ] le polynˆ


42

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

sâ&#x20AC;&#x2122;annule quâ&#x20AC;&#x2122;en x = xi , auquel cas on doit prendre Ξiâ&#x2C6;&#x2019;1 = xi = Ξi . Dans ce cas (â&#x2C6;&#x2019;1)i (p(x) â&#x2C6;&#x2019; q(x)) reste â&#x2030;Ľ 0 sur [xiâ&#x2C6;&#x2019;1 , xi+1 ] car son signe est positif en x = xiâ&#x2C6;&#x2019;1 et x = xi+1 . Ceci entraË&#x2020;Äąne que Ξi = xi est racine au moins double de p â&#x2C6;&#x2019; q, par suite p â&#x2C6;&#x2019; q aurait encore n + 1 racines compte tenu des multiplicit´es, contradiction. Observons en outre que dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es la d´emonstration pr´ec´edente, le polynË&#x2020; ome de meilleure approximation uniforme se caract´erise comme suit :

Caract´ erisation â&#x20AC;&#x201C; Pour f â&#x2C6;&#x2C6; C([a, b]), le polynË&#x2020;ome de meilleure approximation ome de degr´e â&#x2030;¤ n tel que f â&#x2C6;&#x2019; qn ´equioscille uniforme qn â&#x2C6;&#x2C6; Pn de f est lâ&#x20AC;&#x2122;unique polynË&#x2020; sur au moins (n + 2) points de [a, b].

´ les polynË&#x2020; omes de Tchebychev sous la forme Exemple â&#x20AC;&#x201C; Ecrivons 2â&#x2C6;&#x2019;n tn+1 (x) = xn+1 â&#x2C6;&#x2019; qn (x) avec qn de degr´e â&#x2030;¤ n. Comme tn+1 (cos θ) = cos (n + 1)θ ´equioscille sur les n + 2 Ď&#x20AC; , 0 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n+1, on en d´eduit que qn (x) est le polynË&#x2020; ome de meilleure points θi = i n+1 approximation uniforme a` lâ&#x20AC;&#x2122;ordre n de xn+1 sur [â&#x2C6;&#x2019;1, 1]. Autrement dit, 2â&#x2C6;&#x2019;n tn+1 est le polynË&#x2020; ome unitaire de degr´e n + 1 ayant la plus petite norme uniforme possible sur [â&#x2C6;&#x2019;1, 1] : cette norme vaut 2â&#x2C6;&#x2019;n .

     C([a, b])    Il est malheureusement tr`es diďŹ&#x192;cile en g´en´eral de d´eterminer le polynË&#x2020; ome de meilleure approximation uniforme qn . Câ&#x20AC;&#x2122;est pourquoi nous allons ´etudier ici une m´ethode beaucoup plus explicite dâ&#x20AC;&#x2122;approximation.

D´ eďŹ nition â&#x20AC;&#x201C; Si f â&#x2C6;&#x2C6; C([a, b]), le module de continuit´e de f est la fonction Ď&#x2030;f : R+ â&#x2020;&#x2019; R+ d´eďŹ nie par

Ď&#x2030;f (t) = sup {|f (x) â&#x2C6;&#x2019; f (y)| ;

x, y â&#x2C6;&#x2C6; [a, b]

avec

|x â&#x2C6;&#x2019; y| â&#x2030;¤ t}.

Pour tous x, y â&#x2C6;&#x2C6; [a, b], on a alors |f (x) â&#x2C6;&#x2019; f (y)| â&#x2030;¤ Ď&#x2030;f (|x â&#x2C6;&#x2019; y|), de sorte que Ď&#x2030;f mesure quantitativement la continuit´e de f .

Propri´ et´ es du module de continuit´ e (i) t â&#x2020;&#x2019; Ď&#x2030;f (t) est une fonction croissante. (ii) lim+ Ď&#x2030;f (t) = 0. tâ&#x2020;&#x2019;0

(iii) Pour tous t1 , t2 â&#x2C6;&#x2C6; R+ , Ď&#x2030;f (t1 + t2 ) â&#x2030;¤ Ď&#x2030;f (t1 ) + Ď&#x2030;f (t2 ). (iv) Pour tout n â&#x2C6;&#x2C6; N et tout t â&#x2C6;&#x2C6; R+ , Ď&#x2030;f (nt) â&#x2030;¤ n Ď&#x2030;f (t). (v) Pour tout Îť â&#x2C6;&#x2C6; R+ et tout t â&#x2C6;&#x2C6; R+ , Ď&#x2030;f (Îťt) â&#x2030;¤ (Îť + 1)Ď&#x2030;f (t).


II â&#x20AC;&#x201C; Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques

43

D´ emonstration. (i) est ´evident, (ii) r´esulte du fait que toute fonction continue sur [a, b] y est uniform´ement continue. (iii) Soient x, y â&#x2C6;&#x2C6; [a, b] quelconques tels que |x â&#x2C6;&#x2019; y| â&#x2030;¤ t1 + t2 . Il existe alors z â&#x2C6;&#x2C6; [x, y] u tel que |x â&#x2C6;&#x2019; z| â&#x2030;¤ t1 et |z â&#x2C6;&#x2019; y| â&#x2030;¤ t2 , dâ&#x20AC;&#x2122;o` |f (x) â&#x2C6;&#x2019; f (y)| â&#x2030;¤ |f (x) â&#x2C6;&#x2019; f (z)| + |f (z) â&#x2C6;&#x2019; f (y)| â&#x2030;¤ Ď&#x2030;f (t1 ) + Ď&#x2030;f (t2 ). Lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e (iii) sâ&#x20AC;&#x2122;en d´eduit en prenant le sup sur x, y. (iv) se d´eduit imm´ediatement de (iii) et (v) sâ&#x20AC;&#x2122;obtient en appliquant (iv) a` n = E(Îť) + 1. Nous allons maintenant introduire les polynË&#x2020; omes dits de Jackson, donnant une assez bonne approximation dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction continue quelconque. Pour tout entier n â&#x2030;Ľ 2, on consid`ere le polynË&#x2020; ome trigonom´etrique Jn â&#x2030;Ľ 0 de degr´e n â&#x2C6;&#x2019; 2     2k + 1  Jn (θ) = cn 1 â&#x2C6;&#x2019; cos θ â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC; n 1â&#x2030;¤kâ&#x2030;¤nâ&#x2C6;&#x2019;2   o` u cn > 0 est ďŹ x´ee telle que Jn Ď&#x20AC;n = 12 . En changeant k en nâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019;k on voit aussitË&#x2020; ot  2k+1  pour tout k â&#x2C6;&#x2C6; Z, on a J Ď&#x20AC; = 0 si k â&#x2030;Ą

0 ou que Jn (â&#x2C6;&#x2019;θ) = Jn (θ). De plus, n n   â&#x2C6;&#x2019;1 (mod n), tandis que Jn Âą Ď&#x20AC;n = 12 . Nous avons besoin du lemme suivant. Lemme â&#x20AC;&#x201C; Soit P (θ) = |j|â&#x2030;¤nâ&#x2C6;&#x2019;1 aj eijθ , j â&#x2C6;&#x2C6; Z, un polynË&#x2020;ome trigonom´etrique de degr´e au plus n â&#x2C6;&#x2019; 1. Alors 

(â&#x2C6;&#x20AC;θ â&#x2C6;&#x2C6; R)

0â&#x2030;¤kâ&#x2030;¤nâ&#x2C6;&#x2019;1

En eďŹ&#x20AC;et



eij(θâ&#x2C6;&#x2019;k2Ď&#x20AC;/n) = eijθ

0â&#x2030;¤kâ&#x2030;¤nâ&#x2C6;&#x2019;1

 2Ď&#x20AC;  = na0 . P θâ&#x2C6;&#x2019;k n

1 â&#x2C6;&#x2019; eâ&#x2C6;&#x2019;ijn2Ď&#x20AC;/n = 0 si j â&#x2030;Ą 0 (mod n), et la somme 1 â&#x2C6;&#x2019; eâ&#x2C6;&#x2019;ij2Ď&#x20AC;/n

vaut n si j = 0. Comme Jn (θ) et Jn (θ)(1 â&#x2C6;&#x2019; cos θ) sont des polynË&#x2020; omes trigonom´etriques de degr´e n â&#x2C6;&#x2019; 2 et n â&#x2C6;&#x2019; 1 respectivement, on en d´eduit que   2Ď&#x20AC;  Jn θ â&#x2C6;&#x2019; k = 1, n 0â&#x2030;¤kâ&#x2030;¤nâ&#x2C6;&#x2019;1    2Ď&#x20AC;  2Ď&#x20AC;  Ď&#x20AC; 1 â&#x2C6;&#x2019; cos θ â&#x2C6;&#x2019; k = 1 â&#x2C6;&#x2019; cos ; Jn θ â&#x2C6;&#x2019; k n n n 0â&#x2030;¤kâ&#x2030;¤nâ&#x2C6;&#x2019;1

Ď&#x20AC; en eďŹ&#x20AC;et, dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es le lemme, ces sommes sont   des constantes et pour θ = â&#x2C6;&#x2019; n la 2Ď&#x20AC; d´eďŹ nition de J  n (θ) montre  1que Jn θ â&#x2C6;&#x2019; k n = 0 sauf pour k = 0 et k = n â&#x2C6;&#x2019; 1, 2Ď&#x20AC; auquel cas Jn θ â&#x2C6;&#x2019; k n = 2 . Observons de plus que 2  2Ď&#x20AC; 2     =  Re (eiθ â&#x2C6;&#x2019; eik 2Ď&#x20AC;/n )  cos θ â&#x2C6;&#x2019; cos k n  2 2        â&#x2030;¤ eiθ â&#x2C6;&#x2019; eik 2Ď&#x20AC;/n  = ei θâ&#x2C6;&#x2019;k 2Ď&#x20AC;/n â&#x2C6;&#x2019; 1   2Ď&#x20AC;  = 2 1 â&#x2C6;&#x2019; cos θ â&#x2C6;&#x2019; k . n


44

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

En appliquant lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e de Cauchy-Schwarz | quantit´es  2Ď&#x20AC; 1/2 , ak = Jn θ â&#x2C6;&#x2019; k n

ak bk | â&#x2030;¤ ( a2k )1/2 ( b2k )1/2 aux

 2Ď&#x20AC;  2Ď&#x20AC; 1/2  bk = Jn θ â&#x2C6;&#x2019; k ,  cos θ â&#x2C6;&#x2019; cos k n n

on en d´eduit   2Ď&#x20AC;  2Ď&#x20AC;  Jn θ â&#x2C6;&#x2019; k   cos θ â&#x2C6;&#x2019; cos k n n 0â&#x2030;¤kâ&#x2030;¤nâ&#x2C6;&#x2019;1  2 1/2   1/2   2Ď&#x20AC;  2Ď&#x20AC;  2Ď&#x20AC;   Jn θ â&#x2C6;&#x2019; k â&#x2030;¤ cos θ â&#x2C6;&#x2019; cos k ¡ Jn θ â&#x2C6;&#x2019; k n n  n    1/2  2Ď&#x20AC;  2Ď&#x20AC;  1 â&#x2C6;&#x2019; cos θ â&#x2C6;&#x2019; k â&#x2030;¤ 2 Jn θ â&#x2C6;&#x2019; k n n   Ď&#x20AC; Ď&#x20AC; 1/2 Ď&#x20AC; â&#x2030;¤ . (â&#x2C6;&#x2014;) â&#x2030;¤ 2 1 â&#x2C6;&#x2019; cos = 2 sin n 2n n Soit maintenant f â&#x2C6;&#x2C6; C([â&#x2C6;&#x2019;1, 1]) une fonction continue quelconque. On lui associe le polynË&#x2020; ome trigonom´etrique de degr´e â&#x2030;¤ n â&#x2C6;&#x2019; 2 Ď&#x2022;n (θ) =

 0â&#x2030;¤kâ&#x2030;¤nâ&#x2C6;&#x2019;1

 2Ď&#x20AC;   2Ď&#x20AC;  f cos k Jn θ â&#x2C6;&#x2019; k . n n

En changeant k en n â&#x2C6;&#x2019; k pour 1 â&#x2030;¤ k â&#x2030;¤ n â&#x2C6;&#x2019; 1, on voit que Ď&#x2022;n (â&#x2C6;&#x2019;θ) = Ď&#x2022;n (θ), par cons´equent Ď&#x2022;n (θ) est combinaison lin´eaire des fonctions paires 1, cos θ, . . ., cos (n â&#x2C6;&#x2019; 2)θ. Comme celles-ci sont pr´ecis´ement donn´ees par les polynË&#x2020; omes de ome pnâ&#x2C6;&#x2019;2 de degr´e â&#x2030;¤ n â&#x2C6;&#x2019; 2 Tchebychev tk (cos θ), on voit quâ&#x20AC;&#x2122;il existe un polynË&#x2020; ome tel que Ď&#x2022;n (θ) = pnâ&#x2C6;&#x2019;2 (cos θ). Pour des raisons similaires, il existe un polynË&#x2020; jn,k (x) de degr´e â&#x2030;¤ n â&#x2C6;&#x2019; 2 tel que     1 2Ď&#x20AC;  2Ď&#x20AC;  + Jn θ â&#x2C6;&#x2019; k Jn θ + k = jn,k (cos θ). 2 n n   En observant que pnâ&#x2C6;&#x2019;2 (cos θ) = 12 Ď&#x2022;n (θ) + Ď&#x2022;n (â&#x2C6;&#x2019;θ) et en substituant x = cos θ, on peut exprimer explicitement le polynË&#x2020; ome pnâ&#x2C6;&#x2019;2 `a partir des jn,k : pnâ&#x2C6;&#x2019;2 (x) =

 0â&#x2030;¤kâ&#x2030;¤nâ&#x2C6;&#x2019;1

 2Ď&#x20AC;  jn,k (x), f cos k n

â&#x2C6;&#x20AC;x â&#x2C6;&#x2C6; [â&#x2C6;&#x2019;1, 1].

Ce polynË&#x2020; ome sera appel´e polynË&#x2020; ome dâ&#x20AC;&#x2122;approximation de Jackson de degr´e nâ&#x2C6;&#x2019;2 de f . Cela ´etant, nous avons le :

Th´ eor` eme de Jackson â&#x20AC;&#x201C; Pour tout f â&#x2C6;&#x2C6; C([a, b]), les polynË&#x2020;omes dâ&#x20AC;&#x2122;approximation de Jackson v´eriďŹ ent f â&#x2C6;&#x2019; pn â&#x2030;¤ 3 Ď&#x2030;f

bâ&#x2C6;&#x2019;a . n+2


45

II â&#x20AC;&#x201C; Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques

D´ emonstration. Le cas dâ&#x20AC;&#x2122;un intervalle [a, b] quelconque se ram`ene facilement au cas o` u [a, b] = [â&#x2C6;&#x2019;1, 1], en utilisant le mË&#x2020;eme changement de variable quâ&#x20AC;&#x2122;au § 1.5. On suppose donc f â&#x2C6;&#x2C6; C([â&#x2C6;&#x2019;1, 1]) et on cherche `a majorer f â&#x2C6;&#x2019; pnâ&#x2C6;&#x2019;2 [â&#x2C6;&#x2019;1,1] = sup |f (cos θ) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;n (θ)|. θâ&#x2C6;&#x2C6;[0,Ď&#x20AC;]

La propri´et´e

 Jn θ â&#x2C6;&#x2019; k

2Ď&#x20AC; n



= 1 permet dâ&#x20AC;&#x2122;´ecrire 

f (cos θ) =

0â&#x2030;¤kâ&#x2030;¤nâ&#x2C6;&#x2019;1

 2Ď&#x20AC;  f (cos θ)Jn θ â&#x2C6;&#x2019; k , n

dâ&#x20AC;&#x2122;o` u 

f (cos θ) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;n (θ) =

0â&#x2030;¤kâ&#x2030;¤nâ&#x2C6;&#x2019;1

    2Ď&#x20AC;  2Ď&#x20AC;  f (cos θ) â&#x2C6;&#x2019; f cos k Jn θ â&#x2C6;&#x2019; k n n

par d´eďŹ nition de Ď&#x2022;n . La propri´et´e (v) du module de continuit´e avec t =   n  Îť = 2  cos θ â&#x2C6;&#x2019; cos k 2Ď&#x20AC; n  implique

2 n

et

  2Ď&#x20AC;   f (cos θ) â&#x2C6;&#x2019; f cos k  â&#x2030;¤ Ď&#x2030;f (Îťt) k  2Ď&#x20AC;   2  n  , â&#x2030;¤ 1 +  cos θ â&#x2C6;&#x2019; cos k  Ď&#x2030;f 2 n n par cons´equent lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e (â&#x2C6;&#x2014;) donne    2  2Ď&#x20AC; 2Ď&#x20AC; n   Jn θ â&#x2C6;&#x2019; k |f (cos θ) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;n (θ)| â&#x2030;¤  1 +  cos θ â&#x2C6;&#x2019; cos k   Ď&#x2030;f n 2 n n 0â&#x2030;¤kâ&#x2030;¤nâ&#x2C6;&#x2019;1  n Ď&#x20AC; 2 â&#x2030;¤ 1+ ¡ Ď&#x2030;f . 2 n n 





On obtient donc ďŹ nalement 2  Ď&#x20AC; 2 Ď&#x2030;f â&#x2030;¤ 3 Ď&#x2030;f . f â&#x2C6;&#x2019; pnâ&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2030;¤ 1 + 2 n n Il r´esulte du th´eor`eme de Jackson que (pn ) converge uniform´ement vers f quand n tend vers +â&#x2C6;&#x17E;. Comme le polynË&#x2020; ome de meilleure approximation qn satisfait par d´eďŹ nition f â&#x2C6;&#x2019; qn â&#x2030;¤ f â&#x2C6;&#x2019; pn , on en d´eduit que (qn ) converge uniform´ement vers f quand n tend vers +â&#x2C6;&#x17E;. Ceci ´equivaut a` lâ&#x20AC;&#x2122;´enonc´e suivant :

Th´ eor` eme de Weierstrass â&#x20AC;&#x201C; C([a, b]) pour la norme uniforme.

Lâ&#x20AC;&#x2122;espace P des polynË&#x2020; omes est dense dans


46

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles



 



   

 

 

        

 

Soient x0 , x1 , . . . , xn â&#x2C6;&#x2C6; [a, b] des points 2 a` 2 distincts. On consid`ere lâ&#x20AC;&#x2122;op´erateur dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation de Lagrange Ln : C([a, b]) â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; Pn f â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; pn . Dans la pratique, la fonction f `a interpoler nâ&#x20AC;&#x2122;est pas connue exactement : on ne dispose que dâ&#x20AC;&#x2122;une valeur approch´ee f = f +g, o` u g est un terme dâ&#x20AC;&#x2122;erreur. Au lieu de calculer pn = Ln (f ), on va donc calculer pn = Ln (f) = Ln (f )+Ln (g) = pn +Ln (g). Si g est lâ&#x20AC;&#x2122;erreur commise sur f , lâ&#x20AC;&#x2122;erreur sur pn sera donc Ln (g). Dâ&#x20AC;&#x2122;un point de vue num´erique, il va Ë&#x2020;etre tr`es important de pouvoir estimer Ln (g) en fonction de g . Rappelons la formule dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation (*) d´emontr´ee au § 1.1 : si Ln (g) = rn , alors rn (x) =

n 

g(xi )li (x).

i=0

On a donc |rn (x)| â&#x2030;¤

 n 

 |li (x)| g .

i=0

Th´ eor` eme et d´ eďŹ nition â&#x20AC;&#x201C; La norme de lâ&#x20AC;&#x2122;op´erateur dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation Ln est 



Î&#x203A;n = sup xâ&#x2C6;&#x2C6;[a,b]

 |li (x)| .

i=0

Le nombre Î&#x203A;n est appel´e constante de Lebesgue associ´ee ` a x0 , x1 , . . . , xn . D´ emonstration. Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es ce qui pr´ec`ede, on a Ln (g) = rn â&#x2030;¤ Î&#x203A;n g , donc |||Ln ||| â&#x2030;¤ Î&#x203A;n . R´eciproquement, la continuit´e des li entraË&#x2020;Äąne quâ&#x20AC;&#x2122;il existe un point n  |li (Ξ)|. On peut trouver une fonction g â&#x2C6;&#x2C6; C([a, b]) aďŹ&#x192;ne Ξ â&#x2C6;&#x2C6; [a, b] tel que Î&#x203A;n = i=0

par morceaux, telle que g = 1 et g(xi ) = ¹1 = signe (li (Ξ)). Alors Ln (g)(Ξ) =

n 

|li (Ξ)| = Î&#x203A;n ,

i=0

de sorte que Ln (g) â&#x2030;Ľ Î&#x203A;n et |||Ln ||| â&#x2030;Ľ Î&#x203A;n . Intuitivement, la constante Î&#x203A;n peut sâ&#x20AC;&#x2122;interpr´eter comme le facteur dâ&#x20AC;&#x2122;ampliďŹ cation de lâ&#x20AC;&#x2122;erreur dans le proc´ed´e dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation de Lagrange. On va voir que Î&#x203A;n est


47

II â&#x20AC;&#x201C; Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques

´egalement li´ee au probl`eme de la convergence des polynË&#x2020;omes dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation, grË&#x2020; ace a lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e suivante : `

Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; Pour tout f â&#x2C6;&#x2C6; C([a, b]), on a f â&#x2C6;&#x2019; Ln (f ) â&#x2030;¤ (1 + Î&#x203A;n )d(f, Pn ).

ome de meilleure approximation uniforme de f , D´ emonstration. Soit qn le polynË&#x2020; de sorte que f â&#x2C6;&#x2019; qn = d(f, Pn ). Puisque qn â&#x2C6;&#x2C6; Pn , on a Ln (qn ) = qn , donc f â&#x2C6;&#x2019; Ln (f ) = f â&#x2C6;&#x2019; qn â&#x2C6;&#x2019; Ln (f â&#x2C6;&#x2019; qn ) f â&#x2C6;&#x2019; Ln (f ) â&#x2030;¤ f â&#x2C6;&#x2019; qn + Ln (f â&#x2C6;&#x2019; qn ) â&#x2030;¤ f â&#x2C6;&#x2019; qn + Î&#x203A;n f â&#x2C6;&#x2019; qn = (1 + Î&#x203A;n )d(f, Pn ).

    xi        Posons xi = a + ih, 0 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n et x = a + sh, o` u s â&#x2C6;&#x2C6; [0, n], h = li (x)

bâ&#x2C6;&#x2019;a n .

On a alors

 sâ&#x2C6;&#x2019;j  (x â&#x2C6;&#x2019; xj ) = (xi â&#x2C6;&#x2019; xj ) iâ&#x2C6;&#x2019;j j=i

j=i

= (â&#x2C6;&#x2019;1)nâ&#x2C6;&#x2019;i

s(s â&#x2C6;&#x2019; 1) . . . (s% â&#x2C6;&#x2019; i) . . . (s â&#x2C6;&#x2019; n) , i!(n â&#x2C6;&#x2019; i)!

o` u s% â&#x2C6;&#x2019; i d´esigne un facteur omis. On peut d´emontrer a` partir de l` a que Î&#x203A;n â&#x2C6;ź

2n+1 . en ln (n)

Nous nous contenterons de d´emontrer une minoration de Î&#x203A;n . Pour s = 12 , câ&#x20AC;&#x2122;est-`adire pour x = a + h2 , il vient

|li (x)| =

1 2

¡

1 2

¡

3 2

%   . . . i â&#x2C6;&#x2019; 12 . . . n â&#x2C6;&#x2019; 12

i!(n â&#x2C6;&#x2019; i)! â&#x2C6;&#x2019; 1) . . . (n â&#x2C6;&#x2019; 1) 1 n! 1 1 ¡ 2 . . . (i% â&#x2030;Ľ 2 . â&#x2030;Ľ ¡ 4 i!(n â&#x2C6;&#x2019; i)! 4n i!(n â&#x2C6;&#x2019; i)!

On en d´eduit Î&#x203A;n â&#x2030;Ľ

n  i=0

|li (x)| â&#x2030;Ľ

n 1  i 1 Cn = 2 2n . 2 4n i=0 4n

Comme Î&#x203A;n tend vers +â&#x2C6;&#x17E; assez rapidement, on voit que lâ&#x20AC;&#x2122;interpolation de Lagrange en des points ´equidistants nâ&#x20AC;&#x2122;est pas une m´ethode num´erique tr`es stable : les erreurs sont fortement ampliďŹ Â´ees lorsque n est grand. Comme Î&#x203A;n tend en g´en´eral nettement plus vite vers +â&#x2C6;&#x17E; que d(f, Pn ) ne tend vers 0 (cf. Th. de Jackson), le th´eor`eme


48

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

ci-dessus donne ´egalement une indication de la raison pour laquelle le ph´enom`ene de Runge se produit.

Exercice â&#x20AC;&#x201C; |li (x)| â&#x2030;¤

Si x = a + sh avec s â&#x2C6;&#x2C6; [k, k + 1], 0 â&#x2030;¤ k < n, montrer que n! â&#x2030;¤ i!(nâ&#x2C6;&#x2019;i)! . En d´eduire que Î&#x203A;n â&#x2030;¤ 2n .

(nâ&#x2C6;&#x2019;k)!(k+1)! i!(nâ&#x2C6;&#x2019;i)!

      

  Il est facile de voir que la constante Î&#x203A;n reste inchang´ee si lâ&#x20AC;&#x2122;on eďŹ&#x20AC;ectue un changement aďŹ&#x192;ne de coordonn´ees x â&#x2020;&#x2019; Îąx+β. On se placera donc pour simpliďŹ er sur lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle ome [â&#x2C6;&#x2019;1, 1]. Dans ce cas, comme Ď&#x20AC;n+1 (x) = 2â&#x2C6;&#x2019;n tn+1 (x) dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es le § 1.5, le polynË&#x2020; dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction f â&#x2C6;&#x2C6; C([â&#x2C6;&#x2019;1, 1]) est donn´e par  f (xi )li (x) Pn (x) = i=0

avec li (x) =

tn+1 (x) Ď&#x20AC;n+1 (x) = .  (x â&#x2C6;&#x2019; xi )Ď&#x20AC;n+1 (xi ) (x â&#x2C6;&#x2019; xi )tn+1 (xi )

Estimation de la constante de Lebesgue â&#x20AC;&#x201C; On peut montrer que Î&#x203A;n â&#x2C6;ź

2 ln (n) Ď&#x20AC;

quand

n â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;.

Nous nous contenterons de v´eriďŹ er que Î&#x203A;n â&#x2030;¤ C ln (n), o` u C est une constante positive, et laisserons au lecteur lâ&#x20AC;&#x2122;initiative de raďŹ&#x192;ner la m´ethode pour obtenir le r´esultat plus pr´ecis ci-dessus. Posons x = cos θ,

xi = cos θi

o` u

θi =

2i + 1 Ď&#x20AC;, 2n + 2

0 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n.

La relation tn+1 (cos θ) = cos (n + 1)θ entraË&#x2020;Äąne par d´erivation sin θ tn+1 (cos θ) = (n + 1) sin (n + 1)θ. Comme sin (n + 1) θi = sin (2i + 1) Ď&#x20AC;2 = (â&#x2C6;&#x2019;1)i , il vient (â&#x2C6;&#x2019;1)i , sin θi (â&#x2C6;&#x2019;1)i sin θi cos (n + 1)θ li (cos θ) = , (n + 1)(cos θ â&#x2C6;&#x2019; cos θi ) | sin θi cos (n + 1) θ| |li (cos θ)| = . (n + 1)| cos θ â&#x2C6;&#x2019; cos θi | tn+1 (xi ) = (n + 1)

Minorons la quantit´e cos θ â&#x2C6;&#x2019; cos θi = â&#x2C6;&#x2019;2 sin

θ + θi θ â&#x2C6;&#x2019; θi sin . 2 2


49

II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques

y y=

2 π

t

1 y = sin t

0

π/2

  Pour t ∈ 0, π2 on a sin t ≥

2 π

π

t

t, or

 2 |θ − θi | θ − θi  θ − θi  π π   ∈ − , , donc  sin . ≥ 2 2 2 2 π 2   i Par ailleurs θ+θ avec θ2i ≤ π2 et θi +π ∈ θ2i , θi +π ≥ π2 , donc 2 2 2    θi θ + θi  θi + π  θi θi   = min sin , cos .  ≥ min sin , sin  sin 2 2 2 2 2   Comme sin θi = 2 sin θ2i cos θ2i ≤ 2 min sin θ2i , cos θ2i , on obtient |li (cos θ)| ≤ π

| cos (n + 1)θ| . (n + 1)|θ − θi |

(∗)

D’apr`es le th´eor`eme des accroissements finis cos (n + 1)θ = cos (n + 1)θ − cos (n + 1)θi = (n + 1)(θ − θi )(− sin ξ), | cos (n + 1)θ| ≤ (n + 1)|θ − θi |, donc |li (cos θ)| ≤ π, ∀θ ∈ [0, π] \ {θi }, et ceci est encore vrai par continuit´e si θ = θi . π Fixons θ ∈ [0, π] et soit θj le point le plus proche de θ. Si on note h = n+1 = θi+1 − θi , alors on a h , 2 |θ − θi | ≥ |θj − θi | − |θ − θj | ≥ (|j − i| − 1)h.

|θ − θj | ≤

L’in´egalit´e (∗) donne n 

|li (cos θ)| ≤

i=0

 d’o` u Λn ≤ 2 1 +

1 2

+ ... +

1 n



π (n + 1)h

 j=i,i+1,i−1

+ 3π ≤ C ln (n).

1 + 3π, |j − i| − 1


50

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Exercice â&#x20AC;&#x201C; Montrer inversement que n 

2 1  θi â&#x2030;Ľ cotan n + 1 i=0 2 Ď&#x20AC; n

|li (1)| =

i=0



Ď&#x20AC;/2

cotan t dt â&#x2030;Ľ θ0 /2

2 ln (n). Ď&#x20AC;

Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es le th´eor`eme du § 4.1 et le th´eor`eme de Jackson, on obtient pour tout f â&#x2C6;&#x2C6; C([a, b]) : f â&#x2C6;&#x2019; Ln (f ) â&#x2030;¤ (1 + Î&#x203A;n )d(f, Pn ) â&#x2030;¤ C  ln (n) ¡ Ď&#x2030;f

bâ&#x2C6;&#x2019;a . n+2

Corollaire â&#x20AC;&#x201C; On suppose que f est lipschitzienne, câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire quâ&#x20AC;&#x2122;il existe une constante K â&#x2030;Ľ 0 telle que â&#x2C6;&#x20AC;x, y â&#x2C6;&#x2C6; [a, b] on ait |f (x) â&#x2C6;&#x2019; f (y)| â&#x2030;¤ K(x â&#x2C6;&#x2019; y). omes dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation de Tchebychev converge uniAlors la suite Ln (f ) des polynË&#x2020; form´ement vers f sur [a, b]. Sous ces hypoth`eses on a en eďŹ&#x20AC;et Ď&#x2030;f (t) â&#x2030;¤ Kt, donc f â&#x2C6;&#x2019; Ln (f ) â&#x2030;¤ KC  (b â&#x2C6;&#x2019; a)

ln (n) , n+2

ce qui tend vers 0 quand n tend vers +â&#x2C6;&#x17E;. Ces r´esultats montrent que lâ&#x20AC;&#x2122;interpolation aux points de Tchebychev est consid´erablement plus ďŹ able que lâ&#x20AC;&#x2122;interpolation en des points ´equidistants. Le sch´ema ci-dessous compare `a titre dâ&#x20AC;&#x2122;exemple les polynË&#x2020; omes â&#x2C6;&#x161; dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation de degr´e 6 associ´es `a la fonction fx (x) = 1/(x2 + Îą2 ) pour Îą = 8 (voir aussi le §2.3).

y Points dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation :

1/Îą2

´equidistants de Tchebychev fι

â&#x2C6;&#x2019;1

pn

(n = 6)

0

1

x


II â&#x20AC;&#x201C; Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques

51

     Soit ]a, b[ un intervalle ouvert born´e ou non dans R. On se donne un poids sur ]a, b[, câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire une fonction w : ]a, b[ â&#x2020;&#x2019; ]0, +â&#x2C6;&#x17E;[ continue. On suppose en outre  b |x|n w(x)dx est convergente ; câ&#x20AC;&#x2122;est le cas que pour tout entier n â&#x2C6;&#x2C6; N lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale  ba par exemple si ]a, b[ est born´e et si w(x)dx converge. Sous ces hypoth`eses, on a

consid`ere lâ&#x20AC;&#x2122;espace vectoriel E des fonctions continues sur ]a, b[ telles que  

b

|f (x)|2 w(x)dx < +â&#x2C6;&#x17E;.

f 2 = a

GrË&#x2020; ace aux hypoth`eses faites ci-dessus, E contient lâ&#x20AC;&#x2122;espace vectoriel des fonctions polynË&#x2020; omes. Lâ&#x20AC;&#x2122;espace E est muni dâ&#x20AC;&#x2122;un produit scalaire naturel  f, g =

b

f (x)g(x)w(x)dx, a

et 2 est la norme associ´ee `a ce produit scalaire ; cette norme est appel´ee norme L2 ou norme moyenne quadratique. On notera d2 (f, g) = f â&#x2C6;&#x2019; g 2 la distance associ´ee.

Th´ eor` eme 1 â&#x20AC;&#x201C; Il existe une suite de polynË&#x2020;omes unitaires (pn )nâ&#x2C6;&#x2C6;N , deg(pn ) = n, orthogonaux 2 ` a 2 pour le produit scalaire de E. Cette suite est unique. Les omes orthogonaux pour le poids w. polynË&#x2020; omes pn sont appel´es polynË&#x2020; D´ emonstration. On construit pn par r´ecurrence `a lâ&#x20AC;&#x2122;aide du proc´ed´e dâ&#x20AC;&#x2122;orthogonalisation de Schmidt. On a p0 (x) = 1, puisque p0 doit Ë&#x2020;etre unitaire. Supposons p0 , p1 , . . . , pnâ&#x2C6;&#x2019;1 d´ej`a construits. Comme deg pi = i, ces polynË&#x2020;omes forment une base de Pnâ&#x2C6;&#x2019;1 . On peut donc chercher pn sous la forme pn (x) = xn â&#x2C6;&#x2019;

nâ&#x2C6;&#x2019;1 

Îťj,n pj (x).

j=0

La condition pn , pk  = 0 pour k = 0, 1, . . . , n â&#x2C6;&#x2019; 1 donne pn , pk  = 0 = x , pk  â&#x2C6;&#x2019; n

nâ&#x2C6;&#x2019;1 

Îťj,n pj , pk 

j=0

= xn , pk  â&#x2C6;&#x2019; Îťk,n pk 22 . On a donc un et un seul choix possible, a` savoir Îťk,n =

xn , pk  . pk 22


52

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Remarque â&#x20AC;&#x201C; La suite pn ainsi construite nâ&#x20AC;&#x2122;est pas orthonorm´ee en g´en´eral. La suite normalis´ee pn = pn1 2 pn est une base orthonorm´ee de lâ&#x20AC;&#x2122;espace P des polynË&#x2020; omes. Th´ eor` eme 2 â&#x20AC;&#x201C; Les polynË&#x2020;omes pn v´eriďŹ ent la relation de r´ecurrence pn (x) = (x â&#x2C6;&#x2019; Îťn )pnâ&#x2C6;&#x2019;1 (x) â&#x2C6;&#x2019; Âľn pnâ&#x2C6;&#x2019;2 (x), avec Îťn =

xpnâ&#x2C6;&#x2019;1 , pnâ&#x2C6;&#x2019;1  , pnâ&#x2C6;&#x2019;1 22

Âľn =

nâ&#x2030;Ľ2

pnâ&#x2C6;&#x2019;1 22 . pnâ&#x2C6;&#x2019;2 22

D´ emonstration. Le polynË&#x2020; ome xpnâ&#x2C6;&#x2019;1 est unitaire de degr´e n, donc on peut ´ecrire nâ&#x2C6;&#x2019;1 

xpnâ&#x2C6;&#x2019;1 = pn +

Îąk pk ,

k=0

o` u xpnâ&#x2C6;&#x2019;1 , pk  = Îąk pk 22 , 0 â&#x2030;¤ k â&#x2030;¤ n â&#x2C6;&#x2019; 1. Par d´eďŹ nition du produit scalaire, on a  xpnâ&#x2C6;&#x2019;1 , pk  = pnâ&#x2C6;&#x2019;1 , xpk  =

b

x pnâ&#x2C6;&#x2019;1 (x)pk (x)w(x) dx. a

Si k â&#x2030;¤ nâ&#x2C6;&#x2019;3, xpk â&#x2C6;&#x2C6; Pnâ&#x2C6;&#x2019;2 , donc pnâ&#x2C6;&#x2019;1 , xpk  = 0. Il y a donc au plus deux coeďŹ&#x192;cients non nuls : Îąnâ&#x2C6;&#x2019;1 =

xpnâ&#x2C6;&#x2019;1 , pnâ&#x2C6;&#x2019;1  = Îťn , pnâ&#x2C6;&#x2019;1 22

Îąnâ&#x2C6;&#x2019;2 =

pnâ&#x2C6;&#x2019;1 , xpnâ&#x2C6;&#x2019;2  . pnâ&#x2C6;&#x2019;2 22

Or xpnâ&#x2C6;&#x2019;2 = pnâ&#x2C6;&#x2019;1 + q, q â&#x2C6;&#x2C6; Pnâ&#x2C6;&#x2019;2 , donc pnâ&#x2C6;&#x2019;1 , xpnâ&#x2C6;&#x2019;2  = pnâ&#x2C6;&#x2019;1 22 + pnâ&#x2C6;&#x2019;1 , q = pnâ&#x2C6;&#x2019;1 22 , ce qui donne Îąnâ&#x2C6;&#x2019;2 = Âľn et xpnâ&#x2C6;&#x2019;1 = pn + Îťn pnâ&#x2C6;&#x2019;1 + Âľn pnâ&#x2C6;&#x2019;2 .

Exemples â&#x20AC;&#x201C; Certains cas particuliers ont donn´e lieu `a des ´etudes plus pouss´ees. Mentionnons entre autres les cas suivants : â&#x20AC;˘ ]a, b[ = ]0, +â&#x2C6;&#x17E;[,

w(x) = eâ&#x2C6;&#x2019;x , 2

â&#x20AC;˘ ]a, b[ = ] â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;, +â&#x2C6;&#x17E;[, w(x) = eâ&#x2C6;&#x2019;x , â&#x20AC;˘ ]a, b[ = ] â&#x2C6;&#x2019; 1, 1[,

w(x) = 1,

â&#x20AC;˘ ]a, b[ = ] â&#x2C6;&#x2019; 1, 1[,

w(x) =

â&#x2C6;&#x161; 1 , 1â&#x2C6;&#x2019;x2

pn = polynË&#x2020; omes de Laguerre ; pn = polynË&#x2020; omes de Hermite ; omes de Legendre ; pn = polynË&#x2020; pn = polynË&#x2020; omes de Tchebychev.


II â&#x20AC;&#x201C; Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques

53

V´eriďŹ ons en eďŹ&#x20AC;et que les polynË&#x2020;oâ&#x2C6;&#x161; mes de Tchebychev tn sont 2 a` 2 orthogonaux relativement au poids w(x) = 1/ 1 â&#x2C6;&#x2019; x2 . Le changement de variable x = cos θ, θ â&#x2C6;&#x2C6; [0, Ď&#x20AC;] donne : 

 Ď&#x20AC; 1 dx = tn (cos 1 â&#x2C6;&#x2019; x2 â&#x2C6;&#x2019;1 0  si  Ď&#x20AC; 0 cos nθ ¡ cos kθ dθ = Ď&#x20AC;2 = si  0 Ď&#x20AC; si 1

tn (x)tk (x) â&#x2C6;&#x161;

θ)tk (cos θ) dθ n = k n = k = 0. n=k=0

Comme tn a pour coeďŹ&#x192;cient directeur 2nâ&#x2C6;&#x2019;1 si n â&#x2030;Ľ 1, on en d´eduit 

p0 (x) = t0 (x) = 1 pn (x) = 21â&#x2C6;&#x2019;n tn (x)

si n â&#x2030;Ľ 1.

On sait que tn a n z´eros distincts dans ] â&#x2C6;&#x2019; 1, 1[. On va voir que câ&#x20AC;&#x2122;est une propri´et´e g´en´erale des polynË&#x2020; omes orthogonaux.

Th´ eor` eme 3 â&#x20AC;&#x201C; Pour tout poids w sur ]a, b[, le polynË&#x2020;ome pn poss`ede n z´eros distincts dans lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle ]a, b[.

D´ emonstration. Soient x1 , . . . , xk les z´eros distincts de pn contenus dans ]a, b[ et m1 , . . . , mk leurs multiplicit´es respectives. On a m1 + . . . + mk â&#x2030;¤ deg pn = n. Posons Îľi = 0 si mi est pair, Îľi = 1 si mi est impair, et

q(x) =

k 

(x â&#x2C6;&#x2019; xi )Îľi ,

deg q â&#x2030;¤ k â&#x2030;¤ n.

i=1

Le polynË&#x2020; ome pn q admet dans ]a, b[ les z´eros xi avec multiplicit´e paire mi + Îľi , donc pn q est de signe constant dans ]a, b[ \ {x1 , . . . , xk }. Par cons´equent 

b

pn (x)q(x)w(x)dx = 0.

pn , q = a

Comme pn est orthogonal a` Pnâ&#x2C6;&#x2019;1 , on a n´ecessairement deg q = n, donc k = n et m1 = . . . = mk = 1. Plusieurs m´ethodes dâ&#x20AC;&#x2122;approximation de fonctions continues par des polynË&#x2020; omes ont d´ej`a ´et´e vues. En voici encore une autre.

Th´ eor` eme 4 â&#x20AC;&#x201C; Soit f â&#x2C6;&#x2C6; E. Alors il existe une unique polynË&#x2020;ome rn â&#x2C6;&#x2C6; Pn tel

ome de meilleure approximation que f â&#x2C6;&#x2019; rn 2 = d2 (f, Pn ) ; rn est appel´e polynË&#x2020; quadratique de f a ` lâ&#x20AC;&#x2122;ordre n.


54

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

f

E 0 rn

Pn

Puisquâ&#x20AC;&#x2122;on travaille dans un espace euclidien, le point de Pn le plus proche de f nâ&#x20AC;&#x2122;est Îąk pk , il vient autre que la projection orthogonale de f sur Pn . Si on ´ecrit rn = u la formule f, pk  = rn , pk  = Îąk pk 22 , dâ&#x20AC;&#x2122;o` rn (x) =

n  f, pk  k=0

pk 22

pk (x).

On va maintenant ´etudier la convergence de rn quand n tend vers +â&#x2C6;&#x17E;. Lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e ´evidente  b  b 2 2 |f (x)| w(x)dx â&#x2030;¤ (sup |f (x)|) w(x)dx a

a

entraË&#x2020;Äąne f 2 â&#x2030;¤ Cw f ,

 o` u

Cw =

b

w(x)dx

1/2

.

a

Ceci permet de contrË&#x2020;oler 2 ` a lâ&#x20AC;&#x2122;aide de la norme uniforme.

Th´ eor` eme 5 â&#x20AC;&#x201C; Si ]a, b[ est born´e, alors lim f â&#x2C6;&#x2019; rn 2 = 0 pour tout f â&#x2C6;&#x2C6; E. nâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

Remarque â&#x20AC;&#x201C; Le th´eor`eme 5 peut Ë&#x2020;etre faux si ]a, b[ est non born´e. D´ emonstration â&#x20AC;˘ Supposons dâ&#x20AC;&#x2122;abord que f â&#x2C6;&#x2C6; C([a, b]). Dans ce cas, soit qn le polynË&#x2020; ome de meilleure approximation uniforme de f . On a f â&#x2C6;&#x2019; rn 2 â&#x2030;¤ f â&#x2C6;&#x2019; qn 2 â&#x2030;¤ Cw f â&#x2C6;&#x2019; qn , et on sait que lim f â&#x2C6;&#x2019; qn = 0. nâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

â&#x20AC;˘ Supposons maintenant f â&#x2C6;&#x2C6; E quelconque. Soit Ď&#x2021;Îą la fonction plateau d´eďŹ nie par le sch´ema ci-dessous :


55

II â&#x20AC;&#x201C; Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques

y Ď&#x2021;Îą 1

0

a

a+Îą/2

a+Îą

bâ&#x2C6;&#x2019;Îą

bâ&#x2C6;&#x2019;Îą/2 b

x

Comme f â&#x2C6;&#x2C6; C(]a, b[), on a f Ď&#x2021;Îą â&#x2C6;&#x2C6; C([a, b]) si lâ&#x20AC;&#x2122;on convient que f Ď&#x2021;Îą (a) = f Ď&#x2021;Îą (b) = 0. De plus  a+Îą  b |f (x)|2 w(x)dx + |f (x)|2 w(x)dx, f â&#x2C6;&#x2019; f Ď&#x2021;Îą 22 â&#x2030;¤ a

bâ&#x2C6;&#x2019;Îą

de sorte que lim f â&#x2C6;&#x2019;f Ď&#x2021;Îą 2 = 0. Soit rÎą,n le polynË&#x2020; ome de meilleure approximation Îąâ&#x2020;&#x2019;0+

quadratique de f Ď&#x2021;Îą . On a f â&#x2C6;&#x2019; rn 2 â&#x2030;¤ f â&#x2C6;&#x2019; rÎą,n 2 â&#x2030;¤ f â&#x2C6;&#x2019; f Ď&#x2021;Îą 2 + f Ď&#x2021;Îą â&#x2C6;&#x2019; rÎą,n 2 . Soit Îľ > 0 ďŹ x´e. On peut dâ&#x20AC;&#x2122;abord choisir Îą > 0 tel que f â&#x2C6;&#x2019; f Ď&#x2021;Îą 2 < 2Îľ ; Îą ´etant ainsi ďŹ x´e, on peut choisir n0 tel que n > n0 entraË&#x2020;Äąne f Ď&#x2021;Îą â&#x2C6;&#x2019; rÎą,n 2 < 2Îľ et donc f â&#x2C6;&#x2019; rn 2 < Îľ.

Mise en Ĺ&#x201C;uvre num´ erique â&#x20AC;&#x201C; Si les polynË&#x2020;omes pn sont connus, le calcul

des rn est possible d`es lors quâ&#x20AC;&#x2122;on sait ´evaluer les int´egrales f, pk  : les m´ethodes dâ&#x20AC;&#x2122;int´egration num´erique feront pr´ecis´ement lâ&#x20AC;&#x2122;objet du prochain chapitre. Si les polynË&#x2020; omes pn ne sont pas connus, on peut les calculer num´eriquement par la formule de r´ecurrence du th´eor`eme 2. Le coË&#x2020; ut global de ces calculs est en g´en´eral beaucoup plus ´elev´e que celui des m´ethodes dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation.

   6.1. On note C([a, b], R) lâ&#x20AC;&#x2122;espace des fonctions continues sur lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [a, b] a` valeurs dans R, muni de la norme â&#x2C6;&#x17E; de la convergence uniforme. On consid`ere lâ&#x20AC;&#x2122;application Ď&#x2020; : C([a, b], R) â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; Rn+1 f â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; (m0 (f ), m1 (f ), . . . , mn (f )) telle que mi (f ) =

1 2

(f (xi ) + f (xi )), o` u x0 < x0 < x1 < x1 < . . . < xn < xn

sont des points ďŹ x´es de [a, b].


56

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

(a) Soit f ∈ C([a, b], R) telle que φ(f ) = 0. Montrer que pour tout i il existe ξi ∈ [xi , xi ] tel que f (ξi ) = 0. omes de (b) Montrer que la restriction φ : Pn → Rn+1 de φ `a l’espace Pn des polynˆ degr´e ≤ n est injective. En d´eduire que pour tout f ∈ C([a, b]), R) il existe un unique polynˆ ome Pn ∈ P tel que φ(pn ) = φ(f ). (c) On suppose ici que f est de classe C n+1 . En utilisant (a), majorer pn − f ∞ en fonction de f (n+1) et b − a. (d) Calculer explicitement p2 en fonction de m0 (f ), m1 (f ), m2 (f ) pour la subdivision x0 < x0 < x1 < x1 < x2 < x2 de [a, b] = [−1, 1] de pas constant 25 . 6.2. On note tn le polynˆ ome de Tchebychev de degr´e n et c un r´eel tel que |c| < 1. (a) Montrer qu’il existe une fonction continue ψ `a valeurs r´eelles, d´efinie sur [0, π] avec ψ(0) = ψ(π) = 0 et v´erifiant eiψ(θ) =

1 − ce−iθ . 1 − ceiθ

(b) Pour n ∈ N on note g(θ) = (n + 1)θ + ψ(θ). (α) Soit θ1 = π. Calculer g(θ1 ) − nπ et g(0) − nπ. En d´eduire qu’il existe θ2 v´erifiant 0 < θ2 < θ1 et g(θ2 ) = nπ. (β) Montrer qu’il existe une suite strictement d´ecroissante θk de [0, π] telle que g(θk ) = (n − k + 2)π pour k = 1, . . . n + 2.   −iθ avec θ = Arc cos x, x ∈ [−1, 1]. (γ) On note ϕn (x) = Re ei(n+1)θ 1−ce 1−ceiθ Calculer ϕn . Montrer que ϕn ´equioscille sur n + 2 points de [−1, 1]. +∞ (c) (α) Montrer que la s´erie − 12 + k=0 ck tk (x) converge uniform´ement sur [−1, 1] vers une fonction fc (x) que l’on explicitera. 1  k cn c tk (x) + tn (x). (β) On note pn (x) = − + 2 1 − c2 n−1

k=0

Montrer que pn est le polynˆ ome de meilleure approximation uniforme de degr´e n de fc . Calculer fc − pn . (d) (α) Montrer que l’on peut choisir c et λ tels que pour tout x ∈ [0, 1] on ait λ . fc (2x − 1) = 1+x (β) Montrer qu’il existe une suite de polynˆ omes qn de Pn tels que la suite   αn = Supx∈[0,1] 

 1  − qn (x) 1+x

v´erifie pour tout k ∈ N, lim nk αn = 0. n→+∞


57

II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques

6.3. Soit f : [a, b] → R une fonction continue, ind´efiniment d´erivable sur ]a, b[. Soient x0 , x1 , . . . , xn ∈ [a, b]. Pour chaque i ∈ {0, 1, . . . , n}, soit αi un entier positif. On cherche un polynˆ ome P (x) de degr´e < β = (αi + 1) tel que : P (j) (xi ) = f (j) (xi ) pour

i = 0, 1, . . . , n et j = 0, 1, . . . , αi ,

o` u (j) d´esigne l’ordre de d´erivation. (a) D´emontrer l’unicit´e de P , puis son existence grˆace `a un raisonnement d’alg`ebre lin´eaire. (b) On suppose P solution du probl`eme. Soient Ri (x) et pi (x) des polynˆ omes v´erifiant les relations Ri (x) = pi (x) + (x − xi )αi +1 Ri+1 (x), R0 (x) = P (x), Rn+1 (x) = 0.

deg pi ≤ αi ,

(α) Montrer que (j)

(j)

pi (xi ) = Ri (xi ) pour

j = 0, 1, . . . , αi .

(β) Montrer que l’on peut ´ecrire pi (x) sous la forme : pi (x) =

αi 

aik (x − xi )k .

k=0 (k)

Calculer les coefficients aik en fonction de Ri (xi ). (γ) Montrer que P (x) peut s’´ecrire : P (x) = p0 (x) +

n  i−1    pi (x) (x − xr )αr +1 . i=1

r=0

(δ) Indiquer une m´ethode de r´ecurrence pour calculer p0 (x), puis R1 (x) et a1k , . . ., puis Rj (x) et ajk en fonction de f et de ses d´eriv´ees f (j) (xi ). Montrer que l’on peut ainsi calculer P (x) en fonction des donn´ees du probl`eme. (ε) Que se passe-t-il dans le cas particulier o` un=0? (c) On suppose que les αi sont rang´es par ordre croissant. Montrer qu’il existe t ∈ [a, b] tel que : f (x) = P (x) + (x − x0 )α0 +1 (x − x1 )α1 +1 . . . (x − xn )αn +1

f (β) (t) β!

Indication : on pourra consid´erer la fonction g(x) = f (x) − P (x) − (x − x0 )α0 +1 . . . (x − xn )αn +1 K, et examiner combien de fois s’annulent g(x), g  (x) . . ., g (α0 ) (x), . . ., g (αn ) (x), . . . , g (β) (x).


     Lâ&#x20AC;&#x2122;objet de ce chapitre est de d´ecrire quelques m´ethodes num´eriques classiques (Newton-Cotes, Gauss, Romberg) permettant dâ&#x20AC;&#x2122;´evaluer des int´egrales de fonctions dont les valeurs sont connues en un nombre ďŹ ni de points. On sâ&#x20AC;&#x2122;attachera a` expliciter le plus compl`etement possible les formules dâ&#x20AC;&#x2122;erreurs dans chacun des cas.

             

       Soit f : [Îą, β] â&#x2020;&#x2019; R une fonction continue. On se propose de chercher des formules β approch´ees pour lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale Îą f (x)dx. Pour cela, on choisit dâ&#x20AC;&#x2122;abord une subdivision Îą = Îą0 < Îą1 < . . . < Îąk = β de lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [Îą, β]. La formule de Chasles donne 

β

f (x)dx =

kâ&#x2C6;&#x2019;1   Îąi+1

Îą

i=0

f (x)dx.

Îąi

On est donc ramen´e au probl`eme dâ&#x20AC;&#x2122;´evaluer lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale de f sur un petit intervalle [Îąi , Îąi+1 ]. Ce calcul est eďŹ&#x20AC;ectu´e au moyen de formules approch´ees (qui peuvent Ë&#x2020;etre a priori diďŹ&#x20AC;´erentes sur chacun des intervalles [Îąi , Îąi+1 ]), appel´ees m´ethodes de quadrature ´el´ementaires, du type suivant :

M´ ethodes de quadrature ´ el´ ementaires 

Îąi+1

f (x)dx  (Îąi+1 â&#x2C6;&#x2019; Îąi )

Îąi

o` u Ξi,j â&#x2C6;&#x2C6; [Îąi , Îąi+1 ], 0 â&#x2030;¤ j â&#x2030;¤ li

li  j=0

et

li j=0

Ď&#x2030;i,j = 1.

Ď&#x2030;i,j f (Ξi,j ),


60

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

La sommation peut Ë&#x2020;etre interpr´et´ee comme une valeur moyenne de f sur [Îą, Îąi+1 ]. Le probl`eme est de choisir convenablement les points Ξi,j et les coeďŹ&#x192;cients Ď&#x2030;i,j de fa¸con `a minimiser lâ&#x20AC;&#x2122;erreur. Ceci se fera en g´en´eral en ´evaluant lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale Îąi+1 f (x)dx au moyen dâ&#x20AC;&#x2122;une interpolation de f aux points Ξi,j . Îąi La m´ethode de quadrature compos´ee associ´ee sera 

β

f (x)dx  Îą

kâ&#x2C6;&#x2019;1 

li 

i=0

j=0

(Îąi+1 â&#x2C6;&#x2019; Îąi )

Ď&#x2030;i,j f (Ξi,j )

D´ eďŹ nition â&#x20AC;&#x201C; On dit quâ&#x20AC;&#x2122;une m´ethode de quadrature (´el´ementaire ou compos´ee) est dâ&#x20AC;&#x2122;ordre N si la formule approch´ee est exacte pour tout f â&#x2C6;&#x2C6; PN et inexacte pour au moins un f â&#x2C6;&#x2C6; PN +1 . On observera que les formules sont toujours exactes pour f (x) = 1 a` cause de earit´e, elles sont donc exactes au moins pour lâ&#x20AC;&#x2122;hypoth`ese j Ď&#x2030;i,j = 1. Par lin´ f â&#x2C6;&#x2C6; P0 .

  

(a) Cas le plus simple : li = 0, quel que soit i. On choisit alors un seul point Ξi â&#x2C6;&#x2C6; [Îąi , Îąi+1 ] et on remplace f sur [Îąi , Îąi+1 ] par le polynË&#x2020; ome de degr´e 0 : p0 (x) = f (Ξi ). On a alors 

Îąi+1

f (x)dx  (Îąi+1 â&#x2C6;&#x2019; Îąi )f (Ξi ),

Îąi



β

f (x)dx  Îą

kâ&#x2C6;&#x2019;1 

(Îąi+1 â&#x2C6;&#x2019; Îąi )f (Ξi ),

i=0

câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire quâ&#x20AC;&#x2122;on approxime lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale par une somme de Riemann relative `a la subdivision (Îąi ). Voici les choix les plus courants : a gauche â&#x20AC;˘ Ξi = Îąi : m´ethode des rectangles ` 

β

f (x)dx  Îą

kâ&#x2C6;&#x2019;1 

(Îąi+1 â&#x2C6;&#x2019; Îąi )f (Îąi ).

i=0

â&#x20AC;˘ Ξi = Îąi+1 : m´ethode des rectangles ` a droite 

β

f (x)dx  Îą

kâ&#x2C6;&#x2019;1 

(Îąi+1 â&#x2C6;&#x2019; Îąi )f (Îąi+1 ).

i=0


61

III â&#x20AC;&#x201C; Int´ egration num´ erique

y

y

Ξi = ιi

0

Îą

Îąi Îąi+1

β

x

0

Ξi = ιi+1

Îą

Îąi Îąi+1

β

x

Ces m´ethodes sont dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 0. â&#x20AC;˘ Ξi =

Îąi +Îąi+1 2

: m´ethode du point milieu y

f (Ξi )

0

Îąi

Ξi

Îąi+1

x

Lâ&#x20AC;&#x2122;aire du rectangle co¨Ĺncide avec lâ&#x20AC;&#x2122;aire du trap`eze indiqu´e en gris´e. La formule approch´ee est donc exacte si f est une fonction aďŹ&#x192;ne, par suite la m´ethode est dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 1. (b) Cas dâ&#x20AC;&#x2122;une interpolation lin´ eaire : on choisit li = 1,

â&#x2C6;&#x20AC;i,

Ξi,0 = ιi ,

Ξi,1 = ιi+1

et on remplace f sur [Îąi , Îąi+1 ] par la fonction lin´eaire p1 qui interpole f aux points Îąi , Îąi+1 : (x â&#x2C6;&#x2019; Îąi )f (Îąi+1 ) â&#x2C6;&#x2019; (x â&#x2C6;&#x2019; Îąi+1 )f (Îąi ) . p1 (x) = Îąi+1 â&#x2C6;&#x2019; Îąi On obtient les formules suivantes, correspondant a` la m´ethode dite des trap`ezes : 



1  1 f (Îąi ) + f (Îąi+1 ) p1 (x)dx = (Îąi+1 â&#x2C6;&#x2019; Îąi ) 2 2 Îąi Îąi  β kâ&#x2C6;&#x2019;1 1   1 f (Îąi ) + f (Îąi+1 ) f (x)dx  (Îąi+1 â&#x2C6;&#x2019; Îąi ) 2 2 Îą i=0 Îąi+1

f (x)dx 

Îąi+1


62

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

y

0

Îą

Îąi Îąi+1

β

x

Lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de cette m´ethode est 1 comme dans le cas pr´ec´edent. (c) M´ ethodes de Newton-Cotes Dans la m´ethode de Newton-Cotes de rang l, quâ&#x20AC;&#x2122;on d´esignera dans la suite par N Cl , on prend li = l pour tout i, et les points Ξi,j , 0 â&#x2030;¤ j â&#x2030;¤ l, sont les points ´equidistants Ξi,j = Îąi + j

Îąi+1 â&#x2C6;&#x2019; Îąi l

divisant [Îąi , Îąi+1 ] en l sous-intervalles ´egaux. Pour d´eterminer la formule de quadrature ´el´ementaire, on se ram`ene par changement de variable a` lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle ome [Îąi , Îąi+1 ] = [â&#x2C6;&#x2019;1, 1], subdivis´e par les points Ď&#x201E;j = â&#x2C6;&#x2019;1 + j 2l . Le polynË&#x2020; dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction f â&#x2C6;&#x2C6; C([â&#x2C6;&#x2019;1, 1]) est donn´e par pl (x) =

l 

f (Ď&#x201E;j )Lj (x)

j=0

avec Lj (x) =

 x â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E;k . On a donc Ď&#x201E;j â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E;k

k=j



1 â&#x2C6;&#x2019;1

avec Ď&#x2030;j =

1 2

1 â&#x2C6;&#x2019;1

 f (x)dx 

1 â&#x2C6;&#x2019;1

pl (x)dx = 2

l 

Ď&#x2030;j f (Ď&#x201E;j )

j=0

Lj (x)dx. Par suite de la sym´etrie des points Ď&#x201E;j autour de 0, on a Ď&#x201E;lâ&#x2C6;&#x2019;j = â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x201E;j ,

Llâ&#x2C6;&#x2019;j (x) = Lj (â&#x2C6;&#x2019;x),

Ď&#x2030;lâ&#x2C6;&#x2019;j = Ď&#x2030;j .

Pour l = 2 par exemple, il vient Ď&#x201E;0 = â&#x2C6;&#x2019;1, Ď&#x201E;1 = 0, Ď&#x201E;2 = 1, L1 (x) = 1 â&#x2C6;&#x2019; x2 ,

Ď&#x2030;1 =

1 2



1

â&#x2C6;&#x2019;1

(1 â&#x2C6;&#x2019; x2 )dx =

2 , 3

dâ&#x20AC;&#x2122;o` u Ď&#x2030;0 = Ď&#x2030;2 = 12 (1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2030;1 ) = 16 . Apr`es changement de variable, les coeďŹ&#x192;cients Ď&#x2030;j restent inchang´es (le lecteur le v´eriďŹ era a` titre dâ&#x20AC;&#x2122;exercice), donc on obtient les


63

III â&#x20AC;&#x201C; Int´ egration num´ erique

formules



Îąi+1

f (x)dx  (Îąi+1 â&#x2C6;&#x2019; Îąi )

l 

Îąi

Ď&#x2030;j f (Ξi,j ),

j=0



β

f (x)dx  Îą

kâ&#x2C6;&#x2019;1 

l 

i=0

j=0

(Îąi+1 â&#x2C6;&#x2019; Îąi )

Ď&#x2030;j f (Ξi,j ).

Si f â&#x2C6;&#x2C6; Pl , alors pl = f , donc la m´ethode de Newton-Cotes de rang l est dâ&#x20AC;&#x2122;ordre â&#x2030;Ľ l. De plus, lorsque f â&#x2C6;&#x2C6; C[â&#x2C6;&#x2019;1, 1]) est un polynË&#x2020; ome impair, on a 

1

f (x)dx = 0 = 2

l 

â&#x2C6;&#x2019;1

Ď&#x2030;j f (Ď&#x201E;j ).

j=0

Si l est pair, les formules sont donc encore exactes pour f (x) = xl+1 , et plus g´en´eralement pour f â&#x2C6;&#x2C6; Pl+1 par lin´earit´e. On d´emontre en fait le r´esultat suivant que nous admettrons :

Proposition â&#x20AC;&#x201C; Si l est pair, lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de N Cl est l + 1, si l est impair, lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de N Cl est l. Ceci fait que, hormis le cas l = 1, les m´ethodes de Newton-Cotes ne sont utilis´ees que pour l pair : â&#x20AC;˘ l = 1 : m´ethode des trap`ezes (ordre 1) 1 2

Ď&#x2030;0 = Ď&#x2030;1 = â&#x20AC;˘ l = 2 : m´ethode de Simpson (ordre 3) Ď&#x2030;0 = Ď&#x2030;2 =

1 , 6

Ď&#x2030;1 =

2 . 3

â&#x20AC;˘ l = 4 : m´ethode de Boole-Villarceau (ordre 5) Ď&#x2030;0 = Ď&#x2030;4 =

7 , 90

Ď&#x2030;1 = Ď&#x2030; 3 =

16 , 45

Ď&#x2030;2 =

2 15

â&#x20AC;˘ l = 6 : m´ethode de Weddle-Hardy (ordre 7) Ď&#x2030;0 = Ď&#x2030;6 =

41 , 840

Ď&#x2030;1 = Ď&#x2030; 5 =

9 , 35

Ď&#x2030;2 = Ď&#x2030; 4 =

9 , 280

Ď&#x2030;3 =

34 . 105

Pour l â&#x2030;Ľ 8, il apparaË&#x2020;Äąt des coeďŹ&#x192;cients Ď&#x2030;j < 0, ce qui a pour eďŹ&#x20AC;et de rendre les formules beaucoup plus sensibles aux erreurs dâ&#x20AC;&#x2122;arrondis (cf. § 1.3). Les m´ethodes N Cl ne sont donc utilis´ees en pratique que dans les 4 cas ci-dessus.


64

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

       Supposons que les valeurs de f soient calcul´ees avec des erreurs dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi de valeur absolue â&#x2030;¤ Îľ. Lâ&#x20AC;&#x2122;erreur qui va en r´esulter par application dâ&#x20AC;&#x2122;une m´ethode de quadrature compos´ee sera major´ee par Îľ

kâ&#x2C6;&#x2019;1 

li 

i=0

j=0

(Îąi+1 â&#x2C6;&#x2019; Îąi )

|Ď&#x2030;i,j |.

Si les coeďŹ&#x192;cients Ď&#x2030;i,j sont â&#x2030;Ľ 0, on a li 

|Ď&#x2030;i,j | =

j=0

li 

Ď&#x2030;i,j = 1.

j=0

Lâ&#x20AC;&#x2122;erreur est donc major´ee par Îľ(β â&#x2C6;&#x2019; Îą); ce r´esultat est manifestement optimal β puisque le calcul exact de Îą f (x)dx peut conduire a` une erreur Îľ(β â&#x2C6;&#x2019; Îą) si lâ&#x20AC;&#x2122;erreur sur f est constante de valeur absolue Îľ. Si par contre les coeďŹ&#x192;cients Ď&#x2030;i,j ne sont pas tous â&#x2030;Ľ 0, alors j |Ď&#x2030;i,j | > j Ď&#x2030;i,j = 1, donc lâ&#x20AC;&#x2122;erreur due aux arrondis des f (Ξi,j ) peut d´epasser Îľ(β â&#x2C6;&#x2019; Îą).

       k       +â&#x2C6;&#x17E; Le r´esultat th´eorique suivant de convergence justiďŹ e en partie lâ&#x20AC;&#x2122;int´erË&#x2020;et des m´ethodes compos´ees.

Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; On suppose que les m´ethodes de quadrature ´el´ementaire font intervenir un nombre de points li = l ďŹ xe et que les coeďŹ&#x192;cients Ď&#x2030;i,j = Ď&#x2030;j ne d´ependent pas de i, k. Alors lâ&#x20AC;&#x2122;approximation donn´ee par la m´ethode compos´ee, soit Tk (f ) = 

l 

i=0

j=0

(Îąi+1 â&#x2C6;&#x2019; Îąi )

Ď&#x2030;j f (Ξi,j )

β

converge vers hmax =

kâ&#x2C6;&#x2019;1 

Îą max (Îąi+1

f (x)dx quand k â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; et quand le maximum du pas, a ` savoir â&#x2C6;&#x2019; Îąi ), tend vers 0.

D´ emonstration. On peut ´ecrire Tk (f ) =

Sj,k (f ) =

l j=0

Ď&#x2030;j Sj,k (f ) o` u

kâ&#x2C6;&#x2019;1 

(Îąi+1 â&#x2C6;&#x2019; Îąi )f (Î��i,j )

i=0

est une somme de Riemann de f relative a` la subdivision (Îąi ). Pour tout β j = 0, 1, . . . , l ďŹ x´e, Sj,k (f ) converge vers Îą f (x)dx quand hmax tend vers 0. Par cons´equent Tk (f ) converge aussi vers

β ι

f (x)dx quand hmax tend vers 0.


65

III â&#x20AC;&#x201C; Int´ egration num´ erique

Exercice â&#x20AC;&#x201C; Montrer que dans le cas g´en´eral kâ&#x2C6;&#x2019;1 

li 

i=0

j=0

(Îąi+1 â&#x2C6;&#x2019; Îąi )

Ď&#x2030;i,j f (Ξi,j )

β

converge encore vers Îą f (x)dx quand hmax tend vers 0, pourvu que Ď&#x2030;i,j â&#x2030;Ľ 0. [ Indication : revenir a ` la d´eďŹ nition de lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale en encadrant f par des fonctions en escalier.]

Remarque â&#x20AC;&#x201C; Dans le cas de la m´ethode N Cl ´el´ementaire 

1 â&#x2C6;&#x2019;1

l 

f (x)dx  2

Ď&#x2030;j f (Ď&#x201E;j )

j=0

on peut donner des exemples montrant quâ&#x20AC;&#x2122;il nâ&#x20AC;&#x2122;y a pas n´ecessairement convergence quand l â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; (ceci est li´e au ph´enom`ene de Runge II 2.3). Câ&#x20AC;&#x2122;est une des principales raisons pour lesquelles on est amen´e `a consid´erer des m´ethodes compos´ees avec k assez grand, plutË&#x2020; ot que dâ&#x20AC;&#x2122;augmenter lâ&#x20AC;&#x2122;entier l.

  

  Nous allons montrer que lorsque la fonction f `a int´egrer est suďŹ&#x192;samment r´eguli`ere, lâ&#x20AC;&#x2122;erreur dâ&#x20AC;&#x2122;int´egration num´erique peut sâ&#x20AC;&#x2122;exprimer de mani`ere assez simple en fonction dâ&#x20AC;&#x2122;une certaine d´eriv´ee de f . Auparavant, nous aurons besoin de quelques rappels dâ&#x20AC;&#x2122;Analyse.

 

       ´ Enon¸ cons tout dâ&#x20AC;&#x2122;abord une version de la formule de Taylor fournissant une expression exacte du reste. Ceci est possible `a lâ&#x20AC;&#x2122;aide dâ&#x20AC;&#x2122;int´egrations par parties successives, permettant dâ&#x20AC;&#x2122;exprimer le reste comme une int´egrale o` u ďŹ gurent les d´eriv´ees de la fonction consid´er´ee.

Formule de Taylor avec reste int´ egral â&#x20AC;&#x201C; Soit f une fonction de classe C N +1 sur [Îą, β]. Alors pour tout x â&#x2C6;&#x2C6; [Îą, β]

 x N  1 (k) 1 k f (x) = f (Îą)(x â&#x2C6;&#x2019; Îą) + (x â&#x2C6;&#x2019; t)N f (N +1) (t)dt. k! N ! Îą k=0

D´ emonstration. simplement `a

Par r´ecurrence sur N .

Pour N = 0, la formule se r´eduit



x

f (x) = f (Îą) + Îą

f  (t)dt.


66

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Si la formule est vraie a` lâ&#x20AC;&#x2122;ordre N â&#x2C6;&#x2019; 1, le reste int´egral sâ&#x20AC;&#x2122;´ecrit, apr`es int´egration par parties :  x 1 (x â&#x2C6;&#x2019; t)N â&#x2C6;&#x2019;1 f (N ) (t)dt (N â&#x2C6;&#x2019; 1)! Îą & 'x  x 1 1 (x â&#x2C6;&#x2019; t)N f (N ) (t) â&#x2C6;&#x2019; (x â&#x2C6;&#x2019; t)N f (N +1) (t)dt = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; N! N ! Îą Îą  x 1 1 N (N ) (x â&#x2C6;&#x2019; Îą) f (Îą) + (x â&#x2C6;&#x2019; t)N f (N +1) (t)dt. = N! N ! Îą La formule est donc encore vraie a` lâ&#x20AC;&#x2122;ordre N . Notons x+ = max (x, 0) = x si x â&#x2030;Ľ 0, x+ = 0 si x â&#x2030;¤ 0. Avec la convention x0+ = 1 si x â&#x2030;Ľ 0, x0+ = 0 si x < 0, la formule se r´ecrit 

β

f (x) = pN (x) + Îą

1 (N +1) (x â&#x2C6;&#x2019; t)N (t)dt +f N!

o` u pN est le polynË&#x2020; ome de Taylor de f dâ&#x20AC;&#x2122;ordre N au point Îą.

Formule de la moyenne â&#x20AC;&#x201C; Soit w â&#x2030;Ľ 0 une fonction int´egrable sur ]Îą, β[ telle β

que Îą w(x)dx converge. Alors pour toute f â&#x2C6;&#x2C6; C([Îą, β]), il existe un point Ξ â&#x2C6;&#x2C6; ]Îą, β[ tel que  β  β f (x)w(x)dx = f (Ξ) w(x)dx. Îą

Îą

D´ emonstration. Soient m, M respectivement le minimum et le maximum de f sur [Îą, β]. Comme w â&#x2030;Ľ 0, il vient 



β

Îą

Si β ι



β

w(x)dx â&#x2030;¤

m

β

f (x)w(x)dx â&#x2030;¤ M Îą

w(x)dx Îą

β ι

w(x)dx = 0, le r´esultat est vrai pour Ξ quelconque. w(x)dx > 0 et soit alors q le quotient 

β

q=

( f (x)w(x)dx

Îą

Supposons donc

β

w(x)dx â&#x2C6;&#x2C6; [m, M ]. Îą

Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires montre que f (]Îą, β[) est un intervalle ayant pour bornes m, M . Si q â&#x2C6;&#x2C6; ]m, M [, il existe donc Ξ â&#x2C6;&#x2C6; ]Îą, β[ tel que q = f (Ξ). Restent les cas q = m et q = M . Si q = m et si f (Ξ) > m pour tout Ξ â&#x2C6;&#x2C6; ]Îą, β[, alors 

β

(f (x) â&#x2C6;&#x2019; m)w(x)dx > 0 Îą β

puisque Îą w(x)dx > 0, ce qui est contradictoire. Il existe donc dans ce cas Ξ â&#x2C6;&#x2C6; ]Îą, β[ tel que f (Ξ) = m. Le cas q = M est analogue.


67

III â&#x20AC;&#x201C; Int´ egration num´ erique

     En vue de lâ&#x20AC;&#x2122;´etude des m´ethodes de Gauss au § 3, on se place ici dans une situation un peu plus g´en´erale.

Situation ´ etudi´ ee â&#x20AC;&#x201C;

On se donne un poids w sur ]Îą, β[, câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire une β fonction continue > 0 telle que Îą w(x)dx converge. On cherche `a ´evaluer lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale β f (x)w(x)dx par une formule approch´ee Îą  β l  f (x)w(x)dx  Îťj f (xj ), xj â&#x2C6;&#x2C6; [Îą, β]. Îą

j=0

On notera que les formules du § 1 rentrent dans ce cadre (avec w â&#x2030;Ą 1); en g´en´eral, on a Îťj = 1. Lâ&#x20AC;&#x2122;erreur due a` la m´ethode est donn´ee par :  β l  f (x)w(x)dx â&#x2C6;&#x2019; Îťj f (xj ). E(f ) = Îą

j=0

Th´ eor` eme et d´ eďŹ nition â&#x20AC;&#x201C; On suppose que la m´ethode est dâ&#x20AC;&#x2122;ordre N â&#x2030;Ľ 0. Si f est de classe C N +1 sur [Îą, β], alors E(f ) =

1 N!



β

KN (t)f (N +1) (t)dt,

Îą

a la m´ethode, o` u KN est une fonction sur [Îą, β], appel´ee noyau de Peano associ´e ` d´eďŹ nie par   t â&#x2C6;&#x2C6; [Îą, β]. KN (t) = E x â&#x2020;&#x2019; (x â&#x2C6;&#x2019; t)N + , D´ emonstration. On observe dâ&#x20AC;&#x2122;abord que f â&#x2020;&#x2019; E(f ) est une forme lin´eaire sur C([Îą, β]). Si g : (x, t) â&#x2020;&#x2019; g(x, t) est une fonction int´egrable sur [Îą, β] Ă&#x2014; I, le th´eor`eme de Fubini implique par ailleurs       E x â&#x2020;&#x2019; g(x, t)dt = E x â&#x2020;&#x2019; g(x, t) dt. tâ&#x2C6;&#x2C6;I

tâ&#x2C6;&#x2C6;I

La formule de Taylor avec reste int´egral donne  β 1 (N +1) (x â&#x2C6;&#x2019; t)N (t)dt. f (x) = pN (x) + +f N ! Îą u Comme pN â&#x2C6;&#x2C6; PN , on a E(pN ) = 0 par hypoth`ese, dâ&#x20AC;&#x2122;o`  β   1 (N +1) (x â&#x2C6;&#x2019; t)N (t)dt E(f ) = E x â&#x2020;&#x2019; +f Îą N!  β   1 (N +1) = (x â&#x2C6;&#x2019; t)N E x â&#x2020;&#x2019; f (t) dt + N! Îą  β   1 (N +1) f (t) ¡ E x â&#x2020;&#x2019; (x â&#x2C6;&#x2019; t)N = + dt Îą N!  β 1 = KN (t)f (N +1) (t)dt. N! Îą


68

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Notons que si N â&#x2030;Ľ 1, la fonction (x, t) â&#x2020;&#x2019; (x â&#x2C6;&#x2019; t)N + est continue sur [Îą, β] Ă&#x2014; [Îą, β], donc KN est continue sur [Îą, β]. Ceci nâ&#x20AC;&#x2122;est pas vrai en g´en´eral si N = 0.

Corollaire 1 â&#x20AC;&#x201C; On a la majoration 1 f (N +1) â&#x2C6;&#x17E; ¡ E(f ) â&#x2030;¤ N!



β

|KN (t)|dt. Îą

Corollaire 2 â&#x20AC;&#x201C; On suppose que KN est de signe constant. Alors pour toute f â&#x2C6;&#x2C6; C N +1 ([Îą, β]) il existe Ξ â&#x2C6;&#x2C6; ]Îą, β[ tel que 1 (N +1) f (Ξ) E(f ) = N! De plus

β ι

KN (t)dt =

1 N +1



β

KN (t)dt. Îą

E(x â&#x2020;&#x2019; xN +1 ), donc

E(f ) =

1 f (N +1) (Ξ) E(x â&#x2020;&#x2019; xN +1 ). (N + 1)!

D´ emonstration. La premi`ere ´egalit´e r´esulte du th´eor`eme et de la formule de la moyenne appliqu´ee `a la fonction f (N +1) et au poids w = KN (ou w = â&#x2C6;&#x2019;KN si KN â&#x2030;¤ 0). La deuxi`eme ´egalit´e sâ&#x20AC;&#x2122;obtient en prenant f (x) = xN +1 ,

qui donne

f (N +1) (x) = (N + 1)!.

La troisi`eme d´ecoule des 2 premi`eres.

  

On verra au § 2.4 comment on peut d´eduire le noyau de Peano dâ&#x20AC;&#x2122;une m´ethode compos´ee de celui de la m´ethode ´el´ementaire utilis´ee. On se contentera donc ici de regarder le cas des m´ethodes ´el´ementaires sur lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle de r´ef´erence [â&#x2C6;&#x2019;1, 1]. â&#x20AC;˘ M´ ethode du point milieu



1

E(f ) = â&#x2C6;&#x2019;1

f (x)dx â&#x2C6;&#x2019; 2f (0).

Cette m´ethode est dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 1, le noyau de Peano est donn´e par :   K1 (t) = E x â&#x2020;&#x2019; (x â&#x2C6;&#x2019; t)+  1 = (x â&#x2C6;&#x2019; t)+ dx â&#x2C6;&#x2019; 2(â&#x2C6;&#x2019;t)+ 

â&#x2C6;&#x2019;1 1

(x â&#x2C6;&#x2019; t)dx â&#x2C6;&#x2019; 2tâ&#x2C6;&#x2019;

= t

=

1 2

(x â&#x2C6;&#x2019; t)2

1 t

â&#x2C6;&#x2019; 2tâ&#x2C6;&#x2019; =

1 (1 â&#x2C6;&#x2019; t)2 â&#x2C6;&#x2019; 2tâ&#x2C6;&#x2019; . 2


69

III â&#x20AC;&#x201C; Int´ egration num´ erique

On a donc

K1 (t) =

1 2 1 2

(1 â&#x2C6;&#x2019; t)2 (1 â&#x2C6;&#x2019; t)2 + 2t =

1 2

soit K1 (t) = 12 (1 â&#x2C6;&#x2019; |t|)2 â&#x2030;Ľ 0 sur [â&#x2C6;&#x2019;1, 1]. Comme le corollaire 2 implique E(f ) =

1  f (Ξ), 3

si t â&#x2030;Ľ 0 si t â&#x2030;¤ 0,

(1 + t)2 1 â&#x2C6;&#x2019;1

K1 (t) =

1 (1 0

Ξ â&#x2C6;&#x2C6; ] â&#x2C6;&#x2019; 1, 1[.

â&#x20AC;˘ M´ ethode des trap` ezes (ordre 1) 

1

E(f ) = â&#x2C6;&#x2019;1  1

K1 (t) =

â&#x2C6;&#x2019;1  1

f (x)dx â&#x2C6;&#x2019; (f (â&#x2C6;&#x2019;1) + f (1)), (x â&#x2C6;&#x2019; t)+ dx â&#x2C6;&#x2019; ((â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; t)+ + (1 â&#x2C6;&#x2019; t)+ )

(x â&#x2C6;&#x2019; t)dx â&#x2C6;&#x2019; (1 â&#x2C6;&#x2019; t),

= t

1 K1 (t) = â&#x2C6;&#x2019; (1 â&#x2C6;&#x2019; t2 ) â&#x2030;¤ 0 2 Comme

1 â&#x2C6;&#x2019;1

sur [â&#x2C6;&#x2019;1, 1].

K1 (t)dt = â&#x2C6;&#x2019; 23 , on en d´eduit 2 E(f ) = â&#x2C6;&#x2019; f  (Ξ), 3

Ξ â&#x2C6;&#x2C6; ] â&#x2C6;&#x2019; 1, 1[.

â&#x20AC;˘ M´ ethode de Simpson (ordre 3) 

 1 2 1 f (â&#x2C6;&#x2019;1) + f (0) + f (1) . f (x)dx â&#x2C6;&#x2019; 2 6 3 6 â&#x2C6;&#x2019;1   3 K3 (t) = E x â&#x2020;&#x2019; (x â&#x2C6;&#x2019; t)+  1   2 1 K3 (t) = (x â&#x2C6;&#x2019; t)3+ dx â&#x2C6;&#x2019; 2 0 + (â&#x2C6;&#x2019;t)3+ + (1 â&#x2C6;&#x2019; t)3+ 3 6 â&#x2C6;&#x2019;1  1 2  1 t3â&#x2C6;&#x2019; + (1 â&#x2C6;&#x2019; t)3 = (x â&#x2C6;&#x2019; t)3 dx â&#x2C6;&#x2019; 2 3 6 t 1

E(f ) =

Si t â&#x2030;Ľ 0, on obtient donc 1 1 (1 â&#x2C6;&#x2019; t)4 â&#x2C6;&#x2019; (1 â&#x2C6;&#x2019; t)3 4 3 1 1 3 (1 â&#x2C6;&#x2019; t) [3(1 â&#x2C6;&#x2019; t) â&#x2C6;&#x2019; 4] = â&#x2C6;&#x2019; (1 â&#x2C6;&#x2019; t)3 (1 + 3t). = 12 12

K3 (t) =

â&#x2C6;&#x2019; t)2 dt =

1 3,


70 Si

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

t â&#x2030;¤ 0, on a K3 (t) = â&#x2C6;&#x2019;

1 4 1 (1 â&#x2C6;&#x2019; t)3 (1 + 3t) + t3 = â&#x2C6;&#x2019; (1 + t)3 (1 â&#x2C6;&#x2019; 3t). 12 3 12

On aurait pu ´egalement observer que K3 (â&#x2C6;&#x2019;t) = K3 (t) comme il r´esulte de lâ&#x20AC;&#x2122;exercice suivant.

Exercice â&#x20AC;&#x201C; Montrer que le noyau de Peano KN dâ&#x20AC;&#x2122;une m´ethode ´el´ementaire 

1 â&#x2C6;&#x2019;1

f (x)dx  2

l 

Ď&#x2030;j f (Ξj )

j=0

est pair d`es que Ď&#x2030;lâ&#x2C6;&#x2019;j = Ď&#x2030;j et Ξlâ&#x2C6;&#x2019;j = â&#x2C6;&#x2019;Ξj (points et coeďŹ&#x192;cients r´epartis sym´etriquement autour de 0). N N Indication : (x + t)N + â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;x â&#x2C6;&#x2019; t)+ = (x + t) .

On a donc ici 1 K3 (t) = â&#x2C6;&#x2019; (1 â&#x2C6;&#x2019; |t|)3 (1 + 3|t|) â&#x2030;¤ 0 sur [â&#x2C6;&#x2019;1, 1], 12  1  1  1 1 1 1 1 (1 â&#x2C6;&#x2019; t)4 â&#x2C6;&#x2019; (1 â&#x2C6;&#x2019; t)3 dt = 2 â&#x2C6;&#x2019; =â&#x2C6;&#x2019; , K3 (t) = 2 4 3 20 12 15 â&#x2C6;&#x2019;1 0 1 E(f ) = â&#x2C6;&#x2019; f (4) (Ξ). 15 ¡ 3! Nous admettrons le r´esultat g´en´eral suivant.

Th´ eor` eme de SteďŹ&#x20AC;ensen â&#x20AC;&#x201C; Dans les m´ethodes de Newton-Cotes, le noyau de Peano est de signe constant. Le corollaire 2 du §2.2 est donc toujours applicable dans ce cas.

 



    



On suppose quâ&#x20AC;&#x2122;on sâ&#x20AC;&#x2122;est ďŹ x´e une m´ethode de quadrature ´el´ementaire 

1

â&#x2C6;&#x2019;1

g(x)dx  2

l 

Ď&#x2030;j g(Ď&#x201E;j ),

Ď&#x201E;j â&#x2C6;&#x2C6; [â&#x2C6;&#x2019;1, 1].

j=0

Lâ&#x20AC;&#x2122;erreur correspondante est  Eelem (g) =

1 â&#x2C6;&#x2019;1

g(x)dx â&#x2C6;&#x2019; 2

On notera kn le noyau de Peano associ´e.

l  j=0

Ď&#x2030;j g(Ď&#x201E;j ).


71

III â&#x20AC;&#x201C; Int´ egration num´ erique

On consid`ere maintenant une subdivision de [Îą, β] : Îą = Îą0 < Îą1 < . . . < Îąk = β de pas hi = Îąi+1 â&#x2C6;&#x2019; Îąi . Lâ&#x20AC;&#x2122;erreur de la m´ethode compos´ee associ´ee `a la m´ethode ´el´ementaire ci-dessus est 

β

f (x)dx â&#x2C6;&#x2019;

Ecomp (f ) = Îą

kâ&#x2C6;&#x2019;1  i=0

hi

l 

Ď&#x2030;j f (Ξi,j )

j=0

o` u Ξi,j se d´eduit de Ď&#x201E;j par le changement de variable [â&#x2C6;&#x2019;1, 1] â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; [Îąi , Îąi+1 ] hi Îąi + Îąi+1 +u . u â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; x = 2 2 D´eďŹ nissons gi â&#x2C6;&#x2C6; C([â&#x2C6;&#x2019;1, 1]) par gi (u) = f Comme dx =

hi 2

Îą + Îą hi  i i+1 +u . 2 2

du, il vient kâ&#x2C6;&#x2019;1 



 hi Ecomp (f ) = 2 i=0



1

â&#x2C6;&#x2019;1

gi (u)du â&#x2C6;&#x2019; hi

l 

 Ď&#x2030;j gi (Ď&#x201E;j ) =

j=0

kâ&#x2C6;&#x2019;1  i=0

hi Eelem (gi ). 2

Le noyau de Peano de la m´ethode compos´ee est donc   KN (t) = Ecomp x â&#x2020;&#x2019; (x â&#x2C6;&#x2019; t)N +  kâ&#x2C6;&#x2019;1 N  Îą + Îą  hi hi i i+2 = Eelem u â&#x2020;&#x2019; +u â&#x2C6;&#x2019;t 2 2 2 + i=0   kâ&#x2C6;&#x2019;1  h N   hi 2  Îąi + Îąi+i N i Eelem u â&#x2020;&#x2019; = uâ&#x2C6;&#x2019; tâ&#x2C6;&#x2019; 2 2 hi 2 + i=0   kâ&#x2C6;&#x2019;1    hi N +1 2 Îąi + Îąi+1 N KN (t) = Eelem u â&#x2020;&#x2019; u â&#x2C6;&#x2019; tâ&#x2C6;&#x2019; 2 hi 2 + i=0 Supposons t â&#x2C6;&#x2C6; [Îąj , Îąj+1 ], et soit θi = seulement si i = j. Si i = j on a â&#x20AC;˘ ou bien θi > 1, et (u â&#x2C6;&#x2019; θi )N + â&#x2030;Ą0

2  Îąi + Îąi+1  tâ&#x2C6;&#x2019; . Alors θi â&#x2C6;&#x2C6; [â&#x2C6;&#x2019;1, 1] si et hi 2 pour u â&#x2C6;&#x2C6; [â&#x2C6;&#x2019;1, 1] :

N pour u â&#x2C6;&#x2C6; [â&#x2C6;&#x2019;1, 1]. â&#x20AC;˘ ou bien θi < â&#x2C6;&#x2019;1, et (u â&#x2C6;&#x2019; θi )N + â&#x2030;Ą (u â&#x2C6;&#x2019; θi )


72

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Dans les 2 cas u â&#x2020;&#x2019; (u â&#x2C6;&#x2019; θi )N ome de degr´e â&#x2030;¤ N sur [â&#x2C6;&#x2019;1, 1] donc + est un polynË&#x2020; = 0. Dans la sommation, il nâ&#x20AC;&#x2122;y a donc que le terme i = j, Eelem u â&#x2020;&#x2019; (u â&#x2C6;&#x2019; θi )N + dâ&#x20AC;&#x2122;o` u:  KN (t) =

hj 2

N +1

 kN

2 hj

kN

â&#x2C6;&#x2019;1

0

 tâ&#x2C6;&#x2019;

Îąj +Îąj+1 2

 ,

t â&#x2C6;&#x2C6; [Îąj , Îąj+1 ].

KN

1

u

0

Îą Îą1 Îą2

ι3 ι4 β

t

Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C;

On suppose que kN est de signe constant et que le pas hi 1 est constant, ´egal a ` h = βâ&#x2C6;&#x2019;Îą k (t)dt. Alors pour tout k . On note CN = â&#x2C6;&#x2019;1 N N +1 ([Îą, β]), il existe un point Ξ â&#x2C6;&#x2C6; ]Îą, β[ tel que f â&#x2C6;&#x2C6;C Ecomp (f ) =

CN hN +1 f (N +1) (Ξ)(β â&#x2C6;&#x2019; Îą). N ! 2N +2

On voit donc que lorsque le pas h tend vers 0 lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de grandeur de lâ&#x20AC;&#x2122;erreur dans une m´ethode compos´ee dâ&#x20AC;&#x2122;ordre N est approximativement hN +1 . Ce r´esultat justiďŹ e lâ&#x20AC;&#x2122;int´erË&#x2020;et des m´ethodes dâ&#x20AC;&#x2122;ordre ´elev´e, qui donnent une pr´ecision plus grande pourvu que f soit tr`es r´eguli`ere. D´ emonstration. KN ´etant lui aussi de signe constant, le corollaire 2 du § 2.2 montre lâ&#x20AC;&#x2122;existence de Ξ â&#x2C6;&#x2C6; ]Îą, β[ tel que  β 1 (N +1) f (Ξ) KN (t)dt. Ecomp (f ) = N! Îą Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es lâ&#x20AC;&#x2122;expression de KN , on obtient  Îą1  β KN (t)dt = k KN (t)dt Îą0 Îą  h N +1  Îą1  2  Îą0 + Îą1  kn =k tâ&#x2C6;&#x2019; dt 2 h 2 Îą0 1 + h2 u, dt = h2 du fournit Le changement de variable t = Îą0 +Îą 2  β  h N +2  1 KN (t)dt = k kn (u)du 2 Îą â&#x2C6;&#x2019;1

= kh

CN hN +1 CN = N +2 hN +1 (β â&#x2C6;&#x2019; Îą), N +2 2 2


73

III â&#x20AC;&#x201C; Int´ egration num´ erique

dâ&#x20AC;&#x2122;o` u le th´eor`eme. Les exemples du § 2.3 donnent en particulier : 1 , 3 2 N = 1, C1 = â&#x2C6;&#x2019; , 3 1 N = 3, C3 = â&#x2C6;&#x2019; , 15

â&#x20AC;˘ Point milieu :

1 2  h f (Ξ)(β â&#x2C6;&#x2019; Îą), 24 1 Ecomp (f ) = â&#x2C6;&#x2019; h2 f  (Ξ)(β â&#x2C6;&#x2019; Îą), 12 1 Ecomp (f ) = â&#x2C6;&#x2019; h4 f (4) (Ξ)(β â&#x2C6;&#x2019; Îą). 2880

N = 1, C1 =

â&#x20AC;˘ Trap`ezes : â&#x20AC;˘ Simpson :

Ecomp (f ) =

  

  Les m´ethodes de Gauss concernent le calcul num´erique dâ&#x20AC;&#x2122;int´egrales faisant intervenir un poids. Elles constituent une application directe de la th´eorie des polynË&#x2020; omes orthogonaux.

      Soit w une fonction poids ďŹ x´ee sur ]Îą, β[. On ´etudie les m´ethodes dâ&#x20AC;&#x2122;int´egration approch´ee du type 

β

f (x)w(x)dx  Îą

l 

Îťj f (xj ),

xj â&#x2C6;&#x2C6; [Îą, β].

j=0

Th´ eor` eme 1 â&#x20AC;&#x201C; Il existe un choix et un seul des points xj et des coeďŹ&#x192;cients Îťj de sorte que la m´ethode soit dâ&#x20AC;&#x2122;ordre N = 2l + 1. Les points xj appartiennent ` a ]Îą, β[ et sont les racines du (l + 1)-i`eme polynË&#x2020; ome orthogonal pour le poids w. Unicit´ e. Supposons quâ&#x20AC;&#x2122;on ait des points xj et des coeďŹ&#x192;cients Îťj pour lesquels la m´ethode est dâ&#x20AC;&#x2122;ordre â&#x2030;Ľ 2l + 1. Posons Ď&#x20AC;l+1 (x) =

l 

(x â&#x2C6;&#x2019; xj ).

j=0

Pour tout p â&#x2C6;&#x2C6; Pl , deg(pĎ&#x20AC;l+1 ) â&#x2030;¤ 2l + 1, donc 

β

p(x)Ď&#x20AC;l+1 (x)w(x)dx = Îą

l 

Îťj p(xj )Ď&#x20AC;l+1 (xj ) = 0.

j=0

Ceci entraË&#x2020;Äąne que Ď&#x20AC;l+1 est orthogonal a` Pl . Comme Ď&#x20AC;l+1 est unitaire, câ&#x20AC;&#x2122;est donc le (l + 1)-i`eme polynË&#x2020;ome orthogonal associ´e au poids w. Les points xj ne sont autres que les racines de ce polynË&#x2020;ome.


74

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

 Soit Li â&#x2C6;&#x2C6; Pl tel que

Li (xj ) = 1 si i = j, Li (xj ) = 0 si i = j.

Les coeďŹ&#x192;cients Îťi sont donn´es n´ecessairement par Îťi =

l 



β

Îťj Li (xj ) =

Li (x)w(x)dx. Îą

j=0

Ces coeďŹ&#x192;cients sont donc eux aussi uniques. Existence. On sait que le polynË&#x2020; ome orthogonal Ď&#x20AC;l+1 â&#x2C6;&#x2C6; Pl+1 poss`ede l + 1 racines distinctes dans ]Îą, β[. Soient x0 , . . . , xl ces racines et soit  β Îťj = Lj (x)w(x)dx. Îą

Si f â&#x2C6;&#x2C6; C([Îą, β]), le polynË&#x2020; ome dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation de Lagrange est l 

pl (x) =

f (xj )Lj (x);

j=0

par d´eďŹ nition des coeďŹ&#x192;cients Îťj il vient donc 

l 

β

pl (x)w(x) = Îą

Îťj f (xj ).

j=0

Si f â&#x2C6;&#x2C6; Pl alors pl = f , donc la m´ethode est dâ&#x20AC;&#x2122;ordre â&#x2030;Ľ l. Montrons que lâ&#x20AC;&#x2122;ordre est en fait â&#x2030;Ľ 2l + 1. En eďŹ&#x20AC;et, lorsque f â&#x2C6;&#x2C6; P2l+1 , la division euclidienne de f par Ď&#x20AC;l+1 donne f (x) = q(x)Ď&#x20AC;l+1 (x) + r(x), avec deg q â&#x2030;¤ l, deg r â&#x2030;¤ l. Comme Ď&#x20AC;l+1 â&#x160;Ľ Pl , il vient 

β ι

q(x)Ď&#x20AC;l+1 (x)w(x)dx = 0, dâ&#x20AC;&#x2122;o` u 

β

β

f (x)w(x)dx = Îą

r(x)w(x)dx = Îą

l 

Îťj r(xj )

j=0

Comme f (xj ) = r(xj ), on a donc bien E(f ) = 0. Il reste seulement `a voir que lâ&#x20AC;&#x2122;ordre nâ&#x20AC;&#x2122;est pas > 2l + 1, ce qui r´esulte du th´eor`eme ci-dessous.

Th´ eor` eme 2 â&#x20AC;&#x201C; Le noyau de Peano K2l+1 est â&#x2030;Ľ 0, et pour tout f â&#x2C6;&#x2C6; C 2l+2 ([Îą, β]), il existe Ξ â&#x2C6;&#x2C6; ]Îą, β[ tel que

f (2l+2) (Ξ) E(f ) = (2l + 2)!



β

Ď&#x20AC;l+1 (x)2 w(x)dx.

Îą

On notera en particulier que ceci entraË&#x2020;Äąne  β 2l+2 E(x â&#x2020;&#x2019; x )= Ď&#x20AC;l+1 (x)2 w(x)dx > 0, Îą


75

III â&#x20AC;&#x201C; Int´ egration num´ erique

donc la m´ethode nâ&#x20AC;&#x2122;est pas dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 2l + 2. D´ emonstration.* Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es le § 2.2, on a 1 E(f ) = (2l + 1)!



β

K2l+1 (t)f (2l+2) (t)dt.

Îą

Inversement, si Ď&#x2022; â&#x2C6;&#x2C6; C([Îą, β]), on obtient 

β

K2l+1 (t)Ď&#x2022;(t)dt = (2l + 1)! E(ÎŚ) Îą

o` u ÎŚ est une primitive dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 2l + 2 de Ď&#x2022;. Supposons par lâ&#x20AC;&#x2122;absurde quâ&#x20AC;&#x2122;il existe â&#x2C6;&#x2019; = max (â&#x2C6;&#x2019;K2l+1 , 0) â&#x2C6;&#x2C6; C([Îą, β]) la t0 â&#x2C6;&#x2C6; [Îą, β] tel que K2l+1 (t0 ) < 0. Notons K2l+1 â&#x2C6;&#x2019; partie n´egative de la fonction K2l+1 , et soit Ď&#x2022; un polynË&#x2020; ome qui approche K2l+1 +Îľ uniform´ement `a Îľ pr`es sur [Îą, β]. On a donc en particulier â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; < Ď&#x2022; < K2l+1 + 2Îľ, 0 â&#x2030;¤ K2l+1    β    β β   â&#x2C6;&#x2019; K (t)Ď&#x2022;(t)dt â&#x2C6;&#x2019; K2l+1 (t)K2l+1 (t)dt â&#x2030;¤ 2Îľ |K2l+1 (t)|dt.    Îą 2l+1 Îą Îą

Comme petit :

β ι

â&#x2C6;&#x2019; K2l+1 (t)K2l+1 (t)dt = â&#x2C6;&#x2019;



β â&#x2C6;&#x2019; (K2l+1 (t))2 dt Îą

< 0, on en d´eduit pour ξ assez

β

K2l+1 (t)Ď&#x2022;(t)dt < 0. Îą

´ Soit ÎŚ une primitive dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 2l + 2 de Ď&#x2022;; ÎŚ est un polynË&#x2020; ome. Ecrivons la division 2 euclidienne de ÎŚ par Ď&#x20AC;l+1 : 2 (x)q(x) + r(x) ÎŚ(x) = Ď&#x20AC;l+1 2 avec deg r â&#x2030;¤ deg (Ď&#x20AC;l+1 ) â&#x2C6;&#x2019; 1 = 2l + 1. Il vient E(r) = 0 dâ&#x20AC;&#x2122;o` u 2 E(ÎŚ) = E(Ď&#x20AC;l+1 q) =



β

2 Ď&#x20AC;l+1 (x)q(x)w(x)dx â&#x2C6;&#x2019; 0.

Îą

La formule de la moyenne implique quâ&#x20AC;&#x2122;il existe θ â&#x2C6;&#x2C6; ]Îą, β[ tel que 

β

E(Ό) = q(θ)

2 Ď&#x20AC;l+1 (x)w(x)dx,

Îą

et par ailleurs E(ÎŚ) =

1 (2l + 1)!



β

K2l+1 (t)Ď&#x2022;(t)dt < 0. Îą

On va obtenir une contradiction en montrant que q(θ) > 0. Consid´erons le polynË&#x2020; ome 2 2 (x)q(θ) = Ď&#x20AC;l+1 (x)(q(x) â&#x2C6;&#x2019; q(θ)). g(x) = ÎŚ(x) â&#x2C6;&#x2019; r(x) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;l+1


76

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

g admet x0 , . . . , xl comme z´eros de multiplicit´e 2, et θ de multiplicit´e â&#x2030;Ľ 1, câ&#x20AC;&#x2122;est-`adire au moins 2l + 3 z´eros. Il existe donc un point Ρ interm´ediaire entre les points xj , θ, tel que g (2l+2) (Ρ) = 0. Par suite 0 = g (2l+2) (Ρ) = ÎŚ(2l+2) (Ρ) â&#x2C6;&#x2019; (2l + 2)! q(θ) = Ď&#x2022;(Ρ) â&#x2C6;&#x2019; (2l + 2)! q(θ) et comme Ď&#x2022;(Ρ) > 0 on en d´eduit bien q(θ) > 0, contradiction. Par suite K2l+1 â&#x2030;Ľ 0 et le corollaire 2 du § 2.2 donne E(f ) =

1 f (2l+2) (Ξ) E(x â&#x2020;&#x2019; x2l+2 ). (2l + 2)!

Comme Ď&#x20AC;l+1 est unitaire, on a x2l+2 = Ď&#x20AC;l+1 (x)2 + r(x) o` u r â&#x2C6;&#x2C6; P2l+1 , donc β 2l+2 2 2 E(x â&#x2020;&#x2019; x ) = E(Ď&#x20AC;l+1 ) = Îą Ď&#x20AC;l+1 (x) w(x)dx, ce qui d´emontre le th´eor`eme.

         Lâ&#x20AC;&#x2122;int´erË&#x2020;et des m´ethodes de Gauss est de r´ealiser lâ&#x20AC;&#x2122;ordre N maximal pour un nombre ďŹ x´e l + 1 de points dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation. N´eanmoins, la complexit´e du calcul des polynË&#x2020; omes orthogonaux fait que les m´ethodes de Gauss ne sont gu`ere utilis´ees que dans les deux cas suivants. â&#x20AC;˘ w(x) = 1 sur [â&#x2C6;&#x2019;1, 1] : m´ethode de Gauss-Legendre. Les polynË&#x2020; omes orthogonaux successifs et les points xj correspondant sont donn´es par le tableau :

l

Ď&#x20AC;l+1 (x)

â&#x2C6;&#x2019;1

1

0

x

1

x2 â&#x2C6;&#x2019;

1 3

2

x3 â&#x2C6;&#x2019;

3 x 5

3

6 3 x4 â&#x2C6;&#x2019; x2 + 7 35

4

x5 â&#x2C6;&#x2019;

10 3 5 x + x 9 21

x0 , . . . , xl

Îť0 , . . . , Îťl

ordre N

0

2

1

1, 1

3

1 1 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x161; , â&#x2C6;&#x161; 3 3 3 3 , 0, â&#x2C6;&#x2019; 5 5  3 2 6 Âą Âą 7 7 5  5 2 10 Âą 0, Âą 9 9 7

5 8 5 , , 9 9 9 1 1 5 1 1 5 â&#x2C6;&#x2019; , + 2 6 6 2 6 6 compliqu´es !

5

7

9

1 sur ] â&#x2C6;&#x2019; 1, 1[ : m´ethode de Gauss-Tchebychev. 1 â&#x2C6;&#x2019; x2 Les points xj sont alors les points dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation de Tchebychev dans lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle ] â&#x2C6;&#x2019; 1, 1[ : 2j + 1 Ď&#x20AC;, 0 â&#x2030;¤ j â&#x2030;¤ l, xj = cos 2l + 2

â&#x20AC;˘ w(x) = â&#x2C6;&#x161;


77

III â&#x20AC;&#x201C; Int´ egration num´ erique

et on peut d´emontrer (voir par exemple le livre de Crouzeix-Mignot, exercice 2.4) Ď&#x20AC; . On obtient donc une m´ethode approch´ee dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 2l + 1 sâ&#x20AC;&#x2122;´ecrivant : que Îťj = l+1  1 l dx Ď&#x20AC;   2j + 1  â&#x2C6;&#x161; Ď&#x20AC; . f (x)  f cos l + 1 j=0 2l + 2 1 â&#x2C6;&#x2019; x2 â&#x2C6;&#x2019;1

            Nous allons quitter ici quelque peu le ďŹ l directeur des paragraphes pr´ec´edents. Notre objectif est dâ&#x20AC;&#x2122;obtenir une formule th´eorique pour le calcul du d´eveloppement limit´e des approximations num´eriques en fonction du pas de la subdivision. Ceci conduit, pour des fonctions suďŹ&#x192;samment r´eguli`eres, `a des proc´ed´es num´eriques en g´en´eral tr`es performants.

       Soit f une fonction de classe C p sur [0, 1] avec p â&#x2030;Ľ 1. Une int´egration par parties donne '1  1  &  1 1 1  xâ&#x2C6;&#x2019; f (x) â&#x2C6;&#x2019; f (x)dx, f (x)dx = x â&#x2C6;&#x2019; 2 2 0 0 0 ce qui peut se r´ecrire  1  1 1 1 f (0) + f (1) = f (x)dx + B1 (x)f  (x)dx 2 2 0 0 1

avec B1 (x) = x â&#x2C6;&#x2019; 12 , ce choix ayant lâ&#x20AC;&#x2122;int´erË&#x2020;et que 0 B1 (x)dx = 0. Lâ&#x20AC;&#x2122;id´ee consiste `a r´ep´eter les int´egrations par parties en introduisant des primitives successives de B1 dont lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale sur [0, 1] est nulle. De fa¸con pr´ecise, on choisit Bp en sorte que  1 Bp (x) = pBpâ&#x2C6;&#x2019;1 (x), Bp (x)dx = 0, 0

la deuxi`eme condition permettant de ďŹ xer la constante dâ&#x20AC;&#x2122;int´egration de mani`ere unique. On trouve ainsi & '1  1  1 1 1 (pâ&#x2C6;&#x2019;1) (pâ&#x2C6;&#x2019;1) Bp (x)f Bp (x)f (p) (x)dx, Bpâ&#x2C6;&#x2019;1 (x)f (x)dx = (x) â&#x2C6;&#x2019; p 0 0 p 0  1   1 B (x) Bpâ&#x2C6;&#x2019;1 (x) (pâ&#x2C6;&#x2019;1) bp  (pâ&#x2C6;&#x2019;1) p f f (p) (x)dx, (x)dx = (1) â&#x2C6;&#x2019; f (pâ&#x2C6;&#x2019;1) (0) â&#x2C6;&#x2019; f (p â&#x2C6;&#x2019; 1)! p! p! 0 0 1

o` u bp = Bp (0) = Bp (1) par d´eďŹ nition (noter que Bp (1) â&#x2C6;&#x2019; Bp (0) = 0 pBpâ&#x2C6;&#x2019;1 (x)dx est nulle pour p â&#x2030;Ľ 2). De ceci on d´eduit facilement par r´ecurrence la formule  1 b   1 bm  (mâ&#x2C6;&#x2019;1) 1 f (0) + f (1) = f f (x)dx + (â&#x2C6;&#x2019;1)m (1) â&#x2C6;&#x2019; f (mâ&#x2C6;&#x2019;1) (0) 2 2 m! 0 m=2  1 Bp (x) (p) f (x)dx. (â&#x2C6;&#x2014;) + (â&#x2C6;&#x2019;1)p+1 p! 0


78

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Calculons par exemple B2 . On a par d´efinition B2 (x) = 2B1 (x) = 2x − 1, 2

B2 (x) = x − x + C,

d’o` u

x ∈ [0, 1],

1

et la condition 0 B2 (x)dx = 0 implique C = 16 . On voit facilement par r´ecurrence ome unitaire de degr´e p `a coefficients rationnels, tel que que Bp est un polynˆ Bp (0) = Bp (1) pour p ≥ 2. On convient d’´etendre Bp `a R en posant Bp (x) = Bp (x − E(x)) si

x ∈ [0, 1[.

On obtient ainsi une fonction p´eriodique de p´eriode 1 qui est un polynˆ ome en restriction a` [0, 1[ (mais qui, bien entendu, n’est pas un polynˆ ome sur R tout entier).

1/2 B1 −2

−1

0

1/2

1

2

x

2

x

−1/2

1/6 −2

−1

B2 1

−1/12

Th´ eor` eme et d´ efinition –

Les polynˆ omes Bp sont appel´es polynˆ omes de Bernoulli. Les nombres de Bernoulli sont les r´eels bp d´efinis par b0 = 1,

1 b1 = − , 2

bp = Bp (0)

si

On a les formules : (1)

p 

Bp (x) =

Cpm bm xp−m

, p ≥ 1,

m=0

(2)

bp =

p 

Cpm bm

, p ≥ 2.

m=0

(3) (4)

Bp (1 − x) = (−1)p Bp (x) bm = 0 si m est impair ≥ 3.

, p ≥ 1.

x ∈ [0, 1[.

p ≥ 2.


79

III â&#x20AC;&#x201C; Int´ egration num´ erique

D´ emonstration (1) La formule est vraie pour p = 1 dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es la d´eďŹ nition de b0 , b1 . Supposons la formule vraie a` lâ&#x20AC;&#x2122;ordre p â&#x2C6;&#x2019; 1 : Bpâ&#x2C6;&#x2019;1 (x) =

pâ&#x2C6;&#x2019;1 

m Cpâ&#x2C6;&#x2019;1 bm xpâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019;m .

m=0

On a alors

pâ&#x2C6;&#x2019;1 

Bp (x) = pBpâ&#x2C6;&#x2019;1 (x) =

m pCpâ&#x2C6;&#x2019;1 bm xpâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019;m ,

m=0

Bp (x) = Bp (0) +

= bp +

pâ&#x2C6;&#x2019;1 

p m Cpâ&#x2C6;&#x2019;1 bm xpâ&#x2C6;&#x2019;m p â&#x2C6;&#x2019; m m=0

pâ&#x2C6;&#x2019;1 

Cpm bm xpâ&#x2C6;&#x2019;m ,

m=0

donc la formule est encore vraie a` lâ&#x20AC;&#x2122;ordre p. (2) Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es ce qui pr´ec`ede, Bp est continue sur R pour tout p â&#x2030;Ľ 2 et v´eriďŹ e Bp (1) = Bp (0) = bp , par cons´equent (2) est un cas particulier de (1). (3) Par r´ecurrence sur p, on voit que (â&#x2C6;&#x2019;1)p Bp (1 â&#x2C6;&#x2019; x) a pour d´eriv´ee â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2019;1)p Bp (1 â&#x2C6;&#x2019; x) = p(â&#x2C6;&#x2019;1)pâ&#x2C6;&#x2019;1 Bpâ&#x2C6;&#x2019;1 (1 â&#x2C6;&#x2019; x) = pBpâ&#x2C6;&#x2019;1 (x) = Bp (x). Comme (â&#x2C6;&#x2019;1)p Bp (1 â&#x2C6;&#x2019; x) est dâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale nulle sur [0, 1], on en d´eduit que (â&#x2C6;&#x2019;1)p Bp (1 â&#x2C6;&#x2019; x) et Bp (x) co¨Ĺncident. (4) Pour p â&#x2030;Ľ 2 et x = 0, (3) donne bp = (â&#x2C6;&#x2019;1)p bp , donc bp = 0 si p est impair. La relation (2) appliqu´ee `a p = 2k + 1 donne 2kâ&#x2C6;&#x2019;2 2k 2 1 b2k + C2k+1 b2kâ&#x2C6;&#x2019;2 + . . . + C2k+1 b2 + C2k+1 b1 + 1. 0 = C2k+1

Ceci permet de calculer par r´ecurrence les nombres de Bernoulli successifs : 1 1 1 1 1 5 , b8 = â&#x2C6;&#x2019; , b10 = ,... b0 = 1, b1 = â&#x2C6;&#x2019; , b2 = , b4 = â&#x2C6;&#x2019; , b6 = 2 6 30 42 30 66 Supposons maintenant donn´ee une fonction f de classe C p sur [Îą, β] o` u Îą, β sont des entiers. GrË&#x2020;ace `a la p´eriodicit´e des fonctions Bp , la formule (â&#x2C6;&#x2014;) ci-dessus est vraie sur chaque intervalle [Îą, Îą + 1], . . . , [β â&#x2C6;&#x2019; 1, β]. Par sommation, on en d´eduit  β 1 1 f (Îą) + f (Îą + 1) + . . . + f (β â&#x2C6;&#x2019; 1) + f (β) = f (x)dx 2 2 Îą  β p    Bp (x) (p) m bm (mâ&#x2C6;&#x2019;1) (mâ&#x2C6;&#x2019;1) p+1 + f f (x)dx. (â&#x2C6;&#x2019;1) (β) â&#x2C6;&#x2019; f (Îą) + (â&#x2C6;&#x2019;1) m! p! Îą m=2


80

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

En appliquant ceci pour p = 2k et en tenant compte du fait que bm = 0 si m est impair â&#x2030;Ľ 3, on obtient la

Formule dâ&#x20AC;&#x2122;Euler-Maclaurin â&#x20AC;&#x201C; Soit f une fonction de classe C k sur [Îą, β] o` u Îą, β â&#x2C6;&#x2C6; Z et soit T (f ) = 12 f (Îą) + f (Îą + 1) + . . . + f (β â&#x2C6;&#x2019; 1) + des trap`ezes associ´ees `a f . Alors 

1 2

f (β) la somme

k   b2m  (2mâ&#x2C6;&#x2019;1) (β) â&#x2C6;&#x2019; f (2mâ&#x2C6;&#x2019;1) (Îą) f (2m)! m=1  β B2k (x) (2k) f (x)dx. â&#x2C6;&#x2019; (2k)! Îą

β

f (x)dx +

T (f ) = Îą

Pour pouvoir exploiter cette formule a` des ďŹ ns num´eriques, il importe de savoir majorer la fonction B2k (x) qui intervient dans le reste int´egral.

       Bp       Comme Bp est p´eriodique de p´eriode 1, il est tentant de rechercher un d´eveloppement de Bp en s´erie de Fourier. Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es la formule (â&#x2C6;&#x2014;) du § 4.1 appliqu´ee `a f (x) = eâ&#x2C6;&#x2019;2Ď&#x20AC;inx , il vient 

1

1=

e

â&#x2C6;&#x2019;2Ď&#x20AC;inx

0

 dx + 0 â&#x2C6;&#x2019; (2Ď&#x20AC;in)

1

p 0

Bp (x) â&#x2C6;&#x2019;2Ď&#x20AC;inx e dx, p!

et la premi`ere int´egrale est nulle pour n = 0. On en d´eduit que le coeďŹ&#x192;cient de Fourier dâ&#x20AC;&#x2122;indice n de Bp est     Bp (n) = â&#x2C6;&#x2019;   -p (0) = B



0

p! (2Ď&#x20AC;in)p

si n = 0,

1

Bp (x) = 0 si n = 0.

Pour p â&#x2030;Ľ 2, la s´erie de Fourier est absolument convergente et Bp est continue, donc Bp (x) = â&#x2C6;&#x2019;p!

 e2Ď&#x20AC;inx , (2Ď&#x20AC;in)p â&#x2C6;&#x2014;

(â&#x2C6;&#x20AC;x â&#x2C6;&#x2C6; R).

nâ&#x2C6;&#x2C6;Z

Pour p = 1, la fonction B1 est de classe C 1 par morceaux, donc la s´erie converge vers B1 (x) en tout point x â&#x2C6;&#x2C6; Z et vers 12 B1 (x + 0) + B1 (x â&#x2C6;&#x2019; 0) = 0 si x â&#x2C6;&#x2C6; Z. La formule ci-dessus peut se r´ecrire B2k (x) = B2k+1 (x) =

+â&#x2C6;&#x17E; (â&#x2C6;&#x2019;1)k+1 2(2k)!  cos 2Ď&#x20AC;nx , (2Ď&#x20AC;)2k n2k n=1 +â&#x2C6;&#x17E; (â&#x2C6;&#x2019;1)k+1 2(2k + 1)!  sin 2Ď&#x20AC;nx . (2Ď&#x20AC;)2k+1 n2k+1 n=1


81

III â&#x20AC;&#x201C; Int´ egration num´ erique

En particulier, si lâ&#x20AC;&#x2122;on introduit la fonction Îś de Riemann Îś(s) = on obtient

(â&#x2C6;&#x2019;1)k+1 2(2k)! Îś(2k). (2Ď&#x20AC;)2k

b2k = Comme Îś(s) â&#x2030;¤ 1 + particulier on a

+â&#x2C6;&#x17E; 1

+â&#x2C6;&#x17E;  1 , s n n=1

dx/xs = 1 + 1/(s â&#x2C6;&#x2019; 1), on voit que limsâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; Îś(s) = 1 et en

b2k â&#x2C6;ź

(â&#x2C6;&#x2019;1)k+1 2(2k)! (2Ď&#x20AC;)2k

quand

k â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;.

Les coeďŹ&#x192;cients |b2k | tendent donc vers +â&#x2C6;&#x17E; assez vite. Par ailleurs, il est clair que B2k (x) atteint sa valeur absolue maximum pour x = 0 ; on obtient donc |B2k (x)| â&#x2030;¤ |b2k |,

â&#x2C6;&#x20AC;x â&#x2C6;&#x2C6; R.

(â&#x2C6;&#x2014;â&#x2C6;&#x2014;)

Comme B2k+1 (0) = 0 pour k â&#x2030;Ľ 1, on a dâ&#x20AC;&#x2122;autre part  x B2k+1 (x) = (2k + 1) B2k (t)dt 0

donc |B2k+1 (x)| â&#x2030;¤ (2k + 1)|x| |b2k |. On en d´eduit lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e  1 |b2k | |B2k+1 (x)| â&#x2030;¤ k + 2 1   1 dâ&#x20AC;&#x2122;abord pour x â&#x2C6;&#x2C6; 0, 2 , puis pour x â&#x2C6;&#x2C6; 2 , 1 grË&#x2020; ace `a la formule (3) du § 4.1, puis pour tout x â&#x2C6;&#x2C6; R par p´eriodicit´e.

     

      Soit f une fonction de classe C â&#x2C6;&#x17E; sur [Îą, +â&#x2C6;&#x17E;[ o` u Îą â&#x2C6;&#x2C6; Z. Pour tout entier n â&#x2030;Ľ Îą, on cherche `a obtenir un d´eveloppement limit´e `a tout ordre de la somme Sn (f ) = f (Îą) + f (Îą + 1) + . . . + f (n) lorsque n tend vers +â&#x2C6;&#x17E;. Un tel d´eveloppement est appel´e d´eveloppement asymptotique de Sn (f ) ; il permet g´en´eralement dâ&#x20AC;&#x2122;obtenir de tr`es bonnes valeurs approch´ees de Sn (f ) lorsque n est grand.

Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; On suppose quâ&#x20AC;&#x2122;il existe un entier m0 â&#x2C6;&#x2C6; N et un r´eel x0 tels que

pour m â&#x2030;Ľ m0 les d´eriv´ees f (m) (x) soient de signe constant sur [x0 , +â&#x2C6;&#x17E;[, avec limxâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; f (m) (x) = 0. Alors il existe une constante C ind´ependante de n et k, telle que pour tout n â&#x2030;Ľ x0 et tout k > m20 on ait : Sn (f ) = C +

avec Rn,k = θ

1 f (n) + 2



n

f (x)dx + Îą

kâ&#x2C6;&#x2019;1 

b2m f (2mâ&#x2C6;&#x2019;1) (n) + Rn,k (2m)! m=1

b2k f (2kâ&#x2C6;&#x2019;1) (n) = θ Ă&#x2014; (1er terme omis), (2k)!

θ â&#x2C6;&#x2C6; [0, 1].


82

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

D´ emonstration. On a par d´eďŹ nition Sn (f ) = 12 f (Îą) + 12 f (n) + T (f ) o` u T (f ) est la somme des trap`ezes de f sur [Îą, n]. La formule dâ&#x20AC;&#x2122;Euler Maclaurin entraË&#x2020;Äąne Sn (f ) =



k  b2m f (2mâ&#x2C6;&#x2019;1) (n) (2m)! Îą m=1  +â&#x2C6;&#x17E; k  b2m B2k (x) (2k) f (2mâ&#x2C6;&#x2019;1) (Îą) â&#x2C6;&#x2019; f (x)dx â&#x2C6;&#x2019; (2m)! (2k)! Îą m=1  +â&#x2C6;&#x17E; B2k (x) (2k) f + (x)dx. (2k)! n

1 1 f (Îą) + f (n) + 2 2

n

f (x)dx +

On obtient donc le d´eveloppement du th´eor`eme avec une constante C = Ck d´ependant a priori de k et un reste Rn,k donn´es par  +â&#x2C6;&#x17E; k  b2m (2mâ&#x2C6;&#x2019;1) B2k (x) (2k) 1 Ck = f (Îą) â&#x2C6;&#x2019; f f (Îą) â&#x2C6;&#x2019; (x)dx, 2 (2m)! (2k)! Îą m=1  +â&#x2C6;&#x17E; B2k (x) (2k) b2k (2kâ&#x2C6;&#x2019;1) f f Rn,k = (n) + (x)dx, (2k)! (2k)! n ` condition de montrer que les int´egrales convergent. Comme k > m20 , f (2k) est de a signe constant sur [x0 , +â&#x2C6;&#x17E;[. Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e (â&#x2C6;&#x2014;â&#x2C6;&#x2014;) du § 4.2, il vient    +â&#x2C6;&#x17E; B (x)  |b2k |  +â&#x2C6;&#x17E; (2k)    2k (2k) f (x)dx â&#x2030;¤ f (x),    (2k)! (2k)! n n  +â&#x2C6;&#x17E;  N   (2k) f (2kâ&#x2C6;&#x2019;1) (N )â&#x2C6;&#x2019;f (2kâ&#x2C6;&#x2019;1) (n) = â&#x2C6;&#x2019;f (2kâ&#x2C6;&#x2019;1) (n). f (x)dx = lim = lim n

N â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

n

N â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

On a donc bien convergence et nos estimations montrent par ailleurs que lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale ďŹ gurant dans Rn,k est de valeur absolue plus petite que le premier terme, donc Rn,k = θ

b2k f (2kâ&#x2C6;&#x2019;1) (n), (2k)!

θ â&#x2C6;&#x2C6; [0, 2].

Il reste `a voir quâ&#x20AC;&#x2122;on a en fait θ â&#x2C6;&#x2C6; [0, 1] et que Ck ne d´epend pas de k. Appliquons la formule a` lâ&#x20AC;&#x2122;ordre k + 1 et identiďŹ ons avec la formule donnant Sn (f ) a` lâ&#x20AC;&#x2122;ordre k. Il vient b2k f (2k+1) (n) + Rn,k+1 . Ck + Rn,k = Ck+1 + (2k)! En faisant tendre n vers +â&#x2C6;&#x17E;, on trouve Ck = Ck+1 , donc Ck est bien ind´ependante de k, et b2k (2k+1) f Rn,k = (n) + Rn,k+1 . (2k)! Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es ce qui pr´ec`ede, Rn,k est de mË&#x2020;eme signe que le terme b2k /(2k)!f (2kâ&#x2C6;&#x2019;1) (n) tandis que Rn,k+1 est du signe oppos´e : le § 4.2 montre que signe (b2k ) = (â&#x2C6;&#x2019;1)k+1 , tandis que signe f (2k+1) = â&#x2C6;&#x2019;signe f (2k) = signe f (2kâ&#x2C6;&#x2019;1) . On a donc  ( b 2k f (2kâ&#x2C6;&#x2019;1) (n) â&#x2030;¤ 1, Rn,k (2k)!


83

III â&#x20AC;&#x201C; Int´ egration num´ erique

ce qui implique θ â&#x2C6;&#x2C6; [0, 1].

Exemple â&#x20AC;&#x201C; Formule de Stirling avec reste. On applique la formule a` f (x) = ln x sur [1, +â&#x2C6;&#x17E;[ : Sn (f ) = ln 1 + . . . + ln (n) = ln (n!),  n ln xdx = n(ln (n) â&#x2C6;&#x2019; 1) + 1, 1

f (m) (x) =

(â&#x2C6;&#x2019;1)mâ&#x2C6;&#x2019;1 (m â&#x2C6;&#x2019; 1)! , xm

ln (n!) = C  + n! = eC



kâ&#x2C6;&#x2019;1  1 b2m 1 ln (n) + n(ln (n) â&#x2C6;&#x2019; 1) + + Rn,k 2mâ&#x2C6;&#x2019;1 2 2m(2m â&#x2C6;&#x2019; 1) n m=1

 kâ&#x2C6;&#x2019;1   â&#x2C6;&#x161;  n n b2m 1 n exp + R n,k e 2m(2m â&#x2C6;&#x2019; 1) n2mâ&#x2C6;&#x2019;1 m=1 

On peut v´eriďŹ er que eC = n! =

â&#x2C6;&#x161;

2Ď&#x20AC;n

â&#x2C6;&#x161;

 n n e

2Ď&#x20AC; (exercice ci-dessous), dâ&#x20AC;&#x2122;o` u en particulier exp



Exercice â&#x20AC;&#x201C; On pose In = (a) Montrer Calculer

dâ&#x20AC;&#x2122;o` u

 1 1 1 θ  . â&#x2C6;&#x2019; + â&#x2C6;&#x2019; 12n 360n3 1260n5 1680n7

Ď&#x20AC;/2 0

que In = nâ&#x2C6;&#x2019;1 n Inâ&#x2C6;&#x2019;2 si I0 , I1 puis I2n , I2n+1

sinn x dx, n â&#x2C6;&#x2C6; N. n â&#x2030;Ľ 2. et I2n ¡ I2n+1 .

(b) Montrer que In est d´ecroissante et que I2n+1 â&#x2C6;ź I2n . (c) En d´eduire

(2n)! 22n  et la valeur de eC . â&#x2C6;źâ&#x2C6;&#x161; 2 n! Ď&#x20AC;n

          On va montrer ici comment `a partir de la formule dâ&#x20AC;&#x2122;Euler-Maclaurin on peut construire une m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;int´egration bas´ee sur lâ&#x20AC;&#x2122;acc´el´eration de la convergence de la m´ethode des trap`ezes. On obtient ainsi un algorithme de calcul souple et performant, ais´e `a programmer et souvent pr´ef´er´e `a tout autre dans la pratique.

        On suppose donn´ee une fonction A qui admet un d´eveloppement limit´e `a tout ordre au voisinage de 0 : A(t) = a0 + a1 t + . . . + ak tk + Rk+1 (t)


84

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

avec |Rk+1 | ≤ Ck+1 |t|k+1 . La situation est la suivante : on suppose qu’on a un algorithme permettant de calculer A(tm ) pour certains r´eels tm → 0+ , et on cherche `a extrapoler ces valeurs pour obtenir A(0) = a0 . On construit pour cela un proc´ed´e d’acc´el´eration de la convergence consistant a` ´eliminer successivement les termes a1 t, a2 t2 , . . . du d´eveloppement limit´e de A(t).

Principe de la m´ ethode – Soit r > 1 un r´eel fix´e. On a A(rt) = a0 + . . . + an rn tn + . . . + ak rk tk + O(tk+1 ). Pour ´eliminer le terme en tn , il suffit de former le quotient rn A(t) − A(rt) = a0 + b1 t + . . . + bn−1 tn−1 + 0 + bn+1 tn−1 + . . . rn − 1 Si on calcule successivement les quantit´es A0 (t) = A(t) rA0 (t) − A0 (rt) A1 (t) = ,..., r−1 rn An−1 (t) − An−1 (rt) An (t) = , rn − 1 alors on ´elimine successivement t, t2 , . . . , tn . De mani`ere g´en´erale on aura An (t) = a0 + bn,n+1 tn+1 + . . . + bn,k tk + O(tk+1 ) donc An (t) = A0 + O(tn+1 ) est une meilleure approximation de a0 que la fonction A(t) initiale. Supposons en particulier qu’on sache calculer les quantit´es Am,0 = A(r−m t0 ) o` u t0 > 0 est fix´e (de sorte que limm→+∞ Am,0 = a0 ). On a seulement a priori A(t) = a0 + O(t), donc Am,0 = a0 + O(r−m ). Si on pose Am,n = An (r−m t0 ), il vient Am,n = a0 + O(r−m(n+1) ) quand

m → +∞,

de sorte que la convergence est sensiblement (n + 1)-fois rapide que celle de Am,0 . Les nombres Am,n se calculent par la formule de r´ecurrence Am,n =

rn Am,n−1 − Am−1,n−1 . rn − 1

Dans la pratique, on commence par ranger les valeurs Am,0 dans un tableau TAB, puis on effectue le calcul des colonnes Am,1 , Am,2 , . . . comme suit :


85

III â&#x20AC;&#x201C; Int´ egration num´ erique

TAB[0]

A0,0

A1,1

A2,2

A3,3

TAB[1]

A1,0

A2,1

A3,2

...

TAB[2]

A2,0

A3,1

...

...

TAB[3] ...

A3,0 ...

... ...

... ...

... ...

Chaque colonne est une suite convergeant vers a0 , mais la colonne dâ&#x20AC;&#x2122;indice n converge n + 1 fois plus vite a` lâ&#x20AC;&#x2122;inďŹ ni que celle dâ&#x20AC;&#x2122;indice 0.

      Soit f â&#x2C6;&#x2C6; C â&#x2C6;&#x17E; ([Îą, β]). On consid`ere la subdivision de [Îą, β] en l sous-intervalle ´egaux u h = βâ&#x2C6;&#x2019;Îą donn´ee par les points xj = Îą + jh, 0 â&#x2030;¤ j â&#x2030;¤ l o` l , et on note   1 1 f (Îą) + f (Îą + h) + . . . + f (β â&#x2C6;&#x2019; h) + f (β) Tf (h) = h 2 2 la somme des trap`ezes associ´ees. Appliquons la formule dâ&#x20AC;&#x2122;Euler-Maclaurin a` la fonction g(u) = f (Îą + uh), u â&#x2C6;&#x2C6; [0, l], g (m) (u) = hm f (m) (Îą + uh). Il vient  Tg (1) =

k   b2m 2mâ&#x2C6;&#x2019;1  (2mâ&#x2C6;&#x2019;1) h (β) â&#x2C6;&#x2019; f (2mâ&#x2C6;&#x2019;1) (Îą) f 2m! m=1  l B2k (u) (2k) f â&#x2C6;&#x2019; h2k (Îą + uh)du 2k! 0

l

f (Îą + uh)du + 0

dâ&#x20AC;&#x2122;o` u 

k    b2m h2m f (2mâ&#x2C6;&#x2019;1) (β) â&#x2C6;&#x2019; f (2mâ&#x2C6;&#x2019;1) (Îą) (2m)! m=1  β B2k ((x â&#x2C6;&#x2019; Îą)/h) (2k) f (x)dx. â&#x2C6;&#x2019; h2k 2k! Îą

β

Tf (h) = hTg (1) =

f (x)dx + Îą

On en d´eduit que Tf (h) admet le d´eveloppement limit´e 

β

Tf (h) =

f (x)dx + Îą

avec am =

b2m (2m)!

kâ&#x2C6;&#x2019;1 

am h2m + O(h2k )

m=1

  f (2mâ&#x2C6;&#x2019;1) (β) â&#x2C6;&#x2019; f (2mâ&#x2C6;&#x2019;1) (Îą) .

On peut donc ´ecrire Tf (h) = A(h2 ) o` u â&#x2C6;&#x161; A(t) = Tf ( t) = a0 + a1 t + . . . + akâ&#x2C6;&#x2019;1 tkâ&#x2C6;&#x2019;1 + O(tk ),


86

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

et il sâ&#x20AC;&#x2122;agit de calculer le coeďŹ&#x192;cient 

β

a0 =

f (x)dx. Îą

On utilise pour cela des dichotomies successives avec les pas h = βâ&#x2C6;&#x2019;Îą 2m . Ceci nous am`ene `a calculer β â&#x2C6;&#x2019; Îą  â&#x2C6;&#x2019;m 2 = A(4 . (β â&#x2C6;&#x2019; Îą) Am,0 = Tf 2m On applique donc le proc´ed´e dâ&#x20AC;&#x2122;extrapolation de Richardson avec r = 4, ce qui conduit a` la formule de r´ecurrence Am,n =

4n Am,nâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; Amâ&#x2C6;&#x2019;1,nâ&#x2C6;&#x2019;1 . 4n â&#x2C6;&#x2019; 1

β

On a alors Am,n = Îą f (x)dx + O(4â&#x2C6;&#x2019;m(n+1) ) quand m â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;. La valeur approch´ee retenue est celle correspondant aux indices m, n les plus ´elev´es pour lesquels Am,n a ´et´e calcul´e.

Remarque 1 â&#x20AC;&#x201C; On peut gagner du temps dans le calcul de Am,0 en utilisant Amâ&#x2C6;&#x2019;1,0 pour ´evaluer Am,0 . Si h = βâ&#x2C6;&#x2019;Îą 2m , on a en eďŹ&#x20AC;et :  1 1 Am,0 = h f (Îą) + f (Îą + h) + . . . + f (β â&#x2C6;&#x2019; h) + f (β) 2 2  1 1 Amâ&#x2C6;&#x2019;1,0 = 2h f (Îą) + f (Îą + 2h) + . . . + f (β â&#x2C6;&#x2019; 2h) + f (β) 2 2 Il suďŹ&#x192;t de poser

  Am,0 = h f (Îą + h) + f (Îą + 3h) + . . . + f (β â&#x2C6;&#x2019; h)

et alors on obtient Am,0 =

1 Amâ&#x2C6;&#x2019;1,0 + Am,0 . 2

Remarque 2 â&#x20AC;&#x201C; Si f â&#x2C6;&#x2C6; C â&#x2C6;&#x17E; (R) est p´eriodique de p´eriode β â&#x2C6;&#x2019; Îą, alors f (m) (β) = f (m) (Îą) pour tout m et on a donc un d´eveloppement limit´e `a tout ordre  β Tf (h) = f (x)dx + O(h2k ) Îą

r´eduit a` son terme constant. Il est inutile dans ce cas dâ&#x20AC;&#x2122;appliquer le proc´ed´e dâ&#x20AC;&#x2122;extrapolation de Richardson : la derni`ere somme des trap`ezes calcul´ee Am,0 donne d´ej`a une tr`es bonne approximation de lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale.

Exercice â&#x20AC;&#x201C; V´eriďŹ er que Am,1 (resp. Am,2 ) est la m´ethode de Simpson compos´ee sur 2mâ&#x2C6;&#x2019;1 sous-intervalles (resp. Boole-Villarceau sur 2mâ&#x2C6;&#x2019;2 sous-intervalles). Pour n â&#x2030;Ľ 3, on peut v´eriďŹ er que Am,n ne correspond plus a` une m´ethode de NewtonCotes.


87

III â&#x20AC;&#x201C; Int´ egration num´ erique

   6.1. Soient x1 et x2 deux points de [â&#x2C6;&#x2019;1, 1] et Îť1 et Îť2 â&#x2C6;&#x2C6; R. On d´esigne par C[â&#x2C6;&#x2019;1, 1] lâ&#x20AC;&#x2122;espace vectoriel des fonctions continues sur [â&#x2C6;&#x2019;1, 1] et `a valeurs r´eelles et on d´eďŹ nit T : C[â&#x2C6;&#x2019;1, 1] â&#x2020;&#x2019; R

par

T (f ) = Îť1 f (x1 ) + Îť2 f (x2 ).

(a) Quelles conditions doivent v´eriďŹ er x1 , x2 , Îť1 , Îť2 pour que T soit une m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;int´egration sur [â&#x2C6;&#x2019;1, 1] exacte pour (Îą) Les fonctions constantes ? (β) Les fonctions aďŹ&#x192;nes ? (Îł) Les polynË&#x2020; omes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2 ? (b) Parmi les m´ethodes exactes pour les polynË&#x2020;omes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2, une seule v´eriďŹ e x1 = â&#x2C6;&#x2019;x2 . Montrer que ce choix de x1 et x2 (et des Îť1 et Îť2 correspondants) fournit une m´ethode exacte pour les polynË&#x2020;omes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3 et quâ&#x20AC;&#x2122;il sâ&#x20AC;&#x2122;agit de la seule m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;int´egration exacte pour les polynË&#x2020; omes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3 qui soit du type ´etudi´e dans le probl`eme. Quelle est cette m´ethode ? 6.2. (a) Montrer que pour un polynË&#x2020; ome trigonom´etrique de degr´e n n 

cp eipx ,

p=â&#x2C6;&#x2019;n

la m´ethode des trap`ezes de pas constant h = [0, 2Ď&#x20AC;].

2Ď&#x20AC; n+1

est exacte sur lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle

(b) Montrer que si f peut Ë&#x2020;etre approch´ee par un polynË&#x2020; ome trigonom´etrique de degr´e 2Ď&#x20AC; fournit un erreur n` a moins de Îľ sur [a, b], la m´ethode des trap`ezes pour h = n+1 inf´erieure `a 4Ď&#x20AC;Îľ pour

2Ď&#x20AC; 0

f (x)dx.

  (c) On consid`ere f (x) = exp 12 sin x . Donner une majoration de lâ&#x20AC;&#x2122;erreur pour la 2Ď&#x20AC; m´ethode des trap`ezes pour 0 f (x) dx avec h = Ď&#x20AC;/2, h = Ď&#x20AC;/4. Que pensez-vous de ce dernier r´esultat ? 6.3. Soit f : [â&#x2C6;&#x2019;1, 1] â&#x2020;&#x2019; R une fonction de classe C n , o` u n sera suppos´e aussi grand que les besoins lâ&#x20AC;&#x2122;exigeront. On consid`ere la m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;int´egration num´erique approch´ee donn´ee par 

1

(M) â&#x2C6;&#x2019;1

f (x)dx  f (Ď&#x2030;) + f (â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2030;) avec Ď&#x2030; â&#x2C6;&#x2C6; [0, 1].


88

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

(a) Calculer lâ&#x20AC;&#x2122;erreur



1

E(f ) = â&#x2C6;&#x2019;1

f (x) â&#x2C6;&#x2019; (f (Ď&#x2030;) + f (â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2030;))

pour f (x) = 1, x, x2 respectivement. D´eterminer lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de la m´ethode (M) en fonction de Ď&#x2030;. (b) On se place ici dans le cas o` u la m´ethode (M) est dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 1. (Îą) Calculer le noyau de Peano K1 (t), et tracer le graphe de K1 pour Ď&#x2030; = 5/8. Pour quelles valeurs de Ď&#x2030; le noyau K1 est-il de signe constant ? (β) Montrer que lâ&#x20AC;&#x2122;erreur v´eriďŹ e une majoration |E(f )| â&#x2030;¤ C(Ď&#x2030;) f  â&#x2C6;&#x17E; o` u C(Ď&#x2030;) est une constante dont on d´eterminera la valeur optimale : â&#x20AC;˘ lorsque K1 est de signe constant ; â&#x20AC;˘ lorsque Ď&#x2030; = 5/8. (c) Calculer le noyau de Peano dans le cas o` u la m´ethode (M) est dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 3 et v´eriďŹ er que ce noyau est une fonction paire. En d´eduire quâ&#x20AC;&#x2122;il existe Ξ â&#x2C6;&#x2C6; ] â&#x2C6;&#x2019; 1, 1[ tel que 1 f (4) (Ξ). E(f ) = 135 (d) En utilisant le r´esultat du (c), estimer lâ&#x20AC;&#x2122;erreur obtenue par la m´ethode compos´ee associ´ee `a la m´ethode (M) pour le calcul dâ&#x20AC;&#x2122;une int´egrale 

b

g(x)dx a

avec une subdivision de [a, b] de pas constant h = (b â&#x2C6;&#x2019; a)/k, k â&#x2C6;&#x2C6; N . 6.4. Soit p un entier naturel et soit f (x) = xp . On note Sn,p =

n 

mp .

m=1

On utilise la formule du d´eveloppement asymptotique de Sn (f ) avec ι = 0. (a) Montrer que pour k assez grand, le reste Rn,k est nul. En d´eduire une expression de Sn,p ; on calculera la valeur de la constante C en observant que S0,p = 0. (b) Donner une expression factoris´ee de Sn,p pour p = 2, 3, 4, 5. 6.5. Soit β un r´eel > 1. On consid`ere la fonction f (x) =

1 xβ

et on note

Μ(β) =

+â&#x2C6;&#x17E;  1 . β n n=1


89

III â&#x20AC;&#x201C; Int´ egration num´ erique

On utilise la formule du d´eveloppement asymptotique de Sn (f ) avec Îą = 1. (a) Exprimer Îś(β) en fonction de la constante C de la formule ; pour cela, on fera tendre n vers +â&#x2C6;&#x17E;. (b) D´eterminer le d´eveloppement limit´e de Îś(β)â&#x2C6;&#x2019;Sn (f ) avec reste Rn,k . En prenant n = 5 et k = 5, donner un encadrement de Îś(3). 6.6. On applique ici la formule dâ&#x20AC;&#x2122;Euler-Maclaurin a` la fonction f (x) = eax , a â&#x2C6;&#x2C6; C. (a) Montrer lâ&#x20AC;&#x2122;´egalit´e  k  a ea + 1 b2m a2m a2k+1 1 B2k (x) ax = 1 + â&#x2C6;&#x2019; e dx 2 ea â&#x2C6;&#x2019; 1 (2m)! ea â&#x2C6;&#x2019; 1 0 (2k)! m=1 (b) Montrer que le reste int´egral est major´e pour tout a â&#x2C6;&#x2C6; C par |b2k | e| Re a| â&#x2C6;&#x2019; 1 |a| |a|2k a (2k)! | Re a| |e â&#x2C6;&#x2019; 1|

si

ea = 1.

+â&#x2C6;&#x17E; a a2m +1 En d´eduire que a2 eea â&#x2C6;&#x2019;1 = 1 + m=1 b2m (2m)! sur le disque |a| < 2Ď&#x20AC;, et que le rayon de convergence de la s´erie est 2Ď&#x20AC;. (c) Lorsque a est r´eel, montrer que le reste int´egral est major´e par |b2k |a2k /(2k)!, ainsi que par 2|b2k+2 |a2k+2 /(2k + 2)!. Utiliser ceci pour trouver une valeur approch´ee de (e + 1)/(e â&#x2C6;&#x2019; 1) en prenant k = 4. V´eriďŹ er que lâ&#x20AC;&#x2122;erreur commise est inf´erieure `a 10â&#x2C6;&#x2019;7 . 6.7. On consid`ere la fonction f (x) =

1 , 1 + x2

x â&#x2C6;&#x2C6; R.

(a) A lâ&#x20AC;&#x2122;aide dâ&#x20AC;&#x2122;une d´ecomposition en ´el´ements simples, calculer la d´eriv´ee f (m) et montrer que |f (m) (x)| â&#x2030;¤ m! (1 + x2 )â&#x2C6;&#x2019;(m+1)/2 . (b) D´eterminer le d´eveloppement asymptotique de la suite Sn =

n  k=0

1 . 1 + k2

(c) Calculer S10 et en d´eduire une valeur approch´ee `a 10â&#x2C6;&#x2019;6 pr`es de la somme +â&#x2C6;&#x17E; 

1 . 1 + n2 n=0 6.8. On se propose ici dâ&#x20AC;&#x2122;´etudier une m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;int´egration num´erique analogue aux m´ethodes de Newton-Cotes.


90

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

(a) Soit g une fonction continue sur [â&#x2C6;&#x2019;1, 2]. D´eterminer le polynË&#x2020; ome 2 p(x) = i=â&#x2C6;&#x2019;1 g(i)i (x) de degr´e â&#x2030;¤ 3 qui interpole g aux points â&#x2C6;&#x2019;1, 0, 1, 2. Exprimer lâ&#x20AC;&#x2122;erreur dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation a` lâ&#x20AC;&#x2122;aide du polynË&#x2020; ome Ď&#x20AC;(x) = x(x + 1)(x â&#x2C6;&#x2019; 1)(x â&#x2C6;&#x2019; 2). (b) Calculer

1 0

En d´eduire

p(x)dx et 2 1

0 â&#x2C6;&#x2019;1

p(x)dx en fonction des valeurs g(i), â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ 2.

p(x)dx.

V´eriďŹ er les formules pour g(x) = 1 (resp. g(x) = x). (c) Calculer

1 0

|Ď&#x20AC;(x)|dx et

0 â&#x2C6;&#x2019;1

|Ď&#x20AC;(x)|dx. i+1

En d´eduire une majoration (la meilleure possible !) de i |g(x) â&#x2C6;&#x2019; p(x)|dx, i = â&#x2C6;&#x2019;1, 0, 1, en fonction de la norme uniforme dâ&#x20AC;&#x2122;une d´eriv´ee convenable de g (g est suppos´ee suďŹ&#x192;samment d´erivable). (d) Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] avec a < b. On note nâ&#x2030;Ľ8

a = a0 < a1 < . . . < anâ&#x2C6;&#x2019;1 < an = b, la subdivision de pas constant h =

bâ&#x2C6;&#x2019;a n

et on pose fi = f (ai ).

On ´etudie la m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;int´egration num´erique 

b

f (x)dx = a

nâ&#x2C6;&#x2019;1   ai+1 i=0

f (x)dx 

ai

nâ&#x2C6;&#x2019;1   ai i=0

pi (x)dx

ai+1

o` u pi d´esigne le polynË&#x2020;ome dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation de Lagrange de f aux points aiâ&#x2C6;&#x2019;1 , ai , ai+1 , ai+2 si 1 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n â&#x2C6;&#x2019; 2, avec la convention dâ&#x20AC;&#x2122;´ecriture p0 = p1 , pnâ&#x2C6;&#x2019;1 = pnâ&#x2C6;&#x2019;2 . Montrer que cette m´ethode sâ&#x20AC;&#x2122;´ecrit 

b

f (x)dx  h a

n 

Îť i fi

i=0

pour des coeďŹ&#x192;cients Îťi que lâ&#x20AC;&#x2122;on explicitera. Que peut-on dire de lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de la m´ethode ? (e) Majorer les erreurs

ai+1 ai

|f (x) â&#x2C6;&#x2019; pi (x)|dx et 

b

f (x)dx â&#x2C6;&#x2019; h

E(f ) = a

n 

Îť i fi

i=0

en fonction de h, b â&#x2C6;&#x2019; a, et de la norme uniforme dâ&#x20AC;&#x2122;une d´eriv´ee convenable de f . 6.9. On d´esigne par C lâ&#x20AC;&#x2122;espace des fonctions d´eďŹ nies sur lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [â&#x2C6;&#x2019;1, 1] a` valeurs dans R, muni de la norme uniforme.


91

III â&#x20AC;&#x201C; Int´ egration num´ erique

(a) Montrer que pour tout f â&#x2C6;&#x2C6; C lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale  1 f (x) â&#x2C6;&#x161; dx est convergente. 1 â&#x2C6;&#x2019; x2 â&#x2C6;&#x2019;1 ome de Tchebychev de degr´e n. (b) On note tn le polynË&#x2020; 1 tn (x)tk (x) â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x2019;1 1â&#x2C6;&#x2019;x2 1 xn tm (x) â&#x2C6;&#x161; dx â&#x2C6;&#x2019;1 1â&#x2C6;&#x2019;x2

On rappelle le r´esultat Kronecker. Calculer

dx = pour

Ď&#x20AC; 2

δn,k o` u δn,k est le symbole de

n < m.

(c) On note x0 , x1 , x2 les racines de t3 . D´eterminer trois r´eels A0 , A1 , A2 tels que pour tout polynË&#x2020; ome P de degr´e â&#x2030;¤ 2 on ait  1 P (x) â&#x2C6;&#x161; dx = A0 P (x0 ) + A1 P (x1 ) + A2 P (x2 ). 1 â&#x2C6;&#x2019; x2 â&#x2C6;&#x2019;1 Montrer que lâ&#x20AC;&#x2122;´egalit´e est encore v´eriďŹ Â´ee si P est de degr´e â&#x2030;¤ 5. (d) Montrer que lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale

1 0

4 dx x(1â&#x2C6;&#x2019;x)

â&#x2C6;&#x161;x

est convergente et, `a lâ&#x20AC;&#x2122;aide de (c), calculer

sa valeur. (e) Pour n ďŹ x´e non nul, on d´esigne par xk les racines de tn et par Ak des nombres r´eels (0 â&#x2030;¤ k â&#x2030;¤ n â&#x2C6;&#x2019; 1). Pour tout f â&#x2C6;&#x2C6; C on note Sn (f ) =

nâ&#x2C6;&#x2019;1  k=0

 Ak f (xk ) et

Rn (f ) =

1 â&#x2C6;&#x2019;1

f (x) â&#x2C6;&#x161; dx â&#x2C6;&#x2019; Sn (f ). 1 â&#x2C6;&#x2019; x2

(Îą) Montrer que lâ&#x20AC;&#x2122;on peut d´eterminer les Ak de mani`ere unique de sorte que pour tout polynË&#x2020; ome P de degr´e â&#x2030;¤ n â&#x2C6;&#x2019; 1 on ait Rn (P ) = 0. nâ&#x2C6;&#x2019;1 (β) Montrer que pour 1 â&#x2030;¤ p â&#x2030;¤ n â&#x2C6;&#x2019; 1 on a k=0 Tp (xk ) = 0. En d´eduire que Ak = Ď&#x20AC;n pour tout k. ome de degr´e â&#x2030;¤ 2n â&#x2C6;&#x2019; 1. (Îł) Montrer que Rn (P ) = 0 pour tout polynË&#x2020; (f) Soient f â&#x2C6;&#x2C6; C et P un polynË&#x2020; ome. En supposant f â&#x2C6;&#x2019; p < Îľ, donner un majorant de |Rn (f )| lorsque n â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;. En d´eduire  1 f (x) â&#x2C6;&#x161; lim Sn (f ) = dx. nâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; 1 â&#x2C6;&#x2019; x2 â&#x2C6;&#x2019;1 6.10. Le but du probl`eme est dâ&#x20AC;&#x2122;´etablir quelques r´esultats sur la formule approch´ee 1 1 f (x)dx  â&#x2C6;&#x2019;1 Pn (x)dx o` u Pn (x) est le polynË&#x2020; ome dâ&#x20AC;&#x2122;interpolation de degr´e n de â&#x2C6;&#x2019;1 f aux points de Tchebychev xi = cos θi , tels que θi =

(2i+1) 2n+2

Ď&#x20AC;, 0 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n.

(a) Avec les notations de II 4.3, montrer que le polynË&#x2020; omes li de Lagrange sont donn´es par (â&#x2C6;&#x2019;1)i sin θi tn+1 (x) li (x) = , 0 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ n. n+1 x â&#x2C6;&#x2019; xi


92

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

(b) Pour x â&#x2C6;&#x2C6; [â&#x2C6;&#x2019;1, 1] et n â&#x2C6;&#x2C6; N on note  an (x) =

1 â&#x2C6;&#x2019;1

cos(n Arc cos x) â&#x2C6;&#x2019; cos(n Arc cos y) dy. xâ&#x2C6;&#x2019;y

Montrer que an est un polynË&#x2020; ome de degr´e n et que lâ&#x20AC;&#x2122;on a 

1

â&#x2C6;&#x2019;1

Pn (x)dx =

n 

Ď&#x2030;i f (xi ) avec Ď&#x2030;i =

i=0

(â&#x2C6;&#x2019;1)i sin θi an+1 (xi ). n+1

(c) Calculer an+1 (x) â&#x2C6;&#x2019; anâ&#x2C6;&#x2019;1 (x) ; en d´eduire la valeur de an+1 (x) â&#x2C6;&#x2019; 2xan (x) + anâ&#x2C6;&#x2019;1 (x). (d) En distinguant deux cas suivant la parit´e de n, montrer lâ&#x20AC;&#x2122;´egalit´e sin θ an (cos θ) = 2 sin nθ â&#x2C6;&#x2019; 4

 1â&#x2030;¤q< n 2

1 sin (n â&#x2C6;&#x2019; 2q)θ. 4q 2 â&#x2C6;&#x2019; 1

(e) En d´eduire lâ&#x20AC;&#x2122;expression de Ď&#x2030;i :  2 â&#x2C6;&#x2019; 4 Ď&#x2030;i =

 1â&#x2030;¤qâ&#x2030;¤ n+1 2

 1 cos 2qθi  4q 2 â&#x2C6;&#x2019; 1

n+1

.

Montrer lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e Ď&#x2030;i > 0. ´ (f) On ďŹ xe n = 10. Ecrire un programme en langage informatique qui permet de calculer tous les coeďŹ&#x192;cients Ď&#x2030;i .




               Les m´ethodes it´eratives, et en particulier la m´ethode de Newton, ďŹ gurent parmi les m´ethodes num´eriques les plus puissantes permettant la r´esolution approch´ee des ´equations de toute nature. Lâ&#x20AC;&#x2122;id´ee de ces m´ethodes est de partir dâ&#x20AC;&#x2122;une valeur approch´ee grossi`ere de la solution, et dâ&#x20AC;&#x2122;en am´eliorer la pr´ecision par une application it´er´ee dâ&#x20AC;&#x2122;un algorithme bien choisi.

      

      Soit (E, d) un espace m´etrique complet et Ď&#x2022; : E â&#x2020;&#x2019; E une application continue. On dit que a â&#x2C6;&#x2C6; E est un point ďŹ xe de Ď&#x2022; si Ď&#x2022;(a) = a. On dit que Ď&#x2022; est contractante si Ď&#x2022; est lipschitzienne de rapport k < 1, câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire sâ&#x20AC;&#x2122;il existe k < 1 tel que â&#x2C6;&#x20AC;x, y â&#x2C6;&#x2C6; E,

d(f (x), f (y)) â&#x2030;¤ k d(x, y).

Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; Soit Ď&#x2022; : E â&#x2020;&#x2019; E une application contractante dâ&#x20AC;&#x2122;un espace m´etrique complet dans lui-mË&#x2020;eme. Alors Ď&#x2022; admet un point ďŹ xe unique a â&#x2C6;&#x2C6; E. De plus, pour tout point initial x0 â&#x2C6;&#x2C6; E, la suite it´er´ee (xp ) d´eďŹ nie par xp+1 = Ď&#x2022;(xp ) converge vers a. Unicit´ e du point ďŹ xe. Si Ď&#x2022; avait deux points ďŹ xes a = b, alors d(Ď&#x2022;(a), Ď&#x2022;(b)) = d(a, b) et d(a, b) = 0, donc Ď&#x2022; ne pourrait Ë&#x2020;etre contractante, contradiction. Existence du point ďŹ xe. Soit x0 â&#x2C6;&#x2C6; E un point initial quelconque et (xp ) la suite it´er´ee associ´ee. On a alors d(xp , xp+1 ) = d(Ď&#x2022;(xpâ&#x2C6;&#x2019;1 ), Ď&#x2022;(xp )) â&#x2030;¤ k d(xpâ&#x2C6;&#x2019;1 , xp )


94

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

d’o` u par r´ecurrence d(xp , xp+1 ) ≤ k p d(x0 , x1 ). Pour tout entier q > p il vient d(xp , xq ) ≤

q−1 

d(xl , xl+1 ) ≤

l=p

avec

q−1  l=p

kl ≤

+∞  l=p

kl =

 q−1

 k

l

d(x0 , x1 )

l=p

kp . On a donc 1−k d(xp , xq ) ≤

kp d(x0 , x1 ), 1−k

∀p < q

ce qui montre que (xp ) est une suite de Cauchy. Comme (E, d) est complet, la suite (xp ) converge vers un point limite a ∈ E. L’´egalit´e xp+1 = ϕ(xp ) et la continuit´e de ϕ impliquent a` la limite a = ϕ(a).

Estimation de la vitesse de convergence – L’in´egalit´e d(xp , a) = d(ϕ(xp−1 ), ϕ(a)) ≤ k d(xp−1 , a) implique par r´ecurrence d(xp , a) ≤ k p d(x0 , a). La convergence est donc exponentiellement rapide. Lorsque E = Rm , on dit parfois qu’il s’agit d’une convergence lin´eaire, dans le sens o` u le nombre de d´ecimales exactes de xp croˆıt au moins lin´eairement avec p.

G´ en´ eralisation – Le th´eor`eme pr´ec´edent reste enti`erement valable si on remplace l’hypoth`ese que ϕ est contractante par l’hypoth`ese que ϕ est continue et qu’il existe une certaine it´er´ee ϕm = ϕ ◦ . . . ◦ ϕ qui soit contractante. En effet, dans ce cas, l’hypoth`ese que ϕm soit contractante implique que ϕm admet un unique point fixe a. On a donc ϕm (a) = a et en appliquant ϕ `a cette ´egalit´e on trouve ϕm (ϕ(a)) = ϕm+1 (a) = ϕ(ϕm (a)) = ϕ(a), de sorte que ϕ(a) est encore un point fixe de ϕm . L’unicit´e du point fixe de ϕm entraˆıne ϕ(a) = a. Par ailleurs, comme tout point fixe de ϕ est aussi un point fixe de ϕm , ce point fixe est n´ecessairement unique. Enfin, pour tout point initial x0 , la sous-suite xmp = ϕmp (x0 ) = (ϕm )p (x0 ) (correspondant aux indices multiples de m) converge vers a. Il en r´esulte que xmp+r = ϕr (xmp ) converge aussi vers ϕr (a) = a pour r = 0, 1, . . . m − 1, et on en d´eduit limq→+∞ xq = a. Voir aussi le probl`eme 4.1 pour une autre d´emonstration de ces r´esultats.


IV â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution dâ&#x20AC;&#x2122;´ equations

95

            Comme premi`ere application ´el´ementaire du r´esultat pr´ec´edent, soit a` r´esoudre une ´equation f (x) = 0 dâ&#x20AC;&#x2122;une variable r´eelle x. Supposons quâ&#x20AC;&#x2122;on ait une fonction diďŹ&#x20AC;´erentiable f : [a, b] â&#x2020;&#x2019; R telle que disons  f (a) < 0, f (b) > 0, et f strictement croissante, 0 < m â&#x2030;¤ f  (x) â&#x2030;¤ M sur [a, b] dans le cas oppos´e f (a) > 0, f (b) < 0, et â&#x2C6;&#x2019;M â&#x2030;¤ f  (x) < â&#x2C6;&#x2019;m < 0 il suďŹ&#x192;ra de changer f en â&#x2C6;&#x2019;f . Si on pose Ď&#x2022;(x) = x â&#x2C6;&#x2019; Cf (x) avec une constante C = 0, il est clair que lâ&#x20AC;&#x2122;´equation f (x) = 0 ´equivaut a` Ď&#x2022;(x) = x et donc la r´esolution de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation f (x) = 0 se ram`ene `a rechercher les points ďŹ xes de Ď&#x2022;. Lâ&#x20AC;&#x2122;espace E = [a, b] est complet, et il nous faut v´eriďŹ er de plus â&#x20AC;˘ que Ď&#x2022; envoie bien E dans E, â&#x20AC;˘ que Ď&#x2022; est bien contractante sur E. Or nous avons Ď&#x2022; (x) = 1 â&#x2C6;&#x2019; Cf  (x), donc 1 â&#x2C6;&#x2019; CM â&#x2030;¤ Ď&#x2022; (x) â&#x2030;¤ 1 â&#x2C6;&#x2019; Cm, et pour le choix C = 1/M , la fonction Ď&#x2022; est bien contractante dans le rapport k = 1 â&#x2C6;&#x2019; m/M . De plus Ď&#x2022; est croissante et on a Ď&#x2022;(a) > a, Ď&#x2022;(b) < b, donc Ď&#x2022;([a, b]) â&#x160;&#x201A; [a, b]. Il en r´esulte que toute suite it´erative xp+1 = Ď&#x2022;(xp ) calcul´ee `a partir dâ&#x20AC;&#x2122;un point x0 â&#x2C6;&#x2C6; [a, b] quelconque va converger vers lâ&#x20AC;&#x2122;unique solution de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation f (x) = 0. La vitesse de convergence peut Ë&#x2020;etre estim´ee par la suite g´eom´etrique (1 â&#x2C6;&#x2019; m/M )p , et on voit quâ&#x20AC;&#x2122;on a int´erË&#x2020;et `a ce que les bornes m et M de lâ&#x20AC;&#x2122;encadrement m â&#x2030;¤ f  â&#x2030;¤ M soient proches, ce qui est toujours possible si f  est continue et si lâ&#x20AC;&#x2122;encadrement initial [a, b] de la solution x cherch´ee est suďŹ&#x192;samment ďŹ n. Lâ&#x20AC;&#x2122;objet de ce chapitre est dâ&#x20AC;&#x2122;´etudier et de g´en´eraliser ce type de techniques, pour des fonctions dâ&#x20AC;&#x2122;une ou plusieurs variables.

            

 

     Notre objectif est ici dâ&#x20AC;&#x2122;´etudier le comportement it´eratif dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction au voisinage de ses points ďŹ xes. Soit I un intervalle ferm´e de R et Ď&#x2022; : I â&#x2020;&#x2019; I une application de classe C 1 . Soit a â&#x2C6;&#x2C6; I un point ďŹ xe de Ď&#x2022;. On peut distinguer trois cas : (1) |Ď&#x2022; (a)| < 1. Soit k tel que |Ď&#x2022; (a)| < k < 1. Par continuit´e de Ď&#x2022; , il existe un intervalle E = [a â&#x2C6;&#x2019; h, a + h] sur lequel |Ď&#x2022; | â&#x2030;¤ k, donc Ď&#x2022; est contractante de rapport k sur E ; on a n´ecessairement Ď&#x2022;(E) â&#x160;&#x201A; E et par cons´equent â&#x2C6;&#x20AC;x0 â&#x2C6;&#x2C6; [a â&#x2C6;&#x2019; h, a + h],

lim xp = a.

pâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

On dit que a est un point ďŹ xe attractif. Dans ce cas la convergence de la suite (xp ) est au moins exponentiellement rapide : |xp â&#x2C6;&#x2019; a| â&#x2030;¤ k p |x0 â&#x2C6;&#x2019; a|.


96

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Cas particulier : ϕ (a) = 0. Supposons de plus que ϕ soit de classe C 2 et que |ϕ | ≤ M sur E. La formule de Taylor donne (x − a)2  ϕ (c) ϕ(x) = ϕ(a) + (x − a)ϕ (a) + 2! 1 c ∈ ]a, x[, = a + ϕ (c)(x − a)2 , 2  2 d’o` u |ϕ(x) − a| ≤ 12 M |x − a|2 , soit encore 12 M |ϕ(x) − a| ≤ 12 M |x − a| . Par r´ecurrence, on en d´eduit successivement 1 2p 1 M |xp − a| ≤ M |x0 − a| , 2 2

|xp − a| ≤

2 M



1 2

2p M |x0 − a| .

En particulier si x0 est choisi tel que |x0 − a| ≤ |xp − a| ≤

1 5M ,

on obtient

p 2 10−2 ; M

on voit donc que le nombre de d´ecimales exactes double environ `a chaque it´eration ; 10 it´erations suffiraient ainsi th´eoriquement pour obtenir plus de 1000 d´ecimales exactes ! La convergence est donc ici extraordinairement rapide. Ce ph´enom`ene est appel´e ph´enom`ene de convergence quadratique, et le point fixe a est alors appel´e parfois point fixe superattractif. (2) |ϕ (a)| > 1.  ϕ(x) − ϕ(a)    Comme lim   = |ϕ (a)| > 1, on voit qu’il existe un voisinage x→0 x−a [a − h, a + h] de a tel que ∀x ∈ [a − h, a + h] \ {a},

|ϕ(x) − a| > |x − a|.

On dit alors que le point fixe a est r´epulsif. Dans ce cas, la d´eriv´ee ϕ est de signe constant au voisinage de a, donc il existe h > 0 tel que la restriction ϕ|[a−h,a+h] admette une application r´eciproque ϕ−1 d´efinie sur ϕ([a − h, a + h]), qui est un intervalle contenant ϕ(a) = a. L’´equation ϕ(x) = x peut se r´ecrire x = ϕ−1 (x) au voisinage de a, et comme (ϕ−1 ) (a) = 1/ϕ (a), le point a est un point fixe attractif pour ϕ−1 . (3) |ϕ (a)| = 1. On est ici dans un cas douteux, comme le montrent les deux exemples suivants dans lesquels a = 0, ϕ (a) = 1 :


97

IV â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution dâ&#x20AC;&#x2122;´ equations









Ď&#x20AC; Ď&#x20AC; Exemple 1 â&#x20AC;&#x201C; Ď&#x2022;(x)  = sin x, x â&#x2C6;&#x2C6; 0, 2 . On a ici sin x < x pour tout x â&#x2C6;&#x2C6; 0, 2 . Ď&#x20AC;

Pour tout x0 â&#x2C6;&#x2C6; 0, 2 la suite it´er´ee (xp ) est strictement d´ecroissante minor´ee, donc convergente. La limite l v´eriďŹ e l = sin l, donc l = 0.

Exemple 2 â&#x20AC;&#x201C; Ď&#x2022;(x) = sinh x, x â&#x2C6;&#x2C6; [0, +â&#x2C6;&#x17E;[. Comme sinh x > x pour tout x > 0, on voit que le point ďŹ xe 0 est r´epulsif et que â&#x2C6;&#x20AC;x0 > 0, lim xp = +â&#x2C6;&#x17E;. pâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

       Nous voulons d´ecrire ici un peu plus ďŹ nement le comportement de la suite it´erative xp+1 = Ď&#x2022;(xp ) au voisinage dâ&#x20AC;&#x2122;un point ďŹ xe attractif a. On suppose donc Ď&#x2022; de classe C 1 et |Ď&#x2022; (a)| < 1. On peut de nouveau distinguer plusieurs cas. (1) Ď&#x2022; (a) > 0. Par continuit´e de Ď&#x2022; on va avoir 0 < Ď&#x2022; (x) < 1 au voisinage de a, donc il existe un voisinage [a â&#x2C6;&#x2019; h, a + h] sur lequel x â&#x2020;&#x2019; Ď&#x2022;(x) et x â&#x2020;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;(x) sont strictement croissantes, par suite x < Ď&#x2022;(x) < Ď&#x2022;(a) = a pour x â&#x2C6;&#x2C6; [a â&#x2C6;&#x2019; h, a[ a = Ď&#x2022;(a) < Ď&#x2022;(x) < x pour x â&#x2C6;&#x2C6; ]a, a + h], ce qui implique en particulier que Ď&#x2022;([a â&#x2C6;&#x2019; h, a + h] â&#x160;&#x201A; [a â&#x2C6;&#x2019; h, a + h]. Il est facile de voir dans ce cas que la suite it´erative xp+1 = Ď&#x2022;(xp ) va Ë&#x2020;etre strictement croissante pour x0 â&#x2C6;&#x2C6; [a â&#x2C6;&#x2019; h, a[ et strictement d´ecroissante si x0 â&#x2C6;&#x2C6; ]a, a + h]. On obtient alors typiquement un graphe  en escalier  : y

y=x y = Ď&#x2022;(x)

Ď&#x2022;(x0 )

aâ&#x2C6;&#x2019;h

x0

x1 ... xp a

x1

x0

a+h

x

(2) Ď&#x2022; (a) < 0. Par continuit´e de Ď&#x2022; on va avoir â&#x2C6;&#x2019;1 < Ď&#x2022; (x) < 0 sur un voisinage [a â&#x2C6;&#x2019; h, a + h] de a, sur lequel Ď&#x2022; est donc strictement d´ecroissante. Si x < a, alors Ď&#x2022;(x) > Ď&#x2022;(a) = a,


98

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

tandis que si x > a, on Ď&#x2022;(x) < Ď&#x2022;(a) = a. Comme Ď&#x2022; â&#x2014;Ś Ď&#x2022; est strictement croissante (de d´eriv´ee < 1) sur [a â&#x2C6;&#x2019; h, a + h], le cas (1) montre que les suites x2p et x2p+1 sont monotones de limite Il sâ&#x20AC;&#x2122;agit donc de suites adjacentes, et on obtient un graphe  en escargot  : y

y=x

Ď&#x2022;(xp )

y = Ď&#x2022;(x)

aâ&#x2C6;&#x2019;h

x0

x2

xp a xp+1 x3 x1

a+h

x

(3) Ď&#x2022; (a) = 0. En g´en´eral, on ne va rien pouvoir conclure. Cependant, si Ď&#x2022; est de classe C 2 et Ď&#x2022; (a) = 0, alors le point a est un extremum local. On choisira h assez petit pour que Ď&#x2022; ne change pas de signe et |Ď&#x2022; | < 1 sur [a â&#x2C6;&#x2019; h, a + h]. Alors, si Ď&#x2022; (a) < 0 (resp. Ď&#x2022; (a) > 0), le point a est un maximum local (resp. un minimum local), et pour x0 â&#x2C6;&#x2C6; [a â&#x2C6;&#x2019; h, a + h]  {a} quelconque, il est facile de voir que la suite (xp ) est strictement croissante (resp. d´ecroissante), mis `a part peut-Ë&#x2020;etre pour le terme initial x0 . On aboutit encore a` un graphe en escalier.

  

      Soit a` r´esoudre lâ&#x20AC;&#x2122;´equation f (x) = x3 â&#x2C6;&#x2019; 4x + 1 = 0, x â&#x2C6;&#x2C6; R. On a f  (x) = 3x2 â&#x2C6;&#x2019; 4 et lâ&#x20AC;&#x2122;´etude de f donne :

x f  (x)

+

0

f (x)

1+ 

16 â&#x2C6;&#x161; 3 3

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;&#x161;2 3

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;23

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;&#x2019;

0

+â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;

 1â&#x2C6;&#x2019;

16 â&#x2C6;&#x161; 3 3




99

IV â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution dâ&#x20AC;&#x2122;´ equations

y

y = f (x)

4

1

a1 â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2C6;&#x161;2 3

a2

0

1

a3 2

x

â&#x2C6;&#x2019;2

Lâ&#x20AC;&#x2122;´equation f (x) = 0 admet donc 3 racines r´eelles a1 < a2 < a3 . le calcul de quelques valeurs de f donne â&#x2C6;&#x2019;2, 5 < a1 < â&#x2C6;&#x2019;2,

0 < a2 < 0, 5,

1, 5 < a3 < 2.

Lâ&#x20AC;&#x2122;´equation f (x) = 0 peut se r´ecrire x = Ď&#x2022;(x) avec Ď&#x2022;(x) = u: Ď&#x2022; (x) = 34 x2 , dâ&#x20AC;&#x2122;o` â&#x20AC;˘ sur [â&#x2C6;&#x2019;2, 5 ; â&#x2C6;&#x2019;2],

Ď&#x2022; â&#x2030;Ľ Ď&#x2022; (2) = 3.

â&#x20AC;˘ sur [0 ; 0, 5],

0 â&#x2030;¤ Ď&#x2022; â&#x2030;¤ 0, 1875.

â&#x20AC;˘ sur [1, 5 ; 2],

Ď&#x2022; â&#x2030;Ľ Ď&#x2022; (1, 5) = 1, 6875.

1 4

(x3 + 1). On a

Seul a2 est un point ďŹ xe attractif de Ď&#x2022;. Lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [0 ; 0, 5] est n´ecessairement stable par Ď&#x2022; puisquâ&#x20AC;&#x2122;il contient un point ďŹ xe et que Ď&#x2022; est contractante et croissante. Pour tout x0 â&#x2C6;&#x2C6; [0 ; 0, 5] on aura donc a2 = lim xp . pâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x161; Pour obtenir a1 et a3 , on peut it´erer la fonction Ď&#x2022;â&#x2C6;&#x2019;1 (x) = 3 4x â&#x2C6;&#x2019; 1, qui est contractante au voisinage de ces points. Il sera num´eriquement plus eďŹ&#x192;cace de r´ecrire lâ&#x20AC;&#x2122;´equation sous la forme x2 â&#x2C6;&#x2019;4+ x1 = 0, soit x = Ď&#x2022;+ (x) ou x = Ď&#x2022;â&#x2C6;&#x2019; (x) avec Ď&#x2022;+ (x) =

1 4â&#x2C6;&#x2019; , x

Ď&#x2022;â&#x2C6;&#x2019; (x) = â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2C6;&#x2019;

1 , x

 â&#x2C6;&#x2019;1/2 suivant que x est â&#x2030;Ľ 0 ou â&#x2030;¤ 0. on a alors Ď&#x2022;Âą = Âą 2x1 2 4 â&#x2C6;&#x2019; x1 , de sorte que 0 â&#x2030;¤ Ď&#x2022;+ â&#x2030;¤ Ď&#x2022;+ (1, 5)  0, 122 Ď&#x2022;â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;2)  â&#x2C6;&#x2019;0, 059 â&#x2030;¤ Ď&#x2022; â&#x2030;¤ 0

sur [1, 5 ; 2], sur [â&#x2C6;&#x2019;2, 5 ; â&#x2C6;&#x2019;2] ;

La convergence sera donc assez rapide. Nous allons voir quâ&#x20AC;&#x2122;il existe en fait une m´ethode g´en´erale plus eďŹ&#x192;cace et plus syst´ematique.


100

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

       On cherche `a ´evaluer num´eriquement la racine a dâ&#x20AC;&#x2122;une ´equation f (x) = 0, en supposant quâ&#x20AC;&#x2122;on dispose dâ&#x20AC;&#x2122;une valeur grossi`ere x0 de cette racine.

y f

a x1

x0

x

Lâ&#x20AC;&#x2122;id´ee est de remplacer la courbe repr´esentative de f par sa tangente au point x0 : y = f  (x0 )(x â&#x2C6;&#x2019; x0 ) + f (x0 ). Lâ&#x20AC;&#x2122;abscisse x1 du point dâ&#x20AC;&#x2122;intersection de cette tangente avec lâ&#x20AC;&#x2122;axe y = 0 est donn´ee par f (x0 ) ; x1 = x0 â&#x2C6;&#x2019;  f (x0 ) x1 est en g´en´eral une meilleure approximation de a que x0 . On est donc amen´e `a it´erer la fonction f (x) . Ď&#x2022;(x) = x â&#x2C6;&#x2019;  f (x) Supposons que f soit de classe C 2 et que f  (a) = 0. La fonction Ď&#x2022; est alors de classe C 1 au voisinage de a et Ď&#x2022; (x) = 1 â&#x2C6;&#x2019;

f  (x)2 â&#x2C6;&#x2019; f (x)f  (x) f (x)f  (x) = , f  (x)2 f  (x)2

ce qui donne Ď&#x2022;(a) = a, Ď&#x2022; (a) = 0. La racine a de f (x) = 0 est donc un point ďŹ xe superattractif de Ď&#x2022;. Le r´esultat suivant donne une estimation de lâ&#x20AC;&#x2122;´ecart |xp â&#x2C6;&#x2019; a|. 2 Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; On suppose que f est de classe  C sur lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle I = [a â&#x2C6;&#x2019; r, a + r]

 f  (x)     et h = min r, 1 . Alors pour tout et que f  = 0 sur I. Soit M = max   M  xâ&#x2C6;&#x2C6;I f (x) x â&#x2C6;&#x2C6; [aâ&#x2C6;&#x2019;h, a+h] on a |Ď&#x2022;(x)â&#x2C6;&#x2019;a| â&#x2030;¤ M |xâ&#x2C6;&#x2019;a|2 , et pour tout point initial x0 â&#x2C6;&#x2C6; [aâ&#x2C6;&#x2019;h, a+h] |xp â&#x2C6;&#x2019; a| â&#x2030;¤

p 1 (M |x0 â&#x2C6;&#x2019; a|)2 . M


IV â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution dâ&#x20AC;&#x2122;´ equations

101

D´ emonstration. Introduisons la fonction u(x) = f (x)/f  (x). La fonction f est monotone sur I, nulle en a, donc f a mË&#x2020;eme signe que f  (a)(x â&#x2C6;&#x2019; a), ce qui entraË&#x2020;Äąne que u(x) a mË&#x2020;eme signe que x â&#x2C6;&#x2019; a. De plus u (x) = 1 â&#x2C6;&#x2019;

f (x)f  (x) f  (x) u(x), = 1 â&#x2C6;&#x2019; f  (x)2 f  (x)

donc |u (x)| â&#x2030;¤ 1 + M |u(x)| sur I. Cette in´egalit´e permet dâ&#x20AC;&#x2122;obtenir le

Lemme 1 â&#x20AC;&#x201C; On a |u(x)| â&#x2030;¤

1 M

(eM |xâ&#x2C6;&#x2019;a| â&#x2C6;&#x2019; 1) sur I. Posons v(x) = u(x)eâ&#x2C6;&#x2019;M x .

Montrons-le par exemple pour x â&#x2030;Ľ a. u u (x) â&#x2030;¤ 1 + M u(x), dâ&#x20AC;&#x2122;o`

Il vient

v  (x) = (u (x) â&#x2C6;&#x2019; M u(x))eâ&#x2C6;&#x2019;M x â&#x2030;¤ eâ&#x2C6;&#x2019;M x . Comme v(a) = u(a) = 0, on en d´eduit par int´egration v(x) â&#x2030;¤ soit encore u(x) â&#x2030;¤

1 M

1 â&#x2C6;&#x2019;M a (e â&#x2C6;&#x2019; eâ&#x2C6;&#x2019;M x ), M

(eM (xâ&#x2C6;&#x2019;a) â&#x2C6;&#x2019; 1). Le lemme 1 est donc d´emontr´e.

Lemme 2 â&#x20AC;&#x201C; Pour |t| â&#x2030;¤ 1, e|t| â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2030;¤ 2|t|. En eďŹ&#x20AC;et la fonction exponentielle est convexe, donc sur tout intervalle la courbe est u le situ´ee sous sa corde. Sur lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [0, 1], ceci donne et â&#x2030;¤ 1 + (e â&#x2C6;&#x2019; 1)t, dâ&#x20AC;&#x2122;o` lemme 2 puisque e â&#x2C6;&#x2019; 1 < 2. 

(x) On peut maintenant ´ecrire Ď&#x2022; (x) = u(x) ff  (x) , et le lemme 1 implique

|Ď&#x2022; (x)| â&#x2030;¤ M |u(x)| â&#x2030;¤ eM |xâ&#x2C6;&#x2019;a| â&#x2C6;&#x2019; 1.  1 . GrË&#x2020; ace au lemme 2, on obtient |Ď&#x2022; (x)| â&#x2030;¤ 2M |x â&#x2C6;&#x2019; a| pour |x â&#x2C6;&#x2019; a| â&#x2030;¤ min r, M Comme Ď&#x2022;(a) = a, on voit par int´egration que pour tout x â&#x2C6;&#x2C6; [a â&#x2C6;&#x2019; h, a + h] on a |Ď&#x2022;(x) â&#x2C6;&#x2019; a| â&#x2030;¤ M |x â&#x2C6;&#x2019; a|2 , soit encore M |Ď&#x2022;(x) â&#x2C6;&#x2019; a| â&#x2030;¤ (M |x â&#x2C6;&#x2019; a|)2 . Lâ&#x20AC;&#x2122;estimation M |xp â&#x2C6;&#x2019; a| â&#x2030;¤ (M |x0 â&#x2C6;&#x2019; a|)2p sâ&#x20AC;&#x2122;en d´eduit aussitË&#x2020; ot par r´ecurrence.

Exemple â&#x20AC;&#x201C; Pour la fonction f (x) = x3 â&#x2C6;&#x2019; 4x + 1 du § 2.3, on a Ď&#x2022;(x) = x â&#x2C6;&#x2019;

2x3 â&#x2C6;&#x2019; 1 x3 â&#x2C6;&#x2019; 4x + 1 = 2 . 2 3x â&#x2C6;&#x2019; 4 3x â&#x2C6;&#x2019; 4

Par it´eration de Ď&#x2022;, on obtient alors les valeurs suivantes :


102

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

x0

â&#x2C6;&#x2019;2

0

2

x1 x2 x3 x4 x5

â&#x2C6;&#x2019;2, 125 â&#x2C6;&#x2019;2, 114975450 â&#x2C6;&#x2019;2, 114907545 â&#x2C6;&#x2019;2, 114907541 = x4

0, 25 0, 254098361 0, 254101688 = x3

1, 875 1, 860978520 1, 860805877 1, 860805853 = x4

Ceci donne des valeurs approch´ees de a1 , a2 , a3 `a 10â&#x2C6;&#x2019;9 pr`es environ. Le nombre dâ&#x20AC;&#x2122;it´erations n´ecessaires pour obtenir une pr´ecision de 10â&#x2C6;&#x2019;9 par la m´ethode de 3 4 Newton est typiquement 3 ou 4 (10â&#x2C6;&#x2019;2 = 10â&#x2C6;&#x2019;8 , 10â&#x2C6;&#x2019;2 = 10â&#x2C6;&#x2019;16 . . .). Le lecteur pourra v´eriďŹ er que le nombre dâ&#x20AC;&#x2122;it´erations requises avec les fonctions Ď&#x2022; du § 2.3 est nettement plus ´elev´e (de 8 `a 20 suivant les cas).

        Dans certaines situations, la d´eriv´ee f  est tr`es compliqu´ee ou mË&#x2020;eme impossible `a expliciter (câ&#x20AC;&#x2122;est le cas par exemple si la fonction f est le r´esultat dâ&#x20AC;&#x2122;un algorithme complexe). On ne peut alors utiliser telle quelle la m´ethode de Newton. Lâ&#x20AC;&#x2122;id´ee est de remplacer f  par le taux dâ&#x20AC;&#x2122;accroissement de f sur un petit intervalle. Supposons quâ&#x20AC;&#x2122;on dispose de deux valeurs approch´ees x0 , x1 de la racine a de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation f (x) = 0 (fournies par un encadrement x0 < a < x1 ).

y f s´ecante

x0 x2 0

a

x1

x

Le taux dâ&#x20AC;&#x2122;accroissement de f sur lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [x0 , x1 ] est Ď&#x201E;1 =

f (x1 ) â&#x2C6;&#x2019; f (x0 ) x1 â&#x2C6;&#x2019; x0

et lâ&#x20AC;&#x2122;´equation de la s´ecante traversant le graphe de f aux points dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse x0 et x1 est y = Ď&#x201E;1 (x â&#x2C6;&#x2019; x1 ) + f (x1 ).


IV – M ´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations

103

On obtient ainsi une nouvelle approximation x2 de a en calculant l’abscisse de l’intersection de la s´ecante avec l’axe Ox : f (x1 ) x2 = x1 − . τ1 On va bien entendu it´erer ce proc´ed´e `a partir des nouvelles valeurs approch´ees x1 et x2 , ce qui conduit a` poser f (xp ) − f (xp−1 ) f (xp ) τp = , xp+1 = xp − . xp − xp−1 τp La m´ethode est donc tout a` fait analogue a` celle de Newton, `a ceci pr`es que l’on a remplac´e la d´eriv´ee f  (xp ) par le taux d’accroissement τp de f sur l’intervalle [xp , xp−1 ]. On notera que l’algorithme it´eratif ne peut d´emarrer que si on dispose d´ej`a de deux valeurs approch´ees x0 , x1 de a.

Inconv´ enient de la m´ ethode – Lorsque xp et xp−1 sont trop voisins, le calcul

de f (xp ) − f (xp−1 ) et xp − xp−1 donne lieu a` un ph´enom`ene de compensation et ´ l’erreur commise. La donc a` une perte de pr´ecision sur le calcul de τp . Etudions formule de Taylor-Lagrange a` l’ordre 2 au point xp donne 1 f (xp−1 ) − f (xp ) = (xp−1 − xp )f  (xp ) + (xp−1 − xp )2 f  (c), 2 1   τp − f (xp ) = (xp−1 − xp )f (c) = O(|xp − xp−1 |) 2 apr`es division de la premi`ere ligne par xp−1 − xp . Supposons par ailleurs que le calcul des f (xi ) soit effectu´e avec une erreur d’arrondi de l’ordre de ε. Le calcul de τp est alors affect´e d’une erreur absolue de l’ordre de ε ` calculer τp d`es que cette erreur d´epasse l’´ecart |xp −xp−1 | . Il est inutile de continuer a √ ε  |τp − f (xp )|, ce qui a lieu si |xp −xp−1 | > |xp − xp−1 | c’est-`a-dire |xp − xp−1 | < ε. Dans la pratique, si l’on dispose d’une pr´ecision absolue ε = 10−10 par exemple, √ on arrˆete le calcul de τp d`es que |xp − xp−1 | < ε = 10−5 ; on poursuit alors a l’obtention de la convergence (c’est-`a-dire les it´erations avec τp = τp−1 jusqu’` |xp+1 − xp | < ε). D’un point de vue th´eorique, la convergence de la suite est assur´ee par le r´esultat ci-dessous, qui donne simultan´ement une estimation pr´ecise pour |xp − a|.

Th´ eor` eme – On suppose f de classe C 2 et de d´eriv´ee f  = 0 sur l’intervalle I = [a − r, a + r]. On introduit les quantit´es Mi , i = 1, 2, et les r´eels K, h tels que Mi = max |f (i) (x)|, x∈I M1  M2  1+ , K= 2m1 m1

mi = min |f (i) (x)|, x∈I  1 h = min r, . K

Soit enfin (sp ) la suite de Fibonacci, d´efinie par sp+1 = sp + sp−1 avec s0 = s1 = 1. Alors quel que soit le choix des points initiaux x0 , x1 ∈ [a − h, a + h] distincts, on a |xp − a| ≤

1 [K max(|x0 − a|, |x1 − a|)]sp . K


104

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Remarque â&#x20AC;&#x201C; On v´eriďŹ e facilement que sp â&#x2C6;ź

â&#x2C6;&#x161;1 5

 1+â&#x2C6;&#x161;5 p+1 2

â&#x2C6;&#x161; 1+ 5 2

; ceci montre que

le nombre de d´ecimales exactes croË&#x2020;Äąt environ du facteur  1, 618 a` chaque it´eration. La convergence est donc tout juste un peu moins rapide que dans le § 2.4. D´ emonstration.* Le lecteur pourra omettre cette d´emonstration sans compromettre la compr´ehension de la suite du chapitre. On consid`ere le taux dâ&#x20AC;&#x2122;accroissement Ď&#x201E; (x, y) de f sur I Ă&#x2014; I d´eďŹ ni par (x) Ď&#x201E; (x, y) = f (y)â&#x2C6;&#x2019;f si y = x yâ&#x2C6;&#x2019;x Ď&#x201E; (x, y) = f  (x)

si y = x.

Pour tous (x, y) â&#x2C6;&#x2C6; I Ă&#x2014; I, on peut ´ecrire 

1

Ď&#x201E; (x, y) = 0

f  (x + t(y â&#x2C6;&#x2019; x))dt

et le th´eor`eme de d´erivation sous le signe somme montre que â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x201E; (x, y) = â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x201E; (x, y) = â&#x2C6;&#x201A;y



1

0



0

1

(1 â&#x2C6;&#x2019; t)f  (x + t(y â&#x2C6;&#x2019; x))dt, tf  (x + t(y â&#x2C6;&#x2019; x))dt. 



1

Comme f est de signe constant sur I et comme 0

in´egalit´es |Ď&#x201E; (x, y)| â&#x2030;Ľ m1 ,

 â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x201E;  1     â&#x2030;¤ M2 , â&#x2C6;&#x201A;x 2

(1 â&#x2C6;&#x2019; t)dt =

1 , on en d´eduit les 2

 â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x201E;  1     â&#x2030;¤ M2 . â&#x2C6;&#x201A;y 2

Il en r´esulte en particulier   |Ď&#x201E; (x, y) â&#x2C6;&#x2019; f  (x)| = |Ď&#x201E; (x, y) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x201E; (x, x)| = 

y

x

 1 â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x201E;  (x, t)dt â&#x2030;¤ M2 |y â&#x2C6;&#x2019; x|. â&#x2C6;&#x201A;y 2

La suite (xp ) est d´eďŹ nie par la formule de r´ecurrence xp+1 = Ď&#x2C6;(xp , xpâ&#x2C6;&#x2019;1 ) o` u Ď&#x2C6; est la fonction de classe C 1 telle que Ď&#x2C6;(x, y) = x â&#x2C6;&#x2019;

f (x) . Ď&#x201E; (x, y)

Posons hp = xp â&#x2C6;&#x2019; a. On a hp+1 = Ď&#x2C6;(xp , xpâ&#x2C6;&#x2019;1 ) â&#x2C6;&#x2019; a = Ď&#x2C6;(a + hp , a + hpâ&#x2C6;&#x2019;1 ) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2C6;(a, a) et en particulier h2 = Ď&#x2C6;(a + h1 , a + h0 ) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2C6;(a, a). En int´egrant sur [0, 1] la d´eriv´ee de la fonction t â&#x2020;&#x2019; Ď&#x2C6;(a + th1 , a + th0 ), on trouve  h2 =

1 0

  â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x2C6; â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x2C6; (a + th1 , a + th0 ) + h0 (a + th1 , a + th0 ) dt. h1 â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;y


IV â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution dâ&#x20AC;&#x2122;´ equations

105

Des calculs imm´ediats donnent â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x201E; â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x201E; f  (x)Ď&#x201E; (x, y) â&#x2C6;&#x2019; f (x) â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x2C6; Ď&#x201E; (x, y) â&#x2C6;&#x2019; f  (x) =1â&#x2C6;&#x2019; + f (x) â&#x2C6;&#x201A;x 2 , = 2 â&#x2C6;&#x201A;x Ď&#x201E; (x, y) Ď&#x201E; (x, y) Ď&#x201E; (x, y) â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x201E;

â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x2C6; â&#x2C6;&#x201A;y = f (x) . â&#x2C6;&#x201A;y Ď&#x201E; (x, y)2 Comme |f (x)| = |f (x) â&#x2C6;&#x2019; f (a)| â&#x2030;¤ M1 |x â&#x2C6;&#x2019; a|, les in´egalit´es ci-dessus impliquent    â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x2C6;  M2 |y â&#x2C6;&#x2019; x| M2   + M1 |x â&#x2C6;&#x2019; a| ,  â&#x2C6;&#x201A;x  â&#x2030;¤ 2m1 2m21    â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x2C6;  M2    â&#x2C6;&#x201A;y  â&#x2030;¤ M1 |x â&#x2C6;&#x2019; a| 2m2 . 1

u Pour (x, y) = (a + th1 , a + th0 ), on a |y â&#x2C6;&#x2019; x| â&#x2030;¤ (|h0 | + |h1 |)t et |x â&#x2C6;&#x2019; a| = |h1 |t, dâ&#x20AC;&#x2122;o`  &  '  â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x2C6;   â&#x2030;¤ M2 (|h0 | + |h1 |) + M1 M2 |h1 | t,   â&#x2C6;&#x201A;x  2m1 2m21    â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x2C6;  M1 M2    â&#x2C6;&#x201A;y  â&#x2030;¤ 2m2 |h1 |t, 1    1 M2 M1 M2 |h2 | â&#x2030;¤ + |(|h | + |h |) tdt |h 1 0 1 2m1 2m21 0 K = |h1 |(|h0 | + |h1 |) â&#x2030;¤ K|h1 | max(|h0 |, |h1 |). 2 Comme |h0 |, |h1 | â&#x2030;¤ h â&#x2030;¤

1 K,

on voit que |h2 | â&#x2030;¤ |h1 |. De mË&#x2020;eme

|hp+1 | â&#x2030;¤ K|hp | max(|hp |, |hpâ&#x2C6;&#x2019;1 |), et ceci entraË&#x2020;Äąne par r´ecurrence que la suite (|hp |)pâ&#x2030;Ľ1 est d´ecroissante : |hp | â&#x2030;¤ |hpâ&#x2C6;&#x2019;1 | â&#x2030;¤ . . . â&#x2030;¤ |h1 | â&#x2030;¤

1 K

implique |hp+1 | â&#x2030;¤ |hp |. On en d´eduit

|hp+1 | â&#x2030;¤ K|hp ||hpâ&#x2C6;&#x2019;1 | pour

p â&#x2030;Ľ 2.

1 Lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e |hp | â&#x2030;¤ K [K max(|h0 |, |h1 |)]sp est triviale si p = 0 ou p = 1, r´esulte de lâ&#x20AC;&#x2122;estimation d´ej`a vue pour h2 si p = 2, et se g´en´eralise facilement par r´ecurrence pour p â&#x2030;Ľ 3. Le th´eor`eme est d´emontr´e.

      Rm   Rm               Soit E un espace vectoriel de dimension m sur R et u un endomorphisme de E.


106

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

D´ efinition – On appelle spectre de u la famille (λ1 , . . . , λm ) de ses valeurs propres r´eelles ou complexes, compt´ees avec multiplicit´es ( = racines du polynˆ ome caract´eristique). On appelle rayon spectral de u, not´e ρ(u), la quantit´e ρ(u) = max |λi |. 1≤i≤m

´ Etant donn´e une norme N sur E, on peut d’autre part associer a` u sa norme |||u|||N en tant qu’op´erateur lin´eaire sur E : |||u|||N =

N (u(x)) . x∈E\{0} N (x) sup

On notera N (resp. Ne ) l’ensemble des normes (resp. des normes euclidiennes) d´efinies sur E.

Th´ eor` eme – Soit u un endomorphisme quelconque de E. Alors (1) Pour tout N ∈ N, ρ(u) ≤ |||u|||N . (2) ρ(u) = inf |||u|||N = inf |||u|||N . N ∈N

N ∈Ne

1/p

(3) Pour tout N ∈ N, ρ(u) = lim |||up |||N . p→+∞

2 Remarque – Consid´erons l’espace de sa norme euclidienne canonique  R muni 

0 a , a ∈ R. On a ρ(ua ) = 1 et pourtant 0 1 la norme |||ua ||| n’est pas born´ee quand |a| → +∞ ; l’in´egalit´e (1) n’a donc pas de r´eciproque. Pour m = dim E ≥ 2, le rayon spectral n’est pas une norme sur L(E, E) ; il ne v´erifie d’ailleurs pas l’in´egalit´e triangulaire, comme le montre l’exemple suivant : si u, v sont les endomorphismes de matrices     0 1 0 0 Mat(u) = et Mat(v) = , 0 0 1 0 et ua l’endomorphisme de matrice

on a ρ(u) = ρ(v) = 0, mais ρ(u + v) = 1. D´ emonstration∗ . Une base de E ´etant fix´ee, on peut identifier E `a Rm et u `a une matrice A carr´ee m × m. Observons d’abord que si (λ1 , . . . , λm ) est le spectre de A, alors le spectre de Ap est (λp1 , . . . , λpm ). On a donc ρ(Ap ) = ρ(A)p .

(1) Soit λ une valeur propre de A. Si λ ∈ R, soit X un vecteur propre associ´e, X = 0. Les ´egalit´es AX = λX, N (AX) = |λ|N (X) entraˆınent bien |λ| ≤ |||A|||N . Supposons maintenant que λ = α + iβ soit une valeur propre complexe non r´eelle de A. Soit Z = X + iY un vecteur colonne complexe, propre pour la valeur propre λ.


107

IV – M ´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations

L’´egalit´e AZ = λZ = (α + iβ)(X + iY ) donne pour les parties r´eelles et imaginaires les ´egalit´es AX = αX − βY , AY = βX + αY d’o` u  A(αX + βY ) = (α2 + β 2 )X A(−βX + αY ) = (α2 + β 2 )Y. Il s’ensuit (α2 + β 2 )N (X) ≤ |||A|||N N (αX + βY ) ≤ |||A|||N (|α| N (X) + |β| N (Y )), (α2 + β 2 )N (Y ) ≤ |||A|||N N (−βX + αY ) ≤ |||A|||N (|α| N (Y ) + |β| N (X)). Apr`es addition et simplification par N (X) + N (Y ) on obtient |λ|2 = α2 + β 2 ≤ |||A|||N (|α| + |β|) ≤ 2|λ| |||A|||N , d’o` u |λ| ≤ 2|||A|||N . Par cons´equent ρ(A) ≤ 2|||A|||N . D’apr`es la remarque initiale et le r´esultat pr´ec´edent appliqu´e `a Ap , il vient ρ(A)p = ρ(Ap ) ≤ 2|||Ap |||N ≤ 2|||A|||pN soit ρ(A) ≤ 21/p |||A|||N . En faisant tendre p vers +∞, la conclusion attendue ρ(A) ≤ |||A|||N s’ensuit. (2) D’apr`es (1) et l’inclusion Ne ⊂ N on obtient ρ(A) ≤ inf |||A|||N ≤ inf |||A|||N . N ∈N

N ∈Ne

Il suffit donc de voir que inf |||A|||N ≤ ρ(A). N ∈Ne

Pour cela, consid´erons A comme un endomorphisme de Cm , d´efini par une matrice a coefficients r´eels. Il existe une base (e1 , . . . , em ) de Cm dans laquelle A devient ` triangulaire sup´erieure :  A = 

a11 0

... ..

.

aij

 a1m ..  , . amm

j ≥ i,

aii = λi .

Si on remplace la base (e1 , . . . , em ) par la base ( ej ) = (e1 , εe2 , ε2 e3 , . . . , εm−1 em ) avec ε > 0 petit, on voit que le coefficient aij de A est remplac´e par εj−i aij . Pour les coefficients au-dessus de la diagonale on a j > i, donc εj−i est petit. Dans une base convenable ( e1 , e2 , . . . , em ) de Cm , la matrice A se transforme donc en une matrice =D+T A o` u D est diagonale de valeurs propres λ1 , . . . , λm et T strictement triangulaire sup´erieure avec des coefficients O(ε) arbitrairement petits. Soit Nh la norme


108

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

hermitienne sur Cm ayant ( e1 , . . . , em ) pour base orthonorm´ee et Ne la norme euclidienne induite sur Rm (restriction de Nh `a Rm ). On a alors  N â&#x2030;¤ |||D|||N + |||T |||N . |||A|||Ne â&#x2030;¤ |||A||| h h h Comme |||D|||Nh = Ď (A) et comme |||T |||Nh = O(Îľ) peut Ë&#x2020;etre rendue arbitrairement petite, il vient inf |||A|||Ne â&#x2030;¤ Ď (A). N â&#x2C6;&#x2C6;Ne

1/p

(3) On a dâ&#x20AC;&#x2122;une part Ď (A) = Ď (Ap )1/p â&#x2030;¤ |||Ap |||N . Inversement, ´etant donn´e Îľ > 0, on peut choisir grË&#x2020; ace `a (2) une norme euclidienne NÎľ â&#x2C6;&#x2C6; Ne telle que |||A|||NÎľ â&#x2030;¤ Ď (A) + Îľ. Comme toutes les normes sur lâ&#x20AC;&#x2122;espace de dimension ďŹ nie des matrices carr´ees m Ă&#x2014; m sont ´equivalentes, il existe une constante CÎľ â&#x2030;Ľ 1 telle que |||B|||N â&#x2030;¤ CÎľ |||B|||Ne pour toute matrice B. Pour B = Ap , on en d´eduit |||Ap |||N â&#x2030;¤ CÎľ |||Ap |||NÎľ â&#x2030;¤ CÎľ |||A|||pNÎľ â&#x2030;¤ CÎľ (Ď (A) + Îľ)p , 1/p

|||Ap |||N â&#x2030;¤ CÎľ1/p (Ď (A) + Îľ). Comme lim CÎľ1/p = 1, il existe pÎľ â&#x2C6;&#x2C6; N tel que pâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

1/p

p â&#x2030;Ľ pÎľ â&#x2020;&#x2019; |||Ap |||N â&#x2030;¤ Ď (A) + 2Îľ, et le th´eor`eme est d´emontr´e.

      Soit â&#x201E;Ś un ouvert de Rm et Ď&#x2022; : â&#x201E;Ś â&#x2020;&#x2019; Rm une fonction de classe C 1 . Soit N = une norme ďŹ x´ee sur Rm . On note Ď&#x2022; (x) â&#x2C6;&#x2C6; L(Rm , Rm ) lâ&#x20AC;&#x2122;application lin´eaire tangente au point x â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;Ś, de sorte que Ď&#x2022;(x + h) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;(x) = Ď&#x2022; (x) ¡ h + h Îľ(h),

lim Îľ(h) = 0.

hâ&#x2020;&#x2019;0

Lemme (1) Si Ď&#x2022; est k-lipschizienne sur â&#x201E;Ś relativement a ` la norme N , alors |||Ď&#x2022; (x)|||N â&#x2030;¤ k pour tout x â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;Ś. (2) Si â&#x201E;Ś est convexe et si |||Ď&#x2022; (x)|||N â&#x2030;¤ k pour tout x â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;Ś, alors Ď&#x2022; est k-lipschitzienne sur â&#x201E;Ś relativement a ` N. D´ emonstration (1) Pour tout δ > 0, il existe r > 0 tel que h â&#x2030;¤ r â&#x2020;&#x2019; Îľ(h) â&#x2030;¤ δ. Par lin´earit´e de Ď&#x2022; (x), on a Ď&#x2022; (x) ¡ h |||Ď&#x2022; (x)|||N = sup ; h h =r


109

IV â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution dâ&#x20AC;&#x2122;´ equations

or Ď&#x2022; (x) ¡ h = Ď&#x2022;(x + h) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;(x) â&#x2C6;&#x2019; h Îľ(h), Ď&#x2022; (x) ¡ h â&#x2030;¤ Ď&#x2022;(x + h) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;(x) + h Îľ(h) â&#x2030;¤ k h + h Îľ(h) â&#x2030;¤ (k + δ) h . Il vient donc |||Ď&#x2022; (x)|||N â&#x2030;¤ k + δ, et ce quel que soit δ > 0. (2) Inversement, si â&#x201E;Ś est convexe, on peut ´ecrire  Ď&#x2022;(y) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;(x) = Ď&#x2C6;(1) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2C6;(0) = Ď&#x2C6;(t) = Ď&#x2022;(x + t(y â&#x2C6;&#x2019; x)),

1

Ď&#x2C6;  (t)dt

avec

0 

Ď&#x2C6;  (t) = Ď&#x2022; (x + t(y â&#x2C6;&#x2019; x)) ¡ (y â&#x2C6;&#x2019; x).

On en d´eduit  Ď&#x2022;(y) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;(x) =  Ď&#x2022;(y) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;(x) â&#x2030;¤

1 0

0

1

Ď&#x2022; (x + t(y â&#x2C6;&#x2019; x)) ¡ (y â&#x2C6;&#x2019; x)dt, |||Ď&#x2022; (x + t(y â&#x2C6;&#x2019; x))|||N y â&#x2C6;&#x2019; x dt â&#x2030;¤ k y â&#x2C6;&#x2019; x .

Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; Soit a â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;Ś un point ďŹ xe de Ď&#x2022;. Alors les deux propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : (i) Il existe un voisinage ferm´e V de a tel que Ď&#x2022;(V ) â&#x160;&#x201A; V et une norme N sur Rn telle que Ď&#x2022;|V soit contractante pour N . (ii) Ď (Ď&#x2022; (a)) < 1. On dit alors que le point ďŹ xe a est attractif. D´ emonstration. Si Ď&#x2022;|V est contractante de rapport k < 1 alors dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es la partie (1) du lemme on a Ď (Ď&#x2022; (a)) â&#x2030;¤ |||Ď&#x2022; (a)|||N â&#x2030;¤ k < 1. Inversement, si Ď (Ď&#x2022; (a)) < 1, il existe une norme euclidienne N telle que |||Ď&#x2022; (a)|||N < 1. Par continuit´e de Ď&#x2022; , il existe une boule ferm´ee V = B(a, r), r > 0, telle que supV |||Ď&#x2022; |||N = k < 1. Comme V est convexe, Ď&#x2022; est alors contractante de rapport k sur V ; en particulier Ď&#x2022;(V ) â&#x160;&#x201A; B(a, kr) â&#x160;&#x201A; V .

Remarque â&#x20AC;&#x201C; Si Ď&#x2022; est de classe C 2 et si Ď&#x2022; (a) = 0, la formule de Taylor montre quâ&#x20AC;&#x2122;il existe une constante M â&#x2030;Ľ 0 telle que Ď&#x2022;(x) â&#x2C6;&#x2019; a â&#x2030;¤ M x â&#x2C6;&#x2019; a 2 ,

x â&#x2C6;&#x2C6; B(a, r).

Le ph´enom`ene de convergence quadratique a donc encore lieu ici.


110

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

     

  Soit a` r´esoudre une ´equation f (x) = 0 o` u f : â&#x201E;Ś â&#x2020;&#x2019; Rm est une application de 2 m classe C d´eďŹ nie sur un ouvert â&#x201E;Ś â&#x160;&#x201A; R . On cherche a` ´evaluer num´eriquement une solution a du syst`eme f (x) = 0, connaissant une valeur approch´ee grossi`ere x0 de a. Comme dans la m´ethode de Newton usuelle, lâ&#x20AC;&#x2122;id´ee est dâ&#x20AC;&#x2122;approximer f par sa partie lin´eaire au point x0 : f (x) = f (x0 ) + f  (x0 ) ¡ (x â&#x2C6;&#x2019; x0 ) + o( x â&#x2C6;&#x2019; x0 ) On r´esout alors lâ&#x20AC;&#x2122;´equation f (x0 ) + f  (x0 ) ¡ (x â&#x2C6;&#x2019; x0 ) = 0. Si f  (x0 ) â&#x2C6;&#x2C6; L(Rn , Rm ) est inversible, on a une solution unique x1 telle que x1 â&#x2C6;&#x2019; x0 = â&#x2C6;&#x2019;f  (x0 )â&#x2C6;&#x2019;1 ¡ f (x0 ), soit x1 = x0 â&#x2C6;&#x2019; f  (x0 )â&#x2C6;&#x2019;1 ¡ f (x0 ). On va donc it´erer ici lâ&#x20AC;&#x2122;application de classe C 1 Ď&#x2022;(x) = x â&#x2C6;&#x2019; f  (x)â&#x2C6;&#x2019;1 ¡ f (x).

Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; On suppose que f est de classe C 2 , que f (a) = 0 et que lâ&#x20AC;&#x2122;application lin´eaire tangente f  (a) â&#x2C6;&#x2C6; L(Rm , Rm ) est inversible. Alors a est un point ďŹ xe superattractif de Ď&#x2022;.

D´ emonstration. Calculons un d´eveloppement limit´e `a lâ&#x20AC;&#x2122;ordre 2 de Ď&#x2022;(a + h) quand h tend vers 0. On a 1 f (a + h) = f  (a) ¡ h + f  (a) ¡ (h)2 + o( h 2 ) 2   1 = f  (a) ¡ h + f  (a)â&#x2C6;&#x2019;1 ¡ (f  (a) ¡ (h)2 ) + o( h 2 ) . 2 f  (a + h) = f  (a) + f  (a) ¡ h + o( h )   = f  (a) â&#x2014;Ś Id + f  (a)â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2014;Ś (f  (a) ¡ h) + o( h ) , f  (a + h)â&#x2C6;&#x2019;1 = [ ]â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2014;Ś f  (a)â&#x2C6;&#x2019;1   = Id â&#x2C6;&#x2019; f  (a)â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2014;Ś (f  (a) ¡ h) + o( h â&#x2014;Ś f  (a)â&#x2C6;&#x2019;1 , f  (a + h)â&#x2C6;&#x2019;1 ¡ f (a + h)     1 = Id â&#x2C6;&#x2019; f  (a)â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2014;Ś (f  (a) ¡ h) + o( h ) ¡ h + f  (a)â&#x2C6;&#x2019;1 ¡ (f  (a) ¡ (h)2 ) + o( h ) 2 1  â&#x2C6;&#x2019;1  2 2 = h â&#x2C6;&#x2019; f (a) ¡ (f (a) ¡ (h) ) + o( h ) , 2 dâ&#x20AC;&#x2122;o` u ďŹ nalement Ď&#x2022;(a + h) = a + h â&#x2C6;&#x2019; f  (a + h)â&#x2C6;&#x2019;1 ¡ f (a + h) 1 = a + f  (a)â&#x2C6;&#x2019;1 ¡ (f  (a) ¡ (h)2 ) + o( h 2 ). 2


111

IV – M ´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations

On en d´eduit ϕ (a) = 0 et ϕ (a) = f  (a)−1 ◦ f  (a). En particulier 1 (M + ε(h)) h 2 2 o` u M = |||ϕ (a)|||. Le th´eor`eme est d´emontr´e. ϕ(a + h) − a ≤

Exemple – Soit a` r´esoudre le syst`eme 

x2 + xy − 2y 2 = 4 xex + yey = 0.

On commence par tracer les courbes C1 : x2 + xy − 2y 2 = 4 et C2 : xex + yey = 0 de mani`ere `a obtenir graphiquement une approximation grossi`ere des solutions. 2 + xy  − 2y 2 = (x − y)(x + 2y) = 0 ; cette C1 est une hyperbole d’asymptotes  x  2 −2 hyperbole passe par les points et . 0 0 La courbe C2 est sym´etrique par rapport a` la droite y = x ; de plus x, y sont n´ecessairement de signe oppos´es. Supposons par exemple x ≤ 0, y ≥ 0. Comme la fonction y → yey est strictement croissante de [0, +∞[ sur [0, +∞[, a` chaque point x ≤ 0 correspond un unique point y ≥ 0. Ce point y est la solution de xex +yey = 0, et peut par exemple s’obtenir par it´eration de la fonction ϕ(x) = y −

xex + yey y 2 − xex−y , = y (1 + y)e 1+y

fournie par la m´ethode de Newton appliqu´ee `a la variable y. Pour x = 0, on a y = 0 ; en d´ecr´ementant x par pas de 0, 1 avec comme valeur initiale de y0 la valeur de la solution y trouv´ee pour la valeur x pr´ec´edente, on obtient la courbe C2 .

y=

x

y

C1 1 S −2

1

C2

2

x

y=

<x /2


112

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

    a a On voit que le syst`eme pr´ec´edent admet une solution S unique, avec  b b   −2 tr`es grossi`erement. Pour obtenir une valeur approch´ee plus pr´ecise, on 0, 2     x 0 cherche `a r´esoudre l’´equation f = avec y 0     2 x + xy − 2y 2 − 4 x . f = y xex + yey L’application lin´eaire tangente `a f est donn´ee par    ∂f1 ∂f1   2x + y ∂x ∂y x  = ∂f2 ∂f2 = f y (x + 1)ex ∂x

∂y

x − 4y (y + 1)ey



La condition f  (S) inversible signifie que les tangentes ∂fi ∂fi (S)(x − a) + (S)(y − b) = 0, ∂x ∂y

i = 1, 2,

aux courbes C1 , C2 au point S sont distinctes. C’est bien le cas ici. On obtient  &  '−1  (x + 1)ey −x + 4y 1 x  = f y ∆(x, y) −(x + 1)ex 2x + y y x avec ∆(x,y) = (2x  + y)(y  + 1)e  − (x − 4y)(x + 1)e . On est alors amen´e `a calculer xp+1 xp les it´er´es =ϕ avec yp+1 yp  2       x + xy − 2y 2 − 4 (y + 1)ey −x + 4y 1 x x ϕ = − y y ∆(x, y) −(x + 1)ex 2x + y xex + yey     x0 −2 Partant du point initial = , on trouve 0, 2 y0

p

xp −2 −2, 130690999 −2, 126935837 −2, 126932304 −2, 126932304

0 1 2 3 4

d’o` u

S=

yp 0, 2 0, 205937784 0, 206277868 0, 206278156 0, 206278156

    a −2, 126932304  . b 0, 206278156


IV â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution dâ&#x20AC;&#x2122;´ equations

113

 

        Nous allons ici exploiter le th´eor`eme du point ďŹ xe pour d´emontrer quelques r´esultats fondamentaux du calcul diďŹ&#x20AC;´erentiel. Notre objectif est dâ&#x20AC;&#x2122;obtenir aussi des estimations quantitatives pour ces th´eor`emes, parce que ces estimations sont souvent n´ecessaires pour majorer les erreurs commises dans les calculs num´eriques.

           Nous commen¸cons par un lemme de perturbation, qui sâ&#x20AC;&#x2122;applique dans un espace num´erique Rm muni dâ&#x20AC;&#x2122;une norme N quelconque.

Lemme â&#x20AC;&#x201C; Soit f : B(x0 , r) â&#x2020;&#x2019; Rm une application d´eďŹ nie sur une boule de rayon r dans Rm , telle que

f (x) = x + u(x) o` u u est une application contractante de rapport k < 1 ( petite perturbation de lâ&#x20AC;&#x2122;identit´e ). Alors (1) f est un hom´eomorphisme de B(x0 , r) sur un ouvert V = f (B(x0 , r)) de Rm ; (2) f est (1 + k)-lipschitzienne et son application r´eciproque f â&#x2C6;&#x2019;1 : V â&#x2020;&#x2019; B(x0 , r) est (1 â&#x2C6;&#x2019; k)â&#x2C6;&#x2019;1 lipschitzienne ; (3) lâ&#x20AC;&#x2122;image V satisfait lâ&#x20AC;&#x2122;encadrement B(f (x0 ), (1 â&#x2C6;&#x2019; k)r) â&#x160;&#x201A; V â&#x160;&#x201A; B(f (x0 ), (1 + k)r). D´ emonstration. Quitte a` remplacer f par f(x) = f (x + x0 ) â&#x2C6;&#x2019; f (x0 ) et u par u (x) = u(x + x0 ) â&#x2C6;&#x2019; u(x0 ), on peut supposer que x0 = 0 et f (0) = u(0) = 0. On a de fa¸con ´evidente x2 â&#x2C6;&#x2019; x1 â&#x2C6;&#x2019; u(x2 ) â&#x2C6;&#x2019; u(x1 ) â&#x2030;¤ f (x2 ) â&#x2C6;&#x2019; f (x1 ) â&#x2030;¤ x2 â&#x2C6;&#x2019; x1 + u(x2 ) â&#x2C6;&#x2019; u(x1 ) , (1 â&#x2C6;&#x2019; k) x2 â&#x2C6;&#x2019; x1 â&#x2030;¤ f (x2 ) â&#x2C6;&#x2019; f (x1 ) â&#x2030;¤ (1 + k) x2 â&#x2C6;&#x2019; x1 . Il en r´esulte que f est injective et (1 + k)-lipschitzienne, et que f (x) â&#x2030;¤ (1 + k) x . Par suite f est une bijection de B(0, r) sur son image V , et V = f (B(0, r)) â&#x160;&#x201A; B(0, (1 + k)r). On consid`ere maintenant un rayon r < r quelconque, et pour y â&#x2C6;&#x2C6; Rm donn´e, on introduit lâ&#x20AC;&#x2122;application Ď&#x2022;(x) = y + x â&#x2C6;&#x2019; f (x) = y â&#x2C6;&#x2019; u(x). De mË&#x2020;eme que u, câ&#x20AC;&#x2122;est une application k-lipschitzienne, et comme Ď&#x2022;(x) â&#x2030;¤ y + k x , on voit que Ď&#x2022; envoie B(0, r ) dans B(0, r ) d`es lors que y â&#x2030;¤ (1â&#x2C6;&#x2019;k)r . Le th´eor`eme du point ďŹ xe appliqu´e `a lâ&#x20AC;&#x2122;espace complet E = B(0, r ) implique que Ď&#x2022; poss`ede un


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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

point fixe ϕ(x) = x unique, c’est-` a-dire que l’´equation f (x) = y d´etermine un unique ant´ec´edent x ∈ B(0, r ). On en d´eduit que f (B(0, r )) ⊃ B(0, (1 − k)r ). Comme r < r est arbitraire, on a bien V = f (B(0, r)) ⊃ B(0, (1 − k)r). Ceci d´emontre d´ej`a (3). En se pla¸cant en un point x1 ∈ B(x0 , r) quelconque et en rempla¸cant r par ε > 0 petit, on voit que l’image f (B(x1 , ε)) contient un voisinage B(f (x1 ), (1 − k)ε) de f (x1 ), par suite V = f (B(x0 , r)) est un ouvert. Enfin, l’in´egalit´e de gauche dans l’encadrement de Lipschitz de f implique (1 − k) f −1 (y2 ) − f −1 (y1 ) ≤ y2 − y1 pour tous y1 , y2 ∈ V , ce qui entraˆıne que f −1 est continue (1 − k)−1 -lipschitzienne et que f est un hom´eomorphisme de B(x0 , r) sur V . Le lemme est d´emontr´e.

Th´ eor` eme d’inversion locale – Soit f : Ω → Rm une application de classe

´ donn´e un point x0 ∈ Ω, on C k d´efinie sur un ouvert Ω de Rm avec k ≥ 1. Etant  suppose que l’application lin´eaire tangente  = f (x0 ) ∈ L(Rm , Rm ) est inversible. Alors (1) Il existe un voisinage U = B(x0 , r) de x0 tel que V = f (U ) soit un ouvert de Rm et f un diff´eomorphisme de classe C k de U sur V . (2) Pour tout y = f (x), x ∈ U , la diff´erentielle de g = f −1 est donn´ee par g  (y) = (f  (x))−1 , soit g  (y) = (f  (g(y)))−1 ou encore (f −1 ) (y) = (f  (f −1 (y)))−1 ∈ L(Rm , Rm ). (3) On suppose k ≥ 2. Si B(x0 , r0 ) ⊂ Ω et si M est un majorant de f  sur B(x0 , r0 ), on peut choisir U = B(x0 , r) avec r = min(r0 , 12 M −1 |||−1 |||−1 ). D´ emonstration. L’application u(x) = −1 (f (x)) − x est de classe C 1 et on a  u (x0 ) = −1 ◦ f  (x0 ) − Id = 0 dans L(Rm , Rm ). Par continuit´e de u , il existe une boule B(x0 , r) sur laquelle |||u (x)||| ≤ k < 1, ce qui entraˆıne que u est contractante de rapport k. Le lemme pr´ec´edent montre alors que f(x) = −1 ◦ f (x) = x + u(x) d´efinit un hom´eomorphisme lipschitzien de U = B(x0 , r) sur V = f(V ), donc f =  ◦ f est un hom´eomorphisme lipschitzien de U sur V = (V ), la constante de Lipschitz de f ´etant major´ee par K = (1 + k)|||l||| et celle de g = f −1 = f−1 ◦ −1 par K  = (1 − k)−1 |||−1 |||. Maintenant, si f est de classe C 2 et |||f  ||| ≤ M sur la boule B(x0 , r0 ) ⊂ Ω, nous avons u = −1 ◦ f  , donc |||u ||| ≤ M |||−1 ||| et le th´eor`eme des accroissements finis nous donne |||u (x)||| ≤ M |||−1 ||| x − x0 sur B(x0 , r0 ). Pour r = min(r0 , 12 M −1 |||−1 |||−1 ), on voit que |||u ||| ≤ k = 12 sur B(x0 , r) et on peut appliquer ce qui pr´ec`ede. Pour tous y, η ∈ V et x = g(y), ξ = g(x) ∈ U = B(x0 , r), l’hypoth`ese de diff´erentiablilit´e de f au point x implique η − y = f (ξ) − f (x) = f  (x)(ξ − x) + ε(ξ − x) ξ − x


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IV â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution dâ&#x20AC;&#x2122;´ equations

u |||u (x)||| â&#x2030;¤ k < 1 sur avec limhâ&#x2020;&#x2019;0 Îľ(h) = 0. Comme â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2014;Ś f  (x) = Id +u (x) o` â&#x2C6;&#x2019;1  B(x0 , r), lâ&#x20AC;&#x2122;application lin´eaire  â&#x2014;Ś f (x) est bien inversible. Par cons´equent f  (x) lâ&#x20AC;&#x2122;est aussi, et nous pouvons ´ecrire   Ξ â&#x2C6;&#x2019; x = f  (x)â&#x2C6;&#x2019;1 Ρ â&#x2C6;&#x2019; y â&#x2C6;&#x2019; Îľ(Ξ â&#x2C6;&#x2019; x) Ξ â&#x2C6;&#x2019; x , soit   g(Ρ) â&#x2C6;&#x2019; g(y) = f  (x)â&#x2C6;&#x2019;1 (Ρ â&#x2C6;&#x2019; y) â&#x2C6;&#x2019; f  (x)â&#x2C6;&#x2019;1 Îľ(g(Ρ) â&#x2C6;&#x2019; g(y) g(Ρ) â&#x2C6;&#x2019; g(y)   avec limΡâ&#x2020;&#x2019;y f  (x)â&#x2C6;&#x2019;1 Îľ(g(Ρ) â&#x2C6;&#x2019; g(y) = 0 et g(Ρ) â&#x2C6;&#x2019; g(y) â&#x2030;¤ K  Ρ â&#x2C6;&#x2019; y . On voit ainsi que g = f â&#x2C6;&#x2019;1 est bien diďŹ&#x20AC;´erentiable au point y et que g  (y) = f  (x)â&#x2C6;&#x2019;1 = f  (g(y))â&#x2C6;&#x2019;1 . Lâ&#x20AC;&#x2122;inversion dâ&#x20AC;&#x2122;une matrice ´etant une op´eration continue (et mË&#x2020;eme ind´eďŹ niment diďŹ&#x20AC;´erentiable), on en d´eduit que g  est continue sur V , câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire que g est de classe C 1 . Si f est de classe C k , k â&#x2030;Ľ 2, on v´eriďŹ e par r´ecurrence que g est aussi de classe C k : f  est de classe C kâ&#x2C6;&#x2019;1 , g lâ&#x20AC;&#x2122;est aussi par hypoth`ese de r´ecurrence, donc g  est de classe C kâ&#x2C6;&#x2019;1 , câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire que g est de classe C k . Le th´eor`eme est d´emontr´e.

             ��&#x2C6;&#x2014;   Nous allons reformuler le th´eor`eme dâ&#x20AC;&#x2122;inversion locale pour en tirer diďŹ&#x20AC;´erentes variantes et diďŹ&#x20AC;´erentes cons´equences g´eom´etriques. La variante la plus importante est le th´eor`eme des fonctions implicites. Soit â&#x201E;Ś un ouvert de Rp Ă&#x2014; Rm et f : â&#x201E;Ś â&#x2020;&#x2019; R une application de classe C , k â&#x2030;Ľ 1. On se donne un point (x0 , y0 ) â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;Ś â&#x160;&#x201A; Rp Ă&#x2014; Rm , et on suppose que

Th´ eor` eme des fonctions implicites â&#x20AC;&#x201C; m

k

(i) f (x0 , y0 ) = 0 ; (ii) la matrice des d´eriv´ees partielles fy (x0 , y0 ) = est inversible dans L(Rm , Rm ).

 â&#x2C6;&#x201A;f

i

â&#x2C6;&#x201A;yj

 (x0 , y0 )

1â&#x2030;¤i,jâ&#x2030;¤m

Alors il existe un voisinage U Ă&#x2014;V de (x0 , y0 ) dans â&#x201E;Ś sur lequel fy (x, y) est inversible, et une application g : U â&#x2020;&#x2019; V de classe C k telle que  lâ&#x20AC;&#x2122;´equation implicite  f (x, y) = 0 pour (x, y) â&#x2C6;&#x2C6; U Ă&#x2014; V soit ´equivalente ` a y = g(x), x â&#x2C6;&#x2C6; U . La d´eriv´ee de g est donn´ee par la formule g  (x) = â&#x2C6;&#x2019;fy (x, g(x))â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2014;Ś fx (x, g(x)).

Autrement dit, le th´eor`eme des fonctions implicites dit que lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des solutions de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation f (x, y) = 0 dans U Ă&#x2014;V peut Ë&#x2020;etre  explicit´e  comme le graphe y = g(x) a o` u fy (x, y) est inversible. dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction g : U â&#x2020;&#x2019; V de classe C k , l`

Remarque 1 â&#x20AC;&#x201C; On voit imm´ediatement que le th´eor`eme des fonctions implicites contient le th´eor`eme dâ&#x20AC;&#x2122;inversion locale. Il suďŹ&#x192;t de poser F (x, y) = x â&#x2C6;&#x2019; f (y),


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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

 = Rm × Ω ⊂ Rm × Rm pour obtenir l’existence de la fonction r´eciproque (x, y) ∈ Ω u f  (y0 ) est inversible. y = g(x) de f au voisinage de tout point y0 ∈ Ω o` D´ emonstration. En sens inverse, nous allons montrer que le th´eor`eme d’inversion locale implique facilement le th´eor`eme des fonctions implicites (ce sont donc des th´eor`emes  ´equivalents ). Avec les hypoth`eses faites sur f , consid´erons F : Ω → Rp × Rm ,

(x, y) → F (x, y) = (x, f (x, y)).

Nous avons F (x0 , y0 ) = (x0 , 0) et la matrice de la diff´erentielle de F est donn´ee par F  (x, y) =



Id 0 fx (x, y) fy (x, y)

 .

Ceci permet de voir aussitˆot que F  (x, y) ∈ L(Rp+m , Rp+m ) est inversible en tout point o` u fy (x, y) ∈ L(Rp , Rp ) l’est, avec F  (x, y)−1 =



Id

−fy (x, y)−1 ◦ fx (x, y)

0 fy (x, y)−1

 .

En particulier, F  (x0 , y0 ) est inversible par hypoth`ese. Le th´eor`eme d’inversion locale montre que F est un diff´eomorphisme de classe C k . de (x0 , 0) dans Rp × Rm d’un voisinage T = U1 × V1 de (x0 , y0 ) sur un voisinage W (Quitte a` r´etr´ecir T on peut supposer que T est un produit de boules ouvertes). . → U1 × V1 , (u, v) → (x, y) = H(u, v) est la solution L’application H = F −1 : W 1 × V1 , donc x = u de l’´equation F (x, y) = (x, f (x, y)) = (u, v) pour (x, y) ∈ U et on voit que H est de la forme H(u, v) = (u, h(u, v)) pour une certaine fonction . , nous avons l’´equivalence . → V1 . Pour (x, y) ∈ U1 × V1 et (x, v) ∈ W h:W f (x, y) = v ⇔ y = h(x, v). La fonction g(x) = h(x, 0) donne donc pr´ecis´ement y = g(x) comme solution . . D´efinissons U comme del’´equation f (x, y) = 0 lorsque (x, y) ∈ U1 ×V1 et (x, 0) ∈ W . l’ensemble des x ∈ U1 tels que (x, 0) ∈ W et V = V1 . Nous obtenons ainsi U, V qui sont des voisinages ouverts de x0 et y0 respectivement, et une application g : U → V de classe C k qui r´epond a` la question. De plus g  (x) = hx (x, 0) est la d´eriv´ee partielle en x de la composante h dans H  (x, 0) = F  (H(x, 0))−1 = F  (x, g(x))−1 , c’est-`a-dire g  (x) = −fy (x, g(x))−1 ◦ fx (x, g(x)).

Remarque 2 –

D’un point de vue num´erique, le calcul de y = g(x) au voisinage de x0 pourra se faire en utilisant la m´ethode de Newton-Raphson appliqu´ee `a la fonction y → f (x, y), c’est-`a-dire en calculant les it´er´es successifs yp+1 = yp − fy (x, yp )−1 (f (x, yp )) a` partir de la valeur approch´ee y0 . Nous abordons maintenant des ´enonc´es plus g´eom´etriques.


117

IV – M ´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations

D´ efinition – Soit Ω un ouvert de Rm et f : Ω → Rp une application de classe C k , k ≥ 1. On dit que

(1) f est une immersion en un point x0 ∈ Ω si f  (x0 ) ∈ L(Rm , Rp ) est injective (ce qui implique m ≤ p) ; (2) f est une submersion en un point x0 ∈ Ω si f  (x0 ) ∈ L(Rm , Rp ) est surjective (ce qui implique m ≥ p) ; (3) f est de rang constant si le rang de f  (x) pour x ∈ Ω est un entier r constant (ce qui implique r ≤ min(m, p)). La structure locale de telles applications est d´ecrite respectivement par les trois th´eor`emes suivants.

Th´ eor` eme des immersions – Si f est une immersion en un point x0 ∈ Ω, il

existe un voisinage U de x0 dans Rm , un voisinage V de y0 = f (x0 ) dans Rp et un C k -diff´eomorphisme ψ : V → U × T de V sur un voisinage U × T de (x0 , 0) dans Rp = Rm × Rp−m tel que ψ ◦ f (x) = (x, 0) sur U . Autrement dit, au diff´eomorphisme ψ pr`es dans l’espace d’arriv´ee, f = ψ ◦ f s’identifie a ` l’injection triviale x → (x, 0) au voisinage de x0 .

Th´ eor` eme des submersions – Si f est une submersion en un point x0 ∈ Ω,

il existe un voisinage U de x0 dans Rm , un voisinage V de y0 = f (x0 ) dans Rp et un C k -diff´eomorphisme ϕ : U → V × S de U sur un voisinage V × S de (y0 , 0) dans Rm = Rp × Rm−p tel que f ◦ ϕ−1 (y, s) = y sur V × S. Autrement dit, au diff´eomorphisme ϕ pr`es dans l’espace de d´epart, f = f ◦ ϕ−1 s’identifie a ` la projection triviale (y, s) → y au voisinage de (y0 , 0).

Th´ eor` eme du rang – Si f est de rang constant r sur Ω et si x0 ∈ Ω, il

existe un voisinage U de x0 dans Rm , un voisinage V de y0 = f (x0 ) dans Rp , un C k -diff´eomorphisme ϕ : U → Q × S de U sur un voisinage Q × S de 0 dans Rm = Rr × Rm−r , et un C k -diff´eomorphisme ψ : V → Q × T de V sur un voisinage Q × T de 0 dans Rp = Rp × Rp−r , tels que ψ ◦ f ◦ ϕ−1 (x) = (x1 , . . . , xr , 0, . . . , 0) ∈ Rp

sur Q × S.

Autrement dit, aux diff´eomorphismes ϕ, ψ pr`es a ` la fois au d´epart et ` a l’arriv´ee, ` l’application lin´eaire canonique de rang r f = ψ ◦ f ◦ ϕ−1 s’identifie a (∗)

(x1 , . . . , xr , xr+1 , . . . , xm ) ∈ Rm → (x1 , . . . , xr , 0, . . . , 0) ∈ Rp

au voisinage de 0, et on a le diagramme commutatif U   0ϕ

f

−→

V   0ψ

Q × S −→ Q × T f o` u f est l’application lin´eaire (∗).


118

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

D´ emonstration du th´ eor` eme des immersions. Choisissons des vecteurs lin´eairement ind´ependants (a1 , . . . ap−m ) de Rp de sorte qu’on ait une d´ecomposition en somme directe 1 Rai . Rp = Im f  (x0 ) ⊕ 1≤i≤p−m 

C’est possible puisque dim Im f (x0 ) = m d’apr`es l’injectivit´e de f  (x0 ). Nous d´efinissons  Ψ(x, t) = f (x) + ti a i . Ψ : Ω × Rp−m → Rp , 1≤i≤p−m

Comme ∂Ψ(x, t)/∂ti = ai , il est clair que Im Ψ (x0 , 0) contient a` la fois Im f  (x0 ) et les ai , donc Ψ (x0 , 0) est surjective. Mais comme Ψ est une application de Rp dans Rp , ceci entraˆıne que Ψ (x0 , 0) est inversible. Par cons´equent Ψ d´efinit un C k -diff´eomorphisme d’un voisinage U × T de (x0 , 0) sur un voisinage V de y0 = f (x0 ). Nous avons Ψ(x, 0) = f (x) par d´efinition de Ψ, donc ψ = Ψ−1 r´epond a la question. ` D´ emonstration du th´ eor` eme des submersions. Soit (a1 , . . . , am ) une base de Rm choisie de telle sorte que (ap+1 , . . . , am ) soit une base de Ker f  (x0 ). Nous d´efinissons ϕ : Ω → Rp × Rm−p ,

ϕ(x) = (f (x), sp+1 , . . . , sm )

esignent les coordonn´ees de x dans la base (ai ), c’est-`a-dire o` u (s 1 , . . . , sm ) d´ x = si ai . Le noyau Ker ϕ (x0 ) est l’intersection du noyau Ker f  (x0 ) avec le sous-espace sp+1 = . . . = sm = 0 engendr´e par (a1 , . . . , ap ), et comme ces espaces sont suppl´ementaires on a Ker ϕ (x0 ) = {0}. Ceci montre que ϕ (x0 ) est injective, et donc bijective. Par cons´equent ϕ est un C k -diff´eomorphisme d’un voisinage U de x0 sur un voisinage V × S de (y0 , 0) = (f (x0 ), 0) (quitte a` r´etr´ecir ces voisinages, on peut toujours supposer que le voisinage d’arriv´ee est un produit). On voit alors que f = π ◦ ϕ o` u π est la projection sur les p-premi`eres coordonn´ees, de sorte que f ◦ ϕ−1 = π : (y, sp+1 , . . . , sm ) → y. Le th´eor`eme est d´emontr´e. D´ emonstration du th´ eor` eme du rang. On construit des diff´eomorphismes ϕi entre ouverts de Rm et ψi entre ouverts de Rp de fa¸con `a  simplifier  progressivement f : f U −→ V   0ψ1 0ϕ1 f1

U1 −→ V1   0ϕ2 0ψ2 f2

U2 −→ V2 . Le premier niveau (ϕ1 , ψ1 ) consiste simplement en des changements affines de coordonn´ees : on choisit respectivement x0 et y0 = f (x0 ) comme nouvelles origines


IV – M ´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations

119

dans Rm et Rp , ainsi que de nouvelles bases (a1 , . . . , am ) et (b1 , . . . , bp ) de sorte que (ar+1 , . . . , am ) soit une base du noyau de Ker f  (x0 ) et bj = f  (x0 )(aj ), 1 ≤ j ≤ r. Dans ces nouveaux rep`eres, la matrice de f  (x0 ) devient par construction la matrice de rang r   1 ... 0 0 ... 0 . . . .  . ... . . ..  . .  .   ...  0 ... 1 .  0 ... 0 0 ...  . . . . .. .. ..   .. 0

...

0 ...

0

Ceci est pr´ecis´ement la matrice de la d´eriv´ee f1 (0) de f1 = ψ1 ◦ f ◦ ϕ−1 a l’origine. 1 ` En particulier, si π : Rp → Rr est la projection sur les r-premi`eres coordonn´ees, alors π ◦ f1 est une submersion de Rm dans Rr en 0, et d’apr`es le th´eor`eme des submersions on peut trouver un C k -diff´eomorphisme ϕ2 de Rm `a l’origine tel que π ◦ f1 ◦ ϕ−1 2 (x1 , . . . , xm ) = (x1 , . . . , xr ) pr`es de 0. Par cons´equent nous avons une ´ecriture f1 ◦ ϕ−1 2 (x1 , . . . , xm ) = (x1 , . . . , xr , hr+1 (x), . . . , hp (x)) −1 −1 au voisinage de 0. Or, par hypoth`ese, f1 ◦ϕ−1 2 = ψ1 ◦f ◦ϕ1 ◦ϕ2 est une application de rang constant r, et la matrice de son application lin´eaire tangente   1 ... 0 0 ... 0 . . . . .   .. . . .. .. ..    0 ... 1 ...   0 ... ∂hr+1 /∂xr+1 . . . ∂hr+1 /∂xm     . . . .  ..  .. .. ..

0 ...

∂hp /∂xr+1

...

∂hp /∂xm

ne peut ˆetre de rang r que si ∂hi /∂xj = 0 pour i, j > r, ce qui signifie que hr+1 , . . . , hp sont en fait des fonctions des seules variables x1 , . . . , xr . On a donc une application de rang constant r (x1 , . . . , xr ) → (x1 , . . . , xr , hr+1 (x1 , . . . , xr ), . . . , hp (x1 , . . . , xr )) au voisinage de 0. En d’autres termes, c’est une immersion de Rr dans Rp en 0, et d’apr`es le th´eor`eme des immersions il existe un C k -diff´eomorphisme ψ2 de Rp en 0 tel que ψ2 (x1 , . . . , xr , hr+1 (x1 , . . . , xr ), . . . , hp (x1 , . . . , xr )) = (x1 , . . . , xr , 0, . . . , 0) pr`es de 0. Il s’ensuit que ψ2 ◦ f1 ◦ ϕ−1 2 (x1 , . . . , xm ) = (x1 , . . . , xr , 0, . . . , 0) au voisinage de 0. L’existence de petits voisinages U2 = Q × S et V2 = Q × T est alors imm´ediate, et le th´eor`eme du rang constant est d´emontr´e avec ϕ = ϕ2 ◦ ϕ1 , ψ = ψ2 ◦ ψ1 , U = ϕ−1 (U2 ), V = ψ −1 (V2 ).


120

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

   5.1. Soit (E, d) un espace m´etrique et ϕ : E → E une application continue telle que l’it´er´ee ϕm = ϕ ◦ . . . ◦ ϕ soit contractante, avec constante de Lipschitz k ∈ ]0, 1[ et m ∈ N . (a) On convient de noter ϕ0 = IdE . V´erifier que la formule d (x, y) =

max

0≤i≤m−1

k −i/m d(ϕi (x), ϕi (y))

d´efinit une distance sur E, topologiquement ´equivalente a` la distance d (c’esta-dire que les ouverts pour d et d sont les mˆemes). Montrer que (E, d ) est ` complet d`es que (E, d) est complet. (b) Montrer que ϕ est lipschitzienne de rapport k 1/m pour d . En d´eduire que ϕ admet un point fixe unique a, et que, pour tout point initial x0 ∈ E, il existe une constante C telle que la suite des it´er´es xp = ϕ(xp−1 ) v´erifie d(xp , a) ≤ C kp/m . 5.2. On consid`ere la fonction f telle que f (x) = x ln (x),

x ∈ [1, +∞[.

On se propose d’´etudier des algorithmes it´eratifs permettant de calculer l’image r´eciproque f −1 (a) pour un r´eel a ∈ [0, +∞[ fix´e quelconque. (a) Montrer que f est une bijection de [1, +∞[ sur [0, +∞[. (b) On pose ϕ(x) =

a ln (x) .

Pour a = e, calculer explicitement f −1 (a).

Pour quelles valeurs de a = e le proc´ed´e it´eratif xp+1 = ϕ(xp ) converge-t-il lorsque la valeur initiale x0 est choisie assez voisine de f −1 (a) ? (c) Soit xp+1 = ψ(xp ) l’algorithme it´eratif fourni par la m´ethode de Newton pour la r´esolution de l’´equation x ln (x) − a = 0. ´ (α) Etudier les variations de la fonction ψ et tracer sommairement la courbe repr´esentative de ψ. ´ (β) Etudier la convergence de la suite (xp ) pour a ∈ [0, +∞[ et x0 ∈ [1, +∞[ quelconques. ´ (γ) Evaluer f −1 (2) par ce proc´ed´e `a l’aide d’une calculette. On donnera les approximations successives obtenues. 5.3. On consid`ere la fonction f (x) = exp(exp(− cos(sin(x + ex )))) + x3 . ´ On donne f (0, 1)  1, 737 ; f (0, 2)  1, 789 a` 10−3 pr`es. Ecrire un programme permettant de r´esoudre l’´equation f (x) = 7/4 `a la pr´ecision ε = 10−10 , ceci au


IV – M ´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations

121

moyen d’une m´ethode it´erative adapt´ee (qui permet d’´eviter des calculs formels trop compliqu´es). La justification de la convergence n’est pas demand´ee. 5.4. On se propose d’´etudier le comportement des it´er´es d’une fonction au voisinage d’un point fixe, dans le cas critique o` u la d´eriv´ee vaut 1 en ce point. Soit ϕ : R+ → R+ une fonction de classe C 1 . On suppose que ϕ(0) = 0, ϕ (0) = 1, et que ϕ admet un d´eveloppement limit´e ϕ(x) = x − axk + xk ε(x) avec a > 0,

k > 1,

lim ε(x) = 0.

x→0+

(a) Montrer qu’il existe h > 0 tel que pour tout x0 ∈ ]0, h] la suite it´er´ee xp+1 = ϕ(xp ) converge vers 0. (b) On pose up = xm u m ∈ R. D´eterminer un ´equivalent de up+1 − up en fonction p o` de xp . (c) Montrer qu’il existe une valeur de m pour laquelle up+1 − up poss`ede une limite finie non nulle. En d´eduire un ´equivalent de xp . (d) Pour ϕ(x) = sin x et x0 = 1, estimer le nombre d’it´erations n´ecessaires pour atteindre xp < 10−5 . 5.5. Dans tout ce probl`eme, on travaille sur un intervalle [a, b] fix´e. (a) Soit g : [a, b] → R une fonction de classe C 2 telle que g(a) = g(b) = 0, g  (x) > 0 pour tout x dans ]a, b[. D´emontrer • que g(x) ne s’annule en aucun x de ]a, b[, • puis que g(x) < 0 pour tout x dans ]a, b[. [Raisonner par l’absurde et utiliser le th´eor`eme de Rolle.] (b) Soit f : [a, b] → R une fonction de classe C 2 telle que f (a) < 0, f (b) > 0, f  (x) > 0 et f  (x) > 0 pour tout x dans ]a, b[. D´emontrer (α) qu’il existe c (unique) dans ]a, b[ tel que f (c) = 0 ; (β) qu’il existe m1 et m2 tels que 0 < m1 ≤ f  (x),

0 < f  (x) ≤ m2

pour tout x dans [a, b[.

(c) On conserve d´esormais les hypoth`eses de la question (b), et on se propose de  calculer  c. Soit p le polynˆ ome de degr´e 1 tel que p(a) = f (a), p(b) = f (b), et soit c1 dans ]a, b[ tel que p(c1 ) = 0. (α) D´emontrer que a < c1 < c [appliquer la question (a) a` g(x) = f (x) − p(x)].


122

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

´ (β) Etablir la majoration |f (c1 )| ≤

1 m2 |(c1 − a)(c1 − b)|. 2

(d) Soit (cn ), n ≥ 0, la suite r´ecurrente d´efinie de la fa¸con suivante : • on pose c0 = a ; ome • pour tout n ≥ 0 (et cn ´etant d´ej`a d´efinie) on note pn l’unique polynˆ de degr´e 1 tel que pn (cn ) = f (cn ), pn (b) = f (b) ; et on d´efinit cn+1 par pn (cn+1 ) = 0. (α) Mettre explicitement cette r´ecurrence sous la forme cn+1 = ϕ(cn ). (β) D´emontrer que (cn ) est une suite strictement croissante contenue dans l’intervalle [a, c]. (γ) D´emontrer que la suite (cn ) converge vers c, et que, pour tout n ≥ 0, on a |cn − c| ≤

f (cn ) . m1

(e) Programmation d’un exemple. On pose f (x) = x4 + x − 1. D´emontrer que l’´equation f (x) = 0 admet une racine c et une seule dans ´ l’intervalle [0, 1]. Ecrire un programme permettant de calculer c `a 10−8 pr`es. 5.6. On consid`ere l’application ϕ : R2 → R2 d´efinie par     x X ϕ = , y Y

 3 5   X = −x + y + 2 4 1  2 Y =− x+y + 3 2 4

(a) D´eterminer les points fixes de ϕ. (b) Ces points fixes sont-ils attractifs ? (c) Soit B le point fixe non attractif de ϕ. Montrer que ϕ admet une application r´eciproque ψ : V → W de classe C ∞ , o` u V, W sont des voisinages de B. Le point B est-il attractif pour ψ ? 5.7. On cherche `a r´esoudre num´eriquement le syst`eme d’´equations y ln y − x ln x = 3 (S) x4 + xy + y 3 = a o` u x, y > 0 et o` u a est un param`etre r´eel. ´ (a) Etudier sommairement les variations de la fonction x → x ln x et montrer que pour a ≥ 31 le syst`eme (S) n’a pas de solution (x, y) telle que x < 1. Montrer


IV – M ´ ethodes it´ eratives pour la r´ esolution d’´ equations

123

que pour x ≥ 1 la solution y de la premi`ere ´equation est fonction croissante de x et en d´eduire que le syst`eme (S) admet une solution (x, y) unique pour a ≥ 31. (b) Montrer que la solution (x, y) est telle que y =x+

3 1 + ln c

ø` u

c ∈ ]x, y[.

En d´eduire un ´equivalent de x et y en fonction de a quand a tend vers +∞. Pouvez-vous raffiner cet ´equivalent et donner un d´eveloppement plus pr´ecis ? ´ (c) Ecrire l’algorithme permettant de r´esoudre le syst`eme (S) au moyen de la m´ethode de Newton. On prendra a = 104 . 5.8. Soit A une alg`ebre unitaire norm´ee de dimension finie sur R, par exemple l’alg`ebre des matrices carr´ees m × m. Soit u ∈ A un ´el´ement inversible. (a) Montrer qu’il existe des r´eels α, β tels que l’application ϕ(x) = αx + βxux admette x = u−1 comme point fixe superattractif. (b) Pour les valeurs de α, β trouv´ees au (a), montrer que l’on a l’in´egalit´e |||ϕ (x)||| ≤ 2 u x−u−1 . En d´eduire que la suite it´er´ee xp+1 = ϕ(xp ) converge 1 . vers u−1 d`es que x0 ∈ B(u−1 , r) avec r < 2 u (c) On suppose u = e − v avec e = ´el´ement unit´e de A et λ = v < 1. Montrer +∞  v k . D´eterminer un entier n ∈ N tel que que u est inversible et que u−1 = k=0

l’algorithme du (b) converge pour x0 = e + v + . . . + v n . (d) On suppose ici que A est commutative (exemple : A = R ou A = C). Chercher un algorithme permettant de d´eterminer une racine carr´ee de u (s’il en existe), en utilisant uniquement additions et multiplications (Indication : consid´erer ψ(x) = αx + βux3 ). Si A = R, comment peut-on choisir x0 pour ˆetre assur´e d’obtenir la convergence ? u Ω est un ouvert de Rm × Rp . 5.9∗ . On suppose f : Ω → Rp de classe C k , k ≥ 2, o` Soit (x0 , y0 ) ∈ Ω un point tel que f (x0 , y0 ) = 0 et  = fy (x0 , y0 ) inversible. Donner des estimations pr´ecises de la taille des voisinages U , V intervenant dans le th´eor`eme des fonctions implicites en fonction de ||||||, |||−1 ||| et de bornes sur les d´eriv´ees premi`eres et secondes de f sur un voisinage B(x0 , r0 ) × B(y0 , r0 ) ⊂ Ω.




        Le but de ce chapitre est de d´emontrer les th´eor`emes g´en´eraux dâ&#x20AC;&#x2122;existence et dâ&#x20AC;&#x2122;unicit´e des solutions pour les ´equations diďŹ&#x20AC;´erentielles ordinaires. Il sâ&#x20AC;&#x2122;agit du chapitre central de la th´eorie, de ce fait n´ecessairement assez abstrait. Sa bonne compr´ehension est indispensable en vue de la lecture des chapitres ult´erieurs.

   

                        

 Soit U un ouvert de R Ă&#x2014; Rm et f : U â&#x2020;&#x2019; Rm une application continue. On consid`ere lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle y  = f (t, y),

(E)

(t, y) â&#x2C6;&#x2C6; U,

t â&#x2C6;&#x2C6; R,

y â&#x2C6;&#x2C6; Rm .

D´ eďŹ nition â&#x20AC;&#x201C; Une solution de (E) sur un intervalle I â&#x160;&#x201A; R est une fonction d´erivable y : I â&#x2020;&#x2019; Rm telle que

(i)

(â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2C6; I)

(t, y(t)) â&#x2C6;&#x2C6; U

(ii)

(â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2C6; I)

y  (t) = f (t, y(t)).

Lâ&#x20AC;&#x2122; inconnue  de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E) est donc en fait une fonction. Le qualiďŹ catif ordinaire  pour lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle (E) signiďŹ e que la fonction inconnue y d´epend dâ&#x20AC;&#x2122;une seule variable t (lorsquâ&#x20AC;&#x2122;il y a plusieurs variables ti et plusieurs d´eriv´ees â&#x2C6;&#x201A;y/â&#x2C6;&#x201A;ti , on parle dâ&#x20AC;&#x2122;´equations aux d´eriv´ees partielles).




126

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

´ ´ les fonctions a` valeurs dans Rm en Ecriture en coordonn´ ees â&#x20AC;&#x201C; Ecrivons termes de leurs fonctions composantes, câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire y = (y1 , . . . , ym ),

f = (f1 , . . . , fm ).

Lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E) apparaË&#x2020;Äąt comme un syst`eme diďŹ&#x20AC;´erentiel du premier ordre a` m fonctions inconnues y1 , . . . , ym :     y1 (t) = f1 (t, y1 (t), . . . , ym (t)) (E) ...    ym (t) = fm (t, y1 (t), . . . , ym (t)).

´ donn´e un point (t0 , y0 ) â&#x2C6;&#x2C6; U , le probl`eme de Probl` eme de Cauchy â&#x20AC;&#x201C; Etant Cauchy consiste `a trouver une solution y : I â&#x2020;&#x2019; Rm de (E) sur un intervalle I contenant t0 dans son int´erieur, telle que y(t0 ) = y0 .

Interpr´ etation physique â&#x20AC;&#x201C;

Dans de nombreuses situations concr`etes, la variable t repr´esente le temps et y = (y1 , . . . , ym ) est une famille de param`etres d´ecrivant lâ&#x20AC;&#x2122;´etat dâ&#x20AC;&#x2122;un syst`eme mat´eriel donn´e. Lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E) traduit physiquement la loi dâ&#x20AC;&#x2122;´evolution du syst`eme consid´er´e en fonction du temps et de la valeur des param`etres. R´esoudre le probl`eme de Cauchy revient `a pr´evoir lâ&#x20AC;&#x2122;´evolution du syst`eme au cours du temps, sachant quâ&#x20AC;&#x2122;en t = t0 le syst`eme est d´ecrit par les param`etres y0 = (y0,1 , . . . , y0,m ). On dit que (t0 , y0 ) sont les donn´ees initiales du probl`eme de Cauchy.

        (m = 1) Si on note x = t, lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E) se r´ecrit y =

(E)

dy = f (x, y), dx

(x, y) â&#x2C6;&#x2C6; U â&#x160;&#x201A; R Ă&#x2014; R.

y U y(x) y0

x0

x


127

´ V – Equations diff´ erentielles. R ´ esultats fondamentaux

R´esoudre le probl`eme de Cauchy revient `a trouver une passant par un point donn´e (x0 , y0 ) ∈ U .



courbe int´egrale  de (E)

Champ des tangentes – A tout point M = (x0 , y0 ), on associe la droite DM passant par M et de coefficient directeur f (x0 , y0 ) : DM : y − y0 = f (x0 , y0 )(x − x0 ) L’application M → DM est appel´ee champ des tangentes associ´e `a l’´equation (E). Une courbe int´egrale de (E) est une courbe diff´erentiable C qui a pour tangente en chaque point M ∈ C la droite DM du champ des tangentes. L’exemple ci-dessous correspond a` l’´equation y  = f (x, y) = x − y 2 . y

DM

1 M

C

0

1

x

Lignes isoclines de (E) – Par d´efinition, ce sont les courbes Γp : f (x, y) = p correspondant a` l’ensemble des points M o` u la droite DM a une pente donn´ee p. La courbe Γ0 joue un rˆ ole int´eressant. On a en effet un r´egionnement de U : u U = U+ ∪ U− ∪ Γ0 o` U+ = {M ∈ U ; f (M ) > 0},

U− = {M ∈ U ; f (M ) < 0}.

Les courbes int´egrales sont croissantes dans U+ , d´ecroissantes dans U− , stationnaires (souvent extrˆemales) sur Γ0 .

Exemple – Les lignes isoclines de l’´equation y  = f (x, y) = x − y 2 sont les paraboles x = y 2 + p.


128

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

y

Î&#x201C;3/2 1

0

1

x

U+

Uâ&#x2C6;&#x2019;

Î&#x201C;0

     Nous introduisons dâ&#x20AC;&#x2122;abord le concept de prolongement dâ&#x20AC;&#x2122;une solution. Lâ&#x20AC;&#x2122;expression solution maximale est alors entendue implicitement au sens de la relation dâ&#x20AC;&#x2122;ordre fournie par le prolongement des solutions.

D´ eďŹ nition 1 â&#x20AC;&#x201C; Soient y : I â&#x2020;&#x2019; Rm , y : I â&#x2020;&#x2019; Rm des solutions de (E). On dit que y est un prolongement de y si I â&#x160;&#x192; I et y|I = y.

D´ eďŹ nition 2 â&#x20AC;&#x201C; On dit quâ&#x20AC;&#x2122;une solution y : I â&#x2020;&#x2019; Rm est maximale si y nâ&#x20AC;&#x2122;admet

pas de prolongement y : I â&#x2020;&#x2019; Rm avec I  I.

Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; Toute solution y se prolonge en une solution maximale y (pas n´ecessairement unique). D´ emonstration.* Supposons que y soit d´eďŹ nie sur un intervalle I = |a, b| (cette notation d´esigne un intervalle ayant pour bornes a et b, incluses ou non dans I). Il suďŹ&#x192;ra de montrer que y se prolonge en une solution y : |a, b| â&#x2020;&#x2019; Rm (b â&#x2030;Ľ b) maximale `a droite, câ&#x20AC;&#x2122;est-` a-dire quâ&#x20AC;&#x2122;on ne pourra plus prolonger y au del` a de b. Le mË&#x2020;eme raisonnement sâ&#x20AC;&#x2122;appliquera a` gauche. Pour cela, on construit par r´ecurrence des prolongements successifs y(1) , y(2) . . . de y avec y(k) : |a, bk [â&#x2020;&#x2019; Rm . On pose y(1) = y, b1 = b. Supposons y(kâ&#x2C6;&#x2019;1) d´ej`a construite


129

´ V â&#x20AC;&#x201C; Equations diff´ erentielles. R ´ esultats fondamentaux

pour un indice k â&#x2030;Ľ 1. On pose alors ck = sup{c ; y(kâ&#x2C6;&#x2019;1) se prolonge sur |a, c[ }. On a ck â&#x2030;Ľ bkâ&#x2C6;&#x2019;1 . Par d´eďŹ nition de la borne sup´erieure, il existe bk tel que bkâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;¤ bk â&#x2030;¤ ck et un prolongement y(k) : |a, bk [â&#x2020;&#x2019; Rm de y(kâ&#x2C6;&#x2019;1) avec bk arbitrairement voisin de ck ; en particulier, on peut choisir ck â&#x2C6;&#x2019; b k <

1 k

bk > k

si

ck < +â&#x2C6;&#x17E;,

si

ck = +â&#x2C6;&#x17E;.

La suite (ck ) est d´ecroissante, car lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des prolongements de y(kâ&#x2C6;&#x2019;1) contient lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des prolongements de y(k) ; au niveau des bornes sup´erieures on a donc a partir dâ&#x20AC;&#x2122;un certain rang, les suites ck â&#x2030;Ľ ck+1 . Si ck < +â&#x2C6;&#x17E; ` b1 â&#x2030;¤ b2 â&#x2030;¤ . . . â&#x2030;¤ bk â&#x2030;¤ . . . â&#x2030;¤ ck â&#x2030;¤ ckâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;¤ . . . â&#x2030;¤ c1 sont adjacentes, tandis que si ck = +â&#x2C6;&#x17E; quel que soit k on a bk > k. Dans les deux cas, on voit que b = lim bk = lim ck . kâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

kâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

Soit y : |a, b| â&#x2020;&#x2019; Rm le prolongement commun des solutions y(k) , ´eventuellement prolong´e au point b si cela est possible. Soit z : |a, c| â&#x2020;&#x2019; Rm un prolongement de y. Alors z prolonge y(kâ&#x2C6;&#x2019;1) et par d´eďŹ nition de ck il sâ&#x20AC;&#x2122;ensuit c â&#x2030;¤ ck . A la limite il vient câ&#x2030;¤ c, ce qui montre que la solution y est maximale `a droite.

     On suppose ici que lâ&#x20AC;&#x2122;ouvert U est de la forme U = J Ă&#x2014; â&#x201E;Ś o` u J est un intervalle de R et â&#x201E;Ś un ouvert de Rm .

D´ eďŹ nition â&#x20AC;&#x201C; Une solution globale est une solution d´eďŹ nie sur lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle J tout entier. y U y(1) â&#x201E;Ś y(2)

0

J

t

Attention : toute solution globale est maximale, mais la r´eciproque est fausse.


130

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Sur le sch´ema ci-dessus par exemple, y(1) est globale tandis que y(2) est maximale mais non globale. Donnons un exemple explicite de cette situation.

Exemple â&#x20AC;&#x201C; (E) y  = y 2 sur U = R Ă&#x2014; R. Cherchons les solutions t â&#x2020;&#x2019; y(t) de (E). â&#x20AC;˘ On a dâ&#x20AC;&#x2122;une part la solution y(t) = 0. â&#x20AC;˘ Si y ne sâ&#x20AC;&#x2122;annule pas, (E) sâ&#x20AC;&#x2122;´ecrit â&#x2C6;&#x2019;

y y2

= 1, dâ&#x20AC;&#x2122;o` u par int´egration

1 = t + C, y(t)

y(t) = â&#x2C6;&#x2019;

1 . t+C

Cette formule d´eďŹ nit en fait deux solutions, d´eďŹ nies respectivement sur ] â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;C[ et sur ]â&#x2C6;&#x2019;C, +â&#x2C6;&#x17E;[ ; ces solutions sont maximales mais non globales. Dans cet exemple y(t) = 0 est la seule solution globale de (E).

         Rappelons quâ&#x20AC;&#x2122;une fonction de plusieurs variables est dite de classe C k si elle admet des d´eriv´ees partielles continues jusquâ&#x20AC;&#x2122;` a lâ&#x20AC;&#x2122;ordre k.

Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; Si f : R Ă&#x2014; Rm â&#x160;&#x192; U â&#x2020;&#x2019; Rm est de classe C k , toute solution de (E) y  = f (t, y) est de classe C k+1 .

D´ emonstration. On raisonne par r´ecurrence sur k. â&#x20AC;˘ k = 0 : f continue. Par hypoth`ese y : I â&#x2020;&#x2019; Rm est d´erivable, donc continue. Par cons´equent y  (t) = f (t, y(t)) est continue, donc y est de classe C 1 . â&#x20AC;˘ Si le r´esultat est vrai a` lâ&#x20AC;&#x2122;ordre k â&#x2C6;&#x2019; 1, alors y est au moins de classe C k . Comme f est de classe C k , il sâ&#x20AC;&#x2122;ensuit que y  est de classe C k comme compos´ee de fonctions de classe C k , donc y est de classe C k+1 .

Calcul des d´ eriv´ ees successives dâ&#x20AC;&#x2122;une solution y â&#x20AC;&#x201C; On suppose pour simpliďŹ er m = 1. En d´erivant la relation y  (x) = f (x, y(x)) il vient y  (x) = fx (x, y(x)) + fy (x, y(x))y  (x), y  = fx (x, y) + f  (x, y)f (x, y) = f [1] (x, y) avec f [1] = fx + fy f . Notons de mani`ere g´en´erale lâ&#x20AC;&#x2122;expression de la d´eriv´ee k-i`eme y (k) en fonction de x, y sous la forme y (k) = f [kâ&#x2C6;&#x2019;1] (x, y) ;


´ V â&#x20AC;&#x201C; Equations diff´ erentielles. R ´ esultats fondamentaux

131

dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es ce qui pr´ec`ede f [0] = f , f [1] = fx + fy f . En d´erivant une nouvelle fois, on trouve y (k+1) = (f [kâ&#x2C6;&#x2019;1] )x (x, y) + (f [kâ&#x2C6;&#x2019;1] )y (x, y) y  = (f [kâ&#x2C6;&#x2019;1] )x (x, y) + (f [kâ&#x2C6;&#x2019;1] )y (x, y) f (x, y). On obtient donc les relations de r´ecurrence y (k+1) = f [k] (x, y) f [k] = (f [kâ&#x2C6;&#x2019;1] )x + (f [kâ&#x2C6;&#x2019;1] )y f,

avec f [0] = f.

En particulier, le lieu des points dâ&#x20AC;&#x2122;inďŹ&#x201A;exion des courbes int´egrales est contenu dans la courbe f [1] (x, y) = 0.

        Dans tout ce paragraphe, on consid`ere une ´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle y  = f (t, y)

(E)

o` u f : U â&#x2020;&#x2019; Rm est continue et U est un ouvert de R Ă&#x2014; Rm .

      

  

  

 



   

Le lemme tr`es simple ci-dessous montre que la r´esolution de (E) est ´equivalente a` la r´esolution dâ&#x20AC;&#x2122;une ´equation int´egrale :

Lemme â&#x20AC;&#x201C; Une fonction y : I â&#x2020;&#x2019; Rm est une solution du probl`eme de Cauchy de donn´ees initiales (t0 , y0 ) si et seulement si (i) y est continue et (â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2C6; I) (t, y(t)) â&#x2C6;&#x2C6; U ,  t (ii) (â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2C6; I) y(t) = y0 + f (u, y(u))du. t0

En eďŹ&#x20AC;et si y v´eriďŹ e (i) et (ii) alors y est diďŹ&#x20AC;´erentiable et on a y(t0 ) = y0 , y  (t) = f (t, y(t)). Inversement, si ces deux relations sont satisfaites, (ii) sâ&#x20AC;&#x2122;en d´eduit par int´egration.



       

Pour r´esoudre lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle (E), on va plutË&#x2020; ot chercher `a construire des solutions de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation int´egrale 2.1 (ii), et en premier lieu, on va montrer quâ&#x20AC;&#x2122;une solution passant par un point (t0 , y0 ) â&#x2C6;&#x2C6; U ne peut sâ&#x20AC;&#x2122;´eloigner  trop vite  de y0 .


132

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

On note une norme quelconque sur Rm et B(x, r) (resp. B(x, r)) la boule ouverte (resp. ferm´ee) de centre x et de rayon r dans Rm . Comme U est suppos´e ouvert, il existe un cylindre C0 = [t0 − T0 , t0 + T0 ] × B(y0 , r0 ) de longueur 2T0 et de rayon r0 assez petit, tel que C0 ⊂ U . L’ensemble C0 est ferm´e born´e dans Rm+1 , donc compact. Ceci entraˆıne que f est born´ee sur C0 , c’est-`a-dire sup f (t, y) < +∞.

M=

(t,y)∈C0

Soit C = [t0 − T, t0 + T ] × B(y0 , r0 ) ⊂ C0 un cylindre de mˆeme diam`etre que C0 et de demi-longueur T ≤ T0 .

D´ efinition – On dit que C est un cylindre de s´ecurit´e pour l’´equation (E) si toute solution y : I → Rm du probl`eme de Cauchy y(t0 ) = y0 avec I ⊂ [t0 − T, t0 + T ] reste contenue dans B(y0 , r0 ). Rm

C

r0

y0 C0 y(t)

0

t 0 − T0

t

U

t0

t 0 + T0

t

2T 2T0 Sur le sch´ema ci-dessus, C est un cylindre de s´ecurit´e mais C0 n’en est pas un : la solution y  s’´echappe  de C0 avant le temps t0 + T0 . Supposons que la solution y s’´echappe de C sur l’intervalle [t0 , t0 + T ]. Soit τ le premier instant o` u cela se produit : τ = inf {t ∈ [t0 , t0 + T ] ; y(t) − y0 > r0 }.


´ V â&#x20AC;&#x201C; Equations diff´ erentielles. R ´ esultats fondamentaux

133

Par d´eďŹ nition de Ď&#x201E; on a y(t) â&#x2C6;&#x2019; y0 â&#x2030;¤ r pour t â&#x2C6;&#x2C6; [t0 , Ď&#x201E; [, donc par continuit´e de y on obtient y(Ď&#x201E; ) â&#x2C6;&#x2019; y0 = r0 . Comme (t, y(t)) â&#x2C6;&#x2C6; C â&#x160;&#x201A; C0 pour t â&#x2C6;&#x2C6; [t0 , Ď&#x201E; ], il vient y  (t) = f (t, y(t)) â&#x2030;¤ M et 4 4 r0 = y(Ď&#x201E; ) â&#x2C6;&#x2019; y0 = 4

Ď&#x201E;

4 4 y  (u)du4 â&#x2030;¤ M (Ď&#x201E; â&#x2C6;&#x2019; t0 )

t0

donc Ď&#x201E; â&#x2C6;&#x2019; t0 â&#x2030;Ľ r0 /M . Par cons´equent si T â&#x2030;¤ r0 /M , aucune solution ne peut sâ&#x20AC;&#x2122;´echapper de C sur [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ].

Corollaire â&#x20AC;&#x201C; Pour que C soit un cylindre de s´ecurit´e, il suďŹ&#x192;t de prendre  r0  . T â&#x2030;¤ min T0 , M   r0 Le choix T = min T0 , M convient par exemple.

Remarque â&#x20AC;&#x201C; Si C â&#x160;&#x201A; C0 est un cylindre de s´ecurit´e, toute solution du probl`eme de Cauchy y : [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ] â&#x2020;&#x2019; Rm v´eriďŹ e y  (t) â&#x2030;¤ M , donc y est lipschitzienne de rapport M .

         On cherche `a construire une solution approch´ee de (E) sur un intervalle [t0 , t0 + T ]. On se donne pour cela une subdivision t0 < t1 < t2 . . . < tN â&#x2C6;&#x2019;1 < tN = t0 + T. Les pas successifs sont not´es hn = tn+1 â&#x2C6;&#x2019; tn ,

0 â&#x2030;¤ n â&#x2030;¤ N â&#x2C6;&#x2019; 1,

et on pose hmax = max(h0 , . . . , hN â&#x2C6;&#x2019;1 ). La m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;Euler (ou m´ethode de la tangente) consiste `a construire une solution approch´ee y aďŹ&#x192;ne par morceaux comme suit. Soit yn = y(tn ). On confond la courbe int´egrale sur [tn , tn+1 ] avec sa tangente au point (tn , yn ) : y(t) = yn + (t â&#x2C6;&#x2019; tn )f (tn , yn ),

t â&#x2C6;&#x2C6; [tn , tn+1 ].

Partant de la donn´ee initiale y0 , on calcule donc yn par r´ecurrence en posant 

yn+1 = yn + hn f (tn , yn ) tn+1 = tn + hn ,

0 â&#x2030;¤ n â&#x2030;¤ N â&#x2C6;&#x2019; 1.

La solution approch´ee y sâ&#x20AC;&#x2122;obtient graphiquement en tra¸cant pour chaque n les segments joignant les points (tn , yn ), (tn+1 , yn+1 ).


134

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

y y3 y2

y1 y0

t0

t1

t2

t3 . . . tN = t0 + T t

On construit de mË&#x2020;eme une solution approch´ee sur [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 ] en prenant des pas hn < 0.

Proposition 1 â&#x20AC;&#x201C; Si C = [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ] Ă&#x2014; B(y0 , r0 ) est un cylindre de s´ecurit´e

r0 , toute solution approch´ee y donn´ee par la m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;Euler tel que T â&#x2030;¤ min T0 , M est contenue dans la boule B(y0 , r0 ).

D´ emonstration. On v´eriďŹ e par r´ecurrence sur n que  y([t0 , tn ]) â&#x160;&#x201A; B(y0 , r0 ) y(t) â&#x2C6;&#x2019; y0 â&#x2030;¤ M (t â&#x2C6;&#x2019; t0 ) pour t â&#x2C6;&#x2C6; [t0 , tn ]. Câ&#x20AC;&#x2122;est trivial pour n = 0. Si câ&#x20AC;&#x2122;est vrai pour n, alors on a en particulier (tn , yn ) â&#x2C6;&#x2C6; C, donc f (tn , yn ) â&#x2030;¤ M , et par cons´equent y(t) â&#x2C6;&#x2019; yn = (t â&#x2C6;&#x2019; tn ) f (tn , yn ) â&#x2030;¤ M (t â&#x2C6;&#x2019; tn ) pour t â&#x2C6;&#x2C6; [tn , tn+1 ]. Par hypoth`ese de r´ecurrence yn â&#x2C6;&#x2019; y0 = y(tn ) â&#x2C6;&#x2019; y0 â&#x2030;¤ M (tn â&#x2C6;&#x2019; t0 ). Lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e triangulaire entraË&#x2020;Äąne alors â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2C6; [tn , tn+1 ] : y(t) â&#x2C6;&#x2019; y0 â&#x2030;¤ M (t â&#x2C6;&#x2019; tn ) + M (tn â&#x2C6;&#x2019; t0 ) â&#x2030;¤ M (t â&#x2C6;&#x2019; t0 ). u En particulier y(t) â&#x2C6;&#x2019; y0 â&#x2030;¤ M T â&#x2030;¤ r0 , dâ&#x20AC;&#x2122;o` y([t0 , tn+1 ]) â&#x160;&#x201A; B(y0 , r0 ).

D´ eďŹ nition â&#x20AC;&#x201C; Soit y : [a, b] â&#x2020;&#x2019; Rm une fonction de classe C 1 par morceaux (ceci signiďŹ e quâ&#x20AC;&#x2122;il existe une subdivision a = a0 < a1 < . . . < aN = b de [a, b] telle que pour tout n la restriction y[an ,an+1 ] soit de classe C 1 ; on suppose donc seulement la continuit´e et lâ&#x20AC;&#x2122;existence dâ&#x20AC;&#x2122;une d´eriv´ee ` a droite et ` a gauche de y aux points an ). On dit que y est une solution Îľ-approch´ee de (E) si (i) (â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2C6; [a, b])

(t, y(t)) â&#x2C6;&#x2C6; U ;

(ii) (â&#x2C6;&#x20AC;n), (â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2C6; ]an , an+1 [)

y  (t) â&#x2C6;&#x2019; f (t, y(t)) â&#x2030;¤ Îľ.


´ V â&#x20AC;&#x201C; Equations diff´ erentielles. R ´ esultats fondamentaux

135

Autrement dit, y est une solution Îľ-approch´ee si y v´eriďŹ e (E) avec une erreur â&#x2030;¤ Îľ.

Majoration de lâ&#x20AC;&#x2122;erreur pour les solutions approch´ ees dâ&#x20AC;&#x2122;Euler â&#x20AC;&#x201C; Soit Ď&#x2030;f le module de continuit´e de f sur C, d´eďŹ ni par Ď&#x2030;f (u) = max{ f (t1 , y1 ) â&#x2C6;&#x2019; f (t2 , y2 ) ; |t1 â&#x2C6;&#x2019; t2 | + y1 â&#x2C6;&#x2019; y2 â&#x2030;¤ u} o` u u â&#x2C6;&#x2C6; [0, +â&#x2C6;&#x17E;[ et o` u les points (t1 , y1 ), (t2 , y2 ) parcourent C. Comme C est compact, la fonction f est uniform´ement continue sur C, par cons´equent lim Ď&#x2030;f (u) = 0.

uâ&#x2020;&#x2019;0+

On suppose dans la suite que C = [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ] Ă&#x2014; B(y0 , r0 ) est un cylindre de r0 s´ecurit´e tel que T â&#x2030;¤ min T0 , M . Soit y : [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ] â&#x2020;&#x2019; Rm une solution approch´ee construite par la m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;Euler avec pas maximum hmax . Alors lâ&#x20AC;&#x2122;erreur Îľ v´eriďŹ e Îľ â&#x2030;¤ Ď&#x2030;f ((M + 1)hmax ).

Proposition 2 â&#x20AC;&#x201C;

En particulier, lâ&#x20AC;&#x2122;erreur Îľ tend vers 0 quand hmax tend vers 0. D´ emonstration. Majorons par exemple y  (t) â&#x2C6;&#x2019; f (t, y(t)) pour t â&#x2C6;&#x2C6; [t0 , t0 + T ], o` u y est la solution approch´ee associ´ee `a la subdivision t0 < t1 < . . . < tN = t0 + T . Pour t â&#x2C6;&#x2C6; ]tn , tn+1 [, on a y  (t) = f (tn , yn ) et y(t) â&#x2C6;&#x2019; yn = (t â&#x2C6;&#x2019; tn ) f (tn , yn ) â&#x2030;¤ M hn , |t â&#x2C6;&#x2019; tn | â&#x2030;¤ hn . Par d´eďŹ nition de Ď&#x2030;f , il vient f (tn , yn ) â&#x2C6;&#x2019; f (t, y(t)) â&#x2030;¤ Ď&#x2030;f (M hn + hn ), y  (t) â&#x2C6;&#x2019; f (t, y(t)) â&#x2030;¤ Ď&#x2030;f ((M + 1)hmax . Montrons ďŹ nalement un r´esultat sur la convergence des solutions approch´ees. Soit y(p) : [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ] â&#x2020;&#x2019; Rm une suite de solutions Îľp -approch´ees contenues dans le cylindre de s´ecurit´e C, telles que y(p) (t0 ) = y0 et limpâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; Îľp = 0. On suppose que y(p) converge uniform´ement sur [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ] vers une fonction y. Alors y est une solution exacte du probl`eme de Cauchy pour lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E).

Proposition 3 â&#x20AC;&#x201C;

 (t) â&#x2C6;&#x2019; f (t, y(p) (t) â&#x2030;¤ Îľp , il vient apr`es int´egration D´ emonstration. Comme y(p)

 y(p) (t) â&#x2C6;&#x2019; y0 â&#x2C6;&#x2019;

t

t0

f (u, y(p) (u))du â&#x2030;¤ Îľp |t â&#x2C6;&#x2019; t0 |.


136 Si δp =

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

max

[t0 â&#x2C6;&#x2019;T,t0 +T ]

y â&#x2C6;&#x2019; y(p) , on voit que f (u, y(p) (u)) â&#x2C6;&#x2019; f (u, y(u)) â&#x2030;¤ Ď&#x2030;f (δp )

tend vers 0, dâ&#x20AC;&#x2122;o` u, grË&#x2020; ace `a la convergence uniforme : 

t

y(t) â&#x2C6;&#x2019; y0 â&#x2C6;&#x2019;

f (u, y(u))du = 0,

â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2C6; [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ].

t0

Comme la limite uniforme y est continue, le lemme du d´ebut du § 2 entraË&#x2020;Äąne que y est une solution exacte de (E).

 

    Il sâ&#x20AC;&#x2122;agit dâ&#x20AC;&#x2122;un r´esultat pr´eliminaire de nature topologique que nous allons formuler dans le cadre g´en´eral des espaces m´etriques. Si (E, δ) et (F, δ  ) sont des espaces m´etriques, rappelons que par d´eďŹ nition une suite dâ&#x20AC;&#x2122;applications Ď&#x2022;(p) : E â&#x2020;&#x2019; F converge uniform´ement vers Ď&#x2022; : E â&#x2020;&#x2019; F si la distance uniforme d(Ď&#x2022;(p) , Ď&#x2022;) = sup δ  (Ď&#x2022;(p) (x), Ď&#x2022;(x)) xâ&#x2C6;&#x2C6;E

tend vers 0 quand p tend vers +â&#x2C6;&#x17E;.

Th´ eor` eme (Ascoli) â&#x20AC;&#x201C; On suppose que E, F sont des espaces m´etriques compacts. u k â&#x2030;Ľ 0 est une Soit Ď&#x2022;(p) : E â&#x2020;&#x2019; F une suite dâ&#x20AC;&#x2122;applications k-lipschitziennes, o` constante donn´ee. Alors on peut extraire de Ď&#x2022;(p) une sous-suite Ď&#x2022;(pn ) uniform´ement convergente, et la limite est une application k-lipschitzienne. Soit Lipk (E, F ) lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des applications E â&#x2020;&#x2019; F lipschitziennes de rapport k. Une autre mani`ere dâ&#x20AC;&#x2122;exprimer le th´eor`eme dâ&#x20AC;&#x2122;Ascoli est la suivante.

Corollaire â&#x20AC;&#x201C; Si E, F sont compacts, alors (Lipk (E, F ), d) est un espace m´etrique compact. D´ emonstration. On construit par r´ecurrence des parties inďŹ nies S0 = N â&#x160;&#x192; S1 â&#x160;&#x192; . . . â&#x160;&#x192; Snâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x160;&#x192; Sn â&#x160;&#x192; . . . telles que la sous-suite (Ď&#x2022;(p) )pâ&#x2C6;&#x2C6;Sn ait des oscillations de plus en plus faibles. Supposons Snâ&#x2C6;&#x2019;1 construite, n â&#x2030;Ľ 1. Comme E, F sont compacts, il existe des recouvrements ďŹ nis de E (resp. de F ) par des boules ouvertes (Bi )iâ&#x2C6;&#x2C6;I , resp. (Bj )jâ&#x2C6;&#x2C6;J , de rayon n1 . Notons I = {1, 2, . . . , N } et xi le centre de Bi . Soit p un indice ďŹ x´e.  . Pour tout i = 1, . . . , N il existe un indice j = j(p, i) tel que Ď&#x2022;(p) (xi ) â&#x2C6;&#x2C6; Bj(p,i) On consid`ere lâ&#x20AC;&#x2122;application Snâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; J N ,

p â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; (j(p, 1), . . . , j(p, N )).


137

´ V â&#x20AC;&#x201C; Equations diff´ erentielles. R ´ esultats fondamentaux

Comme Snâ&#x2C6;&#x2019;1 est inďŹ ni et que J N est ďŹ ni, lâ&#x20AC;&#x2122;un des ´el´ements (l1 , . . . , lN ) â&#x2C6;&#x2C6; J N admet pour image r´eciproque une partie inďŹ nie de Snâ&#x2C6;&#x2019;1 : on note Sn cette partie. Ceci signiďŹ e que pour tout p â&#x2C6;&#x2C6; Sn on a (j(p, 1), . . . , j(p, N )) = (l1 , . . . , lN ) et donc Ď&#x2022;(p) (xi ) â&#x2C6;&#x2C6; Bli . En particulier (â&#x2C6;&#x20AC;p, q â&#x2C6;&#x2C6; Sn ) δ  (Ď&#x2022;(p) (xi ), Ď&#x2022;(q) (xi )) â&#x2030;¤ diam Bli â&#x2030;¤

2 . n

Soit x â&#x2C6;&#x2C6; E un point quelconque. Il existe i â&#x2C6;&#x2C6; I tel que x â&#x2C6;&#x2C6; Bi , dâ&#x20AC;&#x2122;o` u δ(x, xi ) < Lâ&#x20AC;&#x2122;hypoth`ese que les Ď&#x2022;(p) sont k-lipschitziennes entraË&#x2020;Äąne δ  (Ď&#x2022;(p) (x), Ď&#x2022;(p) (xi )) <

k , n

δ  (Ď&#x2022;(q) (x), Ď&#x2022;(q) (xi )) <

1 n.

k . n

Lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e triangulaire implique alors (â&#x2C6;&#x20AC;p, q â&#x2C6;&#x2C6; Sn ) δ  (Ď&#x2022;(p) (x), Ď&#x2022;(q) (x)) â&#x2030;¤

k 2k + 2 2 +2 = . n n n

D´esignons par pn le n-i`eme ´el´ement de Sn . Pour N â&#x2030;Ľ n on a pN â&#x2C6;&#x2C6; SN â&#x160;&#x201A; Sn , donc δ  (Ď&#x2022;(pn ) (x), Ď&#x2022;(pN ) (x)) â&#x2030;¤

2k + 2 . n

(â&#x2C6;&#x2014;)

Ceci entraË&#x2020;Äąne que Ď&#x2022;(pn ) (x) est une suite de Cauchy dans F pour tout x â&#x2C6;&#x2C6; E. Comme F est compact, F est aussi complet, donc Ď&#x2022;(pn ) (x) converge vers une limite Ď&#x2022;(x). Quand N â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;, (â&#x2C6;&#x2014;) implique a` la limite d(Ď&#x2022;(pn ) , Ď&#x2022;) â&#x2030;¤ 2k+2 n . On voit donc que Ď&#x2022;(pn ) converge uniform´ement vers Ď&#x2022;. Il est facile de voir que Ď&#x2022; â&#x2C6;&#x2C6; Lipk (E, F ).

Exercice â&#x20AC;&#x201C; On pose E = [0, Ď&#x20AC;], F = [â&#x2C6;&#x2019;1, 1], Ď&#x2022;p (x) = cos px. Calculer 

Ď&#x20AC; 0

(Ď&#x2022;p (x) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;q (x))2 dx

et en d´eduire que d(Ď&#x2022;p , Ď&#x2022;q ) â&#x2030;Ľ 1 si p = q. Lâ&#x20AC;&#x2122;espace Lip (E, F ) =

5 kâ&#x2030;Ľ0

Lipk (E, F )

est-il compact ?

 

      Lâ&#x20AC;&#x2122;id´ee est dâ&#x20AC;&#x2122;utiliser le th´eor`eme dâ&#x20AC;&#x2122;Ascoli pour montrer lâ&#x20AC;&#x2122;existence dâ&#x20AC;&#x2122;une sous-suite uniform´ement convergente de solutions approch´ees. On obtient ainsi le   r0 Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; Soit C = [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ] Ă&#x2014; B(y0 , r0 ) avec T â&#x2030;¤ min T0 , M un cylindre de s´ecurit´e pour lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E) : y  = f (t, y). Alors il existe une solution y : [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ] â&#x2020;&#x2019; B(y0 , r0 ) de (E) avec condition initiale y  (t0 ) = y0 .


138

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

D´ emonstration. Soit y(p) la solution approch´ee donn´ee par la m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;Euler en utilisant la subdivision avec pas constant h = T /p des intervalles [t0 , t0 + T ] et [t0 â&#x2C6;&#x2019;T, t0 ]. Cette solution est Îľp -approch´ee avec erreur Îľp â&#x2030;¤ Ď&#x2030;f ((M +1) T /p) tendant vers 0. Chaque application y(p) : [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ] â&#x2020;&#x2019; B(y0 , r0 ) est lipschitzienne de rapport M , donc dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es le th´eor`eme dâ&#x20AC;&#x2122;Ascoli on peut extraire de (y(p) ) une soussuite (y(pn ) ) convergeant uniform´ement vers une limite y. Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es la proposition 3 du § 2.3, y est une solution exacte de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E).

Corollaire â&#x20AC;&#x201C; Par tout point (t0 , y0 ) â&#x2C6;&#x2C6; U , il passe au moins une solution maximale y : I â&#x2020;&#x2019; Rm de (E). De plus, lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle de d´eďŹ nition I de toute solution maximale est ouvert (mais en g´en´eral, il nâ&#x20AC;&#x2122;y a pas unicit´e de ces solutions maximales).

On vient de voir en eďŹ&#x20AC;et quâ&#x20AC;&#x2122;il existe une solution locale z d´eďŹ nie sur un intervalle [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ]. Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es le th´eor`eme du § 1.3, z se prolonge en une solution maximale y = z : |a, b| â&#x2020;&#x2019; Rm . Si y ´etait d´eďŹ nie au point b, il existerait une solution y(1) : [b â&#x2C6;&#x2019; Îľ, b + Îľ] â&#x2020;&#x2019; Rm du probl`eme de Cauchy avec donn´ee initiale (b, y(b)) â&#x2C6;&#x2C6; U . La fonction y : |a, b + Îľ] â&#x2020;&#x2019; Rm co¨Ĺncidant avec y sur |a, b] et avec y(1) sur [b, b + Îľ] serait alors un prolongement strict de y, ce qui est absurde.

Exemple â&#x20AC;&#x201C;

Pour donner un exemple de non unicit´e, il suďŹ&#x192;t de consid´erer lâ&#x20AC;&#x2122;´equation y  = 3|y|2/3 . Le probl`eme de Cauchy de condition initiale y(0) = 0 admet alors au moins 2 solutions maximales : y(1) (t) = 0,

y(2) (t) = t3 ,

t â&#x2C6;&#x2C6; R.

        Nous allons voir ici une condition g´eom´etrique n´ecessaire et suďŹ&#x192;sante permettant dâ&#x20AC;&#x2122;aďŹ&#x192;rmer quâ&#x20AC;&#x2122;une solution est maximale.

Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; U un ouvert de R Ă&#x2014; Rm et y : I = [t0 , b[ â&#x2020;&#x2019; Rm une solution de

u f est une fonction continue sur U . Alors y(t) peut lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E) y  = f (t, y), o` se prolonger au del` a de b si et seulement si il existe un compact K â&#x160;&#x201A; U tel que la courbe t â&#x2020;&#x2019; (t, y(t)), t â&#x2C6;&#x2C6; [t0 , b[, reste contenue dans K.

Autrement dit, y est non prolongeable au del` a du temps b si et seulement si (t, y(t)) sâ&#x20AC;&#x2122;´echappe de tout compact K de U quand t â&#x2020;&#x2019; bâ&#x2C6;&#x2019; . La cons´equence suivante est imm´ediate.

Crit` ere de maximalit´ e â&#x20AC;&#x201C; Une solution y : ]a, b[ â&#x2020;&#x2019; Rm de (E) est maximale

si et seulement si t â&#x2020;&#x2019; (t, y(t)) sâ&#x20AC;&#x2122;´echappe de tout compact K de U quand t â&#x2020;&#x2019; a+ ou quand t â&#x2020;&#x2019; bâ&#x2C6;&#x2019; . Puisque les compacts sont les parties ferm´ees born´ees, ceci signiďŹ e encore que a-dire  (t, y(t)) sâ&#x20AC;&#x2122;approche du bord de U ou tend vers â&#x2C6;&#x17E;, câ&#x20AC;&#x2122;est-` |t| + y(t) + 1/d (t, y(t)), â&#x2C6;&#x201A;U ) â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; quand t â&#x2020;&#x2019; a+ ou t â&#x2020;&#x2019; bâ&#x2C6;&#x2019; . D´ emonstration du th´ eor` eme. La condition de prolongement est ´evidemment n´ecessaire, puisque si y(t) se prolonge a` [t0 , b], alors lâ&#x20AC;&#x2122;image du compact [t0 , b] par lâ&#x20AC;&#x2122;application continue t â&#x2020;&#x2019; (t, y(t)) est un compact K â&#x160;&#x201A; U .


´ V â&#x20AC;&#x201C; Equations diff´ erentielles. R ´ esultats fondamentaux

139

Inversement, supposons quâ&#x20AC;&#x2122;il existe un compact K de U tel que (t, y(t)) â&#x2C6;&#x2C6; K pour tout t â&#x2C6;&#x2C6; [t0 , b[. Posons M = sup f (t, y) < +â&#x2C6;&#x17E; (t,y)â&#x2C6;&#x2C6;K

qui est ďŹ ni par continuit´e de |f et compacit´e de K. Ceci entraË&#x2020;Äąne que t â&#x2020;&#x2019; y(t) est lipschitzienne sur [t0 , b[, donc uniform´ement continue, et le crit`ere de cauchy montre que la limite  = limtâ&#x2020;&#x2019;bâ&#x2C6;&#x2019; y(t) existe. Nous pouvons prolonger y par continuit´e en b en posant y(b) = , et nous avons (b, y(b)) â&#x2C6;&#x2C6; K â&#x160;&#x201A; U puisque K est ferm´e. La relation y  (t) = f (t, y(t)) montre alors que y est de classe C 1 sur [t0 , b]. Maintenant, le th´eor`eme dâ&#x20AC;&#x2122;existence locale des solutions implique quâ&#x20AC;&#x2122;il existe une solution locale z d probl`eme de Cauchy de donn´ee initiale z(b) =  = y(b) sur un intervalle [bâ&#x2C6;&#x2019;Îľ, b+Îľ]. On obtient alors un prolongement y de y sur [t0 , b + Îľ] en posant y(t) = z(t) pour t â&#x2C6;&#x2C6; [b, b + Îľ]. Le th´eor`eme est d´emontr´e.

           Reprenons les notations du d´ebut du § 2. On suppose ici en outre que f est localement lipschitzienne en y : cela signiďŹ e que pour tout point (t0 , y0 ) â&#x2C6;&#x2C6; U il existe un cylindre C0 = [t0 â&#x2C6;&#x2019; T0 , t0 + T0 ] Ă&#x2014; B(y0 , r0 ) â&#x160;&#x201A; U et une constante k = k(t0 , y0 ) â&#x2030;Ľ 0 tels que f soit k-lipschitzienne en y sur C0 :   â&#x2C6;&#x20AC;(t, y1 ), (t, y2 ) â&#x2C6;&#x2C6; C0 f (t, y1 ) â&#x2C6;&#x2019; f (t, y2 ) â&#x2030;¤ k y1 â&#x2C6;&#x2019; y2 .

Remarque â&#x20AC;&#x201C; Pour que f soit localement lipschitzienne en y sur U , il suďŹ&#x192;t que â&#x2C6;&#x201A;fi , 1 â&#x2030;¤ i, j â&#x2030;¤ m, continues sur U . Soit en eďŹ&#x20AC;et f admette des d´eriv´ees partielles â&#x2C6;&#x201A;y j    â&#x2C6;&#x201A;fi   A = max sup  (t, y) . â&#x2C6;&#x201A;y j 1â&#x2030;¤i,jâ&#x2030;¤m (t,y)â&#x2C6;&#x2C6;C0 Le nombre A est ďŹ ni puisque C0 est compact. Le th´eor`eme des accroissement ďŹ nis appliqu´es `a fi sur C0 donne fi (t, y1 ) â&#x2C6;&#x2019; fi (t, y2 ) =

 â&#x2C6;&#x201A;fi (t, Ξ)(y1,j â&#x2C6;&#x2019; y2,j ) â&#x2C6;&#x201A;yj j

avec Ξ â&#x2C6;&#x2C6; ]y1 , y2 [. On a donc max |fi (t, y1 ) â&#x2C6;&#x2019; f (t, y2 )| â&#x2030;¤ mA ¡ max |y1,j â&#x2C6;&#x2019; y2,j |. i

j

Sous ces hypoth`eses sur f , nous allons montrer que la solution du probl`eme de Cauchy est n´ecessairement unique, et que de plus toute suite de solutions Îľ-approch´ees avec Îľ tendant vers 0 converge n´ecessairement vers la solution exacte. Compte tenu de lâ&#x20AC;&#x2122;importance de ces r´esultats, nous donnerons ensuite une deuxi`eme d´emonstration assez diďŹ&#x20AC;´erente bas´ee sur le th´eor`eme du point ďŹ xe (chapitre IV, § 1.1).


140

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

                Soit C0 = [t0 â&#x2C6;&#x2019; T0 , t0 + T0 ] Ă&#x2014; B(y0 , r0 ) â&#x160;&#x201A; U un cylindre sur lequel f est k-lipschitzienne en y et soit M = supC0 f . On se donne Îľ > 0 et on consid`ere des solutions y(1) et y(2) respectivement Îľ1 -approch´ee et Îľ2 -approch´ee du probl`eme de Cauchy de donn´ee initiale (t0 , y0 ), avec Îľ1 , Îľ2 â&#x2030;¤ Îľ.  On a alors y(i) (t) â&#x2030;¤ M + Îľ, et un raisonnement analogue a` celui du § 2.1 montre que les graphes de y(1) , y(2) restent contenus dans le cylindre

C = [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ] Ă&#x2014; B(y, r0 ) â&#x160;&#x201A; C0   0 , ce quâ&#x20AC;&#x2122;on suppose d´esormais. d`es que T â&#x2030;¤ min T0 , Mr+Îľ

Lemme de Gronwall â&#x20AC;&#x201C; Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes, on a y(2) (t) â&#x2C6;&#x2019; y(1) (t) â&#x2030;¤ (Îľ1 + Îľ2 )

ek|tâ&#x2C6;&#x2019;t0 | â&#x2C6;&#x2019; 1 , k

â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2C6; [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ].

D´ emonstration. Quitte a` changer lâ&#x20AC;&#x2122;origine du temps on peut supposer t0 = 0 et, par exemple, t â&#x2C6;&#x2C6; [0, T ]. Posons alors 

t

v(t) = 0

y(2) (u) â&#x2C6;&#x2019; y(1) (u) du.

Comme y(i) satisfait lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle `a Îľi pr`es, on obtient par soustraction   y(2) (t) â&#x2C6;&#x2019; y(1) (t) â&#x2030;¤ f (t, y(2) (t) â&#x2C6;&#x2019; f (t, y(1) (t) + Îľ1 + Îľ2

â&#x2030;¤ k y(2) (t) â&#x2C6;&#x2019; y(1) (t) + Îľ1 + Îľ2 , en utilisant lâ&#x20AC;&#x2122;hypoth`ese que f est k-lipschitzienne en y. De plus  y(2) (t) â&#x2C6;&#x2019; y(1) (t) =

t 0

  (y(2) (u) â&#x2C6;&#x2019; y(1) (u))du

puisque y(2) (0) = y(1) (0) = y0 . On en d´eduit  y(2) (t) â&#x2C6;&#x2019; y(1) (t) â&#x2030;¤ k

t 0

y(2) (u) â&#x2C6;&#x2019; y(1) (u) du + (Îľ1 + Îľ2 )t

câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire v  (t) â&#x2030;¤ kv(t) + (Îľ1 + Îľ2 )t. Apr`es soustraction de kv(t) et multiplication par eâ&#x2C6;&#x2019;kt , on trouve (v  (t) â&#x2C6;&#x2019; kv(t))eâ&#x2C6;&#x2019;kt =

d (v(t)eâ&#x2C6;&#x2019;kt ) â&#x2030;¤ (Îľ1 + Îľ2 )teâ&#x2C6;&#x2019;kt . dt

(â&#x2C6;&#x2014;)


141

´ V â&#x20AC;&#x201C; Equations diff´ erentielles. R ´ esultats fondamentaux

GrË&#x2020; ace `a une nouvelle int´egration (noter que v(0) = 0), il vient v(t)e

â&#x2C6;&#x2019;kt

 â&#x2030;¤

t 0

(Îľ1 + Îľ2 )ueâ&#x2C6;&#x2019;ku du = (Îľ1 + Îľ2 )

v(t) â&#x2030;¤ (Îľ1 + Îľ2 )

1 â&#x2C6;&#x2019; (1 + kt)eâ&#x2C6;&#x2019;kt , k2

ekt â&#x2C6;&#x2019; (1 + kt) , k2

tandis que la premi`ere in´egalit´e int´egr´ee (â&#x2C6;&#x2014;) donne y(2) (t) â&#x2C6;&#x2019; y(1) (t) â&#x2030;¤ kv(t) + (Îľ1 + Îľ2 )t â&#x2030;¤ (Îľ1 + Îľ2 )

ekt â&#x2C6;&#x2019; 1 . k

Le cas o` u t â&#x2C6;&#x2C6; [â&#x2C6;&#x2019;T, 0] sâ&#x20AC;&#x2122;obtient par un changement de variable t â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;t.

Th´ eor` eme (Cauchy-Lipschitz) â&#x20AC;&#x201C; Si f : U â&#x2020;&#x2019; Rm est localement lipschitzienne en y, alors pour tout cylindre de s´ecurit´e C = [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ] Ă&#x2014; B(y0 , r0 ) comme ci-dessus, le probl`eme de Cauchy avec condition initiale (t0 , y0 ) admet une unique solution exacte y : [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ] â&#x2020;&#x2019; U . De plus, toute suite y(p) de solutions Îľp -approch´ees avec Îľp tendant vers 0 converge uniform´ement vers la solution exacte y sur [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ].

Existence. Soit y(p) une suite quelconque de solutions Îľp approch´ees avec lim Îľp = 0, par exemple celles fournies par la m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;Euler. Le lemme de Gronwall montre que d(y(p) , y(q) ) â&#x2030;¤ (Îľp + Îľq )

ekT â&#x2C6;&#x2019; 1 k

sur

[t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ],

par cons´equent y(p) est une suite de Cauchy uniforme. Comme les fonctions y(p) sont toutes a` valeurs dans B(y0 , r0 ) qui est un espace complet, y(p) converge vers une limite y. Cette limite y est une solution exacte de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E) dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es la proposition 3 du § 2.3. Unicit´ e. Si y(1) , y(2) sont deux solutions exactes, le lemme de Gronwall avec Îľ1 = Îľ2 = 0 montre que y(1) = y(2) .

             

  r0 un cylindre de Soit C = [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ] Ă&#x2014; B(y0 , r0 ) â&#x160;&#x201A; C0 avec T â&#x2030;¤ min T0 , M s´ecurit´e pour (E). Notons F = C([t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ], B(y0 , r0 )) lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des applications continues de [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ] dans B(y0 , r0 ), muni de la distance d de la convergence uniforme. A toute fonction y â&#x2C6;&#x2C6; F, associons la fonction Ď&#x2020;(y) d´eďŹ nie par 

t

Ď&#x2020;(y)(t) = y0 +

f (u, y(u))du, t0

t â&#x2C6;&#x2C6; [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T ].


142

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es le lemme du § 2.1, y est une solution de (E) si et seulement si y est un point ďŹ xe de Ď&#x2020;. On va donc essayer dâ&#x20AC;&#x2122;appliquer le th´eor`eme du point ďŹ xe. Observons que 4 t 4 4 4 f (u, y(u))du4 â&#x2030;¤ M |t â&#x2C6;&#x2019; t0 | â&#x2030;¤ M T â&#x2030;¤ r0 , Ď&#x2020;(y)(t) â&#x2C6;&#x2019; y0 = 4 t0

donc Ď&#x2020;(y) â&#x2C6;&#x2C6; F. Lâ&#x20AC;&#x2122;op´erateur Ď&#x2020; envoie donc F dans F. Soient maintenant y, z â&#x2C6;&#x2C6; F et y(p) = Ď&#x2020;p (y), z(p) = Ď&#x2020;p (z). On a 4 t 4 4 4 (f (u, y(u)) â&#x2C6;&#x2019; f (u, z(u))) du4 y(1) (t) â&#x2C6;&#x2019; z(1) (t) = 4 t0

 t    â&#x2030;¤ k y(u) â&#x2C6;&#x2019; z(u) du â&#x2030;¤ k|t â&#x2C6;&#x2019; t0 | d(y, z). t0

De mË&#x2020;eme  t    y(2) (t) â&#x2C6;&#x2019; z(2) (t) â&#x2030;¤  k y1 (u) â&#x2C6;&#x2019; z1 (u) du 0  t  |t â&#x2C6;&#x2019; t0 |2   â&#x2030;¤ d(y, z). k ¡ k|u â&#x2C6;&#x2019; t0 |d(y, z)du = k2 2 t0 Par r´ecurrence sur p, on v´eriďŹ e aussitË&#x2020; ot que y(p) (t) â&#x2C6;&#x2019; z(p) (t) â&#x2030;¤ kp

|t â&#x2C6;&#x2019; t0 |p d(y, z), p!

en particulier d(Ď&#x2020;p (y), Ď&#x2020;p (z)) = d(y(p) , z(p) ) â&#x2030;¤ p

p

kp T p d(y, z) p!

(â&#x2C6;&#x2014;) p

p

et Ď&#x2020;p est lipschitzienne de rapport k p!T sur F. Comme limpâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; k p!T = 0, il existe p p p assez grand tel que k p!T < 1 ; pour une telle valeur de p, Ď&#x2020;p est une application contractante de F dans F. Par ailleurs, F est un espace m´etrique complet. Le th´eor`eme du point ďŹ xe d´emontr´e au chapitre IV (dans sa version g´eneralis´ee au cas dâ&#x20AC;&#x2122;applications dont une it´er´ee est contractante) montre alors que Ď&#x2020; admet un point ďŹ xe unique y. Nous avons donc bien red´emontr´e le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz aďŹ&#x192;rmant lâ&#x20AC;&#x2122;existence et dâ&#x20AC;&#x2122;unicit´e de la solution du probl`eme de Cauchy.

Remarque â&#x20AC;&#x201C; Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es (â&#x2C6;&#x2014;), on voit que pour toute fonction z â&#x2C6;&#x2C6; F la suite it´er´ee z(p) = Ď&#x2022;p (z) converge uniform´ement vers la solution exacte y du probl`eme de Cauchy.     Le th´eor`eme dâ&#x20AC;&#x2122;unicit´e locale entraË&#x2020;Äąne facilement un r´esultat dâ&#x20AC;&#x2122;unicit´e globale, au moyen dâ&#x20AC;&#x2122;un  raisonnement de connexit´e .


´ V – Equations diff´ erentielles. R ´ esultats fondamentaux

143

Th´ eor` eme – Soient y(1) , y(2) : I → Rm deux solutions de (E), avec f localement lipschitzienne en y. Si y(1) et y(2) co¨ıncident en un point de I, alors y(1) = y(2) sur I.

D´ emonstration. Supposons y(1) (t0 ) = y(2) (t0 ) en un point t0 ∈ I. Montrons par exemple que y(1) (t) = y(2) (t) pour t ≥ t0 . S’il n’en est pas ainsi, consid´erons le u y(1) et y(2) bifurquent : premier instant  t0 o`  t0 = inf{t ∈ I ; t ≥ t0

et

y(1) (t) = y(2) (t)}

On a par d´efinition y(1) (t) = y(2) (t) pour t ∈ [t0 ,  t0 [ et par continuit´e il s’ensuit que     t0 + T]×B( y0 , r0 ) un cylindre y(1) (t0 ) = y(2) (t0 ). Soit y0 ce point et soit C = [t0 − T,  de s´ecurit´e de centre ( t0 , y0 ). Le th´eor`eme d’unicit´e locale implique que y(1) = y(2) sur [ t0 − T,  t0 + T], ce qui contredit la d´efinition de  t0 . L’unicit´e est d´emontr´ee.

Corollaire – Si f est localement lipschitzienne en y sur U , pour tout point (t0 , y0 ) ∈ U il passe une solution maximale y : I → Rm et une seule.

Interpr´ etation g´ eom´ etrique – Le th´eor`eme d’unicit´e signifie g´eom´etriquement que des courbes int´egrales distinctes ne peuvent se couper.

Exemple – y  = 3|y|2/3 sur U = R × R. D´eterminons l’ensemble des solutions maximales. On a ici f (t, y) = 3|y|2/3 , ∂f −1/3 pour y = 0. La d´eriv´ee y = 0 la d´eriv´ee ∂f ∂y = signe (y) × 2|y| ∂y est continue sur les demi-plans y > 0 et y < 0, mais discontinue en y = 0. La fonction f est localement lipschitzienne en y sur {y > 0} et {y < 0}, mais il est facile de voir qu’elle ne l’est pas au voisinage de tout point (t0 , 0) ∈ R × {0} (on a vu d’ailleurs qu’il n’y a pas d’unicit´e locale en ces points). Sur {y > 0} (resp. sur {y < 0}) l’´equation ´equivaut a` 1  −2 y y 3 = 1 (resp. 3 1

2 1  y (−y)− 3 = −1) 3

1

d’o` u y 3 = t + C1 (resp. (−y)− 3 = −(t + C2 )) soit y(t) = (t + Ci )3 . Si y est une solution maximale dans U = R × R, alors y  ≥ 0, donc y est croissante. Notons a = inf{t, y(t) = 0},

b = sup{t ; y(t) = 0}.

Si a = −∞, on a y(a) = 0 et y(t) < 0 pour t < a, donc y(t) = (t − a)3 . De mˆeme y(t) = (t − b)3 pour t > b si b = +∞.


144

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

y

(t0 , y0 )

a

a

b

t

On voit que pour tout point (t0 , y0 ) il passe une inďŹ nit´e de solutions maximales : si 1/3 y0 > 0, b = t0 â&#x2C6;&#x2019; y0 est impos´e, mais le choix de a â&#x2C6;&#x2C6; [â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, b] est arbitraire. Noter que ce ph´enom`ene se produit bien quâ&#x20AC;&#x2122;on ait unicit´e locale au point (t0 , y0 ) !

  

         

Nous donnons ici des conditions suďŹ&#x192;santes dâ&#x20AC;&#x2122;existence pour les solutions globales, reposant sur des hypoth`eses de croissance de f (t, y) lorsque y tend vers +â&#x2C6;&#x17E;. On peut cependant obtenir des conditions suďŹ&#x192;santes nettement plus faibles (voir lâ&#x20AC;&#x2122;exercice (b) ci-dessous, ainsi que le probl`eme 5.9).

Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; Soit f : U â&#x2020;&#x2019; Rm une application continue sur un ouvert produit

u J â&#x160;&#x201A; R est un intervalle ouvert. On fait lâ&#x20AC;&#x2122;une ou lâ&#x20AC;&#x2122;autre des deux U = J Ă&#x2014; Rm , o` hypoth`eses suivantes : (1) Il existe une fonction continue k : J â&#x2020;&#x2019; R+ telle que pour tout t â&#x2C6;&#x2C6; J ďŹ x´e, lâ&#x20AC;&#x2122;application y â&#x2020;&#x2019; f (t, y) soit lipschitzienne de rapport k(t) sur Rm . (2) Il existe des fonctions c, k : J â&#x2020;&#x2019; R+ continues telles que lâ&#x20AC;&#x2122;application y â&#x2020;&#x2019; f (t, y) satisfasse une croissance lin´eaire a ` lâ&#x20AC;&#x2122;inďŹ ni du type f (t, y) â&#x2030;¤ c(t) + k(t) y . Alors toute solution maximale de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle y  = f (t, y) est globale (câ&#x20AC;&#x2122;est-` a-dire d´eďŹ nie sur J tout entier ). D´ emonstration. Il est ´evident que lâ&#x20AC;&#x2122;hypoth`ese (1) entraË&#x2020;Äąne lâ&#x20AC;&#x2122;hypoth`ese (2) (avec c(t) = f (t, 0) ), il suďŹ&#x192;rait donc de donner la preuve pour (2). Cependant, il y a une d´emonstration sensiblement plus simple sous lâ&#x20AC;&#x2122;hypoth`ese (1). D´emonstration sous lâ&#x20AC;&#x2122;hypoth`ese (1). Soit (t0 , y0 ) â&#x2C6;&#x2C6; J Ă&#x2014; Rm , et [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T  ] un intervalle compact quelconque contenu dans J. Reprenons la d´emonstration du th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz.


145

´ V â&#x20AC;&#x201C; Equations diff´ erentielles. R ´ esultats fondamentaux

Comme U = J Ă&#x2014; Rm , on peut choisir un cylindre de s´ecurit´e de rayon r0 = +â&#x2C6;&#x17E;. Lâ&#x20AC;&#x2122;application Ď&#x2020; d´eďŹ nie au § 3.2 op`ere donc sur lâ&#x20AC;&#x2122;espace complet F = C([t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T  ], Rm ). Soit K=

max

tâ&#x2C6;&#x2C6;[t0 â&#x2C6;&#x2019;T,t0 +T  ]

k(t).

Lâ&#x20AC;&#x2122;application f est par hypoth`ese K-lipschitzienne en y sur [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T  ] Ă&#x2014; Rm . Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es le raisonnement du § 3.2, lâ&#x20AC;&#x2122;application Ď&#x2020;p est lipschitzienne de rapport 1 p  p p! K (max(T, T )) sur F, donc contractante pour p assez grand. Ceci implique que la solution (unique) du probl`eme de Cauchy est d´eďŹ nie sur tout intervalle [t0 â&#x2C6;&#x2019; T, t0 + T  ] â&#x160;&#x201A; J. D´emonstration sous lâ&#x20AC;&#x2122;hypoth`ese (2). Lâ&#x20AC;&#x2122;id´ee est dâ&#x20AC;&#x2122;utiliser le crit`ere de maximalit´e des solutions d´emontr´e au 2.6. Supposons quâ&#x20AC;&#x2122;on ait une solution y : [t0 , b[ â&#x2020;&#x2019; Rm avec t0 , b â&#x2C6;&#x2C6; J (autrement dit, telle que b ne soit pas la borne sup´erieure de J). Posons C = suptâ&#x2C6;&#x2C6;[t0 ,b] c(t) et K = suptâ&#x2C6;&#x2C6;[t0 ,b] k(t). Nous obtenons y  (t) = f (t, y(t)) â&#x2030;¤ C + K y(t) . On utilise alors un raisonnement de type lemme de Gronwall pour majorer la t norme y(t) . Nous avons y(t) = y(t0 ) + t0 y  (u) du, donc 

t

y(t) â&#x2030;¤ v(t) = y(t0 ) +

y  (u) du

avec

t0

v  (t) = y  (t) â&#x2030;¤ C + K y(t) â&#x2030;¤ C + Kv(t). Ceci donne la majoration    d v(t)eâ&#x2C6;&#x2019;K(tâ&#x2C6;&#x2019;t0 ) = v  (t) â&#x2C6;&#x2019; K v(t) eâ&#x2C6;&#x2019;K(tâ&#x2C6;&#x2019;t0 ) â&#x2030;¤ Ceâ&#x2C6;&#x2019;K(tâ&#x2C6;&#x2019;t0 ) . dt Par int´egration sur [t0 , t], on obtient v(t)eâ&#x2C6;&#x2019;K(tâ&#x2C6;&#x2019;t0 ) â&#x2C6;&#x2019; v(t0 ) â&#x2030;¤

C (1 â&#x2C6;&#x2019; eâ&#x2C6;&#x2019;K(tâ&#x2C6;&#x2019;t0 ) ), K

et comme v(t0 ) = y(t0 ) , il vient sup y(t) â&#x2030;¤ sup v(t) â&#x2030;¤ R = tâ&#x2C6;&#x2C6;[t0 ,b[

tâ&#x2C6;&#x2C6;[t0 ,b[

 C  K(bâ&#x2C6;&#x2019;t0 ) e â&#x2C6;&#x2019; 1 + y(t0 ) eK(bâ&#x2C6;&#x2019;t0 ) . K

Par cons´equent (t, y(t)) d´ecrit une partie compacte K = [t0 , b] Ă&#x2014; B(0, R) dans U = J Ă&#x2014; Rm , et y ne peut Ë&#x2020;etre une solution maximale. Toute solution maximale est donc globale. Le lecteur pourra ´etudier lâ&#x20AC;&#x2122;exercice 5.9 pour un g´en´eralisation a` une hypoth`ese de croissance plus faible  que (2), tenant compte uniquement de la  direction radiale  du vecteur f (t, y) .


146

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Exercices

(a) Montrer que toute solution maximale de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle y  = t t2 + y 2 , (t, y) â&#x2C6;&#x2C6; R Ă&#x2014; R, est globale.

(b) On d´eďŹ nit f : R â&#x2020;&#x2019; R par f (y) = e si y â&#x2030;¤ e et f (y) = y ln y si y â&#x2030;Ľ e. Montrer que f nâ&#x20AC;&#x2122;est pas lipschitzienne au voisinage de 0. D´eterminer explicitement les solutions maximales de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation y  = f (y). Les conditions suďŹ&#x192;santes du th´eor`eme pr´ec´edent sont-elles n´ecessaires ?

              

   

  Un syst`eme diďŹ&#x20AC;´erentiel dâ&#x20AC;&#x2122;ordre p dans Rm est une ´equation de la forme (E)

y (p) = f (t, y, y  , . . . , y (pâ&#x2C6;&#x2019;1) )

o` u f : U â&#x2020;&#x2019; Rm est une application continue d´eďŹ nie sur un ouvert U â&#x160;&#x201A; R Ă&#x2014; (Rm )p . Une solution de (E) sur un intervalle I â&#x160;&#x201A; R est une application y : I â&#x2020;&#x2019; Rm p-fois d´erivable, telle que (i) (â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2C6; I) (t, y(t), y  (t), . . . , y (pâ&#x2C6;&#x2019;1) (t)) â&#x2C6;&#x2C6; U , (ii) (â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2C6; I) y (p) (t) = f (t, y(t), y(t ), . . . , y (pâ&#x2C6;&#x2019;1) (t)). Le r´esultat suivant se d´emontre par r´ecurrence dâ&#x20AC;&#x2122;une mani`ere enti`erement analogue a celle utilis´ee pour les ´equations diďŹ&#x20AC;´erentielles dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 1. Le d´etail de lâ&#x20AC;&#x2122;argument ` est laiss´e au lecteur.

R´ egularit´ e des solutions â&#x20AC;&#x201C; Si f est de classe C k , les solutions y sont de classe C k+p .

       

    

 Il est clair que le syst`eme (E) est ´equivalent au syst`eme diďŹ&#x20AC;´erentiel dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 1  dY0  dt = Y1    dY1    dt = Y2 ... (E1 )   dYpâ&#x2C6;&#x2019;2  = Ypâ&#x2C6;&#x2019;1  dt    dYpâ&#x2C6;&#x2019;1 = f (t, Y0 , Y1 , . . . , Ypâ&#x2C6;&#x2019;1 ) dt si lâ&#x20AC;&#x2122;on pose Y0 = y, Y1 = y  , . . .. Le syst`eme (E1 ) peut encore sâ&#x20AC;&#x2122;´ecrire (E1 ) avec

Y  = F (T, Y ) Y = (Y0 , Y1 , . . . , Ypâ&#x2C6;&#x2019;1 ) â&#x2C6;&#x2C6; (Rm )p F = (F0 , F1 , . . . , Fpâ&#x2C6;&#x2019;1 ) : U â&#x2020;&#x2019; (Rm )p F0 (t, Y ) = Y1 , . . . , Fpâ&#x2C6;&#x2019;2 (t, Y ) = Ypâ&#x2C6;&#x2019;1 , Fpâ&#x2C6;&#x2019;1 (t, Y ) = f (t, Y ).


´ V â&#x20AC;&#x201C; Equations diff´ erentielles. R ´ esultats fondamentaux

147

Tout syst`eme diďŹ&#x20AC;´erentiel (E) dâ&#x20AC;&#x2122;ordre p dans Rm est donc ´equivalent a` un syst`eme diďŹ&#x20AC;´erentiel (E1 ) dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 1 dans (Rm )p . Il en r´esulte que les th´eor`emes dâ&#x20AC;&#x2122;existence et dâ&#x20AC;&#x2122;unicit´e d´emontr´es pour les syst`emes dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 1 sont encore vrais pour les syst`emes dâ&#x20AC;&#x2122;ordre p, avec des preuves qui sont des transpositions directes du cas dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 1. En voici les principaux ´enonc´es :

 

    Pour tout point (t0 , y0 , y1 , . . . , ypâ&#x2C6;&#x2019;1 ) â&#x2C6;&#x2C6; U le probl`eme de Cauchy de conditions initiales y(t0 ) = y0 , y  (t0 ) = y1 , . . . , y (pâ&#x2C6;&#x2019;1) (t0 ) = ypâ&#x2C6;&#x2019;1 admet au moins une solution maximale y : I â&#x2020;&#x2019; Rm , d´eďŹ nie sur un intervalle ouvert.

Remarque tr` es importante â&#x20AC;&#x201C; On voit ainsi que pour un syst`eme dâ&#x20AC;&#x2122;ordre p, la condition initiale requiert non seulement la donn´ee de la valeur y0 de y au temps t0 , mais ´egalement la donn´ee de ses (p â&#x2C6;&#x2019; 1) premi`eres d´eriv´ees.

 

       Si de plus f est localement lipschitzienne en (y0 , . . . , ypâ&#x2C6;&#x2019;1 ) sur U , câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire si â&#x2C6;&#x20AC;(t0 , y0 , . . . , ypâ&#x2C6;&#x2019;1 ) â&#x2C6;&#x2C6; U il existe un voisinage [t0 â&#x2C6;&#x2019; T0 , t0 + T0 ] Ă&#x2014; B(y0 , r0 ) Ă&#x2014; . . . Ă&#x2014; B(ypâ&#x2C6;&#x2019;1 , rpâ&#x2C6;&#x2019;1 ) contenu dans U sur lequel f (t, z0 , . . . , zpâ&#x2C6;&#x2019;1 ) â&#x2C6;&#x2019; f (t, w0 , . . . , wpâ&#x2C6;&#x2019;1 ) â&#x2030;¤ k( z0 â&#x2C6;&#x2019; w0 + . . . + zpâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; wpâ&#x2C6;&#x2019;1 ), alors le probl`eme de Cauchy 4.3 admet une solution maximale et une seule.

   Si U = J Ă&#x2014; (Rm )p et sâ&#x20AC;&#x2122;il existe une fonction k : J â&#x2020;&#x2019; R+ continue telle que (â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2C6; J) f (t, z0 , . . . , zpâ&#x2C6;&#x2019;1 ) â&#x2C6;&#x2019; f (t, w0 , . . . , wpâ&#x2C6;&#x2019;1 ) â&#x2030;¤ k(t)( z0 â&#x2C6;&#x2019; w0 + . . . + zpâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; wpâ&#x2C6;&#x2019;1 ), alors les solutions maximales sont d´eďŹ nies sur J tout entier.

   5.1. On consid`ere lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle y  = y 2 â&#x2C6;&#x2019; x. (a) Quelles sont les lignes isoclines ? On notera I0 lâ&#x20AC;&#x2122;isocline correspondant a` la pente nulle. u la pente des solutions est strictement Soit Pâ&#x2C6;&#x2019; lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des points du plan o` n´egative. D´ecrire Pâ&#x2C6;&#x2019; . Montrer que si une solution entre dans Pâ&#x2C6;&#x2019; , alors elle y


148

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

reste (c’est-`a-dire : si une solution y(x) a un point (x0 , y(x0 )) dans P− , alors si x1 > x0 , (x1 , y(x1 )) ∈ P− ). ´ (b) Etudier et tracer le graphe de la courbe I ensemble des points d’inflexion des solutions de l’´equation diff´erentielle. Quelles sont les r´egions du plan o` u y  > 0,  respectivement y < 0 ? On notera I1 la partie de I ext´erieure `a P− , et I2 la partie de I qui se trouve dans P− . (c) Soit C une courbe solution rencontrant I1 en un point (x, y). (α) Montrer qu’en ce point, la pente de I1 est strictement inf´erieure `a la pente de C. (β) En d´eduire que C ne coupe I1 qu’en ce point, que C ne rencontre pas P− , et que C n’a qu’un point d’inflexion. (γ) Montrer que C poss`ede 2 branches infinies a` direction asymptotique verticale. (δ) Soit (x0 , y0 ) un point de C. Comparer en ce point, la pente de C et la 2 pente de la solution de l’´equation diff´erentielle y  = y2 . En d´eduire que les branches infinies de C correspondent a` des asymptotes verticales. (d) Soit D une courbe solution rencontrant I0 . (α) Montrer que D poss`ede une asymptote verticale. (β) Montrer que D a un point d’inflexion et un seul. (γ) Montrer que lorsque x → ∞, D est asymptote `a I0 . (e) Soit A (resp. B) l’ensemble des points de l’axe Oy par o` u passe une courbe solution qui rencontre I1 (resp. I0 ). (α) Montrer qu’il existe a tel que A = {0} × ]a, +∞[. (β) Montrer qu’il existe b tel que B = {0} × ] − ∞, b[. (γ) Montrer que a = b. Quelle est l’allure de la solution passant par le point de coordonn´ees (0, a) ? 5.2. On consid`ere l’´equation diff´erentielle y  = f (t, y), o` u f et ∂f ∂y sont continues. u t1 peut ´eventuellement Soit α une fonction r´eelle d´efinie sur un intervalle [t0 , t1 [ o` ˆetre infini ; on suppose α continue et d´erivable par morceaux. On dit que α est une barri`ere inf´erieure [respectivement : sup´erieure] pour l’´equation diff´erentielle si α (t) < f (t, α(t)) [resp : α (t) > f (t, α(t))] pour tout t tel que α (t) existe, et, aux points o` u α n’est pas d´erivable, pour la d´eriv´ee `a gauche et pour la d´eriv´ee `a droite. (a) Montrer que si α est une barri`ere inf´erieure pour t0 ≤ t ≤ t1 et si u est une solution de l’´equation diff´erentielle v´erifiant α(t0 ) ≤ u(t0 ), alors α(t) < u(t) pour tout t ∈ ]t0 , t1 [. Montrer un r´esultat analogue pour une barri`ere sup´erieure.


´ V – Equations diff´ erentielles. R ´ esultats fondamentaux

149

(b) On suppose que α est une barri`ere inf´erieure sur [t0 , t1 [, que β est une barri`ere sup´erieure sur [t0 , t1 [, et que α(t) < β(t) pour tout t ∈ [t0 , t1 [. L’ensemble des points (t, x) tels que t0 ≤ t ≤ t1 et α(t) ≤ x ≤ β(t) est appel´e entonnoir. (α) Montrer que si une solution u de l’´equation diff´erentielle est telle que (s, u(s)) soit dans l’entonnoir pour un s ∈ [t0 , t1 [, alors (t, u(t)) est dans l’entonnoir pour tout t ∈ [s, t1 [. (β) Si α est une barri`ere inf´erieure et β une barri`ere sup´erieure, et si α(t) > β(t) pour t ∈ [t0 , t1 [, on dit que l’ensemble des (t, x) tels que t0 ≤ t ≤ t1 et α(t) ≥ x ≥ β(t) est un anti-entonnoir. Montrer qu’il existe une solution u(t) de l’´equation diff´erentielle, telle que β(t) ≤ u(t) ≤ α(t) pour tout t ∈ [t0 , t1 [. (c) Dans la suite du probl`eme, on prend f (t, y) = sin(ty). On se restreindra aux solutions v´erifiant y > 0. (α) D´eterminer les isoclines correspondant aux pentes −1, 0, 1. (β) Pour quelles valeurs de t ces isoclines sont-elles des barri`eres inf´erieures ? sup´erieures ? Quels sont les entonnoirs form´es par ces isoclines ? (γ) Soit u une solution de l’´equation diff´erentielle ; soit γ la fonction continue, d´erivable par morceaux, d´efinie pour t ≥ 0 par : γ(0) = u(0) > 0 ; γ est affine de pente 1 depuis t = 0 jusqu’` a ce que son graphe rencontre la premi`ere isocline de pente 0, puis γ est affine de pente 0 jusqu’` a l’isocline de pente 0 suivante, puis γ est affine de pente 1 jusqu’` a l’isocline de pente 0 suivante, et ainsi de suite. Montrer que le graphe de γ rencontre la droite y = t. (δ) Montrer que γ est une barri`ere sup´erieure. (ε) En d´eduire que toute solution de l’´equation diff´erentielle rencontre la droite y = t, puis reste dans un entonnoir. (ζ) Dessiner l’allure des solutions de l’´equation diff´erentielle y  = sin(ty). 5.3. On consid`ere l’´equation (appel´ee ´equation de Van der Pol) :   x (t) = y(t) − x3 (t) + x(t), t ∈ R. (E) y  (t) = −x(t), (a) Montrer que le probl`eme de Cauchy correspondant admet une solution globale unique (on pourra utiliser le r´esultat de l’exercice 5.9). (b) On appelle trajectoire associ´ee `a une solution de (E), l’ensemble parcouru dans le plan Euclidien par le point de coordonn´ees (x(t), y(t)) lorsque t parcourt R. Montrer que les trajectoires associ´ees `a deux solutions distinctes de (E) co¨ıncident ou n’ont aucun point commun ; montrer que par chaque point du plan passe une trajectoire et une seule ; montrer que si une trajectoire a un point double (c’est-` a-dire correspondant a` deux valeurs distinctes de t), les solutions associ´ees de (E) sont p´eriodiques (et tous les points sont alors doubles). Quelles sont les trajectoires r´eduites `a un point ?


150

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

(c) Montrer que la courbe sym´etrique dâ&#x20AC;&#x2122;une trajectoire par rapport a` (0, 0) est encore une trajectoire. (d) On consid`ere maintenant les sous-ensembles du plan D+ = {(0, y) ; y > 0);

Dâ&#x2C6;&#x2019; = {(0, y) ; y < 0} ;

E1 = {(x, y) ; x > 0 et

y > x3 â&#x2C6;&#x2019; x)};

E2 = {(x, y) ; x > 0 et

y < x3 â&#x2C6;&#x2019; x} ;

E3 = {(x, y) ; x < 0 et

y < x3 â&#x2C6;&#x2019; x};

E4 = {(x, y) ; x < 0 et

y > x3 â&#x2C6;&#x2019; x}.

Î&#x201C;+ = {(x, x3 â&#x2C6;&#x2019; x) ; x > 0)} ; Î&#x201C;â&#x2C6;&#x2019; = {(x, x3 â&#x2C6;&#x2019; x) ; x < 0} ;

Soit (x(t), y(t)) une solution de (E) ; montrer que, si (x(t0 ), y(t0 )) â&#x2C6;&#x2C6; D+ , il existe t4 > t3 > t2 > t1 > t0 tels que (x(t), y(t)) â&#x2C6;&#x2C6; Ei pour t â&#x2C6;&#x2C6; ]tiâ&#x2C6;&#x2019;1 , ti [, i = 1, 2, 3, 4, et (x(t1 ), y(t1 )) â&#x2C6;&#x2C6; Î&#x201C;+ , (x(t2 ), y(t2 )) â&#x2C6;&#x2C6; Dâ&#x2C6;&#x2019; , (x(t3 ), y(t3 )) â&#x2C6;&#x2C6; Î&#x201C;â&#x2C6;&#x2019; ; (x(t4 ), y(t4 )) â&#x2C6;&#x2C6; D+ . (e) Soit y0 > 0 et t0 â&#x2C6;&#x2C6; R ; il existe une solution de (E) telle que (x(t0 ), y(t0 )) = (0, y0 ) ; on pose Ď&#x192;(y0 ) = y(t2 ) ; montrer que Ď&#x192;(y0 ) ne d´epend que de y0 (et non de t0 ) et que Ď&#x192; est une application monotone continue de R+ dans Râ&#x2C6;&#x2019; . (f) En utilisant le (c), montrer que (0, y0 ) appartient a` la trajectoire dâ&#x20AC;&#x2122;une solution p´eriodique si et seulement si Ď&#x192;(y0 ) = â&#x2C6;&#x2019;y0 . (g) Soit β > 0 tel que pour la solution de (E) v´eriďŹ ant (x(t0 ), y(t0 )) = (0, β) on ait (x(t1 ), y(t1 )) = (1, 0). Montrer que pour y0 < β, on a Ď&#x192;(y0 )2 â&#x2C6;&#x2019; y02 > 0 (regarder  t2 d [x(t)2 + y(t)2 ]dt). dt t0 (h) Soit y0 grand. Soit C la courbe form´ee des arcs suivants : â&#x20AC;˘ le segment (0, y0 ), (1, y0 ) ; â&#x20AC;˘ lâ&#x20AC;&#x2122;arc de cercle de centre O passant par (1, y0 ) et coupant (y = x3 â&#x2C6;&#x2019; x) en (x1 , y1 ) avec x1 > 1. â&#x20AC;˘ le segment (x1 , y1 ), (x1 , 0). â&#x20AC;˘ lâ&#x20AC;&#x2122;arc de cercle de centre O passant par (x1 , 0) et coupant (x = 1) en (x1 , y1 ). â&#x20AC;˘ la tangente en (x1 , y1 ) a` cet arc de cercle qui recoupe Oy en (0, y2 ). Montrer que la solution de (E) passant par (0, y0 ) est `a lâ&#x20AC;&#x2122;int´erieur de C. En d´eduire que Ď&#x192;(y0 )2 â&#x2C6;&#x2019; y02 < 0. (i) En d´eduire quâ&#x20AC;&#x2122;il existe une trajectoire et une seule correspondant a` des solutions p´eriodiques de (E). Montrer que les trajectoires non r´eduites `a (0, 0) convergent asymptotiquement vers cette trajectoire quand t tend vers +â&#x2C6;&#x17E;. 5.4. Soit t une variable r´eelle â&#x2030;Ľ 0. On consid`ere le probl`eme de Cauchy y  = ty,

y(0) = 1.


151

´ V – Equations diff´ erentielles. R ´ esultats fondamentaux

(a) D´emontrer que pour tout T > 0, ce probl`eme admet une solution et une seule sur [0, T ], et indiquer comment la m´ethode d’Euler permet d’en trouver une approximation. (b) D´eduire de ce qui pr´ec`ede la formule

y(t) =

lim PN (t) avec PN (t) =

N →+∞

N −1  

1+

n=0

nt2  N2

(c) Pour α > 0, ´etudier les variations de la fonction f (x) = x ln (1 + α/x) sur ]0, +∞[ ; on montrera que f  (x) < 0. En d´eduire l’encadrement  1+

 t2  Nn nt2 t2 n ≤1+ 2 ≤ 1+ 2 N N N

si 0 ≤ n ≤ N − 1.

(d) Calculer la limite du (b), et en d´eduire y(t). 5.5. On consid`ere l’´equation diff´erentielle y  = |y|−3/4 y + t sin

π  t

= f (t, y)

o` u le second membre est d´efini sur R2 `a l’aide de prolongements par continuit´e. On note Y (t) la solution approch´ee d´efinie sur R, obtenue par la m´ethode d’Euler pour 1 o` u n ∈ N∗ , et v´erifiant Y (0) = 0. On suppose dans un premier le pas h = n+1/2 temps que n est pair. (a) Calculer Y (h), Y (2h) et Y (3h). D´emontrer les in´egalit´es Y (3h) >

h3/2 2

>

(3h)3/2 16 .

(b) D´eterminer c > 0 tel que 0 < t < c on ait de plus h ≤ t et c assez petit v´erifier la formule de Taylor).

(t+h)

1 2

3/2

t3/8 − t > 3/2

−t

h

<

8 5

1 3/8 . 10 t 3/8

t

(c) On suppose que pour m ∈ N∗ on a mh < c et Y (m, h) >

En supposant

(on pourra utiliser

(mh)3/2 . 16

D´emontrer les in´egalit´es f (mh, Y (mh)) > Y (mh)1/4 − mh > En d´eduire Y ((m + 1)h) >

1 1 (mh)3/8 − mh > (mh)3/8 . 2 10

((m+1)h)3/2 . 16

Montrer que si p entier v´erifie 0 < ph ≤ c, on a Y (ph) >

(ph)3/2 . 16


152

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

(d) On suppose ici que n est impair. Calculer Y (h), Y (2h) et Y (3h). Montrer 3/2

lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e Y (3h) < â&#x2C6;&#x2019; (3h) 16

. 3/2

On suppose que pour mh < c on a Y (mh) < â&#x2C6;&#x2019; (mh) 16 dessus que Y ((m + 1)h) < entier p tel que 0 < ph â&#x2030;¤ c.

3/2 â&#x2C6;&#x2019; ((m+1)h) , 16

; montrer comme ci3/2

puis que Y (ph) < â&#x2C6;&#x2019; (ph) 16

pour tout

(e) Pour 0 < t < c, montrer que les solutions approch´ees Y (t) ne tendent vers aucune limite n tend vers +â&#x2C6;&#x17E;. 5.6. Soit le syst`eme diďŹ&#x20AC;´erentiel dans R2 d´eďŹ ni par

(S)

 dx   = 2(x â&#x2C6;&#x2019; ty)  dt    dy = 2y. dt

(a) D´eterminer la courbe int´egrale qui passe par le point (x0 , y0 ) au temps t = 0. (b) On utilise la m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;Euler avec pas constant h, d´emarrant au temps t0 = 0. Soit (xn , yn ) le point atteint au temps tn = nh (n â&#x2C6;&#x2C6; N). ´ (Îą) Ecrire la relation qui lie (xn+1 , yn+1 ) a` (xn , yn ). (β) Calculer explicitement (xn , yn ) en fonction de n, h, x0 , y0 . (Îł) Sans utiliser les th´eor`emes g´en´eraux du cours, v´eriďŹ er que la solution approch´ee qui interpole lin´eairement les points (xn , yn ) converge sur R+ vers la solution exacte de (S). 5.7. Soit f : [a, b] Ă&#x2014; R â&#x2020;&#x2019; R une fonction continue et lipschitzienne de rapport k en sa deuxi`eme variable. On d´eďŹ nit une suite de fonctions yn : [a, b] â&#x2020;&#x2019; R en posant y0 (t) = Îť et  t yn+1 (t) = Îť + f (u, yn (u))du, n â&#x2C6;&#x2C6; N. a

On sait dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es V 3.2 que yn converge uniform´ement vers la solution exacte de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation y  = f (t, y) telle que y(a) = Îť. On ´etudie ici le cas particulier de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation dy = â&#x2C6;&#x2019;2y + t, t â&#x2C6;&#x2C6; [0, +â&#x2C6;&#x17E;[. dt (a) Montrer que yn peut sâ&#x20AC;&#x2122;´ecrire sous la forme yn (t) = ÎťPn (t) + Qn (t) omes que lâ&#x20AC;&#x2122;on explicitera. o` u Pn , Qn sont des polynË&#x2020; (b) Calculer limnâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; Pn et limnâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; Qn . V´eriďŹ er ce r´esultat en r´esolvant directement lâ&#x20AC;&#x2122;´equation.


153

´ V â&#x20AC;&#x201C; Equations diff´ erentielles. R ´ esultats fondamentaux

5.8. Soit T un r´eel positif et f : [0, T ] Ă&#x2014; R â&#x2020;&#x2019; R une application continue lipschitzienne de rapport k en la deuxi`eme variable. On consid`ere lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle y  = f (t, y).

(E)

Soit un r´eel h â&#x2C6;&#x2C6; ]0, T [. On dira que z est une solution retard´ee de retard h si z est une fonction continue sur [0, T ], d´erivable sur ]h, T ] et si z  (t) = f (t, z(t â&#x2C6;&#x2019; h)),

â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2C6; ]h, T ].

(a) Soit y0 un r´eel ďŹ x´e. Montrer que (E) admet une solution retard´ee de retard h et une seule, not´ee zh , telle que zh (t) = y0 pour tout t â&#x2C6;&#x2C6; [0, h]. (b) Soit z une solution retard´ee de retard h. On pose A = max |f (t, 0)|,

m(t) = max |z(u)|.

tâ&#x2C6;&#x2C6;[0,T ]

uâ&#x2C6;&#x2C6;[0,t]

(Îą) Montrer que pour tout t â&#x2C6;&#x2C6; [h, T ] on a 

t

m(t) â&#x2030;¤ m(h) +

(A + km(u))du. h

(β) En d´eduire que m(t) â&#x2030;¤

A

 A + m(h) ek(tâ&#x2C6;&#x2019;h) â&#x2C6;&#x2019; , k k

â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2C6; [h, T ].

[Indication : ´etudier la d´eriv´ee de la fonction M (t) = eâ&#x2C6;&#x2019;kt

t (A h

+ km(u))du.]

(Îł) Montrer quâ&#x20AC;&#x2122;il existe une constante B ind´ependante de h, que lâ&#x20AC;&#x2122;on explicitera, telle que zh â&#x2C6;&#x17E; â&#x2030;¤ B pour tout h > 0, si zh d´esigne la solution retard´ee du (a). (c) On se propose ici dâ&#x20AC;&#x2122;´etudier la convergence de zh quand h tend vers 0. (Îą) Montrer que les fonctions zh sont C-lipschitziennes avec une constante C ind´ependante de h. (β) Soit y la solution exacte (non retard´ee) de (E) telle que y(0) = y0 . On pose δ(t) = max |zh (u) â&#x2C6;&#x2019; y(u)|. uâ&#x2C6;&#x2C6;[0,t]

Montrer que δ v´eriďŹ e lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e int´egrale 

t

δ(t) â&#x2030;¤ δ(h) +

(kCh + kδ(u))du. h

o` u C est la constante de la question (c) Îą).


154

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

(Îł) En d´eduire une majoration de δ â&#x2C6;&#x17E; et conclure. (d) On construit maintenant une m´ethode de r´esolution approch´ee de (E) utilisant les solutions retard´ees zh . Pour tout entier n â&#x2C6;&#x2C6; N, n â&#x2030;¤ T /h, on pose tn = nh, dans la formule



zn = zh (tn ) ; tn+1

zn+1 = zn +

f (t, zh (t â&#x2C6;&#x2019; h))dt

tn

on remplace la valeur exacte de lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale par sa valeur approch´ee calcul´ee au moyen de la m´ethode des trap`ezes ´el´ementaires. ´ (Îą) Ecrire la relation de r´ecurrence d´eďŹ nissant la suite (zn ). (β) Exprimer lâ&#x20AC;&#x2122;erreur de consistance relative `a une solution exacte y ; en calculer un d´eveloppement limit´e `a lâ&#x20AC;&#x2122;ordre 2 en fonction de h et des d´eriv´ees partielles de f au point (t, y). Quel est lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de la m´ethode ? (voir chapitre VIII pour les d´eďŹ nitions). 5.9. Soit J un intervalle ouvert de R et f : J Ă&#x2014; Rm â&#x2020;&#x2019; Rm une application continue. On se propose de d´emontrer que toute solution maximale de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle y  = f (t, y) est globale si f v´eriďŹ e lâ&#x20AC;&#x2122;hypoth`ese suivante : (H) Il existe des fonctions a, b : I â&#x2020;&#x2019; R+ continues telles que f (t, y), y â&#x2030;¤ a(t) y 2 + b(t),

â&#x2C6;&#x20AC;(t, y) â&#x2C6;&#x2C6; J Ă&#x2014; Rm ,

o` u  ,  et d´esignent respectivement le produit scalaire et la norme euclidienne standards sur Rm . (a) Soit y : [t0 , t1 [ â&#x2020;&#x2019; Rm une solution maximale a` droite passant par un point (t0 , y0 ) et soit r(t) = y(t) 2 . Montrer que r (t) â&#x2030;¤ 2a(t)r(t) + 2b(t). En d´eduire que y(t) 2 â&#x2030;¤ Ď (t) o` u Ď : J â&#x2020;&#x2019; R est la solution (toujours globale) de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation lin´eaire Ď  = 2a(t)Ď + 2b(t), telle que Ď (t0 ) = y0 2 . [Indication : soit A(t) une primitive de a(t) ; ´etudier le signe de la d´eriv´ee de (r(t) â&#x2C6;&#x2019; Ď (t))eâ&#x2C6;&#x2019;2A(t) . (b) D´eterminer un majorant explicite de y(t) lorsque a et b sont des constantes. (c) On suppose que t1 < sup J. Montrer que y(t), y  (t) sont born´ees sur [t0 , t1 [ et que ces fonctions se prolongent par continuit´e en t1 . Montrer que ceci conduit a une contradiction. Conclure. `




               On se propose dâ&#x20AC;&#x2122;´etudier un certain nombre de types classiques dâ&#x20AC;&#x2122;´equations diďŹ&#x20AC;´erentielles du premier et du second ordre pour lesquelles on sait ramener le calcul des solutions `a des calculs de primitives. Ceci fournira lâ&#x20AC;&#x2122;occasion dâ&#x20AC;&#x2122;illustrer les r´esultats g´en´eraux du chapitre V par des exemples.

  

    





    On consid`ere une ´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle (E)

dy = f (x, y) dx

o` u f : U â&#x2020;&#x2019; R est une fonction continue sur un ouvert U â&#x160;&#x201A; R2 , localement lipschitzienne en y. Les diďŹ&#x20AC;´erentes solutions de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E) sâ&#x20AC;&#x2122;´ecrivent en g´en´eral sous la forme y = Ď&#x2022;(x, Îť) o` u Îť est un param`etre r´eel : on dit parfois que la solution  g´en´erale  d´epend dâ&#x20AC;&#x2122;un seul param`etre. Pour comprendre ce ph´enom`ene, il suďŹ&#x192;t dâ&#x20AC;&#x2122;appliquer le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz : si on cherche les solutions d´eďŹ nies au voisinage dâ&#x20AC;&#x2122;un point x0 , on sait quâ&#x20AC;&#x2122;il existe une solution y et une seule telle que y(x0 ) = y0 ; on peut donc choisir Îť = y0 pour param´etrer les solutions. Dans la pratique, le param`etre Îť apparaË&#x2020;Äąt souvent comme constante dâ&#x20AC;&#x2122;int´egration. Il arrive parfois quâ&#x20AC;&#x2122;en plus de la solution g´en´erale on ait des solutions particuli`eres y = Ď&#x2C6;0 (x), y = Ď&#x2C6;1 (x), . . . qui ne sâ&#x20AC;&#x2122;obtiennent pour aucune valeur de Îť : on dit que ce sont des solutions singuli`eres (ou courbes int´egrales singuli`eres) de (E).


156

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

On va maintenant d´ecrire une situation un peu plus g´en´erale qui se ram`ene au cas dâ&#x20AC;&#x2122;une ´equation du type consid´er´e ci-dessus.

Syst` emes diďŹ&#x20AC;´ erentiels autonomes dans un ouvert U â&#x160;&#x201A; R2 â&#x20AC;&#x201C; On suppose donn´e un champ de vecteurs dans U , câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire une application continue     x a(x, y) â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; M â&#x2020;&#x2019; V (M ) , M â&#x2C6;&#x2C6; U. y b(x, y) â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; On appelle syst`eme autonome associ´e au champ de vecteurs V (M ) le syst`eme diďŹ&#x20AC;´erentiel  dx   = a(x, y) â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;  dM dt â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; (S) . = V (M ) â&#x2021;&#x201D;  dt   dy = b(x, y) dt â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Si V (M ) repr´esente un champ de vecteurs vitesse (associ´e par exemple `a lâ&#x20AC;&#x2122;´ecoulement dâ&#x20AC;&#x2122;une nappe de ďŹ&#x201A;uide sur une surface plane), r´esoudre (S) revient a` chercher la trajectoire et la loi du mouvement des particules de ďŹ&#x201A;uide en fonction du temps. Le mot  autonome  signiďŹ e que le champ de vecteurs ne d´epend pas du temps t (cas dâ&#x20AC;&#x2122;un ´ecoulement stationnaire). Si t â&#x2020;&#x2019; M (t) est solution, toute fonction t â&#x2020;&#x2019; M (t + 6 T ) obtenue par un d´e7calage dans le temps est encore solution. Dans lâ&#x20AC;&#x2122;ouvert U  = M (x, y) ; a(x, y) = 0 on a (S) â&#x2021;&#x2019; (E) o` u b(x, y) dy = = f (x, y). dx a(x, y)

(E)

R´esoudre (E) permet de trouver la trajectoire des particules (mais pas la loi du mouvement en fonction du temps).

          Ce sont les ´equations dans lesquelles on peut regrouper x, dx dâ&#x20AC;&#x2122;une part et y, dy dâ&#x20AC;&#x2122;autre part. Nous allons examiner 3 cas. ´ a) Equations y  = f (x), avec f : I â&#x2020;&#x2019; R continue. Les solutions sont donn´ees par y(x) = F (x) + Îť,

Îť â&#x2C6;&#x2C6; R,

o` u F est une primitive de f sur I. Les courbes int´egrales se d´eduisent les unes des autres par translations dans la direction Oy. ´ b) Equations y  = g(y), avec g : J â&#x2020;&#x2019; R continue. Lâ&#x20AC;&#x2122;´equation peut se r´ecrire

dy dx

= g(y), ou encore

dy g(y)

= dx `a condition que g(y) = 0.


157

VI – M ´ ethodes de r´ esolution explicite

• Notons yj les racines de g(y) = 0 dans l’intervalle J. Alors y(x) = yj est une solution (singuli`ere) ´evidente de l’´equation. • Dans l’ouvert U = {(x, y) ∈ R × J ; g(y) = 0}, on a (E) ⇔

dy = dx. g(y)

Les solutions sont donn´ees par G(y) = x + λ,

λ∈R

o` u G est une primitive quelconque de g1 sur chacun des intervalles ouverts [yj , yj+1 [ d´elimit´es par les racines de g. Dans chaque bande R × ]yj , yj+1 [, les courbes int´egrales se d´eduisent les unes des autres par translations dans la direction Ox ; ceci est `a relier au fait que les lignes isoclines sont les droites y = m = constante. Comme G = g1 et que g est de signe constant sur ]yj , yj+1 [, on en d´eduit que G est une application strictement monotone bijective G : ]yj , yj+1 [ → ]aj , bj [ avec aj ∈ [−∞, +∞[, bj ∈ ] − ∞, +∞]. On peut donc (au moins th´eoriquement) exprimer y en fonction de x : y = G−1 (x + λ),

λ ∈ R.

Supposons par exemple g > 0, et par suite G croissante sur ]yj , yj+1 [. y +ε

dy • Si yjj g(y) diverge, on a aj = −∞, par cons´equent x = G(y) − λ → −∞ quand y → yj + 0. Dans ce cas, la courbe est asymptote `a la droite y = yj . y +ε

dy • Si yjj g(y) converge, alors aj ∈ R et x → aj − λ quand y → yj + 0, avec de plus  y = g(y) → 0 ; la courbe vient rejoindre la droite y = yj au point (aj − λ, yj ) et admet la droite y = yj pour tangente en ce point. Cette situation montre qu’il n’y a pas unicit´e du probl`eme de Cauchy en cas de convergence de l’int´egrale.

Exercice – V´erifier que

dy g(y)

est bien toujours divergente en tout point yj tel que g(yj ) = 0, lorsque g est localement lipschitzienne.

L’allure des courbes int´egrales est la suivante (dans le sch´ema ci-dessous, on suppose qu’il y a convergence en y2 − 0, divergence en y1 ± 0 et y2 + 0) :


158

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

y g(y) < 0

y = y2

g(y) > 0 x

y = y1 g(y) < 0

c) Cas g´ en´ eral des ´ equations ` a variables s´ epar´ ees : (E)

y  = f (x)g(y) avec f, g continues.

• Si g(yj ) = 0, la fonction constante y(x) = yj est solution singuli`ere. • Sur l’ouvert U = {(x, y) ; g(y) = 0} on a (E) ⇔

dy = f (x)dx g(y)

d’o` u G(y) = F (x) + λ, λ ∈ R, o` u F est une primitive de f et G une primitive de 1/g. Comme G est continue strictement monotone sur chaque intervalle [yj , yj+1 [, l’application G admet une application r´eciproque G−1 et on obtient y = G−1 (F (x) + λ). 

Exemple – Soit l’´equation y =

1 − y2 . Le domaine de d´efinition est la r´eunion 1 − x2

{|x| < 1 et |y| ≤ 1}

{|x| > 1 et |y| ≥ 1}.

On va donc se placer dans l’ouvert U = {|x| < 1 et |y| < 1}

{|x| > 1 et |y| > 1}.


159

VI â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes de r´ esolution explicite

â&#x20AC;˘ Dans le carr´e {|x| < 1 et |y| < 1} lâ&#x20AC;&#x2122;´equation sâ&#x20AC;&#x2122;´ecrit : dy dx

=â&#x2C6;&#x161; , 2 1 â&#x2C6;&#x2019; x2 1â&#x2C6;&#x2019;y dâ&#x20AC;&#x2122;o` u Arc siny = Arc sin x + Îť, Îť â&#x2C6;&#x2C6; R. Comme Arcsin est une bijection de ] â&#x2C6;&#x2019; 1, 1[ sur â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;2 , Ď&#x20AC;2 , on a n´ecessairement Îť â&#x2C6;&#x2C6; ] â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;, Ď&#x20AC;[. On doit avoir de plus   Ď&#x20AC; Ď&#x20AC;  â&#x2C6;&#x2019; , â&#x2C6;&#x2019; Îť si     Ď&#x20AC; Ď&#x20AC; Ď&#x20AC; Ď&#x20AC; 2 2 Arc sin x â&#x2C6;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2019; , â&#x2C6;Š â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Îť, â&#x2C6;&#x2019; Îť =  Ď&#x20AC;   2 2 2 2  â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Îť, Ď&#x20AC; si 2 2 

 De mË&#x2020;eme Arc sin y est dans â&#x2C6;&#x2019;

Ď&#x20AC; 2

Îť â&#x2030;Ľ 0, Îť â&#x2030;¤ 0.

   + Îť, Ď&#x20AC;2 si Îť â&#x2030;Ľ 0, et dans â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;2 , Ď&#x20AC;2 + Îť si Îť â&#x2030;¤ 0.

Les courbes int´egrales admettent pour ´equation y = sin(Arc sin x + Ν) = x cos Ν +

1 â&#x2C6;&#x2019; x2 sin Îť

avec x â&#x2C6;&#x2C6; ] â&#x2C6;&#x2019; 1, cos Îť[, x â&#x2C6;&#x2C6; ] â&#x2C6;&#x2019; cos Îť, 1[,

y â&#x2C6;&#x2C6; ] â&#x2C6;&#x2019; cos Îť, 1[ si Îť â&#x2030;Ľ 0, y â&#x2C6;&#x2C6; ] â&#x2C6;&#x2019; 1, cos Îť[ si Îť â&#x2030;¤ 0.

Lâ&#x20AC;&#x2122;´equation ci-dessus implique (y â&#x2C6;&#x2019; x cos Îť)2 + x2 sin2 Îť = sin2 Îť, donc les courbes int´egrales sont des arcs dâ&#x20AC;&#x2122;ellipse. â&#x20AC;˘ Lâ&#x20AC;&#x2122;ouvert {|x| > 1 et |y| > 1} est form´e de 4 composantes connexes. Pla¸cons-nous par exemple dans {x > 1 et y > 1}. On a dx dy =â&#x2C6;&#x161; (E) â&#x2021;&#x201D;

, 2 x2 â&#x2C6;&#x2019; 1 y â&#x2C6;&#x2019;1 dâ&#x20AC;&#x2122;o` u Arg cosh y = Arg cosh x + Îť, Îť â&#x2C6;&#x2C6; R. Arg cosh est une bijection de ]1, +â&#x2C6;&#x17E;[ sur ]0, +â&#x2C6;&#x17E;[ ; en raisonnant comme ci-dessus, on obtient y = x cosh Îť +

x2 â&#x2C6;&#x2019; 1 sinh Îť

avec x â&#x2C6;&#x2C6; ]1, +â&#x2C6;&#x17E;[, y â&#x2C6;&#x2C6; ] cosh Îť, +â&#x2C6;&#x17E;[ x â&#x2C6;&#x2C6; ] cosh Îť, +â&#x2C6;&#x17E;[, y â&#x2C6;&#x2C6; ]1, +â&#x2C6;&#x17E;[

si Îť â&#x2030;Ľ 0, si Îť â&#x2030;¤ 0,

2 2 par suite (y â&#x2C6;&#x2019; x cosh Îť)2 â&#x2C6;&#x2019; x2 sinh

Îť + sinh Îť = 0, ce quiest lâ&#x20AC;&#x2122;´equation dâ&#x20AC;&#x2122;une â&#x2C6;&#x161; 1 conique. Comme x2 â&#x2C6;&#x2019; 1 = |x| 1 â&#x2C6;&#x2019; x12 = |x| â&#x2C6;&#x2019; 2|x| + O x13 , on voit que la

conique admet des asymptotes y = (cosh Îť Âą sinh Îť)x = e¹Ν x (pour la branche x > 1 qui nous int´eresse, câ&#x20AC;&#x2122;est y = eÎť x). On a donc aďŹ&#x20AC;aire a` des arcs dâ&#x20AC;&#x2122;hyperbole.


160

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

h

=

0

x = cos h y= h e x

y

cosh Îť 1

â&#x2C6;&#x2019;1

y=

1 cosh Îť

0

y = â&#x2C6;&#x2019; cos Îť

x

x = < cos hv

y = cos Îť â&#x2C6;&#x2019;1

hv e x

On a ďŹ gur´e ici Îť > 0, Îť < 0.

  

    



     



Supposons quâ&#x20AC;&#x2122;on cherche a` r´esoudre une ´equation y  = f (x, y)

(E) ou un syst`eme diďŹ&#x20AC;´erentiel

(S)

 dx    dt = a(x, y)    dy = b(x, y) dt

dans un ouvert U â&#x160;&#x201A; R2 . Dans les deux cas on a une ´ecriture sous forme diďŹ&#x20AC;´erentielle : (E) â&#x2021;&#x201D; f (x, y)dx â&#x2C6;&#x2019; dy = 0, (S) â&#x2021;&#x2019; b(x, y)dx â&#x2C6;&#x2019; a(x, y)dy = 0.

D´ eďŹ nition â&#x20AC;&#x201C; On dit quâ&#x20AC;&#x2122;une fonction V : U â&#x2020;&#x2019; R de classe C 1 est une int´egrale premi`ere si (E) (respectivement (S)) implique dV = Vx (x, y)dx + Vy (x, y)dy = 0.


161

VI – M ´ ethodes de r´ esolution explicite

Dans ce cas, les courbes int´egrales y = ϕ(x) v´erifient Vx (x, ϕ(x)) + Vy (x, ϕ(x))ϕ (x) =

d [V (x, ϕ(x)] = 0. dx

Les courbes int´egrales sont donc contenues dans les lignes de niveau V (x, y) = λ, o` u λ ∈ R est une constante. −−→ grad V

V (x, y) = λ −−→ → − En tout point o` u grad V = 0 , la ligne de niveau correspondante poss`ede une −−→ tangente perpendiculaire a` grad V . Le champ des tangentes est dirig´e par le vecteur     1 a(x, y) k , resp. k dans le cas de (E) (resp. (S)). f (x, y) b(x, y) −−→ La condition d’orthogonalit´e grad V ⊥ k ´equivaut a` la proportionnalit´e de l’´equation Vx dx + Vy dy = 0 a` l’´equation diff´erentielle (E) (ou (S)). On peut donc ´enoncer :

Propri´ et´ e caract´ eristique – V est une int´egrale premi`ere si et seulement si

−−→ grad V est orthogonal au champ des tangentes de l’´equation diff´erentielle consid´er´ee.

Exemple – Soit y  =

y x+y 2

sur

U = {x + y 2 = 0}. L’´equation se r´ecrit

ydx − (x + y 2 )dy = 0.

(E)

Cette diff´erentielle n’est pas une diff´erentielle exacte dV = P dx + Qdy (on devrait ∂Q eanmoins que avoir ∂P ∂y = ∂x , ce qui n’est pas le cas). On observe n´ d

x y

Multiplions alors l’´equation (E) par (E) ⇔

=

1 y2 ,

ydx − xdy . y2 en se pla¸cant dans l’ouvert y = 0 :

 x ydx − xdy − y = 0. − dy = 0 ⇔ d 2 y y

Les courbes int´egrales y sont donc donn´ees par x −y =λ y

x = y 2 + λy.


162

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles



 â&#x2C6;&#x2019;Îť2 /4 Ce sont des arcs de la parabole dâ&#x20AC;&#x2122;axe y = et de sommet , d´elimit´es  â&#x2C6;&#x2019;Îť/2 0 et le sommet, qui par les points tels que x + y 2 = 2y 2 + Îťy = 0, câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire 0 doivent Ë&#x2020;etre exclus. Par ailleurs, y = 0 est une solution singuli`ere, fournissant deux solutions maximales pour x â&#x2C6;&#x2C6; ] â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;, 0[ et x â&#x2C6;&#x2C6; ]0, +â&#x2C6;&#x17E;[ respectivement. â&#x2C6;&#x2019; Îť2

Remarque â&#x20AC;&#x201C; On dit que 2

ydx â&#x2C6;&#x2019; (x + y )dy = 0.

1 y2

est un  facteur int´egrant  de la forme diďŹ&#x20AC;´erentielle

y â&#x2C6;&#x2019;Îť 1

1

x

         

 Ce sont les ´equations de la forme (E)

y  = a(x)y + b(x)

o` u a, b : I â&#x2020;&#x2019; R (ou C) sont des fonctions continues. Supposons quâ&#x20AC;&#x2122;on connaisse une solution particuli`ere y(1) de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E). Alors  = a(x)(y â&#x2C6;&#x2019; y(1) ), câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire que z = y â&#x2C6;&#x2019; y(1) on obtient par soustraction y  â&#x2C6;&#x2019; y(1) v´eriďŹ e lâ&#x20AC;&#x2122;´equation lin´eaire  sans second membre  (E0 )

z  = a(x)z.

Inversement, si z est solution de (E0 ), alors y = y(1) + z est solution de (E).

Th´ eor` eme 1 â&#x20AC;&#x201C; La solution g´en´erale de (E) sâ&#x20AC;&#x2122;´ecrit y = y(1) + z u z est la solution g´en´erale de (E0 ). o` u y(1) est une solution particuli`ere de (E) et o`


163

VI â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes de r´ esolution explicite

a) Solutions de (E0 ) Comme f (x, z) = a(x)z est continue et de d´eriv´ee partielle â&#x2C6;&#x201A;f â&#x2C6;&#x201A;z (x, z) = a(x) continue, on sait que le probl`eme de Cauchy admet une solution unique en tout point (x0 , z0 ) â&#x2C6;&#x2C6; I Ă&#x2014; R. Or z(x) â&#x2030;Ą 0 est clairement solution de (E0 ). Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es lâ&#x20AC;&#x2122;unicit´e, aucune autre solution ne peut sâ&#x20AC;&#x2122;annuler en un quelconque point x0 â&#x2C6;&#x2C6; I. Si z = 0, on peut donc ´ecrire z = a(x), z ln |z| = A(x) + C,

C â&#x2C6;&#x2C6; R,

o` u A est une primitive de a sur I. On en d´eduit |z(x)| = eC eA(x) , z(x) = ξ(x)eC eA(x)

avec Îľ(x) = Âą1.

Comme z est continue et ne sâ&#x20AC;&#x2122;annule pas, le signe de z ne change pas, dâ&#x20AC;&#x2122;o` u z(x) = ÎťeA(x) avec Îť = ÂąeC . Inversement, toute fonction z(x) = ÎťeA(x) ,

Îťâ&#x2C6;&#x2C6;R

et visiblement solution de (E0 ). On peut donc ´enoncer :

Th´ eor` eme 2 â&#x20AC;&#x201C; Les solutions maximales de (E0 ) : z  = a(x)z forment un espace vectoriel de dimension 1, ayant pour base x â&#x2020;&#x2019; eA(x) .

b) Recherche dâ&#x20AC;&#x2122;une solution particuli`ere y(1) de (E). Si aucune solution ´evidente nâ&#x20AC;&#x2122;apparaË&#x2020;Äąt, on peut utiliser la m´ethode dite de variation des constantes, câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire que lâ&#x20AC;&#x2122;on cherche y(1) sous la forme y(1) (x) = Îť(x)eA(x) , o` u Îť est diďŹ&#x20AC;´erentiable. Il vient  y(1) (x) = Îť(x)a(x)eA(x) + Îť (x)eA(x)

= a(x)y(1) (x) + Îť (x)eA(x) . y(1) est donc solution de (E) si on prend Îť (x)eA(x) = b(x), Îť (x) = b(x)eâ&#x2C6;&#x2019;A(x) ,  x b(t)eâ&#x2C6;&#x2019;A(t) , Îť(x) = x0

x0 â&#x2C6;&#x2C6; I.


164

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

On obtient ainsi la solution particuli`ere  y(1) (x) = e

x

A(x)

b(t)eâ&#x2C6;&#x2019;A(t) dt

x0

telle que y(1) (x0 ) = 0. La solution g´en´erale est donn´ee dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es le th´eor`eme 1 par   y(x) = eA(x) Îť +

x

 b(t)eâ&#x2C6;&#x2019;A(t) dt .

x0

La solution du probl`eme de Cauchy y(x0 ) = y0 est obtenue pour Îť = eâ&#x2C6;&#x2019;A(x0 ) y0 .

Exercice â&#x20AC;&#x201C; Propri´et´es g´eom´etriques li´ees aux ´equations lin´eaires (cf. sch´ema). (a) Si y(1) , y(2) , y(3) sont trois solutions dâ&#x20AC;&#x2122;une ´equation lin´eaire, montrer que la ` y(2) â&#x2C6;&#x2019; y(1) . fonction y(3) â&#x2C6;&#x2019; y(2) est proportionnelle a (b) Montrer quâ&#x20AC;&#x2122;une ´equation y  = f (x, y) est lin´eaire si et seulement si le champ des tangentes a la propri´et´e suivante : pour tout x0 ďŹ x´e, les tangentes aux diďŹ&#x20AC;´erents points (x0 , y) sont concourantes ou toutes parall`eles.

y

x0

     

         ´ a) Equations de Bernoulli Ce sont les ´equations de la forme (E)

dy = p(x)y + q(x)y Îą , dx

Îą â&#x2C6;&#x2C6; R \ {1},

x


165

VI – M ´ ethodes de r´ esolution explicite

avec p, q : I → R continues (pour α = 1, (E) est lin´eaire). On se place dans le demi-plan sup´erieur U = R × ]0, +∞[= {(x, y) ; y > 0}. En multipliant par y −α , on obtient ⇔

(E) Posons z = y 1−α ; alors

dz dx

y −α

dy = p(x)y 1−α + q(x) dx

dy = (1 − α)y −α dx , d’o` u

(E)

dz 1 = p(x)z + q(x) 1 − α dx

On est donc ramen´e `a une ´equation lin´eaire en z. ´ b) Equations de Riccati Ce sont les ´equations de la forme y  = a(x)y 2 + b(x)y + c(x)

(E)

avec a, b, c : I → R continues, c’est-`a-dire que f (x, y) est un polynˆ ome de degr´e ≤ 2 en y. Montrons que l’on sait r´esoudre (E) d`es que l’on connaˆıt une solution particuli`ere y(1) . Posons y = y(1) + z. Il vient  2 y(1) + z  = a(x)(y(1) + 2y(1) z + z 2 ) + b(x)(y(1) + z) + c(x) 2 + b(x)y(1) + c(x) + (2a(x)y(1) + b(x))z + a(x)z 2 . = a(x)y(1)  Comme y(1) se simplifie, on en d´eduit

z  = (2a(x)y(1) (x) + b(x)) + a(x)z 2 . C’est une ´equation lin´eaire de Bernoulli avec α = 2. On la ram`ene `a une ´equation lin´eaire en posant w = z 1−α = z1 .

Exemple – Soit l’´equation (1 − x3 )y  + x2 y + y 2 − 2x = 0. On remarque que y(1) (x) = x2 est solution particuli`ere. En posant y = x2 + z on se ram`ene `a (1 − x3 )z  + 3x2 z + z 2 = 0 puis, apr`es division par z 2 , a` −(1 − x3 )w + 3x2 w + 1 = 0 avec soit w =

3x2 1 w+ , 3 1−x 1 − x3

w=

si x = 1.

1 , z


166

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Lâ&#x20AC;&#x2122;´equation lin´eaire sans second membre

w w

=

ln |w| = â&#x2C6;&#x2019; ln |1 â&#x2C6;&#x2019; x3 | + C,

3x2 1â&#x2C6;&#x2019;x3

donne

dâ&#x20AC;&#x2122;o` u

w=

Îť . 1 â&#x2C6;&#x2019; x3

La m´ethode de variation des constantes conduit a` 1 Îť = 1 â&#x2C6;&#x2019; x3 1 â&#x2C6;&#x2019; x3

soit Îť = 1,

Îť(x) = x.

La solution g´en´erale de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation lin´eaire compl`ete est donc w(x) = dâ&#x20AC;&#x2122;o` u

y = x2 + z = x2 +

1 w

= x2 +

y(x) =

1â&#x2C6;&#x2019;x3 x+Îť ,

x+Îť , 1 â&#x2C6;&#x2019; x3 soit encore

1 + Îť3 Îťx2 + 1 = Îťx â&#x2C6;&#x2019; Îť2 + . x+Îť x+Îť

Pour Îť = â&#x2C6;&#x2019;1, on obtient la droite y = â&#x2C6;&#x2019;x â&#x2C6;&#x2019; 1. Pour Îť = â&#x2C6;&#x2019;1, il sâ&#x20AC;&#x2122;agit dâ&#x20AC;&#x2122;une hyperbole (y â&#x2C6;&#x2019; Îťx + Îť2 )(x + Îť) = 1 + Îť3 , admettant pour asymptotes les droites x = â&#x2C6;&#x2019;Îť et y = Îťx â&#x2C6;&#x2019; Îť2 . La solution singuli`ere y(1) (x) = x2 est la solution limite obtenue quand |Îť| tend vers +â&#x2C6;&#x17E;.

y

1

1

x

        Une ´equation homog`ene est une ´equation qui peut se mettre sous la forme y (E) y = f o` u f : I â&#x2020;&#x2019; R est continue. x


167

VI – M ´ ethodes de r´ esolution explicite

P (x,y) o` u P, Q sont des polynˆ omes C’est le cas par exemple des ´equations y  = Q(x,y) homog`enes de mˆeme degr´e d : une division par xd au num´erateur et au d´enominateur P (1,y/x) . nous ram`ene `a y  = Q(1,y/x)

M´ ethode – On pose z = xy , c’est-`a-dire y = xz. Il vient y  = z + xz  = f (z), donc z satisfait l’´equation a` variables s´epar´ees z =

f (z) − z . x

• On a d’une part les solutions singuli`eres z(x) = zj ,

y(x) = zj x

(droites passant par 0),

o` u {zj } est l’ensemble des racines de f (z) = z. • Pour f (z) = z on peut ´ecrire dz dx = , f (z) − z x F (z) = ln |x| + C = ln (λx),

λ ∈ R∗ ,

o` u F est une primitive de z → 1/(f (z) − z) sur ]zj , zj+1 [. On en d´eduit que u la famille de courbes int´egrales z = F −1 (ln (λx)), d’o` Cλ : y = xF −1 (ln (λx)), d´efinies dans le secteur angulaire zj <

y x

< zj+1 , λx > 0.

En cas de divergence de F aux points zj , zj+1 , on a F −1 : ] − ∞, +∞[→]zj , zj+1 [ monotone bijective et xy → zj ou zj+1 quand x → 0 ou ∞. On a donc d’une part une branche infinie de direction asymptotique y = zj+1 x (resp. y = zj x) et une tangente y = zj x (resp. y = zj+1 x) au point 0 si F est croissante (resp. d´ecroissante). Noter que la droite y = zj x n’est pas n´ecessairement asymptote : voir l’exemple ci-dessous. Observons enfin que les lignes isoclines sont les droites y = mx, la pente correspondante ´etant f (m). Le champ des tangentes est donc invariant par les homoth´eties de centre O. Ceci permet de voir que l’homoth´etique d’une courbe int´egrale est encore une courbe int´egrale.

Exercice – V´erifier que Cλ = h1/λ (C1 ) o`u hλ (x, y) = (λx, λy).


168

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

isocline y = mx pente f (m)

y

y=

z 2x

x

f (m

)=

m

y=

zx 1

Exemple – L’´equation xy  (2y − x) = y 2 peut se r´ecrire y =

y2 x(2y − x)

si x = 0,

y =

x . 2

y  est donc une fonction rationnelle en x, y dont le num´erateur et le d´enominateur sont des polynˆ omes homog`enes de degr´e 2. En divisant le num´erateur et d´enominateur par x2 on obtient y =

(y/x)2 . 2y/x − 1

Posons z = xy , soit y = xz. Il vient z2 , 2z − 1 z − z2 z(1 − z) z2 xz  = −z = = . 2z − 1 2z − 1 2z − 1 y  = xz  + z =

• Solutions singuli`eres : z = 0, y = 0,

z = 1, y = x.

• Pour z = 0, z = 1 l’´equation se r´ecrit 2z − 1 dx dz = . z(1 − z) x


169

VI – M ´ ethodes de r´ esolution explicite

La fonction

2z − 1 z − (1 − z) 1 1 = = − z(1 − z) z(1 − z) 1−z z

admet pour primitive − ln |1 − z| − ln |z| = − ln |z(1 − z)|, d’o` u le calcul des courbes int´egrales : ln |z(1 − z)| = − ln |x| + C, λ y y λ z(1 − z) = , 1− = , x x x x y(x − y) = λx. Les courbes int´egrales sont donc des coniques. On peut mettre l’´equation sous la forme (y − λ)(x − y − λ) = λ2 c’est-`a-dire XY = λ avec X = x − y − λ et Y = y − λ. Il s’agit d’une hyperbole d’asymptotes y = λ, y = x − λ (parall`eles aux directions asymptotiques y = 0, y = x donn´ees par les droites int´egrales singuli`eres).

Exercice – Montrer que chaque hyperbole passe par (0, 0) avec tangente x = 0.

y

x

Autre M´ ethode de r´ esolution – Utilisation des coordonn´ees polaires. Pour r > 0 et θ ∈ R on pose



x = r cos θ . y = r sin θ


170

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Il vient dy dr sin θ + r cos θ dθ dr tan θ + r dθ = = . dx dr cos θ â&#x2C6;&#x2019; r sin θ dθ dr â&#x2C6;&#x2019; r tan θ dθ   Lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E) y  = f xy se transforme alors en dr tan θ + r dθ = (dr â&#x2C6;&#x2019; r tan θ dθ)f (tan θ), dr(f (tan θ) â&#x2C6;&#x2019; tan θ) = rdθ(1 + tan θ f (tan θ)), dr 1 + tan θ f (tan θ) = dθ. r f (tan θ) â&#x2C6;&#x2019; tan θ On aboutit donc a` une ´equation a` variables s´epar´ees r, θ. Les int´egrales singuli`eres correspondent aux droites θ = θj telles que f (tan θj ) = tan θj .

Exercice â&#x20AC;&#x201C; R´esoudre y  =

x+y xâ&#x2C6;&#x2019;y

a lâ&#x20AC;&#x2122;aide des deux m´ethodes propos´ees. Quelle est `

la nature des courbes int´egrales ?

 

  y   

                

  On appelle ´equation du premier ordre non r´esolue en y  une ´equation de la forme (E)

f (x, y, y  ) = 0

o` u (x, y, p) â&#x2020;&#x2019; f (x, y, p) est une fonction de classe C 1 dans un ouvert U â&#x160;&#x201A; R3 . Pla¸cons-nous au voisinage dâ&#x20AC;&#x2122;un point (x0 , y0 ) â&#x2C6;&#x2C6; R2 . On suppose que lâ&#x20AC;&#x2122;´equation f (x0 , y0 , p) = 0 admet des racines p1 , p2 , . . . , pN et que ces racines sont simples, câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire â&#x2C6;&#x201A;f (x0 , y0 , pj ) = 0. â&#x2C6;&#x201A;p Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es le th´eor`eme des fonctions implicites, on sait alors quâ&#x20AC;&#x2122;il existe un voisinage V de (x0 , y0 ), un r´eel h > 0 et une fonction gj : V â&#x2020;&#x2019; ]pj â&#x2C6;&#x2019; h, pj + h[ de classe C 1 , 1 â&#x2030;¤ j â&#x2030;¤ N , tels que pour tout (x, y, p) â&#x2C6;&#x2C6; V Ă&#x2014; ]pj â&#x2C6;&#x2019; h, pj + h[ on ait f (x, y, p) = 0

â&#x2021;&#x201D;

p = gj (x, y).

Lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle f (x, y, y  ) = 0 nous am`ene alors `a r´esoudre dans V les N ´equations diďŹ&#x20AC;´erentielles (Ej )

y  = gj (x, y).

Comme gj est de classe C 1 , on voit que par tout point (x, y) â&#x2C6;&#x2C6; V il passe exactement N courbes int´egrales dont les pentes sont les racines p de f (x, y, p) = 0.


171

VI â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes de r´ esolution explicite

pente p2 y pente p1 x

Remarque â&#x20AC;&#x201C; Dans cette situation, il arrive fr´equemment quâ&#x20AC;&#x2122;on ait une famille de courbes int´egrales CÎť admettant une enveloppe Î&#x201C;, câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire une courbe Î&#x201C; qui est tangente en chacun de ses points `a lâ&#x20AC;&#x2122;une des courbes CÎť .

Î&#x201C;

CÎť

La courbe Î&#x201C; est alors elle-mË&#x2020;eme une courbe int´egrale, car en chaque point sa tangente appartient au champ des tangentes de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E) (elle co¨Ĺncide avec la tangente de lâ&#x20AC;&#x2122;une des courbes CÎť ). Î&#x201C; est donc une solution singuli`ere. On notera quâ&#x20AC;&#x2122;une telle courbe Î&#x201C; doit satisfaire simultan´ement les deux ´equations f (x, y, y  ) = 0 et â&#x2C6;&#x201A;f /â&#x2C6;&#x201A;p(x, y, y  ) = 0 : chaque point (x, y) â&#x2C6;&#x2C6; Î&#x201C; est en eďŹ&#x20AC;et limite dâ&#x20AC;&#x2122;une suite de points en lesquels deux tangentes du champ viennent se confondre, de sorte que p = y  est racine double de f (x, y, p) = 0. En particulier les hypoth`eses faites cidessus pour appliquer le th´eor`eme des fonctions implicites ne sont pas satisfaites si (x0 , y0 ) â&#x2C6;&#x2C6; Î&#x201C;.

M´ ethode de R´ esolution â&#x20AC;&#x201C; Pour r´esoudre les ´equations diďŹ&#x20AC;´erentielles non r´esolues en y  , le principe g´en´eral est de chercher une param´etrisation de x, y, y  en fonction dâ&#x20AC;&#x2122;un param`etre t qui sera alors choisi comme nouvelle variable.                  ´ a) Equations du type (E) : f (x, y  ) = 0 Supposons que lâ&#x20AC;&#x2122;´equation f (x, p) = 0 admette une param´etrisation de classe C 1


172

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles



On a alors

x = Ď&#x2022;(t) p = Ď&#x2C6;(t).

dx = Ď&#x2022; (t) dt dy = y  dx = Ď&#x2C6;(t) dx = Ď&#x2C6;(t)Ď&#x2022; (t) dt

On en d´eduit



t

y=

Ď&#x2C6;(u)Ď&#x2022; (u)du + Îť = Ď (t) + Îť,

t0

ce qui donne une param´etrisation des courbes int´egrales : 

x = Ď&#x2022;(t) y = Ď (t) + Îť.

´ b) Equations du type (E) : f (y, y  ) = 0,  y = Ď&#x2022;(t) connaissant une param´etrisation y  = Ď&#x2C6;(t). 

(t) On obtient dy = Ď&#x2022; (t)dt = Ď&#x2C6;(t)dx, dâ&#x20AC;&#x2122;o` u dx = Ď&#x2022;Ď&#x2C6;(t) dt. Les courbes int´egrales sont param´etr´ees par  x = Ď (t) + Îť y = Ď&#x2022;(t)  t  Ď&#x2022; (u) du. avec Ď (t) = t0 Ď&#x2C6;(u)

           Ce sont les ´equations pouvant Ë&#x2020;etre mises sous la forme (E)

f

y x

 , y  = 0.

Supposons quâ&#x20AC;&#x2122;on connaisse une param´etrisation y

= Ď&#x2022;(t) y = Ď&#x2C6;(t). x 

On a alors 

dâ&#x20AC;&#x2122;o` u

y = xĎ&#x2022;(t), dy = Ď&#x2022;(t)dx + xĎ&#x2022; (t)dt dy = Ď&#x2C6;(t) dx,

(Ď&#x2C6;(t) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;(t)) dx = xĎ&#x2022; (t) dt.


173

VI – M ´ ethodes de r´ esolution explicite

• On a d’une part des solutions singuli`eres correspondant aux racines tj de ψ(t) = ϕ(t), donnant des droites y = xϕ(tj ). • D’autre part, pour t = tj on obtient dx ϕ (t) = dt, x ψ(t) − ϕ(t) ce qui donne par int´egration de ϕ /(ψ − ϕ) : 

ln |x| = ρ(t) + C, x = λeρ(t) , y = xϕ(t) = λϕ(t)eρ(t)

λ ∈ R.

Il est clair sur ces derni`eres formules que les courbes int´egrales se d´eduisent les unes des autres par les homoth´eties de centre O.

Exemple – Soit l’´equation x2 (y + 3xy  ) = (y + xy  )3 . En divisant par x3 on trouve

y 3 y + 3y  = + y , x x c’est donc une ´equation homog`ene non r´esolue en y  . On obtient une param´etrisation en posant y  x +y =t y  3 x + 3y = t ,

d’o` u

En diff´erentiant y =

1 2

= 12 (3t − t3 ) y = 12 (t3 − t). y x 

(∗)

(3t − t3 )x on obtient 1 1 (3 − 3t2 )dt · x + (3t − t3 ) dx 2 2 1 3  = y dx = (t − t) dx, 2

dy =

d’o` u l’´equation 1 (3 − 3t2 )dt · x, 2 3(1 − t2 ) dx = dt. x 2t(t2 − 2) √ √ • Solutions singuli`eres : t(t2 − 2) = 0 ⇔ t = 0, 2, − 2. En rempla¸cant dans (∗) on obtient les droites √ √ 2 2 x, y=− x. y = 0, y= 2 2 (t3 − 2t)dx =


174

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

â&#x20AC;˘ Solution g´en´erale : 2

2

1 â&#x2C6;&#x2019; t2 â&#x2C6;&#x2019; t2 1 t 1 â&#x2C6;&#x2019; t2 = =â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; , t(t2 â&#x2C6;&#x2019; 2) t(t2 â&#x2C6;&#x2019; 2) 2t 2(t2 â&#x2C6;&#x2019; 2) 3(1 â&#x2C6;&#x2019; t2 ) 3 dt 3 tdt dt = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; . 2t(t2 â&#x2C6;&#x2019; 2) 4 t 4 t2 â&#x2C6;&#x2019; 2 On en d´eduit

3 3 ln |t| â&#x2C6;&#x2019; ln |t2 â&#x2C6;&#x2019; 2| + C, 4 8 x = Îť|t|â&#x2C6;&#x2019;3/4 |t2 â&#x2C6;&#x2019; 2|â&#x2C6;&#x2019;3/8 y = xy ¡ x = Îť2 (3t â&#x2C6;&#x2019; t3 )|t|â&#x2C6;&#x2019;3/4 |t2 â&#x2C6;&#x2019; 2|â&#x2C6;&#x2019;3/8 . ln |x| = â&#x2C6;&#x2019;

y

x

Exercice â&#x20AC;&#x201C; Montrer que par tout point (x, y) tel que |y| < |x| il passe exactement trois courbes int´egrales, alors quâ&#x20AC;&#x2122;il nâ&#x20AC;&#x2122;en passe quâ&#x20AC;&#x2122;une si |y| > |x|. Combien en passe` t-il si |y| = |x| ? [Indication : ´etudier le nombre de valeurs de t et y  associ´ees a une valeur donn´ee de y/x].     

              Cherchons `a d´eterminer les ´equations diďŹ&#x20AC;´erentielles dont les courbes isoclines sont des droites. La courbe isocline y  = p sera une droite y = a(p)x + b(p) (pour simpliďŹ er, on ´ecarte le cas des droites parall`eles `a y  Oy). Lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle correspondante est donc (E)

y = a(y  )x + b(y  ).

On supposera que a, b sont au moins de classe C 1 .


175

VI â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes de r´ esolution explicite

On choisit p = y  comme nouvelle variable param´etrant chaque courbe int´egrale ; ceci est l´egitime `a condition que y  ne soit pas une constante sur un morceau de la courbe int´egrale consid´er´ee. Dans le cas contraire, si y  = p0 = constante, la courbe int´egrale est contenue dans la droite y = a(p0 )x + b(p0 ), ce qui nâ&#x20AC;&#x2122;est compatible avec la condition y  = p0 que si a(p0 ) = p0 .

M´ ethode de R´ esolution â&#x20AC;&#x201C;

u les pj sont les racines de â&#x20AC;˘ On a donc des solutions singuli`eres y = pj x + b(pj ) o` a(p) = p. â&#x20AC;˘ Solution g´en´erale : 

y = a(p)x + b(p), dy = a(p)dx + (a (p)x + b (p))dp dy = y  dx = pdx.

Il vient (p â&#x2C6;&#x2019; a(p))dx = (a (p)x + b (p))dp, et pour p = a(p) on aboutit a` dx 1 = (a (p)x + b (p)) ; dp p â&#x2C6;&#x2019; a(p) câ&#x20AC;&#x2122;est une ´equation lin´eaire en la fonction x(p). La solution g´en´erale sera de la forme 

x(p) = x(1) (p) + Îťz(p),

Îť â&#x2C6;&#x2C6; R,

y(p) = a(p)(x(1) (p) + Îťz(p)) + b(p).

Exercice â&#x20AC;&#x201C; R´esoudre lâ&#x20AC;&#x2122;´equation 2y â&#x2C6;&#x2019; x(y  + y 3 ) + y 2 = 0.       Câ&#x20AC;&#x2122;est le cas particulier des ´equations de Lagrange dans lequel a(p) = p pour toute valeur de p, soit (E)

y = y  x + b(y  ).

Les droites Dp : y = px + b(p) qui ´etaient pr´ec´edemment des solutions singuli`eres forment maintenant une famille g´en´erale de solutions. Montrons que les droites Dp poss`edent toujours une enveloppe Î&#x201C;. Une telle courbe Î&#x201C; admet par d´eďŹ nition une param´etrisation (x(p), y(p)) telle que Î&#x201C; soit tangente a` Dp au point (x(p), y(p)).


176

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

(x(p), y(p)) Dp Î&#x201C;

Le vecteur tangent (x (p), y  (p)) a` Î&#x201C; doit avoir mË&#x2020;eme pente p que Dp , dâ&#x20AC;&#x2122;o` u y  (p) = px (p). Par ailleurs (x(p), y(p)) â&#x2C6;&#x2C6; Dp , donc y(p) = px(p) + b(p). En diďŹ&#x20AC;´erentiant, il vient y  (p) = px (p) + x(p) + b (p). u la param´etrisation cherch´ee de lâ&#x20AC;&#x2122;enveloppe : Ceci implique x(p) + b (p) = 0, dâ&#x20AC;&#x2122;o`  Î&#x201C;

x(p) = â&#x2C6;&#x2019;b (p) y(p) = â&#x2C6;&#x2019;pb (p) + b(p).

Si b est de classe C 2 , on a y  (p) = â&#x2C6;&#x2019;pb (p) = px (p) de sorte que Î&#x201C; est bien lâ&#x20AC;&#x2122;enveloppe des droites Dp . La courbe Î&#x201C; est une solution singuli`ere de (E).

Exercice â&#x20AC;&#x201C; R´esoudre lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (xy  â&#x2C6;&#x2019; y)(1 + y 2 ) + 1 = 0.

                                     

 On consid`ere le probl`eme suivant :

Probl` eme â&#x20AC;&#x201C; Etant donn´e une famille de courbes CÎť : h(x, y, Îť) = 0,

Îť â&#x2C6;&#x2C6; R,

existe-t-il une ´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle du premier ordre dont les courbes CÎť soient les courbes int´egrales ?


177

VI – M ´ ethodes de r´ esolution explicite

• Cas particulier. On suppose que les courbes Cλ sont les lignes de niveau d’une fonction V de classe C 1 : Cλ : V (x, y) = λ,

λ ∈ R.

Alors les courbes Cλ sont solutions de l’´equation diff´erentielle Vx (x, y)dx + Vy (x, y)dy = 0.

(E)

• Cas g´ en´ eral. Si l’´equation h(x, y, λ) = 0 peut se mettre sous la forme λ = V (x, y), on est ramen´e au cas pr´ec´edent. Sinon on ´ecrit que sur chaque Cλ on a  h(x, y, λ) = 0 hx (x, y, λ)dx + hy (x, y, λ)dy = 0, et on essaie d’´eliminer λ entre les 2 ´equations pour obtenir une ´equation ne faisant plus intervenir que x, y, dx, dy.

Exemple – Soit Cλ la famille des hyperboles ´equilat`eres de centre O passant par le point A(1, 0).

y=m

x

y Cλ

A (1, 0) 

A (−1, 0)

0

x

y=< 1 mx

Les asymptotes de Cλ sont alors des droites orthogonales passant par O, soit y = mx, Posons X = y − mx, Y = y +

1 m

y=−

1 x, m

m ∈ R∗ .

x. L’´equation de l’hyperbole cherch´ee s’´ecrit

XY = C

(constante), 1  x = C, (y − mx)(y + m  1 − m xy = C. y 2 − x2 + m


178

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

En faisant x = 1, y = 0 on trouve C = â&#x2C6;&#x2019;1, dâ&#x20AC;&#x2122;o` u lâ&#x20AC;&#x2122;´equation CÎť : y 2 â&#x2C6;&#x2019; x2 + Îťxy + 1 = 0, avec Îť =

1 m

â&#x2C6;&#x2019; m (noter que m â&#x2020;&#x2019;

1 m

Îť â&#x2C6;&#x2C6; R,

â&#x2C6;&#x2019; m est surjective de Râ&#x2C6;&#x2014; sur R). Sur CÎť on a :

x2 â&#x2C6;&#x2019; y 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 , xy (2xdx â&#x2C6;&#x2019; 2ydy)xy â&#x2C6;&#x2019; (x2 â&#x2C6;&#x2019; y 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)(xdy + ydx) . dÎť = 0 = x2 y 2 Îť=

Lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle des courbes CÎť est donc (E) :

(2x2 y â&#x2C6;&#x2019; x2 y + y 3 + y)dx + (â&#x2C6;&#x2019;2xy 2 â&#x2C6;&#x2019; x3 + xy 2 + x)dy = 0,

(E) :

(x2 + y 2 + 1)ydx â&#x2C6;&#x2019; (x2 + y 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)xdy = 0.

             



Soient (CÎť ), (Î&#x201C;Âľ ) deux familles de courbes.

D´ eďŹ nition â&#x20AC;&#x201C; On dit que CÎť et Î&#x201C;Îť sont orthogonales si les tangentes a` CÎť et Î&#x201C;Âľ sont orthogonales en tout point de CÎť â&#x2C6;Š Î&#x201C;Âľ , quels que soient Îť et Âľ.

CÎť Î&#x201C;Âľ

Probl` eme â&#x20AC;&#x201C; Etant donn´e une famille de courbes CÎť , trouver la famille (Î&#x201C;Âľ ) des courbes qui sont orthogonales aux CÎť . Pour cela, on suppose que lâ&#x20AC;&#x2122;on connaË&#x2020;Äąt une ´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle (E) satisfaite par les courbes CÎť , et on cherche lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle (Eâ&#x160;Ľ ) des courbes orthogonales Î&#x201C;Âľ . Distinguons quelques cas.


179

VI – M ´ ethodes de r´ esolution explicite

• (Cλ ) satisfait (E) : y  = f (x, y). En un point (x, y) donn´e, la pente de la tangente a` Cλ est y  = f (x, y). La pente de la tangente a` Γµ est donc −1/f (x, y). Les courbes (Γµ ) sont donc solutions de (E⊥ ) :

y = −

1 . f (x, y)

 dx   = a(x, y) − →  dM dt → − . = V (M ) ⇔ • (Cλ ) satisfait (E) :  dt dy   = b(x, y) dt → − La tangente a` Cλ estport´ee par  V (M ), celle de (Γµ ) est donc port´ee par le vecteur −b(x, y) → − . Par suite (Γµ ) est solution de orthogonal V (M )⊥ a(x, y)  dx   = −b(x, y)  dt (E⊥ )    dy = a(x, y) dt • (Cλ ) satisfait (E) : α(x, y)dx + β(x, y)dy = 0. Alors (Γµ ) v´erifie (E⊥ ) : −β(x, y)dx + α(x, y)dy = 0. Cas particulier. Supposons que les courbes Cλ sont les lignes de niveau V (x, y) = λ de la fonction V . Elles v´erifient alors Vx (x, y)dx + Vy (x, y)dy = 0.

(E)

−−→ Leurs trajectoires orthogonales (Γµ ) sont les lignes de champ du gradient grad V :  dx   = Vx (x, y)  dt (E⊥ )    dy = Vy (x, y) dt

Exemple – Soit Cλ : y 2 − x2 + λxy + 1 = 0 (cf. § 3.1). Nous avons vu que Cλ v´erifie (E) :

(x2 + y 2 + 1)ydx − (x2 + y 2 − 1)xdy = 0.

(E⊥ ) :

(x2 + y 2 − 1)xdx + (x2 + y 2 + 1)ydy = 0

Donc Γµ v´erifie ⇔ (x2 + y 2 )(xdx + ydy) − xdx + ydy = 0. Une int´egrale premi`ere apparaˆıt imm´ediatement : d

1 4

(x2 + y 2 )2 −

y2  x2 + =0 2 2


180

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Les courbes Î&#x201C;Âľ sont donc les lignes de niveau (x2 + y 2 )2 â&#x2C6;&#x2019; 2x2 + 2y 2 = Âľ,

Âľ â&#x2C6;&#x2C6; R,

ce qui peut encore sâ&#x20AC;&#x2122;´ecrire (x2 + y 2 + 1)2 â&#x2C6;&#x2019; 4x2 = Âľ + 1, (x2 â&#x2C6;&#x2019; 2x + 1 + y 2 )(x2 + 2x + 1 + y 2 ) = Âľ + 1, ((x â&#x2C6;&#x2019; 1)2 + y 2 )((x + 1)2 + y 2 ) = Âľ + 1,

M A ¡ M A = C = ¾ + 1, avec

  x M , y

 A

A 0

 ,



A



â&#x2C6;&#x2019;1 0

 .

Les courbes M A ¡ M A = C sâ&#x20AC;&#x2122;appellent des ovales de Cassini. Leur allure est la suivante. y

x

         Nous pr´esentons ici la c´el`ebre  courbe du chien  comme exemple de courbe de poursuite. Voici le probl`eme : un chien et son maË&#x2020;Äątre se d´eplacent lâ&#x20AC;&#x2122;un et lâ&#x20AC;&#x2122;autre a` des vitesses scalaires constantes V (pour le chien) et v (pour le maË&#x2020;Äątre), avec V > v. On suppose que le maË&#x2020;Äątre se d´eplace en ligne droite, disons sur lâ&#x20AC;&#x2122;axe Ox, dans la direction positive, suivant la loi x = vt. A lâ&#x20AC;&#x2122;instant t = 0, le chien se trouve au point x = 0 y = r0 , a` distance r0 du maË&#x2020;Äątre. Le chien cherche a` rejoindre son â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; maË&#x2020;Äątre en pointant son vecteur vitesse V en direction du maË&#x2020;Äątre. Le probl`eme est de d´eterminer la loi du mouvement C(t) du chien.


181

VI – M ´ ethodes de r´ esolution explicite

y  C0

0 r0



− → V  C(t)

x(t) y(t)



− → V α M0 = O

 M (t)

vt 0



x

−−→ −−→ Notons α l’angle (non orient´e) α = (Ox, CM ) et r = CM ; on a bien entendu α = α(t) et r = r(t). Comme d’habitude en Physique, on d´esignera par des points surlignants les d´eriv´ees temporelles r(t) ˙ = dr/dt, α(t) ˙ = dα/dt, . . . . A l’instant t, la position et la vitesse du chien sont donn´ees par 

x(t) = vt − r cos α, y(t) = r sin α,

x(t) ˙ = v − r˙ cos α + rα˙ sin α = V cos α, y(t) ˙ = r˙ sin α + rα˙ cos α = −V sin α,

Ces ´equations fournissent ais´ement l’expression de r˙ et rα˙ : 

r˙ = v cos α − V, rα˙ = −v sin α.

En prenant le quotient on ´elimine dt et on trouve donc V 1 dr = −cotan α + . r dα v sin α Notons λ = V /v > 1 le rapport des vitesses respectives du chien et du maˆıtre. Apr`es int´egration, et compte tenu de ce que r = r0 et α = π/2 quand t = 0, il vient ln r = − ln sin α + λ ln tan(α/2) + Cte

=⇒

r = r0

tan(α/2)λ sin α

Nous en d´eduisons dα v sin α v = α˙ = − = − (sin α)2 tan(α/2)−λ . dt r r0


182

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

En posant θ = tan(α/2) et sin α = 2 sin

α 2θ α cos = , on trouve 2 2 1 + θ2

r0 tan(α/2)λ r0 dα = − (1 + θ2 )θλ−2 dθ, 2 v (sin α) 2v 1 − θλ+1  r0  1 − θλ−1 + t= 2v λ−1 λ+1

dt = −

compte tenu du fait que θ = 1 en t = 0. Par substitution dans les expressions de x et y, et d’apr`es l’´egalit´e tan α = 2θ/(1 − θ2 ), on obtient les ´equations param´etriques de la  courbe du chien , a` savoir  r0  1 − θλ−1 1 − θλ+1  r0    x = + − (1 − θ2 )θλ−1   2 λ−1 λ+1 2  y = r0 θ λ     1 − θλ+1  r  1 − θλ−1  t = 0 + , θ ∈ [0, 1]. 2v λ−1 λ+1 Au terme de la poursuite (y = θ = 0), le maˆıtre a parcouru la distance x=

λ r0 λ2 − 1

pendant le temps t =

λ r0 . λ2 − 1 v

y

 C0

0 r0



 M (t) λ = V /v = 10

3, 0

2, 0

1, 5

vt 0



1, 25

x

Remarque – Les ´equations ont encore un sens lorsque t < 0. On a dans ce cas α ∈ ]π/2, π[ , θ ∈ ]1, +∞[ , le chien se trouve dans le quadrant x > 0, y > r0 et se dirige vers le maˆıtre qui parcourt de son cˆ ot´e la demi-droite x < 0.


183

VI â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes de r´ esolution explicite

         

       On consid`ere une ´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle y  = f (x, y, y  )

(E)

o` u f : U â&#x2020;&#x2019; R, U â&#x160;&#x201A; R3 , est une application continue localement lipschitzienne en ses deuxi`eme et troisi`eme variables. La solution g´en´erale y d´eďŹ nie au voisinage dâ&#x20AC;&#x2122;un point x0 d´epend alors de deux param`etres Îť, Âľ â&#x2C6;&#x2C6; R qui apparaissent le plus souvent comme des constantes dâ&#x20AC;&#x2122;int´egration : y(x) = Ď&#x2022;(x, Îť, Âľ). Le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz montre quâ&#x20AC;&#x2122;on peut choisir y0 = y(x0 ), y1 = y  (x0 ) comme param`etres. Il existe tr`es peu de cas o` u on sait r´esoudre explicitement une ´equation du second ordre : mË&#x2020;eme les ´equations lin´eaires du second ordre sans second membre ne se r´esolvent pas explicitement en g´en´eral.

        ´ a) Equations du type (E) :

y  = f (x, y  )

Si on consid`ere la nouvelle fonction inconnue v = y  , (E) se ram`ene `a lâ&#x20AC;&#x2122;´equation du premier ordre v  = f (x, v). La solution g´en´erale de cette derni`ere sera de la forme v(x, Îť), Îť â&#x2C6;&#x2C6; R, et on obtient donc  x v(t, Îť)dt + Âľ, Âľ â&#x2C6;&#x2C6; R. y(x) = x0

´ b) Equations du type (E) :

y  = f (y, y  )

La m´ethode consiste `a prendre y comme nouvelle variable et v = y  comme variable fonction inconnue (en la variable y). â&#x20AC;˘ Il peut y avoir des solutions constantes y(x) = y0 , auquel cas y ne peut Ë&#x2020;etre choisi comme variable. On a donc des solutions singuli`eres y(x) = yj , â&#x20AC;˘ Cas g´en´eral y  =

avec f (yj , 0) = 0.

dy dy  dv dy  = ¡ =v dx dx dy dy


184

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Lâ&#x20AC;&#x2122;´equation se ram`ene alors `a lâ&#x20AC;&#x2122;´equation du premier ordre v

dv = f (y, v). dy

La r´esolution de cette derni`ere donne une solution g´en´erale v(y, Îť), Îť â&#x2C6;&#x2C6; R. On doit ensuite r´esoudre dy = dx, y  = v(y, Îť) â&#x2021;&#x201D; v(y, Îť) dâ&#x20AC;&#x2122;o` u la solution g´en´erale 

dy = x + Âľ, v(y, Îť)

´ c) Equations du type (E) :

Âľ â&#x2C6;&#x2C6; R.

y  = f (y)

Câ&#x20AC;&#x2122;est un cas particulier du cas b) pr´ec´edent, mais on peut ici pr´eciser davantage la m´ethode de r´esolution. On a en eďŹ&#x20AC;et y  y  = f (y)y  , et en int´egrant il vient 12 y 2 = Ď&#x2022;(y) + Îť, Îť â&#x2C6;&#x2C6; R, o` u Ď&#x2022; est une primitive de f . On obtient donc

y  = Âą 2(Ď&#x2022;(y) + Îť), dy Âą

= dx, 2(Ď&#x2022;(y) + Îť)  y du

Âą = x + Âľ, Âľ â&#x2C6;&#x2C6; R. 2(Ď&#x2022;(u) + Îť) y0

Interpr´ etation physique â&#x20AC;&#x201C; On ´etudie la loi du mouvement dâ&#x20AC;&#x2122;un point mat´eriel M de masse m astreint a` se d´eplacer sur une courbe (C). On suppose que la â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; composante tangentielle FT de la force F qui sâ&#x20AC;&#x2122;exerce sur M ne d´epend que de la position de M , rep´er´ee par son abscisse curviligne y sur (C).

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; FT

y

M â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; F (C)

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; FN


185

VI â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes de r´ esolution explicite

Par hypoth`ese, il existe une fonction f telle que FT = f (y). Le principe fondamental de la dynamique donne d2 y FT = mÎłT = m 2 , dt dâ&#x20AC;&#x2122;o` u (E)

my  = f (y)

avec y  = d2 y/dt2 . On en d´eduit my  y  â&#x2C6;&#x2019; f (y)y  = 0, donc 12 my 2 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;(y) = Îť, o` u Ď&#x2022; est une primitive de f . La quantit´e 12 my 2 = Ec est â&#x20AC;&#x153;lâ&#x20AC;&#x2122;´energie cin´etiqueâ&#x20AC;? de la particule tandis que    â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2022;(y) = â&#x2C6;&#x2019; f (y)dy = â&#x2C6;&#x2019; FT (M ) ¡ dM = â&#x2C6;&#x2019; F (M ) ¡ dM est â&#x20AC;&#x153;lâ&#x20AC;&#x2122;´energie potentielleâ&#x20AC;? Ep . Lâ&#x20AC;&#x2122;´energie totale Et = Ec + Ep =

1 my 2 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;(y) 2

est constante quel que soit le mouvement du point M . On dit que U (y, y  ) = 1 2 egrale premi`ereâ&#x20AC;? de (E) (dans le sens que câ&#x20AC;&#x2122;est une 2 my â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;(y) est une â&#x20AC;&#x153;int´ relation diďŹ&#x20AC;´erentielle obtenue `a lâ&#x20AC;&#x2122;aide dâ&#x20AC;&#x2122;une premi`ere int´egration de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation du second ordre, une deuxi`eme int´egration restant n´ecessaire pour ´etablir la loi du mouvement). Si Et d´esigne lâ&#x20AC;&#x2122;´energie totale, la loi du mouvement est donn´ee par 

t â&#x2C6;&#x2019; t0 = Âą m/2

y y0

du

Et + Ď&#x2022;(u)

au voisinage de tout donn´ee initiale (t0 , y0 , y0 ) telle que 12 my02 = Et + Ď&#x2022;(y0 ) > 0. Supposons que la fonction f : R â&#x2020;&#x2019; R soit de classe C 1 , strictement d´ecroissante et telle que f (0) = 0 ; on a donc en particulier f (y) > 0 pour y < 0 et f (y) < 0 pour y < 0 (physiquement, ceci signiďŹ e que la force est une â&#x20AC;&#x153;force de rappelâ&#x20AC;? vers la position neutre y = 0, dont lâ&#x20AC;&#x2122;intensit´e sâ&#x20AC;&#x2122;accroË&#x2020;Äąt avec la distance a` la position neutre). Alors les solutions maximales t â&#x2020;&#x2019; y(t) sont u p´eriodiques. Pour le voir, posons par exemple Ď&#x2022;(u) = 0 f (y)dy et observons que Ď&#x2022; est une fonction concave n´egative ou nulle, passant par un maximum en Ď&#x2022;(0) = 0. Comme 12 my 2 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;(y) = Et avec y 2 â&#x2030;Ľ 0 et â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2022;(y) > 0 si y = 0, les solutions non triviales nâ&#x20AC;&#x2122;existent que pour une valeur Et > 0 de lâ&#x20AC;&#x2122;´energie totale, et elles v´eriďŹ ent |y  | â&#x2030;¤ 2Et /m et â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2022;(y) â&#x2030;¤ Et . De plus, si a < 0, b > 0 sont les uniques r´eels n´egatif et positif tels que Ď&#x2022;(a) = Ď&#x2022;(b) = â&#x2C6;&#x2019;Et , on a a â&#x2030;¤ y(t) â&#x2030;¤ b pour tout t. Ceci implique d´ej`a que les solutions maximales sont d´eďŹ nies sur R tout entier [si par exemple une solution maximale nâ&#x20AC;&#x2122;´etait d´eďŹ nie que sur un intervalle ouvert ]t1 , t2 [, le crit`ere de Cauchy uniforme montrerait que y se prolonge par continuit´

e `a droite en t1 et `a gauche en t2 , puisque y est lipschitzienne de rapport â&#x2030;¤ 2Et /m, et 1 ace `a la relation y  = m f (y) ; lâ&#x20AC;&#x2122;existence de mË&#x2020;eme y  et y  se prolongeraient grË&#x2020; de solutions locales au voisinage de t1 et t2 contredirait alors la maximalit´e de y].

Compl´ ement â&#x20AC;&#x201C;


186

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

La relation 12 my 2 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;(y) = Et montre que y  = 0 lorsque a < y < b (car on a alors â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2022;(y) < Et ). Par continuit´e, la fonction y  est donc de signe constant sur tout intervalle de temps o` u a < y < b. La solution explicite donn´ee plus haut montre que y est alternativement croissant de a `a b puis d´ecroissant de b `a a, avec demi-p´eriode  b

T du

= m/2 , 2 E a t + Ď&#x2022;(u) et, en choisissant t0 tel que y(t0 ) = min y = a, on a les relations  y

du

t = t0 + m/2 + nT, t â&#x2C6;&#x2C6; [t0 + nT, t0 + nT + T /2], ay Et + Ď&#x2022;(u)

du

+ (n + 1)T, t â&#x2C6;&#x2C6; [t0 + nT + T /2, t0 + (n + 1)T ]. t = t0 â&#x2C6;&#x2019; m/2 Et + Ď&#x2022;(u) a On observera que lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale donnant la p´eriode T est convergente, car on a Ď&#x2022; (a) = f (a) > 0, Ď&#x2022; (b) = f (b) < 0, de sorte que Et + Ď&#x2022;(u) â&#x2C6;ź f (a)(u â&#x2C6;&#x2019; a) au voisinage de a, et de mË&#x2020;eme au voisinage de b.

Exemple â&#x20AC;&#x201C; Mouvement dâ&#x20AC;&#x2122;un pendule simple de masse m suspendu a` un ďŹ l de longueur l.

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; T

θ

y

l â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; F

m â&#x2C6;&#x2019; θ â&#x2020;&#x2019; FT

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; P = mâ&#x2C6;&#x2019; g

u On a ici y = lθ et FT = P sin θ = â&#x2C6;&#x2019;mg sin θ, dâ&#x20AC;&#x2122;o` mlθ = â&#x2C6;&#x2019;mg sin θ, g θ = â&#x2C6;&#x2019; sin θ. l Lâ&#x20AC;&#x2122;´energie totale est 1 1 my 2 â&#x2C6;&#x2019; mgl cos θ = ml2 θ2 â&#x2C6;&#x2019; mgl cos θ. 2 2 Les solutions t â&#x2020;&#x2019; θ(t) v´eriďŹ ent Et = Ec + Ep =

2Et 2g cos θ = Îť = θ2 â&#x2C6;&#x2019; , Îť â&#x2C6;&#x2C6; R, l ml2  θ dĎ&#x2022;

Âą t0 â&#x2C6;&#x2C6; R. = t â&#x2C6;&#x2019; t0 , 0 Îť + 2g l cos Ď&#x2022;


VI â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes de r´ esolution explicite

187

Lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale ne se calcule pas explicitement, sauf si Îť = 2g l , auquel cas    θ Ď&#x20AC; l θ dĎ&#x2022; l =Âą ln tan + t â&#x2C6;&#x2019; t0 = Âą , g 0 2 cos Ď&#x2022;/2 g 4 4 et le pendule atteint la position verticale haute θ = ÂąĎ&#x20AC; en un temps inďŹ ni. Dans les autres cas, les solutions maximales sont p´eriodiques. Si Îť < 2g/l, lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle implique cos θ â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2019;Îťl/2g > â&#x2C6;&#x2019;1 et lâ&#x20AC;&#x2122;amplitude angulaire est donc major´ee en valeur absolue par une amplitude maximale θm â&#x2C6;&#x2C6; ]0, Ď&#x20AC;[ telle que cos θm = â&#x2C6;&#x2019;Îťl/2g ; dans ce cas le mouvement est oscillatoire autour de la position dâ&#x20AC;&#x2122;´equilibre θ = 0 (ceci correspond a` la situation ´etudi´ee dans la remarque, avec une fonction f (θ) = â&#x2C6;&#x2019; sin θ strictement d´ecroissante sur [â&#x2C6;&#x2019;θm , θm ]). La demi-p´eriode est donn´ee par  θm  θm dĎ&#x2022; dĎ&#x2022; T

= =2 . 2 2g â&#x2C6;&#x2019;θm 0 Îť + l cos Ď&#x2022; Îť + 2g cos Ď&#x2022; l Si Îť > 2g/l, on nâ&#x20AC;&#x2122;est plus dans la situation de la remarque, mais on a cependant encore un mouvement p´eriodique de demi-p´eriode  Ď&#x20AC; dĎ&#x2022; T

= , 2 0 Îť + 2g l cos Ď&#x2022; le pendule eďŹ&#x20AC;ectuant des rotations compl`etes sans jamais changer de sens de rotation. En physique, on sâ&#x20AC;&#x2122;int´eresse g´en´eralement aux oscillations de faible amplitude du pendule. Ceci permet de faire lâ&#x20AC;&#x2122;approximation usuelle sin θ  θ et on obtient alors les solutions approch´ees classiques θ = θm cos Ď&#x2030;(t â&#x2C6;&#x2019; t0 ) avec Ď&#x2030; = g/l. Nous reviendrons sur cette question au paragraphe 2.4 du chapitre XI, et nous indiquerons en particulier une m´ethode permettant dâ&#x20AC;&#x2122;´evaluer lâ&#x20AC;&#x2122;erreur commise.

              

 La th´eorie g´en´erale des ´equations et syst`emes diďŹ&#x20AC;´erentiels lin´eaires sera faite au chapitre suivant. Indiquons un cas o` u lâ&#x20AC;&#x2122;on peut se ramener a` un calcul de primitives. Soit a(x)y  + b(x)y  + c(x)y = 0.

(E)

Supposons quâ&#x20AC;&#x2122;on connaisse une solution particuli`ere y(1) de (E). On peut alors chercher la solution g´en´erale par la m´ethode de variation des constantes : y(x) = Îť(x)y(1) (x). Il vient

       + b(x) Îť y(1) + Îťy(1) + c(x)Îťy(1) = 0, + Îťy(1) a(x) Îť y(1) + 2Îť y(1)

       + b(x)y(1) + c(x)y(1) + Îť 2a(x)y(1) + b(x)y(1) + Îť a(x)y(1) = 0, Îť a(x)y(1)    Îť 2a(x)y(1) + b(x)y(1) + Îť a(x)y(1) = 0.


188

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

La fonction Âľ = Îť est donc solution dâ&#x20AC;&#x2122;une ´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle lin´eaire du premier ordre, qui se peut se r´ecrire  y(1) Âľ Îť b(x) =  = â&#x2C6;&#x2019;2 . â&#x2C6;&#x2019; Âľ Îť y(1) a(x)

La solution g´en´erale est donn´ee par Âľ = ι¾(1) , Îą â&#x2C6;&#x2C6; R, dâ&#x20AC;&#x2122;o` u Îť = ιΝ(1) + β, β â&#x2C6;&#x2C6; R, o` u Îť(1) est une primitive de Âľ(1) . La solution g´en´erale de (E) est donc : y(x) = ιΝ(1) (x)y(1) (x) + βy(1) (x),

(Îą, β) â&#x2C6;&#x2C6; R2 .

Les solutions forment un espace vectoriel de dimension 2.

Exercice â&#x20AC;&#x201C; R´esoudre x2 (1 â&#x2C6;&#x2019; x2 )y  + x3 y  â&#x2C6;&#x2019; 2y = 0 en observant que y(1) (x) = x2 est solution.

         

     Les probl`emes variationnels conduisent tr`es souvent `a la r´esolution dâ&#x20AC;&#x2122;´equations diďŹ&#x20AC;´erentielles du second ordre. Avant de donner un exemple, nous allons r´esoudre un probl`eme variationnel g´en´eral dans une situation simple. On consid`ere un op´erateur fonctionnel (câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire une fonction dont la variable est une fonction) Ď&#x2022; : C 2 ([a, b]) â&#x2020;&#x2019; R



u â&#x2020;&#x2019; Ď&#x2022;(u) =

b

F (x, u(x), u (x))dx,

a

o` u F : [a, b] Ă&#x2014; R Ă&#x2014; R â&#x2020;&#x2019; R, (x, y, z) â&#x2020;&#x2019; F (x, y, z) est une application de classe C 2 . Le probl`eme typique du calcul des variations est de rechercher les extrema de Ď&#x2022;(u) lorsque u d´ecrit C 2 ([a, b]) avec la  contrainte aux bornes  suivante : les valeurs aux bornes de lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle u(a) = u1 , u(b) = u2 sont ďŹ x´ees. Soit h â&#x2C6;&#x2C6; C 2 ([a, b]) avec h(a) = h(b) = 0. Pour tout t â&#x2C6;&#x2C6; R, la fonction u + th v´eriďŹ e la mË&#x2020;eme contrainte aux bornes que la fonction u. Si u est un extremum de Ď&#x2022; sous les conditions pr´ecis´ees plus haut, alors t = 0 est un extremum de la fonction dâ&#x20AC;&#x2122;une variable r´eelle  b F (x, u(x) + th(x), u (x) + th (x))dx. Ď&#x2C6;h (t) = Ď&#x2022;(u + th) = a

On doit donc avoir Ď&#x2C6;  (0) = 0, et ceci quel que soit la fonction h â&#x2C6;&#x2C6; C 2 ([a, b]) v´eriďŹ ant h(a) = h(b) = 0. Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es le th´eor`eme de d´erivation sous le signe somme il vient Ď&#x2C6;h (0)



b

=

 h(x)Fy (x, u, u ) + h (x)Fz (x, u, u ) dx.

a

En int´egrant par parties le terme en h (x) on obtient Ď&#x2C6;h (0)

 = a

b

  d Fz (x, u, u ) dx. h(x) Fy (x, u, u ) â&#x2C6;&#x2019; dx


VI â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes de r´ esolution explicite

189

Par densit´e de lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des fonctions h consid´er´ees dans lâ&#x20AC;&#x2122;espace L1 ([a, b]) des fonctions int´egrables sur [a, b], on aura donc Ď&#x2C6;h (0) = 0 pour tout h si et seulement si u satisfait lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle  d   (E) Fy (x, u, u ) â&#x2C6;&#x2019; Fz (x, u, u ) = 0, dx ou encore :    (x, u, u ) â&#x2C6;&#x2019; u Fyz (x, u, u ) â&#x2C6;&#x2019; u Fzz (x, u, u ) = 0. Fy (x, u, u ) â&#x2C6;&#x2019; Fxz

Cette ´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle du second ordre en u est appel´ee ´equation dâ&#x20AC;&#x2122;EulerLagrange associ´ee au probl`eme variationnel d´eďŹ ni par lâ&#x20AC;&#x2122;op´erateur Ď&#x2022;.

Application a ` la chaË&#x2020;Äąnetteâ&#x2C6;&#x2014; â&#x20AC;&#x201C; On cherche `a d´eterminer la courbe repr´esentant la position a` lâ&#x20AC;&#x2122;´equilibre dâ&#x20AC;&#x2122;un ďŹ l souple inextensible de masse lin´eique Âľ = dm/ds constante, lorsque ce ďŹ l est suspendu par ses extr´emit´es en des points situ´es `a la mË&#x2020;eme hauteur (cette courbe est appel´ee  chaË&#x2020;Äąnette ). On admettra comme physiquement ´evident que la courbe cherch´ee est sym´etrique et situ´ee dans le plan vertical contenant les extr´emit´es. Soit Oxy un rep`ere orthonorm´e de ce plan tel que Oy est la verticale orient´e vers le haut et passant par le point le plus bas de la courbe, les extr´emit´es ayant pour coordonn´ees (Âąa, 0). Soit enďŹ n s â&#x2C6;&#x2C6; [â&#x2C6;&#x2019;/2, /2] lâ&#x20AC;&#x2122;abscisse curviligne mesur´ee le long du ďŹ l avec le point le plus bas pris comme origine ( d´esigne la longueur du ďŹ l). La position dâ&#x20AC;&#x2122;´equilibre correspond `a la position la plus basse possible du centre de gravit´e G. Par sym´etrie, on a (x ´etant choisi comme variable) :  a  a  1 1 2 a y dm = yÂľ ds = y ds, yG = m/2 0 Âľ/2 0  0 o` u m = Âľ est la masse du ďŹ l. Une int´egration par parties donne  2  a 2 a ys 0 â&#x2C6;&#x2019; yG = s dy   0   2 a 2 a 2 =â&#x2C6;&#x2019; s dy = â&#x2C6;&#x2019; s s â&#x2C6;&#x2019; 1 dx  0  0

avec s = ds/dx = dx2 + dy 2 /dx. Le probl`eme revient donc `a d´eterminer les fonctions s = s(x) r´ealisant le maximum de lâ&#x20AC;&#x2122;op´erateur  a

s s2 â&#x2C6;&#x2019; 1 dx, Ď&#x2022;(s) = 0

avec les contraintes s(0) = 0, s(a) = /2. Lâ&#x20AC;&#x2122;´equation dâ&#x20AC;&#x2122;Euler-Lagrange appliqu´ee `a â&#x2C6;&#x161; F (x, s, t) = s t2 â&#x2C6;&#x2019; 1 donne

d  ss  2 s2 + ss ss2 s â&#x2C6;&#x161; s2 â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; = 0. = s â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161; + 2 dx (s â&#x2C6;&#x2019; 1)3/2 s2 â&#x2C6;&#x2019; 1 s2 â&#x2C6;&#x2019; 1 Apr`es multiplication par (s2 â&#x2C6;&#x2019; 1)3/2 on obtient lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E)

(s2 â&#x2C6;&#x2019; 1)2 â&#x2C6;&#x2019; (s2 â&#x2C6;&#x2019; 1)(s2 + ss ) + ss2 s = 1 â&#x2C6;&#x2019; s2 + ss = 0.


190

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

On r´esout cette ´equation grˆ ace `a la m´ethode d´ecrite au paragraphe 4.2.b), consistant a choisir s comme nouvelle variable et v = s comme nouvelle fonction inconnue. Il ` vient successivement ds ds dv ds = · =v , dx dx ds ds dv = 0, (E) ⇒ 1 − v 2 + sv ds ds vdv 1 = 2 ⇒ ln s = ln(v 2 − 1) + C, s v −1 2

s = λ v 2 − 1 = λ s2 − 1, ds s2 ds  s = = 1 + 2 ⇒ dx =

, dx λ 1 + s2 /λ2 x s x = λ Arg sinh ⇒ s = λ sinh , λ λ  dy 2 ds dy x x = 1+ = sinh . = ch ⇒ dx dx λ dx λ s =

On en d´eduit l’´equation de la chaˆınette, en tenant compte du fait que y(a) = 0 :  a x y = λ cosh − cosh . λ λ Le param`etre λ se calcule `a partir de la relation λ sinh a/λ = /2, obtenue en ´egalant s(a) = /2.

Remarque – Notre raisonnement n’est pas parfaitement rigoureux dans la mesure √

o` u F (x, s, t) = s t2 − 1 est de classe C 2 seulement sur R × R × {|t| > 1}, alors que u |s | est ≥ 1 mais prend la valeur 1 pour x = 0 (on notera que ds/dx = 1/ cos θ o` θ est l’angle de la tangente a` la courbe avec l’axe 0x). Supposons s (x) > 1 pour x > 0, comme c’est le cas pour la solution physique observ´ee. Le raisonnement de d´erivation sous la signe somme et l’int´egration par parties appliqu´es dans les consid´erations g´en´erale du d´ebut fonctionnent encore pour |t| petit si on suppose h(x) = 0 sur un voisinage de 0 (et aussi bien sˆ ur h(a) = 0). Ces fonctions h sont encore denses dans L1 ([0, a]), donc s doit effectivement satisfaire l’´equation diff´erentielle (E) sur ]0, a].

Calcul de g´ eod´ esiques∗∗ – Nous ´etudions ici une autre application importante du calcul des variations, a` savoir le calcul des g´eod´esiques d’une surface (ou d’une vari´et´e de dimension plus grande). Si nous avons une surface S ⊂ R3 donn´ee comme un graphe z = h(x, y) d’une fonction h : Ω → R sur un ouvert Ω ⊂ R2 , l’´el´ement de longueur infinit´esimal de la surface S est donn´e pour tout (x, y) ∈ Ω par ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = dx2 + dy 2 + (hx dx + hy dy)2 = (1 + hx2 )dx2 + 2hx hy dx dy + (1 + hy2 )dy 2 .


191

VI â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes de r´ esolution explicite

Plus g´en´eralement, une m´etrique riemannienne sur un ouvert â&#x201E;Ś â&#x160;&#x201A; Rm est une expression de lâ&#x20AC;&#x2122;´el´ement de longueur inďŹ nit´esimal par une forme quadratique d´eďŹ nie positive, d´ependant du point x â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;Ś consid´er´e :  aij (x) dxi dxj ds2 = q(x, dx) = 1â&#x2030;¤i,jâ&#x2030;¤m

(avec une matrice sym´etrique (aij (x)) d´eďŹ nie positive). On supposera en outre que ´ donn´e les coeďŹ&#x192;cients aij (x) sont suďŹ&#x192;samment r´eguliers, disons de classe C 2 . Etant 1 une courbe Îł : [a, b] â&#x2020;&#x2019; â&#x201E;Ś de classe C , sa longueur (riemannienne) est par d´eďŹ nition  

  ds = Îł  (t) dt q = q Îł(t), Îł  (t)dt = aij (Îł(t)) Îłi (t)Îłj (t) dt, 



b

long(Îł) =

ds = a

a

1â&#x2030;¤i,jâ&#x2030;¤m

b 

aij (Îł(t)) Îłi (t)Îłj (t) dt.

1â&#x2030;¤i,jâ&#x2030;¤m

Pour deux points x, y â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;Ś, la distance g´eod´esique dq (x, y) est par d´eďŹ nition inf Îł long(Îł) pour tous les chemins Îł : [a, b] â&#x2020;&#x2019; â&#x201E;Ś de classe C 1 dâ&#x20AC;&#x2122;extrË&#x2020;emit´es Îł(a) = x, Îł(b) = y. Si un chemin r´ealise lâ&#x20AC;&#x2122;inďŹ mum, on dit quâ&#x20AC;&#x2122;il sâ&#x20AC;&#x2122;agit dâ&#x20AC;&#x2122;une g´eod´esique de la m´etrique riemannienne (on notera quâ&#x20AC;&#x2122;en g´en´eral un tel chemin nâ&#x20AC;&#x2122;existe pas n´ecessairement, et sâ&#x20AC;&#x2122;il existe il peut ne pas Ë&#x2020;etre unique). Un probl`eme fondamental est de d´eterminer lâ&#x20AC;&#x2122;´equation des g´eod´esiques aďŹ n entre autres de calculer la distance g´eod´esique. Pour cela il est commode dâ&#x20AC;&#x2122;introduire  lâ&#x20AC;&#x2122;´energie dâ&#x20AC;&#x2122;un chemin  qui est par d´eďŹ nition  b   b  2 Îł (t) q dt = aij (Îł(t)) Îłi (t)Îłj (t) dt. E(Îł) = a

a 1â&#x2030;¤i,jâ&#x2030;¤m

Lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e de Cauchy-Schwarz donne   b 2   b 2 Îł  (t) q dt = 1 ¡ Îł  (t) q dt â&#x2030;¤ (b â&#x2C6;&#x2019; a) a

a

b

Îł  (t) 2q dt

a

 1/2 , avec ´egalit´e si et seulement si soit long(Îł) â&#x2030;¤ (b â&#x2C6;&#x2019; a)E(Îł) ds = Îł  (t) q = Cte, dt condition qui peut toujours Ë&#x2020;etre r´ealis´ee en reparam´etrisant le chemin Îł par son abscisse curviligne s. Il en r´esulte que les chemins qui minimisent lâ&#x20AC;&#x2122;´energie sont exactement les g´eod´esiques param´etr´ees par lâ&#x20AC;&#x2122;abscisse curviligne (`a un facteur constant pr`es). Or la fonctionnelle dâ&#x20AC;&#x2122;´energie Îł â&#x2020;&#x2019; E(Îł) admet pour diďŹ&#x20AC;´erentielle  b   â&#x2C6;&#x201A;aij  (Îł(t)) Îłi (t)Îłj (t)hk (t) + 2 aij (Îł(t)) Îłi (t)hj (t) dt E (Îł) ¡ h = â&#x2C6;&#x201A;xk a i,j i,j,k  b   â&#x2C6;&#x201A;a  d  ij = hk (t) (Îł(t)) Îłi (t)Îłj (t) â&#x2C6;&#x2019; 2 aik (Îł(t)) Îłi (t) dt â&#x2C6;&#x201A;xk dt i a i,j k


192

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

apr`es int´egration par parties (on suppose bien sË&#x2020; ur hj (a) = hj (b) = 0). Il en r´esulte que le coeďŹ&#x192;cient de chaque terme hk (t) doit Ë&#x2020;etre identiquement nul. En multipliant par â&#x2C6;&#x2019;1/2 et en d´eveloppant la d´eriv´ee d/dt, on obtient le syst`eme dâ&#x20AC;&#x2122;´equations dâ&#x20AC;&#x2122;Euler-Lagrange caract´erisant les g´eod´esiques :   â&#x2C6;&#x201A;aik  1 â&#x2C6;&#x201A;aij  (Îł(t)) Îłi (t)Îłj (t) = 0, aik (Îł(t)) Îłi (t) + â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2030;¤ k â&#x2030;¤ m. â&#x2C6;&#x201A;x 2 â&#x2C6;&#x201A;x j k i i,j

   5.1. On consid`ere lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle `a variables s´epar´ees (FÎą )

dy = y Îą + 1, dt

Îą > 0.

(a) Exprimer la solution g´en´erale de (FÎą ) en introduisant la fonction auxiliaire  y dx G(y) = Îą 0 x +1 (b) Plus pr´ecis´ement : â&#x20AC;˘ D´eterminer (en distinguant les deux cas 0 < Îą â&#x2030;¤ 1 et Îą > 1) le comportement de G(y) sur [0, +â&#x2C6;&#x17E;[ ; â&#x20AC;˘ en d´eduire dans chaque cas lâ&#x20AC;&#x2122;allure des solutions maximales de (FÎą ) ; â&#x20AC;˘ traiter compl`etement et explicitement les deux cas Îą = 1 et Îą = 2. 5.2. On consid`ere lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle xy  â&#x2C6;&#x2019; y 2 + (2x + 1)y = x2 + 2x. (a) Poss`ede-t-elle une solution particuli`ere de type polynË&#x2020; ome ? solution g´en´erale.

En donner la

(b) Quelle est lâ&#x20AC;&#x2122;´equation de lâ&#x20AC;&#x2122;isocline de pente 0 dans le nouveau rep`ere de vecteurs de base ((1, 1), (0, 1)) ? Dessiner cette isocline en pr´ecisant les tangentes aux points dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse 0 dans lâ&#x20AC;&#x2122;ancien rep`ere. (c) Dessiner lâ&#x20AC;&#x2122;allure g´en´erale des solutions. (d) Soit (x0 , y0 ) un point de R2 . Combien passe-t-il de solutions maximales de classe C 1 par (x0 , y0 ) ? On pr´ecisera lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle de d´e��Ź nition de ces solutions et le cas ´ech´eant on indiquera les solutions globales. 5.3. On consid`ere lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle dy = y 2 â&#x2C6;&#x2019; (2x â&#x2C6;&#x2019; 1)y + x2 â&#x2C6;&#x2019; x + 1. dt


193

VI â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes de r´ esolution explicite

(a) D´eterminer explicitement les solutions de cette ´equation ; on pourra commencer par chercher sâ&#x20AC;&#x2122;il existe des solutions polynomiales simples. (b) Montrer que les courbes int´egrales maximales correspondant `a des solutions non polynomiales forment deux familles de courbes se d´eduisant les unes des autres par translations. Tracer celles de ces courbes qui sont asymptotes `a lâ&#x20AC;&#x2122;axe y  Oy. u y est une fonction 5.4. On consid`ere lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle (1) y 2 = yy  + x, o` de x ` a valeurs r´eelles, de classe C 1 par morceaux. (a) Par quels points (x, y) de R2 passe-t-il une solution de (1) ? Faire un graphique. (b) En param´etrant (1)  = tdx, montrer que y est solution dâ&#x20AC;&#x2122;une ´equation  par dy diďŹ&#x20AC;´erentielle (2) f y, t, dy dt = 0.   (c) Int´egrer (2) puis (1) ; on pourra poser t = tan Ď&#x2022; avec Ď&#x2022; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;2 , Ď&#x20AC;2 . On obtient une famille de courbes CÎť d´ependant dâ&#x20AC;&#x2122;un param`etre Îť. (d) Pour Îť = 0 pr´eciser les limites quand Ď&#x2022; â&#x2020;&#x2019;

dx â&#x2C6;&#x2019; 0 de x, y, y/x, puis pr´eciser dĎ&#x2022;   dy dx dy et dĎ&#x2022; . Quelle est la norme euclidienne du vecteur dĎ&#x2022; , dĎ&#x2022; ? On se rappellera

que

dy dx

Ď&#x20AC; 2

= tan Ď&#x2022;.

   dy 2 dx 2 + dĎ&#x2022; pour 0 â&#x2030;¤ Ď&#x2022; â&#x2030;¤ (e) On pose z(Ď&#x2022;) = dĎ&#x2022; z(Ď&#x2022;) puis tracer la courbe C0 .

Ď&#x20AC; 2.

Etudier les variations de

5.5. On consid`ere la famille de paraboles (PÎť ) dâ&#x20AC;&#x2122;´equation PÎť : x = y 2 + Îťy. (a) Montrer que ces courbes sont solutions dâ&#x20AC;&#x2122;une ´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle du premier ordre que lâ&#x20AC;&#x2122;on pr´ecisera. (b) D´eterminer la famille des courbes orthogonales aux courbes (PÎť ). 5.6. On consid`ere la famille de courbes (CÎť ) dans R2 d´eďŹ nies par lâ&#x20AC;&#x2122;´equation x2 â&#x2C6;&#x2019; y 2 + Îťy 3 = 0, o` u Îť est un param`etre r´eel. (a) Tracer les courbes (C0 ), (C1 ) dans un rep`ere orthonorm´e Oxy (unit´e : 4 cm). Quelle relation existe-t-il entre (C1 ) et (CÎť ) ? (b) Montrer que les courbes (CÎť ) sont solutions dâ&#x20AC;&#x2122;une ´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle du premier ordre. (c) D´eterminer lâ&#x20AC;&#x2122;´equation des trajectoires orthogonales aux courbes (CÎť ). Quelle est la nature de ces courbes ? Repr´esenter la trajectoire orthogonale passant par le point (1, 0) sur le mË&#x2020;eme sch´ema que (C0 ) et (C1 ).


194

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

5.7. On consid`ere dans le plan euclidien R2 la famille de courbes (Cλ )

x4 = y 4 + λx.

(a) D´eterminer l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par la famille (Cλ ). ´ (b) Ecrire l’´equation diff´erentielle des trajectoires orthogonales aux courbes (Cλ ). En observant que cette ´equation est d’un type classique, d´eterminer l’´equation des trajectoires orthogonales. 5.8. On consid`ere le probl`eme de Cauchy y  = t2 + y 2 + 1 ;

(P)

y(0) = 0.

(a) Soient T et R deux r´eels > 0, et soit Ω(T, R) le rectangle d´efini par les in´egalit´es 0≤t≤T;

−R ≤ y ≤ R.

(α) Montrer que si la condition T 2 + R2 + 1 ≤ R/T est v´erifi´ee, alors Ω(T, R) est un rectangle de s´ecurit´e pour (P). (β) Montrer que pour T > 0 suffisamment petit, par exemple pour T < T0 =

√ 2−1 ecurit´e 2 , il existe R > 0 tel que Ω(T, R) soit un rectangle de s´ pour (P). (γ) Montrer que Ω(1/3, 2) est un rectangle de s´ecurit´e pour (P), et en d´eduire avec pr´ecision que (P) admet une solution y et une seule sur l’intervalle [0, 1/3]. (b) On va montrer que la solution y de (P) mise en ´evidence en (a) (γ) ne se prolonge pas a` [0, +∞[. On introduit a` cet effet le probl`eme de Cauchy auxiliaire (P1 )

z  = z 2 + 1,

z(0) = 0,

o` u z d´esigne une nouvelle fonction inconnue de t. (α) D´eterminer explicitement l’unique solution z de (P1 ), et indiquer son intervalle de d´efinition maximal. (β) Soit [0, T ] un intervalle sur lequel y et z soient simultan´ement d´efinies. Montrer que u = y − z est solution d’un probl`eme de Cauchy (P2 )

u = a(t)u + b(t) ;

u(0) = 0 ;

o` u b v´erifie b(t) ≥ 0 pour tout t dans [0, T ]. En d´eduire que y(t) ≥ z(t) pour tout t dans [0, T ].


195

VI â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes de r´ esolution explicite

(Îł) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que si T â&#x2030;Ľ pas jusquâ&#x20AC;&#x2122;` a t = T.

Ď&#x20AC; 2,

alors y ne se prolonge certainement

(δ) Tracer avec le maximum de pr´ecision possible le graphe de y sur son intervalle de d´eďŹ nition maximal [0, T1 [ (forme du graphe au voisinage de 0 ; sens de variation, convexit´e ; asymptote ; etc. . .). 5.9â&#x2C6;&#x2014;â&#x2C6;&#x2014; . On appelle m´etrique de Poincar´e du disque unit´e D = {|z| < 1} du plan complexe la m´etrique riemannienne ds2 =

|dz|2 dx2 + dy 2 = , 2 2 (1 â&#x2C6;&#x2019; |z| ) (1 â&#x2C6;&#x2019; (x2 + y 2 ))2

z = x + iy.

(a) Montrer (avec les notations du § 4.4, et en gardant les fonctions complexes dans les calculs) que la diďŹ&#x20AC;´erentielle de lâ&#x20AC;&#x2122;´energie est donn´ee par 

b

E(γ) ¡ h = 2 Re a



 Îł  (t) Îł(t)Îł  (t)Îł  (t)  2 h (t) + 2  3 h(t) dt. 1 â&#x2C6;&#x2019; Îł(t)Îł(t) 1 â&#x2C6;&#x2019; Îł(t)Îł(t)

En d´eduire que lâ&#x20AC;&#x2122;´equation dâ&#x20AC;&#x2122;Euler-Lagrange des g´eod´esiques est Îł  (t) +

2Îł  (t)2 Îł(t) 1 â&#x2C6;&#x2019; Îł(t)Îł(t)

= 0.

(b) Montrer que le chemin Îł(t) = tanh(kt) (qui d´ecrit le diam`etre ]â&#x2C6;&#x2019;1, 1[ du disque) est solution de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation pour tout k â&#x2C6;&#x2C6; Râ&#x2C6;&#x2014;+ . (c) Montrer que si t â&#x2020;&#x2019; Îł(t) est solution, alors t â&#x2020;&#x2019; Νγ(t) est encore solution pour tout nombre complexe Îť de module 1, et ´egalement que ha â&#x2014;Ś Îł est solution, pour toute homographie complexe ha de la forme ha (z) =

z+a , 1 + az

a â&#x2C6;&#x2C6; D.

(d) En utilisant un argument dâ&#x20AC;&#x2122;unicit´e des solutions du probl`eme de Cauchy, montrer que les g´eod´esiques sont toutes donn´ees par Îł(t) = ha (Îť tanh(kt)), a â&#x2C6;&#x2C6; D, |Îť| = 1, k â&#x2C6;&#x2C6; Râ&#x2C6;&#x2014;+ [on pourra calculer Îł(0) et Îł  (0)]. (e) Montrer que les trajectoires des g´eod´esiques sont les diam`etres et les arcs de cercle orthogonaux au cercle unit´e |z| = 1.




   Les syst`emes diďŹ&#x20AC;´erentiels lin´eaires ont une grande importance pratique, car de nombreux ph´enom`enes naturels peuvent se mod´eliser par de tels syst`emes, au moins en premi`ere approximation. On sait dâ&#x20AC;&#x2122;autre part r´esoudre compl´etement les syst`emes `a coeďŹ&#x192;cients constants, le calcul des solutions se ramenant `a des calculs dâ&#x20AC;&#x2122;alg`ebre lin´eaire (diagonalisation ou triangulation de matrices). Dans toute la suite, K d´esigne lâ&#x20AC;&#x2122;un des corps R ou C.

   

       Un syst`eme diďŹ&#x20AC;´erentiel lin´eaire du premier ordre dans Km est une ´equation (E) 

dY = A(t)Y + B(t) dt

 y1 (t)   o` u Y (t) =  ...  â&#x2C6;&#x2C6; Km est la fonction inconnue et o` u ym (t)   b1 (t)   A(t) = (aij (t))1â&#x2030;¤i,jâ&#x2030;¤m â&#x2C6;&#x2C6; Mm (K), B(t) =  ...  â&#x2C6;&#x2C6; Km bm (t) sont des fonctions continues donn´ees : A : I â&#x2020;&#x2019; Mm (K) = {matrices carr´ees m Ă&#x2014; m sur K}, B : I â&#x2020;&#x2019; Km , d´eďŹ nies sur un intervalle I â&#x160;&#x201A; R. On observe que la fonction f (t, Y ) = A t)Y + B(t) est continue sur I Ă&#x2014; Km et lipschitzienne en Y de rapport k(t) = |||A(t)|||.


198

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es le crit`ere V 3.4 sur lâ&#x20AC;&#x2122;existence de solutions globales, on peut ´enoncer :

Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; Par tout point (t0 , V0 ) â&#x2C6;&#x2C6; I Ă&#x2014; Km il passe une solution maximale unique, d´eďŹ nie sur I tout entier.

               On entend par l` a un syst`eme lin´eaire avec B = 0 identiquement : dY (E0 ) = A(t)Y. dt Soit S lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des solutions maximales. Alors pour tous Y(1) , Y(2) â&#x2C6;&#x2C6; S et tous scalaires Îť1 , Îť2 â&#x2C6;&#x2C6; K on a Îť1 Y(1) + Îť2 Y(2) â&#x2C6;&#x2C6; S, donc S est un K-espace vectoriel. Consid´erons lâ&#x20AC;&#x2122;application dâ&#x20AC;&#x2122;´evaluation au temps t0 : Ď&#x2020;t0 : S â&#x2020;&#x2019; Km Y â&#x2020;&#x2019; Y (t0 ). Ď&#x2020;t0 est un isomorphisme lin´eaire, la surjectivit´e provenant du th´eor`eme dâ&#x20AC;&#x2122;existence, et lâ&#x20AC;&#x2122;injectivit´e du th´eor`eme dâ&#x20AC;&#x2122;unicit´e relatif au probl`eme de Cauchy.

Cons´ equence â&#x20AC;&#x201C; Lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble S des solutions maximales est un espace vectoriel de dimension m sur K.

      Revenons au syst`eme lin´eaire le plus g´en´eral : dY = A(t)Y + B(t). (E) dt On sait quâ&#x20AC;&#x2122;il existe au moins une solution globale Y(1) . Si Y est une solution quelconque, il est clair que Z = Y â&#x2C6;&#x2019; Y(1) satisfait lâ&#x20AC;&#x2122;´equation sans second membre (E0 ) : dZ/dt = A(t)Z, et r´eciproquement. Par cons´equent, lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des solutions maximales est donn´e par Y(1) + S = {Y(1) + Z ; Z â&#x2C6;&#x2C6; S}, o` u S est lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des solutions maximales de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation sans second membre (E0 ) associ´ee. Lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble Y(1) + S des solutions est un translat´e de S, câ&#x20AC;&#x2122;est donc un espace aďŹ&#x192;ne de dimension m sur K, admettant S comme direction vectorielle.

 

          

    Ce sont les syst`emes de la forme dY = AY + B(t) dt o` u la matrice A = (aij ) â&#x2C6;&#x2C6; Mn (K) est ind´ependante de t.

(E)


199

VII â&#x20AC;&#x201C; Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires





  

   

 

dY dt

= AY

On cherche une solution de la forme Y (t) = eÎťt V o` u l â&#x2C6;&#x2C6; K, V â&#x2C6;&#x2C6; Km sont des constantes. Cette fonction est solution si et seulement si ÎťeÎťt V = eÎťt AV , soit AV = ÎťV. On est donc amen´e `a chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de A. Cas simple : A est diagonalisable. Il existe alors une base (V1 , . . . , Vm ) de Km constitu´ee de vecteurs propres de A, de valeurs propres respectives Îť1 , . . . , Îťm . On obtient donc m solutions lin´eairement ind´ependantes t â&#x2020;&#x2019; eÎťj t Vj , 1 â&#x2030;¤ j â&#x2030;¤ m. La solution g´en´erale est donn´ee par Y (t) = Îą1 eÎť1 t V1 + . . . + Îąm eÎťm t Vm ,

Îąj â&#x2C6;&#x2C6; K.

Lorsque A est nâ&#x20AC;&#x2122;est pas diagonalisable, on a besoin en g´en´eral de la notion dâ&#x20AC;&#x2122;exponentielle dâ&#x20AC;&#x2122;une matrice. Toutefois le cas des syst`emes 2 Ă&#x2014; 2 `a coeďŹ&#x192;cients constants est suďŹ&#x192;samment simple pour quâ&#x20AC;&#x2122;on puisse faire les calculs  `a la main . Le lecteur pourra se reporter au § X 2.2 pour une ´etude approfondie de ce cas.

  

  

 

La d´eďŹ nition est calqu´ee sur celle de la fonction exponentielle complexe usuelle, calcul´ee au moyen du d´eveloppement en s´erie enti`ere.

D´ eďŹ nition â&#x20AC;&#x201C; Si A â&#x2C6;&#x2C6; M (K), on pose eA =

+â&#x2C6;&#x17E;  1 n A . n! n=0

Munissons Mn (K) de la norme ||| ||| des op´erateurs lin´eaires sur Km associ´ee `a la norme euclidienne (resp. hermitienne) de Rm (resp. Cm ). On a alors ||| de sorte que la s´erie

1 n!

1 n 1 A ||| â&#x2030;¤ |||A|||n , n! n!

An est absolument convergente. On voit de plus que |||eA ||| â&#x2030;¤ e|||A||| .

Propri´ et´ e fondamentale â&#x20AC;&#x201C; Si A, B â&#x2C6;&#x2C6; Mm (K) commutent (AB = BA), alors eA+B = eB ¡ eB .


200

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

V´ erification. On consid`ere la s´erie produit g´en´eral est Cn =



1 p!

Ap ·

1 q!

B q , dont le terme

1 n! 1  1 Ap B q = Ap B n−p = (A + B)n p!q! n! p!(n − p)! n! p+q=n p=0 n

d’apr`es la formule du binˆ ome (noter que cette formule n’est vraie que si A et B commutent). Comme les s´eries de eA et eB sont absolument convergentes, on en d´eduit +∞  A B e ·e = Cn = eA+B . n=0

On voit en particulier que e est une matrice inversible, d’inverse e−A . A

Remarque – La propri´et´e fondamentale tombe en d´efaut lorsque A et B ne commutent pas. Le lecteur pourra par exemple calculer eA · eB et eA+B avec     0 0 0 −θ A= et B = , θ 0 0 0 avec θ ∈ R. Que remarque-t-on ?

M´ ethode g´ en´ erale de calcul dans Mn(C) – Toute matrice A ∈ Mn (C) peut ˆetre mise sous forme de blocs triangulaires correspondant aux diff´erents sousespaces caract´eristiques de A. Il existe donc une matrice de passage P , dont les colonnes sont constitu´ees par des vecteurs formant des bases des sous-espaces caract´eristiques, telle que T = P −1 AP soit une matrice triangulaire de la forme   T1     T2   T = , .   ..   Ts

0

0

   Tj =   

λj

0 .. .

λj

0

...

... .. . .. . 0

 ∗ ..  .  ,  ∗  λj

o` u λ1 , . . . , λs sont les valeurs propres distinctes de A. On a alors de fa¸con ´evidente     T1n e T1     T2n e T2     .. eT =  Tn =  .. ,  . .    

0

0

0

0

Tsn

Comme A = P T P −1 , il vient An = P T n P −1 , d’o` u  T1 e  e T2  A T −1 .. e = Pe P = P  . 

0

0 e Ts

e Ts    −1 P 


201

VII â&#x20AC;&#x201C; Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires

On est donc ramen´e `a calculer lâ&#x20AC;&#x2122;exponentielle eB lorsque B est un bloc triangulaire de la forme   Îť â&#x2C6;&#x2014; ... â&#x2C6;&#x2014; . ..  . ..  0 Îť  B=. .  = ÎťI + N â&#x2C6;&#x2C6; Mp (K), .. ... â&#x2C6;&#x2014;   .. 0 ... 0 Îť   0 â&#x2C6;&#x2014; . .  .. o` u I est la matrice unit´e et N une matrice nilpotente N =  .. 0 ... 0 triangulaire sup´erieure. La puissance N n comporte n diagonales nulles a` partir de la diagonale principale (celle-ci incluse), en particulier N n = 0 pour n â&#x2030;Ľ p. On obtient donc   1 â&#x2C6;&#x2014; ... â&#x2C6;&#x2014; . ..  . ..  1 1  0 1 N + ... + N pâ&#x2C6;&#x2019;1 =  . . eN = I + . .. ... â&#x2C6;&#x2014;  1! (p â&#x2C6;&#x2019; 1)!  .. 0 ... 0 1 Comme I et N commutent, il vient ďŹ nalement eB = eÎťI eN = eÎť eN

(car eÎťI = eÎť I).

Formule â&#x20AC;&#x201C; det (eA ) = exp(tr(A)). V´ eriďŹ cation. Dans le cas dâ&#x20AC;&#x2122;un bloc triangulaire B â&#x2C6;&#x2C6; Mp (K), on trouve det (eB ) = (eÎť )p det (eN ) = epÎť = exp(tr(B)). On en d´eduit donc det (eT ) = det (eT1 ) . . . det (eTs ) = exp(tr(T1 ) + . . . + tr(Ts )) = exp(tr(T )) Comme A = P T P â&#x2C6;&#x2019;1 et eA = P eT P â&#x2C6;&#x2019;1 , on a ďŹ nalement  det (eA ) = det (eT ), tr(A) = tr(T ) = valeurs propres.

             

dY dt

= AY

Lâ&#x20AC;&#x2122;une des propri´et´es fondamentales de lâ&#x20AC;&#x2122;exponentiation des matrices r´eside dans le fait quâ&#x20AC;&#x2122;elle est intimement li´ee `a la r´esolution des ´equations lin´eaires `a coeďŹ&#x192;cients constants dY /dt = AY .

Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; La solution Y telle que Y (t0 ) = V0 est donn´ee par Y (t) = e(tâ&#x2C6;&#x2019;t0 )A ¡ V0 ,

â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2C6; R.


202

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

D´ emonstration. On a Y (t0 ) = e0 ¡ V0 = IV0 = V0 . Dâ&#x20AC;&#x2122;autre part, la s´erie enti`ere etA =

+â&#x2C6;&#x17E;  1 n n t A n! n=0

est de rayon de convergence +â&#x2C6;&#x17E;. On peut donc d´eriver terme `a terme pour tout tâ&#x2C6;&#x2C6;R: +â&#x2C6;&#x17E; +â&#x2C6;&#x17E;   1 1 p p+1 d tA (e ) = tnâ&#x2C6;&#x2019;1 An = t A , dt (n â&#x2C6;&#x2019; 1)! p! n=1 p=0 d tA (e ) = A ¡ etA = etA ¡ A. dt Par cons´equent, on a bien  d  (tâ&#x2C6;&#x2019;t0 )A dY = ¡ V0 = Ae(tâ&#x2C6;&#x2019;t0 )A ¡ V0 = AY (t). e dt dt En prenant t0 = 0, on voit que la solution g´en´erale est donn´ee par Y (t) = etA ¡ V avec V â&#x2C6;&#x2C6; Km . Le calcul de etA se ram`ene au cas dâ&#x20AC;&#x2122;un bloc triangulaire B = ÎťI + N â&#x2C6;&#x2C6; Mp (C). Dans ce cas on a etB = eÎťtI etN = eÎťt etN , avec   1 Q12 (t) . . . Q1p (t) ..     . 1 Q23 (t) pâ&#x2C6;&#x2019;1 n    t tN n   .. .. N = e =  . . n!   n=0  1 Qpâ&#x2C6;&#x2019;1 p (t) 

0

1

o` u Qij (t) est un polynË&#x2020; ome de degr´e â&#x2030;¤ j â&#x2C6;&#x2019; i, avec Qij (0) = 0. Les composantes de Y (t) sont donc toujours des fonctions exponentielles-polynË&#x2020; omes 1â&#x2030;¤jâ&#x2030;¤s Pj (t)eÎťj t o` u Îť1 , . . . , Îťs sont les valeurs propres complexes de A (mË&#x2020;eme si K = R).

    

dY dt

= AY + B(t)

Si aucune solution ´evidente nâ&#x20AC;&#x2122;apparaË&#x2020;Äąt, on peut utiliser la m´ethode de variation des constantes, câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire quâ&#x20AC;&#x2122;on cherche une solution particuli`ere sous la forme Y (t) = etA ¡ V (t) o` u V est suppos´ee diďŹ&#x20AC;´erentiable. Il vient Y  (t) = AetA ¡ V (t) + etA ¡ V  (t) = AY (t) + etA ¡ V  (t).


203

VII â&#x20AC;&#x201C; Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires

Il suďŹ&#x192;t donc de choisir V telle que etA ¡ V  (t) = B(t), soit par exemple  t V (t) = eâ&#x2C6;&#x2019;uA B(u)du, t0 â&#x2C6;&#x2C6; I. t0

On obtient ainsi la solution particuli`ere  t  t Y (t) = etA eâ&#x2C6;&#x2019;uA B(u)du = e(tâ&#x2C6;&#x2019;u)A B(u)du, t0

t0

qui est la solution telle que Y (t0 ) = 0. La solution g´en´erale du probl`eme de Cauchy telle que Y (t0 ) = V0 est donc  t (tâ&#x2C6;&#x2019;t0 )A Y (t) = e ¡ V0 + e(tâ&#x2C6;&#x2019;u)A B(u)du. t0

Exemple â&#x20AC;&#x201C; Une particule de masse m et de charge ´electrique q se d´eplace dans â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; R3 sous lâ&#x20AC;&#x2122;action dâ&#x20AC;&#x2122;un champ magn´etique B et dâ&#x20AC;&#x2122;un champ ´electrique E uniformes et ind´ependants du temps. Quelle est la trajectoire de la particule ? â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Si V et â&#x2C6;&#x2019; Îł d´esignent respectivement la vitesse et lâ&#x20AC;&#x2122;acc´el´eration, la loi de Lorentz et le principe fondamental de la dynamique donnent lâ&#x20AC;&#x2122;´equation â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; F = mâ&#x2C6;&#x2019; Îł = qV â&#x2C6;§ B + qE, dâ&#x20AC;&#x2122;o` u

â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; q â&#x2C6;&#x2019; dV q â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; Îł = = V â&#x2C6;§B+ E. dt m m Il sâ&#x20AC;&#x2122;agit dâ&#x20AC;&#x2122;un syst`eme lin´eaire o` u la matrice A (` a coeďŹ&#x192;cients constants) est la matrice â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; q â&#x2C6;&#x2019; V â&#x2C6;§ B . On confondra dans la suite A avec cette de lâ&#x20AC;&#x2122;application lin´eaire V â&#x2020;&#x2019; m application lin´eaire. Un calcul simple montre que  q 2  q 2 â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; (V â&#x2C6;§ B ) â&#x2C6;§ B = â&#x2C6;&#x2019; B 2 PB ( V ) A2 ( V ) = m m â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; o` u B = B et o` u PB d´esigne le projection orthogonale sur la plan vectoriel de â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; vecteur normal B . Le sch´ema est le suivant :

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; B â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; QB ( V )

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; V

â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; (V â&#x2C6;§ B ) â&#x2C6;§ B â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; PB ( V ) â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; V â&#x2C6;§B


204

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

→ − − → → − − → On observe pour le calcul que V ∧ B = PB ( V ) ∧ B . On en d´eduit alors facilement  q 2p → − → − A2p ( V ) = (−1)p B 2p PB ( V ), p ≥ 1 m  q 2p+1 → − → − − → A2p+1 ( V ) = (−1)p B 2p V ∧ B , m cette derni`ere relation ´etant encore valable pour p = 0. En notant ω = d´eduit

q m

B, on en

+∞ +∞  ω 2p t2p ω 2p+1 t2p+1 1 − → − → → − →  − → − PB ( V ) + V ∧B etA ( V ) = V + (−1)p (−1)p (2p)! (2p + 1)! B p=1 p=0

1 − → − → − → − → − → = V − PB ( V ) + cos ωt PB ( V ) + sin ωt V ∧ B. B En l’absence de champ ´electrique, les ´equations du mouvement sont donn´ees par 1 − − → → − → − → → − V = QB ( V0 ) + cos ωt PB ( V 0 ) + sin ωt V0 ∧ B B 1 1 − cos ωt − → −−−→ → − → − → − sin ωt PB ( V0 ) + M0 M = tQB ( V0 ) + V0∧B w ωB → − o` u M0 , V0 d´esignent la position et la vitesse en t = 0 et QB la projection orthogonale → − sur la droite R · B . Il est facile de voir qu’il s’agit d’un mouvement h´elico¨ıdal → − uniforme de pulsation ω, trac´e sur un cylindre d’axe parall`ele `a B et de rayon → − R = PB ( V0 ) /ω. → − → − → − En pr´esence d’un champ ´electrique E , le calcul est ais´e si E est parall`ele `a B . On → − → q − a donc dans ce cas une solution particuli`ere ´evidente V = t m E , d’o` u les lois g´en´erales des vitesses et du mouvement : q → 1 − − → → − → − → − − → V = QB ( V 0 ) + t E + cos ωt PB ( V0 ) + sin ωt V 0 ∧ B , m B   1 q − 1 − cos ωt → → − → − → −−−→ → − − sin ωt PB ( V0 ) + M0 M = tQB ( V0 ) + t2 E + V0 ∧ B . 2m ω ωB Le mouvement est encore trac´e sur un cylindre a` base circulaire et sa pulsation est constante, mais le mouvement est acc´el´er´e dans la direction de l’axe. → − − → → − Dans le cas g´en´eral, on d´ecompose E = E// + E⊥ en ses composantes parall`eles et → − → − → − → − orthogonales a` B , et on observe qu’il existe un vecteur U orthogonal a` B et E⊥ , → − − → − → tel que U ∧ B = E⊥ . L’´equation diff´erentielle devient → − dV q → q − − − → − → → = (V + V ) ∧ B + E// dt m m → − − → de sorte que V + U satisfait l’´equation diff´erentielle correspondant a` un champ → − − → → − → − − → − → → − ´electrique parall`ele `a B . En substituant V + U `a V et V0 + U `a V0 dans les


205

VII â&#x20AC;&#x201C; Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires

formules, on obtient  q â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; E// + cos Ď&#x2030;t PB ( V0 + U ) V + U = QB ( V 0 ) + t m 1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; + sin Ď&#x2030;t ( V0 â&#x2C6;§ B + Eâ&#x160;Ľ ), B  q â&#x2C6;&#x2019; sin Ď&#x2030;t  â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; PB ( V0 + U ) M0 M = t QB ( V0 â&#x2C6;&#x2019; U ) + t2 E// + 2m Ď&#x2030; 1 â&#x2C6;&#x2019; cos Ď&#x2030;t â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; ( V0 â&#x2C6;§ B + Eâ&#x160;Ľ ). + Ď&#x2030;B Il sâ&#x20AC;&#x2122;agit encore dâ&#x20AC;&#x2122;un mouvement de type h´elico¨Ĺdal acc´el´er´e, mais cette fois le mouvement nâ&#x20AC;&#x2122;est plus trac´e sur un cylindre. â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; B

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; B

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; B

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; E

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; E

           p  

         

 On consid`ere ici une ´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle sans second membre (E)

ap y (p) + . . . + a1 y  + a0 y = 0

o` u y : R â&#x2020;&#x2019; K, t â&#x2020;&#x2019; y(t) est la fonction inconnue, et o` u les aj â&#x2C6;&#x2C6; K sont des constantes, ap = 0. Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es le paragraphe V 4.2, on sait que lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E) est ´equivalente a` un syst`eme diďŹ&#x20AC;´erentiel (S) dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 1 dans Kp , qui est le syst`eme lin´eaire sans second membre Y  = AY avec   0 1 0 ... 0  0 0 1 ... 0   .    , cj = â&#x2C6;&#x2019; a j . . A= .  ap  0 0 0 ... 1  c0 c1 c2 . . . cpâ&#x2C6;&#x2019;1


206

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

GrË&#x2020; ace au § 1.1, on peut donc ´enoncer :

Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; Lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble S des solutions globales de (E) est un K-espace vectoriel de dimension p. Pla¸cons-nous maintenant sur le corps C (si K = R, les solutions r´eelles sâ&#x20AC;&#x2122;obtiennent simplement en prenant la partie r´eelle et la partie imaginaire des solutions complexes). Cherchons les solutions exponentielles de la forme Îť â&#x2C6;&#x2C6; C.

y(t) = eÎťt ,

Comme y (j) (t) = Îťj eÎťt , on voit que y est solution de (E) si et seulement si Îť est racine du polynË&#x2020; ome caract´eristique P (Îť) = ap Îťp + . . . + a1 Îť + a0 .

 P              Si P poss`ede p racines distinctes Îť1 , . . . , Îťp , on obtient p solutions distinctes t â&#x2020;&#x2019; eÎťj t ,

1 â&#x2030;¤ j â&#x2030;¤ p.

On verra plus loin que ces solutions sont lin´eairement ind´ependantes sur C. Lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des solutions est donc lâ&#x20AC;&#x2122;espace vectoriel de dimension p des fonctions Îąj â&#x2C6;&#x2C6; C.

y(t) = Îą1 eÎť1 t + . . . + Îąp eÎťp t ,

 P              On peut alors ´ecrire P (Ν) = ap

s 

(Îť â&#x2C6;&#x2019; Îťj )mj

j=1

o` u mj est la multiplicit´e de la racine Îťj , avec m1 + . . . + ms = p. Consid´erons lâ&#x20AC;&#x2122;op´erateur diďŹ&#x20AC;´erentiel p d  di ai i . P = dt dt i=0

On voit que lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle ´etudi´ee peut se r´ecrire d y=0 (E) P dt et on a dâ&#x20AC;&#x2122;autre part la formule d P eÎťt = P (Îť)eÎťt , dt

â&#x2C6;&#x20AC;Îť â&#x2C6;&#x2C6; C.


207

VII – Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires

d d et dλ commutent d’apr`es le th´eor`eme de Schwarz, Comme les d´eriv´ees partielles dt on obtient    d  dq d dq   d  λt  dq  λt λt = P = P (λ)e , e P (tq eλt ) = P e dt dt dλq dλq dt dλq

d’o` u, grˆ ace `a la formule de Leibnitz : P

q d  Cqi P (i) (λ)eλt . (tq eλt ) = dt i=0

Comme λj est racine de multiplicit´e mj , on a P (i) (λj ) = 0 pour 0 ≤ i ≤ mj − 1, et P (mj ) (λj ) = 0. On en d´eduit P

 d   tq eλj t = 0, dt

0 ≤ q ≤ mj − 1.

L’´equation (E) admet donc les solutions y(t) = tq eλj t ,

0 ≤ q ≤ mj−1 ,

1≤j≤s

soit au total m1 + . . . + ms = p solutions.

Lemme – Si λ1 , . . . , λs ∈ C sont des nombres complexes deux a` deux distincts, alors les fonctions yj,q (t) = tq eλj t ,

1 ≤ j ≤ s,

q∈N

sont lin´eairement ind´ependantes. D´ emonstration. Consid´erons une combinaison lin´eaire finie  αj,q yj,q = 0, αj,q ∈ C. Si les coefficients sont non tous nuls, soit N le maximum des entiers q tels qu’il

0. Supposons par exemple α1,N = 0. On pose alors existe j avec αj,q = Q(λ) = (λ − λ1 )N (λ − λ2 )N +1 . . . (λ − λs )N +1 Il vient Q(i) (λj ) = 0 pour j ≥ 2 et 0 ≤ i ≤ N , tandis que Q(i) (λ1 ) = 0 pour 0 ≤ i < N et Q(N ) (λ1 ) = 0. On en d´eduit Q

q d  Cqi Q(i) (λj )tq−i eλj t (tq eλj t ) = dt i=0

= 0 pour

0 ≤ q ≤ N,

1 ≤ j ≤ s,

sauf si q = N , j = 1, auquel cas Q

d (tN eλ1 t ) = Q(N ) (λ1 )eλ1 t . dt


208

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

  En appliquant lâ&#x20AC;&#x2122;op´erateur Q

d dt

`a la relation

Îąj,q tq eÎťj t = 0 on obtient alors

ι1,N Q(N ) (Ν1 )eΝ1 t = 0, ce qui est absurde puisque ι1,N = 0 et Q(N ) (Ν1 ) = 0. Le lemme est d´emontr´e. On peut donc ´enoncer :

Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; Lorsque le polynË&#x2020;ome caract´eristique P (Îť) a des racines complexes Îť1 , . . . , Îťs de multiplicit´es respectives m1 , . . . , ms , lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble S des solutions est le C-espace vectoriel de dimension p ayant pour base les fonctions t â&#x2020;&#x2019; tq eÎťj t ,

1 â&#x2030;¤ j â&#x2030;¤ s,

0 â&#x2030;¤ q â&#x2030;¤ mj â&#x2C6;&#x2019; 1.

     p      

 Soit a` r´esoudre lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle ap y (p) + . . . + a1 y  + a0 y = b(t),

(E)

o` u b : I â&#x2020;&#x2019; C est une fonction continue donn´ee. On commence par r´esoudre lâ&#x20AC;&#x2122;´equation sans second membre ap y (p) + . . . + a1 y  + a0 y = 0.

(E0 )

Soit (v1 , . . . , vp ) une base des solutions de (E0 ). On cherche alors une solution particuli`ere de (E). Dans un certain nombre de cas, une solution simple peut Ë&#x2020;etre trouv´ee rapidement. Par exemple, si b est un polynË&#x2020; ome de degr´e d et si a0 = 0, lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E) admet une solution polynomiale y de degr´e d, que lâ&#x20AC;&#x2122;on peut rechercher par ome identiďŹ cation des coeďŹ&#x192;cients. Si b(t) = ÎąeÎťt et si Îť nâ&#x20AC;&#x2122;est pas racine du polynË&#x2020; caract´eristique, lâ&#x20AC;&#x2122;´equation admet pour solution (Îą/P (Îť))eÎťt . Si b est une fonction exponentielle-polynË&#x2020; ome, (E) admet une solution du mË&#x2020;eme type (noter que les fonctions trigonom´etriques se ram`enent a` ce cas). En g´en´eral, le principe consiste a` appliquer la m´ethode de variation des constantes au syst`eme diďŹ&#x20AC;´erentiel (S) dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 1 associ´e a ` (E).  (pâ&#x2C6;&#x2019;1) = ypâ&#x2C6;&#x2019;1 , lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E) ´equivaut au syst`eme Si on pose y = y0 , y = y1 , . . . , y   y0 = y1       .. . (S)   ypâ&#x2C6;&#x2019;2 = ypâ&#x2C6;&#x2019;1      y  = â&#x2C6;&#x2019; 1 (a0 y0 + a1 y1 + . . . + apâ&#x2C6;&#x2019;1 ypâ&#x2C6;&#x2019;1 ) + 1 b(t). pâ&#x2C6;&#x2019;1

ap

ap

Ce syst`eme lin´eaire peut se r´ecrire (S): Y  = AY + B(t) avec 

 y0   Y =  ...  ypâ&#x2C6;&#x2019;1



0 .. .

 et B(t) =   1 ap

0 b(t).

   


209

VII – Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires

Le syst`eme homog`ene (S0 ) Y  = AY admet pour base de solutions les fonctions    v   v  vp 1 2  vp   v1   v2       V . . . V V1 =  = =  . . 2 p  ..   ..  .  . . .  (p−1) (p−1) (p−1) v1 v2 vp On cherche alors une solution particuli`ere de (S) sous la forme Y (t) = α1 (t)V1 (t) + . . . + αp (t)Vp (t). Comme Vj = AVj , il vient  αj (t)Vj (t) + αj (t)Vj (t)  = AY (t) + αj (t)Vj (t).

Y  (t) =



Il suffit donc de choisir les αj tels que

αj (t)Vj (t) = B(t), c’est-`a-dire

  α1 (t)v1 (t) + . . . + αp (t)vp (t) = 0     ... (p−2) (p−2)  (t) + . . . + αp (t)vp (t) = 0  α1 (t)v1    (p−1) (p−1)  α (t)v (t) + . . . + αp (t)vp (t) = a1p b(t). 1 1 On obtient ainsi un syst`eme lin´eaire de p ´equations par rapport aux p inconnues α1 (t), . . . , αp (t). Le d´eterminant de ce syst`eme est non nul pour tout t ∈ R (les vecteurs V1 (t), . . . , Vp (t) sont lin´eairement ind´ependants, car si une combinaison lin´eaire Y = β1 V1 + . . . + βp Vp est telle que Y (t) = 0, alors Y ≡ 0 d’apr`es le th´eor`eme d’unicit´e, donc β1 = . . . = βp = 0). La r´esolution de ce syst`eme permet de calculer α1 , . . . , αp , puis α1 , . . . , αp par int´egration, d’o` u la solution particuli`ere cherch´ee : y(t) = α1 (t)v1 (t) + . . . + αp (t)vp (t). π π . 2 2 • On commence par r´esoudre l’´equation sans second membre 

Exemple – (E) y  + 4y = tan t, avec t ∈ − ,

(E0 )

y  + 4y = 0.

Le polynˆ ome caract´eristique est P (λ) = λ2 + 4, et poss`ede deux racines simples 2i et −2i. L’´equation (E0 ) admet pour base de solutions les fonctions t → e2it , t → e−2it , ou encore : t → cos 2t, t → sin 2t. • On cherche ensuite une solution particuli`ere de (E) en posant y(t) = α1 (t) cos 2t + α2 (t) sin 2t.


210

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Ceci conduit a` r´esoudre le syst`eme ι1 (t) cos 2t + ι2 (t) sin 2t = 0

Îą1 (t) ¡ (â&#x2C6;&#x2019;2 sin 2t) + Îą2 (t) ¡ (2 cos 2t) = tan t.

Le d´eterminant du syst`eme ´etant ´egal `a 2, on obtient  1 1  2    Îą1 (t) = â&#x2C6;&#x2019; tan t sin 2t = â&#x2C6;&#x2019; sin t = â&#x2C6;&#x2019; (1 â&#x2C6;&#x2019; cos 2t) 2 2  1 1 1   Îą2 (t) = tan t cos 2t = tan t(2 cos2 t â&#x2C6;&#x2019; 1) = sin 2t â&#x2C6;&#x2019; tan t, 2 2 2  1 t    Îą1 (t) = â&#x2C6;&#x2019; + sin 2t 2 4  1 1   Îą2 (t) = â&#x2C6;&#x2019; cos 2t + ln (cos t), 4 2 dâ&#x20AC;&#x2122;o` u la solution particuli`ere y(t) = â&#x2C6;&#x2019;

1 t cos 2t + sin 2t ln (cos t). 2 2

La solution g´en´erale est donc y(t) = â&#x2C6;&#x2019;

t 1 cos 2t + sin 2t ln (cos t) + Îą1 cos 2t + Îą2 sin 2t. 2 2

 

         

      Lâ&#x20AC;&#x2122;objet de ce paragraphe (avant tout th´eorique) est de g´en´eraliser les r´esultats du § 2 au cas des syst`emes lin´eaires `a coeďŹ&#x192;cients variables.

            Consid´erons une ´equation lin´eaire sans second membre (E0 )

Y  = A(t)Y

o` u A : R â&#x160;&#x192; I â&#x2020;&#x2019; Mm (K) est une matrice m Ă&#x2014; m sur K `a coeďŹ&#x192;cients continus. Soit S lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des solutions maximales de (E0 ). Pour tout t0 â&#x2C6;&#x2C6; I, on sait que ÎŚt0 : S â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; Km ,

Y â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; Y (t0 )

est un isomorphisme K-lin´eaire. Pour tout couple (t, t0 ) â&#x2C6;&#x2C6; I 2 , on d´eďŹ nit ÎŚâ&#x2C6;&#x2019;1 ÎŚt t0 m : K â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; S â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; Km R(t, t0 ) = ÎŚt â&#x2014;Ś ÎŚâ&#x2C6;&#x2019;1 t0 V â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; Y â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; Y (t).


211

VII â&#x20AC;&#x201C; Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires

u Y est la solution telle que Y (t0 ) = V . Comme On a donc R(t, t0 ) ¡ V = Y (t), o` R(t, t0 ) est un isomorphisme Km â&#x2020;&#x2019; Km , il sera identiďŹ Â´e `a la matrice inversible qui lui correspond canoniquement dans Mm (K).

D´ eďŹ nition â&#x20AC;&#x201C; R(t, t0 ) sâ&#x20AC;&#x2122;appelle la r´esolvante du syst`eme lin´eaire (E0 ). Pour tout vecteur V â&#x2C6;&#x2C6; Km , on a avec les notations ci-dessus   d d  R(t, t0 ) ¡ V = R(t, t0 ) ¡ V ) dt dt dY = A(t)Y (t) = A(t)R(t, t0 ) ¡ V. = dt On en d´eduit donc

d dt

R(t, t0 ) = A(t)R(t, t0 ).

Propri´ et´ es de la r´ esolvante (i) â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2C6; I,

R(t, t) = Im

(ii) â&#x2C6;&#x20AC;(t0 , t1 , t2 ) â&#x2C6;&#x2C6; I 3 ,

(matrice unit´e m Ă&#x2014; m).

R(t2 , t1 )R(t1 , t0 ) = R(t2 , t0 ).

(iii) R(t, t0 ) est la solution dans Mm (K) du syst`eme diďŹ&#x20AC;´erentiel dM = A(t)M (t) dt o` u M (t) â&#x2C6;&#x2C6; Mm (K) v´eriďŹ e la condition initiale M (t0 ) = Im . (i) et (ii) sont imm´ediats `a partir de la d´eďŹ nition de R(t, t0 ) et (iii) r´esulte de ce qui pr´ec`ede. Retenons enďŹ n que la solution du probl`eme de Cauchy Y  = A(t)Y

avec Y (t0 ) = V0

est donn´ee par Y (t) = R(t, t0 ) ¡ V0 .

Remarque â&#x20AC;&#x201C; Le syst`eme dM/dt = A(t)M (t) peut paraË&#x2020;Äątre plus compliqu´e que

le syst`eme initial puisquâ&#x20AC;&#x2122;on a m2 ´equations scalaires au lieu de m (on passe de a Mm (K)). Il est n´eanmoins parfois utile de consid´erer ce syst`eme plutË&#x2020;ot que Km ` lâ&#x20AC;&#x2122;´equation initiale, parce que tous les objets sont dans Mm (K) et quâ&#x20AC;&#x2122;on peut exploiter la structure dâ&#x20AC;&#x2122;alg`ebre de Mm (K).

Exemple â&#x20AC;&#x201C; Supposons que pour tous t, u â&#x2C6;&#x2C6; I.

A(t)A(u) = A(u)A(t) 

Alors

t

R(t, t0 ) = exp t0

 A(u)du .

(â&#x2C6;&#x2014;)


212

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles





t

Pour le voir, il suďŹ&#x192;t de montrer que M (t) = exp

A(u)du

satisfait la condition

t0

(iii) ci-dessus. Il est clair que M (t0 ) = Im . Par ailleurs lâ&#x20AC;&#x2122;hypoth`ese de commutation  d  b A(u)du et A(u)du commutent pour tous a, b, c, d â&#x2C6;&#x2C6; I, le (â&#x2C6;&#x2014;) entraË&#x2020;Äąne que a

c

produit ´etant ´egal dans les deux cas `a  A(u)A(v)dudv [a,b]Ă&#x2014;[c,d]

par le th´eor`eme de Fubini. On a donc   t M (t + h) = exp A(u)du + 

t0



A(u)du

t



t+h

= exp Or



t+h

A(u)du M (t). t

t+h

A(u)du = hA(t) + o(h), donc utilisant le d´eveloppement en s´erie de t

lâ&#x20AC;&#x2122;exponentielle on trouve M (t + h) = (Im + hA(t) + o(h))M (t) = M (t) + hA(t)M (t) + o(h), ce qui montre bien que dM/dt = A(t)M (t). En particulier, si U et V sont des matrices constantes qui commutent et si A(t) = f (t)U + g(t)V pour des fonctions scalaires f, g, alors lâ&#x20AC;&#x2122;hypoth`ese (â&#x2C6;&#x2014;) est satisfaite. On a donc  t   t f (u)du ¡ U + g(u)du ¡ V R(t, t0 ) = exp 

t0 t

 f (u)du ¡ U

= exp

t0





t

g(u)du ¡ V

exp

t0

.

t0

Exercice 1 â&#x20AC;&#x201C;

Utiliser la derni`ere remarque de lâ&#x20AC;&#x2122;exemple pour calculer la r´esolvante associ´ee aux matrices     1 0 cos2 t a(t) â&#x2C6;&#x2019;b(t) A(t) = , resp. A(t) =  0 1 cos2 t  . b(t) a(t) 0 0 sin2 t

Exercice 2 â&#x20AC;&#x201C; R´esoudre le syst`eme lin´eaire  dx dt dy dt

= 1t x + ty =y

 o` u

A(t) =

1/t 0

et en d´eduire la formule donnant la r´esolvante R(t, t0 ). Montrer que dans ce cas on a 

t

R(t, t0 ) = exp

 A(u)du .

t0

t 1




213

VII â&#x20AC;&#x201C; Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires

Lâ&#x20AC;&#x2122;exercice 2 montre que câ&#x20AC;&#x2122;est le plus souvent la r´esolution du syst`eme qui permet de d´eterminer la r´esolvante, et non pas lâ&#x20AC;&#x2122;inverse comme pourrait le laisser croire la terminologie.

        On va voir ici quâ&#x20AC;&#x2122;on sait toujours calculer le d´eterminant dâ&#x20AC;&#x2122;un syst`eme de solutions, ou ce qui revient au mË&#x2020;eme, le d´eterminant de la r´esolvante, mË&#x2020;eme lorsque la r´esolvante nâ&#x20AC;&#x2122;est pas connue.

D´ eďŹ nition â&#x20AC;&#x201C; Le Wronskien dâ&#x20AC;&#x2122;un syst`eme de m solutions Y1 , Y2 , . . . , Ym de (E0 ) est W (t) = det (Y1 (t), . . . , Ym (t)) Posons Vj = Yj (t0 ). Alors Yj (t) = R(t, t0 ) ¡ Vj , dâ&#x20AC;&#x2122;o` u W (t) = det (R(t, t0 )) ¡ det (V1 , . . . , Vm ). On est donc ramen´e `a calculer la quantit´e â&#x2C6;&#x2020;(t) = det (R(t, t0 )), et pour cela on va montrer que â&#x2C6;&#x2020;(t) v´eriďŹ e une ´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle simple. On a â&#x2C6;&#x2020;(t + h) = det (R(t + h, t0 )) = det (R(t + h, t)R(t, t0 )) = det (R(t + h, t))â&#x2C6;&#x2020;(t). Comme R(t, t) = Im et donne

d du

R(u, t)|u=t = A(t)R(t, t) = A(t), la formule de Taylor

R(t + h, t) = Im + hA(t) + o(h), det (R(t + h, t)) = det (Im + hA(t)) + o(h).

Lemme â&#x20AC;&#x201C; Si A = (aij ) â&#x2C6;&#x2C6; Mm (K), alors det (Im + hA) = 1 + Îą1 h + . . . + Îąm hm avec Îą1 = tr A =



aii .

1â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤m

En eďŹ&#x20AC;et dans det (Im + hA) le terme diagonal est (1 + ha11 ) . . . (1 + hamm ) = 1 + h et les termes non diagonaux sont multiples de h2 .



aii + h2 . . .


214

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Le lemme entraË&#x2020;Äąne alors det (R(t + h, t)) = 1 + h tr (A(t)) + o(h), â&#x2C6;&#x2020;(t + h) = â&#x2C6;&#x2020;(t) + h tr (A(t))â&#x2C6;&#x2020;(t) + o(h). On en d´eduit

â&#x2C6;&#x2020; (t) = tr (A(t))â&#x2C6;&#x2020;(t),

et comme â&#x2C6;&#x2020;(t0 ) = det (R(t0 , t0 )) = det Im = 1, il vient : 

t

det R(t, t0 ) = â&#x2C6;&#x2020;(t) = exp 

 tr A(u)du ,

t0



t

tr A(u)du det (V1 , . . . , Vm ).

W (t) = exp t0

            Soit a` r´esoudre le syst`eme diďŹ&#x20AC;´erentiel lin´eaire Y  = A(t)Y + B(t),

(E)

et soit R(t, t0 ) la r´esolvante du syst`eme lin´eaire sans second membre Y  = A(t)Y.

(E0 )

On cherche alors une solution particuli`ere de (E) sous la forme Y (t) = R(t, t0 ) ¡ V (t) o` u V est suppos´ee diďŹ&#x20AC;´erentiable. Il vient d  dY = R(t, t0 ) ¡ V (t) + R(t, t0 ) ¡ V  (t) dt dt = A(t)R(t, t0 ) ¡ V (t) + R(t, t0 ) ¡ V  (t) = A(t)Y (t) + R(t, t0 ) ¡ V  (t). Il suďŹ&#x192;t donc de prendre R(t, t0 ) ¡ V  (t) = B(t), câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire V  (t) = R(t0 , t) ¡ B(t),  t R(t0 , u) ¡ B(u)du, V (t) = t0



t

Y (t) = R(t, t0 ) ¡ V (t) = 

R(t, t0 )R(t0 , u) ¡ B(u)du, t0

t

Y (t) =

R(t, u)B(u)du. t0


215

VII â&#x20AC;&#x201C; Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires

On obtient ainsi la solution particuli`ere telle que Y (t0 ) = 0. La solution telle que Y (t0 ) = V0 est donn´ee par 

t

Y (t) = R(t, t0 ) ¡ V0 +

R(t, u)B(u)du. t0

Dans le cas o` u A(t) = A est `a coeďŹ&#x192;cients constants on retrouve la formule du § 2.4, dans laquelle R(t, t0 ) = e(tâ&#x2C6;&#x2019;t0 )A , et la formule du Wronskien ´equivaut a` lâ&#x20AC;&#x2122;identit´e d´ej`a connue det (e(tâ&#x2C6;&#x2019;t0 )A ) = exp ((t â&#x2C6;&#x2019; t0 ) tr A).

   5.1. Soient b et c deux fonctions continues sur un intervalle ďŹ x´e T = [0, Ď&#x201E; [. Soit (S) le syst`eme diďŹ&#x20AC;´erentiel lin´eaire `a coeďŹ&#x192;cients constants et avec second membre   y + b(t) x =  y = 2x â&#x2C6;&#x2019; y + c(t) et soit (S0 ) le syst`eme sans second membre associ´e (pour lequel b(t) = c(t) = 0). ´ (a) Ecrire la matrice A de (S0 ), et calculer etA . (b) D´eterminer la solution g´en´erale du syst`eme (S0 ). (c) D´eterminer la solution g´en´erale du syst`eme (S) pour b(t) = 0, c(t) = eâ&#x2C6;&#x2019;t . 5.2. Soit t une variable r´eelle â&#x2030;Ľ 0. On consid`ere le syst`eme diďŹ&#x20AC;´erentiel lin´eaire   x = 2y (S) y = x â&#x2C6;&#x2019; y ´ (a) Ecrire la matrice A de (S), montrer quâ&#x20AC;&#x2122;elle a deux valeurs propres r´eelles Îť et Âľ (Îť > Âľ) et d´eterminer les sous-espaces propres correspondants.       1 0 xÎť , ey = , et on note respectivement vÎť = et (b) On pose ex = 0 1 yÎť   xÂľ les vecteurs propres associ´es `a Îť et Âľ tels que yÎť = yÂľ = 1. vÂľ = yÂľ Calculer xÎť , xÂľ . D´eterminer la matrice de passage P de lâ&#x20AC;&#x2122;ancienne base (ex , ey ) a la nouvelle base (vÎť , vÂľ ), et calculer sa matrice inverse P â&#x2C6;&#x2019;1 . `   a(t) b(t) tA (c) On pose e = . Calculer explicitement a(t), b(t), c(t), d(t). c(t) d(t) Donner la solution du syst`eme (S) v´eriďŹ ant les conditions initiales x(0) = x0 , y(0) = y0 .


216

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

 (d) Soit T (x0 , y0 ) la trajectoire t →   x0 initiales M (0) = . y0

x(t) y(t)

 = M (t) correspondant aux conditions

(α) Pour quelles positions de M (0) cette trajectoire T (x0 , y0 ) est-elle une demidroite ? (β) Pour quelles positions de M (0) tend-elle vers 0 quand t → +∞ ? (γ) Indiquer sur un mˆeme figure : • la de • la de

forme des trajectoires T (x0 , 0) partant d’un point (x0 , 0), x0 > 0, l’axe des x ; forme des trajectoires T (0, y0 ) partant d’un point (0, y0 ), y0 > 0, l’axe des y.

5.3. On note t une variable r´eelle, et on consid`ere les deux matrices     0 1 1 1 B= , C= . 1 0 0 1 (a) Pour tout n ≥ 0, calculer explicitement B n et C n , et en d´eduire etB et etC . (b) Mˆemes questions pour la matrice 

0 1 A= 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

 0 0 . 1 1

On pose maintenant T = [0, +∞[ ; on note bi (t) (1 ≤ i ≤ 4) quatre fonctions continues sur T , et on consid`ere le syst`eme diff´erentielle lin´eaire avec second membre   y = y2 + b1 (t)   1 + b2 (t) y2 = y1 (S)  = y + y y  3 4 + b3 (t)  3 y4 + b4 (t) . y4 = On note (S0 ) le syst`eme sans second membre associ´e `a (S). ´ (c) Ecrire la solution de (S0 ) correspondant a` des conditions initiales yi (0) = vi , les vi (1 ≤ i ≤ 4) ´etant quatre constantes donn´ees. (d) Indiquer comment on peut alors r´esoudre (S) par la m´ethode dite de variation des constantes, et appliquer cette m´ethode au cas particulier b1 (t) = 1,

b2 (t) = b3 (t) = 0,

b 4 = et .

5.4. On consid`ere l’´equation lin´eaire du 3e ordre (E)

y  + y  + y  + y = cos t,

o` u y d´esigne une fonction inconnue de la variable t ≥ 0.


217

VII – Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires

(a) D´eterminer la solution g´en´erale de l’´equation sans second membre associ´ee `a (E). (b) A l’aide de la m´ethode de variation des constantes, d´eterminer la solution g´en´erale de l’´equation (E). (c) Montrer que (E) admet une solution et une seule de la forme At cos t+Bt sin t : la d´eterminer explicitement, et tracer son graphe. 5.5. On consid`ere dans R2 le syst`eme diff´erentiel  dx   = tx − y  dt    dy = x + ty dt o` u x, y sont des fonctions r´eelles de la variable r´eelle t. (a) R´esoudre le probl`eme de Cauchy de donn´ee initiale (x0 , y0 ) au temps t0 = 0 (on pourra poser z = x + iy). (b) Mˆeme question pour le syst`eme  dx   = tx − y + t cos t − t3 sin t  dt    dy = x + ty + t sin t + t3 cos t. dt

5.6. On consid`ere un syst`eme diff´erentiel X  = A(t)X o` u A(t) est une matrice `a 2 lignes et 2 colonnes `a coefficients de p´eriode 2π, born´es et continus par morceaux. (a) Montrer que l’application qui a` M ∈ R2 associe la position `a l’instant s de la solution X(t) de X  = A(t) v´erifiant X(0) = M est une application lin´eaire bijective. On d´esignera par Us cet endormorphisme et on notera V = U2π . (b) Montrer que l’´equation X  = A(t)X admet une solution 2π-p´eriodique non identiquement nulle si et seulement si 1 est valeur propre de V ; comment peuton interpr´eter le fait que V admette pour valeur propre une racine k-i`eme de l’unit´e ? u f est une fonction 2π(c) On consid`ere l’´equation diff´erentielle y  + f (t)y = 0 o` p´eriodique a` valeurs r´elles. Mettre cette ´equation sous la forme d’un syst`eme du premier ordre. (d) On supposera dor´enavant que  f (t) =

(w + ε)2 (w − ε)2

si si

t ∈ [0, π[ t ∈ [π, 2π[


218

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

o` u 0 < ε < w sont des constantes. D´eterminer Uπ ; montrer que V se met sous u l’on d´eterminera la matrice B (on pourra utiliser que f est la forme B ◦ Uπ o` constante sur [π, 2π[ ainsi que sur [0, π[). V´erifier que det V = 1. (e) Montrer qu’alors une des valeurs propres de V est inf´erieure `a 1 en module et que l’´equation y  + f (t)y = 0 admet une solution born´ee (non identiquement nulle) sur [0, +∞[ et une solution born´ee (non identiquement nulle) sur ] − ∞, 0[ ; a quelle condition admet-elle une solution born´ee (non identiquement nulle) ` sur R ? (f) Montrer que la trace de V s’´ecrit −∆ cos 2πε + (2 + ∆) cos 2πw o` u

w+ε w−ε + = 2(1 + ∆). w−ε w+ε

En d´eduire que si w n’est pas la moiti´e d’un entier et si ε est assez petit, toutes les solutions de y  + f (t)y = 0 sont born´ees. Que passe-t-il si w est la moiti´e d’un entier ?




        Lâ&#x20AC;&#x2122;objectif de ce chapitre est de d´ecrire un certain nombre de m´ethodes permettant de r´esoudre num´eriquement le probl`eme de Cauchy de condition initiale y(t0 ) = y0 pour une ´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle y  = f (t, y),

(E)

o` u f : [t0 , t0 +T ]Ă&#x2014;R â&#x2020;&#x2019; R est une fonction suďŹ&#x192;samment r´eguli`ere. Nous avons choisi ici dâ&#x20AC;&#x2122;exposer le cas des ´equations unidimensionnelles dans le seul but de simpliďŹ er les notations ; le cas des syst`emes dans Rm est tout `a fait identique, a` condition de consid´erer y comme une variable vectorielle et f comme une fonction vectorielle dans les algorithmes qui vont Ë&#x2020;etre d´ecrits. ´ Etant donn´e une subdivision t0 < t1 < . . . < tN = t0 + T de [t0 , t0 + T ], on cherche a d´eterminer des valeurs approch´ees y0 , y1 , . . . , yN des valeurs y(tn ) prises par la ` solution exacte y. On notera les pas successifs hn = tn+1 â&#x2C6;&#x2019; tn ,

0 â&#x2030;¤ n â&#x2030;¤ N â&#x2C6;&#x2019; 1,

et hmax = max (hn ) le maximum du pas. On appelle m´ethode ` a un pas une m´ethode permettant de calculer yn+1 `a partir de la seule valeur ant´erieure yn . Une m´ethode `a r pas est au contraire une m´ethode qui utilise les r valeurs ant´erieures yn , . . . , ynâ&#x2C6;&#x2019;r+1 (valeurs qui doivent donc Ë&#x2020;etre m´emoris´ees) aďŹ n de faire le calcul de yn+1 .

              

       Les m´ethodes `a un pas sont les m´ethodes de r´esolution num´erique qui peuvent sâ&#x20AC;&#x2122;´ecrire sous la forme yn+1 = yn + hn ÎŚ(tn , yn , hn ),

0 â&#x2030;¤ n < N,


220

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

o` u Φ : [t0 , t0 + T ] × R × R → R est une fonction que l’on supposera continue. Dans la pratique, la fonction Φ(t, y, h) peut n’ˆetre d´efinie que sur une partie de la u J est un intervalle de R (de sorte en particulier que forme [t0 , t0 + T ] × J × [0, δ] o` [t0 , t0 +T ]×J soit contenu dans le domaine de d´efinition de l’´equation diff´erentielle).

Exemple – La m´ethode d’Euler est la m´ethode `a un pas associ´ee `a la fonction Φ(t, y, h) = f (t, y), et d´efinie par la formule de r´ecurrence yn+1 = yn + hn f (tn , yn ) (voir chapitre V, § 2.3). D´ efinition – L’erreur de consistance en relative a` une solution exacte z est l’erreur en = z(tn+1 ) − yn+1 ,

0≤n<N

produite par application de l’algorithme yn+1 = yn + hn Φ(tn , yn , hn ) ` a partir de la valeur yn = z(tn ). Autrement dit, cette erreur mesure l’´ecart entre la valeur exacte z(tn+1 ) au temps tn+1 , et la valeur approch´ee yn+1 issue de la valeur yn = z(tn ) prise comme valeur initiale au temps tn (une seule ´etape de l’algorithme est donc mise en jeu). En termes de la fonction Φ, on a en = z(tn+1 ) − z(tn ) − hn Φ(tn , z(tn ), hn ).

y z z(tn+1 ) yn+1

en

yn

tn

tn+1 = tn + hn

t

Comme le montre le sch´ema ci-dessous, l’erreur de consistance n’a a priori que peu de rapport avec l’erreur globale θn = max |z(tj ) − yj | r´esultant d’un calcul de n 0≤j≤n

a partir de la donn´ee initiale y0 = z(t0 ) (qui est a` vrai valeurs successives y1 , . . . , yn ` dire la seule erreur int´eressant r´eellement le num´ericien). On imagine cependant, et nous reviendrons l` a-dessus plus en d´etail au § 2, que |θn | sera de l’ordre de grandeur de |e0 | + |e1 | + · · · + |en−1 |, sous des hypoth`eses convenables de r´egularit´e pour la fonction f . C’est pourquoi l’´evaluation de en va gouverner l’´evaluation de l’erreur globale.


221

` un pas VIII â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes num´ eriques a

y

z z1 z2 z3

e3 θ4 e2

y4

e1

y3 y2

e0

y1

y0 t0

t1

t2

t3

t4

t

[Les fonctions z, z1 , z2 , z3 repr´esentent ici les solutions exactes passant par les points (t0 , y0 ) et (tj , yj ), j = 1, 2, 3].

       Soit z une solution exacte de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E). On a au premier ordre lâ&#x20AC;&#x2122;approximation z(tn+1 ) = z(tn + hn )  z(tn ) + hn z  (tn ) = z(tn ) + hn f (tn , z(tn )). Comme on lâ&#x20AC;&#x2122;a d´ej`a vu au chapitre V, ceci conduit a` lâ&#x20AC;&#x2122;algorithme  yn+1 = yn + hn f (tn , yn ) tn+1 = tn + hn . Par d´eďŹ nition de lâ&#x20AC;&#x2122;erreur de consistance, on a en = z(tn + hn ) â&#x2C6;&#x2019; yn+1 o` u yn+1 = z(tn ) + hn f (tn , z(tn )) = z(tn ) + hn z  (tn ). La formule de Taylor-Lagrange donne 1 2  h z (tn ) + o(h2n ), 2 n pourvu que z soit de classe C 2 . Câ&#x20AC;&#x2122;est bien le cas si f est de classe C 1 , et on sait alors que o` u f [1] = ft + fy f. z  (t) = f [1] (t, z(t)) en = z(tn + hn ) â&#x2C6;&#x2019; (z(tn ) + hn z  (tn )) =

On en d´eduit par cons´equent 1 2 [1] h f (tn , yn ) + o(h2n ). 2 n Cette erreur en h2n est relativement importante, a` moins que le pas hn ne soit choisi tr`es petit, ce qui augmente consid´erablement le volume des calculs `a eďŹ&#x20AC;ectuer. On va donc essayer de construire des m´ethodes permettant de r´eduire lâ&#x20AC;&#x2122;erreur de consistance en . en =


222

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

        p   Supposons que f soit de classe C p . Alors toute solution exacte z est de classe C p+1 , et sa d´eriv´ee k-i`eme est z (k) (t) = f [kâ&#x2C6;&#x2019;1] (t, z(t)). La formule de Taylor dâ&#x20AC;&#x2122;ordre p implique z(tn + hn ) = z(tn ) +

p  1 k [kâ&#x2C6;&#x2019;1] h f (tn , z(tn )) + o(hpn ). k! n

k=1

Lorsque hn est assez petit, lâ&#x20AC;&#x2122;approximation est dâ&#x20AC;&#x2122;autant meilleure que p est plus grand. On est donc amen´e `a consid´erer lâ&#x20AC;&#x2122;algorithme suivant, appel´e m´ethode de Taylor dâ&#x20AC;&#x2122;ordre p :  p   1 k [kâ&#x2C6;&#x2019;1]   yn+1 = yn + h f (tn , yn ) k! n k=1    tn+1 = tn + hn . Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es la d´eďŹ nition en´erale des m´ethodes `a un pas, cet algorithme correspond au g´ p 1 choix ÎŚ(t, y, h) = k=1 k! hkâ&#x2C6;&#x2019;1 f [kâ&#x2C6;&#x2019;1] (t, y). Calculons lâ&#x20AC;&#x2122;erreur de consistance en . En supposant yn = z(tn ), la formule de Taylor dâ&#x20AC;&#x2122;ordre p + 1 donne

en = z(tn+1 ) â&#x2C6;&#x2019; yn+1 = z(tn + hn ) â&#x2C6;&#x2019;

p  1 k (k) h z (tn ) k! n

k=0

1 hp+1 f [p] (tn , yn ) + o(hp+1 = n ). (p + 1)! n ere g´en´erale Lâ&#x20AC;&#x2122;erreur est donc maintenant de lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de hp+1 n . On dira dâ&#x20AC;&#x2122;une mani` chaque fois que quâ&#x20AC;&#x2122;une m´ethode est dâ&#x20AC;&#x2122;ordre p si lâ&#x20AC;&#x2122;erreur de consistance est en hp+1 n f est de classe C p au moins. La m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;Euler est le cas particulier p = 1 de la m´ethode de Taylor.

Remarque â&#x20AC;&#x201C;

Dans la pratique, la m´ethode de Taylor souďŹ&#x20AC;re de deux inconv´enients graves qui en font g´en´eralement d´econseiller lâ&#x20AC;&#x2122;utilisation pour p â&#x2030;Ľ 2 : â&#x20AC;˘ Le calcul des quantit´es f [k] est souvent complexe et coË&#x2020; uteux en temps machine. Il faut aussi pouvoir ´evaluer explicitement f [k] , ce qui nâ&#x20AC;&#x2122;est pas toujours le cas (par exemple, si f est une donn´ee exp´erimentale discr´etis´ee). â&#x20AC;˘ La m´ethode suppose a priori que f soit tr`es r´eguli`ere ; les erreurs risquent donc de ne pas pouvoir Ë&#x2020;etre contrË&#x2020;ol´ees si certaines d´eriv´ees de f pr´esentent des discontinuit´es ou une mauvaise continuit´e (pentes ´elev´ees).

        Cette m´ethode est d´ecrite par le sch´ema suivant.


223

` un pas VIII â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes num´ eriques a

y z

z(t + h)

Îľ

z(t)

t

t + h/2

t+h

t

  Lâ&#x20AC;&#x2122;id´ee est que la corde de la fonction z sur [t, t + h] a une pente voisine de z  t + h2 , alors que dans la m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;Euler on approxime brutalement cette pente par z  (t). On ´ecrit donc :  h z(t + h)  z(t) + hz  t + . (â&#x2C6;&#x2014;) 2 Si z est de classe C 3 , il vient 1 1 z(t + h) = z(t) + hz  (t) + h2 z  (t) + h3 z  (t) + o(h3 ), 2 6  1 1 2  h    z t+ = z (t) + hz (t) + h z (t) + o(h2 ). 2 2 8 Lâ&#x20AC;&#x2122;erreur commise est donc  h 1 3  = h z (t) + o(h3 ), Îľ = z(t + h) â&#x2C6;&#x2019; z(t) â&#x2C6;&#x2019; hz  t + 2 24 soit une erreur en h3 au lieu de h2 dans la m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;Euler. On par ailleurs   h h  h  = f t + ,z t + . z t + 2 2 2   Comme la valeur de z t + h2 nâ&#x20AC;&#x2122;est pas connue, on lâ&#x20AC;&#x2122;approxime par  h h  z(t) + f (t, z(t)), z t+ 2 2 dâ&#x20AC;&#x2122;o` u en d´eďŹ nitive   h h z(t + h)  z(t) + hf t + , z(t) + f (t, z(t)) . 2 2 Lâ&#x20AC;&#x2122;algorithme du point milieu est associ´e au choix   h h ÎŚ(t, y, h) = f t + , y + f (t, y) 2 2

(â&#x2C6;&#x2014;â&#x2C6;&#x2014;)


224

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

et donne lieu au sch´ema num´erique  hn     yn+ 12 = yn + 2 f (tn , yn )         pn = f tn + hn , yn+ 1 2 2    yn+1 = yn + hn pn        tn+1 = tn + hn . Calculons l’erreur de consistance : en = z(tn+1 ) − yn+1 , avec yn = z(tn ). On a u les erreurs en = εn + εn o`  hn  εn = z(tn+1 ) − z(tn ) − hn z  tn + , 2   hn − (yn+1 − z(tn )) εn = hn z  tn + 2     hn  hn  hn , z tn + , yn+ 12 − f tn + = hn f tn + 2 2 2 proviennent respectivement des approximations (∗) et (∗∗). D’apr`es le calcul fait plus haut εn =

1 3  1 3 [2] hn z (tn ) + o(h3n ) = h f (tn , yn ) + o(h3n ). 24 24 n

D’autre part    hn  hn   hn  z (tn ) − yn+ 12 = z tn + − z(tn ) + z tn + 2 2 2 1 2 [1] 1 2  2 = hn z (tn ) + o(hn ) = hn f (tn , yn ) + o(h2n ). 8 8 D’apr`es le th´eor`eme des accroissements finis appliqu´e en y, on a    hn  hn  hn , z tn + − f tn + , yn+ 12 f tn + 2 2 2     hn hn   = f y tn + , cn z t n + − yn+ 12 2 2   1   2 [1] hn f (tn , yn ) + o(h2n ) = fy (tn , yn ) + o(hn ) 8 1 2  [1] = hn fy f (tn , yn ) + o(h2n ), 8 d’o` u 1 εn = h3n fy f [1] (tn , yn ) + o(h3n ). 8 On en d´eduit  1 3  [2] hn f + 3fy f [1] (tn , yn ) + o(h3n ). en = εn + εn = 24 La m´ethode du point milieu est donc d’ordre 2.


` un pas VIII â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes num´ eriques a

225

         Si on observe les algorithmes pr´ec´edents, on voit que la seule op´eration ´eventuellement coË&#x2020; uteuse en temps de calcul est lâ&#x20AC;&#x2122;´evaluation de la fonction f (t, y), le reste consistant en un petit nombre dâ&#x20AC;&#x2122;additions ou de multiplications. On mesure donc le coË&#x2020; ut dâ&#x20AC;&#x2122;une m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;ordre donn´e par le nombre dâ&#x20AC;&#x2122;´evaluations de la fonction f quâ&#x20AC;&#x2122;elle r´eclame `a chaque pas. Pour des m´ethodes dâ&#x20AC;&#x2122;ordres diďŹ&#x20AC;´erents la comparaison ne tient pas, puisquâ&#x20AC;&#x2122;une m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;ordre plus ´elev´e exige `a pr´ecision ´egale un nombre de pas nettement inf´erieur. Dans la m´ethode du point milieu,  le calcul successif de f (tn , yn ) et de  on va modiďŹ er la pente interm´ediaire pn = f tn + h2n , yn+ 12 en introduisant lâ&#x20AC;&#x2122;algorithme suivant, qui fait lâ&#x20AC;&#x2122;´economie de lâ&#x20AC;&#x2122;´evaluation de f (tn , yn ) :  hn     yn+ 12 = yn + 2 pnâ&#x2C6;&#x2019;1         pn = f tn + hn , yn+ 1 2 2    yn+1 = yn + hn pn        tn+1 = tn + hn . On a donc modiďŹ Â´e l´eg`erement le calcul de yn+ 12 en rempla¸cant la pente f (tn , yn ) par la pente pnâ&#x2C6;&#x2019;1 calcul´ee `a lâ&#x20AC;&#x2122;´etape ant´erieure. Il sâ&#x20AC;&#x2122;ensuit naturellement que les valeurs yn sont elles aussi modiďŹ Â´ees en des valeurs yn .

Remarque â&#x20AC;&#x201C; Le d´emarrage (´etape n = 0) pr´esente une diďŹ&#x192;cult´e car la pente pâ&#x2C6;&#x2019;1 nâ&#x20AC;&#x2122;a pas ´et´e ´evalu´ee. On r´esout cette diďŹ&#x192;cult´e en initialisant pâ&#x2C6;&#x2019;1 = f (t0 , y0 ). On observera que la m´ethode du point milieu modiďŹ Â´e est en fait une m´ethode `a 2 pas (les ´etapes n et n â&#x2C6;&#x2019; 1 sont utilis´ees pour calculer yn+1 ). ´ Evaluons maintenant lâ&#x20AC;&#x2122;erreur de consistance en = z(tn+1 ) â&#x2C6;&#x2019; yn+1 , en supposant yn = z(tn ). On peut ´ecrire en = (z(tn+1 ) â&#x2C6;&#x2019; yn+1 ) + (yn+1 â&#x2C6;&#x2019; yn+1 ) = en + Îľn , o` u en est lâ&#x20AC;&#x2122;erreur de consistance de la m´ethode du point milieu standard (on suppose donc aussi yn = z(tn ) pour la calculer). Il vient      hn hn Îľn = yn+1 â&#x2C6;&#x2019; yn+1 = hn f tn + , yn+ 12 â&#x2C6;&#x2019; f tn + , yn+ 12 . 2 2  hn  yn+ 12 â&#x2C6;&#x2019; yn+ 12 = f (tn , yn ) â&#x2C6;&#x2019; pnâ&#x2C6;&#x2019;1 2    hn hnâ&#x2C6;&#x2019;1 = , ynâ&#x2C6;&#x2019; 12 . f (tn , yn ) â&#x2C6;&#x2019; f tnâ&#x2C6;&#x2019;1 + 2 2


226

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

 Or tn â&#x2C6;&#x2019; tnâ&#x2C6;&#x2019;1 +

hnâ&#x2C6;&#x2019;1  2

=

hnâ&#x2C6;&#x2019;1 2

et

  hnâ&#x2C6;&#x2019;1 pnâ&#x2C6;&#x2019;2 yn â&#x2C6;&#x2019; ynâ&#x2C6;&#x2019; 12 = yn â&#x2C6;&#x2019; ynâ&#x2C6;&#x2019;1 + 2   hnâ&#x2C6;&#x2019;1 = yn â&#x2C6;&#x2019; yn â&#x2C6;&#x2019; hnâ&#x2C6;&#x2019;1 pnâ&#x2C6;&#x2019;1 + pnâ&#x2C6;&#x2019;2 2   1 = hnâ&#x2C6;&#x2019;1 pnâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; pnâ&#x2C6;&#x2019;2 2 1 = hnâ&#x2C6;&#x2019;1 f (tn , yn ) + o(hnâ&#x2C6;&#x2019;1 ) ; 2 a la troisi`eme ligne on utilise le fait que yn = yn = z(tn ), et a` la quatri`eme le fait ` que pnâ&#x2C6;&#x2019;i = f (tnâ&#x2C6;&#x2019;i +hnâ&#x2C6;&#x2019;i /2, ynâ&#x2C6;&#x2019;i +1/2) converge vers f (tn , yn ) pour i = 1, 2 lorsque ace `a la formule de Taylor pour les fonctions de 2 variables, il hmax tend vers 0. GrË&#x2020; vient   hnâ&#x2C6;&#x2019;2 , ynâ&#x2C6;&#x2019; 12 f (tn , yn ) â&#x2C6;&#x2019; f tnâ&#x2C6;&#x2019;1 + 2 hnâ&#x2C6;&#x2019;1  1 = ft (tn , yn ) + hnâ&#x2C6;&#x2019;1 f (tn , yn )fy (tn , yn ) + o(hnâ&#x2C6;&#x2019;1 ) 2 2 1 = hnâ&#x2C6;&#x2019;1 (ft + f fy )(tn , yn ) + o(hnâ&#x2C6;&#x2019;1 ) 2 1 = hnâ&#x2C6;&#x2019;1 f [1] (tn , yn ) + o(hnâ&#x2C6;&#x2019;1 ), 2 dâ&#x20AC;&#x2122;o` u yn+ 12 â&#x2C6;&#x2019; yn+ 12 =

1 hn hnâ&#x2C6;&#x2019;1 f [1] (tn , yn ) + o(hn hnâ&#x2C6;&#x2019;1 ). 4

On en d´eduit ďŹ nalement    1   hn , cn yn+ 12 â&#x2C6;&#x2019; yn+ 12 = h2n hnâ&#x2C6;&#x2019;1 fy f [1] (tn , yn ) + o(h2n hnâ&#x2C6;&#x2019;1 ), Îľn = hn fy tn + 2 4 dâ&#x20AC;&#x2122;o` u lâ&#x20AC;&#x2122;erreur de consistance  1 3  [2] 1 hn f + 3fy f [1] (tn , yn ) + h2n hnâ&#x2C6;&#x2019;1 (fy f [1] )(tn , yn ) + o(h3n + h2n hnâ&#x2C6;&#x2019;1 ). en = 24 4 La m´ethode du point milieu modiďŹ Â´e est donc encore une m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 2 (mais ce nâ&#x20AC;&#x2122;est pas une m´ethode `a un pas !).

       

                   La premi`ere notion que nous introduisons a trait au probl`eme de lâ&#x20AC;&#x2122;accumulation des erreurs de consistance (accumulation purement th´eorique dans le sens o` u on tient pas compte du fait que la solution calcul´ee sâ&#x20AC;&#x2122;´ecarte de la solution exacte, cf. sch´emas du § 1.1).


227

` un pas VIII – M ´ ethodes num´ eriques a

D´ efinition 1 – On dit que la m´ethode est consistante si pour toute solution |en |, tend

exacte z la somme des erreurs de consistance relatives a ` z, soit

0≤n≤N

vers 0 quand hmax tend vers 0. Une autre notion fondamentale est la notion de stabilit´e. Dans la pratique, le calcul r´ecurrent des points yn est en effet entˆach´e d’erreurs d’arrondi εn . Pour que les calculs soient significatifs, il est indispensable que la propagation de ces erreurs reste contrˆolable. On est amen´e `a la d´efinition suivante.

D´ efinition 2 – On dit que la m´ethode est stable s’il existe une constante S ≥ 0, appel´ee constante de stabilit´e, telle que pour toutes suites (yn ), ( yn ) d´efinies par 0≤n<N 0≤n<N

yn+1 = yn + hn Φ(tn , yn , hn ), yn+1 = yn + hn Φ(tn , yn , hn ) + εn ,

   max | yn − yn | ≤ S | y0 − y0 | + |εn | .

on ait

0≤n≤N

0≤n<N

Autrement dit, une petite erreur initiale | y0 − y0 | et de petites erreurs d’arrondi εn dans le calcul r´ecurrent des yn provoquent une erreur finale max | yn −yn | contrˆ olable. Une derni`ere notion importante en pratique est la suivante.

D´ efinition 3 – On dit que la m´ethode est convergente si pour toute solution exacte z, la suite yn telle que yn+1 = yn + hn Φ(tn , yn , hn ) v´erifie max |yn − z(tn )| → 0

0≤n≤N

quand y0 → z(t0 ) et quand hmax → 0. La quantit´e max |yn − z(tn )| s’appelle l’erreur globale (de la suite yn calcul´ee par 0≤n≤N

rapport a` la solution exacte z). C’est ´evidemment cette erreur qui importe dans la pratique.

Calcul de l’erreur globale – Posons yn = z(tn ). Par d´efinition de l’erreur de consistance (cf. § 2.1) on a

yn+1 = yn + hn Φ(tn , yn , hn ) + en . Si la m´ethode est stable, de constante de stabilit´e S, l’erreur globale est donc    max |yn − z(tn )| ≤ S |y0 − z(t0 )| + |en | .

0≤n≤N

0≤n<N

Corollaire – Si la m´ethode est stable et consistante, elle est convergente.


228

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

En eďŹ&#x20AC;et 0â&#x2030;¤n<N |en | tend vers 0 quand hmax tend vers 0, puisque la m´ethode est consistante par hypoth`ese.

        

  

Soit z une solution exacte de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation (E) et soient en = z(tn+1 ) â&#x2C6;&#x2019; z(tn ) â&#x2C6;&#x2019; hn ÎŚ(tn , z(tn ), hn ) les erreurs de consistance correspondantes. Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es le th´eor`eme des accroissements ďŹ nis, il existe cn â&#x2C6;&#x2C6; ]tn , tn+1 [ tel que z(tn+1 ) â&#x2C6;&#x2019; z(tn ) = hn z  (cn ) = hn f (cn , z(cn )) dâ&#x20AC;&#x2122;o` u en = hn (f (cn , z(cn )) â&#x2C6;&#x2019; ÎŚ(tn , z(tn ), hn )) = hn (Îąn + βn ) avec

Îąn = f (cn , z(cn )) â&#x2C6;&#x2019; ÎŚ(cn , z(cn ), 0), βn = ÎŚ(cn , z(cn ), 0) â&#x2C6;&#x2019; ÎŚ(tn , z(tn ), hn ).

Comme la fonction (t, h) â&#x2020;&#x2019; ÎŚ(t, z(t), h) est continue sur [t0 , t0 + T ] Ă&#x2014; [0, δ] qui est compact, elle y est uniform´ement continue. Par cons´equent, pour tout Îľ > 0, il existe Ρ > 0 tel que hmax â&#x2030;¤ Ρ â&#x2020;&#x2019; |βn | â&#x2030;¤ Îľ. Pour hmax â&#x2030;¤ Ρ on a donc             |e | â&#x2C6;&#x2019; h |Îą | hn |βn | â&#x2030;¤ Îľ hn = T Îľ. n n n â&#x2030;¤  0â&#x2030;¤n<N  0â&#x2030;¤n<N 0â&#x2030;¤n<N On en d´eduit lim

hmax â&#x2020;&#x2019;0



|en | =

0â&#x2030;¤n<N



lim

hmax â&#x2020;&#x2019;0



t0 +T

=

hn |Îąn |

0â&#x2030;¤n<N

|f (t, z(t)) â&#x2C6;&#x2019; ÎŚ(t, z(t), 0)|dt

t0



hn |Îąn | est une somme de Riemann de lâ&#x20AC;&#x2122;int´egrale pr´ec´edente. Par d´eďŹ nition,  la m´ethode est consistante si et seulement si lim |en | = 0 pour toute solution exacte z. On en d´eduit : car

Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; La m´ethode `a 1 pas d´eďŹ nie par la fonction ÎŚ est consistante si et seulement si â&#x2C6;&#x20AC;(t, y) â&#x2C6;&#x2C6; [t0 , t0 + T ] Ă&#x2014; R,

ÎŚ(t, y, 0) = f (t, y).

Il r´esulte de ce th´eor`eme que les m´ethodes `a un pas d´ej`a mentionn´ees sont bien consistantes.


229

` un pas VIII â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes num´ eriques a

   

      Pour pouvoir majorer lâ&#x20AC;&#x2122;erreur globale d´ecrite au § 2.1, il faut savoir estimer dâ&#x20AC;&#x2122;une part la constante de stabilit´e S, et dâ&#x20AC;&#x2122;autre part la somme 0â&#x2030;¤n<N |en |. Le r´esultat suivant permet dâ&#x20AC;&#x2122;´evaluer S.

Th´ eor` eme â&#x20AC;&#x201C; Pour que la m´ethode soit stable, il suďŹ&#x192;t que la fonction ÎŚ soit lipschitzienne en y, câ&#x20AC;&#x2122;est-` a-dire quâ&#x20AC;&#x2122;il existe une constante Î&#x203A; â&#x2030;Ľ 0 telle que â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2C6;&#x2C6; [t0 , t0 + T ], â&#x2C6;&#x20AC;(y1 , y2 ) â&#x2C6;&#x2C6; R2 , â&#x2C6;&#x20AC;h â&#x2C6;&#x2C6; R on ait |ÎŚ(t, y1 , h) â&#x2C6;&#x2019; ÎŚ(t, y2 , h)| â&#x2030;¤ Î&#x203A;|y1 â&#x2C6;&#x2019; y2 |. Dans ce cas, on peut prendre pour constante de stabilit´e S = eÎ&#x203A;T . D´emonstration. Consid´erons deux suites (yn ), ( yn ) telles que yn+1 = yn + hn ÎŚ(tn , yn , hn ), yn+1 = yn + hn ÎŚ(tn , yn , hn ) + Îľn . Par diďŹ&#x20AC;´erence, on obtient | yn+1 â&#x2C6;&#x2019; yn+1 | â&#x2030;¤ | yn â&#x2C6;&#x2019; yn | + hn Î&#x203A;| yn â&#x2C6;&#x2019; yn | + |Îľn |. En posant θn = | yn â&#x2C6;&#x2019; yn |, il vient θn+1 â&#x2030;¤ (1 + Î&#x203A;hn )θn + |Îľn |.

Lemme de Gronwall (cas discret) â&#x20AC;&#x201C; Soient des suites hn , θn â&#x2030;Ľ 0 et Îľn â&#x2C6;&#x2C6; R telles que θn+1 â&#x2030;¤ (1 + Î&#x203A;hn )θn + |Îľn |. Alors θn â&#x2030;¤ eÎ&#x203A;(tn â&#x2C6;&#x2019;t0 ) θ0 +



eÎ&#x203A;(tn â&#x2C6;&#x2019;ti+1 ) |Îľi |.

0â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤nâ&#x2C6;&#x2019;1

Le lemme se v´eriďŹ e par r´ecurrence sur n. Pour n = 0, lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e se r´eduit a` θ0 â&#x2030;¤ θ0 . Supposons maintenant lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e vraie `a lâ&#x20AC;&#x2122;ordre n. On observe que 1 + Î&#x203A;hn â&#x2030;¤ eÎ&#x203A;hn = eÎ&#x203A;(tn+1 â&#x2C6;&#x2019;tn ) . Par hypoth`ese on a θn+1 â&#x2030;¤ eÎ&#x203A;(tn+1 â&#x2C6;&#x2019;tn ) θn + |Îľn |  â&#x2030;¤ eÎ&#x203A;(tn+1 â&#x2C6;&#x2019;t0 ) θ0 + 0â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤nâ&#x2C6;&#x2019;1

Lâ&#x20AC;&#x2122;in´egalit´e cherch´ee sâ&#x20AC;&#x2122;ensuit `a lâ&#x20AC;&#x2122;ordre n + 1.

eÎ&#x203A;(tn+1 â&#x2C6;&#x2019;ti+1 ) |Îľi | + |Îľn |.


230

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Comme tn − t0 ≤ T et tn − ti+1 ≤ T , le lemme de Gronwall implique    max θn ≤ eΛT θ0 + |εi | 0≤n≤N

0≤i≤N −1

Par d´efinition de θn , on a donc

   yn − yn | ≤ eΛT | |εn | , max | y0 − y0 | +

0≤n≤N

0≤n≤N

et le th´eor`eme est d´emontr´e.

Remarque – Dans la pratique, l’hypoth`ese lipschitzienne faite sur Φ est tr`es rarement satisfaite globalement pour y1 , y2 ∈ R et h ∈ R (ne serait-ce que parce que le domaine de d´efinition de Φ est peut-ˆetre plus petit). Par contre cette hypoth`ese u J est un est souvent satisfaite si on se restreint `a des y1 , y2 ∈ J et |h| ≤ δ o` intervalle ferm´e born´e assez petit. Dans ce cas, la constante de stabilit´e S = eΛT est valable pour des suites yn , yn ∈ J et pour hmax ≤ δ.

Exemples – Supposons que la fonction f soit lipschitzienne de rapport k en y et calculons Λ, S pour les diff´erentes m´ethodes d´ej`a pr´esent´ees. • Dans la m´ethode d’Euler, Φ(t, y, h) = f (t, y). On peut prendre Λ = k, S = ekT . • Dans la m´ethode du point milieu, on a   h h Φ(t, y, h) = f t + , y + f (t, y) . 2 2 On en d´eduit

   h h   |Φ(t, y1 , h) − Φ(t, y2 , h)| ≤ ky1 + f (t, y1 ) − y2 + f (t, y2 )  2 2   h ≤ k |y1 − y2 | + |f (t, y1 ) − f (t, y2 )| 2     h 1 ≤ k |y1 − y2 | + k|y1 − y2 | = k 1 + hk |y1 − y2 |. 2 2   On peut prendre ici Λ = k 1 + 12 hmax k , d’o` u    1 S = exp kT 1 + hmax k . 2 Si hmax est petit (par rapport a` 1/k2 T ), cette constante est du mˆeme ordre de grandeur que dans la m´ethode d’Euler.

Corollaire – Lorsque f est lipschitzienne en y, les m´ethodes d’Euler et du point milieu sont convergentes. Le lecteur observera l’analogie des techniques utilis´ees pour obtenir ce corollaire avec celles utilis´ees au chapitre V, § 3.1.


231

` un pas VIII â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes num´ eriques a

               Nous allons voir ici que lâ&#x20AC;&#x2122;ordre dâ&#x20AC;&#x2122;une m´ethode num´erique a une inďŹ&#x201A;uence d´eterminante sur la pr´ecision que cette m´ethode permet dâ&#x20AC;&#x2122;atteindre. La d´eďŹ nition de lâ&#x20AC;&#x2122;ordre que nous allons donne prend lâ&#x20AC;&#x2122;erreur de consistance comme point de d´epart (le lecteur prendra garde au d´ecalage dâ&#x20AC;&#x2122;une unit´e entre lâ&#x20AC;&#x2122;ordre et lâ&#x20AC;&#x2122;exposant de hn dans lâ&#x20AC;&#x2122;erreur de consistance ! )

D´ eďŹ nition â&#x20AC;&#x201C; On dit quâ&#x20AC;&#x2122;une m´ethode `a 1 pas est dâ&#x20AC;&#x2122;ordre â&#x2030;Ľ p si pour toute solution exacte z dâ&#x20AC;&#x2122;une ´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle y  = f (t, y)

(E)

o` u f est de classe C p ,

il existe une constante C â&#x2030;Ľ 0 telle que lâ&#x20AC;&#x2122;erreur de consistance relative a ` z v´eriďŹ e |en | â&#x2030;¤ Chp+1 n ,

â&#x2C6;&#x20AC;n,

0 â&#x2030;¤ n < N.

Elle est dite dâ&#x20AC;&#x2122;ordre p (exactement) si elle est dâ&#x20AC;&#x2122;ordre â&#x2030;Ľ p mais pas dâ&#x20AC;&#x2122;ordre â&#x2030;Ľ p + 1. Rappelons que lâ&#x20AC;&#x2122;erreur de consistance est donn´ee par u en = z(tn+1 ) â&#x2C6;&#x2019; yn â&#x2C6;&#x2019; hn ÎŚ(tn , yn , hn ) o`

yn = z(tn ).

Supposons que ÎŚ soit de classe C p . La formule de Taylor donne alors ÎŚ(tn , yn , hn ) =

p  1 l â&#x2C6;&#x201A;lÎŚ h (tn , yn , 0) + o(hpn ). l! n â&#x2C6;&#x201A;hl l=0

Si f est de classe C p , la solution z est de classe C p+1 donc z(tn+1 ) â&#x2C6;&#x2019; yn = z(tn + h) â&#x2C6;&#x2019; z(tn ) p+1  1 k (k) h z (tn ) + o(hn+1 = ) n k! n

=

k=1 p  l=0

1 hl+1 f [l] (tn , yn ) + o(hp+1 n ). (l + 1)! n

On en d´eduit aussitË&#x2020; ot en =

p   1 l+1  1 â&#x2C6;&#x201A;lÎŚ  tn , yn , 0) + o(hp+1 hn f [l] (tn , yn ) â&#x2C6;&#x2019; n ) l l! l+1 â&#x2C6;&#x201A;h l=0

Cons´ equence â&#x20AC;&#x201C; La m´ethode est dâ&#x20AC;&#x2122;ordre â&#x2030;Ľ p si et seulement si ÎŚ est telle que â&#x2C6;&#x201A;lÎŚ 1 f [l] (t, y), (t, y, 0) = l â&#x2C6;&#x201A;h l+1

0 â&#x2030;¤ l â&#x2030;¤ p â&#x2C6;&#x2019; 1.


232

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Sous cette hypoth`ese, l’erreur en se r´eduit a` en =

 1 p+1  1 ∂pΦ hn f [p] (tn , yn ) − (tn , yn , 0) + o(hp+1 n ). p p! p+1 ∂h

Remarque – De ce qui pr´ec`ede on d´eduit les ´equivalences ⇔

M´ethode consistante

Φ(t, y, 0) = f (t, y)

M´ethode d’ordre

≥ 1.

L’utilisation de la formule de Taylor avec reste de Lagrange implique l’existence de points τn ∈ ]tn , tn+1 [ et ηn ∈ ]0, hmax [ tels que  en = hp+1 n

 1 1 ∂pΦ f [p] (τn , z(τn )) − (t , z(t ), η ) . n n n (p + 1)! p! ∂hp

Ceci permet (au moins th´eoriquement) de trouver une constante C dans la majoration de l’erreur de consistance : on peut prendre C=

1 ∂pΦ 1 f [p] (t, z(t)) ∞ + (t, z(t), h) ∞ (p + 1)! p! ∂hp

o` u les normes ∞ sont ´etendues aux

(t, h) ∈ [t0 , t0 + T ] × [0, hmax ].

Majoration de l’erreur globale – Compte tenu de la majoration suppos´ee satisfaite pour en , on a 

|en | ≤



Chp+1 ≤C n



hn hpmax ≤ CT hpmax .

0≤n<N

Si la m´ethode est stable avec constante de stabilit´e S, on obtient donc la majoration max |yn − z(tn )| ≤ S(|y0 − z(t0 )| + CT hpmax ).

0≤n≤N

L’erreur initiale |y0 − z(t0 )| est g´en´eralement n´egligeable. L’erreur globale donn´ee par une m´ethode stable d’ordre p est donc de l’ordre de grandeur de hpmax avec une constante de proportionnalit´e SCT (on retiendra que l’ordre est ´egal `a l’exposant de hmax dans la majoration de l’erreur globale, alors que l’erreur de consistance, elle, est en hp+1 n ). Si la constante SCT n’est pas trop grande (disons ≤ 102 ), une m´ethode d’ordre 3 avec pas maximum hmax = 10−2 permet d’atteindre une pr´ecision globale de l’ordre de 10−4 .


233

` un pas VIII â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes num´ eriques a

       Lâ&#x20AC;&#x2122;erreur globale calcul´ee au § 2.4 est une erreur th´eorique, câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire quâ&#x20AC;&#x2122;elle ne tient pas compte des erreurs dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi qui se produisent in´evitablement en pratique. Dans la r´ealit´e lâ&#x20AC;&#x2122;ordinateur va calculer non pas la suite r´ecurrente yn , mais une valeur approch´ee yn de yn dans laquelle interviendront â&#x20AC;˘ une erreur dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi Ď n sur ÎŚ(tn , yn , hn ), â&#x20AC;˘ une erreur dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi Ď&#x192;n sur le calcul de yn+1 . En d´eďŹ nitive, on aura yn+1 = yn + hn (ÎŚ(tn , yn , hn ) + Ď n ) + Ď&#x192;n = yn + hn ÎŚ(tn , yn , hn ) + hn Ď n + Ď&#x192;n . Il se peut ´egalement que y0 diďŹ&#x20AC;`ere l´eg`erement de la valeur th´eorique y0 : y0 = y0 +Îľ0 .

Hypoth` ese â&#x20AC;&#x201C;

â&#x2C6;&#x20AC;n,

|Ď n | â&#x2030;¤ Ď , |Ď&#x192;n | â&#x2030;¤ Ď&#x192;.

Les constantes Ď , Ď&#x192; d´ependent des caract´eristiques de lâ&#x20AC;&#x2122;ordinateur et de la pr´ecision des op´erations arithm´etiques (si les r´eels sont cod´es sur 6 octets, on a typiquement Ď = 10â&#x2C6;&#x2019;9 , Ď&#x192; = 10â&#x2C6;&#x2019;10 , |Îľ0 | â&#x2030;¤ 10â&#x2C6;&#x2019;10 ). Si la m´ethode est stable avec constante de stabilit´e S, on en d´eduit    yn â&#x2C6;&#x2019; yn | â&#x2030;¤ S |Îľ0 | + (hn |Ď n | + |Ď&#x192;n |) max |

0â&#x2030;¤nâ&#x2030;¤N

0â&#x2030;¤n<N

â&#x2030;¤ S(|Îľ0 | + T Ď + N Ď&#x192;). A cette erreur due aux arrondis sâ&#x20AC;&#x2122;ajoute lâ&#x20AC;&#x2122;erreur globale th´eorique max |yn â&#x2C6;&#x2019; z(tn )| â&#x2030;¤ SCT hpmax

0â&#x2030;¤nâ&#x2030;¤N

si

y0 = z(t0 ).

Lâ&#x20AC;&#x2122;erreur totale commise est donc max | yn â&#x2C6;&#x2019; z(tn )| â&#x2030;¤ S(|Îľ0 | + T Ď + N Ď&#x192; + CT hpmax )

0â&#x2030;¤nâ&#x2030;¤N

Supposons le pas hn = h constant pour simpliďŹ er. On a alors N = major´ee par E(h) = S(|Îľ0 | + T Ď +

T h

et lâ&#x20AC;&#x2122;erreur est

Ď&#x192;  T Ď&#x192; + CT hp ) = S(|Îľ0 | + T Ď ) + ST + Chp h h

Lâ&#x20AC;&#x2122;´etude de E(h) donne la courbe suivante, avec un minimum de E(h) r´ealis´e en  Ď&#x192;  p+1 1 . hopt = pC


234

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

E(h)

hopt

h

Typiquement, pour une m´ethode d’ordre p = 2 o` u pC  10, on obtient hopt  10−3 . Si on prend un pas plus petit, l’erreur augmente ! Ceci est dˆ u au fait que le nombre de pas N = Th augmente, et avec lui les erreurs d’arrondi, lorsque le pas h diminue. Les erreurs d’arrondi l’emportent alors sur l’erreur globale th´eorique SCT hp . L’exp´erience num´erique suivante confirme ces pr´evisions th´eoriques.

Exemple – Consid´erons le probl`eme de Cauchy y  = y avec donn´ee y0 = 1 en u y(1) = e  2, 7182818285. Si l’on t0 = 0. La solution exacte est y(t) = et , d’o` utilise la m´ethode du point milieu avec pas constant h, on obtient l’algorithme yn+1 = (1 + h + h2 /2)yn ,

y0 = 1.

L’erreur de consistance est donn´ee par en ∼ h3 yn /6, d’o` u en ≤ Ch3 avec C = e/6 sur [0, T ] = [0, 1]. Par ailleurs, on peut au mieux esp´erer σ = 10−11 , ce qui donne  −11 1/3 10 T  2, 224 · 10−4 , Nopt = < 4500. hopt ≥ 2 · e/6 hopt Un calcul sur un ordinateur disposant d’une pr´ecision relative maximale des r´eels de 10−11 environ nous a donn´e en fait les r´esultats suivants : Nombre de pas

Valeur yN associ´ee

Erreur y(1) − yN

N N N N N N

= 10 = 100 = 500 = 1000 = 2000 = 3000

2,7140808465 2,7182368616 2,7182800146 2,7182813650 2,7182816975 2,7182817436

4, 2 · 10−3 4, 5 · 10−5 4, 8 · 10−6 4, 6 · 10−7 1, 3 · 10−7 8, 5 · 10−8

N N N N N N N

= 4000 = 4400 = 5000 = 6000 = 7000 = 10000 = 20000

2,7182817661 2,7182817882 2,7182817787 2,7182817607 2,7182817507 2,7182817473 2,7182817014

6, 2 · 10−8 4, 0 · 10−8 5, 0 · 10−8 6, 8 · 10−8 7, 8 · 10−8 8, 1 · 10−8 1, 3 · 10−7


235

` un pas VIII â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes num´ eriques a

Le nombre de pas optimal observ´e est Nopt  4400.

  

      

  

 

 

Lâ&#x20AC;&#x2122;objet de ce paragraphe est de mettre en ´evidence les diďŹ&#x192;cult´es qui peuvent apparaË&#x2020;Äątre dans la mise en Ĺ&#x201C;uvre des algorithmes de r´esolution num´erique.

D´ eďŹ nition 1 â&#x20AC;&#x201C; On dit quâ&#x20AC;&#x2122;un probl`eme de Cauchy est math´ematiquement bien pos´e si la solution est unique et d´epend continË&#x2020; ument de la donn´ee initiale. Exemple â&#x20AC;&#x201C; Consid´erons le probl`eme de Cauchy

y  = 2 |y|, y(0) = 0.

t â&#x2C6;&#x2C6; [0, +â&#x2C6;&#x17E;[

Ce probl`eme admet les solutions y(t) = 0, y(t) = t2 et plus g´en´eralement 

y(t) = 0, y(t) = (t â&#x2C6;&#x2019; a)2 ,

t â&#x2C6;&#x2C6; [0, a] t â&#x2C6;&#x2C6; [a, +â&#x2C6;&#x17E;[.

â&#x2C6;&#x161; Lâ&#x20AC;&#x2122;utilisation de la m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;Euler yn+1 = yn + 2hn yn va conduire aux solutions approch´ees suivantes : â&#x20AC;˘ si y0 = 0

y(t) = 0

â&#x20AC;˘ si y0 = Îľ

y(t)  (t +

â&#x2C6;&#x161;

Îľ)2 quand hmax â&#x2020;&#x2019; 0.

Il nâ&#x20AC;&#x2122;y a ici ni unicit´e, ni continuit´e de la solution. Le probl`eme de Cauchy est donc math´ematiquement mal pos´e. Les r´esultats du chapitre V § 3.2 (et ceux a` venir du chapitre XI § 1.2) montrent que le probl`eme de Cauchy est math´ematiquement bien pos´e d`es que f (t, y) est localement lipschitzienne en y.

D´ eďŹ nition 2 â&#x20AC;&#x201C; On dit quâ&#x20AC;&#x2122;un probl`eme de Cauchy est num´eriquement bien pos´e si la continuit´e de la solution par rapport a ` la donn´ee initiale est suďŹ&#x192;samment bonne pour que la solution ne soit pas perturb´ee par une erreur initiale ou des erreurs dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi faibles. Par lâ&#x20AC;&#x2122;expression  continuit´e suďŹ&#x192;samment bonne , on entend en g´en´eral lâ&#x20AC;&#x2122;existence dâ&#x20AC;&#x2122;une constante de Lipschitz petite en regard de la pr´ecision des calculs. On notera que la d´eďŹ nition 2 ne fait pas r´ef´erence `a la m´ethode de calcul utilis´ee.

Exemple 2 â&#x20AC;&#x201C; Soit le probl`eme de Cauchy 

y  = 3y â&#x2C6;&#x2019; 1, y(0) = 13 .

t â&#x2C6;&#x2C6; [0, 10]


236

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

La solution exacte est y(t) = t + 13 . La donn´ee initiale y(0) = y(t) = t + 13 + εe3t . On a alors

1 3

+ ε fournit

y(10) − y(10) = ε · e30  1013 ε. Le probl`eme est ici math´ematiquement bien pos´e, mais num´eriquement mal pos´e si la pr´ecision des calculs est seulement de 10−10 . Le probl`eme redevient num´eriquement bien pos´e si la pr´ecision des calculs est de 10−20 .

Exemple 3 – L’exemple suivant montre que mˆeme un probl`eme num´eriquement bien pos´e peut soulever des difficult´es inattendues : 

y  = −150y + 30, y(0) = 15 .

t ∈ [0, 1],

La solution exacte est y(t) = 15 et la donn´ee initiale y(0) = 15 + ε fournit y(t) = 15 +εe−150t . Comme 0 ≤ e−150t ≤ 1 sur [0, 1], le probl`eme est num´eriquement bien pos´e. La m´ethode d’Euler avec pas constant h donne

d’o` u Supposons h = pour t = 1

yn+1 = yn + h(−150yn + 30) = (1 − 150h)yn + 30h, 1 1 yn+1 − = (1 − 150h)(yn − ), 5 5  1 1 . yn − = (1 − 150h)n y0 − 5 5 1 50 .

Une erreur initiale y0 = y50 =

1 5

+ ε conduit a` yn =

1 5

+ (−2)m ε, d’o` u

1 1 + 250 ε  + 1015 ε! 5 50

Pour que |yn | ne diverge pas vers +∞, il est n´ecessaire de prendre |1 − 150h| ≤ 1, 1 . Bien que le probl`eme soit tout `a fait bien pos´e, on voit soit 150h ≤ 2, h ≤ 75 qu’il est n´ecessaire de prendre un pas assez petit, et donc de faire des calculs plus coˆ uteux que d’ordinaire.

D´ efinition 3 – On dit qu’un probl`eme est bien conditionn´e si les m´ethodes num´eriques usuelles peuvent en donner la solution en un temps raisonnable. Un probl`eme sera bien conditionn´e si la constante de stabilit´e S n’est pas trop grande (disons nettement < 1010 si la pr´ecision des calculs est 10−10 ). Sinon, on dit qu’on a affaire a` un probl`eme raide. On sait qu’en g´en´eral la constante de stabilit´e S est major´ee par eΛT . Dans un probl`eme raide, on peut avoir typiquement ΛT = 103 , eΛT > 10400 . Il existe des algorithmes permettant de traiter certains probl`emes raides, mais nous n’aborderons pas cette question. Le lecteur pourra consulter sur ce point le livre de CrouzeixMignot.


237

` un pas VIII â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes num´ eriques a

      



   

On consid`ere un probl`eme de Cauchy   y = f (t, y), y(t0 ) = y0

t â&#x2C6;&#x2C6; [t0 , t0 + T ]

et on cherche `a discr´etiser ce probl`eme par rapport a` une subdivision t0 < t1 < . . . < tN = t0 + T . Lâ&#x20AC;&#x2122;id´ee est de calculer par r´ecurrence les points (tn , yn ) en utilisant des points interm´ediaires (tn,i , yn,i ) avec 1 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ q,

tn,i = tn + ci hn ,

ci â&#x2C6;&#x2C6; [0, 1].

A chacun de ces points on associe la pente correspondante pn,i = f (tn,i , yn,i ). Soit z une solution exacte de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation. On a 

tn,i

z(tn,i ) = z(tn ) +

f (t, z(t))dt tn



= z(tn ) + hn

ci

f (tn + uhn , z(tn + uhn ))du

0

grË&#x2020; ace au changement de variable t = tn + uhn . De mË&#x2020;eme  z(tn+1 ) = z(tn ) + hn

1 0

f (tn + uhn , z(tn + uhn )du.

On se donne alors pour chaque i = 1, 2, . . . , q une m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;int´egration approch´ee  ci  (Mi ) g(t)dt  aij g(cj ), 0

1â&#x2030;¤j<i

ces m´ethodes pouvant Ë&#x2020;etre a priori diďŹ&#x20AC;´erentes. On se donne ´egalement une m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;int´egration approch´ee sur [0, 1] : 

1

(M) 0

g(t)dt 



bj g(cj ).

1â&#x2030;¤jâ&#x2030;¤q

En appliquant ces m´ethodes dâ&#x20AC;&#x2122;int´egration a` g(u) = f (tn + uhn , z(tn + uhn )), il vient z(tn,i )  z(tn ) + hn



aij f (tn,j , z(tn,j )),

1â&#x2030;¤j<i

z(tn+1 )  z(tn ) + hn



1â&#x2030;¤jâ&#x2030;¤q

bj f (tn,j , z(tn,j )).


238

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

La m´ethode Runge-Kutta correspondante est d´efinie par l’algorithme   tn,i = tn + ci hn        yn,i = yn + hn aij pn,j         1≤j<i   pn,i = f (tn,i , yn,i )    tn+1 = tn + hn        y = y + h bj pn,j .  n+1 n n 

1≤i≤q

1≤j≤q

On la repr´esente conventionnellement par le tableau (M1 ) (M2 )

(Mq )

c1 c2 .. .. .. cq

0 a21 .. .. .. aq1

0 0 .. .. .. aq2

... ... .. .

0 0 .. . 0

...

aqq−1

0 0 .. . 0 0

b1

b2

...

bq−1

bq

(M)

o` u les m´ethodes d’int´egration approch´ees correspondent aux lignes. On pose par convention aij = 0 pour j ≥ i.

Hypoth` ese – On supposera toujours que les m´ethodes d’int´egration (Mi ) et (M) sont d’ordre 0 au moins, c’est-` a-dire 

ci =

aij ,

1=

1≤j<i



bj .

1≤j≤q

En particulier, on aura toujours c1 = 0,

tn,1 = tn ,

yn,1 = yn ,

pn,1 = f (tn , yn ).

  

Exemple 1 – Pour q = 1, le seul choix possible est

  0   

On a ici c1 = 0, a11 = 0, b1 = 1. L’algorithme est donn´e par    pn,1 = f (tn , yn ) tn+1 = tn + hn   yn+1 = yn + hn pn,1 Il s’agit de la m´ethode d’Euler.

0 1


239

` un pas VIII â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes num´ eriques a

Exemple 2 â&#x20AC;&#x201C; Pour q = 2, on consid`ere les tableaux de la forme 0 Îą

  0   Îą   1   1â&#x2C6;&#x2019;  2Îą

0 0

,

o` u

1 2Îą

Îą â&#x2C6;&#x2C6; ]0, 1].

Lâ&#x20AC;&#x2122;algorithme sâ&#x20AC;&#x2122;´ecrit ici  pn,1 = f (tn , yn )      t n,2 = tn + Îąhn      yn,2 = yn + Îąhn pn,1 pn,2 = f (tn,2 , yn,2 )      tn+1 = tn + hn       yn+1 = yn + hn 1 â&#x2C6;&#x2019;

1 2Îą

 pn,1 +

1 2Îą

 pn,2 ,

ou encore, sous forme condens´ee : yn+1 = yn + hn

  1 1  f (tn + Îąhn , yn + Îąhn f (t, yn )) . 1â&#x2C6;&#x2019; f (tn , yn ) + 2Îą 2Îą

Câ&#x20AC;&#x2122;est n´eanmoins la premi`ere formulation qui est la plus eďŹ&#x192;cace en pratique, puisquâ&#x20AC;&#x2122;elle requiert seulement deux ´evaluations de la fonction f au lieu de 3 pour la forme condens´ee. â&#x20AC;˘ Pour Îą = 12 , on retrouve la m´ethode du point milieu   hn hn , yn + f (tn , yn ) , yn+1 = yn + hn f tn + 2 2 qui est bas´ee sur la m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;int´egration du point milieu :  (M) 0

1

g(t)dt  g

1 2

.

â&#x20AC;˘ Pour Îą = 1, on obtient la m´ethode de Heun : yn+1 = yn + hn

1 2

f (tn , yn ) +

 1 f (tn+1 , yn + hn f (tn , yn )) , 2

qui repose sur la m´ethode dâ&#x20AC;&#x2122;int´egration des trap`ezes :  (M) 0

1

g(t)dt 

1 (g(0) + g(1)). 2


240

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Exemple 3 â&#x20AC;&#x201C; M´ethode de Runge-Kutta  classique  : Il sâ&#x20AC;&#x2122;agit de la m´ethode d´eďŹ nie par le tableau 0 1 2 1 2

q = 4,

1

                

0

0

0

0

1 2

0

0

0

0

1 2

0

0

0

0

1

0

1 6

2 6

2 6

1 6

Lâ&#x20AC;&#x2122;algorithme correspondant sâ&#x20AC;&#x2122;´ecrit  pn,1 = f (tn , yn )      tn,2 = tn + 12 hn      yn,2 = yn + 12 hn pn,1      pn,2 = f (tn,2 , yn,2 )      yn,3 = yn + 12 hn pn,2 pn,3 = f (tn,2 , yn,3 )      tn+1 = tn + hn      yn,4 = yn + hn pn,3      pn,4 = f (tn+1 , yn,4 )      y =y +h 1 p n+1

n

n

6

n,1

(noter que tn,3 = tn,2 ) (noter que tn,4 = tn+1 )

+

2 6

pn,2 +

2 6

pn,3 +

1 6

 pn,4

On verra plus loin que cette m´ethode est dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 4. Dans ce cas les m´ethodes dâ&#x20AC;&#x2122;int´egration (Mi ) et (M) utilis´ees sont respectivement : 

1 2

1 g(0) : rectangles `a gauche, 2 0  12 1 1 : rectangles `a droite, (M3 ) g(t)dt  g 2 2 0  1 1 (M4 ) : point milieu, g(t)dt  g 2 0  1 2 1 2 1 1 1 g(t)dt  g(0) + g (M) + g + g(1) : 6 6 2 6 2 6 0 (M2 )

g(t)dt 



   

Les m´ethodes de Runge-Kutta sont des m´ethodes `a un pas yn+1 = yn + hn Ό(tn , yn , hn )

Simpson.


241

` un pas VIII – M ´ ethodes num´ eriques a



avec Φ(tn , yn , hn ) =

bj pn,j . La fonction Φ est d´efinie de mani`ere explicite par

1≤j≤q

   Φ(t, y, h) = bj f (t + cj h, yj ) avec    1≤j≤q    aij f (t + cj h, yj ), 1 ≤ i ≤ q. yi = y + h  

(∗)

1≤j<i

Supposons que f soit k-lipschitzienne en y. On va montrer que Φ est alors ´egalement lipschitzienne. Soit z ∈ R et supposons Φ(t, z, h) et zi d´efinis a` partir de z comme dans la formule (∗).    Lemme – Soit α = max |aij | . Alors i

1≤j≤i

|yi − zi | ≤ (1 + (αkh) + (αkh)2 + . . . + (αkh)i−1 )|y − z|. On d´emontre le lemme par r´ecurrence sur i. Pour i = 1, on a y1 = y, z1 = z et le r´esultat est ´evident. Supposons l’in´egalit´e vraie pour tout j < i. Alors  |aij | · k · max |yj − zj |, |yi − zi | ≤ |y − z| + h j<i

j<i

|yi − zi | ≤ |y − z| + αkh max |yj − zj |. j<i

Par hypoth`ese de r´ecurrence il vient max |yj − zj | ≤ (1 + αkh + . . . + (αkh)i−2 )|y − z|, j<i

et l’in´egalit´e s’ensuit `a l’ordre i. La formule (∗) entraˆıne maintenant  |bj | k |yj − zj | ≤ Λ|y − z| |Φ(t, y, h) − Φ(t, z, h)| ≤

avec

1≤j≤q

Λ=k



|bj |(1 + (αkhmax ) + . . . + (αkhmax )j−1 ).

1≤j≤q

Corollaire –

stabilit´e S = eΛT .

Les m´ethodes de Runge-Kutta sont stables, avec constante de

Remarque – Dans le cas fr´equent o`u les coefficients bj sont ≥ 0, on a la relation Λ ≤ k(1 + (αkhmax ) + . . . + (αkhmax )q−1 ). Si les coefficients aij sont eux-mˆemes ≥ 0, on a α = max ci . i

Lorsque hmax est assez petit devant 1/αk, la constante de stabilit´e est donc de l’ordre de grandeur de ekT . Ces observations montrent que les m´ethodes de RungeKutta d´ecrites dans les exemples 1, 2, 3 du § 3.3 poss`edent une excellente stabilit´e (il est facile de voir que ekT est la borne inf´erieure possible pour S, quelle que soit la m´ethode utilis´ee : consid´erer pour cela l’´equation y  = ky).


242

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

        Pour d´eterminer lâ&#x20AC;&#x2122;ordre, on peut appliquer le crit`ere du § 2.4 consistant a` ´evaluer les l d´eriv´ees â&#x2C6;&#x201A;â&#x2C6;&#x201A;hÎŚl (t, y, 0) : lâ&#x20AC;&#x2122;ordre est au moins ´egal `a p si et seulement si cette d´eriv´ee 1 est ´egale `a l+1 f [l] (t, y) pour l â&#x2030;¤ p â&#x2C6;&#x2019; 1. GrË&#x2020; ace `a la formule (â&#x2C6;&#x2014;) du § 3.3, on obtient facilement les d´eriv´ees successives de ÎŚ :  â&#x20AC;˘ ÎŚ(t, y, 0) = bj f (t, y) = f (t, y). 1â&#x2030;¤jâ&#x2030;¤q

Les m´ethodes de Runge-Kutta sont donc toujours dâ&#x20AC;&#x2122;ordre â&#x2030;Ľ 1 (câ&#x20AC;&#x2122;est-`a-dire consistantes).   â&#x2C6;&#x201A;yj  â&#x2C6;&#x201A;ÎŚ (t, y, h) = bj cj ft (t + cj h, yj ) + fy (t + cj h, yj ) , â&#x2C6;&#x201A;h â&#x2C6;&#x201A;h j    â&#x2C6;&#x201A;yj  â&#x2C6;&#x201A;yi = aij f (t + cj h, yj ) + h aij cj ft + fy . â&#x2C6;&#x201A;h â&#x2C6;&#x201A;h j<i j<i

â&#x20AC;˘

Pour h = 0, on obtient donc   â&#x2C6;&#x201A;yi  = aij f (t, y) = ci f (t, y)  â&#x2C6;&#x201A;h h=0 j<i

   â&#x2C6;&#x201A;ÎŚ (t, y, 0) = bj cj (ft + fy f )(t, y) = bj cj f [1] (t, y). â&#x2C6;&#x201A;h j

Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es le § 2.4, la m��´ethode est dâ&#x20AC;&#x2122;ordre â&#x2030;Ľ 2 si et seulement si â&#x20AC;˘

bj cj = 12 .

 â&#x2C6;&#x201A;y 2  2   â&#x2C6;&#x201A;2ÎŚ j 2   â&#x2C6;&#x201A;yj   â&#x2C6;&#x201A; yj c , + f (t, y, h) = b f + 2c f + f j j j tt ty yy y â&#x2C6;&#x201A;h2 â&#x2C6;&#x201A;h â&#x2C6;&#x201A;h â&#x2C6;&#x201A;h2 j

      â&#x2C6;&#x201A; 2 yi   â&#x2C6;&#x201A;yj 2  c c = 2 a f + f a f + . . . . + h ij j t ij y j tt â&#x2C6;&#x201A;h2 â&#x2C6;&#x201A;h j<i j<i Pour h = 0, il vient

 â&#x2C6;&#x201A; 2 yi  =2 aij cj (ft + fy f )(t, y),  2 â&#x2C6;&#x201A;h h=0   â&#x2C6;&#x201A;2ÎŚ 2    2 (t, y, 0) = b c (f + 2f f + f f )(t, y) + 2 bi aij cj fy (ft + fy f )(t, y). j j tt ty yy â&#x2C6;&#x201A;h2 j i,j Or f [2] est donn´e par f [2] (t, y) = (f [1] )t + (f [1] )y f = (ft + fy f )t + (ft + fy f )y f    2 f + fy ft + fty f + fyy f + fy2 f. = ftt + fty   2 f + fyy f ) + fy (ft + fy f ). = (ftt + 2fty


243

` un pas VIII – M ´ ethodes num´ eriques a

∂2Φ ∂h2

La condition

(t, y, 0) =

1 3



f [2] (t, y) se traduit en g´en´eral par les conditions

bj c2j =

j



1 , 3

bi aij cj =

i,j

1 6

(prendre respectivement f (t, y) = t2 , puis f (t, y) = t + y pour obtenir ces deux 3 conditions). Un calcul analogue (p´enible !) de ∂∂hΦ3 conduirait au r´esultat suivant.

Th´ eor` eme – La m´ethode de Runge-Kutta d´efinie par le tableau des coefficients ci , aij , bj est • d’ordre ≥ 2 ssi



b j cj =

1 . 2

b j cj =

1 ; 2

j

• d’ordre ≥ 3 ssi

 j



bj c2j =

j

1 ; 3



bi aij cj =

i,j

1 . 6

• d’ordre ≥ 4 ssi 

b j cj =

j

 i,j

 i,j,k

1 ; 2

1 bi aij cj = ; 6

 j

bj c2j =

 i,j

1 ; 3

 j

1 ; bi aij c2j = 12

bj c3j =  i,j

1 4 bi ci aij cj =

1 ; 8

1 . bi aij ajk ck = 12

Pour la v´erification pratique, on notera que certaines des expressions pr´ec´edentes   c1 . sont des produits des matrices C =  .. , A = (aij ), B = (b1 b2 . . . bq ). Ainsi cq   bi aij cj = BAC, bi aij ajk ck = BA2 C. i,j

i,j,k

Pour les exemples du § 3.2, on voit ainsi que la m´ethode d’Euler est d’ordre 1, et que les m´ethodes de l’exemple 2 sont d’ordre 2. De plus, dans une m´ethode avec α = a21 . On a alors q = 2, il y a a priori un seul coefficient aij non nul, a` savoir bj cj = b2 α = 1/2, c2 = j<2 a2j = α et la m´ethode est d’ordre 2 au moins ssi soit b2 = 1/2α et b1 = 1 − b2 = 1 − 1/2α. On voit donc qu’il n’y avait pas d’autres choix possibles pour une m´ethode d’ordre 2 avec q = 2. Enfin, la m´ethode Runge-Kutta   classique  pr´esent´ee dans l’exemple 3 est d’ordre 4 (l’ordre n’est pas ≥ 5 car bj c4j = 1/5). C’est si l’on peut dire la  m´ethode reine  des m´ethodes `a un pas : ordre ´elev´e, grande stabilit´e (grˆ ace `a la positivit´e des coefficients, voir remarque finale du § 3.3). Il existe des m´ethodes d’ordre encore plus ´elev´e (voir exercice 5.4), mais leur plus grande complexit´e les rend peut-ˆetre un peu moins praticables.


244

Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

    La mani`ere la plus simple pour appliquer une m´ethode de r´esolution num´erique consiste `a utiliser un pas constant hn = h. La principale diďŹ&#x192;cult´e est alors de d´eterminer hmax de fa¸con que lâ&#x20AC;&#x2122;erreur globale ne d´epasse pas une certaine tol´erance Îľ ďŹ x´ee `a lâ&#x20AC;&#x2122;avance ; on ne sait pas en eďŹ&#x20AC;et quelle sera lâ&#x20AC;&#x2122;´evolution de la solution ´etudi´ee, de sorte quâ&#x20AC;&#x2122;il est diďŹ&#x192;cile de pr´evoir a priori les erreurs de consistance. Lâ&#x20AC;&#x2122;utilisation dâ&#x20AC;&#x2122;algorithmes a` pas variables pr´esente de ce point de vue deux avantages majeurs : â&#x20AC;˘ lâ&#x20AC;&#x2122;adaptation du pas a` chaque ´etape permet dâ&#x20AC;&#x2122;optimiser lâ&#x20AC;&#x2122;erreur commise en fonction de la tol´erance prescrite Îľ, sous r´eserve quâ&#x20AC;&#x2122;on dispose dâ&#x20AC;&#x2122;une estimation  instantan´ ee  de lâ&#x20AC;&#x2122;erreur de consistance en . â&#x20AC;˘ lâ&#x20AC;&#x2122;approche dâ&#x20AC;&#x2122;une discontinuit´e ou dâ&#x20AC;&#x2122;une singularit´e de lâ&#x20AC;&#x2122;´equation diďŹ&#x20AC;´erentielle ne peut se faire g´en´eralement quâ&#x20AC;&#x2122;avec une r´eduction importante du pas. Dans cette circonstance, il convient dâ&#x20AC;&#x2122;arrË&#x2020;eter lâ&#x20AC;&#x2122;algorithme avant de traverser la discontinuit´e, faute de quoi les erreurs deviennent impr´evisibles. Le calcul du pas sert alors de test dâ&#x20AC;&#x2122;arrË&#x2020;et.



     

 

Soit [t0 , t0 + T ] lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle de temps consid´er´e. On suppose ďŹ x´ee une tol´erance Îľ pour lâ&#x20AC;&#x2122;erreur globale max |yn â&#x2C6;&#x2019; z(tn )|. 0â&#x2030;¤nâ&#x2030;¤N

Supposons ´egalement quâ&#x20AC;&#x2122;on dispose dâ&#x20AC;&#x2122;un estimation S de la constante de stabilit´e. En n´egligeant lâ&#x20AC;&#x2122;erreur initiale |y0 â&#x2C6;&#x2019; z(t0 )| et les erreurs dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi, on a alors 

max |yn â&#x2C6;&#x2019; z(tn )| â&#x2030;¤ S

0â&#x2030;¤nâ&#x2030;¤N

|en | = S



hn

0â&#x2030;¤n<N

â&#x2030;¤S



|en | hn

  |e |   |e |  n n â&#x2030;¤ ST max . hn max hn hn

Il suďŹ&#x192;t donc de choisir les pas hn en sorte que max

 |e |  Îľ n ; â&#x2030;¤Î´= hn ST

|en | hn

repr´esente intuitivement lâ&#x20AC;&#x2122;erreur de consistance par unit´e de temps, et câ&#x20AC;&#x2122;est ce rapport quâ&#x20AC;&#x2122;il sâ&#x20AC;&#x2122;agit de contrË&#x2020; oler. Il est bien entendu impossible de d´eterminer exactement en , sinon on connaË&#x2020;Äątrait du mË&#x2020;eme coup la solution exacte par la formule z(tn+1 ) = yn+1 + en ! On va supposer n´eanmoins quâ&#x20AC;&#x2122;on dispose dâ&#x20AC;&#x2122;une estimation eâ&#x2C6;&#x2014;n de en . Dans la pratique, on se ďŹ xe un encadrement [hmin , hmax ] du pas (hmin est impos´e par les limitations du temps de calcul et par lâ&#x20AC;&#x2122;accroissement des erreurs dâ&#x20AC;&#x2122;arrondi quand le pas diminue, cf. § 2.5). On essaie alors de choisir hn â&#x2C6;&#x2C6; [hmin , hmax ] de fa¸con


245

` un pas VIII â&#x20AC;&#x201C; M ´ ethodes num´ eriques a

que |eâ&#x2C6;&#x2014;n |/hn â&#x2030;¤ δ, et si lâ&#x20AC;&#x2122;erreur est notablement inf´erieure on se permet dâ&#x20AC;&#x2122;augmenter prudemment hn . Par exemple : â&#x20AC;˘ si â&#x20AC;˘ si â&#x20AC;˘ si

â&#x2C6;&#x2014;

|en | 1 3 δ â&#x2030;¤ hn â&#x2030;¤ δ, alors hn+1 := hn ; |eâ&#x2C6;&#x2014; 1 n| hn < 3 δ, alors hn+1 := min(1.25 hn , hmax ) |eâ&#x2C6;&#x2014; n| et de hn > δ, alors hn+1 := 0.8 hn , avec arrË&#x2020;

; lâ&#x20AC;&#x2122;algorithme si hn+1 < hmin .

Ce dernier cas peut correspondre `a lâ&#x20AC;&#x2122;approche dâ&#x20AC;&#x2122;une discontinuit´e, lâ&#x20AC;&#x2122;erreur augmentant continuellement malgr´e la diminution du pas. Pour lâ&#x20AC;&#x2122;initialisation du pas, on prend h0 = hmin , a` moins que lâ&#x20AC;&#x2122;on connaisse une valeur initiale plus appropri´ee.

     

|en|/hn

Pour estimer en , il nâ&#x20AC;&#x2122;est pas question dâ&#x20AC;&#x2122;utiliser les expressions analytiques des l d´eriv´ees â&#x2C6;&#x201A;â&#x2C6;&#x201A;hÎŚl et f [l] , beaucoup trop coË&#x2020; uteuses en temps de calcul. On est donc amen´e a rechercher des estimations ad hoc, qui nâ&#x20AC;&#x2122;utilisent si possible que des quantit´es d´ej`a ` calcul´ees par lâ&#x20AC;&#x2122;algorithme, et qui ne r´eclament pas de nouvelle ´evaluation de f . â&#x20AC;˘ M´ ethode dâ&#x20AC;&#x2122;Euler Si pn = f (tn , yn ), alors pn+1 â&#x2C6;&#x2019; pn = f (tn + hn , yn + hn f (tn , yn )) â&#x2C6;&#x2019; f (tn , yn ) = hn ft (tn , yn ) + hn f (tn , yn )fy (tn , yn ) + o(hn ) = hn f [1] (tn , yn ) + o(hn ). Comme en =

1 2

h2n f [1] (tn , yn ) + o(h2n ) on a une approximation de en donn´ee par eâ&#x2C6;&#x2014;n 1 = (pn+1 â&#x2C6;&#x2019; pn ). hn 2

Ceci ne n´ecessite aucun calcul suppl´ementaire puisque pn+1 est de toute fa¸con n´ecessaire pour lâ&#x20AC;&#x2122;´etape suivante. â&#x20AC;˘ M´ ethode de Runge-Kutta dâ&#x20AC;&#x2122;ordre 2 0 Îą

         

0

0

Îą

0

1â&#x2C6;&#x2019;

1 2Îą

1 2Îą

Dâ&#x20AC;&#x2122;apr`es le § 2.4 on a ici en = h3n

1 3!

f [2] (tn , yn ) â&#x2C6;&#x2019;

 1 â&#x2C6;&#x201A;2ÎŚ (t , y , 0) + o(h3n ), n n 2! â&#x2C6;&#x201A;h2