Pws leegschenken van een pak drinken lauwers college

Lauwers College, Buitenpost

Profielwerkstuk:

Het leegschenken van een pak drinken Simpel toch?

Erik van der Ploeg & Wietse de Vries PROFIEL: VAK: DOCENT:

NATUUR EN TECHNIEK NATUURKUNDE DHR. R.J. TIMMERMANS

Voorwoord Al vrij snel besloten wij, Erik van der Ploeg en Wietse de Vries, om samen ons profielwerkstuk te maken.

Dit deden we omdat we beide een exacte PWS wilden maken en we vertrouwden elkaar erin dat het goed zou komen. Voor ons profielwerkstuk hebben we gekozen om als hoofdvak natuurkunde te kiezen.

Daarbij hebben we dhr. Timmermans, onze natuurkundedocent, gevraagd om ons te begeleiden, wat hij graag deed.

Naar aanleiding van een artikel uit het blad NVOX over het inschenken van drinken hebben we besloten om hier ons profielwerkstuk over te doen. Onze begeleider, dhr. Timmermans, vond dit ook een geschikt onderwerp. De bestaande theorie hebben we in dit profielwerkstuk verder uitgewerkt met niet alleen normale pakken met rechthoekige bodem, maar ook met pakken die een driehoekvormige bodem hebben. Daarnaast zal deze theorie ook getoetst moeten worden, wat we in dit profielwerkstuk hebben gedaan. Het ultieme doel was om in dit profielwerkstuk uiteindelijk een robot te maken dat zelf drinken in kan schenken.

In eerste instantie kwam het profielwerkstuk nog niet heel snel op gang. In de eerste fasen is dus niet veel werk verricht aan het profielwerkstuk. Onze begeleider schudde ons wakker en we beseften dat er echt iets moest gebeuren. Toen we eenmaal aan de gang waren, maakten we snel progressie. Uiteindelijk zijn we erg tevreden met het resultaat. De theorie, waar Erik zich voornamelijk mee bezig hield, en de praktijk, waar Wietse zich vooral mee bezig hield, sluiten goed op elkaar aan.

Wij hopen u met dit PWS te laten zien dat er achter zoiets simpels als het inschenken van drinken toch heel wat natuurkunde kan zitten.

2

Inhoud Voorwoord ...................................................................................................................................................... 2 H1 Het leegschenken van een pak, simpel toch? ............................................................................................ 4 H2 De theorie van het inschenken van drinken .............................................................................................. 5 H2.1 De theorie bij een rechthoekig grondvlak ........................................................................................... 5 H2.2 De theorie bij een driehoekig grondvlak met de punt naar beneden ............................................... 10 H2.3 De theorie bij een driehoekig grondvlak met de punt naar boven ................................................... 14 H3 Het leegschenken van een pak drinken in de praktijk ............................................................................. 21 H4 Toepassing ............................................................................................................................................... 27 H5 Conclusie .................................................................................................................................................. 35 Begrippenlijst ................................................................................................................................................ 36 Bronnen en gebruikte hulpmiddelen ............................................................................................................ 37 Nawoord ........................................................................................................................................................ 38 Bijlagen .......................................................................................................................................................... 39

3

H1 Het leegschenken van een pak, simpel toch?

Inleiding De meeste mensen schenken dagelijks wel een glas drinken voor zichzelf in. Wanneer ze dat doen, wordt het pak onder een bepaalde hoek gehouden en wordt het op een bepaalde snelheid bewogen, zodat er niet gemorst wordt. Gelukkig wordt dit door de meeste mensen automatisch goed gedaan. Soms gaat het echter verkeerd, en wordt er gemorst.

In de moderne samenleving is het gebruik van een robot een mogelijke oplossing voor iemand die niet in staat is een pak leeg te schenken. Deze robot kan het pak niet ‘leren’ leegschenken. Hiervoor zal deze geprogrammeerd moeten worden. In dit PWS is ons uiteindelijke doel, naast het begrijpen van het schenkproces, het ontwerpen van een robot, die zelf in staat is een pak drinken leeg te schenken. De hoofdvraag kan dus als volgt geformuleerd worden: Hoofdvraag: Hoe kunnen wij een robot ontwerpen, die een pak drinken zonder morsen leeg kan schenken?

Om dit te kunnen doen, zullen we eerst naar de theorie moeten kijken, die aan de basis van het uitschenken van een pak ligt. Hierbij moet gedacht worden aan overgebleven en uitgeschonken volumes, de hoeken waaronder het pak gehouden moet worden, de snelheden waarmee deze hoek verandert etc.

Deelvraag 1: Aan welke voorwaarden moet, in theorie, voldaan worden, om een pak zonder te morsen leeg te schenken?

Vervolgens moet deze theorie natuurlijk getest worden. Er gaat dan een pak leeggeschonken worden, waarbij de hoek waaronder dit pak gehouden wordt bepaald wordt. Vervolgens kan deze hoek vergeleken worden met de theoretisch bepaalde hoek.

Deelvraag 2: Welke verschillen zitten er tussen de theorie en praktijk, en hoe kunnen deze verschillen verklaard worden?

Wanneer er vervolgens praktische functies opgesteld zijn voor de hoek, kunnen deze ingevoerd worden in de robot. Deze robot moet echter eerst ontworpen worden.

Deelvraag 3: Uit welke onderdelen bestaat de robot, en hoe moet deze in elkaar gezet en geprogrammeerd worden?

Wanneer deze drie deelvragen zijn beantwoord, staat er een werkende leegschenkrobot op tafel, en is de hoofdvraag dus beantwoord.

4

H2.1 De theorie bij een rechthoekig grondvlak §2.1.1 Inleiding Bij het inschenken van een pak drinken is het duidelijk te merken dat de vloeistof via een boog in het glas terecht komt. Dit is duidelijk te zien in Figuur 2.1.1. Het is niet lastig te bedenken dat dit betekent dat de vloeistof dus een constant debiet moet hebben, omdat de schenktuit en de beker tijdens het schenken op dezelfde plek blijven. Het debiet is de hoeveelheid vloeistof die per seconde een bepaald oppervlak passeert en is gelijk aan oppervlakte van de doorsnede vermenigvuldigd met de snelheid van de vloeistof.

Het debiet is: đ?‘„ = đ??´đ?‘Ł Waarbij: 

Q = het debiet



A = de oppervlakte van de doorsnede



v = de snelheid van de vloeistof

Dat oppervlak is in dit geval bijvoorbeeld de schenktuit van het pak. Zowel de snelheid waarin de vloeistof uit het pak wegvloeit als het oppervlak zullen constant moeten zijn om een constante straal te Figuur 2.1.1: Het leegschenken van een pak drinken hebben die in het glas terecht komt. Het debiet is dus moet een constant debiet hebben ook constant. Aangezien het debiet een constante zal zijn, is deze in de onderstaande berekeningen C genoemd.

Bij het leegschenken van een pak drinken is het noodzakelijk dat er een constant debiet is. Dit debiet wordt is afhankelijk van de snelheid waarin het pak draait en waarbij dus hoek ι verandert. Hoek ι is aangegeven in Figuur 2.1.1. De parameters waarmee rekening gehouden zal worden zijn de afmetingen van het pak. Daarnaast zal sprake zijn van een constant debiet Q. De variabele waarvan ι af zal hangen is de verlopen tijd t sinds het starten van inschenken. De gebruikte parameters zijn dus:    

L = de hoogte van het pak van bodem tot de opening b = de helft van de breedte van het pak d = de helft van de diepte van het pak C = het constante debiet

Voor de hoek ι en de snelheid waarin deze verandert zijn functies samen te stellen. Er is echter iets bijzonders aan de hand zodra de vloeistofgrens de bodem bereikt (zie Figuur 2.1.2). Er zullen verschillende functies samengesteld moeten worden voor het Figuur 2.1.2 De vloeistofgrens heeft de bodem bereikt moment vóór deze grens en nå deze grens. De grens is het moment als het pak precies half leeg is. In de volgende paragraaf worden de formules afgeleid waarmee de hoek wordt berekend voordat de vloeistofgrens de bodem bereikt.

5

§2.1.2 De bodem is nog niet bereikt Onderstaande functies zijn van toepassing vóórdat de grens wordt bereikt. Dit betekent dat het volume vloeistof dat in het pak zit groter moet zijn dan 2bdL. Dit betekent dat t < 2bdL/C. Logischerwijs is de volume van het pak en dus ook de volume van de vloeistof in het pak bij t=0 gelijk aan 4bdL en de volume van de uitgeschonken hoeveelheid drinken op tijdstip t gelijk aan Ct (het debiet vermenigvuldigt met de tijd). Tegelijkertijd is ook te berekenen dat de uitgeschonken hoeveelheid gelijk is aan 4b²d*tan Îą. đ?&#x2018;&#x2030; = 4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą = 4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;?²đ?&#x2018;&#x2018; tan đ?&#x203A;ź Dit betekent dat Ct en 4b²d*tan Îą gelijk aan elkaar moeten zijn. Hoek Îą is daardoor te bepalen op tijdstip t met de volgende formule: đ??śđ?&#x2018;Ą

đ?&#x203A;ź = tanâ&#x2C6;&#x2019;1 (4đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2018;) Ă&#x2014;

180 đ?&#x153;&#x2039;

Merk hierbij op dat de inverse tangens vermenigvuldigd is met 180/Ď&#x20AC;. Dit is een omrekening van radialen naar graden. Het is met bijvoorbeeld grafische rekenmachines wel mogelijk om de tangens in graden te berekenen, maar de onderstaande afgeleiden zullen desondanks per definitie het antwoord in radialen geven, omdat de afgeleiden niet meer de term tangens bevatten.

Om de snelheid waarin deze hoek verandert te berekenen is de afgeleide van bovenstaande formule nodig. Deze hoeksnelheid is: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź 4đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2018;đ??ś 180 = 2 2 Ă&#x2014; 4 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ??ś đ?&#x2018;Ą + 16đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018;² đ?&#x153;&#x2039; De versnelling die hoek Îą maakt is de tweede afgeleide van de formule van Îą en is te berekenen door bovenstaande formule nogmaals te differentiĂŤren. Dit levert de onderstaande formule voor de hoekversnelling op: đ?&#x2018;&#x2018;²đ?&#x203A;ź â&#x2C6;&#x2019;8đ??ś 3 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;Ą 180 = 2 2 Ă&#x2014; đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;ĄÂ˛ (đ??ś đ?&#x2018;Ą + 16đ?&#x2018;?4 đ?&#x2018;&#x2018; 2)2

§2.1.3 De bodem is bereikt Zodra de bodem bereikt is en t dus groter dan 2bdL/C is, zijn er nieuwe formules nodig. Het volume van de hoeveelheid overgebleven vloeistof V is nu namelijk gelijk aan dL²/tan Îą. Uiteraard is de inhoud ook nog steeds 4bdL-Ct, waardoor de hoek Îą nu te schrijven is als dit: đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 180 đ?&#x203A;ź = tanâ&#x2C6;&#x2019;1 ( )Ă&#x2014; 4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x2039; De afgeleide van deze formule is dus weer de hoeksnelheid: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź đ??śđ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 180 = Ă&#x2014; 4 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą (4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą)² + đ?&#x2018;&#x2018;²đ??ż đ?&#x153;&#x2039; De hoekversnelling vind je door de afgeleide van de hoeksnelheid te bepalen, dus: đ?&#x2018;&#x2018;²đ?&#x203A;ź 2đ??ś 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ??żÂ˛(4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą) 180 = Ă&#x2014; 2 2 4 2 ((4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż ) â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą) + đ?&#x2018;&#x2018; đ??ż đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;ĄÂ˛

6

ยง2.1.4 Grafieken De hiervoor genoemde formules kunnen nog zo waar zijn, maar m.b.v. de grafieken ervan is duidelijk af te lezen hoe hun verloop is. Omdat elke grafiek getekend wordt op basis van twee functies, zal er een andere formule gebruikt moeten worden op het moment dat de bodem bereikt wordt.

Bij de grafieken zijn voorbeeldpakken nodig. Deze pakken kunnen verschillende modellen hebben. Een normaal drinkpak is relatief hoog, in vergelijking met de breedte. Een taartdoos bijvoorbeeld is daarentegen erg laag vergeleken met de hoogte. Er is gekozen om bij deze voorbeeld grafieken de volgende afmetingen, die elk een inhoud van 1,0 liter vormen, te gebruiken.

1. Melkpak (20cm*7,1cm*7,1cm): L = 20, b = d = 3,5 2. Kubus (10cm*10cm*10cm): L = 10, b = d = 5,0 3. Taartdoos (4cm*15,8cm*15,8cm): L = 4, b = d = 7,9 De totale tijd die erover gedaan wordt om elk pak leeg te schenken is 60s. Dit betekent dat de tweede formule gebruikt wordt na 30 seconden. Deze gegevens leveren de grafieken op die hieronder te zien zijn.

Hoek in graden

Hoek-tijd diagram 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Melkpak Taartdoos Kubus

0

10

20

30

40

50

60

70

Tijd in seconden

Grafiek 2.1.1 De hoek-tijd diagram bij drie voorbeeldpakken

Hoeksnelheid in graden/seconde

Hoeksnelheid-tijd diagram 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0

Melkpak

3,0

Taartdoos

2,0

Kubus

1,0 0,0 0

10

20

30

40

50

60

Tijd in seconden

Grafiek 2.1.2 De hoeksnelheid-tijd diagram bij drie voorbeeldpakken

7

70

Hoekversnelling in graden/seconde²

Hoekversnelling-tijd diagram 0

10

20

30

40

50

60

70

0,80 0,60 0,40

Melkpak

0,20

Taartdoos

0,00

Kubus

-0,20 -0,40

Tijd in seconden

Grafiek 2.1.3 De hoekversnelling-tijd diagram bij drie voorbeeldpakken

§2.5 Analyse van de grafieken Als de grafieken bekeken worden valt het direct op dat de platte taartdoos en het hoge melkpak een tegengestelde vorm hebben. De hoeksnelheid neemt bij het melkpak geleidelijk af tot de bodem bereikt wordt. Daarna wordt de snelheid constant. De hoeksnelheid is daarentegen bij de taartdoos eerst constant en neemt daarna toe. De hoeksnelheid blijft bij de kubus relatief constant.

Het constant zijn van de hoeksnelheid bij de taartdoos voordat de bodem bereikt is, is te verklaren met de formules die hiervoor behandeld zijn. De tangens van Îą is altijd veel kleiner dan 1 voordat de bodem bereikt wordt, want Îą < 45°. Hierdoor is de volgende conclusie te trekken: Als đ??ś 2 đ?&#x2018;Ą 2 â&#x2030;Ş 16đ?&#x2018;?4 đ?&#x2018;&#x2018;² ď&#x192;ł đ?&#x2018;Ą â&#x2030;Ş

4đ?&#x2018;?²đ?&#x2018;&#x2018; đ??ś

,

dan volgt hieruit dat de hoeksnelheid onafhankelijk wordt van Îą, en dus constant is. De hoeksnelheid is nu namelijk te schrijven als: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź đ??ś 180 = Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 4đ?&#x2018;?²đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x153;&#x2039; Bovenstaande formule is van toepassing als L relatief klein is en b en d dus groot ten opzichte van L. Als het tegenovergestelde aan de hand is, en L juist relatief lang is, is er sprake van de onderstaande situatie.

In feite is dit exact het tegengestelde van hierboven.

(4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą)² â&#x2030;Ş đ?&#x2018;&#x2018;²đ??ż4 In dit geval wordt de hoeksnelheid na het bereiken van de bodem constant. Namelijk het volgende: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź đ??ś 180 = Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ??żÂ˛ đ?&#x153;&#x2039; Bij een kubus, waarbij L = 2b = 2d, valt op dat de formule van de hoeksnelheid voordat de bodem bereikt wordt, hetzelfde is als de formule voor de hoeksnelheid nadat de bodem bereikt wordt, omdat (voor het gemak wordt de factor

180 đ?&#x153;&#x2039;

weggelaten):

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź đ??ś đ??ś đ??ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź (đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x161;) = = = = (đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x161;) 2 2 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż đ?&#x2018;&#x2018;(2đ?&#x2018;?)

4đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą Hiermee is te verklaren waarom de hoeksnelheid van de kubus relatief constant is gedurende het gehele schenkproces.

8

Het tweede punt dat opvalt, is dat er een sprong is in de hoekversnelling zodra de bodem bereikt wordt.

Tot de bodem bereikt wordt is de versnelling negatief, oftewel een vertraging. Zodra de bodem bereikt is, wordt de versnelling plotseling positief. Dit is vooral goed te zien bij het kubusvormige pak. Je ziet daarbij een duidelijke knik in de hoeksnelheid grafiek. Ondanks die relatief grote knik ten opzichte van de andere vormen is de hoeksnelheid bij de kubus relatief constant ten opzichte van de hoeksnelheden van het melkpak en de taartdoos. Het gegeven dat een vertraging ineens moet omschakelen naar een versnelling is in de praktijk niet mogelijk door de traagheid van het pak, maar het zal mogelijk niet direct gevolgen hebben wat betreft knoeien, omdat de vloeistof ook vertraagd reageert op beweging. Door de trage beweging van water merk je deze verandering in versnelling niet als je zelf drinken inschenkt.

Een ander gegeven dat opvalt bij de kubus is dat de grafieken van hoeksnelheid en hoekversnelling symmetrisch zijn. Dit is logisch, aangezien de twee helften van het pak op het moment dat de bodem bereikt worden beide dezelfde vorm hebben.

9

H2.2 De theorie bij een driehoekig grondvlak met de punt naar beneden §2.2.1 Inleiding Evenals bij het leegschenken van een pak met een vierhoekig grondvlak, dienen ook bij het leegschenken van een pak met een driehoekig grondvlak twee functies opgesteld te worden, voor wanneer de bodem niet of wel bereikt is. In dit eerste hoofdstuk zullen deze functies beschreven worden voor wanneer dit driehoekige grondvlak tijdens het leegschenken met de punt naar beneden is gericht. Bij het opstellen van de theorie voor het driehoekige pak maken we gebruik van dezelfde parameters, waarvan we ook gebruik hebben gemaakt bij het pak met het rechthoekige grondvlak, zoals beschreven in hoofdstuk 2.1. Het totale volume van een driehoekig drinkpak is, als we gebruikmaken van dezelfde parameters als bij het driehoekige pak, gelijk aan đ?&#x2018;&#x2030;=

1 Ă&#x2014; 2đ?&#x2018;? Ă&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2018; Ă&#x2014; đ??ż = 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż 2

Figuur 2.2.1: Het driehoekige pak waarbij het lijnstuk met lengte 2b loodrecht op het lijnstuk met lengte 2d staat

10

§2.2.2 De bodem is nog niet bereikt Voor het driehoekige pak ligt de grens waarop de bodem wordt bereikt anders dan bij het vierhoekige pak. De grens wordt hier namelijk niet simpelweg bereikt als het pak half leeg is. Dan is de situatie als volgt: Bij het driehoekige pak met de punt naar beneden is, wanneer de bodem bereikt wordt, een volume uitgeschonken van 1

1

đ?&#x2018;&#x2030; = 3 đ??´â&#x201E;&#x17D; = 3 Ă&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2018; Ă&#x2014; 2đ?&#x2018;? Ă&#x2014; đ??ż =

4 3

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż.

Het zijaanzicht van deze situatie is te zien in Figuur 2.2.2. Voor het tijdstip waarop de bodem wordt bereikt betekent dit dat t

Figuur 2.2.2: Zijaanzicht als de bodem wordt bereikt

4

= 3 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż/C. Wanneer er een volume uitgestroomd is dat kleiner is dan 4 3

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż, is de bodem dus nog niet bereikt. Hieruit volgt dat we 4

eerst een functie op moeten stellen voor t < 3 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż/C. De functie die opgesteld zal worden geldt dus wanneer de bodem nog niet bereikt is. Er doet zich dan de volgende situatie voor: In Figuur 2.2.2 is te zien dat het volume dat het pak uitgestroomd is de vorm van een piramide aanneemt. Het volume van dit uitgestroomde volume kan dan als volgt beschreven worden: đ?&#x2018;&#x2030;=

1 8 Ă&#x2014; 2đ?&#x2018;? Ă&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2018; Ă&#x2014; 2đ?&#x2018;? Ă&#x2014; tan đ?&#x203A;ź = Ă&#x2014; đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2018; Ă&#x2014; tan đ?&#x203A;ź 3 3

Als het uitgestroomde volume gelijk is aan het bovenstaande, zal voor het volume dat zich nog in het pak bevindt gelden dat dit gelijk is aan het totale volume van het pak, verminderd met het uitgestroomde volume. Omdat deze volumes allebei al bekend zijn, kunnen we schrijven: đ?&#x2018;&#x2030; = 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019;

8 Ă&#x2014; đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2018; Ă&#x2014; tan đ?&#x203A;ź 3

Het overgebleven volume is te schrijven als đ?&#x2018;&#x2030; = 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą Hieruit volgt dat 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019;

8 3

8

Ă&#x2014; đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2018; Ă&#x2014; tan đ?&#x203A;ź = 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą en dus dat 3 Ă&#x2014; đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;&#x2018; Ă&#x2014; tan đ?&#x203A;ź = đ??śđ?&#x2018;Ą.

Nu kunnen we wederom een uitdrukking voor de hoek đ?&#x203A;ź op tijdstip t bepalen. Deze is als volgt: 3đ??śđ?&#x2018;Ą 180 Ă&#x2014; 2 8đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x153;&#x2039; 3đ??śđ?&#x2018;Ą 180 đ?&#x203A;ź = tanâ&#x2C6;&#x2019;1 2 Ă&#x2014; 8đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x153;&#x2039; tan đ?&#x203A;ź =

De factor

180 đ?&#x153;&#x2039;

is net als in hoofdstuk 2.1 een omrekening van radialen naar graden. Deze factor is dan ook

om dezelfde reden toegevoegd als in hoofdstuk 2.1.

Om de snelheid van deze hoek ten opzichte van de tijd te berekenen, moeten we de afgeleide bepalen.

Deze afgeleide is:

11

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź 1 3đ??ś 180 24đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2018;đ??ś 180 = Ă&#x2014; Ă&#x2014; = Ă&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2018; 4 đ?&#x2018;&#x2018; 2 + 9đ??ś 2 đ?&#x2018;Ą 2 3đ??śđ?&#x2018;Ą 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 8đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2039; 64đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2039; 1+( 2 ) 8đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; Als we deze formule voor de hoeksnelheid nu nogmaals differentiĂŤren, krijgen we een formule voor de hoekversnelling. Deze is dan ook als volgt: đ?&#x2018;&#x2018;2đ?&#x203A;ź â&#x2C6;&#x2019;432đ??ś 3 đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 180 = Ă&#x2014; 2 4 2 2 2 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą (64đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; + 9đ??ś đ?&#x2018;Ą ) đ?&#x153;&#x2039;

§2.2.3 Bodem bereikt 4

Wanneer de bodem bereikt is, dit is voor t > đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż /C, zijn 3

ook bij het driehoekige pak nieuwe formules nodig. Voor het driehoekige pak is het volume van de overgebleven vloeistof nu gelijk aan de inhoud van een piramide met een onbekend grondvlak en hoogte L. De oppervlakte van het onbekende grondvlak ziet er als in Figuur 2.2.4 uit. Uit Figuur 2.2.3 kan worden afgeleid dat lengte AG gelijk is aan L/tan Îą.

Figuur 2.2.3: Het pak nadat de bodem wordt bereikt

Door gebruik te maken van simpele meetkunde is te vinden dat: Lijnstuk AG = L/tan Îą Lijnstuk AD =2b Lijnstuk BC = 2d Ook geldt dat BC//EF, en DA en EF loodrecht op elkaar staan.

Om de oppervlakte van het onbekende grondvlak te vinden, moet de lengte van EF gevonden worden.

Figuur 2.2.4: De achterkant van het pak

Hoek ABD = Hoek AEF (F-hoeken) (1) Hoek ACD = Hoek AFG (F-hoeken) (2) Hoek BAC = Hoek EAF (3) Uit 1,2 en 3 volgt dat driehoeken AEF en ABD gelijkvormig zijn (hhh).

Omdat deze twee driehoeken gelijkvormig zijn, kan de volgende vergelijking opgesteld worden: BC:EF = AD:AG 2d:EF=2b:(L/tan Îą) EF*2b = 2d*(L/tan Îą) EF = 2d*(L/tan Îą)/2b = (2dL)/(2b*tan Îą) = (dL)/(b*tan Îą) Hieruit volgt dat voor de oppervlakte van het grondvlak geldt dat:

đ??ş=

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż đ??ż 1 đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 Ă&#x2014; Ă&#x2014; = đ?&#x2018;? Ă&#x2014; tan đ?&#x203A;ź tan đ?&#x203A;ź 2 2đ?&#x2018;? Ă&#x2014; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x203A;ź

Het volume van de vloeistof die zich nu nog in het pak bevindt is de oppervlakte van dit grondvlak, vermenigvuldigd met de hoogte van het pak, L, vermenigvuldigd met een derde, omdat het een 12

piramide is, oftewel: đ?&#x2018;&#x2030;=

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 1 đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 Ă&#x2014; đ??ż = 2đ?&#x2018;? Ă&#x2014; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x203A;ź 3 6đ?&#x2018;? Ă&#x2014; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x203A;ź

Nog steeds is het volume van de overgebleven vloeistof ook te schrijven als V = 2bdL â&#x20AC;&#x201C; Ct. Nu kunnen we deze twee formules weer combineren om een uitdrukking voor de hoek đ?&#x203A;ź uitgedrukt in t te vinden. Dit ziet er zo uit: đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 = 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą 6đ?&#x2018;? Ă&#x2014; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x203A;ź 6đ?&#x2018;? Ă&#x2014; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x203A;ź = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x203A;ź =

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 (2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą) Ă&#x2014; 6đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 tan đ?&#x203A;ź = â&#x2C6;&#x161; (2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą) Ă&#x2014; 6đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 180 đ?&#x203A;ź = tanâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x161; Ă&#x2014; (2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą) Ă&#x2014; 6đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2039; Om de hoeksnelheid te vinden bepalen we de afgeleide hiervan. Deze is: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

đ??śđ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 2

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 Ă&#x2014;( + 1) 6đ?&#x2018;?(2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą) 6đ?&#x2018;?(2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą)

12đ?&#x2018;?(2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą)2 Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x161;

Ă&#x2014;

180 đ?&#x153;&#x2039;

Voor de hoekversnelling, die de afgeleide van de hoeksnelheid is, geldt dan: đ?&#x2018;&#x2018;2đ?&#x203A;ź = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 2

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 đ??ś 2 (đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 + 18đ?&#x2018;?(2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą)) đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 Ă&#x2014; (đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 + 6đ?&#x2018;?(2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą))2 6đ?&#x2018;?(2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą)

24đ?&#x2018;?(2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą)2 Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x161;

Ă&#x2014;

180 đ?&#x153;&#x2039;

§2.2.4 Grafieken Om nu een beter beeld te krijgen van de verschillen tussen het leegschenken van een â&#x20AC;&#x2DC;normaalâ&#x20AC;&#x2122; rechthoekig pak, een driehoekig pak met de punt naar beneden en een driehoekig pak met de punt naar boven, zullen we in paragraaf 2.3.4 de grafieken van drie pakken naast elkaar zetten in diverse diagrammen.

13

H2.3 De theorie bij een driehoekig grondvlak met de punt naar boven §2.3.1Inleiding Bij het leegschenken van een pak met een driehoekig grondvlak met de punt naar boven zal men zeer snel het vermoeden krijgen dat deze theorie veel zal overeenkomen met de theorie van datzelfde pak met de punt naar beneden.

In dit hoofdstuk zal getoond worden in hoeverre mate dit wel of niet het geval is. Wederom zullen in dit hoofdstuk dus functies worden opgesteld voor de hoek Îą waaronder het pak wordt gehouden, en hoe deze verandert als functie van de tijd. Dezelfde parameters als in hoofdstuk 2.1 en hoofdstuk 2.2 zullen weer gehanteerd worden. Nog steeds is het totale volume van het pak dus 2bdL. In Figuur 2.3.1 is het pak te zien waarbij wordt geschonken met de zijde met lengte 2d naar beneden.

Figuur 2.3.1: Het driehoekige pak

§2.3.2De bodem is nog niet bereikt Onderstaande functies gelden wanneer het vloeistofniveau de bodem nog niet heeft bereikt. Eerst moet het tijdstip waarop de bodem wordt bereikt echter bepaald worden. Dit tijdstip is wanneer zich de situatie uit Figuur 2.3.2 voordoet: Hier is te zien dat de uitgeschonken vloeistof de vorm heeft van 1

een piramide. Deze piramide heeft een inhoud van đ?&#x2018;&#x2030; = 3 đ??´â&#x201E;&#x17D; = 1

3 2 3

1

Ă&#x2014; 2 Ă&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2018; Ă&#x2014; 2đ?&#x2018;? Ă&#x2014; đ??ż =

2 3

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż. Hieruit volgt dat voor t < 2

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż/đ??ś de bodem nog niet bereikt is. Op t = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż/C wordt de 3

bodem bereikt. De functie voor de hoek die nu beschreven zal 2

worden, geldt dus voor t < đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż/C. 3

Figuur 2.3.2: Het zijaanzicht als de bodem wordt bereikt

De uitgeschonken vloeistof heeft een volume van đ?&#x2018;&#x2030;=

1 3

1

4

2

3

Ă&#x2014; 2đ?&#x2018;? Ă&#x2014; tan đ?&#x203A;ź Ă&#x2014; Ă&#x2014; 2đ?&#x2018;? Ă&#x2014; 2đ?&#x2018;&#x2018; =

đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2018; Ă&#x2014; tan đ?&#x203A;ź.

4

Het volume dat nog in het pak aanwezig is bedraagt dus đ?&#x2018;&#x2030; = 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; 3 đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;&#x2018; Ă&#x2014; tan đ?&#x203A;ź Dit nog aanwezige volume kan ook geschreven worden als V = 2bdL â&#x20AC;&#x201C; Ct. Uit deze twee uitdrukkingen voor het volume volgt dat we een uitdrukking voor Îą kunnen vinden, uitgedrukt in t. Dit ziet er dan als volgt uit: 4 2 đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; Ă&#x2014; tan đ?&#x203A;ź = Ct 3 3đ??śđ?&#x2018;Ą tan đ?&#x203A;ź = 4đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2018; 3đ??śđ?&#x2018;Ą 180 đ?&#x203A;ź = tanâ&#x2C6;&#x2019;1 2 Ă&#x2014; 4đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x153;&#x2039; Als we deze uitdrukking voor Îą vergelijken met de uitdrukking voor Îą voor het driehoekige pak met de 3đ??śđ?&#x2018;Ą

punt omlaag, die eruit zag als đ?&#x203A;ź = tanâ&#x2C6;&#x2019;1 8đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2018; Ă&#x2014;

180 đ?&#x153;&#x2039;

, is te zien dat deze uitdrukkingen erg veel

overeenkomen. Het enige verschil is dat er een factor 4 voor Ct staat in plaats van 8. Dit komt doordat de 14

bodem bij het pak met de punt naar boven al bereikt wordt nadat een 2x zo klein volume is weggestroomd. Voordat de bodem bereikt wordt, geldt dus đ?&#x203A;źđ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; = parameters voor beide pakken gelijk zijn). De factor

180 đ?&#x153;&#x2039;

1 2

đ?&#x203A;źđ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; (Indien alle

vertegenwoordigt de omrekening van radialen

naar graden.

Om nu te analyseren hoe de snelheid van deze hoek zich verhoudt tot de tijd, moeten we weer de afgeleide van deze functie bepalen. Oftewel: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź 1 4đ??ś 180 12đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2018;đ??ś 180 = Ă&#x2014; Ă&#x2014; = Ă&#x2014; 2 4 2 2 2 4đ??śđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 3đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x153;&#x2039; 9đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; + 16đ??ś đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x2039; 1 + ( 2 )2 3đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; Voor de hoekversnelling van deze hoek ten opzichte van de tijd moet dan weer de dubbele afgeleide bepaald worden. Deze is te schrijven als: đ?&#x2018;&#x2018;2đ?&#x203A;ź â&#x2C6;&#x2019;384đ??ś 3 đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 180 = Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 2 (16đ??ś 2 đ?&#x2018;Ą 2 + 9đ?&#x2018;? 4 đ?&#x2018;&#x2018; 2 )2 đ?&#x153;&#x2039;

§2.3.3 Bodem bereikt 2

Wanneer de bodem van het pak door het vloeistofniveau wordt bereikt, dus als t > đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż/C, doet zich een 3

geheel andere situatie voor. Het volume van de weggestroomde vloeistof bestaat nu uit twee delen. Het 2

eerste deel is een constant gedeelte, met een volume van đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż.

3

Dit is het volume van de vloeistof die weggestroomd is voordat de bodem werd bereikt. Het andere gedeelte heeft een ingewikkelder volume. Dit volume heeft namelijk de vorm van een piramide. Deze piramide heeft een grondvlak in de vorm van een trapezium, en een onbekende hoogte. Voor het volume hiervan zullen we dus de oppervlakte van het trapezium en de onbekende hoogte moeten bepalen.

1

Voor de oppervlakte van een trapezium geldt A = â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?). In dit geval is de hoogte h van het trapezium 2

gelijk aan de lengte L van het pak, de lengte van de eerste zijde a is gelijk aan 2d, en de lengte van de tweede zijde b is gelijk aan 2đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż đ?&#x2018;?Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x203A;ź

. Dit is te zien in de Figuur 2.3.3 en Figuur 2.3.4.

Figuur 2.3.3: Het grondvlak van de piramide

Bij het bepalen van deze lengte maken we gebruik van de gelijkvormigheid, net zoals in hoofdstuk 2.2. De vergelijking 2b:

Figuur 2.3.4: De achterkant van het pak

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż

2b-L*tan đ?&#x203A;ź = 2d:DE, waaruit volgt dat DE = 2d - đ?&#x2018;?Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x203A;ź kan namelijk opgesteld worden.

Hieruit volgt dat voor de oppervlakte van het trapezium geldt: đ??´ =

15

1 2

đ??ż(2đ?&#x2018;&#x2018; + 2đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż đ?&#x2018;?Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x203A;ź

)

Uit Figuur 2.3.4 blijkt ook dat de hoogte van de piramide gelijk is aan 2đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019;

đ??ż tan đ?&#x203A;ź

. Nu zijn zowel de

oppervlakte van het trapezium als de hoogte van de piramide bekend. Hiermee kunnen we het volume van het tweede uitgestroomde deel berekenen. Dit is gelijk aan de volgende formule: 1 3

Ă&#x2014; (2đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019;

=

1 6

đ??ż

1

tan đ?&#x203A;ź

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż

)Ă&#x2014; 2 đ??ż(2đ?&#x2018;&#x2018; + 2đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x203A;ź)

đ??ż Ă&#x2014; (2đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019;

đ??ż tan đ?&#x203A;ź

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż

) Ă&#x2014; (4đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?Ă&#x2014;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x203A;ź)

1 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż 4đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 = đ??ż Ă&#x2014; (8đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; + ) 6 đ?&#x2018;? Ă&#x2014; tan đ?&#x203A;ź tan đ?&#x203A;ź đ?&#x2018;? Ă&#x2014; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x203A;ź 1

= 6 đ??ż Ă&#x2014; (8đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; =

2đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż tan đ?&#x203A;ź

â&#x2C6;&#x2019;

4đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż tan đ?&#x203A;ź

+

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 đ?&#x2018;?Ă&#x2014;tan2 đ?&#x203A;ź

)

1 6đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 đ??ż Ă&#x2014; (8đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; + ) 6 tan đ?&#x203A;ź đ?&#x2018;? Ă&#x2014; tan2 đ?&#x203A;ź

Ook nu zijn er dus twee manieren om het overgebleven volume te schrijven, namelijk: đ?&#x2018;&#x2030; = 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2030; = 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019;

2 1 6đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??ż Ă&#x2014; (8đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; + ) 3 6 tan đ?&#x203A;ź đ?&#x2018;? Ă&#x2014; tan2 đ?&#x203A;ź

Door deze twee formules te combineren wordt de volgende uitdrukking verkregen, die de hoek waaronder het pak gehouden dient te worden uitzet tegen de tijd: đ??śđ?&#x2018;Ą =

2 1 6đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż + đ??ż Ă&#x2014; (8đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; + ) 3 6 tan đ?&#x203A;ź đ?&#x2018;? Ă&#x2014; tan2 đ?&#x203A;ź

Net als in voorgaande hoofdstukken willen we een formule verkrijgen waarmee Îą berekend kan worden, wat de volgende uitdrukking oplevert: 1 6đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 2 đ??ż Ă&#x2014; (8đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; + ) = đ??śđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż 2 6 tan đ?&#x203A;ź đ?&#x2018;? Ă&#x2014; tan đ?&#x203A;ź 3 4 đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; + = đ??śđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż 2 3 tan đ?&#x203A;ź 6đ?&#x2018;? Ă&#x2014; tan Îą 3 4 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; + =0 3 3 tan đ?&#x203A;ź 6đ?&#x2018;? Ă&#x2014; tan2 Îą (2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą) tan2 đ?&#x203A;ź â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 tan đ?&#x203A;ź +

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 6đ?&#x2018;?

=0

Hier is een vergelijking te zien in de vorm đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? = 0, en deze kan dus opgelost worden met de ABC-formule.

In de ABC-formule is de discriminant D: đ??ˇ = (â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 )2 â&#x2C6;&#x2019; 4 Ă&#x2014; (2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą) Ă&#x2014;

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 6đ?&#x2018;?

16

Om het differentieren te vergemakkelijken gebruiken we deze vorm van de wortelformule1: đ?&#x2018;Ľ1,2 =

2đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? Âą â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?

Als we deze formule invullen om een uitdrukking voor tan đ?&#x203A;ź te vinden, levert dat het volgende op: đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 3đ?&#x2018;?

tan đ?&#x203A;ź =

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 Âą â&#x2C6;&#x161;(â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 )2 â&#x2C6;&#x2019; 4 Ă&#x2014; (2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą) Ă&#x2014;

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 6đ?&#x2018;?

De â&#x20AC;&#x2DC;breuk in de breukâ&#x20AC;&#x2122; laten we staan, omdat deze een constante waarde aanneemt wanneer de formule ingevuld wordt. Ook zal de formule, als deze â&#x20AC;&#x2DC;breuk in een breukâ&#x20AC;&#x2122; wordt weggewerkt, lastiger te differentiĂŤren zijn.

Nu moet alleen nog bepaald worden of we een plus of een min moeten gebruiken in deze formule. Dit kan gedaan worden door de formule in te vullen voor het tijdstip waarop de bodem wordt bereikt. Op dit tijdstip zijn namelijk zowel tan đ?&#x203A;ź als t bekend. We kunnen afleiden dat de bodem bereikt is als tan đ?&#x203A;ź = Ook weten we, omdat dit eerder in dit hoofdstuk is bepaald, dat de bodem bereikt is als đ?&#x2018;Ą =

2 3

đ??ż 2đ?&#x2018;?

.

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż/đ??ś.

Gaan we nu de twee gevonden formules invullen, dan levert dat het volgende resultaat op: đ??ż = 2đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 3đ?&#x2018;?

2 đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 Âą â&#x2C6;&#x161;(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 )2 â&#x2C6;&#x2019; 4 Ă&#x2014; (2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż) Ă&#x2014; 3 6đ?&#x2018;?

2 đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 Âą đ??żâ&#x2C6;&#x161;(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 )2 â&#x2C6;&#x2019; 4 Ă&#x2014; (2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż) Ă&#x2014; = đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 3 6đ?&#x2018;?

3 Omdat we altijd met positieve waarden voor L werken, en omdat een vierkantswortel altijd positief is, kan uit de bovenstaande formule afgelezen worden dat het juiste teken de min is. De formule kan namelijk versimpeld worden weergegeven als 3 Âą 1 = 2. Natuurlijk is 3-1 gelijk aan 2, en moet dus het minteken gebruikt worden. Voor de hoek đ?&#x203A;ź, uitgedrukt in t, betekent dit: đ?&#x203A;ź = tanâ&#x2C6;&#x2019;1

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 3 3 â&#x2C6;&#x161; 2 4 2đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż (3đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018; đ??ż â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;? Ă&#x2014; (2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą))

Waarbij de factor

180 đ?&#x153;&#x2039;

Ă&#x2014;

180 đ?&#x153;&#x2039;

wederom toegevoegd wordt vanwege de omrekening van graden naar radialen. Nu

kunnen we door middel van een differentiatie een formule voor de hoeksnelheid opstellen. Deze ziet er als volgt uit: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

2đ??śđ?&#x2018;&#x2018; 2 đ??ż6 đ?&#x2018;&#x2018; 2 đ??ż6 36đ?&#x2018;?2 Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D; Ă&#x2014; (đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;)2 Ă&#x2014; ( 2 + 1) 9đ?&#x2018;? (đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;)2

Waarin a = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2018; 2 đ??ż4 â&#x2C6;&#x2019;

2đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 3đ?&#x2018;?

Ă&#x2014;

180 đ?&#x153;&#x2039;

(2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą)

De hoekversnelling volgt daarna door de bovenstaande formule ook te differentiĂŤren:

1

Deze wortelformule is afgeleid van de standaard wortelformule of ABC-formule. Ga naar de begrippenlijst voor meer informatie.

17

đ?&#x2018;&#x2018;2đ?&#x203A;ź 4đ??ś 2 đ?&#x2018;&#x2018; 3đ??ż9 4đ??ś 2 đ?&#x2018;&#x2018; 3đ??ż9 4đ??ś 2 đ?&#x2018;&#x2018; 5 đ??ż15 180 = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Ă&#x2014; 2 3 3 3 1,5 2 5 5 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 54đ?&#x2018;? Ă&#x2014; đ?&#x2018;Ľ Ă&#x2014; đ?&#x2018;Ś Ă&#x2014; đ?&#x2018;§ 108đ?&#x2018;? Ă&#x2014; đ?&#x2018;Ľ Ă&#x2014; đ?&#x2018;Ś Ă&#x2014; đ?&#x2018;§ 486đ?&#x2018;? Ă&#x2014; đ?&#x2018;Ľ Ă&#x2014; đ?&#x2018;Ś Ă&#x2014; đ?&#x2018;§ đ?&#x153;&#x2039; Waarbij: đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2018; 2 đ??ż4 â&#x2C6;&#x2019;

2đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 (2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą) 3đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2018; 2 đ??ż4 â&#x2C6;&#x2019;

2đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 (2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą) 3đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x2018; 2 đ??ż6

đ?&#x2018;§=

2

2đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 9đ?&#x2018;?2 (đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż3 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2018; 2 đ??ż4 â&#x2C6;&#x2019; (2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą)) 3đ?&#x2018;? (

+1 )

§2.3.4 Grafieken Om een beter inzicht te krijgen in de verschillen tussen het leegschenken van een â&#x20AC;&#x2DC;gewoonâ&#x20AC;&#x2122; rechthoekig pak, een driehoekig pak met de punt naar beneden en een driehoekig pak met de punt naar boven, zullen we nu grafieken maken bij elk van deze pakken. Deze pakken moeten elk in dezelfde tijd leeggeschonken worden en hetzelfde volume hebben. Dit betekent dus dat bij elk pak C en het totale volume gelijk moeten zijn. Ook kiezen we ervoor om bij alle drie de pakken dezelfde lengte te nemen. Alle pakken krijgen een inhoud van een liter, wat overeenkomt met een volume van 1000cm3. Dit levert voor de pakken de volgende afmetingen op: -

Rechthoekig pak â&#x20AC;&#x2DC;melkpakâ&#x20AC;&#x2122;(20cm*7,1cm*7,1cm): L = 20; b = d = 3,5 Driehoekig pak â&#x20AC;&#x2DC;melkpak(20cm*10cm*10cm): L = 20; b = d = 5 Rechthoekig pak â&#x20AC;&#x2DC;kubusâ&#x20AC;&#x2122; (10cm*10cm*10cm): L = 10; b = d = 5 Driehoekig pak â&#x20AC;&#x2DC;kubusâ&#x20AC;&#x2122; (10cm*14,1cm*14,1cm): L = 10; b = d = 7,1 Rechthoekig pak â&#x20AC;&#x2DC;taartdoosâ&#x20AC;&#x2122; (4cm*15,8cm*15,8cm): L = 4,0; b = d = 7,9 Driehoekig pak â&#x20AC;&#x2DC;taartdoosâ&#x20AC;&#x2122; (4cm*22,4cm*22,4cm): L=4,0; b = d = 11

De aanduidingen voor de soorten van het pak verwijzen naar de namen voor de voorbeeldpakken die gebruikt zijn in hoofdstuk 2.1.4.

Ook hier schenken we alle pakken leeg in 60 seconden. Dit betekent dat bij het rechthoekige pak de tweede formule gebruikt wordt na 30 seconden, bij het driehoekige pak met de punt naar beneden na 40 seconden en bij het driehoekige pak met de punt naar boven na 20 seconden. Dit levert de hoek-tijd diagrammen op die te zien zijn op de volgende bladzijde.

18

Hoek-tijd diagram melkpakken Hoek in graden

100 80 60

Rechthoek

40

Driehoek punt beneden

20

Driehoek punt boven

0 0

10

20

30

40

50

60

70

Tijd in seconden Grafiek 4.1: Hoek-tijd diagram bij pak ‘melkpak’

Hoek-tijd diagram kubussen Hoek in graden

100 80 60

Rechthoek

40

Driehoek punt beneden

20

Driehoek punt boven

0 0

10

20

30

40

50

60

70

Tijd in seconden Grafiek 4.2: Hoek-tijd diagram bij pak ‘kubus’

Hoek-tijd diagram taartdozen Hoek in graden

100 80 60

Rechthoek

40

Driehoek punt beneden

20

Driehoek punt boven

0 0

10

20

30

40

50

Tijd in seconden Grafiek 4.3: Hoek-tijd diagram bij pak ‘taartdoos’

19

60

70

§4.5 Analyse van de grafieken Als we goed naar de grafieken kijken, valt meteen op dat de grafiek van het rechthoekige pak vrijwel samenvalt met de grafiek van het driehoekige pak met de punt naar boven. Om hier een verklaring voor te vinden moeten we kijken naar de formules voor de twee pakken, en de waarden voor b en d die hier zijn gebruikt. Als we de lengte en breedte van de pakken bekijken, is na een berekening te zien dat de lengte en breedte van het driehoekvormige pak telkens ongeveer 1,42 keer zo groot zijn als die van het rechthoekige pak. Oftewel, bdriehoekpak = 1,42brechthoekpak en ddriehoekpak = 1,42drechthoekpak.

Als we nu de formule van het driehoekpak invullen met deze waarden, krijgen we de volgende uitdrukking: đ?&#x203A;ź = tanâ&#x2C6;&#x2019;1

3đ??śđ?&#x2018;Ą 180 3đ??śđ?&#x2018;Ą 180 3đ??śđ?&#x2018;Ą 180 Ă&#x2014; = tanâ&#x2C6;&#x2019;1 Ă&#x2014; â&#x2030;&#x2C6; tanâ&#x2C6;&#x2019;1 Ă&#x2014; 2 2 4đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x153;&#x2039; 4 Ă&#x2014; 1,42đ?&#x2018;? Ă&#x2014; 1,42đ?&#x2018;? Ă&#x2014; 1,42đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x153;&#x2039; 11,5đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x153;&#x2039;

Ook is de formule van het rechthoekpak te schrijven als: đ?&#x203A;ź = tanâ&#x2C6;&#x2019;1

đ??śđ?&#x2018;Ą 180 3đ??śđ?&#x2018;Ą 180 Ă&#x2014; = tanâ&#x2C6;&#x2019;1 Ă&#x2014; 2 2 4đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x153;&#x2039; 12đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x153;&#x2039;

Nu is eenvoudig te zien dat deze beide formules ontzettend veel op elkaar lijken en dus bijna samenvallen.

Het verschil tussen het pak met driehoekvormige bodem met de punt beneden en de andere twee pakken is dat de eerste een lagere helling heeft tot dicht bij het einde. De hoeksnelheid en de hoekversnelling zijn dus groter dan bij de andere pakken zodra de bodem wordt bereikt.

20

H3 Het leegschenken van een pak drinken in de praktijk §3.1 Inleiding De theorie van het leegschenken van een pak drinken is behandeld, maar de vraag is of de praktijk dezelfde resultaten oplevert. In de praktijk zijn er tal van andere factoren die het resultaat beïnvloeden, maar de meeste van deze factoren zullen erg lastig te beschrijven zijn.

Bij dit onderzoek zullen we met de hand meten met welke snelheid de hoek α zal veranderen in de praktijk. Deze metingen worden met de hand gedaan. We zullen daarna analyseren of de resultaten overeen komen met de theorie en we zullen proberen de verschillen te verklaren.

De theorie gaat uit van een perfecte situatie waarin geen rekening gehouden wordt met bijvoorbeeld de vertragende werking die de vloeistof heeft. Er wordt bij de theorie namelijk uitgegaan van een stilstaande vloeistof. Een ander probleem is dat de theorie ervan uit gaat dat de opening van het pak op de rand van het pak is. Tegenwoordig is er echter bijna geen pak meer te vinden zonder dop die een kleine afstand boven de rand van het pak geplaatst is. Bovendien zal in de praktijk de vorm van de dop aan de binnenkant van het pak onvoorspelbare effecten hebben op de stroom van de vloeistof. Met deze factoren zal rekening gehouden moeten worden. Om deze reden hebben we besloten om de dop niet te gebruiken in dit profielwerkstuk.

Uiteindelijk zullen we de resultaten die deze metingen geven analyseren en gebruiken voor het maken van het apparaat dat uiteindelijk zelfstandig een pak drinken zal moeten kunnen leegschenken. Hiervoor zullen wij pakken zonder dop gebruiken.

Bij dit onderzoek wordt gemeten met twee pakken. Een pak met een vierhoekvormige bodem en een pak met een driehoekvormige bodem. Het onderzoek en de resultaten ervan zullen hieronder worden besproken.

§3.2 Opstelling De opstelling die voor dit onderzoek zal worden gebruikt komt grotendeels overeen met het uiteindelijke apparaat dat automatisch een pak drinken zal leegschenken. Deze opstelling moet voldoen aan de volgende criteria: 







De as waar het pak omheen zal moeten draaien moet op de hoek van het pak zijn waar de opening zit. Zoals bij de theorie behandelt is, mag de draai-as niet de onderste hoek van het pak zijn omdat de opening waar het drinken uit komt dan na draaien van positie verandert.

De as waar het pak om draait zal gekoppeld moeten worden aan een potentiometer2 die verbonden is met een Arduino3. De Arduino zal de gemeten waarden doorsturen naar een computer zodat de resultaten verwerkt kunnen worden met Microsoft Excel®.

Het oppervlak waar het pak op ligt zal verlengd moeten zijn. Bij eerdere niet gedocumenteerde metingen is gebleken dat de kleine bewegingen en trillingen die de hand maakt waarmee het pak wordt gedraaid veel afwijkingen kunnen geven bij de metingen. Door het verlengen van de arm zullen deze afwijkingen minder zwaar geregistreerd worden door de sensor.

Bij de gebruikte pakken mogen geen doppen worden gebruikt. Er wordt een smalle opening met onbepaalde breedte gesneden in de bovenkant van het pak en deze gleuf begint bij de rand van het pak.

2

Ook wel draaisensor genoemd. Dit is een variabele weerstand. Ga naar de begrippenlijst voor meer informatie.

3 Een prototype bord. In dit profielwerkstuk wordt een Arduino Uno r3 met de ATmega328p microcontroller gebruikt. Ga naar de begrippenlijst voor meer informatie.

21





Er zal een vaste schenktuit moeten zijn die ervoor zorgt dat de vloeistof in een smalle straal bij het doel terecht komt. In de eerder genoemde niet gedocumenteerde metingen bleek dat de afstand die de straal bij een pak zonder dop of schenktuit haalt niet ver genoeg is. Ook is de straal te breed zonder schenktuit. Echter, als we een schenktuit monteren aan het pak zal de positie van de opening van de tuit veranderen bij het draaien van het pak. Daarom zal deze tuit gemonteerd moeten worden aan het meetapparaat zodat de positie vast staat.

Bij verdere progressie van dit profielwerkstuk zal deze opstelling gebruikt moeten kunnen worden in het eindproduct, het zelfstandig schenkende apparaat met motor.

Aan de hand van de bovenstaande criteria hebben we een apparaat gebouwd. Het apparaat is grotendeels gemaakt van triplex met een dikte van 4,0 millimeter. De as waar het pak om zal draaien is een houten staafje met een straal van 4,0 millimeter. Deze as is verbonden aan de potentiometer, de potentiometer is verbonden met een Arduino die verbonden is met een computer. De Arduino zet de analoge sensorwaarden om naar digitale waarden. Deze waarden worden direct doorgestuurd naar de computer, die met het programmaatje PLX-DAQ Figuur 3.1 Schematische weergave van de de waarden naar MS Excel® stuurt. De waterdichte onderdelen van de opstelling, ofwel de schenktuit en meetopstelling de zijkant van de as waar het water over stroomt, zijn gemaakt van waterafstotend karton uit oude drinkpakken. In Figuur 3.1 is deze opstelling schematisch weergegeven. Uiteraard is het doel in de werkelijke opstelling veel kleiner, waardoor met precisie moet worden geschonken.

In Figuur 3.2 is de verbinding tussen de potentiometer en de Arduino schematisch weergegeven. Hier is te zien dat de potentiometer met de analoge input A0 verbonden is. De potentiometer splitst de 5V op en de AD-omzetter die deze microcontroller heeft zet een signaal van 0V tot 1,1V om naar een 10-bits digitale waarde, wat betekent dat er 1024 unieke waarden zijn. De gebruikte potentiometer heeft een maximale draaiing van 3600° (10 omwentelingen), waardoor elke byte overeen komt met 1,1V/5,0V*3600°/1024=0,77°. Omdat slechts 1,1V wordt omgezet terwijl de input wel 5v kan zijn, is niet de gehele 3600° bereikbaar. Dit is ook niet nodig, aangezien de hoek theoretisch maximaal 90° kan zijn. In de praktijk is een grotere hoek natuurlijk wel nodig. Het effectieve bereik is gelijk aan 1,1v/5,0v*3600°=792°. Dit is ongeveer gelijk aan twee omwentelingen, wat meer dan genoeg is.

Figuur 3.2 Schematische weergave van het technische

Bij deze opstelling moet opgemerkt worden dat er circuit bij de theorie vanuit wordt gegaan dat de hoek van het pak waar de vloeistof uit komt exact hetzelfde punt is als de as waarom gedraaid wordt. In de 22

praktijk is dit niet zo. De straal van de as is namelijk 4,0 millimeter en daarop ligt nog de steunbodem van het pak, wat ook 4,0 millimeter dik is. In totaal is de afstand van het middelpunt van de as en de hoek van het pak 8 millimeter.

De afstand van de opstelling tot het doel waar het water terecht zal komen is onbepaald en zal per meting verschillen. Hierdoor zal het debiet niet bij elke meting gelijk zijn.

De kalibratie van de digitale waarden zodat ze overeen komen met hoek α wordt gedaan in MS Excel.

Deze hoek α komt overeen met de hoek α die is genoemd in de behandeling van de theorie. Vervolgens zal de praktijk vergeleken worden met de theorie.

Met deze opstelling zullen vijf metingen gedaan worden per pak. De pakken waarmee zal worden gemeten zijn:   

Melkpak met vierkante bodem (7,1*7,1cm*20cm) Pak met driehoekvormige bodem. Schenkkant is de platte zijde van de driehoek (9,5cm*10,5cm*23cm) Pak met driehoekvormige bodem. Schenkkant is de puntzijde van de driehoek (9,5cm*10,5cm*23cm)

§3.3 Hypothese De hypothese is dat de metingen grotendeels overeen komen met de waarden die berekend zullen worden aan de hand van de theorie. De grafieken van de praktijk zullen dus gelijkvormig moeten zijn met de grafieken in hoofdstuk 2.3.4. Waarschijnlijk zullen de werkelijke grafieken echter afwijken van de theoretische grafieken door de trage stroming van de vloeistof, slordigheid bij het ingieten en meetfouten.

§3.4 Meetresultaten In bijlagen 1, 2 en 3 zijn alle meetresultaten te zien van de in totaal 15 metingen die gedaan zijn.

Door gebruik te maken van curve fitting4 zijn er functies gemaakt die de gemeten waarden benaderen. In de grafieken zijn de benaderde grafieken te zien in het rood. De grafieken van de hoeksnelheid en de hoekversnelling in de praktijk zijn afgeleiden van de benaderde functies.

§3.5 Analyse §3.5.1 Vierkante bodem Als de grafieken in bijlage 1 bekeken worden is duidelijk te zien dat de metingen onderling gelijkvormige grafieken geven. Dit betekent dat de resultaten waarschijnlijk betrouwbaar zijn en niet te veel leiden onder externe factoren.

Bij alle grafieken is duidelijk te zien dat de gemeten hoek-tijd grafiek boven de theoretische grafiek ligt.

Toch eindigen de grafieken allemaal op hun eindtijd ongeveer op 90 graden. Dit is logisch, aangezien in theorie alle vloeistof uit het pak stroomt bij een hoek van 90 graden.

4

Het proces waarmee geprobeerd wordt een wiskunde formule te vinden dat overeenkomt met een rij waarden. Ga naar de begrippenlijst voor meer informatie.

23

Hoek in graden

Hoek-tijd diagram Melkpak 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Hoek Praktijk Hoek Theorie (C=10,2cm続/s) Hoek Praktijk benaderd

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

Tijd in seconden Figuur 3.3 De hoek-tijd diagram bij een meting met een melkpak

In bijvoorbeeld de grafiek in Figuur 3.3, zijn de bovenstaande waarnemingen duidelijk te zien. In deze grafiek is, net als in de grafieken van de andere metingen in bijlage 1, te zien dat de hoek op het einde even omhoog schiet. Dit is te verklaren doordat het pak eigenlijk al leeg is, maar bij het meten wilden we het laatste beetje water ook nog uit het pak halen zonder te knoeien. Dit is dus veroorzaakt door de vertraagde stroming van water.

Hoeksnelheid in graden/seconde

Hoeksnelheid-tijd diagram Melkpak 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0

Hoeksnelheid Praktijk benaderd Hoeksnelheid Theorie (C=10,2cm続/s)

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

Tijd in seconden Figuur 3.4 De hoeksnelheid-tijd diagram bij een meting met een melkpak

Eerder is genoemd dat de gemeten hoek in het begin groter is dan de theoretische grafiek. Dit is uiteraard ook te zien in de hoeksnelheid-tijd diagram. In Figuur 3.4 is de hoeksnelheid-tijd diagram van deze zelfde meting te zien. Hier is duidelijk te zien dat de draaisnelheid in eerste instantie inderdaad hoger is dan bij de theoretische grafiek. Daarna is de theoretische grafiek groter dan de praktijk-grafiek, waardoor de hoek-tijd grafieken uiteindelijk weer samenvallen. Deze afwijking is waarschijnlijk veroorzaakt doordat het water vertraagd stroomt. Bij het handmatig inschenken willen we, bewust of onbewust, eerst een grotere hoek maken zodat het water beter stroomt. Als we dit niet doen, haalt de straal het doel niet direct als het doel niet recht onder de opening van het pak staat. Op deze manier voorkomen we knoeien in het begin.

24

Het laatste opvallende verschijnsel is dat de theoretische formule een knik heeft in de hoekversnelling, wat in de praktijk niet te mogelijk is. Deze knik bij de theorie is te zien in Figuur 3.5. Daar is ook te zien dat de knik in de praktijk ontbreekt. Dit komt doordat het water vertraagd stroomt, waardoor deze verschijnselen verzwakt worden.

Hoekversnelling-tijd diagram Melkpak Hoekversnelling in graden/seconde²

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

0,10 0,00 -0,10 Hoekversnelling Praktijk benaderd

-0,20 -0,30

Hoekversnelling Theorie (C=10,2cm³/s)

-0,40 -0,50 -0,60

Tijd in seconden

Figuur 3.5 De hoekversnelling bij een meting met een melkpak

§3.5.2 Driehoekvormig pak met de punt beneden Het driehoekvormige pak met de punt naar beneden, te zien in bijlage 2, heeft natuurlijk last van dezelfde effecten als het melkpak. Ook bij deze grafieken is er sprake van een grotere hoek in het begin met een hogere hoeksnelheid.

Hoeksnelheid in graden/seconde

Hoeksnelheid-tijd diagram driehoekvormig pak punt beneden 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0

Hoeksnelheid Praktijk benaderd Hoeksnelheid Theorie

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

Tijd in seconden Figuur 3.6 De hoek-snelheid-tijd diagram bij een driehoekvormig pak met de punt omlaag

De hoeksnelheid-tijd diagrammen lijken op het eerste gezicht wat opvallend. Dit is bijvoorbeeld te zien in Figuur 3.6. Na het bereiken van de bodem, neemt de snelheid bij de theoretische grafiek erg snel toe, terwijl deze bij de praktijkgrafiek lineair toeneemt en niet zo hoog eindigt. Dit is eenvoudig te verklaren door het feit dat de praktijk formule van de hoek, waarop de hoeksnelheid gebaseerd is, handmatig benaderd is. Er is gekozen voor een exponentiële formule die grotendeels dezelfde vorm aanneemt, maar uiteraard komt deze niet overeen met de ingewikkelde formule van de theorie. Toch is het te zien dat de praktijk en theorie erg dicht bij elkaar in de buurt komen.

25

ยง3.5.2 Driehoekvormig pak met de punt boven De enige opmerkingen die niet genoemd zijn bij de bovenstaande analyses, is dat het opvalt dat deze metingen relatief slordig zijn. Er is sprake van veel ruis, die waarschijnlijk veroorzaakt is door ongewenste trillingen. Ondanks dit komen de theoretische en praktijkgrafieken erg met elkaar overeen.

Te concluderen is dat de werkelijkheid overeen komt met de theoretische formules, met uitzondering van de hoge hoeksnelheid in het begin van elke meting, waardoor de hoek in eerste instantie hoger is dan volgens de theorie. Het zou mogelijk kunnen zijn om dit effect te berekenen, maar dit zal een veel uitgebreider onderzoek vereisen. Om deze reden zal het apparaat wat uiteindelijk gebouwd zal worden (zie hoofdstuk 4) geprogrammeerd worden met benaderde functies die op handmatige praktijkmetingen zijn gebaseerd.

26

H4 Toepassing §4.1 Inleiding Bij de metingen werd het pak met de hand gedraaid, maar in het eindproduct, een zelfstandig apparaat dat drinken inschenkt, is dit natuurlijk niet de bedoeling. Het makkelijkst zou zijn om de motor op het draaipunt van de as te plaatsen, maar hierbij zal het draaimoment van de motor veel te hoog zijn. Daarom is ervoor gekozen om de motor aan de andere zijde van het pak te plaatsen en deze met een touwtje te verbinden aan het steunvlak van het pak zoals in Figuur 4.1 schematisch te zien is. Er is besloten om de robot enkel werkend te maken bij een enkel voorbeeldpak met rechthoekige bodem.

De belangrijke vraag die over is, is wat het toerental moet zijn op een gegeven tijdstip. Hierbij kunnen de formules gebruikt worden die in hoofdstuk 2.1 bij de theorie gevonden zijn, maar ook de formules 3 die we in de praktijk waarnemen op de wijze die in hoofdstuk 3 vermeld staat. Dit wordt in de volgende paragraaf behandeld.

§4.2 Het nodige toerental Punt A in Figuur 4.1 is het draaipunt waar het pak omheen draait. Lijnstuk AB met lengte l is het steunvlak waar het pak op ligt. De lengte van dit steunvlak is groter dan de hoogte van het pak. Punt M is de locatie van de motor. De motor is geplaatst op afstand h, boven punt B als Îą gelijk is aan 90°. Om de as van de motor is een touwtje gebonden en is verbonden met punt B. Om de snelheid te bepalen waarin de motor zal moeten draaien, is het nodig om de lengte van het touwtje tussen M en B uit te drukken in Îą. Dit is eenvoudig te doen met behulp van de cosinusregel. â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x203A;ź) = â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x2122; 2 + â&#x201E;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x2122; Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2122; 2 + â&#x201E;&#x17D;² Ă&#x2014; sin(đ?&#x203A;ź â&#x2C6;&#x2019; tanâ&#x2C6;&#x2019;1 ) đ?&#x2018;&#x2122; Waarbij: ď&#x201A;ˇ

ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

ď&#x201A;ˇ

P = de lengte van het touwtje tussen de motor M en punt B op het steunvlak AB in cm l = de lengte van het steunvlak van het pak AB in cm h = de afstand tussen de uiterste stand van B (ι=90°) en de motor M in cm ι = de hoek tussen steunvlak AB en de verticale lijn waarop A steunt in graden

Als in de bovenstaande functie de formule van Îą uitgedrukt in t wordt ingevuld, en van deze functie P(t) de afgeleide wordt bepaald, is de snelheid waarin de motor moet draaien op tijdstip t bekend. In eerste instantie berekenen we de lengte van het touwtje en uiteindelijk de snelheid waarin de motor draait volgens de theoretische formules bij een pak met

Figuur 4.1 Schematische weergave van de opstelling

27

rechthoekige bodem, zoals behandeld in hoofdstuk 2.1. Als deze formules ingevuld worden in de functie van P vind je de volgende lengte functie voordat de bodem bereikt wordt: đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x2122;2 + â&#x201E;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x2122; Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2122; 2 + â&#x201E;&#x17D;² Ă&#x2014; sin(tanâ&#x2C6;&#x2019;1(

đ??śđ?&#x2018;Ą â&#x201E;&#x17D; ) â&#x2C6;&#x2019; tanâ&#x2C6;&#x2019;1 ) đ?&#x2018;&#x2122; 4đ?&#x2018;?²đ?&#x2018;&#x2018;

En nadat de bodem bereikt wordt: đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x2122;2 + â&#x201E;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x2122; Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2122; 2 + â&#x201E;&#x17D;² Ă&#x2014; sin(tanâ&#x2C6;&#x2019;1(

đ?&#x2018;&#x2018;đ??żÂ˛ â&#x201E;&#x17D; ) â&#x2C6;&#x2019; tanâ&#x2C6;&#x2019;1 ) 4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2122;

Als deze functies gedifferentieerd worden, vind je de volgende afgeleiden die nuttig zijn voor het bepalen van het toerental van de motor: â&#x201E;&#x17D; đ??śđ?&#x2018;Ą 4đ?&#x2018;?²đ??śđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122;² Ă&#x2014; cos(tanâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; tanâ&#x2C6;&#x2019;1 2 ) đ?&#x2018;&#x2122; 4đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x192;`(đ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D; đ??śđ?&#x2018;Ą (16đ?&#x2018;?4đ?&#x2018;&#x2018; 2 + đ??śÂ˛đ?&#x2018;ĄÂ˛)â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122;² sin (tanâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; tanâ&#x2C6;&#x2019;1 2 ) + â&#x201E;&#x17D;2 + 2đ?&#x2018;&#x2122;² đ?&#x2018;&#x2122; 4đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; Nadat de bodem bereikt is, verandert de snelheid naar de volgende functie: đ?&#x2018;&#x192;`(đ?&#x2018;Ą) â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 đ??śđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ??żÂ˛ Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122;² Ă&#x2014; cos(tanâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; tanâ&#x2C6;&#x2019;1 ( )) đ?&#x2018;&#x2122; 4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą =â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 (16đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2018;2 đ??ż2 â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;?đ??śđ?&#x2018;&#x2018;đ??żđ?&#x2018;Ą + đ??ś 2 đ?&#x2018;Ą 2 + đ?&#x2018;&#x2018;²đ??ż4 )â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122;² Ă&#x2014; sin(tanâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; tanâ&#x2C6;&#x2019;1 ( )) + â&#x201E;&#x17D;2 + 2đ?&#x2018;&#x2122;² đ?&#x2018;&#x2122; 4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą Waarbij: ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

P` = de helling van de variabele lengte p op tijdstip t t = de tijd in seconden C = het debiet in cmÂł/s b = de halve breedte van het pak in cm d = de halve diepte van het pak in cm L = de hoogte van het pak in cm Overige parameters zijn eerder in dit hoofdstuk genoemd

Deze snelheid is natuurlijk negatief, aangezien de lengte van p afneemt. Daarnaast moet er rekening mee worden gehouden dat deze snelheid gelijk is aan de snelheid van de verandering van p, terwijl we de snelheid van de motor willen weten. Daarbij is de doorsnede van de as een belangrijke parameter.

Uiteindelijk resulteert dit in het volgende toerental: â&#x201E;&#x17D; đ??śđ?&#x2018;Ą 4đ?&#x2018;?²đ??śđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122;² Ă&#x2014; cos(tanâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; tanâ&#x2C6;&#x2019;1 2 ) 60 đ?&#x2018;&#x2122; 4đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąâ&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019; 1 (đ?&#x2018;Ą) = Ă&#x2014; 2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; â&#x201E;&#x17D; đ??śđ?&#x2018;Ą (16đ?&#x2018;?4 đ?&#x2018;&#x2018;2 + đ??śÂ˛đ?&#x2018;ĄÂ˛)â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122;² sin (tanâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; tanâ&#x2C6;&#x2019;1 2 ) + â&#x201E;&#x17D;2 + 2đ?&#x2018;&#x2122;² đ?&#x2018;&#x2122; 4đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; En nadat de bodem bereikt is: đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąâ&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019; 2 (đ?&#x2018;Ą) â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 đ??śđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ??żÂ˛ Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122;² Ă&#x2014; cos(tanâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; tanâ&#x2C6;&#x2019;1 ( )) đ?&#x2018;&#x2122; 4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą = â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż2 (16đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2018;2 đ??ż2 â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;?đ??śđ?&#x2018;&#x2018;đ??żđ?&#x2018;Ą + đ??ś 2 đ?&#x2018;Ą 2 + đ?&#x2018;&#x2018;²đ??ż4 )â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122;² Ă&#x2014; sin(tanâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; tanâ&#x2C6;&#x2019;1 ( )) + â&#x201E;&#x17D;2 + 2đ?&#x2018;&#x2122;² đ?&#x2018;&#x2122; 4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą 60 Ă&#x2014; 2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 28

Waarbij: ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

nmotor = het toerental in omwentelingen per minuut r = de radius van de as van de motor in cm Overige variabelen en parameters zijn eerder in dit hoofdstuk genoemd

In de praktijk is, zoals in hoofdstuk 3 te lezen is, de hoeksnelheid echter anders dan in de theorie, waardoor de theoretische snelheid zoals hierboven berekend is waarschijnlijk niet goed zal werken. We gebruiken bij het maken en testen van het apparaat een pak met rechthoekige bodem. Daarbij zal het apparaat op twee (paar) formules draaien: Formules die op praktijkmetingen gebaseerd zijn en formules die volledig op theorie gebaseerd zijn. Zoals vermeld gebruiken we handmatige metingen om de formules te vinden waarmee de motor wordt aangedraaid. De theorie die vanaf nu genoemd wordt, is grotendeels enkel van toepassing op een specifiek pak. Dit is een anderhalf literpak (23cm*7,0cm*9,4cm). De benaderde formule is als de bodem nog niet bereikt is: đ?&#x203A;ź = 15,2 â&#x2C6;&#x2014; ln(đ?&#x2018;Ą + 0,90) Nadat de bodem bereikt is: đ?&#x203A;ź = 50,4 + 0,20đ?&#x2018;Ą Op dezelfde wijze als met de theoretische formules gedaan is, levert dit de volgende motorsnelheden op.

Als de bodem nog niet bereikt is: đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC; 1

â&#x201E;&#x17D; 0,27đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122;² cos(tanâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 0,27 ln(đ?&#x2018;Ą + 0,90)) 60 đ?&#x2018;&#x2122; = Ă&#x2014; 2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; â&#x201E;&#x17D; (đ?&#x2018;Ą + 0,90)â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122;² sin(tanâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 0,27 ln(đ?&#x2018;Ą + 0,90)) + â&#x201E;&#x17D;2 + 2đ?&#x2018;&#x2122;² đ?&#x2018;&#x2122;

Nadat de bodem bereikt is: đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 =

0,0035đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122;² sin(0,69 â&#x2C6;&#x2019; 0,0035đ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122; 2 cos(0,69 â&#x2C6;&#x2019; 0,0035đ?&#x2018;Ą) + â&#x201E;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; tanâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x201E;&#x17D; + 2đ?&#x2018;&#x2122;² đ?&#x2018;&#x2122;

Ă&#x2014;

60 2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x;

Alle parameters die de formules nodig hebben zijn bekend. Dit zijn namelijk: ď&#x201A;ˇ L = 23cm ď&#x201A;ˇ b = 3,5cm ď&#x201A;ˇ d = 4,7cm ď&#x201A;ˇ C = 8,17cmÂł/s ď&#x201A;ˇ l = 41cm ď&#x201A;ˇ h = 10cm ď&#x201A;ˇ r = 0,40cm Als alle parameters worden ingevuld krijgen we de volgende twee setjes formules: Theorie: đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąâ&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019; 1 (đ?&#x2018;Ą) =

8,0 Ă&#x2014; 107 Ă&#x2014; cos(0,24 â&#x2C6;&#x2019; tanâ&#x2C6;&#x2019;1 0,036đ?&#x2018;Ą) (5,3 Ă&#x2014; 104 + 6,7 Ă&#x2014; 10đ?&#x2018;ĄÂ˛)â&#x2C6;&#x161;3,5 Ă&#x2014; 10Âł sin(0,24 â&#x2C6;&#x2019; tanâ&#x2C6;&#x2019;1 0,036đ?&#x2018;Ą) + 3,5 Ă&#x2014; 10Âł

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąâ&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019; 2 (đ?&#x2018;Ą) 2,4 Ă&#x2014; 10Âł )) 1,5 Ă&#x2014; 10Âł â&#x2C6;&#x2019; 8,2đ?&#x2018;Ą = 2,4 Ă&#x2014; 103 (8,2 Ă&#x2014; 106 â&#x2C6;&#x2019; 2,5 Ă&#x2014; 104 đ?&#x2018;Ą + 6,7 Ă&#x2014; 10đ?&#x2018;Ą 2)â&#x2C6;&#x161;3,5 Ă&#x2014; 10Âł sin (0,24 â&#x2C6;&#x2019; tanâ&#x2C6;&#x2019;1 ( )) + 3,5 Ă&#x2014; 104 1,5 Ă&#x2014; 103 â&#x2C6;&#x2019; 8,2đ?&#x2018;Ą 8,4 Ă&#x2014; 108 cos(0,24 â&#x2C6;&#x2019; tanâ&#x2C6;&#x2019;1 (

29

Praktijk: đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC; 1 = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 =

1,1 Ă&#x2014; 104 cos(0,24 â&#x2C6;&#x2019; 0,27 ln(đ?&#x2018;Ą + 0,90)) (đ?&#x2018;Ą + 0,90)â&#x2C6;&#x161;3,5 Ă&#x2014; 10Âł sin(0,24 â&#x2C6;&#x2019; 0,27 ln(đ?&#x2018;Ą + 0,90)) + 3,5 Ă&#x2014; 10Âł 1,5 Ă&#x2014; 10² sin(0,70 â&#x2C6;&#x2019; 0,0035đ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;3,5 Ă&#x2014; 10Âł cos(0,69 â&#x2C6;&#x2019; 0,0035đ?&#x2018;Ą) + 3,5 Ă&#x2014; 10Âł

Hierbij wordt een potentieel belangrijke factor, het traagheidsmoment in eerste instantie genegeerd. Dit wordt gedaan omdat er gewerkt wordt met een relatief kleine massa.

In Figuur 4.2 is het toerental in omwentelingen per minuut te zien. Hier is zichtbaar dat de motor bij de praktijkformules in eerste instantie sneller zal draaien. Deze formule is gebaseerd op een logaritmische formule, dus het is verstandig om de snelheid te verkleinen in het begin. Dit wordt in de code gedaan waarmee de Arduino opereert.

Toerental motor in omwentelingen/minuut

Toerental-tijd diagram 30 25 20 15

Praktijk RPM

10

Theoretische RPM

5 0 0

50

100

150

200

Tijd in s Figuur 4.2 Het toerental, berekend met de twee paar formules

§4.3 Voltage voor de motor De motor die gebruikt wordt, draait sneller of langzamer door een grotere of kleine spanning te geven.

Met de formules die in de vorige paragraaf genoemd zijn, wordt het toerental berekend waarin de motor moet draaien. Dit is echter nog niet genoeg informatie, want het toerental van de motor is afhankelijk van het voltage dat de motor ontvangt en de spankracht van het touwtje die aan de as verbonden is. Bij het testen van het pak is gebleken dat het gewicht van het pak erg veel invloed heeft op de snelheid waarmee de motor draait. Om voor deze kracht te compenseren zullen we dus de spankracht op het touwtje moeten berekenen. De situatie ziet er als in Figuur 4.3 uit.

Hierbij gaan we, om de situatie niet te complex te maken, ervan uit dat het zwaartepunt van het pak zich altijd in het midden van het pak bevindt.

Volgens de momentenwet moet in deze situatie gelden dat â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;&#x20AC; = 0.

In deze situatie hebben we te maken met twee krachten, namelijk de zwaartekracht Fz en de spankracht Fspan. Deze krachten hebben als arm dz en dspan.

Voor de zwaartekracht geldt dat Fz = g x V. Hierin is g de graviteitsconstante, en V het volume van de vloeistof in het pak in dm3. Voor de arm van de zwaartekracht is heel simpel te zien dat deze gelijk is aan 1 2

đ??ż. Voor de arm van de spankracht geldt dat deze gelijk is aan de lengte van het steunvlak, l.

30

Omdat de krachten niet loodrecht op de armen staan, moet in de momentenberekening nog een correctie voor de hoeken waaronder de krachten op de armen staan aangebracht worden. Voor Fz is dit een correctie met sin đ?&#x203A;ź. Voor de hoek waaronder de spankracht op zijn arm staat is dit iets ingewikkelder.

Hiervoor moeten we de hoek bij B berekenen. Dit kan gedaan worden met behulp van de cosinusregel. Deze hoek noemen we Îł. đ?&#x2018;&#x2122; 2 + đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)2 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122;² cos đ?&#x203A;ž = 2 Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x2122; Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)

2

đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)2 â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;² đ?&#x203A;ž = cosâ&#x2C6;&#x2019;1 ( ) 2 Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x2122; Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą) Omdat we hier weer de sinus van moeten nemen, wordt deze đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;&#x17D;2

uitdrukking sin (cosâ&#x2C6;&#x2019;1 (2Ă&#x2014;đ?&#x2018;&#x2122;Ă&#x2014;đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą))), đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;&#x17D;2

wat gelijk is aan â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; (

2Ă&#x2014;đ?&#x2018;&#x2122;Ă&#x2014;đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)

Figuur 4.3: De krachten die op het pak werken m.b.t. de spankracht

)

Ook hoek Îą is nodig bij het berekenen van de spankracht. Omdat lengte P(t) de enige onbekende is die 1

â&#x201E;&#x17D;

2

đ?&#x2018;&#x2122;

gebruikt mag worden, moet deze hoek berekend worden. Het is duidelijk dat đ?&#x203A;ź = đ?&#x153;&#x2039; + tan( ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;˝. Hoek β kan weer gevonden worden met hulp van de cosinusregel, aangezien deze hoek deel uitmaakt van driehoek ABM. 2

đ?&#x203A;˝ = cosâ&#x2C6;&#x2019;1(

â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122;² + đ?&#x2018;&#x2122; 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)² 2đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122;²

) = cos â&#x2C6;&#x2019;1(

2đ?&#x2018;&#x2122;2 + â&#x201E;&#x17D;² â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)² 2đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122;²

)

1 â&#x201E;&#x17D; 2đ?&#x2018;&#x2122;2 + â&#x201E;&#x17D;² â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)² đ?&#x203A;ź = đ?&#x153;&#x2039; + tan ( ) â&#x2C6;&#x2019; cosâ&#x2C6;&#x2019;1( ) 2 đ?&#x2018;&#x2122; 2đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122;² Vullen we dit allemaal in bij de momentenwet, levert dat het volgende op: â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;&#x20AC; = 0 đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;&#x17D;2

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§ Ă&#x2014; đ??šđ?&#x2018;§ Ă&#x2014; sin đ?&#x203A;ź â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; (2Ă&#x2014;đ?&#x2018;&#x2122;Ă&#x2014;đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)) Ă&#x2014; đ??šđ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = 0 đ??šđ?&#x2018;§ = 1 2

4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ą Ă&#x2014;đ?&#x2018;&#x201D; 10Âł đ??śđ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;&#x17D;2

đ??ż Ă&#x2014; (đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 10Âł) đ?&#x2018;&#x201D; Ă&#x2014; sin đ?&#x203A;ź â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122; Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; (2Ă&#x2014;đ?&#x2018;&#x2122;Ă&#x2014;đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)) Ă&#x2014; đ??šđ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = 0

31

2 2 2 1 đ??śđ?&#x2018;Ą 1 â&#x201E;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019;1 2đ?&#x2018;&#x2122; + â&#x201E;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą) đ??ż Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D; Ă&#x2014; sin( đ?&#x153;&#x2039; + tan â&#x2C6;&#x2019; cos ( )) (đ?&#x2018;&#x2030; ) ( ) đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 2 đ?&#x2018;&#x2122; 10Âł 2đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122; 2

đ??šđ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; =

đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)2 â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x2122; Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; ( ) 2 Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x2122; Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą) Waarbij: ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

Fspan = de spankracht op het touw P(t) = de lengte van het touw, berekend met de functies in paragraaf 4.2.

L = de lengte van het pak g = de valversnelling in m/s² De overige parameters zijn al eerder in het hoofdstuk genoemd

Nu de spankracht bekend is, kunnen we het draaimoment berekenen. Dit draaimoment moet vermenigvuldigd worden met het gewenste toerental en met een constante die gevonden wordt door de gebruikte motor te kalibreren. Dit resulteert in de onderstaande functie waarmee het voltage berekend wordt. đ?&#x2018;&#x2C6;(đ?&#x2018;Ą) = đ??śđ?&#x2018;&#x161; Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x20AC; Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;Ą) = đ??śđ?&#x2018;&#x161; Ă&#x2014; đ??šđ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x; Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;Ą) 1 đ??śđ?&#x2018;Ą 1 â&#x201E;&#x17D; 2đ?&#x2018;&#x2122; 2 + â&#x201E;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)2 đ??ż Ă&#x2014; (đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D; Ă&#x2014; sin( đ?&#x153;&#x2039; + tan ( ) â&#x2C6;&#x2019; cos â&#x2C6;&#x2019;1 ( )) ) 2 2 đ?&#x2018;&#x2122; 10Âł 2đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x2122; 2 = đ??śđ?&#x2018;&#x161; Ă&#x2014; Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x; Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;Ą) 2 2 đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2122; Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; ( ) 2 Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x2122; Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą) Waarbij: ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

U(t) = het voltage voor de motor in V Bereikt U(t): [0, Umax] Cm = Een constante die gevonden wordt door het kalibreren van de motor n(t) = Het toerental dat berekend wordt met de formules in de vorige paragraaf t = de tijd in seconden De overige parameters zijn al eerder in het hoofdstuk genoemd

Als alle bekende parameters worden ingevuld in deze functie, vind je de onderstaande functie:

đ?&#x2018;&#x2C6;(đ?&#x2018;Ą) = đ??śđ?&#x2018;&#x161; Ă&#x2014;

2 2 2 1 8,2đ?&#x2018;Ą 1 10 â&#x2C6;&#x2019;1 2 Ă&#x2014; 41 + 10 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą) Ă&#x2014; 23 Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; 9,81 Ă&#x2014; sin ( đ?&#x153;&#x2039; + tan â&#x2C6;&#x2019; cos ( )) (1,5 ) ( ) 2 2 41 103 2 Ă&#x2014; 41â&#x2C6;&#x161;102 + 412

đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)2 â&#x2C6;&#x2019; 102 41 Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; ( ) 2 Ă&#x2014; 41 Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą) Ă&#x2014; 0,40 Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;Ą)

=

đ??śđ?&#x2018;&#x161; Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;Ą) Ă&#x2014; (1,7 â&#x2C6;&#x2019; 0,0090đ?&#x2018;Ą) Ă&#x2014; sin(1,8 â&#x2C6;&#x2019; cos â&#x2C6;&#x2019;1(1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)² )) 35 Ă&#x2014; 10²

đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)2 â&#x2C6;&#x2019; 10² 82 Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)

Nu deze functie bekend is, kan deze gebruikt worden bij het programmeren van de robot. Houd in gedachte dat de functies P(t) en n(t) andere functies zijn vóórdat de bodem bereikt wordt en nådat de bodem bereikt is.

32

§4.4 Opstelling Zoals verteld is, is de motor met een touwtje verbonden aan het steunvlak waar het pak op ligt. Dit ziet er in de praktijk ongeveer uit zoals in Figuur 4.3 en Figuur 4.4 te zien is.

Er is gekozen om gebruik te maken van een 12 volt gelijkspanningsmotor die doormiddel van interne tandwielen is afgestemd op maximaal 80 rotaties per minuut met een maximaal draaimoment van 0,3Nm volgens de Figuur 4.3 Een schematische weergave van de opstelling documentatie. De verlengde as, die met een touwtje verbonden is aan het uiteinde van het steunvlak, heeft een straal van 0,40cm waardoor de maximale kracht waarbij de motor nog goed draait gelijk is aan 75 newton, wat overeenkomt met ongeveer 7,5 kilogram. Doordat deze maximale kracht veel hoger is dan vereist, kan er vanuit worden gegaan dat de overige krachten zoals de wrijving niet te groot zijn, en we zullen deze dus verwaarlozen. De as van de motor is met een draad verbonden aan het uiteinde van het vlak waar het drinkpak op ligt. De motor wordt aangedreven door de Arduino via een H-bridge. Bij deze opstelling is gebruik gemaakt van een L298N. De eerder gebruikte potentiometer is ook met de Arduino verbonden voor kalibratie en controle. Het elektrische circuit, exclusief een paar knopjes waarmee het proces gestart wordt, is te zien in Figuur 4.5 en Figuur 4.6.

De code die de Arduino zal gebruiken om de motor aan Figuur 4.4 Links zie je het gedeelte waar het pak op steunt en rechts boven is de as van de motor te zien

te sturen en te meten is te vinden in bijlage 4.

Bij dit experiment wordt een pak gebruikt met de volgende afmetingen. De hoogte is 23cm, de breedte is 7,0cm en de diepte is 9,4cm. De inhoud is dus 1,5 liter. De formules waarmee de motor wordt aangestuurd zijn de formules die in de vorige paragraaf genoemd zijn. Dit zijn formules die volledig theoretisch zijn en formules die gebaseerd zijn op praktijkmetingen. In beide gevallen wordt het pak leeg geschonken in 3 minuten en 0 seconden, wat neerkomt op een debiet van 8,2cmÂł/s.

In theorie zal de motor goed moeten inschenken bij de op praktijk gebaseerde formules. Daarentegen zal het debiet bij de volledig theoretische formules waarschijnlijk eerst te klein zijn en later te groot als we de praktijkmetingen vertrouwen. Deze hypothese is gebaseerd op de metingen die in hoofdstuk 3 gedaan zijn en Figuur 4.2. In deze grafiek is te zien dat de theoretische grafiek onder de praktische grafiek ligt, wat zal resulteren in een zachtere straal in het begin. We gaan ervan uit dat de op praktijk gebaseerde formules een beter resultaat zullen geven.

33

Figuur 4.5 De elektronische onderdelen van de opstelling.

Figuur 4.6 Dezelfde opstelling als in Figuur 4.5, maar nu schematisch weergegeven.

ยง4.5 Het apparaat in de praktijk Theoretisch zou het apparaat nu moeten werken. Op het moment van schrijven van dit profielwerkstuk zijn we er echter nog niet in geslaagd om het prototype werkend op tafel te krijgen. Om deze reden is het nog niet mogelijk om een zekere conclusie te trekken over het succes van dit profielwerkstuk.

Waarschijnlijk is het apparaat bij presentatie van dit werkstuk wel werkend en kunnen we onze resultaten laten zien.

Er zijn wel kanttekeningen bij het gebruik van dit prototype. Het werkt, met de eerder genoemde opstelling en de code in bijlage 4, enkel bij een specifiek anderhalf literpak zonder drinkdop en met een zelfgemaakte opening. Daarnaast is dit prototype alleen in staat om een vol pak leeg te schenken. Dit is in de praktijk niet gewenst, en dit zal met onder andere gewichtssensoren opgelost moeten worden in een tweede revisie van dit prototype.

34

H5 Conclusie Het doel van dit profielwerkstuk was om een werkend apparaat op tafel te hebben dat zelfstandig drinken in kan schenken. Dit laatste doel is nog niet bereikt op moment van schrijven, maar alle benodigde tussenstappen zijn geslaagd.

De theoretische hoeken en draaisnelheden zijn bepaald bij drinkpakken. Dit is nu te bepalen bij pakken met verschillende afmetingen en verhoudingen. Hierbij valt het op dat er iets bijzonders aan de hand is zodra de vloeistofgrens de bodem bereikt. Er zal namelijk een andere formule gebruikt moeten worden na het bereiken van de hoek van het pak. Dit resulteert in een oneindige versnelling bij het bereiken van deze hoek.

Naast de theorie bij een traditioneel pak met rechthoekig grondvlak hebben we ook de theorie bij een driehoekvormig grondvlak onderzocht. Hierbij zijn twee posities van het pak mogelijk: Een hoek van het pak is naar beneden gericht, zodat de vloeistof bij de hoek uit het pak stroomt, en een platte zijde kan naar beneden worden gericht. In dat laatste geval blijken de resulterende hoek-tijd diagrammen erg overeen te komen met de hoek-tijd diagrammen die pakken met rechthoekige bodem en vergelijkbare afmetingen hebben.

Na toetsing van de theorie blijkt dat, onafhankelijk van het pak, de hoeksnelheid in praktijk in eerste instantie groter is dan theoretisch zou moeten. Daarna neemt de hoeksnelheid af, waardoor de hoeksnelheid van de praktijk lager wordt dan in theorie. Deze hoge versnelling in het begin wordt waarschijnlijk door de stroming van het vloeistof veroorzaakt. In de theorie wordt uitgegaan van een stilstaande vloeistof, terwijl de vloeistof in realiteit natuurlijk stroomt. In een vervolgonderzoek zal dit fenomeen in de theorie verwerkt kunnen worden. Bij het aansturen van de robot wordt in plaats daarvan gebruik gemaakt van benaderde formules die gebaseerd zijn op de praktijkmetingen.

Het laatste punt was het in de praktijk brengen van de gevonden informatie door een apparaat te bouwen dat zelfstandig drinken in kan schenken. Dit is nog niet volledig gelukt, maar de nodige tussenstappen zijn gemaakt door te berekenen hoe de motor aangestuurd moet worden. Het gewenste doel is dus grotendeels bereikt.

35

Begrippenlijst 1. Wortelformule: De wortelformule of ABC-formule wordt gebruikt voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen en heeft de onderstaande standaardvorm: â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? Âą â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?

2đ?&#x2018;&#x17D; In dit profielwerkstuk is de onderstaande formule gebruikt, die afgeleid is van de bovenstaande formule.

2đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľ1,2 = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? Âą â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?

Voor meer informatie over deze formule, ga naar http://nl.wikipedia.org/wiki/Wortelformule. đ?&#x2018;Ľ=

2. Potentiometer: Een variabele weerstand waarvan de weerstand bepaald wordt door een beweegbare component. Bij later gebruik van dit woord wordt verwezen naar de lineaire Vishay draaipotentiometer type 534 met een maximale weerstand van 10kΊ.

Voor de datasheet van deze potentiometer, ga naar http://www.vishay.com/docs/57065/533534.pdf.

3. Arduino: Bij het woord Arduino in dit profielwerkstuk wordt verwezen naar de Arduino Uno r3 met ATmega328P microcontroller. Met een Arduino is het mogelijk om analoge en digitale signalen van bijvoorbeeld sensoren te verwerken en analyseren. Ook is het mogelijk om andere modules aan te sturen zoals lampen en motoren.

Voor meer informatie over deze formule, ga naar http://www.arduino.cc/.

4. Curve Fitting: Het proces waarmee geprobeerd wordt om een wiskundige formule te creĂŤren die overeen komt met een reeks gegevens. Vaak wordt dit gebruikt om een gladde grafiek te maken van een groep data in op deze manier de ruis eruit te filteren. Dit hebben we grotendeels automatisch gedaan met de ingebouwde functie in Microsoft ExcelÂŽ.

36

Bronnen en gebruikte hulpmiddelen Bronnen     

Timmermans, R.J. Het leegschenken van een drinkpak, NVOX mei 2002 http://nl.wikipedia.org/wiki/Wortelformule http://www.vishay.com/docs/57065/533534.pdf http://www.arduino.cc/ Afbeelding titelpagina: http://www.hiregun.co/wp-content/uploads/2013/09/brandonhill-beardformula.jpg

Hulpmiddelen    

Microsoft Office 2013® PLX-DAQ (http://www.parallax.com/downloads/plx-daq) Arduino IDE (http://arduino.cc/en/Main/Software) Sketchup (http://www.sketchup.com/)

37

Nawoord Nu we terugkijken op ons profielwerkstuk zijn we erg tevreden over het resultaat van dit profielwerkstuk.

Ondanks het stroeve begin hebben we een goed profielwerkstuk op tafel gekregen. Het feit dat we in het begin te weinig deden voor ons profielwerkstuk heeft ertoe geleid dat we het in de latere fasen drukker hadden. Gelukkig werden we op tijd wakker geschud door onze begeleider zodat we genoeg tijd hadden om ons profielwerkstuk toch nog af te krijgen. Hopelijk gebruiken we deze les in de toekomst en zullen we dan zelf zo slim zijn om het werk goed over de tijd te verdelen.

Uiteraard hebben we veel geleerd naar aanleiding van dit profielwerkstuk. Dit was de eerste keer dat we een groot werkstuk moesten maken en we hebben geleerd welke aspecten hierbij belangrijk zijn. We hebben ook geleerd dat de theorie niet altijd overeen komt met de werkelijkheid. Hiermee moesten we rekening houden bij het maken van dit profielwerkstuk.

Bepaalde zaken bij het maken van dit profielwerkstuk hadden we zelf onderschat. Hierbij gaat het onder andere om de complexiteit van de formules die we opgesteld hebben. Er heeft veel moeite in gezeten om de formules kloppend te krijgen. Daarnaast heeft er veel tijd in gezeten om te onderzoeken hoe het apparaat precies gebouwd moest worden. We hebben beide geen ervaring met dit soort projecten.

Wietse heeft een klein beetje ervaring in programmeren, maar dit was lang niet genoeg om zelf een apparaat te bouwen dat wordt aangestuurd door een Arduino.

Uiteindelijk zijn wij zeer tevreden met dit PWS. De complexiteit van de berekeningen en de benodigde research hebben ertoe geleid dat we tevreden kunnen zijn met het resultaat.

38

Bijlagen In de volgende paginaâ&#x20AC;&#x2122;s zijn de bijlagen te zien die bij dit profielwerkstuk horen in de volgende volgorde: 1.

2.

3.

4.

De 5 metingen met een melkpak met vierkante bodem De 5 metingen met een pak met driehoekvormige bodem en de punt omlaag De 5 metingen met een pak met driehoekvormige bodem en de punt omhoog De code voor de Arduino om zelfstandig drinken in te schenken

39

Bijlage 1 – Meetresultaten melkpak met vierkante bodem

Bijlage 1 – Meetresultaten melkpak met vierkante bodem Meting 1

Hoek in graden

Hoek-tijd diagram Melkpak Meting 1 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Hoek Praktijk Hoek Theorie (C=9,3cm³/s) Hoek Praktijk benaderd

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

Tijd in seconden

Hoeksnelheid in graden/seconde

Hoeksnelheid-tijd diagram Melkpak Meting 1 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0

Hoeksnelheid Praktijk benaderd Hoeksnelheid Theorie (C=9,3cm³/s)

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

Tijd in seconden

Hoekversnelling-tijd diagram Melkpak Meting 1 Hoekversnelling in graden/seconde²

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

0,10 0,00 -0,10 Hoekversnelling Praktijk benaderd

-0,20 -0,30

Hoekversnelling Theorie (C=9,3cm³/s)

-0,40 -0,50 -0,60

Tijd in seconden

Bijlage 1 – Meetresultaten melkpak met vierkante bodem

Bijlage 1 – Meetresultaten melkpak met vierkante bodem

Meting 2

Hoek in graden

Hoek-tijd diagram Melkpak Meting 2 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Hoek Praktijk Hoek Theorie (C=10,4cm³/s) Hoek Praktijk benaderd

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

Tijd in seconden

Hoeksnelheid in graden/seconde

Hoeksnelheid-tijd diagram Melkpak Meting 2 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0

Hoeksnelheid Praktijk benaderd Hoeksnelheid Theorie (C=10,4cm³/s)

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

Tijd in seconden

Hoekversnelling-tijd diagram Melkpak Meting 2 Hoekversnelling in graden/seconde²

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

0,10 0,00 -0,10 Hoekversnelling Praktijk benaderd

-0,20 -0,30

Hoekversnelling Theorie (C=10,4cm³/s)

-0,40 -0,50 -0,60

Tijd in seconden

Bijlage 1 – Meetresultaten melkpak met vierkante bodem

Bijlage 1 – Meetresultaten melkpak met vierkante bodem

Meting 3

Hoek in graden

Hoek-tijd diagram Melkpak Meting 3 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Hoek Praktijk Hoek Theorie (C=12,3cm³/s) Hoek Praktijk benaderd

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

Tijd in seconden

Hoeksnelheid in graden/seconde

Hoeksnelheid-tijd diagram Melkpak Meting 3 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0

Hoeksnelheid Praktijk benaderd Hoeksnelheid Theorie (C=12,3cm³/s)

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

Tijd in seconden

Hoekversnelling-tijd diagram Melkpak Meting 3 Hoekversnelling in graden/seconde²

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

0,10 0,00 -0,10 Hoekversnelling Praktijk benaderd

-0,20 -0,30

Hoekversnelling Theorie (C=12,3cm³/s)

-0,40 -0,50 -0,60

Tijd in seconden

Bijlage 1 – Meetresultaten melkpak met vierkante bodem

Bijlage 1 – Meetresultaten melkpak met vierkante bodem

Meting 4

Hoek in graden

Hoek-tijd diagram Melkpak Meting 4 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Hoek Praktijk Hoek Theorie (C=10,3cm³/s) Hoek Praktijk benaderd

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

Tijd in seconden

Hoeksnelheid in graden/seconde

Hoeksnelheid-tijd diagram Melkpak Meting 4 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0

Hoeksnelheid Praktijk benaderd Hoeksnelheid Theorie (C=10,3cm³/s)

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

Tijd in seconden

Hoekversnelling-tijd diagram Melkpak Meting 4 Hoekversnelling in graden/seconde²

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

0,10 0,00 -0,10 Hoekversnelling Praktijk benaderd

-0,20 -0,30

Hoekversnelling Theorie (C=10,3cm³/s)

-0,40 -0,50 -0,60

Tijd in seconden

Bijlage 1 – Meetresultaten melkpak met vierkante bodem

Bijlage 1 – Meetresultaten melkpak met vierkante bodem

Meting 5

Hoek in graden

Hoek-tijd diagram Melkpak Meting 5 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Hoek Praktijk Hoek Theorie (C=10,2cm³/s) Hoek Praktijk benaderd

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

Tijd in seconden

Hoeksnelheid in graden/seconde

Hoeksnelheid-tijd diagram Melkpak Meting 5 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0

Hoeksnelheid Praktijk benaderd Hoeksnelheid Theorie (C=10,2cm³/s)

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

Tijd in seconden

Hoekversnelling-tijd diagram Melkpak Meting 5 Hoekversnelling in graden/seconde²

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

0,10 0,00 -0,10 Hoekversnelling Praktijk benaderd

-0,20 -0,30

Hoekversnelling Theorie (C=10,2cm³/s)

-0,40 -0,50 -0,60

Tijd in seconden

Bijlage 1 – Meetresultaten melkpak met vierkante bodem

Bijlage 2 – Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omlaag

Bijlage 2 – Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omlaag Meting 1

Hoek in graden

Hoek-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 1 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Hoek praktijk Hoek Theorie Hoek praktijk benaderd

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

Tijd in seconden

Hoeksnelheid in graden/seconde

Hoeksnelheid-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 1 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0

Hoeksnelheid Praktijk benaderd Hoeksnelheid Theorie

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

Tijd in seconden

Hoekversnelling-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 1 Hoekversnelling in graden/seconde²

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

0,10 0,00 -0,10 -0,20

Hoekversnelling Praktijk benaderd

-0,30

Hoekversnelling Theorie

-0,40 -0,50 -0,60

Tijd in seconden

Bijlage 2 – Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omlaag

Bijlage 2 â&#x20AC;&#x201C; Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omlaag

Meting 2

Hoek in graden

Hoek-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 2 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Hoek praktijk Hoek Theorie Hoek praktijk benaderd

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

Tijd in seconden

Hoeksnelheid in graden/seconde

Hoeksnelheid-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 2 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0

Hoeksnelheid Praktijk benaderd Hoeksnelheid Theorie

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

Tijd in seconden

Hoekversnelling-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 2 Hoekversnelling in graden/seconde²

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

0,10 0,00 -0,10 -0,20

Hoekversnelling Praktijk benaderd

-0,30

Hoekversnelling Theorie

-0,40 -0,50 -0,60

Tijd in seconden

Bijlage 2 â&#x20AC;&#x201C; Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omlaag

Bijlage 2 â&#x20AC;&#x201C; Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omlaag

Meting 3

Hoek in graden

Hoek-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 3 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Hoek praktijk Hoek Theorie Hoek praktijk benaderd

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0 100,0

Tijd in seconden

Hoeksnelheid in graden/seconde

Hoeksnelheid-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 3 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0

Hoeksnelheid Praktijk benaderd Hoeksnelheid Theorie

0,0

10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0

Tijd in seconden

Hoekversnelling-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 3 Hoekversnelling in graden/seconde²

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0 0,10 0,00 -0,10 -0,20

Hoekversnelling Praktijk benaderd

-0,30

Hoekversnelling Theorie

-0,40 -0,50 -0,60

Tijd in seconden

Bijlage 2 â&#x20AC;&#x201C; Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omlaag

Bijlage 2 â&#x20AC;&#x201C; Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omlaag

Meting 4

Hoek in graden

Hoek-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 4 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Hoek praktijk Hoek Theorie Hoek praktijk benaderd

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0100,0110,0120,0130,0140,0

Tijd in seconden

Hoeksnelheid in graden/seconde

Hoeksnelheid-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 4 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0

Hoeksnelheid Praktijk benaderd Hoeksnelheid Theorie

0,0 10,020,030,040,050,060,070,080,090,0100,0110,0120,0130,0140,0

Tijd in seconden

Hoekversnelling-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 4 Hoekversnelling in graden/seconde²

0,0 10,020,030,040,050,060,070,080,090,0100,0 110,0 120,0 130,0 140,0 0,10 0,00 -0,10 -0,20

Hoekversnelling Praktijk benaderd

-0,30

Hoekversnelling Theorie

-0,40 -0,50 -0,60

Tijd in seconden

Bijlage 2 â&#x20AC;&#x201C; Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omlaag

Bijlage 2 â&#x20AC;&#x201C; Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omlaag

Meting 5

Hoek in graden

Hoek-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 5 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Hoek praktijk Hoek Theorie Hoek praktijk benaderd

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

Tijd in seconden

Hoeksnelheid in graden/seconde

Hoeksnelheid-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 5 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0

Hoeksnelheid Praktijk benaderd Hoeksnelheid Theorie

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

Tijd in seconden

Hoekversnelling-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 5 Hoekversnelling in graden/seconde²

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

0,10 0,00 -0,10 -0,20

Hoekversnelling Praktijk benaderd

-0,30

Hoekversnelling Theorie

-0,40 -0,50 -0,60

Tijd in seconden

Bijlage 2 â&#x20AC;&#x201C; Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omlaag

Bijlage 3 – Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omhoog

Bijlage 3 – Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omhoog Meting 1

Hoek in graden

Hoek-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 1 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Hoek Praktijk Hoek Theorie Hoek praktijk benaderd

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

Tijd in seconden

Hoeksnelheid in graden/seconde

Hoeksnelheid-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 1 20,0 18,0 16,0 14,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0

Hoeksnelheid Praktijk benaderd Hoeksnelheid Theorie

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

Tijd in seconden

Hoekversnelling-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 1 Hoekversnelling in graden/seconde²

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

0,00 -0,50 -1,00

Hoekversnelling Praktijk benaderd Hoekversnelling Theorie

-1,50 -2,00 -2,50

Tijd in seconden

Bijlage 3 – Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omhoog

Bijlage 3 â&#x20AC;&#x201C; Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omhoog

Meting 2

Hoek in graden

Hoek-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 2 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Hoek graden 2 Hoek Theorie Hoek praktijk benaderd

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0 110,0 120,0

Tijd in seconden

Hoeksnelheid in graden/seconde

Hoeksnelheid-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 2 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0

Hoeksnelheid Praktijk benaderd Hoeksnelheid Theorie

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0100,0110,0120,0

Tijd in seconden

Hoekversnelling-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 2 Hoekversnelling in graden/seconde²

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0100,0110,0120,0 0,10 0,00 -0,10 -0,20

Hoekversnelling Praktijk benaderd

-0,30

Hoekversnelling Theorie

-0,40 -0,50 -0,60

Tijd in seconden

Bijlage 3 â&#x20AC;&#x201C; Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omhoog

Bijlage 3 â&#x20AC;&#x201C; Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omhoog

Meting 3

Hoek in graden

Hoek-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 3 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Hoek graden 3 Hoek Theorie Hoek praktijk benaderd

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

Tijd in seconden

Hoeksnelheid in graden/seconde

Hoeksnelheid-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 3 14,0 12,0 10,0 8,0 6,0

Hoeksnelheid Praktijk benaderd

4,0

Hoeksnelheid Theorie

2,0 0,0 0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

Tijd in seconden

Hoekversnelling-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 3 Hoekversnelling in graden/seconde²

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

0,00 -0,20 -0,40 -0,60

Hoekversnelling Praktijk benaderd

-0,80

Hoekversnelling Theorie

-1,00 -1,20 -1,40 -1,60

Tijd in seconden

Bijlage 3 â&#x20AC;&#x201C; Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omhoog

Bijlage 3 â&#x20AC;&#x201C; Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omhoog

Meting 4

Hoek in graden

Hoek-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 4 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Hoek graden 4 Hoek Theorie Hoek praktijk benaderd

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

Tijd in seconden

Hoeksnelheid in graden/seconde

Hoeksnelheid-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 4 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0

Hoeksnelheid Praktijk benaderd Hoeksnelheid Theorie

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

Tijd in seconden

Hoekversnelling-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 4 Hoekversnelling in graden/seconde²

0,0

10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0

0,00 -0,20 -0,40 -0,60

Hoekversnelling Praktijk benaderd

-0,80

Hoekversnelling Theorie

-1,00 -1,20 -1,40

Tijd in seconden

Bijlage 3 â&#x20AC;&#x201C; Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omhoog

Bijlage 3 â&#x20AC;&#x201C; Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omhoog

Meting 5

Hoek in graden

Hoek-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 5 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Hoek graden 5 Hoek Theorie Hoek praktijk benaderd

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

Tijd in seconden

Hoeksnelheid in graden/seconde

Hoeksnelheid-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 5 14,0 12,0 10,0 8,0 6,0

Hoeksnelheid Praktijk benaderd

4,0

Hoeksnelheid Theorie

2,0 0,0 0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

Tijd in seconden

Hoekversnelling-tijd diagram driehoekvormig pak Meting 5

Hoekversnelling in graden/seconde²

0,0 0,00 -0,20 -0,40 -0,60 -0,80 -1,00 -1,20 -1,40 -1,60 -1,80 -2,00

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

Hoekversnelling Praktijk benaderd Hoekversnelling Theorie

Tijd in seconden

Bijlage 3 â&#x20AC;&#x201C; Meetresultaten driehoekvormig pak met punt omhoog

Bijlage 4 – De Arduino code

Bijlage 4 – De Arduino code Hieronder is de (voorlopige) code te vinden waar de motor op draait. Het is voorzien van uitleg. // Potentiometer input pin int potPin = A3; // Knoppen input pins int pauzeBtnPin = 8; // int stopBtnPin = 10; // int forwBtnPin = 12; // int backBtnPin = 13; // // Motor output int motorENAPin int motorIN1Pin int motorIN2Pin

Pauzeren/Voortzetten Volledig stoppen/Starten Handmatig vooruit draaien Handmatig achteruit draaien

pins = 11; // Motor Snelheid (PWM) = 4; // Motor richting L (Vooruit) = 3; // Motor richting R (Achteruit)

// Knoppen int pauzeBtnStatus = 0; int stopBtnStatus = 0; int forwBtnStatus = 0; int backBtnStatus = 0; // Belangrijke constanten int tijdInterval = 100; // Interval tussen metingen naar pc sturen double totTijd = 183.6; // Totale tijd tot het pak leeg is int potCalibratie = 7734; // Calibratie van de potentiometer int formule = 0; // Gebruikte formules (0=theorie, 1=praktijk) // Proces variabelen boolean nuBezig = true; // Is positief als het apparaat bezig is met inschenken boolean knopBezig = false; // Is positief als er een actie word uitgevoerd (Pauze, Stop, Handmatig draaien) int potNulpunt = 0; // Calibratie: nulpunt van de potentiometer long tijd = 0; // Tijd sinds het starten van inschenken long vorigeMeting = 0; // De laatste keer dat een meting is doorgestuurd (Moet elke 100ms gebeuren) // Dynamische waarden int potWaarde = 0; // Huidige sensorwaarde int potHoek = 0; // Huidige hoek int motorSnelheid = 0; // Huidige snelheid // Deze functie wordt eenmaal uitgevoerd bij het opstarten void setup() { // Zet de AD-omzetter op 1,1 volt analogReference(INTERNAL); // Zet de pins met output op output modus pinMode(motorENAPin, OUTPUT); pinMode(motorIN1Pin, OUTPUT); pinMode(motorIN2Pin, OUTPUT); // Zet de juiste richting en snelheid digitalWrite(motorIN1Pin, HIGH); digitalWrite(motorIN2Pin, LOW); analogWrite(motorENAPin, 0); // Maak verbinding met de computer Serial.begin(9600); } // Deze functie wordt onbeperkt herhaald void loop() { if(!knopBezig) { controleerKnoppen();

Bijlage 4 – De Arduino code

Bijlage 4 â&#x20AC;&#x201C; De Arduino code } // Doe een paar metingen voordat de echte metingen beginnen ter calibratie if(tijd == 0 && nuBezig) { int i=0; while(i < 6) { analogRead(potPin); delay(200); i++; } potNulpunt = analogRead(potPin); } // Lees de waarden van de potentiometer potWaarde = analogRead(potPin); potHoek = calcPotHoek(potWaarde); // Stop proces direct als de hoek groter dan 90 graden is if((tijd/1000.0 >= totTijd || potHoek > 90) && !knopBezig) { stopProces(); } if((millis() - vorigeMeting) > tijdInterval) { if(nuBezig) { // Zet de motor op de juiste snelheid motorSnelheid = berekenSnelheid(); analogWrite(motorENAPin, motorSnelheid); } vorigeMeting = millis(); // Stuur de gemeten hoek elke 100ms naar de pc Serial.print("Hoek:"); Serial.print(potWaarde); Serial.print(",Toerental:"); Serial.println(motorSnelheid); tijd += tijdInterval; } delay(1); } void controleerKnoppen() { if(nuBezig) { // De machine is bezig met inschenken pauzeBtnStatus = digitalRead(pauzeBtnPin); if(pauzeBtnStatus == HIGH) { // Het inschenken wordt gepauzeerd nuBezig = false; delay(400); // Wacht even zodat deze handeling niet meerdere keren wordt uitgevoerd als het knopje wat langer wordt ingedrukt return; } // Het inschenken wordt stopgezet stopBtnStatus = digitalRead(stopBtnPin); if(stopBtnStatus == HIGH) { // Het pak wordt terug gedraaid stopProces(); } } else { // De machine is NIET bezig met inschenken pauzeBtnStatus = digitalRead(pauzeBtnPin); stopBtnStatus = digitalRead(stopBtnPin); if(pauzeBtnStatus == HIGH || stopBtnStatus == HIGH) { // Het inschenken wordt gestart

Bijlage 4 â&#x20AC;&#x201C; De Arduino code

Bijlage 4 â&#x20AC;&#x201C; De Arduino code nuBezig = true; delay(400); return; } forwBtnStatus = digitalRead(forwBtnPin); if(forwBtnStatus == HIGH) { // Het pak wordt handmatig naar VOREN gedraaid analogWrite(motorENAPin, 80); knopBezig = true; while(forwBtnStatus == HIGH) { loop(); } knopBezig = false; analogWrite(motorENAPin, 0); return; } backBtnStatus = digitalRead(backBtnPin); if(backBtnStatus == HIGH) { // Het pak wordt handmatig ACHTERUIT gedraaid // De richting wordt omgedraaid digitalWrite(motorIN1Pin, LOW); digitalWrite(motorIN2Pin, HIGH); analogWrite(motorENAPin, 80); knopBezig = true; while(backBtnStatus == HIGH) { loop(); } knopBezig = false; analogWrite(motorENAPin, 0); // De richting wordt weer goed gezet digitalWrite(motorIN1Pin, HIGH); digitalWrite(motorIN2Pin, LOW); return; } } } void stopProces() { nuBezig = false; // Laat de motor in tegengestelde richting terug draaien digitalWrite(motorIN1Pin, LOW); digitalWrite(motorIN2Pin, HIGH); analogWrite(motorENAPin, 80); // Reset de tijd tijd = 0; knopBezig = true; while(true) { if(potHoek < 2) { break; } loop(); } knopBezig = false; // Het pak is terug digitalWrite(motorIN1Pin, HIGH); digitalWrite(motorIN2Pin, LOW); } int calcPotHoek(int pot) { return (pot-0); } int berekenSnelheid() { double v = 0; double t = tijd/1000.0; // Zet tijd van miliseconden naar seconden

Bijlage 4 â&#x20AC;&#x201C; De Arduino code

Bijlage 4 â&#x20AC;&#x201C; De Arduino code double bodemTijd = totTijd/2.0; switch(formule) { case 0 : // Theorie if(t < bodemTijd) { v = (79605507.1940018*cos(0.236456142199917atan(t*0.03550019462826)))/((53021.1218836565+66.820601533904*pow(t, 2.0)*sqrt(3543.08908298959*sin(0.236456142199917atan(8.17438692098093*t/230.263157894737))+3544.5))); } else { v = ((844533201.218978*cos(0.236456142199917-atan(2442.85714285714/(15008.17438692098093*t))))/((8217551.02040816-24523.1607629428*t+66.820601533904*pow(t, 2.0))*sqrt(3543.08908298959*sin(0.236456142199917-atan(2442.85714285714/(15008.17438692098093*t)))+3544.5))); } break; case 1 : // Praktijk if(t < bodemTijd) { v = ((11219.7801378577*cos(0.2364561421999170.26529*log(t+0.9)))/((t+0.9)*sqrt(3543.08908298959*sin(0.2364561421999170.26529*log(t+0.9))+3544.5))); } else { v = ((147.628775061308*sin(0.690452-0.00349066*t))/(sqrt(3543.08908298959*cos(0.690452-0.00349066*t)+3544.2635438578))); } break; } int f = map(v, 0, 80, 50, 500); // De snelheid in rotaties per minuut wordt omgezet naar een digitaal signaal tussen 0 en 255 en wordt teruggestuurd f = constrain(f, 0, 255); return 255; }

Bijlage 4 â&#x20AC;&#x201C; De Arduino code