Partícula cuántica en una caja de potencial (programa Software en MATLAB)

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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD TECNOLÓGICA

INGENIERÍA ELÉCTRICA POR CICLOS PROPEDÉUTICOS

FÍSICA 3

UNA PARTICULA EN UNA CAJA

NOMBRE: JULIO ERNESTO CASTRO RICO CÓDIGO: 20192372005 DOCENTE: GLADYS ABDEL RAHIM GARZÓN

BOGOTÁ, COLOMBIA

Objetivos •

Determinar las funciones de onda y la funciĂłn de probabilidad de una partĂ­cula en una caja tanto en estado base como en los estados excitados.

Marco teĂłrico Barrera de potencial de paredes infinitas En una caja con paredes rĂ­gidas hacia los lados se establece que hay un potencial nulo, pero dentro de esta si existe un potencial, donde se dice que hay una posibilidad de que una partĂ­cula viajera libre pueda pasar dentro del pozo y quedar atrapada. Para determinar el potencial, se establece la ecuaciĂłn Schrodinger para las zonas donde no hay potencial. đ?‘‘2 đ?œ“đ??ź (đ?‘Ľ) 2đ?‘šđ??¸ + ( 2 ) đ?œ“đ??ź (đ?‘Ľ) = 0 2 đ?‘‘đ?‘Ľ â„? El vector de onda estĂĄ dado por: đ?‘˜2 =

2đ?‘šđ??¸ â„?2

Simplificando la ecuaciĂłn đ?‘‘2 đ?œ“đ??ź (đ?‘Ľ) + đ?‘˜ 2 đ?œ“đ??ź (đ?‘Ľ) = 0 đ?‘‘đ?‘Ľ 2 La partĂ­cula no puede existir afuera de la caja dado que las paredes son infinitamente altas, lo cual se deben cumplir unas condiciones en la frontera donde para estar confinada debe estar entre 0<x<L y que đ?œ“(0) = đ?œ“(đ??ż) = 0. La funciĂłn de onda que cumple las condiciones es đ?œ“đ??ź (đ?‘Ľ) = đ??´đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?‘˜đ?‘Ľ) Para que se cumpla đ?œ“(đ??ż) = 0 se debe hacer đ?‘˜đ??ż =

√2đ?‘šđ??¸ đ??ż = đ?‘›đ?œ‹ â„?2

Despejando la energĂ­a (E) de la ecuaciĂłn anterior se obtiene el siguiente resultado. 2đ?‘šđ??¸ 2 đ??ż = (đ?‘›đ?œ‹)2 â„?2 đ??¸=(

â„?2 ) đ?‘›2 8đ?‘šđ??ż2

Para determinar A, la funciĂłn de onda se normaliza đ?‘›đ?œ‹ đ?œ“đ??ź (đ?‘Ľ) = đ??´đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( đ?‘Ľ) đ??ż âˆŤ |đ?œ“đ??ź |2 đ?‘‘đ?‘Ľ = 1 đ?‘›đ?œ‹ âˆŤ |đ??´đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( đ?‘Ľ) |2 đ?‘‘đ?‘Ľ = 1 đ??ż đ?‘›đ?œ‹ âˆŤ đ??´2 đ?‘ đ?‘’đ?‘›2 ( đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = 1 đ??ż Usando la identidad trigonomĂŠtrica 1 đ?‘ đ?‘’đ?‘›2 đ?‘Ľ = (1 − cosâ Ą(2đ?‘Ľ)) 2 Remplazando en la integral đ??´2 đ??ż đ?‘›đ?œ‹ âˆŤ [1 − đ?‘?đ?‘œđ?‘ [2 ( đ?‘Ľ)]] đ?‘‘đ?‘Ľ = 1 2 0 đ??ż đ??´2 đ??ż âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ = 1 2 0 đ??´2 đ??ż=1 2 2 đ??´=√ đ??ż Obteniendo la funciĂłn de onda para la partĂ­cula libre: 2 đ?‘›đ?œ‹ đ?œ“đ??ź (đ?‘Ľ) = √ đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( đ?‘Ľ) đ??ż đ??ż

Modo de ingreso de datos. La aplicación está compuesta de una sola ventana, la cual se ingresan los valores de n,L que es la longitud de la caja, x0 que corresponde a la posición inicial y x1 que corresponderá a la posición final o de igual valor al ancho de la caja. En la parte derecha se encuentran las gráficas, la de la parte superior corresponde a la función de onda y la de la parte inferior corresponde a la de la probabilidad. En la parte de abajo se muestra la probabilidad de encontrar el electrón dentro de la caja.

Figura 1. Ventana inicial del programa.

b. GrĂĄfica de đ???(x). El ancho de la caja serĂĄ igual al valor que tome L. •

Grafica de đ???(x) en funciĂłn de x para n=1 y ancho de la caja x=1.

Figura 2. Función de onda y probabilidad para n=1 y x=1. •

Grafica de đ???(x) en funciĂłn de x para n=2 y ancho de la caja x=1

Figura 3. FunciĂłn de onda y probabilidad para n=2 y x=1.

•

Grafica de đ???(x) en funciĂłn de x para n=3 y ancho de la caja x=1

Figura 4. Función de onda y probabilidad para n=3 y x=1. •

Grafica de đ???(x) en funciĂłn de x para n=4 y ancho de la caja x=1.

Figura 5. FunciĂłn de onda y probabilidad para n=4 y x=1.

c. Grafica de đ???(x). El ancho de la caja serĂĄ igual al valor que tome L. •

Grafica de đ???(x) en funciĂłn de x para n=1 y ancho de la caja x=1.

Figura 6. Función de onda y probabilidad para n=4 y x=1. •

Grafica de đ???(x) en funciĂłn de x para n=1 y ancho de la caja x=3/4.

Figura 7. FunciĂłn de onda y probabilidad para n=1 y x=3/4.

•

Grafica de đ???(x) en funciĂłn de x para n=1 y ancho de la caja x=2/4.

Figura 8. Función de onda y probabilidad para n=1 y x=2/4. •

Grafica de đ???(x) en funciĂłn de x para n=1 y ancho de la caja x=1/4.

Figura 9. FunciĂłn de onda y probabilidad para n=1 y x=1/4.

d. Grafica de |ψ(x)|2 . El ancho de la caja será igual al valor que tome L o diferente. •

Grafica de |ψ(x)|2 en función de x para n=1 y x=1. La probabilidad según el programa es del 100%.

Figura 10. Función de onda y probabilidad para n=1 y x=1. •

Grafica de |ψ(x)|2 en función de x para n=2 y x=1. La probabilidad según el programa es del 100%.

Figura 11. Función de onda y probabilidad para n=2 y x=1.

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Grafica de |ψ(x)|2 en función de x para n=3 y x=1. La probabilidad según el programa es del 100%.

Figura 12. Función de onda y probabilidad para n=3 y x=1. •

Grafica de |ψ(x)|2 en función de x para n=4 y x=1. La probabilidad según el programa es del 100%.

Figura 13. Función de onda y probabilidad para n=4 y x=1.

•

Grafica de |ψ(x)|2 en función de x para n=2 y x=0.75. La probabilidad según el programa es del 75%.

Figura 14. Función de onda y probabilidad para n=1 y x=1. •

Grafica de |ψ(x)|2 en función de x para n=3 y x=0.5. La probabilidad según el programa es del 50%.

Figura 15. Función de onda y probabilidad para n=1 y x=1.

•

Grafica de |ψ(x)|2 en función de x para n=4 y x=0.25. La probabilidad según el programa es del 25%.

Figura 16. Función de onda y probabilidad para n=1 y x=1. •

Grafica de |ψ(x)|2 en función de x para n=4 y x=0.75. La probabilidad según el programa es del 75%.

Figura 17. Función de onda y probabilidad para n=4 y x=0.75.

•

Grafica de |ψ(x)|2 en función de x para n=3 y x=0.5. La probabilidad según el programa es del 50%.

Figura 18. Función de onda y probabilidad para n=3 y x=0.5. •

Grafica de |ψ(x)|2 en función de x para n=2 y x=0.25. La probabilidad según el programa es del 30%.

Figura 19. Función de onda y probabilidad para n=3 y x=0.25.

e. Grafica de |ψ(x)|2 . El ancho de la caja será igual al valor que tome y diferente de 1. •

Grafica de |ψ(x)|2 en función de x para n=1 y x=1. La probabilidad según el programa es del 100%.

Figura 20. Función de onda y probabilidad para n=1 y x=1. •

Grafica de |ψ(x)|2 en función de x para n=1 y x=3/4. La probabilidad según el programa es del 90%.

Figura 21. Función de onda y probabilidad para n=1 y x=3/4.

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Grafica de |ψ(x)|2 en función de x para n=1 y x=2/4. La probabilidad según el programa es del 50%.

Figura 22. Función de onda y probabilidad para n=1 y x=2/4. •

Grafica de |ψ(x)|2 en función de x para n=1 y x=1/4. La probabilidad según el programa es del 9%.

Figura 23. Función de onda y probabilidad para n=1 y x=1/4.

•

Grafica de |ψ(x)|2 en función de x para n=1, x=1 y L=0.75. La probabilidad según el programa es del 100%.

Figura 24. Función de onda y probabilidad para n=1 y x=1. •

Grafica de |ψ(x)|2 en función de x para n=1, x=1 y L=0.5. La probabilidad según el programa es del 100%.

Figura 25. Función de onda y probabilidad para n=1 y x=1.

•

Grafica de |ψ(x)|2 en función de x para n=1, x=1 y L=0.25. La probabilidad según el programa es del 100%.

Figura 26. Función de onda y probabilidad para n=1 y x=1. Conclusiones •

•

La probabilidad de encontrar el electrón está en función de la longitud de la caja donde hay una relación directamente proporcional si disminuye la longitud, la probabilidad disminuye y si aumenta la longitud la probabilidad también aumenta siempre que valga el mismo valor de x1. El número de picos que hay en la densidad de probabilidad dependerá del valor que tome n para cada caso.

Bibliografía • • •

Apuntes de física moderna de Gladys Patricia Abdel Rahim http://www.fisicacuantica.es/pozo-cuadrado-infinito/ https://library.wolfram.com/webMathematica/Physics/Quantum.jsp

Comentarios EL programa ayuda a comprender y recordar la programación en Matlab, además de observar cómo es el comportamiento de la función de onda para distintos valores del ancho y de cuál será su densidad de probabilidad.

ANEXOS PROCEDIMIENTO PARA LA OBTENCIร N DEL PROGRAMA El programa en menciรณn fue realizado en Matlab 2018 A, con la plataforma de guide. PASOS REALIZADOS. 1. La primera parte consiste en crear una ventana en guide y guรกrdala en una carpeta especifica.

Figura 27. Ventana de inicio de guide. 2. Guardando esa ventana se habilita una nueva donde se podrรก interactuar con los diferentes elementos.

Figura 28. Ventana de trabajo de guide.

3. En la parte izquierda hay una serie de opciones donde se puede seleccionar para ingresar textos fijos, graficas, cajas para ingresar datos, botones, etc. Se seleccionan varios elementos y se organizan dentro del programa.

Figura 29. Configuración de elementos en la ventana de trabajo de guide. 4. Cuando hay elementos fijos solo se les cambia el nombre en la opción de string, pero como algunos se les debe ingresar datos o hacen algún calculo se le debe asignar una variable a un elemento que se llama tag.

Figura 30. Asignación de variables a los elementos.

5. Posteriormente se le da guardar en la carpeta donde se le indico inicialmente. Luego en la ventana de los scripts de Matlab se generará un código correspondiente al guide que se guardó anteriormente.

Figura 31. Código generado por guide. 6. Para las cajas donde se ingresan datos se debe indicarle al programa esta función, la cual aplica para el valor de n, L, x0 y x1. Además, el botón calcular se le asigna que dichos valores queden guardados para ejecutar las operaciones continas.

Figura 32. Configuración de los datos de entrada. 7. Luego de que se guarden los valores, se configura la gráfica de la función de onda y de probabilidad con sus respectivos ejes. Además, se configura para que rellene la parte de la probabilidad.

Figura 33. Configuración de la gráfica de la función de onda y de densidad de probabilidad.

Figura 34. Configuración de la gráfica de la función de onda y de densidad de probabilidad. 8. Posteriormente se configura el cálculo de la probabilidad, realizando la integral que ya está guardada y solamente se da la indicación de los límites con los valores de x0 y x1. Se debe hacer una configuración del tipo de salida para que no genere algún error de salida.

Figura 35. Configuración del cálculo de la función de probabilidad. 9. Por último, se guarda y se comprueba su funcionamiento. Como ejemplo se toma que el valor de n es igual a 1 y x1 es igual a 1 así como L. Se obtiene las gráficas y la probabilidad de que el electrón esté en la caja es del 40.7%.

Figura 36. Esquema general del programa.

Comparando con el simulador de wรณlfram se comprueba que los datos y las grรกficas son correctas.

Figura 37. Simulaciรณn obtenida de wรณlfram.

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