FUNCIONES DE ONDA DE MATERIA DE DE BROGLIE

Universidad Distrital Francisco José de Caldas Ingeniería Eléctrica por Ciclos Propedéuticos Nombre: Brayan Steven Osuna Contreras, Cod:20191372001

TRABAJO INDIVIDUAL FUNCIONES DE ONDA DE MATERIA DE DE BROGLIE 1. La función de onda de un electrón dentro de una caja está dada por 2  2  * sin  * x L  L 

 (x) =

Donde x se mide en mm. Determine la probabilidad de hallar la partícula en las siguientes regiones.

Para encontrar la probabilidad se deberá calcular la siguiente integral xf

Pr =

  (x)

2

dx

xi

Literal: A. x = 0

y

x = L/4

Reemplazando los límites de integración y la función de onda en la ecuación de probabilidad. xf =

xf

Pr =

  (x)

xi

2

dx =



L 4

xi = 0

L

2

2  2  * sin  * x  dx L  L 

→

2 4  2  Pr = *  sin 2  * x  dx L 0  L 

Mediante la identidad trigonométrica sin 2 ( ax ) =

Pr =

1 ( 1 − cos ( 2 ax ) ) , Reemplazando 2

L 4

2 1  4  *   1 − cos  * x   dx L 0 2  L 

=

L  L4  4 1  4   dx −  cos  * x  dx  L  0  L   0  

L /4      4   4 L   4   sin  * x sin  *  sin  * 0      1 L /4  L   L 4−  L    = 1  L − 0 −  Pr =  x 0 −     4  4  4  L L  4         L L L    0  

     sin  1  L    Pr =  − L  4      

4 L   *   L 4    1   L   L * sin ( )   1  L  =  −   =   4   L   4   4  L  4    L 

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→ Pr =

1 = 0, 25 → Pr = 25% 4

Se encontró que para este intervalo existe un 25% de probabilidad de encontrar la partícula entre x=0 y x=L/4.

Literal: B. x = 0

y

x = L/2

Reemplazando los límites de integración y la función de onda en la ecuación de probabilidad. xf =

xf

Pr =

  (x)

2



dx =

L 2

xi = 0

xi

L

2

2  2  * sin  * x  dx L L  

→

2 2  2  Pr = *  sin 2  * x  dx L 0 L  

Mediante la identidad trigonométrica sin 2 ( ax ) =

1 ( 1 − cos ( 2 ax ) ) , Reemplazando 2

L

2 2 1  4  Pr = *   1 − cos  * x   dx L 0 2  L 

=

L L  2 12  4   dx −  cos  * x  dx  L  0  L   0  

L /2      4   4 L   4   sin  * x sin  *  sin  * 0      1 L /2  L   L 2−  L    = 1  L − 0 −  Pr =  x 0 −    L  2 4 4 4 L         L L L    0  

     sin  1 L  Pr =    −  L  2       → Pr =

4 L   *   L 2    1   L   L * sin ( 2 )   1  L  =  −   =   4   L   2   4  L  2    L 

1 = 0, 50 → Pr = 50% 2

Se encontró que para este intervalo existe un 50% de probabilidad de encontrar la partícula entre x=0 y x=L/2.

Literal: C. x = 0

y

x = 3L/2

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Reemplazando los límites de integración y la función de onda en la ecuación de probabilidad. xf =

xf

Pr =

  (x)

2

dx =

3L 2



xi = 0

xi

2

2  2  * sin  * x  dx L  L 

→

Pr =

2 * L

3L 2

 sin 0

2

 2  * x  dx   L 

Mediante la identidad trigonométrica sin 2 ( ax ) =

2 Pr = * L

3L 2

 0

1 ( 1 − cos ( 2 ax ) ) , Reemplazando 2

1  4  * x   dx  1 − cos  2  L 

=

3L  3L  2 1 2  4   dx −  cos  * x  dx  L  0  L   0  

3 L /2      4   4 3L   4   sin  * x sin  * sin  * 0       1 3 L /2 2   L   L  L    = 1   3L − 0  −  Pr =  x 0 − −   L   2 4 4  4  L         L L L    0  

   4 3L *   sin  1   3L   L 2  Pr =  − 4   L  2    L   → Pr =

     1  3L    L * sin ( 6 )   1  3 L    =    −    =    L  2   4  L  2   

3 = 1, 50 → Pr = 150% 2

Se encontró que para este intervalo existe un 150% de probabilidad de encontrar la partícula entre x=0 y x=3L/2, analizando este resultado, obtenemos esta probabilidad ya que la región 3L/2 es más grande que la región posible según la función de onda.

Literal: D. x = 0

y

x=L

Reemplazando los límites de integración y la función de onda en la ecuación de probabilidad. xf

Pr =



xi

 ( x ) dx = 2

x f =L



xi = 0

2

2  2  * sin  * x  dx L L  

Mediante la identidad trigonométrica

→

Pr =

2  2  * sin 2  * x  dx L 0 L   L

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sin 2 ( ax ) =

1 ( 1 − cos ( 2 ax ) ) , Reemplazando 2

2 1  4  Pr = *   1 − cos  * x   dx L 0 2  L  L

L L 1  4   * x  dx    dx −  cos  L0  L   0

=

L     4    4   4   sin  * x  sin  * L  sin  * 0     1 L  L  = 1 L−0 −  L −  L   Pr =  x 0 − ( )   4 4 4 L L        L L L    0  

   4   sin  * L     1  L    = 1  L −  L * sin ( 4 )   = 1 L Pr =  L −  ( )     4 L 4    L    L    L   

→ Pr = 1 → Pr = 100%

Se encontró que para este intervalo existe un 100% de probabilidad de encontrar la partícula entre x=0 y x=L, lo que nos indica que esta es la región donde únicamente se podrá encontrar esta partícula según su función de onda.

Literal: E. x = 0,24L

y

x = 0,26L

Reemplazando los límites de integración y la función de onda en la ecuación de probabilidad. xf

Pr =



 ( x ) dx = 2

x f = 0,26 L



xi = 0,24 L

xi

2

2  2  * sin  * x  dx L  L 

→

Pr =

2  2  *  sin 2  * x  dx L 0,24 L  L  0,26 L

Mediante la identidad trigonométrica sin 2 ( ax ) =

Pr =

1 ( 1 − cos ( 2 ax ) ) , Reemplazando 2

2 1  4  *   1 − cos  * x   dx L 0 ,24 L 2   L  0 ,26 L

=

0 ,26 L 0 ,26 L 1  4   * x  dx    dx −  cos  L  0 ,24 L  L   0 ,24 L

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0 ,26 L      4   4   4   sin  * x sin  * 0, 26 L  sin  * 0, 24 L        1 0 ,26 L  L   L −  L    = 1  ( 0, 26L − 0, 24L ) −  Pr =  x 0 ,24 L −   4 4 4 L L        L L L    0 ,24 L  

   1,04   0,96   sin  * L  sin  * L     1  L −  L    = 1  0,02 L −  L * sin ( 1,04 ) − L * sin ( 0,96 )   Pr =  0,02 L −      4 4 L 4 4    L       L L     1 1  −0,1253L 0,125L   1   −0, 2506 L   1 → Pr =  0,02 L −  −   =  0,02 L −    = ( 0,02 L + 0,019L ) = ( 0,0399 L ) L 4 4   L  4 L    L

→ Pr = 0,0399 → Pr = 3,99%

Se encontró que para este intervalo existe un 100% de probabilidad de encontrar la partícula entre x=0,24L y x=026L.

Literal: F. x = 0,124L

y

x = 0,126L

Reemplazando los límites de integración y la función de onda en la ecuación de probabilidad. xf

Pr =



 ( x ) dx = 2

x f = 0,126 L



xi = 0,124 L

xi

2

2  2  * sin  * x  dx L  L 

→

Pr =

2  2  *  sin 2  * x  dx L 0,124 L  L  0,126 L

Mediante la identidad trigonométrica sin 2 ( ax ) =

Pr =

1 ( 1 − cos ( 2 ax ) ) , Reemplazando 2

2 1  4  *  * x   dx  1 − cos  L 0 ,124 L 2   L  0 ,126 L

=

0 ,126 L 0 ,126 L 1  4   * x  dx    dx −  cos  L  0 ,124 L  L   0 ,124 L

0 ,126 L      4   4   4   sin  * x sin  * 0,126 L  sin  * 0,124 L        1 0 ,126 L  L   L −  L    = 1  ( 0,126L − 0,124 L ) −  Pr =  x 0 ,124 L −  L 4 4  4  L        L L L    0 ,124 L  

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   0, 504   0, 496   sin  * L  sin  * L     1  L −  L    = 1  0,002 L −  L * sin ( 0, 504 ) − L * sin ( 0, 496 )   Pr =  0,002 L −      4 4 L 4 4    L       L L    1  0,999L 0,999L   1 → Pr =  0,002 L −  −   = ( 0,002 L ) = 0,002 L 4   L  4

→ Pr = 0,002 → Pr = 0,2%

Se encontró que para este intervalo existe un 0,2% de probabilidad de encontrar la partícula entre x=0,124L y x=0,126L.

2. Considere la función de onda dada por:  (x) =

2    * sin  n * * x  L L  

tome n = 1, 2 y 3 y L = 1 nm para escribir las funciones ψ(x) vs. x y la densidad de probabilidad ψ(x)2 vs x. Explique.

Solución: Reemplazando en la expresión de la función de onda el valor de L=1nm tenemos:  ( x ) = 2 * sin ( n *  * x )

Graficando mediante la herramienta online DESMOS para L=1nm y n =1,2 y 3. Se obtuvieron las gráficas de función de onda y densidad de la probabilidad.

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Explique: En esta grafica podemos observar la gráfica de función de onda para cuando L=1nm, y variamos el valor de n desde uno hasta tres, observando las longitudes de onda para cada n, concluyendo que la frecuencia de la longitud de onda es proporcional a n, ya que, al aumentar al doble n, se aumenta al doble la frecuencia de la onda. Esta función de onda o su resultado lo podemos interpretar como la probabilidad de encorar la partícula en las posiciones x, como la función de onda es de forma sinusoidal tenemos valores negativos y positivos, por ello será el cuadrado de la función de onda el valor proporcional a la probabilidad de hallar la partícula en un instante t en la posición x.

3. Repita el ejercicio anterior paro ahora varié L = 0.01 nm, 0.03 nm, 0.06 nm y 0.09 nm para n = 1.

Reemplazando en la expresión de la función de onda el valor de n=1 tenemos:  (x) =

2   * sin  * x  L L 

Graficando mediante la herramienta online DESMOS para n=1 y L=0.01nm, L=0.03nm, L=0.06nm y L=0.09nm. Se obtuvieron las gráficas de función de onda y densidad de la probabilidad.

Explique: Del mismo modo del ejercicio anterior, se grafican la función de onda y la densidad de probabilidad de la misma, como para este caso L=0.01nm vemos en la grafica el incremento de la frecuencia se observa que para este caso L será el valor de medio ciclo de

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la onda, otro aspecto a resaltar es que para L=0.01nm tendremos la mayor probabilidad de encontrar la partícula, esto se debe a que el rango de distancia que recorre el electrón menor a los demás, por ende su probabilidad es más alta.