h-7-al

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

ГДЗ Алгебра 7 клас Мерзляк 2024

Вибери номер вправи: 1-50

51-100

101-150

151-200

201-250

251-300

301-350

351-400

401-450

451-500

501-550

551-600

601-650

651-700

701-750

751-800

801-850

851-900

901-950

951-1000

1001-1050

1051-1100

1101-1150

1151-1200

1201-1250

1251-1300

1301-1352

Завдання 1 Завдання 2 Завдання 3 Завдання 4 «Перевір себе» «Перевір себе» «Перевір себе» «Перевір себе» Завдання 5 Завдання 6 Завдання 7 «Перевір себе» «Перевір себе» «Перевір себе»  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

§1. АЛГЕБРАЇЧНІ ВИРАЗИ. РІВНЯННЯ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ 1. Вступ до алгебри 1. Знайдіть значення числового виразу: 1) 0,72 + 3,018 = 3,738 2) 4 - 2,8 = 1,2 3) 1,8 · 0,3 = 0,54

4) 5,4 : 6 = 0,9

5) 70 : 0,09 = 777,7

6) 9: 4 = 2,25

2. Чому дорівнює значення виразу: (1·2)+5 7 1 5 1 3 2 (3 · 9 )−(2 · 7) 27−14 13 1) + = = =1 ; 2) − = = = ; 3) 5)

3 7

16 46 75

6

·

:

7) 10 :

8

=

6 7·8

35 16·35 23 46 45 45 5

=

=

6

=

·

=

·

=

75 23 10 11

560 2·9

5

1 3

5

9

6

=

=

1

4)

;

10 18

= 22;

5

5

=

15

22

1

=1 ;

15 ·1 110

11 1 5 5 3 6 8 30−8

9) 6 - 1 = - = 3

56

2

5

7 4 9 2

9

· 18 =

6) : 4 = · = 3

3

5

4

3 1

8) 2 + 4 = 8

6

2

7 3

4

1

9

12) 1 : 5 = 5

16

3

8

8 5

+

= = 8;

= ; =

6 30 13 7

·

-

3

16

9

=

=

24

48 270−91

=

20

10

=

80

63 6

=

3

=

179 63

314 48

=2

.

=6 53

;

63

26 48

=6

2

1

12 1

21 9

4

4

72 3 12 12 21 36 3 5 27 41 41 5 27

2) (6 − 5 ∶ 1 ) · 1

4

8 5

32 1

= ∙5= =1 4

11

=�

4

−

8

∶

2

1

1

1

2

5

108 27

2

8

12 3 41 32

3

27

5

27 11

5

� ∙ 11 = � 4 − 8 ∙ 41� ∙ 11 = � 4 − 4� ∙ 11 = 4 ∙ 11 = 32 2

2

3) (-1,42 – (-3,22)) : (-0,4) + (-6) · (-0,7) = (−1,42 + 3,22): �− � + 4,2 = 1,8 ∶ �− � + 9

2

= ∶ �− � + 5

4) (−

7

18

5

+

11

21 5

) : (-

12

9 5

=− ∙ + 19

5 2 19

)=

48

21 5

5

= −9 ∙ +

19

;

24

· · = ;

15) �−1 � = �− � · �− � = = 1 .

3 3 3 9 9 4. Чому дорівнює значення виразу: 5 7 19 17 2 221 7 40 17 1 221 1 10 17 463 4 1) 18 - · 1 - · = − ∙ − ∙ = − ∙ − = = 17 12 3

13

2) - 4,8 +4,8 = 0; 4) 9,4 – (- 7,8) = 9,4 + 7,8 = 17,2; 6) 0 - 7,8 = - 7,8; 8) – 4,5 – 2,5 = -(4,5 + 2,5) = -7; 10) -1,2 · (-0,5) = 0,6; 12) -3,3 : (-11) = 0,3; 14) � � =

7

63

4 12 6 19 25 (19 ·6)+(25·8)

1 3

13) 3,2 : (-4) = –0,8; 4

=

63

8

9 ·1 1 ·1 1 2 1 2 1

10) 4 – 1 =

=4 ;

11) 8 · 1 = 8 ; 4 14 56 3. Обчисліть значення виразу: 1) 3,8 + (- 2,5) = 3,8 – 2,5 = 1,3; 3) – 1 + 0,39 = -0,61; 5) 4,2 – 5,7 = - 1,5; 7) 0 – (-2,4) = 2,4; 9) 8 · (-0,4) = -3,2; 11) -48 · 0 = 0; 1 2

63 4 ·18 4 ·2

21

9

=− +

2 5 19 48

2 1

21 5

=−

4

3

5

10

= 0,3 1

∶ �− � = − ∙ = − ∙ 4 = − = −4 36 48 36 19 3 3 3  shkola.in.ua

5

21 5

=

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

5) (-3

1

12

1

3

− 2 ) : (-5 ) = − �3 3

15

20 3

1

1

3

1

1

3

+ 2 � : �−5 � = − �(3 + 2) + � + �� : �−5 � = 12 15 20 12 15 20

3

3

= − �5 + � : �−5 � = −5 ∶ �−5 � = 1 20 20 20 20 5. Обчисліть значення числового виразу: 7 3 23 1 1 7 72 23 6 1 7 8 1 7 2 1 1) 14 − 3 ∙ − 1 ∙ = 14 − ∙ − ∙ = 14 − − = 14 − 2 − = = 12

15 23 27 5 6 7−10−3 15+7−10−3 8

15

2) �5 ∶ 1 1

9

5

17

= 11

1

+1 �∙

36 21

4 5

15 5

= 11

53

=�

21 1

9

15

∶

53 36

9

15

23 27 3

= 11 1

+1 �∙ 4

5 5

21

5 6

53 36

=�

9

∙

53

15

1

3

+1 �∙ 4

5

21

5

3

4

1

= �4 + 1 � ∙

=5 ∙ = ∙ =1 4 21 4 21 4 3) (-3,25 – 2,75) : (-0,6) + 0,8 · (-7) = -6 : (-0,6) – 5,6 = 10 – 5,6 = 4,4 3 5 5 9+10 65 19 12 91 12 7 4) �−1 − 2 � : 5 = −3 ∶ = −3 ∙ = − ∙ = − 8 12 12 24 12 24 65 24 65 10 6. Знайдіть значення виразу: 1) 2х – 3 при х = 4; 0; -3: 2·4–3=8–3=5 2 · 0 – 3 = 0 – 3 = -3 2 · (-3) – 3 = -6 – 3 = -9 1 1 2) 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 при а = -6, b = 16: 1

15

4

3

5

21

=

5

1

· (−6) + · 16 = −2 + 4 = 2 3 4 3) 3m – 5n + 3k при m = -7, n = 1,4, k = -0,1: 3 · (-7) – 5 · 1,4 + 3 · (-0,1) = -21 – 7 – 0,3 = -28,3 7. Обчисліть значення виразу: 1) 0,4у + 1 при у = -0,5; 8; -10: 0,4 · (-0,5) + 1 = -0,2 + 1 = 0,8 0,4 · 8 + 1 = 3,2 + 1 = 4,2 0,4 · (-10) + 1 = -4 + 1 = -3 2 2) 𝑐𝑐 − 0,2𝑑𝑑 при с = -28, d = 15: 2

7

· (−28) − 0,2 · 15 = −2 · 4 − 3 = −8 − 3 = −11 8. Які з даних виразів є цілими: 1) 7а + 0,3 Вираз містить доданок 0,3, який не є цілим числом. Тому цей вираз не може бути цілим числом.

1 2) 5х �у − � 3 7

1

Для того, щоб цей вираз був цілим числом, у повинно бути таким, щоб у − було цілим 1

3

числом. Це можливо лише тоді, коли у – число вигляду 𝑘𝑘 + , де k – ціле число. В такому 3 випадку вираз буде ділитися на 5. Проте загалом цей вираз не є цілим числом для довільних х і у. 𝑎𝑎+𝑏𝑏 3) 𝑐𝑐 Вираз буде цілим числом, якщо сума a + b ділиться на c без залишку. Це можливо для деяких значень a, b та c, але не завжди. Тому не можна стверджувати, що цей вираз завжди є цілим числом. 𝑎𝑎+𝑏𝑏 4) 4

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Вираз буде цілим числом, якщо сума a + b ділиться на 4 без залишку. Це можливо для деяких значень a та b, але не завжди. Тому цей вираз не завжди є цілим числом.

3𝑚𝑚 5 5) + 5

3𝑚𝑚

3𝑚𝑚

5

Цей вираз не може бути цілим числом, оскільки та не є цілими числами для 5 3𝑚𝑚 довільних значень m, крім випадків, коли m = ± 1. Навіть тоді сума не буде цілим числом.

1 6) 9𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 Вираз буде цілим числом, якщо z = ± 1 і 9x − 5y - ціле число. Загалом для довільних x, y та z цей вираз не є цілим числом. Отже, жоден із наведених виразів не є цілим числом за довільних значень змінних.

9. Користуючись термінами «сума», «різниця», «добуток», «частка», прочитайте алгебраїчні вирази та вкажіть, які з них є цілими: 1) a – (b + c) Ця сума різниці а та суми b і с. Якщо a, b і с є цілими числами, то і вираз a – (b + c) буде цілим числом. Отже, цей вираз є цілим.

2) a + bc Це сума числа а та добутку b і с. Якщо a, b і с є цілими числами, то і вираз a + bc буде цілим числом. Отже, цей вираз є цілим. 𝑦𝑦 3) 𝑥𝑥 − 𝑧𝑧

𝑦𝑦

Це різниця числа х та частки у на z. Якщо z не ділить у націло, то вираз не буде цілим 𝑧𝑧

𝑦𝑦

числом, і, отже, вираз 𝑥𝑥 − не обов’язково буде цілим числом. Тому цей вираз не завжди 𝑧𝑧 є цілим числом.

4) 2m – 10 Це різниця добутку 2m і числа 10. Якщо m є цілим число, то і вираз 2m – 10 буде цілим числом. Отже, цей вираз є цілим. 𝑎𝑎 𝑐𝑐 5) + 𝑏𝑏

𝑑𝑑

𝑎𝑎

𝑐𝑐

𝑎𝑎

𝑐𝑐

Це сума часток та . Якщо b і d не ділять відповідно а і с націло, то вираз + не буде 𝑏𝑏 𝑑𝑑 𝑏𝑏 𝑑𝑑 цілим числом. Тому цей вираз не завжди є цілим числом.

6) (a + b) c Це добуток суми (a + b) та числа с. Якщо а, b і с є цілими числами, то і вираз (a + b) c буде цілим числом. Отже, цей вираз є цілим.

7) ac + bc Це сума двох добутків ас та bc. Якщо a, b і с є цілими числами, то і вираз ac + bc буде цілим числом. Отже, цей вираз є цілим. 𝑎𝑎 8) 𝑏𝑏+4

𝑎𝑎

Це частка а на b + 4. Якщо b + 4 не ділить а націло, то вираз не буде цілим числом. 𝑏𝑏+4 Тому цей вираз не завжди є цілим числом.

9) (a – b)(c + d) Це добуток різниця a – b та суми c + d. Якщо a, b, c і d є цілими числами, то і вираз (a – b)(c + d) буде цілим числом. Отже, цей вираз є цілим.

10. Запишіть у вигляді виразу: 1) число, протилежне числу а: -а 2) число, обернене до числа а:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 1 а

3) суму чисел х і у: х+у 4) число, обернене до суми чисел х і у: 1

х+у

5) суму чисел, обернених до чисел х і у: 1 1 + х

у

6) суму числа а та його квадрата: а + а² 7) частку від ділення числа а на число, протилежне числу b: 𝑎𝑎

−𝑏𝑏

8) добуток суми чисел а і b та числа, оберненого до числа с: 1 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) ∙ 𝑐𝑐 9) різницю добутку чисел m і n та частки чисел p і q: 𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑞𝑞

11. Олівець коштує х грн, а зошит – у грн. Запишіть у вигляді виразу зі змінними: 1) скільки коштують 5 олівців і 7 зошитів: 5х + 7у 2) на скільки більше треба заплатити за а зошитів, ніж за b олівців: ау - bx 12. Робітниці видали заробітну плату однією купюрою номіналом 1000 грн, а купюрами номіналом 500 грн і b купюрами по 100 грн. Запишіть у вигляді виразу зі змінними, яку суму грошей отримала робітниця.

1000 + 500а + 100b 13. Складіть числовий вираз і знайдіть його значення: 1) добуток суми чисел -12 і 8 та числа 0,5: (-12 + 8) · 0,5 = -4 · 0,5 = -2 2) сума добутку чисел -12 і 8 та числа 0,5: (-12 · 8) + 0,5 = -96 + 0,5 = -95,5 3) частка суми й різниці чисел -1,6 і -1,2: −1,6+(−1,2) −2,8 = =7 −1,6−(−1,2)

−0,4

4) квадрат суми чисел -10 і 6: (-10 + 6)² = (-4)² = 16 5) сума квадратів чисел -10 і 6: (-10)² + 6² = 100 + 36 = 136 14. Складіть числовий вираз і знайдіть його значення: 4 5 14 1) частка від ділення суми чисел і − на число − : 4 5 ( +�− � 9 6 14 − 27

=

−7 18 14 − 27

=

−7 18

∙

27

−14

=

−7∙27

18∙(−14)

9

=

6

−189

−252

=

189

252

2) різниця добутку чисел -1,5 і 4 та числа 2: (-1,5 · 4) – 2 = -6 – 2 = -8 3) добуток суми та різниці чисел -1,9 і 0,9: (-1,9 + 0,9) · (-1,9 – 0,9) = -1 · (-2,8) = 2,8 4) куб різниці чисел 6 і 8:

=

21 28

 shkola.in.ua

27

=

3 4

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

(6 – 8)³ = (-2)³ = -8 15. Із двох міст, відстань між якими дорівнює 300 км, вирушили одночасно назустріч один одному два автомобілі зі швидкостями m км/год і n км/год. Запишіть у вигляді виразу зі змінними, через скільки годин після початку руху вони зустрінуться.

1) (m + n) (км) – проїдуть обидва автомобілі за 1 год.

2) 300 : (m + n) (год) – вони проїдуть відстань 300 км. Відповідь: 300 : (m + n) годин.

16. Із двох селищ, відстань між якими дорівнює s км, одночасно в одному напрямку вирушили пішохід і велосипедистка. Пішохід іде попереду зі швидкістю а км/год, а велосипедистка їде зі швидкістю b км/год. Запишіть у вигляді виразу зі змінними, через скільки годин після початку руху велосипедистка наздожене пішохода. Обчисліть значення отриманого виразу при а = 4, b = 12, s = 12.

1) (b – a) (км) – на стільки за 1 год велосипедистка наблизиться до пішохода.

2) s : (b – a) (год) – велосипедистка наздожене пішохода.

3) 12 : (12 – 4) = 12 : 8 = 1,5 (год) Відповідь: s : (b – a) годин; 1,5 годин.

17. Запишіть у вигляді виразу: 1) потроєний добуток різниці чисел а і b та їхньої суми: 3(a – b)(a + b) 2) суму трьох послідовних натуральних чисел, менше з яких дорівнює n: n + (n + 1) + (n + 2) 3) добуток трьох послідовних парних натуральних чисел, більше з яких дорівнює 2k: (2k – 4)(2k – 2) · 2k 4) число, у якому а тисяч, b сотень і с одиниць: 1000a + 100b + c 5) кількість сантиметрів у х метрах і у сантиметрах: (100x + y) см 6) кількість секунд у m годинах, n хвилинах і р секундах: 1 год = 60 хв = 3600 с (3600m + 60n + p) с 18. Запишіть у вигляді виразу: 1) добуток чотирьох послідовних натуральних чисел, більше з яких дорівнює х: (х – 3)(х – 2)(х – 1)х 2) різницю добутку двох послідовних непарних чисел і меншого з них, якщо більше число дорівнює 2k + 1: (2k – 1)(2k + 1) – (2k – 1) 3) кількість кілограмів у а тонах і b центнерах: (1000a + 100b) кг 19. Складіть вирази для обчислення довжини синьої лінії та площі фігури, яку вона обмежує (рис. 1).

а) Дана фігури утвориться після вилучення із прямокутника зі сторонами а і b, прямокутника зі сторонами а – с і b – d. Периметр фігури дорівнює сумі усіх її сторін: a +  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

b + c + (b – d) + (a – c) + d = a + b + c + b – d + a – c + d = 2a + 2b. Площа фігури дорівнює різниці площ прямокутників: ab – (a – c)(b – d). Відповідь: 2a + 2b; ab – (a – c)(b – d). б) Дана фігури утворена із двох прямокутників зі сторонами a і b та с і d. Периметр фігури дорівнює сумі периметрів цих прямокутників без подвоєної сторони а: Р = 2(a + b) + 2(c + d) – 2a = 2a + 2b + 2c + 2d – 2a = 2(b + c + d). Площа фігури дорівнює сумі площ прямокутників: ab + cd. Відповідь: 2(b + c + d); ab + cd. в) Дана фігура утвориться після вилучення із прямокутника зі сторона а і b, двох півкругів з діаметром d. Периметр фігури дорівнює сумі довжин усіх її ланок: Р = 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 + 3𝑐𝑐 + 𝜋𝜋𝜋𝜋. Площа фігури дорівнює різниці площ прямокутника і двох півкругів: 𝑆𝑆 = 𝑑𝑑 2

1

𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝜋𝜋 � � = 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝜋𝜋𝑑𝑑 2 .

2

4

1

Відповідь: 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 + 3𝑐𝑐 + 𝜋𝜋𝜋𝜋; 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝜋𝜋𝑑𝑑 2 .

4 20. Складіть вирази для обчислення довжини синьої лінії та площі фігури, яку вона обмежує (рис. 2).

а) Периметр фігури дорівнює периметру прямокутника зі сторонами а та b і сумі шести відрізків довжиною d: P = 2(a + b) + 6d = 2(a + b + 3d). Площа фігури дорівнює сумі площі прямокутника зі сторонами а та (b – d) і чотирьох прямокутників зі сторонами с і d: S = a(b – d) + 4cd. Відповідь: 2(a + b + 3d); a(b – d) + 4cd.

1 б) Периметр фігури дорівнює сумі довжин усіх її ланок: Р = 2𝑎𝑎 − 1 + 𝜋𝜋𝜋𝜋 + 4𝑏𝑏 + 𝜋𝜋𝜋𝜋 = 2 2𝑎𝑎 − 1 + 4𝑏𝑏 + 1,5𝜋𝜋𝜋𝜋. Площа фігури дорівнює сумі площ прямокутника зі сторонами а і 1

𝑐𝑐 2

1

2b + c і півкруга з діаметром с: 𝑆𝑆 = 𝑎𝑎(2𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) + 𝜋𝜋 � � = 𝑎𝑎(2𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) + 𝜋𝜋𝑐𝑐 2 .

1

2 2

2

8

Відповідь: 2𝑎𝑎 − 1 + 4𝑏𝑏 + 1,5𝜋𝜋𝜋𝜋; 𝑎𝑎(2𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) + 𝜋𝜋𝑐𝑐 .

8 21. Значення змінних а і b такі, що a + b = -8, c = 4. Чому дорівнює значення виразу: 1) a + b – c = -8 – 74= -12 2) 0,5(a + b) + c = 0,5 · (-8) + 4 = -4 + 4 = 0 3) 3ac + 3bc = 3c(a + b) = 3 · 4 · (-8) = -96 22. Значення змінних m і n такі, що m – n = 5, k = -2. Чому дорівнює значення виразу: 1) (n – m)k = -(m – n)k = -5 · (-2) = 10 2) 2m – 2n + 3k = 2(m – n) + 3k = 2 · 5 + 3 · (-2) = 4 1 23. (Задача з українського фольклору.) Мірошник бере за роботу змеленого борошна.

10 Скільки пудів борошна намололи селянину, якщо додому він повіз 99 пудів?

1 9 1) 1 − = – частин змеленого борошна належить селянину.

10 9

10

10

2) 99 ∶ = 99 ∙ = 110 (пудів) – намололи борошна.

10 9 Відповідь: 110 пудів.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

24. До їдальні завезли капусту, моркву та картоплю. Капусти було 64 кг, маса моркви 5 становила маси капусти, а маса картоплі – 180% маси моркви. Скільки всього 8 кілограмів овочів завезли до їдальні?

5 1) 64 · = 40 (кг) – маса моркви.

8 2) 40 · 1,8 = 72 (кг) – маса картоплі.

3) 64 + 40 + 72 = 176 (кг) – маса овочів. Відповідь: 176 кг. 𝑎𝑎 25. Відомо, що а і b – натуральні числа, а число – правильний дріб. Чи можна 𝑏𝑏 стверджувати, що: 1) a – b > 0: Нерівність a – b > 0 неправильно, бо число а менше за число b.

1 1 2) > : 𝑎𝑎

𝑏𝑏

𝑎𝑎

𝑏𝑏

1

1

𝑏𝑏

𝑎𝑎

Нерівність > правильна, бо дріб з меншим знаменником а більший за дріб з більшим 𝑎𝑎 𝑏𝑏 знаменником b. 𝑏𝑏 𝑎𝑎 3) > : 𝑏𝑏

𝑎𝑎

Нерівність > правильна, бо неправильний дріб більший за правильний дріб . 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑏𝑏 26. Доведіть, що: 1) число 5 є коренем рівняння 3х + 1 = 21 – х: Якщо х = 5, то: 3х + 1 = 3 · 5 + 1 = 16; 21 – х = 21 – 5 = 16; 16 = 16 – число 5 є коренем рівняння.

2) число -2 не є коренем рівняння х(х + 4) = 4: Якщо х = -2, то х(х + 4) = -2 · (-2 + 4) = -4; −4 ≠ 4 – число -2 не є не коренем рівняння.

27. Розв’яжіть рівняння: 1) 0,3х = 9 2) -2х = 3 3) 15х = 0 х = 9 : 0,3 х = 3 : (-2) х = 0 : 15 х = 30 х = -1,5 х=0 28. Розкрийте дужки: 1) 2(х – 3у + 4z) = 2z – 6y + 8z 2) -0,4(-5 + 1,5у) = 2 – 0,6y 29. Зведіть подібні доданки: 1) 4а + 9а – 18а + а = (4 + 9 – 18 + 1)a = -4a 2) 1,2а – а + b – 2,1b = (1,2 – 1)a + (1 – 2,1)b = 0,2a – 1,1b 30. Розкрийте дужки та зведіть подібні доданки: 1) (х + 3,2) – (х + 4,5) = х + 3,2 – х – 4,5 = -1,3 2) 1,4(а – 2) – (6 – 2а) = 1,4а – 2,8 – 6 + 2а = 3,4а – 8,8 31. Дано 12 натуральних чисел. Доведіть, що з них завжди можна вибрати два, різниця яких ділиться націло на 11. Поділимо кожне з 12 чисел на 11. Усі остачі від ділення на 11 будуть меншими за 11. Серед 12-ти остач, менших за 11, завжди знайдеться дві однакових. Різниця таких чисел, які при діленні на 11 дають рівні остачі, ділиться на 11.

2. Лінійне рівняння з однією змінною 32. Які з наведених рівнянь є лінійними: 1, 2, 6, 7, 8 – лінійні рвняння.

33. Чи є число 4 коренем рівняння: Число 4 є коренем рівняння в 2 і 3.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

34. Скільки коренів має рівняння: 1) один корінь 2) немає коренів 35. Розв’яжіть рівняння: 6 5 2) −3х = 1) х = 1 7 9 6 х=1·9:5 х = ∶ (−3) 7 4 2 х=1 5 х=− 7

36. Розв’яжіть рівняння: 1 2) 0,1х = -2,75 1) −6х = 3 х = -2,75 : 0,1 1 х = ∶ (−6) х = -27,5 3 1 х=−

4) один корінь

3) -1,4х = -2,1 х = - 2,1 : (-1,4) 21 х=

4) − х = 6

14 3

х= 2 х = 1,5 1

3) х = 12 3

1

х = 12 ∶ 3 х = 36

15

37. Розв’яжіть рівняння: 1) 2х – 7 = х + 4 2х – х = 4 + 7 х = 11 2) 18 – 16х = -30х – 10 -16х + 30х = -10 – 18 14х = -28 х = -2

3) безліч коренів

3) -7х + 2 = 3х – 1 -7х – 3х = -1 – 2 -10х = -3 х = 0,3 4) 10 – 2х = 12 + х -2х – х = 12 – 10 -3х = 2 2 х=− 3

1 6

1

х = 6 ∶ �− � 6 х = -36 5

4) х = − 7

х=− х=− х=−

10

∶

10 49 5

49 7 10∙7 49∙5 2 7

5) 6х – 19 = -2х – 15 6х + 2х = -15 + 19 8х = 4 х = 0,5 6) 0,2х + 3,4 = 0,6 – 2,6 0,2х – 0,6х = -2,6 – 3,4 -0,4х = -6 х = 15

38. Знайдіть корінь рівняння: -3х – 2х = -45 – 20 1) 3х + 6 = 2х – 1 -5х = -65 3х – 2х = -1 – 6 х = 13 х = -7 4) 2,7 + 1,9х = 2х + 1,5 2) 10х + 7 = 8х – 9 1,9х – 2х = 1,5 – 2,7 10х – 8х = -9 – 7 -0,1х = -1,2 2х = -16 х = 12 х = -8 3) 20 – 3х = 2х – 45 39. Розв’яжіть рівняння: 1) -3(х – 4) = 5х – 12 3) 26 – 4х = 3х – 7(х – 3) -3х + 12 = 5х – 12 26 – 4х = 3х – 7х + 21 -3х – 5х = -12 – 12 -4х – 3х + 7х = 21 – 26 -8х = -24 0х = -5 х=3 Коренів немає 2) (16х – 5) – (3 – 5х) = 6 4) -2(3 – 4х) + 5(2 – 1,6х) = 4 16х – 5 – 3 + 5х = 6 -6 + 8х + 10 – 8х = 4 16х + 5х = 6 + 5 + 3 0х = 4 + 6 – 10 21х = 14 0х = 0 2 Будь-яке число х= 3 40. (Знайдіть помилку) Розв’язуючи рівняння (9 – 4x) – – (5 + 6x) = 8, Василь Ледащенко записав таке:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

9 – 4x – 5 + 6x = 8; 2x = 8 + 9 – 5; 2x = 12; x = 6. Знайдіть помилки в цьому «розв’язуванні».

1) Василь неправильно розкрив дужки.

2) Неправильно зведені подібні члени (повинен був врахувати знак перед кожним з доданків).

3) Неправильно знайдено значення x.

41. Розв’яжіть рівняння: 3) 14 – х = 0,5(4 – 2х) + 12 1) 4(13 – 3х) – 17 = -5х 14 – х = 2 – х + 12 52 – 12х – 17 = -5х -х + х = 2 + 12 – 14 -12х + 5х = 17 – 52 0х = 0 х=5 Будь-яке число 2) (18 – 3х) – (4 + 2х) = 10 4) 4х – 3(20 – х) = 10х – 3(11 + х) 18 – 3х – 4 – 2х = 10 4х – 60 + 3х = 10х – 33 – 3х -5х = 10 – 18 + 4 4х + 3х – 10х + 3х = -33 + 60 х = 0,8 0х = 27 Коренів немає 42. Доведіть, що: 1) коренем рівняння 4 (x – 5) = 4x – 20 є будь-яке число; 4(х – 5) = 4х – 20 4х – 20 = 4х – 20 4х – 4х = -20 + 20 0х = 0 Будь-яке число 2) рівняння 2y – 8 = 4 + 2y не має коренів.

2у – 2у = 4 + 8 0у = 12 Коренів немає 43. Розв’яжіть рівняння: 1) 0,8 – (1,5х – 2) = -0,8 + 4,5х 2) 0,6х – 5(0,3х + 0,2) = 0,5(х – 1) – 0,8 0,8 – 1,5х + 2 = -0,8 + 4,5х 0,6х – 1,5х – 1 = 0,5х – 0,5х – 0,8 -1,5х – 4,5х = -0,8 – 0,8 – 2 0,6х – 1,5х – 0,5х = -0,5 – 0,8 + 1 -6х = -3,6 -1,4х = -0,3 3 х = 0,6 х= 1 7

3 2

7

1

3) � у + 7� − � + 1 � = 7 8 4 9 9 12 1

1

4

1

у+1− у− = 8 6 3 12 3у + 24 – 4у – 32 = 2 -у = 2 – 24 + 32 у = -10 44. Знайдіть корінь рівняння: 1) 0,9х – 0,6(х – 3) = 2(0,2х – 1,3) 0,9х – 0,6х + 1,8 = 0,4х – 2,6 0,3х + 1,8 = 0,4х – 2,6 0,3х – 0,4х = -2,6 – 1,8 -0,1х = -4,4

5

14

4

4) (5,4 − 8,1у) = 0,03 + (6,8 − 3,4у) 27 17 1 · 1,5у = 0,03 + 1,6 – 0,8у -1,5у + 0,8у = 0,03 + 1,6 – 1 -0,7у = 0,63 у = -0,9

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

х = 44 2) -0,4(3х – 1) + 8(0,8х – 0,3) = 5 – (3,8х + 4) -1,2х + 0,4 + 6,4х – 2,4 = 5 – 3,8х – 4 5,2х – 2 = 1 – 3,8х 5,2х + 3,8х = 1 + 2 9х = 3 1 х= 4

3

5

3) (0,56 − 4,2у) + 0,4 = (0,52 − 6,5у) 7 13 0,32 – 2,4у + 0,4 = 0,2 – 2,5у -2,4у + 2,5у = 0,2 – 0,32 – 0,4 0,1у = -0,52 у = -5,2 45. Розв’яжіть рівняння: 1) 8(7х – 3) = -48(3х + 2) 7х – 3 = -6(3х + 2) 7х – 3 = -18х – 12 7х + 18х = - 12 + 3 25х = -9 х = -0,36 46. Чому дорівнює корінь рівняння: 1) -36(6х + 1) = 9(4 – 2х) -4(6х + 1) = 4 – 2х -24х – 4 = 4 – 2х -24х + 2х = 4 + 4 -22х = 8 4 х=− 11 47. Розв’яжіть рівняння: 1) (4х – 1,6)(8 + х) = 0 4х – 1,6 = 0 або 8 + х = 0 4х = 1,6 або х = -8 х = 0,4 або х = -8 1 3) (3х − 2) �4 + х� = 0 3

1

3х – 2 = 0 або 4 + х = 0 1

3

3х = 2 або х = −4 2

3

х = або х = -12 3

48. Розв’яжіть рівняння: 1) (1,8 – 0,3у)(2у + 9) = 0 1,8 – 0,3у = 0 або 2у + 9 = 0 -0,3у = -1,8 або 2у = -9 у = 6 або у = -4,5 49. Розв’яжіть рівняння: 5х−4 16х+1 1) = 2 7 7(5х – 4) = 2(16х + 1) 35х – 28 = 32х + 2

2) 4,5(8х + 20) = 6(6х + 15) 18(2х + 5) = 18(2х + 5) 2х + 5 = 2х + 5 2х – 2х = 5 – 5 0х = 0 Будь-яке число 2) 3,2(3х – 2) = -4,8(6 – 2х) 2(3х – 2) = -3(6 – 2х) 6х – 4 = -18 + 6х 6х – 6х = -18 + 4 0х = -14 Коренів немає 2) х(5 – 0,2х) = 0 х = 0 або 5 – 0,2х = 0 х = 0 або -0,2х = -5 х = 0 або х = 25 4) (2х + 1,2)(х + 1)(0,7х – 0,21) = 0 2х + 1,2 = 0 або х + 1 або 0,7х – 0,21 = 0 2х = -1,2 або х = -1 або 0,7х = 0,21 х = -0,6 або х = -1 або х = 0,3

2) (5у + 4)(1,1у – 3,3) = 0 5у + 4 = 0 або 1,1у – 3,3 = 0 5у = -4 або 1,1у = 3,3 у = 0,8 або у = 3 35х – 32х = 2 + 28 3х = 30 х = 10  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 4у+33

17+у

2) = 3 2 2(4у + 33) = 3(17 + у) 8у + 66 = 51 + 3у 50. Знайдіть корінь рівняння: 3𝑚𝑚+5 5𝑚𝑚+1 1) = 4 3 3(3m + 5) = 4(5m + 1) 9m + 15 = 20m + 4 -11m = -11 m=1

8у – 3у = 51 – 66 5у = -15 у = -3 5х+3

х−5

2) = 5 8 8(5х + 3) = 5(х – 5) 40х + 24 = 5х – 25 40х – 5х = -25 – 24 35х = -49 х = -1,4

51. Чому дорівнює корінь рівняння: х х 7 3х 4 х 2х 5х 2) − = 3) − = 1) + = 23 6 8 36 10 15 6 3 4 12х – 9х = 14 9х – 8 = 5х 8х + 15х = 276 3х = 14 4х = 8 23х = 276 2 х=2 х = 12 х=4 4 3 52. Розв’яжіть рівняння: х х 7х 5х 4 2х х 15 3) − + 1 = 1) − = 2) + = 8 12 6 18 27 7 4 14 -3х + 24 = 2х 8х + 7х = 30 63х – 15х = 8 -5х = -24 15х = 30 48х = 8 1 х = 4,8 х=2 х= 6 53. При якому значенні змінної: 1) значення виразу 4x – 0,2 (8x – 7) дорівнює –22,6; 4х – 0,2(8х – 7) = -22,6 4х – 1,6х + 1,4 = -22,6 4х – 1,6х = -22,6 – 1,4 2,4х = -24 х = -10 2) вирази 0,2 (3 – 2y) і 0,3 (7 – 6y) + 2,7 набувають рівних значень; 0,2(3 – 2у) = 0,3(7 – 6у) + 2,7 0,6 – 0,4у = 2,1 – 1,8у + 2,7 -0,4у + 1,8у = 2,1 + 2,7 – 0,6 1,4у – 4,2 у=3 3) значення виразу 0,6y на 1,5 більше за значення виразу 0,3 (y – 4); 0,6у = 0,3(у – 4) + 1,5 0,6у = 0,3у – 1,2 + 1,5 0,6у – 0,3у = -1,2 + 1,5 0,3у = 0,3 у=1 4) значення виразу 5x – 1 у 5 разів менше від значення виразу 6,5 + 2x?

5(5х – 1) = 6,5 + 2х 25х – 5 = 6,5 + 2х 25х – 2х = 6,5 + 5 23х = 11,5 х = 0,5  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

54. При якому значенні змінної: 1) вирази 6 – (2x – 9) і (18 + 2x) – 3 (x – 3) набувають рівних значень; 6 – (2х – 9) = (18 – 2х) – 3(х – 3) 6 – 2х + 9 = 18 + 2х – 3х + 9 15 – 2х = 27 – х -2х + х = 27 – 15 -х = 12 х = -12 2) значення виразу – (2y – 0,9) на 2,4 менше від значення виразу 5,6 – 10y?

-4(2у – 0,9) + 2,4 = 5,6 – 10у -8у + 3,6 + 2,4 = 5,6 – 10у -8у + 6 = 5,6 – 10у -8у + 10у = 5,6 – 6 2у = -0,4 у = -0,2 55. Розв’яжіть рівняння: 3 3 7) ǀ3х + 4ǀ = 2 1) ǀхǀ + 6 = 13 х = або х = − 7 7 3х + 4 = 2 або 3х + 4 = -2 ǀхǀ = 7 4) ǀх - 5ǀ = 4 3х = -2 або 3х = -6 х = 7 або х = -7 х – 5 = 4 або х – 5 = -4 2 2) ǀхǀ - 7 = -12 х = − або х = -2 х = 9 або х = 1 3 ǀхǀ = -5 5) ǀ9 + хǀ = 0 8) ǀǀхǀ - 3ǀ = 5 Коренів немає 9+х=0 ǀхǀ - 3 = 5 або ǀхǀ - 3 = -5 3) 7ǀхǀ - 3 = 0 х = -9 ǀхǀ = 8 або ǀхǀ = -2 7ǀхǀ = 3 6) ǀх - 4ǀ = -2 х = 8 або х = -8 3 ǀхǀ = Коренів немає 7 56. Розв’яжіть рівняння: 3) ǀх + 12ǀ = 3 2) ǀхǀ + 5 = 2 1) ǀхǀ - 8 = -5 х + 12 = 3 або х + 12 = -3 ǀхǀ = -3 ǀхǀ = 3 х = -9 або х = -15 Коренів немає х = 3 або х = -3 4) ǀ8 – 0,2хǀ = 12 8 – 0,2х = 12 або 8 – 0,2х = -12 -0,2х = 4 або -0,2х = -20 х = 20 або х = 100 6) ǀǀхǀ - 2ǀ 5) ǀ10х - 7ǀ - 32 = -16 ǀхǀ - 2 = 2 або ǀхǀ - 2 = -2 ǀ10х - 7ǀ = 16 ǀхǀ = 4 або ǀхǀ = 0 10х + 7 = 16 або 10х – 7 = -16 х = 4 або х = -4 або х = 0 10х = 23 або 10х = -9 х = 2,3 або х = -0,9 57. При якому значенні a рівняння: 1) 5ax = –45 має корінь, що дорівнює числу 3; 5а · 3 = -45 15а = -45 а = -3 2) (a – 4) x = –5a + 4x – 7 має корінь, що дорівнює числу –6? (а – 4) · (-6) = -5а + 4 · (-6) – 7 -6а + 24 = -5а – 24 – 7 -6а + 5а = -24 – 7 – 24  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

-а = -55 а = 55 58. При якому значенні a рівняння: 1) 3ax = 12 – x має корінь, що дорівнює числу –9; 3а · (-9) = 12 – (-9) -27а = 21 7 а=− 9 2) (5a + 2)x = 8 – 2a має корінь, що дорівнює числу 2?

(5а + 2) · 2 = 8 – 2а 10а + 4 = 8 – 2а 10а + 2а = 8 – 4 12а = 4 1 а= 3 59. Укажіть яке-небудь значення b, при якому буде цілим числом корінь рівняння: 1) 0,1x = b. Наприклад, якщо b = 1, то 0,1х = 1; х = 10 – ціле число.

2) bх = 21. Наприклад, якщо b = 3, то 3х = 21; х = 7 – ціле число.

1 1 3) х = b. Наприклад, якщо b = 1, то х = 1; х = 6 – ціле число.

6

1

1

6 1

1

4) bх = . Наприклад, якщо b = , то х = ; х = 1 – ціле число.

6 6 6 6 60. Складіть рівняння, яке: 1) має єдиний корінь, що дорівнює числу –4; 2х = -8 2) має безліч коренів; 2х = х + х 3) не має коренів.

2х + 2 = х + х 61. Знайдіть усі цілі значення m, при яких є цілим числом корінь рівняння: 1) mx = 3; х=3:m Частка 3 : m буде цілим число лише тоді, коли m = -1; 1; -3; 3 2) (m + 4) x = 49. х = 49 : (m + 4) Частка 49 : (m + 4) буде цілим число лише тоді, коли (m + 4) = -1; 1; -7; 7; -49; 49, тобто, коли m = -5; -3; -11; 3; -53; 45.

62. Знайдіть усі цілі значення n, при яких є натуральним числом корінь рівняння: 1) nx = –5; х = -5 : n Частка -5 : n буде натуральним число лише тоді, коли n = -1; -5 2) (n – 6) x = 25. х = 25 : (n – 6) Частка 25 : (n – 6) буде натуральним число лише тоді, коли (n – 6) = 1; 5; 25, тобто, коли n = 7; 11; 31.

63. При якому значенні b мають один і той самий корінь рівняння: 1) 7 – 3x = 6x – 56 і x – 3b = –35; 7 – 3х = 6х – 56 -3х – 6х = -56 – 7 -9х = -63  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

х=7 Коренем рівняння х - 3b = -35 повинно бути число 7, тому: 7 - 3b = -35; -3b = -42; b = 14.

2) 2y – 9b = 7 і 3,6 + 5y = 7 (1,2 – y)?

3,6 + 5у = 7(12 – у) 3,6 + 5у = 8,4 – 7у 5у + 7у = 8,4 – 3,6 12у = 4,8 у = 0,4 Коренем рівняння 2у - 9b = 7 повинно бути число 0,4, тому: 2 · 0,4 - 9b = 7; 0,8 - 9b = 7; 31 -9b = 6,2; b = − .

45 64. При якому значенні c мають один і той самий корінь рівняння: 1) (4x + 1) – (7x + 2) = x і 12x – 9 = c + 5; (4х + 1) – (7х + 2) = х 4х + 1 – 7х – 2 = х 4х – 7х – х = -1 + 2 -4х = 1 х = -0,25 Коренем рівняння 12х – 9 = с + 5 повинно бути число -0,25, тому: 12 · (-0,25) – 9 – с + 5; -3 – 9 = с + 5; с = -17.

1 2) cx = + x + с і 6 – 3 (2x – 4) = –8x + 4?

7 6 – 3(2х – 4) = -8х + 4 6 – 6х + 12 = -8х + 4 -6х + 8х = 4 – 6 – 12 2х = -14 х = -7 1 1 Коренем рівняння cx = + x + с повинно бути число -7, тому: с ∙ (−7) = −7 + с; 7 7 -с = -7 + с; -2с = -7; с = 3,5.

65. При якому значенні a не має коренів рівняння: 1) ax = 6; Рівняння не має коренів, якщо а = 0 2) (3 – a) x = 4; Рівняння не має коренів, якщо: 3 – а = 0; а = 3 3) (a – 2) x = a + 2? Рівняння не має коренів, якщо: а – 2 = 0; а = 2 66. При якому значенні a будь-яке число є коренем рівняння: 1) ax = a; Будь-яке число є коронем рівняння ах = а, якщо а = 0 2) (a – 2) x = 2 – a; Будь-яке число є коронем рівняння (а – 2)х = 2 – а, якщо а – 2 = 2 – а = 0, тобто, якщо а = 2 3) a (a + 5) x = a + 5? Будь-яке число є коронем рівняння а(а + 5)х = а + 5, якщо а(а + 5) = а + 5 = 0, тобто, якщо а = -5 67. При яких значеннях a має єдиний корінь рівняння: 1) (a – 5) x = 6; Рівняння має ждиний корівнь, якщо а – 5 ≠ 0, тобто, якщо а ≠ 5 2) (a + 7) x = a + 7?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Рівняння має єдиний корінь, якщо: а + 7 ≠ 0, тобто, якщо а ≠ -7 68. Розв’яжіть рівняння: 1) (b + 1) x = 9; Якщо b + 1 ≠ 0, тобто, якщо b ≠ -1, то х = 9 : (b + 1) Якщо b + 1 = 0, тобто, якщо b = -1, то: 0х = 9 – рівняння коренів не має 2) (b² + 1)х = -4. х = -4 : (b² + 1) 69. Розв’яжіть рівняння (m + 8) x = m + 8. Якщо m + 8 ≠ 0, тобто, якщо m ≠ -8, то х = (m + 8) : (m + 8); х = 1. Якщо m + 8 = 0, тобто, якщо m = -8, то: 0х = 0 – будь-яке число є коренем рівняння.

70. Яким виразом можна замінити зірочку в рівності 6x + 8 = 4x + *, щоб утворилося рівняння, яке: 6x + 8 = 4x + * 6х – 4х = * -8 2х = * - 8 1) не має коренів; Рівняння 2х = * - 8 має корені завжди, бо 2 ≠ 0 2) має безліч коренів; Рівняння 2х = * - 8 не може мати безліч коренів, бо 2 ≠ 0 3) має один корінь? Рівняння 2х = * - 8 завжди має один корівнь, бо 2 ≠ 0 71. У рівності 2 (1,5x – 0,5) = 7x + * замініть зірочку таким виразом, щоб утворилося рівняння, яке: 2 (1,5x – 0,5) = 7x + * 3х – 1 = 7х + * 3х – 7х = * + 1 -4х = * + 1 1) не має коренів; Рівняння -4х = * + 1 має корені завжди, бо -4 ≠ 0 2) має безліч коренів; Рівняння -4х = * + 1 не може мати безліч коренів, бо -4 ≠ 0 3) має один корінь. Рівняння -4х = * + 1 завжди має один корінь, бо -4 ≠ 0 72. Розв’яжіть рівняння: 1) | x | + 3x = 12; Нехай х ≥ 0, тоді: х + 3х = 12; 4х = 12; х = 3 Нехай х < 0, тоді: -х + 3х = 12; 2х = 12; х = 6 2) | x | – 4x = 9; Нехай х ≥ 0, тоді: х – 4х = 9; -3х = 9; х = -3. Число -3 не задовольняє умову х ≥ 0, тому -3 не є коренем рівняння. Нехай х < 0, тоді: -х – 4х = 9; -5х = 9; х = -1,8 3) 2 (x – 5) – 6 | x | = –18. Нехай х ≥ 0, тоді: 2х – 10 – 6х = -18; -4х = -8; х = 2 Нехай х < 0, тоді: 2х – 10 + 6х = -18; 8х = -8; х = -1 73. Розв’яжіть рівняння: 1) 2x – | x | = –1; Нехай х ≥ 0, тоді: 2х – х = -1; х = -1. Число -1 не задовольняє умову х ≥ 0, тому -1 не є корнем рівняння.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 1

Нехай х < 0, тоді: 2х + х = -1; 3х = -1; х = − .

3 2) 7 | x | – 3 (x + 2) = –10. Нехай х ≥ 0, тоді: 7х – 3х – 6 = -10; 4х = -4; х = -1. Число -1 не задовольняє умову х ≥ 0, тому -1 не є коренем рівняння. Нехай х < 0, тоді: -7х – 3х – 6 = -10; -10х = -4; х = 0,4. Число 0,4 не задовольняє умову х < 0, тому 0,4 не є корнем рівняння.

74. При яких цілих значеннях a корінь рівняння: 1) x – 2 = a; х=а+2 Число а + 2 ділиться націло на 2, якщо а – парне число 2) x + 7a = 9; х = 9 – 7а Число 9 – 7а ділиться націло на 2, якщо а – непарне число 3) 2x – a = 4; 2х = 4 + а х=2+а:2 Число 2 + а : 2 ділиться націло на 2, якщо а ділиться націло на 4 4) x + 2a = 3 х = 3 – 2а Число 3 – 2а непарне і не ділиться націло на 2 75. При яких цілих значеннях b корінь рівняння: 1) x + 3 = b; 2) x – 2 = b; 3) x – 3b = 8 є цілим числом, яке ділиться націло на 3?

1) x + 3 = b х=b–3 Число b – 3 ділиться націло на 3, якщо b ділиться націло на 3 2) x – 2 = b х=b+2 Число b + 2 ділиться націло на 3, якщо b при ділення на 3 дає в остачі 1 3) x – 3b = 8 х = 8 + 3b Число 8 + 3b не ділиться націло на 3, ні за яких значень b 76. При яких значеннях b корінь рівняння є меншим від b: 1) 3x = b; х=b:3 Число b : 3 буде меншим за b, якщо b > 0 2) x = 2b? Число 2b буде меншим від b, якщо b < 0 77. При яких значеннях d корінь рівняння є більшим за d: 1) 4x = d; х=d:4 Число d : 4 буде більшим за d, якщо d < 0 1 2) х = d?

5 х = 5d Число 5d буде більшим за d, якщо d > 0 78. У турнірі з волейболу брали участь 8 команд. Кожна команда двічі зіграла з кожною іншою командою. Скільки всього матчів було зіграно на турнірі?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Щоб знайти загальну кількість матчів, спочатку обчислимо кількість можливих пар команд. Кількість команд дорівнює n = 8. Кількість можливих пар команд (тобто кількість матчів, якби кожна команда грала з іншою лише один раз) обчислюється за формулою комбінацій: 𝑛𝑛(𝑛𝑛−1) 8∙7 С(𝑛𝑛, 2) = = = 28 2 2 Оскільки кожна команда грала з кожною іншою двічі, то загальна кількість матчів буде вдвічі більшою: 28 · 2 = 56 Відповідь: всього на турнірі було зіграно 56 матчів.

1 79. Один робітник може виконати завдання за 45 год, а другому для цього потрібно в 1 2 раза менше часу, ніж першому. За скільки годин вони виконають це завдання, працюючи разом? Яку частину завдання при цьому виконає кожен із них?

1 45 ∶ 1 = 45 ∶ 1,5 = 30 (год) – потрібно другому робітникові для виконання завдання.

1

45 1 30 1 45

2

– частина завдання, яку виконає перший робітник за 1 год.

– частина завдання, яку виконає другий робітник за 1 год.

+

1∶ 1

45 1 30

1

30 1

18

=

2+3 90

=

5

90

=

1

18

– частина завдання, яку виконають обидва робітники за 1 год.

= 18 (год) – потрібно обом робітникам для виконання завдання.

2

∙ 18 = – частина завдання, яку виконає перший робітник.

5 3

∙ 18 = – частина завдання, яку виконає другий робітник.

5

2 3

Відповідь: 18 год; ; .

5 5

8

5

80. За перший день Олена прочитала сторінок книжки, за другий — сторінок книжки 15 12 та за третій день — решту 12 сторінок. Скільки сторінок у цій книжці?

8 5 60−32−25 3 1 1) 1 − − = = = – частина книжки, яка складає 12 сторінок.

15 1

12

60

60

20

2) 12 ∶ = 240 (с) – кількість сторінок у книжці.

20 Відповідь: 240 сторінок.

81. Відомо, що n — натуральне число. Яким числом, парним чи непарним, є значення виразу: 1) 4n; - парне число 2) 2n – 1; - непарне число 3) n (n + 1)? – парне число, бо воно є добутком двох послідовних натурльних чисел, одне з яких парне 82. Чи є правильним твердження, що при будь-якому значенні a: 1) 2a > a; Твердження 2а > а неправильне, бо воно не виконується для від’ємних значень а.

2) 2 | a | > | a |? Твердження 2 | a | > | a | неправильне, бо воно не виконується для значення а = 0.

83. Скільки існує шестицифрових чисел, у записі яких є хоча б одна парна цифра? Усіх шестицифрових чисел є 999999 – 99999 = 900000 Усіх шестицифрових чисел, записаних тільки непарними цифрами є: 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 15 625 Усіх шестицифрових чисел, у запису яких є хоча б одна парна цифра, є: 900000 – 15625 = 884375.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3. Розв’язування текстових задач 84. Ганна купила 24 зошити, причому зошитів у лінійку вона купила на 6 більше, ніж зошитів у клітинку. Скільки зошитів кожного виду купила Ганна? Нехай Ганна купила х зошитів у клітинку, тоді у лінійку вона купив (х + 6) зошитів, тоді: (х + 6) + х = 24 2х + 6 = 24 2х = 18 х = 9 – зошитів у клітинку.

9 + 6 = 15 – зошитів у лінійку. Відповідь: 9; 15.

85. Із двох дерев зібрали 65,4 кг вишень, причому з одного дерева зібрали на 12,6 кг менше, ніж із другого. Скільки кілограмів вишень зібрали з кожного дерева? Нехай з першого дерева зібрали х кг вишень, тоді з другого зібрали (х + 12,6) кг вишень, тоді: х + (х + 12,6) = 65,4 2х + 12,6 = 65,4 2х = 52,8 х = 26,4 – зібрали з першого дерева.

26,4 + 12,6 = 39 (кг) – зібрали з другого дерева. Відповідь: 26,4 кг; 39 кг.

86. Периметр прямокутника дорівнює 7,8 см, а одна з його сторін на 1,3 см більша за другу. Знайдіть сторони прямокутника. Нехай менша сторона прямокутника дорівнює х см, тоді більша дорівнює (х + 1,3) см, тоді: (х + х + 1,3) · 2 = 7,8 2х + 1,3 = 3,9 2х = 2,6 х = 1,3 (см) – менша сторона прямокутника.

1,3 + 1,3 = 2,6 (см) – більша сторона прямокутника. Відповідь: 1,3 см; 2,6 см.

87. Одна зі сторін прямокутника в 11 разів менша від другої. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 144 см. Нехай менша сторона прямоткуника дорівнює х см, тоді більша – 11х см, тоді: (х + 11х) · = 144 12х = 72 х = 6 (см) – менша сторона прямокутника.

11 · 6 = 66 (см) – більша сторона прямокутника. Відповідь: 6 см; 66 см.

88. Три найвищі гірські вершини України — Говерла, Бребенескул і Петрос — розташовані в найвищому гірському масиві Чорногори в Карпатах. Сума їхніх висот дорівнює 6113 м, причому Говерла на 29 м вища за Бребенескул і на 41 м вища за Петрос. Знайдіть висоту кожної з вершин. Нехай висота Говерли х м, тоді висота Бребенескула і Петроса відповідно дорівнюють (х – 29) м і (х – 41) м, тоді: х + (х – 29) + (х – 41) = 6113 3х – 70 = 6113 3х = 6183 х = 2061 (м) – Говерла.

2061 – 29 = 2032 (м) – Бребенескул.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

2061 – 41 = 2020 (м) – Петрос. Відповідь: 2061 м; 2032 м; 2020 м.

89. Три найглибші печери України — Солдатська, Каскадна та Нахімовська — розташовані в Криму. Сума їхніх глибин дорівнює 1285 м, причому глибина Каскадної на 115 м менша від глибини Солдатської та на 30 м більша за глибину Нахімовської. Знайдіть глибину кожної з печер. Нехай глибина Каскадної печери дорівнює х м, тоді глибина Солдатської і Нахімовської відповідно дорівнюють 1,2х м і (х – 26) м, тоді: х + 1,2х + (х – 26) = 1874 3,2х – 26 = 1874 3,2х = 1900 х = 593,75 (м) – Каскадна.

1,2 · 593,75 = 712,5 (м) – Солдатська.

593,75 – 26 = 567,75 (м) – Нахімовська. Відповідь: 593,75 м; 712,5 м; 567,75 м.

90. У будинку є 160 квартир трьох видів: однокімнатні, двокімнатні та трикімнатні. Однокімнатних квартир у 2 рази менше, ніж двокімнатних, і на 24 менше, ніж трикімнатних. Скільки в будинку квартир кожного виду? Нехай у будинку х однокімнатних квартир, тоді двокімнатних вкартир 2х, а трикімнатних х + 24, тоді: х + 2х + (х + 24) = 160 4х + 24 = 160 4х = 136 х = 34 – однокімнатних.

2 · 34 = 68 – двокімнатних.

34 + 24 = 58 – трикімнатних. Відповідь: 34; 68; 58.

91. Троє робітників виготовили 96 деталей. Один із них виготовив у 3 рази більше деталей, ніж другий, а третій — на 16 деталей більше, ніж другий. Скільки деталей виготовив кожний робітник? Нехай другий робітник виготовив х деталей, тоді перший виготовив 3х деталей, а третій – (х + 16) деталей, тоді: 3х + х + (х + 16) = 96 5х + 16 = 96 5х = 80 х = 16 (д.) – виготовив другий робітник.

3 · 16 = 48 (д.) – виготовив перший робітник.

16 + 16 = 32 (д.) – виготовив третій робітник. Відповідь: 48; 16; 32.

92. У трьох цехах заводу працює 101 робітниця. Кількість робітниць першого цеху 4 становить кількості робітниць третього цеху, а кількість робітниць другого цеху — 80 % 9 кількості робітниць третього. Скільки робітниць працює в першому цеху?

4 Нехай у третьому цеху працює х робітників, тоді у першому цеху працює х робітників, а 9 у другому – 0,8х робітників, тоді: 4 х + 0,8х + х = 101 9 4х + 7,2х + 9х = 909 20,2х = 909  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

х = 45 4 ∙ 45 = 20 (р.)

9 Відповідь: 20 робітників у першому цеху.

93. Велосипедисти взяли участь у триденному поході. За другий і третій дні вони проїхали 4 відповідно 120 % і відстані, яку подолали за перший день. Який шлях вони проїхали за 5 перший день, якщо довжина всього маршруту становить 270 км? Нехай за перший день велосипедистки проїхали х км шляху, тоді за другий день вони 4 проїхали 1,2х км, а за третій - х км, тоді: 4

5

х + 1,2х + х = 270 5 х + 1,2х + 0,8х = 270 3х = 270 х = 90 (км) Відповідь: за перший день велосипедисти проїхали 90 км.

94. У 6 великих і 8 маленьких ящиків розклали 232 кг яблук. Скільки кілограмів яблук було в кожному ящику, якщо в кожному маленькому ящику було на 6 кг яблук менше, ніж у кожному великому? Нехай у маленькому ящику було х кг яблук, тоді у великому було (х + 6) кг яблук, тоді: 6(х + 6) + 8х = 232 6х + 36 = 8х = 232 14х + 36 = 232 14х = 196 х = 14 (кг) – яблук у малому ящику.

14 + 6 = 20 (кг) – яблук у великому ящику. Відповідь: 20 кг; 14 кг.

95. У двох залах кінотеатру 534 місця. В одному залі 12 однакових рядів, а в другому — 15 однакових рядів. У кожному ряду першого залу на 4 місця більше, ніж у кожному ряду другого. Скільки місць у кожному залі кінотеатру? Нехай у кожному ряді другого залу було х місць, тоді у кожному ряді першого залу було (х + 4) місць, тоді: 12(х + 4) + 15х = 534 12х + 48 + 15х = 534 27х + 48 = 534 27х = 486 х = 18 12(18 + 4) = 12 · 22 = 264 (м.) – у першому залі.

15 · 18 = 270 (м.) – у другому залі. Відповідь: 264 місці; 270 місць.

96. Відстань між двома містами мотоциклістка проїхала за 0,8 год, а велосипедист — за 4 год. Швидкість велосипедиста на 48 км/год менша від швидкості мотоциклістки. Знайдіть швидкості мотоциклістки та велосипедиста. Нехай швидкість велосипедиста дорівнює х км/год, тоді швидкість мотоцикліста – (х + 48) км/год, тоді: 0,8(х + 48) = 4х 0,8х + 38,4 = 4х 3,2х = 38,4 х = 12 (км/год) – швидкість велосипедиста.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

12 + 48 = 60 (км/год) – швидкість мотоцикліста. Відповідь: 12 км/год; 60 км/год.

97. За 3 кг цукерок одного виду заплатили стільки, скільки за 3,5 кг цукерок другого виду. Яка ціна кожного виду цукерок, якщо 1 кг цукерок першого виду на 24 грн дорожчий за 1 кг цукерок другого виду? Нехай ціна 1 кг цукерок другого виду дорівнює х грн, тоді ціна 1 кг цукерок першого виду дорівнює (х + 24) грн, тоді: 2(х + 24) = 3,5х 2х + 48 = 3,5х 1,5х = 48 х = 32 (грн) – другого виду.

32 + 24 = 56 (грн) – першого виду. Відповідь: 56 грн; 32 грн.

98. Кілограм огірків на 8 грн дешевший від кілограма помідорів. Скільки коштує 1 кг помідорів, якщо за 3,2 кг помідорів заплатили стільки ж, скільки за 3,6 кг огірків? Нехай 1 кг помідорів коштує х грн, тоді 1 кг огірків коштує (х – 0,8) грн, тоді: 3,6(х – 0,8) = 3,2х 3,6х – 2,88 = 3,2х 0,4х = 2,88 х = 7,2 (грн) Відповідь: 7,2 грн.

99. В одному баку було в 3 рази більше води, ніж у другому. Коли в перший бак долили 16 л води, а в другий — 80 л, то в обох баках води стало порівну. Скільки літрів води було спочатку в кожному баку? Нехай у другому баці було х л води, тоді у першому було 3х л. Після того, як у перший бак долили 16 л води, а у другий – 80 л, у першому баку стало (3х + 16) л води, а у другому – (х + 80) л, тоді: 3х + 16 = х + 80 3х – х = 80 – 16 2х = 64 х = 32 (л) – у другому баку.

3 · 32 = 96 (л) – у першому баку. Відповідь: 96 л; 32 л.

100. На одній полиці було в 4 рази більше книжок, ніж на другій. Коли з першої полиці взяли 5 книжок, а на другу поставили 16 книжок, то на обох полицях книжок стало порівну. Скільки книжок було спочатку на кожній полиці? Нехай на другій полиці спочатку було х книжок, тоді на першій було 4х книжок. Після того як з першої полиці взяли 5 книжок, а на другу поклали 16 книжок, то на першій полиці залишилося (4х – 5) книжок, а на другій стало (х + 16) книжок, тоді: 4х – 5 = х + 16 4х – х = 16 + 5 3х = 21 х = 7 (кн.) – на другій полиці.

4 · 7 = 28 (кн.) – на першій полиці. Відповідь: 28 книжок; 7 книжок.

101. Зараз батькові 26 років, а його синові — 2 роки. Через скільки років батько буде в 5 разів старший за сина?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Нехай батько буде старший від сина у 5 разів через х років. У цей час батькові буде (26 + х) років, а синові – (2 + х) років, тоді: 26 + х = 5(2 + х) 26 + х = 10 + 5х 4х = 16 х = 4 (р.) Відповідь: 4 роки.

102. Зараз матері 40 років, а її доньці — 18 років. Скільки років тому донька була в 3 рази молодша від матері? Нехай мама була старша від дочки у 3 рази х років тому. У цей час матері було (40 – х) років, а дочці – (18 – х) років, тоді: 40 – х = 3(18 – х) 40 – х = 54 – 3х 2х = 14 х = 7 (р.) Відповідь: 7 років.

103. Для шкільної бібліотеки придбали 40 орфографічних і тлумачних словників української мови, заплативши разом 6900 грн. Скільки було словників кожного виду, якщо орфографічний словник коштує 150 грн, а тлумачний — 240 грн? Нехай придбали х орфографічних словників, тоді придбали 40 – х тлумачних словників, тоді: 15х + 24(40 – х) = 690 9х = 270 х = 30 – орфографічних.

40 – 30 = 10 – тлумачних. Відповідь: 30; 10.

104. Вкладник поклав у банк 30 000 грн на два різних депозитних рахунки, причому за першим рахунком йому нараховували 7 % річних, а за другим — 8 % річних. Через рік він одержав 2220 грн прибутку. Яку суму було внесено на кожний рахунок? Нехай на перший рахунок вкладник поклав х грн, тоді на другий рахунок він поклав (3000 – х) грн, тоді: 0,07х + 0,08(3000 – х) = 222 0,01х = 18 х = 1800 (грн) – поклав на перший рахунок.

3000 – 1800 = 1200 (грн) – поклав на другий рахунок. Відповідь: 1800 грн; 1200 грн.

105. Є 19 монет по 2 грн і по 5 грн на загальну суму 62 грн. Скільки є монет кожного номіналу? Нехай у касі було х купюр по 2 грн, тоді купюр по 5 грн було (19 – х) штук, тоді: 2х + 5(19 – х) = 62 2х + 95 – 5х = 62 -3х = -33 х = 11 (шт.) – по 2 грн.

19 – 11 = 8 (шт.) – по 5 грн. Відповідь: 11 штук по 2 грн; 8 штук по 5 грн.

106. У двох сховищах була однакова кількість вугілля. Коли з першого сховища вивезли 680 т вугілля, а з другого — 200 т, то в першому залишилося в 5 разів менше вугілля, ніж у другому. Скільки тонн вугілля було в кожному сховищі спочатку?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Нехай у кожному сховищі було х т вугілля. Після того, як з першого сховища використали 680 т вугілля, а з другого – 200 т, у першому сховищі залишилося (х – 680) т, а у другому – (х – 200) т, тоді: 5(х – 680) = х – 200 5х – 3400 = х – 200 4х = 3200 х = 800 (т) – у кожному сховищі. Відповідь: 800 т; 800 т.

107. У Марини й Василя було порівну грошей. Коли на купівлю книжок Марина витратила 180 грн, а Василь — 270 грн, то в Марини залишилося у 2 рази більше грошей, ніж у Василя. Скільки грошей було в кожного з них спочатку? Нехай кількість грошей, яку спочатку мали Марина і Василь, дорівнює x. Після того, як Марина витратила 180 грн, у неї залишилось x − 180 грн. Василь після витрат залишився з x − 270 грн, після покупок у Марини залишилося в 2 рази більше грошей, ніж у Василя: x – 180 = 2(x − 270) x – 180 = 2x – 540 −180 + 540 = 2x – x 360 = x Відповідь: спочатку у кожного з них було по 360 грн.

108. В одному мішку було в 5 разів більше борошна, ніж у другому. Коли з першого мішка 5 пересипали 12 кг борошна в другий мішок, то маса борошна в другому мішку склала 7 маси борошна в першому. Скільки кілограмів борошна було в кожному мішку спочатку? Нехай у другому мішку було х кг борошна, тоді у першому – 5х кг. Після того, як з першого мішка пересипали 12 кг борошна у другий, у першому мішку стало (5х – 12) кг борошна, а у другому – (х + 12) кг, тоді: 5 (5х − 12) = х + 12 7 5(5х – 12) = 7(х + 12) 25х – 60 = 7х + 84 25х – 7х = 84 + 60 18х = 144 х = 8 (кг) – у другому мішку.

5 · 8 = 40 (кг) – у першому мішку. Відповідь: 40 кг; 8 кг.

109. В одному контейнері було в 3 рази більше вугілля, ніж у другому. Коли з першого контейнера пересипали 300 кг вугілля в другий контейнер, то маса вугілля в першому контейнері склала 60 % маси вугілля в другому. Скільки кілограмів вугілля було в кожному контейнері спочатку? Нехай у другому контейнері було х кг вугілля, тоді у першому було 3х кг. Після того, як з першого контейнера персипала 300 кг вугілля у другий, у першому контейнері стало (3х – 300) кг вугілля, а у другому – (х + 300) кг, тоді: 3х – 300 = 0,6(х + 300) 3х – 300 = 0,6х + 180 3х – 0,6 = 180 + 300 2,4х = 480 х = 200 (кг) – у другому контейнері.

3 · 200 = 600 (кг) – у першому контейнері. Відповідь: 600 кг; 200 кг.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

110. Одному робітникові потрібно було виготовити 90 деталей, а другому — 60. Перший робітник щодня виготовляв 4 деталі, а другий — 5 деталей. Через скільки днів першому робітникові залишиться виготовити вдвічі більше деталей, ніж другому, якщо вони почали працювати одночасно? Нехай для того, щоб першому робітникові залишилося виготовити вдвоє більше деталей, ніж другому, потрібно х днів. Перший робітник виготовить за цей час 4х деталей, а другий – 5х деталей. Тоді першому робітникові залишиться виготовити (90 – 4х) деталей, а другому – (60 – 5х) деталей, тоді: 90 – 4х = 2(60 – 5х) 90 – 4х = 120 – 10х 6х = 30 х=5 Відповідь: 5 днів.

111. В одній цистерні було 200 л води, а в другій — 640 л. Коли з другої цистерни використали вдвічі більше води, ніж із першої, то в другій залишилося в 3,5 раза більше води, ніж у першій. Скільки літрів води використали з кожної цистерни? Нехай з першої цистерни використали х л води, тоді з другої використали 2х л. Після цього у першій цистерні залишилося (200 – х) л води, а у другій – (640 – 2х) л, тоді: 3,5(200 – х) = 640 – 2х 700 – 3,5х = 640 – 2х -3,5х + 2х = 640 – 700 -1,5х = -60 х = 40 (л) – з першої цистерни.

2 · 40 = 80 (л) – з другої цистерни. Відповідь: 40 л; 80 л.

112. Із двох міст, відстань між якими дорівнює 385 км, виїхали назустріч один одному легковий і вантажний автомобілі. Легковий автомобіль їхав зі швидкістю 80 км/год, а вантажний — 50 км/год. Скільки часу їхав до зустрічі кожен із них, якщо вантажний автомобіль виїхав на 4 год пізніше за легковий? Нехай вантажний автомобіль був у дорозі до зустрічі х год, тоді легковий автомобіль був у дорозі до зустрічі (х + 4) год. Вантажний автомобіль проїхав до зустрічі 50х км, а легковий – 80(х + 4) км, тоді: 50х + 80(х + 4) = 385 50х + 80х + 320 = 385 130х = 65 х = 0,5 (год) – вантажний автомобіль.

0,5 + 4 = 4,5 (год) – легковий автомобіль. Відповідь: 0,5 год; 4,5 год.

113. З одного села до другого вирушив пішохід зі швидкістю 4 км/год, а через 1,5 год після цього з другого села назустріч йому виїхав велосипедист зі швидкістю 16 км/год. Через скільки хвилин після виїзду велосипедист зустрівся з пішоходом, якщо відстань між селами дорівнює 14 км? Нехай велосипедист був у дорозі х год, тоді пішохід був у дорозі до зустрічі (х + 1,5) год. Велосипедист проїхав до зустрічі 16х км, а пішохід пройшов 4(х + 1,5) км, тоді: 16х + 4(х + 1,5) = 14 16х + 4х + 6 = 14 20х = 8 х = 0,4  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

0,4 · 60 = 24 (хв) – велосипедсит був у дорозі до зустрічі. Відповідь: 24 хв.

114. Відстань між двома містами річкою на 55 км менша, ніж по шосе. З одного міста до другого можна дістатися теплоходом за 6 год, а по шосе автобусом — за 3 год 30 хв. Знайдіть швидкості автобуса й теплохода, якщо швидкість теплохода на 30 км/год менша від швидкості автобуса. Час руху автобуса становить 3 год 30 хв = 3,5 год. Нехай швидкість теплохода дорівнює х км/год, тоді швидкість автобуса – (х + 30) км/год. Теплохід подолав 6х км, а автобус – 3,5(х + 30) км, тоді: 3,5(х + 30) – 6х = 55 3,5х + 105 – 6х = 55 -2,5х = -50 х = 20 (км/год) – швидкість теплохода.

20 + 30 = 50 (км/год) – швидкість автобуса. Відповідь: 20 км/год; 50 км/год.

115. Теплохід пройшов 4 год за течією річки та 3 год проти течії. Шлях, який пройшов теплохід за течією, на 48 км більший за шлях, пройдений ним проти течії. Знайдіть швидкість теплохода в стоячій воді, якщо швидкість течії дорівнює 2,5 км/год. Нехай швидкість теплохода у стоячій воді дорівнює х км/год, тоді швидкість теплохода за течією дорівнює (х + 2,5) км/год, а проти течії – (х – 2,5) км/год. За течією теплохід подолав (х + 2,5) · 4 км, а проти течії – (х – 2,5) · 3 км, тоді: (х + 2,5) · 4 – (х – 2,5) · 3 = 48 4х + 10 – 3х + 7,5 = 48 х + 17,5 = 48 х = 30,5 (км/год) Відповідь: 30,5 км/год.

116. Турист і туристка плили 5 год на плоту за течією річки та 1,5 год на моторному човні проти течії. Швидкість човна в стоячій воді дорівнює 24 км/год. Знайдіть швидкість течії, якщо проти течії турист і туристка проплили на 23 км більше, ніж за течією. Нехай швидкість течії річки дорівнює х км/год, тоді швидкість човна проти течії дорівнює (24 – х) км/год. На плоту турист подолав 5х км, а човном – (24 – х) · 1,5 км, тоді: (24 – х) · 1,5 – 5х = 23 36 – 1,5х = 23 -6,5х = -13 х = 2 (км/год) Відповідь: 2 км/год.

117. Під час розселення туристів і туристок у намети виявилося, що коли в кожний намет поселити 6 осіб, то 5 людям місця не вистачить, а якщо розселяти по 7 осіб, то 6 місць залишаться вільними. Скільки було туристів і туристок? Нехай було х наметів. Тоді кількість туристів, при розселенні їх по 6 осіб у намет, буде (6х + 5), а при розселенні по 7 осіб у намет – (7х – 6), тоді: 6х + 5 = 7х – 6 х = 11 6 · 11 + 5 = 71 (т.) Відповідь: 71 турист.

118. Під час підготовки новорічних подарунків для учнів і учениць 7 класу виявилося, що коли в кожний подарунок покласти по 4 апельсини, то не вистачить 3 апельсинів, а коли покласти по 3 апельсини, то залишаться зайвими 25 апельсинів. Скільки було апельсинів?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Нехай було х подарунків. Тоді кількість апельсинів, при розкладанні їх по 4 у подарунок, буде (4х – 3), а при розкладанні по 3 апельсини – (3х + 25), тоді: 4х – 3 = 3х + 25 х = 28 4 · 28 – 3 = 109 (ап.) – кількість усіх апельсинів. Відповідь: 109 апельсинів.

1 119. У двох ящиках було 55 кг печива. Коли з першого ящика переклали в другий маси 3 печива, яке в ньому містилося, то в першому ящику залишилося на 5 кг більше печива, ніж стало в другому. Скільки кілограмів печива було в кожному ящику спочатку? Нехай у першому ящику було х кг печива, тоді у другому було (55 – х) кг печива. Після того як з першого ящика переклали третю частину печива у другий, там залишилося х − 1 2 1 2 х = х кг печива, а у другому ящику стало 55 − х + х = 55 − х кг печива, тоді: 3 2

3

3

2

3

х = 55 − х + 5ǀ ∙ 3 ∶ 2х = 165 − 2х + 15 3 4х = 180 х = 45 (кг) – у першому ящику.

55 – 45 = 10 (кг) – у другому ящику. Відповідь: 45 кг; 10 кг.

3 120. У двох кошиках було 24 кг груш. Коли з одного кошика переклали в другий маси 7 груш, які були в першому, то маса груш у другому кошику стала вдвічі більшою за масу груш, що залишилися в першому. Скільки кілограмів груш було в кожному кошику спочатку? Нехай у першому кошику було х кг груш, тоді у другому – (24 – х) кг груш. Після того як 3 3 4 з першого кошика переклали частин груш у другий, там залишилося х − х = х кг груш, 3

7

3

7

4

а у другому кошику стало 24 − х + х = 24 − х кг груш, тоді: 4

4

7

7

7

2 ∙ х = 24 − хǀ ∙ 7 ∶ 8х = 168 − 4х 7 7 12х = 168 х = 14 (кг) – у першому кошику.

24 – 14 = 10 (кг) – у другому кошику. Відповідь: 14 кг; 10 кг.

4 121. На трьох полицях стояли книжки. На першій полиці стояло усіх книжок, на другій 15 — 60 % усіх книжок, а на третій — на 8 книжок менше, ніж на першій. Скільки всього книжок стояло на трьох полицях?

4 Нехай на трьох полицях було х книжок, тоді на першій полиці було х книжок, на другій – 0,6х книжок, а на третій - х − 4

15 2

х−

2

15

х=8

4

15

х − 0,6х =

2

15

х книжок, тоді:

15

х=8 х = 60 (кн.) Відповідь: 60 книжок.

122. У чотири бідони розлили молоко. У перший бідон налили 30 % усього молока, у 5 другий — того, що в перший, у третій — на 26 л менше, ніж у перший, а в четвертий — 6 на 10 л більше, ніж у другий. Скільки літрів молока розлили в чотири бідони?

15

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Нехай у чотирьох бідонах було х л молока. Тоді у першому бідоні було 0,3х л молока, у 5 другому - ∙ 0,3х = 0,25х л, у третьому – (0,3х – 26) л, а у четвертому – (0,25х + 10) л, тоді: 6 0,3х + 0,25х + 0,3х – 26 + 0,25х + 10 = х 1,1х – 16 = х 0,1х = 16 х = 160 (л) Відповідь: 160 л.

123. Робітниця планувала щодня виготовляти по 20 деталей, щоб вчасно виконати виробниче завдання. Проте щодня вона виготовляла на 8 деталей більше, ніж планувала, і вже за 2 дні до кінця терміну роботи виготовила 8 деталей понад план. Скільки днів за планом робітниця мала виконувати завдання? Нехай робітник планував працювати над завданням х днів, тоді він мав виготовиити 20х деталей. Насправді робітник працював (х – 2) дні і виготовив (20 + 8)(х – 2) = 28(х – 2) деталей, тоді: 28(х – 2) – 20х = 8 28х – 56 – 20х = 8 8х = 64 х = 8 (дн.) Відповідь: 8 днів.

124. Готуючись до екзамену, Олеся планувала щодня розв’язувати 10 задач. Оскільки вона щодня розв’язувала на 4 задачі більше, то вже за 3 дні до екзамену їй залишилося розв’язати 2 задачі. Скільки всього задач планувала розв’язати Олеся? Нехай до екзамену учневі залишилося х днів, тоді він мав розв’язати 10х задач. Насправді за 3 дні до екзамену учень розв’язав (10 + 4)(х – 3) = 14(х – 3) задачі, тоді: 10х – 14(х – 3) = 2 10х – 14х + 42 = 2 -4х = -40 х = 10 10 · 10 = 100 (з.) Відповідь: 100 задач.

125. У двоцифровому числі кількість десятків у 3 рази більша за кількість одиниць. Якщо цифри числа переставити, то отримане число буде на 54 меншим від даного. Знайдіть дане двоцифрове число. Число, яке має х одиниць і 3х десятків, дорівнює: 3х · 10 + х = 30х + х = 31х. У числі х переставленими цифрами буде х десятків, 3х одиниць і воно дорівнює: х · 10 + 3х = 10х + 3х = 13х, тоді: 31х – 13х = 54 18х = 54 х=3 31 · 3 = 93 – дане двоцифрове число. Відповідь: 93.

126. У двоцифровому числі кількість десятків на 2 менша від кількості одиниць. Якщо 3 цифри числа переставити, то отримане число буде в 1 раза більшим за дане. Знайдіть 4 дане двоцифрове число. Число, яке має х одиниць і (х – 2) десятки, дорівнює: (х – 2) · 10 + х = 10х – 20 + х = 11х – 20. У числі х переставленими цифрами буде х десятків, (х – 2) одиниць і воно дорівнює: х · 10 + (х – 2) = 10х + х – 2 = 11х – 2, тоді:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 3

11х − 2 = 1 (11х − 20)ǀ · 4 4 44х – 8 = 7(11х – 20) 44х – 8 = 77х – 140 33х = 132 х=4 11 · 4 – 20 = 24 – дане двоцифрове число. Відповідь: 24.

127. Із двох міст, відстань між якими дорівнює 270 км, виїхали одночасно назустріч один одному два автомобілі. Через 2 год після початку руху відстань між ними становила 30 км. Знайдіть швидкість кожного автомобіля, якщо швидкість одного з них на 10 км/год більша за швидкість другого. Нехай швидкість першого автомобіля дорівнює х км/год, тоді швидкість другого становить (х – 10) км/год. Перший автомобіль подолав за 2 год 2х км, а другий – 2(х – 10) км, тоді: 2х + 2(х – 10) = 270 – 30 2х + 2х – 20 = 240 4х = 260 х = 65 (км/год) – швидкість першого автомобіля.

65 – 10 = 55 (км/год) – швидкість другого автомобіля. Відповідь: 65 км/год; 60 км/год.

128. Компанія складається із 7 осіб. Чи може кожна особа компанії дружити: 1) рівно з чотирма особами; 2) рівно з п’ятьма особами?

1) Якщо кожна з 7 осіб дружить рівно з чотирма іншими особами, тоді загальна кількість дружніх зв'язків у компанії повинна дорівнювати 7 · 4 : 2 = 14 (оскільки кожен зв'язок рахується двічі). Це можливе, оскільки 14 є цілим числом. Отже, така ситуація можлива.

2) Якщо кожна з 7 осіб дружить рівно з п’ятьма іншими особами, тоді загальна кількість дружніх зв'язків у компанії повинна дорівнювати 7 · 5 : 2 = 17,5. Оскільки кількість зв'язків повинна бути цілим числом, така ситуація неможлива.

129. Маємо два сплави міді й цинку. Перший сплав містить 9 % цинку, а другий — 30 %. Скільки кілограмів кожного сплаву треба взяти, щоб отримати зливок сплаву масою 300 кг, який містить 23 % цинку? Нехай потрібно взяти х кг першого сплаву, тоді другого сплаву потрібно взяти (300 – х) кг. У х кг першого сплаву міститься 0,09х кг цинку, а в (300 – х) кг другого – 0,3(300 – х) кг. У 300 кг нового сплаву цинку є 0,23 · 300 = 69 кг, тоді: 0,09х + 0,3(300 – х) = 69 0,09х + 90 – 0,3х = 69 -0,21х = -21 х = 100 (кг) – першого сплаву.

300 – 100 = 200 (кг) – другого сплаву. Відповідь: 100 кг; 200 кг.

130. Маємо два водно-сольових розчини. Перший розчин містить 25 % солі, а другий — 40 %. Скільки кілограмів кожного розчину треба взяти, щоб отримати розчин масою 50 кг, який містить 34 % солі? Нехай потрібно взяти х кг першого розчину, тоді другого розчину потрібно взяти (50 – х) кг. В х кг першого розчину міститься 0,25х кг солі, а в (50 – х) кг другого – 0,4(50 – х) кг. У 50 кг нового розчину солі є 0,34 · 50 = 17 кг, тоді: 0,25х + 0,4(50 – х) = 17 0,25х + 20 – 0,4х = 17  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

-0,15х = -3 х = 20 (кг) – першого розчину.

50 – 20 = 30 (кг) – другого розчину. Відповідь: 20 кг; 30 кг.

131. У регіоні країни є 8 міст. Чи можна стверджувати, що з будь-якого міста можна проїхати в будьяке інше місто, якщо з кожного міста виходить: 1) не менше від трьох доріг; 2) чотири дороги?

1) Якщо з кожного міста виходить не менше трьох доріг, це ще не гарантує, що з будьякого міста можна проїхати в будь-яке інше. Може трапитися так, що утворяться окремі групи міст, між якими не буде прямого сполучення. Отже, не можна стверджувати, що всі міста будуть з'єднані.

2) Якщо з кожного міста виходить рівно чотири дороги, то це також не гарантує, що всі міста будуть з'єднані між собою. Подібно до випадку з трьома дорогами, можуть утворюватися окремі підгрупи міст, між якими немає сполучення. Отже, неможливо стверджувати, що з будь-якого міста можна проїхати в будь-яке інше.

132. Обчисліть значення виразу: 1) -9,6 : 12 – 29 : (-5,8) + 4 : (-225) = -0,8 + 5 – 0,16 = 4,04 2) -3,4 · (4 – 4,6) + 12,4 · (-0,8 – 2,2) = -3,4 · (-0,6) +12,4 · (-3) = 2,04 – 37,2 = -35,16 3 2 7 2 3 7 2 7 63 1 3) �0,4 − � · 6 + 1,75 ∶ �−7 � = (0,4 − 0,15) ∙ 6 + 1 ∶ 7 = 0,25 ∙ 6 + ∶ = ∙ 20 3

7

+ ∙

8

4 63

20

3 2

5

= + = 3 9

9

15+2 9

=

17

9 1

8

=1

8 9

3

4

4

8

3

20

4

8

4

4) �6,3 ∶ �− � − 2,6 ∶ �− �� ∙ �− � − 0,6 ∶ (−0,36) = �6,3 ∙ �− � − 2,6 ∙ (−20)� ∙ 20 20 19 9 4

6

100

4

5

4

5

2

1

�− 19� + 10 ∙ 36 = (−14 + 52) ∙ �− 19� + 3 = 38 ∙ �− 19� + 3 = −8 + 1 3 = −6 3 133. Знайдіть значення виразу: 1) Якщо х = 4, то 14 – 6х = 14 – 6 · 4 = 14 – 24 = -10 Якщо х = -2, то 14 – 6х = 14 – 6 · (-2) = 14 + 12 = 26 Якщо х = 0, то 14 – 6х = 14 – 6 · 0 = 14 – 0 = 14 Якщо х = -0,3, то 14 – 6х = 14 – 6 · (-0,3) = 14 + 1,8 = 15,8 3 3 9 Якщо х = , то 14 – 6х = 14 – 6 · = 14 − = 14 − 2,25 = 11,75 8 8 4 2) Якщо а = 7, то а² + 3 = 7² + 3 = 49 + 3 = 52 Якщо а = -2, то а² + 3 = (-2) ² + 3 = 4 + 3 = 7 Якщо а = 0, то а² + 3 = 0² + 3 = 0 + 3 = 3 Якщо а = 0,4, то а² + 3 = 0,4² + 3 = 0,16 + 3 = 3,16 1

1 2

4 2

16

7

7

Якщо а = −1 , то а2 + 3 = �−1 � + 3 = � � + 3 = + 3 = 1 + 3 = 4 3 3 3 9 9 9 3) Якщо m = 0,2, n = -0,6, то (2m – 1)n = (2 · 0,2 – 1) · (-0,6) = (0,4 – 1) · (-0,6) = -0,6 · (-0,6) = 0,36 134. Заповніть таблицю, обчислюючи значення виразу –3x + 2 для наведених значень x: х -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -3х + 2 14 11 8 5 2 -1 -4 -7 -10 135. Яку цифру треба дописати ліворуч і праворуч до числа 37, щоб отримане число ділилося націло на 6? Число повинно ділитися на 2, тому його остання цифра повинна бути парною. Шуканими числами можуть бути 2372, 4374, 6376, 8378. Число повинно ділитися на6, тому шуканим число є 4374. Відповідь: 4.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

136. Чи має корені рівняння: 1) Рівняння х² = 0 має коренем число 0 2) Рівняння х² = -1 не має коренів, бо квадрат числа не може дорівнювати від’ємного числу 3) Рівняння ǀхǀ = х має коренем будь-яке невід’ємне число 4) Рівняння ǀхǀ = -х має коренем число 0 137. Чи може бути цілим числом значення виразу: 1 1) Значенння виразу може бути цілим числом, наприклад, якщо х = 1 х х

2) Значення виразу може бути цілим числом, наприклад, якщо х = 0 х+1 138. Знайдіть усі натуральні значення n, при яких значення кожного з виразів n – 2, n + 24, n + 26 є простим числом. Усі натуральні числа можна поділити на три групи за їх остачами від ділення на 3: n = 3k – 2; n = 3k – 1; n = 3k, де k – будь-яке натуральне число.

1. Нехай n = 3k – 2, тоді n + 26 = 3k – 2 + 26 = 3k + 24 = 3(k + 8) – складене число. Отже група чисел виду n = 3k – 2 не містить шуканого числа.

2. Нехай n = 3k – 1, тоді n – 2 = 3k – 1 – 2 = 3k – 3 = 3(k – 1). Число 3(k – 1) для усіх значень k > 2 є складеним. Якщо k = 2, то число n – 2 = 3(2 – 1) = 3 і n = 3 + 2 = 5 є простим числом. Якщо n = 5, то значення виразів n + 24 і n + 26 відповідно дорівнюють 29 і 31 і є простими числами. Отже, група чисел виду n = 3k – 1 містить одне шукане число – число 5.

3. Нехай n = 3k, тоді n + 24 = 3k + 24 = 3(k + 8) – складене число. Отже, група чисел виду n = 3k не містить шуканого числа. Відповідь: n = 5. ЗАВДАННЯ № 1 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ 1. Обчисліть значення виразу 5 – 4b при b = –2. А) 3; Б) –3; В) 13; Г ) –13.

5 − 4(−2) = 5 + 8 = 13 1 1 2. Знайдіть значення виразу 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 , якщо m = 35, n = –18.

5 3 А) 1; Б) 2; В) 3; Г ) 4.

1 1 · 35 + · (−18) = 7 + (−6) = 1 5 3 3. Який із наведених виразів є записом різниці добутку чисел a і b та числа c? А) a – bc ; Б) ab – c; В) a (b – c); Г ) (a – b) c. Щоб знайти вираз для різниці добутку чисел a і b та числа c, потрібно записати вираз у вигляді ab − c.

4. Серед наведених алгебраїчних виразів укажіть цілий. 𝑏𝑏 А) 𝑏𝑏−7 Цей вираз не завжди є цілим числом, оскільки результат залежить від значення b, і не завжди обчислюється як ціле число. 𝑏𝑏+5 Б) 𝑏𝑏−7 Цей вираз також не завжди є цілим числом, оскільки чисельник і знаменник не мають обов'язкових простих зв'язків, щоб результат був цілим числом. 𝒃𝒃+𝟓𝟓 В) 𝟕𝟕 Цей вираз є цілим числом, коли b + 5 є кратним 7. Тобто, при виборі відповідного b, вираз може бути цілим числом. 𝑏𝑏+5 Г) 𝑏𝑏 Цей вираз не завжди є цілим числом, оскільки залежить від значення b, і не завжди обчислюється як ціле число.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

5. Знайдіть корінь рівняння 7x + 2 = 3x – 6. А) 2; Б) 1; В) –2; Г ) –1.

7х + 2 = 3х – 6 7х – 3х = -6 – 2 4х = -8 х = -2 6. Яке з рівнянь є лінійним? Лінійне рівняння має форму ax + b = 0, де a і b – константи, а x – змінна. А) 2x = –3; Це рівняння можна переписати у вигляді 2x + 3 = 0, що є лінійним рівнянням.

1 Б) = 0 ; х

1

Це рівняння не має розв'язків, оскільки не може дорівнювати нулю. Воно не є лінійним. х В) | x | = 4; Це рівняння з модулем, яке має два розв'язки x = 4 і x = −4. Воно не є лінійним. Г) (x – 1)(x – 2) = 0. Це рівняння є квадратним, оскільки воно розкладається в вигляді x² − 3x + 2 = 0. Воно не є лінійним. х х 7. Розв’яжіть рівняння − = 6.

2 3 А) 12; Б) 36; В) –6; Г ) –1.

3х 2х − =6 6 6 3х−2х х

6

=6

=6 х = 6 · 6 = 36 8. Розв’яжіть рівняння 2 (x – 3) – (x + 4) = x – 10. А) 0; В) x — будь-яке число; Б) коренів немає; Г) 10.

2(х – 3) – (х + 4) = х – 10 2(х – 3) – (х + 4) = 2х – 6 – х – 4 2х – 6 – х – 4 = х – 10 х – 10 = х – 10 Ми отримали рівняння, яке є тотожністю, оскільки обидві сторони рівняння ідентичні. Це означає, що будь-яке значення x задовольняє рівнянню.

9. При якому значенні a рівняння (a + 4) x = a – 3 не має коренів? А) 3; В) 0; Б) –4; Г) такого значення не існує. Щоб визначити, при якому значенні aaa рівняння (a + 4)x = a − 3 не має коренів, розглянемо ситуацію, коли рівняння не має розв'язків. Рівняння не має розв'язків у випадку, коли коефіцієнт при x дорівнює нулю, а права частина не дорівнює нулю, тобто: Коефіцієнт при x дорівнює нулю, коли a + 4 = 0, тоді a = −4, відповідно: (−4 + 4)x = −4 – 3 ⟹ 0 ⋅ x = −7 Оскільки 0 ⋅ x не може дорівнювати -7, рівняння не має розв'язків, коли a = −4.

1 10. Відомо, що 45 % числа a на 7 більше, ніж цього числа. Знайдіть число a.

6

А) 36;

Б) 45;

В) 60;

3

1

Г ) 90.0,45а = а + 7 3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 1

0,45 − а = 7 3 0,45а – 0,333а = 7 0,117а = 7 7 а= ≈ 60 0,117

11. Три робітники виготовили 70 деталей. Перший робітник виготовив у 2 рази менше деталей, ніж другий, а третій — на 10 деталей більше, ніж перший. Нехай перший робітник виготовив x деталей. Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі? А) x + 2x + 2x + 10 = 70; В) x + 2x + 2x – 10 = 70; Б) x + 2x + x + 10 = 70; Г) x + 2x + x – 10 = 70. Нехай перший робітник виготовив x деталей, тоді другий робітник виготовив у 2 рази більше деталей, ніж перший, тобто 2x деталей, а третій робітник виготовив на 10 деталей більше, ніж перший, тобто x + 10 деталей, тоді: х + 2х + (х + 10) = 70 х + 2х + х + 10 = 70 4х + 10 = 70 4х = 60 х = 15 12. На першій ділянці було в 4 рази більше кущів малини, ніж на другій. Коли з першої ділянки пересадили на другу 12 кущів, то на другій стало у 2 рази менше кущів малини, ніж на першій. Нехай на другій ділянці було спочатку x кущів. Яке з наведених рівнянь є математичною моделлю ситуації, описаної в умові задачі? А) 2 (4x – 12) = x + 12; В) 4x + 12 = 2 (x – 12); Б) 2 (4x + 12) = x – 12; Г) 4x – 12 = 2 (x + 12). Нехай на першій ділянці було в 4 рази більше кущів, ніж на другій. Отже, на першій ділянці було 4x кущів. Коли з першої ділянки пересадили 12 кущів на другу, на першій ділянці залишилося 4x − 12 кущів, а на другій стало x + 12 кущів. Після пересадки на другій ділянці стало у 2 рази менше кущів, ніж на першій, тоді: 1 х + 12 = (4х − 12) 2 2(х + 12) = 4х – 12 2х + 24 = 4х – 12 24 + 12 = 4х – 2х 36 = 2х х = 18 4. Тотожно рівні вирази. Тотожності 139. 1) Вирази є тотожно рівними на основі переставної властивості додавання.

2) Вирази є тотожно рівними на основі сполучної властивості додавання.

3) Вирази є тотожно рівними на основі перставної властивості множення.

4) Вирази є тотожно рівними на основі переставних властивостей додавння і множення.

5) Вирази є тотожно рівними на основі розподільної властивості множення відносно додавання.

140. Чи є тотожністю рівність: 1) Перетворю праву частину рівності: 2(х – 6) = 2х – 2 · 6 = 2х – 12 – рівність є тотожністю.

2) Перетворю праву частину рівності: -(b – a) = -b + a = a – b – рівність є тотожністю.

3) Перетворю праву частину рівності: 3(m + 9) = 3m + 3 · 9 = 3m + 27 – рівність не є тотожністю.

4) Перетворю ліву частину рівності: (a + b) · 1 = a · 1 + b · 1 = a + b – рівність є тотожністю.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

5) Рівність не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 1, b = 1, то (a + b) · 0 = (1 + 1) · 0 = 0? a + b = 1 + 1 = 2 і 0 ≠ 2.

6) Перетворю ліву частину рівності: (a – a)(b + b) = 0 · 2b = 0 – рівність є тотожністю.

7) Рівність не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 0, то 3а – а = 0 – 0 ≠ 3.

8) Перетворю ліву частину рівності: 4х + 3х = (4 + 3)х = 7х – рівність є тотожністю.

9) Рівність не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 1, b = 1, c = 1, то a – (b + c) = 1 – (1 + 1) = -1, a – b + c = 1 – 1 + 1 = 1 і -1 ≠ 1.

10) Перетворю ліву частину рівності: m + (n – k) = m + n – k – рівність є тотожністю.

11) Перетворю ліву частину рівності: 4а – (3а – 5) = 4а – 3а + 5 = а + 5 – рівність є тотожністю.

12) Рівність не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 1, то (а – 5)(а + 3) = (1 – 5)(1 + 3) = 16, (5 – а)(3 + а) = (5 – 1)(3 + 1) = 16 і -16 ≠ 16.

141. Чи є тотожно рівними вирази: 1) 8(a – b + c) = 8a – 8b + 8c – вирази є тотожно рівними.

2) Вирази не є тотожно рівними, бо, наприклад, якщо х = 1, то -2(х – 4) = -2(1 – 4) = 6, -2х – 8 = -2 · 1 – 8 = -10 і 6 ≠ -10.

3) Вирази не є тотожно рівними, бо, наприклад, якщо а = 0, то (5а – 4) – (2а – 7) = -4 – (0 – 7) = 3, 3а – 11 = 3 · 0 – 11 = -11 і 3 ≠ -11.

142. Порівняйте значення виразів a² і | a | при a = –1; 0; 1. Чи можна стверджувати, що рівність а² = ǀ а ǀ є тотожністю? Якщо а = 1; 0; 1, то а² = ǀаǀ = 1; 0; 1, але рівність а² = ǀаǀ не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 2, то а² = 4, ǀаǀ = 2 і 4 ≠ 2.

143. Якому з наведених виразів тотожно дорівнює вираз –3a + 8b – a – 11b: 1) –4a + 3b; 3) –4a – 3b; 2) –3a + 3b; 4) –3a – 3b?

-3а + 8b – a – 11b = -4a – 3b Відповідь: 3).

144. Серед виразів –10a + 7; –10a – 7; –14a + 7; –14a – 7 знайдіть такий, який тотожно дорівнює виразу –12a + (7 – 2a).

-12а + (7 – 2а) = -12а + 7 – 2а = -14а + 7 Відповідь: -14а + 7 145. Доведіть тотожність: 1) -5х – 6(9 – 2х) = -5х – 54 + 12х = 7х – 54 – тотожність доведена.

1 2) (12 − 0,6у) + 0,3у = 4 − 0,2у + 0,3у = 0,1у + 4 – тотожність доведена.

3 3) 3(7 – а) – 7(1 – 3а) = 21 – 3а – 7 + 21а = 14 + 18а – тотожність доведена.

4) (6х – 8) – 5х – (4 – 9х) = 6х – 8 – 5х – 4 + 9х = 10х – 12 – тотожність доведена.

5) 3(2,1m – n) – 0,9(7m + 2n) = 6,3m – 3n – 6,3m – 1,8n = -4,8n – тотожність доведена.

2 3 1 1 2 3 2 1 1 1 1 1 6) �− х + 6� − �24 − 1 х� = − ∙ х + ∙ 6 − ∙ 24 + ∙ 1 х = − х + 4 − 4 + х = 3 8 6 2 3 8 3 6 6 2 4 4 0 – тотожність довдена.

146. Доведіть тотожність: 1) -0,2(4b – 9) + 1,4b = -0,8b + 1,8 + 1,4b = 0,6b + 1,8 – тотожність доведена.

2) (5a – 3b) – (4 + 5a – 3b) = 5a – 3b – 4 – 5a + 3b = -4 – тотожність доведена.

3) 5(0,4х – 0,3) + (0,8 – 0,6х) = 2х – 1,5 + 0,8 – 0,6х = 1,4х – 0,7 – тотожність доведена.

1 1 1 1 1 4) (3у − 27) − 2 � у − 1,5� = у − 3 − у + 3 = у – тотожність доведена.

9 12 3 6 6 147. Які з наведених рівностей є тотожностями: 1) (2a – 3b)² = (-(3b – 2a))² = (2a – 3b)² - рівність є тотожністю.

2) Рівність (a – b)³ = (b – a)³ не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 1, b = 0, то (a – b)³ = (1 – 0)³ = 1, (b – a)³ = (0 – 1)³ = -1 і 1 ≠ -1.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) Рівність ǀа + 5ǀ = а + 5 не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = -6, то ǀа + 5ǀ = ǀ-6 + 5ǀ = ǀ-1ǀ = 1, а + 5 = -6 + 5 = -1 і 1 ≠ -1.

4) ǀа - bǀ = ǀ-(b – a) ǀ = ǀb - aǀ - рівність є тотожністю.

5) ǀа² + 4ǀ = а² + 4, бо а² + 4 > 0 для усіх значень а. Тому рівність ǀа² + 4ǀ = а² + 4 є тотожністю.

6) Рівність ǀa + bǀ = ǀaǀ + ǀbǀ не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 6, b = -5, то ǀa + bǀ = ǀ6 - 5ǀ = 1, ǀaǀ + ǀbǀ = ǀ6ǀ + ǀ-5ǀ = 6 + 5 = 11 і 1 ≠ 11.

7) Рівність ǀа - 1ǀ = ǀаǀ - 1 не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 0, то ǀа - 1ǀ = ǀ0 - 1ǀ = 1, ǀаǀ - 1 = ǀ0ǀ - 1 = -1 і 1 ≠ -1.

8) Рівність а² - b² = (a – b) ² не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 2, b = 1, то a² - b² = 2² - 1² = 4 – 1 = 3? (a – b) ² = (2 – 1) ² = 1² = 1 і 3 ≠ 1.

148. Запишіть у вигляді рівності твердження: 1) сума протилежних чисел дорівнює нулю; а + (-а) = 0 2) добуток даного числа та числа 1 дорівнює 1; а·1=1 3) добутком даного числа та числа –1 є число, протилежне даному; а · (-1) = -а 4) модулі протилежних чисел рівні; ǀаǀ = ǀ-аǀ 5) різниця протилежних чисел дорівнює нулю. а – (-а) = 0 Які із цих рівностей є тотожностями? – 1), 3), 4).

149. Доведіть тотожність: 1) 4(2 – 3m) – (6 – m) – 2(3m + 4) = 8 – 12m – 6 + m – 6m – 8 = -17m – 6 – тотожність доведена.

2) a + b – 10ab = 2a (3 – b) – 3b (a – 2) – 5 (ab + a + b) = 2a(3 – b) – 3b(a – 2) – 5(ab + a + b) = 6a – 2ab – 3ab + 6b – 5ab – 5a – 5b = a + b – 10ab – тотожність доведена.

3) 6(5а – 3) + (10 – 20а) – (6а – 4) = 30а – 18 + 10 – 20а – 6а + 4 = 4а – 4 5а – (3а – (2а – 4)) = 5а – (3а – 2а + 4) = 5а – а – 4 = 4а – 4 – тотожність доведена.

150. Доведіть тотожність: 1) (3m – 7) · 0,6 – 0,8(4m – 5) – (-1,7 + 1,4m) = 1,8m – 4,2 – 3,2m + 4 + 1,7 + 1,4m = 1,5 – тотожність доведена.

1 2) 7𝑎𝑎(3𝑏𝑏 + 4𝑐𝑐) − 3𝑎𝑎 �𝑏𝑏 + 𝑐𝑐� = 21𝑎𝑎𝑎𝑎 + 28𝑎𝑎𝑎𝑎 − 3𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 18𝑎𝑎𝑎𝑎 + 27𝑎𝑎𝑎𝑎 = 9𝑎𝑎(2𝑏𝑏 + 3𝑐𝑐) 3 – тотожність доведена.

151. Доведіть, що не є тотожністю рівність: 1) Рівність (а + 3)² = а² + 9 не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 1, то (а + 3)² = (1 + 3)² = 4² = 16, а² + 9 = 1² + 9 = 1 + 9 = 10 і 16 ≠ 10.

2) Рівність (b – 1)(b + 1) = (b – 1)b + 1 не є тотожністю, бо, наприклад, якщо b = 1, то (b – 1)(b + 1) = (1 – 1)(1 + 1) = 0, (b – 1)b + 1 = (1 – 1) · 1 + 1 = 1 і 0 ≠ 1.

3) Рівність (с + 1)³ = с³ + 1 не є тотожністю, бо, наприклад, якщо с = 1, то (с + 1)³ = (1 + 1)³ = 2³ = 8, с³ + 1 = 1³ + 1 = 1 + 1 = 2 і 8 ≠ 2.

4) Рівність ǀmǀ - ǀnǀ = ǀnǀ - ǀmǀ не є тотожністю, бо, наприклад, якщо m = 2, n = 1, то ǀmǀ - ǀnǀ = ǀ2ǀ - ǀ1ǀ = 2 – 1 = 1, ǀnǀ - ǀmǀ = ǀ1ǀ - ǀ2ǀ = 1 – 2 = -1 і 1 ≠ -1.

152. Доведіть, що не є тотожно рівними вирази: 1) Вирази 4 - m² і (2 – m)² не є тотожно рівними, бо, наприклад, якщо m = 1, то 4 - m² = 4 1² = 3, (2 – m)² = (2 – 1)² = 1² = 1 і 3 ≠ 1.

2) Вирази ǀ- mǀ і m не єа тотожно рівними, бо, наприклад, якщо m = -1, то ǀ- mǀ = ǀ-(-1)ǀ = 1, m = -1 і 1 ≠ -1.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) Вирази m³ + 8 і (m + 2)( m² + 4) не є тотожно рівними, бо, наприклад, якщо m = 1, то m³ + 8 = 1³ + 8 = 9(m + 2)( m² + 4) = (1 + 2)(1² + 4) = 3 · 5 = 15 і 9 ≠ 15.

153. Пасажирський поїзд проходить відстань між двома станціями за 12 год. Якщо одночасно від цих станцій вирушать назустріч один одному пасажирський і товарний поїзди, то вони зустрінуться через 8 год після початку руху. За який час товарний поїзд може подолати відстань між цими станціями? Нехай відстань між містами дорівнює х км, тоді швижкість пасажирського поїзда дорівнює х х км/год, а швидкість зближення поїздів - км/год, тоді: 12 х

8

−

х

12 х

=

4

24

8

(км/год) – швидкість товарного поїзда.

х ∶ = 24 (год) – товарний поїзд подолає відстань між містами.

24 Відповідь: 24 год.

154. Відомо, що a > 0 і a + b < 0. Порівняйте: 1) b < 0; 2) | a | < | b |.

155. Ціну товару спочатку збільшили на 50 %, а потім зменшили на 50 %. Збільшилася чи зменшилася початкова ціна товару та на скільки відсотків? Нехай спочатку ціна товару була х грн, після її збільшення на 50% вона стала дорівнювати 1,5х грн. При зменшенні нової ціни на 50% вона стала дорівнювати 0,5 · 1,5х = 0,75х грн. Отже, початкова ціна товару зменшилась на: х – 0,75х = 0,25х (грн), або на: 0,25х : х = 0,25 = 25% Відповідь: початкова ціна товару зменшилась на 25%.

156. Загальна довжина річки Дніпро становить 2201 км, з них у межах України — 981 км. Загальна довжина річки Десна становить 1130 км, з них у межах України — 591 км. Яка із цих річок має більший відсоток довжини в межах України?

1) 981 : 2201 = 0,446 = 44,6% - відсоток довжини Дніпра в межах України.

2) 591 : 1130 = 0,523 = 52,3% - відсоток довжини Десни в межах України. Відповідь: відсоток довжини Десни в межах України більший.

157. На дошці записано числа 1, 2, 3, ..., 10. За один крок дозволено вибрати два числа, до кожного з них додати 5 або від кожного відняти 1. Чи можна за допомогою цих операцій домогтися того, щоб усі числа, записані на дошці, виявилися рівними? Сума чисел 1 + 2 + 3 + 4 + … + 10 є непарним числом. Якщо за один крок до двох чисел додавати 5 чи віднімати 1, то сума усіх чисел нової групи залишиться непарним числом, а сума будь-якх десяти рівних чисел є парним числом. Відповідь: ні, не можна.

5. Степінь з натуральним показником 158. Прочитайте вираз, назвіть основу та показник степеня: 1) 96 – «дев’ять у шостому степені», основа степеня – 9, показник степеня – 6.

2) 2,47 – «дві цілих чотири десятих у сьомому степені», основа степеня – 2,4, показник степеня – 7.

3) 0,35 – «нуль цілих три десятих у п’ятому степені», основа степеня – 0,3, показник степеня – 5.

4) (−8)2 – «мінус вісім у квадраті», основа степеня - -8, показниик степеня – 2.

5) (−0,6)3 – «мінус нуль цілих шість десятих у кубі», основа степеня - -0,6, показник степеня – 3.

6) (−а)11 – «мінус а в одинадцятому степені», основа степеня - -а, показник степеня – 11.

7) 731 – «сімдесят три у першому степені», основа степеня – 73, показник степеня – 1.

8) (3р)12 – «три пе у дванадцятому степені», основа степеня – 3р, показник степеня – 12.

159. Спростіть вираз, замінивши добуток однакових множників степенем:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 54 3) а ⋅ а ⋅ а ⋅ а ⋅ а = а5

5) х2 ⋅ х2 ⋅ х2 ⋅ х2 = (х2 )4

2) (−7) ⋅ (−7) ⋅ (−7) = (−7)3 4) 2𝑚𝑚 ⋅ 2𝑚𝑚 ⋅ 2𝑚𝑚 ⋅ 2𝑚𝑚 ⋅ 2𝑚𝑚 = 2𝑚𝑚5 10 6) у ⋅ у ⋅ … ⋅ у = у 10 множників с ⋅ с ⋅ … с = с𝑚𝑚 8) 𝑚𝑚 множників

𝑘𝑘

7) 0,4 ⋅ 0,4 ⋅ … ⋅ 0,4 = 0,4 𝑘𝑘 множників 160. Подайте у вигляді степеня добуток: 1) с ⋅ с ⋅ с ⋅ с ⋅ с ⋅ с ⋅ с ⋅ с = с8 2) 5𝑏𝑏 ⋅ 5𝑏𝑏 ⋅ 5𝑏𝑏 = 5𝑏𝑏 3 3) (−х) ⋅ (−х) … ⋅ (−х) = (−х)19 4) (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) ⋅ (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) ⋅ … ⋅ (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)𝑑𝑑 161. Користуючись означенням степеня, подайте у вигляді добутку степінь: 1) 116 = 11 ⋅ 11 ⋅ 11 ⋅ 11 ⋅ 11 ⋅ 11 2) 0,14 = 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1 1 2

1

1

3) �− � = �− � ⋅ �− � 6 3

6

6

4) 5с = 5с ⋅ 5с ⋅ 5с 5) (−3,6)7 = (−3,6) ⋅ (−3,6) ⋅ (−3,6) ⋅ (−3,6) ⋅ (−3,6) ⋅ (−3,6) ⋅ (−3,6) 6) (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)5 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) ⋅ (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) ⋅ (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) ⋅ (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) ⋅ (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) 162. Користуючись означенням степеня, подайте у вигляді добутку степінь: 1) 37 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

3) (𝑐𝑐 + 𝑑𝑑)3 = (𝑐𝑐 + 𝑑𝑑) ⋅ (𝑐𝑐 + 𝑑𝑑) ⋅ (𝑐𝑐 + 𝑑𝑑) 163. Чому дорівнює значення виразу: 3) (-9)² = 81 1) 0,6² = 0,36 6 4) 112 = 1 2) 0 = 0

1 4

1

1

1

3 4

3

3

3

1

1

7

7

7

7

1 7

4) (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) ⋅ (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) 5) (−1)12 = 1 2 2

6) � � = 3

164. Знайдіть значення виразу: 1) 83 = 8 ⋅ 8 ⋅ 8 = 512 2) 1,53 = 1,5 ⋅ 1,5 ⋅ 1,5 = 3,375 3) (−1,9)2 = −1,9 ⋅ (−1,9) = 3,61 1 3

1

2) �2 � = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2

4 9

7

4) � � = ⋅ ⋅ = 9 9 9 9 729 5) (−0,6)3 = −0,6 ⋅ (−0,6) ⋅ (−0,6) = −0,216 3

6) � � = ⋅ ⋅ ⋅ = 4

4

4

4

81

4

256

1

1⋅1⋅1⋅1

7) (−0,01)3 = −0,01 ⋅ (−0,01) ⋅ (−0,01) = −0,000001 1 5

4 5

4

4

4

4

4

1024

52

8) �−1 � = �− � = �− � ⋅ �− � ⋅ �− � ⋅ �− � ⋅ �− � = − = −4 3 3 3 3 3 3 3 243 243 165. Виконайте піднесення до степеня: 1) 7² = 7 ⋅ 7 = 49 2) 0,5³ = 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25 ⋅ 0,5 = 0,125 3) 1,2² = 1,2 ⋅ 1,2 = 1,44 4) (−1)7 = (−1) ⋅ (−1) ⋅ … ⋅ (−1) = −1 5) (-0,8)³ = (-0,8) ⋅ (-0,8) ⋅ (-0,8) = -0,8 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8 = -0,64 ⋅ 0,8 = -0,512 1 4

1

1

1

6) � � = ⋅ ⋅ ⋅ = 6

6

6

6

6

6⋅6⋅6⋅6

=

1

36⋅36

=

1

1296

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

166. Заповніть таблицю: а 2 -2

10

-10

0,1

а²

4

4

100

100

0,01

0,01

а³

8

-8

1000

-1000

0,001

-0,001

16

4

а

16

10000

10000

1

-0,1

0,0001

2 1 4 1 8 1

0,0001

16

а²: 2² = 2 ⋅ 2 = 4, (-2)² = 2 ⋅ 2 = 4, 10² = 10 ⋅ 10 = 100, (-10)² = 10 ⋅ 10 = 100, 0,1² = 0,1 ⋅ 0,1 = 0,01, (-0,1)² = 0,1 ⋅ 0,1 = 0,01, 12 2

1

1

1

1

1

1

1

1

= ⋅ = 2

2

1

1 2

1

1

1

= , �− � = ⋅ =

2⋅2

4

2

2

2

1

2⋅2

=

2

= ⋅ ⋅ = 2

2

2

1

2⋅2⋅2

=

1

4⋅2

1

1 3

1

1

1

2

4

−

1

2 1 8

16

4

1

1

1

1

= , �− � = − ⋅ ⋅ = − 8

1

1

1

а³: 2³ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4 ⋅ 2 = 8, (-2)³ = -2 ⋅ 2 ⋅ 2 = -4 ⋅ 2 = -8, 10³ = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1000, (-10)³ = -10 ⋅ 10 ⋅ 10 = -1000, 0,1³ = 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1 = 0,001, (-0,1)³) = 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1 = 0,001, 13

−

2

2

2

1

2⋅2⋅2

=−

1

1

1 8

а𝟒𝟒 : 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4 ⋅ 4 = 16, (−2)4 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4 ⋅ 4 = 16 104 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 100 ⋅ 100 = 10000, (−10)4 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 100 ⋅ 100 = 10000, 0,14 = 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1 = 0,01 ⋅ 0,01 = 0,001, (−0,1)4 = 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1 = 0,01 ⋅ 0,01 = 0,001, 14

1

1

1 4

1

1

1

= ⋅ ⋅ ⋅ = = = , �− � = ⋅ ⋅ ⋅ = = = 2 2 2 2 2 2⋅2⋅2⋅2 4⋅4 16 2 2 2 2 2 2⋅2⋅2⋅2 4⋅4 16 167. Заповніть таблицю: 1 а -6 6 -0,4 0,4 3 0,03 2 10а² 360 360 1,6 1,6 90 0,009 2,5 (10а)² 3600 3600 16 16 900 0,09 25 10а² = 10 ⋅ а² 10 ⋅ (-6)² = 10 ⋅ (-6) ⋅ (-6) = 10 ⋅ 6 ⋅ 6 = 10 ⋅ 36 = 360 10 ⋅ 6² = 10 ⋅ 6 ⋅ 6 = 10 ⋅ 36 = 360 10 ⋅ (-0,4)² = 10 ⋅ (-0,4) ⋅ (-0,4) = 10 ⋅ 0,4 ⋅ 0,4 = 10 ⋅ 0,16 = 1,6 10 ⋅ 0,4² = 10 ⋅ 0,4 ⋅ 0,4 = 10 ⋅ 0,16 = 1,6 10 ⋅ 3² = 10 ⋅ 3 ⋅ 3 = 10 ⋅ 9 = 90 10 ⋅ 0,03² = 10 ⋅ 0,03 ⋅ 0,03 = 10 ⋅ 0,0009 = 0,009 12

1

1

1

10

5

1

10 ⋅ = 10 ⋅ ⋅ = 10 ⋅ = = = 2 = 2,5 2 2 2 4 4 2 2 10 ⋅ (-1)² = 10 ⋅ (-1) ⋅ (-1) = 10 10 ⋅ 0² = 10 ⋅ 0 = 0 (10 ⋅ а)² (10 ⋅ (-6))² = (-60)² = (-60) ⋅ (-60) = 60 ⋅ 60 = 3600 (10 ⋅ 6)² = 60 ⋅ 60 = 3600 (10 ⋅ (-0,4))² = (-4)² = (-4) ⋅ (-4) = 4 ⋅ 4 = 16 (10 ⋅ 3)² = 30 ⋅ 30 = 900 (10 ⋅ 0,03)² = 0,3 ⋅ 0,3 = 0,09

 shkola.in.ua

-1 10 100

0 0 0

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 1 2

10 2

�10 ⋅ 2� = � 2 � = 5 ⋅ 5 = 25 (10 ⋅ (-1))² = (-10) ⋅ (-10) = 100 (10 ⋅ 0)² = 10 ⋅ 0 = 0 168. Площа Кримського півострова — найбільшого півострова України — дорівнює 2 55 ⋅ 104 км². Виразіть цю площу натуральним числом у квадратних кілометрах.

2,55 ⋅ 104 = 2,55 ⋅ 10000 = 25500 (км²) – площа Кримського півострова. Відповідь: 25 500 км².

169. Відстань від Землі до Сонця дорівнює 1 495 ⋅ 1011 м. Виразіть цю відстань натуральним числом у метрах.

1,495 ⋅ 1011 = 1,495 ⋅ 100 000 000 000 = 149 500 000 000 м – відстань від Землі до Сонця. Відповідь: 149 500 000 000 м.

170. Площа материків і островів Землі становить 1 49 ⋅ 108 км², а площа океанів — 3 61 ⋅ 108 км². Виразіть ці площі натуральними числами у квадратних кілометрах.

1) 1,49 ⋅ 108 = 1,49 ⋅ 100 000 000 = 149 000 000 км² - площа материків і островів Землі.

2) 3,61 ⋅ 108 = 3,61 ⋅ 100 000 000 = 361 000 000 км² - площа океанів.

171. Обчисліть: 1) 82 − 110 = 64 − 1 = 63 2) 0,3 ⋅ 24 = 0,3 ⋅ 16 = 4,8 3)(4,2 − 3,8)4 ⋅ 252 = 0,44 ⋅ 252 = 0,4 ⋅ 0,4 ⋅ 0,4 ⋅ 0,4 ⋅ 25 ⋅ 25 = (0,4 ⋅ 0,4) ⋅ (0,4 ⋅ 25) ⋅ (0,4 ⋅ 25) = 0,16 ⋅ 10 ⋅ 10 = 16 172. Обчисліть: 1) 43 + 35 = 64 + 243 = 307 2) 0,63 − 0,43 = 0,216 − 0,064 = 0,152 3) 0,12 ⋅ 54 = 0,12 ⋅ 625 = 75 173. Знайдіть значення виразу: 1) Якщо х = 0,1, то х2 − х3 = 0,12 − 0,13 = 0,01 − 0,001 = 0,009 2) Якщо а = 0,4, то 15а2 = 15 ⋅ 0,42 = 15 ⋅ 0,16 = 2,4 3) Якщо х = 0,8, у = 0,6, то (х − у)5 = (0,8 − 0,6)5 = 0,25 = 0,00032 4) Якщо а = 0,6, b = 0,5, то 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 3 = 0,62 ∙ 0,53 = 0,36 ∙ 0,125 = 0,045 5) Якщо х = 5, у = 3, то (х2 − у2 ): (х − у) = (52 − 32 ): (5 − 3) = (25 − 9): 2 = 16 ∶ 2 = 8 6) Якщо х = 5, у = 3, то (х2 − у2 ): х − у = (52 − 32 ): 5 − 3 = (25 − 9): 5 − 3 = 16 ∶ 5 − 3 = 3,2 − 2 = 0,2 7) Якщо х = 5, у = 3, то х2 − у2 ∶ (х − у) = 52 − 32 ∶ (5 − 3) = 25 − 9 ∶ 2 = 25 − 4,5 = 20,5 8) Якщо х = 5, у = 3, то х2 − у2 ∶ х − у = 52 − 32 ∶ 5 − 3 = 25 − 9 ∶ 5 − 3 = 25 − 1,8 − 3 = 20,2 174. Знайдіть значення виразу: 1) Якщо с = 2, то 16 − с3 = 16 − 23 = 16 − 8 = 8 2) Якщо х = 0,125, то (16х)6 = (16 ∙ 0,125)6 = 26 = 64 3) Якщо а = 10, b = 0,1, то 𝑎𝑎3 𝑏𝑏 2 = 103 ∙ 0,12 = 1000 ∙ 0,01 = 10 4) Якщо а = 3, то 4а4 − а = 4 ∙ 34 − 3 = 4 ∙ 81 − 3 = 324 − 3 = 321 175. Не виконуючи обчислення, порівняйте: 1) (−5,8)2 > 0 (показник парне число, тому отримуємо додатне число); 2) 0 > (−3,7)3 (показник непарне число, тому отримуємо від’ємне число);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) (−12)7 < (−6)4 , бо число (−12)7 < 0 (показник непарне число), число (−6)4 > 0 (показник парне число); 4) −88 < (−8)8 , бо число −88 < 0 (спочатку знаходимо 88 , а потім помножуємо на (-1)), а число (−8)8 > 0 (показник парне число); 5) (−17)6 = 176, протилежні числа мають парний показник 6, тому мають рівні значення.

6) (−34)5 > (−39)5 .

176. Не виконуючи обчислення, порівняйте: 1) 0 < (−1,9)10 3) (−0,1)12 > (−12)25 7 9 8 9 2) 0 > (−76)15 4) �−4 � > �−5 � 9 11 177. Чи є правильною рівність: 1) 32 + 42 = 9 + 16 = 25; 72 = 49; 25 ≠ 49. Рівність неправильна.

2) 52 + 122 = 25 + 144 = 169; 132 = 169; 169 = 169. Рівність правильна.

3) 12 + 32 + 52 + 72 + 92 = 1 + 9 + 25 + 49 + 81 = 165; 132 = 169; 165 ≠ 169. Рівність неправильна.

4) (1 + 2 + 3)2 − 62 = 36; 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36; 36 = 36. Рівність правильна.

178. Доведіть, що: 12 + 22 + 42 + 62 + 82 = 1 + 4 + 16 + 36 + 64 = 121 112 = 121 121 = 121 Рівність доведена.

179. Порівняйте з нулем значення виразів. Чи є серед цих виразів такі, що набувають рівних значень?

2100 > 0 (−2)100 > 0 −2100 < 0 −(−2)100 < 0 Рівних значень набувають вирази 2100 і (−2)100 ; −2100 і −(−2)100 .

180. Порівняйте з нулем значення виразів. Чи є серед цих виразів такі, що набувають рівних значень?

5101 > 0 −5101 < 0 (−5)101 < 0 −(−5)101 > 0 Рівних значень набувають вирази 5101 і −(−5)101 ; −5101 і (−5)101 .

181. Розташуйте в порядку спадання значення виразів: 1) 0,3; 0,32 = 0,09; 0,33 = 0,027 Порядок зростання: 0,027; 0,09; 0,3.

2) −0,4; (−0,4)2 = 0,16; (−0,4)3 = −0,064 Порядок зростання: -0,4; -0,064; 0,16.

182. (Домашня практична робота) Розташуйте вирази в порядку зростання їхніх значень: 1 1

1

1 2

1

1 3

1

1 1

1

1 3

1

1 4

1

�− 9� = − 9 Х; �− 9� = 81 А; �− 9� = − 243 А; �9� = 9 Н; �9� = 243 Л; �− 9� = 6561 Р В порядку зростання: 1 1 1 1 1 1 − Х; − А; Р; Л; А; Н 9 243 6561 243 81 9 Ольга Харлан – українська фехтувальниця,спеціалізується на шаблі. Вона є олімпійською чемпіонкою 2008 та 2024 років, а також володаркою багатьох медалей на чемпіонатах світу та Європи.

183. Порівняйте з нулем значення виразу: 1) (−4)7 < 0, (−12)9 < 0 3) (−14)4 > 0, (−25)14 > 0 (−4)7 ∙ (−12)9 > 0 (−14)4 ∙ (−25)14 > 0 4) (−7)9 ∙ 0 = 0 2) (−5)6 >, (−17)11 < 0 (−5)6 ∙ (−17)11 < 0  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

184. Порівняйте з нулем значення виразу: 1) (−2)14 ∙ (−3)15 ∙ (−4)16 (−2)14 > 0, (−4)16 > 0, (−3)15 < 0 Добуток двох доданих множників і одного від’ємного буде від’ємним. (−2)14 ∙ (−3)15 ∙ (−4)16 < 0 2) (−5)17 ∙ (−6)18 ∙ (−7)19 (−5)17 < 0, (−7)19 < 0, (−6)18 > 0 Добуток двох від’ємних і одного додатного множника буде доадтним. (−5)17 ∙ (−6)18 ∙ (−7)19 > 0 185. Запишіть: 1) числа 16; 64; 256 у вигляді степеня з основою 4; 2) числа 0,09; 0,027; 0,00243 у вигляді степеня з основою 0,3.

1) 16 = 4 ∙ 4 = 42 64 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 43 256 = 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 44 2) 0,09 = 0,3 ∙ 0,3 = 0,32 0,027 = 0,3 ∙ 0,3 ∙ 0,3 = 0,33 0,00243 = 0,3 ∙ 0,3 ∙ 0,3 ∙ 0,3 ∙ 0,3 = 0,35 186. Подайте число у вигляді степеня з показником, більшим за 1, і з найменшою за модулем основою.

1) 10000 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 104 2) −32 = (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) = (−2)5 3) 0,125 = 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 = 0,53 4) −0,00001 = (−0,1) ∙ (−0,1) ∙ (−0,1) ∙ (−0,1) ∙ (−0,1) = (−0,1)5 8

2

2

2

2 3

5) − = �− � ∙ �− � ∙ �− � = �− � 343 7 7 7 7 187. Складіть числовий вираз і знайдіть його значення: 1) квадрат різниці чисел 7 і 5; 2) різниця квадратів чисел 7 і 5; 3) куб суми чисел 4 і 3; 4) сума кубів чисел 4 і 3.

1) (7 − 5)2 = 22 = 4 3) (4 + 3)3 = 73 = 343 2) 72 − 52 = 49 − 25 = 24 4) 43 + 33 = 64 + 27 = 91 188. Складіть числовий вираз і знайдіть його значення: 1) сума куба числа 5 і квадрата числа 8; 2) куб різниці чисел 9 і 8; 3) сума квадратів чисел 2,5 і 0,25; 4) квадрат суми чисел 7,8 і 8,2.

1) 53 + 82 = 125 + 64 = 189 2) (9 − 8)3 = 13 = 1 3) 2,52 + 0,252 = 6,25 + 0,0625 = 6,3125 4) (7,8 + 8,2)3 = 162 = 256 189. Скільки в 1 км міститься: 1) метрів; 2) сантиметрів; 3) міліметрів? Відповідь запишіть у вигляді степеня числа 10.

1) 1 км = 1 000 м = 10 ∙ 10 ∙ 10 м = 103 м 2) 1 км = 100 000 см = 10 ∙ 100 см = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 105 см 3) 1 км = 1 000 000 мм = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 106 мм 190. Яке число треба підставити замість зірочки, щоб утворилася правильна рівність: 1) 1 га = 100 а 3) 1 а = 100 м² 2) 1 га = 1000 м² 4) 1 га = 100000000 см² 191. Швидкість світла у вакуумі дорівнює 300 000 км/с. 1) Запишіть цю величину, використовуючи степінь числа 10. 2) Виразіть швидкість світла в метрах за секунду; запишіть результат, використовуючи степінь числа 10.

1) 300 000 км/с = 3 ∙ 100 000 км/с = 3 ∙ 105 км/с  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

2) 1 км/с = 1000 м/с 3) 300000 км/с = 300000000 м/с = 3 ∙ 100 000 000 м/с = 3 ∙ 108 м/с 192. Скільки в 1 м² міститься: 1) квадратних дециметрів; 2) квадратних сантиметрів; 3) квадратних міліметрів? Відповідь запишіть у вигляді степеня числа 10.

1) 1 м² = 100 дм² = 10² дм² 2) 1 м² = 10 000 см² = 104 см² 3) 1 м² = 1 000 000 мм² = 106 мм² 193. У таблиці наведено відстані від Сонця до деяких планет Сонячної системи. Запишіть назви цих планет у порядку спадання відстаней від них до Сонця. Меркурій - 5,79 ∙ 107 км Юпітер - 7,781 ∙ 108 км Марс - 2,28 ∙ 108 км Сатурн - 1,427 ∙ 109 км 194. У таблиці наведено площі деяких держав Європи, округлені до сотень квадратних кілометрів. Запишіть назви цих держав у порядку зростання їхніх площ. Андорра - 5 ∙ 102 км² Італія - 3,013 ∙ 105 км² Люксембург - 2,6 ∙ 103 км² Угорщина - 9,3 ∙ 104 км² 195. Які із чисел –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3 є коренями рівняння: 1) х4 = 16 Показник степеня парне число, тому коренем можу бети як парне, так і непарне число. Серед запропонованих чисел підходять числа 2 і -2. х = 2 або х = -2 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16 (−2)4 = (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) = 16 2) х5 = −243 Показник степеня непарне число, а значення степеня від’ємне число, тому коренем можу бути лише від’ємне число. Серед запропонованих чисел підходить число -3. х = -3 (−3)5 = (−3) ∙ (−3) ∙ (−3) ∙ (−3) ∙ (−3) = 9 ∙ 9 ∙ (−3) = 81 ∙ (−3) = −243 3) х2 + х = 2 Квадрат будь-якого числа є невід’ємним числом. Коренем може бути як непарне, так і парне число. Підставляємо запропоновані числа в рівняння і знаходимо, що підходять значення -2 і 1. х = -2 або х = 1 (−2)2 + (−2) = (−2) ∙ (−2) − 2 = 4 − 2 = 2 12 + 1 = 1 + 1 = 2 4) х3 + х2 = 6х Квадрат будь-якого числа буде невід’ємним числом, а куб невід’ємного числа буде невід’ємним, та куб від’ємного числа буде від’ємним. У правій частині рівняння теж може бути як невід’ємне, так і від’ємне число. Підставляємо запропоновані числа у рівність і знаходимо, що підходять значення -3, 0 і 2. х = -3 або х = 0 або х = 2 х3 + х2 = (−3)2 + (−3)2 = (−3) ∙ (−3) ∙ (−3) + (−3) ∙ (−3) = −27 + 9 = −18 6х = 6 ∙ (−3) = −18 х3 + х2 = 03 + 02 = 0 + 0 = 0 6х = 6 ∙ 0 = 0 х3 + х2 = 23 + 22 = 2 ∙ 2 ∙ 2 + 2 ∙ 2 = 8 + 4 = 12 6х = 6 ∙ 2 = 12  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

196. При якому значенні x дорівнює нулю значення виразу: 2) (х + 4)4 = 0 1) (2х − 3)2 = 0 х+4=0 2х – 3 = 0 х = -4 2х = 3 х = 1,5

3) (6х − 1)5 = 0 6х – 1 = 0 6х = 1 1 х= 6

197. Розв’яжіть рівняння: 1) х10 = −1 – рівняння коренів не має 2) (х − 5)4 = −16 – рівняння коренів не має 198. При яких натуральних значеннях n є правильною нерівність 8 < 3𝑛𝑛 < 85?

31 = 3 32 = 9 33 = 27 34 = 81 35 = 243 8 < 3𝑛𝑛 < 85 n = 2; 3; 4 199. При яких натуральних значеннях m є правильною нерівність 0,07 < 0,4𝑚𝑚 < 0,5?

0,41 = 0,4 0,42 = 0,16 0,43 = 0,064 0,07 < 0,4𝑚𝑚 < 0,5 m = 1; 2 200. Доведіть, що вираз х2 + (х − 1)2 набуває лише додатних значень. Кожен з виразів х2 і (х − 1)2 набуває лише невід’ємних значень, а значення 0 вони одночасно не набувають, тому вираз х2 + (х − 1)2 набуває лише додатних значень.

201. Доведіть, що вираз (х + 1)2 + ǀхǀ набуває лише додатних значень. Кожен з виразів (х + 1)2 і ǀхǀ набуває лише невід’ємних значень, а значення 0 вони одночасно не набувають, тому вираз (х + 1)2 + ǀхǀ набуває лише додатних значень.

202. Доведіть, що не має додатних коренів рівняння: 1) Вираз 2х2 + 5х + 2, при додатних значеннях х, набуває лише додатних значень. Отже, рівняння 2х2 + 5х + 2 = 0 не має додатних коренів.

2) Вираз х4 + 3х3 + 4х2 + 3х + 1 при додатних значеннях х набуває лише додатних значень. Отже, рівняння х4 + 3х3 + 4х2 + 3х + 1 = 0 не має додатних коренів.

203. Доведіть, що не має від’ємних коренів рівняння: 1) Вираз х4 + 6х2 + 5 набуває лише додатних значень, вираз −5х3 − 7х – при від’ємних значеннях х теж набуває лише додатних значень. Отже, вираз х4 − 5х3 − 7х + 5, при від’ємних значеннях х набуває лише додатних значень і тому рівняння х4 − 5х3 + 6х2 − 7х + 5 = 0 не має від’ємних коренів.

2) Вираз х8 + х4 = 1 набуває лише додатних значень, вираз х7 + х3 + х при від’ємних значеннях х набуває лише від’ємних значень. Отже, рівняння х8 + х4 + 1 = х7 + х3 + х не має від’ємних коренів.

204. При яких значеннях x і y є правильною рівність: 1) х2 + у2 = 0 2) (х − 1)4 + (у + 2)6 = 0 х2 = 0, у2 = 0 (х − 1)4 = 0, (у + 2)6 = 0 х = 0, у = 0 х – 1 = 0, у + 2 = 0 х = 1, у = -2 205. При яких значеннях x і y є правильною рівність х8 + (у − 3)2 = 0? х8 + (у − 3)2 = 0 х8 = 0, (у − 3)2 = 0 х = 0, у – 3 = 0 х = 0, у = 3  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

206. При якому значенні змінної набуває найменшого значення вираз: 1) х2 + 7 2) (х − 1)4 + 16 (х − 1)4 = 0, х − 1 = 0, х = 1 х2 = 0, х = 0 207. При якому значенні змінної набуває найбільшого значення вираз: 1) 10 − х2 2) 24 − (х + 3)6 х2 = 0, х = 0 (х + 3)6 = 0, х + 3 = 0, х = −3 208. Доведіть, що значення виразу: 1) Кожний доданок суми 101101 + 103103 є непарним число, тому сума є парним числом і ділиться наділо на 2.

2) Число 167 у десятковому записі закінчується цифрою 6, число 158 – цифрою 5, а число 119 – цифрою 1. Тоді вираз 167 + 158 − 119 закінчується цифрою 0 (6 + 5 – 1 = 10) і ділиться націло на 10.

3) 1010 − 7 = 10000000000 − 7 − 9999999993. Сума цифр числа 9999999993, а значить, і саме число ділиться націло на 3.

209. Доведіть, що значення виразу 10100 + 8 ділиться націло на 9. Число 10100 + 8 у десятковому записі має одну цифру 1, одну цифру 8 і решту цифр – нулі. Тоді сума цифр числа 10100 + 8 у десятковому записі дорівнює 1 + 8 = 9 – ділиться на 9, а значить, число 10100 + 8 ділиться націло на 9.

210. Доведіть, що при будь-якому натуральному значенні n значення виразу: ділиться націло на 5?

1) Число 6𝑛𝑛 у десятковому записі закінчується цифрою 6, тоді число 6𝑛𝑛 − 1 закінчується цифрою 6 – 1 = 5. Отже, вираз 6𝑛𝑛 − 1 ділиться націло на 5 будь-якого натурального значення n.

2) Число 111𝑛𝑛 у десятковому записі закінчується цифрою 1, тоді число 111𝑛𝑛 − 6 закінчується цифрою (10 + 1) – 6 = 5. Отже, вираз 111𝑛𝑛 − 6 ділиться націло на 5 за будьякого натурального значення n.

211. Обчисліть значення виразу: 1 2 2 10 13 36 2 5 1 4 2 13 5 �3 ∙ 1,3 − 7,2 ∙ − 9,1 ∶ 3,5� : = � ∙ − ∙ − 2,6� ∙ = � ∙ 13 − ∙ − � ∙ = 3 13

8

13

27 5 6 5

5

3

10

5

27

2

3

5 3

5

2

� 3 − 15 − 5 � ∙ 2 = 5 ∙ 2 = 3 212. Михайло та Катерина збирали гриби. Михайло зібрав у 5 разів менше грибів, ніж Катерина. Яку частину всіх грибів зібрала Катерина?

5 (грибів) – зібрала Катерина.

6 213. До зливку сплаву масою 400 кг, що містить 15 % міді, додали 25 кг міді. Яким став відсотковий вміст міді в новому зливку?

1) 0,15 ∙ 400 = 60 (кг) – маса міді у 400 кг справу.

2) 60 + 25 = 85 (кг) – маса міді у новому сплаві.

3) 400 + 25 = 425 (кг) – маса нового сплаву.

85 4) ∙ 100% = 0,2 ∙ 100% = 20% - відсотковий вміст міді у новому сплаві.

425 Відповідь: 20%.

214. В одному мішку було 80 кг цукру, а в другому — 60 кг. З першого мішка взяли в 3 рази більше цукру, ніж із другого, після чого в другому мішку залишилося цукру у 2 рази більше, ніж у першому. Скільки кілограмів цукру взяли з кожного мішка? Нехай з другого мішка взяли х кг цукру, тоді з першого мішка взяли 3з кг цукру. У першоому мішку залишилося (80 – 3х) кг цукру, а в другому – (60 – х) кг, тоді: 2(80 – 3х) = 60 – х 160 – 6х = 60 – х  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

-6х + х = 60 – х -6х + х = 60 – 160 -5х = -100 х = 20 З першого мішка взяли 3 ∙ 20 = 60 (кг) цукру. Відповідь: 60 кг; 20 кг.

215. Розв’яжіть рівняння: 1) 9(2х – 1) – 5(11 – х) = 3(х + 4) 2) 5х – 26 = 12х – 7(х – 4) 18х – 9 – 55 + 5х = 3х + 12 5х – 26 = 12х – 7х + 28 18х + 5х – 3х = 12 + 9 + 55 5х – 26 = 5х + 28 18х + 2х = 21 + 55 5х – 5х = 28 + 26 20х = 76 0х = 54 – коренів не має 76 38 х = = = 3,8 20 10 216. Відомо, що одне із чисел a, b і c додатне, друге — від’ємне, а третє дорівнює нулю, причому ǀ𝑎𝑎ǀ = 𝑏𝑏 2 (𝑏𝑏 − 𝑐𝑐). Визначте, яке із чисел є додатним, яке від’ємним і яке дорівнює нулю. Жодне з чисел а і b не дорівнює нулю, бо у протилежному випадку з рівності ǀ𝑎𝑎ǀ = 𝑏𝑏 2 (𝑏𝑏 − 𝑐𝑐) слідувало б, що усі числа дорівнюють нулю. Отже, с = 0. Якщо с = 0, то ǀ𝑎𝑎ǀ = 𝑏𝑏 2 (𝑏𝑏 − 𝑐𝑐) = 𝑏𝑏 2 (𝑏𝑏 − 0) = 𝑏𝑏 3 . З рівності ǀ𝑎𝑎ǀ = 𝑏𝑏 3 слідує, що b > ,. Отже, а < 0. Відповідь: число а – від’ємне, b – додатне, с – дорівнює нулю.

217. Порівняйте значення виразів: 3) (33 )2 = (9 ∙ 3)2 = 272 = 729 1) 22 ∙ 23 = 4 ∙ (4 ∙ 2) = 4 ∙ 8 = 32 36 = 81 ∙ 9 = 729 25 = 4 ∙ 4 ∙ 2 = 16 ∙ 2 = 32 729 = 729, (33 )2 = 36 32 = 32, 22 ∙ 23 = 25 1 3 3 1 3 1 2) 42 ∙ 41 = (4 ∙ 4) ∙ 4 = 16 ∙ 4 = 64 4) (� ) = = � � � 2 8 512 43 = 16 ∙ 4 = 64 9 1 1 64 = 64, 42 ∙ 41 = 43 � � = 2 1

512

=

512 1

512

1 3 3

1 9

, (� � ) = � � 2

2

5) 5 ∙ 2 = (25 ∙ 5) ∙ (4 ∙ 2) = 125 ∙ 8 = 1000 (5 ∙ 2)3 = 103 = 1000 1000 = 1000, 53 ∙ 23 = (5 ∙ 2)3 6) (0,25 ∙ 4)2 = 12 = 1 0,252 ∙ 42 = (0,25 ∙ 0,25) ∙ (4 ∙ 4) = 0,0625 ∙ 16 = 1 1 = 1, (0,25 ∙ 4)2 = 0,252 ∙ 42 218. У деякому місті від будь-якої станції метро можна доїхати до будь-якої іншої станції (можливо, з пересадками). Доведіть, що існує станція, яку можна закрити (без права проїзду через неї), і при цьому від будь-якої станції з тих, що залишилися, можна буде доїхати до будь-якої іншої.

1) Якщо є хоча б одна кінцева станція метро, то можна було б закрити її, і, очевидно, що можна було б проїхати з будь-якої зі залишившихся станцій на будь-яку іншу.

2) Якщо немає жодної кінцевої станції метро, всі станції прохідні, тоді можна закрити будь-яку станцію, яка не є пересадочною, і також можна буде проїхати з будь-якої зі залишившихся станцій на будь-яку іншу.

3

3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Доведено, що в метро, де з будь-якої станції можна проїхати на будь-яку іншу станцію (можливо, з пересадками), існує станція, яку можна закрити, і при цьому з будь-якої із залишившихся станцій можна буде проїхати на будь-яку іншу.

6. Властивості степеня з натуральним показником 219. Подайте у вигляді степеня добуток: 1) 𝑚𝑚5 𝑚𝑚4 = 𝑚𝑚5+4 = 𝑚𝑚9 2) хх 7 = хх+7 = х8 3) а3 а3 = а3+3 = а6 4) 68 ∙ 63 = 68+3 = 611 5) у3 у5 у9 = у3+5+9 = у17 6) с8 с9 с = с8+9+1 = с18 7) (𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)10 (𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)6 = (𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)10+6 = (𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)16 8) 112 ∙ 114 ∙ 116 = 112+4+6 = 1112 9) х4 х11 х2 = х4+1+11+2 = х18 10) (𝑎𝑎𝑎𝑎)5 (𝑎𝑎𝑎𝑎)15 = (𝑎𝑎𝑎𝑎)5+15 = (𝑎𝑎𝑎𝑎)20 11) (2х + 3у)6 (2х + 3у)14 = (2х + 3у)6+14 = (2х + 3у)20 12) (−ху)2 (−ху)7 (−ху)9 = (−ху)2+7+9 = (−ху)18 220. Подайте у вигляді степеня вираз: 1) а5 а8 = а5+8 = а13 2) а2 а2 = а2+2 = а4 3) а9 а = а9+1 = а10 4) аа2 а3 = а1+2+3 = а6 5) (𝑚𝑚 + 𝑛𝑛)13 (𝑚𝑚 + 𝑛𝑛) = (𝑚𝑚 + 𝑛𝑛)13+1 = (𝑚𝑚 + 𝑛𝑛)14 6) (𝑐𝑐𝑐𝑐)8 (𝑐𝑐𝑐𝑐)18 (𝑐𝑐𝑐𝑐) = (𝑐𝑐𝑐𝑐)8+18+1 = (𝑐𝑐𝑐𝑐)27 221. Замініть зірочку таким степенем з основою a, щоб виконувалася рівність: 1) а6 а8 = а6+8 = а14 2) аа6 = а1+6 = а7 3) а10 а6 а2 = а10+6+2 = а18 222. Подайте вираз а12 у вигляді добутку двох степенів з основами a, один з яких дорівнює: 1) а12 = а6+6 = а6 ∙ а6 4) а12 = а5+7 = а5 ∙ а7 2) а12 = а4+8 = а4 ∙ а8 5) а12 = а1+11 = а ∙ а11 3) а12 = а3+9 = а3 ∙ а9 223. Подайте у вигляді степеня частку: 1) а12 ∶ а3 = а12−3 = а9 2) 𝑏𝑏 6 ∶ 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 6−1 = 𝑏𝑏 5 3) с7 ∶ с6 = с7−6 = с 4) (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)8 ∶ (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)4 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)8−4 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)4 224. Знайдіть значення виразу: 1) 77 ∶ 75 = 77−5 = 72 = 49 2) 1018 ∶ 1014 = 1018−14 = 104 = 10000 3) 0,69 ∶ 0,66 = 0,69−6 = 0,63 = 0,216 1 5

1 3

1 5−3

4) �−1 � ∶ �−1 � = �−1 � 8 8 8 225. Виконайте ділення: 1) 𝑚𝑚10 ∶ 𝑚𝑚2 = 𝑚𝑚10−2 = 𝑚𝑚8 2) х5 ∶ х4 = х5−4 = х 3) у18 ∶ у6 = у18−6 = у12

1 2

9 2

= �−1 � = �− � = 8

8

 shkola.in.ua

81 64

=1

17 64

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

226. Подайте у вигляді степеня з основою m вираз: 1) (𝑚𝑚5 )3 = 𝑚𝑚5∙3 = 𝑚𝑚15 2) (𝑚𝑚3 )4 = 𝑚𝑚3∙4 = 𝑚𝑚12 3) ((𝑚𝑚2 )4 )6 = (𝑚𝑚2∙4 )6 = (𝑚𝑚8 )6 = 𝑚𝑚8∙6 = 𝑚𝑚48 4) (𝑚𝑚7 )2 ∙ (𝑚𝑚4 )9 = 𝑚𝑚7∙2 ∙ 𝑚𝑚4∙9 = 𝑚𝑚14 ∙ 𝑚𝑚36 = 𝑚𝑚14−36 = 𝑚𝑚50 227. Подайте у вигляді степеня з основою n вираз: 1) (𝑛𝑛2 )8 = 𝑛𝑛2∙8 = 𝑛𝑛16 2) (𝑛𝑛9 )5 = 𝑛𝑛9∙5 = 𝑛𝑛45 3) ((𝑛𝑛3 )2 )10 = (𝑛𝑛3∙2 )10 = (𝑛𝑛6 )10 = 𝑛𝑛6∙10 = 𝑛𝑛60 4) (𝑛𝑛12 )4 ∙ (𝑛𝑛21 )2 = 𝑛𝑛12∙4 ∙ 𝑛𝑛21∙2 = 𝑛𝑛48 ∙ 𝑛𝑛42 = 𝑛𝑛48+42 = 𝑛𝑛90 228. Подайте степінь у вигляді добутку степенів: 1) (𝑎𝑎𝑎𝑎)6 = 𝑎𝑎6 𝑏𝑏 6 2) (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)5 = 𝑚𝑚5 𝑛𝑛5 𝑝𝑝5 3) (3𝑐𝑐)7 = 37 ∙ 𝑐𝑐 7 4) (−8𝑥𝑥𝑥𝑥)3 = (−8)3 ∙ 𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 3 5) (−0,2𝑐𝑐𝑐𝑐)4 = (−0,2)4 ∙ 𝑐𝑐 4 𝑑𝑑 4 3

9

3 9

6) � 𝑘𝑘𝑘𝑘� = � � ∙ 𝑘𝑘 9 𝑡𝑡 9 7 7 229. Подайте степінь у вигляді добутку степенів: 1) (ах)2 = а2 х2 3) (7𝑚𝑚)8 = 78 𝑚𝑚8 2) (𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥)12 = 𝑥𝑥 12 𝑦𝑦12 𝑧𝑧12 4) (−0,3𝑏𝑏𝑏𝑏)11 = −0,311 𝑏𝑏11 𝑐𝑐11 230. Подайте у вигляді степеня вираз: 4) 64𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 3 = (4𝑥𝑥𝑥𝑥)3 1) 𝑎𝑎3 𝑏𝑏 3 = (𝑎𝑎𝑎𝑎)3 27 3 3 3 2) −𝑚𝑚7 = (−𝑚𝑚)7 5) − 𝑐𝑐 𝑑𝑑 = (− 𝑐𝑐𝑐𝑐)3 343 7 3) 9𝑚𝑚2 𝑛𝑛2 = (3𝑚𝑚𝑚𝑚)2 4 4 6) 0,0001𝑘𝑘 𝑝𝑝 = (0,1𝑘𝑘𝑘𝑘)4 231. Подайте у вигляді степеня вираз: 1) х12 у12 = (ху)12 3) 32𝑝𝑝5 𝑞𝑞 5 = (2𝑝𝑝𝑝𝑝)5 2) −125𝑚𝑚3 𝑛𝑛3 = (−5𝑚𝑚𝑚𝑚)3 4) 1000000000𝑎𝑎9 𝑏𝑏9 𝑐𝑐 9 = (10𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)9 232. (Знайдіть помилку) Знайдіть і виправте помилки, які зробив Василь Ледащенко, перетворюючи вирази, що містять степені: 1) а4 ∙ а3 = а12 , ні, бо а4 ∙ а3 = а7 2) а ∙ а = 2а, ні, бо а ∙ а = а2 3) (а3 )2 = а9 , ні, бо (а3 )2 = а6 4) 32 ∙ 52 = 154 , ні, бо 32 ∙ 52 = 152 5) 22 ∙ 73 = 145 , ні, бо 22 ∙ 73 = (22 ∙ 77 ) ∙ 7 = 142 ∙ 7 6) (2а)4 = 8а4 , ні, бо (2а)4 = 24 ∙ а4 = 16а4 7) 3 ∙ 42 = 123 , ні, бо 3 ∙ 42 = (3 ∙ 4) ∙ 4 = 12 ∙ 4, 123 ≠ 12 ∙ 4 8) 𝑎𝑎7 𝑏𝑏 7 = (𝑎𝑎𝑎𝑎)14 , ні, бо 𝑎𝑎7 𝑏𝑏 7 = (𝑎𝑎𝑎𝑎)7 9) 𝑎𝑎3 𝑏𝑏 2 = (𝑎𝑎𝑎𝑎)6 , ні, бо (𝑎𝑎𝑎𝑎)6 = 𝑎𝑎6 𝑏𝑏 6 233. Подайте вираз у вигляді степеня та обчисліть його значення (у разі потреби скористайтеся таблицею степенів чисел 2 і 3, розміщеною на форзаці підручника): 1) 23 ∙ 24 = 23+4 = 27 = 128 2) (32 )3 = 32∙3 = 36 = 729 3) 0,2 ∙ 0,22 ∙ 0,23 = 0,26 = 0,000064 4) 0,512 ∙ 212 = (0,5 ∙ 2)12 = 112 = 1 5) 212 ∶ 28 = 212−8 = 24 = 16 6) (34 )5 ∶ 319 = 34∙5 ∶ 319 = 320 ∶ 319 = 3  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 1 9

1

9

7) � � ∙ 99 = � ∙ 9� = 39 = 19683 3 3 8) 2,55 ∙ 405 = (2,5 ∙ 40)5 = 1005 = 10000000000 234. Подайте вираз у вигляді степеня та обчисліть його значення (у разі потреби скористайтеся таблицею степенів чисел 2 і 3 на форзаці підручника): 1) 22 ∙ 23 = 25 = 32 2) (22 )3 = 26 = 64 3) 32 ∙ 3 ∙ 33 = 36 = 729 4) 0,38 ∶ 0,35 = 0,33 = 0,027 1 9

1 9

1 9

1

5) 79 ∙ � � = �7 ∙ � = � � = 14 14 2 512 6) 12,53 ∙ 83 = (12,5 ∙ 8)3 = 1003 = 1000000 235. Спростіть вираз: 1) −х ∙ х2 = −х3 2) (−х)2 ∙ х = х2 ∙ х = х3 3) −х ∙ (−х)2 = −х ∙ х2 = −х3 4) (−х) ∙ (−х)2 ∙ (−х) = х ∙ х2 ∙ х = х4 236. Спростіть вираз: 1) (−а)2 ∙ а3 = а2 ∙ а3 = а2+3 = а5 2) −а2 ∙ а3 = −а2+3 = −а5 3) а2 ∙ (−а)3 = а2 ∙ (−а3 ) = −(а2 ∙ а3 ) = −а2+3 = −а5 4) −а2 ∙ (−а)3 = −а2 ∙ (−а3 ) = а2 ∙ а3 = а2+3 = а5 237. Спростіть вираз: 1) (−а5 )2 = (а5 )2 = а5∙2 = а10 2) (−а3 )3 = −(а3 )3 = −(а3 )3 = −а3∙3 = −а9 3) (−а4 )7 ∙ (−а2 )6 = −(а4 )7 ∙ (а2 )6 = −а4∙7 ∙ а2∙6 = −а28 ∙ а12 = −а28+12 = −а40 238. Спростіть вираз: 1) ((а6 )5 )9 = (−а30 )9 = −а270 2) ((−а11 )2 )3 = (а22 )3 = а22∙3 = а66 239. Замість зірочки запишіть такий вираз, щоб виконувалася рівність: 3) (с8 )𝑛𝑛 = с8𝑛𝑛 1) (с5 )4 = с5∙4 = с20 4) (𝑐𝑐 𝑛𝑛 )7 = 𝑐𝑐 7𝑛𝑛 2) (с7 )2 = с7∙2 = с14 240. Подайте степінь а7 у вигляді добутку двох степенів з основою a всіма можливими способами.

1) а6 ∙ а = а6+1 = а7 2) а2 ∙ а5 = а2+5 = а7 3) а3 ∙ а4 = а3+4 = а7 241. Подайте у вигляді степеня вираз: де n — натуральне число.

3) 𝑎𝑎3 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎3+𝑛𝑛 1) 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎5 = 𝑎𝑎𝑛𝑛+5 4) (𝑎𝑎3 )𝑛𝑛 = 𝑎𝑎3𝑛𝑛 2) 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎1+𝑛𝑛 5) (𝑎𝑎𝑛𝑛 )2 ∙ (𝑎𝑎5 )𝑛𝑛 = 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ∙ 𝑎𝑎5𝑛𝑛 = 𝑎𝑎2𝑛𝑛+5𝑛𝑛 = 𝑎𝑎7𝑛𝑛 242. Подайте у вигляді степеня вираз: де n — натуральне число.

1) 24 ∙ 24 = 28 3) 2𝑛𝑛 ∙ 2𝑛𝑛 = 22𝑛𝑛 4) 2𝑛𝑛 + 2𝑛𝑛 = 2 ∙ 2𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛+1 2) 24 + 24 = 2 ∙ 24 = 25 243. Подайте у вигляді степеня вираз: 1) 35 + 35 + 35 = 3 ∙ 35 = 31+5 = 36 2) 4𝑘𝑘 + 4𝑘𝑘 + 4𝑘𝑘 + 4𝑘𝑘 = 4 ∙ 4𝑘𝑘 = 41+𝑘𝑘  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

244. Доведіть, що коли сторону квадрата збільшити в n разів, то його площа збільшиться в n² разів. 𝑆𝑆1 = 𝑎𝑎2 𝑆𝑆2 = (𝑎𝑎𝑎𝑎)2 = 𝑎𝑎2 ∙ 𝑛𝑛2 𝑆𝑆2

𝑎𝑎2 ∙𝑛𝑛2

𝑉𝑉2

𝑎𝑎3 ∙𝑚𝑚3

3)

714 ∙(72 )3

= 2 = 𝑛𝑛2 𝑆𝑆1 𝑎𝑎 Відповідь: площа збільшилася в 𝑛𝑛2 разів.

245. У скільки разів збільшиться об’єм куба, якщо його ребро збільшити в m разів? 𝑉𝑉1 = 𝑎𝑎3 𝑉𝑉2 = (𝑎𝑎𝑎𝑎)3 = 𝑎𝑎3 ∙ 𝑚𝑚3

= 3 = 𝑚𝑚3 𝑉𝑉1 𝑎𝑎 Відповідь: об’єм куба збільшився в 𝑚𝑚3 разів.

246. Запишіть у вигляді степеня з показником 2 вираз: 1) 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 6 = 𝑎𝑎2 (𝑏𝑏 3 )2 = (𝑎𝑎𝑎𝑎 3 )2 2) 𝑥𝑥 8 𝑦𝑦14 = (𝑥𝑥 4 )2 (𝑦𝑦 7 )2 = (𝑥𝑥 4 𝑦𝑦 7 )2 3) 𝑥𝑥 4 𝑦𝑦10 𝑧𝑧18 = (𝑥𝑥 2 )2 (𝑦𝑦 5 )2 (𝑧𝑧 9 )2 = (𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 5 𝑧𝑧 9 )2 4) 4𝑚𝑚12 𝑛𝑛16 = 22 (𝑚𝑚6 )2 (𝑛𝑛8 )2 = (2𝑚𝑚6 𝑛𝑛8 )2 5) 81𝑐𝑐10 𝑑𝑑 32 𝑝𝑝44 = (9𝑐𝑐 5 𝑑𝑑16 𝑝𝑝22 )2 247. Запишіть у вигляді степеня з показником 3 вираз: 1) 𝑎𝑎3 𝑏𝑏 6 = 𝑎𝑎3 (𝑏𝑏 3 )2 = (𝑎𝑎𝑎𝑎 3 )2 2) 𝑥𝑥 9 𝑦𝑦15 = (𝑥𝑥 3 )3 (𝑦𝑦 5 )3 = (𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 5 )3 3) 8𝑥𝑥 12 𝑦𝑦18 𝑧𝑧 24 = 23 (𝑥𝑥 4 )3 (𝑦𝑦 6 )3 (𝑧𝑧 8 )3 = (2𝑥𝑥 4 𝑦𝑦 6 𝑧𝑧 8 )3 4) 0,001𝑚𝑚30 𝑛𝑛45 = 0,13 (𝑚𝑚10 )3 (𝑛𝑛15 )3 = (0,1𝑚𝑚10 𝑛𝑛15 )3 248. Подайте у вигляді степеня з основою 5 вираз: 1) 1256 = (53 )6 = 518 2) (254 )2 = ((52 )4 )2 = 52∙4∙2 = 516 249. Подайте у вигляді степеня з основою –5 вираз: 1) 6255 = ((−5)4 )5 = (−5)4∙5 = (−5)20 2) ((−25)2 )3 = ((−5)2 )2 )3 = (−5)2∙2∙3 = (−5)12 250. Подайте у вигляді степеня з основою 2 вираз: 1) 89 ∙ 45 = (23 )9 ∙ (22 )5 = 23∙9 ∙ 22∙5 = 227 ∙ 210 = 227+10 = 237 2) 32 ∙ 166 ∙ 643 = 25 ∙ (24 )6 ∙ (26 )3 = 25 ∙ 24∙6 ∙ 26∙3 = 25 ∙ 224 ∙ 218 = 25+24+18 = 247 251. Знайдіть значення виразу: 1) (64 )4 ∶ (65 )3 = 64∙4 ∶ 65∙3 = 616 ∶ 615 = 616−15 = 61 = 6 2) 83 ∶ 44 = (23 )3 ∶ (22 )4 = 23∙3 ∶ 22∙4 = 29 ∶ 28 = 29−8 = 2 4) 5) 6)

= 3 6 2

(7 ) ∙7 253 ∙1252 510 8 3 ∙78 217 59 ∙46 206

=

=

=

714 ∙72∙3

714 ∙76

714+6

7 ∙7 7 ∙7 7 (52 )3 ∙(53 )2 52∙3 ∙53∙2

38 ∙78

720

= 18 2 = 18+2 = 20 = 720−20 = 70 = 1 3∙6 2

(3∙7)7 59 ∙46

(5∙4)6

510 38 ∙78

=

= 7 7=3 3 ∙7 59 ∙46

510 8−7

7 56 ∙56

=

∙7

56+6

5 8−7

512

= 10 = 512−10 = 52 = 25 10

= 10

5

5

= 3 ∙ 7 = 21

= 6 6 = 59−6 ∙ 46−6 = 53 ∙ 1 = 125 5 ∙4

252. Обчисліть: 1) 1005 ∶ 10002 = (102 )5 ∶ (103 )2 = 102∙5 ∶ 103∙2 = 1010 ∶ 106 = 1010−6 = 104 = 10 000 2) 3)

310 ∙(33 )5 (35 )4 ∙3 43 ∙162 212

=

=

310 ∙33∙5

35∙4 ∙3 2 (2 )3 ∙(24 )2 212

=

=

310 ∙315

=

320 ∙3 22∙3 ∙24∙2 212

310+15

325

2

2

= 21 = 325−21 = 34 = 81 20+1

3 26 ∙28

=

= 12

3 26+8

214

= 12 = 214−12 = 22 = 4 12 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 4510

(32 ∙5)10

(32 )10 ∙510

6 10

7 9

32∙10 ∙510

320 ∙510

4) 8 19 = 8 19 = 8 19 = 8 19 = 8 19 = 320−19 ∙ 510−8 = 3 ∙ 52 = 3 ∙ 25 = 75 5 ∙3 5 ∙3 5 ∙3 5 ∙3 5 ∙3 253. Обчисліть значення виразу: 1 9

6 9+1

7 9

6 9

7∙6 9

6

6

6

6

1) �1 � ∙ � � = � � ∙ � � = � � ∙ � � ∙ = � � ∙ = 19 ∙ = 6 7 6 7 9 7 7 6∙7 7 7 7 14 12 12 2 12 12 2 2 (5 2) 5 ∙ 0,2 = 5 ∙ 5 ∙ 0,2 = ∙ 0,2) ∙ 5 = 1 ∙ 5 = 25 1 5

3 8

4 5

3 5+3

3) �−1 � ∙ � � = �− � ∙ � � 3∙3∙3

3

8 9∙3

27

3

4

4 5

3 5

3 3

19 14

10 14

10

4∙3 5

3 3

− =− =− 4∙4∙4 16∙4 64 254. Знайдіть значення виразу: 1) 105 ∙ 0,17 = 105 ∙ 0,15+2 = 105 ∙ 0,15 ∙ 0,12 = (10 ∙ 0,1)5 ∙ 0,12 = 1 ∙ 0,12 = 0,01 10 15

10 14+1

3 3

= �− � ∙ � � ∙ � � = �− � ∙ � � = (−1)5 ∙ � � = 3 4 4 3∙4 4 4 19∙10 14

10

10

10

2) 1,914 ∙ � � = 1,914 ∙ � � =� � ∙� � ∙ =� � ∙ 19 = 114 ∙ 19 = 19 19 19 10 19 19 10∙19 255. Порівняйте значення виразів: 1) (−5)21 ∙ (−5) = (−5)22 = 522 ; (−5)24 = 524 ; 522 < 524 2) (−7)8 ∙ (−7)7 = (−7)15 ; (−7)17 = −717 ; −715 > −717 , бо 715 < 717 3) (−8)5 ∙ (−8)4 = (−8)9 = −89 ; (−8)8 = 88 ; −89 < 88 4) (−6)3 ∙ (−6)9 = (−6)12 = 612 ; (−6)13 = −613 ; 612 > −613 256. Замініть зірочку таким степенем, щоб виконувалася рівність: 1) 8 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 23 28 ∶ 23 = 28−3 = 25 Тоді: 8 ∙ 25 = 23 ∙ 25 = 23+5 = 28 2) 𝑎𝑎3𝑛𝑛+2 ∶ 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎3𝑛𝑛+2−𝑛𝑛 = 𝑎𝑎3𝑛𝑛−𝑛𝑛+2 = 𝑎𝑎2𝑛𝑛+2 Тоді: 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑎𝑎2𝑛𝑛+2 = 𝑎𝑎2𝑛𝑛+𝑛𝑛+2 = 𝑎𝑎3𝑛𝑛+2 257. Запишіть вираз 324 у вигляді степеня з основою: 1) 324 = 33∙8 = (33 )8 3) 324 = 32∙12 = (32 )12 = 912 2) 324 = 32∙12 = (312 )2 4) 324 = 34∙6 = (34 )6 = 816 258. Запишіть вираз 248 у вигляді степеня з основою: 1) 248 = 24∙12 = (24 )12 3) 248 = 23∙16 = (23 )16 = 816 2) 248 = 216∙3 = (216 )3 4) 248 = 26∙8 = (26 )8 = 648 259. Розв’яжіть рівняння: 1) х7 = 614 2) х4 = 512 х7 = 62∙7 х4 = 54∙3 х7 = (62 )7 х4 = (53 )4 х = 62 х = 53 х = (−5)3 х = 36 х = 125 х = -125 260. Порівняйте значення виразів: 1) 2300 = 23∙100 = (23 )100 = 8100 3200 = 32∙100 = (32 )100 = 9100 8100 < 9100 , отже 2300 < 3200 2) 418 = 42∙9 = (42 )9 = 169 169 < 189 , отже 418 < 189 3) 2720 = 272∙10 = (272 )10 = 72910 1130 = 113∙10 = (113 )10 = (121 ∙ 11)10 = 1 33110 72910 < 1 33110 , отже 2720 < 1130 4) 310 ∙ 58 = 38+2 ∙ 58 = 38 ∙ 58 ∙ 32 = (3 ∙ 5)8 ∙ 32 = 158 ∙ 9 159 = 158 ∙ 15 158 ∙ 9 < 158 ∙ 15, отже 310 ∙ 58 < 159  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

261. Порівняйте значення виразів: 1) 1040 = 104∙10 = (104 )10 = 10 00010 10 00010 < 10 00110 , отже 1040 < 10 00110 2) 512 = 53∙4 = (53 )4 = 1254 1244 < 1254 , отде 1244 < 512 3) 812 = 82∙6 = (82 )6 = 646 646 > 596 , отже 812 > 596 4) 216 ∙ 312 = 212+4 ∙ 312 = 212 ∙ 24 ∙ 312 = (2 ∙ 3)12 ∙ 24 = 612 ∙ 16 614 = 612 ∙ 62 = 612 ∙ 36 612 ∙ 36 > 612 ∙ 16, отже 614 > 216 ∙ 312 262. Відомо, що сума 625 + 625 + ... + 625 дорівнює 5101 . Скільки доданків у цій сумі?

625 + 625 + ⋯ + 625 = 5101 625х = 5101 54 ∙ х = 5101 х = 5101 ∶ 54 х = 5101−4 х = 597 Відповідь: 597 доданків.

263. Якою цифрою закінчується значення виразу (n — натуральне число): 1) 4100 = (42 )50 = (16)50 . Оскільки 6 ∙ 6 = 36, то добуток будь-яких чисел, що закінчується на 6, є числом, остання цифра якого дорівнює 6. Якщо число закінчується цифрою 6, то будь-який степінь закінчується цифрою 6. Відповідь: 6.

2) 34𝑛𝑛 = (34 )𝑛𝑛 = (81)𝑛𝑛 . Оскільки 81 ∙ 81 – 6561, то добуток будь-яких чисел, що закінучується на 1, є числом, остання цифра якого дорівнює 1. Тому будь-який степінь числа, що закінчується на 1, закінчується цифрою 1. Відповідь: 1.

3) 4𝑛𝑛 = (22 )𝑛𝑛 = 22𝑛𝑛 . Оскільки 2n – парний показник, то 22 = 4, 24 = 4 ∙ 4 = 16. Тоюто число 22𝑛𝑛 може закінучватися або на цифру 4, або на цифру 6. Відповідь: 4 або 6.

4) 3𝑛𝑛 . Оскільки 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, а далі кожний інший степінь буде закінчуватися або цифрою 3, або 9, або 7, або 1. Відповідь: 1 або 3, або 7, або 9.

264. Якою цифрою закінчується значення виразу (n — натуральне число): 1) 92𝑛𝑛 , 2n – парний показник, тому 92 = 81, 94 = 81 ∙ 81 – 6561, тобто остання цифра 1. Отже, будь-який парний степінь числа 9 закінчується цифрою 1. Відповідь: 1.

2) 74𝑛𝑛 = (72 )2𝑛𝑛 = (49)2𝑛𝑛 . Оскільки 2n – парний показник, то 492 = 49 ∙ 49 = 2401, тобто число закінчується цифрою 1. Тому будь-який парний степінь числа 49 закінчується цифрою 1. Відповідь: 1.

3) 72𝑛𝑛 = (49)𝑛𝑛 . Маємо 491 = 49, закінчується цифрою 9, 492 = 2401 – закінчується цифрою 1. Отже, будь-який степінь числа 49 може закінчуватися або цифрою 1, або цифрою 9. Відповідь: 1 або 9.

265. Доведіть, що значення виразу:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1) 178 + 19 = (172 )4 + 19. Оскільки 178 = (172 )4 = (289)4 , тобто 289 у парному степені закінчується цифрою 1, тому 1 + 19 = 20, тобто число 178 + 19 закінчується цифрою 0. Це означає, що число 178 + 19 ділиться націло на число 10.

2) 6464 − 1. Оскільки 6464 = (642 )32 , а 642 = 64 ∙ 64 = 4096, тобто закінчується цей добуток цифрою 6. Числа, які закінчуються цифрою 6, у парному степеню теж закінчуються цифрою 6. Тому число 6464 – 1 закінчується цифрою 5 (6 – 1 = 5), що дає можливість стверджувати, що значення виразу 6464 − 1 ділиться націло на число 5.

3) 34𝑛𝑛 + 14. Оскільки 34𝑛𝑛 = 92𝑛𝑛 , то 92 = 9 ∙ 9 = 81, число закінчується цифрою 1. Число 81 у будь-якому парному степеню теж закінчується цифрою 1, тому число 34𝑛𝑛 + 14 закінчується цифрою 5 (1 + 14 = 15), що означає, що число 34𝑛𝑛 + 14 ділиться націло на число 5.

266. Доведіть, що значення виразу: ділиться націло на 5.

1) 440 − 1. Оскільки 440 = (42 )20 , а 42 = 4 ∙ 4 = 16, тобто закінчується цифрою 6. Числа, які закінчуються цифрою 6, у парному степеню теж закінчуються цифрою 6. Тому число 440 – 1 закінчується цифрою 5 (6 – 1 = 5), тобто ділиться націло на число 5.

2) 2004171 + 1712004 . Число 2004171 у непарному степеню закінчується цифрою 4, а 1002 число 1712004 = (1712) закінчується цифрою 1, тому сума цих чисел закінчується 171 цифрою 5, тобто число 2004 + 1712004 ділиться націло на число 5.

267. Доведіть, що 4825 < 34417 .

4925 = (72 )25 = 750 34317 = (73 )17 = 751 750 < 751 , значить, 4925 < 34317 Оскільки 4825 < 4925 < 34317 < 34417 , то 4825 < 34417 Що і треба було довести.

268. Сім’я Федоренків складається із шести осіб: батька, матері, доньки-студентки, двох дітей шкільного віку та дідуся-пенсіонера. Щомісячний бюджет сім’ї формується із заробітної плати батька в розмірі 21 300 грн, заробітної плати матері (22 200 грн), стипендії доньки (1230 грн) та пенсії дідуся (8820 грн). Скільки гривень у місяць припадає на кожного із шести членів сім’ї?

1) 21300 + 22200 + 1230 + 8820 = 53550 (грн) – бюджет сім’ї.

2) 53550 : 6 = 8925 (грн) – на одну людину. Відповідь: на кожного члена сім’ї припадає 8925 грн.

269. (Задача з українського фольклору.) Кум Іван спитав у кума Степана: «Скільки в тебе качок?» Кум Степан відповів: «Качок у мене стільки, що як висидять вони мені ще стільки ж каченят, та ще придбаю одну качку, та ще тричі куплю стільки ж, скільки цих качок і каченят, то всього буде їх у мене 100». Скільки качок було в кума Степана? Нехай у кума Степана було х качок. Тоді, коли вони висидять ще стільки каченят, а він купить ще одну качку, стане 2х + 1 качок. А коли він тричі купить ще стільки ж качок, то всього в нього буде 4 ⋅ (2х + 1) качок. Оскільки всього в нього тоді буде 100качок, можна скласти рівняння: 4 ⋅ (2х + 1) = 100 (2х + 1) = 25 2х = 24 х = 12 Відповідь: 12 качок.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

270. Малярка може пофарбувати кімнату за 6 год, а маляр — за 4 год. Спочатку малярка працювала 2 год, а потім до неї приєднався маляр. За скільки годин було пофарбовано кімнату? Нехай обсіг роботи є 1.

1 1) 1 ∶ 6 = (кімнати) – фарбує малярка за 1 год.

6 1

2) 1 ∶ 4 = (кімнати) – фарбує маляр за 1 год.

1

4 2

1

3) ∙ 2 = = (кімнати) – пофарбувала малярка за 2 год.

6

1

6

2

3

4) 1 − = (кімнати) – залишилось пофарбувати обом.

1

3 1

5) + = 6 2

4 5

3 2

+

3

=

12 12 2∙12 8

5

12

(кімнати) – фарбують обоє за 1 год, працюючи разом.

6) ∶ = = = 1,6 (год) – обоє фарбували частину кімнати, що залишилась.

3 12 3∙5 5 7) 2 + 16 = 3,6 (год) – час, за який було пофарбовано кімнату. Відповідь: 3,6 год.

271. Від пристані за течією річки відправилася на човні група туристів і туристок, розраховуючи повернутися через 4 год. Швидкість човна в стоячій воді становить 10 км/год, а швидкість течії — 2 км/год. На яку найбільшу відстань туристи й туристки можуть відплисти від пристані, якщо вони хочуть перед тим, як повертатися, зробити зупинку на 2 год? Нехай туристи відпливуть від пристані на х км, тоді за течією річки вони плистимуть х х х х = (год), а проти течії = (год).

10+2 12 х х

10−2

8

+ = 4 − 2ǀ ∙ 24 8 2х + 3х = 48 5х = 48 х = 9,6 Відповідь: 9,6 км.

272. Розв’яжіть рівняння: 1) 2,5 – 3х = 3 (х – 2,5) – 2 2) 17 (2 – 3х) – 5 (х + 12) = 8 (1 – 7х) – 34 2,5 – 3х = 3х – 7,5 – 2 34 – 51х – 5х – 60 = 8 – 56х – 34 2,5 – 3х = 3х – 9,5 -26 – 56х = -26 – 56х -3х – 3х = -9,5 – 2,5 хєR -6х = -12 х=2 273. У шестицифровому числі перша й четверта, друга й п’ята, третя й шоста цифри однакові. Доведіть, що це число кратне числам 7, 11 і 13. Згідно з умовою, дане число можна подати у вигляді 1000а + а, де а – будь-яке трицифрове число (0 < а < 999). Маємо 1000а + а = 1001а. Оскільки 1001 ділиться без остачі на 7, на 11 і на 13, то отже, й дане число кратне числам 7, 11 і 13.

274. Спростіть вираз: 3 7 1 1) 3а ⋅ (-1,2) = -3,6а 5) − 𝑚𝑚 ∙ 𝑛𝑛 = − 𝑚𝑚𝑚𝑚 14 9 6 2) -0,2b ⋅ (-0,5) = 0,1b 1 4 6) − 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 ⋅ (−3𝑐𝑐) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 3) -7a ⋅ 9b = -63ab 4 3 4) 2,4x ⋅ 2y = 4,8xy 275. Спростіть вираз і знайдіть його значення при: 20m ⋅ (-0,3n) = -6mn 12

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Якщо 𝑚𝑚 =

5

12

, 𝑛𝑛 = −4, то: 5

−6𝑚𝑚𝑚𝑚 = −6 ⋅ ⋅ (−4) = 10 12 276. Трамвайні квитки мають номери від 000 000 до 999 999. Номер називають «щасливим», якщо сума трьох його перших цифр дорівнює сумі трьох останніх. Доведіть, що кількість «щасливих» квитків є парною. Кожному квитку поставимо у відповідність квиток, номер якого складається з цифр, які доповнюють відповідні цифри номера вихідного квитка до дев’ятки. Наприклад, квиток 239601 отримає в пару квиток 760398. Очевидно, парою до кожного «щасливого» квитка є також «щасливий квиток». При цьому жоден квиток не отримає в пару себе (цифра не може доповнювати до дев’ятки сама себе, оскільки 9 – непарне число). Таким чином, ми отримали розбиття усіх «щасливих» квитків на пари. Тобто кількість таких квитків – парна.

7. Одночлени 277. Чи є одночленом вираз: 4 1) 5ху; Так 10) 3(𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 2 ); Ні 6) 𝑝𝑝𝑘𝑘 4 ; Так 7 1 4 2) − 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 3 𝑐𝑐; Так 11) −2 𝑎𝑎𝑎𝑎2 𝑏𝑏 3 𝑏𝑏 6 ; Так 6𝑚𝑚2 𝑘𝑘 3 3 9 7) ; Ні 11𝑎𝑎5 1 2 5 3 3) m + n; Ні 9 12) � 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑧𝑧 10 ; Так �−1 8) 𝑏𝑏 ; Так 8 4) 8; Так 9) 𝑚𝑚4 𝑚𝑚; Так 5) 0; Так 278. Укажіть, які з одночленів записано в стандартному вигляді: У стандартному виглядів записані одночлени: 6 4) -abc 2) 1,4𝑎𝑎𝑏𝑏 7 𝑐𝑐 3 5) 𝑥𝑥 8 𝑦𝑦 9 13 279. Чи є подібними одночлени: Подібними є одночлени: 1) 5а і 7а 6) −0,1𝑎𝑎9 𝑏𝑏10 і 0,1𝑎𝑎9 𝑏𝑏10 2) 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 3 𝑐𝑐 і 6𝑎𝑎2 𝑏𝑏 3 𝑐𝑐 280. Запишіть одночлен, подібний даному, коефіцієнт якого в 4 рази більший за коефіцієнт даного одночлена: 1) 1,4 ⋅ 4 = 5,6 5,6х3 у7

281. Заповніть таблицю: Одночлен

2) 1 ⋅ 4 = 4 4𝑐𝑐 4 𝑑𝑑10 𝑝𝑝2

Стандартний вигляд одночлена 1,2𝑐𝑐12 2,4𝑚𝑚7 𝑛𝑛5

1

Коефіцієнт одночлена 1,2 2,4

5

3) 1 ⋅ 4 = ⋅ 4 = 5 4 4 5𝑎𝑎5 𝑏𝑏 5 𝑐𝑐 9

Степінь одночлена

12 1,2𝑐𝑐 4 𝑐𝑐 8 2 3 5 2 12 0,6𝑚𝑚 𝑛𝑛 ∙ 4𝑚𝑚 𝑛𝑛 2 2 1 3 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 𝑎𝑎 ∙ 3,5𝑏𝑏 7 −5𝑥𝑥 2 ∙ 0,2𝑥𝑥𝑥𝑥 −𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 -1 4 3 6 2 5 5 11 -0,8 16 −1,6𝑥𝑥 𝑦𝑦 ∙ 0,5𝑥𝑥 𝑦𝑦 −0,8𝑥𝑥 𝑦𝑦 282. Зведіть одночлен до стандартного вигляду, укажіть його коефіцієнт і степінь: 1) 9а4 аа6 = 9а11 . Коефіцієнт одночлена – 9, а степінь – 11.

2) 3𝑥𝑥 ∙ 0,4𝑦𝑦 ∙ 6𝑧𝑧 = 3 ∙ 0,4 ∙ 6 ∙ 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 7,2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥. Коефіцієнт одночлена – 7,2, а степінь – 3.

3) 7а ∙ (−9ас) = 7 ∙ (−9) ∙ аас = −63а2 с. Коефіцієнт одночлена -63, а степінь – 3.

1 4) −3 𝑚𝑚5 ∙ 9𝑚𝑚𝑛𝑛9 = 30𝑚𝑚6 𝑛𝑛9. Коефіцієнт одночлена – 30, а степінь – 15.

3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

5) −5х2 ∙ 0,1х2 у ∙ (−2𝑦𝑦) = х4 у2 . Коефіцієнт одночлена – 1, а степінь – 6.

6) 𝑐𝑐 ∙ (−𝑑𝑑) ∙ 𝑐𝑐 18 = −𝑐𝑐 19 𝑑𝑑. Коефіцієнт одночлена – 1, а степінь – 20.

283. Подайте одночлен у стандартному вигляді, підкресліть його коефіцієнт: 1) 6𝑏𝑏𝑏𝑏 2 = 6𝑏𝑏 3 2) 1,5𝑐𝑐 3 𝑑𝑑4 ∙ 8𝑐𝑐 2 𝑑𝑑5 = 12𝑐𝑐 5 𝑑𝑑9 3) 2𝑢𝑢4 ∙ 4𝑡𝑡 3 ∙ (−3𝑡𝑡 7 ) = −24𝑢𝑢4 𝑡𝑡 10 4) 4,5𝑎𝑎2 𝑏𝑏𝑐𝑐 7 ∙ 2𝑎𝑎8 𝑏𝑏 6 𝑐𝑐 = 9𝑎𝑎10 𝑏𝑏 7 𝑐𝑐 8 284. Знайдіть значення одночлена: 1) 5х2 , якщо х = -4, то: 5 ∙ (−4)2 = 5 ∙ 42 = 80 1 2) −4,8𝑎𝑎4 𝑏𝑏 3 , якщо а = -1, b = , то: 1 3

−4,8 ∙ (−1)4 ∙ � � = − 4

2

48 10

2 1

∙ 1 ∙ = −0,6 8

3) 𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑝𝑝 , якщо m = -3, n = 5, p = -1, то: 4

9

3 2 3

4

∙ (−3)3 ∙ 52 ∙ (−1)3 = ∙ (−27) ∙ 25 ∙ (−1) = 4 ∙ 3 ∙ 25 = 12 ∙ 25 = 300 9 9 285. Знайдіть значення одночлена: 1) Якщо m = -3, то 3𝑚𝑚3 = 3 ∙ (−3)3 = 3 ∙ (−27) = −81 7 1 2) 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 4 , якщо а = − , b = 2, то: 7

16

1 2

7

7 1 2

7

1

∙ �− � ∙ 24 = ∙ � � ∙ 16 = = 16 7 16 7 49 7 286. Знайдіть добуток одночленів: 1) 2a ⋅ 5b = 10ab 2) -m ⋅ 4n = -4mn

287. Виконайте множення одночленів: 1) 13𝑐𝑐 2 𝑑𝑑 ∙ (−3𝑐𝑐𝑐𝑐) = −39𝑐𝑐 3 𝑑𝑑 2 2) −4𝑚𝑚3 ∙ 0,25𝑚𝑚6 = −1𝑚𝑚3+6 = −𝑚𝑚9

3) 6𝑥𝑥 ⋅ (−8𝑦𝑦 2 ) = −48𝑥𝑥𝑦𝑦 2 1 4) − 𝑥𝑥 3 ∙ (−7𝑥𝑥 2 ) = 𝑥𝑥 5 7

3) 0,7𝑥𝑥 6 𝑦𝑦 9 ∙ 0,3𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0,21𝑥𝑥 7 𝑦𝑦10 2 4) 56𝑥𝑥 5 𝑦𝑦14 ∙ 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 = 16𝑥𝑥 7 𝑦𝑦16 7

288. Розшифруйте прізвище видатної української науковиці, математикині, докторки фізико-математичних наук, професорки. Номер прикладу відповідає місцю, на якому стоїть буква у слові.

1) 0,6𝑎𝑎4 𝑏𝑏 3 ∙ 4𝑎𝑎2 𝑏𝑏 = 0,6 ∙ 4 ∙ 𝑎𝑎4+2 𝑏𝑏 3+1 = 2,4𝑎𝑎6 𝑏𝑏4 2) −2,8𝑎𝑎2 𝑏𝑏 5 ∙ 0,5𝑎𝑎4 𝑏𝑏2 = −2,8 ∙ 0,5 ∙ 𝑎𝑎2+4 𝑏𝑏 5+2 = −1,4𝑎𝑎6 𝑏𝑏7 3) −3𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ (−7𝑎𝑎2 𝑏𝑏) = 21𝑎𝑎3 𝑏𝑏 2 4) 1,6𝑎𝑎2 𝑏𝑏 ∙ (−0,25𝑎𝑎3 𝑏𝑏2 ) = −0,25 ∙ 1,6 ∙ 𝑎𝑎2+3 𝑏𝑏1+2 = −0,4𝑎𝑎5 𝑏𝑏 3 5) −0,7𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 ∙ (−3𝑎𝑎) = 2,1𝑎𝑎3 𝑏𝑏 2 3 2 1 6) 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 4 ∙ 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 = 𝑎𝑎4 𝑏𝑏 6 4

15

2

10

26∙2

7) −2,6𝑎𝑎 𝑏𝑏 ∙ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = − ∙ 𝑎𝑎3+2 𝑏𝑏1+3 = −0,4𝑎𝑎5 𝑏𝑏4 13 10∙13 8) 1,2𝑎𝑎5 𝑏𝑏 3 ∙ (−2𝑎𝑎𝑎𝑎) = −2,4𝑎𝑎6 𝑏𝑏4 Відповідь: Вірченко.

289. Піднесіть до квадрата одночлен: 4) (−0,2𝑚𝑚8 𝑛𝑛9 )2 = 0,04𝑚𝑚16 𝑛𝑛18 1) (6𝑎𝑎)2 = 36𝑎𝑎2 1 1 2) (3𝑏𝑏 2 )2 = 9𝑏𝑏 4 5) ( 𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 6 )2 = 𝑥𝑥 6 𝑦𝑦12 8 64 3) (−9𝑎𝑎4 𝑏𝑏 5 )2 = 81𝑎𝑎8 𝑏𝑏10 5 25 2 8 2 6) (− 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 ) = 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 4 𝑐𝑐 16 3

2 3

 shkola.in.ua

7

49

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

290. Піднесіть до куба одночлен: 1) (2𝑏𝑏)3 = 8𝑏𝑏 3 4) (−0,1𝑚𝑚7 𝑛𝑛10 )3 = −0,001𝑚𝑚21 𝑛𝑛30 1 1 2) (10𝑐𝑐 4 )3 = 1000𝑐𝑐12 5) (− 𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 2 )3 = − 𝑥𝑥 9 𝑦𝑦 6 4 64 1 1 3 2 3 9 6 3 3) ( 𝑥𝑥 5 )3 = 𝑥𝑥 15 6) (−𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐) = −𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 3 27 291. Перетворіть в одночлен стандартного вигляду вираз: 1) (3𝑎𝑎2 𝑏𝑏)2 = 32 ∙ (𝑎𝑎2 )2 𝑏𝑏 2 = 9𝑎𝑎4 𝑏𝑏 2 2) (−0,2𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 4 )3 = (−0,2)3 ∙ (𝑥𝑥 3 )3 ∙ (𝑦𝑦 4 )3 = −0,008𝑥𝑥 9 𝑦𝑦12 3) (−10𝑚𝑚2 𝑦𝑦 8 )4 = (−10)4 ∙ (𝑚𝑚2 )4 ∙ (𝑦𝑦 8 )4 = 10000𝑚𝑚8 𝑦𝑦 32 4) (6𝑥𝑥 6 𝑦𝑦 7 𝑧𝑧 8 )2 = 36𝑥𝑥 12 𝑦𝑦14 𝑧𝑧16 292. Виконайте піднесення до степеня: 1) (−7х9 у10 )2 = 49х18 у20 2) (0,5𝑎𝑎12 𝑏𝑏14 )2 = 0,25𝑎𝑎24 𝑏𝑏 28 3) (3𝑎𝑎𝑎𝑎 4 𝑐𝑐 5 )4 = 81𝑎𝑎4 𝑏𝑏16 𝑐𝑐 20 293. Чи є правильним твердження (відповідь обґрунтуйте): 1) Ні, бо 6х2 ≥ 0, при х = 0 6х2 = 0 2) Так, а4 ≥ 0, 𝑏𝑏 6 ≥ 0 → 0,4𝑎𝑎4 𝑏𝑏6 ≥ 0 1 3) Ні, бо при а = 3, а3 = 0 і − а3 = 0 при а > 0

3

1 − а3 < 0 3 1 − а3 > 0 3

при а < 0 4) Ні, −5𝑏𝑏 2 ≤ 0 набуває недод. значень.

294. Подайте даний вираз у вигляді добутку двох одночленів, один з яких дорівнює 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 6 : 1) 3𝑎𝑎6 𝑏𝑏 8 = 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 6 ∙ 𝑎𝑎4 𝑏𝑏 2 2) −12𝑎𝑎2 𝑏𝑏10 = 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 6 ∙ (−4𝑏𝑏4 ) 3) −2,7𝑎𝑎5 𝑏𝑏 7 = 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 6 ∙ (−0,9𝑎𝑎3 𝑏𝑏) 2 16 4) 2 𝑎𝑎20 𝑏𝑏 30 = 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 6 ∙ 𝑎𝑎18 𝑏𝑏 24 7 21 295. Яким одночленом треба замінити зірочку, щоб виконувалася рівність: 1) ∗∙ 3𝑏𝑏 4 = 12𝑏𝑏6 2) −5𝑎𝑎5 𝑏𝑏2 ∙∗= −20𝑎𝑎6 𝑏𝑏 8 ∗= 4𝑏𝑏 2 ∗= 4𝑎𝑎𝑎𝑎 6 4) 23𝑎𝑎12 𝑏𝑏16 ∙∗= −23𝑎𝑎29 𝑏𝑏17 3) −7𝑎𝑎3 𝑏𝑏9 ∙∗= 4,2𝑎𝑎5 𝑏𝑏12 ∗= −𝑎𝑎17 𝑏𝑏 ∗= −0,6𝑎𝑎2 𝑏𝑏 3 296. Виконайте множення одночленів, де m і n — натуральні числа: 5 9 1) 2 𝑎𝑎𝑛𝑛+2 𝑏𝑏 𝑚𝑚+3 ∙ 𝑎𝑎5𝑛𝑛−4 𝑏𝑏 2𝑚𝑚−1 = 1,5𝑎𝑎6𝑛𝑛−2 𝑏𝑏 3𝑚𝑚+2 6

1

17 2𝑛𝑛−1 3𝑛𝑛−1

1

2) −7 𝑎𝑎 𝑏𝑏 ∙ 1 𝑎𝑎𝑛𝑛+6 𝑏𝑏 3𝑛𝑛+1 = −8𝑎𝑎3𝑛𝑛+5 𝑏𝑏 6𝑛𝑛 3 11 297. Подайте у вигляді квадрата одночлена стандартного вигляду вираз: 1) 4𝑎𝑎10 = 22 ∙ (𝑎𝑎5 )2 = (−2𝑎𝑎5 )2 2) 36𝑎𝑎8 𝑏𝑏 2 = 62 ∙ (𝑎𝑎4 )2 ∙ 𝑏𝑏 2 = (−6𝑎𝑎4 𝑏𝑏)2 3) 0,16𝑎𝑎14 𝑏𝑏16 = 0,42 ∙ (𝑎𝑎7 )2 ∙ (𝑏𝑏8 )2 = (−0,4𝑎𝑎7 𝑏𝑏8 )2 4) 289𝑎𝑎20 𝑏𝑏 30 𝑐𝑐 40 = 172 ∙ (𝑎𝑎10 )2 ∙ (𝑏𝑏15 )2 ∙ (𝑐𝑐 20 )2 = (−17𝑎𝑎10 𝑏𝑏15 𝑐𝑐 20 )2 298. Подайте у вигляді куба одночлена стандартного вигляду вираз: 1) 8х6 = (2х2 )3 2) −27х3 у9 = (−3ху3 )3 3) 0,001х12 у18 = (0,1х4 у6 )3 125 15 21 24 5 4) − х у 𝑧𝑧 = (− 𝑥𝑥 5 𝑦𝑦 7 𝑧𝑧 8 ) 3 216

6

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

299. Подайте одночлен 64а6 𝑏𝑏12 у вигляді: 1) 64𝑎𝑎6 𝑏𝑏12 = 32𝑎𝑎4 𝑏𝑏4 ∙ 2𝑎𝑎2 𝑏𝑏 8 2) 64𝑎𝑎6 𝑏𝑏12 = 82 ∙ (𝑎𝑎3 )2 ∙ (𝑏𝑏 6 )2 = (−8𝑎𝑎3 𝑏𝑏 6 )2 3) 64𝑎𝑎6 𝑏𝑏12 = 43 ∙ (𝑎𝑎2 )3 ∙ (𝑏𝑏 4 )3 = (4𝑎𝑎2 𝑏𝑏 4 )3 300. Подайте одночлен 81𝑚𝑚4 𝑛𝑛16 у вигляді: 1 1) 81𝑚𝑚4 𝑛𝑛16 = (−243𝑚𝑚3 𝑛𝑛2 ) ∙ (− 𝑚𝑚𝑚𝑚14 ) 3 4 16 2 2 2 8 2 2) 81𝑚𝑚 𝑛𝑛 = 9 ∙ (𝑚𝑚 ) ∙ (𝑛𝑛 ) = (−9𝑚𝑚2 𝑛𝑛8 )2 3) 81𝑚𝑚4 𝑛𝑛16 = 34 ∙ 𝑚𝑚4 ∙ (𝑛𝑛4 )4 = (−3𝑚𝑚𝑚𝑚4 )4 301. Спростіть вираз: 1) 2𝑎𝑎3 ∙ (−5𝑎𝑎4 𝑏𝑏5 )2 = 50𝑎𝑎11 𝑏𝑏10 2) (−𝑥𝑥 6 𝑦𝑦)3 ∙ 11𝑥𝑥 4 𝑦𝑦 5 = −11𝑥𝑥 22 𝑦𝑦 8 3) (−0,6𝑎𝑎3 𝑏𝑏5 𝑐𝑐 6 )2 ∙ 3𝑎𝑎2 𝑐𝑐 8 = 1,08𝑎𝑎8 𝑏𝑏10 𝑐𝑐 20 3 1 2 4) −1 𝑚𝑚4 𝑛𝑛9 ∙ (− 𝑚𝑚𝑚𝑚3 )2 = − 𝑚𝑚6 𝑛𝑛15 11 6 3 4

5) (3𝑚𝑚 𝑛𝑛 ) ∙ (−

7 1

77 24 12

1

𝑚𝑚9 𝑛𝑛) = −𝑚𝑚33 𝑛𝑛13 81 1 1 6) −(−2𝑐𝑐 2 𝑑𝑑5 )7 ∙ (− 𝑐𝑐 4 𝑑𝑑 5 )4 = −(−128) ∙ 𝑐𝑐 14 𝑑𝑑 35 ∙ 𝑐𝑐16 𝑑𝑑 20 = 8𝑐𝑐 30 𝑑𝑑 55 2 16 81

9

𝑚𝑚 𝑛𝑛) = 81𝑚𝑚 𝑛𝑛

∙ (−

302. Спростіть вираз: 1) 20𝑎𝑎8 ∙ (9𝑎𝑎)2 = 1620𝑎𝑎10 2) (−𝑏𝑏 5 )4 ∙ 12𝑏𝑏6 = 12𝑏𝑏26 3) (0,2𝑥𝑥 7 𝑦𝑦 8 )3 ∙ 6𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 = 0,048𝑥𝑥 23 𝑦𝑦 26 1 4) (− 𝑎𝑎𝑎𝑎 4 )3 ∙ (4𝑎𝑎6 )2 = −2𝑎𝑎15 𝑏𝑏12 2 303. Замініть зірочки такими одночленами, щоб виконувалася рівність: 1) (3𝑎𝑎𝑎𝑎)2 ∙ (𝑏𝑏𝑏𝑏)3 = 9𝑎𝑎2 𝑏𝑏 3 𝑐𝑐 5 2) (𝑎𝑎𝑎𝑎 2 )3 ∙ (2𝑎𝑎𝑎𝑎 2 )4 = 16𝑎𝑎7 𝑏𝑏 6 𝑐𝑐 8 3) (−2𝑛𝑛3 )3 ∙ (3𝑚𝑚4 𝑛𝑛)2 = −72𝑚𝑚8 𝑛𝑛11 4) (𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 3 𝑧𝑧 2 )2 ∙ (2𝑥𝑥 5 𝑦𝑦 3 𝑧𝑧)5 = 32𝑥𝑥 29 𝑦𝑦 21 𝑧𝑧 9 304. Значення змінних x і y такі, що 5х2 у4 = 6. Знайдіть значення виразу: 5х2 у4 = 6 1) 1,5х2 у4 = 0,3 ∙ 5х2 у4 = 1,8 2) 25х4 у8 = (5х2 у4 )2 = 36 1 1 216 1 3) −25х6 у12 = − (5х2 у4 )3 = − ∙ 63 = − = −43 5 5 5 5 305. Значення змінних a і b такі, що 3𝑎𝑎𝑎𝑎 3 = 4. Знайдіть значення виразу: 3𝑎𝑎𝑎𝑎 3 = 4 1) −1,2𝑎𝑎𝑎𝑎3 = −0,4 ∙ 3𝑎𝑎𝑎𝑎 3 = −0,4 ∙ 4 = −1,6 2) 27𝑎𝑎3 𝑏𝑏 9 = (3𝑎𝑎𝑎𝑎3 )3 = 43 = 64 2 2 2 2∙16 5 3) − 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 6 = − (3𝑎𝑎𝑎𝑎3 )2 = − ∙ 42 = − =− 3 27 27 27 27 2 306. Значення змінних a, b і c такі, що 2𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 7, a 𝑎𝑎3 𝑐𝑐 2 = 2. Знайдіть значення виразу: 2𝑎𝑎2 𝑏𝑏 = 7, 𝑎𝑎3 𝑐𝑐 2 = 2 1) 6𝑎𝑎5 𝑏𝑏𝑐𝑐 2 = 3 ∙ 2𝑎𝑎2 𝑏𝑏 ∙ 𝑎𝑎3 𝑐𝑐 2 = 3 ∙ 7 ∙ 2 = 42 1 1 1 2) 𝑎𝑎7 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 = (2𝑎𝑎2 𝑏𝑏)2 ∙ 𝑎𝑎3 𝑐𝑐 2 = ∙ 72 ∙ 2 = ∙ 2 ∙ 49 = 24,5 1

4

3) 2 𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑐𝑐 = 7

8

4

15 14

2

4 3 2 2

∙ 2𝑎𝑎 𝑏𝑏 ∙ (𝑎𝑎 𝑐𝑐 ) =

15 14

4

∙7∙4=

15∙4 2

= 30 1

307. Значення змінних m, n і p такі, що 𝑚𝑚3 𝑛𝑛2 = 3, 𝑛𝑛3 𝑝𝑝2 = 5. Знайдіть значення виразу: 3 2

1

3 2

𝑚𝑚 𝑛𝑛 = 3, 𝑛𝑛 𝑝𝑝 = 5 3

3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 1

1) 𝑚𝑚3 𝑛𝑛5 𝑝𝑝2 = 3 ∙ 𝑛𝑛3 𝑝𝑝2 ∙ 𝑚𝑚3 𝑛𝑛2 = 45 3

1

2) 2𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑝𝑝 = 18 ∙ 𝑚𝑚3 𝑛𝑛2 ∙ ( 𝑛𝑛3 𝑝𝑝2 )2 = 1350 3 8 4

6

3 3 2 4

1

6

3) −0,4𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑝𝑝 = − ∙ (𝑚𝑚 𝑛𝑛 ) ∙ 𝑛𝑛3 𝑝𝑝2 = − ∙ (3)4 ∙ 5 = −486 5 3 5 308. У магазині канцтоварів продавець сказав Дмитру, що за 9 однакових наборів фломастерів треба заплатити 245 грн. Дмитро одразу ж сказав, що продавець помилився. Як він це визначив? Сума цифр числа 245 дорівнює 2 + 4 + 5 = 11, а 11 не кратне 9.

309. Сорочка спочатку подешевшала на 10 %, а потім подорожчала на 20 %. У результаті цих двох переоцінок виявилося, що ціна сорочки змінилася на 48 грн. Знайдіть початкову ціну сорочки. Нехай дане число дорівнює х. Після його зменшення на 10% воно дорівнюватиме х – 0,1х = 0,9х.

0,9х + 0,2 ⋅ 0,9х = 1,08х 1,08х – х = 48 0,08х = 48 х = 600 Відповідь: 600.

310. Замініть зірочки такими цифрами, щоб: 1) число *5* ділилося націло на 3 і на 10; 2) число 13*2* ділилося націло на 9 і на 5; 3) число 58* ділилося націло на 2 і на 3. Знайдіть усі можливі розв’язки.

1) Числа 150, 450, 750 діляться націло на 3 і на 10.

2) Числа 13320, 13725 діляться націло на 9 і на 5.

3) Числа 582, 588 діляться націло на 2 і на 3.

311. Спростіть вираз: 1) 6х – 12х + 15х – 9х = 0 2) 7a – 9b – 12a + 14b = -5a + 5b 3) -0,8k + 0,9 – 1,7k + 0,5k + 1,4 = -2k + 2,3 1 1 1 3 1 1 4) − 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = − 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 6 2 9 4 18 4 312. Скількома способами можна поставити на шахівницю білу й чорну тури так, щоб вони не били одна одну? Існує 64 ⋅ 49 = 3136 способів розміщення тур так, щоб вони не били одна одну.

8. Многочлени 313. Чи є многочленом вираз: 1) Так; 2) Ні; 3) Ні; 4) Ні; 5) Ні; 6) Так; 7) Ні; 8) Ні.

314. Назвіть одночлени, сумою яких є даний многочлен: 1) −5𝑎𝑎4 ; 3𝑎𝑎2 ; −𝑎𝑎; 8 2) 6𝑥𝑥 3 ; −10𝑥𝑥 2 𝑦𝑦; 7𝑥𝑥𝑦𝑦 2 ; 𝑦𝑦 3 3) 𝑡𝑡 3 ; 3𝑡𝑡 2 ; −4𝑡𝑡; 5 4) 1,8𝑎𝑎3 𝑏𝑏; −3,7𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 ; 16𝑎𝑎𝑎𝑎 3 ; −𝑏𝑏 4 315. Запишіть многочлен, який складається з одночленів: 1) 3а + 2b 2) 6c – 5p 3 2 4) х2 − ху + у2 3) х + 2х + 3х 316. Запишіть многочлен, який складається з одночленів: 1) -4a + 5b 2) р2 − 5р 3) 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 4) х4 − х3 у + х2 у2 − ху3 317. Знайдіть значення многочлена: 1) Якщо х = 0,5, то 2х2 + х − 3 = 2 ∙ 0,52 + 0,5 − 3 = 0,5 + 0,5 − 3 = −2 2) Якщо х = 3, у = -2, то х3 + 5ху = 33 + 5 ∙ 3 ∙ (−2) = 27 − 30 = −3 12 11 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) Якщо а = -4, b = 6, то 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 = (−4 − 6)2 = −102 = 100 4) Якщо у = -1, то у4 + 7у3 − 2у2 − у + 10 = (−1)4 + 7 ∙ (−1)3 − 2 ∙ (−1)2 − (−1) + 10 = 1 − 7 − 2 + 1 + 10 = 3 318. Знайдіть значення многочлена при: 1) Якщо у = 1, то 2у3 − 3у2 + 4у − 6 = 2 ∙ 13 − 3 ∙ 12 + 4 ∙ 1 − 6 = 2 − 3 + 4 − 6 = −3 2) Якщо у = 0, то 2у3 − 3у2 + 4у − 6 = 2 ∙ 03 − 3 ∙ 02 + 4 ∙ 0 − 6 = 0 − 0 + 0 − 6 = −6 3) Якщо у = -5, то 2у3 − 3у2 + 4у − 6 = 2 ∙ (−5)3 − 3 ∙ (−5)2 + 4 ∙ (−5) − 6 = −250 − 75 − 20 − 6 = −351 319. Чи є даний многочлен многочленом третього степеня: 1) Ні; 2) Так; 3) Ні; 4) Так; 5) Ні; 6) Так.

320. Чи є даний многочлен многочленом четвертого степеня: 1) Так; 2) Так; 3) Так; 4) Ні.

321. Перетворіть многочлен у многочлен стандартного вигляду. Укажіть його степінь: 1) 4𝑏𝑏 2 + 𝑎𝑎2 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 − 18𝑏𝑏2 − 9𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎2 − 14𝑏𝑏 2 ; степінь многочлена – 2.

2) 8𝑚𝑚3 − 13𝑚𝑚𝑚𝑚 − 9𝑛𝑛2 − 8𝑚𝑚3 − 2𝑚𝑚𝑚𝑚 = −15𝑚𝑚𝑚𝑚 − 9𝑛𝑛2 ; степінь многочлена – 2.

3) 2𝑎𝑎2 𝑏𝑏 − 7𝑎𝑎𝑎𝑎 2 − 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏 2 = −𝑎𝑎2 𝑏𝑏 − 5𝑎𝑎𝑎𝑎 2 ; степінь многочлена – 3.

4) 0,9𝑐𝑐 4 + 1,1𝑐𝑐 2 + 𝑐𝑐 4 − 0,6𝑐𝑐 2 = 1,9𝑐𝑐 4 + 0,5𝑐𝑐 2 ; степінь многочлена – 4.

5) 3𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 5 − 𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 3 = 2𝑥𝑥 2 − 4 − 2; степінь многочлена – 2.

6) 𝑏𝑏 3 − 3𝑏𝑏𝑏𝑏 + 3𝑏𝑏 3 + 8𝑏𝑏𝑏𝑏 − 4𝑏𝑏 3 = 5𝑏𝑏𝑏𝑏; степінь многочлена – 2.

322. Перетворіть многочлен у многочлен стандартного вигляду. Укажіть його степінь: 1) 5х2 − 10х + 9 − 2х2 + 14х − 20 = 3х2 + 4х − 11; степінь многочлена – 2.

2) −𝑚𝑚5 + 2𝑚𝑚4 − 6𝑚𝑚5 + 12𝑚𝑚3 − 18𝑚𝑚3 = −7𝑚𝑚5 + 2𝑚𝑚4 − 6𝑚𝑚3 ; степінь многочлена – 5.

3) 0,2а3 + 1,4а2 − 2,2 − 0,9а3 + 1,8а2 + 3 = −0,7а3 + 3,2а2 + 0,8; степінь многочлена – 3.

4) 6х2 у − ху2 − 8х2 у + 2ху2 − ху + 7 = −2х2 у + ху2 − ху + 7; степінь многочлена – 3.

323. Закінчіть розташування членів многочлена в порядку спадання степенів змінної: 1) 8х − 3х2 + 6х3 − 4 = 6х3 − 3х2 + 8х − 4 2) х4 − 5х6 − 3х2 + 3х3 − 7х + 2 = −5х6 + х4 + 3х3 − 3х2 − 7х + 2 3) 3 − 10х5 + х = −10х5 + х + 3 324. Розташуйте члени многочлена в порядку зростання степенів змінної: 1) 6 − 5𝑚𝑚 − 𝑚𝑚2 + 4𝑚𝑚3 2) 7 + 9а − а2 + 5а3 − 8а4 3) −4 + 𝑚𝑚2 − 10𝑚𝑚3 + 8𝑚𝑚4 + 7𝑚𝑚6 325. Зведіть подібні члени та знайдіть значення многочлена при вказаних значеннях змінних: 1) Якщо а= -2, то −3а5 + 4а3 + 7а5 − 10а3 + 12а = 4а5 − 6а3 + 12а = 2а(2а4 − 3а2 + 6) = 2 ∙ (−2) ∙ (2 ∙ (−2)4 − 3 ∙ (−2)2 + 6) = −4 ∙ (32 − 12 + 6) = −4 ∙ 26 = −104 2) Якщо х = -1, у = -3,то х3 у − 3ху2 − 4х3 у + 8ху2 = −3х3 у + 5ху2 = ху(−3х2 + 5у) = (−1) ∙ (−3) ∙ �−3 ∙ (−1)2 + 5 ∙ (−3)� = 3 ∙ (−3 − 15) = −54 3) Якщо х = 5, то 0,58х2 − 0,3х − х2 + 1,6 + 1,1х − 0,6 = −0,2х2 + 0,8х + 1 = −0,2 ∙ 52 + 0,8 ∙ 5 + 1 = −5 + 4 + 1 = 0 1 3 1 1 1 1 4) Якщо а = -4, с = 3, то а2 с + ас2 + а2 с + 1,25ас2 = а2 с + 2ас2 = ас(а + 4с) = ∙ 3 4 6 2 2 2 (−4) ∙ 3 ∙ (−4 + 4 ∙ 3) = −6 ∙ 8 = −48 326. Зведіть подібні члени та знайдіть значення многочлена при вказаних значеннях змінних: 1) Якщо а = 2, b = -6, то 2𝑎𝑎3 + 3𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 2 − 6𝑎𝑎3 − 7𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 2 = −4𝑎𝑎3 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 = −4 ∙ 23 − 4 ∙ 2 ∙ (−6) + (−6)2 = −32 + 48 + 36 = 52  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

2) Якщо m = 0,5, n = 2, то 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 6𝑚𝑚𝑚𝑚2 − 8𝑚𝑚𝑚𝑚 − 6𝑚𝑚𝑚𝑚2 = −7𝑚𝑚𝑚𝑚 − 12𝑚𝑚𝑚𝑚2 = −𝑚𝑚𝑚𝑚(7 + 12𝑛𝑛) = −0,5 ∙ (−2) ∙ �7 + 12 ∙ (−2)� = 1 ∙ (−17) = −17 1 1 3) Якщо х = , у = 9, то 10ху2 − 12х2 у + 9х2 у − 9ху2 = ху2 − 3х2 у = ху(у − 3х) = ∙ 9 ∙ 1

3

3

�9 − 3 ∙ 3� = 3 ∙ 8 = 24 327. З одночленів виберіть кілька та складіть із них: 1) многочлен стандартного вигляду; 2) многочлен, який містить подібні члени; 3) два многочлени стандартного вигляду, використавши при цьому всі дані одночлени.

1) 4𝑎𝑎 − 3𝑎𝑎𝑎𝑎; 7𝑎𝑎2 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎; −8𝑎𝑎2 + 5𝑎𝑎 2) 4𝑎𝑎 − 3𝑎𝑎𝑎𝑎 + 4𝑎𝑎2 − 8𝑎𝑎2 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 + 5𝑎𝑎 3) 4𝑎𝑎 − 3𝑎𝑎𝑎𝑎 + 7𝑎𝑎2 ; −8𝑎𝑎2 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 + 5𝑎𝑎 328. На рулоні шпалер написано, що довжина полотна шпалер відрізняється від номінальної не більше ніж на 0,8 %. Номінальна довжина полотна в рулоні дорівнює 10 м. Укажіть, якій з наведених величин не може дорівнювати довжина шпалер у цьому рулоні.

1) 10,06 м; 2) 9,94 м; 3) 9,9 м; 4) 10,02 м.

10 м ± 0,8% 10 ∙ 0,008 = 0,08 м 10 м + 0,08 м = 10,08 м 10 м – 0,08 м = 9,92 м Не може дорівнювати 9,9 м 329. Цукерки за ціною 210 грн за 1 кг змішали із цукерками за ціною 285 грн за 1 кг і отримали суміш за ціною 240 грн за 1 кг. Яка маса цукерок кожного виду міститься в 1 кг суміші? Нехай маса цукерок одного виду в 1 кг суміші дорівнює х кг, тоді маса цукерок іншого виду – 1 – х кг, тоді: 210 + 285(1 – х) = 240 – 1 -75х = -45 х = 0,6 (кг) – одного виду.

1 – 0,6 = 0,4 (кг) – іншого виду. Відповідь: 0,6 кг; 0,4 кг.

330. За зняття готівкових грошей у банкоматі деякого банку стягується комісія в розмірі 1,5 % від суми, що знімається. Яку суму буде списано з банківського рахунку під час зняття в банкоматі 2000 грн готівкою?

2000 ∙ 0,015 = 30 (грн) Відповідь: було списано 30 грн.

331. Крамниця закупає чашки за оптовою ціною 120 грн за одну штуку та продає з націнкою 30 %. Скільки коштуватиме така чашка в цій крамниці?

100% + 30% = 130% = 1,3 1,3 ∙ 120 = 156 (грн) Відповідь: чашка коштуватиме 156 грн.

332. Якому з поданих виразів тотожно дорівнює вираз -9х + (4х – 7): -9х + (4х – 7) = -5х – 7 Відповідь: 3).

333. Якому з поданих виразів тотожно дорівнює вираз -8у – (3у – 1): -8у – (3у – 1) = -11у + 1 Відповідь: 1).

334. Спростіть вираз: 1) (2a + b) – (b – 2a) = 2a + b – b + 2a = 4a  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

2) (3a – 4) + (3 – 5a) = 3a – 4 + 3 – 5a = -2a – 1 3) (m + n) – (2m + n) – (m – 4n) = m + n – 2m – n – m + 4n = -2m + 4n 4) (5c – 2) – (6c + 1) + (c – 8) = 5c – 2 – 6c – 1 + c – 8 = -11 335. Навколо зорі обертається кілька планет, відстані між якими не змінюються та є попарно різними. На кожній планеті перебуває один астроном, який спостерігає за найближчою планетою. Доведіть, що існують дві планети, на яких астрономи спостерігають один за одним. Для доведення достатньо розглянути щонайменше три планети. Нехай навколо зорі (З) обертаються планети П1, П2 і П3. Оскільки відстані П1П2 і П1П3 (за умовою) не змінюються і є попарною різними, то, очевидно, що або відстань П1П2, або відстань П1П3 є коротшою, тобто або планета П2, або планета П3 знаходиться найближче до планети П1 – а це якраз створює ситуацію, що астроном на планеті П2, або астроном на планеті А3 зможе вивчати планету П1. У свою чергу, астроном на планеті П1 отримує найкарщу можливість для вивчення або планети П2, або планети П3. В обох випадках, отже, маємо дві планети, на яких астрономи вивчають один одного, що й потрібно було довести.

9. Додавання і віднімання многочленів 336. Знайдіть суму многочленів: 1) −6 − а2 + а2 + 13 = 7 2) 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 3 + (−𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 2 ) = 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 3 − 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 2 = 𝑐𝑐 3 + 𝑐𝑐 2 3) 3х + 14 − х2 − 3х − 18 = −х2 − 4 337. Знайдіть суму многочленів: 1) −5х2 − 4 + 8х2 − 6 = 3х2 − 10 2) 2х + 16 + (−х2 − 6х − 20) = 2х + 16 − х2 − 6х − 20 = −х2 − 4х − 4 338. Знайдіть різницю многочленів: 1) х2 + 8х − (4 − 3х) = х2 + 8х − 4 + 3х = х2 + 11х − 4 2) 2х2 + 5х − (4х2 − 2х) = 2х2 + 5х − 4х2 + 2х = −2х2 + 7х 3) 4х2 − 7х + 3 − (х2 − 8х + 11) = 4х2 − 7х + 3 − х2 + 8х − 11 = 3х2 + х − 8 4) 9𝑚𝑚2 − 5𝑚𝑚 + 4 − (−10𝑚𝑚 + 𝑚𝑚3 + 5) = 9𝑚𝑚2 − 5𝑚𝑚 + 4 + 10𝑚𝑚 − 𝑚𝑚3 − 5 = −𝑚𝑚3 + 9𝑚𝑚2 + 5𝑚𝑚 − 1 339. Знайдіть різницю многочленів: 1) −5,4𝑚𝑚 + 𝑛𝑛2 − (𝑛𝑛2 + 3,9𝑚𝑚) = −5,4𝑚𝑚 + 𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛2 – 3,9𝑚𝑚 = −9,3𝑚𝑚 2) 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 2 – (– 𝑏𝑏 2 + 𝑎𝑎2 – 𝑐𝑐 2 ) = 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 2 + 𝑏𝑏 2 – 𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐 2 = 𝑐𝑐 2 3) 3𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 2 − (𝑥𝑥 2 – 7𝑥𝑥 + 15) = 3𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 2 − 𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥– 15 = 2𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 13 340. Знайдіть суму і різницю двочленів: 1) a + b + a – b = 2a 2) a – b + b – a = 0 a + b – a + b = 2b a – b – b + a = 2a – 2b 3) b – a + a – b = 0 4) b – a – a – b = -2a b – a – a + b = 2b – 2a b – a + a + b = 2b 341. Знайдіть суму і різницю двочленів: 1) 2a – b + 3a + b = 5a 2) b – 2a i b – 3a = -5a + 2b 2a – b – 3a – b = -a – 2b b – 2a – b + 3a = a  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) 2a + b i 3a – b = 5a 4) b – 2a i 3a – b = a 2a + b – 3a + b = -a + 2b b – 2a – 3a + b = -5a + 2b 342. Спростіть вираз: 1) (5𝑎𝑎4 + 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 3 ) − (3𝑎𝑎4 − 4𝑎𝑎2 𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 2 ) = 5𝑎𝑎4 + 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 3 − 3𝑎𝑎4 + 4𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 2 = 2𝑎𝑎4 + 7𝑎𝑎2 𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 3 + 𝑏𝑏 2 2) (12ху − 10х2 + 9у2 ) − (−14х2 + 9ху − 14у2 ) = 12ху − 10х2 + 9у2 + 14х2 − 9ху + 14у2 = 4х2 + 3ху + 23у2 3) (7𝑎𝑎𝑎𝑎 2 − 8𝑎𝑎𝑎𝑎 + 4𝑎𝑎2 𝑏𝑏) + (10𝑎𝑎𝑎𝑎 − 7𝑎𝑎2 𝑏𝑏) = 7𝑎𝑎𝑎𝑎 2 − 8𝑎𝑎𝑎𝑎 + 4𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 10𝑎𝑎𝑎𝑎 − 7𝑎𝑎2 𝑏𝑏 = 7𝑎𝑎𝑎𝑎 2 − 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 4) (2с2 + 3с) + (−с2 + с) − (с2 + 4с − 1) = 2с2 + 3с − с2 + с − с2 − 4с + 1 = 1 343. Спростіть вираз: 1) (3х2 − 2х) + (−х2 + 3х) = 3х2 − 2х − х2 + 3х = 2х2 + х 2) (4𝑐𝑐 2 − 2𝑐𝑐𝑐𝑐) − (10𝑐𝑐 2 + 8𝑐𝑐𝑐𝑐) = 4𝑐𝑐 2 − 2𝑐𝑐𝑐𝑐 − 10𝑐𝑐 2 − 8𝑐𝑐𝑐𝑐 = −6𝑐𝑐 2 − 10𝑐𝑐𝑐𝑐 3) (12𝑚𝑚2 − 7𝑛𝑛 − 3𝑚𝑚𝑚𝑚) − (6𝑚𝑚𝑚𝑚 − 10𝑛𝑛 + 14𝑚𝑚2 ) = 12𝑚𝑚2 − 7𝑛𝑛 − 3𝑚𝑚𝑚𝑚 − 6𝑚𝑚𝑚𝑚 + 10𝑛𝑛 − 14𝑚𝑚2 = −2𝑚𝑚2 − 9𝑚𝑚𝑚𝑚 + 3𝑛𝑛 4) (3𝑛𝑛3 − 2𝑚𝑚𝑚𝑚 + 4𝑚𝑚3 ) − (2𝑚𝑚𝑚𝑚 + 3𝑛𝑛3 ) = 3𝑛𝑛3 − 2𝑚𝑚𝑚𝑚 + 4𝑚𝑚3 − 2𝑚𝑚𝑚𝑚 − 3𝑛𝑛3 = 4𝑚𝑚3 − 4𝑚𝑚𝑚𝑚 344. Який двочлен треба додати до даного двочлена, щоб їхня сума тотожно дорівнювала нулю: 1) a + b + (-a -b) = a + b – a – b = 0; двочлен (-a – b) 2) a – b + (-a + b) = a – b – a + b = 0; двочлен (-a + b) 3) -a – b + (a + b) = -a – b + a + b = 0; двочлен (a + b) 345. Розв’яжіть рівняння: 1) 10 − (7 − 4х − х2 ) = х2 + 8х − 9 2) (5х2 − 3) − (2х + 5) = 5х2 10 − 7 + 4х + х2 − х2 − 8х = −9 5х2 − 3 − 2х − 5 = 5х2 -4х = -3 – 9 -2х = 8 -4х = -12 х = -4 х=3 3) 6 + х3 − (2х − 9 + х3 ) = 5 4) 12 − (6 − 9х − х2 ) = х2 + 5х − 14 6 + х3 − 2х + 9 − х3 = 5 12 − 6 + 9х + х2 = х2 + 5х − 14 -2х = 5 – 15 9х – 5х = -14 – 6 -2х = -10 4х = -20 х=5 х = -5 2 2 2 5) 3х − (2х − 8х) − (х − 3) = х 6) 4у3 − (4у3 − 8у) − (6у + 3) = 7 3х2 − 2х2 + 8х − х2 + 3 = х 4у3 − 4у3 + 8у − 6у − 3 = 7 8х – х = -3 8у – 6у = 7 + 3 7х = -3 2у = 10 3 у=5 х=− 7 7) (у2 − 4у − 17) − (6у2 − 3у − 8) = 1 − у − 5у2 у2 − 4у − 17 − 6у2 + 3у + 8 = 1 − у − 5у2 -4у + 3у + у = 1 – 9 0 ∙ у = -8 - Коренів немає 346. Розв’яжіть рівняння: 1) 5у3 − (6у + 1) = 19 − 2у + 5у3 2) 7х − 2х2 − (10 − 2х2 ) = 11 5у3 − 6у − 1 = 19 − 2у + 5у3 7х − 2х2 − 10 + 2х2 = 11 -6у + 2у = 19 + 1 7х = 10 + 11 -4у = 20 7х = 21 у = -5 х=3  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) 8х2 + 6х − (2х + 8х2 − 12) = 4 4) х2 − (х + 1) − (х2 − 7х + 32) = 3 8х2 + 6х − 2х − 8х2 + 12 = 4 х2 − х − 1 − х2 + 7х − 32 = 3 4х = 4 – 12 6х = 3 + 33 4х = -8 6х = 36 х = -2 х=6 3 3 3 5) (у + 3у − 8) − (5у − у + 7) = 2у − 2у − 15 у3 + 3у − 8 − 5у + у3 − 7 = 2у3 − 15 -2у + 2у = -15 + 15 0∙у=0 у – будь-яке число 347. Доведіть тотожність: 1) (𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 − 𝑐𝑐 2 ) − (𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎2 ) + (𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎2 ) = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 − 𝑐𝑐 2 − 𝑏𝑏 2 − 𝑐𝑐 2 + 𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐 3 − 𝑎𝑎2 = 𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐 2 2) (4 − 3𝑎𝑎2 ) − 𝑎𝑎2 + (7 + 2𝑎𝑎2 ) − (−2𝑎𝑎2 + 11) = 4 − 3𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎2 + 7 + 2𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎2 − 11 = 0 3) (𝑥𝑥 3 + 4𝑥𝑥 2 ) − (𝑥𝑥 + 6) + (1 + 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 3 ) = 𝑥𝑥 3 + 4𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 6 + 1 + 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 3 = 4𝑥𝑥 2 − 5 348. Доведіть тотожність: 1) 4𝑎𝑎2 − (6𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎) + (3𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎2 ) = 4𝑎𝑎2 − 6𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 3𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎2 = 5𝑎𝑎𝑎𝑎 2) (9𝑥𝑥 6 − 4𝑥𝑥 3 ) − (𝑥𝑥 3 − 9) − (8𝑥𝑥 6 − 5𝑥𝑥 3 ) = 9𝑥𝑥 6 − 4𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 3 + 9 − 8𝑥𝑥 6 + 5𝑥𝑥 3 = 𝑥𝑥 6 + 9 349. Знайдіть значення виразу: 1) Якщо а = -3, то (5а3 − 20а2 ) − (4а3 − 18а2 ) = 5а3 − 20а2 − 4а3 + 18а2 = а3 − 2а2 = (−3)3 − 2 ∙ (−3)2 = −27 − 18 = −45 2) Якщо b = -1,5, c = 4, то 4𝑏𝑏 2 − (7𝑏𝑏2 − 3𝑏𝑏𝑏𝑏) + (3𝑏𝑏2 + 7𝑏𝑏𝑏𝑏) = 4𝑏𝑏 2 − 7𝑏𝑏 2 + 3𝑏𝑏𝑏𝑏 + 3𝑏𝑏 2 − 7𝑏𝑏𝑏𝑏 = −4𝑏𝑏𝑏𝑏 = −4 ∙ (−1,5) ∙ 4 = 24 350. Обчисліть значення виразу: 1) Якщо а = -1, b = 5, то (5,7𝑎𝑎2 − 2,1𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 ) − (3,9𝑎𝑎𝑎𝑎 − 0,3𝑎𝑎2 + 2𝑏𝑏 2 ) = 5,7𝑎𝑎2 − 2,1𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 − 3,9𝑎𝑎𝑎𝑎 + 0,3𝑎𝑎2 − 2𝑏𝑏 2 = 6𝑎𝑎2 − 6𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 2 = 6 ∙ (−1)2 = −6 ∙ (−1) ∙ 5 − 52 = 6 + 30 − 25 = 11 2 3 2) Якщо m = − , 𝑛𝑛 = , то (5𝑚𝑚2 𝑛𝑛 − 𝑚𝑚3 ) + 7𝑚𝑚3 − (6𝑚𝑚3 − 3𝑚𝑚2 𝑛𝑛) = 5𝑚𝑚2 𝑛𝑛 − 𝑚𝑚3 + 7𝑚𝑚3 − 3

16

2 2

3

4

3

2

6𝑚𝑚3 + 3𝑚𝑚2 𝑛𝑛 = 8𝑚𝑚2 𝑛𝑛 = 8 ∙ �− � ∙ = 8 ∙ ∙ = 3 16 9 16 3 351. Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінної, що входить до нього: 1) 1,6 − 7а2 − (0,8 − 4а2 ) + (3а2 − 0,7) = 1,6 − 7а2 − 0,8 + 4а2 + 3а2 − 0,7 = 0,1 2) 3х2 − 9х − �8 − 5х2 − (9х − 8х2 )� = 3х2 − 9х − (8 − 5х2 − 9х + 8х2 ) = 3х2 − 9х − 8 + 5х2 + 9х − 8х2 = −8 352. Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінної, що входить до нього.

(2с2 − 3с) + 1,8 − с2 − (с2 − 3с − 2,2) = 2с2 − 3с + 1,8 − с2 − с2 + 3с + 2,2 = 4 353. Який многочлен треба додати до тричлена, щоб сума дорівнювала: 1) М + 2а2 − 5а + 7 = 5; М = −2а2 + 5а − 7 + 5 = −2а2 + 5а − 2 2) М + 2а2 − 5а + 7 = 0; М = −2а2 + 5а − 7 3) М + 2а2 − 5а + 7 = а2 ; М = −2а2 + 5а − 7 + а2 = −а2 + 5а − 7 4) М + 2а2 − 5а + 7 = −2а; М = −2а2 + 5а − 7 − 2а = −2а2 + 3а − 7 354. Який многочлен треба відняти від двочлена, щоб їхня різниця дорівнювала: 1) 4а3 − 8 − М = −4; М = 4а3 − 8 − 4а3 + 4 = 4а3 − 4 2) 4а3 − 8 − М = 9; М = 4а3 − 8 − 4а3 − 9 = 4а3 − 17 3) 4а3 − 8 − М = −2а3 ; М = 4а3 − 8 − 4а3 + 2а3 = 6а3 − 8 4) 4а3 − 8 − М = 3а; М = 4а3 − 8 − 4а3 − 3а = 4а3 − 3а − 8 355. Замість зірочки запишіть такий многочлен, щоб утворилася тотожність:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1) (12х2 − 4ху + 3у2 ) − (3х2 − 4ху + 2у2 ) = 12х2 − 4ху + 3у2 − 3х2 + 4ху − 2у2 = 9х2 + у2 2) а3 − 6а2 − 2а − (−а5 + а3 − 8а2 + 2а + 7) = а3 − 6а2 + 2а + а5 − а3 + 8а2 − 2а − 7 = а5 + 2а2 − 7 356. Замість зірочки запишіть такий многочлен, щоб утворилася тотожність: 1) (2х2 − 14х + 9) + (−2х2 + 4х + 11) = 2х2 − 14х + 9 − 2х2 + 4х + 11 = 20 − 10х 2) (19𝑎𝑎4 − 17𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 3 ) − (−𝑎𝑎4 − 22𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 3 ) = 19𝑎𝑎4 − 17𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 3 + 𝑎𝑎4 + 22𝑎𝑎2 𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 3 = 20𝑎𝑎4 + 5𝑎𝑎2 𝑏𝑏 357. Подайте у вигляді многочлена число, яке складається: 1) із 4 сотень, x десятків і y одиниць: 400 + 10х + у = 10х + у + 400 2) з a тисяч, b сотень, 5 десятків і c одиниць: 1000а + 100b + 50 + c = 1000a + 100b + c + 50 358. Подайте у вигляді многочлена вираз: 1) cba = 100c + 10b + a 2) abc – ab = 100a + 10b + c – (10a + b) = 100a + 10b + c – 10a – b = 90a + 9b + c 3) a0c + ac = 100a + c + 10a + c = 110a + 2c 359. Подайте у вигляді многочлена вираз: 1) cab + ca = 100c + 10a + b + 10c + a = 11a + b + 110c 2) abc + bca = 100a + 10b + c + 100b + 10c + a = 101a + 110b + 11c 3) ab9 + 7a = 100a + 10b + 9 + 70 + a = 101a + 10b + 79 360. Доведіть, що значення виразу (9 – 18n) – (6n – 7) кратне 8 при будь-якому натуральному значенні n.

(9 – 18n) – (6n – 7) = 9 – 18n – 6n + 7 = -24n + 16. Оскільки -24n і 16 кратні 8, то і значення початкового виразу кратне 8.

361. Доведіть, що значення виразу (6m + 8) – (3m – 4) кратне 3 при будь-якому натуральному значенні m.

(6m + 8) – (3m – 4) = 6m + 8 – 3m + 4 = 3m + 12. Оскільки 3m і 12 кратні 3, то і значення початкового виразу кратне 3.

362. Доведіть, що при будь-якому натуральному n значення виразу (5n + 9) – (5 – 2n) при діленні на 7 дає остачу, яка дорівнює 4.

(5n + 9) – (5 – 2n) = 5n + 9 – 5 + 2n = 7n + 4. Вираз 7n + 4 при діленні на 7 дає остачу 4. Що і треба було довести.

363. Чому дорівнює остача при діленні на 9 значення виразу (16n + 8) – (7n + 3), де n — довільне натуральне число?

(16n + 8) – (7n + 3) = 16n + 8 – 7n – 3 = 9n + 5. Вираз 9n + 5 при ділення на 9 дає остачу 5. Відповідь: 5.

364. Доведіть, що значення різниці двочленів 13m + 20n і 7m + 2n, де m і n — довільні натуральні числа, ділиться націло на 6.

13m + 20n – (7m + 2n) = 13m + 20n – 7m – 2n = 6m + 18n = 6(m + 3n). Оскільки 6(m + 3n) ділиться без остачі на 6, то і початковий вираз ділиться без остачі на 6. Що і треба було довести.

365. Доведіть, що значення суми двочленів 16a - 6b і 27b - 2a , де a і b — довільні натуральні числа, ділиться націло на 7.

(16a – 6b) + (27b – 2a) = 16a – 6b + 27b – 2a = 14a + 21b = 7(2a + 3b). Оскільки 7(2a + 3b) ділиться без остачі на 7, то і початковий вираз ділиться без остачі на 7. Що і треба було довести.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

366. Замість зірочки запишіть такий многочлен, щоби після зведення подібних членів отриманий многочлен не містив змінної a: 1) 4𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 8 + (−4𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎𝑎𝑎) = 4𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 8 − 4𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 + 8 2) 9𝑎𝑎3 − 9𝑎𝑎 + 7𝑎𝑎𝑏𝑏 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + (−9𝑎𝑎3 + 9𝑎𝑎 − 7𝑎𝑎𝑏𝑏 2 ) = 9𝑎𝑎3 − 9𝑎𝑎 + 7𝑎𝑎𝑏𝑏 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 9𝑎𝑎3 + 9𝑎𝑎 + 7𝑎𝑎𝑏𝑏 2 = 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 367. Замість зірочки запишіть такий многочлен, щоби після зведення подібних членів многочлен не містив: 1) 3х2 + 5х2 у + 7х − 8у + 15 + (−3х2 − 5х2 у) = 3х2 + 5х2 у + 7х − 8у + 15 − 3х2 − 5х2 у = 7х − 8у + 15 2) 3х2 + 5х2 у + 7х − 8у + 15 + (−3х2 − 5х2 у − 7х) = 3х2 + 5х2 у + 7х − 8у + 15 − 3х2 − 5х2 у − 7х = −8у + 15 3) 3х2 + 5х2 у + 7х − 8у + 15 + (−5ху + 8у) = 3х2 + 5х2 у + 7х − 8у + 15 − 5ху + 8у = 3х2 + 7х + 15 368. Подайте многочлен у вигляді суми двох многочленів таких, щоб один із них не містив змінної b.

3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 8𝑎𝑎3 − 6𝑎𝑎 + 12𝑏𝑏 − 9 = (3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 12𝑏𝑏) + (8𝑎𝑎3 − 6𝑎𝑎 − 9) 369. Подайте многочлен вигляді різниці двох многочленів з додатними коефіцієнтами.

4𝑚𝑚𝑛𝑛2 + 11𝑚𝑚4 − 7𝑚𝑚5 + 14𝑚𝑚𝑚𝑚 − 9𝑛𝑛 + 3 = 4𝑚𝑚𝑛𝑛2 + 11𝑚𝑚4 + 14𝑚𝑚𝑚𝑚 + 3 − (7𝑚𝑚5 + 9𝑛𝑛) 370. Подайте многочлен у вигляді різниці двох многочленів таких, щоб один із них не містив змінної y.

6х2 − 3ху + 5х − 8у + 2 = (6х2 + 5х + 2) − (3ху − 8у) 371. Подайте многочлен у вигляді різниці: 1) двох двочленів; 2) тричлена й двочлена.

1) х2 − 6х + 14 = х2 − 5х − х + 14 = (х2 − 5х) − (х − 14) 2) х2 − 6х + 14 = х2 − 5х + 10 − х + 4 = (х2 − 5х + 10) − (х − 4) 372. Подайте многочлен у вигляді різниці двочлена й тричлена.

3х2 + 10х − 5 = 4х2 + 15х − 5 − х2 − 5х = (4х2 + 15х − 5) − (х2 + 5х) 373. Доведіть, що вираз набуває від’ємного значення при будь-якому значенні x. Якого найбільшого значення набуває цей вираз і при якому значенні x?

(2х4 + 4х − 1) − (х2 + 8 + 9х) + (5х + х2 − 3х4 ) = 2х4 + 4х − 1 − х2 − 8 − 9х + 5х + х2 − 3х4 = −х4 − 9. Оскільки −х4 недодатний, то вираз −х4 − 9 набуває від’ємного значення при будь-якому значенні х. Найбільшого значення -9 вираз −х4 − 9 набуває при х = 0.

374. Доведіть, що вираз набуває додатного значення при будь-якому значенні y. Якого найменшого значення набуває цей вираз і при якому значенні y?

(7у2 − 9у + 8) − (3у2 − 6у + 4) + 3у = 7у2 − 9у + 8 − 3у2 + 6у − 4 + 3у = 4у2 + 4. Оскільки 4у2 невід’ємний, то 4у2 + 4 – набуває додатного значення при будь-якому значенні у. Найменшого значення 4 вираз 4у2 + 4 набуває при у = 0.

375. Доведіть, що: 1) сума п’яти послідовних натуральних чисел ділиться націло на 5: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 = 5n + 10 = 5(n + 2). Оскільки 5(n + 2) ділиться без остачі на 5, то твердження задачі доведено.

2) сума трьох послідовних парних натуральних чисел ділиться націло на 6: 2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 6n + 6 = 6(n + 1). Оскільки 6(n + 1) ділиться без остачі на 6, то твердження задачі доведено.

3) сума чотирьох послідовних непарних натуральних чисел ділиться націло на 8: 2n + 1 + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) = 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 = 8n + 16 = 8(n + 2). Оскільки 8(n + 2) ділиться без остачі на 8, то твердження задачі доведено.

4) сума чотирьох послідовних натуральних чисел не ділиться націло на 4:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6 – 4(n + 1) + 2. Оскільки 4(n + 1) ділиться без остачі на 4, а 2 – ні, то твердження задачі доведено.

5) остача від ділення на 6 суми шести послідовних натуральних чисел дорівнює 3: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 + n + 5 = 6n + 15 = 6(n + 2) + 3. Оскільки 6(n + 2) + 3при ділення на 6 дає остачу 3, то твердження задачі доведено.

376. Доведіть, що: 1) сума трьох послідовних натуральних чисел кратна 3: n + (n + 1) + (n + 2) = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1). Оскільки 3(n + 1) ділиться без остачі на 3, то твердження задачі доведено.

2) сума семи послідовних натуральних чисел ділиться націло на 7: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) + (n + 6) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 + n + 5 + n + 6 = 7n + 21. Оскільки 7(n + 3) ділиться без остачі на 7, то твердження задачі було доведено.

3) сума чотирьох послідовних парних натуральних чисел ділиться націло на 4: 2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 = 8n + 12 = 4(n + 3). Оскільки 4(n + 3) ділиться без остачі на 4, то твердження задачі доведено.

4) сума п’яти послідовних парних натуральних чисел ділиться націло на 10: 2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) + (2n + 8) = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2). Оскільки 10(n + 2) ділиться без остачі на 10, то твердження задачі доведено.

377. Доведіть, що: 1) сума чисел ab, bc і ca ділиться націло на 11: ab + bc + ca = 10a + b + 10b + c + 10c + a = 11a + 11b + 11c = 11(a + b + c). Оскільки 11(a + b + c) ділиться без остачі на 11, то твердження задачі доведено.

2) різниця чисел abc і cba ділиться націло на 99: abc – cba = 100a + 10b + c – (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c – 100c – 10b – a = 99a – 99c = 99(a – 1). Оскільки 99(a – c) ділиться без остачі на 99, то твердження задачі доведено.

378. Доведіть, що: 1) сума чисел abc, bca і cab кратна 111: abc + bca + cab = 100a + 10b + c + 100b + 10c + a + 100c + 10a + b = 111a + 111b + 111c = 111(a + b + c). Оскільки 111(a + b + c) ділиться без остачі на 111, то твердження задачі доведено.

2) різниця числа abc і суми його цифр ділиться націло на 9: abc – (a + b + c) = 100a + 10b + c – a – b – c = 99a + 9b = 9(11a + b). Оскільки 9(11a + b) ділиться без остачі на 9, то твердження задачі доведено.

379. Доведіть, що не існує таких значень x і y, при яких многочлени одночасно набували б від’ємних значень. Додамо обидва многочлени (5х2 − 6ху + 7у2 ) + (−3х2 + 6ху + 8у2 ) = 5х2 − 6ху − 7у2 − 3х2 + 6ху + 8у2 = 2х2 + у2 . Бачимо, що сума невід’ємна при будь-яких х і у. Але ж сума двох від’ємних чисел має бути від’ємною. Отже, таких значень х і у, при яких обидва многочлени одночасно набувають від’ємних значень, не існує.

380. Розставте дужки так, щоб рівність стала тотожністю: 1) х2 − 2х + 1 − (х2 − 2х − 1) = х2 − 2х + 1 − х2 + 2х + 1 = 2 2) х2 − (2х + 1) − (х2 − 2х) − 1 = х2 − 2х − 1 − х2 + 2х − 1 = −2 3) х2 − 2х + 1 − (х2 − 2х) − 1 = х2 − 2х + 1 − х2 + 2х − 1 = 0 381. У листопаді телевізор коштував 22 000 грн. З 1 грудня магазин підвищив на 15 % ціну телевізора. 15 грудня в магазині оголосили про початок проведення передноворічних  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

святкових продажів і знизили ціни на телевізори на 10 %. Коли було вигідніше купити телевізор: у листопаді чи під час передноворічних розпродажів? Підвищили на 15%, 115% = 1,15 1,15 ⋅ 22 000 = 25 300 (грн) – з 1 грудня знизили на 10%, 90% = 0,9.

0,9 ⋅ 25 300 = 22 770 (грн) – з 15 грудня. Відповідь: вигідніше купувати в листопаді.

382. На діаграмі (рис. 6) відображено обсяги продажу ручок у крамниці канцтоварів протягом 6 місяців. Скільки ручок продавали у середньому щомісячно?

(150 + 300 + 270 + 210 + 180 + 210) : 6 = 220 (р.) Відповідь: у середньому щомісячно продавали 220 ручок.

383. Пальто коштувало 4000 грн. Спочатку його ціну знизили на 5 %, а потім підвищили на 5 %. Якою стала нова ціна пальто? Знизили на 5%, 95% = 0,95 0,95 ⋅ 4000 = 3800 (грн) Підвищили на 5%, 105% = 1,05 1,05 ⋅ 3800 = 3990 (грн) Відповідь: нова ціна пальто 3990 грн.

384. Через першу трубу басейн можна наповнити водою за 3 год, а через другу — за 6 год. Спочатку 2 год була відкрита перша труба, потім її закрили, але відкрили другу. За скільки годин було наповнено басейн?

1 Якщо 1 всі робота, то частина роботи, яку виконує перша труба за 1 годину, тоді за 2 2

3

1

години вона виконує від усієї роботи. Друга труба за 1 годину виконує від усієї роботию 3

2

1

6

Друга труба повинна виконати 1 − = усієї роботи після того, як першу трубу закрили.

3

1

3

1

1 6

Друга труба закінчить роботу за ∶ = ∙ = 2 години. Таким чином, дві труби 3 6 3 1 працювали 2 + 2 + 4 години. Відповідь: за 4 години.

7 5 385. У парку дерев становлять каштани, а — берези. Скільки всього дерев у парку, 24 18 якщо їх більше за 100, але менше від 200?

7 5 7 21 5 Спільний знаменник дробів і є число 72, бо 72 : 24 = 3 і 72 : 18 = 4. Отже, = , = 24

20

18

24

72 18

. За умовою, дерев у парку більше 100, але менше від 200. Треба серед чисел від 100 до 200 знайти число, яке буде кратним числу 72. Таким числом є 144. Відповідь: 144.

386. Із селища до станції вийшов пішохід зі швидкістю 4 км/год. Через годину із селища зі швидкістю 10 км/год виїхала велосипедистка, яка прибула на станцію на 0,5 год раніше за пішохода. Яка відстань від селища до станції? х Нехай х км – відстань між селом і станцією. Пішохід подолав відстань х км за год, а 4 велосипедистка виїхала на 1 годину пізніше, ніж пішохід, і прибула на станцію на 0,5 години раніше за пішохода, тобто вона затратила на 1,5 годин менше за пішохода. Отже, маємо рівняння: х х 1 − =1 72

4 х

10 х

3

2

− = 10 2 5х – 2х = 30 3х = 30 х = 10 (км) 4

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Відповідь: відстань від села до станції 10 км.

387. Знайдіть значення виразу, використовуючи розподільну властивість множення: 1 1 1 1 1) 12 ∙ � − � = 12 ∙ − 12 ∙ = 3 − 2 = 1 4 17

2) 36 ∙ �

18 5

5

6

−

5

12 28

4

4

+ � = 36 ∙ 9

10

5

17

6

5

4

− 36 ∙ � � + 36 ∙ = 34 − 15 + 16 = 35 18 12 9 28

15 28

6

1

3) � + � ∙ = � + � ∙ = ∙ = = 1 7 14 25 14 14 25 14 25 5 5 388. Розкрийте дужки: 1) 4(2a – 3b) = 8a – 12b 2) 0,3(9х – 5у + 7) = 2,7х – 1,5у + 2,1 3) (-2,6m + 3,5n – 7,2) ⋅ (-10) = 26m – 35n + 72 4) -m(-n + 8k – 12) = mn – 8mk + 12m 389. Спростіть вираз: 1) 3𝑚𝑚2 𝑛𝑛 ∙ 0,4𝑚𝑚𝑛𝑛3 = 1,2𝑚𝑚3 𝑛𝑛4 1 9 22 9 2) 7 𝑏𝑏 3 𝑐𝑐 2 ∙ 𝑎𝑎4 𝑏𝑏 5 = 𝑏𝑏 3 𝑐𝑐 2 ∙ 𝑎𝑎4 𝑏𝑏 5 = 6𝑏𝑏 8 𝑐𝑐 2 𝑎𝑎4 3 11 3 11 3) −5𝑥𝑥 4 𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 8 ∙ (−0,8𝑥𝑥 6 𝑦𝑦 8 𝑧𝑧 2 ) = 4𝑥𝑥 10 𝑦𝑦10 𝑥𝑥 10 3 38 35 4) −5 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 3,5𝑎𝑎12 𝑏𝑏10 𝑐𝑐 = − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎12 𝑏𝑏10 𝑐𝑐 = −19𝑎𝑎13 𝑏𝑏11 𝑐𝑐 2 7 7 10 390. Сашко й Наталка записують 30-цифрове число, використовуючи тільки цифри 1, 2, 3, 4, 5. Першу цифру пише Сашко, другу — Наталка й т. д. Наталка хоче отримати число, кратне 9. Чи зможе Сашко їй завадити? Так, зможе. Якщо сума цифр 30-цифрового числа ділиться на 9, то Сашко може записати будь-яку з цифр 1, 2, 3, щоб задумане Наталці не вдалося. Якщо ж сума цифр 30-цифрового числа при діленні на 9 дає остачу 1, то Сашко може записати будь-яку з цифр 1, 2, 4 і т.д. ЗАВДАННЯ № 2 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ 1. Яка з наведених рівностей не є тотожністю? А) –3 (a – b) = –3a + 3b; Б) 9a – 8a + a = 2a; В) 8a – (4a + 1) = 4a – 1; Г) –(x + 3y) + (2x – y) = 3x + 2y.

4 2. Знайдіть значення виразу (−2,4 + 0,4) : А) –8; Б) 8; В) 16; Г ) –16.

6 3 7 4 3. Спростіть вираз (−а ) ∙ (−а ) : А) а20 Б) −а20 В) а46 Г) −а𝟒𝟒𝟒𝟒 4. Виконайте піднесення до степеня: (0,3а4 )2 : А) 0,9а6 Б) 0,9а8 В) 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎а𝟔𝟔 Г) 0,09а8 5. Який із наведених виразів є одночленом? А) 0,4x + y; Б) 0,4x – y; В) 0,4xy; Г ) жоден.

1 6. Якому з одночленів дорівнює вираз 0,7𝑎𝑎3 𝑏𝑏2 ∙ 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 4 ?

7

А) 7𝑎𝑎 𝑏𝑏 Б) 7𝑎𝑎 𝑏𝑏 В) 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝒂𝒂 𝒃𝒃 Г) 0,1𝑎𝑎6 𝑏𝑏 8 1 7. Квадратом якого з наведених одночленів є вираз 𝑏𝑏 64 𝑐𝑐 100 ?

5 6

1

6 8

1

𝟓𝟓 𝟔𝟔

1

4

𝟏𝟏

А) − 𝑏𝑏 𝑐𝑐 Б) 𝑏𝑏 𝑐𝑐 В) 𝑏𝑏 𝑐𝑐 Г) − 𝒃𝒃𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒄𝒄𝟏𝟏𝟏𝟏 2 2 2 𝟐𝟐 8. Відомо, що m < 0 і n < 0. Порівняйте з нулем значення виразу 𝑚𝑚5 𝑛𝑛6 . А) 𝑚𝑚5 𝑛𝑛6 = 0 В) 𝒎𝒎𝟓𝟓 𝒏𝒏𝟔𝟔 < 𝟎𝟎 Г) неможливо з’ясувати Б) 𝑚𝑚5 𝑛𝑛6 > 0 9. Зведіть подібні члени многочлена 2х2 + 6ху − 5х2 − 9ху + 3у2 . А) -3ху В) 3х2 у2 Г) 3х2 + 3ху + 3у2 Б) −𝟑𝟑х𝟐𝟐 − 𝟑𝟑ху + 𝟑𝟑у𝟐𝟐 8 10

32 50

8 10

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

10. Знайдіть різницю многочленів х2 − 3х − 4 і х − 3х2 − 2. А) 4х2 − 4х − 2 В) −2х2 − 2х − 6 Г) 𝟒𝟒х𝟐𝟐 − 𝟒𝟒х − 𝟔𝟔 Б) −2х2 − 4х − 2 11. Який із наведених виразів набуває тільки від’ємних значень? А) х6 + 4 Б) х6 − 4 В) −х6 + 4 Г) −х𝟔𝟔 − 𝟒𝟒 12. Якого найменшого значення може набути вираз (х − 7)2 + 2? А) 2 Б) 7 В) 5 Г) 9

10. Множення одночлена на многочлен 391. Виконайте множення: 1) 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎; 2) 𝑚𝑚(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 − 4) = 𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 4𝑚𝑚; 3) −𝑐𝑐(4 + 𝑐𝑐) = −4𝑐𝑐 − 𝑐𝑐 2 ; 4) −𝑎𝑎2 (𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 + 1) = −𝑎𝑎4 + 𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎2 .

392. Виконайте множення: 1) m(n – 3) = mn – 3m; 2) x(y – z + 4) = xy – xz + 4x; 2 4) −𝑎𝑎(𝑎𝑎3 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) = −𝑎𝑎4 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑎𝑎.

3) −𝑚𝑚(𝑚𝑚 − 6) = −𝑚𝑚 + 6𝑚𝑚; 393. Перетворіть у многочлен добуток: 1) 3𝑥𝑥(2𝑥𝑥 + 5) = 3𝑥𝑥 ∙ 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 ∙ 5 = 6𝑥𝑥 2 + 15𝑥𝑥 2) 4𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 − 2) = 4𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 ∙ (−8𝑥𝑥) + 4𝑥𝑥 ∙ (−2) = 4𝑥𝑥 3 − 32𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 3) −2𝑎𝑎(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 − 3) = −2𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎 ∙ (−3) = −2𝑎𝑎3 − 2𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎 4) 5𝑏𝑏 2 (3𝑏𝑏2 − 7𝑏𝑏 + 10) = 15𝑏𝑏 4 − 35𝑏𝑏3 + 50𝑏𝑏2 5) 𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚2 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛3 ) = 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝑚𝑚2 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ (−𝑛𝑛3 ) = 𝑚𝑚3 𝑛𝑛2 − 𝑚𝑚𝑛𝑛4 6) 2𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑎𝑎3 − 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 2 ) = 2𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎3 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ (−3𝑎𝑎2 𝑏𝑏) + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 2 = 2𝑎𝑎4 𝑏𝑏 − 6𝑎𝑎3 𝑏𝑏 2 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏 3 7) (4𝑦𝑦 3 − 6𝑦𝑦 + 7) ∙ (−1,2𝑦𝑦 3 ) = −4𝑦𝑦 3 ∙ (−1,2𝑦𝑦 3 ) − 6𝑦𝑦 ∙ (−1,2𝑦𝑦 3 ) + 7 ∙ (−1,2𝑦𝑦 3 ) = 4,8𝑦𝑦 6 + 7,2𝑦𝑦 4 − 8,4𝑦𝑦 3 8) 0,4𝑥𝑥 2 𝑦𝑦(3𝑥𝑥𝑦𝑦 2 − 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 13𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 3 ) = 0,4𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 ∙ 3𝑥𝑥𝑦𝑦 2 + 0,4𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 ∙ (−5𝑥𝑥𝑥𝑥) + 0,4𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 ∙ 13𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 3 = 1,2𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 3 − 2𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 2 + 5,2𝑥𝑥 4 𝑦𝑦 4 9) (2,3𝑎𝑎3 𝑏𝑏 − 1,7𝑏𝑏 4 − 3,5𝑏𝑏) ∙ (−10𝑎𝑎2 𝑏𝑏) = 2,3𝑎𝑎3 𝑏𝑏 ∙ (−10𝑎𝑎2 𝑏𝑏) − 1,7𝑏𝑏 4 ∙ (−10𝑎𝑎2 𝑏𝑏) − 3,5𝑏𝑏 ∙ (−10𝑎𝑎2 𝑏𝑏) = −23𝑎𝑎5 𝑏𝑏2 + 17𝑎𝑎2 𝑏𝑏 5 + 35𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 10) −4𝑝𝑝𝑘𝑘 3 (3𝑝𝑝2 𝑘𝑘 − 𝑝𝑝 + 4𝑘𝑘 − 2) = −4𝑝𝑝𝑘𝑘 3 ∙ 3𝑝𝑝2 𝑘𝑘 − 4𝑝𝑝𝑘𝑘 3 ∙ (−𝑝𝑝) − 4𝑝𝑝𝑘𝑘 3 ∙ 4𝑘𝑘 − 4𝑝𝑝𝑘𝑘 3 ∙ (−2) = −12𝑝𝑝3 𝑘𝑘 4 + 4𝑝𝑝2 𝑘𝑘 3 − 16𝑝𝑝𝑘𝑘 4 + 8𝑝𝑝𝑘𝑘 3 394. Виконайте множення: 1) 3𝑥𝑥(4𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 ∙ 4𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 ∙ (𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥 3 − 3𝑥𝑥 2 2) −5𝑎𝑎2 (𝑎𝑎2 − 6𝑎𝑎 − 3) = −5𝑎𝑎2 ∙ 𝑎𝑎2 − 5𝑎𝑎2 ∙ (−6𝑎𝑎) − 5𝑎𝑎2 ∙ (−3) = −5𝑎𝑎4 + 30𝑎𝑎3 + 15𝑎𝑎2 3) (8𝑏𝑏 2 − 10𝑏𝑏 + 2) ∙ 0,5𝑏𝑏 = 8𝑏𝑏 2 ∙ 0,5𝑏𝑏 − 10𝑏𝑏 ∙ 0,5𝑏𝑏 + 2 ∙ 0,5𝑏𝑏 = 4𝑏𝑏 3 − 5𝑏𝑏 2 + 𝑏𝑏 4) 𝑥𝑥 8 (𝑥𝑥 6 − 𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 − 1) = 𝑥𝑥 11 − 𝑥𝑥 5 + 7𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 3 5) −2𝑐𝑐 2 𝑑𝑑 4 (4𝑐𝑐 2 − 𝑐𝑐 3 𝑑𝑑 + 5𝑑𝑑 4 ) = −8𝑐𝑐 4 𝑑𝑑4 + 2𝑐𝑐 5 𝑑𝑑5 − 10𝑐𝑐 2 𝑑𝑑8 6) (5𝑚𝑚3 𝑛𝑛 − 8𝑚𝑚𝑛𝑛2 − 2𝑛𝑛6 ) ∙ (−4𝑚𝑚2 𝑛𝑛8 ) = 5𝑚𝑚3 𝑛𝑛 ∙ (−4𝑚𝑚2 𝑛𝑛8 ) − 8𝑚𝑚𝑛𝑛2 ∙ (−4𝑚𝑚2 𝑛𝑛8 ) − 2𝑛𝑛6 ∙ (−4𝑚𝑚2 𝑛𝑛8 ) = −20𝑚𝑚5 𝑛𝑛9 + 32𝑚𝑚3 𝑛𝑛10 + 8𝑚𝑚2 𝑛𝑛14 395. Спростіть вираз: 1) 8𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥(3𝑥𝑥 + 4) = 8𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 = −6𝑥𝑥 2 2) 7𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎(9 − 5𝑎𝑎) = 7𝑎𝑎2 + 27𝑎𝑎 − 15𝑎𝑎2 = −8𝑎𝑎2 + 27𝑎𝑎 3) 6𝑥𝑥(4𝑥𝑥 − 7) − 12(2𝑥𝑥 2 + 1) = 24𝑥𝑥 2 − 42𝑥𝑥 − 24𝑥𝑥 2 − 12 = −42𝑥𝑥 − 12 4) 𝑐𝑐(𝑐𝑐 2 − 1) + 𝑐𝑐 2 (𝑐𝑐 − 1) = 𝑐𝑐 3 − 𝑐𝑐 + 𝑐𝑐 3 − 𝑐𝑐 2 = 2𝑐𝑐 3 − 𝑐𝑐 2 − 𝑐𝑐 5) 2𝑚𝑚(𝑚𝑚 − 3𝑛𝑛) + 𝑚𝑚(5𝑚𝑚 + 11𝑛𝑛) = 2𝑚𝑚2 − 6𝑚𝑚𝑚𝑚 + 5𝑚𝑚2 + 11𝑚𝑚𝑚𝑚 = 7𝑚𝑚2 + 5𝑚𝑚𝑚𝑚 6) 8𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 ) − 9𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 ) = 8𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥𝑦𝑦 2 − 9𝑥𝑥 3 + 9𝑥𝑥𝑦𝑦 2 = −𝑥𝑥 3 + 17𝑥𝑥𝑦𝑦 2 7) 5𝑏𝑏 3 (2𝑏𝑏 − 3) − 2,5𝑏𝑏 3 (4𝑏𝑏 − 6) = 10𝑏𝑏 4 − 15𝑏𝑏 3 − 10𝑏𝑏 4 + 15𝑏𝑏 3 = 0 8) 𝑥𝑥(5𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 8) − 4𝑥𝑥(2 + 2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 ) = 5𝑥𝑥 3 + 6𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 3 = 𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

396. Знайдіть помилку в цьому «розв’язуванні».

4𝑚𝑚2 ∙ (2𝑚𝑚2 − 𝑚𝑚) − 3𝑚𝑚3 ∙ (𝑚𝑚 − 2) = 8𝑚𝑚4 − 4𝑚𝑚3 − 3𝑚𝑚4 + 6𝑚𝑚3 = 5𝑚𝑚4 + 2𝑚𝑚3 397. Спростіть вираз: 1) 7𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 4) − 𝑥𝑥(6 − 𝑥𝑥) = 7𝑥𝑥 2 − 28𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 = 8𝑥𝑥 2 − 34𝑥𝑥 2) 5𝑎𝑎𝑎𝑎(4𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏) − 10𝑎𝑎2 (2𝑏𝑏 − 4) = 20𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 15𝑎𝑎𝑏𝑏 2 − 20𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 40𝑎𝑎2 = 15𝑎𝑎𝑏𝑏 2 + 40𝑎𝑎2 3) 𝑥𝑥𝑥𝑥(2𝑥𝑥 − 11𝑦𝑦) − 𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 + 14𝑦𝑦 2 ) = 2𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 − 11𝑥𝑥𝑦𝑦 2 − 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 − 14𝑥𝑥𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 − 25𝑥𝑥𝑦𝑦 2 4) 5𝑐𝑐 3 (4𝑐𝑐 − 3) − 2𝑐𝑐 2 (8𝑐𝑐 2 − 12) = 20𝑐𝑐 4 − 15𝑐𝑐 3 − 16𝑐𝑐 4 + 24𝑐𝑐 2 = 4𝑐𝑐 4 − 15𝑐𝑐 3 + 24𝑐𝑐 2 398. Спростіть вираз і знайдіть його значення: 1) 3𝑥𝑥(2𝑥𝑥 − 5) − 8𝑥𝑥(4𝑥𝑥 − 3) = 6𝑥𝑥 2 − 15𝑥𝑥 − 32𝑥𝑥 2 + 24𝑥𝑥 = −26𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 Якщо х = -1, то −26 ∙ (−1)2 + 9 ∙ (−1) = −26 ∙ 1 − 9 = −26 − 9 = −35 2) 2𝑥𝑥(14𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 5) + 4𝑥𝑥(2,5 + 3𝑥𝑥 − 7𝑥𝑥 2 ) = 28𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 + 10𝑥𝑥 + 12𝑥𝑥 2 − 28𝑥𝑥 3 = 10𝑥𝑥 2 + 20𝑥𝑥 Якщо х = 7, то 10 ∙ 72 + 20 ∙ 7 = 10 ∙ 49 + 140 = 490 + 140 = 630 3) 8𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑎𝑎2 − 2𝑏𝑏 2 ) − 7𝑎𝑎(𝑎𝑎2 𝑏𝑏 − 3𝑏𝑏 3 ) = 8𝑎𝑎3 𝑏𝑏 − 16𝑎𝑎𝑏𝑏 3 − 7𝑎𝑎3 𝑏𝑏 + 21𝑎𝑎𝑏𝑏 3 = 𝑎𝑎3 𝑏𝑏 + 5𝑎𝑎𝑏𝑏 3 Якщо а = -3, b = 2, то (−3)3 ∙ 2 + 5 ∙ (−3) ∙ 23 = (−3)3 ∙ 2 − 5 ∙ 3 ∙ 23 = −3 ∙ 2((−3)2 + 5 ∙ 22 ) = −3 ∙ 2(9 + 5 ∙ 4) = −3 ∙ 2(9 + 20) = −3 ∙ 2 ∙ 29 = −174 399. Спростіть вираз і знайдіть його значення: 1) 6𝑥𝑥(6𝑥𝑥 − 4) + 9𝑥𝑥(3 − 4𝑥𝑥) = 36𝑥𝑥 2 − 24𝑥𝑥 + 27𝑥𝑥 − 36𝑥𝑥 2 = 3𝑥𝑥 1 1 1 Якщо х = − , то 3 ∙ �− � = − 9 9 3 2) 2m(m – n) – n(3m – n) – n(n + 6) = 2𝑚𝑚2 − 2𝑚𝑚𝑚𝑚 − 3𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛2 − 6𝑛𝑛 = = 2𝑚𝑚2 − 5𝑚𝑚𝑚𝑚 − 6𝑛𝑛. Якщо m = -4, n = 0,5, то 2 ∙ (−4)2 − 5 ∙ (−4) ∙ (0,5) − 6 ∙ 0,5 = 2 ∙ 16 + 10 − 3 = = 32 + 7 = 39.

400. Розв’яжіть рівняння: 1) 5х(3х – 2) – 15х(4 + х) = 140 2) 1,2х(4 + 5х) = 3х(2х + 1) – 9 2 2 15х − 10х − 60х − 15х = 140 4,8х + 6х2 = 6х2 + 3х − 9 -70х = 140 4,8х – 3х = -9 х = 140 : (-70) 1,8х = -9 х = -2 18х = -90 2х = -10 х = -5 3) 6х(7х – 8) – 2х(21х – 6) = 3 – 30х 4) 12х – 3х(6х – 9) = 9х(4 – 2х) + 3х 2 2 42х − 48х − 42х + 12х = 3 − 30х 12х − 18х2 + 27х = 36х − 18х2 + 3х -36х + 30х = 3 39х – 39х = 0 -6х = 3 0∙х=0 х = 0,5 х – будь-яке значення.

2 5) 7х − х(7х − 5) − 2(2,5х + 1) − 3 = 0 6) 8(х2 − 4) − 4х(3,5х − 7) = 20х − 6х2 7х2 − 7х2 + 5х − 5х − 2 − 3 = 0 8х2 − 32 − 14х2 + 28х = 20х − 6х2 0∙х=5 −6х2 + 28х − 20х + 6х2 = 32 Рівняння не має коренів.

8х = 32 х=4 401. Знайдіть корінь рівняння: 1) 0,4х(5х – 6) + 7,2 = 2х(х + 0,6) 2) х(3х + 2) − 9(х2 − 7х) = 6х(10 − х) 2х2 − 2,4х + ,2 = 2х2 + 1,2х 3х2 + 2х − 9х2 + 63х = 60х − 6х2 2х2 − 2х2 − 2,4х − 1,2х = −7,2 65х – 60х = 0 5х = 0 -3,6х = -7,2 х=2 х=0  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) 12(х3 − 2) − 7х(х2 − 1) = 5х3 + 2х + 6 12х3 − 24 − 7х3 + 7х = 5х3 + 2х + 6 5х3 − 5х3 + 7х − 2х = 6 + 24 5х = 30 х=6 402. Доведіть тотожність: 1) a𝑏𝑏(𝑏𝑏 − 𝑐𝑐) + 𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑐𝑐 − 𝑏𝑏) − 𝑎𝑎(𝑏𝑏 2 − 3𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 2 ) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑏𝑏 2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 2 + 3𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑐𝑐 2 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 аbc = abc Вирази тотожні 2) 4𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) − 𝑎𝑎(3𝑎𝑎 − 4𝑏𝑏) − 8𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎2 4𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎𝑎𝑎 − 3𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎𝑎𝑎 − 8𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎2 𝑎𝑎2 = 𝑎𝑎2 Вирази тотожні 3) a(a + 2b) + b(a + b) = b)2ª + b) + a(a + b) 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 = 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 = 𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 Вирази тотожні 4) a(b +c – bc) – b(a + c – ac) = (a – b)c ab + ac – abc – ab – bc + abc = ac – bc ac – bc = ac – bc Вирази тотожні 403. Доведіть тотожність: 2) b(a – b) + b(b + 1) = b(a + b) – b(b – c) 1) 𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) − 𝑏𝑏(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 2 2 2 2 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 2 + 𝑏𝑏 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 − 𝑏𝑏 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ab + bc = ab + bc 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 Вирази тотожні Вирази тотожні 404. Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінної. х(12х + 11) − х2 (х2 + 8) − х(11 + 4х − х3 ) 12х2 + 11х − х4 − 8х2 − 11х − 4х2 + х4 = 0 Отже, значення даного виразу не залежить від значення змінної.

405. Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінної.

2 6х(х − 3) − 9 � х2 − 2х + 7� = 6х2 − 18х − 6х2 + 18х − 63 = −63 3 Отже, значення даного виразу не залежить від значення змінної.

406. Спростіть вираз: а+4 5−2а 1) 15а ∙ + 12а2 ∙ = 5а(а + 4) + 2а2 (5 − 2а) = 5а2 + 20а + 10а2 − 4а3 = 3 6 = 15а2 + 20а − 4а3 = −4а3 + 15а2 + 20а с2 +2с−3

с3 −с2 +2

2) 24с3 ∙ − 18с2 ∙ = 3с3 (с2 + 2с − 3) − 2с2 (с3 − с2 + 2) = 8 9 = 3с5 + 6с4 − 9с3 − 2с4 − 4с2 = с5 + 8с4 − 9с3 − 4с2 х−у х−2у 3) 34х ∙ − 45у ∙ − у(6у − 5х) = 2х(х − у) − 3у(х − 2у) − 6у2 + 5ху = 17 15 = 2х2 − 2ху − 3ху + 6у2 − 6у2 + 5ху = 2х2 407. Спростіть вираз: 5𝑏𝑏2 −4

3𝑏𝑏−2𝑏𝑏3

1) 6𝑏𝑏 2 ∙ + 20𝑏𝑏 ∙ = 2𝑏𝑏 2 (5𝑏𝑏2 − 4) + 5𝑏𝑏(3𝑏𝑏 − 2𝑏𝑏 3 ) = 3 4 = 10𝑏𝑏4 − 8𝑏𝑏 2 + 15𝑏𝑏2 − 10𝑏𝑏4 = 7𝑏𝑏 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 𝑚𝑚+𝑛𝑛

𝑚𝑚−𝑛𝑛

2) 14𝑚𝑚 ∙ − ∙ 16𝑛𝑛 − 2(𝑚𝑚2 + 𝑛𝑛2 ) = 2𝑚𝑚(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛) − (𝑚𝑚 − 𝑛𝑛) ∙ 2𝑛𝑛 − 2𝑚𝑚2 − 2𝑛𝑛2 = 7 8 = 2𝑚𝑚2 + 2𝑚𝑚𝑚𝑚 − 2𝑚𝑚𝑚𝑚 + 2𝑛𝑛2 − 2𝑚𝑚2 − 2𝑛𝑛2 = 0 408. Розв’яжіть рівняння: х−7 х х+6 х−7 1) − =2 2) − =4 4 6 2 7 3х – 21 – 2х = 24 7(х + 6) – 2(х – 7) = 14 ∙ 4 х = 45 7х + 42 – 2х + 14 = 56 5х = 0 х=0 2х+3 1−4х 1 2х+3 х+6 3) + = 4) 3х − = 6 4(2х+3)

8 3 3(1−4х)

8

6∙3х

+ = 24 24 8х + 12 + 3 – 12х = 8 -4 = -7 24

8

7х+1

4

4х+3

3 2∙(х+6)

− = 6 6 18х – 6х – 9 = 2х + 12 10х = 21 х = 2,1 6

409. Знайдіть корінь рівняння: 7х+1 4х+3 1) х − =

2 3∙(2х+3)

2х+1

3х+1

2) − ) = 2 ∙ 42 6 7 7(2х + 1) – 6(3х + 1) = 84 14х + 7 – 18х – 6 = 84 -4х = 83 83 3 х = − = −20

24 ∙ �х − � = 24 ∙ 4 8 24х – 3(7х + 1) = 6(4х + 3) 24х – 21х – 3 = 24х + 18 -21х = 21 4 4 х = -1 410. При якому значенні змінної значення виразу 8y (y – 7) на 15 більше за значення виразу 2y (4y – 10,5)?

8у(у – 7) – 15 = 2у(4у – 10,5) 8у2 − 56у − 15 = 8у2 − 21у -56у + 21у = 15 -35у = 15 3 у=− 7 411. Довжина прямокутника в 3 рази більша за його ширину. Якщо ширину прямокутника зменшити на 6 см, то його площа зменшиться на 144 см². Знайдіть початкову ширину прямокутника. Нехай ширина прямокутника дорівнює хсм, тоді довжина дорівнює 3х см. Початкова площа дорівнює 3х2 см². Нова ширина (х – 6) см, нова площа прямокутника буде дорівнювати 3х ∙ (х − 6) см². За умовою нова площа прямокутника менше, ніж початкова на 144 см², маємо рівняння: 3х2 − 3х2 + 18х = 144 18х = 144 х = 8 (см) – початкова ширина прямокутника. Відповідь: 8 см.

412. Ширина прямокутника на 8 см менша від його довжини. Якщо довжину прямокутника збільшити на 6 см, то його площа збільшиться на 72 см². Знайдіть периметр даного прямокутника. Нехай ширина прямокутника дорівнює у см, тоді довжина дорівнює (у + 8) см, а площа дорівнює у(у + 8) см². Нова довжина прямотника дорівнює у + 8 + 6 = (у + 14) см, нова площа дорівнює у(у + 14) см². За умовою площа прямокутника збільшилась на 72 см², маємо рівняння:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

у(у + 14) – у(у + 8) = 72 у2 + 14у − у2 − 8у = 72 6у = 72 у = 12 у + 8 = 12 + 8 = 20 Р = 20 ∙ 2 + 12 ∙ 2 = 64 (см) Відповідь: 64 см.

413. Замініть зірочки такими одночленами, щоб утворилася тотожність: 1) ∗∙ (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) = −𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 − 𝑏𝑏𝑐𝑐 2 −𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) = −𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 − 𝑏𝑏𝑐𝑐 2 Відповідь: -bc 2) ∗∙ (𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 2 ) = 𝑎𝑎3 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 𝑎𝑎2 ∙ (𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 2 ) = 𝑎𝑎3 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 Відповідь: а2 3) −3а2 (∗ − ∗) = 6а3 + 15а4 −3а2 (−2а − 5а2 ) = 6а3 + 15а4 Відповідь: −2а − 5а2 414. Замініть зірочки такими одночленами, щоб утворилася тотожність: 1) (х − у) ∙∗= х2 у2 − х3 у (х − у)(−х2 ∙ у) = −х3 у 2 + х 2 у2 = х 2 у2 − х 3 у2 Відповідь: −х2 у 2) (−9х2 +∗) ∙ у =∗ +у4 (−9х2 + у2 ) ∙ у = −9х2 у + у4 Відповідь: у3 ; −9х2 у 3) (1,4х −∗) ∙ 3х =∗ −0,6х3 (1,4х − 0,2х2 ) ∙ 3х = 4,2х2 − 0,6х3 Відповідь: 0,2х2 ; 4,2х2 4) ∗ (∗ −х2 у5 + 5у6 ) = 8х3 у3 + 5х3 у8 −∗ −5ху3 (−1,6х2 − х2 у5 + 5у6 ) = 8х3 у2 + 5х3 у8 − 25ху9 Відповідь: −5ху3 ; −1,6х2 ; −25ху9 415. Доведіть, що коли: 1) a(bc – 1) + b(ac – 1) + c(ab – 1) = abc – a + abc – b + abc – c = 3abc – (a + b + c) Якщо a + b + c = 0, то 3abc – (a + b + c) = 3abc 2) 𝑐𝑐(𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑐𝑐) − 𝑏𝑏(𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) − 𝑎𝑎(𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 − 𝑐𝑐 2 Якщо 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 = 𝑐𝑐 2 , то 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 − 𝑐𝑐 2 = 𝑐𝑐 2 − 𝑐𝑐 2 = 0 416. Доведіть, що при будь-яких значеннях x значення виразу є додатним числом.

4(х2 − 2х + 4) − 0,5х(6х − 16) = 4х2 − 8х + 16 − 3х2 + 8 = х2 − 8х + 24 = х2 − 2 ∙ 4х + 42 + 8 = (х − 4)2 + 8 Маємо суму невід’ємного числа (х − 4)2 і додатного числа 8, яка буде додатною.

417. Доведіть, що вираз набуває недодатних значень при всіх значеннях x.

3х2 (3 − 4х) − 6х(1,5х − 2х2 + х3 ) = 9х2 − 12х3 − 9х2 + 12х3 − 6х4 = −6х4 Отже, значення виразу набуває недодатних значень при будь-якому х.

418. Доведіть, що вираз набуває невід’ємних значень при всіх значеннях a.

7а4 (а + 3) − а3 (21а + 7а2 − 3а5 ) = 7а5 + 28а4 − 21а4 − 7а5 + 3а8 = 3а8 + 7а4 Отже, значення виразу набуває невід’ємних значень при будь-якому а.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

419. Розв’яжіть рівняння: 6х−7 3х+1 11−х 1) − = 5

6х−7

6

3х+1

15

11−х

60 ∙ � − � = 60 ∙ 15 5 6 12(6х – 7) – 10(3х + 1) = 4(11 – х) 72х – 84 – 30х – 10 = 44 – 4х 42х + 4х = 44 + 94 46х = 138 х=3 3)

8х−5 3

−

4х+3

8х−5

4

+

2−9х

4х+3

2

= −3

2−9х

12 ∙ � − + � = −3 ∙ 12 3 4 2 4(8х – 5) – 3(4х + 3) + 6(2 – 9х) = -36 32х – 20 – 12х – 9 + 12 – 54х = -36 -34х = -36 + 17 -34х = -19 19 х= 34 420. Знайдіть корінь рівняння: 2х+3 5х+13 5−2х 1) − + =6 3 2х+3

6 5х+13

2 5−2х

2)

5х−3 9

−

4х+3

5х−3

6

=х−1

4х+3

18 ∙ � − � = 18 ∙ (х − 1) 9 6 2(5х – 3) – 3(4х + 3) = 18(х – 1) 10х – 6 – 12х – 9 = 18х – 18 -2х – 18х = -18 + 15 -20х = 3 3 х= 4)

20 8х2 −3х

−

6х2 +1

= −1

16 12 8х2 −3х 6х2 +1

48 ∙ � − � = 48 ∙ (−1) 16 12 3(8х2 − 3х) − 4(6х2 + 1) = −48 24х2 − 9х − 24х2 − 4 = −48 -9х = -44 44 8 х= =4 9

2)

4х2 +5х

9

+

10+2х2

14 4х2 +5х

=5

7 10−2х2

6∙� − + �=6∙6 14 ∙ � + � = 14 ∙ 5 3 6 2 14 7 2(2х + 3) – (5х + 13) + 3(5 – 2х) = 36 4х2 + 5х + 2(10 − 2х2 ) = 70 4х + 6 – 5х – 13 + 15 – 6х = 36 4х2 + 5х + 20 − 4х2 = 70 -7х = 28 5х = 50 х = -4 х = 10 421. За три дні туристка пройшла 108 км. За другий день вона пройшла на 6 км більше, 5 ніж за перший, а за третій — відстані, пройденої за два перших дні. Скільки кілометрів 13 пройшла туристка за кожний із цих днів? Нехай за перший день турист пройшов х км, тоді за другий день він пройшов (х + 6) км, а 5 за два дні пройшов (х + (х + 6) = (2х + 6) км. За третій день він пройшов (2х + 6) ∙ = 10

30

10х

30

13

�13 х + 13� км. За три дні він пройшов (х + х + 6 + 13 + 13 = 108. Помножимо обидві частини рівняння на 13, отримуємо: 26х + 78 + 10х + 30 = 108 ∙ 13 36х = 1404 – 108 х = 36 За перший день турист пройшов 36 км, за другий день 42 км, а за третій: 5 5 (36 + 42) ∙ = 78 ∙ = 30 (км) 13 13 Відповідь: 36 км; 42 км; 30 км.

422. Три бригади робітників виготовили за зміну 80 деталей. Перша бригада виготовила 3 на 12 деталей менше, ніж друга, а третя — кількості деталей, виготовлених першою та 7 другою бригадами разом. Скільки деталей виготовила кожна бригада? Нехай перша бригада виготовила за зміну х деталей, тоді друга бригада за зміну виготовила (х + 12) деталей, разом вони за зміну виготовили х + (х + 12) = (2х + 12) деталей,

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 3

тоді третя бригада виготовила (2х + 12) деталей, разом вони виготовили за зміну 80 7 деталей. Маємо рівняння: 3 х + (х + 12) + (2х + 12) = 80 7 Домножимо обидві частини на 7, отримуємо: 7х + 7(х + 12) + 3(2х + 12) = 560 7х + 7х + 84 + 6х + 36 = 560 20х = 560 – 120 20х = 440 х = 22 Перша бригада за зміну виготовила 22 деталі, друга 22 + 12 = 34 деталі, а третя 3 3 (2 ∙ 22 + 12) = ∙ 56 = 24 деталі.

7 7 Відповідь: 22 деталі; 34 деталі; 24 деталі.

423. Остача при діленні натурального числа a на 3 дорівнює 1, а остача при діленні натурального числа b на 9 дорівнює 7. Доведіть, що значення виразу 4a + 2b ділиться націло на 3. З умови випливає, що a = 3n + 1, b = 9m + 7, n і m — натуральні числа. Доведемо, що значення виразу 4a + 2b ділиться націло на 3. Доведення.

4a + 2b = 4(3n + 1) + 2(9m + 7) = 12n + 4 + 18m + 14 = 12n + 18m + 18 Кожен доданок суми ділиться націло на 3, тому сума кратна 3, отже, значення виразу 4a + 2b націло ділиться на 3.

424. Остача при діленні натурального числа m на 5 дорівнює 3, а остача при діленні натурального числа n на 3 дорівнює 2. Доведіть, що значення виразу 3m + 5n не ділиться націло на 15. З умови випливає, що m = 5a + 3, n = 3b + 2, a і b — натуральні числа. Доведемо, що значення виразу 3m + 5n не ділиться націло на 15. Доведення.

3m + 5n = 3(5a + 3) + 5(3b + 2) = 15a + 9 + 15b + 10 = 15a + 15b + 19 Число 19 не ділиться націло на 15, тому значення даного виразу націло не ділиться на 15.

425. Під час розпродажу нова ціна черевиків склала 0,68 старої ціни. На скільки відсотків зменшилася ціна черевиків?

1 – 0,68 = 0,32 Відповідь: на 30% 426. Квиток на проїзд у міжміському автобусі для дорослої людини коштує 200 грн, а ціна квитка для школяра чи школярки становить 60 % від ціни квитка для дорослої людини. Група складається з 22 школярів і школярок та трьох дорослих людей. Скільки коштують квитки на проїзд для всієї групи?

1) 0,6 ⋅ 200 = 120 (грн) – за 1 школяра.

2) 120 ⋅ 22 = 2640 (грн) – за групу школярів.

3) 200 ⋅ 3 = 600 (грн) – за 3 дорослих.

4) 2640 + 600 = 3240 (грн) Відповідь: для всієї групи квитки коштують 3240 грн.

427. Три найбільших лимани України — ДніпровськоБузький, Дністровський і Сасик (Кундук) — розташовані на узбережжі Чорного моря. Їхня загальна площа 1364,8 км².

2 Площа Дністровського лиману у 2 раза менша від площі Дніпровсько-Бузького, а площа 9

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

лиману Сасик становить 25,6 % площі Дніпровсько-Бузького. Знайдіть площу кожного лиману. Нехай площа лиману «Дністровський» дорівнює х км², тоді площа лиману «Дніпровсько2 20 20 Бузький» дорівнює 2 х км² = х км², а площа лиману «Сасик» дорівнює 0,256 ∙ х = 256∙20 1000∙9

х=

2

256∙1 50∙9 256

х+2 х+ 9

450 20

9 256∙360

256∙4

х=

256 450

9

9

9

х км². Їхня загальна площа 1364,8 км². Маємо рівняння:

х = 1364,8 256

450 �х + х + х� = 1364,8 ∙ 450 9 450 450х + 1000х + 256х = 614 160 1706х = 614 160 х = 360 (км²) – площа лиману «Дністровський».

20 ∙ 360 = 800 (км²) – площа лиману «Дністровсько-Бузький».

1024

= = = 204,8 (км²) – площа лиману «Сасик».

450 5 5 Відповідь: 800 км²; 360 км²; 204,8 км².

2 428. Першого дня Надія прочитала сторінок книжки, другого — 64 % решти, а третього 7 — 54 сторінки, що залишилися. Скільки сторінок у книжці?

2 Нехай у книжці х сторінок, першого дня Василь прочитав х сторінок книжки, залишилось 2

7

5

5

64∙5

16

х = х, а прочитати х − х = х сторінок книжки. Другого дня Василь х ∙ 0,64 = 7 7 7 100∙7 35 третього дня він прочитав 54 сторінки. Маємо рівняння: 2 16 х + х + 54 = х 7 2 7

35

х−х+ 5

16 35

х = −54 16

35 �− х + х� = −54 ∙ 35 7 35 -25х + 16х = -1890 -9х = -1890 х = 210 (ст.) – у книжці. Відповідь: 210 сторінок.

429. Велосипедист проїхав першу половину шляху за 3 год, а другу — за 2,5 год, оскільки збільшив швидкість на 3 км/год. Яку відстань проїхав велосипедист? Нехай відстань, яку проїзав велосипедист х км. Першу половину шляху він проїхав за 3 х х х = години зі швидкістю км/год, другу половину шляху він проїхав зі швидкістю 6

х

2∙2,5 х

5

км/год. Шивдкість на другої половині шляху було збільшена на 3 км/год, тобто − = 3, 5 6 тоді: х х − =3 5 6 6х – 5х = 90 х = 90 (км) Відповідь: 90 км.

430. На одному складі було 184 т мінерального добрива, а на другому — 240 т. Перший склад відпускає щодня по 15 т добрива, а другий — по 18 т. Через скільки днів маса 2 добрива, що залишиться на першому складі, становитиме маси добрива, що залишиться 3 на другому складі?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Нехай за х днів перший склад відпускає 15х т мінерального добрива, а другий склад – 18х т. На першому складі залишилося (184 – 15х) т мінерального добрива, а на другому – (240 2 – 18х) т. За умовою задачі (184 – 15х) – це від (240 – 18х) т, тоді: 3

2

(240 − 18х) = 184 − 15х 160 – 2х = 184 – 15х 3х = 24 х = 8 (д.) Відповідь: 8 днів.

431. У волейбольному турнірі, який проходив в одне коло (тобто кожна команда грала з кожною іншою один раз), 20 % усіх команд не виграли жодної гри. Скільки команд узяло участь у цьому турнірі? (Примітка. У волейболі нічиїх не буває, обов’язково одна команда виграє, а друга програє.) Двох команд, таких що не виграли жожної гри, не буває. Дійсно, зустріч двох команд закінчується перемогою однієї з них. Таким чином, лише одна команда серед усіх, що взяли участь у волейбольному турнірі, може мати поразку. За умовою – це 20%. Знайдемо кількість команд, що взяли участь у турнірі: 1∙100% = 5 команд.

3

20%

Відповідь: 5 команд.

11. Множення многочлена на многочлен 432. Виконайте множення: 1) (a – 2)(b + 5) = ab + 5a – 2b – 10 2) (m + n)(p – k) = mp – mk + np – nk 3) (𝑥𝑥 − 8)(𝑥𝑥 + 4) = 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥 − 32 = 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 32 4) (𝑥𝑥 − 10)(𝑥𝑥 − 9) = 𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 − 10𝑥𝑥 + 90 = 𝑥𝑥 2 − 19𝑥𝑥 + 90 5) (𝑐𝑐 + 5)(𝑐𝑐 + 8) = 𝑐𝑐 2 + 8𝑐𝑐 + 5𝑐𝑐 + 40 = 𝑐𝑐 2 + 13𝑐𝑐 + 40 6) (3𝑦𝑦 + 1)(4𝑦𝑦 − 6) = 12𝑦𝑦 2 − 18𝑦𝑦 + 4𝑦𝑦 − 6 = 12𝑦𝑦 2 − 14𝑦𝑦 − 6 7) (−2𝑚𝑚 − 3)(5 − 𝑚𝑚) = −10𝑚𝑚 + 2𝑚𝑚2 − 15 + 3𝑚𝑚 = 2𝑚𝑚2 − 7𝑚𝑚 − 15 8) (5𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥)(6𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥) = 30𝑥𝑥 4 + 20𝑥𝑥 3 − 6𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥 2 = 30𝑥𝑥 4 + 14𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥 2 9) (−𝑐𝑐 − 4)(𝑐𝑐 3 + 3) = −𝑐𝑐 4 − 3𝑐𝑐 − 4𝑐𝑐 3 − 12 10) (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 3) = 𝑥𝑥 3 + 4𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 2 − 20𝑥𝑥 + 15 = 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 2 − 23𝑥𝑥 + 15 11) (2𝑎𝑎 + 3)(4𝑎𝑎2 − 4𝑎𝑎 + 3) = 8𝑎𝑎3 − 8𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎 + 12𝑎𝑎2 − 12𝑎𝑎 + 9 = 8𝑎𝑎3 + 4𝑎𝑎2 − 6𝑎𝑎 + 9 12) 𝑎𝑎(5𝑎𝑎 − 4)(3𝑎𝑎 − 2) = (5𝑎𝑎2 − 4𝑎𝑎)(3𝑎𝑎 − 2) = 15𝑎𝑎3 − 10𝑎𝑎2 − 12𝑎𝑎2 + 8𝑎𝑎 = = 15𝑎𝑎3 − 22𝑎𝑎2 + 8𝑎𝑎 433. Перетворіть у многочлен вираз: 1) (a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd 2) (𝑥𝑥 − 6)(𝑥𝑥 − 4) = 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 + 24 = 𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 24 3) (𝑎𝑎 − 3)(𝑎𝑎 + 7) = 𝑎𝑎2 + 7𝑎𝑎 − 3𝑎𝑎 − 21 = 𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎 − 21 4) (11 − 𝑐𝑐)(𝑐𝑐 + 8) = 11𝑐𝑐 + 88 − 𝑐𝑐 2 − 8𝑐𝑐 = −𝑐𝑐 2 + 3𝑐𝑐 + 88 5) (𝑑𝑑 + 13)(2𝑑𝑑 − 1) = 2𝑑𝑑 3 − 𝑑𝑑 + 26𝑑𝑑 − 13 = 2𝑑𝑑 3 + 25𝑑𝑑 − 13  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

6) (3𝑦𝑦 − 5)(2𝑦𝑦 − 12) = 6𝑦𝑦 2 − 36𝑦𝑦 − 10𝑦𝑦 + 60 = 6𝑦𝑦 2 − 46𝑦𝑦 + 60 7) (2𝑥𝑥 2 − 3)(𝑥𝑥 2 + 4) = 2𝑥𝑥 4 + 8𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 2 − 12 = 2𝑥𝑥 4 + 5𝑥𝑥 2 − 12 8) (𝑥𝑥 − 6)(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 9) = 𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 − 54 = 𝑥𝑥 3 − 8𝑥𝑥 2 + 21𝑥𝑥 − 54 9) (5𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(2𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 2 ) = 10𝑥𝑥 3 + 5𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 − 15𝑥𝑥𝑦𝑦 2 − 2𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥𝑦𝑦 2 + 3𝑦𝑦 3 = = 10𝑥𝑥 3 + 3𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 − 16𝑥𝑥𝑦𝑦 2 + 3𝑦𝑦 3 10) 𝑏𝑏(6𝑏𝑏 + 7)(3𝑏𝑏 − 4) = (6𝑏𝑏 2 + 7𝑏𝑏)(3𝑏𝑏 − 4) = 18𝑏𝑏3 − 24𝑏𝑏2 + 21𝑏𝑏 2 − 28𝑏𝑏 = = 18𝑏𝑏3 − 3𝑏𝑏 2 − 28𝑏𝑏 434. Спростіть вираз: 1) (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 11) − 2𝑥𝑥(3 − 4𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 + 11𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 + 22 − 6𝑥𝑥 + 8𝑥𝑥 2 = 9𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 + 22 2) (𝑎𝑎 + 5)(𝑎𝑎 − 2) + (𝑎𝑎 − 4)(𝑎𝑎 + 6) = 𝑎𝑎2 − 10𝑎𝑎 + 5𝑎𝑎 − 10 + 𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎 − 4𝑎𝑎 − 24 = = 2𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎 − 34 3) (𝑦𝑦 − 9)(3𝑦𝑦 − 1) − (2𝑦𝑦 + 1)(5𝑦𝑦 − 7) = 3𝑦𝑦 2 − 𝑦𝑦 − 27𝑦𝑦 + 9 − 10𝑦𝑦 2 + 14𝑦𝑦 − 5𝑦𝑦 + 7 = = −7𝑦𝑦 2 − 19𝑦𝑦 + 16 4) (4𝑥𝑥 − 1)(4𝑥𝑥 − 3) − (2𝑥𝑥 − 10)(8𝑥𝑥 + 1) = = 4𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 + 3 − 16𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 80𝑥𝑥 + 10 = −12𝑥𝑥 2 + 62𝑥𝑥 + 13 435. Спростіть вираз: 1) (𝑎𝑎 − 2)(𝑎𝑎 − 1) − 𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 1) = 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎 + 2 − 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 = −4𝑎𝑎 + 2 2) (𝑏𝑏 − 5)(𝑏𝑏 + 10) + (𝑏𝑏 + 6)(𝑏𝑏 − 8) = 𝑏𝑏2 + 10𝑏𝑏 − 5𝑏𝑏 − 50 + 𝑏𝑏 2 + 6𝑏𝑏 − 8𝑏𝑏 − 48 = = 2𝑏𝑏 2 + 3𝑏𝑏 − 98 3) (2𝑐𝑐 + 3)(3𝑐𝑐 + 2) − (2𝑐𝑐 + 7)(2𝑐𝑐 − 7) = 6𝑐𝑐 2 + 4𝑐𝑐 + 9𝑐𝑐 + 6 − 4𝑐𝑐 2 + 14𝑐𝑐 − 14𝑐𝑐 + 49 = = 2𝑐𝑐 2 + 13𝑐𝑐 + 55 4) (3𝑑𝑑 + 5)(5𝑑𝑑 − 1) − (6𝑑𝑑 − 3)(2 − 8𝑑𝑑) = = 15𝑑𝑑2 − 3𝑑𝑑 + 25𝑑𝑑 − 5 − 12𝑑𝑑 + 48𝑑𝑑2 + 6 − 24𝑑𝑑 = = 15𝑑𝑑2 + 22𝑑𝑑 − 5 − 36𝑑𝑑 + 6 + 48𝑑𝑑 2 = 63𝑑𝑑 2 − 14𝑑𝑑 + 1 436. Спростіть вираз і знайдіть його значення: 1) (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 5) − (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 4) = 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 10 − 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 12 = −4𝑥𝑥 + 2. Якщо х = -5,5, то −4 ∙ (−5,5) + 2 = 22 + 2 = 24 2) (𝑦𝑦 + 9)(𝑦𝑦 − 2) + (3 − 𝑦𝑦)(6 + 5𝑦𝑦) = 𝑦𝑦 2 − 2𝑦𝑦 + 9𝑦𝑦 − 18 + 18 + 15𝑦𝑦 − 6𝑦𝑦 − 5𝑦𝑦 2 = 1 2

1

2

1

3 2

3

−4𝑦𝑦 + 16𝑦𝑦. Якщо 𝑦𝑦 = −1 , то −4 ∙ �−1 � + 16 ∙ �−1 � = −4 ∙ �− � + 16 ∙ �− � = 2 2 2 2 2 −9 − 24 = −33 437. Спростіть вираз і знайдіть його значення: 1) (𝑎𝑎 + 3)(𝑎𝑎 − 10) − (𝑎𝑎 + 7)(𝑎𝑎 − 4) = 𝑎𝑎2 − 10𝑎𝑎 + 3𝑎𝑎 − 30 − 𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎 − 7𝑎𝑎 + 28 = = −10𝑎𝑎 − 2. Якщо а = -0,01, то −10 ∙ (−0,01) − 2 = 0,1 − 2 = −1,9 2) (8с + 12)(3с − 1) + (3с + 2)(−5с − 6) = = 24с2 − 8с + 36с − 12 − 15с2 − 10с − 18с − 12 = 9с2 − 24.

1

1 2

4 2

16

Якщо с = 1 , то 9 ∙ �1 � − 24 = 9 ∙ � � − 24 = 9 ∙ − 24 = 16 − 24 = −8 3 3 3 9 438. Розв’яжіть рівняння: 1) (2х − 3)(4х + 3) − 8х2 = 33 8х2 + 6х − 12х − 9 − 8х2 = 33 -6х = 33 + 9 -6х = 42 х = -7 2) (2х – 6)(8х + 5) + (3 – 4х)(3 + 4х) = 55 16х2 + 10х − 48х − 30 + 9 − 12х + 12х − 16х2 = 55 -38х = 55 + 21  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

-38х = 76 х = -2 3) 21х2 − (3х − 7)(7х − 3) = 37 21х2 − 21х2 + 9х + 49х − 21 = 37 58х = 37 + 21 58х = 58 х=1 4) (х + 1)(х + 2) – (х – 3)(х + 4) = 12 х2 + 2х + х + 2 − х2 − 4х + 3х + 12 = 12 2х = 12 – 14 2х = -2х х = -1 5) (-4х + 1)(х – 1) – х = (5 – 2х)(2х + 3) – 17 −4х2 + 4х + х − 1 − х = 10х − 4х2 + 15 − 6х − 17 4х – 10х + 6х = -2 + 1 0 ∙ х = -1 Рівняння не має розв’язків 439. Розв’яжіть рівняння: 1) (2х – 1)(15 + 9х) – 6х(3х – 5) = 87 30х + 18х2 − 15 − 9х − 18х2 + 30х = 87 51х = 87 + 15 51х = 102 х=2 2) (14х – 1)(2 + х) = (2х – 8)(7х + 1) 28х + 14х2 − 2 − х = 14х2 − 56х + 2х − 8 27х + 54х = -8 + 2 81х = -6 −6 2 х= =− 81 27 3) (х + 10)(х – 5) – (х – 6)(х + 3) = 16 х2 − 5х + 10х − 50 − х2 + 6х − 3х + 18 = 16 8х = 16 + 32 8х = 48 х=6 4) (3х + 7)(8х + 1) = (6х – 7)(4х – 1) + 93х 24х2 + 3х + 56х + 7 = 24х2 − 28х − 6х + 7 + 93х 59х – 59х = 0 0∙х=0 Розв’язком є будь-яке значення х 440. Виконайте множення: 1) (х + 2)(х − 1)(х − 4) = (х2 − х + 2х − 2)(х − 4) = (х2 + х − 2)(х − 4) = = х3 − 4х2 + х2 − 4х − 2х + 8 = х3 − 6х + 8 2) (2х + 1)(х + 5)(х − 6) = (2х2 + 10х + х + 5)(х − 6) = (2х2 + 11х + 5) ∙ (х − 6) = = (2х3 + 11х2 + 5х − 12х2 − 66х − 30) = 2х3 − х2 − 61х − 30 3) (х2 − 2х + 3)(х2 + 2х − 3) = х4 + 2х3 − 3х2 − 4х2 + 6х + 3х2 + 6х − 9 = = х4 − 4х2 + 12х − 9 4) (𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)(𝑎𝑎 − 3𝑏𝑏 + 2𝑐𝑐) = 𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 − 6𝑏𝑏 2 + 4𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏𝑏𝑏 − 2𝑐𝑐 2 = = 𝑎𝑎2 − 6𝑏𝑏 2 − 2𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 7𝑏𝑏𝑏𝑏  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

5) (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑏𝑏 2 − 𝑏𝑏 3 ) = 𝑎𝑎4 − 𝑎𝑎3 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 + 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 + 𝑎𝑎𝑏𝑏 3 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 3 − 𝑏𝑏 4 = = 𝑎𝑎4 − 𝑏𝑏 4 6) (х − 1)(х4 + х3 + х2 + х + 1) = х5 + х4 + х3 + х2 + х − х4 − х3 − х2 − х − 1 = х5 − 1 441. Перетворіть у многочлен вираз: 1) (𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎 − 2)(𝑎𝑎 − 3) = (𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 − 2)(𝑎𝑎 − 3) = (𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 − 2)(𝑎𝑎 − 3) = = 𝑎𝑎3 − 3𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎 + 6 = 𝑎𝑎3 + 4𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 + 6 2) (3𝑎𝑎 − 2)(𝑎𝑎 + 3)(𝑎𝑎 − 7) = (3𝑎𝑎2 + 9𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎 − 6)(𝑎𝑎 − 7) = (3𝑎𝑎2 + 7𝑎𝑎 − 6)(𝑎𝑎 − 7) = = 3𝑎𝑎3 − 21𝑎𝑎2 + 7𝑎𝑎2 − 49𝑎𝑎 − 6𝑎𝑎 + 42 = 3𝑎𝑎3 − 14𝑎𝑎2 − 55𝑎𝑎 + 42 3) (𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎 − 2) = 𝑎𝑎4 + 3𝑎𝑎3 − 2𝑎𝑎3 − 6𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎 − 2 = = 𝑎𝑎4 + 𝑎𝑎3 − 7𝑎𝑎2 + 7𝑎𝑎 − 2 4) (𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎4 − 𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 + 1) = 𝑎𝑎5 − 𝑎𝑎4 + 𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎4 − 𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 + 1 = = 𝑎𝑎5 + 1 442. Замініть степінь добутком, а потім добуток перетворіть у многочлен: 1) (𝑎𝑎 + 5)2 = (𝑎𝑎 + 5)(𝑎𝑎 + 5) = 𝑎𝑎2 + 5𝑎𝑎 + 5𝑎𝑎 + 25 = 𝑎𝑎2 + 10𝑎𝑎 + 25 2) (4 − 3𝑏𝑏)2 = (4 − 3𝑏𝑏)(4 − 3𝑏𝑏) = 16 − 12𝑏𝑏 − 12𝑏𝑏 + 9𝑏𝑏 2 = 16 − 24𝑏𝑏 + 9𝑏𝑏 2 3) (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)2 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) = = 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏𝑏𝑏 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 4) (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)3 = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) = (𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 )(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) = = (𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 )(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 2𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏 2 + 𝑎𝑎𝑏𝑏 2 − 𝑏𝑏 3 = = 𝑎𝑎3 − 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏 2 − 𝑏𝑏 3 443. Доведіть, що при будь-якому значенні змінної значення виразу (x + 3) (x² – 4x + 7) – (x² – 5) (x – 1) дорівнює 16. (х + 3)(х2 − 4х + 7) = (х2 − 5)(х − 1) = 16 х3 − 4х2 + 7х + 3х2 − 12х + 21 − (х3 − х2 − 5х + 5) = 16 х3 − х2 − 5х + 21 − х3 + 5х + х2 − 5 = 16 16 = 16 Значення даного виразу дорівнює 16 при будь-якому значення х.

444. Доведіть, що при будь-якому значенні змінної значення виразу дорівнює –11. (х − 3)(х2 + 7) − (х − 2)(х2 − х + 5) = х3 + 7х − 3х2 − 21 − (х3 − х2 + 5х − 2х2 + 2х − 10) = х3 + 7х − 3х2 − 21 − х3 + х2 − 5х + 2х2 − 2х + 10 = −11 -11 = -11 Значення даного виразу дорівнює -11 при будь-якому значення х.

445. Задумали чотири натуральних числа. Друге число на 1 більше за перше, третє — на 5 більше за друге, а четверте — на 2 більше за третє. Знайдіть ці числа, якщо відношення першого числа до третього дорівнює відношенню другого числа до четвертого. Нехай n — перше натуральне число, тоді n + 1 — друге натуральне число, а n + 1 + 5 = n + 6 — третє натуральне число, n + 6 + 2 = n + 8 — четверте натуральне число. За умовою: n : (n + 6) = (n + 1) : (n + 8). Маємо пропорцію. За властивістю пропорції отримуємо рівність добутків: n(n + 8) = (n + 6)(n + 1) Розв’яжемо це рівняння: n² + 8n = n² + n + 6n + 6 тобто n² + 8n = n²+ 7n + 6 Звідси 8n − 7n = 6 n=6 Отже, 6 — перше число, 7 — друге число, 12 — третє число, 14 — четверте число. Відповідь: 6, 7, 12, 14.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

446. Задумали три натуральних числа. Друге число на 4 більше за перше, а третє — на 6 більше за друге. Знайдіть ці числа, якщо відношення першого числа до другого дорівнює відношенню другого числа до третього. Нехай n — перше натуральне число, n + 4 — друге натуральне число, n + 4 + 6 = n + 10 — третє натуральне число. За умовою n : (n + 4) = (n + 4) : (n + 10) Маємо пропорцію, за її властивістю отримуємо рівність добутків: n(n + 10) = (n + 4)(n + 4) Розв’яжемо це рівняння: n² + 10n = n² + 4n + 4n + 16 тобто n² + 10n = n² + 8n + 16 Звідси 10n − 8n = 16 2n = 16 n=8 Отже, перше число дорівнює 8, друге число дорівнює 12, третє число дорівнює 18. Відповідь: 8, 12, 18.

447. Знайдіть чотири послідовних натуральних числа таких, що добуток четвертого й другого із цих чисел на 17 більший за добуток третього та першого. Запишемо чотири послідовних натуральних числа: n, n + 1, n + 2, n + 3. За умовою (n + 3)(n + 1) на 17 більший за (n + 2)n. Отримуємо рівняння: (n + 3)(n + 1) – 17 = (n + 2)n Розкриємо дужки: n² + n + 3n + 3 – 17 = n² + 2n спростимо: n² + 4n – 14 = n² + 2n Звідси: 4n − 2n = 14 2n = 14 n=7 Отже, перше число дорівнює 7, друге число дорівнює 8, третє число дорівнює 9, а четверте число дорівнює 10. Відповідь: 7, 8, 9, 10.

448. Знайдіть три послідовних натуральних числа таких, що добуток другого та третього із цих чисел на 50 більший за квадрат першого. Нехай n; n +1; n + 2 – три послідовних натуральних числа. За умовою (n + 1)(n + 2) на 50 більше n². Отримуємо рівняння: (n + 1)(n + 2) – 20 = n² n² + 2n + n + 2 – 50 = n² 3n = 48 n = 16 Отже, 16 – перше натуральне число, 17 – друге натуральне число, 18 – третє натуральне число. Відповідь: 16, 17, 18.

449. Сторона квадрата на 3 см менша від однієї зі сторін прямокутника та на 5 см більша за його другу сторону. Знайдіть сторону квадрата, якщо його площа на 45 см² більша за площу даного прямокутника. Нехай х см – довжина сторони квадрата, а його площа дорівнює х². Суміжін сторони прямокутника дорівнюють (х + 3) см і (х – 5) см, а площа прямокутника дорівнює (х + 3)(х  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

– 5) см². За умовою площа квадрата на 45 см² більша за площу прямокутника, тобто х² - 45 = (х + 3)(х – 5). Розв’яжемо рівняння: х² - 45 = х² - 5х + 3х – 15 2х = 30 х = 15 Сторона квадрата дорівнює 15 см. Відповідь: 15 см.

450. Периметр прямокутника дорівнює 60 см. Якщо одну його сторону зменшити на 5 см, а другу збільшити на 3 см, то його площа зменшиться на 21 см². Знайдіть сторони даного прямокутника. Нехай х см – довжина прямокутника. За умовою його периметр Р = 60 см, тоді ширина 𝑃𝑃 𝑃𝑃 прямокутника дорівнює (30 – х) см. (Р = 2(a + b), = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏, 𝑏𝑏 = − 𝑎𝑎). Його площа – х(30 2 2 – х) см². Якщо одну зі сторін зменшити на 5 см, а другу збільшити на 3 см, то ширина нового прямокутника буде дорівнювати (х – 5) см, а довжина – (30 – х + 3) = (33 – х) см. Площа цього прямоткуника буде дорівнювати (х – 5)(33 – х) см². За умовою площа нового прямокутника зменшиться на 21 см². Маємо рівняння: х(30 – х) = (х – 5)(33 – х) + 21 30х - х² = 33х - х² - 165 + 5х + 21 -8х = -144 х = 18 Сторони даного прямокутника 18 і 12 см. Відповідь: 18 см; 12 см.

451. Довжина прямокутника на 2 см більша за його ширину. Якщо довжину збільшити на 2 см, а ширину зменшити на 4 см, то площа прямокутника зменшиться на 40 см². Знайдіть початкові довжину та ширину прямокутника. Нехай х см – ширина прямокутника, а (х + 2) см – довжина цього прямокутника, а його площа дорівнює х(х + 2) см². У нового прямокутника (х + 2 + 2) = (х + 4) см – довжина, (х – 4) см – ширина, його площа дорівнює (х – 4)(х + 4) см². За умовою площа нового прямокутника менша за площу даного на 40 см². Маємо рівняння: х(х + 2) – (х + 4)(х – 4) = 40 х² + 2х = х² - 4х + 4х – 16 + 40 2х = 24 х = 12 Сторони даного прямокутника 12 см і 14 см. Відповідь: 12 см; 14 см.

452. Доведіть тотожність: 1) х2 − 8х + 7 = (х − 1)(х − 7) 2) у2 (у − 7)(у + 2) = у4 − 5у3 − 14у2 (у3 − 7у2 )(у + 2) = у4 − 5у3 − 14у2 х2 − 8х + 7 = х2 − 7х − х + 7 х2 − 8х + 7 = х2 − 8х + 7 у4 + 2у3 − 7у3 − 14у = у4 − 5у3 − 14у2 Тотожність доведено. у4 − 5у3 − 14у2 = у4 − 5у3 − 14у2 Тотожність доведено.

3 2 3) а − 8 = (а − 2)(а + 2а + 4) 4) (а − 1)(а + 1)(а2 + 1) = а4 − 1 (а2 + а − а − 1)(а2 + 1) = а4 − 1 а3 − 8 = а3 + 2а2 + 4а − 2а2 − 4а − 8 (а2 − 1)(а2 + 1) = а4 − 1 а3 − 8 = а3 − 8 Тотожність доведено. а4 + а2 − а2 − 1 = а4 − 1 а4 − 1 = а4 − 1 Тотожність доведено.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

5) (а4 − а2 + 1)(а4 + а2 + 1) = а8 + а4 + 1 а8 − а6 + а4 + а6 − а4 + а2 + а4 − а2 + 1 = а8 + а4 + 1 а8 + а4 + 1 = а8 + а4 + 1 Тотожність доведено.

453. Доведіть тотожність: 1 1) 3а2 + 10а + 3 = 3(а + 3) �а + � 3 1

3а2 + 10а + 3 = (3а + 9) �а + � 3 3а2 + 10а + 3 = 3а2 + 9а + а + 3 3а2 + 10а + 3 = 3а2 + 10а + 3 Тотожність доведено 2) (а + 1)(а2 + 5а + 6) = (а2 + 3а + 2)(а + 3) а3 + 5а2 + 6а + а2 + 5а + 6 = а3 + 3а2 + 3а2 + 9а + 2а + 6 а3 + 6а2 + 11а + 6 = а3 + 6а2 + 11а + 6 Тотожність доведено 3) (а + 1)(а4 − а3 + а2 − а + 1) = а5 + 1 а5 − а4 + а3 − а2 + а + а4 − а3 + а2 − а + 1 = а5 + 1 а5 + 1 = а5 + 1 Тотожність доведено 454. Чи при всіх натуральних значеннях n значення виразу (n + 9) (n + 11) – (n + 3) (n + 5) кратне 12? (𝑛𝑛 + 9)(𝑛𝑛 + 11) − (𝑛𝑛 + 3)(𝑛𝑛 + 5) = 𝑛𝑛2 + 11𝑛𝑛 + 9𝑛𝑛 + 99 − (𝑛𝑛2 + 5𝑛𝑛 + 3𝑛𝑛 + 15) = 𝑛𝑛2 + 20𝑛𝑛 + 99 − 𝑛𝑛2 − 5𝑛𝑛 − 3𝑛𝑛 − 15 = 12𝑛𝑛 + 84 Щоб значення виразу 12n + 84 було кратне 12, кожен доданок повинен націло ділитися на 12. Значення 12n кратне 12, числа 84 : 12 = 7. Відповідь: при всіх натуральних значеннях n значення даного виразу кратне 12.

455. Чи при всіх натуральних значеннях n значення виразу (n + 29) (n + 3) – (n + 7) (n + 1) кратне 8? (𝑛𝑛 + 29)(𝑛𝑛 + 3) − (𝑛𝑛 + 7)(𝑛𝑛 + 1) = 𝑛𝑛2 + 3𝑛𝑛 + 29𝑛𝑛 + 87 − 𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛 − 7𝑛𝑛 − 7 = 24𝑛𝑛 + 80. Щоб значення цього виразу було кратне 8, треба щоб кожен доданок суми був кратен 8. Маємо 24n : 8, 80 : 8. Відповідь: значення даного виразу кратне 8 при всіх натуральних значеннях n.

456. Замініть зірочки такими одночленами, щоб утворилася тотожність: 1) (а – 2)(* + 6) = а² + * - * 2) (2а + 7)(а - *) = * + * - 14 (а – 2)(а + 6) = а² + 6а – 2а – 12 (2а + 7)(а – 2) = 2а² - 4а + 7а – 14 (а – 2)(а + 6) = а² + 4а – 12 (2а + 7)(а – 2) = 2а² + 3а – 14 Відповідь: а, 4а, 12. Відповідь: 2, 2а², 3а.

457. Замініть зірочки такими одночленами, щоб утворилася тотожність: 1) (х + 3)(* + 5) = 3х² + * + * 2) (х – 4)(х + *) = * + * + 24 (х + 3)(3х + 5) = 3х² + 5х + 9х + 15 (х – 4)(х – 6) = х² - 6х – 4х + 24 (х + 3)(3х + 5) = 3х² + 14х + 15 (х – 4)(х – 6) = х² - 10х + 24 Відповідь: 3х, 14х, 15. Відповідь: -6, х², -10х.

458. Вибрали деякі чотири послідовних натуральних числа й обчислили різницю добутку другого й третього із цих чисел і добутку першого та четвертого. Чи залежить ця різниця від вибору чисел? Нехай n; n + 1; n + 2; n + 3 – чотири послідовних натуральних числа. За умовою треба знайти (n + 1)(n + 2) – n(n + 3). Отже, маємо n² + 2n + n + 2 - n² - 3n = 2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Висновок. Різниця добутку другого й третього даних чисел і добутку першого та четвертого не залежить від вибору чисел. Відповідь: ні.

459. Вибрали деякі три послідовних натуральних числа й обчислили різницю квадрата другого із цих чисел і добутку першого та третього. Чи залежить ця різниця від вибору чисел? Нехай n; n + 1; n + 2 – три послідовних натуральних числа. За умовою треба знайти (n + 1)² - n(n + 2). Отже, маємо (n + 1)(n + 1) - n² - 2n = n² + n + n + 1 - n² - 2n = 1. Висновок. Різниця квадрату другого з цих чисел і добутку першого на третій не залежить від вибору чисел. Відповідь: ні.

460. Доведіть, що значення виразу ab ∙ ba − ab ділиться націло на 10 незалежно від значень a і b. 𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 = (10𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(10𝑏𝑏 + 𝑎𝑎) − 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 100𝑎𝑎𝑎𝑎 + 10𝑏𝑏2 + 10𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 100𝑎𝑎𝑎𝑎 + 10𝑏𝑏 2 + 10𝑎𝑎2 . Кожен доданок отриманої суми кратен 10, тому й значення суми кратне 10. Отже, значення даного виразу кратне 10 незалежно від значень а і b. Відповідь: так.

461. Остача при діленні натурального числа x на 6 дорівнює 3, а остача при діленні натурального числа y на 6 дорівнює 2. Доведіть, що добуток чисел x і y ділиться націло на 6. За умовою х = 6n + 3; y = 6m + 2 (n i m – натуральні числа). Доведемо, що (6n + 3)(6m + 2) = 36mn + 12n + 18m + 6. Кожен доданок отриманої суми кратна 6, тому значення (6n + 3)(6m + 2) кратне 6. Відповідь: так. (𝑥𝑥𝑥𝑥 = (6𝑛𝑛 + 3)(6𝑛𝑛 + 2) = 36𝑛𝑛2 + 18𝑛𝑛 + 12𝑛𝑛 + 6 = 6(6𝑛𝑛2 + 5𝑛𝑛 + 1) ділиться націло на 6).

462. Доведіть, що коли ab + bc + ac = 0, то: (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 − 𝑐𝑐) + (𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) + (𝑐𝑐 − 𝑎𝑎)(𝑐𝑐 − 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 2 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2 бо -ab – bc – ac = -(ab + bc + ac), а за умовою ab + bc + ac = 0. Тотожність доведено.

463. Остача при діленні натурального числа a на 8 дорівнює 3, а остача при діленні натурального числа b на 8 дорівнює 7. Доведіть, що остача при діленні добутку чисел a і b на 8 дорівнює 5. За умовою а = 8n + 3; b = 8m + 7 (n i m – натуральні числа). Доведемо, що (8n + 3)(8m + 7) = 8k + 5 (k – натуральне число). Доведення. (8n + 3)(8m + 7) = 64mn + 56n + 24m + 21. Доданки 64mn, 56n, 24m кратні 8, а доданок 21 при ділення на 8 дає остачу 5, тобто (8n + 3)(8m + 7) = 8k + 5 (k – натуральне число).

464. Остача при діленні натурального числа m на 11 дорівнює 9, а остача при діленні натурального числа n на 11 дорівнює 5. Доведіть, що остача при діленні добутку чисел m і n на 11 дорівнює 1. За умовою m = 11a + 9 (a – натуральне число); n = 11b + 5 (b – натуральне число). Доведемо, що (11а + 9)(11b + 5) = 11k + 1 (k – натуральне число). Доведення. (11a + 9)(11b + 5) = 121ab + 55a + 99b + 45 Доданки 121ab, 55a, 99b кратні 11, а доданок 45 при діленні на 11 дає остачу 1, тобто (11a + 9)(11b + 5) = 11k + 1 (k – натуральне число).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

465. Податок на доходи фізичних осіб становить 18 % від заробітної плати. Після утримання податку інженер отримав 19 680 грн. Яка заробітна плата була йому нарахована?

1) 100% - 18% = 82% 2) 19 680 : 0,82 = 24 000 (грн) Відповідь: було нараховано 24 000 грн.

466. Після подорожчання на 20 % костюм став коштувати 2760 грн. Якою була ціна костюма до подорожчання?

1) 100% + 20% = 120% = 1,2 2) 2760 : 1,2 = 2300 (грн) Відповідь: ціна костюма до подорожчання дорівнює 2300 грн.

467. Дві робітниці виготовили разом 108 деталей. Перша робітниця працювала 5 год, а друга — 3 год. Скільки деталей виготовляла щогодини кожна робітниця, якщо разом за 1 год вони виготовляють 26 деталей? Нехай за 5 годин перша робітниця воготовила х деталей, тоді друга виготовила (108 – х) х 108−х х деталей. За 1 годину перша виготовила деталей, друга = �36 − � деталей. Разом 5

х

3 х

3

за 1 годину вони виготовляють 26 деталей, тобто + 36 − = 26. Розв’яжемо рівняння: х

х

5

3

+ 36 − = 26 5 3 3х + 36 ∙ 15 – 5х = 26 ∙ 15 -2х = -150 х = 75 75 10−75 33 За 1 годину перша виготовила = 15 деталей, а друга = = 11 деталей.

5 3 3 Відповідь: 15 деталей; 11 деталей.

468. Змішали 72 г 5 %-го розчину солі та 48 г 15 %-го розчину солі. Знайдіть відсотковий вміст солі в утвореному розчині.

72∙5% 48∙15% У першому розчині = 3,6 г солі, у другому = 7,2 г солі. У третьому розчині 100% 100% загальна маса 72 + 48 = 120 г і в цьому розчині 3,6 + 7,2 = 10,8 г солі, тому відсотковий 10,8∙100% 108 зміст солі складає = = 9%.

120 12 Відповідь: 9%.

469. Розв’яжіть рівняння: 1) 1х + 2х = х6 2) х4 + х8 + 1х2 10 + х + 20 + х = 10х + 6 10х + 4 + 10х + 8 = 100 + 10х + 2 -8х = -24 10х = 90 х=3 х=9 470. Доведіть тотожність: 1) 1816𝑛𝑛 = 128𝑛𝑛 ∙ 912𝑛𝑛 2) 758𝑛𝑛 = 2254𝑛𝑛 ∙ 6252𝑛𝑛 (2 ∙ 9)16𝑛𝑛 = 38𝑛𝑛 ∙ 48𝑛𝑛 ∙ 324𝑛𝑛 (3 ∙ 25)8𝑛𝑛 = 58𝑛𝑛 ∙ 38𝑛𝑛 ∙ 58𝑛𝑛 48𝑛𝑛 ∙ 332𝑛𝑛 = 48𝑛𝑛 ∙ 332𝑛𝑛 38𝑛𝑛 ∙ 516𝑛𝑛 = 516𝑛𝑛 ∙ 38𝑛𝑛 Тотожність виконується Тотожністю виконується 471. (Старовинна грецька задача.) Демохар четверту частину життя прожив хлопчиком, п’яту частину — юнаком, третю частину — зрілою людиною та 13 років — у літах. Скільки років прожив Демохар?

1 1 1 Нехай Демохар прожив х років, з них х років – хлопчик; х років – юнак; х років – зріла 4 5 3 людина. Складемо рівняння:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 1

1

1

х + х + х + 13 = х 5 3 15х + 12х + 20х + 780 = 60х 47х – 60х = -780 -13х = -780 х = 60 Отже, Демохар прожив 60 років. Відповідь: 60 років.

472. Обчисліть, використовуючи розподільну властивість множення: 1) 4,8 ⋅ 2,9 + 4,8 ⋅ 7,1 = 13,92 + 34,08 = 48 9 7 5 7 7 9 5 7 4 7⋅18 2) 3 ⋅ − −2 ⋅ = ⋅ �3 − 2 � = ⋅ 1 = =1 4

3) 3

3

14 9

9

14

9

⋅ 0,3 − 0,3 ⋅ 1

14 10

10 21

6

14

1

14

9

+ 0,3 ⋅ 1 = 0,3 ⋅ �3

= ⋅ =1 10 3 473. Розв’яжіть рівняння: 1) х(х + 4) = 0 х = 0 або х + 4 = 0 тобто х = 0 або х = -4

6

9

14

14

−1

9⋅14 10 21

1

+1 �= 6

3

10

⋅3

27−20+7 42

=

3

10

1

⋅3 = 3

2) (х – 6)(х + 9) = 0 х – 6 = 0 або х + 9 = 0 тобто х = 6 або х = -9

3) (3х + 5)(10 – 0,4х) = 0 3х + 5 = 0 або 10 – 0,4х = 0 5 2 Тобто х = − = −1 або х = 25 3 3 474. У кожній клітинці дошки розміром 5 × 5 клітинок сидить жук. У деякий момент усі жуки переповзають на сусідні (по горизонталі або вертикалі) клітинки. Чи обов’язково при цьому залишиться порожня клітинка? Нехай у чорних клітинках сидять чорні жуки, а у білих – білі. Розміри дошки 5 х 5, тобто 25 жуків, з них 13 чорних і 12 білих. Жуки, за умовою, перповзають в сусідні клітинки (по горизонталі або вертикалі). Після того, як кожен жук переповзе на сусідню клітинку, всі чорні чужи розмістяться на білих клітинках, це охначає, що на якійсь білій клітинці буде два чорних жука. Але тоді одна клітинка дошки залишається порожньою. Висновок: так, в у цьому випадку залишиться порожня клітинка.

12. Розкладання многочлена на множники. Винесення спільного множника за дужки 475. Розкладіть на множники: 1) am + an = a(m + n); 2) 6x – 6y = 6(x – y); 3) -cx – cy = -c(x + y); 4) 7c – 7 = 7(c – 7).

476. Винесіть за дужки спільний множник: 1) 9a + 9b = 9(a+ b) 2) ab – bc = b(a – c) 3) ax + a = a (x + 1) 4) 4bk + 4bt = 4b (k + t) 477. Закінчіть розкладання многочлена на множники: 1) 4a – 12b = 4 (a – 3b) 2) x3 – 2x2y = x2(x – 2y) 4) 6x2 + 12x4 – 18x5 = 6x2(1 + 2x2 – 3x3) 3) 27a2b + 18ab2 = 9ab(3a + 2b) 478. Закінчіть розкладання многочлена на множники: 1) 7m + 3mn = m(7 + 3n) 2) a7 + a4 = a4(a3 + 1) 3) –m3 – mnp = –m(m2 + np) 4) x5y – x4y3 + x3y2 = x3y(x2 – xy2 + y)  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

479. Винесіть за дужки спільний множник: 1) 4b + 16c = 4(b + 4c) 2) 12x – 15y = 3(4x – 5y) 3) –8a – 18b = –2(4a + 9b) 4) 24x + 30y = 6(4x + 5y) 5) 10mx – 15my = 5m(2x – 3y) 6) x2 + xy = x(x + y) 7) 3d2 – 3cd = 3d(d – c) 8) 4a2 + 16ab = 4a(a + 4b) 9) a6 – a3 = a3(a3 – 1) 10) b2 + b8 = b2(1 + b6) 11) 7p3 – 5p = p(7p2 – 5) 12) 15c2d – 3cd = 3cd(5c – 1) 13) 14x2y + 21xy2 = 7xy(2x+ 3y) 14) –2x9 + 16x6 = –2x6(x3 – 8) 15) 8a4b2 – 36a3b7 = 4a3b2(2a – 9b5) 480. Знайдіть і виправте помилки, які зробив Василь Ледащенко, розкладаючи многочлени на множники: 1) 4a + 4 = 4(a + 1) 2) 6ab – 3b = 3b(2a – 1) 3) -5x – 10y = -5(x + 2y) 4) x6 – x4 + x2 = x2(x4 – x2 + 1) 481. Розкладіть на множники: 1) За + 6b = 3(а + 2b); 2) 12m – 16n = 4(3m – 4n); 3) 10сk – 15ср = 5с(2k – 3р); 4) 8ах + 8а = 8а(х + 1); 5) 5b – 25bс = 5b(1 – 5с); 6) 14х2 + 7х = 7х(2х + 7); 7) n10 – n5 = n5(n5 – 1); 8) m6 + m7 = m6(1 + m); 9) 9х – 27х4 = 9х(1 – Зх3); 10) 18y5 + 12y4 = 6y4(3y + 2) 11) 56а10b6 – 32а4b8 = 8а4b6(7а6 – 4b2); 12) 36mn5 + 6Зm2n6 = 9mn5(4 + 7mn).

482. Обчисліть, використовуючи винесення спільного множника за дужки: 1) 1732 + 173 ∙ 27 = 173 ∙ (173 + 27) = 173 ∙ 200 = 34600; 2) 214 ∙ 314 – 2142 = 214 ∙ (314 – 214) = 214 ∙ 100 = 21400; 3) 0,43 + 0,42 ∙ 0,6 = 0,42 ∙ (0,4 + 0,6) = 0,16 ∙ 1 = 0.16.

483. Знайдіть значення виразу: 1) 5162 – 516 ∙ 513 = 516 ∙ (516 – 513 = 516 ∙ 3 = 1548; 2) 0,73 + 0,7 ∙ 0,51 = 0,7 ∙ (0,72 + 0,51) = 0,7 ∙ (0,49 + 0,51) = 0,7; 3) 0,24 – 0,23 ∙ 1,2 = 0,23 ∙ (0,2 – 1,2) = –0,008.

484. Обчисліть значення виразу, попередньо розклавши його на множники: 1) 6,32x – х2 = х(6,32 – х). Якщо х = 4,32, то х(6,32 – х) = 4,32 ∙ (6,32 – 4,32) = 4,32 ∙ 2 = 8,64; 2) а3 + а2b = а2(а + b). Якщо а = 1,5, b = –2,5, то а2(а + b) = 1,52 ∙ (1,5 + (–2,25)) = 2,25 ∙ (–1) = –2,25; 3) m3p – m2n2 = m2(mp – n2).

1 1 Якщо m = 3, p = , n = –3, то m2(mp – n2) = 32 ∙ (3 ∙ – (–3)2) = 9 ∙ (1 – 9) = 9 ∙ (–8) = –72.

3 3 485. Знайдіть значення виразу: 1) 0,74x2 + 26x = x(0,74x + 26). Якщо х = 100, то x(0,74x + 26) = 100 ∙ (0,74 ∙ 100 + 26) = 100 ∙ (74 + 26) = 10000; 2) x2y3 – x3y2 = x2y2(y – x). Якщо х = 4, у = 5, то x2y2(y – x) = 42 ∙ 52(5 – 4) = 16 ∙ 25 = 400.

486. Розв’яжіть рівняння: 1) у2 – 6у = 0; 3) 4m2 – 20m = 0; 5) 9х2 – 6х = 0; у(у – 6) = 0; 4m(m – 5) = 0; 3х(3х – 2) = 0; у = 0 або y – 6 = 0; m = 0 або m – 5 = 0; х = 0 або Зх – 2 = 0; 2 у = 0 або у = 6. m = 0 або m = 5. х = 0 або х = .

3 Відповідь: 0 або 6; Відповідь: 0 або 5; 2 Відповідь: 0 або .

3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

2) х2 + х = 0; х(х + 1) = 0; х = 0 або х + 1 = 0; х = 0 або х = – 1. Відповідь: 0 або –1; 487. Розв’яжіть рівняння: 1) х2 – х = 0; х(х – 1) = 0; х = 0 або х – 1 = 0; х = 0 або х = 1. Відповідь: 0 або 1.

2) р2 + 15р = 0; p(p + 15) = 0; р = 0 або р + 15 = 0; p = 0 або p = –15. Відповідь: 0 або –15.

4) 13х2 + х = 0; x(13х + 1) = 0; х = 0 або 13х + 1 =0; 1 х = 0 або х = – .

13

1

Відповідь: 0 або х = – .

6) 12х – 0,3х2 = 0; 0,3х(40 – х) = 0; х = 0 або 40 – х = 0; х = 0 або х = 40. Відповідь: 0 або 40.

13

3) 5х2 – 30х = 0; 5х(х – 6) = 0; х = 0 або х – 6 = 0; х = 0 або х = 6. Відповідь: 0 або 6.

4) 14х2 + 18х = 0; 2х(7х + 9) = 0; х = 0 або 7х + 9 = 0; 12 х = 0 або х = – .

7

12

Відповідь: 0 або – .

7

488. Закінчіть розкладання на множники: 1) 3a (x – y) + b (x – y) = (x – y) (3a + b).

2) b(c – 2) + (c – 2) = ( c – 2) (b + 1).

3) x(y – 6) + z (6 – y) = x(y – 6) – z(y – 6) = (y – 6) (x – z).

4) m(8 – n) – 5 (n – 8) = m(8 – n) + 5(8 – n) = (8 – n) (m + 5).

489. Закінчіть розкладання на множники: 1) a (b – c) – (b – c) = (b – c) (a – 1).

2) 2x(3c –y) + 7y(y –3c) = 2x(3c –y) – 7y(3c –y) = (3c – y) (2x – 7y).

490. Розкладіть на множники: 1) 2х(a + b) + у(a + b) = (a + b)(2x + y) 2) (а – 4) – b(а – 4) = (а – 4)(1 – b) 3) 5а(m – n) + 7b(m – n)= –(m – n)(5а + 7b) 4) а(с – d) + b(d – с) = а(с – d) – b(c – d) = (с – d)(a – b) 5) х(х – 6) – 10(6 – х) = х(х – 6) + 10(х – 6) = (х – 6)(х + 10) 6) b(b – 20) + (20 – b) = b(b – 20) – (b – 20) = (b – 20)(b – 1) 491. Подайте вираз у вигляді добутку многочленів: 1) c(x – 3) – d(x – 3 ) = (x – 3)(c – d) 2) m(p – k) – (p – k) = (p – k)(m – 1) 3) m (x – y) –n(y – x) = m(x – y) + n(x – y) = (x – y)(m + n) 4) x(2 – x) + 4(x – 2) = x(2 – x) – 4(2 – x) = (2 – x)(x – 4) 5) 4x(2x – у) – 5y(y – 2x) = 4x(2x – y) + 5y(2x – y) = (2x – y)(4x+ 5y) 492. Розкладіть на множники: 1) 2a5b2 – 4a3b + 6a2b3 = 2a2b(a3b – 2a + 3b2) 2) mn3 + 5m2n2 – 7m2n – mn(n2 + 5mn – 7m) 3) xy2 + x2y – xy = xy(y + x – 1) 4) 9x3 + 4x2 – x = x(9x2 + 4x – 1) 5) –6m4 – 8m5 – 2m6 = –2m4(3 + 4m + m2) 6) 42a4b – 28a3b2 – 70a5b3 = 14a3b(3a – 2b – 5a2b2) 493. Винесіть за дужки спільний множник: 1) m2n + mn + n = n(m2 + m + 1); 2) Зх6 + 6х5 – 15x4 = 3x4(x2 + 2x – 5); 3) 7a4b3 – 14a3b4 + 21a2b5 = 7а2b3(а2 – 2ab + 3b2; 4) 20b6c5 – 45b5c6 – 30b5c5 = 5b5c5(4b – 9c – 6).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

494. Доведіть, що сума будь–якого натурального числа та його квадрата є парним числом. n + n2 = n(n + 1) — із двох послідовних натуральних чисел одне завжди парне, а, значить, весь добуток є парним числом.

495. Розкладіть на множники: 1) (m – 9)2 – 3(m – 9) = (m – 9)(m – 9 – 3) = (m – 9)(m – 12); 2) a(a + 5)2 + (a + 5) = (a + 5)(a(a + 5) + 1) = (a + 5 )(a2 + 5a + 1); 3) (m2 – 3) – n(m2 – 3)2 = (m2 – 3)(1 – n(m2 – 3)) = (m2 – 3)(1 – nm2 + 3n); 4) 8c(p – 12) + 7d(p – 12)2 = (p – 12)(8c + 7d(p – 12)) = (p – 12) (8c + 7dp – 84d).

5) a(2a + b)(a + b) – 4a(a + b)2 = a(a + b)(2a + b – 4(a + b)) = a(a + b)(2a + b – 4a – 4b) = = a(a + b)(–2a – 3b) = –a(a + b)(2a + 36); 6) 3m2(m – 8) + 6m(m – 8)2 = 3m(m – 8)(m + 2(m – 8)) = 3m(m –8) ∙ (m + 2m – 16) = = 3m(m – 8)(3m – 16); 7) (2a + 3)(a + 5) + (a – 1)(a + 5) = (a + 5)(2a + 3 + a – 1) = (a + 5)(3a + 2); 8) (3x + 7)(4y – 1) – (4у – 1)(2x + 10) = (4у – 1)(3x + 7 – (2x + 10)) = = (4y – 1)(3x + 7 – 2x – 10) = (4y – 1)(x – 3); 9) (5m – n)3(m + 8n)2 – (5m – n)2(m + 8n)3 = (5m – n)2(m + 8n)2(5m – n – (m + 8n)) = = (5m – n)2(m + 8n)2(5m – n – m – 8n) = (5m – n)2 ∙ (m + 8n)2(4m – 9n).

496. Подайте у вигляді добутку многочленів вираз: 1) (у + 1)2 – 4y(y + 1) = (y + 1)(y + 1– 4y) = (y + 1)(1– 3y); 2) 10(a2 – 5) + (a2 – 5)2 = (a2 – 5)(10 + a2 – 5) = (a2 – 5 )(a2 + 5); 3) (a – 2)2 – 6(a – 2) = (a – 2)(a – 2 – 6) = (a – 2)(a – 8).

4) (x – 6)(2x – 4) + (x – 6)(8 – x) = (x – 6)(2x – 4 + 8 – x) = (x – 6)(x + 4); 5) (x2 – 2)(3у + 5) – (x2 – 2)(y + 12) = (x2 – 2)(3у + 5 – (у + 12)) = = (x2 – 2)(2y – 7); 6) (4a – 3b)(5a + 8b) + (3b – 4a)(2a + b) = (4a – 3b)(5a + 8b) – (4a – 3b)(2a + b) = = (4a – 3b)(5a + 8b – (2a + b)) = (4a – 3b)(3a + 7b); 7) (p – 9)4(2p + 1)3 + (p – 9)3(2p + 1)4 = (p – 9)3(2p + 1)3(p – 9 + 2p + 1) = = (p – 9)3(2p + 1)3 ∙ (3p – 8).

497. Розв’яжіть рівняння, використовуючи розкладання на множники: 1) (х – 3)(х + 7) – (x + 7)(х – 8) = 0; 2) (4х – 9)(х – 2) + (1 – х)(х – 2) = 0; (х + 7)(х – 3 – (х – 8)) = 0; (х – 2)(4х – 9 + 1 – х) = 0; (х + 7)(х – 3 – х + 8) = 0; (х – 2)(3х – 8) = 0; 5(х + 7) = 0; х = –7. х – 2 = 0 або 3х – 8 = 0; 8 Відповідь: –7; х = 2 або х = .

3

8

Відповідь: 2 або .

3 3) 0,2х(х – 5) + 8(х – 5) = 0; 4) 7(х – 7) – (х – 7)2 = 0; (х – 5)(0,2х + 8) = 0; ( х – 7)(7 – (х – 7)) = 0; х – 5 = 0 або 0,2х + 8 = 0; ( х – 7)(14 – х ) = 0; х = 5 або 0,2х = –8; х – 7 = 0 або 14 — х = 0; х = 5 або х = –40. х = 7 або х = 14. Відповідь: –40 або 5; Відповідь: 7 або 14.

498. Розв’яжіть рівняння, використовуючи розкладання на множники: 1) (2х – 9)(х + 6) – х(х + 6) = 0; 2) (3х + 4)(х – 10) + (10 – х)(х – 8) = 0; (х + 6)(2х – 9 – х) = 0; (х – 10)(3х + 4 – (х – 8)) = 0; (х + 6)(х – 9) = 0; (х – 10)(2х + 12) = 0; х + 6 = 0 або х – 9 = 0; х – 10 = 0 або 2х + 12 = 0; х = –6 або х = 9. х = 10 або х = –6. Відповідь: –6 або 9; Відповідь: –6 або 10.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) 3(3х + 1)2 – 4(3х + 1) = 0; (3х + 1)(3(3х + 1) – 4) = 0; (3х + 1)(9х + 3 – 4) = 0; (3х + 1)(9х – 1) = 0; 3х + 1 = 0 або 9х – 1 = 0; 1 1 х = – або х = .

3

1

9

1

4) (9х – 12) – х(9х – 12) = 0; (9х – 12)(1 – х) = 0; 9х – 12 = 0 або 1 – х = 0; 9х = 12 або –х = –1; 4 х = або х = 1.

3

4

Відповідь: або 1.

3

Відповідь: – або ; 3 9 499. Винесіть за дужки спільний множник: 1) (2х – 6)2 = (2(х – З))2 = 4(х – З)2; 2) (5у + 5)2 = (5(у + 1))2 = 25(у + 1)2; 3) (36х + 30у)2 = (6(6х + 5у))2 = 36(6х + 5у)2; 4) (2х + 4)4 = (2(х + 2))4 = 16(х + 2)4; 5) (6х – 9у)3 = (3(2х – 3у))3 = 27(2х – 3у)3; 6) (а2 + ab)2 = (а(а + b))2 = а2(а + b)2; 7) (–7а – 14ab)2 = (–7а(1 + 2b)2 = 49а2(1 + 2b)2; 8) (Зс4 – 6с3)4 = (Зс3(с – 2))4 = 81с12(с – 2)4.

500. Винесіть за дужки спільний множник: 1) (4х – 4у)2 = (4(х – у))2 = 16(х – у)2; 2) (18а + 27b)2 = (9(2a + 3b))2 = 81(2а + 3b)2; 3) (8m – 10n)3 = (2(4m – 5n))3 = 8(4m – 5n)3; 4) (а2 – 9а)2 = (а(а – 9))2 = а2(а – 9)2; 5) (16х2у + 40xy2)2 = (8ху(2х + 5у))2 = 64х2у2(2х + 5y)2; 6) (22х4 – 28х2у3)5 = (2х2(11х2 – 14у3))5 = 32x10(11х5 – 14у3)5.

501. Доведіть, що значення виразу: 1) 195 + 194 = 194(19 + 1) = 20 ∙ 194 — кратне 20 2) 810 – 89 – 88 = 88(82 – 8 – 1) = 55 ∙ 88 — кратне 11 3) 87 + 215 = (23)7 + 215 = 221 + 215 = 215(26 + 1) = 65 ∙ 215 — кратне 5 4) 274 – 95 = (З3)4 – (З2)5 = З12 – З10 = 310(32 – 1) = 8 ∙ З10 = 24 ∙ З9 — кратне 24 5) 124 – 46 = (3 ∙ 4)4 – 46 = З4 ∙ 44 – 46 = 44(34 – 42) = 65 ∙ 44 = 130 ∙ 2 ∙ 43 — кратне 130 6) 2 ∙ З2006 + 5 ∙ З2005 + 7 ∙ З2004 = 32004(2 ∙ З2 + 5 ∙ 3 + 7) = 40 ∙ 32004 — кратне 10 502. Доведіть, що значення виразу: 1) 2525 −2524 ділиться націло на 12; 2) 164 + 85 − 47 ділиться націло на 10; 3) 365 + 69 ділиться націло на 42; 4) 105 −57 ділиться націло на 7.

1) 2525 – 2524 = 2524(25 – 1) = 24 ∙ 2524 — ділиться націло на 12; 2) 164 + 85 – 47 = (24)4 + (23)5 – (22)7 = 216 + 215 – 214 = 214(22 + 2 – 1) = 5 ∙ 214 — ділиться націло на 10; 3) 365 + 69 = (62)5 + 69 = 610 + 69 = 69(6 + 1) = 7 ∙ 69 — ділиться націло на 42; 4) 105 – 57 = (2 ∙ 5)5 – 57 = 25 ∙ 55 – 57 = 55(25 – 52) = 7 ∙ 55 — ділиться націло на 7.

503. Доведіть, що коли: 1) а2b + аb2 – 2аb = аb(а + b – 2). Якщо а + b = 2, то аb(а + b – 2) = аb(2 – 2) = 0; 2) 12a3b + 16а2b2 + 32a2b = 4a2b(За + 4b + 8). Якщо За + 4b = –2, то 4а2b(За + 4b + 8) = 4a2b(–2 + 8) = 24а2b.

504. Доведіть, що коли: 1) а3b3с2 + а2b4с2 + а2b3с3 = а2b3с2(а + b + с). Якщо а + b + с = 0, то маємо: а2b3с2 ∙ 0 = 0; 2) а6b4 – 2а5b5 – а4b6 = а4b4(а2 – 2аb – b2) = а4b4(a2 – b2 – 2аb). Якщо а2 – b2 = 2аb + 1, то а4b4(а2 – b2 – 2аb) = а4b4(2аb + 1 – 2аb) = а4b4.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

505. Розв’яжіть рівняння: 1) 8х2 – 3(х – 4) = 12; 8х2 – 3х + 12 – 12 = 0; 8х2 – 3х = 0; х(8х – 3) = 0; х = 0 або 8х – 3 = 0; 3 х = 0 або x = .

8

3

Відповідь: 0 або ;

2) 5x3 – х(2х – 3) = 3х; 5х3 – 2х2 + 3х – 3х = 0; 5х3 – 2х2 = 0; х2(5х – 2) = 0; х2 = 0 або 5х – 2 = 0; х = 0 або х = 0,4. Відповідь: 0 або 4;

8

3) 4х – 0,2х(х + 20) = x3; 4) 9х(х – 3) + (х – 4)(х – 5) = 20; 2 3 4х – 0,2х – 4х – х = 0; 9х2 – 27х + х2 – 5х – 4х + 20 – 20 = 0; –0,2x2 – х3 = 0; 10х2 – З6х = 0; –х2(0,2 + х) = 0; х(10х – 36) = 0; 2 х = 0 або 10х – 36 = 0; х = 0 або х + 0,2 = 0; х = 0 або х = 3,6. х = 0 або х = –0,2. Відповідь: 0 або –0,2. Відповідь: 0 або 3,6.

506. Знайдіть корені рівняння: 1 1 1) (Зх – 2)(3х + 2) – (2х – 5)(8х – 3) = 4х – 19; 2) (12 + х3) = х2 + 4 |∙ 9; 3 9 9х2 + 6х – 6х – 4 – (16х2 – 6х – 40х + 15) – 4х + 19 = 0; 3 2 3(12 + х ) = х + 36; 9х2 + 6х – 6х – 4 – 16х2 + 6х + 40х – 15 – 4х + 19 = 0; 3 2 36 + Зх – х – 36 = 0; –7х2 + 42х = 0; Зх3 – х2 = 0; –7х(х – 6) = 0; х2(3х – 1) = 0; х = 0 або х – 6 = 0; х2 = 0 або 3x – 1 = 0; х = 0 або х = 6.

1 х = 0 або х = . Відповідь: 0 або 6; 3 1 Відповідь: 0 або .

3

507. Спростіть вираз, використовуючи винесення спільного множника за дужки: 1) (а – 1)(a + 2) – (a – 2)(a + 2) + (а – 3)(a + 2) – (a – 4)(а + 2) = (а + 2)(a – 1 – (а – 2) + a – 3 – (a – 4)) = (a + 2)(a – 1 – а + 2 + a – 3 – a + 4) = 2(a + 2) = 2a + 4; 2) (За – 2)(5b2 – 4b + 10) + (2 – За)(5b2 – 6b + 10) = (За – 2)(5b2 – 4b + 10) – (3a – 2)(5b2 – 6b + 10) = (3a – 2)(5b2 – 4b + 10 – (5b2 – 6b + 10)) = (3a – 2)(5b2 – 4b +10 – 5b2 + 6b – 10) = = 2b(3a – 2) = 6аb – 4b; 3) (4а – 7b)(2a2 – 4ab + b2) – (4а – 7b)(2а2 – 4аb – b2) = (4а – 7b) ∙ (2а2 – 4аb + b2 – (2а2 – 4аb – b2)) = (4а – 7b)(2a2 – 4ab + b2 – 2b2 + 4аb + b2) = 2b2(4а – 7b) = 8аb2 – 14b3.

508. Спростіть вираз, використовуючи винесення спільного множника за дужки: 1) аb(a2 + аb + b2) – аb(а2 – ab + b2) = аb(а2 + аb + b2 – (a2 — аb + b2)) = = ab(а2 + аb + b2 – а2 + ab – b2) = аb ∙ 2ab = 2a2b2; 2) (а + b)(a + 1) – (a + b)(1 – b) + (b + a)(b – а) = (a + b)(а + 1– 1 + b + b – а) = = 2b(а + b) = 2ab + 2b2.

509. Розв’яжіть рівняння 4x2 – 1,2х = a, якщо один із його коренів дорівнює 0,3. Якщо один з коренів рівняння 4x2 – 1,2х = a дорівнює 0,3, то: 4 ∙ 0,32 – 1,2 ∙ 0,3 = а; а = 4 ∙ 0,09 – 1,2 ∙ 0,3; a = 0,36 – 0,36; а = 0. Рівняння набирає вигляд: 4х2 – 1,2x = 0; 4х(х – 0,3) = 0; х = 0 або х = 0,3. Відповідь: 0 або 0,3.

510. Розв’яжіть рівняння 5х2 + 8x = a, якщо один із його коренів дорівнює –1,6. Якщо один з коренів рівняння 5х2 + 8х = a дорівнює –1,6, то: 5 ∙ (–1,6)2 + 8 ∙ (–1,6) = а; а = 5 ∙ 2,56 – 8 ∙ 1,6; a = 12,8 – 12,8; а = 0. Рівняння набирає вигляд: 5х2 + 8х = 0; х(5х + 8) = 0; х = 0 або х = –1,6. Відповідь: 0 або –1,6.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

511. Відомо, що при деякому значенні y значення виразу у2 – 4y + 2 дорівнює 6. Знайдіть при цьому значенні y значення виразу: 1) 5y2 – 20у + 10 = 5(у2 – 4у + 2). Якщо y2 – 4у + 2 = 6, то 5(у2 – 4у + 2) = 5 ∙ 6 = 30; 2) у2(y2 – 4у + 2) – 4у (у2 – 4у + 2) = (у2 – 4у + 2)(у2 – 4у) = (у2 – 4у + 2)(y2 – 4у + 2 – 2). Якщо y2 – 4у + 2 = 6, то (у2 – 4у + 2)(y2 – 4у + 2 – 2) = 6 ∙ (6 – 2) = 24; 3) Зy2 – 12у + 8 = 3y2 – 12у + 6 + 2 = 3(y2 – 4у + 2) + 2. Якщо y2 – 4у + 2 = 6, то 3(y2 – 4у + 2) + 2 = 3 ∙ 6 + 2 = 20.

512. Відомо, що при деякому значенні a значення виразу a2 + 2a – 5 дорівнює –4. Знайдіть при цьому значенні a значення виразу: 1) –2а2 – 4а + 10 = –2(a2 + 2а –5). Якщо а2 + 2а – 5 = –4, то –2(a2 + 2а – 5) = –2 ∙ (–4) = 8; 2) a2(а2 + 2а – 5) + 2а(а2 + 2а – 5) = (а2 + 2a – 5)(a2 + 2а) = (a2 + + 2а – 5)(а2 + 2а – 5 + 5). Якщо а2 + 2а – 5 = –4, то (a2 + 2a – 5)(a2 + 2а – 5 + 5) = –4 ∙ (–4 + 5) = –4; 3) 4а2 + 8a – 16 = 4(a2 + 2a – 4) = 4(a2 + 2a – 5 + 1). Якщо а2 + 2a – 5 = –4, то 4(a2 + 2a – 5 + 1) = 4 ∙ (–4 + 1) = –12.

513. При якому значенні a не має коренів рівняння: 1) (x + 1)(x – 3) – x(x – 3) = ax; (x – 3)(x + 1 – x) = ax; x – 3 – ax = 0; (1 – a)x = 3 — рівняння не має коренів, якщо а = 1; 2) х(5х – 1) – (х – а) (5х – 1) = 4х – 2а; (5х – 1)(х – х + а) = 4х – 2а; а(5х – 1) – 4х + 2а = 0; 5ax – а – 4х + 2а = 0; (5а – 4)х + а = 0; (5а – 4)х = –а — рівняння не має коренів, якщо а = 0,8; 3) (2х – 5)(х + а) – (2х + 3)(х + 1) = 4; 2x2 + 2ах – 5х – 5а – 2x2 – 2х – 3х – 3 = 4; 2ах – 10х = 5а + 3 + 4; (2а – 10)х = 5а + 7 — рівняння не має коренів, якщо а = 5.

514. При якому значенні a має безліч коренів рівняння: 1) (х – 4)(х + а) – (х + 2)(х – а) = –6; х2 + ах – 4х – 4а – х2 + ах – 2х + 2а = –6; 2ах – 6х – 2а = –6; (2а – 6)х = 2а – 6 — рівняння має безліч коренів, якщо а = 3; 2) х(3х – 2) – (х + 2а)(3х + 2) = 5а + 6; Зх2 – 2х – Зх2 – 2х – 6ах – 4а = 5а + 6; –4х – 6ах = 4а + 5а + 6; –2(2 + За)х = 9а + 6; 2 –2(2 + За)х = 3(3а + 2) – рівняння має безліч коренів, якщо а = – .

3 515. Знайдіть усі двоцифрові числа, які дорівнюють добутку їхніх цифр, збільшених на 1. ху = (х + 1)(у + 1); 10х + у = (х + 1)(у + 1); 10х + у = ху + х + у + 1; 10х+ у – ху – х – у = 1; 9х – ху = 1; х(9 – у) = 1. Добуток двох натуральних чисел дорівнює 1 лише тоді, коли кожне з цих чисел дорівнює 1. Отже, х = 1 і 9 – у = 1, тобто x = 1 і у = 8. Відповідь: 18.

516. Спростіть вираз: 3 10 1) 0,42ac3 ∙ 1 a4c2 = 0,42 ∙ ac3 ∙ a4c2 = 0,6a5c5; 7 7 1 5 6 13 2) 1,2xyz ∙ 2 x y = 1,2 ∙ xyz ∙ x5y6 = 2,6x6y7z; 6 6

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 1

3

7

3) –2 m2np3 ∙ ( np4)2 = – m2np3 ∙

9

3

n2p8 = – m2n3p11;

3 7 3 49 7 1 2 3 5 16 8 2 243 10 15 16 8 17 9 18 17 4) (1 x y ) ∙ x y = x y ∙ x y = x y = 4,5x18y17.

2 27 32 27 2

517. За тиждень в офісі витрачають 1200 аркушів паперу. Яку найменшу кількість пачок паперу потрібно купити, щоб забезпечити роботу офісу протягом 8 тижнів, якщо в одній пачці міститься 500 аркушів?

1) 1200 ∙ 8 = 9600 (ар.) – на 6 тижнів.

2) 9600 : 500 = 19,2 (пачок). Відповідь: отже, необхідно купити 20 пачок.

518. Вміст солі в морській воді становить 5 %. Скільки кілограмів прісної води треба додати до 30 кг морської води, щоби вміст солі в утвореному розчині становив 3 %? Нехай потрібно додати х кг прісної води. Тоді маса розчину становитиме (х + 30) кг. У 30 кг морської води є 30 ∙ 0,05 = 1,5 (кг) солі. Уміст солі в утвореному розчині становитиме 1,5 : (х + 30). Рівняння: 1,5 : (х + 30) = 0,03; х + 30 = 1,5 : 0,03; х + 30 = 50; х = 20. Відповідь: 20 кг.

519. Для ремонту школи придбали фарбу. Першого дня витратили на 2 банки фарби більше 5 за половину всієї фарби, а другого — кількості банок фарби, витраченої за перший день.

8 Після цього залишилося 2 банки. Скільки банок фарби було придбано? Нехай придбали х банок фарби. Тоді за перший день витратили (0,5x + 2) банки фарби, а 5 5 за другий — (0,5х + 2) банок. Рівняння: 0,5х + 2 + (0,5х + 2) + 2 = х | ∙ 8; 4х + 16 + 5(0,5х 8 8 + 2) + 16 = 8х; 4х + 16 + 2,5х + 10 + 16 – 8х = 0; –1,5х + 42 = 0; –1,5х = –42; х = 28. Відповідь: 28 банок.

520. Чи існує двоцифрове число, у якому цифра десятків на 4 більша за цифру одиниць, а різниця між даним числом і числом, записаним тими самими цифрами, але у зворотному порядку, дорівнює 27? Нехай таке двоцифрове число існує і воно містить х одиниць. Тоді воно міститиме (х + 4) десятків. Число, записаним тими ж цифрами, але у зворотному порядку, міститиме (х + 4) одиниць і х десятків. Рівняння: 10(х + 4) + х – (10х + (х + 4)) = 27; 10х + 40 + х – 10х – х – 4 = 27; 0х = –9 — рівняння коренів не має. Відповідь: Такого двоцифрового числа не існує.

521. З аркуша картону вирізали кілька рівних рівносторонніх три– кутників. У вершинах кожного написали цифри 1, 2, 3. Потім ці трикутники склали в стіс. Чи могло статися так, що сума чисел уздовж кожного ребра стосу дорівнює 55? Сума чисел уздовж кожного ребра стосу не може дорівнювати 55. Справді, якби це могло бути, то сума чисел уздовж усіх трьох ребер стосу дорівнювала б 55 ∙ 3 = 165. Число 165 повинно було би ділитися на суму чисел (1 + 2 + 3 = 6), написаних у вершинах кожного трикутника, але 165 не ділиться націло на 6. Отже, так статися не могло.

13. Розкладання многочлена на множники. Метод групування 522. Закінчіть розкладання многочлена на множники: 1) 3m + 3n + mx + nx = (3m + 3n) + (mx + nx) = 3(m + n) + x(m + n) = (m + n)(3 + x).

2) 8c – 8 – ac + a = (8c – 8) + (–ac + a) = 8(c – 1) – a(c – 1) = (с – 1)(8 – a).

3) 4ab + 8b + 3a + 6 = (4ab + 8b) + (3a + 6) = 4b (a + 2) + 3(a + 2) = (а + 2)(4b + 3).

4) a2b + 2c2 – abc – 2ac = a2b – abc + 2c2 – 2ac = (a2b – abc) + (2c2 – 2ac) = = ab(a – c) + 2c(c – a) = (a – c)(ab – 2c).

523. Закінчіть розкладання многочлена на множники: 1) 5a + 5c – ab – bс = (5a + 5c) + (–ab – bc) = 5(a + c) – b(a+ c) = (a + c) (5 – b).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

2) xy + 2y – x – 2 = (xy + 2y) + (–x – 2) = y(x + 2) – 1(x + 2) = (х + 2)(y–1).

3) x3 + x2 + x + 1 = x2(x + 1) + (x + 1) = (x + 1) (x2 + 1).

524. Подайте у вигляді добутку многочленів вираз: 1) a(b + c) + 4b + 4c = (b + c) (a + 4).

2) x(y – 8) + 6y – 48 = (y – 8) (x + 6).

3) m(n –2) + n – 2 = (n – 2) (m + 1).

4) x(m – n) + n – m = (m – n) (x – 1).

525. Розкладіть на множники: 1) b(p – k) + cp – ck = (p – k) (b + c).

2) a(b + 9) + b + 9 = (b + 9) (a + 1).

3) a(c – 6) + 5c – 30 = (c – 6)(a + 5).

4) 7 – x + y (x – 7) = (x – 7) (y – 1).

526. Розкладіть на множники многочлен: 1) mа + mb + 4а + 4b = m(а + b) + 4(а + b) = (а + b)(m + 4); 2) Зх + су + cх + Зу = (Зх + Зу) + (су + сх) = 3(х + у) + с(у + х) = (х + у)(3 + с); 3) 5а – 5b + ар – bр = 5(а – b) + р(а – b) = (а – b)(5 + р); 4) 7m + mn + 7 + n = (7m + 7) + (mn + n) = 7(m + 1) + n(m + 11) = (m + 1)(7 + n); 5) а – 1 + аb – b = (а – 1) + b(а – 1) = (a – 1)(1 + b); 6) ху + 8у – 2х – 16 = (ху – 2х) + (8у – 16) = х(у – 2) + 8(у – 2) = (у – 2)(х + 8); 7) аb + ас – b – с = а(b + с) – (b + с) = (b + с)(а – 1); 8) Зр – Зk – 4ар + 4аk = 3(р – k) – 4а(р – k) = (р – k)(3 – 4а).

527. Подайте у вигляді добутку многочленів вираз: 1) ау – Зу – 4а + 12 = (ау – 3у) – (4а – 12) = у(а – 3) – 4(а – 3) = (а – 3)(у – 4); 2) 9а + 9 – nа – n = (9а + 9) – (na + n) = 9(а + 1) – n(а + 1) = (а + 1)(9 – n); 3) 6х + ау + 6у + ах = (6х + 6у) + (ау + ах) = 6(х + у) + а(х + у) = = (х + у)(6 + а); 4) 8х – 8у + хz – уz = 8(х – у) + z(х – у) = (х – у)(8 + z); 5) mn + m – n – 1 = (mn + m) – (n + 1) = m(n + 1) – (n + 1) = (n + 1)(m – 1); 6) аb – ас – 2b + 2с = а(b – с) – 2(b – с) = (b – с)(а – 2).

528. Розкладіть на множники многочлен: 1) а3 + а2 + а + 1 = а2(а + 1) + (а + 1) = (а + 1)(a2 + 1); 2) х5 – Зх3 + 4х2 – 12 = х3(х2 – 3) + 4(х2 – 3) = (х2 – З)(х3 + 4); 3) с6 – 10с4 – 5с2 + 50 = с4(с2 – 10) – 5(с2 – 10) = (с2 – 10)(с4 – 5); 4) у3 – 18 + 6у2 – Зу = у3 + 6у2 – Зу – 18 = у2(у + 6) – 3(у + 6) = (у + 6)(у2 – 3); 5) a2 – ab + ас – bс – а(а – b) + с(а – b) = (а – b)(а + с); 6) 20а3bс – 28ас2 + 15а2b2 – 21bc = 4ас(5a2b – 7с) + 3b(5а2b – 7с) = (5а2b – 7с)(4ас + 3b); 7) х2у2 + ху + аху + а = ху(ху + 1) + а(xy + 1) = (xy + 1)(xy + a); 8) 24х6 – 44х4у – 18х2y3 + 33у4 = 4х4(6x2 – 11у) – 3у3(6х2 – 11у) = (6х2 – 11у)(4х4 – Зу3).

529. Розкладіть на множники многочлен: 1) 8с3 – 2с2 + 4с – 1 = 2с2(4с – 1) + (4с – 1) = (4с – 1)(2с2 + 1); 2) х2у + х + ху2 + у = х(ху + 1) + у(ху + 1) = (xу + 1)(х + у); 3) 9a2b – За2 + 3b2 – b = 3a2(3b – 1) + b(3b – 1) = (3b – 1)(3а2 + b); 4) 8а2 – 2ab – 4ас + bс = 2а(4а – b) – с(4а – b) = (4а – b)(2а – с); 5) 2b3 – 7b2с – 4b + 14с = b2(2b – 7с) – 2(2b – 7с) = (2b – 7с)(b2 – 2); 6) 6х5 + 4х2у2 – 9х3у – 6у3 = 2х2(Зх3 + 2у2) – Зу(Зх3 + 2у2) = (Зх3 + 2у2)(2х2 – Зу).

530. Знайдіть значення виразу, розклавши його попередньо на множники: 1) 2а3 – За2 – 2ab + Зb = а2(2а – 3) – b(2а – 3) = (2а – 3)(а2 – b). Якщо а = 0,5, b = 2,25, то (2а – З)(а2 – b) = (2 ∙ 0,5 – 3)(0,52 –2,25) = (1 – 3)(0,25 – 2,25) = = –2 ∙ (–2) = 4;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

2) ху + у2 – 12х – 12у = у(х + у) – 12(х + у) = (х + у)(у – 12). Якщо х = 10,8,у = – 8,8, то (х + у)(у – 12) = (10,8 + (–8,8))(–8,8 – 12) = 2 ∙ (–20,8) = –41,6; 3) 27x3 – 36х2 + 6х – 8 = 9х2(Зх – 4) + 2(3х – 4) = (Зх – 4)(9x2 + 2) 1 1 1 4 4 Якщо х = –1 , то (Зх – 4) ∙ (9x2 + 2) = (3 ∙ (–1 ) – 4)(9(–1 )2 + 2) = (–3 ∙ – 4)(9(– )2 + 2) = 3 16

3

3

3

3

=(–4 – 4)(9 ∙ + 2) = –8(16 + 2) = –8 ∙ 18 = –144.

9 531. Знайдіть значення виразу: 1) 2а + b + 2а2 + ab = (2а + b) + а(2а + b) = (2а + b)(1 + а). Якщо а = –3, b = 4, то (2а + b)(1 + а) = (2 ∙ (–3) + 4)(1 + (–3)) = (–6 + 4) ∙ (–2) = 4; 2) 3х3 – х2 – 6x + 2= х2(3х – 1) – 2(3х – 1) = (3х – 1)(x2 – 2).

2 2 2 4 5 Якщо х = , то (Зх – 1)(x2 – 2) = (3 ∙ – 1)(( )2 – 2) = (2 – 1)( – 2) = –1 .

3 3 3 9 9 532. Закінчіть обчислення значення виразу: 1) 38,14 ∙ 12,26 + 12,26 ∙ 11,86 – 24,37 ∙ 2,26 – 2,26 ∙ 25,63 = = (38,14 ∙ 12,26 + 12,26 ∙ 11,86) + (–24,37 ∙ 2,26 – 2,26 ∙ 25,63) = = 12,26 (38,14 + 11,86) – 2,26 ∙ (24,37 + 25,63) = 12,26 ∙ 50 – 2,26 ∙ 50 = = 50(12,26 – 2,26) = 50 ∙ 10 = 500.

2) 0,7 ∙ 2,48 – 0,3 ∙ 1,62 – 0,4 ∙ 2,48 + 0,3 ∙ 3,14 = (0,7 ∙ 2,48 – 0,4 ∙ 2,48) + (0,3 ∙ 3,14 – 0,3 ∙ 1,62) = 2,48(0,7 – 0,4) + 0,3 ∙ (3,14 – 1,62) = 2,48 ∙ 0,3 + 0,3 ∙ 1,52 = 0,3 (2,48 + 1,52) = 1,2.

533. Обчисліть, не використовуючи калькулятора: 1) 3,742 + 3,74 ∙ 2,26 – 3,74 ∙ 1,24 – 2,26 ∙ 1,24 = 3,74(3,74 + 2,26) – 1,24(3,74 + 2,26) = = (3,74 + 2,26)(3,74 – 1,24) = 6 ∙ 2,5 = 15; 2) 58,7 ∙ 1,2 + 36 ∙ 3,52 – 34,7 ∙ 1,2 – 2,32 ∙ 36 = 58,7 ∙ 1,2 – 34,7 ∙ 1,2 + 36 ∙ 3,52 – 2,32 ∙ 36 = (58,7 – 34,7) ∙ 1,2 + (3,52 – 2,32) ∙ 36 = 24 ∙ 1,2 + 1,2 ∙ 36 = 1,2 ∙ (24 + 36) = 1,2 ∙ 60 = 72; 4 2 5 5 2 5 4 2 5 5 3) 2 ∙ 3 + 1 ∙ 2,8 + 2 ∙ 3 + 1 ∙ 2,2 = 2 ∙ 3 + 1 ∙ 2,8 + 1 ∙ 2,2 = 9 4

7 5

7 2

5

9

7

7

2

9

5

7

7

2

7 5

= (2 + 2 ) ∙ 3 + 1 ∙ (2,8 + 2,2) = 5 ∙ 3 + 1 ∙ 5 = 5 ∙ (3 + 1 ) = 5 ∙ 5 = 25.

9 9 7 7 7 7 7 7 534. Знайдіть значення виразу: 1) 34,4 ∙ 13,7 – 34,4 ∙ 8,7 – 15,6 ∙ 8,7 + 13,7 ∙ 15,6 = 34,4 ∙ (13,7 – 8,7) + 15,6 ∙ (–8,7 + 13,7) = = 34,4 ∙ 5 + 15,6 ∙ 5 = (34,4 + 15,6) – 5 = 50 ∙ 5 = 250; 2) 0,63 – 2 ∙ 0,62 ∙ 0,8 + 0,6 ∙ 0,82 – 2 ∙ 0,83 = 0,63 + 0,6 ∙ 0,82 – 2 ∙ 0,62 – 0,8 – 2 – 0,83 = = 0,6 ∙ (0,62+ 0,82) – 2 ∙ 0,8 ∙ (0,62 + 0,82) = 0,6 ∙ (0,36 + 0,64) – 2 ∙ 0,8 ∙ (0,36 + 0,64) = = 0,6 – 2 ∙ 0,8 = 0,6 – 1,6 = –1.

535. Розкладіть на множники многочлен: 1) ах2 + ау – bх2 – by + сх2 + су = (ах2 – bх2 + сх2) + (ау – by + су) = = х2(а – b + с) + у(а – b + с) = (х2 + у)(а – b + с); 2) a2b + а + ab2 + b + Заb + 3 = (a2b + ab2 + 3ab) + (а + b + 3) = ab(a + b + 3) + (а + b + 3 ) = = (аb + 1)(а + b + 3); 3) x3 – х2 + х2у + х – ху + у = х3 – х2 + х + х2у – ху + у = х(х2 – х + 1) + у(х2 – х + 1) = = (х + у)(х2 – х + 1); 4) m2n + mn – 5 – 5m + n – 5m2 = (m2n + mn + n) – (5 + 5m + 5m2) = = n(m2 + m + 1) – 5(m2 + m + 1) = (n – 5)(m2 + m + 1); 5) х6 – 2x5 + 4x3 – 8x2 + 5х –10 = x5(х – 2) + 4х2(х – 2) + 5(х – 2) = (х5 + 4х2 + 5)(х –2); 6) a3b + ab2 – abc3 – a2с – bc + с4 = a2(ab – c) – c3(ab – c) + b(ab – c) = (ab – c)(a2 – c3 + b).

536. Подайте вираз у вигляді добутку многочленів: 1) ab + ас + ad + bx + сх + dх = a(b + с + d)+ x(b + с + d) = (а + x)(b + c + d); 2) 7p – 7k – рх + kх + k – p = 7(p – k) – x(p – k) – (p – k) = (p – k)(7 – x – 1); 3) x3y3 – х2у2 + ху – 6 + 6xy – 6x2y2 = (x3y3 – 6x2y2) + (-х2у2 + 6ху) + (ху – 6) = = (ху – 6)(х2у2 – ху+ 1);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

4) а5 – a4b + a3b2 – а2b3 + аb4 – b5 = а4(а – b) + a2b2(a – b) + b4(a – b) = (a – b)(a4 + a2b2 + b4).

537. Розкладіть на множники тричлен, подавши попередньо один із його членів у вигляді суми подібних доданків: 1) x2 + 8x + 12 = x2 + 2x + 6x + 12= x(x + 2) + 6(x + 2) = (x + 2)(x + 6); 2) x2 – 5x + 4 = x2 – x – 4x + 4 = x(x – 1) – 4(x – 1) = (x – 1)(x – 4); 3) x2 + 7x – 8 = x2 – x + 8x – 8 = x(x + 8) + (x + 8) = (x + 8) (x – 1); 4) x2 – 4x – 5 = x2 – 5х + x – 5 = x(x – 5) + (x – 5) = (x – 5)(x + 1).

538. Розкладіть на множники тричлен: 1) x2 + 4x + 3 = x2 + x + 3x + 3 = x(x + 3) + (x + 3) = (x + 3)(x + 1); 2) x2 – 10x + 16 = x2 – 2x – 8x + 16 = x(x – 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(x – 8); 3) x2 + 3x – 18 = x2 + 6x – 3x – 18 = x(x + 6) + 3(x + 6) = (x + 6)(x – 3); 4) x2 – 4x – 32 = x2 – 8x + 4x – 32 = x(x – 8) + 4(x – 8) = (x – 8)(x + 4).

539. Доведіть, що при всіх натуральних значеннях n значення виразу n3 + Зn2 + 2n ділиться націло на 6. n3 + Зn2 + 2n = n(n2 + 3n + 2) = n(n2 + n + 2n + 2) = n(n(n + 1) + 2(n + 1)) = n(n + 1)(n + 2). Із трьох послідовних натуральних чисел, серед них є парне (воно кратне 2) і непарне (кратне 3). Висновок. Значення даного виразу націло ділиться на 6.

540. Розкладіть на множники многочлен. а2 + b2 + с2 + 2ab + 2bс + 2ас = а2 + b2 + с2 + ab + bс + ас + ab + bс + ас = = (a2 + ab) + (ас + bc) + (b2 + ab) + (с2 + bс + ас) = а(а + b) + с(а + b) + b(b + а) + с(с + b + а) = (а + b)(a + с + b) + с(с + b + а) = (а + b)(a + b + с) + с(а + b + с) = (а + b + с) ∙ (а + b + с) = = (а + b + с)2.

541. Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n, яке більше за 1, значення виразу ділиться націло на 10.

3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = 3n+2 + 3n – 2n + 2 – 2n = 3n(32 + 1) – 2n(22 + 1) = 10 ∙ 3n – 5 ∙ 2n = = 10 ∙ 3n – 5 ∙ 2 ∙ 2n–1 = 10 ∙ 3n – 10 ∙ 2n–1 = 10 ∙ (3n – 2n–1) — отже, значення даного виразу ділиться націло на 10.

542. Відомо, що при деяких значеннях x і y виконується рівність x2 + y2 = 1. Знайдіть при цих самих значеннях x і y значення виразу 2x4 +3x2y2 + y4 + y2.

2х4 + Зх2 ∙ y2 + у4 + у2 = х4 + х4 + х2у2 + х2у2 + у4 + у2 = (х4 + х2у2) + (х4 + х2у2) + (х2у2 + у4) + у2 = х2(х2 + у2) = х2(х2 + у2) + у2(х2 + у2) + у2 = х2 ∙ 1 + х2 ∙ 1 = у2 ∙ 1 + у2 = (х2 + у2) + (х2 + у2) = 1 + 1 = 2, бо за умовою х2 + у2 = 1.

543. Ціну на деякий товар спочатку знизили на 20 %, а потім підвищили на 20 %. Як змінилася ціна цього товару порівняно з початковою (підвищилася чи знизилася) і на скільки відсотків? Поч. ціна х грн ↓20%: 100% – 20% = 80%, 0,8х ↑20%: 100% + 20% = 120%, 1,2 ∙ 0,8х = 0,96х Відповідь: Ціна стала нижчою на 4%.

544. Ціну на деякий товар спочатку підвищили на 10 %, а потім знизили на 30 %. Як змінилася ціна цього товару порівняно з початковою (підвищилася чи знизилася) і на скільки відсотків? Поч. ціна х грн ↑10%: 100% + 10% = 110%; 1,1х ↓30%: 100% – 30% = 70%, 0,7 ∙ 1,1х = 0,77х Відповідь: Ціна стала нижчою на 23%.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

545. Підпасок привів на полонину овець. На полонині були кілки. Якщо до кожного кілка він прив’яже по вівці, то для однієї кілка не вистачить. Якщо ж до кожного кілка він прив’яже по дві вівці, то один кілок залишиться вільним. Скільки овець привів підпасок? Нехай на полонині було х кілків. Якщо до кожного кілка підпасок прив’яже по вівці, то для однієї кілка не вистачить, тому овець було (х + 1). Якщо до кожного кілка підпасок прив’яже по дві вівці, то один кілок залишиться вільним, а овець буде 2(х – 1). Рівняння: х + 1 = 2(х – 1); х + 1 = 2х – 2; х – 2х = –2 – 1; –х = –3; х = 3. Підпасок привів х + 1 = 3 + 1= 4 (вівці). Відповідь: 4 вівці.

546. Ольга й Дмитро можуть прополоти город, працюючи разом, за 2,4 год. Ольга може зробити це самостійно за 4 год. Скільки часу потрібно Дмитру, щоб самостійно прополоти город?

1 10 5 Ольга і Дмитро, працюючи разом, за 1 год прополють = = частин городу, а Ольга за 1 год, працюючи самостійно, прополе 5

1

1

4 5−3

2,4

24

12

частину городу. Тоді і Дмитро за 1 год, 2

1

працюючи самостійно, прополе – = = = (частину) городу, а весь город він 12 4 12 12 6 прополе за 6 год. Відповідь: 6 год.

547. В одному бідоні було в 4 рази більше молока, ніж у другому. Коли з першого бідона 2 перелили 10 л молока в другий, то об’єм молока в другому бідоні склав об’єму молока, 3 що залишилося в першому бідоні. Скільки літрів молока було в кожному бідоні спочатку? Нехай у другому бідоні було х л молока, тоді в першому — 4х л. Якщо з першого бідона перелили 10 л молока в другий, то у першому бідоні стане (4х – 10) л, а у другому — (х + 10) л.

2 Рівняння: (4х– – 10) = х + 10| ∙ 3; 8х – 20 = Зх + 30; 8х – Зх = 30 + 20; 5х = 50; х = 10. У 3 першому бідоні було 4 ∙ 10 = 40 л молока. Відповідь: 40 л і 10 л.

548. Піднесіть до квадрата одночлен: 1) (2a)2 = 4a2; 2) (a2)2 = a4; 3) (3b3)2 = 9b6; 4) (7x4)2 = 49x8; 5) (0,3x)2 = 0,09x2; 6) (0,4y5z2)2 = 0,16y10z4; 1 1 1 4 4 16 7) ( a2b3c4)2 = a4b6c8; 8) (1 m6n)2 = ( m6n)2 = ( m6n)2 = m12n2.

6 36 3 3 3 9 549. Запишіть у вигляді виразу: 1) суму чисел a і c; 2) різницю чисел m і n; 3) добуток суми чисел x і y та їхньої різниці; 4) квадрат різниці чисел x і y; 5) різницю квадратів чисел x і y.

1) a + c; 2) m – n; 3) (x + y)(x – y); 2 2 2 4) (x – y) ; 5) x – y .

550. У турнірі, організованому за олімпійською системою (той, хто програв, — вибуває), беруть участь n тенісистів. Яку кількість матчів треба провести, щоб виявити переможця турніру? І спосіб: Нехай кількість команд n = 2k, (n, kn, - натуральні числа). За олімпійською системою можна провести таку кількість матчів: Sk=1 + 2 + 22 + … + 2k−1 = Відповідь: (n − 1) матчів. ІІ спосіб:

1∙(2𝑘𝑘 −1) 2−1

= 2k – 1 = n – 1

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Останній матч — 1 між двома командами, які з попереднього туру вийшли до фіналу, можливі два випадки: або парна кількість команд у фіналі, або непарна (дивись рисунки).

парна кількість фіналістів непарна кількість фіналістів Якщо маємо чотирьох фіналістів, то ігр буде 4 – 1 = 3. Якщо маємо трьох фіналістів, то ігр буде 3 – 1 = 2 ⋅ 1 і т. д. Якщо маємо n фіналістів (n — натуральне число), то ігр буде (n − 1). Аналогічно при виході до півфіналу, чвертьфіналу кількість фіналістів буде або парна (8 учасників), або непарна (7 учасників). Якщо n = 8, то ігр 4 + 2 + 1 = 7, (8 – 1 ). Якщо n = 7, то ігр 3 + 2 + 1 = 6, (7 – 1). Взагалі кількість матчів = (n − 1). Відповідь: (n − 1) матчів. ЗАВДАННЯ № 3 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ 1. Подайте у вигляді многочлена вираз 3y2 (y3 + 1). А) 3y6 + 1; Б) 3y6 + 3y2; В) 3y5 + 1; Г) 3y5 + 3y2.

3y2 ⋅ y3 + 3y2 ⋅ 1 = 3y2 + 3 + 3y2 = 3y5 + 3y2 2. Спростіть вираз –9y (y – 3) + 4,5y (2y – 4). А) 45y; Б) –45y; В) –9y; Г) 9y.

–9y (y – 3) + 4,5y (2y – 4) −9y(y − 3) = −9y2 + 27y 4,5y(2y − 4) = 9y2 − 18y (−9y2 + 27y) + (9y2 − 18y) = −9y2 + 9y2 + 27y −18y = 9y.

3. Якому многочлену дорівнює вираз (x – 3) (x + 7)? А) x2 + 4x – 21; Б) x2 – 4x – 21; В) x2 + 10x – 21; Г) x2 – 10x – 21. (x − 3)(x + 7) = x2 + 7x − 3x – 21 = x2 + 4x – 21 4. Спростіть вираз (3x + 2) (2x – 1) – (5x – 2) (x – 4). А) x2 – 23x – 10; Б) x2 + 23x – 10; В) x2 – 21x + 6; Г) x2 + 21x + 6.

(3x + 2)(2x − 1) − (5x − 2)(x − 4) = (6x2 + x − 2) − (5x2 − 22x + 8) = = 6x2 + x – 2 − 5x2 + 22x – 8 = (6x2 − 5x2) + (x + 22x) + (−2 − 8) = x2 + 23x – 10 5. Винесіть спільний множник за дужки: 3mn – 4mk. А) n (3m – 4k); Б) m (3n – 4k); В) n (4m – 3k); Г) m (4n – 3k).

3mn − 4mk = m(3n − 4k) 6. Розкладіть на множники вираз m2n + mn2. А) m (m + n); Б) n (m + n); В) mn (m + n); Г) m2n2 (m + n). m2n + mn2 = mn(m + n) 7. Розкладіть вираз mn – mn2 на множники. А) mn (1 – n); Б) mn (1 + n); В) m (1 – n) (1 – n); Г) n (1 – m) (1 – m).

2 mn − mn = mn(1 − n)  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

8. Подайте многочлен 2x2 – 4x6 у вигляді добутку одночлена та многочлена. А) 2x2 (1 – 2x3); Б) 2x2 (1 – 2x4); Г) 2x2 (2 – x4). В) 2x2 (2 – x3); 2x2 − 4x6 = 2x2(1 − 2x4) 9. Розв’яжіть рівняння x2 – 2x = 0. А) 0; Б) 0; –2; В) 0; 2; Г ) 2.

2 x – 2x = 0 x(x − 2) = 0 x = 0 або x – 2 = 0 x = 0 або x = 2 10. Подайте у вигляді добутку многочлен ax – ay + 5x – 5y. А) (x – y) (a + 5); Б) (x – y) (a – 5); В) (x + y) (a – 5); Г) (x + y) (a + 5). ax – ay + 5x – 5y = (ax − ay) + (5x − 5y) = a(x − y) + 5(x − y) = (a + 5)(x − y) х−1 х+2 11. Розв’яжіть рівняння − = 1.

2 3 А) 11; Б) 1; В) 7; Г ) 5. х−1 х+2 − =1 2 3 3(х – 1) – 2(х + 2) = 6 3х – 3 – 2х – 4 = 6 х–7=6 х=6+7 х = 13 Правильна відповідь в умові відсутня.

12. Значення змінної a є таким, що значення виразу a2 – 7a + 3 дорівнює 2. Знайдіть значення виразу 2a2 – 14a + 10. А) 4; Б) 12; В) 8; Г ) 14.

2 a − 7a + 3 = 2 a2 − 7a + 3 – 2 = 0 a2 − 7a + 1 = 0 a2 − 7a = −1 2a2 − 14a + 10 = 2(a2 − 7a) + 10 = 2(−1) + 10 = −2 + 10 = 8 14. Добуток різниці та суми двох виразів 551. Чи є тотожністю рівність: 1) (b – c) (b + c) = b2 – c2 є тотожним 2) (m + n) (m – n) = m2 + n2 не є тотожним 3) (x + y) (y – x) = y2 – x2 є тотожним 4) (p – q) (p + q) = (p – q)2 не є тотожним 552. Якому з наведених многочленів тотожно дорівнює добуток (7а – 2b)(7а + 2b) = 49а2 – 4b2 Відповідь: 3) 49а2 – 4b2.

553. Закінчіть перетворення виразу в многочлен: 1) (c – 8)(c + 8) = c2 – 82 = c2 – 64.

2) (5x – 7y2)(5x + 7y2) = (5x)2 – (7y2)2 = 25x2 – 49y4.

3) (a4 + b3)(b3 – a4) = (b3 + a4)(b3 – a4) = (b3)2 – (a4)2 = b6 – a8.

4) (–9хy – z)(9xy – z) = –(9xy + z)(9xy – z) = ((9xy)2 – z2) = – (81x2y2 – z2) = z2 – 81x2y2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

554. Закінчіть перетворення виразу в многочлен: 1) (2ab + 3)(2ab – 3) = (2ab)2 – 32 = 4a2b2 – 9.

2) (6m2 – 11p5)(11p5 + 6m2) = (6m2 – 11p5)(6m2 + 11p5) = (6m2)2 – (11p5)2 = 36m4 – 121p10.

555. Виконайте множення многочленів: 1) (m – n)(m + n) = m2 – n2; 2) (х – 1)(х + 1) = х2 – 12 = х2 – 1; 3) (9 –y)(9 + у) = 92 – у2 = 81 – у2; 4) (3b – 1)(3b + 1) – (3b)2 – 12 = 9b2 – 1; 5) (10m – 7)(10m + 7) = (10m)2 – 72 = 100m2 – 49; 6) (4а – b)(b + 4a) = (4а – b)(4a + b) = (4a)2 – b2 = 16a2 – b2; 7) (5b + 1)(1 – 5b) = (1 + 5b)(1 – 5b) = 12 – (5b)2 = 1 – 25b2; 8) (3x – 5y)(3x + 5y) = (3x)2 – (5y)2 = 9x2 – 25y2; 9) (13c – 10d)(13c + 10d) = (13c)2 – (10d)2 = 169c2 – 100d2; 10) (8m + 11n)(11n – 8m) = (11n + 8m)(11n – 8m) = (11n)2 – (8m)2 = 121n2 – 64m2.

556. Подайте у вигляді многочлена вираз: 1) (c – 2)(c + 2) = c2 – 22 = c2 – 4; 2) (12 – x)(12 + x) = 122 – x2 = 144 – x2; 3) (3x + y)(3x – y) = (3x)2 – y2 = 9x2 – y2; 4) (6x – 9)(6x + 9) = (6x)2 – 92 = 36x2 – 81; 5) (x + 7)(7 – x) = (7 + x)(7 – x) = 72 – x2 = 49 – x2; 6) (5a – 8b)(5a + 8b) = (5a)2 – (8b)2 = 25a2 – 64b2; 7) (8m + 2)(2 – 8m) = (2 + 8m)(2 – 8m) = 22 – (8m)2 = 4 – 64m2; 8) (13c – 14d)(14d + 13c) = (13c – 14d)(13c + 14d) = (13c)2 – (14d)2 = 169c2 – 196d2.

557. Виконайте множення: 1) (a2 – 3)(a2 + 3) = (a2)2 – 32 = a4 – 9; 2) (5 + b2)(b2 – 5) = (b2 + 5)(b2 – 5) = (b2)2 – 52 = b4 – 25; 3) (3x – 2у2)(3х + 2y2) = (3x)2 – (2y2)2 = 9x2 – 4y4; 4) (10p3 – 7k)(10p3 + 7k) = (10p3)2 – (7k)2 = 100p6 – 49k2; 5) (4x2 – 8y3)(4x2 + 8y3) = (4x2)2 – (8y3)2 = 16x4 – 64y6; 6) (11a3 + 5b2)(5b2 – 11a3) = (5b2 + 11a3)(5b2– 11a3) = (5b2)2 – (11a3)2 = 25b4 – 121a6; 7) (7 – xy)(7 + xy) = 72 – (xy)2 = 49 – x2y2; 1 1 1 1 8) (8a3b – ab2)(8a3b + ab2) = (8a3b)2 – ( ab2)2 = 64a6b2 – a2b4.

3 3 3 9 558. Виконайте множення: 1) (x3 + 4)(х3 – 4) = (х3)2 – 42 = х6 – 16; 2) (аb – с)(аb + с) = (ab)2 – с2 = а2b2 – с2; 3) (x – y2)(y2 + х) = (х – у2)(х + у2) = x2 – (у2)2 – х2 – у4; 4) (3m2 – 2с)(3m2 + 2с) = (3m2)2 – (2с)2 = 9m4 – 4с2; 5) (6а3 – 8b)(6а3 + 8b) = (6а3)2 – (8b)2 = З6a6 – 64b2; 6) (5n4 – m4)(5n4 + m4) = (5n4)2– (m4)2 = 25n8 – m8.

559. Спростіть вираз: 1) (2а – b)(2а + b) + b2 = (2а)2 – b2 + b2 = 4а2; 2) 10x2 + (у – 5х)(у + 5х) = 10х2 + у2 – (5х)2 = 10х2 + у2 – 25х2 = у2 – 15х2; 3) 64m2 – (8m + 9)(8m – 9) = 64m2 – ((8m)2 – 92) = 64m2 – 64m2 + 81 = 81; 4) 3а(а – b) – (3а + 2b)(3а – 2b) = 3а2 – 3аb – ((3а)2 – (2b)2) = 3а2 – 3аb – 9а2 + 4b2 = = –6а2 – 3ab + 4b2.

560. Спростіть вираз: 1) (9а – 2)(9а + 2) – 18а2 = (9а)2 – 22 – 18а2 = 81а2 – 4 – 18а2 = 63a2 – 4; 2) 25m2 – (5m – 7)(5m + 7) = 25m2 – ((5m)2 – 72) = 25m2 – 25m2 + 49 = 49;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) 4х(3х– 10y) – (4х + у)(4х – у) = 12х2 – 40ху – ((4х)2 – у2) = 12х2 – 40ху – 16х2 + у2 = = –4х2 – 40ху + у2.

561. На який вираз треба помножити двочлен 0,3x3 – xy2, щоб добуток дорівнював двочлену 0,09x6 – x2y4?

(0,3х3 – хy2)(0,Зх3 + ху2) = (0,3х3)2 – (хy2)2 = 0,09х6 – х2у4.

562. На який вираз треба помножити многочлен 7t4 + 9p5, щоб добуток дорівнював многочлену 49t8 – 81p10?

(7t4 + 9p5)(7t4 – 9р5) = (7t4)2 – (9р5)2 = 49t8 – 81р10.

563. Які одночлени треба поставити замість зірочок, щоб виконувалася тотожність: 1) (3b – 12а)(3b + 12а) = (3b)2 – (12а)2 = 9b2 – 144а; 2) (4d – 5с)(4d + 5с) = 16d2 – 25с2; 1 1 1 1 1 3) (0,7p + m4)( m4 – 0,7p) = ( m4 + 0,7p)( m4 – 0,7p) = m8 – 0,49p2; 3 3 3 3 9 4) (3m2 + n3)(3m2 – n3) = 9m4 – n6.

564. Поставте замість зірочок такі одночлени, щоб виконувалася тотожність: 1) (8а2b – 5с3)(8а2b + 5с3) = 64а4b2 – 25с6; 1 1 1 1 1 1 2) ( a2 – x4y5)( a2 + x4y5) = a4 – x8y10.

15 12 15 12 225 144 565. Подайте у вигляді многочлена вираз: 1) а(а – 2)(а + 2) = а(а2 – 4) = а3 – 4а; 2) –3(х + 3)(х – 3) = –3(х2 – 9) = –За2 + 27; 3) 7b2(b + 4)(4 – b) = 7b2(4 + b)(4 – b) = 7b2(16 – b2) = 112b2 – 7b4; 4) (с – d)(c + d)(с2 + d2) = (с2 – d2)(c2 + d2) = c4 – d4; 5) (2а – 1)(2а + 1)(4а2 + 1) = (4а2 – 1)(4а2 + 1) = 16a4 – 1; 6) (с3 – 5)(с3 + 5)(с6 + 25) = (с6 – 25)(с6 + 25) = с12 – 625.

566. Виконайте множення: 1) 5b(b – 1)(b + 1) = 5b(b2 – 1) = 5b3 – 5b; 2) (с + 2)(с – 2) ∙ 8с2 = (с2 – 4) ∙ 8с2 = 8с4 – 32с2; 3) (m – 10)(m2 + 100)(m + 10) = (m – 10)(m + 10)(m2 + 100) = (m2 – 100)(m2 + 100) = = m4 – 10000; 4) (а2 + 1)(а2 – 1)(а4 + 1) = (а4 – 1)(a4 + 1) = а8 – 1.

567. Виконайте множення двочленів (n — натуральне число): 1) (an – 4)(аn + 4) = (аn)2 – 42 = а2n – 16; 2) (b2n + с3n) (b2n – с3n) = (b2n)2 – (с3n)2 = b4n – с6n; 3) (х4n + yn+2)(yn+2 – х4n) = (yn+2 + х4n )(уn+2 – х4n) = (yn+2)2 – (x4n)2 = y2n+4 – x8n; 4) (an+1 – bn–1)(аn+1 + bn–1) = (аn+1)2 – (bn–1)2 = а2n+2 – b2n–2.

568. Спростіть вираз: 1) (4х – 7у)(4х + 7у) + (7х – 4у)(7х + 4у) = (4х)2 – (7у)2 + (7х)2 – (4y)2 = = 16y2 – 49у2 + 49х2 – 16y2 = 65х2 – 65y2; 2) (а – 2)(а + 3) + (6 – а)(а + 6) = а2 + За – 2а – 6 + (6 – а)(6 + а) = а2 + а – 6 + 62 – а2 = = а – 6 + 36 = а + 30; 3) (8а – 3)(8a + 3) – (7а + 4)(8а – 4) = (8а)2 – З2 – (56а2 – 28а + 32а – 16) = = 64а2 – 9 – 56а2 + 28а – 32а + 16 = 8а2 – 4а + 7; 4) 0,6m(2m – 1)(2m + 1) + 0,3(6 + 5m)(6 – 5m) = 0,6m(4m2 – 1) + + 0,3(36 – 25m2) = = 2,4m3 – 0,6m + 10,8 – 7,5m2 = 2,4m3 – 7,5m2 – 0,6m + 10,8; 5) (7 – 2х)(7 + 2х) – (х – 8)(х + 8) – (4 – 3х)(5 + 3х) = = 49 – 4х2 – (х2 – 64) – (20 + 12x – 15х – 9x2) = 49 – 4x2 – х2 + 64 – 20 – 12х + 15х + 9х2 = = 4х2 + 3х + 93; 6) –b2с(4b – с2)(4b + с2) + 16b4с = –b2с(16b2 – с4) + 16b4с = –16b4с + b2с5 + 16b4с = b2с5.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

569. Спростіть вираз: 1) (b + 7)(b – 4) + (2b – 6)(2b + 6) = b2 – 4b + 7b – 28 + (2b)2 – 62 = = b2 + 3b – 28 + 4b2 – 36 = 5b2 + 3b – 64; 2) (х + 1)(х – 1) – (х + 5)(x – 5) + (х + 1)(х – 5) = х2 – 1 – (x2 – 25) + х2 – 5х + х – 5 = = х2 – 1 – х2 + 25 + х2 – 5х + х – 5 = х2 – 4х + 19; 3) 81а8 – (За2 – b3)(9а4 + b6)(3а2 + b3) = 81а8 – (За2 – b3)(За2 + b3)(9а4 + b6) = = 81а8 – (9а4 – b6)(9а4 + b6) = 81а8 – (81а8 – b12) = 81а8 – 81а8 + b12 = b12.

570. Розв’яжіть рівняння: 1) 8х(3 + 2х) – (4х + 3)(4х – 3) = 9х – 6; 2) 7х – 4х(х – 5) = (8 – 2х)(8 + 2х) + 27х; 2 2 24х + 16х – 16х + 9 = 9х – 6; 7х – 4x2 + 20х = 64 – 4x2 + 27х; 24х + 16х2 – 16х2 – 9х = –6 – 9; 7х – 4х2 + 20х + 4х2 – 27х = 64; 15x = –15; 0х = 64 — рівняння не має коренів. х = –1. Відповідь: Рівняння коренів не має. Відповідь: –1.

3) (6х + 7)(6х – 7) + 12х = 12х(3х + 1) – 49; 4) (х – 2)(х + 2)(х2 + 4)(х4 + 16) = х8 + 10х; 36х2 – 49 + 12х = З6х2 + 12х – 49; (х2 – 4)(х2 + 4)(х4 + 16) = х8 + 10х; 36х2 + 12х – З6х2 – 12х = –49 + 49; (х4 – 16)(х4 + 16) = х8 + 10х; 0х = 0 — коренем є будь–яке число. х8 – 256 = х8 + 10х; Відповідь: Коренем рівняння є х8 – х8 – 10х = 256; будь–яке число.

–10х = 256; х = –25,6. Відповідь: –25,6.

571. Розв’яжіть рівняння: 1) (х – 17)(х + 17) = х2 + 6х – 49; 2) (1,2х – 4)(1,2х + 4) – (1,3х – 2)(1,3х + 2) = 2 2 х – 289 = х + 6х – 49; = 0,5х(8 – 0,5х); 2 2 х – х – 6х = –49 + 289; 1,44х2 – 16 – (1,69х2 – 4) = 4х – 0,25x2; –6х = 240; 1,44х2 – 16 – 1,69х2 + 4 = 4х – 0,25x2; х = –40.

1,44x2 – 1,69x2 – 4х + 0,25х2 = 16 – 4; Відповідь: –40.

–4х = 12; х = –3. Відповідь: –3.

572. Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінної (змінних): 1) (х – 9)(х + 9) – (х + 19)(х – 19) = х2 – 81 – (х2 – 192) = х2 – 81 – х2 + 361 = 280; 2) (2а – b)(2а + b) + (b – с)(b + с) + (с – 2а)(с + 2а) = 4а2 – b2 + b2 – с2 + с2 – 4a2 = 0.

573. Доведіть, що при будь–якому натуральному n значення виразу (7n + 8) (7n – 8) – (5n + 10) (5n – 10) ділиться націло на 12.

(7n + 8)(7n – 8) – (5n + 10)(5n – 10) = 49n2 – 64 – (25n2 – 100) = 49n2 – 64 – 25n2 + 100 = = 24n2 + 36 = 12(2n2+ 3) — ділиться націло на 12.

574. Доведіть, що не існує такого натурального числа n, при якому значення виразу (4n + 3) (9n – 4) – (6n – 5) (6n + 5) – 3 (n – 2) ділиться націло на 8.

(4n + 3)(9n – 4) – (6n – 5)(6n + 5) – 3(n – 2) = 36n2 – 16 + 27n – 12 – 36n2 + 25 – 3n + 6 = = 24n + 3. Число 24n ділиться націло на 8, бо 24 : 8 = 3, але число 3 націло не ділиться на 8. Отже, значення даного виразу не ділиться на 8.

575. Доведіть, що при будь–якому натуральному n значення виразу (9n – 4) (9n + 4) – (8n – 2) (4n + 3) + 5 (6n + 9) ділиться націло на 7.

(9n – 4)(9n + 4) – (8n – 2)(4n + 3) + 5(6n + 9) = 81n2 – 16 – 32n2 – 24n + 8n + 6 + 30n + 45 = 49n2 + 14n + 35. Доданки 49n2, 14n і 35 діляться націло на 7 (49 : 7 = 7, 14n : 7 = 2n, 35 : 7 = 5), тому й значення даного виразу ділиться націло на 7.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

576. Знайдіть значення виразу: 1) З20 ∙ 620 – (1810 – 2)(1810 + 2) = (3 ∙ 6)20 – ((1810)2 – 4) = 1820 – 1820 + 4 = 4; 2) (5 + 2817)(5 – 2817) + 1434 ∙ 234 = 52 – (2817)2 + (14 ∙ 2)34 = 25 – 2834 + 2834 = 25; 3) 736 ∙ 812 – (1418 + 3)(1418 – 3) = 736 ∙ (23)12 – ((1418)2 – З2) = 736 ∙ 236 – 1436 + 9 = = 1436 – 1436 + 9 = 9; 4) (З2 – 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(316 + 1)(332 + 1) – З64 = (З4 – 1) ∙ (34 + 1)(38 + 1)(316 + 1)(332 + 1) – З64 = (З8 – 1)(38 + 1)(316 + 1) ∙ (332 + 1) – З64 = (З16 – 1)(316 + 1)(332 + 1) – З64 = (З32 – 1)(332 + 1) – З64 = З64 – 1 – З64 = – 1; 5) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) – 232 = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) – 232 = (22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) (216 + 1) – 232 = (24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) – 232 = = (28 – 1)(28 + 1)(216 + 1) – 232 = (216 – 1)(216 + 1) – 232 = 232 – 1 – 232 = – 1.

577. Чому дорівнює значення виразу: 1) 8115 ∙ 820 – (630 + 1 )(630 – 1) = (З4)15 ∙ (23)20 – ((630)2 – 1) = З60 ∙ 260 – 660 + 1 = = 660 – 660 + 1 = 1; 2) 524 – (53 – 2)(53 + 2)(56 + 4)(512 + 16) = 524 – (56 – 4)(56 + 4)(512 + 16) = = 524 – (512 – 16)(512 + 16) = 524 – (524 – 256) = 524 – 524 + 256 = 256.

578. Порівняйте значення виразів, не обчислюючи їх: 1) 415 ∙ 425 = (420 – 5)(420 + 5) = 4202 – 52; 426 ∙ 414 = 414 ∙ 426 = (420 – 6)(420 + 6) = 4202 – 62. Отже, 4202 – 52 > 4202 – 62.

2) 1234567 ∙ 1234569 = (1234568 – 1)(1234568 + 1) = 12345682 – 1. Отже, 1 234 5682 – 12 < 1 234 5682.

579. Порівняйте значення виразів, не обчислюючи їх: 1) 253 ∙ 259 = (256 – 3)(256 + 3) = 2562 – З2; 252 ∙ 260 = (256 – 4)(256 + 4) = 2562 – 42. Отже, 2562 – З2 > 2562 – 42.

2) 987 646 ∙ 987 662 = (987 654 – 8)( 987 654 + 8) = 987 6542 – 82. Отже, 987 6542 > 987 6542 – 82.

580. Олеся й Остап купили однакові ручки. Ціна кожної з них дорівнює цілому числу гривень. Олеся заплатила за ручки 65 грн, а Остап — на 39 грн більше. Скільки коштує одна ручка? Скільки ручок купив Остап?

1) Ціна ручки дільник 39 грн, це число ділиться на 3 та 13. Число 65 теж повинно націло ділитись на вартість однієї ручки. 65 : 3. Отже, 1 ручка коштує 13 грн.

2) 65 : 13 = 5 (р.) – купила Олеся.

3) (65 + 39) : 13 = 8 (р.) купив Остап. Відповідь: одна ручка коштує 13 грн, Остап купив 8 ручок.

581. Від села до станції Василько може доїхати на велосипеді за 3 год, а дійти пішки — за 7 год. Швидкість пішки на 8 км/год менша від швидкості руху на велосипеді. З якою швидкістю їздить Василько на велосипеді? Яка відстань від села до станції? Нехай Василько їздить на велосипеді зі швидкістю х км/год, тоді його швидкість руху пішки — (х – 8) км/год. Рівняння: 3х = 7(х – 8); 3х = 7х – 56; 3х – 7х = –56; –4х = –56; х = 14. Відстань від села до станції дорівнює 3 ∙ 14 = 42 (км). Відповідь: 14 км/год; 42 км.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

582. В одному мішку було 60 кг цукру, а в другому — 100 кг. Коли з другого мішка взяли в 4 рази більше цукру, ніж із першого, то в першому залишилось у 2 рази більше цукру, ніж у другому. Скільки кілограмів цукру взяли з кожного мішка? Нехай з першого мішка взяли х кг цукру, тоді з другого мішка взяли 4х кг. У першому мішку залишилось (60 – х) кг цукру, а у другому — (100 – 4х) кг. Рівняння: 60 – х = 2(100 – 4х); 60 – х = 200 – 8х; 8х – х = 200 – 60; 7х = 140; х = 20. З другого мішка взяли 4 ∙ 20 = 80 (кг) цукру. Відповідь: 20 кг і 80 кг.

583. Один вантажний автомобіль може перевезти зібраний з поля врожай за 10 год, другий — за 12 год, а третій — за 15 год. За скільки годин вони зможуть перевезти врожай, працюючи разом?

1 1 Перший автомобіль за 1 год перевезе частину зібраного урожаю, другий — частину, 10

1

1

1

1

12 6+5+4

15

1

= = а третій — частину. Працюючи разом 1 год, вони перевезуть + + = 15 10 12 15 60 60 4 частину врожаю. Отже, працюючи разом, три автомобілі перевезуть весь урожай за 4 год. Відповідь: 4 год.

584. Кожний із 7 чоловіків має 7 кішок. Кожна кішка з’їдає по 7 мишей, кожна миша за одне літо може знищити 7 ячмінних колосків, а із зерен одного колоска може вирости 7 жмень ячмінного зерна. Маса однієї жмені зерна — 80 г. Скільки жмень зерна щорічно рятують кішки? Скільки це становить тонн зерна? Відповідь округліть до сотих.

7 ∙ 7 = 72 — стільки жмень ячмінного зерна може знищити одна миша; 72 ∙ 7 = 73 — стільки жмень ячмінного зерна можуть знищити ті миші, яких може з’їсти одна кішка; 73 ∙ 7 = 74 — стільки жмень ячмінного зерна можуть знищити ті миші, яких може з’їсти 7 кішок; 74 ∙ 7 = 75 = 16 807 — стільки жмень ячмінного зерна щорічно рятують завдяки кішкам; 16 807 ∙ 80 = 1 344 560 (г) = 1 344,56 кг ≈ 1,34 т — стільки ячмінного зерна щорічно рятують завдяки кішкам. Відповідь: 16 807 жмень або 1,34 т.

585. Розв’яжіть рівняння: 4х−1 3х+1 3х−2 2х+1 5−х 1) − = x + 1│∙ 24; 2) − = │∙18; 12 8 9 6 3 2(4х – 1) – 3(3х + 1) – 24(х + 1); 2(3х – 2) – 3(2х + 1) = 6(5 – х); 8х – 2 – 9х – 3 = 24х + 24; 6х – 4 – 6х – 3 = 30 – 6х; 8х – 9х – 24х = 24 + 2 + 3; 6х – 6х + 6х = 30 + 4 + 3; –25х = 29; 6х = 37; 4 1 x = –1 . x = 6 .

25 6

4

1

Відповідь: –1 . Відповідь: 6 .

25 6 586. Подайте даний вираз у вигляді квадрата одночлена: 1) x6 = (x3)2; 2) y4 = (y2)2; 1 1 3) 4x2 = (2x)2; 4) x4 = ( x2)2; 9 3 5) a8b10 = (a4b5)2; 6) 0,36x2y12 = (0,6xy6)2; 9 5 5 7) 1,21m10n20 = (1,1m5n10)2; 8) 1 a14b16 = 2 a14b16 = ( a7b8)2.

16

 shkola.in.ua

16

4

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

587. Чи можна подати у вигляді різниці квадратів двох одночленів вираз: 1) a2 – 16b2 = a2 – (4b)2; 2) 25с2 + 9b2 — цей вираз не можна подати у вигляді різниці квадратів двох одночленів; 3) 100b4 – 25с6 = (10b2)2 – (5с3)2; 4) –64 + a10 = a10 – 64 = (a5)2 – 82; 5) –a12 – 49с8 = (а12 + 49с8) — цей вираз не можна подати у вигляді різниці квадратів двох одночленів; 6) –0,01а4 + 0,04b4 = 0,04b4 – 0,01а4 = (0,2b2)2 – (0,1а2)2 588. Для перевезення вантажу виділено 4–, 7– і 8–тонні вантажівки. Кожний автомобіль має зробити тільки один рейс. Скільки треба вантажівок кожного виду для перевезення 44 т вантажу? Нехай х -кількість 4-тонних вантажівок, у – 7-тонних, z – 8-тонних. Їм треба перевезти 44 т вантажу. Маємо рівняння 4x + 7x + 8z = 44, треба знайти цілі значення х, у, z. Якщо х = 2, у = 4 і z = 1 отримаємо 4 ⋅ 2 + 7 ⋅ 4 + 8 ⋅ 1 = 44; 44 = 44. Отже, треба 4-тонних вантажівок дві, 7-тонних вантажівок чотири, 8-тонних вантажівок одну. Відповідь: 2, 4, 1.

15. Різниця квадратів двох виразів 589. Яким із наведених добутків многочленів тотожно дорівнює многочлен: а2 – 144 = а2 – 122 = (а – 12)(а + 12).

590. Яка з даних рівностей є тотожністю: –49 + b2 = b2 – 49 = (b – 7)(7 + b). Тотожністю є рівність 2).

591. Чи можна, застосовуючи формулу різниці квадратів, розкласти на множники вираз: Якщо це можливо, то виконайте розкладання на множники.

1) а2 – 9 = a2 – З2 = (а – 3)(a + 3); 2) b2 + 1 — не можна; 3) 4 – с2 = 22 – с2 = (2 – с)(2 + с); 4) 25 + х2 — не можна; 5) 1 – y2 = 12 – y2 = (1 – y)(1 + y); 6) 16a2 – b2 = (4a)2 – b2 = (4a – b)(4а + b); 7) 81 + 100p2 — не можна; 8) 81 – 100р2 = 92 – (10р)2 = (9 – 10р)(9 + 10р); 9) m2n2 – 25 = (mn)2 – 52 = (mn – 5)(mn + 5); 10) –m2n2 – 25 = –(m2n2 + 25) — не можна.

592. Розкладіть на множники: 1) b2 – d2 = (b – d)(b + d); 2) х2 – 1 = x2 – 12 = (x – 1)(х + 1); 3) –х2 + 1 = 12 – х2 = (1 – x)(1 +х); 4) 36 – с2 = 62 – с2 = (6 – с)(6 + с); 5) 4 – 25а2 = 22 – (5a)2 = (2 – 5а)(2 + 5а); 6) 49a2 – 100 = (7а)2 – 102 = (7a – 10)(7a + 10); 7) 900 – 81k2 = 302 – (9k)2 = (30 – 9k)(30 + 9k); 8) 16x2 – 121y2 = (4х)2 – (11y)2 = (4х – 11у)(4х + 11у); 9) b2с2 – 1 = (bс)2 – 12 = (bс – 1)(bс + 1); 1 1 1 1 1 1 1 1 10) x2 – y2 = ( x)2 – ( y)2 = ( x – y)( x + y); 4 9 2 3 2 3 2 3 11) –4а2b2 + 25 = 52 – (2аb)2 = (5 – 2ab)(5 + 2ab); 12) 144х2у2 – 400 = (12ху)2 – 202 = (12ху – 20)(12ху + 20); 13) а2b2с2 – 1 = (аbс)2 – 12 = (аbс – 1)(аbс + 1); 14) 100а2 – 0,01b2 = (10а)2 – (0,1b)2 = (10а – 0,1b)(10а + 0,1b);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

15) а4 – b2 = (а2)2 – b2 = (а2 – b)(а2 + b); 16) р2t2 – 0,36k2d2 = (pt)2 – (0,6kd)2 = (рt – 0,6кd)(рt + 0,6kd); 17) у10 – 9 = (у5)2 – 32 – (у5 – 3)(у5 + 3); 11 36 6 6 6 18) 4x12 – 1 y16 = (2x6)2 – y16 = (2x6)2 – ( y8)2 = (2x6 – y8)(2x6 + y8).

25 25 5 5 5 593. Розкладіть на множники: 1) 16 – b2 = 42 – b2 = (4 – b)(4 + b); 2) с2 – 49 = с2 – 72 = (с – 7)(с + 7); 3) 0,04 – а2 = 0,22 – а2 = (0,2 – а)(0,2 + а); 4 2 2 2 4) x2 – = x2 – ( )2 = (x – )(x + ); 9 3 3 3 5) 4х2 – 25 = (2х)2 – 52 = (2х – 5)(2х + 5); 6) 81с2 – 64d2 = (9с)2 – (8сd)2 = (9с – 8сd)(9с + 8d); 7) 0,09x2 – 0,25y2 = (0,3x)2 – (0,5у)2 = (0,3х – 0,5у)(0,3х + 0,5у); 8) а2b4 – c6d8 = (аb2)2 – (с3d4)2 = (аb2 – с3d4)(аb2 + с3d4); 9) 4а2с2 – 9х2у2 = (2ас)2 – (3xу)2 = (2ас – 3xу)(2ас + 3ху); 10) х24 – у22 – (х12)2 – (у11)2 = (х12 – у11)(х12 + у11); 11) –1600 + а12 = а12 – 402 = (а6)2 – 402 = (а6 – 40)(а2 + 40); 49 7 7 7 12) a18 – = (a9)2 – ( )2 = (a9 – )(a9 + ).

64 8 8 8 594. Обчисліть, застосовуючи формулу різниці квадратів: 1) 862– 762 = (86 – 76)(86 + 76) = 100 ∙ 162 = 1620.

2) 1072 – 932 = (107 – 93)(107 + 93) = 14 ∙ 200 = 2800.

3) 7,322 – 6,322 = (7,32 – 6,32)(7,32 + 6,32) = 1 ∙ 13,64 = 13,64.

4) 19,42 – 19,32 = (19,4 – 19,3)(19,4 + 19,3) = 0,1 ∙ 38,7 = 3,87.

5) 8,542 – 1,442 = (8,54 – 1,44)(8,54 + 1,44) = 7,1 ∙ 9,98 = 70,858.

2 1 2 1 2 1 1 4 6) (3 )2 – (2 )2 = (3 – 2 )(3 + 2 ) = 1 ∙ 6 = ∙ 6 = 8.

3 3 3 3 3 3 3 3 595. Знайдіть значення виразу x2 – y2, якщо: 1) 752 – 252 = (75 – 25)(75 + 25) = 50 ∙ 100 = 5000.

2) 10,52 – 9,52 = (10,5 – 9,5)(10,5 + 9,5) = 1 ∙ 20 = 20.

3) 5,892 – 4,112 = (5,89 – 4,11)(5,89 + 4,11) = 1,78 ∙ 10 = 17,8.

4) 3,042 – 1,952 = (3,04 – 1,95)(3,04 + 1,95) = 1,08 ∙ 5 = 5,4.

596. Розв’яжіть рівняння: 1 1) х2 – 49 = 0; 2) – z2 = 0; 4 (х –7)(х + 7) = 0; 1 1 ( – z)( + z) = 0; х – 7 = 0 або х + 7 = 0; 2 2 1 1 х = 7 або х = –7.

– z = 0 або z = – .

2 2 Відповідь: –7 або 7; 1 1 Відповідь: – або ; 2

З) x2 + 36 = 0; х2 = –36. Відповідь: Коренів немає;

5) 9x2 – 4 = 0; (3х – 2)(3х + 2) = 0; 3х – 2 = 0 або 3х + 2 = 0; 3х = 2 або 3х = –2; 2 2 2 2 х = або x = – . Відповідь: – або .

3

3

3

3

2

4) х2 – 0,01 =0; (х – 0,1)(х + 0,1) = 0; х – 0,1 = 0 або х + 0,1 = 0; х = 0,1 або х = – 0,1. Відповідь: –0,1 або 0,1; 6) 0,04x2 – 1 = 0; (0,2х – 1)(0,2х + 1) = 0; 0,2х – 1 = 0 або 0,2х + 1 = 0; 0,2х = 1 або 0,2х = –1; х = 5 або х = –5. Відповідь: –5 або 5.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

597. Розв’яжіть рівняння: 1) с2 – 0,25 = 0; (с – 0,5)(с + 0,5) = 0; с – 0,5 = 0 або с + 0,5 = 0; с = 0,5 або с = –0,5. Відповідь: –0,5 або 0,5;

2) 81x2 – 121 = 0; (9х – 11)(9х + 11) = 0; 9х – 11 = 0 або 9x + 11 = 0; 11 11 x = або x = – .

3) –0,09 + 4х2 = 0; 4x2 – 0,09 = 0; (2х – 0,3)(2х + 0,3) = 0; 2х – 0,3 = 0 або 2х + 0,3 = 0; 9 9 2х = 0,3 або 2х = –0,3; 11 11 Відповідь: – або . х = 0,15 або х = –0,15.

9 9 Відповідь: –0,15 або 0,15.

598. Розкладіть на множники, користуючись формулою різниці квадратів: 1) (х + 2)2 – 49 = (х + 2 – 7)(х + 2 + 7) = (х – 5)(х + 9); 2) (х – 10)2 – 25y2 = (х – 10 – 5у)(х – 10 + 5у) – (х – 5у – 10)(х + 5у – 10); 3) 25 – (у – З)2 = (5 – (у–3))(5 + (у – 3)) = (5 – у + 3)(5 + у – 3) = (8 – у)(2 + у); 4) (а – 4)2 – (a + 2)2 = (а – 4 – (а + 2))(а – 4 + (a + 2)) = (а – 4 – a – 2)(а – 4 + а + 2) = = –6(2a – 2) = –12(a – 1); 5) (m – 10)2 – (n – 6)2 = (m – 10 – (n – 6))(m – 10 + (n – 6)) = = (m – 10 – n + 6)(m – 10 + n – 6) = (m – n – 4)(m + n – 16); 6) (8у + 4)2 – (4у – З)2 = (8у + 4 – (4у – 3))(8у + 4 + (4у – 3)) = = (8у + 4 – 4у + 3)(8у + 4 + 4у – 3) = (4у + 7)(12у + 1); 7) (5a + 3b)2 – (2a – 4b)2 = (5а + 3b – (2а – 4b))(5а + 3b + (2а – 4b)) = = (5a + 3b – 2а + 4b)(5a + 3b + 2a – 4b) = (За + 7b)(7a – b); 8) 4(a – b)2 – (а + b)2 = (2(a – b))2 – (a + b)2 = (2(a – b) – (a + b))(2(a – b) + (а + b)) = = (2а – 2b – а – b)(2а – 2b + а + b) = (a – 3b)(3а – b); 9) (х2 + х + 1)2 – (х2 – х + 2)2 = (х2 + х + 1 – (х2 – х + 2))(х2 + х +1 + (х2 – х + 2)) = = (х2 + х + 1 – х2 + х – 2)(х2 + х + 1 + х2 – х + 2) = (2х – 1)(2х2 + 3); 10) (–Зх3 + у)2 – 16х6 = (–Зх3 + у)2 – (4х3)2 = (–Зх3 + у – 4х3)(–Зх3 + у + 4х3) = = (–7x3 + у)(х3 + у).

599. Подайте у вигляді добутку вираз: 1) (х – 2)2 – 4 = (х – 2 – 2)(х – 2 + 2) = х(х – 4); 2) (b + 7)2 – 100с2 = (b + 7 – 10с)(b + 7 + 10с) = (b – 10с + 7)(b + 10с + 7); 3) 121 – (b + 7)2 =(11 – (b + 7))(11 + b + 7) = (11 – b – 7)(b + 18) = (4 – b)(b + 18); 4) а4 – (7b – a2)2 = (a2 – (7b – а2)) (а2 + (7b – a2)) = (а2 – 7b + a2)(a2 + 7b – а2) = 7b(2а2 – 7b); 5) (4х – 9)2– (2х + 19)2 = (4х – 9 – (2х + 19))(4х – 9 + (2х + 19)) = = (4х – 9 – 2х – 19)(4х – 9 + 2х + 19) = (2х – 28)(6х + 10); 6) (а + b + с)2 – (a – b – с)2 = (а + b + с – (а – b – с))(а + b + с + а – b – с) = = (a + b + с – a + b + с))(a + b + с + а – a – с) = 2а(2b + 2с) = 4а(b + с).

600. Знайдіть значення виразу: 1) (9х – 4)2 – (7х + 5)2 = (9х – 4 – (7х + 5))(9х– 4 + (7х + 5)) = = (9х – 4 – 7х – 5)(9х – 4 + 7х + 5) = (2х – 9)(16x + 1). Якщо х = 1,5, то(2x – 9)(16х + 1) = (2 ∙ 1,5–9)(16 ∙ 1,5 + 1) = (3 – 9)(24 + 1) = –6 ∙ 25 = –150; 2) (5х + 3у)2 – (3х + 5у)2 = (5х + 3у – (3х + 5у))(5х + 3у + (3х + + 5у)) = = (5х + 3у – 3х – 5у)(5х + 3у + 3х + 5у) = (2х – 2у)(8х + 8у) = 16(x – у)(х + у). Якщо х = 2,1; у = 1,9, то 16(х – у)(х + у) = 16 ∙ (2,1 – 1,9)(2,1 + 1,9) = 16 ∙ 0,2 ∙ 4 = 12,8.

601. Знайдіть значення виразу (2,5а – 1,5b)2 – (1,5а – 2,5b)2 = (2,5а – 1,5b – (1,5а –2,5b))(2,5а – 1,5b + (1,5а – 2,5b)) = = (2,5а – 1,5b – 1,5а + 2,5b)(2,5а – 1,5b + 1,5а – 2,5b) = (а + b)(4а – 4b) = 4(а + b)(а – b). Якщо а = –1,5; b = –3,5, то 4(а + b)(а – b) = 4(–1,5 + (–3,5))(–1,5 – (–3,5)) = 4 ∙ (–5) ∙ 2 = –40.

602. Чому дорівнює площа заштрихованої фігури, зображеної на рисунку 4? Обчисліть значення отриманого виразу при a = 7,4 см, b = 2,6 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Sф = а2 – b2 = (а – b)(а + b). Якщо а = 7,4 см, b = 2,6 см, то SФ = (а – b)(а + b) = (7,4 – 2,6)(7,4 + 2,6) = 4,8 ∙ 10 = 48.

603. Два кола, радіуси яких дорівнюють R і r (R > r), мають спільний центр. Виразіть через π, R і r площу фігури, обмеженої цими колами. Обчисліть значення отриманого виразу при R = 5,1 см, r = 4,9 см.

shkola.in.ua

Sф = πR2 – πr2 = π(R2 – r2) = π(R – r)(R + r). Якщо R = 5,1 см, r = 4,9 см, то Sф = π(R – r)(R + r) = π(5,1 – 4,9)(5,1 + 4,9) ≈ 3,14 ∙ 0,2 ∙ 10 = 6,28.

604. Подайте у вигляді добутку трьох множників вираз: 1) m4 – 625 = (m2)2 – 252 = (m2 – 25)(m2 + 25) =(m – 5)(m + 5) ∙ (m2 + 25); 2) х16 – 81 = (х8)2 – 92 = (х8 – 9)(х8 + 9) = ((х4)2 – 32)(х8 + 9) = (х4 – 3)(х4 + 3)(х8 + 9); 605. Розкладіть на множники: 1) а8 – b8 = (а4)2 – (b4)2 = (а4 – b4)(а4 + b4) = (а2 – b2)(а2 + b2) ∙ (а4 + b4) = = (а – b)(а + b)(а2 + b2)(а4 + b4); 2) а16 – 256 = (а8)2 – 162 = (а8 – 16)(а8 + 16) = (а4 – 4)(а4 + 4)(а8 + 16) = = (а2 – 2)(а2 + 2)(а4 + 4)(а8 + 16).

606. Розв’яжіть рівняння: 1) (3х – 5)2 – 49 = 0; 2) (4х + 7)2 – 9х2 = 0; (3х – 5 – 7)(3х – 5 + 7) = 0; (4х + 7 – 3х)(4х + 7 + 3х) = 0; (3х – 12)(3х + 2) = 0; (х + 7)(7х + 7) = 0; 3х – 12 = 0 або 3х + 2 = 0; х + 7 = 0 або 7х + 7 = 0; 2 х = –7 або х = –1 x = 4 або х = – .

3 Відповідь: –7 або –1; 2 Відповідь: 4 або – ; 3 3) (а – 1)2 – (2а + 9)2 = 0; 4) 25(3b + 1)2 – 16(2b – 1)2 = 0; (а – 1 – 2а – 9)(а – 1 + 2а + 9) = 0; (5(3b+ 1) – 4(2b – 1))(5(3b + 1) + 4(2b – 1)) = 0; (–а – 10)(3а + 8) = 0; (15b + 5 – 8b + 4)(15b + 5 + 8b – 4) = 0; – а – 10 = 0 або За + 8 = 0; (7b + 9)(23b + 1) = 0; 8 7b + 9 = 0 або 23b + 1 = 0; а = – 10 або а = – .

3 9 1 8 b = – або b = – .

7 23 Відповідь: –10 або – ; 3 9 1 Відповідь: – або – .

607. Розв’яжіть рівняння: 1) 16 – (6 – 11х)2 = 0; (4 – 6 + 11х)(4 + 6 – 11х) = 0; (11х – 2)(10 – 11х) = 0; 11х – 2 = 0 або 10 – 11х = 0; 2 10 x = або х = .

11

Відповідь:

2

11

11

або

10

.

11

7

23

2) (7m – 13)2 – (9m + 19)2 = 0; (7m – 13 – 9m – 19)(7m – 13 + 9m + 19) = 0; (–2m – 32)(16m + 6) = 0; –2m – 32 = 0 або 16m + 6 = 0; m = –16 або m = –0,375. Відповідь: –16 або –0,375.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

607. Розв’яжіть рівняння: 1) 16 – (6 – 11х)2 = 0; (4 – 6 + 11х)(4 + 6 – 11х) = 0; (11х – 2)(10 – 11х) = 0; 11х – 2 = 0 або 10 – 11х = 0; 2 10 x = або х = .

11

Відповідь:

2

11

11

або

10

.

2) (7m – 13)2 – (9m + 19)2 = 0; (7m – 13 – 9m – 19)(7m – 13 + 9m + 19) = 0; (–2m – 32)(16m + 6) = 0; –2m – 32 = 0 або 16m + 6 = 0; m = –16 або m = –0,375. Відповідь: –16 або –0,375.

11

608. Доведіть, що при будь–якому натуральному n значення виразу: 1) (7n + 4)2 −9 ділиться націло на 7; 2) (8n +1)2 − (3n −1)2 ділиться націло на 11; 3) (3n +7)2 − (3n −5)2 ділиться націло на 24; 4) (7n +6)2 − (2n −9)2 ділиться націло на 15.

1) (7n + 4)2 – 9 = (7n + 4 – 3)(7n + 4 + 3) = (7n + 1)(7n + 7) = 7(7n + 1)(n + 1) — ділиться націло на 7; 2) (8n + 1)2 – (3n – 1)2 = (8n + 1 – 3n + 1)(8n + 1 + 3n – 1) = 11n(5n + 2) — ділиться націло на 11; 3) (3n + 7)2 – (3n – 5)2 = (3n + 7 – 3n + 5)(3n + 7 + 3n – 5) = 12(6n + 2) = 24(3n + 1) — ділиться націло на 24; 4) (7n + 6)2 – (2n – 9)2 = (7n + 6 – 2n + 9)(7n + 6 + 2n – 9) = (5n + 15)(9n – 3) = = 15(n + 3)(3n – 1) — ділиться націло на 15.

609. Доведіть, що при будь–якому натуральному n значення виразу: 1) (5n + 4)2 − (5n −4)2 ділиться націло на 80; 2) (9n +10)2 − (9n + 8)2 ділиться націло на 36; 3) (10n + 2)2 − (4n −10)2 ділиться націло на 12.

1) (5n + 4)2 – (5n – 4)2 = (5n + 4 – 5n + 4)(5n + 4 + 5n – 4) = 8 ∙ 10n — ділиться націло на 80; 2) (9n + 10)2 – (9n + 8)2 = (9n + 10 – 9n – 8)(9n + 10 + 9n + 8) = 2(18n + 18) = 36(n + 1) — ділиться націло на 36; 3) (10n + 2)2 – (4n – 10)2 = (10n + 2 – 4n + 10)(10n + 2 + 4n – 10) = (6n + 12)(14n – 8) = = 12(n + 2)(7n – 4) — ділиться націло на 12.

610. Доведіть, що: 1) різниця квадратів двох послідовних натуральних чисел дорівнює сумі цих чисел; 2) різниця квадратів двох послідовних парних чисел ділиться націло на 4.

1) (n + 1)2 – n2 = (n + 1 – n)(n + 1 + n) = (n + 1) + n. Отже, різниця квадратів двох послідовних натуральних чисел (n + 1)2 – n2 дорівнює сумі цих чисел (n + 1) + n; 2) (2n + 2)2 – (2n)2 = (2n + 2 – 2n)(2n + 2 + 2n)= 2(4n + 2) = 4(2n + 1). Отже, різниця квадратів двох послідовних парних чисел (2n + 2)2 – (2n)2 ділиться націло на 4.

611. Доведіть, що: 1) різниця квадратів двох послідовних парних чисел дорівнює подвоєній сумі цих чисел; 2) різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться націло на 8.

1) (2n + 2)2 – (2n)2 = (2n + 2 – 2n)(2n + 2 + 2n) = 2((2n + 2) + 2n). Отже, різниця квадратів двох послідовних парних чисел (2n + 2)2 – (2n)2 дорівнює подвоєній сумі цих чисел 2((2n + 2) + 2n); 2) (2n + 1)2 – (2n – 1)2 = (2n + 1 – 2n + 1)(2n + 1 + 2n – 1) = 2 ∙ 4n. Отже, різниця квадратів двох послідовних непарних чисел (2n + 1)2 – (2n – 1)2 ділиться націло на 8.

612. Доведіть тотожність. (m3 – n3)2(m3 + n3)2 – (m6 + n6)2 = ((m3 – n3)(m3 + n3))2 – (m6 + n6)2 = (m6 – n6)2 – (m6 + n6)2 = (m6 – n6 – m6 – n6)(m6 – n6 + m6 + n6) = –4m6n6 — тотожність доведена.

613. Різниця квадратів двох двоцифрових чисел, записаних одними й тими самими цифрами, дорівнює 693. Знайдіть ці числа. Нехай більше число дорівнює mn = 10m + n, тоді менше число дорівнює: nm = 10n + m, а різниця їх квадратів становить:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

(10m + n)2 – (10n + m)2 = (10m + n – 10n – m)(10m + n + 10n + m) = (9m – 9n)(11m + 11n) = = 99(m – n)(m + n). Рівняння: 99(m – n)(m + n) = 693; (m – n)(m + n) = 7; m – n = 1 і m + n = 7; m = 4 і n = 3. Відповідь: 43 і 34.

614. Остача від ділення на 7 одного натурального числа дорівнює 4, а другого числа — 3. Доведіть, що різниця квадратів цих чисел кратна 7. Нехай одне число дорівнює х = 7m + 4, а інше — у = 7n + 3. Тоді різниця їх квадратів становить: (7m + 4)2 – (7n + 3)2 = (7m + 4 – 7n – 3)(7m + 4 + 7n + 3) = = (7m – 7n + 1)(7m + 7n + 7) = 7(7m – 7n + 1)(m + n + 1) — кратна 7.

615. При якому значенні b рівняння (b2 −4) x = b −2: 1) має безліч коренів; 2) не має коренів; 3) має один корінь? (b2 – 4)х = b – 2; (b – 2)(b + 2)х = b – 2.

1) Рівняння (b – 2)(b + 2)x = b – 2 має безліч коренів, якщо b – 2 = 0; b = 2; 2) рівняння (b – 2)(b + 2)х = b – 2 не має коренів, якщо b + 2 = 0; b = –2; 3) рівняння (b – 2)(b + 2)х = b – 2 має один корінь, якщо b – 2 ≠ 0 і b + 2 ≠ 0; b ≠ 2 і b ≠ –2.

616. При якому значенні a рівняння (a2 −25) x = a + 5: 1) має безліч коренів; 2) не має коренів; 3) має один корінь? (a2 – 25)х = a + 5; (а – 5)(а + 5)х = а + 5.

1) Рівняння (а – 5)(а + 5)х = а + 5 має безліч коренів, якщо а + 5 = 0; а = –5; 2) рівняння (а – 5)(а + 5)х = а + 5 не має коренів, якщо а – 5 – 0; а = 5; 3) рівняння (а – 5)(а + 5)х = а + 5 має один корінь, якщо а – 5 ≠ 0 і а + 5 ≠ 0; а ≠ 5 і а ≠ –5.

617. У магазині «Стиль» ціну костюма знизили спочатку на 10 %, а потім ще на 10 %. У магазині «Мода» ціну такого самого костюма одразу знизили на 20 %. У якому магазині вигідніше купити костюм, якщо спочатку ціна костюма в обох магазинах була однаковою?

1) 10% = 0,9х.

2) 10% + 10% = 0,9х ∙ 0,9 = 0,18х – в магазині Стиль; 3) 20% = 0,8х – в магазині Мода. Відповідь: дешевше костюм став в магазині «Мода».

618. Човен рухався 2,4 год за течією річки та 3,6 год проти течії. Відстань, яку пройшов човен за течією, на 5,4 км більша за відстань, пройдену проти течії. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії становить 2,5 км/год. Нехай власна швидкість човна дорівнює х км/год, тоді його швидкість руху за течією дорівнює (х + 2,5) км/год, а проти течії — (х – 2,5) км/год. Рівняння: 2,4(х + 2,5) – 3,6(х– 2,5) = 5,4; 2,4х + 6 – 3,6х + 9 = 5,4; –1,2х = –9,6; х = 8. Відповідь: 8 км/год.

4 619. За 3 дні продали 130 кг апельсинів. Другого дня продали того, що продали за перший 9 день, а третього — стільки ж, скільки за перші два дні разом. Скільки кілограмів апельсинів продали за перший день?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Нехай за перший день продали х кг апельсинів, тоді за другий день продали 4

4 9

х кг, а за

третій — (x + x) кг.

9 Рівняння: 4 4 х + х + (х + х) = 130| ∙ 9; 9 9 9х + 4х + 9х + 4х = 1170; 26х = 1170; х = 45. Відповідь: 45 кг.

620. У послідовності ..., a, b, c, d, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... кожне число дорівнює сумі двох попередніх. Чому дорівнює число a? d + 0 = 1; d = 1; с + d = 0; с + 1 = 0; с = –1; b + c = d; b + (–1) = 1; b = 2; а + b = с; а + 2 = –1; а = –3.

621. Розв’яжіть рівняння: 2х−1 х+2 2) 3(2х + 3) – 2(3х + 5) = –1; 1) − = x│∙ 8; 8 4 6х + 9 – 6х – 10 = –1; 2х – 1 – 2х – 4 = 8х; 0х = 0.

–5 = 8х; Відповідь: Будь-яке число. х = –0,625. Відповідь: –0,625; 622. Для пари виразів знайдіть усі значення a, при яких значення другого виразу в 3 рази більше за відповідне значення першого виразу: 1) значення виразу 3а буде утричі більшим за значення виразу а, якщо а > 0; 2) значення виразу 3а2 буде утричі більшим за значення виразу а2, якщо а ≠ 0; 3) значення виразу 3а2 + 3 буде утричі більшим за значення виразу a2 + 1 за будь-якого значення а.

623. Запишіть у вигляді виразу: 1) квадрат суми чисел a і b; 2) суму квадратів чисел a і b; 3) подвоєний добуток чисел a і b; 4) квадрат різниці одночленів 3m і 4n.

1) (а + b)2; 2) a2 + b2; 3) 2аb; 4) (3m – 4n)2.

624. Знайдіть подвоєний добуток одночленів: 1 1) 2а2 ∙ 3b = 6а2b; 2) 2 ∙ 5х ∙ 6у = 60ху; 3) 2 ∙ 0,5m ∙ 4n = 4mn; 4) 2 ∙ m2 ∙ 6m = 4m3.

3 625. Меню складається зі 101 страви. Доведіть, що кількість способів вибору обіду з непарної кількості страв дорівнює кількості способів вибору обіду з парної кількості страв за умови, що замовити всі страви з меню не можна. Виберемо спочатку обід з однієї страви. Поставимо у відповідність цьому обідові обід зі 100 страв, які не вибрані для попереднього обіду. Обідів з однієї страви можна вибрати 101, тоді відповідних обідів зі 100 страв теж можна вибрати 101. Виберемо обід з трьох страв. Поставимо цьому обіду у відповідність обід із 101 – 3 = 98 (страв), які не вибрані для попереднього обіду. Тоді обідів з трьох страв можна вибрати стільки ж скільки можна вибрати обідів з 98 страв. Аналогічно обідів з 5 страв можна вибрати стільки ж скільки можна вибрати обідів з 96 страв; обідів з 7 страв можна вибрати стільки ж скільки можна вибрати обідів з 94 страв тощо. Отже, будь–яким обідам з непарною кількістю страв 2n – 1 можна поставити у відповідність таку саму кількість обідів з парною кіль–кістю страв 101 – ( 2n – 1), а, значить, таких обідів є однакова кількість.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

16. Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів 626. Чи є даний вираз квадратом суми або квадратом різниці двох виразів: 1) так; 2) нi; 3) так; 4) нi; 5) так; 6) нi.

627. Якому з наведених многочленів тотожно дорівнює вираз (5а + 3)2 = 25а2 + 30а + 9. Вираз (5а + 3)2 тотожно дорівнює многочлену 2) 25а2 + 30а + 9.

628. Яка з даних рівностей є тотожністю: 1) (12а – b)2 = 144а2 – 24аb + b2 ≠ 144а2 – b2 — не тотожність; 2) (12а – b)2 = 144а2 – 24аb + b2 ≠ 144а2 + 24аb + b2 — нетотожність; 3) (12а – b)2 = 144а2 – 24аb + b2 — тотожність; 4) (12а – b)2 = 144а2 – 24аb + b2 ≠ 12а2 – 24аb + b2 — не тотожність.

629. Подайте у вигляді многочлена вираз: 1) (а + х)2 = а2 + 2ах + х2; 2) (х + 2)2 = х2 + 4х + 4; 3) (у – 1)2 = y2 – 2у + 1; 4) (5 – р)2 = 25 – 10р + р2; 5) (у – 13)2 = y2 – 26у + 169; 6) (13 – у)2 = 169 – 26у + y2.

630. Виконайте піднесення до квадрата: 1) (а + 8)2 = а2 + 16а + 64; 2) (b – 2)2 = b2 – 4b + 4; 3) (7 + с)2 = 49 + 14с + с2; 4) (4 + k)2 = 16 + 8k + k2; 5) (6 – d)2 = 36 – 12d + d2; 6) (d – 6)2 = d2 – 12d + 36.

631. Закінчіть піднесення двочлена до квадрата: 1) (3x + 5y)2 = (3x)2 + 2 ∙ 3x ∙ 5y + (5у)2 = 9х2 + 30ху + 25у2.

1 1 1 1 2) ( a + 6b)2 = ( a)2 + 2 ∙ a ∙ 6b + (6b)2 = a2 + 6ab + 36b2.

2 2 2 4 1 4 1 4 2 1 4 1 2 5 3) ( x + 0,6y) = ( x ) + 2 ∙ x ∙ 0,6y + (0,6y5)2 = x8 + 0,4x4y5 + 0,36y10.

3 3 3 9

632. Закінчіть піднесення двочлена до квадрата: 1) (ab – 9)2 = (ab)2 – 2ab ∙ 9 + 92 = a2b2 – 18ab + 81.

2) (4a2 – a3)2 = (4a2)2 – 2 ∙ 4a2a3 + (a3)2 = 16a4 – 8a5 + a6.

633. Подайте у вигляді многочлена вираз: 1) (3a – 2)2 = 9a2 –12a + 4.

2) (7b + 6)2 = 49b2 + 84b + 36.

3) (8x + 4y)2 = 64x2 + 64xy + 16y2.

4) (0,4m – 0,5n)2 = 0,16m2 – 0,4mn + 0,25n2.

1 1 5) (3a + b)2 = 9a2 + 20ab + b2.

6) (b2 – 11)2 = b4 – 22b2 + 121.

3 9 7) (a2 + 4b)2 = a4 + 8a2b + 16b2.

8) (a2 + a)2 = a4 + 2a3 + a2.

9) (3b2 – 2b5)2 = 9b4 – 12b7 + 4b10.

634. Виконайте піднесення до квадрата: 1) (2m + 1)2 = 4m2 + 4m + 1.

2) (4x – 3)2 = 16x2 – 24x + 9.

1 1 3) (10c + 7d)2 = 100c2 + 140cd + 49d2.

4) (4x – y)2 = 16x2 – xy + y2.

8 64 5) (0,3a + 0,9b)2 = 0,09a2 + 0,54ab + 0,81b2.

6) (c2 – 6)2 = c4 – 12c2 + 36.

7) (m2 – 3n)2 = m4 – 6m2n + 9n2.

8) (m4 – n3)2 = m8 – 2m4n3 + n6.

9) (5a4 – 2a7)2 = 25a8 – 20a11 + 4a14.

635. Спростіть вираз: 1) а2 + (3а – b)2 = а2 + 9а2 – 6аb + b2 = 10а2 – 6аb + b2; 2) (4х + 5)2 – 40х = 16х2 + 40х + 25 – 40х = 16х2 + 25; 3) 50а2 – (7а – 1)2 = 50а2 – (49а2 – 14а + 1) = 50а2 – 49а2 + 14а – 1 = а2 + 14а – 1; 4) с2 + 36 – (с – 6)2 = с2 + 36 – (с2 – 12с + 36) = с2 + 36 – с2 + 12с – 36 = 12с; 5) (х – 2)2 + х(х + 10) = х2 – 4х + 4 + х2 + 10х = 2x2 + 6х + 4; 6) 3m(m – 4) – (m + 2)2 = 3m2 – 12m – (m2 + 4m + 4) = 3m2 – 12m – m2 – 4m – 4 = = 2m2 – 16m – 4.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

636. Спростіть вираз: 1) (x – 12)2 + 24x = x2 – 24x + 144 + 24x = x2 + 144; 2) (x + 8)2 – x(x + 5) = x2 + 16x + 64 – x2 – 5x = 11x + 64; 3) 2x(x + 2) – (x – 2)2 = 2x2 + 4x – (x2 – 4x + 4) = 2x2 + 4x – x2 + 4x – 4 = x2 + 8x – 4; 4) р(р – 7) – (р + 7)2 = р2 – 7р – (р2 + 14р + 49) = р2 – 7р – р2 – 14р – 49 = –21р – 49.

637. Доведіть тотожність (a – b)2 = c2 – 2ab + b2; (b – a)2 = b2 – 2ba + a2 = a2 – 2ab + b2. Тотожність доведена.

638. Спростіть вираз: 1) (y – 9)2 + (4 – y)(y + 6) = y2 – 18y + 81 + 4y + 24 – y2 – 6y = –20y + 105; 2) (x –4)(x + 4) – (x – 1)2 = x2 – 16 – (x2 – 2x + 1) = x2 – 16 – x2 + 2x – 1 = 2x – 17; 3) (2a – 3b)2 + (3a + 2b)2 = 4a2 – 12ab + 9b2 + 9a2 + 12ab + 4b2 = 13a2 + 13b2; 4) (x – 5)2 – (x – 7)(x + 7) = x2 – 10x + 25 – (x2 – 49) = x2 – 10x + 25 – x2 + 49 = –10x + 74.

639. Спростіть вираз: 1) (y + 7)2 + (y + 2)(y – 7) = y2 + 14y + 49 + y2 – 7y + 2y – 14 = 2y2 + 9y + 35; 2) (a + 1)(a – 1) – (a + 4)2 = a2 – 1 – (a2 + 8a + 16) = a2 – 1 – a2 – 8a – 16 = –8a – 17; 3) (x – 10)(9 – x) + (x + 10)2 = 9x – x2 – 90 + 10x + x2 + 20x + 100 = 39x + 10.

4) (x – 4)(3 + х) – (x – 3)2 = 3х + x2 – 12 – 4х – (x2 – 6x + 9) = x2 – х – 16 – x2 – 6x – 9 = -7x – 25.

640. Розв’яжіть рівняння: 1) (x – 8)2 – x(x + 6) = –2; 2) (x + 7)2 = (x – 3)(x + 3); x2 – 16x + 64 – x2 – 6x = –2; x2 + 14x + 49 = x2 – 9; –22x = –2 – 64; x2 + 14x + x2 = –9 – 49; 14x = –58; – 22x = – 66; 29 x = 3. x=– .

7 Відповідь: 3; 29 Відповідь: – .

3) (2x + 1)2 – (2x – 1)(2x + 3) = 0; 4x2 + 4x + 1 – (4x2 + 6x – 2x – 3) = 0; 4x2 + 4x + 1 – 4x2 – 6x + 2x + 3 = 0; 4x2 + 4x – 4x2 – 6x + 2x = –1 – 3; 0x = –4. Відповідь: Коренів немає;

641. Розв’яжіть рівняння: 1) (x + 9)2 – x(x + 8) = 1; x2 + 18x + 81 – x2 – 8x = 1; x2 + 18x – x2 – 8x = 1 – 81; 10x = –80; x = –8; Відповідь: –8; 3) (x – 4)(x + 4) – (x + 6)2 = –16; x2 – 16 – (x2 + 12x + 36) = –16; x2 – 16 – x2 – 12x – 36 = –16; x2 – x2 – 12x = –16 + 16 + 36; –12x = 36; x = –3. Відповідь: –3;

7

4) x(x – 2) – (x + 5)2 = 35; x2 – 2x – (x2 + 10x + 25) = 35; x2 – 2x – x2 – 10x – 25 = 35; x2 – 2x – x2 – 10x = 35 + 25; –12x = 60; x = –5. Відповідь: –5.

2) (x – 11)2 = (x – 7)(x – 9); x2 – 22x + 121 = x2 – 9x – 7x + 63; x2 – 22x – x2 + 9x + 7x = 63 – 121; –6x = –58; 29 x= .

3

Відповідь:

29 3

;

4) (1 – 3x)2 – x(9x – 2) = 5; 1 – 6x + 9x2 – (9x2 – 2x) = 5; 1 – 6x + 9x2 – 9x2 + 2x = 5; –6x + 9x2 – 9x2 + 2x = 5 – 1; –4x = 4; x = –1. Відповідь: –1.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

642. Замініть зірочки такими одночленами, щоб утворилася тотожність: 1) (2a + b)2 = 4a2 + 4ab + b2; 2) (4x – 10y)2 = 16x2 – 80xy + 100y2; 4) (7a2 + 3b3)2 = 49a4 + 42a2b3 + 9b6.

3) (2b2 – 5c)2 = 4b4 – 20b2c + 25c2; 643. Замініть зірочки такими одночленами, щоб утворилася тотожність: 1) (2a + 6b)2 = 4a2 + 24ab + 36b2; 2) (3m2 – 7n8)2 = 9m4 – 42m2n8 + 49n16.

644. Перетворіть у многочлен вираз: 1) (–x + 1)2 = (x – 1)2 = x2 – 2x + 1; 2) (–m – 9)2 = (m + 9)2 = m2 + 18m + 81; 3) (–5a + 3b)2 = (5a – 3b)2 = 25a2 – 30ab + 9b2; 4) (–4x – 8y)2 = (4x + 8y)2 = 16x2 + 64xy + 64y2; 5) (–0,7c – 10d)2 = (0,7c + 10d)2 = 0,49c2 + 14cd+ 100d2; 1 1 1 6) (–4a2 + ab)2 = (4a2 – ab)2 = 16a4 – a3b + a2b2.

8 8 64 645. Виконайте піднесення до квадрата: 1) (–3m + 7n)2 = (3m – 7n)2 = 9m2 – 42mn + 49n2; 2) (–0,4x– 1,5y)2 = (0,4x + 1,5y)2 = 0,16х2 + 1,2xy + 2,25y2; 3) (–x2 – y)2 = (x2 + y)2 = x4 + 2x2y + y2; 4) (–a2b2 + c10)2 = (а2b2 – c10)2 = a4b4 – 2a2b2c10 + c20.

646. Виконайте піднесення до квадрата: 1) (10a2 – 7ab2)2 = 100a4 – 140a3b2 + 49a2b4; 2) (0,8b3 + 0,2b2c4)2 = 0,64b6 + 0,32b5c4 + 0,04b4c8; 1 1 4 9 16 81 7 1 3) (1 a2b + 2 ab2)2 = ( a2b + ab2)2 = a4b2 + 6a3b3 + a2b4 = 1 a4b2 + 6a3b3 + 5 a2b4;

3 4 3 4 9 16 9 16 1 3 2 9 8 2 7 3 2 9 8 2 49 6 4 81 16 2 54 6 4 81 4 10 4 10 4) (2 x y – y x) = ( x y – y x) = x y – 3x y + y x = x y – 3x y + y16x2.

3 14 3 14 9 196 9 196

647. Перетворіть у многочлен вираз: 1) 6(1 – 2c)2 = 6(1 – 4c + 4c2) = 6 – 24c + 24c2; 1 2 1 4 2) –12(x + y)2 = –12(x2 + xy + y2) = –12x2 – 8xy – y2; 3 3 9 3 3) a(a – 6b)2 = a(a2 – 12ab + 36b2) = a3 – 12a2b + 36ab2; 4) 5b(b2 + 7b)2 = 5b(b4 + 14b3 + 49b2) = 5b5 + 70b4 + 245b3; 5) (a + 3)(a – 4)2 = (a + 3)(a2 – 8a + 16) = a3 – 8a2 + 16a + 3a2 – 24a + 48 = a3 – 5a2 – 8a + 48; 6) (2x + 4)2(x – 8) = (4x2 + 16x + 16)(x – 8) = 4x3 – 32x2 + 16x2 – 128x + 16x – 128 = = 4x3 – 16x2 – 112x – 128; 7) (a – 5)2(a + 5)2 = ((a – 5)(a + 5))2 = (a2 – 25)2 = a4 – 50a2 + 625; 8) (3x + 4y)2(3x – 4у)2 = ((3х + 4y)(3x – 4y))2 = (9x2 – 16y2)2 = 81x4 – 288x2y2 + 256y4.

648. Подайте у вигляді многочлена вираз: 1) (0,02р3k + 20p2k4)2 = 0,0004p6k2 + 0,8p5k5 + 400р4k8; 1 4 7 4 49 4 16 13 4 16 2) (1 mn – m2n5)2 = ( mn – m2n5)2 = m2n2 – m3n6 + m4n10 = 1 m2n2 – m3n6 + m4n10; 6

1

21 1

6 1 2

21 2

36 9 441 36 9 1 2 5 2 3 2 2 2 3 2 – ab + b ) = – a + 2ab – b = –1 a + 2ab – b ; 15 5 3 5 3 5

441

3) –15( a – b) = –15( a 3 5 9 4) 7x(х3 – 2х)2 = 7x(x6 – 4х4 + 4х2) = 7х7 – 28х5 + 28x3; 5) (5у – 2)2(2y + 1) = (25y2 – 20у + 4)(2у + 1) = 50y3 + 25y2 – 40y2 – 20у + 8y + 4 = = 50y3 – 15y2 – 12у + 4; 6) (10p – k)2(10p + k)2 = ((10р – k)(10р + k))2 = (100p2 – k2)2 = 10000p2 – 200p2k2 + k4.

649. Спростіть вираз і знайдіть його значення: 1) (a + 3)2 – (a – 9)(a + 9) = a2 + 6a + 9 – (a2 – 81) = a2 + 6a + 9 – a2 + 81 = 6a + 90. Якщо а = –2,5, то 6a + 90 = 6 ∙ (–2,5) + 90 = –15 + 90 = 75; 2) (5х – 8)2 – (4х– З)2 + 26х = 25х2 – 80х + 64 – (16х2 – 24х + 9) + 26х = = 25x2 – 80х + 64 – 16х2 + 24х – 9 + 26х = 9х2 – 30х + 55.

2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 1

1

1

1

Якщо х = – , то 9х2 – 30х + 55 = 9 ∙ (– )2 – 30 ∙ (– ) + 55 = 9 ∙ + 10 + 55 = 66; 3 3 3 9 2 2 2 2 2 2 3) (3y + 4) + (3y – 4) – 2(1 – 3y )(1 + 3y ) = = 9y4 + 24y2 + 16 + 9y4 – 24y2 + 16 – 2(1 – 9y4) = 18y4 + 32 – 2 + 18y4 = 36y4 + 30.

1 1 1 1 1 Якщо у= , то 36y4 + 30 = 36 ∙ ( )4 + 30 = 36 ∙ + 30 = 2 + 30 = 32 .

2 2 16 4 4 650. Спростіть вираз і знайдіть його значення: 1) 2m(m – 6)2 – m2(2m – 15) = 2m(m2 – 12m + 36) – 2m3 + 15m2 = = 2m3 – 24m2 + 72m – 2n3 + 15m2 = –9m2 + 72m = –9m(m – 8). Якщо m = –4, то –9m(m – 8) = –9 ∙ (–4) ∙ (– 4 – 8) = 36 ∙ (–12) = –432; 2) (2х – 5)2 – 4(х + 1)(х – 7) = 4x2 – 20х + 25 – 4(х2 – 7х + х – 7) = = 4x2 – 20х + 25 – 4x2 + 28х – 4х + 28 = 4х + 53. Якщо х = –3,5, то 4х + 53 = 4 ∙ (–3,5) + 53 = –14 + 53 = 39.

651. При якому значенні змінної значення квадрата двочлена x + 12 на 225 більше за відповідне значення квадрата двочлена x – 13? Значення квадрата двочлена х + 12 на 225 більше за відповідне значення квадрата двочлена х – 13 коли: (х + 12)2 – (х – 13)2 = 225; (х + 12 – х + 13)(х + 12 + х – 13) = 225; 25(2х – 1) = 225; 2х – 1 = 9; х = 5.

652. Розв’яжіть рівняння: 1) (х – 12)(х + 12) = 2(х – 6)2 – х2; 2) (3х – 1)2 + (4х + 2)2 = (5х – 1)(5х + 1); х2 – 144 = 2(х2– 12х + 36) – х2; 9х2 – 6х + 1 + 16х2 + 16х + 4 = 25х2 – 1; х2 – 144 = 2х2 – 24х + 72 – х2; 9х2 – 6х + 16х2 + 16х – 25х2 = –1 –1 – 4; х2 – 2x2 + 24х + х2 = 72 + 144; 10х = –6; х = –0,6.

24х = 216; Відповідь: –0,6; х = 9. Відповідь: 9; 3) 5(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 9(x + 3)(x – 3) = 22; 5(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + 1 – 9(x2 – 9) = 22; 5x2 + 20x + 20 + 4x2 – 4x + 1 – 9x2 + 81 = 22; 5x2 + 20x + 4x2 – 4x – 9x2 = 22 – 20 – 1 – 81; 16x = –80; x = –5. Відповідь: –5.

653. Розв’яжіть рівняння: 1) (3x + 2)2 + (4x – 1)(4x + 1) = (5x – 1)2; 9x2 + 12x + 4 + 16х2 – 1 = 25x2 – 10x + 1; 9x2 + 12x + 16х2 – 25x2 + 10x = 1 – 4 + 1; 22x = –2; 1 x=– .

11

1

Відповідь: – ; 11 2) 2(m + 1)2 + 3(m – 1)2 – 5(m + 1)(m – 1) = –4; 2(m2 + 2m + 1) + 3(m2 – 2m + 1) – 5(m2 – 1) = –4; 2m2 + 4m + 2 + 3m2 – 6m + 3 – 5m2 + 5 = –4; 2m2 + 4m + 3m2 – 6m – 5m2 = – 4 – 2 – 3 – 5;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

– 2m = –14; m = 7. Відповідь: 7.

654. Знайдіть сторону квадрата, якщо при збільшенні її на 5 см отримаємо квадрат, площа якого на 95 см2 більша за площу даного. Нехай сторона квадрата дорівнює х см, тоді його площа — х2 см2. Збільшена сторона квадрата дорівнює (х + 5) см, а його площа — (х + 5)2 см2. Рівняння: (х + 5)2 – х2 = 95; (х + 5 – х)(х + 5 + х) = 95; 5(2х + 5) = 95; 2х + 5 = 19; 2х = 14; х = 7. Відповідь: 7 см.

655. Якщо сторону квадрата зменшити на 8 см, то отримаємо квадрат, площа якого на 352 см2 менша від площі даного. Знайдіть сторону даного квадрата. Нехай сторона квадрата дорівнює х см, тоді його площа — х2 см2. Зменшена сторона квадрата дорівнює (х – 8) см, а його площа — (х – 8)2 см2. Рівняння: х2 – (х – 8)2 = 352; (х – х + 8)(х + х – 8) = 352; 8(2х – 8) = 352; 2х – 8 = 44; 2х = 52; х = 26. Відповідь: 26 см.

656. Знайдіть три послідовних натуральних числа, якщо подвоєний квадрат більшого з них на 79 більший за суму квадратів двох інших чисел. Нехай середнє число дорівнює n, тоді найменше число дорівнює n – 1, а найбільше — n + 1. Рівняння: 2(n + 1)2 – ((n – 1)2 + n2) = 79; 2(n2 + 2n + 1) – (n2 – 2n + 1 + n2) = 79; 2n2 + 4n + 2 – n2 + 2n – 1 – n2 = 79; 6n = 79 – 2 + 1; 6n = 78; n = 13. Найменше число дорівнює: n – 1 = 13 – 1 = 12, а найбільше: n + 1 = 13 + 1 = 14. Відповідь: 12; 13; 14.

657. Знайдіть чотири послідовних натуральних числа, якщо сума квадратів другого й четвертого з них на 82 більша за суму квадратів першого й третього. Нехай перше число дорівнює n, тоді друге число дорівнює n + 1, третє — n + 2, а четверте — n + 3. Рівняння: ((n + 1)2 + (n + 3)2) – (n2 + (n + 2)2) = 82; (n + 1)2 + (n + 3)2 – n2 – (n + 2)2 = 82; n2 + 2n + 1 + n2 + 6n + 9 – n2 – n2 – 4n – 4 = 82;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

4n = 82 – 1 – 9 + 4; 4n = 76; n = 19. Друге число дорівнює: n + 1 = 19 + 1 = 20, третє дорівнює: n + 2 = 19 + 2 = 21, а четверте — n + 3 = 19 + 3 = 22. Відповідь: 19; 20; 21; 22.

658. При яких значеннях a і b є правильною рівність: 1) (а + b)2 = а2 + b2; 2) (а – b)2 = (а + b)2; a2 + 2ab + b2 = а2 + b2; а2 – 2аb + b2 = а2 + 2ab + b2; а2 + 2ab + b2 – а2 – b2 = 0; а2 – 2ab + b2 –а2 – 2ab – b2 = 0; 2ab = 0.

–4аb = 0.

2 2 2 Рівність (а + b) = а + b буде правильною Рівність (а – b)2 = (a + b)2 буде правильною лише тоді, коли а = 0 або b = 0; лише тоді, коли а = 0 або b = 0.

659. Доведіть тотожність: 1) (a + b)2 + (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 = 2(a2 + b2) — тотожність доведена; 2) (a + b)2 – (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 – (a2 – 2ab + b2) = a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 4ab — тотожність доведена; 3) (a + b)2 – 2ab = a2 + 2ab + b2 – 2ab = a2 + b2 — тотожність доведена; 4) (a2 + b2)(c2 + d2) = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = (a2c2 + b2d2) + (a2d2 + b2c2) = = (a2c2 + 2abcd + b2d2) + (a2d2 – 2abcd + b2c2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2 — тотожність доведена.

660. Доведіть тотожність: 1) (a – b)2 + 2ab = a2 – 2ab + b2 + 2ab = a2 + b2 = — тотожність доведена; 2) (a – b)2 + (ab + 1)2 = a2 – 2ab + b2 + a2b2 + 2ab + 1 = a2 + b2 + a2b2 + 1 = = (a2 + a2b2) + (b2 + 1) = a2(1 + b2) + (b2 + 1) = (a2 + 1) ∙ (b2 + 1) — тотожність доведена.

661. Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінної: (x – 3)2 + (x + 3)2 – 2(x – 6)(x + 6) = x2 – 6x + 9 + x2 + 6x + 9 – 2(x2 – 36) = = x2 – 6x + 9 + x2 + 6x + 9 – 2x2 + 72 = 90 — не залежить від значення змінної х.

662. Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінної x: (6х – 8)2 + (8х + 6)2 – (10х – 1)(10х + 1) = 36х2 – 96х + 64+ + 64x2 + 96х + 36 – (100х2 – 1) = = 36х2 – 96х + 64 + 64х2 + 96х + 36 – 100х2 + 1 = 101 — не залежить від значення змінної х.

663. Яким числом, парним чи непарним, є квадрат непарного натурального числа?

(2m + 1)2 = 4m2 + 4m + 1 = 4(m2 + m) + 1 — непарне число.

664. Доведіть формулу куба суми двох виразів: (a + b)3 = (а + b)2(a + b) = (а2 + 2ab + b2)(a + b) = а3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 = = а3 + За2b + 3аb2 + b3. Тотожність (а + b)3 = а3 + 3а2b + Заb2 + b3 доведена. Користуючись цією формулою, перетворіть у многочлен вираз: 1) (х + 3)3 = х3 + Зх2 ∙ 3 + 3х ∙ З2 + З3 = х3 + 9х2 + 27x + 27; 2) (2х + y)3 = (2x)3 + 3 ∙ (2х)2 ∙ у + 3 ∙ 2х ∙ у2 + y3 = 8х3 + 12х2у + 6ху2 + у3.

665. Доведіть формулу куба різниці двох виразів: (а – b)3 = (а – b)3(a – b) = (а2 – 2ab + b2)(а – b) = а3 – а2b –2a2b + 2ab2 + ab2 – b3 = a3 – 3а2b + 3ab2 – b3. Тотожність (а – b)3 = a3 – 3а2b + Заb2 – b3 доведена. Користуючись цією формулою, перетворіть у многочлен вираз: 1) (1 – х)3 = 1 – 3х + Зх2 – х3; 2) (х – 5y)3 = х3 – 3х2 ∙ 5у + 3х ∙ (5y)2 + (5у)3 = х3 – 15х2у + 75ху2 + 125у3.

666. Доведіть формулу квадрата тричлена: (а + b + c)2 = (а + b + с)(а + b + с) = а2 + ab + ас + ab+ b2 + bс + ас + bс + с2 = = а2 + b2 + с2 + 2ab + 2bc + 2ac.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Тотожність (а + b + c)2 = a2 + b2 + с2 + 2ab + 2bc + 2ac доведена. Користуючись цією формулою, перетворіть у многочлен вираз: 1) (а + b – c)2 = (а + b + (–c))2 = а2 + b2 + (–c)2 + 2ab + 2b(–c) + 2а(–с) = = a2 + b2 + с2 + 2ab – 2bc – 2ac; 2) (а – b + 4)2 = (а + (–b) + 4)2 = a2 + (–b)2 + 42 + 2а ∙ (–b) + 2 ∙ (–b) ∙ 4 + 2а ∙ 4 = = а2 + b2 + 16 – 2ab – 8b + 8a.

667. Давньогрецький учений Евклід (ІІІ ст. до н. е.) доводив формули квадрата суми та квадрата різниці двох виразів геометрично. Користуючись рисунками 5 і 6, відтворіть його доведення. shkola.in.ua

shkola.in.ua

Ha рисунку 8 сторона «великого» квадрата дорівнює а + b, а його площа — (а + b)2. Сторони «маленьких» квадратів відповідно дорівнюють а і b, а їх площі дорівнюють а2 і b2. Сторони двох рівних прямокутників дорівнюють а і b, а площа кожного з них дорівнює ab. Площа «великого» квадрата дорівнює сумі площ двох «маленьких» квадратів і двох рівних прямокутників. Маємо: (а + b)2 = а2 + b2 + 2аb, що і треба було довести. На рисунку 9 сторона «середнього» квадрата дорівнює а – b, а його площа дорівнює (а – b)2. Сторона «маленького» квадрата дорівнює b, а його площа дорівнює b2. Сторона «великого» квадрата дорівнює а, а його площа дорівнює а2. Сторони двох рівних прямокутників, у які входить «маленький» квадрат, дорівнюють а і b, а площа кожного з них дорівнює ab. Площа «середнього» квадрата (а – b)2 дорівнює сумі площ «великого» а2 і «маленького» b2 квадратів без площ двох рівних прямокутників 2ab. Маємо: (а – b)2 = а2 + b2 – 2ab, що і треба було довести.

668. Чому дорівнює остача при діленні квадрата непарного натурального числа на 8?

(2m + 1)2 = 4m2 + 4m + 1 = 4m(m + 1) + 1. Із двох послідовних натуральних чисел m і m + 1 одне буде парним, тому число 4m(m + 1) ділиться націло на 8. Отже, остача від ділення квадрата непарного натурального числа 4m(m + 1) + 1 на 8 дорівнює 1.

669. Доведіть, що коли остача при діленні натурального числа на 16 дорівнює 4, то квадрат цього числа ділиться націло на 16.

(16n + 4)2 = (4(4n + 1))2 = 16(4n + 1)2 — ділиться націло на 16.

670. Доведіть, що коли остача при діленні натурального числа на 25 дорівнює 5, то квадрат цього числа кратний 25.

(25n + 5)2 = (5(5n + 1))2 = 25(5n + 1)2 — ділиться націло на 25.

671. Остача при діленні деякого натурального числа на 9 дорівнює 5. Чому дорівнює остача при діленні на 9 квадрата цього числа?

(9n + 5)2 = 81n2 + 90n + 25 = 81n2 + 90n + 18 + 7 = 9(9n2 + 10n + 2) + 7 — остача при діленні на 9 квадрата цього числа дорівнює 7.

672. Остача при діленні деякого натурального числа на 11 дорівнює 6. Чому дорівнює остача при діленні на 11 квадрата цього числа?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

(11n + 6)2 = 121n2 + 132n + 36 = 121n2 + 132n + 33 + 3 = 11(11n2 + 12n + 3) + 3 — остача при діленні на 11 квадрата цього числа дорівнює 3.

673. Використовуючи формули скороченого множення, подайте у вигляді многочлена вираз: 1) (а + b + с)(а + b – с) = ((а + b) + с))((а + b) – с)) = (а + b)2 – с2 = а2 + 2аb + b2 – с2; 2) (а + b + с)(а – b – с) = (а+ (b + с))(а – (b + с)) = а2 – (b + с)2 = а2 – b2 – 2bс – с2; 3) (а + b + c + d)(a + b – c – d) = ((a + b) + (с + d))((a + b) – (c + d)) = (а + b)2 – (с + d)2 = = а2 + 2ab + b2 – с2 – 2cd – d2.

674. Використовуючи формули скороченого множення, подайте у вигляді многочлена вираз: 1) (a – b – с)(а + b – с) = ((а – с) – b)((a – с) + b) = (а – с)2 – b2 = а2 – 2ас + с2 – b2; 2) (а – b + с + d)(a – b – c – d) = ((a – b) + (c + d))((a – b) – (c + d)) = (a – b)2 – (c + d)2 = = a2 – 2ab + b2 – c2 – 2cd – d2.

675. При якому значенні a рівняння не має коренів?

(6x – a)2 + (8x – 3)2 = (10х – 3)2; 36х2 – 12xa + a2 + 64x2 – 48x + 9 = 100x2 – 60x + 9; 36x2 – 12xa + 64x2 – 48x – 100x2 + 60x = 9 – a2 – 9; –12xa + 12x = –a2; –12x(a – 1) = –a2. Рівняння –12x(a – 1) = –a2 не має коренів при а = 1.

676. При якому значенні a рівняння не має коренів?

(2а – 3х)2 + (х – 1)2 = 10(х – 2)(х + 2); 4а2 – 12ах + 9х2 + х2 – 2х + 1 = 10x2 – 40; –12ax + 9х2 + х2 – 2х – 10x2 = –40 – 4а2 – 1; –12aх – 2х = –41 – 4а2; –2х(6а + 1) = –41 – 4a2; 2х(6а + 1) = 41 + 4а2.

1 Рівняння 2х(6а + 1) = 41 + 4а2 не має коренів при а = – .

6 677. З’ясуйте, яку остачу може давати квадрат натурального числа при діленні на 4. Нехай натуральне число парне. Тоді: (2m)2 = 4m2 і воно ділиться націло на 4. Якщо натуральне число непарне, то: (2m +1)2 = 4m2 + 4m + 1 = 4(m2 + m) + 1 і остача від ділення квадрата непарного натурального числа 4m(m + 1) + 1 на 4 дорівнює 1. Отже, квадрат натурального числа при діленні на 4 може давати остачу 0 або 1.

678. Доведіть тотожність. Наведена тотожність є правилом великого давньогрецького вченого Піфагора (VI ст. до н. е.) для обчислення цілочислових значень довжин сторін прямокутного трикутника. При одному й тому самому натуральному значенні n значення виразів 2n + 1; 2n2 + 2n; 2n2 + 2n + 1 є довжинами сторін прямокутного трикутника. Розглянемо різницю: (2n + 1)2 + (2n2 + 2n)2 – (2n2 + 2n + 1)2 = = 4n2 + 4n + 1 + 4n4 + 8n3 + 4n2 – 4n4 – 4n2 – 1 – 8n3 – 4n2 – 4n = 0. Тотожність (2n + 1)2 + (2n2 + 2n)2 = (2n2 + 2n + 1)2 доведена.

679. (Тотожність Ж. Л. Лагранжа) Доведіть тотожність (a2 + b2 + с2)(m2 + n2 + k2) – (аm + bn + сk)2 = а2m2 + а2n2 + a2k2 + b2m2 + bn2 + b2k2 + с2m2 + с2n2 + с2k2 – а2m2 – b2n2 – с2k2 – 2аbmn – 2acmk – 2bcnk = (а2n2 – 2аbmn + b2m2) + (a2k2 – 2асmk + с2m2) + (b2k2 – 2bсnk + с2n2) + а2m2 + b2n2 + с2k2 – а2m2 – b2n2 – с2k2 = (аn – bm)2 + (ak – сm)2 + (bk – сn)2. Тотожність (а2 + b2 + с2)(m2 + n2 + k2) – (аm + bn + сk)2 = (an – bm)2 + (аk – сm)2 + (bk – сn)2 доведена.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

680. Доведіть, що сума квадратів п’яти послідовних натуральних чисел не може дорівнювати квадрату натурального числа. Нехай «середнє» число дорівнює n, тоді всі зазначені чисел дорівнюють n – 2; n – 1; n; n + 1; n + 2. Тоді сума квадратів п’яти послідовних натуральних чисел дорівнює: (n – 2)2 + (n – 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = n2 – 4n + 4 + n2 – 2n + 1 + n2 + n2 + 2n + 1 + n2 + 4n + 4 = = 5n2 + 10 = 5(n2 + 2). Запис числа n2 не може закінчуватися цифрами 3 або 8, тому запис числа n2 + 2 не може закінчуватися цифрами 5 або 0. Отже, число n2 + 2 не ділиться на 5, а число 5(n2 + 2) ділиться на 5, тому число 5(n2 + 2) не може дорівнювати квадрату натурального числа.

681. Цукровий буряк є найсолодшою коренеплідною рослиною, яку вирощують в Україні. У ньому накопичується до 25 % цукру, тоді як у цукровій тростині — лише 18 %. Скільки тонн цукрової тростини треба переробити, щоб отримати стільки ж цукру, скільки одержують із 3600 т цукрових буряків?

1) 3600 ∙ 0,25 = 900 (т) — стільки цукру можна отримати з 3600 т буряка; 2) 900 : 0,18 = 5000 (т) — стільки потрібно переробити цукрової тростини. Відповідь: 5000 т.

682. У 2017 р. в місті Києві працювало 28 історичних, літературних і мистецьких музеїв. Мистецьких музеїв було в 3,4 раза менше, ніж історичних, і на один музей менше, ніж літературних. Скільки працювало музеїв кожного із цих трьох видів?

3,4х + х + 1 + х = 28; 5,4х = 27; х = 5. Відповідь: мистецьких – 5, літературних – 6, історичних – 17.

683. До магазину завезли 740 кг апельсинів і бананів у 80 ящиках. У кожному ящику було 10 кг апельсинів або 8 кг бананів. Скільки кілограмів апельсинів завезли до магазину? Нехай до магазину завезли х кг апельсинів, тоді бананів завезли (740 – х) кг. Апельсини х 740−х завезли у ящиках, а банани — у ящиках.

10 8 Рівняння: х 740−х + = 80|∙ 40; 10 5 4х + 5(740 – х) = 3200; 4х + 3700 – 5х = 3200; –х = 3200 –3700; x = 500. Відповідь: 500 кг.

684. Заробітна плата робітника пропорційна кількості відпрацьованих ним годин. У перший місяць він працював 170 год і отримав 11 900 грн. Скільки годин він працював у другому місяці, якщо отримав за роботу 13 300 грн?

1) 11900 : 170 = 70 (грн) – за 1 год; 2) 13300 : 70 = 190 (год) Відповідь: він працював 190 год.

685. Якого найменшого значення та при якому значенні змінної набуває вираз: 1) Вираз х2 набуває найменшого значення 0, якщо х = 0; 2) вираз х2 – 16 набуває найменшого значення –16, якщо х = 0; 3) вираз (х + 4)2 + 20 набуває найменшого значення 20, якщо х = –4.

686. Якого найбільшого значення та при якому значенні змінної набуває вираз: 1) Вираз –х2 набуває найбільшого значення 0, якщо х = 0; 2) вираз –х2 + 4 набуває найбільшого значення 4, якщо х = 0;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) вираз 12 – ( х – 1)2 + 20 набуває найбільшого значення 12, якщо х = 1.

687. При якому значенні змінної виконується рівність: 1) Рівність (х – 1)2 + (х + 1)2 = –10 не виконується ні при якому значенні змінної, бо сума двох невід’ємних чисел не може дорівнювати від’ємному числу; 2) рівність (х – 1)2 + (х + 1)2 = 0 не виконується ні при якому значенні змінної, бо сума двох різних невід’ємних чисел не може дорівнювати нулю; 3) (х2 – 1)2 + (х + 1)2 = 0; ((х – 1)(х + 1))2 + (х + 1)2 = 0; (х + 1) ∙ ((х – 1)2 + 1)2 = 0. Рівність (х + 1)((х – 1)2 + 1)2 = 0 виконується, якщо х = –1.

688. При яких значеннях змінних x і y виконується рівність: 1) Рівність (х + 2)2 + (у – 6)2 = –1 не виконується ні при яких значеннях змінних, бо сума двох невід’ємних чисел не може дорівнювати від’ємному числу; 2) рівність (х + 2)2 + (у – 6)2 = 0 виконується, якщо х = –2 і у = 6.

689. Відомо, що натуральні числа m і n такі, що значення виразу 10m + n ділиться націло на 11. Доведіть, що значення виразу (10m + n) (10n + m) ділиться націло на 121. У виразі (10m + n)(10n + m) перший множник ділиться націло на 11, тому, щоб значення виразу ділилося націло на 121 досить, щоб другий множник ділився націло на 11. Маємо: 10n + m = 10n + 100m – 99m = 100m + 10n – 99m = 10(10m + n) – 99m — ділиться націло на 11. Отже, значення виразу (10m + n)(10n + m) ділиться націло на 121.

17. Перетворення многочлена у квадрат суми або різниці двох виразів 690. Якому з наведених виразів тотожно дорівнює многочлен а2 – 18а + 81 = а2 – 2 ∙ а ∙ 9 + 92 = (а – 9)2. Многочлен а2 – 18а + 81 тотожно дорівнює виразу 4) (а – 9)2.

691. Яка з даних рівностей є тотожністю: а2 + 8аb + 16b2 = а2 + 2 ∙ а ∙ 4b + (4b)2 = (а + 4b)2. Тотожністю є рівність 2) а2 + 8аb + 16b2 = (а + 4b)2.

692. Подайте тричлен у вигляді квадрата двочлена: 1) c2 + 2cd + d2 = (c + d)2.

2) p2 – 2pq + q2 = (p – q)2.

3) x2 – 2x ∙ 7 + 72 = (x – 7)2.

693. Розкладіть на множники многочлен: 1) m2 + 2mn + n2 = (m + n)2. 2) b2 – 2bc + c2 = (b – c)2.

3) 112 – 2 ∙ 11 ∙ p + p2 = (11 – p)2.

694. Подайте многочлен у вигляді квадрата суми або квадрата різниці двох виразів: 1) а2 + 2а + 1 = а2 + 2 ∙ а ∙ 1 = (а + 1)2; 2) х2 – 12х + 36 = х2 – 2 ∙ х ∙ 6 + 62 = (х – 6)2; 3) у2 – 18у + 81 = y2 – 2 ∙ у ∙ 9 + 92 = (y – 9)2; 4) 100 – 20с + с2 = 102 – 2 ∙ 10 ∙ с + с2 = (10 – с)2; 5) а2 – 6аb + 9b2 = а2 – 2 ∙ а ∙ 3b + (3b)2 = (а – 3b)2; 6) 9а2 – 30аb + 25b2 = (3а)2 – 2 ∙ 3а ∙ 5b + (5b)2 = (3а – 5b)2; 7) b4 – 2b2с + с2 = (b2)2 – 2 ∙ b2 ∙ с + с2 = (b2 – с)2; 1 1 1 1 8) m8 + m4n2 + n4 = (m4)2 + 2 ∙ m4 ∙ n2 + ( n2)2 = (m4 + n2)2; 4 2 2 2 2 2 2 9) 36а b – 12аb + 1 = (6аb) – 2 ∙ 6аb ∙ 1 + 12 = (6аb – 1)2; 10) х4 + 2х2 + 1 = (х2)2 + 2 ∙ х2 ∙ 1 + 12 = (х2 + 1)2.

695. Подайте тричлен у вигляді квадрата двочлена: 1) b2 – 2b + 1 = b2 – 2 ∙ b ∙ 1 + 12 = (b – 1)2; 2) 4 + 4n + n2 = 22 – 2 ∙ 2 ∙ n + n2 = (2 + n)2; 3) х2 – 14х + 49 = х2 – 2 ∙ х ∙ 7 + 72 = (х – 7)2; 4) 4а2 + 4аb + b2 = (2а)2 + 2 ∙ 2а ∙ b + b2 = (2а + b)2; 5) 9x2 – 24ху + 16y2 = (3х)2 – 2 ∙ 3х ∙ 4у + (4у)2 = (3х – 4у)2; 6) а6 – 2а3 + 1 = (а3)2 – 2 ∙ а3 ∙ 1 + 12 = (а3 – 1)2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

696. Знайдіть значення виразу, подавши його попередньо у вигляді квадрата двочлена: 1) y2 – 8у + 16 = (у – 4)2. Якщо у = –4, то (у – 4)2 = (–4 – 4)2 = (–8)2 = 64; 2) с2 + 24с + 144 = (с + 12)2. Якщо с = –10, то (с + 12)2 = (–10 + 12)2 = 22 = 4; 3) 25x2 – 20ху + 4y2 = (5х – 2у)2. Якщо х = 3, у = 5,5, то (5х – 2у)2 = (5 ∙ 3 – 2 ∙ 5,5)2 = = (15 – 11)2 = 42 = 16; 1 5 1 5 4) 49а2 + 84аb + 36b2 = (7а + 6b)2. Якщо а = 1 , b = 2 , то (7а + 6b)2 = (7 ∙ 1 + 6 ∙ 2 )2 = 8

17 2

7

6

7

6

= (7 ∙ + 6 ∙ ) = (8 + 17) = 252 = 625.

7 6 697. Знайдіть значення виразу: 1) b2 – 30b + 225 = (b – 15)2. Якщо b = 6, то (b – 15)2 = (6 – 15)2 = (–9)2 = 81; 2) 100а2 + 60аb + 9b2 = (10а + 3b)2. Якщо а = 0,8, b = –3, то (10а + 3b)2 = = (10 ∙ 0,8 + 3 ∙ (–3))2 = (8 – 9)2 = (–1)2 = 1.

698. Який одночлен треба поставити замість зірочки, щоб можна було подати у вигляді квадрата двочлена вираз: 1) * – 56а + 49 = * – 2 ∙ 4а ∙ 7 + 72 = (4а)2 – 2 ∙ 4а ∙ 7 + 72 = (4а – 7)2; 2) 9с2 – 12с + * = (3с)2 – 2 · 3с · 2 + * = (3с)2 – 2 · 3с · 2 + 22 = (3с – 2)2; 3) * – 42ху + 49у2 = * – 2 · 3х · 7у + (7у)2 = (3х)2 – 2 · 3х · 7у + (7у)2 = (3х – 7у)2; 4) 0,01b2 + * + 100с2 = (0,1b)2 + * + (10с)2 = (0,1b)2 + 2 · 0,1b · 10с + (10с)2 = (0,1b + 10с)2; 5) а2b2 – 4a3b5 + * = (аb)2 – 2 · аb · 2a2b4 + * = (аb)2 –2· аb · 2а2b4+ + (2а2b4)2 = (аb – 2а2b4)2; 6) 1,44х2у4 – *у + 0,25у6 = (1,2ху2)2 – *у + (0,5у3)2. Отже, *y = 2 ∙ 1,2xy2 · 0,5y3; *y = 2 · 1,2xy2 · 0,5y3 : y; * = 1,2xy4; 7) 64 – 80у20 + *у40 = 82 · 2 · 8 · 5у20 + *y40. Отже, *у40 = (5y20)2; *y40 = 2540; * = 25; 9 3 3 5 5 25 8) a6b2 – a5b5 + * = ( a3b)2 – 2 · a2b · a2b4 + *. Отже, * = ( a2b4)2 = a4b8.

25 5 5 6 6 36 699. Замініть зірочки такими одночленами, щоб виконувалася тотожність: 1) n2 + 60n + 900 = (n + 30)2; 2) 25с2 – 80сk + 64k2 = (5с – 8k)2; 3) 225a2 – * + 64b4 = (15а)2 – * + (8b2)2; 225а2 – 240аb2 + 64b4 = (15a – 8b2)2; 4) 0,04x2 + 0,12xу3 + 0,09у6 = (0,2x + 0,3у3)2.

700. Подайте, якщо це можливо, у вигляді квадрата двочлена або у вигляді виразу, протилежного квадрату двочлена, тричлен: 1) –8х + 16 + х2 = х2 – 8х + 16 = (х – 4)2; 2) а8 + 4а4b3 + 4b6 = (a4 + 2b3)2; 3) 2х – 25 – 0,04х2 = –0,04х2 + 2х – 25 = –(0,04x2 – 2x + 25) = –(0,2x – 5)2; 4) 25m2 – 15mn + 9n2 = (5m)2 – 5m · 3n + (3n)2 — подати у вказаному вигляді неможливо; 5) 81с2 – 54b2с + 9b2 = (9с)2 – 2 · 9с · 3b · b + (3b)2— подати у вказаному вигляді неможливо; 6) b10 – а2b5 + 0,25а4 = (b5)2 – 2 · b5 · 0,5а2 + (0,5а2)2 = (b5 – 0,5а2)2; 1 1 1 1 7) x2 – xy + 4y2 = ( x)2 – 2 · x · 2y + (2y)2 = ( x – 2y); 16 9

2

4

4 4 3 3 2 3 3 3 = (( n ) + 2 · n · 4mn2 + (4mn2)2) = ( n3 + 4mn2)2.

8 8 8

8) – n – 3mn – 16m n 64 701. Подайте, якщо це можливо, у вигляді квадрата двочлена або у вигляді виразу, протилежного квадрату двочлена, тричлен: 1) – а4 – 0,8а6 – 0,16а8 = –(а4 + 0,8а6 + 0,16а8) = –(а2 + 0,4а4)2; 2) 121m2 – 44mn + 16n2 = (11m)2 – 11m · 4n + (4n)2 — подати у вказаному вигляді неможливо; 3) –а6 + 4а3b – 4b2 = –(а6 – 4а3b + 4b2) = –(а3 – 2b)2; 25 5 5 5 4) a8 – 10a4b6 + 49b12 = ( a4)2 – 2 ∙ a4 ∙ 7b6 + (7b6)2 = ( a4 – 7b6)2; 49

6

5

2 4

7

7

7

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

5) 80ху + 16х2 + 25у2 = 16х2 + 80ху + 25у2 = (4х)2 + 2 ∙ 4x ∙ 5у ∙ 2 + (5у)2 — подати у вказаному вигляді неможливо; 1 1 1 1 6) b10 – b5c + c2 = (b5)2 – b5 ∙ c + ( c)2 – подати у вказаному вигляді неможливо.

3 9 3 3 702. Подайте у вигляді квадрата двочлена вираз: 1) (4а + 3b)2 – 8b(4а + b) = 16а2 + 24аb + 9b2 – 32аb – 8b2 = 16а2 – 8аb + b2 = (4а – b)2; 2) (10x + 3у)2 – (8x + 4у)(8x – 4у) = 100x2 + 60xу + 9у2 – 64x2 + 16у2 = 36x2 + 60ху + 25у2 = (6х + 5у)2.

703. Перетворіть у квадрат двочлена вираз: 1) (3m – 2n)2 + 5m(4n – m) = 9m2 – 12mn + 4n2 + 20mn – 5m2 = 4m2 + 8mn + 4n2 = (2m + 2n)2; 2) (9х + 2у)2 – (8х + 3у)(4х – 4у) = 81х2 + 36ху + 4y2 – 32x2 + 32ху – 12ху + 12у2 = = 49x2 + 56ху + 16у2 = (7x + 4у)2.

704. Користуючись перетворенням виразів у квадрат суми або різниці двох чисел, знайдіть значення даного виразу: 1) 1,022 – 1,02 ∙ 1,96 + 0,982 = 1,022 – 2 ∙ 1,02 ∙ 0,98 + 0,982 = (1,02 – 0,98)2 = 0,042 = 0,0016; 2) 242 + 96 ∙ 38 + 762 = 242 + 2 ∙ 24 ∙ 76 + 762 = (24 + 76)2 = 1002 = 10000.

705. Обчисліть: 1) 2032 – 406 ∙ 103 + 1032 = 2032 – 2 ∙ 203 ∙ 103 + 1032 = (203 – 103)2 = 1002 = 10000; 2) 1,582 + 1,58 ∙ 2,84 + 1,422 = 1,582 + 2 ∙ 1,58 ∙ 1,42 + 1,422 = (1,58 + 1,42)2 = 32 = 9.

706. Яке число треба додати до многочлена 81a2b2 – 36аb + 9, щоб отриманий вираз тотожно дорівнював квадрату двочлена?

81a2b2 – 36аb + 9 = (9аb)2 – 2 ∙ 9аb ∙ 2 + 22 + 5 = (9аb – 2)2 + 5. Щоб отриманий вираз тотожно дорівнював квадрату двочлена, потрібно до многочлена 81а2b2 – 36аb + 9 додати число –5.

707. Яке число треба додати до многочлена 100m4 + 120m2 + 40, щоб отриманий вираз тотожно дорівнював квадрату двочлена?

100m4 + 120m2 + 40 = (10m2)2 + 2 ∙ 10m2 ∙ 6 + 62 + 4 = (10m + 6)2 + 4. Щоб отриманий вираз тотожно дорівнював квадрату двочлена, до многочлена 100m4 + 120m2 + 40 потрібно додати число –4.

708. Розв’яжіть рівняння: 1) х2 – 16x + 64 = 0; 2) 81x2 + 126x + 49 = 0; (х – 8)2 = 0; (9x + 7)2 = 0; х – 8 = 0; 9х + 7 = 0; 7 х = 8. x=– .

9 Відповідь: 8; 7 Відповідь: – .

9 709. Розв’яжіть рівняння: 1) х2 + 12х + 36 = 0; 2) 25x2 – 30x + 9 = 0; (х + 6)2 = 0; (5x – 3)2 = 0; х + 6 = 0; 5х – 3 = 0; х = –6. х = 0,6. Відповідь: – 6; Відповідь: 0,6.

710. Чи є тотожністю рівність (а – 2)(а – 3)(а + 3)(a + 2) + a2 = (а – 2)(а + 2)(а – 3)(а + 3) + а2 = (а2 – 4)(a2 – 9) + а2 = = a4 – 9а2 – 4а2 + 36 + а2 = а4 – 12а2 + 36 = (а2 – 6)2. Отже, рівність (а – 2)(а – 3)(а + 3)(а + 2) + а2 = (а2 – 6)2 є тотожністю.

711. Доведіть тотожність, де n — довільне натуральне число: 1) (а – 1)2 + 2(а – 1) + 1 = ((а – 1) + 1)2 = (а – 1 + 1)2 = а2 — тотожність доведена; 2) (а + b)2 – 2(а + b)(а – b) + (а – b)2 = ((а + b) – (а – b))2 = (а + b – а + b)2 = (2b)2 = 4b2 — тотожність доведена;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) (а – 8)2 + 2(а – 8)(3 – a) + (а – 3)2 = (a – 8)2 – 2(a – 8)(a – 3) + (а – 3)2 = ((a – 8) – (a – 3))2 = (a – 8 – a + 3)2 = (–5)2 = 25 — тотожність доведена.

4) (хn – 2)2 – 2(хn – 2)(хn + 2) + (хn + 2)2 = ((xn – 2) – (xn + 2))2 = (xn – 2 – xn – 2)2 = (–4)2 = 16 — тотожність доведена.

712. Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінної: 1) (3x + 8)2 – 2(3x + 8)(3x – 8) + (3x – 8)2 = ((3х + 8) – (3х – 8))2 = (3х + 8 – 3х + 8)2 = = 162 = 256; 2) (4х – 7)2 + (4х – 11)2 + 2(4х – 7)(11 – 4х) = (4х – 7)2 – 2(4х –7)(4х – 11) + (4x – 11)2 = = ((4х – 7) – (4х – 11))2 = (4х – 7 – 4х + 11)2 = 42 = 16.

713. Доведіть, що рівняння не має коренів: 1) x2 – 14x + 52 = 0; 2) 4x2 – 2x + 1 = 0; 1 1 x2 – 14x + 49 + 3 = 0; (2x)2 – 2x + – + 1 = 0; 4 4 (x – 7)2 + 3 = 0.

1 2 3 (2x – ) + = 0. Відповідь: Коренів немає.

2 4 Відповідь: Коренів немає.

714. Доведіть, що даний вираз набуває додатних значень при всіх значеннях x. Укажіть, якого найменшого значення набуває цей вираз і при якому значенні x: 1) х2 – 6х + 10 = х2 – 6х + 9 + 1 = (х – 3)2 + 1 — вираз набуває додатних значень при всіх значеннях х. Найменшого значення 1 вираз набуває при х = 3; 2) 16х2 + 24х + 25 = (4х)2 + 24х + 9 + 16 = (4х + 3)2 + 16 — вираз набуває додатних значень при всіх значеннях х. Найменшого значення 16 вираз набуває при х = –0,75; 1 1 1 3 3) х2 + х + 1 = х2 + х + – + 1 = (х + )2 + — вираз набуває додатних значень при всіх 4

4

3

2

4

1

значеннях х. Найменшого значення вираз набуває при х = – .

4 2 715. Чи може набувати від’ємних значень вираз: 1) х2 – 24х + 144 = (х – 12)2 — вираз не може набувати від’ємних значень; 2) 4x2 + 20х + 28 = (2х)2 + 20х + 25 + 3 = (2х + 5)2 + 3 — вираз не може набувати від’ємних значень.

716. Доведіть, що даний вираз набуває від’ємних значень при всіх значеннях x. Укажіть, якого найбільшого значення набуває цей вираз і при якому значенні x: 1) –х2 + 4х – 12= –(х2 – 4х + 12) = –(х2 – 4х + 4 + 8) = –(х –2)2 – 8 — вираз набуває від’ємних значень при всіх значеннях х. Найбільшого значення –8 вираз набуває при х = 2; 2) 22х – 121х2 – 2 = –(121х2 – 22х + 2) = –((11х)2 – 22х + 1 + 1) = –(11x – 1)2 – 1 — вираз набуває від’ємних значень при всіх значеннях х. Найбільшого значення –1 вираз набуває 1 при х = ; 11 3) –56 – 36x2 – 84х = –(36х2 + 84х + 56) = –((6х)2 + 84х + 49 + 7) = –(6х+ 7)2 – 7 — вираз набуває від’ємних значень при всіх значеннях х. Найбільшого значення –7 вираз набуває 7 при х = – .

6 717. Чи може набувати додатних значень вираз: 1) –х2 + 20х – 100 = –(х2 – 20х + 100) = –(х – 10)2 — вираз не може набувати додатних значень; 2) –х2 – 10 – 4х = –(х2 + 4х + 10) = –(х2 + 4х + 4 + 6) = –(х + 2)2 – 6 — вираз не може набувати додатних значень.

718. Якого найбільшого значення та при якому значенні змінної набуває вираз: 1) –х2 – 16х + 36 = –(х2 + 16х – 36) = –(х2 + 16х + 64 – 100) = –(x + 8)2 + 100. Вираз набуває найбільшого значення 100 при х = – 8;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

2) 2 – 16х2 + 24х = –(16х2 – 24х– 2) = –((4х)2 – 24х + 9 – 11) = –(4х – 3)2 + 11. Вираз набуває найбільшого значення 11 при х = 0,75.

719. Якого найменшого значення та при якому значенні змінної набуває вираз: 1) х2 – 28х + 200 = х2 – 28х + 196 + 4 = (х – 14)2 + 4. Вираз набуває найменшого значення 4 при х = 14; 2) 9х2 + 30х – 25 = (3х)2 + 30х + 25 – 50 = (3х + 5)2 – 50.

5 Вираз набуває найменшого значення –50 при х = – .

3 720. Подайте многочлен у вигляді добутку квадратів двох двочленів.

81 4 9 81 9 9 3 3 3 3 x + y8 – x2y4 = x4 – x2y4 + y8 = ( x2 – y4)2 = (( x – y2) ∙ ( x + y2))2 = ( x – y2)2( x + y2)2.

16 2 16 2 4 2 2 2 2 721. Доведіть, що вираз (a – 3b) (a – 3b – 4) + 4 набуває невід’ємних значень при будь–яких значеннях змінних. (а – 3b)(а – 3b – 4) + 4 = (а – 3b)2 – 4(а – 3b) + 4 = (а – 3b – 2)2. Вираз набуває невід’ємних значень при будь–яких значеннях змінних.

722. Подайте у вигляді суми квадратів двох виразів многочлен: 1) 2a2 – 2а + 1 = a2 + (a2 – 2a + 1) = а2 + (a – 1)2; 2) a2 + b2 + 2a + 2b + 2 = (а2 + 2a + 1) + (b2 + 2b + 1) = (а + 1)2 + (b + 1)2; 3) х2 + 6х + у2 – 2у + 10 = (х2 + 6x + 9) + (y2 – 2у + 1) = (х + 3)2 + (у – 1)2; 4) 10х2 – 6ху + у2 = х2 + (9х2 – 6ху + у2) = х2 + (3х – у)2; 5) х2 + 5у2 + 4ху – 4у + 4 = (х2 + 4ху + 4у2) + (у2 – 4у + 4) = (х + 2у)2 + (у – 2)2; 6) 2а2 + 2b2 = (a2 + 2аb + b2) + (а2 – 2аb + b2) = (а + b)2 + (а – b)2.

723. Розкладіть на множники многочлен, попередньо подавши його у вигляді різниці квадратів двох виразів: 1) а4 + а2 + 1 = (а4 + 2а2 + 1) – а2 = (а2 + 1)2 – а2; 2) х2 – у2 + 4х – 4у = (х2 + 4х + 4) – (у2 + 4у + 4) = (х + 2)2 – (у + 2)2; 3) а2b2 + 2аb – с2 – 8с – 15 = (а2b2 + 2аb + 1) – (с2 + 8с + 16) = (аb + 1)2 – (с + 4)2; 4) 8а2 – 12а + 2аb – b2 + 4 = (–а2 + 2аb – b2) + (9а2 – 12а + 4) = –(а2 – 2аb + b2) + (3а – 2)2 = = –(а – b)2 + (3а – 2)2 = (3а – 2)2 – (а –b)2.

724. Подайте многочлен у вигляді суми або різниці квадратів двох виразів: 1) а4 + 17а2 + 16 = (а4 + 8а2 + 16) + 9а2 = (а2 + 4)2 + (3а)2; 2) х2 + y2 – 10х + 14у + 74 = (х2 – 10х + 25) + (у2 + 14у + 49) = (х – 5)2 + (у + 7)2; 3) 2x2 – 6ху + 9у2 – 6х + 9 = (х2 – 6ху + 9у2) + (х2 – 6х + 9) = (х – 3у)2 + (х – 3)2; 4) х2 – у2 – 4х – 2у + 3 = (х2 – 4х + 4) – (у2 + 2у + 1) = (х – 2)2 – (у + 1)2.

725. При яких значеннях x і y дорівнює нулю значення многочлена: 1) х2 + y2 + 8х – 10у + 41 = 0; 2) х2 + 37у2 + 12ху – 2у + 1= 0; (х2 + 8х + 16) + (у2 – 10у + 25) = 0; (x2 + 12ху + 36у2) + (у2 – 2у + 1) = 0; (х + 4)2 + (у – 5)2 = 0; (х + 6у)2 + (у – 1)2 = 0; х = –4; у = 5; у = 1, х + 6 ∙ 1 = 0; х = –6.

726. Чи існують такі значення x і y, при яких дорівнює нулю значення многочлена: 1) х2 + 4y2 + 2х – 4у + 2 = 0; (х2 + 2х + 1) + (4y2 – 4у + 1) = 0; (х + 1)2 + (2у – 1)2 = 0; х = –1; у = 0,5; 2) 9х2 + у2 – 12х + 8у + 21 = (9x2 – 12х + 4) + (у2 + 8у + 16) + 1 = (3х – 2)2 + (у + 4)2 + 1. Таких значень х і у не існує.

727. Значення змінних a і b є такими, що a + b = 7, ab = 2. Знайдіть значення виразу a2 + b2. а2 + b2 = а2 + b2 + 2аb – 2аb = (а + b)2 – 2аb. Якщо а + b = 7, аb = 2, то (а + b)2 – 2аb = 72 – 2 ∙ 2 = 49 – 4 = 45.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

728. Додатні значення змінних a і b є такими, що a2 + b2 = 34, ab = 15. Знайдіть значення виразу a + b. Якщо а2 + b2 = 34, аb = 15, то (а + b)2 = а2 + 2аb + b2 = а2 + b2 + 2аb = 34 + 2 ∙ 15 = 34 + 30 = 64. Отже, для додатних значень а і b матимемо а + b = 8.

729. Від’ємні значення змінних a і b є такими, що a2 + b2 = 68, ab = 16. Знайдіть значення виразу a + b. Якщо а2 + b2 = 68, аb = 16, то (а + b)2 = а2 + 2аb + b2 = а2 + b2 + 2аb = 68 + 2 ∙ 16 = 68 + 32 = 100. Отже, для від’ємних значень а і b матимемо а + b = –10.

730. Подайте число 24 у вигляді суми таких двох чисел, щоб їхній добуток був найбільшим. Нехай один з доданків дорівнює х, тоді другий дорівнює 24 – х. Знайдемо добуток цих чисел: х(24 – х) = 24х – х2 = 122 – 122 + 24х – х2 = 122 – (122 – 24х + х2)= 144 – (12 – х)2. Добуток х(24 – х) буде найбільшим і дорівнюватиме 144 при х = 12. Отже, 24 = 12 + 12.

731. Знайдіть сторони прямокутника, що має найбільшу площу з усіх прямокутників, периметр кожного з яких дорівнює 20 см. Нехай одна сторона прямокутника дорівнює х см, тоді друга дорівнює: 20 : 2 – х = (10 – х)см . Знайдемо площу прямокутника: х(10 – х)= 10х – х2 = 52 – 52 + 10х – х2 = 52 – (52 – 10х + х2) = 25 – (5 – х)2. Добуток х(10 – х) буде найбільшим і дорівнюватиме 25 при x = 5. Отже, сторони прямокутника дорівнюють 5 см і 5 см.

732. Числа a і b такі, що b2 + Якщо b2 +

а2 4

а2 4

+ =1, ab = 3, a > 0, b > 0. Знайдіть значення виразу a + 2b. а

= 1, аb = 3, то (b + )2 = b2 + bа + а

2

а2 4

= b2 +

а2 4

+ bа = 1 + 3 = 4. Для додатних

значень а і b матимемо b + = 2, звідки а + 2b = 2 ∙ 2 = 4.

2 733. Числа a, b і c такі, що a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc = 0. Чому дорівнює значення виразу a + b – 2c? Якщо а2 + b2 + с2 – аb – ас – bс = 0, то 2(а2 + b2 + с2 – аb – ас – bс) = 0. Маємо: 2(а2 + b2 + с2 – аb – ас – bс) = (а2 – 2аb + b2) + (а2 – 2ас + с2) + (b2 – 2bс + с2) = (а – b)2 + (а – с)2 + (b – с)2 = 0. Рівність (а – b)2 + (а – с)2 + (b – с)2 = 0 виконується лише тоді, коли а = b = с. Отже, а + b – 2с = а + а – 2а = 0. Відповідь: а + b – 2с = 0.

734. Для виробництва 1 т паперу потрібно використати 6,3 м3 деревини або 1400 кг макулатури. Учні та учениці школи зібрали 2100 кг макулатури. Скільки кубічних метрів деревини можна зекономити, використавши для виробництва паперу зібрану макулатуру?

2100 ∙ 6,3 = 9,45 м3 деревини.

1400 735. Акції підприємства розподілено між державою та приватними особами у відношенні 5 : 2. Загальний прибуток підприємства за рік після сплати податків склав 2,8 млн грн. Скільки гривень із цього прибутку має піти на виплату приватним акціонерам?

1) 5х + 2х = 2,8 млн.; 7х = 2,8 млн.; х = 0,4 млн.

2) 0,4 ∙ 2 = 0,8 млн. = 800000 (грн).

736. Екіпаж круїзного лайнера складається із 72 осіб, а найбільша кількість туристів і туристок, які можуть на ньому подорожувати, — 264. Яка найменша кількість рятувальних човнів має бути на лайнері, якщо один човен розрахований на 60 осіб?

1) 72 + 264 = 336 (ос.) – всього; 2) 336 : 60 = 5 (ост.36) Відповідь: 6 човнів.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 2

737. Першого дня туристка проїхала 0,4 усього шляху, другого — решти, а третього — 3 20 км, що залишилися. Знайдіть довжину шляху. Нехай довжина шляху дорівнює х км, тоді за перший день туристка проїхала 0,4x км, а за 2 2 другий — (х – 0,4х) = ∙ 0,6x = 0,4х (км).

3 3 Рівняння: 0,4х + 0,4x + 20 = х; 0,8x – х = –20; –0,2x = –20; х = 100. Відповідь: 100 км.

738. Загальна площа двох ділянок, засіяних кукурудзою, дорівнює 100 га. На першій ділянці зібрали по 90 т зеленої маси кукурудзи з 1 га, а на другій — по 80 т. Знайдіть площу кожної ділянки, якщо з першої ділянки зібрали на 2200 т більше, ніж із другої. Нехай площа першої ділянки дорівнює х га, тоді площа другої ділянки — (100 – х) га. З першої ділянки зібрали 90х т зеленої маси кукурудзи, а з другої — 80(100 – х) т. Рівняння: 90х – 80(100 – х) = 2200; 90х – 8000 + 80х = 2200; 170х = 10200; х = 60. Площа другої ділянки дорівнює 100 – 60 = 40 (га). Відповідь: 60 га, 40 га.

739. Розкладіть на множники: 1) 2ab – 3аb2 = ab(2 – 3b); 2) 8х4 + 2х3 = 2х3(4х + 1); 3) 11а2b2 + 6a2b3 + 12аb3 = 6ab2(2a + ab + 2b); 4) 2а – 2b + ас – bс = 2(а – b) + с(а – b) = (а – b)(2 + с); 5) m2 – mn – 4m + 4n = m(m – n) – 4(m – n) = (m – n)(m – 4); 6) ах – ау + су – сх – х + у = а(х – у) – с(х – у) – (х – у) = (х – у)(а – с – 1).

740. При деякому значенні x значення виразу 3x2 − x +7 дорівнює 10. Якого значення набуває вираз 6x2 −2x +7 при цьому значенні x?

6х2 – 2х + 7 = (6х2 – 2х + 14) – 7 = 2(3x2 – х + 7) – 7. Якщо 3х2 – х + 7 = 10, то 2(3х2 – х + 7) – 7 = 2 ∙ 10 – 7 = 13.

741. Сім рибалок ловили на озері рибу. Перший ловив рибу щодня, другий — через день, третій — через 2 дні й т. д., сьомий — через 6 днів. Сьогодні всі рибалки прийшли на озеро. Через яку найменшу кількість днів усі сім рибалок зберуться разом на озері? Число днів через яке знову зберуться разом на озері усі сім рибалок повинно бути кратним числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, а найменша кількість днів дорівнює: НСК(1, 2, 3,4, 5, 6, 7) = 420 (днів). Відповідь: 420 днів.

742. Запишіть у вигляді виразу: 1) куб суми чисел a і b; 3) різницю кубів чисел c і d; 2) суму кубів чисел a і b; 4) куб різниці чисел c і d.

1) (a + b)3; 2) а3 + b3; 3) с3 – d3; 4) (c – d)3.

743. Піднесіть до куба одночлен: 1) (у2)3 = y6; 2) (2х3)3 = 8x9; 3) (3a2b4)3 = 27а6b12; 4) (0,1mn5)3 = 0,001m3n15; 1 1 2 8 5) ( b6c7)3 = b18c21; 6) ( p10k15)3 = p30k45.

6

216

7

 shkola.in.ua

343

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

744. Подайте у вигляді куба одночлена вираз: 1) а3b6 = (аb2)3; 2) 8х3y9 = (2xу3)3; 1 1 3) c9 = ( c3)3; 4) 125m12n21 = (5m4n7)3; 64 4 5) 0,216k15p24 = (0,6k5p8)3; 6) 0,008а9b18с27 = (0,2a3b6с9)3.

745. Чи можна натуральні числа від 1 до 32 розбити на три групи так, щоби добутки чисел кожної групи були рівними? Серед натуральних чисел від 1 до 32 є, наприклад, просте число 31, яке обов’язково попаде в одну з груп. Тоді добуток чисел цієї групи ділиться на 31, а добутки чисел інших груп на 31 не діляться, бо у їх розкладах немає цього простого множниках. Відповідь: Не можна. ЗАВДАННЯ № 4 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ 1. Виконайте множення: (3n + 1)(3n – 1) = 9n2 – 1. Відповідь: В).

2. Якому многочлену дорівнює вираз?

(4х – 1)2 = 16х2 – 8х + 1. Відповідь: Б).

3. Розкладіть на множники вираз 4а2 – 25 = (2a – 5)(2a + 5). Відповідь: В).

4. Подайте у вигляді добутку вираз –0,09x4 + 81y16 = 81y16 – 0,09x4 = (9y8)2 – (0,3х2)2 = (9y8 – 0,3x2) ∙ (9у8 + 0,3х2). Відповідь: Б).

5. Який із даних двочленів можна розкласти на множники, застосовуючи формулу різниці квадратів? a2 – 4b2 = (a – 2b)(a + 2b). Відповідь: В).

6. Подайте у вигляді квадрата двочлена вираз a2 – 8a + 16 = (a – 4)2. Відповідь: Б).

1 1 7. Відомо, що ( х – 3у2)2 = x2 +ax2 + 9y4. Чому дорівнює 3начення a?

1

2 1 2

1

4

1

( х – 3у ) = x – 2 ∙ х ∙ 3у2 + 9у4 = х2 – 3xу2 + 9y4; a = –3.

2 4 2 4 Відповідь: Б).

8. Спростіть вираз (х + 8)(х – 8) – х(х – 6) = x2 – 64 – x2 + 6х = 6х – 64. Відповідь: Г).

9. Якому многочлену дорівнює вираз?

(7m – 2)2 – (7m – 1)(7m + 1) = 49m2 – 28m + 4 – 49m2 + 1 = –28m + 5. Відповідь: В).

10. Спростіть вираз (с – 4)2 – (3 – с )2 = c2 – 8c + 16 – 9 + 6c – c2 = –2с + 7 = 7 – 2с . Відповідь: Б).

11. Знайдіть значення виразу при x = –1,2 (х – 4)2 + 2(4 + х)(4 – х) + (х + 4)2 = (х – 4)2 – 2(х + 4)(х – 4) + (х + 4)2 = = (х – 4 – (х + 4))2 = (–8)2 = 64. Відповідь: А).

2 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

12. Подайте у вигляді многочлена вираз (4 + a2)(a – 2)(a + 2) = (a2 + 4)(a2 – 4) = a4 – 16. Відповідь: Г).

18. Сума й різниця кубів двох виразів 746. Який із даних виразів є неповним квадратом суми, а який — неповним квадратом різниці: 1) повний квадрат суми; 2) не є; 3) неповний квадрат суми; 4) не є; 5) неповний квадрат різниці; 6) повний квадрат різниці.

747. Чи є тотожністю рівність: 1) Ні; 2) Так; 3) Так; 4) Ні.

748. Якому з даних виразів тотожно дорівнює многочлен a3 −27: Многочлен a3 – 27 тотожно дорівнює виразу 4) (a – 3)(a2 + 3а + 9).

749. Розкладіть на множники: 1) a3 + 8 = (а + 2)(a2 – 2a + 4); 2) с3 – 64 = (с – 4)(с2 + 4с + 16); 3) 125 – b3 = (5 – b)(25 + 5b + b2); 4) 1 + х3 = (1 + х)(1 – х + х2); 5) a3 + 1000 = (а + 10)(a2 – 10a + 100); 6) 27a3 – 1 = (3а – 1)(9a2 + 3а + 1); 7) 1000с3 – 216 = (10с – 6)(100с2 + 60с + 36); 8) a3b3 – 1 = (ab – 1)(a2b2 + аb + 1); 9) m3n3 + 0,001 = (mn + 0,1)(m2n2 – 0,1mn + 0,01).

750. Розкладіть на множники: 1) x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1); 2) 27 + a3 = (3 + a)(9 – 3a + a2) 3) 216 – y3 = (6 – y)(36 + 6y + y2); 1 1 1 1 4) a3 + b3 = ( a + b)( a2 – ab + b2); 8 2 4 2 5) 0,001m3 + 8n3 = (0,1m + 2n)(0,01m2 – 0,2mn + 4n2); 6) a3b3 – c3 = (ab – c)(a2b2 + abc + c2).

751. Яка з даних рівностей є тотожністю: 3) m3 + 8n3 = (m + 2n2)(m2 – 2mn2 + 4n4).

752. Закінчіть розкладання на множники: 1) 64х6 – 0,027у9 = (4х2)3 – (0,3у3)3 = (4х2 – 0,3у3) (16х4 + 1,2х2у3 + 0,09у6).

2) b12 + 216c15 = (b4)3 + (6c5)3 = (b4 + 6c5)(b8 – 6b4c5)(b8 – 6b4c5 + 36c10).

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3) p18 – b21 = ( p2)3 – ( b7)3 = ( p6 – b7)( p12 + p6b7 + b14).

8 27 2 3 2 3 4 6 9 753. Розкладіть на множники: 1) a12 + b9 = (a4)3 + (b3)3 = (a4 + b3)(a8 – a4b3 + b6).

2) x18 – y27 = (x6)3 – (y9)3 = (x6 – y9)(x12 + x6y9 + y18) = (x2 – y3)(x4 + x2y4 + y6)(x12 + x6y9 + y18).

3) m6n3 – p12 = (m2n)3 – (p4)3 = (m2n – p4)(m4n2 + m2np4 + p8).

4) a24b33 + 1 = (a8b11)3 + 13 = (a8b11 + 1)(a16b22 – a8b11 + 1).

5) 8m6 + 27n9 = (2m2 + 3n3)(4m4 – 6m2n3 + 9n6).

3 1 3 1 9 3 1 6) 0,027x21 + 0,125y24 = ( x7)3 + ( y8)3 = ( x7 + y8)( x14 – x7y8 + y16).

10 2 10 2 100 20 4 27 3 9 3 9 9 18 7) 0,216 – 8c = (0,6) – (2c ) = (0,6 – 2c )(0,36 + 1,2c + 4c ). 𝑐𝑐 2 𝑑𝑑 5

𝑐𝑐 2 𝑑𝑑 5

𝑐𝑐 4 𝑑𝑑 10

8) 1000a12b3 + 0,001c6d15 = (10a4b)3 + ( )3 = (10a4b + )(100a8b2 – a4bc2d5 + ).

10 10 100 754. Подайте у вигляді добутку вираз: 1) a6 – 8 = (a2)3 – 23 = (a2 – 2)(a4 + 2a2 + 4).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

2) m12 + 27 = (m4)3 + 33 = (m4 + 3)(m8 – 3m4 + 9).

3) a3 – b15c18 = a3 – (b5c6)3 = (a3 – b5c6)(a6 + a3b5c6 + c12).

4) 1 – a21b9 = 13 = (a7b3)3 = (1 – a7b3)(1 + a7b3 + a14b6).

5) 125c3d3 + 0,008b3 = (5cd)3 – (0,2b)3 = (5cd – 0,2b).

64 27 6 4 3 16 2 9 6) x3 – y = ( x – y2)( x2 + xy2 + y4).

729 1000 9 10 81 15 100 755. Знайдіть, використовуючи формулу суми кубів або формулу різниці кубів, значення виразу: 1)

93 +73

=

32 163 −103

(9+7)(92 −63+72 )

=

16(81−63+49)

=

(81−63+49)

32 32 2 (16+10)(162 +160+102 ) 6(256+160+100)

=

516

67 2

1

= 33 ; 2

2) = = = = 258.

24 24 2 24 756. Подайте у вигляді многочлена вираз: 1) (x – 2)(x2 + 2x + 4) = х3 – 23; 2) (2a – 1)(4a2 + 2a + 1) = 8a3 – 1; 3) (a2 – 1)(a4 – a2 + 1) = a6 + 1; 4) (0,5xy – 2)(0,25x2y2 – xy + 4) = 0,125x3y3 + 8.

757. Виконайте множення: 1) (b – 4)(b2 + 4b + 16) = b3 – 64; 2) (2a + 3b)(4a2 – 6ab + 9b2) = (2a)3 + (3b)3 = 8a3 + 27b3; 3) (x3 + 6y2)(x6 – 6x3y2 + 36y4) = (x3)3 + (6y2)3 = x9 + 216y6; 1 1 1 1 1 1 1 4) ( a – b)( a2 + ab + b2) = a3 – b3.

4 5 16 20 25 64 125 758. Спростіть вираз і знайдіть його значення: 1) (9a2 + 3a + 1)(3a – 1) = (3a – 1)(9a2 + 3а + 1) = (3а)3 – 1 = 27a3 – 1.

1 1 1 Якщо a = , то: 27а3 – 1 = 27 ∙ ( )3 – 1 = 27 ∙ – 1 = 1 – 1 = 0; 3 3 27 2) (5y – 2)(25y2 + 10y + 4) + 8 = (5y)3 – 8 + 8 = 125y3.

1 1 1 Якщо y = – , то: 125y3 = 125 ∙ (– )3 = –125 ∙ = –1.

5 5 125 759. Знайдіть значення виразу: 1) (1 – b2)(1 + b2 + b4) = 1 – (b2)3 = 1 – b6. Якщо b = –2, то: 1 – b6 = 1 – (–2)6 = 1 – 64 = –63; 2) 2x3 + 7 – (x + 1)(x2 – x + 1) = 2x3 + 7 – (x3 + 1) = 2x3 + 7 – x3 – 1 = x3 + 6. Якщо x = –1, то: x3 + 6 = (–1)3 + 6 = – 1 + 6 = 5.

760. Розкладіть на множники: 1) (a + 6)3 – 27 = (a + 6)3 – 33 = (a + 6 – 3)((a + 6)2 + 3(a + 6) + 9) = (a + 3)(а2 + 12a + 36 + 3a + 18 + 9) = (a + 3)(a2 + 15a + 63); 2) (2x – 1)3 + 64 = (2x – 1)3 + 43 = (2x – 1 + 4)((2x – 1)2 – 4(2x – 1) + 16) = (2x + 3)(4x2 – 4x + 1 – 8x + 4 + 16) = (2x + 3)(4x2 – 12x + 21); 3) 8a6 – (4a – 3)3 = (2a2)3 – (4a – 3)3 = (2a2 – (4a – 3))((2a2)2 + 2a2(4a – 3) + (4a – 3)2) = (2a2 – 4a + 3)(4a4 + 8a3 – 6a2 + 16a2 – 24a + 9) = (2a2 – 4a + 3)(4a4 + 8a3 + 10a2 – 24a + 9); 4) 1000 + (y – 10)3 = 103 + (y – 10)3 = (10 + y – 10)(102 – 10(y – 10) + (y – 10)2) = y(100 – 10y + 100 + y2 – 20y + 100) = y(y2 – 30y + 300); 5) (x + y)3 – (x – y)3 = (x + y – x + y)((x + y)2 + (x + y)(x – y) + (x – y)2) = 2y(x2 + 2xy + y2 + x2 – y2 + x2 – 2xy + y2) = 2y(3x2 + y2); 6) (a – 2)3 + (a + 2)3 = (a – 2 + a + 2)((a – 2)2 – (a – 2)(a + 2) + (a + 2)2) = 2a(a2 – 4a + 4 – a2 + 4 + a2 + 4a + 4) = 2a(a2 + 12).

761. Подайте у вигляді добутку вираз: 1) (b – 5)3 + 125 = (b – 5)3 + 53 = (b – 5 + 5)((b – 5)2 – 5(b – 5) + 25) = b(b2 – 10b + 25 – 5b + 25 + 25) = b(b2 – 15b + 75); 2) (4 – 3x)3 – 8x3 = (4 – 3x)3 – (2x)3 = (4 – 3х – 2х)((4 – 3х)2 + 2х(4 – 3а) + (2х)2) = (4 – 5х)(16 – 24х + 9х2 + 8х – 6х2 + 4х2) = (4 – 5x) ∙ (7х2 – 16х + 16);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) (а – b)3 + (а + b)3 = (а – b + а + b)((a – b)2 – (a – b)(a + b) + (а + b)2) = 2а(а2 – 2аb + b2 – а2 + b2 + а2 + 2аb + b2) = 2а(а2 + 3b2); 4) (с + 3)3 – (с – 3)3 = (с + 3 – с + 3)((с + 3)2 + (с + 3)(с – 3) + (с – 3)2) = 6(с2 + 6с + 9 + с2 – 9 + с2 – 6с + 9) = 6(3с2 + 9) = 18(с2 +3).

762. Спростіть вираз: 1) (х + 1)(х2 – х + 1) + (2 – х)(4 + 2х + х2) = х3 + 1 + 8 – х3 = 9; 2) (х – 4)(х2 + 4x + 16) – х(х – 5)(x + 5) = х3 – 64 – х(х2 – 25) = х3 – 64 – х3 + 25х = 25х – 64; 3) а(а – 3)2 – (а + 3)(а2 – 3а + 9) = а(а2 – 6а + 9) – (а3 + 27) = а3 – 6а2 + 9а – а3 – 27 = = –6а2 + 9а – 27; 4) (а – 1)(а + 1)(а2 – а + 1)(а2 + а + 1)(a6 + 1)(a12 + 1) = = ((а – 1) ∙ (а2 + а + 1))((а + 1)(а2 – а + 1))(а6 + 1)(а12 + 1) = = (а3 – 1)(а3 + 1)(a6 + 1)(а12 + 1) = (а6 – 1)(а6 + 1)(a12 + 1) = (а12 – 1)(a12 + 1) = а24 – 1.

763. Спростіть вираз: 1) (а – 5)(а2 + 5а + 25) – (а – 1)(а2 + а + 1) = а3 – 125 – (а3 – 1) = а3 – 125 – а3 + 1 = –124; 2) (y – 3)(y2 + 3y + 9) – y(y – 3)(y + 3) – (y + 3)2 = y3 – 27 – y(y2 – 9) – (y2 + 6y + 9) = = у3 – 27 – у3 + 9у – у2 – 6у – 9 = –у2 + 3у – 36; 3) (а – b)(а + b)(а4 + а2b2 + b4) = (a2 – b2)(а4 + а2b2 + b4) = а6 – b6.

764. Поставте замість зірочок такі одночлени, щоби справджувалася тотожність: 1) (7k – р)(49k2 + 7kр + р2) = 343k3 – р3; 2) (5а2 + 6b)(25а4 – 30а2b + 36b2) = 125а6 + 216b3; 3) (mn + k3)( m2n2 – mnk3 + k6) = m3n3 + k9.

765. Розв’яжіть рівняння: 1) (3х – 1)(9x2 + 3х + 1) – 9х(3х2 – 4) = 17; 2) (х + 4)(х2 – 4х + 16) – х(х – 7)(х + 7) = 15; 27х3 – 1 – 27х3 + 36х = 17; х3 + 64 –х(х2 – 49) = 15; 36x = 18; х3 + 64 – х3 + 49х = 15; х = 0,5.

49х = –49; Відповідь: 0,5; х = –1. Відповідь: –1; 2 2 3) (х + 6)(х – 6х + 36) – х(х – 9) = 4х(4,5х – 13,5); х3 + 216 – х(х2 – 18х + 81) = 18х2 – 54х; х3 + 216 – х3 + 18х2 – 81х = 18х2 – 54х; х3 – х3 + 18x2 – 81х – 18х2 + 54х = –216; –27х = –216; х = 8. Відповідь: 8.

766. Розв’яжіть рівняння: 1) (7 – 2х)(49 + 14х + 4х2) + 2x(2x – 5)(2х + 5) = 43; 343 – 8х3 + 2x(4x2 – 25) = 43; 343 – 8х3 + 8х3 – 50x = 43; –50х = –300; х = 6. Відповідь: 6; 2) 100(0,2x + 1 )(0,04x2 – 0,2x + 1) = 5х(0,16х2 – 4); 100(0,008х3 + 1) = 0,8х3 – 20х; 0,8х3 + 100 – 0,8x3 + 20x = 0; 20x = –100; х = –5. Відповідь: –5.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

767. Доведіть, що значення виразу: 1) 4563 −1563 ділиться націло на 300; 2) 2543 +2383 ділиться націло на 123; 3) 176 −1 ділиться націло на 36.

1) 4563 – 1563 = (456 – 156)(4562 + 456 ∙ 156 + 1562) = 300 ∙ (4562 + 456 ∙ 156 + 1562) — ділиться націло на 300; 2) 2543 + 2383 = (254 + 238)(2542 – 254 ∙ 238 + 2382) = 492 ∙ (2542 – 254 ∙ 238 + 2382) = = 4 ∙ 123 ∙ (2542 – 254 ∙ 238 + 2382) — ділиться націло на 123; 3) 176 – 1 = (173)2 – 1 = (173 – 1)(173 + 1) = (17 – 1)(172 + 17 ∙ 1 + 12)(17 + 1)(172 – 17 ∙ 1 + 12) = 16 ∙ 18 ∙ (172 + 17+ 1)(172 – 17 + 1) = 8 – 36 ∙ (172 + 17 + 1)(172 – 17 + 1) — ділиться націло на 36.

768. Доведіть, що значення виразу: 1) 3413 +1093 ділиться націло на 90; 2) 215 +33 ділиться націло на 35.

1) 3413 + 1093 = (341 + 109)(3412 – 341 ∙ 109 + 1092) = 450 ∙ (3412 – 341 ∙ 109 + 1092) = = 5 ∙ 90 ∙ (3412 – 341 ∙ 109 + 1092) — ділиться націло на 90; 2) 215 + 33 = (25)3 + 33 = 323 + 33 = (32 + 3)(322 – 32 ∙ 3 + 32) = 35 ∙ (322 – 32 ∙ 3 + 32) — ділиться націло на 35.

769. Укажіть найменше натуральне значення n таке, щоб вираз x2n – y3n можна було розкласти на множники як за формулою різниці квадратів, так і за формулою різниці кубів. Розкладіть отриманий многочлен на множники за цими формулами. Найменше натуральне значення п дорівнює: 3 ∙ 2 = 6. Якщо n = 6, то: х2n – у3n = х12 – у18 = (х6)2 – (у9)2 = (х6 – y9)(х6 + y9) або x2n – у3n = x12 – у18 = (х4)3 – (у6)3 = (х4 – y6)(х8 + х4y6 + у12).

770. Придумайте многочлен, який можна розкласти на множники як за формулою різниці квадратів, так і за формулою різниці кубів. Розкладіть придуманий многочлен на множники за цими формулами. Таким многочленом може бути, наприклад, такий: х6 – 1. Маємо: х6 – 1 = (х3)2 – 12 = (х3 – 1)(х3 + 1) або х6 – 1 = (х2)3 – 13 = (х2 – 1)(х4 + х2 + 1).

771. Чи можна стверджувати, що коли сума двох натуральних чисел ділиться націло на деяке натуральне число, то на це число ділиться націло: 1) різниця їхніх квадратів; 3) сума їхніх кубів? 2) сума їхніх квадратів; Якщо сума двох натуральних чисел n + m ділиться націло на деяке натуральне число k, то: 1) різниця їх квадратів n2 – m2 = (n – m)(n + m) ділиться націло на k; 2) сума їх квадратів n2 + m2 не завжди ділиться націло на k. Наприклад, якщо n = 7, m = 1, то сума n + m = 7 + 1 = 8 — ділиться націло на 4, а сума квадратів n2 + m2 = 72 + 12 = 49 + 1 = 50 — не ділиться націло на 4; 3) сума їх кубів n3 + m3 = (n + m)(n2 – nm + m2) ділиться націло на k.

772. Доведіть, що сума кубів двох послідовних непарних натуральних чисел ділиться націло на 4.

(2n – 1)3 + (2n + 1)3 = (2n – 1 + 2n + 1)((2n – 1)2 – (2n – 1)(2n + 1) + (2n + 1)2) = = 4n((2n – 1)2 – (2n – 1)(2n + 1) + (2n + 1)2) — ділиться націло на 4.

773. Доведіть, що сума кубів двох послідовних натуральних чисел, жодне з яких не кратне 3, ділиться націло на 9.

(3n + 1)3 + (3n + 2)3 = (3n + 1 + 3n + 2)((3n + 1)2 – (3n + 1) ∙ (3n + 2) + (3n + 2)2) = = (6n + 3)(9n2 + 6n + 1 – (9n2 + 6n + 3n + 2) + 9n2 + 12n + 4) = = 3(2n + 1)(9n2 + 6n + 1 – 9n2 – 6n – 3n – 2 + 9n2 + 12n + 4) = 3(2n + 1)(9n2 + 9n + 3) = = 9(2n + 1)(3n2 + 3n + 1) — ділиться націло на 9.

774. Відомо, що числа x і y такі, що х2 + y2 = 1. Знайдіть значення виразу x6 + 3x2y2 + y6. х6 + 3х2у2 + у6 =(х2)3 + (у2)3 + 3х2у2 = (х2 + у2)(х4 – x2y2 + у4) + 3х2у2. Якщо х2 + у2 = 1, то: (х2 + y2)(х4 – х2у2 + у4) + 3х2y2 = х4 – х2у2 + у4 + 3х2у2 = х4 + 2x2y2 + y4 = (х2 + y2)2 = 12 = 1.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

775. Відомо, що числа x і y такі, що х3 – y2 = 2. Знайдіть значення виразу x9 − 6x3y2 − y6. х9 – 6х3y2 – у6 = (х3)3 – (у2)3 – 6х3y2 = (х3 – у2)(х6 + х3у2 + у4) – 6х3у2. Якщо х3 – у2 = 2, то: (х3 – у2)((х6 + х3y2 + у4) – 6x3y2 = 2(х6 + х3у2 + у4) – 6х3y2 = 2х6 + 2х3у2 + 2у4 – 6x3y2 = 2х6 – 4х3у2 + 2у4 = 2(х6 – 2х3у2 + у4) = 2(х3 – у2)2 = 2 ∙ 22 = 8.

776. Доведіть, що коли 2a – b = 1, то 8a3 – b3 = 6ab + 1.

8а3 – b3 = (2а – b)(4а2 + 2ab + b2). Якщо 2a – b = 1, то (2а –b) ∙ (4a2 + 2ab + b2) = 4а2 + 2аb + b2 = 4а2 – 4ab + b2 + 6ab=(2а – b)2 + 6ab = 1 + 6ab.

777. Доведіть, що коли a + 3b = 2, то a3 + 27b3 = 8 − 18ab. а3 + 27b3 = (а + 3b)(а2 – 3аb + 9b2). Якщо а + 3b = 2, то (а + 3b)(а2 – 3аb + 9b2) = 2(а2 – 3аb + 9b2) = 2((а2 + 6ab + 9b2) – 9аb) = 2((а + 3b)2 – 9аb) = 2(22 – 9аb) = 8 – 18ab.

778. У двох магазинах проводять акції. У магазині «Модний одяг» будь-яка сорочка деякої фірми коштує 600 грн, а при покупці двох сорочок знижка на другу сорочку становить 60%. У магазині «Сучасний одяг» сорочка тієї самої фірми коштує 550 грн, а при покупці двох сорочок знижка на другу сорочку становить 40 %. У якому магазині вигідніше придбати дві сорочки?

1) 600 ⋅ (1 – 0,6) = 600 ⋅ 0,4 = 240 (грн) – ціна другої сорочки в І магазині; 2) 600 + 240 = 840 (грн) – ціна двох сорочок в І магазині; 3) 550 ⋅ (1 – 0,4) = 550 ⋅ 0,6 = 330 (грн) – ціна другої сорочки в ІІ магазині; 4) 550 + 330 = 880 (грн) – ціна двох сорочок в ІІ магазині. Відповідь: вигідніше придбати сорочки в магазині «Модний одяг».

779. В одному ящику було на 12 кг яблук більше, ніж у другому. Коли з першого ящика 5 переклали в другий 4 кг яблук, то виявилося, що маса яблук у другому ящику становить 7 маси яблук у першому. Скільки кілограмів яблук було в кожному ящику спочатку? Нехай у другому ящику було х кг яблук, тоді у першому було (х + 12) кг. Коли з першого ящика переклали в другий 4 кг яблук, то у другому ящику стало (х + 4) кг, а у першому — х + 12 – 4 = (х + 8) (кг). Рівняння: 5 х + 4 = (х + 8)│ ∙ 7; 7 7(х + 4) = 5(х + 8); 7х + 28 = 5х + 40; 7х – 5x = 40 – 28; 2х= 12; х = 6. У першому ящику було 6 + 12 = 18 (кг) яблук. Відповідь: 18 кг і 6 кг.

780. Якою є остання цифра значення виразу 316 +716?

31 = 3; 32 = 9; 33 = 27; 34 = 81; 35 = 243; 36 = ...9 . Остання цифра значення степеня 3n при зміні n на 4 повторюється. Отже, остання цифра значення степеня 316 така сама як у значення степеня 34, тобто це цифра 1. 71 = 7; 72 = 49; 73 = 343; 74 = 2401; 75 = 168 07; 76 = ...9 . Остання цифра значення степеня 7m при зміні m на 4 повторюється. Отже, остання цифра значення степеня 716 така сама як у значення степеня 74, тобто це цифра 1. Тоді остання цифра значення виразу 316 + 716 дорівнює 1 + 1 = 2. Відповідь: 2.

781. Знайдіть значення кожного з даних виразів при a = 1 і a = –1: 1) Якщо a = 1, то a + a2 + а3 + a4 + ... + a99 + a100 = 1 + 12 + 13 + 14 + ... + 199 + 1100 = 100. Якщо а = –1, то а + а2 + a3 + а4 + ... + а99 + а100 = –1 + (–1)2 + (–1)3 + (–1)4 + ... + (–1)99 + (– 1)100 = –50 + 50 = 0;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

2) якщо а = 1, то a + a2 + a3 + a4 + ... + a98 + a99 = 1 + 12 + 13 + 14 + ... + 198 + 199 = 99. Якщо а = –1, то а + а2 + a3 + а4 + ... + а98 + a99 = –1 + (–1)2 + (–1)3 + (–1)4 + ... + (–1)98 + (–1)99 = –50 + 49 = –1; 3) якщо а = 1, то аа2а3а4 ∙... ∙ а99а100 = 1 ∙ 12 ∙ 13 ∙ 14 ∙ ... ∙ 199 ∙ 1100 = 1. Якщо а = –1, то аа2a3a4 ∙... ∙ a99a100 = –1 ∙ (–1)2 ∙ (–1)3 ∙ (–1)4 ∙ ... ∙ (–1)99 ∙ (–1)100 = 1; 4) якщо а = 1, то aa2a3a4 ∙... ∙ а98а99 = 1 ∙ 12 ∙ 13 ∙ 14 ∙ ... ∙ 198 ∙ 199 = 1. Якщо а = –1, то аа2а3a4 ∙... ∙ а98a99 = –1 ∙ (–1)2 ∙ (–1)3 ∙ (–1)4 ∙ ... ∙ (–1)98 ∙ (–1)99 = –1.

782. Розкладіть на множники: 1) 3х2 + 12ху = 3х(х + 4у); 2) 10m5 – 5m = 5m(2m4 – 1); 3) аb – ас + 7b – 7с = а(b – с) + 7(b – с) = (b – с)(а + 7); 4) 6х – ху – 6у + у2 = х(6 – у) – у(6 – у) = (6 – у)(х – у); 5) 49b2 – с2 = (7b – с)(7b + с); 6) р2 + 12рk + 36k2 = (р + 6k)2; 1 1 1 1 7) 100a4 – b2 = (10a2)2 – ( b)2 = (10a2 – b)(10a2 + b); 9 3 3 3 8) 25а2 – (а – 3)2 = (5a – a + 3)(5a + а – 3) = (4а + 3)(6а – 3).

783. Розв’яжіть рівняння: 1) (х – 4)(х + 3) = 0; 2) х2 – 81 = 0; х – 4 = 0 або х + 3 = 0; (х – 9)(х + 9) = 0; х = 4 або х = –3. x – 9 = 0 або х + 9 = 0; Відповідь: 4; –3; х = 9 або х = –9. Відповідь: –9; 9; 2 3) 7х + 21х = 0; 4) 9х2 – 6х + 1 = 0; 7х(х + 3) = 0; (3х – 1)2 = 0; х = 0 або х + 3 = 0; 3х – 1 = 0; 1 х = 0 або х = –3. х= .

3 Відповідь: 0; –3; 1 Відповідь: ; 5) х(х + 7)(3х – 2) = 0; х = 0 або х + 7 =0, або 3х –2 = 0; 2 х = 0 або х = –7, або х = .

2

Відповідь: 0; –7; ; 3

3

3

6) 12х3 – 2х2 = 0; 2х2(6х – 1) = 0; х = 0 або 6х – 1 = 0; 1 х = 0 або x = .

6 1

Відповідь: 0; .

6 784. Є 100 купок монет по 100 монет у кожній. Одна з купок складається з фальшивих монет, кожна з яких на 1 г легша від справжньої. Маса справжньої монети становить 10 г. Яку найменшу кількість зважувань на терезах з електронним табло треба зробити, щоб знайти купку з фальшивих монет? Покладемо на терези 1 монету з першої купки, 2 монетки з другої купки, 3 монетки з третьої купки, ..., 100 монет з cьомoї купки. На терезах буде 1 + 2 + 3 + ...+ 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51) = 101 ∙ 50 = 5050 (монет). Якби всі монети були справжніми, то їх маса дорівнювала би 5050 ∙ 10 = 50500 (г). Якщо ж терези покажуть іншу масу, наприклад 50493 г, то це означає, що на терезах не вистачає 50500 – 50493 = 7 (монет) через те, що серед монет було 7 фальшивих. Сім монет ми брали з сьомої купки і тому у сьомій купці монети фальшиві. Отже, щоб знайти купку з фальшивих монет, досить зробити лише одне зважування.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

19. Застосування різних способів розкладання многочлена на множники 785. Закінчіть розкладання на множники: 1) 7a2 – 7b2 = 7(a2 – b2) = 7(a – b)(a + b).

2) 3y3 – 27y = 3y(y2 – 9) = 3y(y – 3)(y + 3).

3) m5 – m3 = m3(m2 – 1) = m3(m – 1)(m + 1).

49 49 7 4) x2y3z6 – 0,04yz8 = yz6( x2y2 – 0,04z2) = yz6( xy + 0,2z).

64 64 8 786. Розкладіть на множники многочлен: 1) 2а2 – 2b2 = 2(а2 – b2) = 2(а – b)(а + b); 2) сх2 – су2 = с(х2 – y2) = с(х – у)(х+ у); 3) 3х2 – 3 = 3(х2 – 1) = 3(х – 1)(х + 1); 4) 3аb2 – 21а = 3а(b2 – 9) = 3а(b – 3)(b + 3); 5) х3 – 4х = х(х2 – 4) = х(х – 2)(х + 2); 6) 2y3 – 18y = 2у(y2 – 9) = 2у(у – 3)(у + 3); 7) х4 – х2 = х2(х2 – 1) = х2(х – 1)(х + 1); 8) 0,09t4 – t6 = t4(0,09 – t2) = t4(0,3 – t)(0,3 + t2); 16 16 4 4 9) a2b4c5 – b2c3 = b2c3( a2b2c2 – 1) = b2c3( abc – 1)( abc + 1).

49 49 7 7 787. Подайте у вигляді добутку многочлен: 1) 12b2 – 12с2 = 12(b2 – с2) = 12(b – с)(b+ с); 2) 2а2с – 2b2с = 2с(а2 – b2) = 2с(а – b)(а + b); 3) 5а2 – 20 = 5(а2 – 4) = 5(а – 2)(а + 2); 4) 3mn2 – 48m = 3m(n2 – 16) = 3m(n – 4)(n + 4); 5) 7у3 – 7у = 7y(y2 – 1) = 7y(y – 1)(у + 1); 6) а3 – а5 = а3(1 – а2) = а3(1 – а)(1 + а).

788. Закінчіть розкладання на множники: 1) 9a2b2 – 6ab + b2 = b2 (9a2 + 6a + 1) = b2(3a – 1)2.

2) 4b2c – 20abc + 25a2c = c(4b2 – 20ab + 25a2) = c(2b – 5a)2.

3) –3m3 + 6m2n – 3mn2 = –3m(m2 – 2mn + n2) = –3m(m – n)2.

789. Розкладіть на множники: 1) 3а2 + 6ab + 3b2 = 3(а2 + 2ab + b2) = 3(а + b)2; 2) 5m2 + 5n2 – 10mn = 5(m2 – 2mn + n2) = 5(m – n)2; 3) –3х2 + 12х – 12 = –3(х2 – 4х + 4) = –3(х – 2)2; 4) –7b2 – 14bс – 7с2 = –7(b2 + 2bс + с2) = –7(b + с)2; 5) х2у + 14ху2 + 49у3 = y(х2 + 14ху + 49у2) = у(х + 7y)2; 6) –8а3b + 56а2b2 – 98ab3 = –2ab(4a2 – 28аb + 49b2) = –2аb(2а –7b)2.

790. Розкладіть на множники: 1) 8х2 + 16ху + 8y2 = 8(х2 + 2ху + у2) = 8(х + у)2; 2) –2а2 + 24аb – 72b2 = –2(а2 – 12аb + 36b2) = –2(а – 6b)2; 3) –12b3 – 12b2 – 3b = –3b(4b2 + 4b + 1) = –3b(2b + 1)2; 4) 48m3n – 12m2n + 21mn = 3mn(16m2 – 24m + 9) = 3mn(4m – 3)2.

791. Закінчіть розкладання на множники: 1) a4 – 10000 = (a2)2 – 1002 = (a2 – 100)(a2 + 100) = (a – 10)(a + 10)(a2 + 100).

2) m8 – n4 = (m4)2 – (n2)2 = (m4 – n2)(m4 + n2) = (m2 – n)(m2 + n) ∙ (m4 + n2).

792. Подайте у вигляді добутку многочлен: 1) а4 – b4 = (а2 – b2)(a2 + b2) = (а – b)(a+ b)(a2 + b2); 2) c4 – 81 = (c2 – 9)(c2 + 9) = (c – 3)(c + 3)(c2 + 9).

793. Розкладіть на множники: 1) x4 – 16 = (x2 – 4)(x2 + 4) = (x – 2)(x + 2)(x2 + 4);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

2) y8 – 1 = (y4 – 1)(y4 + 1) = (y – 1)(y2 + 1)(y + 1) = (y – 1)(y + 1)(y2 + 1)(y4 + 1).

794. Закінчіть розкладання на множники: 1) 16x – 2x4 = 2x(8 – x3) = 2x(2 – x)(4 + 2x + x2).

2) 3a5 + 375a2 = 3a2(a3 + 125) = 3a2(a + 5)(a2 – 5a + 25).

795. Розкладіть на множники: 1) 4a3 – 4b3 = 4(a3 – b3) = 4(a – b)(a2 + ab + b2); 2) 2m3 – 16 = 2(m3 – 8) = 2(m – 2)(m2 + 2m + 4); 3) 7 + 7b3 = 7(1 + b3) = 7(1 + b)(1 – b + b2); 4) –x4 + 27x = –x(x3 – 27) = –x(x – 3)(x2 + 3x + 9); 5) 2a4 – 250a = 2a(a3 – 125) = 2a(a – 5)(a2 + 5a + 25); 6) 9a5 – 9a2 = 9a2(a3 – 1) = 9a2(a – 1)(a2 + a + 1).

796. Подайте у вигляді добутку многочлен: 1) 3х3 + 3y3 = 3(x3 + y3) = 3(x + x)(x2 – xy + y2); 2) 5m4 – 320mn3 = 5m(m3 – 64n3) = 5m(m – 4n)(m2 + 4m + 16n); 3) 6c5 – 6c8 = 6c5(1 – c3) = 6c5(1 – c)(1 + с + с2).

797. Розкладіть на множники: 1) а7 + ab6 = a(a6 + b6) = a(a2 + b2)(a4 – a2b2 + b4); 2) x8 – y8 = (x4 – y4)(x4 + y4) = (x2 – y2)(x2 + y2)(x4 + y4) = (x – y)(x + y)(x2 + y2)(x4 + y4); 3) c6 – 1 = (c2 – 1)(c4 + c2 + 1) = (c – 1)(c + 1)(c4 + c + 1).

798. Розкладіть на множники: 1) с6 + с9 = c6(1 + с3) = c6(1 + c)(1 – с + с2); 2) m9 – n9 = (m3 – n3)(m6 + m3n3 + n6); 3) a8 – b4 = (a4 – b2)(a4 + b2) = (a2 – b)(a2 + b)(a4 + b2).

799. Подайте у вигляді добутку многочлен: 1) 3аb + 15b – 3a – 15 = 3b(a + 5) – 3(a + 5) = (a + 5)(3b – 3); 2) 84 – 42y – 7xy + 14x = 42(2 – y) + 7x(2 – y) = (2 – y)(42 + 7x); 3) abc + 6ac + 8ab + 48а = ac(b + 6) + 8a(b + 6) = (b + 6)(ac + 8a); 4) m3 – m2n + m2 – mn = m(m2 – mn + m – n) = m(m(m – n) + (m – n)) = m(m – n)(m + 1); 5) a3 + а2 – a – 1 = a2(a + 1) – (a + 1) = (a + 1)(a2 – 1) = (a + 1)(a – 1)(a + 1) = (a – 1)(a + 1)2; 6) 2x3 – 2хy2 – 8x2 + 8y2 = 2x(x2 – y2) – 8(x2 – y2) = (x2 – y2)(2x – 8) = 2(x – y)(x + y)(x – 4); 7) 5a2 – 5b2 – 15a3b + 15ab3 = 5(a2 – b2) – 15ab(a2 – b2) = (a2 – b2)(5 – 15ab) = = 5(a – b)(a + b)(1 – 3аb); 8) a2b2 – 1 – b2 + a2 = a2b2 – b2 + a2 – 1 = b2(a2 – 1) + (a2 – 1) = (a2 – 1)(b2 + 1) = = (a – 1)(a + 1)(b2 + 1).

800. Розкладіть на множники: 1) 15cx + 2су – cxy – 30c = c(15x + 2y – xy – 30) = c((15x – 30) + (2y – xy)) = = c(15(x – 2) – y(x – 2)) = c(x – 2)(15 –y); 2) 35a2 – 42ab + 10a2b – 12ab2 = а(35а – 42b + 10аb –12b2) = а(7(5а – 6b) + 2b(5а – 6b)) = = а(5а – 6b)(7 + 2b); 3) x3 + х2у + х2 + ху = х(х2 + xy + x + у) – х(х(х + у) + (х + у)) = х(х + у)(х + 1); 4) mn4 – n4 + mn3 – n3 = n3(mn – n + m – 1) = n3(n(m – 1) + (m – 1)) = n3(m – 1)(n + 1).

801. Розкладіть на множники: 1) (а2 + b2)2 – 4а2 = (а2 + b2 – 2а)(а2 + b2 + 2а); 2) 81 – (х2 + 6х)2 = (9 – (х2 + 6х))(9 + (х2 + 6х)) = (9 – х2 – 6х)(9 + х2 + 6х) = = (9 – x2 – 6х)(х + 3)2.

802. Подайте у вигляді добутку вираз: 1) (m2 – 2m)2 – 1 = (m2 – 2m – 1 )(m2 – 2m + 1) = (m2 – 2m –1) ∙ (m – 1)2; 2) 16 – (m2 + 4m)2 = (4 – m2 – 4m)(4 + m2 + 4m) = (4 – m2 – 4m)(2 + m)2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

803. Розкладіть на множники: 1) x2(x – 2) – 18x(x – 2) + 81(x – 2) = (x – 2)(x2 – 18x + 81) = (x – 2)(x – 9)2; 2) 4x(y2 – 9) + 4x2(y2 – 9) – 9 + y2 = 4x(y2 – 9) + 4x2(y2 – 9) + y2 – 9 = (y2 – 9)(4x + 4x2 + 1) = (y – 3)(y + 3)(2x + 1)2; 3) b2(a + 1) – a2(b + 1) = ab2 + b2 – a2b – a2 = (ab2 – a2b) + (b2– a2) = ab(b – a) + (b – a)(b + a) = (b – a)(ab + b + a); 4) (a – b)(b2 – c2) – (b – c)(a2 – b2) = (a – b)(b – c)(b + c) – (b – c)(a – b)(a + b) = = (a – b)(b – c)(b + c – a – b) = (a – b)(b – c)(c– a).

804. Подайте у вигляді добутку вираз: 1) x2(x + 4) – 20x(x + 4) + 100(x + 4) = (x + 4)(x2 –20x + 100) = (x + 4)(x – 10)2; 2) a2 – 36 – 2a(36 – a2) – a2(36 – a2) = a2 – 36 + 2a(a2 – 36) + a2(a2 – 36) = (a2 – 36)(1 + 2a + a2) = (a – 6)(a + 6)(1 + a)2; 3) a2(b – 1) – b2(a – 1) = a2b – a2 – ab2 + b2 = (a2b – ab2) – (a2 – b2) = ab(a – b) – (a – b)(a + b) = (a – b)(ab – a – b); 4) (m – n)(n3 – p3) – (n – р)(m3 – n3) = (m – n)(n – p)(n2 + np + p2) – (n – p)(m – n)(m2 + mn + n2) = (m – n)(n – p)(n2 + np + p2 – m2 – mn – n2) = (m – n)(n – p)(np + p2 – m2 – mn) = (m – n)(n – p)((np – mn) + (p2 – m2)) = (m – n)(n – p)(n(p – m) + (p – m)(p + m)) = (m – n)(n – p)(p – m)(n + p + m).

805. Розв’яжіть рівняння: 1) х3 – 4х = 0; 2) х4 – х2 = 0; х(х2 – 4) = 0; х2(х2 – 1) = 0; х(х – 2)(х + 2) = 0; х2(х – 1)(х + 1) = 0; х = 0 або х – 1 = 0, або х + 1 = 0; х = 0 або х – 2 = 0, або х + 2 = 0; х = 0 або х = 1, або х = –1. х = 0 або х = 2, або х = –2. Відповідь: 0; –1; 1; Відповідь: 0; –2; 2; 3) х5 – 36х3 = 0; х3(х2 – 36) = 0; х3(х – 6)(х + 6) = 0; х = 0 або х – 6 = 0, або х + 6 = 0; х = 0 або х = 6, або х = –6. Відповідь: 0; –6; 6; 5) х3 – 10х2 + 25х = 0; х(х2 – 10х + 25) = 0; х(х – 5)2 = 0; х = 0 або х – 5 = 0; х = 0 або х = 5. Відповідь: 0; 5; 7) х3 – 5х2 + 4х – 20 = 0; х2(х – 5) + 4(х – 5) = 0; (х – 5)(х2 + 4) = 0; х – 5 = 0; х = 5. Відповідь: 5;

4) 9х3 – х = 0; х(9х2 – 1) = 0; х(3х – 1)(3х+ 1) = 0; х =0 або 3х –1 = 0, або 3х + 1= 0; 1 1 х = 0 або х = , або х = – .

3

1 1

Відповідь: 0; – ; ; 3 3

3

6) х3 + 2х2 – 9х – 18 = 0; х2(х + 2) – 9(х + 2) = 0; (х + 2)(х2 – 9) = 0; (х + 2)(х – 3)(х + 3) = 0; х + 2 = 0 або х – 3 = 0, або х + 3 = 0; х = –2 або х = 3, або х = –3. Відповідь: –3; –2; 3; 8) х5 – х4 – х + 1 = 0; х4(х – 1) – ( х – 1) = 0; (х – 1)(х4 – 1) = 0; (х – 1)(х2 – 1)(х2 + 1) = 0; (х – 1)(х – 1)(х + 1)(х2 + 1) = 0; х – 1 = 0 або х + 1 = 0; х = 1 або х = –1. Відповідь: –1; 1.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

806. Розв’яжіть рівняння: 1) х3 – х = 0; х(х2 – 1) = 0; х(х – 1)(х + 1) = 0; х = 0 або х – 1 = 0, або х + 1 = 0; х = 0 або х = 1, або х = –1. Відповідь: 0; –1; 1; 3) х4 – 8х3 = 0; х3(х – 8) = 0; х3 = 0 або х – 8 = 0; х = 0 або х = 8. Відповідь: 0; 8;

2) х4 + х2 = 0; х2(х2 + 1) = 0; х2 = 0 або х2 + 1 = 0; х=0 коренів немає Відповідь: 0; 4) 49х3 + 14х2 + х = 0; х(49х2 + 14х + 1) = 0; х(7х + 1)2 = 0; 1 х = 0 або 7х + 1 = 0; х = – .

1

7

Відповідь: – ; 0; 7 6) х3 – 4х2 – 25х + 100 = 0; х2(х – 4) – 25(х – 4) = 0; (х – 4)(х2 – 25) = 0; (x – 4)(x – 5)(x + 5) = 0; x – 4 = 0 або х – 5 = 0, або х + 5 = 0; х = 4 або х = 5, або х = –5. Відповідь: –5; 4; 5.

5) х3 + х2 – х – 1 = 0; (х3 – 1) + (х2 – х) = 0; (х – 1)(х2 + х + 1) + х(х – 1) = 0; (x – 1)(x2 + x + 1 + x) = 0; (x – 1)(x2 + 2x + 1) = 0; (x – 1)(x + 1)2 = 0; x = – 1 або x = 1. Відповідь: –1; 1; 807. Чи є тотожністю рівність: 1) (a – 1)3 – 9(a – 1) = (a – 1)((a – 1)2 – 9) = (a – 1)((a – 1 – 3)(a –1 + 3) = = (a – 1)(a – 4)(a + 2) – рівність є тотожністю; 2) (x2 + 1)2 – 4x2 = (x2 + 1 – 2x)(x2 + 1 + 2x) = (x2 – 2x + 1)(x2 + 2x + 1) = = (x – 1)2(x + 1)2 – рівність є тотожністю.

808. Доведіть тотожність: 1) (a + 2)3 – 25(a + 2) = (a + 2)((a + 2)2 – 25) = (a + 2)(a + 2 – 5) = (a + 2)(a + 7)(a – 3); 2) a2 + 2ab + b2 – c2 + 2cd – d2 = (a + b)2 – (c – d)2 = (a + b + c – d) ∙ (a + b – c + d).

809. Розкладіть вираз на множники двома способами: а) застосуйте формулу різниці квадратів; б) розкрийте дужки та застосуйте метод групування: 1) a) (ab + 1)2 – (a + b)2 = (ab + 1 – a – b)(ab + 1 + a + b) = (ab – a – b + 1)(ab + a + b + 1) = (a(b – 1))((a(b + 1) + (b + 1)) = (b – 1)(a – 1)(b + 1)(a + 1); б) (ab + 1)2 – (a + b)2 = a2b2 + 2ab + 1 – a2 – 2ab – b2 = a2b2 – a2 –b2 + 1 = a2(b2 – 1) – (b2 – 1) = (b2 – 1)(a2 – 1) = (b – 1)(b + 1)(a – 1)(a + 1); 2) a) (a + 2b)2 – (ab + 2)2 =(a + 2b – ab – 2)(a + 2b + ab + 2) = = (–ab + a + 2b – 2)(ab + a + 2b + 2) = (–a(b – 1) + 2(b – 1))((a(b + 1)) = = (b – 1)(–a + 2)(b + 1)(a + 2); б) (a + 2b)2 – (ab + 2)2 = a2 + 4ab + 4b2 – a2b2 – 4ab – 4 = a2 + 4b2 – a2b2 – 4 = = a2 – a2b2 + 4b2 – 4 = a2(1 – b2) – 4(1 –b2) = (1– b2)(a2 –4) = (1 – b)(1 + b)(a – 2)(a + 2).

810. Розкладіть на множники: 1) а2 + 2ab + b2 – с2 = (а + b)2 – с2 = (а + b – c)(a + b + c); 2) c2 + 4c + 4 – k2 = (c + 2)2 – k2 = (c + 2 – k)(c + 2 + k); 3) 9а2 + с2 + 6ас – 9 = (9a2 + 6ac + c2) – 9 = (3а + c)2 – 9 = (3а + с – 3)(3а + c + 3); 4) a2 – b2 – 10b – 25 = a2 – (b2 + 10b + 25) = a2 – (b + 5)2 = (a – b –5) ∙ (a + b + 5); 5) 49 – y2 + x2 – 14x = (x2 – 14x + 49) – y2 = (x – 7)2 – y2 = (x – 7 –y) ∙ (x – 7 + y); 6) mn2 – m3 – 12m2 – 36m = m(n2 – m2 – 12m – 36) = m(n2 – (m2 + 12m + 36) = = m(n2 – (m + 6)2) = m(n – m – 6)(n + m + 6).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

811. Подайте у вигляді добутку вираз: 1) x2 – 18ху + 81y2 – z2 = (х – 9у)2 – z2 = (х – 9у – z)(x – 9у + z); 2) 64х2 + 48ху + 9y2 – 144 = (8х + 3у)2 – 144 = (8х + 3у – 12)(8х + 3у + 12); 3) с2 – а2 + 22а – 121 = с2 – (а2 – 22а + 121) = с2 – (а – 11)2 = (с – а + 11)(с + а – 11); 4) 100 –25y2 – 60х2у – 36х4 = 100 – (36х4 + 60х2у + 25y2) = 100 – (6х2 + 5у)2 = = (10 – 6х2 – 5у)(10 + 6х2 + 5у).

812. Розкладіть на множники: 1) а2 – b2 – а – b = (а – b)(а + b) – (a + b) = (а + b)(a – b – 1); 2) x – у – x2 + y2 = (х – у) – (х2 – у2) = (х – у) – (х – у)(х + у) = (х – у)(1 – х – у); 3) 4m2 – 9n2 + 2m + 3n – (2m – 3n)(2m + 3n) + (2m + 3n) = (2m + 3n)(2m – 3n + 1); 4) с2 – d2 + 4с – 4d = (с – d)(c + d) + 4(с – d) = (с – d)(c + d + 4); 5) 5х2у – 5ху2 – x2 + у2 = 5ху(х – у) – (х – у)(х + у) = (х – у)(5ху – х – у); 6) а2 – 10а + 25 – ab + 5b = (а – 5)2 – b(а – 5) = (а – 5)(а – 5 – b); 7) 8mр + 8nр – m2 – 2mn – n2 – 8р(m + n) – (m + n)2 – (m + n)(8р –m – n); 8) а3 + b3 – a2b – ab2 = (а3 – a2b) + (b3 – ab2) = а2(а – b) – b2(а – b ) = (а – b)(а2 – b2) = = (а – b)(а – b)(а + b) = ( а – b)2(а + b); 9) m3 – 8n3 – m2 + 4mn – 4n2 = (m3 – 8n3) – (m2 – 4mn + 4n2) = = (m – 2n)(m2 + 2mn + 4n2) – (m – 2n)2 = (m – 2n)(m2 + 2mn + 4n2 – m + 2n); 10) a3 – 4a2 + 4a – 1 = а3 – 1 – (4а2 – 4а) = (а – 1)(а2 + а + 1) – 4а(а – 1) = = (а – 1)(а2 + а + 1 – 4а) = (а – 1)(а2 – 3а + 1).

813. Розкладіть на множники: 1) m2 – n2 – m + n = (m – n)(m + n) – (m – n) = (m – n)(m + n – 1); 2) с + d – c2 + d2 = с + d – (с2 – d2) = с + d – (с – d)(c + d) = (с + d) ∙ (1 – с + d); 3) 16х2 – 25у2 – 4х – 5y = (4х – 5у)(4х + 5у) – (4х + 5у) = (4х + 5у) ∙ (4х – 5у – 1); 4) 12a2b3 + 3a3b2 + 16b2 – a2 = 3a2b2(4b + a) + (4b – a)(4b + a) = (4b + a)(3a2b2 + 4b – a); 5) 49с2 – 14с + 1 – 21ас + 3а = (7с – 1)2 – 3а(7с – 1) = (7с – 1)(7с –1 – 3а); 6) ах2 + ay2 + x4 + 2х2y2 + y4 = а(х2 + у2) + (х2 + у2)2 = (х2 + у2)(а + х2 + у2); 7) 27с3 – d3 + 9с2 + 3cd + d2 = (3с – d)(9c2 + 3cd + d2) + (9c2 + 3cd + d2) = = (9c2 + 3cd + d2)(3c – d + 1); 8) b3 – 2b2 – 2b + 1 = (b3 + 1) – (2b2 + 2b) = (b + 1)(b2 – b + 1) – 2b(b + 1) = = (b + 1)(b2 – b + 1 – 2b) = (b + 1)(b2 – 3b + 1).

814. Подайте у вигляді куба двочлена вираз: 1) a3 + 3a2 + 3a + 1 = (a3 + 1) + (3a2 + 3a) = (a + 1)(a2 – 2 + 1) + 3a(a + 1) = = (a + 1)(a2 – a + 1 + 3a) = (a + 1)(a2 + 2a + 1) = (a + 1)2 = (a + 1)3; 2) b3 – 6b2 + 12b – 8 = (b3 – 8) – (6b2 – 12b) = (b – 2)(b2 – 2b + 4) – 6b(b – 2) = = (b – 2)(b2 + 2b + 4 – 6b) = (b – 2)(b2 – 4b + 4) = (b – 2)(b – 2)2 = (b – 2)3.

815. Доведіть тотожність: 1) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = ((a + b + c)3 – a3) – (b3 + c3) = = (a + b + c – a)((a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2) – (b + c)(b2 – bc + c2) = = (b + c)(a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc + a2 + ab + ac + a2) – (b + c)(3a2 + 3ab + 3ac + 3bc) = = 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)) = 3(a + b)(b + c)(a + c); 2) (a – b)3 + (b – c)3 – (a – c)3 = (a – b + b – c)((a – b)2 – (a – b)(b – c) + (b – c)2) – (a – c)3 = = (a – c)((a – b)2 – (a – b)(b – c) + (b – c)2) – (a – c)3 = = (a – c)((a – b)2 – (a – b)(b – c) + (b – c)2 – (a – c)2) = = (a – c)(a2 – 2ab + b2 – ab + ac + b2 – bc + b2 – 2bc + c2 – a2 + 2ac – c2) = = (a – c) ∙ (–3ab + 3b2 + 3ac – 3bc) = (a – c)(–3b(a – b) + 3c(a – b)) = = (a – c)(a – b)(–3b + 3c) = –3(a – b)(b – c)(a – c).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

816. Розкладіть на множники вираз: 1) (x – y)(x + y) + 2(x + 3y) – 8 = x2 – y2 + 2x + 6y – 8 = (x2 + 2x + 1) – (y2 – 6y + 9) = = (x + 1)2 – (y – 3)2 = (x + 1 – y + 3)(x + 1 + y – 3) = (x – y + 4)(x + y – 2); 2) (2a – 3b)(2a + 3b) – 4(a + 3b) – 3 = 4a2 – 9b2 – 4a – 12b – 3 = (4a2 – 4a + 1) – (9b2 + 12b + 4) = (2a – 1)2 – (3b + 2)2 = (2a – 1 – 3b – 2) ∙ (2a – 1 + 3b + 2) = (2a – 3b – 3)(2a + 3b + 1).

817. Подайте у вигляді добутку вираз: 1) (5x – y2)(5x + y2) – 2(15x – 7y2) – 40 = 25x2 – y4 – 30x + 14y2 – 40 = = (25x2 – 30x + 9) – (y4 – 14y2 + 49) = (5x – 3)2 – (y2 – 7)2 = (5x – 3 – y2 + 7)(5x – 3 + y2 – 7) = =(5x – y2 + 4)(5x + y2 – 10); 2) (3m – 2n)(12m + 5n) + 3m(3n + 4) – 2(3n2 – 20n + 12) = = 36m2 + 15mn – 24mn – 10n2 + 9mn + 12m – 6n2 + 40n – 24 = = 36m2 – 16n2 + 12m + 40n – 24 = (36m2 + 12m + 1) – (16n2 – 40n + 25) = = (6m + 1)2 – (4n – 5)2 = (6m + 1 – 4n + 5)(6m + 1 + 4n – 5) = = (6m – 4n + 6)(6m + 4n – 4) = 4(3m – 2n + 3)(3m + 2n – 2).

818. Розкладіть на множники тричлен, виділивши попередньо квадрат двочлена: 1) x2 – 10x + 24 = (x2 – 10x + 25) – 1 = (x – 5)2 – 1 = (x – 5 – 1) ∙ (x – 5 + 1) = (x – 6)(x – 4); 2) a2 + 4a – 32 = (a2 + 4a + 4) – 36 = (a + 2)2 – 36 = (a + 2 – 6)(a + 2 + 6) = (a – 4)(a + 8); 3) b2 – 3b – 4 = (b2 – 3b + 2,25) – 6,25 = (b – 1,5)2 – 6,25 = (b – 1,5 – 2,25)(x – 1,5 + 2,25) = = (b – 3,75)(x + 0,75); 4) 4a2 – 12a + 5 = (4a2 – 12a + 9) – 4 = (2a – 3)2 – 22 = (2a – 3 – 2)(2a – 3 + 2) = = (2a – 5)(2a – 1); 5) 9x2 – 24xy + 7y2 = (9x2 – 24xy + 16y2) – 9y2 = (3x – 4y)2 – 9y2 = = (3x – 4y – 3y)(3x – 4y + 3y) = (3x – 7y)(3x – y); 6) 36m2 – 60mn + 21n2 = (36m2 – 60mn + 25n2) – 4n2 = (6m – 5n)2 – 4n2 = = (6m – 5n – 2n)(6m – 5n + 2n) = (6m – 7n)(6m – 3n) = 3(6m – 7n)(2m – n).

819. Розкладіть на множники многочлен: 1) x2 – 4x + 3 = (x2 – 4x + 4) – 1 = (x – 2)2 – 1 = (x – 2 – 1)(x –2 + 1) = (x – 3)(x – 1); 2) a2 + 2a – 24 = (a2 + 2a + 1) – 25 = (a + 1)2 – 25 = (a + 1 – 5)(a + 1 + 5) = (a – 4)(a + 6); 3) y2 + 12y + 35 = (y2 + 12y + 36) – 1 = (y + 6)2 – 1 = (y + 6 – 1)(y + 6 + 1) = (y + 5)(y + 7); 4) x2 + x – 6 (x2 + x + 0,25) – 6,25 = (x + 0,5)2 – 6,25 = (x + 0,5 – 2,5)(x + 0,5 + 2,5) = = (x – 2)(x + 3); 5) c2 + 8cd + 15d2 = (c2 + 8cd + 16d2) – d2 = (c + 4d)2 – d2 = (c + 4d + d) = (c + 3d)(c + 5d); 6) 9x2 – 30xy + 16y2 = (9x2 – 30xy + 25y2) – 9y2 = (3x – 5y)2 – 9y2 = = (3x – 5y – 3y)(3x – 5y + 3y) = (3x – 8y)(3x – 2y).

820. Значення змінних x1 і x2 є такими, що виконуються рівності x1 – x2 = 8, x1x2 = 5. Знайдіть значення виразу: 1) x1x22 – x12x2 = x1x2(x2 – x1) = –x1x2(x1 – x2). Якщо x1 – x2 = 8, x1x2 = 5, то –x1x2(x1 – x2) = –5 ∙ 8 = –40; 2) x12 + x22 = x12 – 2x1x2 + x22 + 2x1x2 = (x1 – x2)2 + 2x1x2. Якщо x1 – x2 = 8, x1x2 = 5, то (x1 – x2)2 + 2x1x2 = 82 + 2 ∙ 5 = 64 + 10 = 74; 3) (x1 + x2)2 = x12 + 2x1x2 + x22 = x12 – 2x1x2 + x22 + 4x1x2 = (x1 – x2)2 + 4x1x2. Якщо x1 – x2 = 8, x1x2 = 5, то (x1 – x2)2 + 4x1x2 = 82 + 4 ∙ 5 = 64 + 20 = 84; 4) x13 – x23 = (x1 – x2)( x12 + x1x2 + x22) = (x1 – x2)(( x12 – 2x1x2 + x22) + 3x1x2) = = (x1 – x2)((x1 – x2)2 + 3x1x2). Якщо x1 – x2 = 8, x1x2 = 5, то (x1 – x2)((x1 – x2)2 + 3x1x2) = 8 ∙ (82 + 3 ∙ 5) = = 8 ∙ (64 + 15) = 8 ∙ 79 = 632.

821. Значення змінних x і y є такими, що виконуються рівності x + y = 6, xy = –3. Знайдіть значення виразу:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1) x3y2 + x2y3 = x2y2(x + y) = (xy)2(x + y). Якщо x + y = 6, xy = –3, то (xy)2(x + y) = (–3)2 ∙ 6 = 9 ∙ 6 = 54; 2) (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 = (x2 + 2xy + y2) – 4xy = (x + y)2 – 4xy. Якщо, x + y = 6, xy = –3, то (x + y)2 – 4xy = 62 – 4 ∙ (–3) = 36 + 12 = 48; 3) x4 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) – 2x2y2 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = ((x2 + 2xy + y2) – 2xy)2 – 2x2y2 = ((x + y)2 – 2xy)2. Якщо x + y = 6, xy = –3, то ((x + y)2 – 2xy)2 – 2(xy)2 = (62 – 2 ∙ (–3))2 – 2 ∙ (–3)2 = (36 + 6)2 – 2 ∙ 9 = 422 – 18 = 1746.

822. Доведіть, що при будь–якому натуральному n значення виразу (2n −1)3 − 4n2 + 2n +1 ділиться націло на 16.

(2n – 1)3 – 4n2 + 2n + 1=(2n – 1)(2n – 1)2 – 4n2 + 2n + 1 = (2n – 1)(4n2 – 4n + 1) – 4n2 + 2n + 1 = 8n3 – 8n2 + 2n – 4n2 + 4n – 1 – 4n2 + 2n + 1 = 8n3 – 16n2 + 8n = 8n(n2 – 2n + 1) = 8n(n – 1)2 — ділиться націло на 16, бо крім того, що значення виразу 8n(n – 1)2 ділиться на 8, із його двох послідовних натуральних множників n і n – 1 один завжди ділиться на 2.

823. Розкладіть на множники: 1) х4 – 5x2 + 4 = (х4 – х2) – (4x2 – 4) = x2(х2 – 1) – 4(x2 – 1) = (х2 – 1)(х2 – 4) = = (х – 1)(х + 1)(х – 2)(х + 2); 2) х4 + х2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – х2 = (х2 + 1)2 – х2 = (х2 + 1 – х) (х2 + 1 + х); 3) 4х4 – 12x2 + 1 = (4x4 + 4х2 + 1) – 16x2 = (2x2 + 1)2 – (4x)2 = (2x2 + 1 – 4х)(2х2 + 1 + 4x); 4) x5 + x + 1 = (x5 – х2) + (x2 + x + 1) = x2(х3 – 1) + (х2 + х +1 ) = = х2(х – 1)(х2 + х + 1) + (х2 + х + 1) = (х2 + х + 1)(х2(х – 1) + 1) = (х2 + х + 1)(х3 – х2 + 1); 5) х4 + 4 = (х4 + 4х2 + 4) – 4х2 = (х2 + 2)2 – (2x)2 = (х2 + 2 – 2х)(х2 + 2 + 2х); 6) х8 + х4 – 2 = (х8 – 1) + (х4 – 1) = (х4 – 1)(х4 + 1) + (х4 – 1) = (х4 – 1)(х4 + 1 + 1) = = (х2 – 1)(х2 + 1)(х4 + 2) = (х – 1)(х + 1)(х2 + 1)(х4 + 2).

824. Подайте у вигляді добутку вираз: 1) х4 + 5х2 + 9 = (х4 + 6х2 + 9) – х2 = (х2 + 3)2 – х2 = (х2 + 3 – х)(х2 + 3 + х); 2) х4 – 8х2 + 4 = (х4 – 4х2 + 4) – 4х2 = (х2 – 2)2 – 4х2 = (х2 – 2 – 2х) ∙ (х2 – 2 + 2х).

825. Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n, відмінному від 1, значення виразу n4 + n2 +1 є складеним числом. n4 + n2 + 1 = (n4 + 2n2 + 1) – n2 = (n2 + 1)2 – n2 = (n2 + 1 – n) ∙ (n2 + 1 + n) — при будь– якому натуральному значенні n, відмінному від 1, значення виразу n4 + n2 + 1 є складеним числом.

826. Під час оплати послуг через платіжний термінал стягується комісія в розмірі 3 %. Термінал приймає суми, кратні 10 грн. Івась хоче поповнити рахунок свого мобільного телефону не менше ніж на 200 грн. Яку найменшу суму грошей він має заплатити через цей термінал?

200 ∙ 1,03 = 206 грн – потрібно хлопцю, щоб на рахунку було 200 грн. Але термінал приймає суми кратні 10 грн, тобто мінімально йому потрібно 210 грн на рахунку в нього буде. 210 : 1,03 = 203,88 (грн).

827. Дано три числа, з яких кожне наступне на 4 більше за попереднє. Знайдіть ці числа, якщо добуток меншого й більшого з них на 88 менший від добутку більшого й середнього. Нехай середнє число дорівнює n, тоді найменше дорівнює n – 4, а найбільше n + 4. Рівняння: n(n + 4) – (n – 4)(n + 4) = 88; n2 + 4n – n2 + 16 = 88; 4n + 16 = 88; 4n = 72; n = 18. Шукані числа дорівнюють: 18 – 4 = 14; 18; 18 + 4 = 22. Відповідь: 14, 18 і 22.

828. Петро піднявся на гору зі швидкістю 2,5 км/год, а потім спустився іншою дорогою зі швидкістю 4 км/год. Знайдіть загальний шлях, пройдений Петром, якщо дорога на гору на 3 км коротша від дороги з гори, а час, витрачений на весь шлях, становить 4 год. Нехай довжина дороги на гору дорівнює х км, тоді її довжина з гори дорівнює (х + 3) км. х х+3 год. Рівняння: На гору Петро піднявся за год, а спустився з гори за 2,5

 shkola.in.ua

4

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html х

2,5

+

х+3 4

= 4│∙ 20;

8х + 5(х + 3) = 80; 8х + 5х + 15 = 80; 13х = 65; х = 5. Загальний шлях, пройдений, пройдений Петром, становить: 5 + (5 + 3) = 13 (км). Відповідь: 13 км.

829. Розв’яжіть рівняння: 1) |7х – 3| = 4; 2) ||x| – 10| = 8; 7х – 3 = 4 або 7х – 3 = –4; |х| – 10 = 8 або |х| – 10 = –8; 7х = 7 або 7х = –1; |х| = 18 або |х| = 2; 1 х = 18 або х = –18, х = 1 або х = – .

7 х = 2 або х = –2.

1 Відповідь: 1; – ; Відповідь: –18; –2; 2; 18; 7

3) 4(х – 2) + 5|х| = 10.

4) |x| = 3х – 8. а) Нехай х ≥ 0. Маємо: 4(х – 2) + 5х = 10; a) Нехай x ≥ 0. Маємо: х = 3х – 8; 4х – 8 + 5х = 10; х – 3х = –8; 9х = 18; –2х = –8; х = 2; х = 4; Відповідь: –18; 2; Відповідь: 4. б) нехай х < 0. Маємо: 4(х – 2) – 5х = 10; б) нехай х < 0. Маємо: –х = 3x – 8; 4х – 8 – 5 х = 10; –х – 3х = –8; –х = 18; –4х = –8; х = –18. х = 2 — не підходить.

830. Доведіть, що сума трицифрового числа та подвоєної суми його цифр ділиться націло на 3. Нехай abc — деяке трицифрове число. Маємо: abc + 2(а + b + с) = 100а + 10b + с + 2а + 2b + 2с= 102а + 12b + 3с = 3(34а + 4b + с) — ділиться націло на 3.

831. Обчисліть значення y за формулою y = 0,2x – 3, якщо: 1) x =4; 2) x = –3.

1) Якщо х = 4, то у = 0,2х – 3 = 0,2 ∙ 4 – 3 = 0,8 – 3 = –2,2; 2) якщо х = –3, то у = 0,2x – 3 = 0,2 ∙ (–3) – 3 = –0,6 – 3 = –3,6.

832. Знайдіть координати точок A, B, C, D, E, F, K, M, N, зображених на рисунку 7. А(2; 2), В(5; 1), С(0; –5), D(2; –3), E(–1 ; –1), F(–5 ; 0), K(–4; 3), М(–3; 2), N(–4; –3).

833. На координатній площині позначте точки: A (2; 3), B (4; 5), C (–3; 7), D (–2; 2), K (–2; –2), M (0; 2), N (–3; 0), P (1; –6), F (–4; –2).

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

834. Побудуйте відрізки AB і CD та знайдіть координати точки перетину цих відрізків, якщо A (–5; –2), B (1; 4), C (–3; 2), D (2; –3). Координати точки перетину відрізків АВ і СD дорівнюють (–2; 1).

shkola.in.ua

835. Як розміщена на координатній площині відносно осі x точка: 1) A (2; 6) — розміщена на координатній площині вище осі х; 2) А (–3; 1) — розміщена на координатній площині вище осі х; 3) А (–4; –5) — розміщена на координатній площині нижче осі х; 4) А (–3; 0) — розміщена на координатній площині на осі х.

836. Знайдіть координати вершин квадрата зі стороною 4, якщо дві його сторони лежать на осях координат, а добуток координат однієї з вершин — додатне число. Скільки розв’язків має задача? Три вершини квадрата лежать на осях координат і добуток їх координат дорівнює 0.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

Оскільки добуток координат четвертої вершини — додатне число, то ця вершина знаходиться у першій або у третій чверті. Тоді координати вершин квадратів зі стороною 4 дорівнюють: (0; 0), (0; 4), (4; 0), (4; 4) або (0; 0), (0; –4), (–4; 0), (–4; –4). Задача має два розв’язки.

837. Нехай x1, x2, ..., x25 — деякий набір натуральних чисел, а набір y1, y2, ..., y25 отримано з нього в результаті перестановки деяких чисел. Доведіть, що значення виразу (x1 – y1) ∙ (x2 – y2) ... (x25 – y25) є парним числом. Щоб добуток (x1 – у1)(х2 – у2) … (х25 – y25) був непарним числом потрібно, щоб числа у кожному його множнику були різної парності, тобто потрібно, щоб серед чисел x1, х2, .., x25 непарних чисел було стільки, скільки парних серед чисел у1, у2, ...,y25, і навпаки. Але числа у1, у2, ..., y25 утворені перестановкою чисел х1, х2,…,х25, а серед 25 чисел не може  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

бути однакової кількості парних і непарних чисел. Отже, значення виразу (х1 – у1)(х2 – у2) ... (x25 – y25) є парним числом. ЗАВДАННЯ № 5 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ 1. Подайте у вигляді многочлена вираз. (x − 6)(x2 + 6x + 36) = x3 – 63 = x3 − 216. Відповідь: В).

2. Знайдіть многочлен M, якщо y3 – 64 = (y − 4) ⋅ M. y3 – 64 = (y − 4)(y2 + 4x + 16). Отже, M = y2 + 4x + 16. Відповідь: Г).

3. Спростіть вираз. (a2 + 2b3)(a4 − 2a2b3 + 4b6) = (a2)3 + (2b3)3 = a6 + 8b9. Відповідь: Г).

4. Розкладіть на множники многочлен.

3c2 – 48 = 3(c2 − 16) = 3(c − 4)(c + 4). Відповідь: Б).

5. Розкладіть на множники вираз.

7a2 − 42a + 63 = 7(a2 − 6a + 9) = 7(a − 3)2. Відповідь: Б).

6. Розкладіть на множники многочлен. a8 − a6 = a6(a2 − 1) = a6(a − 1)(a + 1). Відповідь: Б).

7. Розкладіть на множники вираз. m2 + n2 + m + n = (m – n)(m + n) + m + n = (m + n)(m – n + 1). Відповідь: А).

8. Подайте у вигляді добутку вираз. х2 – у2 + 14у – 49 = х2 – (у2 – 14у + 49) = х2 – (у – 7)2 = (х – у + 7)(х + у – 1). Відповідь: В).

9. Розкладіть на множники многочлен.

81а4 – 1 = (9а2)2 – 1 = (9а2 – 1)(9а2 + 1) = (3а – 1)(3а + 1)(9а2 + 1). Відповідь: А).

10. Розв’яжіть рівняння.

49х – х2 = 0 х(49 – х) = 0 х = 0 або 49 – х = 0 х = 0 або х = 49 Відповідь: В).

11. Розв’яжіть рівняння. х3 + 3х – х – 3 = 0 х2(х + 3) – (х + 3) = 0 (х2 – 1)(х + 3) = 0 (х – 1)(х + 1)(х + 3) = 0 х – 1 = 0, або х + 1 = 0, або х + 3 = 0 х = 1, або х = -1, або х = -3 Відповідь: Г).

12. Подайте у вигляді добутку вираз. (х2 – 2)2 – 4(х2 – 2) + 4 = ((х2 – 2) – 2)2 = (х2 – 4)2 = (х – 2)2(х + 2)2. Відповідь: Б).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

§2. ФУНКЦІЇ 20. Зв’язки між величинами. Функція 838. Чи пов’язані між собою периметр рівностороннього трикутника та його сторона? Якщо сторона трикутника дорівнює a, а периметр — P, то якою формулою можна задати залежність змінної P від змінної a? Чи є ця залежність функціональною? Периметр Р рівностороннього трикутника і його сторона а пов’язані між собою формулою Р = 3а. Ця залежність є функціональною.

839. Чи пов’язані між собою площа квадрата та його сторона? Якщо сторона квадрата дорівнює a, а площа — S, то якою формулою можна задати залежність змінної S від змінної a? Чи є ця залежність функціональною? Площа S квадрата і його сторона а пов’язані між собою формулою S = а2. Ця залежність є функціональною.

840. Автомобіль рухається зі швидкістю 60 км/год. Як залежить довжина пройденого ним шляху s від часу руху t? Задайте цю залежність формулою. Чи є ця залежність функціональною? У разі ствердної відповіді назвіть аргумент відповідної функції. Довжина пройденого шляху s км і час руху t год пов’язані між собою формулою s = 60t. Ця залежність є функціональною. Аргументом цієї функції є змінна t.

841. У цистерні було 300 л води. Через відкритий кран що–хвилини із цистерни виливається 2 л води. Задайте формулою залежність об’єму V води в цистерні від часу t, протягом якого з неї виливається вода. Чи є правило, за допомогою якого за значенням змінної t можна знайти значення змінної V, функцією? У разі ствердної відповіді вкажіть область визначення та область значень цієї функції. Об’єм V л води в цистерні і час t хв, протягом якого з неї виливається вода, пов’язані між собою формулою V = 300 – 2t. Ця залежність є функціональною. Областю визначення функції є усі числа не менші від 0 і не більші від 150. Областю значень функції є усі числа не менші від 0 і не більші від 300.

842. Нехай a — довжина ребра куба, V — його об’єм. Задайте формулою залежність змінної V від змінної a. Чи є ця залежність функціональною?

V = а3 — залежність є функціональною.

843. Автомобіль проїхав 120 км зі швидкістю v. Якою формулою можна задати залежність часу t, витраченого на поїздку, від швидкості v автомобіля? Чи є ця залежність функціональною? У разі ствердної відповіді вкажіть, яка зі змінних є аргументом відповідної функції. t = 120 : v — залежність є функціональною. Аргументом функції є змінна υ.

844. Нехай градусні міри двох суміжних кутів дорівнюють α і β. Задайте формулою залежність β від α. Чи є ця залежність функціональною? У разі ствердної відповіді вкажіть, яка зі змінних є аргументом відповідної функції, її область визначення та область значень. β = 180 – α — залежність є функціональною. Аргументом функції є змінна а. Областю визначення функції є усі числа більші від 0° і менші від 180°. Областю значень функції є усі числа більші від 0° і менші від 180°.

845. У вашому класі було проведено контрольну роботу з математики. 1) Кожному учню поставили у відповідність оцінку, яку він отримав. 2) Кожній оцінці поставили у відповідність учня, який її отримав. Яке із цих правил є функцією? Функцією є правило: «Кожному учню поставили у відповідність оцінку, яку він отримав».  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

846. Розглянемо правило, згідно з яким кожному натуральному числу відповідає протилежне йому число. Чи є таке правило функцією? Правило, згідно з яким кожному натуральному числу відповідає протилежне йому число є функцією.

847. Кожному невід’ємному числу поставили у відповідність саме це число, а кожному від’ємному числу — число, йому протилежне. Чи є таке правило функцією? Правило: «Кожному невід’ємному числу поставили у відповідність саме це число, а кожному від’ємному числу — число, йому протилежне» є функцією.

848. Кожному раціональному числу, відмінному від нуля, відповідає обернене до нього число. Чи є таке правило функцією? Правило: «Кожному раціональному числу, відмінному від нуля, відповідає обернене до нього число» є функцією.

849. Користуючись графіком залежності температури повітря від часу протягом доби (рис.

12), визначте: Складіть за графіком таблицю зміни температури повітря протягом доби через кожні 2 год.

1) Температура повітря о 4 год була –4 °С, о 6 год — –5 °С, о 10 год — –2 °С, о 18 год — 5 °С, о 22 год — 0 °С; 2) температура повітря 5°С була о 13 год і 18 год; –2 °С — о 3 год, о 10 год і о 23 год; 3) температура повітря була нульовою о 2 год, 11 год і 22 год; 4) найнижча температура –5 °С була о 6 год; 5) найвища температура 7° була о 16 год; 6) температура повітря була нижчою від 0 °С від 2 год до 11 год і від 22 год до 24 год; вищою за 0 °С — від 0 год до 2 год і від 11 год до 22 год; 7) температура повітря підвищувалась від 6 год до 16 год, а знижувалась від 0 год до 6 год і від 16 год до 24 год. Час, год 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 t, °С 3 0 -4 -5 -3 -2 3 6 7 5 3 0 -3 850. На рисунку 13 зображено графік зміни температури розчину під час хімічного досліду. Складіть за графіком таблицю зміни температури розчину через кожні 10 хв протягом перших двох годин після початку досліду.

1) Початкова температура розчину була 4° С; 2) через 30хв після початку досліду температура розчину була 30 °С, а через півтори години — 14 °С; 3) найвища температура розчину була 45°С через 60 хв після початку досліду; 4) температура розчину 35°С була через 45 хв і через 70 хв після початку досліду. Час, год 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 t, °С 4 9 14 30 34 40 45 35 25 13 10 10 10 851. На рисунку 14 зображено графік зміни температури повітря протягом доби. Користуючись цим графіком, визначте: Складіть за графіком таблицю зміни температури повітря протягом доби через кожні 2 год.

1) Температура повітря о 2 год була –5 °С, о 8 год — –6 °С, о 12 год — –4 °С, о 16 год — 0 °С, о 22 год — –2 °С; 2) температура повітря –3 °С була о 14 год і 23 год; –4 °С — о 0 год, о 12 год і о 24 год; 0 °С — о 16 год і о 21 год; 3) найнижча температура –10 °С була о 6 год; 4) найвища температура 4 °С була о 18 год; 5) температура повітря була нижчою від 0 °С від 0 год до 16 год і від 21 год до 24 год; вищою за 0 °С — від 16 год до 21 год;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

6) температура повітря підвищувалась від 6 год до 18 год, а знижувалась від 0 год до 6 год і від 18 год до 24 год. Час, год 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 t, °С -4 -5 -9 -10 -6 -5 -4 -3 0 4 2 -2 -4 852. Мотоцикліст виїхав з дому й через деякий час повернувся. На рисунку 17 зображено графік зміни відстані від мотоцикліста до дому залежно від часу (графік руху мотоцикліста). Користуючись графіком, визначте: 1) За першу годину руху мотоцикліст проїхав 60 км.

2) мотоцикліст зупинився на перший відпочинок на відстані 120 км від місця початку руху; на другий відпочинок — на відстані 75 км; 3) перший відпочинок тривав 1 год; другий відпочинок — 0,5 год; 4) через 5 год після початку руху мотоцикліст був на відстані 60 км від місця початку руху; 5) останні півгодини мотоцикліст рухався зі швидкістю 90 км/год.

853. Турист вийшов з базового табору й через деякий час повернувся. На рисунку 16 зображено графік руху туриста.

1) Через 10 год після початку руху турист був на відстані 10 км від дому; 2) на зупинку турист витратив 3 год; 3) турист був на відстані 8 км від домівки через 2 год і через 11 год після виходу; 4) до зупинки турист йшов зі швидкістю 4 км/год; 5) останні дві години турист йшов зі швидкістю 2,5 км/год.

854. Кожному числу поставили у відповідність відстань від точки, що зображає це число на координатній прямій, до початку відліку. Поясніть, чому описане правило є функцією. Знайдіть її область визначення та область значень. Позначивши цю функцію буквою ƒ, знайдіть ƒ(2), ƒ(–5), ƒ(0). Кожному числу відповідає єдина відстань від точки, що зображає це число на координатній прямій, до початку відліку. Тому це правило є функцією. Областю визначення функції є усі числа, а областю значень — усі невід’ємні числа. ƒ(2) = 2, ƒ(–5 ) = 5, ƒ(0 ) = 0.

855. Розглянемо функцію g, задану таким правилом: кожному одноцифровому натуральному числу поставили у відповідність останню цифру його квадрата. 1) Запишіть, чому дорівнює g(7), g(3), g(1), g(9), g(4). 2) Знайдіть область визначення та область значень функції. Кожному одноцифровому натуральному числу відповідає єдина остання цифра його квадрата. Тому це правило є функцією.

1) g(7) = 9, g(3) = 9, g(1) = 1, g(9) = 1, g(4) = 6; 2) областю визначення функції є усі одноцифрові натуральні числа, а областю значень — числа 1, 4, 5, 6, 9.

856. Розглянемо правило, за яким числу 0 ставляться у відповідність усі парні числа, а числу 1 — усі непарні числа. Чи є це правило функцією? Числу 0 ставляться у відповідність усі парні числа, а не єдине число, тому це правило не є функцією.

857. Придумайте функцію ƒ, областю визначення якої є всі натуральні числа, а областю значень — три числа: 0, 1, 2. Знайдіть ƒ (7), ƒ (15), ƒ (101). Числу 1 ставлю у відповідність число 1, числу 2 — 2, а всім іншим натуральним числам ставлю у відповідність число 0. Це правило є деякою функцією ƒ. ƒ(7) = 0, ƒ(15) = 0, ƒ(101) = 0.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

858. Розглянемо правило, за яким кожному натуральному числу поставили у відповідність остачу при діленні його на 7. Чи є це правило функцією? У разі ствердної відповіді знайдіть область визначення та область значень цієї функції. Кожному натуральному числу поставили у відповідність єдину остачу від ділення його на 7, тому це правило є функцією. Областю визначення функції є всі натуральні числа, а областю значень — числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

859. У таблиці наведено виміри температури повітря протягом доби через кожну годину. Побудуйте за цими даними графік зміни температури. Користуючись графіком, знайдіть, протягом якого часу температура підвищувалася та протягом якого часу знижувалася. Температура повітря підвищувалась від 0 год до 1 год і від 6 год до 14 год, а знижувалась від 1 год до 6 год і від 14 год до 24 год.

shkola.in.ua

860. У таблиці наведено залежність попиту на картоплю в деякому регіоні (у тисячах тонн) від ціни 1 кг картоплі. Подайте дані, наведені в таблиці, графічно. Сполучивши отримані точки відрізками, побудуйте криву попиту на картоплю.

shkola.in.ua

861. У таблиці наведено дані про рівень води в річці порівняно з ординаром (середнім рівнем води) з 1 по 15 травня. Побудуйте графік зміни рівня води в річці за вказаний час.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

shkola.in.ua

862. Велосипедистка виїхала з дому на прогулянку. Перші 2 год вона їхала зі швидкістю 12 км/год, потім відпочивала годину й повернулася додому зі швидкістю 8 км/год. Побудуйте графік руху велосипедиста.

shkola.in.ua

863. Початкова температура води була 6 °С. Під час нагрівання температура води підвищувалася щохвилини на 2 °С. 1) Запишіть формулу залежності температури T води від часу t її нагрівання. 2) Складіть таблицю значень температури T за час нагрівання від 0 хв до 10 хв із кроком 1 хв. 3) Побудуйте графік залежності температури води від часу нагрівання протягом перших 10 хв.

1) T = 6 + 2t.

2) t, хв 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T, °С 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 3)

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

864. Прямолінійна дорога проходить повз туристичний табір. Турист, перебуваючи на відстані 5 км від табору, почав рухатися цією дорогою зі швидкістю 4 км/год, віддаляючись від табору. 1) Знайдіть відстань s від табору, на якій перебуватиме турист через t год після початку руху туриста. 2) Заповніть таблицю значень s: 1) s = 5 + 4t.

2) t, год 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 s, км 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3)

shkola.in.ua

865. У міській раді Сонячного міста представлено дві партії: партія Знайка й партія Незнайка. Усього в міській раді 20 місць. У таблиці наведено кількість депутатських місць, які отримала партія Знайка протягом 8 останніх виборів. Вибори 1 2 3 4 5 6 7 8 К-ть депутатів від партії Незнайка 6 8 10 4 2 5 6 10

shkola.in.ua

Червоний – партія Знайка; блакитний – партія Незнайка.

866. У баку було 8 л гасу. Щохвилини в бак уливають 4 л. 1) Запишіть залежність кількості y літрів гасу в баку від часу x, протягом якого гас уливали в бак. 2) Накресліть графік зміни y, надаючи x значень від 0 до 10. 3) Користуючись графіком, визначте: а) скільки літрів гасу буде в баку через 3 хв; через 5 хв; б) через скільки хвилин у баку буде 40 л гасу. 4) Через скільки хвилин бак буде наповнено, якщо його місткість — 80 л?

1) y = 8 + 4х; 2) х, хв 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 у, л 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

shkola.in.ua

3) а) через 3 хв в баці буде 20 літрів гасу, а через 5 хв — 28 л; б) у баці буде 40 л гасу через 8 хвилин.

4) якщо бак уміщує 80 л гасу, то він буде наповнений за 18 хвилин.

867. На складі було 100 т вугілля. Щодня на склад привозили 20 т вугілля. 1) Виразіть формулою залежність кількості m вугілля на складі від часу t. 2) Накресліть графік цієї залежності.

1) m = 100 + 20t.

2)

shkola.in.ua

868. Який із наведених графіків (рис. 19) ілюструє залежність змінної y від змінної x, подану нижче: 1) вартість проїзду в автобусі зростає на 1 грн через кожні 10 км шляху (x км — довжина шляху, y грн — вартість проїзду); 2) металеву пружину розтягнули й відпустили (x с — час, y см — довжина пружини); 3) вартість полуниці на ринку протягом травня — червня (x днів — час, y грн — вартість)?

1) Залежність вартості проїзду в автобусі проілюстрована на графіку б); 2) залежність розтягу металевої пружини проілюстрована на графіку в); 3) залежність вартості полуниці на ринку проілюстрована на графіку а).

869. Розв’яжіть рівняння: 1) –1,2х + 7,2 = 0; 3) 3х + 1,5 = –2,5; –1,2х = –7,2; 3х = –4; 1 х = 6. х = –1 .

3 Відповідь: 6; 1 Відповідь: –1 ;  shkola.in.ua

3

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 1 4) 6 – 0,5х = 16; 2) – х – 6 = 0 | ∙ 3; 3 –0,5х = 10; –х – 18 = 0; x = –20. x = –18. Відповідь: –20. Відповідь: –18; 870. Розкладіть на множники вираз: 9 9 3 3 3 1) – b6 + 16m2n4 = 16m2n4 – b6 = (4mn2)2 – ( b3)2 = (4mn2 – b3)(4mn2 + b3); 64 64 8 8 8 2) 20z2 + 3ху – 15xz – 4уz = 20z2 – 15хz + 3xz – 4уz = 5z(4z – 3х) + у(3х – 4z) = = 5z(4z – 3х) – у(4z – 3x) = (4z – 3х)(5z – у); 3) 0,027а12 + b9 = (0,3а4)3 + (b3)3 = (0,3а4 + b3)((0,3а4)2 – 0,3а4 b3 + (b3)2) = = (0,3a4 + b3)((0,09а8 – 0,3а4b3 + b6).

871. Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n значення виразу: 1) (n + 25) (n + 3) – (n + 6) (n + 4) – 6 : 9. Доведення: (n + 25) (n + 3) – (n + 6) (n + 4) – 6 = n2 + 3n + 25n + 75 – n2 – 4n – 6n – 24 – 6 = = 18n + 45 = 9 (2n+ 5) : 9. Доведено.

2) (13n – 24) (13n + 24) – (12n – 26) (12n + 26) : 25 Доведення: (13n – 24) (13n + 24) – (12n – 26) (12n + 26) = (169n2 – 576) – (144n2 – 676) = = 169n2 – 576 – 144n2 + 676 = 25n2 + 100 = 25 (n2 + 4) : 25. Доведено.

3) (9n + 2)2 – (3n – 2)2 : 24. Доведення: (9n + 2)2 – (3n – 2)2 = (9n + 2 – 3n + 2) (9n + 2 + 3n – 2) = (6n + 4) 12n = = 2 ∙ 12n (3n + 2) = 24n (3n + 2) : 24. Доведено.

872. Відомо, що при деякому значенні x значення виразу 2x2 – 3x + 1 дорівнює 2. Знайдіть значення виразу 10x2 – 15x – 20 при цьому значенні змінної x.

2х2 – 3х + 1 = 2 10х2 – 15 – 20 = 5(2х2 – 3х – 4) = 5(2х2 – 3х + 1 – 5) = 5(2 – 5) = 5 (–3) = –15.

873. Знайдіть таке найменше натуральне значення a, при якому вираз x2 − 4x + 2a набуває додатних значень при будь–якому значенні x. х2 – 4х + 2а = х2 – 4х + 4 – 4 + 2а = (х – 2)2 + 2а – 4. Вираз (х – 2)2 + 2а – 4 набуває додатного значення, коли 2а – 4 > 0. Найменшим натуральним значенням а, при якому вираз набуває додатного значення є а = 3.

874. У готелі є тільки одномісні та двомісні номери. На кожні 3 одномісних номери припадає 2 двомісних. 1) Скільки відсотків становить кількість одномісних номерів від загальної кількості номерів? 2) Скільки всього місць в готелі, якщо є 34 двомісних номери?

1) 3 + 2 = 5 – всього номерів; 5 – 100% 3 – х% х = 3 ⋅ 100 : 5 = 60% - одномісних.

2) 34 : 2 = 17 – пар двомісних; 3) 17 ⋅ 3 = 51 – одномісних; 4) 34 + 51 = 85 – номерів.

875. Натуральні числа x і y такі, що 34x = 43y. Доведіть, що число x + y складене.

43 43 43+34 77 З того, що 34x = 43у слідує, що х = у. Тоді: х + у = у + у = у = y.

34

Очевидно, що натуральне число х + у =

77

34

34

34

y ділиться на 7 і на 11, тому є складеним.

34

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

21. Способи задання функції 876. Прочитайте запис, укажіть аргумент функції та залежну змінну: 1) s(t ) = 70t — «ес від те дорівнює сімдесят те». Аргумент функції — t, залежна змінна — s; 2) y(x) = –2х + 4 — «ігрек від ікс дорівнює мінус два ікс плюс чотири». Аргумент функції — х, залежна змінна — у; 3) V(a) = а3 — «ве від а дорівнює а в кубі». Аргумент функції — а, залежна змінна — V; 4) ƒ(х) = х2 – 4 — «еф від ікс дорівнює ікс у квадраті мінус чотири». Аргумент функції — х, залежна змінна — ƒ.

877. Функцію задано формулою y = 10x + 1. Знайдіть значення y, якщо: 1) Якщо х = –1, то у = 10 ∙ (–1) + 1 = –10 + 1 = –9; 2) якщо х = 3, то у = 10 ∙ 3 + 1 = 30 + 1 = 31; 1 1 3) якщо х = – , то у = 10 ∙ ( ) + 1 = –2 + 1 = – 1; 5 5 4) якщо х = 7, то у = 10 ∙ 7 + 1 = 70 + 1 = 71.

878. Функцію задано формулою y = 3 – 4х. Чи є правильною рівність: 1) f(–2) = –5 – не є правильною рівність, оскільки f(–2) = 3 – 4 ∙ (–2) = 3 + 8 = 12.

1 1 1 2) f ( ) = 1 – правильна рівність, оскільки f ( ) = 3 – 4 ∙ = 3 – 2 = 1.

2 2 2 3) f(0) = –1 – не є правильною рівність, оскільки f(0) = 3 – 4 ∙ 0 = 3.

4) f(–1) = 7 – правильна рівність, оскільки f(–1) = 3 – 4 ∙ (–1) = 3 + 4 = 7.

879. Функцію задано формулою f (x) = 7x – 5. Знайдіть: 1) f(2) = 7 ∙ 2 – 5 = 14 – 5 = 9; 2) f(0) = 7 ∙ 0 – 5 = –5; 3) f(–3) = 7 ∙ (–3) – 5 = –21 – 5 = – 26.

4) f(200) = 7 ∙ 200 – 5 = 1400 – 5 = 1395.

880. Функцію задано формулою f (x) = 2x2 – 1. Чи є правильною рівність: 1) f(1) = 1 – правильна рівність. f(1) = 2 ∙ 12 – 1 = 1.

2) f (4) = 2 ∙ 42 – 1 = 2 ∙ 16 – 1 = 32 – 1 = 31.

3) f(–2) = –9 – не є правильною рівність. f(–2) = 2 ∙ (–2)2 – 1 = 2 ∙ 4 – 1 = 7.

4) f(0) = 2 ∙ 02 – 1 = –1 – не є правильною рівність.

5) f(–1) = 1. f(–1) = 2 ∙(–1)2 – 1 = 1 – правильна рівність.

6) f(–5) = 19. f(–5) = 2 ∙ (–5)2 – 1 = 50 – 1 = 49 – не є правильною рівність.

881. Функцію задано формулою y = x2 - 3. Знайдіть значення y, якщо: 1) x = 5; у = 52 – 3 = 22.

2) x = –4; у = (-4)2 – 3 = 13.

3) x = 0,1; у = (0,1)2 – 3 = -2,99.

4) x = 0; у = 02 – 3 = -3.

882. Функцію задано формулою f (x) = 3 + 4x. Знайдіть значення x, при якому: 1) f(x) = 19; 2) f(x) = –3; 3) f(x) = 0; 4) f(x) = 323; 3 + 4x = 19; 3 + 4x = –3; 3 + 4x = 0; 3 + 4x = 323; 4x = 19 – 3; 4x = –3 – 3; 4x = –3; 4x = 320; 4x = 16; 4x = –6; x = – 0,75. x = 80. x = 4. x = –1,5.

883. Функцію задано формулою f (x) = –0,1x – 2. Знайдіть значення x, при якому: 1) f(x) = 1; 2) f(x) = –100; 3) f(x) = –43,6; –0,1x – 2 = 1; –0,1x – 2 = –100; –0,1x – 2 = –43,6; 0,1x = 3; –0,1x = –100 + 2; –0,1x = 2 – 43,6; x = 3: (–0,1); –0,1x = –98; –0,1x = –41,6; x = –30. x = –98 : (–0,1); x = –41,6 : (–0,1); x = 980. x = 416.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 1

884. Функцію задано формулою y = − x + 2. Знайдіть: 1) значення функції для значень 6 аргументу 12, 6, –6, 0, 1, 2, –4, –3; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 4, 3, 0, –1.

1 1) Якщо х = 12, то у = – ∙ 12 + 2 = –2 + 2 = 0; 1

6

якщо х = 6, то у = – ∙ 6 + 2 = – 1 + 2 = 1; 6

1

якщо х = –6, то у = – ∙ (–6) + 2 = 1 + 2 = 3; 1

6

якщо х = 0, то y = – ∙ 0 + 2 = 0 + 2 = 2; 6 1

1

5

якщо х = 1,то у = – ∙ 1 + 2 = – + 2 = 1 ; 6 1

6 1

6

2

якщо х = 2, то у = – ∙ 2 + 2 = – ∙ + 2 = 1 ; 6

3

1

2

3

2

якщо х = –4, то у = – ∙ (–4) + 2 = + 2 = 2 ; 6 1

3 1

3 1

якщо х = –3, то у = – ∙ (–3) + 2 = + 2 = 2 ; 6

1

2

2

2) а) якщо у = 4, то: 4 = – х + 2 | ∙ 6; 24 = –х + 12; х = –12; 1

6

б) якщо у = 3, то 3 = – х + 2 | ∙ 6; 18 = –х + 12; х = – 6; 6 1

в) якщо у = 0, то: 0 = – х + 2 | ∙ 6; 0 = –х + 12; х = 12; 6

1

г) якщо у = –1, то: –1 = – х + 2 | ∙ 6; –6 = –х + 12; х = 18.

6 885. Функцію задано формулою ƒ(x) = 2x – 1. 1) Знайдіть ƒ(3), ƒ(–4), ƒ(0), ƒ(–0,5), ƒ(3,2).

2) Знайдіть значення x, при якому ƒ(x) = 7, ƒ(x) = –9, ƒ(x) = 0, ƒ(x) = −2,4. 3) Чи є правильною рівність: ƒ(5) = 9, ƒ(0,3) = 0,4, ƒ(–3) = –7?

1) ƒ(3) = 2 ∙ 3 – 1 = 6 – 1 = 5; ƒ(–4) = 2 ∙ (–4) – 1 = – 8 – 1 = – 9; ƒ(0) = 2 ∙ 0 – 1 = 0 –1 = –1; ƒ(–0,5) = 2 ∙ (–0,5) – 1 = –1 – 1 = –2; ƒ(3,2) = 2 ∙ 3,2 – 1 = 6,4 – 1 = 5,4.

2) якщо ƒ(х) = 7, то: 7 = 2х – 1; 2х = 8; х = 4; якщо ƒ(х) = –9, то: –9 = 2х – 1; 2х = –8; х = –4; якщо ƒ(х) = 0, то: 0 = 2х – 1; 2х = 1; х = 0,5; якщо ƒ(х) = –2,4, то: –2,4 = 2х – 1; 2х = –1,4; х = –0,7; 3) ƒ(5) = 2 ∙ 5 – 1 = 10 – 1 = 9 — рівність ƒ(5) = 9 правильна; ƒ(0,3) = 2 ∙ 0,3 – 1 = 0,6 – 1 = –0,4 — рівність ƒ(0,3) = 0,4 не правильна; ƒ(–3) = 2 ∙ (–3) – 1 = –6 – 1 = –7 — рівність ƒ(–3) = –7 правильна.

886. Функцію задано формулою y = x(x + 8). Заповніть таблицю: Якщо х = –3, то у = –3 ∙ (–3 + 8) = –3 ∙ 5 = –15; якщо х = –2, то у = –2 ∙ (–2 + 8) = –2 ∙ 6 = – 12; якщо х = –1, то у = –1 ∙ (–1 + 8) = –1 ∙ 7 = –7 ; якщо х = 0, то у = 0 ∙ (0 + 8) = 0; якщо х = 1, то y = 1 ∙ (1 + 8) = 1 ∙ 9 = 9; якщо х = 2, то у = 2 ∙ (2 + 8) = 2 ∙ 10 = 20; якщо х = 3, то у= 3 ∙ (3 + 8) = 3 ∙ 11 = 33. х -3 -2 -1 0 1 2 3 у -15 -12 -7 0 9 20 33 2 887. Функцію задано формулою y = − x. Заповніть таблицю: 2

3

2

Якщо x = –9, то у = – ∙ (–9) = 6; якщо х = – 6, то у = – ∙ (–6) = 4; 3 2

2

3

4

якщо х = –3, то у = – ∙ (–3) = 2; якщо x = –2, то у = – ∙ (–2) = ; 3

3

 shkola.in.ua

3

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 2

2

2

якщо x = –1, то у = – ∙ (–1) = ; якщо х = 0, то у = – ∙ 0 = 0; 2

3

2

3

2

3

4

якщо х = 1, то у = – ∙ 1 = – ; якщо x = 2, то у = – ∙ 2 = – ; 3 2

3

3 2

3

якщо х = 3, то у = – ∙ 3 = –2; якщо х = 6, то у = – ∙ 6 = –4.

3 3 х -9 -6 -3 -2 -1 0 1 2 3 6 4 4 2 2 у 6 4 2 0 -2 -4 3 3 3 3 888. Функцію задано формулою y = x2 + x + 1. Заповніть таблицю: y(–3) = (–3)2 + (–3) + 1 = 9 – 3 + 1 = 7. y(–2) = (–2)2 + (–2) + 1 = 4 – 2 + 1 = 3. y(–1) = (–1)2 + (–1) + 1 = 1. y(0) = 02 + 0 + 1 = 1. y(1) = 12 + 1 + 1 = 3. y(2) = 22 + 2 + 1 = 7. y(4) = 42 + 4 + 1 = 16 + 4 + 1 = 21. y(7) = 72 + 7 + 1 = 49 + 7 + 1 = 57. х -3 -2 -1 0 1 2 4 7 у 7 3 1 1 3 7 21 57 889. Кожному натуральному числу, яке більше за 10, але менше від 20, поставили у відповідність остачу при діленні цього числа на 6. 1) Яким способом задано цю функцію?

2) Яка область значень цієї функції? 3) Задайте цю функцію табличним способом.

1) Функцію задано описом; 2) областю значень функції є числа 0, 1,2, 3,4, 5; 3) х 11 12 13 14 15 16 17 18 19 у 5 0 1 2 3 4 5 0 1 890. Область визначення деякої функції — усі двоцифрові натуральні числа, які кратні 10, а значення функції у 5 разів менші від відповідних значень аргументу. Задайте цю функцію формулою та табличним способом. х 10 20 30 40 50 60 70 80 90 у 2 4 6 8 10 12 14 16 18 х y = , де x = 10k, k = 1…9.

5 891. Область визначення деякої функції — одноцифрові натуральні числа, а значення функції у 2 рази більші за відповідні значення аргументу. 1) Яким способом задано цю функцію? 2) Задайте цю функцію формулою та табличним способом.

1) Функцію задано описом; 2) у = 2х, де х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0; х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 у 2 4 6 8 10 12 14 16 18 892. Задайте формулою функцію, якщо значення функції: 1) протилежні відповідним значенням аргументу; 2) дорівнюють потроєним відповідним значенням аргументу; 3) на 4 більші за квадрати відповідних значень аргументу.

1) у = –х; 2) у = 3х; 3) у = х2 + 4.

893. Задайте формулою функцію, якщо значення функції: 1) на 3 менші від відповідних значень аргументу; 2) на 5 більші за подвоєні відповідні значення аргументу.

1) у = х – 3 ; 2) у = 2х + 5.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

894. Складіть із кроком 0,5 таблицю значень функції, заданої формулою y = x2 + 2x, де – 1≤ х ≤ 3. х -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 у -1 -0,75 0 1,25 3 5,25 8 11,25 15 3 895. Складіть із кроком 1 таблицю значень функції, заданої формулою y = x – 1, де –3 ≤ х ≤ 2. х -3 -2 -1 0 1 2 у -28 -9 -2 -1 0 7 896. Функцію задано формулою y = 0,2x – 5. Заповніть таблицю відповідних значень x і y: х 4 35 -1,5 18 -3 у -4,2 2 -5,3 -1,4 -5,6 1 897. Дано функцію y = 8 − x. Заповніть таблицю: 7 х 14 56 -1,4 -7 у 6 0 8,2 9 20 898. Дано функції g(x) = −3 і h (x) = 8 – 3x. Порівняйте: 1) g(1) = 2) g(5) =

20 1 20

х

– 3 = 17. h(1) = 8 – 3 ∙ 1 = 5. g(1) > h(1); – 3 = 1. h(2) = 8 – 3 ∙ 2 = 2. g(5) < h(2);

5 20

3) g(–2) = – 3 = –13. h(6) = 8 – 3 ∙ 6 = –10. g(–2) < h(6). −2 899. Дано функцію. Знайдіть: 1) ƒ (–3); 2) ƒ (–2); 3) ƒ (2); 4) ƒ (3); 5) ƒ (2,9); 6) ƒ (8,1). −2х + 1, якщо х ≤ −2, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) � х2 , якщо − 2 < х < 3, 6, якщо х ≥ 3.

1) ƒ(-3) = -2 ∙ (-3) + 1 = 7; 2) ƒ(-2) = -2 ∙ (-2) + 1 = 5; 3) ƒ(2) = 22 = 4; 4) ƒ(3) = 6; 5) ƒ(2,9) = 2,92 = 8,41; 6) ƒ(8,1) = 6.

900. Знайдіть значення функції яке відповідає аргументу: −2х + 4, якщо х > 0; у=� 0,1х − 5, якщо х ≤ 0.

1) у(3) = -2 ∙ 3 + 4 = -2; 2) у(0,001) = -2 ∙ 0,001 + 4 = -0,002 + 4 = 3,998; 3) у(0) = 0,1 ∙ 0 – 5 = -5; 4) у(-8) = 0,1 ∙ (-8) – 5 = -0,8 – 5 = -5,8.

901. Функцію задано за допомогою таблиці: 1) Які числа складають область визначення цієї функції? 2) Задайте цю функцію описом і формулою. х 2 4 6 8 у 5 7 9 11 1) Область визначення функції складають числа 2, 4, 6, 8; 2) значення функції на 3 більші від відповідних значень аргументу. Формула функції у = х + 3.

902. Функцію задано за допомогою таблиці: 1) Які числа складають область визначення цієї функції? 2) Задайте цю функцію описом і формулою. х 1 3 5 7 9 у 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1) Область визначення функції складають числа 1, 3, 5, 7, 9; 2) значення функції вдвічі менші від відповідних значень аргументу. Формула функції y = 0,5х.

903. Функції задано формулами y = x2 −8x і y = 4 – 8x. При яких значеннях аргументу ці функції набувають рівних значень? Функції у = х2 – 8х і у = 4 – 8х набудуть рівних значень, якщо: х2 – 8х = 4 – 8х; х2 = 4; х = –2 або х = 2.

904. Функцію задано формулою ƒ (x) = 3x + 5. При якому значенні x значення функції дорівнює значенню аргументу? Значення функції ƒ(х) = 3х + 5 дорівнює значенню аргументу, якщо: х = 3х + 5; х – 3х = 5; –2x = 5; х = –2,5.

905. Функцію задано формулою y = x2 + 2x − 1. При яких значеннях x значення функції дорівнює подвоєному значенню аргументу? Значення функції у = х2 + 2х – 1 дорівнює подвоєному значенню аргументу, якщо: 2х = х2 + 2х – 1; х2 – 1 = 0; х2 = 1; х = –1 або х = 1.

906. Функцію ƒ задано описом: значення функції дорівнює найбільшому цілому числу, яке не більше за відповідне значення аргументу. Знайдіть ƒ (3,7), ƒ (0,64), ƒ (2), ƒ (0), ƒ (–0,35), ƒ (–2,8). ƒ(3,7) = 3, ƒ(0,64) = 0, ƒ(2) = 2, ƒ(0) = 0, ƒ(–0,35) = –1, ƒ(–2,8) = –3.

907. Цього року фермер скоротив площу під капусту на 10 %. Урожайність капусти цього року підвищилася на 12 % порівняно з минулим роком. Збільшився чи зменшився врожай капусти порівняно з минулим роком і на скільки відсотків? Початкова площа під капустою х, а урожайність у. Цього року площу скоротили на 10%, стало 90% = 0,9, тобто площа 0,9х, а урожайність збільшилась на 12% і стала 112% = 1,12, тобто 1,12у. В минулому році зібрали х ∙ у кап., а цього року 0,9х ∙ 1,12у = 1,008ху. Як бачимо, зібрано в цьому році більше на 0,8%.

908. Яке з даних рівнянь: а) має один корінь; б) має два корені; в) має безліч коренів; г) не має жодного кореня: 1) 3,4(1 + 3х) – 1,2 = 2(1,1 + 5,1х); 2) |2х – 1| = 17,3; 3,4 + 10,2х – 1,2 = 2,2 + 10,2x; 2x – 1 = 17,3 або 2x – 1 = –17,3; 10,2x – 10,2x = 2,2 – 3,4 + 1,2; 2х = 18,3 або 2х = –16,3; 0х = 0 — рівняння має безліч коренів. х = 9,15 або x = –8,15 — рівняння має два Відповідь: Рівняння має безліч коренів; корені. Відповідь: Рівняння має два корені; 3) 3(|x – 1| – 6) + 21 = 0; 4) 0,2(7 – 2x) = 2,3 – 0,3(x – 6); 3(|x – 1| – 6) = – 21; 1,4 – 0,4x = 2,3 – 0,3x + 1,8; |x – 1| – 6 = –7; –0,4x + 0,3x = 2,3 + 1,8 – 1,4 ; |х – 1| = –1 — рівняння не має жодного –0,1x = 2,7; кореня. x = –27 — рівняння має один корінь. Відповідь: Рівняння має один корінь. Відповідь: Рівняння не має жодного кореня; 909. Дано три числа, з яких кожне наступне на 10 більше за попереднє. Знайдіть ці числа, якщо добуток найбільшого та середнього з них на 320 більший за добуток найбільшого та найменшого із цих чисел. Нехай найменше число дорівнює n, тоді середнє дорівнює n + 10, а найбільше — (n + 10) + 10 = n + 20. Рівняння: (n + 20)(n + 10) – n(n + 20) = 320; n2 + 10n + 20n + 20 – (n2 + 20n) = 320; n2 + 10n + 20n + 20 – n2 – 20n = 320; 10n + 20 = 320; 10n = 300; n = 30. Друге число дорівнює n + 10 = 30 + 10 = 40, а третє — n + 20 = 30 + 20 = 50.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Відповідь: 30; 40; 50.

910. Доведіть, що коли a + c = 2b, то a2 + 8bc = (2b + c)2. Для того, щоб вирази а2 + 8bс і (2b + с)2 були тотожно рівними досить, щоб їх різниця дорівнювала нулю: а2 + 8bс – (2b + с)2 = a2 + 8bс – (4b2 + 4bс + с2) = a2 + 8bс – 4b2 – 4bс – с2 = а2 – 4b2 + 4bс – с2 = a2 – (4b2 – 4bс + с2) = a2 – (2b – с)2 = (а – 2b + с)(а + 2b – с) = (а + с – 2b)(а + 2b – с). Якщо а + с = 26, то а + с – 2b = 0. Отже, (а + с – 2b)(а + 2b – с) = 0. а2

911. Відомо, що x + y = , y + z = –a, x + z = 1. Доведіть, що вираз x + y + z набуває тільки 4 невід’ємних значень. (x + y) + (x + y) =

а2 4

+ (–a) + 1;

x+y+y+z+x+z= 2x + 2y + 2z =

(а−2)2

(а−2)2

4

;

а2 −4а+4 4

;

x+y+z= – вираз х + у + z набуває тільки невід’ємних значень.

8 912. Побудуйте пряму, яка проходить через точки A (–2; 3) і B (4; 3). Чому дорівнюють ординати точок цієї прямої? Ординати точок прямої дорівнюють 3.

shkola.in.ua

913. Побудуйте пряму, яка проходить через точки C (3; 0) і D (3; –4). Чому дорівнюють абсциси точок цієї прямої? Абсциси точок прямої дорівнюють 3.

shkola.in.ua

shkola.in.ua  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

914. Доведіть, що в будь-якому 60-цифровому числі, десятковий запис якого не містить нулів, можна закреслити кілька цифр таких, що отримане в результаті цього число буде ділитися націло на 1001. У будь-якому шестидесятицифровому числі, десятковий запис якого не містить нулів, хоча б одна цифра повториться 6 разів. Закресливши усі решту цифри, отримаю шестицифрове число, записане однією цифрою, яке ділиться націло на 1001.

22. Графік функції 915. Користуючись графіком функції y = f (x), зображеним на рисунку 28, заповніть таблицю: х -3 -2 0 2 6 7 у 3 4 5 3 0 4 916. Користуючись графіком функції y = ƒ (x), зображеним на рисунку 29, заповніть таблицю: х -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 0 2 3 2 0 -2 -3 -2 0 917. Знайдіть область визначення й область значень функції, графік якої зображено на рисунку 30. а) Д(у): -1 ≤ x < 4; E(y): 1 ≤ y < 4; б) Д(у): -2 ≤ х ≤ 3; Е(у): 1 ≤ у ≤ 4; в) Д(у): -2 ≤ х < 3; E(y): -2 ≤ y < 1; г) Д(у): -3 < x < 4; E(y): y = 2; ґ) Д(у): x = 1; x = 2; E(y): y = 1; y = -2.

918. Знайдіть область визначення й область значень функції, графік якої зображено на рисунку 31. а) Д(у): -2 ≤ x < 2; E(y): 4 ≤ y < -1; б) Д(у): -2 ≤ х ≤ 2; Е(у): 4 ≤ у ≤ 1; в) Д(у): -2 ≤ х < 3; E(y): 1 ≤ y < 4; г) Д(у): -3 < x < 2; E(y): y = -2; ґ) Д(у): x = -3; x = 4; E(y): y = 3; y = -1.

919. Користуючись графіком функції y = f (x), зображеним на рисунку, знайдіть: 1) значення аргументу, при яких y = 3; у = 3 при х = –3, х = 2, х = 6,5.

2) значення аргументу, при яких значення функції дорівнює нулю; у = 0 при х = –5, х = 3, х = 6.

3) область визначення функції; Д(у): [–5; 7].

4) область значень функції; Е(у): [–2; 5].

5) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень; у < 0 при х ϵ (3; 6).

6) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень; у > 0 при х ϵ [–5; 3) ∪ (6; 7].

920. На рисунку 32 зображено графік деякої функції. Користуючись графіком, знайдіть: 1) значення y, якщо x = –3,5; –1,5; 2; 4; 2) значення x, яким відповідають значення y = –3; – 1,5; 2; 3) значення аргументу, при яких значення функції дорівнюють нулю; 4) область визначення та область значень функції; 1) Якщо х = –3,5, то у = –1,4; якщо х = –1,5, то у = 3,5; якщо х = 2, то у = –1; якщо х = 4, то у = 2,2; 2) у = –3, коли х = –4; у = –1,5, коли х = –3,5 або х = 2,5; у= 2, коли х = –2,6 або х = –1, або x = 4; 3) у = 0, коли х = –3 або х= 1,5, або x = 3,5; 4) область визначення функції: усі х такі, що –4,5 ≤ х ≤ 5; область значень функції: усі у такі, що –3,5 ≤ у ≤ 4;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

5) значення функції додатне, якщо значення аргументу, наприклад, дорівнює: –2; –1; 0; 1; 6) значення функції від’ємне, якщо значення аргументу, наприклад, дорівнює: –4; 2; 3.

921. Користуючись графіком функції y = f (x), зображеним на рисунку 33, знайдіть: 1) область визначення функції: Д(у): [–6; 6].

2) область значень функції: Е(у): [–5; 5].

3) координати точок перетину графіка функції з віссю абсцис; Ох: (–5; 0); (–3; 0); (3; 0) (5; 0).

4) координати точки перетину графіка функції з віссю ординат; Оу: (0; 5) 5) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень; у < 0 при х ϵ (–5; –3) ∪ (3; 5).

6) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень. у > 0 при х ϵ [–6; –5) ∪ (–3; 3) ∪ (5; 6].

922. На рисунку 34 зображено графік функції y = ƒ(x). Користуючись графіком, знайдіть: 1) ƒ(–4); ƒ(–2,5); ƒ(0,5); ƒ(2); 2) значення x, при яких ƒ(x) = 2,5; ƒ(x) = 1; ƒ(x) = 0; 1) ƒ(–4) = 3,5; ƒ(–2,5) = 2; ƒ(0,5 ) = 0; ƒ(2) = 0,5; 2) ƒ(x) = 2,5, коли х = –3,5; ƒ(х) = 1, коли х = –2 або х = 1, або х = 4; ƒ(x) = 0, коли х = –0,5 або х = 0,5, або х = 2,5, або х = 3,5; 3) область визначення функції: усі х такі, що –4 ≤ х ≤ 4,5; область значень функції: усі у такі, що –1 ≤ у ≤ 3,5; 4) значення функції додатне, якщо значення аргументу, наприклад, дорівнює: –4; –3; 1; 2; 5) значення функції від’ємне, якщо значення аргументу, наприклад, дорівнює: –0,5; 0; 3.

923. Чи належить графіку функції y = x2 + 2 точка: 1) точка А(0; 2) належить графіку функції у = х2 + 2, бо 2 = 02 + 2; 2 = 2 — правильна рівність; 2) точка В (–1; 1) не належить графіку функції у = x2 + 2, бо 1 = (–1)2 + 2; 1 = 3 неправильна рівність; 3) точка С(–2; 6) належить графіку функції у = х2 + 2, бо 6 = (–2)2 + 2; 6 = 6 — правильна рівність; 4) точка D(–3; –7) не належить графіку функції у = х2 + 2, бо –7 = (–3)2 + 2; –7 = 11 — неправильна рівність.

924. Чи належить графіку функції y = -2x2 – 1 точка: 1 2) В(–3; 17).

1) А( ; -1,5).

2 17 = –2 ∙ 9 –1.

1 –1,5 = –2 ∙ – 1.

17 = –18 – 1.

4 1 17 = – 19 не є прав., отже, не належить.

–1,5 = – – 1.

2

–1,5 = –1,5 прав., отже, належить 925. Назвіть координати кількох точок, які належать графіку функції: 1) у = 7х – 4. Якщо х = 0, то у = 7 ∙ 0 – 4 = – 4; якщо а = –1, то у = 7 ∙ (–1) – 4 = –11; якщо х = 2, то у = 7 ∙ 2 – 4 = 10; якщо х = 4, то у = 7 ∙ 4 – 4 = 24. Графіку функції у = 7а – 4 належать точки (0; –4); (–1; –11); (2; 10); (4; 24); 2) у = а2 + 1. Якщо х = 0, то у = 02 + 1 = 1; якщо х = –1, то у = (–1)2 + 1 = 2; якщо x = 2, то у = 22 + 1 = 5; якщо x = 4, то у = 42 + 1 = 17. Графіку функції у = х2 + 1 належать точки (0; 1); (–1; 2); (2; 5); (4; 17); 3) у = 4 – |x|. Якщо х = 0, то у = 4 – |0| = 4; якщо х = –1, то у = 4 – |–1| = 3; якщо х = 2, то у = 4 – |2| = 2; якщо а = 4, то у = 4 – |4| = 0. Графіку функції у = 4 – |x| належать точки (0; 4); (–1; 3); (2; 2); (4; 0).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

926. Графікам яких із даних функцій належить точка A (1; 2): 2 1) у = 1 – 2х; 2) у = х2 + 1; 4) у = 0,3х + 0,7; 3) у = х 2 2 = 1 – 2 ∙ 1; 2 = 1 + 1; 2 = 0,3 ∙ 1 + 0,7; 2 2 = 2 = 1 – 2; 2 = 2; 2 = 1; 1 2 = 2.

2 = –1. належить. не належить. належить. не належить. х 927. Чи належить графіку функції y = − x точка: 3

х

9

1) Точка А(9; –3) належить графіку функції у = – , бо –3 = – ; –3 = –3 — правильна рівність; 3

х

3

6

2) точка В(6; 2) не належить графіку функції у = – , бо 2 = – ; 2 = –2 — неправильна 5 3 рівність; х −1 1 3) точка С(–1; 3) не належить графіку функції у = – , бо 3 = – ; 3 = — неправильна 3 3 3 рівність; х −12 4) точка D(–12; 4) належить графіку функції у = – , бо 4 = – ; 4 = 4 — правильна рівність.

3 3 928. Які з фігур, зображених на рисунку 35, можуть бути графіками функцій з аргументом х? Графіком функції можуть бути фігури, зображені на рисунках а), б).

929. Які з фігур, зображених на рисунку 36, можуть бути графіками функцій з аргументом х? Графіком функції може бути фігура, зображена на рисунку б).

930. Графіком деякої функції є ламана ABCD з вершинами в точках A (–3; 6), B (–1; 2), C (3; –2), D (9; 0). 1) Побудуйте графік даної функції. 2) Знайдіть значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: –2; 0; 2; 6,3) Знайдіть значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 1; –1; 0,1) 1)

shkola.in.ua

2) якщо x = –2, то у = 4; якщо x = 0, то у = 1; якщо x = 2, то у = –1; якщо x = 6, то у = –1; 3) у = 1, коли x = 0; у = –1, коли x = 2 або x = 6; у = 0, коли x = 1 або а = 9.

931. Чи може ламана ABC бути графіком деякої функції, якщо: 1) A (–4; –1), B (1; 2), C (2; 4); 2) A (–4; –1), B (1; 2), C (1; 3)?

1) Точки A, B, C мають різні значення координати x: x = −4, x = 1, x = 2. Для кожного x відповідає лише одне y: y = −1, y = 2, y = 4. Отже, ламана ABC може бути графіком функції, оскільки кожне значення x відповідає лише одному y.

2) У точках B(1; 2) та C(1; 3) маємо однакове значення x = 1, але різні y = 2 і y = 3. Це порушує визначення функції, адже одному значенню x = 1 відповідають два різних y. Отже, ламана ABC не може бути графіком функції в цьому випадку.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

932. Графіком деякої функції є ламана MKE, де M (–4; 1), K (2; 4), E (5; –2). 1) Побудуйте графік даної функції. 2) Знайдіть значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: – 2; 0; 3. 3) Знайдіть значення x, при якому y = –2; 0; 2.

1)

shkola.in.ua

2) якщо х = –2, то у = 2; якщо х = 0, то у = 3; якщо х = 3, то y = 2; 3) у = –2, коли х = 5; у = 0, коли х = 4; у = 2, коли х = –2 або х = 3.

933. Функцію задано формулою у = х2 – 1, де –2 ≤ х ≤ 3.

1) х -2 -1 0 1 2 у 3 0 -1 0 3 2)

3 8

shkola.in.ua

3) значення функції менші від нуля за усіх таких х, що –1 < х < 1. Значення функції більші від нуля за усіх таких х, що –2 < х < –1 або 1 < х < 3; 4) областю значень функції є усі такі у, що –1 < у < 8.

934. Функцію задано формулою у = 4 – х2, де –3 ≤ х ≤ 2.

1) х -3 -2 -1 0 1 2 у -5 0 3 4 3 0 2)

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) значення функції менші від нуля за усіх таких х, що –3 < х < –2. Значення функції більші від нуля за усіх таких х, що –2 < х < 2; 4) областю значень функції є усі такі у, що –5 < у < 4.

935. Значення функції y = ƒ(x) дорівнюють 0 при значеннях аргументу, що дорівнюють – 5 і 4. Яке з наведених тверджень є правильним: Правильним є твердження 2) — графік функції має з віссю абсцис дві спільні точки (–5; 0) і (4; 0).

936. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину з осями координат графіка функції: 1) у = х2 – 16х. а) х2 – 16х = 0; х(х – 16) = 0; х = 0 або х – 16 = 0; х = 0 або х = 16. Координати точок перетину графіка функції у = х2 – 16х з віссю абсцис: (0; 0); (16; 0); б) 02 – 16 ∙ 0 = 0. Координати точки перетину графіка функції у = х2 – 16х з віссю ординат (0; 0); 2) у = |х| – 2. а) |х| – 2 = 0; |х| = 2; х = –2 або х = 2. Координати точок перетину графіка функції у – |x| = 2 з віссю абсцис: (–2; 0); (2; 0); б) |0| – 2 = –2. Координати точки перетину графіка функції у = |х| – 2 з віссю ординат (0; – 2); 3) у = х3 – 9х. а) х3 – 9х = 0; х(х2 – 9) = 0; х(х – 3)(х + 3) = 0; х = 0 або х = 3, або х = –3. Координати точок перетину графіка функції у = х3 – 9х з віссю абсцис: (0; 0); (3; 0); (–3; 0); б) 03 – 9 ∙ 0 = 0. Координати точки перетину графіка функції у = х3 – 9х з віссю ординат (0; 0); 4) у = 0,8х. а) 0,8х = 0; х = 0. Координати точки перетину графіка функції y = 0,8х з віссю абсцис (0; 0); б) 0,8 ∙ 0 = 0. Координати точки перетину графіка функції у = 0,8х з віссю ординат (0; 0).

937. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину з осями координат графіка функції: 1) у = 36 – 9x. а) 36 – 9х = 0; 9х = 36; х = 4. Координати точки перетину графіка функції y = 36 – 9х з віссю абсцис (4; 0); б) 36 – 9 ∙ 0 = 36. Координати точки перетину графіка функції у – 36 – 9х з віссю ординат (0; 36); 2) у = х2 + х. а) х2 + х = 0; х(х + 1) = 0; х = 0 або х = –1. Координати точок перетину графіка функції y = х2 + х з віссю абсцис: (0; 0); (–1; 0); б) 02 + 0 = 0. Координати точки перетину графіка функції у = х2 + х з віссю ординат (0; 0); 3) у = 49 – х2. а) 49 – х2 = 0; х2 – 49 = 0; (х – 7)(х + 7) = 0; х = 7 або х = –7. Координати точок перетину графіка функції у = 49 – х2 з віссю абсцис: (7; 0); (–7; 0); б) 49 – 02 = 49. Координати точки перетину графіка функції у = 49 – х2 з віссю ординат (0; 49).

938. Задано функцію y = 1 – x, областю визначення якої є всі одноцифрові натуральні числа. Побудуйте графік цієї функції. х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 у 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

shkola.in.ua

939. Побудуйте графік функції ƒ (x) = 1,5x + 1, областю визначення якої є цілі числа, при яких виконується нерівність −4 ≤ x ≤ 2. х -4 -3 -2 -1 0 1 2 у -5 -3,5 -2 -0,5 1 2,5 4

shkola.in.ua

shkola.in.ua 940. Побудуйте графік функції, областю визначення якої є всі натуральні числа та яка набуває значення 1 при парних значеннях аргументу та значення –1 при непарних значеннях аргументу. shkola.in.ua

shkola.in.ua 941. Функцію ƒ задано описом: значення функції дорівнює найбільшому цілому числу, яке не більше за відповідне значення аргументу. Побудуйте графік цієї функції.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

shkola.in.ua

942. Трактористи Іван і Петро, працюючи разом, можуть зорати поле за 21 год, трактористи Петро й Остап — за 28 год, а Іван і Остап — за 20 год. За який час Іван, Петро й Остап можуть зорати це поле, працюючи втрьох?

1 Іван і Петро виконують всю роботу за 21 год, тобто їх продуктивність . Продуктивність Петра і Остапа

1

; Продуктивність Івана і Остапа

28

Але треба ще, цю спільну продуктивність 2

2

1

1

2

15

1

.

1

20 21

+

1

28

+

1

20

=

21 20+15+21 420

=

56

420

=

14

105

=

2

.

15

поділити на 2, бо кожного з хлопців

порахували двічі. : 2 = ∙ = . Отже, працюючи втрьох виконують роботу за 15 год.

15 15 2 15 Відповідь: працюючи втрьох трактористи можуть заорати поле за 15 год.

943. Спростіть вираз: 1) (c + 2)(c – 3) – (c + 1)(c + 3) = c2 – 3c + 2c – 6 – (c2 + 3c + c + 3) = c2 – 3c + 2c – 6 – c2 – 3с – с – 3 = 5с – 9; 2) (р + 4)(р – 11) + (р + 6)2 = р2 – 11р + 4р – 44 + р2 + 12р + 36 = 2р2 + 5р – 8; 3) 3(х – 5)2 – (8x2 – 10х) = 3(х2 – 10х + 25) – 8х2 + 10х = 3х2 – 30х + 75 – 8х2 + 10х = –5х2 – 20х + 75; 4) 7(2у – 5)2 – 2(7у – 1)2 = 7(4y2 – 20у + 25) – 2(49y2 – 14у + 1) = 28y2 – 140y + 175 – 98y2 + 28у – 2 = –70y2 – 112у + 173.

944. Доведіть тотожність: 1) (4а2 + 3)2 + (7 – 4а2)2 – 2(4a2 + 3)(4a2 – 7) = 16а4 + 24а2 + 9 + 49 – 56а2 + 16а4 – 2(16а4 – 28а2 + 12а2 – 21) = 16а4 + 24а2 + 9 + 49 – 56а2 + 16а4 – 32а4 + 56а2 – 24а2 + 42 = 100 — тотожність доведена; 2) (а2 – 6аb + 9b2)(a2 + 6аb + 9b2) – (а2 – 9b2)2 = (а – 3b)2(а + 3b)2 – (а2 – 9b2)2 = ((а – 3b)(а + 3b))2 – (а2 – 9b2)2 – (а2 – 9b2)2 – (а2 – 9b2)2 = 0 — тотожність доведена.

945. Доведіть, що при будь–якому непарному значенні n значення виразу (4n +1)2 − (n + 4)2 кратне 120. Якщо n — непарне число, то n = 2k + 1. Тоді значення виразу (4n + 1)2 – (n + 4)2 дорівнює: (4n + 1)2 – (n + 4)2 = (4(2k + 1) + 1)2 – ((2k+ 1) + 4)2 = (8k + 4 + 1)2 – (2k+ 1 + 4)2 = (8k + 5)2 – (2k + 5)2 = 64k2 + 80k + 25 – (4k2 + 20k + 25) = 64k2 + 80k + 25 – 4k2 – 20k – 25 = 60k2 + 60k = 60k(k + 1) — кратне 120.

946. Знайдіть які–небудь три натуральних значення змінної x таких, щоб вираз a2 −2x можна було розкласти на множники за формулою різниці квадратів. Отримані вирази розкладіть на множники. Якщо х = 2, то: а2 – 2х = а2 – 2 ∙ 2 = а2 – 22 = (а – 2)(а + 2); якщо х = 8, то: а2 – 2х = а2 – 2 ∙ 8 = а2 – 42 = (а – 4)(а + 4); якщо х = 32, то: а2 – 2х = а2 – 2 ∙ 32 = а2 – 82 = (а – 8)(а + 8).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

947. Є кадамба-квітка; на одну пелюстку бджілок п’ята частина сіла. Поряд росла вся у цвіту симендга, і на ній третя частина розмістилася. Різницю їхню ти знайди, тричі її ти додай, на кумай цих бджіл посади. Лише бджілка одна не знайшла собі місця ніде, усе літала туди–сюди та скрізь пахощами квітів тішилася. Тепер скажи мені: скільки бджілок усього тут зібралося?

1 1 Нехай всього зібралося х бджілок. Тоді на кадамбу сіло x бджілок, на симендгу — х 1

1

бджілок, на кумай – 3 ∙ ( х – x) бджілок. Рівняння:

1

1

1

1

3

5

5

3

x + х + 3 ∙ ( x – x) + 1 = х|∙ 15; 3 3 5 3х + 5х + 15х – 9х + 15 = 15х; 14х + 15 = 15x; x = 15. Відповідь: 15 бджілок.

948. У таблиці наведено відповідні значення величин x і y. Установіть, чи є ці величини прямо пропорційними.

1) 2) х 2 5 7 9 х 0,4 1,8 2,3 3,1 у 6 15 21 27 у 0,8 3,8 4,6 6,2 Величини х і у прямо пропорційними, бо Величини х і у не є прямо пропорційними, 6 : 2 = 15 : 5 = 21 : 7 = 27 : 9 = 3; бо 0,8 : 0,4 ≠ 3,8 : 1,8.

949. Заповніть таблицю, якщо величина y прямо пропорційна величині x.

9,6 : 3,2 = 3; 0,3 ∙ 3 = 0,9; 8 ∙ 3 = 24; 2,7 : 3 = 0,9; 42 : 3 = 14. х 0,3 8 3,2 0,9 14 у 0,9 24 9,6 2,7 42 950. Із квадратного аркуша паперу в клітинку, який містить цілу кількість клітинок, вирізали по лініях квадрат, що містить цілу кількість клітинок, так, що залишилася 71 клітинка. Скільки клітинок було на початковому аркуші паперу? Нехай у квадратного аркуша паперу є х2 клітинок, а з нього вирізали квадрат, у якого y2 клітинок. Рівняння: х2 – y2 = 71; (х – y) (х + у) = 71. Число 71 є простим і воно може бути подане як добуток лише одним способом: 1 ∙ 71 = 71. Тоді з рівності (х – у)(х + у) = 71 отримаю: х – у = 1 і х + у = 71. Цим двом умовам задовольняють числа х = 36 і у =35. Отже, початковий аркуш паперу містив х2 = 362 = 1296 клітинок. Відповідь: 1296 клітинок.

23. Лінійна функція, її графік і властивості 951. Чи є лінійною функція, задана формулою? Серед заданих функцій лінійними є: 1) у = 3х – 2, k = 3, b = –2; 2) у = 8 – 7x, k = –7, b = 8 х 1 12х−8 4(3х−2) 3) у = + 2, k = , b = 2; 6) у = ;у= ; у = 3х – 2, k = 3, b = –2; 5

3 𝑥𝑥

1

3

4

4

7) y = , k = , b = 0; 8) y = –4, k = 0, b = –4; 9) у = 0, k = 0, b = 0.

5 5 952. Чи є прямою пропорційністю функція, задана формулою? У разі ствердної відповіді вкажіть значення коефіцієнта k. Серед заданих функцій прямою пропорційністю є: х 1 х 1 1) y = 4x, k = 4; 3) y = , k = ; 5) y = –4x, k = –4; 6) y = – , k = – .

4 4 4 4 953. Лінійну функцію задано формулою y = 6x – 5. Заповніть таблицю: х -3 -2 -1 0 1 2 3 у -23 -17 -11 -5 1 7 13  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

954. Функцію задано формулою y = –2x + 5. Знайдіть: 1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: –4; 3,5; 0; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 9; –5; 0.

1) Якщо х = –4, то у = –2 ∙ (–4) + 5 = 8 + 5 = 13; якщо х = 3,5, то у = –2 ∙ 3,5 + 5 = –1 + 5 = –2; якщо х = 0, то .у = –2 ∙ 0 + 5 = 5; 2) якщо у = 9, то: 9 = –2х + 5; 2х = –4; х = –2; якщо у = –5, то: –5 = –2х + 5; 2х = 10; х = 5; якщо у = 0, то: 0 = –2х + 5; 2х = 5; х = 2,5.

955. Функцію задано формулою y = 0,4x + 3. Заповніть таблицю: х -2 -12,5 0 -7,5 5 -40 у 2,2 -2 3 0 5 -13 х = –2 у = 0,4 ∙ (–2) + 3 = 2,2 у=–2 0,4х + 3 = – 2 0,4х = – 5 х = –12,5 х=0 у=3 у=0 0,4х + 3 = 0 0,4х = –3 х = –7,5 х=5 у = 0,4 ∙ 5 + 3 = 5 у = –13 0,4х + 3 = –13 0,4х = –16 х = –40 956. Функцію задано формулою y = 0,3x – 2. Знайдіть: 1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: 5; –2; 0; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 1; –11; 0,8. у = 0,3х – 2.

1) Якщо х = 5, то у = 0,3 ∙ 5 – 2 = 1,5 – 2 = –0,5; якщо х = –2, то у = 0,3 ∙ (–2) – 2 = –0,6 – 2 = –2,6; якщо х = 0, то у = 0,3 ∙ 0 – 2 = –2; 2) якщо у = 1, то: 1 = 0,3х – 2; 0,3х = 3; х = 10; якщо у = –11, то: –11 = 0,3х – 2; 0,3х = –9; х = –30; 28 якщо у = 0,8, то: 0,8 = 0,3х – 2; 0,3х = 2,8; 3х = 28; х = .

3 957. Заповніть таблицю та побудуйте графік функції: 1 1) у = х + 3 2) у = х – 5 3 х 0 1 х 0 3 у 3 4 у -5 -4

shkola.in.ua shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

958. Заповніть таблицю та побудуйте графік функції: 1 1) у = 3 – 0,5х 2) у = х – 1 8 х 0 2 х 0 у 3 2 у -1

8 0

shkola.in.ua shkola.in.ua

959. Побудуйте графік функції: 1) у = х – 5 х 0 5 у -5 0

2) у = 3х + 1 х 0 у 1

1 4

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

4) у = 0,4х + 3 х 0 5 у 3 5

1

3) у = – х – 2 6 х 0 6 у -2 -3

shkola.in.ua shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

960. Побудуйте графік функції: 1) у = 4 – х х 0 4 у 4 0

2) у = -4х + 5 х 0 у 5

shkola.in.ua

1 1

shkola.in.ua

3) у = 0,2х – 3 х 0 5 у -3 -2

shkola.in.ua

1

961. Функцію задано формулою y = x. Знайдіть: 3 1 1) значення y, якщо x = 6; –3; –3,2; 2) значення x, при якому y = –2; ; 12.

3 1 1 Якщо x = 6, то y = ∙ 6 = 2; 3 якщо у = –2, то: –2 = х; х = –6; 3 1 1 1 1 якщо x = –3, то у = ∙ (–3) = –1; 3 якщо у = , то: = х; х = 1; 3 3 3 1 1 32 16 1 якщо x = –3,2, то у = ∙ (–3,2) = – ∙ = – ; 3 3 10 15 якщо у = 12, то: 12 = x; x = 36.

3 962. Функцію задано формулою y = 0,6x. Заповніть таблицю: х

10

0,6

-5

-1,2

8

-100

у

6

0,36

-3

-0,72

4,8

-60

х = 10; у = 0,6 ∙ 10 = 6; у = 4,8; х = 1

4,8 0,6

х = –5; у = 0,6 ∙ (–5) = –3; у = ; х = 3

5 9 1 3

= 8; х = 0,6; у = 0,6 ∙ 0,6 = 0,36; у = –60; х = 1

3∙0,6

=

10 18

5

−60

= ; х = –1,2; у = 0,6 ∙ (–1,2) = –0,72.

9

0,6

= –100;

963. Функцію задано формулою y = 1,2x. Знайдіть: 1) значення y, якщо x = 10; 0,6; –5; –4; 2) значення x, при якому y = 3,6; –2,4; 6. Якщо х = 10, т о у= 1,2 ∙ 10= 12; якщо у = 3,6, то: 3,6 = 1,2x; х = 3; якщо x = 0,6, то у = 1,2 ∙ 0 ,6 = 0,72; якщо у = –2,4, то: –2,4 = 1,2x; х = –2;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

якщо x = –5, то у = 1,2 ∙ (–5) = – 6; якщо у = 6, то: 6 = 1,2х; х = 5. якщо х = –4, то у = 1,2 ∙ (–4) = –4,8; 964. Побудуйте графік прямої пропорційності: 1) у = 3х 2) у = -2х х 0 1 х 0 1 у 0 3 у 0 -2

shkola.in.ua

3) у = -0,6х х 0 у 0

shkola.in.ua

1

4) у = х 7 х 0 у 0

5 -3

3,5 3,5

shkola.in.ua shkola.in.ua

965. Побудуйте графік функції: 1) у = 5х х 0 1 у 0 5

2) у = 0,8х х 0 у 0

shkola.in.ua

5 4

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 1

3) у = – х 6 х 0 у 0

6 -1

shkola.in.ua

966. Побудуйте в одній системі координат графіки лінійних функцій: y = 3; y = –5; y = 0. у=3 у = -5 у=0 х 0 2 х 0 2 х 0 2 у 3 3 у -5 -5 у 0 0

shkola.in.ua

967. Не виконуючи побудови графіка функції y = 1,8x – 3, визначте, через які з даних точок проходить цей графік: A(–2;–6,6); B (1;1,2); C (0; –3); D (5; 7). Точка А(–2; –6,6) належить графіку функції у = 1,8х – 3, бо: –6,6 = 1,8 ∙ (–2) – 3; –6,6 = –6,6 — правильна рівність. Точка B(1; 1,2) не належить графіку функції у = 1,8x – 3, бо: 1,2 = 1,8 ∙ 1 – 3; 1,2 = –1,2 — неправильна рівність. Точка С(0;–3) належить графіку функції у = 1,8x – 3, бо: –3 = 1,8 ∙ 0 – 3; –3 = –3 — правильна рівність. Точка D(5; 7) не належить графіку функції у = 1,8x – 3, бо: 7 = 1,8 ∙ 5 – 3; 7 = 6 — неправильна рівність.

968. Не виконуючи побудови, визначте, чи належить графіку функції y = 8x – 14 точка: 1) Точка А( –1; –6) не належить графіку функції у = 8x – 14, бо: –6 = 8 ∙ (–1) – 14; –6 = –22 — неправильна рівність; 2) точка В(2; 2) належить графіку функції у = 8х – 14, бо: 2 = 8 ∙ 2 – 14; 2 = 2 — правильна рівність.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

969. Функціональна залежність змінної y від змінної x є прямою пропорційністю. 1) Заповніть таблицю: 2) Задайте цю функцію формулою. 3) Побудуйте графік цієї функції.

1) 1 х 8 6 2 1 0 -1 -2 -3 -4 2 у 4 3 1 0,5 0,25 0 -0,5 -1 -1,5 -2 2) у = 0,5х 3)

shkola.in.ua

970. Побудуйте графік функції y = 2x – 3. Користуючись графіком, знайдіть: 1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: 4; –1; 0,5; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 1; –1; 0; х 0 1 у -3 -1 1) Якщо х = 4,то у = 5; якщо х = –1, то у = –5; shkola.in.ua якщо х = 0,5, то у = –2; 2) якщо у = 1,то x = 2; якщо y = –1, то x = 1; якщо у = 0, то х = 1,5; 3) функція набуває додатних значень за усіх таких х, що х > 1,5.

shkola.in.ua 971. Побудуйте графік функції y = 2 – 4x. Користуючись графіком, знайдіть: 1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: 1; 0; –2; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: –4; –2; 2; х 0 1 у 2 -2 1) Якщо х = 1, то у = –2; якщо х = 0, то у = 2; якщо х = –2, то у = 10; 2) якщо у = –4, то х = 1,5; якщо у = –2, то х = 1; якщо у = 2, то х = 0; 3) функція набуває від’ємних shkola.in.ua значень за усіх таких х, що х > 0,5.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

972. Побудуйте графік функції y = 0,5x. Користуючись графіком, знайдіть: 1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: 4; –6; 3; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 2,5; –2; 1; х 0 2 у 0 1 1) Якщо х = 4, то у = 2; якщо х = –6, то у = –3; якщо х = 3, то у= 1,5; shkola.in.ua 2) якщо у = 2,5, то х = 5; якщо у = –2, то х = –4; якщо у= 1, то х = 2; 3) функція набуває від’ємних значень за усіх таких х, що х < 0.

973. Побудуйте графік функції y = –4x. Користуючись графіком, знайдіть: х 0 0,5 у 0 -2 1) Якщо х = 2, то у = –8; якщо х = –1, то у = 4; якщо х = 0,5, то у = –2; 2) якщо у = –4, то х = 1; якщо у = 2, то x = –0,5; 3) функція набуває додатних значень за усіх таких х, що х < 0.

shkola.in.ua

1

974. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій y = x − 1 і y = x + 2 та знайдіть 4 координати точки їхнього перетину. у=х–1 х 0 1 у -1 0 1 у= х+2 4 х 0 -4 shkola.in.ua у 2 1 Графіки перетинаються в точці (4; 3).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

975. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій y = 5x – 6 і y = –2x + 1 та знайдіть координати точки їхнього перетину. у = 5х – 6 х 1 2 у -1 4 у = -2х + 1 shkola.in.ua х 0 1 у 1 -1 Графіки перетинаються в точці (1; –1).

shkola.in.ua 976. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину з осями координат графіка функції: 1) у = 2,5х + 10. а) 2,5х + 10 = 0; 2,5х = –10; х = –4. Координати точки перетину графіка функції у = 2,5х + 10 з віссю абсцис (–4; 0); б) 2,5 ∙ 0 + 10 = 10. Координати точки перетину графіка функції y = 2,5х + 10 з віссю ординат (0; 10); 2) у = 6х – 4.

2 а) 6х – 4 = 0; 6х = 4; х = .

3

2

Координати точки перетину графіка функції у = 6х – 4 з віссю абсцис: ( ; 0); 3 б) 6 ∙ 0 – 4 = –4. Координати точки перетину графіка функції y = 6х – 4 з віссю ординат (0; –4).

977. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину з осями координат графіка функції: 2 1) у = х – 4.

2

3

2

а) х – 4 = 0; х = 4; х = 6.

3

3

2

Координати точки перетину графіка функції у = х – 4 з віссю абсцис (6; 0); 2

3

б) ∙ 0 – 4 = –4.

3

2

Координати точки перетину графіка функції y = х – 4 з віссю ординат (0; –4); 3 2) у = 7 – 3х.

7 а) 7 – 3х = 0; 3х = 7; х = .

3

7

Координати точки перетину графіка функції у = 7 – 3х з віссю абсцис: ( ; 0); 3 б) 7 – 3 ∙ 0 = 7. Координати точки перетину графіка функції y = 7 – 3х з віссю ординат (0; 7).

978. Не виконуючи побудови графіка функції y = 2x – 9, знайдіть точку цього графіка, у якої: 1) абсциса дорівнює ординаті; 2) ордината на 6 більша за абсцису.

1) Якщо абсциса точки графіка дорівнює ординаті, то: х = 2х – 9; х = 9. Координати шуканої точки (9; 9); 2) якщо ордината точки графіка на 6 більша від абсциси, то: х + 6 = 2х – 9; х = 15. Координати шуканої точки (15; 21).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

979. Не виконуючи побудови графіка функції y = –7x + 8, знайдіть точку цього графіка, у якої абсциса та ордината — протилежні числа. Якщо абсциса точки графіка є число протилежне ординаті, то: 4 4 4 –х = –7х + 8; 6х = 8; х = . Координати шуканої точки ( ; – ).

3 3 3 980. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функцій: У точці перетину графіків функцій значення змінних х і у в обох функцій одинакові. Тому буде: 1) 3,7x + 10= 1,4х – 13; 3,7х – 1,4х = –13 – 10; 2,3х = –23; х = –10; у = 1,4 ∙ (–10) – 13 = –27. Координати точки перетину графіків функцій (–10; –27); 2 2 2) 4 – x = x + 26 │∙7; 28 – 2x = 9x + 182; –2x – 9x = 182 – 28; –11x = 154; x = –14; 9

7

7

y = ∙ (–14) + 26 = 8. Координати точки перетину графіків функцій (–14; 8).

7 981. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функцій y = 4x – 7 і y = –2x + 11. У точці перетину графіків функцій значення змінних х і у в обох функцій одинакові. Тому буде: 4х – 7 = –2x + 11; 6х = 18; x = 3; y = 4 ∙ 3 – 7 = 5. Координати точки перетину графіків функцій (3; 5).

982. При якому значенні змінної x функції ƒ (x) = 4x – 3 і g (x) = 3x – 2 набувають рівних значень? Побудуйте на одній координатній площині графіки функцій ƒ і g. Визначте, при яких значеннях x: Функції ƒ(х) = 4х – 3 і g(x) = 3x – 2 набувають рівних значень, якщо 4x – 3 = 3x – 2; x = 1. ƒ(x) = 4x – 3 x 0 1 shkola.in.ua ƒ(x) -3 1 g(x) = 3x – 2 x 0 1 g(x) -2 1 1) ƒ(х) > g(х), за усіх таких х, що х > 1; 2) ƒ(х) < g(х), за усіх таких х, що х < 1.

983. При якому значенні незалежної змінної функції ƒ (x) = 5 – 2x і g (x) = 2x – 3 набувають рівних значень? Побудувавши на одній координатній площині графіки даних функцій, установіть, при яких значеннях x: Функції ƒ(х) = 5 – 2х і g(х) = 2х – 3 набувають рівних значень, якщо 5 – 2х = 2х – 3; 4х = 8; х = 2. ƒ(x) = 5 – 2х x 2 1 ƒ(x) 1 3 shkola.in.ua g(x) = 2х – 3 x 1 2 g(x) -1 1 1) ƒ (х) > g(x), за усіх таких х, що х < 2; 2) ƒ(x) < g(x), за усіх таких х, що х > 2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

984. Задайте формулою функцію, яка є прямою пропорційністю, якщо її графік проходить через точку M (2; –5). Якщо графік функції у = kх проходить через точку М(2; –5), то: –5 = k ∙ 2; k = –2,5. Формула прямої пропорційності: у = –2,5x.

1 985. Знайдіть значення b, при якому графік функції y = − x + b проходить через точку A 9 (–27; 4).

1 Якщо графік функції у = – х + b проходить через точку A(–27; 4), то: 1

9

4 = – ∙ (–27) + b; b = 1.

9 986. При якому значенні k графік функції y = kx – 15 проходить через точку B (3; –6)? Якщо графік функції у = kх – 15 проходить через точку B(3; –6), то: –6 = k ∙ 3 – 15; 3k = –9; k = 3.

987. Графік функції y = kx + b перетинає осі координат у точках C (0; 4) і D (–8; 0). Знайдіть значення k і b. Якщо графік функції у = kх + b проходить через точку С(0; 4), то: 4 = k ∙ 0 + b; b = 4. Якщо графік функції у = kх + 4 проходить через точку D(–8; 0), то: 0 = k ∙ (–8) + 4; –8k = –4; k = 0,5. Формула функції має вигляд у = 0,5x + 4.

988. Графік функції y = kx + b перетинає осі координат у точках M (3; 0) і K (0; –1). Знайдіть значення k і b. Якщо графік функції у = kх + b проходить через точку K(0; –1), то: –1 = k ∙ 0 + b; b = –1. Якщо графік функції у = kх – 1 проходить через точку М(3; 0), то: 1 1 0 = k ∙ 3 – 1; 3k = 1; k = . Формула функції має вигляду = x – 1.

3 3 989. Усі точки графіка функції y = kx + b мають однакову ординату, яка дорівнює –6. Знайдіть значення k і b. Якщо усі точки графіка функції у = kх + b мають однакову ординату, яка дорівнює –6, то графік функції проходить, наприклад, через точки (0; –6) і (1; –6). Якщо графік функції у = kx + b проходить через точку (0; –6), то: –6 = k ∙ 0 + b; b = –6. Якщо графік функції у = kх – 6 Проходить через точку М(1; –6), то: –6 = k ∙ 1 – 6; k = 0. Формула функції має вигляд у = –6.

990. Графік функції y = kx + b паралельний осі абсцис і проходить через точку A (–2; 3). Знайдіть значення k і b. Якщо графік функції у = kх + b паралельний осі абсцис і проходить через точку A(–2; 3), то графік функції проходить ще, наприклад, через точку (0; 3). Якщо графік функції у = kх + b проходить через точку (0; 3), то: 3 = k ∙ 0 + b; b = 3. Якщо графік функції у = kх + 3 проходить через точку А(–2; 3), то: 3 = k ∙ (–2) + 3; –2k = 0; k = 0. Формула функції має вигляд у = 3.

991. Один із графіків, зображених на рисунку 44, відображає процес наповнення водою першого бака, а другий — витікання води з другого бака.

1) Рисунок а) відповідає процесу витікання води з другого бака, а рисунок б) — процесу наповнення першого бака водою; 2) на рисунку а) в баку спочатку було 50 л води, а на рисунку б) — 10 л; 3) через 2 хв після відкриття кранів в баку на рисунку а) було 40 л води, а в баку на рисунку б) — 15 л; через 6 хв після відкриття кранів в баку на рисунку а) було 20 л води, а в баку на рисунку 6) — 25 л; 4) у баку на рисунку  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

а) 30 л води було через 4 хвилини після відкриття крану, а у баку на рисунку б) 30 л води було через 8 хвилини після відкриття крану; 5) із баку на рисунку а) щохвилини виливається 5 л води, а в бак на рисунку б) щохвилини наливається 2,5 л води; 6) графік, зображений на рисунку а) є частиною прямої і проходить через точки (0; 50) і (10; 0). Якщо графік функції у = kх + b проходить через точку (0; 50), то: 50 = k ∙ 0 + b; b = 50. Якщо графік функції у = kх + 50 проходить через точку (10; 0), то: 0 = k ∙ 10 + 50; 10k = – 50; k = –5. Формула залежності має вигляду = –5х + 50, де 0 ≤ х ≤ 10. Графік, зображений на рисунку б), є частиною прямої і проходить через точки (0; 10) і (4; 20). Якщо графік функції у = kx + b проходить через точку (0; 10), то: 10 = k ∙ 0 + b; b = 10. Якщо графік функції у = kх + 10 проходить через точку (4; 20), то: 20 = k ∙ 4 + 10; 4k = 10; k = 2,5. Формула залежності має вигляд у = 2,5x + 10, де 0 ≤ х ≤ 10.

992. Яка з прямих, зображених на рисунку 45, є графіком функції: 1) Графіком функції у = х на рисунку є пряма b; 2) графіком функції у = 4х на рисунку є пряма a; 1 3) графіком функції у = х на рисунку є пряма с; 4

1

4) графіком функції у = – х на рисунку є пряма d.

4 993. Яка з прямих, зображених на рисунку 46, є графіком функції: 1) Графіком функції у = – х на рисунку є пряма n; 2) графіком функції у = 3х на рисунку є пряма k; 1 3) графіком функції у = – х на рисунку є пряма m; 2 4) графіком функції у = –2х на рисунку є пряма р.

994. Задайте формулою які–небудь дві лінійні функції, графіки яких проходять через точку: 1) Якщо графік функції у = kх + b проходить через точку A(0; 4), то: 4 = k ∙ 0 + b; b = 4. Тоді у = kх + 4. Через точку А(0; 4) проходять, наприклад, графіки функцій у = х + 4 і у = 2х + 4; 2) якщо графік функції у = kх + b проходить через точку В(1; 3), то: 3 = k ∙ 1 + b; b = 3 – k. Тоді у = kх + (3 – k). Через точку B(1; 3) проходять, наприклад, графіки функцій у = х + 2 і у = 2х + 1.

995. Графіки функцій y = 0,5x – 3, y = –4x + 6 і y = kx перетинаються в одній точці. Знайдіть значення k. Побудуйте в одній системі координат графіки цих функцій. Знайдемо координати точки перетину графіків функцій у = 0,5х – 3 і у = –4х + 6. 0,5x – 3 = –4x + 6; 4,5x = 9; х = 2. Тоді у = –4 ∙ 2 + 6 = –2. Графік функції у = kх повинен пройти через точку (2; –2). Маємо: –2 = k ∙ 2; k = –1. у = 0,5х – 3 х 0 2 у -3 -2 shkola.in.ua у = -4х + 6 х 1 2 у 2 -2 у = -х х 0 2 у 0 -2

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

996. При якому значенні b графіки функцій y = 1,5x – 3, y = 2,5x + 1 і y = 5x + b перетинаються в одній точці? Знайдемо координати точки перетину графіків функцій у = 1,5х – 3 і у = 2,5х + 1. 1,5х – 3 = 2,5х + 1; х = –4. Тоді у – 2,5 ∙ (–4) + 1 = –9. Графік функції у = 5х + b повинен пройти через точку (–4; –9). Маємо: –9 = 5 ∙ (–4) + b; b = 11.

997. Точка C належить відрізку AB, довжина якого дорівнює 8. Довжина відрізка AC дорівнює x, довжина відрізка BC — y. Побудуйте графік залежності y від x, якщо 0 < x < 8. Позначте на цьому графіку точку, яка відповідає випадку, коли точка C — середина відрізка AB. Якщо точка С належить відрізку АВ, то АС + СВ = АВ = 8. Якщо АС = х і ВС = у, то х + у = 8; у = 8 – х. у=8–х х 1 7 у 7 1

shkola.in.ua

998. Периметр прямокутника ABCD дорівнює 12, AB = x, AD = y, 0 < x < 6. Побудуйте графік залежності y від x. Позначте на цьому графіку точку, яка відповідає випадку, коли прямокутник ABCD є квадратом. Якщо периметр прямокутника АВСD дорівнює 12 і АВ = х, АD = у, то: 2(х + у ) = 12; х + у = 6; у = 6 – х , де 0 < х < 6. у=6–х х 1 5 у 5 2

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

999. Побудуйте графік функції: 1) у = х – 4, х ≥ 0 х 0 2 у -4 -2 у = -2х – 4, х < 0 х -2 -1 у 0 -2

shkola.in.ua

2) у = 3х – 2, х ≤ 1 х -1 0 у -5 -2 у = 1, х > 1 х 1 2 у 1 1

3) у = 2, х ≠ 2 х -2 у 2 у = 3, х = 2 х 2 у 3

shkola.in.ua

1 2 shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

4) у = 2х, х < -3 х -3 -2 у -6 -4 у = 1, х = -1 х -1 у 1 у = х + 3, х > -1 х 0 1 у 3 4

shkola.in.ua

1000. Побудуйте графік функції: 1) у = -3х, х ≤ -1 х -1,5 -1 у 4,5 3 у = 3, -1 < х < 1 х -0,5 0,5 у 3 3 у = 2х + 1, х ≥ 1 х 1 2 у 3 5

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

2) у = 5 – х, х ≤ 3 х 1 3 у 4 2 у = х + 1, х > 3 х 4 5 у 5 6

shkola.in.ua

1001. Побудуйте графік функції: 1) у = ǀхǀ. Скористаємось означенням модуля: −х, якщо х < 0, у=� х, якщо х ≥ 0. у = -х, х < 0 х -2 -1 у 2 1 у = х, х ≥ 0 х 0 1 у 0 1

shkola.in.ua

2) у = ǀхǀ + х. Скористаємось означенням модуля: −х + х, якщо х < 0, у=� х + х, якщо х ≥ 0; 0, якщо х < 0, у=� 2х, якщо х ≥ 0. у = 0, х < 0 х -2 -1 у 0 0 у = 2х, х ≥ 0 х 0 1 у 0 2

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) у = 4х - ǀхǀ + 2. Скористаємось означенням модуля: 4х − (−х) + 2, якщо х < 0, у=� 4х − х + 2, якщо х ≥ 0; 5х + 2, якщо х < 0, у=� 3х + 2, якщо х ≥ 0. у = 5х + 2, х < 0 х -1,5 -1 у -5,5 -3 у = 3х + 2, х ≥ 0 х 0 1 у 2 5

shkola.in.ua

1002. Побудуйте графік функції: 1) у = -ǀхǀ. Скористаємось означенням модуля: −(−х), якщо х < 0, у=� −х, якщо х ≥ 0; х, якщо х < 0, у=� −х, якщо х ≥ 0. у = х, х < 0 х -4 -2 у -4 -2 у = -х, х ≥ 0 х 0 1 у 0 -1 2) у = х - ǀхǀ. Скористаємось означенням модуля: х − (−х), якщо х < 0, у=� х − х, якщо х ≥ 0; 2х, якщо х < 0, у=� 0, якщо х ≥ 0. у = 2х, х < 0 х -2 -1 у -4 -2 у = 0, х ≥ 0 х 0 1 у 0 0

shkola.in.ua

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) у = 3х + 2ǀхǀ. Скористаємось означенням модуля: 3х + 2(−х), якщо х < 0, у=� 3х + 2х, якщо х ≥ 0; х, якщо х < 0, у=� 5х, якщо х ≥ 0. у = х, х < 0 х -2 -1 у -2 -1 у = 5х, х ≥ 0 х 0 1 у 0 5

shkola.in.ua

1003. Задайте формулою лінійну функцію, графіком якої є зображена на рисунку 47: 1) пряма a; 2) пряма b.

1) Пряма а, зображена на рисунку, проходить через точки (–3; 0) і (0; 3). Якщо графік лінійної функції у = kx + b проходить через точку (0; 3), то 3 = k ∙ 0 + b; b = 3. Якщо графік функції у = kх + 3 проходить через точку (–3; 0), то: 0 = k ∙ (–3) + 3; –3k = – 3; k = 1. Формула функції має вигляд у = x + 3.

2) пряма b, зображена на рисунку, проходить через точки (–2; 0) і (0; –1). Якщо графік лінійної функції у = kх + b проходить через точку (0; –1), то –1 = k ∙ 0 + b; b = –1 . Якщо графік функції у = kх – 1 проходить через точку (–2; 0), то: 0 = k ∙ (–2) – 1; 2k = –1; k = –0,5. Формула функції має вигляд у = –0,5x – 1.

1004. Задайте формулою лінійну функцію, графіком якої є зображена на рисунку 48: 1) пряма m; 2) пряма n.

1) Пряма m, зображена на рисунку, проходить через точки (0; 0) і (3; –2). Якщо графік лінійної функції у = kх + b проходить через точку (0; 0), то 0 = k ∙ 0 + b; b = 0.

2 Якщо графік функції у = kх проходить через точку (3; –2), то: –2 = k ∙ 3; к = – .

3

2

Формула функції має вигляд у = – x; 3 2) пряма n, зображена на рисунку, проходить через точки (0; –4) і (2; 0). Якщо графік лінійної функції у = kх + b проходить через точку (0; –4), то –4 = k ∙ 0 + b; b = –4. Якщо графік функції у = kх – 4 проходить через точку (2; 0), то: 0 = k ∙ 2 –4 ; 2k = 4; k = 2. Формула функції має вигляд у = 2х – 4.

1005. Функцію задано описом: значення функції дорівнює різниці між значенням аргументу й цілою частиною аргументу. Побудуйте графік цієї функції. y = {x} х -1 -0,8 -0,2 0 0,2 0,8 1 1,2 1,8 2 2,2 2,8 у 0 0,2 0,8 0 0,2 0,8 0 0,2 0,8 0 0,2 0,8

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

shkola.in.ua

1006. Троє друзів вирішили створити фірму з виробництва меблів і домовилися ділити прибуток пропорційно своїм внескам до статутного капіталу фірми. Один із них уніс 75 000 грн, другий — 125 000 грн, а третій — 175 000 грн. За підсумками першого року роботи прибуток склав 1 800 000 грн. Скільки грошей має отримати кожний з друзів?

1 ∙ 1800000 = 360000 грн – І.

5 1

3 7

∙ 1800000 = 600000 грн – ІІ.

∙ 1800000 = 840000 грн – ІІІ.

1007. Знайдіть значення виразу: 1) (2 + 3а)(5 – а) – (2 – 3а)(5 + а) = 10 – 2а + 15а – 3а2 – (10 + 2а – 15а – 3а2) = = 10 – 2а + 15а – 3а2 – 10 – 2а + 15а + 3а2 = 26а. Якщо а = –1,5, то 26а = 26 ∙ (–1,5) = –39; 2) (3а + b)2 – (3а – b)2 = (3а + b – 3а + b)(3а + b + 3а – b) = 2b ∙ 6а = 12аb.

1 1 10 3 Якщо a = –3 , b = 0,3, то 12аb = 12 ∙ (–3 ) ∙ 0,3 = –12 ∙ ∙ = –12.

3 3 3 10 1008. Розв’яжіть рівняння: 1) (5x + 1)(2х – 3) = (10х – 9)(х + 2); 2) (7x – 1)(х + 5) = (3 + 7x)(x + 3); 2 2 10x – 15x + 2х – 3 = 10x + 20x – 9x – 18; 7x2 + 35x – x – 5 = 3x + 9 + 7x2 + 21x; 10x2 – 15x + 2x – 10x2 – 20x + 9x = –18 + 3; 7x2 + 35x – x – 3x – 7х2 – 21x = 9 + 5; –24x = –15; 10x = 14; x = 0,625. x = 1,4. Відповідь: 0,625; Відповідь: 1,4.

1009. Доведіть, що сума кубів трьох послідовних натуральних чисел ділиться націло на 3. Нехай середнє число дорівнює n, тоді найменше дорівнює n – 1, а найбільше — n + 1. Сума кубів цих чисел дорівнює n3 + (n – 1)3 + (n + 1)3 = n3 + (n – 1 + n + 1)((n – 1)2 – (n – 1)(n + 1) + (n + 1)2) = = n3 + 2n(n2 – 2n + 1 – n2 + 1 + n2 + 2n + 1) = n3 + 2n(n2 + 3) = n3 + 2n3 + 6n = –3n3 + 6n = = 3(n3 + 2n) — ділиться націло на 3.

1010. У двох діжках було порівну води. Об’єм води в першій діжці спочатку збільшили на 10 %, а потім зменшили на 10 %. Об’єм води в другій діжці, навпаки, спочатку зменшили на 10 %, а потім збільшили на 10 %. У якій діжці води стало більше? Нехай у кожній діжці було x л води. Тоді після збільшення на 10% у першій діжці стало 1,1x л води, а після зменшення — 0,9 ∙ 1,1x = 0,99x л. У другій діжці після зменшення на 15

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

10% стало 0,9x л води, а після збільшення — 1,1 ∙ 0,9x = 0,99x л. Отже, води у діжках залишилося порівну. Відповідь: Порівно.

1011. Відомо, що x2 + y2 = a, xy = b. Чому дорівнює значення виразу x4 + x2y2 + y4? x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + у4 – x2y2 = (x2 + y2)2 – (ху)2. Якщо x2 + у2 = а, ху = b, то (х2 + у2)2 – (ху)2 = а2 – b2.

1012. Доведіть, що при будь–якому значенні x значення виразу |x| – x більше за відповідне значення виразу 2x – x2 – 2. Вираз: 2x – x2 – 2 = –x2 + 2x – 1 – 1 = –(x2 – 2x + 1) – 1 = –(x – 1)2 – 1 набуває лише від’ємних значень, а вираз |x| – x — лише невід’ємних значень. Отже, при будь– якому значенні x значення виразу |x| – x більше за відповідне значення виразу 2х – х2 – 2.

1013. Знайдіть значення виразу: 1) Якщо х = –4 ,у = 0,6, то 0,1x + 5у = 0,1 ∙ (–4) + 5 ∙ 0,6 = –0,4 + 3 = 2,6; 2) якщо x = 6, у = –2, то х2 – 3у + 7 = 62 – 3 ∙ (–2) + 7 = 36 + 6 + 7 = 49; 3) якщо x = –10, у = 2, то |x| + |у – 6| = |–10| + |2 – 6| = 10 + 4 = 14; 4) якщо x = –4, у = 1,5, то (2у – 3)2 – (x + 4)2 = (2 ∙ 1,5 – 3)2 – (–4 + 4)2 = 02 – 02 = 0.

1014. Зобразіть на координатній площині всі точки (x; y) такі, що: 1) х = –3, у — довільне число; 2) у = 2, х — довільне число;

shkola.in.ua

shkola.in.ua

3) х = 0, у — довільне число.

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1015. Є два друкарських автомати. Перший за карткою із числами (a; b; c) видає картку із 𝑎𝑎+𝑏𝑏 𝑏𝑏+𝑐𝑐 𝑎𝑎+𝑐𝑐 числами � + + �, а другий за карткою із числами (a; b; c) — картку із числами 2 2 2 (2a – b; 2b – c; 2c – a). Чи можна за допомогою цих автоматів з картки із числами (2,8; – 1,7; 16) отримати картку із числами (1,73; 2; 0,4)? Обидва друкарських автомата володіють такою властивістю, що сума чисел вхідної картки 𝑎𝑎+𝑏𝑏 𝑏𝑏+𝑐𝑐 𝑎𝑎+𝑐𝑐 + + дорівнює сумі чисел вихідної картки. Справді, для першого автомата буде: 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑏𝑏+𝑐𝑐+𝑎𝑎+𝑐𝑐

2

2𝑎𝑎+2𝑏𝑏+2𝑐𝑐

2

2

= = = a + b + c і для другого теж отримаємо: 2а – b + 2b – с + 2с – а = 2 2 а + b + с. Отже, для будь-якої комбінації видачі карток з автоматів сума чисел першої вхідної картки повинна дорівнювати сумі чисел кінцевої вихідної картки. Суми чисел заданих карток дорівнюють: 2,8 + (–1,7) + 16 = 17,1; 1,73 + 2 + 0,4 = 4,13. Оскільки 17,1 ≠ 4,13, то отримати з першої картки другу не можна. ЗАВДАННЯ № 6 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ 1. При якому значенні аргументу значення функції y = –1,5x + 4 дорівнює –2? у = –1,5х + 4, –2 = –1,5х + 4; –1,5х = –2 – 4; 1,5х = 6; х = 4. Відповідь: А).

2. Серед наведених функцій укажіть пряму пропорційність: у = 12х. Відповідь: Г).

3. Яка з даних функцій не є лінійною?

2 у = – + 9. х Відповідь: Б).

4. Через яку з даних точок проходить графік функції y = x2 – 3? y(–3) = (–3)2 – 3 = 9 – 3 = 6. В(–3; 6). Відповідь: Б).

5. Уранці учень пішов до школи, а після уроків повернувся додо–му. На рисунку 41 зображено графік залежності відстані між учнем та його домом від часу, який минув від моменту виходу з дому. Скільки годин учень перебував у школі?

4 год. На графіку цьому часу відповідає горизонтальна частина ламаної. Відповідь: В).

6. Графіком якої з даних функцій є пряма, що проходить через початок координат? у = 20х. Відповідь: Б).

7. Графіком якої з даних функцій є горизонтальна пряма?

1 у= .

9 Відповідь: А).

8. У якій точці графік функції y = x – 2 перетинає вісь ординат? у = х – 2, х = 0; у = –2; A(0;–2). Відповідь: А).

9. Визначте абсцису точки перетину графіків функцій y = 8 – 4x і y = x + 14.

8 – 4х = х + 14; 5х = –6; х = –1,2. Відповідь: В).

10. На якому з рисунків зображено графік функції y = 0,2x (рис.42)? Відповідь: В).

11. Графік якої функції зображено на рисунку 43? Відповідь: Б).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

12. При якому значенні m графік функції y = mx + 2m – 5 перетинає вісь x у точці з абсцисою –1? у = mх + 2m – 5, А(–1;0); у = 0, х = – 1; m ∙ (–1 ) + 2m – 5 = 0; –m + 2m = 5; m = 5. Відповідь: А). §3. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ІЗ ДВОМА ЗМІННИМИ 24. Рівняння з двома змінними 1016. Які з даних рівнянь є рівняннями з двома змінними: Рівняннями з двома змінними є: 1) 2х + у = 8; 3) а2 – 3b = 8; 5) ху + 1 = 2; 6) 5m – 3n = 6; 8) х3 – 8у = 100; 9) х3 – 8ху = 100.

1017. Чи є пара чисел (–2; 3) розв’язком рівняння: 1) 4 ∙ (–2) + 3 ∙ 3 = – 8 + 9= 1. Пара чисел (–2; 3) є розв’язком рівняння 4х + 3у = 1; 2) (–2)2 + 5 = 32; 9 = 9. Пара чисел (–2; 3) є розв’язком рівняння х2 + 5 = у2; 3) –2 ∙ 3 = –6 ≠ 6. Пара чисел (–2; 3) не є розв’язком рівняння ху = 6.

1018. Які з пар чисел (0; 1), (5; –4), (0; 1,2), (–1; 1), (1; –1) є розв’язками рівняння: 1) х2 + 5у – 6 = 0; 02 + 5 ∙ 1 – 6 = –1 ≠ 0. Пара чисел (0; 1) не є розв’язком рівняння х2 + 5у – 6 = 0; 52 + 5 ∙ (–4) – 6 = 25 – 20 – 6 = –1 ≠ 0. Пара чисел (5; –4) не є розв’язком рівняння х2 + 5у – 6 = 0; 02 + 5 ∙ 1,2 – 6 = 6 – 6 = 0. Пара чисел (0; 1,2) є розв’язком рівняння х2 + 5у – 6 = 0; (–1)2 + 5 ∙ 1 – 6 = 1 + 5 – 6 = 0. Пара чисел (–1; 1) є розв’язком рівняння х2 + 5у – 6 = 0; 12 + 5 ∙ (–1) – 6 = 1 – 5 – 6 = –10 ≠ 0. Пара чисел (1; –1) не є розв’язком рівняння х2 + 5у – 6 = 0; 2) ху + х = 0; 0 ∙ 1 + 0 = 0. Пара чисел (0; 1) є розв’язком рівняння ху + х = 0; 5 ∙ (–4) + 5 = –20 + 5 = –15 ≠ 0. Пара чисел (5; –4) не є розв’язком рівняння ху + х = 0; 0 ∙ 1,2 + 0 = 0. Пара чисел (0; 1,2) є розв’язком рівняння ху + х= 0; –1 ∙ 1 + (–1) = –2 0 . Пара чисел (–1; 1) не є розв’язком рівняння ху + х = 0; 1 ∙ (–1) + 1 = –1 + 1 = 0. Пара чисел (1; –1) є розв’язком рівняння ху + х = 0.

1019. Чи належить графіку рівняння 2x2 − y +1 = 0 точка: 1) 2 ∙ (–3)2 – (–17) + 1 = 18 + 17 + 1 = 36 ≠ 0. Отже, точка А(–3; –17) не належить графіку рівняння 2х2 – у + 1 = 0; 2) 2 ∙ 22 – 9 + 1 = 8 – 9 + 1 = 0. Отже, точка B(2; 9) належить графіку рівняння 2x2 – у + 1=0; 3) 2 ∙ (–2)2 – 9 + 1 = 8 – 9 + 1 = 0. Отже, точка С(–2; 9) належить графіку рівняння 2х2 – у + 1 = 0 ;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

4) 2 ∙ (–1)2 – 4 + 1 = 2 – 4 + 1 = –1 ≠ 0. Отже, точка D(–1; 4) не належить графіку рівняння 2х2 – у + 1 = 0.

1020. Доведіть, що графік рівняння xy – 12 = 0 не проходить через точку: 1) 3 ∙ (–4) – 12 = –12 – 12 = –24 ≠ 0. Отже, графік рівняння ху – 12 = 0 не проходить через точку A(3; –4); 2) –2 ∙ 6 – 12 = –12 – 12 = –24 ≠ 0. Отже, графік рівняння ху – 12 = 0 не проходить через точку В(–2; 6); 3) 7 ∙ 2 – 12 = 14 – 12 = 2 ≠ 0. Отже, графік рівняння ху – 12 = 0 не проходить через точку С(7; 2).

1021. Чи проходить через початок координат графік рівняння: 1) 12 ∙ 0 + 17 ∙ 0 = 0. Отже, графік рівняння 12х + 17у = 0 проходить через початок координат; 2) 02 – 0 ∙ 0 + 2 = 2 ≠ 0. Отже, графік рівняння х2 – ху + 2 = 0 не проходить через початок координат; 3) 03 – 4 ∙ 0 = 02 + 3 ∙ 0; 0 = 0. Отже, графік рівняння х3 – 4у = у2 + 3х проходить через початок координат.

1022. Укажіть які–небудь три розв’язки рівняння: 1) Розв’язками рівняння х – у = 10 є, наприклад, пари чисел: (10; 0); (5;–5); (25; 15); 2) розв’язками рівняння х = 4у є, наприклад, пари чисел: (4; 1); (0; 0); (24; 6); 3) розв’язками рівняння 2х2 + у = 20 є, наприклад, пари чисел: (0; 20); (1; 18); (–1; 18).

1023. Укажіть які–небудь три розв’язки рівняння: 1) Розв’язками рівняння х + у = 1 є, наприклад, пари чисел: (1; 0), (2; –1), (0; 1); 2) розв’язками рівняння 5х – у = 2 є, наприклад, пари чисел: (1; 3), (2; 8), (0; –2).

1024. Графік рівняння 4x + 3y = 30 проходить через точку A (6; b). Чому дорівнює значення b?

4 ∙ 6 + 3 ∙ b = 30; 24 + 3b = 30; 3b = 6; b = 2.

1025. Графік рівняння 7x – 5y = 47 проходить через точку B (a; –1). Чому дорівнює значення a?

7 ∙ а – 5 ∙ (–1) = 47; 7а + 5 = 47; 7а = 42; а = 6.

1026. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину з осями координат графіка рівняння: 1) Якщо у = 0, то х + 0 = 2; де = 2. Отже, координати точки перетину графіка рівняння х + у = 2 з віссю абсцис дорівнюють (2; 0). Якщо х = 0, то 0 + у = 2; у = 2. Отже, координати точки перетину графіка рівняння х + у = 2 з віссю ординат дорівнюють (0; 2); 2) якщо у = 0, то х3 – 0 = 1; х = 1. Отже, координати точки перетину графіка рівняння х3 – у = 1 з віссю абсцис дорівнюють (1; 0). Якщо х = 0, то 03 – у = 1; у = –1. Отже, координати точки перетину графіка рівняння х3 – у = 1 з віссю ординат дорівнюють (0; –1); 3) якщо у = 0, то х2 + 02 = 9; х2 = 9; х = –3 або х = 3. Отже, координати точок перетину графіка рівняння х2 + у2 = 9 з віссю абсцис дорівнюють (–3; 0) і (3; 0). Якщо х = 0, то 02 + у2 = 9; у = –3 або у = 3. Отже, координати точок перетину графіка рівняння х2 + у2 = 9 з віссю ординат дорівнюють (0; –3) або (0; 3); 4) якщо у = 0, то |х| – 0 = 5; |х| = 5; х = –5 або х = 5. Отже, координати точок перетину графіка рівняння |x| – у = 5 з віссю абсцис дорівнюють (–5; 0) і (5; 0). Якщо х = 0, то |0| – у = 5; у = –5. Отже, координати точки перетину графіка рівняння |х| – у = 5 з віссю ординат дорівнюють (0; –5).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1027. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину з осями координат графіка рівняння: 1) Якщо у = 0, то 2х – 3 ∙ 0 = 6; 2х = 6; х = 3. Отже, координати точки перетину графіка рівняння 2х – 3у = 6 з віссю абсцис дорівнюють (3; 0). Якщо х = 0, то 2 ∙ 0 – 3у = 6; –3у = 6; у = –2. Отже, координати точки перетину графіка рівняння 2х – 3у = 6 з віссю ординат дорівнюють (0; –2); 2) якщо у = 0, то х2 + 0 = 4; х = –2 або х = 2. Отже, координати точок перетину графіка рівняння х2 + у = 4 з віссю абсцис дорівнюють (–2; 0) і (2; 0). Якщо х = 0, то 02 + у = 4; у = 4. Отже, координати точки перетину графіка рівняння х2 + у = 4 з віссю ординат дорівнюють (0; 4); 3) якщо у = 0, то |х| + |0| = 7; |х| = 7; х = –7 або х = 7. Отже, координати точок перетину графіка рівняння |х| + |у| = 7 з віссю абсцис дорівнюють (–7; 0) і (7; 0). Якщо х = 0, то |0| + |у| = 7; |у| = 7; у = –7 або у = 7. Отже, координати точок перетину графіка рівняння |х| + |у| = 7 з віссю ординат дорівнюють (0; –7) і (0; 7).

1028. Складіть яке–небудь рівняння з двома змінними, розв’язком якого є пара чисел: 1) Пара чисел х = 1, у = 2 є розв’язком, наприклад, рівняння х2 + у = 3; 2) пара чисел х = –3 ,у = 5 є розв’язком, наприклад, рівняння х2 + у = 14; 3) пара чисел х = 10, у = 0 є розв’язком, наприклад, рівняння х2 + у = 100.

1029. Складіть яке–небудь рівняння з двома змінними, графік якого проходить через точку: 1) Через точку А(–2; 2) проходить, наприклад, графік рівняння х + у = 0; 2) через точку В(4; –1) проходить, наприклад, графік рівняння х + у = 3; 3) через точку С(0; 0) проходить, наприклад, графік рівняння x + у + 1= 1.

1030. Придумайте три рівняння, графіки яких проходять через точку M (6; –3). Через точку М(6; –3) проходять, наприклад, графіки рівнянь: х + у = 3; х2 + у = 33; (х + 2)2 + (у – 3)2 = 100.

1031. Придумайте три рівняння, графіки яких проходять через точку K (0; 4). Через точку K(0; 4) проходять, наприклад, графіки рівнянь: х + у = 4; х2 + у = 4; (х + 2)2 + (у – 3)2 = 5.

1032. Чи належать графіку рівняння x4 – y = –2 точки, що мають від’ємну ординату? Якщо точки мають від’ємну ординату, то х4 – у > 0 і х4 – у ≠ –2. Отже, графік рівняння х4 – у = –2 не проходить через точки, які мають від’ємну ординату.

1033. Чи проходить графік рівняння x + y2 = –4 через точки, що мають додатну абсцису? Якщо точки мають додатну абсцису, то х + у2 > 0 і х + у2 ≠ –4. Отже, графік рівняння х + у2 = –4 не проходить через точки, які мають додатну абсцису.

1034. Чи має розв’язки рівняння: У разі ствердної відповіді вкажіть які–небудь розв’язки.

1) 02 = 02. Отже, рівняння у2 = х2 має, наприклад, розв’язок (0; 0); 2) 02 = –02. Отже, рівняння у2 = –х2 має, наприклад, розв’язок (0; 0); 3) 0 ∙ 0 = 0. Отже, рівняння ху = 0 має, наприклад, розв’язок (0; 0); 4) 32 + 42 = 25; 9 + 16 = 25. Отже, рівняння х2 + у2 = 25 має, наприклад, розв’язок (3; 4); 5) рівняння х2 + у2 = –25 не має розв’язків, бо сума невід’ємних чисел не може дорівнювати від’ємному числу; 6) 42 – 52 = –9; –9 = –9. Отже, рівняння х2 – y2 = –9 має, наприклад, розв’язок (4; 5); 7) |1| + |0| = 1; 1 = 1. Отже, рівняння |х| + |y| = 1 має, наприклад, розв’язок (1; 0); 8) |0| + |0| = 0; 0 = 0. Отже, рівняння |х| + |у| = 0 має, наприклад, розв’язок (0; 0); 9) рівняння |x| + |у| = –1 не має розв’язків, бо сума невід’ємних чисел не може дорівнювати від’ємному числу.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1035. Розв’яжіть рівняння: 1) Сума невід’ємних чисел х2 + у2 може дорівнювати нулю лише тоді, коли кожне з них дорівнюватиме нулю. Оскільки 02 + 02 = 0, то пара чисел (0; 0) є єдиним розв’язком рівняння х2 + у2 = 0; 2) сума невід’ємних чисел (х + 2)2 + (у – 3)2 може дорівнювати нулю лише тоді, коли кожне з них дорівнюватиме нулю. Оскільки 02 + 02 = 0, то: х + 2 = 0 і у – 3 = 0; х = –2 і у = 3. Отже, пара чисел (–2;3) є єдиним розв’язком рівняння (х + 2)2 + (у – 3)2 = 0; 3) рівняння х4 + у6 = –4 не має розв’язків, бо сума невід’ємних чисел не може дорівнювати від’ємному числу.

1036. Скільки розв’язків має рівняння: 1) Сума невід’ємних чисел х2 + (у – 2)2 може дорівнювати нулю лише тоді, коли кожне з них дорівнюватиме нулю. Оскільки 02 + 02 = 0, то: х = 0 і у – 2 = 0; x = 0 і у = 2. Отже, пара чисел (0; 2) — єдиний розв’язок рівняння х2 + (у – 2)2 = 0; 2) сума невід’ємних чисел (х + 3)2 + (у – 1)2 може дорівнювати нулю лише тоді, коли кожне з них дорівнюватиме нулю. Оскільки 02 + 02 = 0, то: х + 3 i y – 1 = 0; x = –3 і у = 1. Отже, пара чисел (–3; 1) є єдиним розв’язком рівняння (х + 3)2 + (у – 1)2 = 0; 3) сума невід’ємних чисел 9х2 + 16у2 може дорівнювати нулю лише тоді, коли кожне з них дорівнюватиме нулю. Оскільки 02 + 02 = 0, то пара чисел (0; 0) є єдиним розв’язком рівняння 9x2 + 16у2 = 0; 4) рівняння (х2 + у2)у = 0 має безліч розв’язків, у яких x — будь–яке число, а y = 0; 5) рівняння ху = 2 має безліч розв’язків виду (а;2:а), де а — будь–яке число і а 5 ≠ 0; 6) сума невід’ємних чисел |x + 1| + |у| може дорівнювати нулю лише тоді, коли кожне з них дорівнюватиме нулю. Маємо: |х + 1| = = 0 і |у| = 0; х + 1 = 0 і у = 0; х = –1 і у = 0. Отже, пара чисел (–1; 0) є єдиним розв’язком рівняння |х + 1| + |у| = 0; 7) рівняння х2 + (у) = –100 не має розв’язків, бо сума невід’ємних чисел не може дорівнювати від’ємному числу; 8) рівняння х + у = 2 має безліч розв’язків виду (а; 2 – а), де а — будь–яке число.

1037. Наведіть приклад рівняння зі змінними x і y: 1) яке має один розв’язок; 2) яке не має розв’язків; 3) яке має безліч розв’язків; 4) розв’язком якого є будь–яка пара чисел.

1) Наприклад, рівняння 5х2 + 11у2 = О має лише один розв’язок, бо сума невід’ємних чисел 5х2 + 11у2 може дорівнювати нулю лише тоді, коли кожне з них дорівнює нулю. Оскільки 02 + 02 = 0, то пара чисел (0; 0) є єдиним розв’язком рівняння 5х2 + 11у2 = 0; 2) наприклад, рівняння х2 + 5|у| = –100 не має розв’язків, бо сума невід’ємних чисел не може дорівнювати від’ємному числу; 3) наприклад, рівняння х + у = 5 має безліч розв’язків виду (a; 5 –а), де a — будь–яке число; 4) наприклад, розв’язком рівняння 0х + 0у = 0 є будь–яка пара чисел.

1038. Що являє собою графік рівняння: 1) Сума невід’ємних чисел (х – 1)2 + (у + 5)2 може дорівнювати нулю лише тоді, коли кожне з них дорівнюватиме нулю, тобто коли: х – 1 = 0 і у + 5 = 0; х = 1 і у = –5. Отже, рівняння (х + 3)2 + (у – 1)2 = 0 має єдиний розв’язок (1; –5), а його графіком є одна точка (1; –5); 2) сума невід’ємних чисел |х + 9| + |у – 8| може дорівнювати нулю лише тоді, коли кожне з них дорівнюватиме нулю, тобто коли: |х + 9| = 0 і |у – 8| = 0; х = –9 і у = 8. Отже, рівняння |х + 9| + |у – 8| = 0 має єдиний розв’язок (–9; 8), а його графіком є одна точка (–9; 8); 3) розв’язком рівняння 4х + у = у + 4х є будь-яка пара чисел, а його графіком є вся координатна площина;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

4) (х – 1)(у + 5) = 0; х – 1 = 0 або у + 5 = 0; х = 1 або у = –5. Розв’язком рівняння всі пари чисел, у яких х = 1, а у — будь–яке число або у яких х — будь–яке число, а у = –5. Графіком рівняння є дві прямі х = 1 і у = –5.

1039. Побудуйте графік рівняння: 1) Графіком рівняння (х + 2)2 + у2 = 0 є 2) графіком рівняння ǀхǀ + (у – 3)2 = 0 є точка точка (-2; 0); (0; 3);

shkola.in.ua

shkola.in.ua

3) графіком рівняння ху = 0 є осі 4) графіком рівняння (х + 2)(у – 1) = 0 є дві координат; прямі х = -1 і у = 1;

shkola.in.ua

shkola.in.ua

5) ху – 2у = 0; у(х – 2) = 0; у = 0 або х = 2. Графіком рівняння є дві прямі х = 2 і у = 0.

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1040. Побудуйте графік рівняння: 1) Графіком рівняння ǀх - 4ǀ + ǀу - 4ǀ = 0 є 2) графіком рівняння (х – 4)(у – 4) = 0 є дві точка (4; 4); прямі х = 4 і у = 4;

shkola.in.ua

shkola.in.ua

3) ху + х = 0; х(у + 1) = 0; х = 0 або у = -1. Графіком рівняння є дві прямі х = 0 і у = -1.

shkola.in.ua

1041. Знайдіть усі пари (x; y) натуральних чисел, які є розв’язками рівняння: 1) 2x + 3у = 5. Якщо х і у — натуральні числа, то х може набирати лише значень 1 або 2. Маємо: якщо х = 1, то 2 ∙ 1 + 3у = 5; 3у = 3; у = 1; якщо х = 2, то 2 ∙ 2 + 3у = 5; 3у = 1 — не підходить. Розв’язком рівняння є (1; 1); 2) х + 5у = 16. Якщо х і у — натуральні числа, то у може набирати лише значень 1, 2 або 3. Маємо: якщо у = 1, то х + 5 ∙ 1 = 16; х = 11; якщо у = 2, то х + 5 ∙ 2 = 16; х = 6; якщо у = 3, то х + 5 ∙ 3 = 16; х = 1. Розв’язками рівняння є: (11; 1), (6; 2), (1; 3).

1042. Знайдіть усі пари (x; y) цілих чисел, які є розв’язками рівняння | x | + | y | = 2. |х| + |у| = 2. Якщо х і у — цілі числа, то х може набирати лише значень –2, –1, 0, 1 або 2. Маємо: якщо х = –2, то |–2| + |у| = 2; |у| = 0; у = 0; якщо х = –1, то |–1| + |у| = 2; |у| = 1; у = –1 або у = 1; якщо х = 0, то |0| + |у| = 2; |у| = 2; у = –2 або у = 2; якщо х = 1, то |1| + |у| = 2; |у| = 1; у = –1 або у – 1; якщо х = 2 ,то |2| + |у| = 2; |у| = 0; у = 0. Розв’язками рівняння є: (–2; 0); (–1; –1); (–1; 1); (0; –2); (0; 2); (1; –1); (1; 1); (2; 0).

1043. Знайдіть усі пари (x; y) цілих чисел, які є розв’язками рівняння x2 + y2 = 5. х2 + у2 = 5. Якщо х і у — цілі числа, то х може набирати лише значень –2, –1, 0, 1 або 2. Маємо: якщо х = –2, то (–2)2 + у2 = 5; у2 = 1; у = –1 або у = 1; якщо х = –1, то (–1)2 + y2 = 5; y2 = 4; у = –2 або у = 2; якщо х = 0, то 02 + y2 = 5; у2 = 5 — не підходить; х = 1, то 12 + y2 = 5; у2 = 4; у = –2 або у = 2;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

якщо х = 2, то 22 + y2 = 5; y2 = 1; у = –1 або у = 1. Розв’язками рівняння є: (–2; –1); (–2; 1); (–1; –2); (–1; 2); (1; –2); (1; 2); (2; –1); (2; 1).

1044. Катерині треба заплатити за математичний довідник 29 грн. У неї є купюри тільки по 2 грн і по 5 грн. Скількома способами вона може розрахуватися за покупку без здачі? Нехай Катерині треба заплатити за математичну енциклопедію х купюр по 2 грн і у купюр по 5 грн. Рівняння: 2х + 5у = 29. Розв’язками рівняння є: (12; 1); (7; 3); (2; 5). Катерина може розрахуватися за покупку трьома способами.

1045. Учням 7 класу на конкурсі з математики було запропоновано задачі з алгебри та з геометрії. За кожну правильно розв’язану задачу з алгебри нараховували 2 бали, а за задачу з геометрії — 3 бали. Максимальна кількість набраних балів могла скласти 24. Скільки було запропоновано задач окремо з алгебри та з геометрії, якщо з кожного із цих предметів була хоча б одна задача? Знайдіть усі можливі відповіді. Нехай було запропоновано х задач з алгебри і у задач з геометрії. Рівняння: 2х + 3у = 24. Розв’язками рівняння є: (9; 2); (6; 4); (3; 6). Могло бути запропоновано: 9 задач з алгебри і 2 задачі з геометрії; 6 задач з алгебри і 4 задачі з геометрії; 3 задачі з алгебри і 6 задач з геометрії.

1046. Розв’яжіть рівняння: 1) х2 + y2 + 4 = 4у; х2 + (у2 – 4у + 4) = 0; х2 + (у – 2)2 = 0. Розв’язком рівняння є (0; 2); 2) х2 + у2 + 2х – 6у + 10 = 0; (х2 + 2х + 1) + (у2 – 6у + 9) = 0; (х + 1)2 + (у – 3)2 = 0. Розв’язком рівняння є (–1; 3); 3) х2 + y2 + х + у + 0,5 = 0; (х2 + х + 0,25) + (у2 + у + 0,25) = 0; (х + 0,5)2 + (у + 0,5)2 = 0. Розв’язком рівняння є (–0,5; –0,5); 4) 9х2 + у2 + 2 = 6х; (9x2 – 6х + 1) + у2 = –1 ; (х – 3)2 + у2 = –1 — рівняним розв’язків не має.

1047. Розв’яжіть рівняння: 1) х2 + 10у + 30 = 10х – у2 – 20; (х2 – 10х + 25) + (y2 + 10у + 25) = 0; (х – 5)2 + (у + 5)2 = 0. Розв’язком рівняння є (5; –5); 2) 4х2 + у2 + 4х = 2у – 3; (4x2 + 4х + 1) + (у2 – 2у + 1) = –1; (4х + 1)2 + (у – 1)2 = –1 — рівняння розв’язків не має.

1048. Графіком рівняння (x2 + y2 + y)2 = x2 + y2 є крива, яку називають кардіоїдою (рис. 57). Знайдіть координати точок її перетину з осями координат. Якщо у = 0, то (х2 + 02 + 0)2 = х2 + 02; х4 – х2 = 0; х2(х2 – 1) = 0; х = 0 або х = –1, або х = 1. Отже, координати точок перетину графіка рівняння (х2 + у2 + у)2 = х2 + у2 з віссю абсцис дорівнюють (0; 0) (–1; 0) (1; 0). Якщо х = 0, то (02 + у2 + у)2 = 02 + у2; (у2 + у)2 – у2 = 0; (у2 + у – у)(у2 + у + у) = 0; y2(у2 + 2у) = 0; у3(у + 2) = 0; у = 0 або у = –2. Отже, координати точок перетину графіка рівняння (х2 + у2 + у)2 = х2 + у2 з віссю ординат дорівнюють (0; 0) або (0; – 2). х2

у2

1049. Графіком рівняння + =1 є крива, яку називають еліпсом (рис. 58). Знайдіть 25 16 координати точок її перетину з осями координат. Якщо у = 0, то

х2

х2

= 1; х2 = 25; х = –5 або х = 5. Отже, координати точок перетину

25 16 02 у2 у2

= 1; у2 = 16; у = –4 або у = 4. Отже, координати точок перетину

25

+

графіка рівняння Якщо х = 0,то

25

02

16

х2

+

+

16

х2

= 1; у2

= 1 з віссю абсцис дорівнюють (–5; 0) (5; 0).

= 1; у2

25

16

графіка рівняння + = 1 з віссю ординат дорівнюють (0; –4) або (0; 4).

25 16 1050. У посудину, яка містить 150 мл 8 %–го розчину кислоти, додали 90 мл води. Чому дорівнює концентрація кислоти в одержаному розчині?

1) 150 ∙ 0,08 = 12 (мл) — усього кислоти в розчині;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

2) 150 + 90 = 240 (мл) — маса одержаного розчину; 3) 12 : 240 = 0,05 = 5% — концентрація кислоти в одержаному розчині. Відповідь: 5%.

1051. Знайдіть корінь рівняння: 4х+1 2х−3 3х−5 5х−2 𝟏𝟏) − = х – 4|∙ 15; 2) − = х + 9|∙ 12; 5 3 4 3 3(4х + 1) – 5(2х – 3) = 15(х – 4); 3(3х – 5) – 4(5х – 2) = 12(х + 9); 12х + 3 – 10х + 15 = 15х – 60; 9х – 15 – 20х + 8 = 12х + 108; 12х – 10х – 15х = –60 – 3 – 15; 9х – 20х – 12х = 108 + 15 – 8; –13х = –78; х = 6.

–23х = 115; х = –5. Відповідь: 6; Відповідь: –5.

1052. З міста A до міста B одночасно виїхали легковий і вантажний автомобілі. Через 3,5 год після виїзду легковий автомобіль прибув у місто B, а вантажному залишилося ще проїхати 77 км. Знайдіть відстань між містами, якщо швидкість вантажного автомобіля в 1,4 раза менша від швидкості легкового. Нехай відстань між містами дорівнює х км, тоді швидкість легкового автомобіля становить х х−77 км/год. Вантажний автомобіль проїхав (х – 77) км, а його швидкість становить — 3,5

3,5

км/год. х 1,4(х−77) Рівняння: = │∙ 3,5; 3,5

3,5

x = 1,4(x – 77); x = 1,4x – 107,8; 0,4x = 107,8; x = 269,5. Відповідь: 269,5 км.

1053. Чи можна стверджувати, що при будь–якому натуральному парному значенні n значення виразу (5n + 10)2 – (2n + 4)2 ділиться націло на 84?

(5n + 10)2 – (2n + 4)2 = (5n + 10 – 2n – 4)(5n + 10 + 2n + 4) = (3n + 6)(7n + 14) = = 3 ∙ 7 ∙ (n + 2)(n + 2) = 21(n + 2)2. Якщо n = 2k, то: 21(n + 2)2 = 21(2k + 2)2 = 21 ∙ 4 ∙ (k + 1)2 = 84(k + 1)2. При будь–якому натуральному парному значенні n значення виразу (5n + 10)2 – (2n + 4)2 ділиться націло на 84.

1054. Відомо, що при деяких значеннях m, n і k значення виразу 3m2n дорівнює 2, а значення виразу n2k4 дорівнює 3. Знайдіть при тих самих значеннях m, n і k значення виразу: 1) (3m2n2k2)2 = ((3m2n) ∙ (nk2))2 = (3m2n)2 ∙ (nk2)2 = (3m2n)2 ∙ (n2k4). Якщо 3m2n = 2, n2k4 = 3, то (3m2n)2 ∙ (n2k4) = 22 ∙ 3 = 12; 2 2) (–2m2nk2)3 ∙ (0,5n2k)2 = –8m6n3k6 ∙ 0,25n4k2 = –2m6n7k8 = –2m6n3 ∙ n4k8 = – (3m2n)3.

2

2

2

27

16

Якщо 3m n = 2, n k = 3, то – (3m n) ∙ (n k ) = = – ∙ 2 ∙ 3 = – ∙ 8 ∙ 9 = – .

27 27 27 3 1055. Порівняйте значення виразів (1∙2∙3∙...∙999∙1000)2 і 10001000.

(1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 999 ∙ 1000)2 = ((1 ∙ 1000) ∙ (2 ∙ 999) ∙ ... ∙ (499 ∙ 502) ∙ (500 ∙ 501))2 = (1 ∙ 1000)2 ∙ (2 ∙ 999)2 … ∙ (499 ∙ 502)2 ∙ (500 ∙ 501)2; 10001000 = 1000 ∙ 1000 ∙ ... ∙ 1000 = (1000 ∙ 1000) ∙ (1000 ∙ 1000) ∙ ... ∙ (1000 ∙ 1000) = = 10002 ∙10002 ∙ ... ∙ 10002. Кожний із 500 множників добутку (1 ∙ 1000)2 ∙ (2 ∙ 999)2 ∙ ... ∙ (499 ∙ 502)2 ∙ (500 ∙ 501)2 не менший від кожного із 500 множників добутку 10002 ∙ 10002 ∙ ... ∙ 10002. Отже, (1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ 999 ∙ 1000)2 > 10001000.

2

2 4

2

3

2 4 2

 shkola.in.ua

3

2

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

25. Лінійне рівняння з двома змінними та його графік 1056. Чи є лінійним рівняння з двома змінними: Лінійними рівняння з двома змінними є: 1) 7х + 11у = 36; 3) 12x – 17у = 0.

1057. Чи є лінійним рівняння з двома змінними: 1) так; 2) ні; 3) ні; 4) так.

1058. Які з пар чисел (7; 1), (0; –2), (8; 2), (–7; –5), (10; 3) є розв’язками рівняння 3x – 7y = 14? Пара чисел (7; 1) є розв’язком рівняння 3х – 7у = 14, бо 3 ∙ 7 – 7 ∙ 1 = 21 – 7 = 14; Пара чисел (0; –2) є розв’язком рівняння 3x – 7у = 14, бо 3 ∙ 0 – 7 ∙ (–2) = 0 + 14= 14; Пара чисел (8; 2) не є розв’язком рівняння 3x – 7у = 14, бо 3 ∙ 8 – 7 ∙ 2 = 24 – 14 = 10.

10 ≠ 14; Пара чисел (–7; –5) є розв’язком рівняння 3x – 7у = 14, бо 3 ∙ (–7) – 7 ∙ (–5) = –21 + 35 = 14; Пара чисел (10; 3) не є розв’язком рівняння 3x – 7у = 14, бо 3 ∙ 10 – 7 ∙ 3 = 30 – 21 = 9.

9 ≠ 14.

1059. Розв’язком якого з рівнянь є пара чисел (3; –2): 1) Пара чисел (3; –2) є розв’язком рівняння 4x + 5у = 2, бо 4 ∙ 3 + 5 ∙ (–2) = 12 – 10 = 2; 2) пара чисел (3; –2) не є розв’язком рівняння 3x – 2у = 5, бо 3 ∙ 3 – 2 ∙ (–2) = 9 + 4 = 13.

13 ≠ 5; 3) пара чисел (3; –2) є розв’язком рівняння, бо 0,2x – 0,5у = 1,6, бо 0,2 ∙ 3 – 0,5 ∙ (–2) = 0,6 + 1 = 1,6.

1060. Чи є розв’язком рівняння 2x – 9y = 13 пара чисел: 1) (2,5; 2) х = 2,5; у = 2 2 ∙ 2,5 – 9 ∙ 2 = 5 – 18 = –13 ≠ 13 не є розв’язком.

2) (10,5; 2) х = 10,5; у = 2 2 ∙ 10,5 – 9 ∙ 2 = 21 – 18 = 3 ≠ 13 не є розв’язком.

1 1 3) (5;– ) 2 ∙ 5 + 9 ∙ = 10 + 3 = 13 є розв’язком.

3 3 4) (–7; –3) 2 ∙ (–7) – 9 ∙ (–3) = –14 + 27 = 13 є розв’язком.

1061. Відомо, що пара чисел (–5; y) є 1062. Відомо, що пара чисел (8; y) є розв’язком рівняння 2x + 9y = 17. Знайдіть розв’язком рівняння 2x – 3y = 4. Знайдіть значення y. значення y. Якщо x = –5, то 2 ∙ (8) – 3у = 4; 2 ∙ (–5) + 9у = 17; 16 – 3у = 4; –10 + 9у = 17; –3у = 4 – 16; 9у = 27; –3у = –12; 12 у = 3. у= ; 3 у = 4.

2 1063. Відомо, що пара чисел (x; ) є 1064. Відомо, що пара чисел (x; 6) є 3 розв’язком рівняння 8x –3y = 22. Знайдіть 1 розв’язком рівняння х + 6у = 1. значення x.

7 1 Якщо у = 6, то х + 6у = 1; 7 8x – 3 ∙ 6 = 22; 1 2 х + 6 ∙ = 1; 8x – 18 = 22; 7 3 1 8x = 40; х = 1 – 4; 7 x = 5.

1 х = –3; 7 х = –21.

1065. Графіку якого з рівнянь належить точка M (1; 4): 1) Точка М(1; 4) не належить графіку рівняння 4у – 2x = –4, бо 4 ∙ 4 – 2 ∙ 1 = 16 – 2 = 14 ≠ –4; 2) точка M(1; 4) належить графіку рівняння 6х + 11y = 50, бо 6 ∙ 1 + 11 ∙ 4 = 6 + 44 = 50.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1066. Чи проходить графік рівняння 3x + y = –1 через точку: 1) Точка М(–3; 10) не належить графіку рівняння 3х + у = –1, бо 3 ∙ (–3) + 10 = – 9 + 10 = 1 ≠ –1; 2) точка N(4; –13) належить графіку рівняння 3х + у= –1, бо 3 ∙ 4 + (–13) = 12 – 13 = –1; 3) точка K(0; –1) належить графіку рівняння 3х + у = –1, бо 3 ∙ 0 + (–1) = 0 – 1 = –1.

1067. Виразіть із даного рівняння змінну x через змінну y і знайдіть які–небудь три розв’язки цього рівняння: 1) x + у = 12; 2) х – 7у = 5; х = 12 – у. х = 5 + 7у. Якщо у = 12, то х = 12 – 12 = 0. Якщо у = 0, то х = 5 + 0 = 5. Якщо у = 10, то х = 12 – 10 = 2. Якщо у = 1, то х = 5 + 7 = 12. Якщо у = 1, то х = 12 – 1 = 11. Якщо у = –1, то х = 5 – 7 = – 2. Отже, пари чисел (0; 12), (2; 10), (11; 1) є Отже, пари чисел (5; 0), (12; 1), (–2; –1) є розв’язками рівняння; розв’язками рівняння; 3) 2х + 8у = 16; 4) –6х + 5у = 18; х + 4у = 8; –6х = 18 –5у; х = 8 – 4у.

6х = 5у – 18; 5у−18 Якщо у = 0, то х = 8 – 0 = 8. х= .

6 Якщо у = 1, то х = 8 – 4 = 4.

5∙0−18 Якщо у = 0, то х = = –3. Якщо у = –1, то х = 8 + 4 = 12.

6 Отже, пари чисел (8; 0), (4; 1), (12; –1) є Якщо у = 6, то х = 5∙6−18 = 2.

6 розв’язками рівняння; 5∙12−18 Якщо у = 12, то х = = 7.

6 Отже, пари чисел (–3; 0), (2; 6), (7; 12) є розв’язками рівняння.

1068. Виразіть із даного рівняння змінну y через змінну x і знайдіть які-небудь два розв’язки цього рівняння: 1) 4х – у = 7; у = 4х – 7. Якщо х = 0, то у = 0 – 7 = –7. Якщо х = 1, то у = 4 – 7 = –3. Отже, пари чисел (0; –7), (1; –3) є розв’язками рівняння; 2) –2х + у= 11; у = 2х + 11. Якщо х = 0, то у = 0 + 11 = 11. Якщо х = 1, то у = 2 + 11 = 13. Отже, пари чисел (0; 11), (1; 13) є розв’язками рівняння; 5х−15 5∙0−15 3) 5х – Зу = 15; Зу = 5х – 15; у = . Якщо х = 0, то у = = –5.

5∙3−15

3

3

Якщо х = 3, то у = = 0. Отже, пари чисел (0; –5), (3; 0) є розв’язками рівняння.

3 1069. Знайдіть які-небудь три розв’язки рівняння: 1) х – у = 10. Якщо х = 0, то 0 – у = 10; у = –10. Якщо х = 5, то 5 – у = 10; у = –5. Якщо х = 10, то 10 – у = 10; у = 0. Отже, пари чисел (0; –10), (5;–5), (10; 0) є розв’язками рівняння; 2) 2у – 5х = 11. Якщо х = 0, то 2у – 0 = 11; у = 5,5. Якщо х = 1, то 2у – 5 = 11; 2у = 16; у = 8. Якщо х = –1, то 2у + 5 = 11; 2у = 6; у = 3. Отже, пари чисел (0; 5,5), (1; 8), (–1; 3) є розв’язками рівняння.

1070. Знайдіть які-небудь три розв’язки рівняння: 1) 6х + у = 7. Якщо х = 0, то 0 + у = 7; у = 7. Якщо х = 1, то 6 + у = 7; у = 1. Якщо х = 2, то 12 + у = 7; у = –5. Отже, пари чисел (0; 7), (1; 1), (2; –5) є розв’язками рівняння; 2) 2х – 3у = –4. Якщо х = 1, то 2 – 3у = –4; –3у = –6; у = 2. Якщо х = 4, то 8 – 3у = –4; –3у = –12; у = 4. Якщо х = –2, то –4 – 3у = –4; –3у = 0; у = 0. Отже, пари чисел (1; 2), (4; 4), (–2; 0) є розв’язками рівняння.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1071. Побудуйте графік рівняння: 1) х – у = 4 х 0 4 у -4 0

2) 4х + у = 3 х 0 у 3

1 -1

shkola.in.ua shkola.in.ua

3) х – 5у = 5 х 0 у -1

5 0

4) 3х + 2у = 6 х 0 у 3

2 0

shkola.in.ua shkola.in.ua

1072. Побудуйте графік рівняння: 1) х + у = -3 х 0 -3 у -3 0

2) 6х + у = 0 х 0 у 0

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

-1 6

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) 2х – 3у = 9 х 0 у -3

3 -1

shkola.in.ua

1073. Які пари чисел є розв’язками рівняння: 1) 0х + 4у = 20; 4у = 20; у = 5. Розв’язками рівняння є такі пари чисел, у яких перше число є будь-яким, а друге дорівнює 5; 2) –3х + 0у = 27; –3х = 27; х = –9. Розв’язками рівняння є такі пари чисел, у яких перше число дорівнює –9, а друге є будь–яким числом.

1074. Побудуйте графік рівняння: 1) 4у = -8 2) 1,2х = 3,6 х 0 4 х 3 3 у -2 -2 у 3 -1

shkola.in.ua shkola.in.ua

shkola.in.ua

2) 0,5у = 2 х 1 у 4

shkola.in.ua

1075. Побудуйте графік рівняння: 1) -0,2х = 1 х -5 -5 у 1 3

 shkola.in.ua

3 4

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1076. У якій точці пряма 7y – 3x = 21 перетинає: 1) вісь x; 2) вісь y?

1) Якщо у = 0, то 0 – 3х = 21; х = –7. Отже, пряма 7у – 3х = 21 перетинає вісь х у точці (–7; 0); 2) якщо х = 0, то 7у – 0 = 21; у = 3. Отже, пряма 7у – 3х = 21 перетинає вісь у у точці (0; 3).

1077. Знайдіть координати точок перетину прямої 0,3x + 0,2y = 6 з осями координат.

1) Якщо у = 0, то 0,3х + 0 = 6; х = 20. Отже, пряма 0,3х + 0,2у = 6 перетинає вісь х у точці (20; 0); 2) якщо х = 0, то 0 + 0,2у = 6; у = 30. Отже, пряма 0,3х + 0,2у = 6 перетинає вісь у у точці (0; 30).

1078. Складіть яке–небудь лінійне рівняння з двома змінними, розв’язком якого є пара чисел (–2; 1). Пара чисел (–2; 1) є розв’язком, наприклад, такого лінійного рівняння з двома змінними 0,3х + у = 0,4.

1079. Складіть яке–небудь лінійне рівняння з двома змінними, розв’язком якого є пара чисел (3; 5). Пара чисел (3; 5) є розв’язком, наприклад, такого лінійного рівняння з двома змінними 3х + у = 14.

1080. Знайдіть розв’язок рівняння 7x + 8y = 30, який складається з двох рівних чисел. Якщо х = у, то: 7х + 8х = 30; 15х = 30; х = 2. Розв’язком рівняння 7х + 8у = 30, який складається з двох рівних чисел є (2; 2).

1081. Знайдіть розв’язок рівняння –12x + 17y = –87, який складається з двох протилежних чисел. Якщо х = –у, то: –12(–у) + 17у = –87; 29у = –87; у = –3. Розв’язком рівняння –12х + 17y = –87, який складається з двох протилежних чисел є (3; –3).

1082. При якому значенні a пара чисел (a; 2a) є розв’язком рівняння 2x + 7y = 16? Якщо пара чисел (а; 2а) є розв’язком рівняння 2х + 7у = 16, то: 2а + 7 ∙ 2а = 16; 2а + 14а = 16; 16а = 16; а = 1.

1083. При якому значенні a пара чисел (–4; 2) є розв’язком рівняння: 1) Якщо пара чисел (–4; 2) є розв’язком рівняння 3х + 5у = а, то: 3 ∙ (–4) + 5 ∙ 2 = а; а = –2; 2) якщо пара чисел (–4; 2) є розв’язком рівняння ах + 5у = 18, то: –4а + 5 ∙ 2 = 18; –4а = 8; а = –2.

1084. При якому значенні a графік рівняння 11x – 13y = a + 4 проходить через початок координат? Графік рівняння 11x – 13у = а + 4 проходитиме через початок координат, якщо х = у = 0. Маємо: 0 – 0 = а + 4; а = –4.

1085. При якому значенні a через точку A (5; –3) проходить графік рівняння: 1) Графік рівняння 4х – 9у = а проходить через точку A(5; –3), якщо: 4 ∙ 5 – 9 ∙ (–3) = а; а = 47; 2) графік рівняння 6х – ау = 15 проходить через точку А (5; –3), якщо: 6 ∙ 5 – а ∙ (–3) = 15; 30 + За = 15; 3a = –15; а = –5.

1086. При якому значенні a графік рівняння ax + 4y = 0 проходить через точку: 1) Графік рівняння ах + 4у = 0 проходить через точку А(12;–4), якщо: 4 а ∙ 12 + 4 ∙ (–4) = 0; 12а = 16; а = ; 3 2) графік рівняння ах + 4у = 0 не проходить через точку В (0; 2) бо, якщо: а ∙ 0 + 4 ∙ 2 = 0; 0а = –8 і такого значення а не існує; 3) графік рівняння ах + 4у = 0 проходить через точку О (0; 0), якщо: а ∙ 0 + 4 ∙ 0 = 0; 0а = 0, тобто при будь–якому значенні а.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1087. При якому значенні b графік рівняння 5x + by = 0 проходить через точку: 1) Графік рівняння 5х + bу = 0 проходить через точку М(–4; –10), якщо: 5 ∙ (–4) + b ∙ (–10) = 0; –10b = 20; b = –2; 2) графік рівняння 5х + bу = 0 проходить через точку N (0; 1), якщо: 5 ∙ 0 + b ∙ 1 = 0; b = 0; 3) графік рівняння 5x + bу = 0 не проходить через точку К (–2; 0) бо, якщо: 5 ∙ (–2) + b ∙ 0 = 0; 0b = 10 і такого значення b не існує.

1088. Графіком яких рівнянь є та сама пряма, що й графік рівняння 2x – 5y = 3: Той же графік, що й графік рівняння 2х – 5у = 3, мають рівняння: 1) 4х – 10y = 6; 4) 5у – 2х = –3; 5) х – 2,5у =1,5.

1089. Складіть рівняння з двома змінними за такою умовою: 1) довжина прямокутника дорівнює x м, ширина — y м, периметр — 18 м; 2) автобус їхав 4 год зі швидкістю x км/год і 3 год зі швидкістю y км/год, проїхавши всього 250 км; 3) зошит коштує x грн, а ручка — y грн, 2 ручки дорожчі за 5 зошитів на 1,2 грн.

1) 2х + 2у = 18; 2) 4х + 3у = 250; 3) 2у – 5х = 1,2; 4) 0,12х + 0,2у = 9; 5) х – 8 = у + 8.

1090. Складіть рівняння з двома змінними за такою умовою: 1) бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює a см, основа — b см, периметр — 32 см; 2) один автомобіль проїхав зі швидкістю x км/год за 6 год на 32 км менше, ніж другий автомобіль зі швидкістю y км/год за 7 год; 3) в одному магазині було x ц яблук, а в другому — y ц; за день у першому магазині продали 14 % яблук, а в другому — 18 % яблук, причому в другому магазині продали на 1,2 ц яблук менше, ніж у першому.

1) 2а + b = 32; 2) 7у – 6х = 32; 3) 0,14х – 0,18у = 1,2.

1091. Доведіть, що прямі 5y – x = 6 і 3x – 7y = 6 перетинаються в точці A (9; 3).

5 ∙ 3 – 9 = 6 — пряма 5у – х = 6 проходить через точку A(9; 3).

3 ∙ 9 – 7 ∙ 3 = 27 – 21 = 6 — пряма 3х – 7у = 6 проходить через точку A(9; 3). Отже, прямі 5у – х = 6 і 3х – 7у = 6 перетинаються в точці А(9; 3).

1092. Доведіть, що прямі 4x – 3y = 12 і 3x + 4y = –66 перетинаються в точці B (–6; –12).

4 ∙ (–6) – 3 ∙ (–12) = –24 + 36 = 12 — пряма 4х – 3у = 12 проходить через точку B(–6; –12).

3 ∙ (–6) + 4 ∙ (–12) = –18 – 48 = –66 — пряма 3х+4у=–66 проходить через точку В(–6; –12). Отже, прямі 4х – 3у = 12 і 3х + 4у = –66 перетинаються в точці В(–6; –12).

1093. Складіть лінійне рівняння з двома змінними, графіком якого є пряма, що проходить через початок координат і точку: Лінійне рівняння з двома змінними, графік якого проходить через початок координат є у = kх.

1) Якщо графік рівняння проходить через точку А(2; 8), то: 8 = 2k; k = 4. Отже, рівняння має вид у = 4х; 2) якщо графік рівняння проходить через точку В (–6; 15), то: 15 = –6k; k = –2,5. Отже, рівняння має вид у = –2,5х.

1094. Складіть лінійне рівняння з двома змінними, графіком якого є пряма, що проходить через початок координат і точку C (8; –12). Лінійне рівняння з двома змінними, графік якого проходить через початок координат є у = кх. Якщо графік рівняння проходить через точку С(8; –12), то: –12 = 8k; k = –1,5. Отже, рівняння має вид у = –1,5х.

1095. Доведіть, що не існує такого значення a, при якому пряма ax – 3y = 12 проходить через початок координат. а ∙ 0 – 3 ∙ 0 = 0; 0 ≠ 12. Отже, пряма ах – 3у = 12 не проходить через початок координат ні при якому значенні а.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1096. При яких значеннях a і b пряма ax + by = 24 перетинає осі координат у точках A (–6; 0) і B (0; 12)? Якщо х = –6, у = 0, то а ∙ (–6) + 0 = 24; –6а = 24; а = –4. Рівняння має вигляд: –4х + bу = 24. Якщо х = 0,у = 12, то а ∙ 0 + b ∙ 12 = 24; b = 2. Відповідь: –4; 2.

1097. На якому з рисунків 62, а–г зображено графік рівняння x + y = 3? Якщо у = 0, то х + 0 = 3; х = 3. Якщо х = 0, то 0 + у = 3; у = 3. Отже, графік рівняння х + у = 3 проходить через точки (3; 0) і (0; 3). Графік рівняння х + у = З зображено на рисунку в).

1098. На якому з рисунків 63, а–г зображено графік рівняння x – y = –5? Якщо у = 0, то х – 0 = –5; х = –5. Якщо х = 0, то 0 – у = –5; у = 5. Отже, графік рівняння х – у = –5 проходить через точки (–5; 0) і (0; 5). Графік рівняння х – у = –5 зображено на рисунку в).

1099. Яка з прямих, зображених на рисунку 64, є графіком рівняння: 1) Графіком рівняння 0x + у = –3 є пряма d; 2) графіком рівняння 2х – у = 1 є пряма с; 3) графіком рівняння 3х + 0у = 6 є пряма b; 4) графіком рівняння х + 2у = 0 є пряма а.

1100. При якому значенні a точка перетину прямих 2x – 3y = –6 і 4x + y = a належить осі абсцис? Якщо у = 0, то 2х – 0 = –6; х = –3. Пряма 2х – 3у = –6 перетинає вісь х у точці (–3; 0). Тоді пряма 4х + у = а теж повинна перетинати вісь х у точці (–3; 0). Маємо: 4 ∙ (–3) + 0 = а; а = –12.

1101. При якому значенні b точка перетину прямих 9x + 7y = 35 і x + by = –20 належить осі ординат? Якщо х = 0, то 0 + 7у = 35; у = 5. Пряма 9х + 7у = 35 перетинає вісь у у точці (0; 5). Тоді пряма х + bу = –20 теж повинна перетинати вісь у у точці (0; 5). Маємо: 0 + b ∙ 5 = –20; b = –4.

1102. Чи належить графіку рівняння 13x + 17y = –40 хоча б одна точка, у якої обидві координати — додатні числа? Якщо обидві координати точки (m, n) — додатні числа, то значення виразу 13m + 17n — додатне число і 13m + 17n ≠ –40. Отже, точка (m, n), у якої обидві координати — додатні числа, не належить графіку рівняння 13х + 17у = –40.

1103. Чи належить графіку рівняння 4x – 8y = 7 хоча б одна точка, у якої обидві координати — цілі числа? Якщо обидві координати точки (m, n) — цілі числа, тo значення виразу 4m – 8n — кратне числу 2 і 4m – 8n ≠ 7. Отже, точка (m, n), у якої обидві координати — цілі числа, не належить графіку рівняння 4х – 8у = 7.

1104. Складіть лінійне рівняння з двома змінними, графік якого перетинає осі координат у точках: 1) A (–4; 0) і B (0; 2); 2) C (0; –3) і D (5; 0).

1) Лінійне рівняння з двома змінними, графік якого перетинає осі координат у точках А(– 4; 0) і В(0; 2) можна записати у вигляді у = kх + b. Якщо графік рівняння проходить через точку В(0; 2), то: 2 = 0k + b; b = 2. Отже, рівняння має вид у = kх + 2. Якщо графік рівняння проходить через точку A(–4; 0), то: 0 = –4k + 2; 4k = 2; k = 0,5. Отже, рівняння має вид у = 0,5x + 2;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

2) лінійне рівняння з двома змінними, графік якого перетинає осі координат у точках С(0; –3) і D(5; 0) можна записати у вигляді у = kх + b. Якщо графік рівняння проходить через точку С(0; –3), то: –3 = 0k + b; b = –3. Отже, рівняння має вид у = kх – 3. Якщо графік рівняння проходить через точку D(5; 0), то: 0 = 5k – 3; 5k = 3; k = 0,6. Отже, рівняння має вид у = 0,6х – 3.

1105. Складіть лінійне рівняння з двома змінними, графік якого проходить через точки M (6; 0) і K (0; 6). Лінійне рівняння з двома змінними, графік якого перетинає осі координат у точках M(6; 0) і K(0; 6) можна записати у вигляді у = kх + b. Якщо графік рівняння проходить через точку K(0; 6), то: 6 = 0k + b; b = 6. Отже, рівняння має вид у = kх + 6. Якщо графік рівняння проходить через точку М(6; 0), то: 0 = 6k + 6; 6k = –6; k = –1. Отже, рівняння має виду = –х + 6.

1106. Складіть рівняння, графіки яких зображено на рисунку 65. Рівняння прямої m – х = –2. Пряма d проходить через точки (0; 0) і (–1; 1). Рівняння прямої d – у = kх. Маємо: –1 = k ∙ 1; k = –1. Отже, рівняння прямої d — у = –х. Пряма а проходить через точку (0; 3). Рівняння прямої а — у = кх + b. Маємо: 3 = k ∙ 0 + b; b = 3. Рівняння прямої а стало у = kх + 3. Пряма а проходить через точку (–1; 0). Маємо: 0 = k ∙ (–1) + 3; k = 3. Рівняння прямої а стало у = 3х + 3. Пряма с проходить через точку (0; –2). Рівняння прямої с — у = kх + b. Маємо: –2 = k ∙ 0 + b; b = –2. Рівняння прямої с стало у = kх – 2. Пряма с проходить через точку (4; 0). Маємо: 0 = k ∙ 4 – 2; k = 0,5. Рівняння прямої с стало у = 0,5х – 2.

1107. Складіть рівняння, графіки яких зображено на рисунку 66. Рівняння прямої b — у = 3. Пряма от проходить через точку (0; –3). Рівняння прямої m — у = kх + b. Маємо: –3 = k ∙ 0 + b; b = –3. Рівняння прямої m стало у = kх – 3. Пряма m проходить через точку (1; 0). Маємо: 0 = k ∙ 1 –3; k = 3. Рівняння прямої m стало у = 3х – 3. Пряма n проходить через точку (0; 2). Рівняння прямої n — у = kх + b. Маємо: 2 = k ∙ 0 + b; b = 2. Рівняння прямої n стало у = kх + 2.

2 Пряма n проходить через точку (3; 0). Маємо: 0 = k ∙ 3 + 2; k = – .

3

2

Рівняння прямої n стало у = – х + 2.

3 1108. Скільки існує пар простих чисел (x; y), які є розв’язками рівняння 5x – 6y = 3?

5х – 6у = 3; 5х = 6у + 3; 5x = 3(2у + 1). З останньої рівності слідує, що число х ділиться на 3. Єдиним простим числом, яке ділиться на 3 є саме число 3. Якщо х = 3, то: 5 ∙ 3 – 6у = 3; –6у = –12; у = 2. Отже, існує одна пара простих чисел (3; 2), яка є розв’язком рівняння 5х – 6у = 3.

1109. Петру Івановичу треба купити 2 буханці хліба, 800 г ковбаси та 0,5 кг шинки. У таблиці наведено ціни на ці продукти в трьох магазинах, найближчих до дому Петра Івановича. У магазині «Смачно» у Петра Івановича є дисконтна картка зі знижкою в розмірі 5 % на всі продукти. У магазині «Свіжі продукти» цього дня діє знижка в розмірі 10 % на всі ковбасні та м’ясні вироби. У якому магазині Петру Івановичу найвигідніше зробити покупку?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Маг. «Смачно»: 2 ∙ 13 + 0,8 ∙ 140 + 0,5 ∙ 200 = 238 грн. Знижка 5% 238 ∙ 0,95 = 226,10 (грн.). «Апетит»: 2 ∙ 12 + 0,8 ∙ 135 + 0,5 ∙ 180 = 222 (грн). «Свіжі продукти»: 2 ∙ 14 + 0,8 ∙ 155 ∙ 0,9 + 0,5 ∙ 240 ∙ 0,9 = 247,6 (грн). Відповідь: найдешевше буде в магазині «Апетит», де знижок нема, 222 грн.

1110. Дві бригади виготовили 840 деталей, причому одна бригада виготовила на 80 % більше деталей, ніж друга. Скільки деталей виготовила кожна бригада? Нехай друга бригада виготовила х деталей, тоді перша бригада виготовила 1,8х деталей. Рівняння: 1,8х + х = 840; 2,8х = 840; х = 300. Перша бригада виготовила 1,8 ∙ 300 = 540 (деталей). Відповідь: 540 деталей, 300 деталей.

1111. Відомо, що 4 однакових екскаватори можуть вирити котлован за 12 год. За який час 6 таких самих екскаваторів вириють 3 таких котловани?

12 ∙ 4 = 48 (год) — потрібно одному екскаватору, щоб вирити один котлован; 48 : 6 = 8 (год) — потрібно шести екскаваторам, щоб вирити один котлован; 8 ∙ 3 = 24 (год) — потрібно шести екскаваторам, щоб вирити три котловани. Відповідь: За 24 год.

1112. Доведіть, що значення виразу 236 + 4100 – 232 – 498 кратне числу: 1) 15; 2) 240.

1) 236 + 4100 – 232 – 498 = 236 – 232 + 4100 – 498 = 232 ∙ (24 – 1) + 498 ∙ (42 – 1) = = 232 ∙ (16 – 1) + 498 ∙ (16 – 1) = 15 ∙ (232 + 498) — кратне числу 15; 2) 236 + 4100 – 232 – 498 = 236 – 232 + 41100 – 498 = 232 ∙ (24 – 1) + 498 ∙ (42 – 1) = = 232 ∙ (16 – 1) + 498 ∙ (16 – 1) = 15 ∙ (232 + 498) = 15 ∙ (16 ∙ 228 + 16 ∙ 496) = 15 ∙ 16 ∙ (228 + 496) = = 240 ∙ (228 + 496) — кратне числу 240.

1113. Розв’яжіть рівняння: 1) (х – 8)2 – (х – 4)(х + 4) = 0; 2) (4х – 5)(4х + 5) – (4х – 1)2 = 9 – 2х; x2 – 16х + 64 – х2 + 16 = 0; 16х2 – 25 – 16x2 + 8х – 1 = 9 – 2х; –16х + 80 = 0; 8х + 2х = 9 + 25 + 1; 16х = 80; 10х = 35; х = 5. х = 3,5. Відповідь: 5; Відповідь: 3,5.

1114. Розкладіть на множники: 1) 6х3 – 8x2 + 3ху – 4у = 2х2(3х – 4) + у(3х – 4) = (3х – 4)(2х2 + у); 2) х4 – 6х2у + 9y2 – 16 = (х2 – 3у)2 – 16 = (х2 – 3у – 4)(х2 – 3у + 4); 125𝑥𝑥 3

3)

27 5𝑥𝑥

−

𝑚𝑚6 𝑛𝑛9 64

𝑚𝑚2 𝑛𝑛3

5𝑥𝑥 3

𝑚𝑚2 𝑛𝑛3

=� � −� 3 25𝑥𝑥 2

4

5𝑥𝑥𝑚𝑚2 𝑛𝑛3

3

5𝑥𝑥

� =�3 − 𝑚𝑚4 𝑛𝑛6

𝑚𝑚2 𝑛𝑛3 4

25𝑥𝑥 2

5𝑥𝑥

�� 9 + 3 ∙

𝑚𝑚2 𝑛𝑛3 4

+

𝑚𝑚4 𝑛𝑛6 16

�=

=� − � � 9 + 12 + 16 �; 3 4 4) с2 – 2с – b2 – 4b – 3 = с2 – 2с + 1 – (b2 + 4b + 4) = (с – 1)2 – (b + 2)2 = = (с – 1 – b – 2)(с – 1 + b + 2) = (с – b – 3)(с + b + 1).

1115. Яка з пар чисел (3; 3), (–3; 3), (–3, –3) є розв’язком кожного з рівнянь x2 + y2 = 18 і x + y = 0? Розв’язком кожного з рівнянь х2 + у2 = 18 і х + у = 0 є пара чисел (–3; 3), бо (–3)2 + 32 = 9 + 9 = 18 і –3 + 3 = 0.

1116. На рисунку 67 зображено графіки рівнянь y = x2 і x – y + 2 = 0. Користуючись цим рисунком, знайдіть усі пари чисел, які є розв’язками кожного з даних рівнянь. Розв’язками кожного з рівнянь у = х2 і х – у + 2 = 0 є пари чисел (–1; 1) і (2; 4).

1117. Сума 100 різних натуральних чисел дорівнює 5051. Знайдіть ці числа. Знайдемо суму 100 найменших різних натуральних чисел: 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ 97 + 98 + 99 + 100 =  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + (4 + 97) +... + (50 + 51) = 101 ∙ 50 = 5050. Суму 5051 можна отримати із тих же доданків замінивши доданок 100 на 101.

26. Системи рівнянь із двома змінними. Графічний метод розв’язування системи двох лінійних рівнянь із двома змінними 1118. Яка з пар чисел (–2; 1), (2; –1), (6; 4), (8; –4) є розв’язком системи рівнянь.

3х − 8у = −14, є пара чисел (6; 4), бо Розв’язком системи рівнянь � 4х + у = 28 3 ∙ 6 − 8 ∙ 4 = 18 − 32 = −14, � 4 ∙ 6 + 4 = 24 + 4 = 28.

1119. Чи є правильним твердження: 1) пара чисел (0; 0) не є розв'язком системи 2) пара чисел (-1; 2) є розв'язком системи рівнянь рівнянь 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 53 � � 3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = −1 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 4 −1 + 2 = 1 0–0≠5 3(−1) + 2(2) = −3 + 4 ≠ −1 0+0≠4 твердження не є правильним твердження правильне 3) пара чисел (2; -1) є розв'язком системи рівнянь 2𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = −4 � 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 1 2(−1) – 2 = −2 – 2 = −4 2(2) + 3(−1) = 4 – 3 = 1 твердження правильне

4) пара чисел (9; 1) не є розв'язком системи рівнянь 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 8 � 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 10 9 + 1 = 10 ≠ 8 9 – 1 = 8 ≠ 10 твердження не є правильним

4𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 6 5𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥 = 7 4 5 ≠ система не має розв'язку 5 7 твердження правильне 1120. Розв’язком яких систем є пара чисел (–5; 2): Пара чисел (-5; 2) є розв’язком системи 3𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥 = 16, 3 ∙ 2 − 2 ∙ (−5) = 6 + 10 = 16, бо � � 6𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = −16, 6 ∙ (−5) + 7 ∙ 2 = −30 + 14 = −16.

1121. Визначте координати точки перетину прямих, зображених на рисунку 70. Запишіть відповідну систему рівнянь, перевірте знайдений розв’язок системи, підставивши координати точки перетину прямих у рівняння системи. а) Координати точки перетину прямих х + у = 5 і 3х + у = 7 дорівнюють (1; 4). Координати точки (1; 4) є розв’язком системи 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5, 1 + 4 = 5, бо � � 3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 7, 3 ∙ 1 + 4 = 7; б) Координати точки перетину у прямих у + 2х = -3 і -2х + у = 1 дорівнюють (-1; -1). Координати точки (-1; -1) є розв’язком системи 𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥 = −3, −1 + 2 ∙ (−1) = −3, бо � � −2 + 𝑦𝑦 = 1, −2 ∙ (−1) + (−1) = 1.

1122. Розв’яжіть графічно систему рівнянь: 1) Побудую в одній системі координат дві прямі, які є графіками кожного з рівнянь.

5) �

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

х–у=1 х 0 у -1 х + 2у = 7 х 1 у 3

1 0 5 1

shkola.in.ua

Графіки перетинаються в точкі (3; 2). Розв’язком системи є пара чисел (3; 2); 2) побудую в одній системі координат дві прямі, які є графіками кожного з рівнянь. х+у=0 х 0 1 у 0 -1 3х – у = 4 х 0 1 shkola.in.ua у -4 -1 Графіки перетинаються в точці (1; -1). Розв’язком системи є пара чисел (1; -1); 3) побудую в одній системі координат дві прямі, які є графіками кожного з рівнянь. х + у = -5 х 0 -5 у -5 0 4х – у = -5 х 0 -1 у 5 1 Графіки перетинаються в точці (-2; -3). Розв’язком системи є пара чисел (-2; -3);

shkola.in.ua

4) побудую в одній системі координат дві прямі, які є графіками кожного з рівнянь.

2х + 3у = 6 х 0 3 у 2 0 3х – у = 9 х 3 2 shkola.in.ua у 0 -3 Графіки перетинаються в точці (3; 0). Розв’язком системи є пара чисел (3; 0);

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

5) побудую в одній системі координат дві прямі, які є графіками кожного з рівнянь.

2х + у = 8 х 2 3 у 4 2 2х – у = 0 shkola.in.ua х 0 1 у 0 2 Графіки перетинаються в точці (2; 4). Розв’язком системи є пара чисел (2; 4);

6) побудую в одній системі координат дві прямі, які є графіками кожного з рівнянь.

7х – 3у = -26 х -2 -5 у 4 -3 у – 2х = 8 х -1 -4 shkola.in.ua у 6 0

shkola.in.ua

Графіки перетинаються в точці (-2; 4). Розв’язком системи є пара чисел (-2; 4).

1123. Розв’яжіть графічно систему рівнянь: 1) побудую в одній системі координат дві прямі, які є графіками кожного з рівнянь. х + 2у = 0 х 0 2 у 0 -1 5х + у = -18 х -4 -3 shkola.in.ua у 2 -3 Графіки перетинаються в точці (-4; 2). Розв’язком системи є пара чисел (-4; 2);

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

2) побудую в одній системі координат дві прямі, які є графіками кожного з рівнянь.

2х – 5у = 10 х 0 5 у -2 0 4х – у = 2 х 0 1 shkola.in.ua у -2 2 Графіки перетинаються в точці (0; -2). Розв’язком системи є пара чисел (0; -2);

3) побудую в одній системі координат дві прямі, які є графіками кожного з рівнянь. х – 2у = 1 х 1 3 у 0 1 у – х = -2 х 0 2 у -2 0 Графіки перетинаються в точці (3; 1). Розв’язком системи є пара чисел (3; 1);

shkola.in.ua

4) побудую в одній системі координат дві прямі, які є графіками кожного з рівнянь. х + у = -3 х 0 -3 у -3 0 х – у = -1 х -1 0 у 0 1 Графіки перетинаються в точці (-2; -1). Розв’язком системи є пара чисел (-2; -1).

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1124. Складіть яку–небудь систему двох лінійних рівнянь із двома змінними, розв’язком якої є пара значень змінних: 1) Пара значень змінних х = 3, у = 2 є, наприклад, розв’язком такої системи двох лінійних рівнянь з двома змінними 3𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 = −7, 3 ∙ 3 − 8 ∙ 2 = 9 − 16 = −7, бо � � 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 14, 4 ∙ 3 + 2 = 12 + 2 = 14; 2) Пара значень змінних х = -4, у = 1 є, наприклад, розв’язком такої системи двох лінійних рівнянь з двома змінними 3𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 = −20, 3 ∙ (−4) − 8 ∙ 1 = −12 − 8 = −20, бо � � 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = −15, 4 ∙ (−4) + 1 = −16 + 1 = −15; 3) Пара значень змінних х = 5, у = 0 є, наприклад, розв’язком такої системи двох лінійних рівнянь з двома змінними 3𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 = 15, 3 ∙ 5 − 8 ∙ 0 = 15, бо � � 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 20, 4 ∙ 5 + 0 = 20.

1125. Складіть яку–небудь систему двох лінійних рівнянь із двома змінними, розв’язком якої є пара чисел (2; –2). Пара чисел (2; -2) є, наприклад, розв’язком такої системи двох лінійних рівнянь з двома змінними 3𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 = 22, 3 ∙ 2 − 8 ∙ (−2) = 6 + 16 = 22, бо � � 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5, 4 ∙ 2 + (−2) = 8 − 2 = 6.

1126. Пара чисел (6; 4) є розв’язком системи рівнянь. Знайдіть значення a і b.

1) Якщо пара чисел (6; 4) є розв’язком системи рівнянь 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2𝑦𝑦 = 26, 𝑎𝑎 ∙ 6 + 2 ∙ 4 = 26, 6𝑎𝑎 = 18, 𝑎𝑎 = 3, то � � � � 4𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 14, 4 ∙ 6 + 𝑏𝑏 ∙ 4 = 14; 4𝑏𝑏 = −10; 𝑏𝑏 = −2,5; 2) Якщо пара чисел (6; 4) є розв’язком системи рівнянь 5𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 6, 𝑏𝑏 = −6, 5 ∙ 6 + 𝑏𝑏 ∙ 4 = 6, 4𝑏𝑏 = −24, 𝑏𝑏 = −6. то � � � � � 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 0, 4 ∙ 6 + 𝑏𝑏 ∙ 4 = 0; 6𝑎𝑎 + 4𝑏𝑏 = 0; 6𝑎𝑎 + (−24) = 0; 𝑎𝑎 = 4.

1127. При яких значеннях a і b пара чисел (–2; 3) є розв’язком системи рівнянь. Нехай пара чисел (-2; 3) є розв’язком системи рівнянь 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 3𝑦𝑦 = −13 𝑎𝑎 ∙ (−2) − 3 ∙ 3 = −13, −2𝑎𝑎 = −4, 𝑎𝑎 = 2, Маємо � � � � 7𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 1, 3𝑏𝑏 = 15; 𝑏𝑏 = 5.

7 ∙ (−2) + 𝑏𝑏 ∙ 2 = 1; 1128. Чи має розв’язок система рівнянь: 1) Система рівнянь: 2𝑥𝑥 − 7𝑦𝑦 = 6ǀ ∙ 4, 8𝑥𝑥 − 28𝑦𝑦 = 24 має безліч розв′ язків; � � 8𝑥𝑥 − 28𝑦𝑦 = 24, 8𝑥𝑥 − 28𝑦𝑦 = 24 2) Система рівнянь: 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = −2ǀ ∙ 3, 6𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = −6 не має розв′ язків; � � 6𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 9 6𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 9, 3) Система рівнянь: 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 0,5ǀ ∙ 2, 2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 1, не має розв′ язків. � � 2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 2, 2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 2 1129. Чи має розв’язок система рівнянь: 1) Система рівнянь: 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 4ǀ ∙ 3, 3𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 12, не має розв′ язків; � � 3𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 6, 3𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 6 2) Система рівнянь: 𝑥𝑥 − 1,5𝑦𝑦 = −4ǀ ∙ (−2), −2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 8, має безліч розв′ язків; � � −2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 8 3𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥 = 8,  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) Система рівнянь: 9𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = 18ǀ: 9, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 2, має безліч розв′ язків. � � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 2 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 2, 1130. До рівняння 2x – 3y = 6 підберіть друге лінійне рівняння таке, щоб отримати систему рівнянь, яка: 1) має єдиний розв’язок; 2) має безліч розв’язків; 3) не має розв’язків.

1) Система рівнянь: 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 6, має єдиний розв′ язок; � 3𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 5, 2) Система рівнянь: 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 6ǀ ∙ 2, 4𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = 12, має безліч розв′ язків; � � 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 6, 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 5 3) Система рівнянь: 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 5ǀ ∙ 2, 4𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = 10, не має розв′ язків. � � 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 6 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 6, 1131. До рівняння x – y = 2 підберіть друге лінійне рівняння таке, щоб отримати систему рівнянь, яка: 1) має єдиний розв’язок; 2) має безліч розв’язків; 3) не має розв’язків.

1) Система рівнянь 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2, має єдиний розв′ язок; � 3𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 5, 2) Система рівнянь: 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2ǀ ∙ 2, 2𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 4, має безліч розв′ язків; � � 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2, 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2, 3) Система рівнянь: 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3ǀ ∙ 2, 2𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 6, не має розв′ язків. � � 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2, 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2, 1132. При яких значеннях а не має розв’язків система рівнянь: 8𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = 7, не має розв′ язків при а ≠ 7. � 8𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = 𝑎𝑎, 1133. При якому значення а має безліч розв’язків система рівнянь: 1) Система рівнянь: 2) Система рівнянь: 3𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 12, 3𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 12, 𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 4ǀ ∙ 4, 4𝑥𝑥 + 20𝑦𝑦 = 16, � � � � 4𝑥𝑥 + 20𝑦𝑦 = 𝑎𝑎, 4𝑥𝑥 + 20𝑦𝑦 = 𝑎𝑎, 9𝑥𝑥 − 15𝑦𝑦 = 36ǀ: 3, 3𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 12, має безліч розв′ язків при а = 16; має безліч розв′ язків при а = −5.

1134. При яких значеннях а система рівнянь: 1) Система рівнянь: 2) Система рівнянь: 7𝑥𝑥 − 12𝑦𝑦 = 14, 6𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 4, 6𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 4, � � � 7𝑥𝑥 − 12𝑦𝑦 = 𝑎𝑎, 3𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 2ǀ ∙ 2; 6𝑥𝑥 − 10𝑦𝑦 = 4, ′ не має розв язків при а ≠ 14. має безліч розв′ язків при а = −10.

1135. Підберіть такі значення a і b, при яких система рівнянь 1) має безліч розв’язків; 2) має єдиний розв’язок; 3) не має розв’язків.

1) Система рівнянь: 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 3ǀ ∙ (−2), −2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = −6, � � 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 4𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 4𝑦𝑦 = 𝑏𝑏; має безліч розв’язків при а = -2, b = -6; 2) Система рівнянь: 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 3ǀ ∙ (−2), −2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = −6, � � 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 4𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 4𝑦𝑦 = 𝑏𝑏, має один розв’язок, наприклад, при а = 1, b = 0;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) Система рівнянь: 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 3ǀ ∙ (−2), −2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = −6, � � 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 4𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 4𝑦𝑦 = 𝑏𝑏, не має розв’язків при а = -2, b ≠ -6.

1136. Підберіть такі значення m і n, при яких система рівнянь 1) має безліч розв’язків; 2) має єдиний розв’язок; 3) не має розв’язків.

1) Система рівнянь: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5ǀ ∙ 2, 3𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 15, � � 3𝑥𝑥 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑛𝑛, 3𝑥𝑥 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 має безліч розв’язків при m = -3, n = 15; 2) Система рівнянь: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5ǀ ∙ 2, 3𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 15, � � 3𝑥𝑥 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑛𝑛, 3𝑥𝑥 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 має один розв’язок, наприклад, при m = 1, n = 0; 3) Система рівнянь: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5ǀ ∙ 2, 3𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 15, � � 3𝑥𝑥 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑛𝑛, 3𝑥𝑥 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 не має розв’язків при m = -3, n ≠ 15.

1137. Розв’яжіть графічно систему рівнянь: 1) Будуємо графік першого рівня. Якщо х ≥ 0, то воно матиме вигляд х – у = 0. Якщо ж х < 0, то його можна записати так: -х – у = 0 або х + у = 0. х – у = 0, х ≥ 0 х 0 2 у 0 2 х + у = 0, х < 0 shkola.in.ua х -3 -2 у 3 2 Будуємо графік другого рівняння системи у цій же системі координат: х – у = -4 х 0 -2 у 4 2 Графіки перетинаються у точці А(-2; 2), тому пара чисел (-2; 2) є розв’язком даної системи рівнянь.

2) Будуємо графік першого рівняння. Якщо х ≥ 0, то воно матиме вигляд х – у = 0. Якщо ж х < 0, то його можна записати так: -х – у = 0 або х + у = 0. х – у = 0, х ≥ 0 х 0 2 у 0 2 х + у = 0, х < 0 shkola.in.ua х -3 -2 у 3 2 Будуємо графік другого рівняння системи у цій же системі координат: х + 3у = 4 х 4 1 у 0 1  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Графіки перетинаються у точка А(1; 1) і В(-2; 2), тому пара чисел (1; 1) і (-2; 2) є розв’язком даної системи рівнянь.

3) Будуємо графік першого рівняння. Якщо х ≥ 0, то воно матиме вигляд х + у = 0. Якщо ж х < 0, то його можна записати так: -х + у = 0. х + у = 0, х ≥ 0 х 0 1 у 0 -1 -х + у = 0, х < 0 х -1 -2 у -1 -2 Будуємо графік другого рівняння системи у цій же системі координат: shkola.in.ua х+у=2 х 0 2 у 2 0 Графіки не перетинаються, тому система рівнянь розв’язку немає.

4) Будуємо графік першого рівняння. Якщо у ≥ 0, то воно матиме вигляд х – у = 0. Якщо ж у < 0, то його можна записати так: х + у = 0. х + у = 0, х ≥ 0 х 0 1 у 0 1 х + у = 0, у < 0 х 1 2 shkola.in.ua у -1 -2 Будуємо графік другого рівняння системи у цій же системі координат: 2х – у = 3 х 0 1 у -3 -1 Графіки перетинаються у точках А(1; -1) і В(3; 3), тому пари чисел (1; -1) і (3; 3) є розв’язками даної системи рівнянь.

1138. Розв’яжіть графічно систему рівнянь: 1) 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 0, 𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 = 0, (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) = 0, 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 0, або � � � � 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 3, 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 3. 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 3, 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 3, Будуємо графіки рівнянь першої системи. х–у=0 х 0 1 у 0 1 х + 2у = 3 shkola.in.ua х 1 3 у 1 0

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Будуємо графіки рівнянь другої системи у іншій системі координат: х+у=0 х 0 1 у 0 -1 shkola.in.ua х + 2у = 3 х 1 3 у 1 0

В обох системах координат графіки перетинаються у точках А(1; 1) і В(-3; 3), тому пари чисел (1; 1) і (-3; 3) є розв’язками даної системи рівнянь.

2) 𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥 = −3, ǀ𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥ǀ = 3, 𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥 = 3 або � � � 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 0. 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 0, 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 0 Будуємо графіки рівнянь першої системи в одній системі координат, а в другої – в іншій. у – 2х = 3 х 0 -1 у 3 1 х – 2у = 0 х 0 2 shkola.in.ua у 0 1

shkola.in.ua у – 2х = -3 х 0 у -3 х – 2у = 0 х 0 у 0

1 -1 2 1

shkola.in.ua

В обох системах координат графіки перетинаються у точках А(-2; -1) і В(2; 1), тому пари чисел (-2; -1) і (2; 1) є розв’язками даної системи рівнянь.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = −2, 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 = 4, (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 = 4 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2, або � � � � ǀ𝑥𝑥 + 𝑦𝑦ǀ = 2. 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 3, ǀ𝑥𝑥 + 𝑦𝑦ǀ = 2, ǀ𝑥𝑥 + 𝑦𝑦ǀ = 2 Графіком рівняння ǀх + уǀ = 2, є дві прямі: х + у = 2 і х + у = -2. Будуємо графіки рівнянь першої системи: х–у=2 х 0 1 у -2 -1 х+у=2 shkola.in.ua х 0 2 у 2 0 х + у = -2 х 0 -2 у -2 0

Будуємо графіки рівнянь другої системи у іншій системі координат: х – у = -2 х 0 -2 у 2 0 х+у=2 х 0 2 у 2 0 х + у = -2 х 0 -2 у -2 0 shkola.in.ua

Для обох систем координат графіки перетинаються у точка В(2; 0), С(0; -2) і А(-2; 0), D(0; 2), тому пари чисел (2; 0), (0; -2) і (-2; 0), (0; 2), є розв’язками даної системи рівнянь.

1139. Математичний гурток відвідують 30 учнів і учениць 5–8 класів. На діаграмі показано розподіл їх за класами. Чи є правильним твердження: 1) шестикласниць більше, ніж семикласниць; ні.

2) восьмикласниць більше, ніж разом п’ятикласниць і шестикласниць; так.

3) восьмикласниць менше, ніж семикласниць; ні.

4) семикласниці становлять понад 25 % членів гуртка; так.

5) восьмикласниці становлять понад 50%; так.

6) шестикласниць і семикласниць разом 15 осіб; ні.

7) семикласниць і восьмикласниць разом менше, ніж 20 осіб. ні.

1140. Зливок сплаву міді й олова масою 5,5 кг містить міді на 20 % більше, ніж олова. Знайдіть масу міді в цьому зливку. Нехай маса олова у сплаві дорівнює х кг, тоді маса міді дорівнює (х + 0,2х) кг. Рівняння: х + (х + 0,2х) = 5,5; 2,2х = 5,5; х = 2,5.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Маса міді у сплаві становить 2,5 + 0,2 ∙ 2,5 = 3 (кг). Відповідь: 3 кг.

1141. З Києва до Лубен, відстань між якими дорівнює 200 км, виїхав автобус. Через 32 хв після виїзду автобуса назустріч йому з Лубен виїхав автомобіль зі швидкістю, на 20 км/год більшою за швидкість автобуса. З якою швидкістю рухався автобус, якщо вони зустрілися через 1,2 год після виїзду автомобіля? Нехай швидкість автобуса дорівнює х км/год, тоді швидкість автомобіля дорівнює (х + 20) 32 км/год. До зустрічі автобус проїхав ( + 1,2)x км, а автомобіль — 1,2(x + 20) км.

60

32

Рівняння: ( + 1,2)x + 1,2(x + 20) = 200│∙ 15; 60 (8 + 18)х + 18(х + 20) = 3000; 26х + 18х + 360 = 3000; 44х = 2640; х = 60. Відповідь: 60 км/год.

1142. Знайдіть чотири послідовних непарних натуральних числа, сума квадратів яких дорівнює 164. Чотири послідовних непарних натуральних числа можна Записати так: 2n – 3; 2n – 1; 2n + 1; 2n + 3. Рівняння: (2n – 3)2 + (2n – 1)2 + (2n + 1)2 + (2n + 3)2 = 164; 4n2 – 12n + 9 + 4n2 – 4n + 1 + 4n2 + 4n + 1 + 4n2 + 12n + 9 = 164; 16n2 + 20 = 164; 16n2 = 144; n2 = 9; n = 3. Шукані числа дорівнюють: 2 ∙ 3 – 3 = 3; 2 ∙ 3 – 1 = 5; 2 ∙ 3 + 1= 7; 2 ∙ 3 + 3 = 9. Відповідь: 3; 5; 7; 9.

1143. Доведіть, що коли x + y = a – 1, то ax + x + ay + y + 1 = a2. ах + х + ау + у + 1 = х(а + 1) + у(а + 1) + 1 = (а + 1)(х + у) + 1. Якщо x + у = а – 1, то (а + 1)(х + у) + 1 = (а + 1)(a – 1) + 1 = а2 – 1 + 1 = a2.

1144. Остача при діленні числа a на 5 дорівнює 4, а остача при діленні на 5 числа b дорівнює 3. Доведіть, що значення виразу a2 + b2 кратне 5. Якщо остачі від ділення чисел а і b на 5 відповідно дорівнюють 4 і 3, то а = 5n + 4 і b = 5m + 3. Маємо: а2 + b2 = (5n + 4)2 + (5m + 3)2 = 25n2 + 40n + 16 + 25m2 + 30m + 9 = = 25n2 + 40n + 25m2 + 30m + 25 = 5(5n2 + 8n + 5m2 + 6m + 5) — кратне 5.

1145. Виразіть y через x і x через y з рівняння: 1) х + у = 10. х = 10 – у; у = 10 – х; 7−у 2) 2х + у = 7. 2х = 7 – у; х = ; у = 7 – 2x; 2 3) у – х = –4. – х = – 4 – у; х = у + 4; у = –4 + х; у = х – 4; х−1 4) х – 6у = 1. х = 1 + 6у; –6у = 1 – х; у = ; 5

6

4

5) 5у – 4х = 0. –4х = –5у; х = у; 5у = 4х; у = х; 4

−12−3у

5

−12−4х

6) 4х + 3у = –12. 4х = –12 – 3у; х = ; 3у = –12 – 4х; у = .

4 3 1146. Десятковий запис одного п’ятицифрового числа складається тільки із цифр 2 і 3, а другого п’ятицифрового числа — тільки із цифр 3 і 4. Чи може запис добутку цих чисел складатися тільки із цифр 2 і 4? Розглянемо усі можливі останні цифри указаних чисел. І 2 2 3 3 ІІ 3 4 3 4 Добуток 6 8 9 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Отже, останньою цифрою першого числа може бути тільки цифра 3, а другого — тільки цифра 4, тоді остання цифра добутку дорівнює 2. Розглянемо аналогічно для десятків. І 23 23 33 33 ІІ 34 44 34 44 Добуток 82 12 22 52 Отже, можливий лише варіант, коли кількість десятків першого числа дорівнює 3 і другого — 3. Аналогічно кількість сотень тисяч і далі може дорівнювати відповідно 3 і 3. Але тоді перша цифра добутку 33333 ∙ 33334 дорівнює 1, що неможливо. Отже, запис добутку заданих в умові задачі чисел не може складатися тільки з цифр 2 і 4.

27. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом підстановки 1147. Розв’яжіть систему рівнянь: 1) 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 − 1, 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 − 1, 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 − 1, 𝑦𝑦 = 3 ∙ 2 − 1, 𝑦𝑦 = 5, 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 − 1, � � � � � � 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 9; 2𝑥𝑥 + (3𝑥𝑥 − 1) = 9; 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 1 = 9; 5𝑥𝑥 = 10; 𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥 = 2. Відповідь: (2; 5); 2) 𝑥𝑥 = 2𝑦𝑦 − 8, 𝑥𝑥 = 2𝑦𝑦 − 8, 𝑥𝑥 = 2𝑦𝑦 − 8, 𝑥𝑥 = 2 ∙ (−6) − 8, 𝑥𝑥 = 2𝑦𝑦 − 8, � � � � � 𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 4; (2𝑦𝑦 − 8) − 4𝑦𝑦 = 4; 2𝑦𝑦 − 8 − 4𝑦𝑦 = 4; −2𝑦𝑦 = 12; 𝑦𝑦 = −6; 𝑥𝑥 = −20, � 𝑦𝑦 = −6. Відповідь: (-20; -6); 3) 𝑥𝑥 = 6𝑦𝑦, 𝑥𝑥 = 6𝑦𝑦, 𝑥𝑥 = 6𝑦𝑦, 𝑥𝑥 = 6 ∙ 8 𝑥𝑥 = 48, � � � � � 𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 88; 6𝑦𝑦 + 5𝑦𝑦 = 88; 11𝑦𝑦 = 88; 𝑦𝑦 = 8; 𝑦𝑦 = 8. Відповідь: (48; 8); 4) 𝑦𝑦 = 10 − 2𝑥𝑥, 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 10, 𝑦𝑦 = 10 − 2𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 10 − 2 ∙ 4, 𝑦𝑦 = 10 − 2𝑥𝑥, � � � � � 4𝑥𝑥 − 7𝑦𝑦 = 2; 4𝑥𝑥 − 7𝑦𝑦 = 2; 4𝑥𝑥 − 7(10 − 2𝑥𝑥) = 2; 4𝑥𝑥 − 70 + 14𝑥𝑥 = 2 𝑥𝑥 = 4; 𝑦𝑦 = 2, � 𝑥𝑥 = 4. Відповідь: (4; 2); 5) 𝑥𝑥 = 5𝑦𝑦 − 8, 5𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 8, 𝑥𝑥 = 5𝑦𝑦 − 8, 𝑥𝑥 = 5𝑦𝑦 − 8, � � � � 5𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 23; 5𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 23; 5(5𝑦𝑦 − 8) − 4𝑦𝑦 = 23; 25𝑦𝑦 − 40 − 4𝑦𝑦 = 23; 𝑥𝑥 = 5𝑦𝑦 − 8, 𝑥𝑥 = 5 ∙ 3 − 8, 𝑥𝑥 = 7, � � � 𝑦𝑦 = 3. 𝑦𝑦 = 3; 21𝑦𝑦 = 63; Відповідь: (7; 3); 6) 3𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 0, 3𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 0, 3𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 0, 3 ∙ (2,5𝑦𝑦 + 23) + 4𝑦𝑦 = 0, � � � � 2𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 46; 2𝑥𝑥 = 5𝑦𝑦 + 46; 𝑥𝑥 = 2,5𝑦𝑦 + 23; 𝑥𝑥 = 2,5𝑦𝑦 + 23; 𝑦𝑦 = −6, 7,5𝑦𝑦 + 69 + 4𝑦𝑦 = 0, 11,5𝑦𝑦 = −69, 𝑦𝑦 = −6, � � � � 𝑥𝑥 = 2,5𝑦𝑦 + 23; 𝑥𝑥 = 2,5𝑦𝑦 + 23; 𝑥𝑥 = 2,5 ∙ (−6) + 23; 𝑥𝑥 = 8. Відповідь: (8; -6); 7) 𝑥𝑥 = 15 − 2𝑦𝑦, 15 − 𝑥𝑥 = 2𝑦𝑦, 𝑥𝑥 = 15 − 2𝑦𝑦, 𝑥𝑥 = 15 − 2𝑦𝑦, � � � � 4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 27; 4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 27; 4(15 − 2𝑦𝑦) − 3𝑦𝑦 = 27; 60 − 8𝑦𝑦 − 3𝑦𝑦 = 27; 𝑥𝑥 = 15 − 2𝑦𝑦, 𝑥𝑥 = 15 − 2 ∙ 3, 𝑥𝑥 = 9, Відповідь: (9; 3); � � � 𝑦𝑦 = 3. 𝑦𝑦 = 3; −11𝑦𝑦 = −33;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

8)

𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 − 6,2, 5𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 6,2, 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 − 6,2, 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 − 6,2, � � � 0,8𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 13; 0,8𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 13; 0,8𝑥𝑥 + 3(5𝑥𝑥 − 6,2) = 13; 0,8𝑥𝑥 + 15𝑥𝑥 − 18,6 = 13; 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 − 6,2, 𝑦𝑦 = 5 ∙ 2 − 6,2, 𝑦𝑦 = 3,8, � � � 𝑥𝑥 = 2; 15,8𝑥𝑥 = 31,6; 𝑥𝑥 = 2. Відповідь: (2; 3,8).

1148. Знайдіть розв’язок системи рівнянь: 1) 𝑦𝑦 = 12 − 4𝑥𝑥, 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 12, 𝑦𝑦 = 12 − 4𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 12 − 4𝑥𝑥, � � � � 7𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 20; 7𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 20; 7𝑥𝑥 + 2(12 − 4𝑥𝑥) = 20; 7𝑥𝑥 + 24 − 8𝑥𝑥 = 20; 𝑦𝑦 = 12 − 4𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 12 − 4 ∙ 4, 𝑦𝑦 = −4, � � � −𝑥𝑥 = −4; 𝑥𝑥 = 4; 𝑥𝑥 = 4. Відповідь: (4; -4); 2) 𝑥𝑥 = 2𝑦𝑦 + 5, 𝑥𝑥 = 2𝑦𝑦 + 5, 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 5, 𝑥𝑥 = 2𝑦𝑦 + 5, 𝑥𝑥 = 2𝑦𝑦 + 5, � � � � � 3𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 = 1; 3𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 = 1; 3(2𝑦𝑦 + 5) + 8𝑦𝑦 = 1; 6𝑦𝑦 + 15 + 8𝑦𝑦 = 1; 14𝑦𝑦 = −14; 𝑥𝑥 = 2 ∙ (−1) + 5, 𝑥𝑥 = 3, � � 𝑦𝑦 = −1. 𝑦𝑦 = −1; Відповідь: (3; -1); 3) 𝑥𝑥 = 4𝑦𝑦 − 11, 𝑥𝑥 = 4𝑦𝑦 − 11, 4𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 11, 𝑥𝑥 = 4𝑦𝑦 − 11, � � � � 5𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 17; 5𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 17; 5(4𝑦𝑦 − 11) − 2𝑦𝑦 = 17; 20𝑦𝑦 − 55 − 2𝑦𝑦 = 17; 𝑥𝑥 = 4𝑦𝑦 − 11, 𝑥𝑥 = 4 ∙ 4 − 11, 𝑥𝑥 = 5, � � � 𝑦𝑦 = 4; 𝑦𝑦 = 4.

18𝑦𝑦 = 72; Відповідь: (5; 4); 4) 𝑦𝑦 = 6𝑥𝑥 + 1, 𝑦𝑦 = 6𝑥𝑥 + 1, 6𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = −1, 𝑦𝑦 = 6𝑥𝑥 + 1, � � � � 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = −11; 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = −11; 2𝑥𝑥 − 3(6𝑥𝑥 + 1) = −11; 2𝑥𝑥 − 18𝑥𝑥 − 3 = −11; 𝑦𝑦 = 6𝑥𝑥 + 1, 𝑦𝑦 = 6 ∙ 0,5 + 1, 𝑦𝑦 = 4, � � � −16𝑥𝑥 = −8; 𝑥𝑥 = 0,5. 𝑥𝑥 = 0,5; Відповідь: (0,5; 4); 5) 𝑥𝑥 = 7 − 𝑦𝑦, 𝑥𝑥 = 7 − 𝑦𝑦, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 7, 𝑥𝑥 = 7 − 𝑦𝑦, � � � � 9𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥 = −25; −2𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = −25; −2(7 − 𝑦𝑦) + 9𝑦𝑦 = −25; −14 + 2𝑦𝑦 + 9𝑦𝑦 = −25; 𝑥𝑥 = 7 − 𝑦𝑦, 𝑥𝑥 = 7 − (−1), 𝑥𝑥 = 8, � � � 𝑦𝑦 = −1.

11𝑦𝑦 = −11; 𝑦𝑦 = −1; Відповідь: (8; -1); 6) 𝑥𝑥 = 0,6𝑦𝑦, 𝑥𝑥 = 0,6𝑦𝑦, 5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 0, 5𝑥𝑥 = 3𝑦𝑦, � � � � 15𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 55; 15𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 55; 15𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 55; 15 ∙ 0,6𝑦𝑦 + 2𝑦𝑦 = 55; 𝑥𝑥 = 0,6𝑦𝑦, 𝑥𝑥 = 0,6 ∙ 5, 𝑥𝑥 = 3, 𝑥𝑥 = 0,6𝑦𝑦, � � � � 𝑦𝑦 = 5. 𝑦𝑦 = 5; 9𝑦𝑦 + 2𝑦𝑦 = 55; 11𝑦𝑦 = 55; Відповідь: (3; 5).

1149. Розв’яжіть систему рівнянь: 1) �

3𝑦𝑦+15

3𝑦𝑦+15 , 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 = , 4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 15, 4𝑥𝑥 = 3𝑦𝑦 + 15, 4 4 � � � � 3𝑦𝑦+15 3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 6; 3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 6; 3 ∙ − 4𝑦𝑦 = 6ǀ ∙ 4; 3 ∙ (3𝑦𝑦 + 15) − 16𝑦𝑦 = 24; 4

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 3𝑦𝑦+15

3𝑦𝑦+15

3∙3+15

, 𝑥𝑥 = , 𝑥𝑥 = 6, 𝑥𝑥 = 4 4 4 � � � � 𝑦𝑦 = 3; 𝑦𝑦 = 3.

9𝑦𝑦 + 45 − 16𝑦𝑦 = 24; −7𝑦𝑦 = −21; Відповідь: (6; 3); 2) 𝑥𝑥 =

,

3𝑦𝑦+2

3𝑦𝑦+2 , 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 2, 2𝑥𝑥 = 3𝑦𝑦 + 2, , 𝑥𝑥 = 2 2 � � � � 3𝑦𝑦+2 5𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 24; 5𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 24; 5 ∙ + 2𝑦𝑦 = 24ǀ ∙ 2; 5 ∙ (3𝑦𝑦 + 2) + 4𝑦𝑦 = 48; 3𝑦𝑦+2

3𝑦𝑦+2

𝑥𝑥 =

2

3∙2+2

, 𝑥𝑥 = , 𝑥𝑥 = 4, 𝑥𝑥 = 2 2 2 � � � � 15𝑦𝑦 + 10 + 4𝑦𝑦 = 48; 19𝑦𝑦 = 38; 𝑦𝑦 = 2; 𝑦𝑦 = 2. Відповідь: (4; 2); 3) 𝑥𝑥 =

,

5𝑦𝑦−4

5𝑦𝑦−4 , 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 = , 5𝑦𝑦 − 6𝑥𝑥 = 4, 6𝑥𝑥 = 5𝑦𝑦 − 4, 6 6 � � � � 5𝑦𝑦−4 7𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = −1; 7𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = −1; 7 ∙ − 4𝑦𝑦 = −1ǀ ∙ 6; 7 ∙ (5𝑦𝑦 − 4) − 24𝑦𝑦 = −6; 5𝑦𝑦−4

5𝑦𝑦−4

6

5∙2−4

, 𝑥𝑥 = , 𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥 = 6 6 6 � � � � 𝑦𝑦 = 2.

11𝑦𝑦 = 22; 𝑦𝑦 = 2; 35𝑦𝑦 − 28 − 24𝑦𝑦 = −6; Відповідь: (1; 2); 4) 4𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 1, 4𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 1, 4𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 1, 4𝑥𝑥 + 5(4𝑥𝑥 − 19) = 1, 4𝑥𝑥 + 20𝑥𝑥 − 95 = 1, � � � � � 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 − 19; 8𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 38; 4𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 19; 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 − 19; 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 − 19; 24𝑥𝑥 = 96, 𝑥𝑥 = 4, 𝑥𝑥 = 4, � � � 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 − 19; 𝑦𝑦 = 4 ∙ 4 − 19; 𝑦𝑦 = −3. Відповідь: (4; -3); 5) 𝑥𝑥 =

,

4𝑏𝑏+3

4𝑏𝑏+3 , 𝑎𝑎 = , 𝑎𝑎 = 5𝑎𝑎 − 4𝑏𝑏 = 3, 5𝑎𝑎 = 4𝑏𝑏 + 3, 5 5 � � � � 4𝑏𝑏+3 2𝑎𝑎 − 3𝑏𝑏 = 11; 2𝑎𝑎 − 3𝑏𝑏 = 11; 2 ∙ − 3𝑏𝑏 = 11ǀ ∙ 5; 2 ∙ (4𝑏𝑏 + 3) − 15𝑏𝑏 = 55; 4𝑏𝑏+3

4𝑏𝑏+3

5 4∙(−7)+3

, 𝑎𝑎 = , 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 = , 𝑎𝑎 = −5, 5 5 5 � � � � 𝑏𝑏 = −7.

8𝑏𝑏 + 6 − 15𝑏𝑏 = 55; −7𝑏𝑏 = 49; 𝑏𝑏 = −7; Відповідь: (-5; -7); 6) 𝑚𝑚 =

2𝑛𝑛+11

2𝑛𝑛+11 , , 𝑚𝑚 = 8𝑚𝑚 − 2𝑛𝑛 = 11, 8𝑚𝑚 = 2𝑛𝑛 + 11, 8 8 � � � � 2𝑛𝑛+11 9𝑚𝑚 + 4𝑛𝑛 = 8; 9𝑚𝑚 + 4𝑛𝑛 = 8; 9 ∙ + 4𝑛𝑛 = 8ǀ ∙ 8; 9 ∙ (2𝑛𝑛 + 11) + 32𝑛𝑛 = 64; 2𝑛𝑛+11

8

2𝑛𝑛+11

2∙(−0,7)+11

, 𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 = , 𝑚𝑚 = , 𝑚𝑚 = 1,2, 8 8 8 � � � � 𝑛𝑛 = −0,7.

18𝑛𝑛 + 99 + 32𝑛𝑛 = 64; 50𝑛𝑛 = −35; 𝑛𝑛 = −0,7; Відповідь: (1,2; -0,7).

1150. Розв’яжіть систму рівнянь: 1) 15−2𝑦𝑦

15−2𝑦𝑦 , 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 = , 5𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 15, 5𝑥𝑥 = 15 − 2𝑦𝑦, 5 5 � � � � 15−2𝑦𝑦 8𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 20; 8𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 20; 8 ∙ + 3𝑦𝑦 = 20ǀ ∙ 5; 8 ∙ (15 − 2𝑦𝑦) + 15𝑦𝑦 = 100; 5

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

𝑥𝑥 =

15−2𝑦𝑦

15−2𝑦𝑦

,

15−2∙20

, 𝑥𝑥 = , 𝑥𝑥 = −5, 𝑥𝑥 = 5 5 5 � � � � 𝑦𝑦 = 20. 𝑦𝑦 = 20; 120 − 16𝑦𝑦 + 15𝑦𝑦 = 100; −𝑦𝑦 = −20; Відповідь: (-5; 20); 2) 7𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 5, 7𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 5, 𝑥𝑥 = −1, � � 2 � 3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 3; 𝑥𝑥 = 1 − 𝑦𝑦; 𝑦𝑦 = 3.

3

Відповідь: (-1; 3).

3)

5𝑞𝑞−11

5𝑞𝑞−11 𝑝𝑝 = , 8𝑝𝑝 − 5𝑞𝑞 = −11, 8𝑝𝑝 = 5𝑞𝑞 − 11, , 𝑝𝑝 = 8 8 � � � � 5𝑞𝑞−11 5𝑝𝑝 − 4𝑞𝑞 = −6; 5𝑝𝑝 − 4𝑞𝑞 = −6; 5 ∙ − 4𝑞𝑞 = −6ǀ ∙ 8; 25𝑞𝑞 − 55 − 32𝑞𝑞 = −48; 5𝑞𝑞−11

5𝑞𝑞−11

5∙(−1)−11

8

𝑝𝑝 = , 𝑝𝑝 = 8 , 𝑝𝑝 = , 𝑝𝑝 = −2, 8 8 � � � � 𝑞𝑞 = −1. −7𝑞𝑞 = 7; 𝑞𝑞 = −1; 𝑞𝑞 = −1; Відповідь: (-2; -1); 4)

5𝑣𝑣−38

5𝑣𝑣−38 , 𝑢𝑢 = , 𝑢𝑢 = 6𝑢𝑢 − 5𝑣𝑣 = −38, 6𝑢𝑢 = 5𝑣𝑣 − 38, 6 6 � � � � 5𝑣𝑣−38 2𝑢𝑢 + 7𝑣𝑣 = 22; 2𝑢𝑢 + 7𝑣𝑣 = 22; 2 ∙ + 7𝑣𝑣 = 22ǀ ∙ 6; 2 ∙ (5𝑣𝑣 − 38) + 42𝑣𝑣 = 132; 5𝑏𝑏−38

5𝑣𝑣−38

6

5∙4−38

, 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢 = , , 𝑢𝑢 = −3, 6 6 6 � � � � 𝑣𝑣 = 4.

10𝑣𝑣 − 76 + 42𝑣𝑣 = 132; 52𝑣𝑣 = 208; 𝑣𝑣 = 4; Відповідь: (-3; 4).

1151. Знайдіть розв’язок системи рівнянь: 1) 6 − 5(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) = 7𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦, −5𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 − 7𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = −6, � � 3(𝑥𝑥 + 1) − (6𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦) = 69 + 3𝑦𝑦; 3𝑥𝑥 + 3 − 6𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 − 3𝑦𝑦 = 69; 𝑦𝑦 = 12𝑥𝑥 − 6, −12𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = −6, 𝑦𝑦 = 12𝑥𝑥 − 6, � � � −3𝑥𝑥 − 11𝑦𝑦 = 69 − 3; −3𝑥𝑥 − 11(12𝑥𝑥 − 6) = 66; −3𝑥𝑥 − 132𝑥𝑥 + 66 = 66; 𝑦𝑦 = 12𝑥𝑥 − 6, 𝑦𝑦 = 12 ∙ 0 − 6, 𝑦𝑦 = −6, � � � 𝑥𝑥 = 0; 135𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 = 0. Відповідь: (0; -6); 2) 𝑥𝑥 𝑦𝑦 − = 2ǀ ∙ 6, 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 12, 3𝑥𝑥 − 2(5𝑥𝑥 − 34) = 12, 3𝑥𝑥 − 10𝑥𝑥 + 68 = 12, �2 3 � � � 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 − 34; 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 − 34; 5𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 34; 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 − 34; 𝑥𝑥 = 8, 𝑥𝑥 = 8, −7𝑥𝑥 = −56, � � � 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 − 34; 𝑦𝑦 = 5 ∙ 8 − 34; 𝑦𝑦 = 6. Відповідь: (8; 6); 3) 6𝑦𝑦 − 5𝑥𝑥 = 1, 6𝑦𝑦 − 5𝑥𝑥 = 1, 6𝑦𝑦 − 5𝑥𝑥 = 1, �𝑥𝑥−1 3𝑦𝑦−𝑥𝑥 � � 3 + = −4 ǀ ∙ 4; 2(𝑥𝑥 − 1) + 3𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = −19; 2𝑥𝑥 − 2 + 3𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = −19; 2 4 4 6𝑦𝑦 − 5𝑥𝑥 = 1, 6𝑦𝑦 − 5𝑥𝑥 = 1, 6𝑦𝑦 − 5(−3𝑦𝑦 − 17) = 1, 6𝑦𝑦 + 15𝑦𝑦 + 85 = 1, � � � � 𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = −19 + 2; 𝑥𝑥 = −3𝑦𝑦 − 17; 𝑥𝑥 = −3𝑦𝑦 − 17; 𝑥𝑥 = −3𝑦𝑦 − 17; 𝑦𝑦 = −4, 21𝑦𝑦 = −84, 21𝑦𝑦 = −84, 𝑦𝑦 = −4, � � � � 𝑥𝑥 = −3𝑦𝑦 − 17; 𝑥𝑥 = −3𝑦𝑦 − 17; 𝑥𝑥 = −3 ∙ (−4) − 17; 𝑥𝑥 = −5. Відповідь: (-5; -4);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

4)

1,5𝑥𝑥−3

+

7−3𝑦𝑦

= 3ǀ ∙ 24,

8(1,5𝑥𝑥 − 3) + 3(7 − 3𝑦𝑦) = 72, � = 𝑥𝑥 − 0,5ǀ ∙ 6; 2(2,5𝑥𝑥 − 2) − (2𝑦𝑦 + 1) = 6𝑥𝑥 − 3;

�2,5𝑥𝑥−23

8 2𝑦𝑦+1

4

3

− 6 12𝑥𝑥 − 24 + 21 − 9𝑦𝑦 = 72, 12𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 = 75, 12(−2𝑦𝑦 − 2) − 9𝑦𝑦 = 75, � � � 5𝑥𝑥 − 4 − 2𝑦𝑦 − 1 = 6𝑥𝑥 − 3; −𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 2; 𝑥𝑥 = −2𝑦𝑦 − 2; 𝑦𝑦 = −3, −24𝑦𝑦 − 24 − 9𝑦𝑦 = 75, −33𝑦𝑦 = 99, 𝑦𝑦 = −3, � � � � 𝑥𝑥 = −2𝑦𝑦 − 2; 𝑥𝑥 = −2 ∙ (−3) − 2; 𝑥𝑥 = 4. 𝑥𝑥 = −2𝑦𝑦 − 2; Відповідь: (4; -3).

1152. Розв’яжіть систему рівнянь: 1) 6𝑥𝑥 + 3 = 5𝑥𝑥 − 4(5𝑦𝑦 + 4), 6𝑥𝑥 + 3 = 5𝑥𝑥 − 20𝑦𝑦 − 16, 6𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 20𝑦𝑦 = −16 − 3, � � � 6𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 − 6𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 8; 3(2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦) − 6𝑥𝑥 = 8 − 𝑦𝑦; 6𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 − 6𝑥𝑥 = 8 − 𝑦𝑦; 𝑥𝑥 + 20𝑦𝑦 = −19, 𝑥𝑥 + 20 ∙ (−1) = −19, 𝑥𝑥 = 1, � � � 𝑦𝑦 = −1. −8𝑦𝑦 = 8; 𝑦𝑦 = −1; Відповідь: (1; -1); 2) 𝑥𝑥+3 𝑦𝑦−4 − = 1ǀ ∙ 14, 7(𝑥𝑥 + 3) − 2(𝑦𝑦 − 4) = 14, 7𝑥𝑥 + 21 − 2𝑦𝑦 + 8 = 14, 2 7 � � � −𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 5; 6𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 5; 6𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 5; 7𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = −15, 7(6𝑦𝑦 − 5) − 2𝑦𝑦 = −15, 42𝑦𝑦 − 35 − 2𝑦𝑦 = −15, 40𝑦𝑦 = 20, 𝑦𝑦 = 0,5, � � � � � 𝑥𝑥 = 6𝑦𝑦 − 5; 𝑥𝑥 = −2. 𝑥𝑥 = 6𝑦𝑦 − 5; 𝑥𝑥 = 6𝑦𝑦 − 5; 𝑥𝑥 = 6𝑦𝑦 − 5; Відповідь: (-2; 0,5); 3) 𝑥𝑥+𝑦𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 + = 4ǀ ∙ 24, 3(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) + 4(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) = 96, 8 6 � �3𝑥𝑥+𝑦𝑦 2𝑥𝑥−5𝑦𝑦 − = 5 ∙ 12; 3(3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) − 4(2𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦) = 60; 3

3𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 96, 7𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 96, 7(−23𝑦𝑦 + 60) − 𝑦𝑦 = 96, � � � 9𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 8𝑥𝑥 + 20𝑦𝑦 = 60; 𝑥𝑥 + 23𝑦𝑦 = 60; 𝑥𝑥 = −23𝑦𝑦 = 60; −161𝑦𝑦 + 4250 − 𝑦𝑦 = 96, −162𝑦𝑦 = −324, 𝑦𝑦 = 2; 𝑦𝑦 = 2, � � � � 𝑥𝑥 = −23𝑦𝑦 + 60; 𝑥𝑥 = −23 ∙ 2 + 60; 𝑥𝑥 = 14. 𝑥𝑥 = −23𝑦𝑦 + 60; Відповідь: (14; 2).

1153. Під час роботи ліхтарика батарейка розряджається, і напруга в електричному колі ліхтарика зменшується. На рисунку 72 зображено графік зміни напруги в колі під час роботи ліхтарика. Користуючись цим графіком, визначте: 1) якою була напруга в колі: а) в момент включення ліхтарика; 1,8 В. б) через 6 год після початку роботи ліхтарика; 1,4 В.

2) через скільки годин після включення ліхтарика напруга дорівнювала 1 В; 18 год.

3) за скільки годин роботи напруга зменшилася від 1,6 В до 1,2 В. за 9 год (з 2 до 11 год роботи).

1154. Знайдіть значення виразу: 1) m(m – 3)(m + 3) – (m – 2)(m2 + 2m + 4) = m(m2 – 9) – (m3 – 8) = m3 – 9m – m3 + 8 = = –9m + 8.

2 2 Якщо m = – , то –9m + 8 = –9 ∙ (– ) + 8 = 6 + 8 = 14; 3 3 2) (6m – n)(6m + n) – (12m – 5n)(3m + n) = 36m2 – n2 – (36m2 + 12mn – 15mn – 5n2) = = 4n2 + 3mn = n(4n + 3m).

8 3 3 3 8 3 8 3 1 1 Якщо m = – , n = , то n(4n + 3m) = ∙ (4 ∙ + 3 ∙ (– )) = ∙ (3 – ) = ∙ = .

9

4

4

4

9

 shkola.in.ua

4

3

4

3

4

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1155. У школі 50 % учнів та учениць відвідують спортивні секції, із них 6 % співають у хорі. Який відсоток учнів та учениць школи одночасно відвідують спортивні секції і співають у хорі? Якщо 50% учнів і учениць займаються у спортивних секціях, а з них 6% ще й співають у хорі, то можна визначити, який відсоток одночасно займається і спортом, і співає. Значить, 6% від 50% школярів займаються спортом і співають: 0,06 ∙ 0,5 ∙ 100 = 0,03 ∙ 100 = 3%. Тобто 3% учнів і учениць школи одночасно відвідують спортивні секції і співають у хорі.

1156. Троє чоловіків прийшли до перукаря. Той поголив першого й сказав: «Подивись, скільки грошей у шухляді стола, поклади ще стільки ж і візьми 8 левів решти». Те саме перукар сказав і другому, і третьому. Після того як усі троє пішли, виявилося, що в касі немає грошей. Скільки грошей було в касі перед тим, як заплатив перший чоловік? Нехай в касі було х левів. Після того, як розрахувався перший чоловіку касі стало (2х – 8) левів, після розрахунку другого чоловіка у касі стало 2(2х – 8) – 8 = 4х – 16 – 8 = (4x – 24) (левів), а після розрахунку третього у касі стало 2(4x – 24) – 8 = 8х – 48 – 8 = (8x – 56) (левів). Рівняння: 8x – 56 = 0; 8х = 56; х = 7. Відповідь: 7 левів.

1157. Функцію задано формулою y = 6 – kx. При якому значенні k графік функції проходить через точку A (4; –2)? Якщо графік функції у = 6 – kх проходить через точку A(4;–2), то: –2 = 6 – 4k; 4k = 6 + 2; k = 2.

1158. Доведіть, що значення виразу 24n – 1 ділиться націло на 5 при будь–якому натуральному значенні n.

24n – 1 = (24)n = 16n – 1. Значення степеня 16n при будь–якому натуральному значенні п закінчується цифрою 6, тому значення виразу 16n – 1 при будь–якому натуральному значенні п закінчується цифрою 5 і ділиться націло на 5.

1159. Знайдіть три останні цифри значення виразу 23763 + 16243.

23763 + 16243 = (2376 + 1624)(23762 – 2376 ∙ 1624 + 16242) = 4000 ∙ (23762 – 2376 ∙ 1624 + 16242). Отже, три останні цифри значення виразу 23763 + 16243 — 0, 0 і 0.

1160. Остачі при діленні на 6 чисел a і b дорівнюють 2 і 3 відповідно. Доведіть, що значення добутку ab кратне 6. Якщо остачі при діленні на 6 чисел а і b дорівнюють відповідно 2 і 3, то а = 6m + 2 і b = 6n + 3. Маємо: аb = (6m + 2)(6n + 3) = 36mn + 18m + 12n + 6 = 6(6mn + 3m + 2n + 1) — кратне 6.

1161. Знайдіть усі цілі числа x і y, при яких виконується рівність x + у = ху; х = ху – у; х = у(х – 1). Аналогічно отримаємо: у = х(у – 1). З рівностей х = у(х – 1) і у = x(у – 1) слідує, що у ділиться націло на х і х ділиться наділо на у. Отже, x = у або х = –у. Якщо х = у, то: у + у = уу; у2 – 2у = 0; у(у – 2) = 0; у = 0 або у = 2. Якщо x = –у, то: –у + у = уy; y2 = 0; у = 0. Відповідь: (0; 0), (2; 2).

28. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом додавання 1162. Запишіть рівняння, яке отримаємо, додавши почленно ліві й праві частини рівнянь системи: 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 6 4𝑥𝑥 − 7𝑦𝑦 = 8 1) � + 5х = 10 2) � + -у = 9 3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4 6𝑦𝑦 − 4𝑥𝑥 = 1  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1163. На яке число треба помножити обидві частини першого рівняння системи, щоб у рівняннях коефіцієнти при змінній y стали протилежними числами: 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 7 2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 9 2) � множити треба на (-5) 1) � множити треба на 6 3𝑥𝑥 + 20𝑦𝑦 = 40 5𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = 30 1164. На яке число треба помножити обидві частини першого рівняння системи, щоб у рівняннях коефіцієнти при змінній x стали протилежними числами: 3𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = 21 7𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 8 1) � множити треба на (-1) 2) � множити треба на (-4) 3𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 = −2 28𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 12 1165. На яке число треба помножити обидві частини першого рівняння системи, а на яке — обидві частини другого рівняння, щоб у рівняннях коефіцієнти при змінній y стали протилежними числами: 2𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = 7 перше на 4 7𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 22 перше на (−3) 1) � 2) � 5𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 3 друге на 6 35𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = 34 друге на 2 1166. Розв’яжіть систему рівнянь методом додавання: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 6, 1) � 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 8. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 2х = 14; х = 7. Підставимо у перше рівняння системи значення х = 7 й одержимо: 7 + у = 6; у = -1. Відповідь: (7; -1); 3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 14, 2) � 5𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 10. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 8х = 24; х = 3. Підставимо у перше рівняння системи значення х = 3 й одержимо: 9 + у = 14; у = 5. Відповідь: (3; 5); 2𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 = 11, 3) � 7𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = 25. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 9х = 36; х = 4. Підставимо у перше рівняння системи значення х = 4 й одержимо: 1 8 – 9у = 11; 9у = -3; у = - .

1

3

Відповідь: (4; - ); 3 −6𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 16, 4) � 6𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 34. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 5у = 50; у = 10. Підставимо у перше рівняння системи значення у = 10 у одержимо: -6х + 10 = 16; -6х = 6; х = -1. Відповідь: (-1; 10).

1167. Розв’яжіть систему рівнянь методом додавання: 4𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 20, 1) � 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 12. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 8х = 32; х = 4. Підставимо у перше рівняння системи значення х = 4 й одержимо: 16 – у = 20; у = -4. Відповідь: (4; -4).

9𝑥𝑥 + 17𝑦𝑦 = 52, 2) � 26𝑥𝑥 − 17𝑦𝑦 = 18. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 35х = 70; х = 2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Підставимо у перше рівняння системи значення х = 2 й одержимо: 18 + 17у = 52; 17у = 34; у = 2. Відповідь: (2; 2); 1168. Розв’яжіть систему рівнянь методом додавання: 8𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 8ǀ ∙ (−1), −8𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = −8, 1) � � 12𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4.

12𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4; Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 4х = -4; х = -1. Підставимо у друге рівняння системи значення х = -1 й одержимо: -12 + у = 4; у = 16. Відповідь: (-1; 16); 7𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 29ǀ ∙ (−1), −7𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = −29, 2) � � 7𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 = −10.

7𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 = −10; Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 13у = -39; у = -3. Підставимо у друге рівняння системи значення у = -3 й одержимо: 7х – 24 = - 10; 7х = 14; х = 2. Відповідь: (2; -3); 𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 5ǀ ∙ 3, 3𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 = 15, 3) � � 4𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = 41; 4𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = 41. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 7х = 56; х = 8. Підставимо у друге рівняння системи значення х = 8 й одержимо: 32 + 9у = 41; 9у = 9; у = 1. Відповідь: (8; 1); 5𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 6, 10𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 23ǀ: 2, 4) � � −5𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = −6; −5𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = −6. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 5у = 0; у = 0. Підставимо у друге рівняння системи значення у = 0 й одержимо: -5х = -6; х = 1,2. Відповідь: (1,2; 0); 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 1ǀ ∙ (−4), −12𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 = −4, 5) � � 12𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = −26; 12𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = −26. Додамо почастинго ліві й праві частини рівнянь: 15у = -30; у = -2. Підставимо у друге рівняння системи значення у = -2 й одержимо: 12х – 14 = -26; 12х = -12; х = -1. Відповідь: (-1; -2); 3𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 = 13ǀ ∙ 2, 6𝑥𝑥 + 16𝑦𝑦 = 26, 6) � � 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 17ǀ ∙ (−3); −6𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = −51. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 25у = -25; у = -1. Підставимо у друге рівнянн першої системи значення у = -1 й одержимо: 2х + 3 = 17; 2х = 14; х = 7. Відповідь: (7; -1); 3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 16ǀ ∙ 3, 9𝑥𝑥 − 12𝑦𝑦 = 48, 7) � � 5𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 14ǀ ∙ 2; 10𝑥𝑥 + 12𝑦𝑦 = 28. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 19х = 76; х = 4. Підставимо у друге рівняння першої системи значення х = 4 й одержимо: 20 + 6у = 14; 6у = -6; у = -1. Відповідь: (4; -1); 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 6ǀ ∙ 3, 6𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = 18, 8) � � 3𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 8ǀ ∙ (−2); −6𝑥𝑥 − 10𝑦𝑦 = −16.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: -у = 2; у = -2. Підставимо у друге рівняння першої системи значення у = -2 й одержимо: 3х – 10 = 8; 3х = 18; х = 6. Відповідь: (6; -2); 5𝑢𝑢 + 7𝑣𝑣 = 24ǀ ∙ 7, 35𝑢𝑢 − 49𝑣𝑣 = 168, 9) � � 7𝑢𝑢 + 6𝑣𝑣 = 2ǀ ∙ (−5); −35𝑢𝑢 − 30𝑣𝑣 = −10. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: -79v = 158; v = -2. Підставимо у друге рівняння першої системи значення v = -2 й одержимо: 7u – 12 = 2; 7 u = 14; u = 2. Відповідь: (2; -2).

0,5𝑥𝑥 + 1,5𝑦𝑦 = 10ǀ ∙ (−2), −0,4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = −20, 10) � � 0,4𝑥𝑥 − 0,3𝑦𝑦 = 0,2.

0,4𝑥𝑥 − 0,3𝑦𝑦 = 0,2; Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: -3,3у = -19,8; у = 6. Підставимо у друге рівняння системи значення у = 6 й одержимо: 0,4х – 1,8 = 0,2; 0,4х = 2; х = 5. Відповідь: (5; 6).

1169. Розв’яжіть систему рівнянь методом додавання: −5𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = 2ǀ ∙ (−1), 5𝑥𝑥 − 7𝑦𝑦 = −2, 1) � � 8𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = 15.

8𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = 15; Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 13х = 13; х = 1. Підставимо у друге рівняння системи значення х = 1 й одержимо: 8 + 7у = 15; 7у = 7; у = 1. Відповідь: (1; 1); 9𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = 24ǀ ∙ (−1), −9𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = −24, 2) � � 9𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 = 10.

9𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 = 10; Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 14у = -14; у = -1. Підставимо у друге рівняння системи значення у = -1 й одержимо: 9х – 8 = 10; 9х = 18; х = 2. Відповідь: (2; -1); 5𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 7ǀ ∙ 4, 20𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 28, 3) � � 7𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = −1; 7𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = −1. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 27х = 27; х = 1. Підставимо у друге рівняння системи значення х = 1 й одержимо: 7 – 4у = -1; -4у = -8; у = 2. Відповідь: (1; 2); 6𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 23, 6𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 23, 4) � � 2𝑥𝑥 − 7𝑦𝑦 = 13ǀ ∙ (−3); −6𝑥𝑥 + 21𝑦𝑦 = −39. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 16у = -16; у = -1. Підставимо у перше рівняння системи значення у = -1 й одержимо: 6х + 5 = 23; 6х = 18; х = 3. Відповідь: (3; -1); 5𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 16ǀ ∙ 3, 15𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = 48, 5) � � 8𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 38ǀ ∙ 2; 16𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 76. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 31х = 124; х = 4. Підставимо у друге рівняння першої системи значення х – 4 й одержимо: 32 + 3у = 38; 3у = 6; у = 2. Відповідь: (4; 2);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

5𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 10ǀ ∙ 2, 10𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 = 20, � 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 3ǀ ∙ (−5); −10𝑥𝑥 + 15𝑦𝑦 = 15. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 7у = 35; у = 5. Підставимо у друге рівняння першої системи значення у = 5 й одержимо: 2х – 15 = -3; 2х = 12; х = 6. Відповідь: (6; 5); 4𝑎𝑎 − 6𝑏𝑏 = 9ǀ ∙ 3, 12𝑎𝑎 + 18𝑏𝑏 = 27, 7) � � 3𝑎𝑎 − 5𝑏𝑏 = 2ǀ ∙ (−4); −12𝑎𝑎 + 20𝑏𝑏 = −8. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 38b = 19; b = 0,5. Підставимо у друге рівняння першої системи значення b = 0,5 й одержимо: 3а – 2,5 = 2; 3а = 4,5; а = 1,5. Відповідь: (1,5; 0,5); 9𝑚𝑚 − 13𝑛𝑛 = 22ǀ ∙ (−2), −18𝑚𝑚 + 26𝑛𝑛 = −44, 8) � � 2𝑚𝑚 + 3𝑛𝑛 = −1ǀ ∙ 9; 18𝑚𝑚 + 27𝑛𝑛 = −9. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 53n = -53; n = -1. Підставимо у друге рівняння першої системи значення n = -1 й одержимо: 2m – 3 = -1; 2m = 2; m = 1. Відповідь: (1; -1).

1170. Знайдіть, не виконуючи побудови, координати точки перетину прямих: 1) Щоб знайти координати точки перетину прямих у = 2 – 3х і 2х + 3у = 7, досить розв’язати систему рівнянь: 𝑦𝑦 = 2 − 3𝑥𝑥, 3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 2ǀ ∙ (−3), −9𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = −6, � � � 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 7; 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 7.

2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 7; 1 Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: -7х = 1; х = - .

6) �

1

7

Підставимо у перше рівняння першої системи значення х = - й одержимо: 1

3

у=2+3∙ ;у=2 .

7

7

1

7

3

Відповідь: прямі перетинаються в точці з координатами (- ; 2 ); 7 7 2) Щоб знайти координати точки перетину прямих 5х + 6у = -20 і 2х + 9у – 25, досить розв’язати систему рівнянь: 5𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = −20ǀ ∙ (−2), −10𝑥𝑥 − 12𝑦𝑦 = 40, � � 10𝑥𝑥 + 45𝑦𝑦 = 125.

2𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = 25ǀ ∙ 5; Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 33у = 165; у = 5. Підставимо у друге рівняння першої системи значення у = 5 й одержимо: 2х + 45 = 25; 2х = -20; х = -10. Відповідь: прямі перетинаються в точці з координатами (-10; 5).

1171. Знайдіть, не виконуючи побудови, координати точки перетину прямих: 1) Щоб знайти координати точки перетину прямих 2х – 3у = 8 і 7х – 5у = -5, досить розв’язати систему рівнянь: 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 8ǀ ∙ 7, 14𝑥𝑥 − 21𝑦𝑦 = 56, � � 7𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = −5ǀ ∙ (−2); −14𝑥𝑥 + 10𝑦𝑦 = 10. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: -11у = 66; у = -6. Підставимо у перше рівняння першої системи значення у = -6 й одержимо: 2х + 18 = 8; 2х = -10; х = -5. Відповідь: прямі перетинаються в точці з координатами (-5; -6); 2) Щоб знайти координати точки перетину прямих 9х + у = 3 і 8х + 3у = -10, досить розв’язати систему рівнянь:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

9𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 3ǀ ∙ (−3), −27𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = −9, � � 8𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = −10; 8𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = −10. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: -19х = -19; х = 1. Підставимо у перше рівняння першої системи значення х = 1 й одержимо: 9 + у = 3; у = -6. Відповідь: прямі перетинаються в точці з координатами (1; -6).

1172. При яких значеннях а і b графік рівняння ax + by = 8 проходить через точки А(1; 3) і В(2; -4)? Якщо графік рівняння ах + by = 8 проходить через точки А(1; 3) і В(2; -4), то а і b повинні задовольняти систему: 𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 = 8ǀ ∙ (−2), −2𝑎𝑎 − 6𝑏𝑏 = −16, � � 2𝑎𝑎 − 4𝑏𝑏 = 8; 2𝑎𝑎 − 4𝑏𝑏 = 8. Додамо почастинно ліві у праві частини рівнянь: -10b = -8; b = 0,8. Підставимо у перше рівняння першої системи значення b = 0,8 й одержимо: а + 2,4 = 8; а = 5,6. Відповідь: а = 5,6, b = 0,8.

1173. При яких значеннях m і n графік рівняння mx – my = 6 проходить через точки С(2; 1) і D(-6; 5)? Якщо графік рівняння mx – ny = 6 проходить через точки С(2; -1) і D(-6; 5), то m і n повинні задовольняти систему: 2𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 = 6ǀ ∙ 5, 10𝑚𝑚 + 5𝑛𝑛 = 30, � � −6𝑚𝑚 − 5𝑛𝑛 = 6; −6𝑚𝑚 − 5𝑛𝑛 = 6. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 4m – 36; m = 9. Підставимо у перше рівняння першої системи значення m = 9 й одержимо: 18 + n = 6; n = -12. Відповідь: m = 9; n = -12.

1174. Запишіть рівняння прямої y = kx + b, яка проходить через точки: 1) Якщо графік прямої у = kx + b проходить через точки М(2; 1) і К(-3; 2), то k і b повинні задовольняти системі: 1 − 2𝑘𝑘 + 𝑏𝑏, 2𝑘𝑘 + 𝑏𝑏 = 1, � � 2 = −3𝑘𝑘 + 𝑏𝑏ǀ ∙ (−1); 3𝑘𝑘 − 𝑏𝑏 = −2. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 5k = -1; k = -0,2. Підставимо у перше рівняння другої системи значення k = -0,2 й одержимо: -0,4 + b = 1; b = 1,4. Відповідь: у = -0,2х + 1,4; 2) Якщо графік прямої у = kx + b проходить через точки Р(-4; 5) і Q(4; -3), то k і b повинні задовольняти систему: 5 = −4𝑘𝑘 + 𝑏𝑏, � −3 = 4𝑘𝑘 + 𝑏𝑏. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 2b = 2; b = 1. Підставимо у перше рівняння значення b = 1 й одержимо: 5 = -4k + 1; k = -1. Відповідь: у = -х + 1.

1175. Запишіть рівняння прямої y = kx + b, яка проходить через точки: 1) Якщо графік прямої у = kx + b проходить через точки А(3; 2) і В(-1; 4), то k і b повинні задовольняти систему: 2 = 3𝑘𝑘 + 𝑏𝑏, 3𝑘𝑘 + 𝑏𝑏 = 2, � � 4 = −𝑘𝑘 + 𝑏𝑏ǀ ∙ (−1); 𝑘𝑘 − 𝑏𝑏 = −4. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 4k = -2; k = -0,5.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Підставимо у перше рівняння другої системи значення k = -0,5 й одержимо: -1,5 + b = 2; b = 3,5. Відповідь: у = -0,5х + 3,5; 2) Якщо графік прямої у = kx + b проходить через точки С(-2; -3) і D(1; 6), то k і b повинні задовольняти систему: −3 = −2𝑘𝑘 + 𝑏𝑏ǀ ∙ (−1), 2𝑘𝑘 − 𝑏𝑏 = 3, � � 6 = 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏; 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏 = 6. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 3k = 9; k = 3. Підставимо у друге рівняння другої системи значення k = 3 й одержимо: 3 + b – 6; b = 3. Відповідь: у = 3х + 3.

1176. Розв’яжіть систему рівнянь: 2(4𝑥𝑥 − 5) − 3(3 + 4𝑦𝑦) = 5, 8𝑥𝑥 − 10 − 9 − 12𝑦𝑦 = 5, 1) � � 7(6𝑦𝑦 − 1) − (4 + 3𝑥𝑥) = 21𝑦𝑦 − 86; 42𝑦𝑦 − 7 − 4 − 3𝑥𝑥 = 21𝑦𝑦 − 86; 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 6, 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 6, 8𝑥𝑥 − 12𝑦𝑦 = 24ǀ: 4, � � � −3𝑥𝑥 + 21𝑦𝑦 = −75ǀ: 3; −𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = −25ǀ ∙ 2; −2𝑥𝑥 + 14𝑦𝑦 = −50. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 11у = -44; у = -4. Підставимо у перше рівняння останньої системи значення у = -4 й одержимо: 2х + 12 = 6; 2х = -6; х = -3. Відповідь: (-3; -4); −2(2𝑥𝑥 + 1) + 2,5 = 3(𝑦𝑦 + 2) − 8𝑥𝑥, −4𝑥𝑥 − 2 + 2,5 = 3𝑦𝑦 + 6 − 8𝑥𝑥, 2) � � 8 − 20 + 5𝑥𝑥 = 6𝑦𝑦 − 5 + 𝑥𝑥; 8 − 5(4 − 𝑥𝑥) = 6𝑦𝑦 − (5 − 𝑥𝑥); 4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 5,5, 4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 5,5, � � 4𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = 7ǀ ∙ (−1); −𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = −7. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 3у = -1,5; у = -0,5. Підставимо у перше рівняння останньої системи значення у = -0,5 й одержимо: 4х + 1,5 = 5,5; 4х = 4; х = 1. Відповідь: (1; -0,5); 𝑥𝑥 𝑦𝑦 − = 3ǀ ∙ 6, 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 18ǀ ∙ (−3), −9𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = −54, 2 3 3) �3𝑥𝑥 5𝑦𝑦 � � 9𝑥𝑥 − 10𝑦𝑦 = 48.

9𝑥𝑥 − 10𝑦𝑦 = 48; − = 4ǀ ∙ 12; 4 6 Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: -4у = -6; у = 1,5. Підставимо у друге рівняння останньої системи значення у = 1,5 й одержимо: 9х – 15 = 48; 9х = 63; х = 7. Відповідь: (7; 1,5); 𝑥𝑥+2

−

6 4) �𝑥𝑥+2,5

𝑦𝑦−3

15 𝑦𝑦+3

= 1ǀ ∙ 30, 5(𝑥𝑥 + 2) − 2(𝑦𝑦 − 3) = 30, 5𝑥𝑥 + 10 − 2 + 6 = 30, � � 1 = ǀ ∙ 18; 2(𝑥𝑥 + 2,5) − 3(𝑦𝑦 + 3) = 6; 2𝑥𝑥 + 5 − 3𝑦𝑦 − 9 = 6;

− 6 3 5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 10ǀ ∙ 3, 15𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = 42, � � 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 10ǀ ∙ (−2); −4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = −20. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 11х = 22; х = 2. Підставимо у друге рівняння передостанньої системи значення х = 2 й одержимо: 4 – 3у = 10; -3у = 6; у = -2. Відповідь: (2; -2).

1177. Розв’яжіть систему рівнянь: 0,2𝑥𝑥 − 0,3(2𝑦𝑦 + 1) = 1,5, 0,2𝑥𝑥 − 0,6𝑦𝑦 − 0,3 = 1,5 0,2𝑥𝑥 − 0,6𝑦𝑦 = 1,8ǀ: 0,2, 1) � � � 3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = −15ǀ ∙ 3; 3(𝑥𝑥 + 1) + 3𝑦𝑦 = 2𝑦𝑦 − 2; 3𝑥𝑥 + 3 + 3𝑦𝑦 = 2𝑦𝑦 − 2; 9

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 9, � 9𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = −15. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 10х = -6; х = -0,6. Підставимо у перше рівняння останньої системи значення х = 0,6 й одержимо: -0,6 – 3у = 9; -3у – 9,6; у = -3,2. Відповідь: (-0,6; -3,2); 15𝑥𝑥−3𝑦𝑦

3𝑥𝑥+2𝑦𝑦

= 3ǀ ∙ 12, 3(15𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦) + 2(3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦) = 36; 2) � � 2(3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) − 3(𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦) = 36; − = 6ǀ ∙ 6; 3 2 51𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 36, 51𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 36, 45𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 + 6𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 36, � � � 6𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = 36; 3𝑥𝑥 + 11𝑦𝑦 = 36ǀ ∙ (−17); −51𝑥𝑥 − 187𝑦𝑦 = −612. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: -192у = -576; у = 3. Підставимо у друге рівняння передостанньої системи значення у = 3 й одержимо: 3х + 33 = 36; 3х = 3; х = 1. Відповідь: (1; 3).

1178. Знайдіть розв’язок системи рівнянь: (𝑥𝑥 − 3)2 − 4𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 1) − 6, (𝑥𝑥 − 3)2 − 4𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 4, 1) � � (𝑥𝑥 − 4)(𝑦𝑦 + 6) = (𝑥𝑥 + 3)(𝑦𝑦 − 7) + 3; 6𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 − 24 = −7𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 18; 9 13 9 13 𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥 + , 𝑦𝑦 = − ∙ 1 + , 𝑦𝑦 = 1, 4 4 4 4 � � � 𝑥𝑥 = 1.

6𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 − 24 = −7𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 18; 𝑥𝑥 = 1; Відповідь: (1; 1); (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) − 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) = 𝑦𝑦(5 − 𝑦𝑦) + 15, 2) � (𝑥𝑥 + 1)2 + (𝑦𝑦 − 1)2 = (𝑥𝑥 + 4)2 + (𝑦𝑦 + 2)2 − 18; −10𝑥𝑥 = 5𝑦𝑦 + 15, � 2 (𝑥𝑥 + 1) + (𝑦𝑦 − 1)2 = (𝑥𝑥 + 4)2 + (𝑦𝑦 + 2)2 − 18; 𝑦𝑦 = −3 − 2𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 3, � � 2 2 2 2 (𝑥𝑥 + 1) + (𝑦𝑦 − 1) = (𝑥𝑥 + 4) + (𝑦𝑦 + 2) − 18; 𝑥𝑥 = −3. Відповідь: (-3; 3).

1179. Розв’яжіть систему рівнянь: (2𝑥𝑥 + 1)2 − (2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) = (𝑦𝑦 + 8)(𝑦𝑦 − 10), 1) � 4𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) − (2𝑥𝑥 − 3)(2𝑥𝑥 − 9) = 6𝑦𝑦 − 104; 2 4𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 1 − 4𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 𝑦𝑦 2 − 10𝑦𝑦 + 8𝑦𝑦 − 80, � 2 4𝑥𝑥 − 20𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 2 + 18𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 − 27 = 6𝑦𝑦 − 104; 4𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 𝑦𝑦 2 + 10𝑦𝑦 − 8𝑦𝑦 = −80 − 1, � 2 4𝑥𝑥 − 20𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 2 + 18𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = −104 + 27; 4𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = −81, 4𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = −81, � � 4𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = −77ǀ ∙ (−1); −4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 77. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 8у = -4; у = -0,5. Підставимо у перше рівняння останньої системи значення у = -0,5 й одержимо: 4х – 1 = -84; 4х = -80; х = -20. Відповідь: (-20; -0,5); (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 4) − 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 4) = 20 − 20𝑦𝑦, 2) � (3𝑥𝑥 − 2)(4𝑦𝑦 + 5) = 2𝑦𝑦(6𝑥𝑥 − 1) − 58; 3 𝑥𝑥 − 8 − 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 − 16) = 20 − 20𝑦𝑦, � 12𝑥𝑥𝑥𝑥 + 15𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 − 10 = 12𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 − 58; 4 3𝑥𝑥+𝑦𝑦

+

6 𝑥𝑥−3𝑦𝑦

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

16𝑥𝑥 + 20𝑦𝑦 = 28ǀ: 4, 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 3 + 16𝑥𝑥 + 20𝑦𝑦 = 20 + 8, � � 12𝑥𝑥𝑥𝑥 + 15𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 − 12𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = −58 + 10; 15𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = −48ǀ: 3; 8𝑥𝑥 + 10𝑦𝑦 = 14, 4𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 7ǀ ∙ 2, � � 5𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = −16ǀ ∙ 5; 25𝑥𝑥 − 10𝑦𝑦 = −80. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 33х = -66; х = -2. Підставимо у друге рівняння передостанньої системи значення х = -2 й одержимо: -10 – 2у = -16; -2у = -6; у = 3. Відповідь: (-2; 3).

1180. Чи має розв’язок система рівнянь: 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5, 1) �3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 24, 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 9. Розв’яжемо спочатку систему двох рівнянь (наприклад, першого і другого), а потім превіримо, чи буде знайдений розв’язок системи розв’язком третього рівняння. Маємо: 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5ǀ ∙ 4, 8𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 20, � � 3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 24; 3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 24. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 11х = 44; х = 4. Підставимо у перше рівняння першої системи значення х = 4 й одержимо: 8 + у = 5; у = -3. Підставимо значення х = 4 і у = -3 у третє рівняння системи і отримаємо 4 + 6 = 9 – хибна рівність. Отже, задача система не маж розв’язку; 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = −1, 2) � 3𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 1, 5𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = 5. Розв’яжемо систему утворену з першого і другого рівнянь. Маємо: 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = −1ǀ ∙ (−5), −10𝑥𝑥 − 15𝑦𝑦 = 5, � � 9𝑥𝑥 + 15𝑦𝑦 = 3.

3𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 1ǀ ∙ 3; Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: -х = 8; х = -8. Підставимо у перше рівняння першої системи значення х = -8 й одержимо: -16 + 3у = -1; 3у = 15; у = 5. Підставимо значення х = -8 і у = 5 у третє рівняння системи і отримаємо -40 + 45 = 5 – істинну рівність. Отже, задана система має ров’язком пару чисел (-8; 5).

1181. Розв’яжіть систему рівнянь: 6𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 10, 1) � 8𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 32, 3𝑥𝑥 + 10𝑦𝑦 = −7. Розв’яжемо систему утворену з першого і другого рівнянь. Маємо: 6𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 10, � 8𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 32. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 14х = 42; х = 3. Підставимо у перше рівняння системи значення х = 3 й одержимо: 18 + 5у = 10; 5у = -8; у = -1,6. Підставимо значення х = 3 і у = -1,6 у третє рівняння системи і отримаємо 9 – 16 = -7 – істинна рівність. Отже, задана система має розв’язком пару чисел (3; -1,6); 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 1, 2) � 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 7, 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 14.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Розв’яжемо систему утворену з другого і третього рівнянь. Маємо: 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 7, 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 7, � � 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 14ǀ ∙ (−1); −4𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = −14. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: -2х = -7; х = 3,5. Підставимо у перше рівняння першої системи значення х = 3,5 й одержимо: 7 + у = 7; у = 0. Підставимо значення х = 3,5 і у = 0 у перше рівняння системи і отримаємо 3,5 – 0 = 1 – хибна рівність. Отже, задана система не має розв’язку.

1182. Запишіть систему лінійних рівянь із двома змінними, графіки яких зображено на рисунку 73.

1) Одна пряма проходить через точки (0; 4) і (4; 0), тому коефіцієнти k і b її рівняння y = kx + b повинні задовольняти систему: 4 = 0 ∙ 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏, 𝑏𝑏 = 4, 𝑏𝑏 = 4, � � � 0 = 4𝑘𝑘 + 𝑏𝑏; 4𝑘𝑘 + 4 = 0; 𝑘𝑘 = −1. Отже, рівняння цієї прямої у = -х + 4. Інша пряма проходить через точки (0; -2) і (2; 0), тому коефіцієнти k і b її рівняння y = kx + b повинні задовольняти систему: −2 = 0 ∙ 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏, 𝑏𝑏 = −2, 𝑏𝑏 = −2, � � � 0 = 2𝑘𝑘 + 𝑏𝑏; 2𝑘𝑘 − 2 = 0; 𝑘𝑘 = 1. Отже, рівняння іншої прямої у – х – 2. Шукана система буде: 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 + 4, � 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 2.

2) Перша пряма проходить через точки (0; 4) і (2; 0), тому коефіцієнти k і b її рівняння у = kx + b повинні задовольняти систему: 𝑏𝑏 = 4, 4 = 0 ∙ 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏, 𝑏𝑏 = 4, � � � 0 = 2𝑘𝑘 + 𝑏𝑏; 2𝑘𝑘 + 4 = 0; 𝑘𝑘 = −2. Отже, рівняння першої прямої у = -2х + 4. Друга пряма проходить через точки (0; 1,5) і (3; 0), тому коефіцієнти k і b її рівняння y = kx + b повинні задовольняти систему: 1,5 = 0 ∙ 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏, 𝑏𝑏 = 1,5, 𝑏𝑏 = 1,5, � � � 0 = −3𝑘𝑘 + 𝑏𝑏; −3𝑘𝑘 + 1,5 = 0; 𝑘𝑘 = 0,5. Отже, рівняння другої прямої у = 0,5х + 1,5. Шукана система буде: 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 + 4, � 𝑦𝑦 = 0,5𝑥𝑥 + 1,5.

3) Перша пряма проходить через точки (0; 2) і (3; 0), тому коефіцієнти k і b її рівняння у = kx + b повинні задовольняти систему: 𝑏𝑏 = 2, 2 = 0 ∙ 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏, 𝑏𝑏 = 2, 2 � � � 0 = 3𝑘𝑘 + 𝑏𝑏; 3𝑘𝑘 + 2 = 0; 𝑘𝑘 = − .

3 2

Отже, рівняння першої прямої у = - х + 2. Друга пряма проходить через точки (0; -1) і (3 1,5; 0), тому коефіцієнти k і b її рівяння у = kx + b повинна задовольняти систему: 𝑏𝑏 = −1, −1 = 0 ∙ 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏, 𝑏𝑏 = −1, 2 � � � 0 = −1,5𝑘𝑘 + 𝑏𝑏; −1,5𝑘𝑘 − 1 = 0; 𝑘𝑘 = − .

3

2

Отже, рівняння другої прямої у = - х – 1 або 2х + 3у = -3. Шукана система буде: 3 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 6, � 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = −3.

4) Перша пряма проходить через точки (0; 3) і (-3; 4), тому коефіцієнти k і b її рівняння у = kx + b повинні задовольняти систему: 𝑏𝑏 = 3, 3 = 0 ∙ 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏, 𝑏𝑏 = 3, 1 � � � 4 = −3𝑘𝑘 + 𝑏𝑏; −3𝑘𝑘 + 3 = 4; 𝑘𝑘 = − .

3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html 1

Отже, рівняння першої прямої у = - х + 3 або х + 3у = 9. Друга пряма проходить через 3 точки (-3; 4) і (-2; 0), тому коефіцієнти k і b її рівняння у = kx + b повинні задовольняти системі: 4 = −3𝑘𝑘 + 𝑏𝑏, 4 = −3𝑘𝑘 + 𝑏𝑏, � � 0 = −2𝑘𝑘 + 𝑏𝑏ǀ ∙ (−1); 0 = 2𝑘𝑘 − 𝑏𝑏. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: -k = 4; k = -4. Підставимо у друге рівняння першої системи значення k = -4 й одержимо: 0 = 8 + b; b = -8. Отже, рівняння другої прямої у = -4х – 8. Шукана система буде: 𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 9, � 𝑦𝑦 = −4𝑥𝑥 − 8.

1183. Запишіть систему лінійних рівнянь із двома змінними, графіки яких зображено на рисунку 74.

1) Перша пряма проходить через точки (0; 0) і (2; 3), тому коефіцієнт k її рівняння у = kx задовольняє рівнянню: 3 = 2k; k = 1,5. Отже, рівняння першої прямої у = 1,5х. Друга пряма проходить через точки (0; 3) і (1; 3), тому коефіцієнт b її рівняння у = b задовольняє рівнянню: 3 = 2k. Отже, рівняння другої прямої у = 3. Шукана система буде: 𝑦𝑦 = 1,5𝑥𝑥, � 𝑦𝑦 = 3, 2) Перша пряма проходить через точки (0; 3) і (-1; 0), тому коефіцієнти k і b її рівняння у – kx + b повинні задовольняти системі: 𝑏𝑏 = 3, 3 = 0 ∙ 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏, 𝑏𝑏 = 3, � � � 0 = −𝑘𝑘 + 𝑏𝑏; −𝑘𝑘 + 3 = 0; 𝑘𝑘 = 3. Отже, рівняння першої прямої у = 3х + 3. Друга пряма проходить через точки (0; -2) і (4; 0), тому коефіцієнти k і b її рівняння у = kx + b повинні задовольняти систему: −2 = 0 ∙ 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏, 𝑏𝑏 = −2, 𝑏𝑏 = −2, � � � 0 = 4𝑘𝑘 + 𝑏𝑏; 4𝑘𝑘 − 2 = 0; 𝑘𝑘 = 0,5. Отже, рівняння другої прямої у = 0,5х – 2. Шукана система буде: 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 + 3, � 𝑦𝑦 = 0,5𝑥𝑥 − 2.

1184. При якому значенні k пряма y = kx + 2 проходить через точку перетину прямих 3x + 5y = 5 і 7x – 4y = 43? Спочатку знайдемо точку перетину прямих 3х + 5у = 5 і 7х – 4х = 43, розв’язавши систему: 3𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 5ǀ ∙ 7, 21𝑥𝑥 + 25𝑦𝑦 = 35, � � 7𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 43ǀ ∙ (−3); −21𝑥𝑥 + 12𝑦𝑦 = −129. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 47у = -94; у = -2. Підставимо у перше рівняннь першої системи значення у = -2 й одержимо: 3х – 10 = 5; 3х = 15; х = 5. Прям перетинаються в точці з координатами (5; -2). Якщо пряма у = kx + 2 проходить через точку (5; -2), то: -2 = 5k + 2; 5k = -4; k = -0,8.

1185. При якому значення а має розв’язок система рівнянь: Спочатку розв’яжемо систему утворену першими двома рівняннями: 8𝑥𝑥 − 7𝑦𝑦 = 21ǀ ∙ 5, 40𝑥𝑥 − 35𝑦𝑦 = 105, � � 5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 20ǀ ∙ (−8); −40𝑥𝑥 + 24𝑦𝑦 = −160. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: -11у = -55; у = 5. Підставимо у перше рівняння першої системи значення у = 5 й одержимо: 8х – 35 = 21; 8х = 56; х = 7.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Розв’язком системи є пара чисел (7; 5). Ця пара повинна задовольняти третє рівняння ах + 2у = 24 системи. Маємо: 7а + 10 = 24; 7а = 14; а = 2. Отже, система рівнянь має розв’язок, якщо а = 2.

1186. Розв’яжіть рівняння: 1) (х + у)2 + (х – 3)2 = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 0, 3 + 𝑦𝑦 = 0, 𝑦𝑦 = −3, � � � 𝑥𝑥 − 3 = 0; 𝑥𝑥 = 3; 𝑥𝑥 = 3. Відповідь: (3; -3); 2) (х + 2у – 3)2 + х2 – 4ху + 4у2 = 0; (х + 2у – 3)2 + (х – 2у)2 = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи: 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 3 = 0, � 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 0. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 2х – 3 = 0; х = 1,5. Підставимо у друге рівняння системи значення х = 1,5 й одержимо: 1,5 – 2у = 0; 2у = 1,5; у = 0,75. Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (1,5; 0,75). Відповідь: (1,5; 0,75); 3) ǀх – 3у – 6ǀ + (9х + 6у – 32)2 = 0. Сума двох невід’ємних виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи: ǀ𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 − 6ǀ = 0, 𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 − 6 = 0ǀ ∙ 2, 2𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 − 12 = 0, � � � 2 (9𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 − 32) = 0; 9𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 − 32 = 0; 9𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 − 32 = 0. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 11х – 44 = 0; х = 4. Підставимо у першу рівняння другої системи значення х = 4 й одержимо: 4 – 3у – 6 = 0; 2 2 3у = 2; у = - . Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (4; - ).

3

3

2

Відповідь: (4; - ).

3 4) х2 + у2 + 10х – 12у + 61 = 0; (х2 + 10х + 25) + (у2 – 12у + 36) = 0; (х + 5)2 + (у – 6)2 = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи: 𝑥𝑥 + 5 = 0, 𝑥𝑥 = −5, � � 𝑦𝑦 − 6 = 0; 𝑦𝑦 = 6. Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (-5; 6). Відпоівдь: (-5; 6); 5) 25х2 + 10у2 – 30ху + 8у + 16 = 0; (25х2 – 30ху + 9у2) + (у2 + 8у + 16) = 0; (5х – 3у)2 + (у + 4)2 = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи: 5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 0, 5𝑥𝑥 + 12 = 0, 𝑥𝑥 = −2,4, � � � 𝑦𝑦 = −4. 𝑦𝑦 = −4; 𝑦𝑦 + 4 = 0; Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (-2,4; -4). Відповідь: (-2,4; -4).

1187. Розв’яжіть рівняння: 1) (х – 2у)2 + (у – 5)2 = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 0, 𝑥𝑥 − 10 = 0, 𝑥𝑥 = 10, � � � 𝑦𝑦 = 5; 𝑦𝑦 = 5. 𝑦𝑦 − 5 = 0; Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (10; 5). Відповідь: (10; 5).

2) (4х + 2у – 5)2 + ǀ4х – 6у + 7ǀ = 0. Сума двох невід’ємних виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи: ǀ4𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 + 7ǀ = 0, 4𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 + 7 = 0ǀ ∙ (−1), −4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 − 7 = 0, � � � 4𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 5 = 0.

4𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 5 = 0; (4𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 5)2 = 0; Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 8у – 12 = 0; у = 1,5. Підставимо у перше рівняння другої системи значення у = 1,5 й одержимо: 4х – 9 + 7 = 0; 4х = 2; х = 0,5. Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (0,5; 1,5). Відповідь: (0,5; 1,5).

3) 50х2 + 4у2 – 28ху + 16х + 64 = 0; (49х2 – 28ху + 4у2) + (х2 + 16х + 64) = 0; (7х – 2у)2 + (х + 8)2 = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи: 7𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 0, −56 − 2𝑦𝑦 = 0, 𝑦𝑦 = −28, � � � 𝑥𝑥 + 8 = 0; 𝑥𝑥 = −8; 𝑥𝑥 = −8. Розв’язком системи і рівняння є пара чисео (-8; -28). Відповідь: (-8; -28).

1188. Розв’яжіть систему рівнянь: 2 5 + = 15; 1 1 𝑥𝑥 𝑦𝑦 Виконаємо заміну: = 𝑢𝑢, = 𝑣𝑣. Тоді: 1) � 3 8 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + = 23. 𝑥𝑥 𝑦𝑦 2𝑢𝑢 + 5𝑣𝑣 = 15ǀ ∙ 3, 6𝑢𝑢 + 15𝑣𝑣 = 45, � � 3𝑢𝑢 + 8𝑣𝑣 = 23ǀ ∙ (−2); −6𝑢𝑢 − 16𝑣𝑣 = −46; -v = -1; v = 1. Із першого рівняння першої системи отримаємо: 2u + 5 = 15; 2u = 10; u = 5. Повертаємося до виконаної заміни: 1 = 5, 𝑥𝑥 = 0,2, 𝑥𝑥 �1 � = 1; 𝑦𝑦 = 1. 𝑦𝑦

Відповідь: (0,2; 1); 5 10 + = 3, 2𝑥𝑥−3𝑦𝑦 3𝑥𝑥−2𝑦𝑦 2) � 20 15 − = 1.

3𝑥𝑥−2𝑦𝑦

2𝑥𝑥−3𝑦𝑦

1

1

Виконаємо заміну: = 𝑢𝑢, = 𝑣𝑣. Тоді: 2𝑥𝑥−3𝑦𝑦 3𝑥𝑥−2𝑦𝑦 5𝑢𝑢 + 10𝑣𝑣 = 3ǀ ∙ 3, 15𝑢𝑢 + 30𝑣𝑣 = 9, � � 20𝑣𝑣 − 15𝑢𝑢 = 1; −15𝑢𝑢 + 20𝑣𝑣 = 1; 50𝑣𝑣 = 10; 𝑣𝑣 = 0,2. Із першого рівняння першої системи отримаємо: 5u + 2 = 3; 5u = 1; u = 0,2. Повертаємось до виконаної заміни: 1 = 0,2, 0,4𝑥𝑥 − 0,6𝑦𝑦 = 1, 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 5ǀ ∙ 3, 6𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 = 15, 2𝑥𝑥−3𝑦𝑦 � 1 � � � = 0,2; 0,6 − 0,4𝑦𝑦 = 1; 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 5ǀ ∙ (−2); −6𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = −10.

3𝑥𝑥−2𝑦𝑦

Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: -5у = 5; у = -1. Підставимо у перше рівняння передостанної системи значення у = -1 й одержимо:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

2х + 3 = 5; 2х = 2; х = 1. Відповідь: (1; -1).

1189. Розв’яжіть систему рівнянь: 1 7 − = 6, 1 1 𝑥𝑥 𝑦𝑦 Виконаємо заміну: = 𝑢𝑢, = 𝑏𝑏. Тоді: 1) �2 3 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + = 46. 𝑥𝑥

𝑦𝑦

𝑢𝑢 − 7𝑣𝑣 = 6ǀ ∙ (−2), −2𝑢𝑢 + 14𝑣𝑣 = −12, � � 2𝑢𝑢 + 3𝑣𝑣 = 46; 2𝑢𝑢 + 3𝑣𝑣 = 46; 17v = 34; v = 2. Із першого рівняння першої системи отримаємо: u – 14 = 6; u = 20.

1 1 Повертаємося до виконаної зміни: = 20, 𝑥𝑥 = 0,05, = 2, 𝑦𝑦 = 0,5. 𝑥𝑥

𝑦𝑦

Відповідь: (0,05; 0,5); 9 6 − = −2, 1 1 𝑥𝑥+4𝑦𝑦 5𝑥𝑥−𝑦𝑦 Виконаємо заміну: 2) � 3 = 𝑢𝑢, = 𝑣𝑣. Тоді: 18 𝑥𝑥+4𝑦𝑦 5𝑥𝑥−𝑦𝑦 + = 1. 𝑥𝑥+4𝑦𝑦 5𝑥𝑥−𝑦𝑦 9𝑢𝑢 − 6𝑣𝑣 = −2ǀ ∙ 3, 27𝑢𝑢 − 18𝑣𝑣 = −6, � � 3𝑢𝑢 + 18𝑣𝑣 = 1; 3𝑢𝑢 + 18𝑣𝑣 = 1; 1 30u = -5; u = - . Із першого рівняння першої системи отримаємо: 3 2

6

1

− 6𝑣𝑣 = −2; 6𝑣𝑣 = ; 𝑣𝑣 = 1

1

5𝑥𝑥−𝑦𝑦

12

2

1

. Повертаємося до виконаної заміни:

12

= − , 𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = −6ǀ ∙ 9 − 5), −5𝑥𝑥 − 20𝑦𝑦 = 30, 𝑥𝑥+4𝑦𝑦 6 � � 1 1 � 5𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 12; 5𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 12; = ;

Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: -21у = 42; у = -2. Підставимо у перше рівняння передостанньої системи значення у = -2 й одержимо: х – 8 = -6; х = 2. Відповідь: (2; -2).

1190. Після того як вода в чайнику закипіла, його вимкнули. На рисунку зображено графік зміни температури води в чайнику. Користуючись графіком, визначте: 1) якою була температура води через 10 хв після вимкнення чайника; 70℃.

2) через скільки хвилин після вимкнення температура води становила 30 °С; 50 хв.

3) за скільки хвилин температура води знизилася від 60 °С до 40 °С; 60℃ через 15 хв; 40℃ через 30 хв. Знизилася за 15 хв.

1191. Оптова ціна коробки цукерок — 130 грн. Роздрібна ціна в магазині на 30 % вища за оптову. Яку найбільшу кількість таких коробок можна купити в магазині, маючи 2500 грн?

1) 130 ∙ 1,3 = 169 (грн) – роздрібна ціна; 2) 2500 : 169 = 14 (залишок 134 грн). Відповідь: найбільше 14 коробок.

1192. Знайдіть значення виразу: 1) (а2 + 1)2 + (а – 1)(а2 + 1) – а2 = а4 + 2а2 + 1 + а3 + а – а2 – 1 – а2 = а4 + а3 + а. Якщо а = –2, то а4 + а3 + а – (–2)4 + (–2)3 – 2 = 16 – 8 – 2 = 6; 2) (а – 1)(a2 + 1)(а + 1) – (а2 + 1)2 = (a – 1)(а + 1)(а2 + 1) – (а2 + 1)2 = = (а2 – 1)(a2 + 1) – (a2 + 1)2 = а4 – 1 – а4 – 2a2 – 1 = –2 – 2а2.

1 1 Якщо а = , то –2 – 2а2 = –2 – = –2,5.

2 2 1193. На математичній олімпіаді учасникам було запропоновано розв’язати 12 задач. За кожну правильно розв’язану задачу нараховували 5 балів, а за нерозв’язану — знімали 3 бали. Скільки задач розв’язав правильно учень, який отримав у підсумку 36 балів?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Нехай учень розв’язав правильно х задач, тоді неправильно він розв’язав (12 – х) задач. Рівняння: 5х – 3(12 – х) = 36; 5х – 36 + 3х = 36; 8х = 72; х = 9. Відповідь: 9 задач.

1194. За який час лев, вовк і собака можуть з’їсти трьох овець, якщо лев один може з’їсти вівцю за 1 год, вовк — за 3 год, а собака — за 6 год?

1 1 За 1 год лев з’їдає 1 вівцю, вовк — вівці, а собака — вівці. Разом за 1 год вони можуть 1

1

6+2+1

9

3

3

6

3

з’їсти 1 + + = = = (вівці). Тоді 3 вівці вони з’їдять за 3 : = 2 (год).

3 6 36 6 2 2 Відповідь: За 2 год.

1195. Доведіть, що різниця квадратів двох довільних натуральних чисел, кожне з яких не ділиться націло на 3, є кратною 3. Нехай обидва натуральні числа при діленні на 3 дають однакові остачі 1 або 2. Отримаємо: а) (3n – 1)2 – (3m – 1)2 = (3n – 1 – 3m + 1)(3n – 1 + 3m – 1) = (3n – 3m)(3n + 3m – 2) = = 3(n – m)(3n + 3m2) — кратне трьом; б) (3n – 2)2 – (3m – 2)2 = (3n – 2 – 3m + 2)(3n – 2 + 3m – 2) = (3n – 3m)(3n + 3m – 4) = = 3(n – m)(3n + 3m – 4) — кратне трьом. Якщо обидва натуральні числа при діленні на 3 дають рі3ні остачі, то отримаємо: (3n – 1)2 – (3m – 2)2 = (3n – 1 – 3m + 2)(3n – 1 + 3m – 2) = (3n – 3m + 1)(3n + 3m – 3) = = 3(3n – 3m + 1)(n + m – 1) — кратне трьом.

1196. У саду дерев більше за 90, але менше від 100. Третина всіх дерев — яблуні, а чверть усіх дерев — сливи. Скільки дерев у саду? Кількість дерев у саду кратна 3 і 4, а значить, кратна 12. Серед чисел, більших від 90, але менших ніж 100, є лише одне число, кратне 12, це число 96. Відповідь: У саду 96 дерев.

1197. Який із виразів набуває тільки від’ємних значень при будь– якому значенні x: При будь-якому значенні х набуває тільки від’ємних значень вираз: 3) –х2 + 8x – 18 = –(x2 – 8х + 16) – 2 = –(х – 4)2 – 2.

1198. Клітинки таблиці розміром 101 × 101 заповнено числами так, що добуток чисел у кожному стовпці є від’ємним. Чи може виявитися, що кількість рядків, добуток чисел у яких додатний, дорівнює 51? Якщо добуток чисел у стовпці є від’ємним, то кількість від’ємних чисел у цьому стовпці є непарною. Отже, в усій таблиці (у 101 стовпці) кількість від’ємних чисел є непарною. Якби у 51 рядку добуток чисел був додатним, то в кожному з цих рядків було би парне число від’ємних чисел. Тоді на 50 рядків, що залишилися, припало би непарне число від’ємних чисел, що не можливо, бо в кожному з цих 50 рядків повинно бути непарне число від’ємних чисел, а сума 50–и непарних чисел буде парним числом.

29. Розв’язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь 1199. Знайдіть два числа, якщо їхня сума дорівнює 63, а різниця дорівнює 19. Нехай одне число дорівнює х, а інше – у. Тоді: 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 19, 2𝑥𝑥 = 85; 𝑥𝑥 = 41. � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 63; З першого рівняння отримаємо: 41 – у = 19; у = 22. Відповідь: 41 і 22.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1200. Група із 46 туристів вирушила в похід на 10 човнах, частина з яких були чотиримісними, а решта — шестимісними. Скільки човнів кожного виду було в туристів? Нехай чотиримісних човнів було х, а шестимісних – у. Перше рівняння: х + у = 10. На чотиримісних човнах було 4х туристів, а на шестимісних – 6у туристів. Друге рівняння: 4х + 6у = 46. Система: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 10ǀ ∙ (−3), −3𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = −30, −𝑥𝑥 = −7; 𝑥𝑥 = 7. � � 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 23; 4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 46ǀ: 2; З першого рівняння першої системи отримаємо: 7 +у = 10; у = 3. Відповідь: чотиримісних човнів було 7, а шестимісних – 3.

1201. Знайдіть два числа, якщо їхня різниця дорівнює 23, а сума подвоєного більшого із цих чисел і другого числа дорівнює 22. Нехай більше число дорівнює х, а менше – у. Тоді: 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 23, 3𝑥𝑥 = 45; 𝑥𝑥 = 15. � 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 22; З першого рівняння отримаємо: 15 – у = 23; у = -8. Відповідь: 15 і -8.

1202. Для того щоб нагодувати 4 коней і 12 корів, потрібно 120 кг сіна на день, а щоб нагодувати 3 коней і 20 корів — 167 кг сіна. Знайдіть денну норму сіна для коня та для корови. Нехай денна норма сіна для коня становить х кг, а для корови – у кг. Система: 4𝑥𝑥 + 12𝑦𝑦 = 120ǀ: 4, 𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 30ǀ ∙ (−3), −3𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 = −90, 11у = 77; у = 7. � � � 3𝑥𝑥 + 20𝑦𝑦 = 167; 3𝑥𝑥 + 20𝑦𝑦 = 167; 3𝑥𝑥 + 20𝑦𝑦 = 167; З першого рівняння другої системи отримаємо: х + 21 = 30; х = 9. Відповідь: денна норма для коня становить 9 кг, а для корови – 7 кг.

1203. За перший день 2 гусеничних трактори й один колісний зорали 22 га, а за другий день 3 гусеничних і 8 колісних — 72 га. Знайдіть, скільки гектарів землі може зорювати щодня один гусеничний трактор і скільки — один колісний. Нехай один гусеничних трактор зорює щодня х га, а колісний – у га. Система: 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 22ǀ ∙ (−8), −16𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 = −176, -13х = -104; х = 8. � � 3𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 = 72; 3𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 = 72; З першого рівняння системи отримаємо: 16 + у = 22; у = 6. Відповідь: гусеничний трактор зорює щодня 8 га, а колісний – 6 га.

1204. Двоє робітників виготовили 135 деталей. Перший робітник працював 7 днів, а другий — 12 днів. Скільки деталей виготовляв щодня кожний робітник, якщо перший за 3 дні зробив на 3 деталі більше, ніж другий — за 4 дні? Нехай перший робітник виготовляв щодня х деталей, а другий – у деталей. Система: 7𝑥𝑥 + 12𝑦𝑦 = 135, 7𝑥𝑥 + 12𝑦𝑦 = 135, 16х = 144; х = 9. � � 3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 3ǀ ∙ 3; 9𝑥𝑥 − 12𝑦𝑦 = 9; З першого рівняння системи отримаємо: 63 + 12у = 135; 12у = 72; у = 6. Відповідь: перший робітник виготовляв щодня 9 деталей, а другий – 6 деталей.

1205. Дві бригади працювали на збиранні яблук. Першого дня одна бригада працювала 5 год, а друга — 4 год, причому разом вони зібрали 40 ц яблук. Наступного дня бригади працювали з тією самою продуктивністю праці, при цьому перша бригада зібрала за 3 год на 2 ц більше, ніж друга — за 2 год. Скільки центнерів яблук збирала кожна бригада за 1 год? Нехай перша бригада збирала х ц яблук за 1 год, а друга – у ц яблук за 1 год. Система:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

5𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 40, 5𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 40, 11𝑥𝑥 = 44; 𝑥𝑥 = 4. � � 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 2ǀ ∙ 2; 6𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 4; З першого рівняння системи отримаємо: 20 + 4у = 40; 4у = 20; у = 5. Відповідь: перша бригада збирала 4 ц яблука за 1 год, а друга – 5 ц.

1206. За 6 наборів олівців і 5 циркулів заплатили 510 грн. Скільки коштує набір олівців і скільки — циркуль, якщо 3 набори олівців дорожчі за один циркуль на 150 грн? Нехай набір олівців коштує х грн, а циркуль – у грн. Система: 6𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 510, 6𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 510, 21𝑥𝑥 = 1260; 𝑥𝑥 = 60. � � 3𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 150ǀ ∙ 5; 15𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 750; З другого рівняння першої системи отримаємо: 3 ∙ 60 – у = 150; 180 – у = 150; у = 30. Відповідь: набір олівців коштує 60 грн, а циркуль – 30 грн.

1207. За 11 однакових зошитів і 8 однакових ручок заплатили 245 грн. Скільки коштує 1 зошит і скільки — 1 ручка, якщо 5 зошитів дорожчі за 4 ручки на 35 грн? Нехай 1 зошит коштує х грн, а 1 ручка – у грн. Система: 11𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 = 245, 11𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 = 245, 21𝑥𝑥 = 315; 𝑥𝑥 = 15. � � 5𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 35ǀ ∙ 2; 10𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 = 70; З першого рівняння системи отримаємо: 165 + 8у = 245; 8у = 80; у = 10. Відповідь: 1 зошит коштує 15 грн, а 1 ручка – 10 грн.

1208. Із Києва й Вінниці, відстань між якими 256 км, виїхали одночасно назустріч один одному автобус і автомобіль, які зустрілися через 2 год після початку руху. Знайдіть швидкість кожного з них, якщо автобус за 2 год проїжджає на 46 км більше, ніж автомобіль за 1 год. Нехай швидкість автобуса х км/год, а швидкість автомобіля у км/год. Система: 2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 256ǀ: 2, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 128, 3х = 174; х = 58. � � 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 46; 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 46; З другого рівняння отримаємо: 116 – у = 46; у = 70. Відповідь: швидкість автобуса 58 км/год, а швидкість автомобіля 70 км/год.

1209. Із двох станцій, відстань між якими 300 км, одночасно назустріч один одному вирушили пасажирський і товарний поїзди, які зустрілися через 3 год після початку руху. Якби пасажирський поїзд вирушив на 1 год раніше від товарного, то вони зустрілися б через 2,4 год після виходу товарного поїзда. Знайдіть швидкість кожного поїзда. Нехай швидкість пасажирського поїзда х км/год, а швидкість товарного – у км/год. Система: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 100ǀ ∙ 12, 12𝑥𝑥 + 12𝑦𝑦 = 1200, 3𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 300ǀ: 3, � � � 𝑥𝑥 + 2,4𝑥𝑥 + 2,4𝑦𝑦 = 300; 3,4𝑥𝑥 + 2,4𝑦𝑦 = 300ǀ: (−0,2); −17𝑥𝑥 − 12𝑦𝑦 = −1500; -5х = -300; х = 60. З першого рівняння другої системи отримаємо: 60 + у = 100; у = 40. Відповідь: швидкість пасажирського поїзда 60 км/год, а швидкість товарного – 40 км/год.

1210. Із села до станції вийшов пішохід. Через 30 хв із цього села до станції виїхав велосипедист, який наздогнав пішохода через 10 хв після виїзду. Знайдіть швидкість кожного з них, якщо за 3 год пішохід проходить на 4 км більше, ніж велосипедист проїжджає за півгодини. Нехай швидкість пішохода х км/год, а швидкість велосипедиста у км/год. До зустрічі 10+30 2 10 1 пішохід пройшов 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 (км), а велосипедист – 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 (км). Система: 2

1

60

3

60

4𝑥𝑥 = 𝑦𝑦, 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦ǀ ∙ 6, 6 6х – 4х = 8; 2х = 8; х = 4. � 3 � 3𝑥𝑥 − 0,5𝑦𝑦 = 4ǀ ∙ 2; 6𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 8; З першого рівняння другої системи отримаємо: у = 16.  shkola.in.ua

6

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Відповідь: швидкість пішохода 4 км/год, а швидкість велосипедиста 16 км/год.

1211. Із Житомира до Одеси, відстань між якими 536 км, виїхав автомобіль. Через 2,5 год після початку руху першого автомобіля назустріч йому з Одеси виїхав другий автомобіль, який зустрівся з першим через 2 год після свого виїзду. Знайдіть швидкість кожного автомобіля, якщо перший за 2 год проїжджає на 69 км менше, ніж другий за 3 год. Нехай швидкість першого автомобіля х км/год, а швидкість другого – у км/год. До зустрічі перший автомобіль проїхав (2,5 + 2)х = 4,5х (км), а другий – 2у (км). Система: 4,5𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 563ǀ ∙ 3, 13,5 + 6𝑦𝑦 = 1608, 17,5х = 1470; х = 84. � � 3𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥 = 69ǀ ∙ (−2); 4𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = −138; З другого рівняння першої системи отримаємо: 3у – 168 = 69; 3у = 237; у = 79. Відповідь: 84 км/год, 79 км/год.

1212. У двох бідонах було молоко. Якщо з першого бідона перелити в другий 10 л молока, то в обох бідонах молока стане порівну. Якщо з другого бідона перелити в перший 20 л молока, то в першому стане у 2,5 раза більше молока, ніж у другому. Скільки літрів молока було в кожному бідоні? Нехай у першому бідоні було х л молока, а у другому – у л. Система: 𝑥𝑥 − 10 = 𝑦𝑦 + 10, 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 20, 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 20, 1,5у = 90; у = 60. � � � 𝑥𝑥 + 20 = 2,5(𝑦𝑦 − 20); 𝑥𝑥 − 2,5𝑦𝑦 = −70ǀ ∙ (−1); −𝑥𝑥 + 2,5𝑦𝑦 = 70; З першого рівняння останньої системи отримаємо: х – 60 = 20; х = 80. Відповідь: 80 л, 60 л.

1213. Коли до першого вагона електропотяга ввійшли 4 пасажири, а з другого вагона вийшли 4 пасажири, то в обох вагонах пасажирів стало порівну. Якби до першого вагона ввійшли 2 пасажири, а до другого — 24 пасажири, то в першому вагоні стало б у 2 рази менше пасажирів, ніж у другому. Скільки пасажирів було спочатку в кожному вагоні? Нехай у першому вагоні було х пасажирів, а у другому – у пасажирів. Система: 𝑥𝑥 + 4 = 𝑦𝑦 − 4, 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = −8ǀ ∙ (−1), −𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 8, 𝑥𝑥 = 28. � � � 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 20; 2(𝑥𝑥 + 2) = 𝑦𝑦 + 24; 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 20; З першого рівняння останньої системи отримаємо: -28 + у = 8; у = 36. Відповідь: 28 пасажирів, 36 пасажирів.

1214. Моторний човен за 3 год руху проти течії річки та 2,5 год за течією проходить 98 км. Знайдіть власну швидкість човна та швидкість течії, якщо за 5 год руху за течією він проходить на 36 км більше, ніж за 4 год проти течії річки. Нехай власна швидкість човна дорівнює х км/год, а швидкість течії – у км/год, тоді швидкість човна проти течії дорівнює (х – у) км/год, а за течією (х + у) км/год. Система: 3(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) + 2,5(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) = 98, 3𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 2,5𝑥𝑥 + 2,5𝑦𝑦 = 98, � � 5𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 − 4𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 36; 5(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) − 4(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) = 36; 5,5𝑥𝑥 − 0,5𝑦𝑦 = 98ǀ ∙ 18, 99𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 = 1764, 100х = 1800; х = 18. � � 𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = 36; 𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = 36; З другого рівняння останньої системи отримаємо: 18 + 9у = 36; 9у = 18; у = 2. Відповідь: 18 км/год, 2 км/год.

1215. Катер за 5 год руху за течією річки проходить на 70 км більше, ніж за 3 год руху проти течії. Знайдіть швидкість катера в стоячій воді та швидкість течії, якщо за 9 год руху озером він проходить стільки ж кілометрів, скільки за 10 год руху проти течії річки. Нехай власна швидкість катера дорівнює х км/год, а швидкість течії – у км/год, тоді швидкість катера проти течії дорівнює (х – у) км/год, а за течією – (х + у) км/год. Система: 5(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) − 3(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) = 70, 5𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 70, 2𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 = 70, � � � 𝑥𝑥 = 10𝑦𝑦; 9𝑥𝑥 = 10𝑥𝑥 − 10𝑦𝑦; 9𝑥𝑥 = 10(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

20𝑦𝑦 + 8𝑦𝑦 = 70, 28𝑦𝑦 = 70, 𝑦𝑦 = 2,5, � � � 𝑥𝑥 = 10𝑦𝑦; 𝑥𝑥 = 25. 𝑥𝑥 = 10𝑦𝑦; Відповідь: 25 км/год, 2,5 км/год.

1216. Дві майстерні мали пошити 75 костюмів. Коли перша майстерня виконала 60 % замовлення, а друга — 50 %, то виявилося, що перша майстерня пошила на 12 костюмів більше, ніж друга. Скільки костюмів мала пошити кожна майстерня? Нехай перша майстерня мала пошити х костюмів, а друга – у костюмів. Система: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 75, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 75, 2,2х = 99; х = 45. � � 0,6𝑥𝑥 − 0,5𝑦𝑦 = 12ǀ ∙ 2; 1,2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 24; З першого рівняння отримаємо: 45 + у = 75; у = 30. Відповідь: 45 костюмів, 30 костюмів.

1 1217. Михайло та Галина мали разом 300 грн. Коли Михайло витратив своїх грошей на 1

3

придбання довідника з математики, а Галина — своїх грошей на придбання довідника з 6 української мови, то виявилося, що Михайло витратив на 5 грн менше, ніж Галина. Скільки грошей було в кожного з них спочатку? Нехай Михайло мав х грн, а Галина – у грн. Система: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 300, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 300, 1 3х = 270; х = 90. �1 � 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 5ǀ ∙ (−6); 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = −30; 6 3 З першого рівняння отримаємо: 90 + у = 300; у = 210. Відповідь: 90 грн; 210 грн.

1218. Відомо, що 4 кг огірків і 3 кг помідорів коштували 340 грн. Після того як огірки подорожчали на 50 %, а помідори подешевшали на 20 %, за 2 кг огірків і 5 кг помідорів заплатили 360 грн. Знайдіть початкову вартість 1 кг огірків і 1 кг помідорів. Нехай початкова вартість 1 кг огірків х грн, а помідорів – у грн. Перше рівняння: 4х + 3у = 340. Змінена вартість 1 кг огірків 1,5х грн, а помідорів – 0,8у грн. Друге рівняння: 2 ∙ 1,5х + 5 ∙ 0,8у = 360; 3х + 4у = 360. Система: 4𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 340ǀ ∙ 4, 16𝑥𝑥 + 12𝑦𝑦 = 1360, 7х = 280; х = 40. � � 3𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 360ǀ ∙ (−3); −9𝑥𝑥 − 12𝑦𝑦 = −1080; З першого рівняння першої системи отримаємо: 160 + 3у = 340; 3у = 180; у = 60. Відповідь: 40 грн; 60 грн.

1219. Відомо, що 2 банки фарби та 3 банки оліфи коштували 290 грн. Після того як фарба подешевшала на 10 %, а оліфа подорожчала на 40 %, за 6 банок фарби та 5 банок оліфи заплатили 728 грн. Знайдіть початкову вартість однієї банки фарби та однієї банки оліфи. Нехай початкова вартість 1 банки фарби х грн, а 1 банки оліфи – у грн. Перше рівняння: 2х + 3у = 290. Змінена вартість 1 банки фарби 0,9х грн, а оліфи – 1,4у грн. Друге рівняння: 6 ∙ 0,9х + 5 ∙ 1,4у = 728; 5,4х + 7у = 728. Система: 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 290ǀ ∙ (−27), −54𝑥𝑥 − 81𝑦𝑦 = −7830, -11у = -550; у = 50. � � 54𝑥𝑥 + 70𝑦𝑦 = 7280; 5,4𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = 728ǀ ∙ 10; З першого рівняння першої системи отримаємо: 2х + 150 = 290; 2х = 140; х = 70. Відповідь: 70 грн; 50 грн.

1220. Вкладник поклав у банк 14000 грн на два різних рахунки. За першим із них банк виплачує 4 % річних, а за другим — 6 % річних. Через рік вкладник одержав 680 грн відсоткових грошей. Скільки гривень він поклав на кожний рахунок? Нехай вкладник поклав на перший рахунок х грн, а на другий – у грн. Перше рівняння: х + у = 14000. З першого рахунку вкладник одержить 0,04х грн, а з другого – 0,06у грн. Друге рівняння: 0,04х + 0,06у = 80; 4х + 6у = 68000. Система:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 14000ǀ ∙ (−2), −2𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = −28000, у = 6000. � � 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 34000; 4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 68000ǀ: 2; З першого рівняння першої системи отримаємо: х + 6000 = 14000; х = 8000. Відповідь: 8000 грн, 6000 грн.

1221. Вкладниця поклала у банк 12000 грн на два різних рахунки. За першим із них банк виплачує 5 % річних, а за другим — 7 % річних. Через рік вкладниця отримала за 5 %–м вкладом на 240 грн відсоткових грошей більше, ніж за другим. Скільки гривень вона поклав на кожний рахунок? Нехай вкладник поклав на перший рахунок х грн, а на другий – у грн. Перше рівняння: х + у = 12000. З першого рахунку вкладник одержить 0,05х грн, а з другого – 0,07у грн. Друге рівняння: 0,05х – 0,07у = 240; 5х – 7у = 24000. Система: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 12000ǀ ∙ 7, 7𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = 84000, 12х = 108000; х = 9000. � � 5𝑥𝑥 − 7𝑦𝑦 = 24000; 5𝑥𝑥 − 7𝑦𝑦 = 24000. З першого рівняння першої системи отримаємо: 9000 + у = 12000; у = 3000. Відповідь: 9000 грн, 3000 грн.

1222. Маємо два сплави міді й цинку. Перший сплав містить 9 %, а другий — 30 % цинку. Скільки кілограмів кожного сплаву треба взяти, щоб одержати 300 кг сплаву, який містить 23 % цинку? Нехай першого сплаву потрібно взяти х кг, а другого – у кг. Перше рівняння: х + у = 300. У першому сплавові міститься 0,09х кг цинку, а у другому – 0,3у кг. Друге рівняння: 0,09х + 0,3у = 0,23 ∙ 300; 9х + 30у = 6900. Система рівнянь: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 300ǀ ∙ (−3), −3𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = −900, 7у = 1400; у = 200. � � 9𝑥𝑥 + 30𝑦𝑦 = 6900ǀ: 3; 3𝑥𝑥 + 10𝑦𝑦 = 2300; З першого рівняння першої системи отримаємо: х + 200 = 300; х = 100. Відповідь: 100 кг, 200 кг.

1223. Маємо два водно-сольових розчини. Перший розчин містить 25 %, а другий — 40 % солі. Скільки кілограмів кожного розчину треба взяти, щоб одержати 50 кг розчину, який містить 34 % солі? Нехай першого розчину потрібно взяти х кг, а другого – у кг. Перше рівняння: х + у = 50. У першому розчині міститься 0,25х кг солі, а у другому – 0,4у кг. Друге рівняння: 0,25х + 0,4у = 0,34 ∙ 50; 25х + 40у = 1700. Система рівнянь: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 50ǀ ∙ (−5), −5𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = −250, 3у = 90; у = 30. � � 25𝑥𝑥 + 40𝑦𝑦 = 1700ǀ: 5; 5𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 = 340; З першого рівняння першої системи отримаємо: х + 30 = 50; х = 20. Відповідь: 20 кг, 30 кг.

1224. Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 15. Якщо поміняти його цифри місцями, то отримаємо число, яке менше від даного на 9. Знайдіть дане число. Нехай цифра в розряді десятків х, а в роздів одиниць у. Перше рівняння: х + у = 15. Якщо цифри числа поміняти місцями, то отримаємо число, яке дорівнює 10у + х. Друге рівняння: 10х + у – (10у + х) = 9; 10х + у – 10у – х = 9; 9х – 9у = 9; х – у = 1. Система рівнянь: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 15, 2х = 16; х = 8. � 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 1; З першого рівняння системи отримаємо: 8 + у = 15; у = 7. Відповідь: 87.

1225. Периметр прямокутника дорівнює 28 см. Якщо дві протилежні його сторони збільшити на 6 см, а дві інші зменшити на 2 см, то його площа збільшиться на 24 см2. Знайдіть сторони даного прямокутника.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Нехай сторони даного прямокутника дорівнюють х см і у см. Перше рівняння: 2(х + у) = 28. Площа прямокутника дорівнюють ху см2. Друге рівняння: (х + 6)(у – 2) – ху = 24. Система рівнянь: 2(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) = 28, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 14, � � (𝑥𝑥 + 6)(𝑦𝑦 − 2) − 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 24; 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 − 12 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 24; 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 14, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 14, 4у = 32; у = 8. � � −2𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 36; −𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 18; З першого рівняння останньої системи отримаємо: х + 8 = 14; х = 6. Відповідь: 6 см, 8 см.

1226. Якщо кожну сторону прямокутника збільшити на 3 см, то його площа збільшиться на 45 см2. Якщо дві протилежні сторони збільшити на 4 см, а дві інші зменшити на 5 см, то його площа зменшиться на 17 см2. Знайдіть сторони даного прямокутника. Нехай сторони даного прямокутника дорівнюють х см і у см, тоді його площа дорівнює ху см2. Перше рівняння: (х + 3)(у + 3) – ху = 45. Друге рівняння: ху – (х + 4)(у – 5) = 17. Система рівнянь: (𝑥𝑥 + 3)(𝑦𝑦 + 3) − 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 45, 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + 9 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 45, � � 𝑥𝑥𝑥𝑥 − (𝑥𝑥 + 4)(𝑦𝑦 − 5) = 17; 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 + 20 = 17; 3𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 36, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 12ǀ ∙ 4, 4𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 48, 9х = 45; х = 5. � � � 5𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = −3; 5𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = −3; 5𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = −3; З першого рівняння передостанньої системи отримаємо: 5 + у = 12; у = 7. Відповідь: 5 см, 7 см.

1227. Віслюк і мул ідуть поруч з вантажем на спині. Віслюк скаржиться на непосильну ношу, а мул відповідає: «Чого ти скаржишся? Адже якщо я візьму один твій мішок, то моя ноша стане вдвоє важча за твою. А якщо ти візьмеш один мій мішок, то твоя поклажа зрівняється з моєю». Скажіть же, мудрі математики, скільки мішків ніс віслюк і скільки ніс мул? Нехай віслюк ніс х мішків, а мул – у мішків. Система: 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3, 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3, 2(𝑥𝑥 − 1) = 𝑦𝑦 + 1, 𝑥𝑥 = 5. � � � 𝑥𝑥 + 1 = 𝑦𝑦 − 1; 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = −2ǀ ∙ (−1); −𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 2; З першого рівняння останньої системи отримаємо: 10 – у = 3; у = 7. Відповідь: 5 мішків, 7 мішків.

1228. Один каже другому: «Дай мені 100 рупій, і я буду вдвоє багатший за тебе». Другий відповідає: «А якщо ти даси мені 10 рупій, то я стану в 6 разів багатший за тебе». Скільки грошей було в кожного? Нехай у першого було х рупій, а у другого – у рупій. Система: 𝑥𝑥 + 100 = 2(𝑦𝑦 − 100), 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = −300, 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = −300, -11х = -440; х = 40. � � � 6(𝑥𝑥 − 10) = 𝑦𝑦 + 10; 6𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 70ǀ ∙ (−2); −12𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = −140; З першого рівняння останньої системи отримаємо: 40 – 2у = -300; 2у = 340; у = 170. Відповідь: 40 рупій, 170 рупій.

1229. Син 6 років тому був у 4 рази молодший від батька, а через 12 років він буде молодшим від батька у 2 рази. Скільки років батькові та скільки — синові? Нехай батькові х років, а синові – у років. Система: 𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = −18, 𝑥𝑥 − 6 = 4(𝑦𝑦 − 6), 𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = −18, -х = -42; х = 42. � � � 𝑥𝑥 + 12 = 2(𝑦𝑦 + 12); 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 12ǀ ∙ (−2); −2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = −24; З першого рівняння останньої системи отримаємо: 42 – 4у = -18; 4у = 60; у = 15. Відповідь: 42 роки, 15 років.

1230. Бабуся 6 років тому була в 9 разів старша за онуку, а 4 роки тому — у 7 разів старша. Скільки років бабусі та скільки — онуці?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Нехай бабусі х років, а онучці – у років. Система: 𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 = −48, 𝑥𝑥 − 6 = 9(𝑦𝑦 − 6), 𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 = −48, -2у = -24; у = 12. � � � 𝑥𝑥 − 4 = 7(𝑦𝑦 − 4); 𝑥𝑥 − 7𝑦𝑦 = −24ǀ ∙ (−1); −𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = 24; З першого рівняння останньої системи отримаємо: х – 108 = -48; х = 60. Відповідь: 60 років, 12 років.

1231. Із двох селищ, відстань між якими дорівнює 45 км, одночасно назустріч один одному вирушили велосипедист і пішохід, які зустрілися через 3 год після початку руху. Якби велосипедист виїхав на 1 год 15 хв раніше, ніж вийшов пішохід, то вони зустрілися б через 2 год після виходу пішохода. З якою швидкістю рухався кожен із них? Нехай швидкість велосипедиста дорівнює х км/год, а пішохода – у км/год, тоді за 3 год вони пройшли 3(х + у) км. Перше рівняння: 3(х + у) = 45; х + у = 15. Якби велосипедист виїхав, на 1 год 15 хв = 1,25 год раніше, ніж вийшов пішохід, то за 1,5 + 2 = 3,25 год велосипедист проїхав би 3,25х км, а пішохід за 2 год пройшов би 2у км. Друге рівняння: 3,25х + 2у = 45. Система рівнянь: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 15ǀ ∙ (−2), −2𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = −30, 1,25з = 15; х = 12. � � 3,25𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 45; 3,25𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 45; З першого рівняння першої системи отримаємо: 12 + у = 15; у = 3. Відповідь: 12 км/год, 3 км/год.

1232. З пунктів A і B, відстань між якими дорівнює 24 км, одночасно назустріч один одному вирушили два туристи. Через 2 год після початку руху вони ще не зустрілися, а відстань між ними становила 6 км. Ще через 2 год одному з них залишилося пройти до пункту B на 4 км менше, ніж другому — до пункту A. Знайдіть швидкість кожного туриста. Нехай швижкість першого пішохода дорівнює х км/год, а другого – у км/год, тоді за 2 год вони пройшли 2(х + у) км. Перше рівняння: 2(х + у) + 6 = 24; 2(х + у) = 18; х + у = 9. За 2 + 2 = 4 год перший пішохід пройшов 4х км, а другий – 4у км. Друге рівняння: 4х – 4у = 4; х – у = 1. Система рівнянь: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 9, 2х = 10; х = 5. З першого рівняння системи отримаємо: 5 + у = 9; у = 4. � 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 1; Відповідь: 5 км/год, 4 км/год.

1233. Велосипедист проїхав з пункту A до пункту B за запланований час, рухаючись із певною швидкістю. Якби він збільшив швидкість на 3 км/год, то прибув би до пункту B на 1 год раніше, а якби він проїжджав за годину на 2 км менше, то прибув би на 1 год пізніше. Знайдіть швидкість велосипедиста. Нехай швидкість велосипедиста дорівнює х км/год, а час його руху – у год, тоді пройдений шлях буде ху км. Система рівнянь: (𝑥𝑥 + 3)(𝑦𝑦 − 1) = 𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 3 = 𝑥𝑥𝑥𝑥, −𝑥𝑥 + 3 = 3, � � � (𝑥𝑥 − 2)(𝑦𝑦 + 1) = 𝑥𝑥𝑥𝑥; 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 − 2 = 𝑥𝑥𝑥𝑥; 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 2; 𝑦𝑦 = 5. З першого рівняння останньої системи отримаємо: -х + 15 = 3; х = 12. Відповідь: 12 км/год.

1234. Вантаж було перевезено певною кількістю машин з однаковою вантажопідйомністю. Якби на кожній машині вантажу було на 1 т більше, то вантажівок треба було б на 3 менше, а якби вантажу було на 2 т більше, то вантажівок треба було б на 5 менше. Знайдіть масу вантажу, який перевезли. Нехай вантажопідйомність однієї машини дорівнює х т, а їх кількість – у, тоді маса перевезеного вантажу буде ху т. Система рівнянь: (𝑥𝑥 + 1)(𝑦𝑦 − 3) = 𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 3 = 𝑥𝑥𝑥𝑥, � � (𝑥𝑥 + 2)(𝑦𝑦 − 5) = 𝑥𝑥𝑥𝑥; 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 10 = 𝑥𝑥𝑥𝑥;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

−3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 3ǀ ∙ (−2), 6𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = −6, х = 4. � � −5𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 10; −5𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 10; З першого рівняння передостанньої системи отримаємо: -12 + у = 3; у = 15. Маса вантажу, який перевезли, дорівнює: 15 ∙ 4 = 60 (т). Відповідь: 60 т.

1235. Автобус і маршрутне таксі виїжджають щодня назустріч одне одному за розкладом о 8 год з міст Вишневе та Яблуневе й зустрічаються о 8 год 10 хв. Відстань між містами — 18 км. Одного дня автобус виїхав за розкладом, а таксі — із запізненням — о 8 год 9 хв. Тому зустрілися вони того дня о 8 год 15 хв. Знайдіть швидкості автобуса та маршрутного таксі. Нехай швидкість автобуса дорівнює х км/год, а маршрутного таксі — у км/год. Рухаючись за розкладом, автобус і маршрутне таксі до зустрічі були у дорозі: 8 год 10 хв – 8 год = 10 1 1 1 1 1 хв = год і проїхали за цей час відповідно х км і у км. Перше рівняння: х + у = 18; х + 6 6 6 6 6 у = 108. Коли автобус виїхав за розкладом, а таксі — із запізненням, то до зустрічі автобус був у дорозі 8 год 15 хв – 8 год = = 15 хв = 0,25 год, а маршрутні таксі — 8 год 15 хв – 8 год 9 хв = 6 хв = 0,1 год і вони проїхали за цей час відповідно 0,25х км і 0,1у км. Друге рівняння: 0,25х + 0,1у = 18. Система рівнянь: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 108, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 108, -1,5х = -72; х = 48. � � 0,25𝑥𝑥 + 0,1𝑦𝑦 = 18ǀ ∙ (−10); −2,5𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = −180; З першого рівняння системи отримаємо: 48 + у = 108; у = 60. Відповідь: 48 км/год, 60 км/год.

1236. З міста Сонячне до села Веселе о 9 год 5 хв і 9 год 45 хв виїхали з однаковою швидкістю два автобуси. З Веселого до Сонячного о 9 год 30 хв виїхав велосипедист, який зустрівся з першим автобусом о 9 год 45 хв, а з другим — о 10 год 15 хв. Знайдіть швидкості автобусів і велосипедиста, якщо відстань між Сонячним і Веселим становить 36 км. Нехай швидкість кожного з автобусів дорівнює х км/год, а велосипедиста — у км/год. Перший автобус до зустрічі з велосипедистом був у дорозі: 9 год 45 хв – 9 год 5 хв = 40 хв 2 = год, другий — 10 год 15 хв – 9 год 45 хв = 30 хв = 0,5 год. Перший автобус до зустрічі 3

2

з велосипедистом проїхав х км, а другий — 0,5x км. Велосипедист до зустрічі з першим 3

1

автобусом був у дорозі 9 год 45 хв – 9 год 30 хв = 15 хв = год, а до зустрічі з другим — 10 4

3

1

3

год 15 хв – 9 год 30 хв = 45 хв = год. За цей час він відповідно проїхав у км і у км.

4 4 4 Система рівнянь: 2

1

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 36ǀ ∙ 12,

8𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 432, 4 -2х – 3у = -144; 6х = 288; х = 48. � � 3 0,5𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 36ǀ ∙ (−4); −2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = −144; 3

4

З першого рівняння останньої системи отримаємо: 384 + 3у = 432; у = 16. Відповідь: 48 км/год, 48 км/год, 16 км/год.

1237. Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 9, причому цифра в розряді десятків більша за цифру в розряді одиниць. При діленні даного числа на різницю його цифр отримують неповну частку 14 і остачу 2. Знайдіть дане число. Нехай цифра в розряді десятків дорівнює х, а в розряді одиниць – у. Перше рівняння: х + у = 9. При діленні числа 10х + у на рівзницю його цифр: х – у отримаємо неповну частку 14 і остачу 2. Маємо друге рівняння: 10х + у = 14(х – у) + 2. Система рівнянь: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 9, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 9, � � 10𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 14(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) + 2; 10𝑥𝑥 − 14𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 14𝑦𝑦 = 2;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 9ǀ ∙ 4, 4𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 36, 19у = 38; у = 2. � −4𝑥𝑥 + 15𝑦𝑦 = 2; −4𝑥𝑥 + 15𝑦𝑦 = 2; З першого рівняння системи отримаємо: х + 2 = 9; х = 7. Відповідь: 72.

1238. Різниця цифр двоцифрового числа дорівнює 6, причому цифра в розряді десятків менша від цифри в розряді одиниць. Якщо ж поділити дане число на суму його цифр, то отримаємо неповну частку 3 й остачу 3. Знайдіть дане число. �

Нехай цифра в розряді десятків дорівнює х, а в розряді одиниць – у. Перше рівняння: у – х = 6. При діленні числа 10х + у на суму його цифр х + у отримаємо неповну частку 3 і остачу 3. Маємо друге рівняння: 10х + у = 3(х + у) + 3. Система рівнянь: 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 6, 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 6, −𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 6ǀ ∙ 2, −2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 12, � � � � 7𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 3; 10𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 3(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) + 3; 10𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥 = 3; 7𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 3; 5𝑥𝑥 = 15; 𝑥𝑥 = 3. З першого рівняння системи отримаємо: у – 3 = 6; у = 9. Відповідь: 39.

1239. В одному баку було 12 л води, а в другому — 32 л. Якщо перший бак долити доверху водою з другого бака, то другий бак залишиться наповненим на половину свого об’єму. Якщо другий бак долити доверху водою з першого, то перший бак залишиться наповненим на шосту частину свого об’єму. Знайдіть об’єм кожного бака. Нехай об’єм першого бака дорівнює х л , а другого — у л. В обох баках разом є 12 + 32 = 44 (л) води. Якщо перший бак долити доверху водою з другого бака, то другий бак залишиться наповненим на половину свого об’єму. Перше рівняння: х + 0,5у = 44. Якщо другий бак долити доверху водою з першого, то перший бак залишиться наповненим на 1 шосту частину свого об’єму. Друге рівняння: x + y = 44│∙6; x + 6y = 264. Система рівнянь: 6 𝑥𝑥 + 0,5𝑦𝑦 = 44, 𝑥𝑥 + 0,5𝑦𝑦 = 44, −5,5𝑦𝑦 = −220; 𝑦𝑦 = 40. � � 𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 264ǀ: (−1); −𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = −264; З першого рівняння системи отримаємо: х + 20 = 44; х = 24. Відповідь: 24 л, 40 л.

1240. У двох посудинах місткістю 40 л і 60 л була деяка кількість води. Якщо в меншу 5 посудину долити доверху води з більшої, то в більшій залишиться тієї кількості води, що 7 була в ній спочатку. Якщо ж у більшу посудину долити доверху води з меншої, то в меншій 5 залишиться тієї кількості води, що була в ній спочатку. Скільки літрів води було в 14 кожній посудині спочатку? Нехай у першій посудині спочатку було х л води, а у другій — у л. Якщо в посудину місткістю 40 л долити доверху води з іншої, тобто долити (40 – х)л, то в іншій залишиться 5 5 2 2 у л води, а з неї перелили у – y = у (л) води. Перше рівняння: 40 – х = у| ∙ 7; 280 – 7х = 7 7 7 7 2у. Якщо в посудину місткістю 60 л долити доверху води з іншої, тобто долити (60 – у) л, 5 5 9 то в іншій залишиться х л води, а з неї перелили х – х = х (л) води. Друге рівняння: 9

14

14

14

60 – у = х |∙ 14; 840 – 14у = 9x. Система рівнянь: 14 280 − 7𝑥𝑥 = 2𝑦𝑦, 7𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 280ǀ ∙ (−7), −49𝑥𝑥 − 14𝑦𝑦 = −1960, -40х = -1120; х = 28. � � � 840 − 14𝑦𝑦 = 9𝑥𝑥; 9𝑥𝑥 + 14𝑦𝑦 = 840; 9𝑥𝑥 + 14𝑦𝑦 = 840; З першого рівняння другої системи отримаємо: 196 + 2у = 280; 2у = 84; у = 42. Відповідь: 28 л, 42 л.

1241. Чи існує двоцифрове число, яке задовольняє таким умовам: цифра в розряді десятків цього числа на 2 більша за цифру в розряді його одиниць, а різниця між цим числом і  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

числом, записаним тими самими цифрами, але у зворотному порядку, дорівнює: 1) 20; 2) 18? Якщо таке число існує, знайдіть його.

1) Нехай цифра в розряді десятків дорівнює х, а в розряді одиниць – у. Тоді задане число дорівнює 10х + у, а число, записане тими ж цифрами, але у зворотному порядку, дорівнює 10у + х. Система рівнянь: 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2, 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2ǀ ∙ 9, 9𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 = 18, - система розв’язку не має. � � � (10𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) − (10𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) = 20; 9𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 = 20; 9𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 = 20; Відповідь: такого числа не існує; 2) Нехай цифра в розряді десятків дорівнює х, а в розряді одиниць – у. Тоді задане число дорівнює 10х + у, а число, записане тими ж цифрами, але у зворотньому порядку, дорівнює 10у + х. Система рівнянь: 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2, 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2, 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2, � � � (10𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) − (10𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) = 18; 9𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 = 18; 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2. Розв’язком системи є будь-яка пара цифр, перша з яких на 2 більша від другої. Відповідь: будь-яке двоцифрове число, перша цифра якого на 2 більша за другу.

1242. У рівності 4 (0,5x – 3) = 3x + * замініть зірочку таким виразом, щоб утворилося рівняння, яке: 1) не має коренів; 2) має безліч коренів; 3) має один корінь.

4(0,5х – 3) = 3х + *; 2х – 12 = 3х + *; –х = 12 + *.

1) Щоб утворилося рівняння, яке не має коренів, потрібно замінити зірочку, наприклад, виразом –х. Отримаємо рівняння: –х = 12 – х ; 0х = 12, яке не має коренів; 2) щоб утворилося рівняння, яке має безліч коренів, потрібно замінити зірочку виразом – х – 12. Отримаємо рівняння: –х = 12 – х – 12; 0х = 0, яке має безліч коренів; 3) щоб утворилося рівняння, яке має один корінь, потрібно замінити зірочку, наприклад, виразом 0. Отримаємо рівняння: –х = 12 + 0; х = –12, яке має один корінь.

1243. На рисунку зображено графік руху туристки від залізничної станції до туристичного табору. Користуючись графіком, визначте: 1) скільки кілометрів становить відстань від станції до табору та за скільки годин туристка подолала цю відстань; 18 км за 5 год.

2) на якій відстані від станції була туристка через 4 год після початку руху; 12 км.

3) через скільки годин після виходу зі станції туристка зробила першу зупинку та скільки вона тривала; через 1,5 год тривалістю 0,5 год.

4) з якою швидкістю туристка рухалася від станції до першої зупинки; υ = 6 : 1,5 = 4 км/год.

5) з якою швидкістю туристка рухалася від першої зупинки до другої. υ = 3 : 1 = 3 км/год.

1244. Побудуйте графік функції: 1) (2х – 1)(4х2 + 2х + 1) – 8х3 = 8х3 – 1 – 8х3 = -1. Будуємо графік функції у = -1; х у

0 -1

1 -1 shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

2) (х + 1)(х + 4) – (х + 3)2 = х2 + 4х + х + 4 – х2 – 6х – 9 = -х – 5. Будуємо графік функції у = -х – 5; х у

-2 -3

-3 -2 shkola.in.ua

3) (0,5х + 2)2 – (0,5х – 1)(0,5х + 1) = 0,25х2 + 2х + 4 – 0,25х2 + 1 = 2х + 5. Будуємо графік функції у = 2х + 5. х у

0 5

-1 3

1245. Побудуйте графік функції: 2𝑥𝑥 + 7, якщо 𝑥𝑥 < −2 𝑦𝑦 = �−1,5𝑥𝑥, якщо − 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1 𝑥𝑥 − 5, якщо 𝑥𝑥 > 2 у = 2х + 7 х -3 -2 у 1 3 у = -1,5х х 3 у -4,5 у=х–5 х 3 5 у -2 0

shkola.in.ua

shkola.in.ua

Використовуючи побудований графік, визначте, при яких значеннях а пряма у = а має із цим графіком рівно дві спільні точки. Пряма у = а має рівно 2 спільні точки при а = -3 і а = 3.

1246. Подайте вираз 12ab у вигляді різниці квадратів двох многочленів. Скільки розв’язків має задача?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

(а + 3b)2 – (a – 3b)2 = a2 + 6ab + 9b2 – a2 + 6ab – 9b2 = 12ab. Отже, 12ab = (а + 3b)2 – (а – 3b)2. Задача має безліч розв’язків.

1247. Доведіть, що при будь–якому цілому значенні a значення виразу (a – 3) (a2 – a + 2) – a (a – 2)2 + 2a ділиться націло на 3. (а – 3)(а2 – а + 2) – а(а – 2)2 + 2а = а3 – а2 + 2а – 3а2 + 3а – 6 – а(а2 – 4а + 4) + 2а = = а3 – 4а2 + 5а – 6 – а3 + 4а2 – 4а + 2а = За – 6 = 3(а – 2) — ділиться націло на 3.

1248. Доведіть тотожність (а – bс)2 – 2(b2с2 – а2) +(bс + а)2 = (а – bс)2 +2(а – bс)(а + bс) + (а + bс)2 = = (а – bс + а + bс)2 = (2а)2 = 4а2 — тотожність доведена.

1249. Розкладіть на множники вираз: 1) 4kn + 6аk + 6аn + 9а2 = 2k(2n + 3а) + 3а(2n + 3а) = (2n + 3а)(2k + 3а); 2) b6 – 4b4 + 12b2 – 9 = b6 – (4b – 12b2 + 9) = b6 – (2b2 – 3)2 = (b32b2 + 3)(b3 + 2b2 – 3); 3) у4(х2 + 8x + 16) – а8 = у4(х + 4)2 – а8 = (y2(х + 4) – a4)(y2(x + 4) + а4) = = (ху2 + 4у2 – а4)(ху2 + 4у2 + а4); 4) 9x2 – 6x – 35 = 9x2 + 15x – 21х – 35 = 3х(3х + 5) – 7(3x + 5) = (3х + 5)(3x – 7).

1250. Відомо, що x + y = a, xy = b, x2 + y2 = c. Знайдіть залежність між a, b і c. x2 + у2 = x2 + 2ху + у2 – 2ху = (х + у)2 – 2ху. Отже, х2 + у2 = (х + у)2 – 2ху. Якщо x + у = а, ху = b, х2 + у2 = с, то с = а2 – 2b.

1251. Точки A (2; 3) і B (5; a) належать прямій y = kx. Знайдіть значення a. Якщо точка А(2; 3) належить прямій у = kx, то: 3 = 2х; k = 1,5. Отже, рівняння прямої буде: у = 1,5x. Якщо точка В(5;а) належить прямій у = 1,5x, то: а = 1,5 ∙ 5 = 7,5. Отже, а = 7,5.

1252. Знайдіть такі значення x, при яких вираз (a – 1)2 + 4 (a – 1) – x можна було б розкласти на множники за формулою квадрата суми. (а – 1)2 + 4(а – 1) – x = (а – 1)2 + 2 ∙ 2 (a – 1) – x. Вираз (а – 1)2 + 2 ∙ 2 (а – 1) – x можна розкласти на множники за формулою квадрата суми, якщо: –x = 22; x = –4.

1253. Графіки функцій y = ax + 12 і y = (3 – a) x + a перетинаються в точці з абсцисою 2. Знайдіть ординату точки їхнього перетину. Якщо х = 2, то у = 2а + 12 і у = (3 – а) ∙ 2 + а. У точці перетину графіків функції мають рівні ординати, тому: 2а + 12 = (3 – а) ∙ 2 + а; 2а + 12 = 6 – 2а + а; 2а + 2а – а = 6 – 12; За = –6; а = –2. Ордината точки перетину графіків дорівнює: у = 2 ∙ (–2) + 12 = 8.

1254. Доведіть, що квадрат натурального числа має непарну кількість дільників. Якщо натуральне число n є дільником натурального числа а, то число а можна записати у вигляді добутку двох натуральних чисел: а = mn. З рівності а = mn слідує, що натуральне число m теж є дільником числа а. Кожен натуральний дільник п числа а породжує іншого дільника m цього числа, тобто дільники породжуються парами. Для квадрата натурального числа a2 в усіх випадках, крім одного, пари дільників складаються з різних чисел. Виняток складає випадок а2 = аа, де обидва множники рівні і тут породжується лише один дільник. Тому квадрат натурального числа має непарну кількість дільників. ЗАВДАННЯ № 7 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ 1. Яка з наведених пар чисел є розв’язком рівняння 5x + 3y = 4?

5х + Зу = 4; A(2; –2); 5 ∙ 2 + 3 ∙ (–2) = 10 – 6 = 4; 4 = 4. Відповідь: В).

2. Які координати точки перетину графіка рівняння 2x – 5y = 10 з віссю абсцис?

2x – 5у = 10, у = 0; 2х – 5 ∙ 0 = 10; 2х = 10; х = 5. Точка (5; 0). Відповідь: Г).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3. Розв’яжіть систему рівнянь: 5𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 11, 5𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 11, 5 ∙ 3 − 4𝑦𝑦 = 11, 4𝑦𝑦 = 4, 𝑥𝑥 = 3, � � � � � 2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 10; 𝑥𝑥 = 3; 𝑦𝑦 = 1.

7𝑥𝑥 = 21; 𝑥𝑥 = 3; Відповідь: А).

4. Розв’яжіть систему рівнянь: 15𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 7, 15𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 7, 19𝑥𝑥 = 19, 𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥 = 1, � � � � � � 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 6; 4𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 12; 4𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 12; 4 ∙ 1 − 2𝑦𝑦 = 12; −2𝑦𝑦 = 8; 𝑦𝑦 = −4. Відповідь: Б).

5. Нехай пара чисел (a; b) є розв’язком системи рівнянь. Знайдіть значення виразу а2 – b2. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1, 𝑥𝑥 = 2, 4𝑥𝑥 = 8, 𝑥𝑥 = 2, � � � � 3𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 7; 3𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 7; 3 ∙ 2 − 𝑦𝑦 = 7; 𝑦𝑦 = −1; (−2; −1). Тоді a2 – b2 = 22 – (-1)2 = 4 – 1 = 3. Відповідь: В).

6. При якому значення а система рівнянт не має розв’язків?

3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4, 3 1 4 1 = ≠ ; 𝑎𝑎 = − . � 1 −𝑎𝑎 −6 3 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 = −6; Відповідь: Г).

7. При якому значенні b ситема рівнянь має безліч ровз’язків?

4𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 10, 4 𝑏𝑏 10 = = ; 𝑏𝑏 = −6. � 2 −3 5 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 5; Відповідь: А).

8. Графік лінійної функції проходить через точки А(1; 4) і В(-2; 13). Задайте цю функцію формулою.

4 = 1 ∙ 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏, 4 = 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏, 4 = −3 + 𝑏𝑏, 𝑏𝑏 = 7, � � � � (−1); 13 = −2𝑘𝑘 + 𝑏𝑏; ǀ ∙ −9 = 3𝑘𝑘; 𝑘𝑘 = −3; 𝑘𝑘 = −3; y = -3x + 7. Відповідь: Б).

9. Мати й донька зліпили разом 208 вареників, причому донька працювала 2 год, а мати — 3 год. За 1 год мати робить на 16 вареників більше за доньку. Нехай донька за 1 год робить x вареників, а мати — y вареників. Яка з наведених систем рівнянь є математичною моделлю ситуації, описаної в умові? Відповідь: В).

10. Із двох міст, відстань між якими 60 км, виїхали одночасно вантажний і легковий автомобілі. Якщо вони рухатимуться назустріч один одному, то зустрінуться через 30 хв. Якщо вони рухатимуться в одному напрямі, то легковий автомобіль наздожене вантажний через 3 год після початку руху. Нехай швидкість вантажного автомобіля дорівнює x км/год, а легкового — y км/год. Яка з наведених систем рівнянь відповідає умові задачі? Відповідь: А).

11. Люстра та настільна лампа коштували разом 2000 грн. Після того як люстра подорожчала на 10 %, а настільна лампа подешевшала на 10 %, вони стали коштувати разом 2020 грн. Нехай люстра коштувала спочатку x грн, а настільна лампа — y грн. Яка з наведених систем рівнянь є математичною моделлю ситуації, описаної в умові задачі? Відповідь: Б).

12. Розв’яжіть рівняння x2 + y2 + 12x – 2y + 37 = 0. х2 + у2 + 12х – 2у + 37 = 0; (х2 + 12х + 36) + (у2 – 2у+ 1) = 0; (х + 6)2 + (у – 1)2 = 0; х = –6, у = 1; (–6; 1). Відповідь: Б).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ КУРСУ АЛГЕБРИ 7 КЛАСУ 1255. Заповніть таблицю: а -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3 2 а –а -12 -2 -0,375 0 -0,125 0 4 4 2 а +а 20 2 0,3125 0 0,3125 2 20 1256. Подайте у вигляді степеня вираз: 1) (a8)4 = а32; 2) a8a4 = а12; 3) а5а5 = а10; 4) (а5)5 = а25; 5) а2а3а4 = а9; 6) (а2)3а4 = а6а4 = а10; 7) а6а6а6 = а18; 8) (а6а6)6 = (а12)6 = a72; 9) (а6)6а6 = а36а6 = а42; 10) (а4)5 : a7 = a20 : а7 = а13; 12) (а8а7) : а14 = a15 : а14 = а.

11) (a2)9: (а6)3 = а18 : а18 = 1; 1257. При якому значенні x є правильною рівність: 2 1) 5x ∙ 57 = 524; 2) (3m)x = 35m; 3) 2х ∙ 2m = 26m; 4) (4x)3m = 46𝑚𝑚 ; х + 7 = 24; хm = 5m; х + m = 6m; 3хm = 6m2; x = 17; x = 5; х = 5m; х = 2m.

1258. Чи є тотожно рівними вирази: 1) –а2 і (–а)2 = а2. Вирази –а2 і а2 не є тотожно рівними; 2) (–а)3 = –а3. Вирази –а3 і (–а)3 є тотожно рівними; 3) (а3)2 = а6. Вирази (а3)2 і а5 не є тотожно рівними; 4) 9а ∙ а2 = 9а3; (3а)2 ∙ а = 9а2 ∙ а = 9а3. Вирази 9a ∙ а2 і (3а)2 ∙ а є тотожно рівними; 5) (а4)3 = а12; (а2)6 = а12. Вирази (а4)3 і (а2)6 є тотожно рівними; 6) (2а)3 ∙ (0,5а)2 = 8а3 ∙ 0,25а2 = 2а5; 2а4а = 2а5. Вирази (2а)3 ∙ (0,5а)2 і 2а4а2 є тотожно рівними.

1259. Подайте у вигляді степеня вираз та обчисліть його значення: 1) 81 ∙ 32 = 92 ∙ 9 = 93 = 729; 2) 43 ∙ 82 = (22)3 ∙ (23)2 = 26 ∙ 26 = 212 = 4096; 3) 1002 ∙ 10003 = (102)2 ∙(103)3 =104 ∙ 109 = 1013 = 10000000000000.

1260. Порівняйте значення виразів: 1) 155 ∙ 26 = 155 ∙ 25 ∙ 2; 25 ∙ 156 = 25 ∙ 155 ∙ 15. Отже, 155 ∙ 26 < 25 ∙ 156; 2) 25 ∙ 33 ∙ 54 = 24 ∙ 2 ∙ 33 ∙ 53 ∙ 5 = 10 ∙ 24 ∙ 33 ∙ 53; 24 ∙ 35 ∙ 53 = 24 ∙ 33 ∙ 9 ∙ 53 = 9 ∙ 24 ∙ 33 ∙ 53. Отже, 25 ∙ 33 ∙ 54 > 24 ∙ 35 ∙ 53.

1261. Порівняйте значення виразів: 1) 1020 = (102)10 = 10010. Отже, 1020 < 10110; 2) 1015 = (103)5 = 10005. Отже, 1015 < 99905.

1262. Спростіть вираз: 1) 4а ∙ (–3аb) = –12а2b; 2) –2m2 ∙ 0,1m4n ∙ (–5n3) = m6n4; 3) 0,3а2b4 ∙ 1,2а4b = 0,36а6b5; 4) –6х3у6 ∙ 1,5хy = –9х4y7; 2 9 5) –14b2с8d8 ∙ 1 b6d3 = –14b2c8d9 ∙ b6d3 = –18b8c8d12; 4 4

7

4 4

7

9

6) а с ∙ (–12а с ) ∙ 1,8а b = а с ∙ (–12а2с3) ∙ а4b5 = –9,6а10b5c4; 9 9 5 7) 3х6 ∙ (–4х2у)2 = 3х6 ∙ 16х4y2 = 48х10у2; 8) (–ху)3 ∙ (–2x2y2)4 = –х3у3 ∙ 16х8y8 = –16x11y11.

1263. Подайте даний одночлен A у вигляді Bn, де B — деякий одночлен, якщо: 1) А = a6b9 = (a2b3)3; 2) A = 32a10 = (2b2)5; 3) A = 81a2b4c8 = (9ab2c4)2; 4) A = –8a12b18 = (–2a4b6)3.

2 3

4 5

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1264. Спростіть вираз: 1) 4a3ab – 6a2b3b3 – 5ab ∙ 3a + 7a3b ∙ 0,2b4 = 4a4b – 6a2b6 – 15a2b + 1,4a3b5; 2) 11m2 ∙ 2mn – 9mn ∙ 6mn3 + 10mnm = 22m3n – 54m2n4 + 10m2n; 1 7 3) 8xx4x ∙ (– xy) + 18xy ∙ yx5 = –2x7y + 14x6y2; 4 9 4) 9x3xy2 – 8xy2y8 + 12x2y ∙ 4y – 0,4xy3 ∙ 6x3y2 = 9x4y2 – 8xy10 + 48x2y2 – 2,4x4y5.

1265. Знайдіть суму та різницю многочленів: 1 4 1) (2,8b – 0,75b2) + ( b2 – 1 b) = 2,8b – 0,75b2 + 0,25b2 – 1,8b = b – 0,5b2; 4 5 1 2 4 (2,8b – 0,75b ) – ( b – 1 b) = 2,8b – 0,75b2 – 0,25b2 + 1,8b = 4,6b – b2; 4 5 2 2 4 3 2 1 2 2 3 2 4 1 4+3 2 2

2) (1 x + 2 y) + (2 x – 1 y) = (1 x + 2 x ) + (2 y – 1 6y) = 3 2

7

4

9

3

14

1

6

2

7

3

14

4

9

1

6

(1 x2 + 2 y) – (2 x2 – 1 y) = (1 x2 – 2 x2) + (2 y + 1 y) = –(2 7

17

9

4

14

11

6

13

7

11

14

9

6

3

14

7

8−3

x +1 4

18

– 1 )x2 + (2 14

5

y = 4x2 + 1 y; 8

18

3

18

+ 1 )y = 18

= –(1 – 1 )x2 + 3 y = – x2 + 3 y.

14 14 18 14 18 1266. Доведіть, що значення виразу 3x2 −9x − (8 −5x2 − (9x − 8x2)) не залежить від значення змінної.

3х2 – 9х – (8 – 5x2 – (9х – 8x2)) = 3х2 – 9х – (8 – 5x2 – 9х + 8x2) = = 3х2 – 9х – 8 + 5x2 + 9х – 8х2 = –8 — не залежить від значення змінної.

1267. Який многочлен треба додати до многочлена a4 – b4 + a3 – b3 – 3ab, щоб їхня сума тотожно дорівнювала многочлену b4 + 2ab? Нехай шуканим многочленом є деякий многочлен М. Маємо: (а4 – b4 + а3 – b3 – 3аb) + М – b4 + 2аb; М = (b4 + 2аb) – (а4 – b4 +а3 – b3 – 3аb) = b4 + 2аb – а4 + b4 – а3 + b3 + 3аb = = 2b4 + 5аb – а4 – а3 + b3.

1268. Який многочлен треба відняти від многочлена 3c5 – 2c4 + 14c3 – 4c2 + c, щоб їхня різниця тотожно дорівнювала многочлену 5c3 + c2 – 7c? Нехай шуканим многочленом є деякий многочлен М. Маємо: (3с5 – 2с4 + 14с3 – 4с2 + с) – М = 5с3 + с2 – 7с; М = (3с5 – 2с4 + 14с3 – 4с2 + с) – (5с3 + с2 – 7с) = 3с5 – 2с4 + 14с3 – 4с2 + с – 5с3 – с2 + 7с = = 3с5 – 2с4 + 9с3 – 5с2 + 8с.

1269. Який многочлен треба додати до многочлена m3 – m2n + mn2 – n4, щоб їхня сума тотожно дорівнювала 5? Нехай шуканим многочленом є деякий многочлен М. Маємо: (m3 – m2n + mn2 – n4) + М = 5; М = 5 – (m3 – m2n + mn2 – n4) = 5 – m3 + m2n – mn2 + n4.

1270. Чи існують такі значення x і y, при яких многочлени –4x2 – 12xy + 7y2 і 6x2 + 12xy – 5y2 одночасно набувають від’ємних значень? Знайдемо суму заданих многочленів: (–4x2 – 12ху + 7у2) + (6х2 + 12ху – 5у2) = –4х2 – 12ху + 7у2 + 6х2 + 12ху – 5у2 = 2х2 + 2у2. Сума многочленів набуває лише невід’ємних значень, тому многочлени не можуть одночасно набувати від’ємних значень.

1271. Знайдіть значення виразу: 1) 2а(3а – 5) – 4а(4а – 5) = 6а2 – 10а – 16а2 + 20а = –10а2 + 10а = 10а(1 – а). Якщо а = –0,2, то: 10 ∙ (–0,2) ∙ (1 – (–0,2)) = –2 ∙ 1,2 = –2,4; 2) 7аb(2а – 3b) + 2а(3аb + 10b2) = 14а2b – 21аb2 + 6а2b + 20аb2 = 20а2b – ab2 = аb(20а – b). Якщо а = –3, b = 5, то: аb(20а – b) = (–3) ∙ 5 ∙ (20 ∙ (–3) – 5) = – 15 – (–60 – 5) = –15 ∙ (–65) = 975; 3) 2а4(3а2 + а – 8) – 6а6 = 6а6 + 2а5 – 16а4 – 6а6 = 2а5 – 16а4. Якщо а = –1, то: 2а5 – 16а4 = 2 ∙ (–1)5 – 16 ∙ (–1)4 = –2 – 16 = –18.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1272. Розв’яжіть рівняння: 3х−1 х 5−2х 1) – = │∙ 18; 6 3 9 3(3x – 1) – 6х = 2(5 – 2х); 9х – 3 – 6х = 10 – 4х; 9х – 6х + 4х = 10 + 3; 7x = 13; 13 х= .

7

Відповідь: х+5

1+х

13 7

;

2х+1

3х+1

5

3−2х

2) – = │∙ 12; 2 4 3 6(3х + 1) – 15х = 4(3 – 2х); 18 + 6 – 15х = 12 – 8х; 18х – 15х + 8х = 12 – 6; 11х = 6; 6 х= .

11

Відповідь: 2х

2х+1

6

;

11

3х−9

4) – = │∙ 12; 3) – = │∙ 24; 3 6 4 8 2 3 8х – 2(2х + 1) = 3(3х – 9); 3(x + 5) – 12(1 + х) = 8(2х + 1); 8х – 4х – 2 = 9х – 27; 3х + 15 – 12 – 12х = 16х + 8; 8х – 4х – 9х = –27 + 2; 3х – 12х – 16х = 8 – 15 + 12; –5х = –25; –25х = 5; х = 5. х = –0,2. Відповідь: 5; Відповідь: –0,2; 9х−7 9х+13 3−х 6х+7 5х−8 5) – = │∙ 8; 6) + = 3│∙ 18; 4 8 2 6 9 2(9х – 7) – (9х + 13) = 4(3 – х); 3(6х + 7) + 2(5х – 8) = 54; 18х – 14 — 9х — 13 = 12 – 4х; 18х + 21 + 10х – 16 = 54; 18х – 9х + 4х = 12 + 14 + 13; 18х + 10х = 54 – 21 + 16; 13х = 39; 28х = 49; х = 3. х = 1,75. Відповідь: 3; Відповідь: 1,75.

1273. Розв’яжіть рівняння: 1) 3х(4х – 1) – 6x(1,5 + 2х) = 4,8; 2) 0,2х(5х – 8) + 3,6 = х(х – 0,7); 2 2 12х –3х – 9х – 12х = 4,8; х2 – 1,6х + 3,6 = х2 – 0,7х; –12х = 4,8; –0,9х = –3,6; х = –0,4. х = 4. Відповідь: –0,4; Відповідь: 4; 3) х(9х – 4) – 3х(3х – 1) = 8 – х; 4) 18x2 – 6х(3х + 2) = –12х; 9x2 – 4х – 9х2 + 3х = 8 – х; 18х2 – 18х2 – 12х = –12х; –4х + 3х + х = 8; –12х + 12х = 0; 0х = 8.

0х = 0. Відповідь: Коренів немає; Відповідь: Будь-яке число.

1274. Доведіть тотожність: 1) –0,2x3(2,5х – 4)(6 – х2) = –0,2х3(15х – 2,5x3 – 24 + 4x2) = –3х4 + 0,5х6 + 4,8x3 – 0,8х5 = = 0,5х6 – 0,8х5 – 3х4 + 4,8х3 — тотожність доведена; 2) (а – 2)(a2 + 3а – 18) = (а – 2)((а2 – 3а) + (6а – 18)) = (а – 2)(а(а – 3) + 6(а – 3)) = = (а – 2)(a – 3)(a + 6) = (а – 3)((а – 2)(а + 6)) = (а – 3)(а2 + 6а – 2а – 12) = = (а – 3) (а2 + 4а – 12) — тотожність доведена.

1275. Яке число можна підставити замість a, щоб рівність була тотожністю?

(5х + а)(х – 2) = 5x2 – 10х + ах – 2а = 5х2 + (a – 10)х – 2а. Рівність 5x2 + (а – 10)х – 2а = 5x2 – 7х – 2а буде тотожністю, якщо: а – 10 = –7; а = 3.

1276. Яке число можна підставити замість b, щоб рівність була тотожністю?

(3х + b)(x + 3) = 3х2 + 9x + bx + 3b = 3х2 + (b + 9)x + 3b. Рівність 3x2 + (b + 9)x + 3b = 3x2 + 5x + 3b буде тотожністю, якщо: b + 9 = 5; b = –4.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1277. Розкладіть на множники: 1 1 1 1 1) a6 – a2b = a2( a4 – b); 2 4 4 4 2) 5m2n3k4 + 35m4n3k2 = 5m2n3k2 (k2 + 7m2); 3) x3y2z5 – 2xy5z3 + 3x2y3z = xy2z(x2z4 – 2y3z2 + 3xy); 4) a2nb3n – anb4n = anb3n(an – bn).

1278. Обчисліть, використовуючи винесення спільного множника за дужки, значення многочлена: 1) a2 + 4,72a – 32,8 = a(a + 4,72) – 32,8. Якщо a = 5,28, то: a(a + 4,72) – 32,8 = 5,28 ∙ (5,28 + 4,72) – 32,8 = = 5,28 ∙ 10 – 32,8 = 52,8 – 32,8 = 20; 2) 12,3x – 12,3y + 4,7 = 12,3(x – y) + 4,7. Якщо x = 8,14, y = 8,04, то: 12,3(x – y) + 4,7 = 12,3 ∙ (8,14 – 8,04) + 4,7 = = 12,3 ∙ 0,1 + 4,7 = 1,23 + 4,7 = 5,93.

1279. Обчисліть, використовуючи винесення спільного множника за дужки: 1) 2,49 ∙ 1,35 – 1,35 ∙ 1,84 + 1,352 = 1,35 ∙ (2,49 – 1,84 + 1,35) = 1,35 ∙ 2 = 2,7; 2) 0,252 ∙ 1,6 + 0,25 ∙ 1,62 – 0,25 ∙ 1,6 ∙ 0,85 = 0,25 ∙ 1,6 ∙ (0,25 + 1,6 – 0,85) = = 0,25 ∙ 1,6 ∙ 1 = 0,4; 3) 3,24 ∙ 18,7 – 3,24 ∙ 16,4 + 2,3 ∙ 6,76 = 3,24 ∙ (18,7 – 16,4) + 2,3 ∙ 6,76 = = 3,24 ∙ 2,3 + 2,3 ∙ 6,76 = 2,3 ∙ (3,24 + 6,76) = 2,3 ∙ 10 = 23; 4) 5,12 ∙ 9,76 + 5,12 ∙ 5,36 – 5,122 = 5,12 ∙ (9,76 + 5,36 – 5,12) = 5,12 ∙ 10 = 51,2.

1280. Доведіть, що значення виразу: 1) 173 + 172 – 17= 17 ∙ (172 + 17 – 1) = 17 ∙ (289 + 17 – 1) = 17 ∙ 305 = 17 ∙ 5 ∙ 61 — кратне 61; 2) 254 – 1252 = (52)4 – (53)2 = 58 – 56 = 56(52 – 1) = 56 ∙ 24 = 55 ∙ 5 ∙ 8 ∙ 3 = 55 ∙ 3 ∙ 40 — кратне 40; 3) 65 – 183 = 65 – 63 ∙ 33 = 63(62 – 33) = 63 ∙ (36 – 27) = 63 ∙ 9 — не кратне 42 = 6 ∙ 7; 4) 5 ∙ 2962 – 3 ∙ 2961 + 2960(5 ∙ 22 – 3 ∙ 2 + 1) = 2960(20 – 6 + 1) = 2960 ∙ 15 = 4 ∙ 2958 ∙ 15 = 60 ∙ 2958 — кратне 60.

1281. Доведіть, що число: 1) аbba ділиться націло на 11; 2) aaabbb ділиться націло на 37; 3) ababab ділиться націло на 7; 4) abab − baba ділиться націло на 9 і на 101.

1) abba = 1000а +100b +10b +а = 1001а + 110b = 11(91а + 10b) — ділиться націло на 11; 2) aaabbb = 1000aaa + bbb = 1000 ∙ 111 ∙ a + 111b = 111 ∙ (1000а + b) = 37 ∙ 3 ∙ (1000a + b) — ділиться націло на 37; 3) ababab = 10000ab +100ab + ab = ab ∙ (10000 + 100 + 1) = ab ∙ 10101 = ab ∙ 1443 ∙ 7 — ділиться націло на 7; 4) abab – baba = 100ab + ab – 100ba – ba = 101ab – 101ba = 101(ab – ba) = = 101(10a + b – 10b – a) = 101(9a – 9b) = 101 ∙ 9(a – b) — ділиться націло на 9 і на 101.

1282. При якому значенні a рівняння має безліч коренів? (х + 2)(х – 4) – (х – 2)(х + 4) = ах; х2 – 4х + 2х – 8 – (х2 + 4х – 2х – 8) = ах; х2 – 4х + 2x – 8 – x2 – 4x + 2x + 8 = ах; –4х = ах; ах + 4х = 0; (а + 4)х = 0 — рівняння має безліч коренів, якщо а = –4.

1283. При якому значенні a рівняння не має коренів?

(3х – 1)(х + а) – (3х – 2)(х + 1); 3х2 + 3ах – х – а = 3х2 + 3х – 2х – 2; 3х2 + 3ах – х – а – 3х2 – 3х + 2х + 2 = 0; 3ах – 2х – а + 2 = 0; (3а – 2)х = а – 2 — рівняння не 2 має коренів, якщо: 3a – 2 = 0; 3a = 2; a = .

3 1284. Розкладіть на множники: 1) хm – хm + уm – уn = х(m – n) + у(m – n) – (m – n)(х + у); 2) 3а – 3b + ас – bс =3(а – b) + с(а – b) – (а – b)(3 + с);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

3) 9а – ab – 9 + b – а(9 – b) – (9 – b) = (9 – b)(a – 1); 4) а5 + а3 + 2а2 + 2 = а3(а2 + 1) + 2(а2 + 1) = (а2 + 1)(а3 + 2); 5) 6аb2 – 3b2 + 2a2b – ab = 3b2(2a – 1) + ab(2a – 1) = (2а – 1)(3b2 + ab) = b(2а – 1)(3b + а); 6) 2с3 – 5с2d – 4с + 10d = с2(2с – 5d) – 2(2с – 5d) = (2с – 5d)(с2 – 2); 7) х3y2 – х + х2у3 – у = х3у2 + х2y3 – х – у = х2у2(х +у) – (х + у) = (х +у)(х2у2 – 1) = = (х + у)(ху – 1)(ху + 1).

1285. Обчисліть значення виразу: 1) 1,662 + 1,66 ∙ 4,68 + 2,342 = 1,662 + 2 ∙ 1,66 ∙ 2,34 + 2,342 = (1,66 + 2,34)2 = 42 = 16; 2) 1,042 – 1,04 ∙ 1,28 + 0,642 = 1,042 – 2 ∙ 1,04 ∙ 0,64 + 0,642 = (1,04 – 0,64)2 = 0,42 = 0,16.

1286. При яких значеннях a, b, c і d виконується рівність аb ∙ сd = аd ∙ сd? Якщо аb ∙ сd = аd ∙ сd, то: (10а + b)(10с + d) = (10а + d)(10с + b); 100ас + 10ad + 10bс + bd = 100aс + 10аb + 10сd + bd; 100ас + 10ad + 10bс + bd – 100ас – 10аb – 10сd – bd = 0; 10аd + 10bс – 10аb – 10сd = 0; 10(аd + bс – аb – сd) = 0; (d + b)(a – c) = 0; (аd – аb) + (bс – сd) = 0; а(d – b) – с(d – b) = 0; (d – b)(а – с) = 0. Отже, рівність аb ∙ сd = аd ∙ сb виконується, коли d = b або а = с.

1287. Спростіть вираз: 1) 6х2 + (2у – 3х)(2у + 3х) = 6х2 + 4у2 – 9х2 = 4у2 – 3х2; 2) (а + 2)(а – 3) – (4 – а)(а + 4) = а2 – 3а + 2а – 6 – (16 – а2) = а2 – а – 6 – 16 + а2 = = 2а2 – а – 22; 3) (5 – 2х)(5 + 2х) – (3 – 2х)(4– 2х) = 25 – 4х2 – 12 + 6х + 8х – 4х2 = –8х2 + 14х + 13; 4) (2аb + 1)(2аb – 1)(16а4b4 + 1)(4а2b2 + 1) = (4а2b2 – 1)(4а2b2 + 1) ∙ (16а4b4 + 1) = = (16а4b4 – 1)(16а4b4 + 1) = 256а8b8 – 1.

1288. Обчисліть значення добутку, використовуючи формулу (a − b)(a + b) = a2 − b2: 1) 19 ∙ 21 = (20 – 1) ∙ (20 + 1) = 202 – 1 = 400 – 1 = 399; 2) 98 ∙ 102 = (100 – 2) ∙ (100 + 2) = 1002 – 22 = 10000 – 4 = 9996; 2 1 1 1 1 1 8 3) 2 ∙ 3 = (3 – ) ∙ (3 + ) = 32 – ( )2 = 9 – = 8 ; 3 3 3 3 3 9 9 4) 7,9 ∙ 8,1 = (8 – 0,1) ∙ (8 + 0,1) = 82 – 0,12 = 64 – 0,01 = 63,99.

1289. Розв’яжіть рівняння: 1) 4х(7 + 9х) – (6х + 5)(6х – 5) = 39; 2) (х – 8)(х + 10) – (х + 7)(х – 7) = 5х – 31; 2 2 28х + 36х – 36х + 25 = 39; х2 + 10х – 8х – 80 – х2 + 49 = 5х – 31; 28х = 14; 2х – 31 = 5х – 31; х = 0,5.

2х – 5х = 0; Відповідь: 0,5; х = 0. Відповідь: 0.

1290. Доведіть, що значення виразу тотожно дорівнює нулю. (а + b – с)(а – b) + (b + с – а)(b – с) + (с + а – b)(с – а) = = а2 – аb + аb – b2 – ас + bс + b2 – bс – bc – c2 – ab + ас + c2 – ас + ас – а2 – bс + аb = 0.

1291. Знайдіть значення виразу: 1) 432 – 232 = (43 – 23)(43 + 23) = 20 ∙ 66 = 1320; 2) 2562 – 2442 = (256 – 244)(256 + 244) = 12 ∙ 500 = 6000; 3) 7,22 – 2,82 = (7,2 – 2,8)(7,2 + 2,8) = 4,4 ∙ 10 = 44.

1292. Обчисліть: 1) 2)

392 −332

=

24 2 −122 5,32 −1,72

2,652 −0,852

(39−33)(39+33)

=

6∙72

(24−12)(24+12) 12∙36 (5,3−1,7)(5,3+1,7)

=

(2,65−0,85)(2,65+0,85)

=

=

1∙6

= 1;

1∙6 3,6∙7

1,8∙3,5

=

2∙1

1∙0,5

= 4.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1293. Розв’яжіть рівняння: 1) 36х2 – (3х – 27)2 = 0; (6х – 3х + 27)(6х + 3х – 27) = 0; (3х + 27)(9х – 27) = 0; 3х + 27 = 0 або 9х – 27 = 0; 3х = –27 або 9х = 27; х = –9 або х = 3. Відповідь: –9; 3;

2) (4х – 7)2 – (2х + 17)2 = 0; (4х –7 – 2х –17)(4х – 7 + 2х + 17) = 0; (2х – 24)(6х + 10) = 0; 2х – 24 = 0 або 6х + 10 = 0; 2х = 24 або 6х = –10; 5 х – 12 або х = – .

3 5

Відповідь: 12; – .

3 1294. Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n значення виразу: 1) (4n + 19)2 – (3n – 5)2 = (4n + 19 – 3n + 5)(4n + 19 + 3n – 5) = = (n + 24)(7n + 14) = 7(n + 24)(n + 2) — ділиться націло на 7; 2) (2n + 5)2 – (2n – 3)2 = (2n + 5 – 2n + 3)(2n + 5 + 2n – 3) = 8(4n + 2) = = 16(2n + 1) — ділиться націло на 16.

1295. Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n значення виразу (n2 − 3n + 1)2 − n4 − 8n2 + 3n + 5 кратне 6. (n2 – 3n + 1)2 – n4 + 3n + 5 = (n2 – 3n + 1)(n2 – 3n + 1) – n4 + 3n + 5 = = n4 – 3n3 + n2 – 3n3 + 9n2 – 3n + n2 – 3n + 1 – n4 + 3n + 5 = –6n3 + 11n2 – 3n + 6. Не кратне 6, бо якщо, наприклад, n = 1, то –6n3 + 11n2 – 3n + 6 = –6 ∙ 13 + 11 ∙ 12 – 3 ∙ 1 + 6 = –6 + 11 – 3 + 6 = 8 — не кратне 6.

1296. Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n значення виразу 16n4 − (4n2 −2n −1)2 + 8n +1 кратне 4.

16n4 – (4n2 – 2n – 1)2 + 8n + 1 = 16n4 – (4n2 – 2n – 1)(4n2 – 2n – 1) + 8n + 1 = = 16n4 – (16n4 – 8n3 – 4n2 – 8n3 + 4n2 + 2n – 4n2 + 2n + 1) + 8n + 1 = = 16n4 – 16n4 + 8n3 + 4n2 + 8n3 – 4n2 – 2n + 4n2 – 2n – 1 + 8n + 1 = 16n3 + 4n2 + 4n = = 4(4n3 + n2 + n) — кратне 4.

1297. При якому значенні a рівняння (a – 3) (a + 5) x = a2 – 9: 1) має безліч коренів; 2) не має коренів; 3) має один корінь? (а – 3)(а + 5)x = а2 – 9; (а – 3)(а + 5)х = (а – 3)(а + 3).

1) Якщо а = 3, то рівняння: (а – 3)(а + 5)х = (а – 3)(a + 3); 0x = 0 — має безліч коренів; 2) якщо а = –5, то рівняння: (а – 3)(а + 5)х = (а – 3)(a + 3); 0х = 16 — не має коренів; 3) якщо а ≠ –5 і а ≠ 3, то рівняння: (а – 3)(a + 5)х = (а – 3)(а + 3) — має один корінь.

1298. Використовуючи формулу квадрата суми або формулу квадрата різниці, обчисліть: 1) 692 = (70 – 1)2 = 702 – 2 ∙ 70 ∙ 1 + 12 = 4900 – 140 + 1 = 4761; 2) 912 = (90 + 1)2 = 902 + 2 ∙ 90 ∙ 1 + 12 = 8100 + 180 + 1 = 8281; 3) 522 = (50 + 2)2 = 502 + 2 ∙ 50 ∙ 2 + 22 = 2500 + 200 + 4 = 2704; 4) 972 = (100 – 3)2 = 1002 – 2 ∙ 100 ∙ 3 + 32 = 10000–600 + 9 = 9409; 5) 2992 = (300 – 1)2 =3002 – 2 ∙ 300 ∙ 1 + 12 = 90000 – 600 + 1 = 89401; 6) 10,22 = (10 + 0,2)2 = 102 + 2 ∙ 10 ∙ 0,2 + 0,22 =100 + 4 + 0,04 = 104,04.

1299. На скільки значення виразу (3a2 – 2)2 – (3a2 –1)(3a2 + 1) + 12a2 більше за число 2?

(3а2 – 2)2 – (3а2 – 1)(3а2 + 1) + 12а2 – 2 = 9а4 – 12а2 + 4 – (9а4 – 1) + 12а2 – 2 = = 9а4 – 12а2 + 4 – 9а4 + 1 + 12а2 – 2 = 3.

3начення вира 3у (3а2 – 2)2 – (3а2 – 1)(3а2 + 1) + 12а2 більше 3а число 2 на 3.

1300. Доведіть, що не існує натурального значення n, при якому значення виразу (8n + 5)(2n + 1) – (4n + 1)2 ділилося б націло на 5.

(8n + 5)(2n + 1) – (4n + 1)2 = 16n2 + 8n + 10n + 5 – (16n2 + 8n + 1) = = 16n2 + 8n + 10n + 5 – 16n2 – 8n – 1 = 10n + 4.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Перший доданок 10n суми 10n + 4 ділиться націло на 5, а другий доданок 4 не ділиться націло на 5, тому сума 10n + 4 не ділиться націло на 5 ні при яких натуральних значеннях змінної.

1301. Чи існує таке натуральне значення n, при якому значення виразу (2n – 3)(2n + 3) – (n + 3)2 не ділилося б націло на 3?

(2n – 3)(2n + 3) – (n + 3)2 = 4n2 – 9 – (n2 + 6n + 9) = 4n2 – 9 – n2 – 6n – 9 = 3n2 – 6n – 18 = = 3(n2 – 2n – 6) — ділиться націло на 3 при всіх натуральних значеннях n.

1302. Розв’яжіть рівняння: 1) 3(х – 7)2 – 2(х + 7)(х – 2) = (х + 11)(х – 4) + 101; 3x2 – 42x + 147 – 2x2 + 4х – 14х + 28 = х2 – 4х + 11x – 44 + 101; 3х2 – 42х – 2х2 + 4х – 14х – х2 + 4х – 11х = –44 + 101 – 147 – 28; –59х = –118; х = 2. Відповідь: 2; 2) 2х (х + 3)2 – 3х(х – 1)(х + 8) = х2(–х – 9) + 21; 2х(х2 + 6х + 9) – 3х(х2 + 8х – х – 8) = –x3 – 9x2 + 21; 2х3 + 12х2 + 18х – 3х3 – 24х2 + 3х2 + 24х + х3 + 9x2 = 21; 42х = 21; х = 0,5. Відповідь: 0,5; 3) у(2у – 5)(2у + 5) – 4у(у + 6)2 = 13 – 48у2; у(4у2 – 25) – 4у(y2 + 12у + 36) + 48y2 = 13; 4y3 – 25у – 4y3 – 48y2 – 144у + 48y2 = 13; –169у = 13; 1 y=– .

13

1

Відповідь: – .

13 1303. Подайте у вигляді квадрата двочлена вираз: 1) (а + 4)2 – 2(а + 4) + 1 = ((а + 4) – 1)2 = (а + 3)2; 2) (3b + 2)2 + 4(3b + 2) + 4 = ((3b + 2) + 2)2 = (3b + 4)2; 3) (3у + 8)2 + (4у + 6)2 + 4у = 9y2 + 48у + 64 + 16y2 + 48у + 36 + 4у = = 25y2 + 100у + 100 = (5у+ 10)2; 4) (х – 5у)2 + (х + 12y)2 – х(х – 12у) = х2 – 10ху + 25y2 + х2 + 24ху + 144y2 – х2 + 12xу = = х2 + 26ху + 169y2 = (х + 13у)2.

1304. Суму якого одночлена та тричлена 4a2 – 6ab + 9b2 можна розкласти на множники за формулою квадрата двочлена? Знайдіть ще три таких одночлени. Шуканими одночленами можуть, наприклад, бути; –6аb + (4а2 – 6аb + 9b2) = 4а2 – 12аb + 9b2 = (2а – 3b)2; 18аb + (4а2 – 6аb + 9b2) = 4а2 + 12аb + 9b2 = (2а + 3b)2; –3а2 + (4а2 – 6аb + 9b2) = а2 – 6аb + 9b2 = (а – 3b)2.

1305. Доведіть, що не має коренів рівняння: 1) х2 – 8х + 18 = 0; (х2 – 8х + 16) + 2 = 0; (х – 4)2 + 2 = 0 — рівняння не має коренів; 1 1 1 3 2) x2 + x + 1 = 0; x2 + x + – + 1 = 0; (x + )2 + = 0 – рівняння не має коренів.

4 4 2 4 1306. Розкладіть на множники: 1 1 1 1) a8 – b6 = ( a4 – b3)( a4 + b3); 64 8 8 2) а3b6с9 + 8 = (аb2с3)3 + 23 = (аb2с3 + 2)(а2b4с6 – 2аb2с3 + 4); 3) х21y4 – m12n15 = (x7y8)3 – (m4n5)3 = (х7y8 – m4n5)(x14y16 + x7y8m4n5 + m8n10); 4) а6b6 + 1 = (а2b2)3 + 13 = (а2b2 + 1)(a4b4 – a2b2 + 1).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1307. На скільки значення виразу 27a3 + 4 – (9a2 – 3a + 1) (3a + 1) менше від числа 10?

10 – (27а3 + 4 – (9а2 – 3а + 1)(3а +1)) = 10 – 27а3 – 4 + (3а + 1)(9a2 – 3а + 1) = = 10 – 27а3 – 4 + 27а3 + 1 = 7. Відповідь: на 7.

1308. Розв’яжіть рівняння: 1) (х – 2)(x2 + 2х + 4) = х3 + 24х; 2) (3 – 2х)(9 + 6х + 4х2) – 2х(5 – 2х)(5 + 2х) = 7; х3 – 8 = х3 + 24х; (3 – 2х)(9 + 6х + 4x2) – 2х(25 – 4x2) = 7; 24х = –8; 27 – 8х3 – 50х + 8х3 = 7; 1 –50х = –20; х=– .

3 х = 0,4.

1 Відповідь: – . Відповідь: 0,4.

3 3 1309. Чи ділиться значення виразу 37 + 233 націло на 60?

373 + 233 = (37 + 23)(372 – 37 ∙ 23 + 232) = 60 ∙ (372 – 37 ∙ 23 + 32) — ділиться наділо на 60.

1310. Чи ділиться значення виразу 6543 – 5543 націло на 200?

6543 – 5543 = (654 – 554)(6542 + 654 ∙ 554 + 5542) = 100 ∙ (6542 – 654 ∙ 554 + 5542) — ділиться націло на 200, бо має множником число 100 і значення виразу в дужках— парне число.

1311. Розкладіть на множники: 1) (а – b)(a + b) – с(с – 2b) = a2 – b2 – с2 + 2bс = а2 – (b2 – 2bс + с2) = а2 – (b – с)2 = = (а – b + с)(а + b – c); 2) (b – с)(b + с) – а(а + 2с) = b2 – с2 – а2 – 2ас = b2 – (а2 + 2ас + с2) = b2 – (а + с)2 = = (b – а – с)(b + а + с).

1312. З поданих чотирьох виразів лише три можна розкласти на множники. Знайдіть ці вирази та розкладіть їх на множники: На множники можна розкласти такі три вирази: 1) 9mх – 6nх + 6mу – 4nу = 3х(3m – 2n) + 2y(3m – 2n) = (3m – 2n) (3х + 2у); 2) 36х2 – 24х + 4 – у2 = (6х – 2)2 – у2 = (6х – 2 – у)(6х – 2 + у); 4) 4а + 3 + а2 + 2b – b2 = (а2 + 4а + 4) – (b2 – 2b + 1) = (а + 2)2 – (b – 1)2 = = (а + 2 – b + 1)(а + 2 + b – 1) = (а – b + 3)(а + b + 1).

1313. Подайте у вигляді добутку чотирьох множників вираз, де n — натуральне число.

1) а5 – а4 – 16а + 16 = а4(а – 1) – 16(а – 1) = (а – 1)(а4 – 16) = (а – 1)(a2 – 4)(а2 + 4) = = (a – 1)(а – 2)(а + 2)(а2 + 4); 2) а2nb2n – b2n – а2n + 1 = b2n(а2n – 1) – (а2n – 1) = (а2n – 1)(b2n –1) = = (аn – 1)(аn + 1)(bn – 1)(bn + 1).

1314. Знайдіть значення виразу: 1) 1,872 – 1,132 + 6 ∙ 1,13 = (1,87 – 1,13)(1,87 + 1,13)+ 6 ∙ 1,13 = 0,74 ∙ 3 + 6 ∙ 1,13 = = 3 ∙ (0,74 + 2 ∙1,13) = 3 ∙ (0,74 + 2,26) = 3 ∙ 3 = 9; 2) 1,6283 – 1,2 ∙ 1,628 ∙ 1,228 – 1,2283 = (1,6283 – 1,2283) – 1,2 ∙ 1,628 ∙ 1,228 = = (1,628 – 1,228)(1,6282 + 1,628 ∙ 1,228 + 1,2282) – 1,2 ∙ 1,628 ∙ 1,228 = = 0,4 ∙ (1,6282 + 1,628 ∙ 1,228 + 1,2282) – 1,2 ∙ 1,628 ∙ 1,228 = = 0,4 ∙ (1,6282 + 1,628 ∙ 1,228 + 1,2282 – 3 ∙ 1,628 ∙ 1,228) = = 0,4 ∙ (1,6282 – 2 ∙ 1,628 ∙ 1,228 + 1,2282) = 0,4 ∙ (1,628 – 1,228)2 = = 0,4 ∙ 0,42 = 0,4 ∙ 0,16 = 0,064; 3) 0,793 + 3 ∙ 0,79 ∙ 0,21 + 0,213 = (0,793 + 0,213) + 3 ∙ 0,79 ∙ 0,21 = = (0,79 + 0,21)(0,792 – 0,79 ∙ 0,21 + 0,212) + 3 ∙ 0,79 ∙ 0,21 = = 1 ∙ (0,792 – 0,79 ∙ 0,21 + 0,212) + 3 ∙ 0,79 ∙ 0,21 = 0,792 + 2 ∙ 0,79 ∙ 0,21 + 0,212 = = (0,79 + 0,21)2 = 1.

1315. Доведіть, що значення виразу 1710 – 3 ∙ 724 + 3 ∙ 725 + 179 ділиться націло: 1) на 18; 2) на 36.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1) 1710 – 3 ∙ 724 + 3 ∙ 725 + 179 = (1710 + 179) + (3 – 725 – 3 ∙ 724) = 179(17 + 1) + 3 ∙ 724(7 – 1) = = 18 ∙ 179 + 18 ∙ 724 = 18 ∙ (179 + 724) — ділиться націло на 18; 2) 1710 – 3 ∙ 724 + 3 ∙ 725 + 179 = (1710 + 179) + (3 ∙ 725 – 3 ∙ 724) = 179(17 + 1) + 3 ∙ 724(7 – 1) = = 18 ∙ 179 + 18 ∙ 724 = 18 ∙ (179 + 724) — ділиться націло на 36, бо має множник 18 і значення виразу в дужках, як сума двох непарних чисел, є парним числом.

1316. Доведіть, що різниця куба натурального числа та самого цього числа ділиться націло на 6. n3 – n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1) = (n – 1)n(n + 1). Із трьох послідовних натуральних чисел n – 1, n і n + 1 одне завжди ділиться на 3 і одне парне, тому значення виразу (n – 1)n(n + 1) ділиться націло на 6.

1317. Доведіть, що сума добутку трьох послідовних натуральних чисел і середнього із цих чисел дорівнює кубу середнього числа. (n – 1)n(n + 1) + n = n(n – 1)(n + 1) + n = n(n2 – 1) + n = n3 – n + n = n3.

1318. Нехай x + y = a, xy = b. Доведіть, що: 1) x2 + y2 = a2 – 2b; 2) x3 + y3 = a3 – 3ab; 3) x4 + y4 = a4 – 4a2b + 2b2.

1) х2 + у2 = х2 + 2ху + у2 – 2ху = (х + у)2 – 2ху. Якщо х + у = а, ху = b, то (х + у)2 – 2ху = а2 – 2b; 2) х3 + у3 = (х + y)(x2 – ху + у2) = (х + у)(х2 + 2ху + у2 – 3ху) = (х + у)((х + у)2 – 3ху). Якщо х + у = а, ху = b, то (х + у)((х + у)2 – 3ху) = а(а2 – 3b) = а3 – 3аb; 3) х4 + y4 = ((х2)2 + 2х2y2 + (у2)2) – 2x2y2 = (х2 + y2)2 – 2х2y2 = (х2 + 2ху + у2 – 2ху)2 – 2x2y2 = = ((х + у)2 – 2ху)2 – 2(ху)2. Якщо х + у = а, ху = b, то ((х + у)2 – 2ху)2 – 2(ху)2 = (а2 – 2b)2 – 2b2 = а4 – 4a2b + 4b2 – 2b2 = = а4 – 4а2b + 2b2.

1319. Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n значення виразу n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 дорівнює квадрату деякого натурального числа. n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n(n + 3))((n + 1)(n + 2)) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 2n + n + 2) + 1 = = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2.

1320. Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n значення виразу n (n + 2) (n + 4) (n + 6) + 16 дорівнює квадрату деякого натурального числа. n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16 = (n(n + 6))((n + 2)(n + 4)) +16 = (n2 + 6n)(n2 + 4n + 2n + 8) + 16 = = (n2 + 6n)(n2 + 6n + 8) + 16 = (n2 + 6n)2 + 8(n2 + 6n) + 16 = (n2 + 6n + 4)2.

1321. Доведіть, що різниця між квадратом натурального числа, яке не кратне 3, і числом 1 кратна 3. Натуральне число x, яке не кратне 3 можна 3аписати х – 3n + 1 або х = 3n + 2. Якщо х = 3n + 1, то: (3n + 1)2 – 1 = 9n2 + 6n + 1 – 1 = 3(3n2 + 2n) — кратне 3. Якщо х = 3n + 2, то: (3n + 2)2 – 1 = 9n2 + 12n + 4 – 1 = 9n2 + 12n + 3 = 3(3n2 + 4n + 1) — кратне 3.

1322. Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n, яке не кратне 5, значення виразу n4 – 1 ділиться націло на 5. n4 – 1 = (n2 – 1)(n2 + 1) = (n – 1)(n + 1)(n2 + 1). Натуральне число и, яке не кратне 5 можна записати n = 5m ± 1 або n = 5m ± 2. Якщо n = 5m + 1, то для множника n – 1 матимемо: n – 1 = (5m + 1) – 1 = 5m — кратне 5. Отже, значення виразу (n – 1)(n + 1)(n2 + 1) кратне 5. Якщо b = 5m – 1, то для множника n + 1 матимемо: n + 1 = (5m – 1) + 1 = 5m — кратне 5. Отже, значення виразу (n – 1)(n + 1)(n2 + 1) кратне 5. Якщо n = 5m + 2, то для множника n2 + 1 матимемо: n2 + 1 = (5m + 2)2 + 1 = = 25m2 + 20m + 4 + 1 = 25m2 + 20m + 5 = 5(5m2 + 4m + 1) — кратне 5. Отже, значення виразу (n – 1)(n + 1)(n2 + 1) кратне 5.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Якщо n = 5m – 2, то для множника n2 + 1 матимемо: n2 + 1 = (5m – 2)2 + 1 = = 25m2 – 20m + 4 + 1 = 25m2 – 20m + 5 = 5(5m2 – 4m + 1) — кратне 5. Отже, значення виразу (n – 1)(n + 1)(n2 + 1) кратне 5.

1323. Чи можна стверджувати, що значення виразу n3 + 2n ділиться націло на 3 при будьякому натуральному значенні n? n3 + 2n = n(n2 + 2). Будь–яке натуральне число и можна записати n = 3m або n = 3m ± 1. Якщо n = 3m, то для множника n матимемо: n = 3m — кратне 3 і значення виразу n(n2 + 2) кратне 3. Якщо n = 3m + 1, то для множника n2 + 2 матимемо: n2 + 2 = (3m + 1)2 + 2 = 9m2 + 6m + 1 + 2 = 9m2 + 6m + 3 = 3(3m2 + 2m + 1) — кратне 3 і значення виразу n(n2 + 2) кратне 3. Якщо n = 3m – 1, то для множника n2 + 2 матимемо: n2 + 2 = (3m – 1)2 + 2 = 9m2 – 6m + 1 + 2 = 9m2 – 6m + 3 = 3(3m2 – 2m + 1) — кратне 3 і значення виразу n(n2 + 2) кратне 3. Отже, значення виразу n3 + 2n ділиться націло на 3 при будь-якому натуральному значенні n.

1324. Доведіть, що при будь-якому натуральному значенні n значення виразу n7 − n кратне 42. n7 – n = n(n6 – 1) = n(n3 – 1)(n3 + 1) = n(n – 1)(n2 + n + 1)(n + 1)(n2 – n + 1) = = (n – 1)n(n + 1)(n2 – n + 1)(n2 + n + 1). Із трьох послідовних натуральних чисел n – 1, n і n + 1 одне обов’язково ділиться на 2 і одне — на три. Тому значення виразу (n – 1)n(n + 1) (n2 – n + 1)(n2 + n + 1) при будь-якому натуральному значенні n ділиться на 2 ∙ 3 = 6. Залишилося показати, що воно ділиться на 42 : 6 = 7. Будь-яке натуральне число n можна записати n = 7m або n = 7m ± 1, або n = 7m ± 2, або n = 7m ± 3. Якщо n = 7m або n = 7m ± 1, то завжди один із множників n – 1, n або n + 1 буде кратним 7 (обґрунтування аналогічне №1323) і значення виразу (n – 1)n(n + 1)(n2 – n + 1)(n2 + n + 1) кратне 7. Якщо ж n = 7m ± 2, то завжди один із множників n2 – n + 1 або n2 + n + 1 буде кратним 7 (обґрунтування аналогічне №1323) і значення виразу (n – 1)n(n + 1)(n2 – n + 1)(n2 + n + 1) кратне 7. Подібним способом можна показати, що коли n = 7m ± 3, то один з виразів n2 – n + 1 або n2 + n + 1 ділиться на 7. Отже, значення виразу (n – 1)n(n + 1)(n2 – n + 1)(n2 + n + 1) кратне 42 при будь– якому натуральному значенні n.

1325. Дано функції. Порівняйте: −1−2 1) ƒ(2) = 22 – 2 ∙ 2 = 0; g(–1) = = 3; 0 < 3. −1 Отже, ƒ(2) < g(–1); 2−2 2) ƒ(0) = 02 – 2 ∙ 0 = 0; g(0) = = 0; 0 = 0.

2 Отже, ƒ(0) = g(2); 1−2 3) ƒ(1) = 12 – 2 ∙ 1 = –1; g(1) = = –1; –1 = –1.

1 Отже, ƒ(1) = g(1).

1326. Функцію задано таблично: Задайте цю функцію описом і формулою. Задамо функцію описом. Кожному із значень аргументу –3, –1, 1, 3, 5 відповідає значення функції на 2 менше від відповідного значення аргументу. Задамо функцію формулою. Для кожного із значень х; –3, –1, 1, 3, 5 справедлива формула у = х – 2.

1327. При всіх додатних значеннях аргументу значення функції ƒ дорівнює –1, при всіх від’ємних — дорівнює 1, а ƒ (0) = 0. Побудуйте графік функції ƒ.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

shkola.in.ua

1328. Знайдіть координати точки графіка функції y = 6x – 5: 1) абсциса й ордината якої рівні між собою; 2) сума координат якої дорівнює 30.

1) Якщо для деякої точки графіка функції у = 6х – 5 абсциса і ордината рівні між собою (х = у), то: х = 6х – 5; –5х = –5; х = 1. Отже, координати шуканої точки (1; 1); 2) якщо сума координат деякої точки графіка функції у = 6х – 5 дорівнює 30, то х + у = 30; х = 30 – у. З рівняння функції у = 6х – 5 для координат шуканої точки отримаємо: у = 6(30 – у) – 5; у = 180 – 6у – 5; 7у = 175; у = 25. Отже, х = 30 – 25 = 5 і координати шуканої точки (5; 25).

1329. При якому значенні a через точку M (3; –2) проходить графік функції: 1) Якщо графік функції у = ах – 8 проходить через точку М(3; –2), то: –2 = 3а – 8; 3а = 6; а = 2; 1 1 2) якщо графік функції у = х – а проходить через точку M(З; –2), то: –2 = ∙ 3 – а; а = 3.

3 3 1330. Чи є лінійною функція: 1) Перетворимо рівняння заданої функції: ƒ(x) = (x – 1)(x + 1) – х(х – 3); ƒ(x) = х2 – 1 – x2 + x; ƒ(x) = x – 1 – функція є лінійною. shkola.in.ua х 1 2 у 0 1

2) перетворимо рівняння заданої функції: ƒ(x) = (2х – 3)2 – (х + 4) (х – 2); ƒ(x) = 4х2 – 12x + 9 – x2 + 2x – 4x + 8; ƒ(x) = 3x2 – 14х + 17 — функція не є лінійною.

3) перетворимо рівняння заданої функції: ƒ(х) = (х + 3)2 – х(х + 6); ƒ(х) = х2 + 6х + 9 – х2 – 6х; ƒ(х) = 9 — функція є лінійною.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

х у

0 9

2 9

shkola.in.ua

1331. Графіки функцій y = (5 – a) x + a і y = ax + 2 перетинаються в точці, абсциса якої дорівнює –3. Знайдіть ординату цієї точки. Графіки функції y = (5 – a) x + a і y = ax + 2 перетинаюится в точці, координати якої задовольняють систему: 𝑦𝑦 = (5 − 𝑎𝑎)𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 � 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2. Оскільки абсциса цієї точки дорівнює -3, то отримаємо: 𝑦𝑦 = (5 − 𝑎𝑎) ∙ (−3) + 𝑎𝑎, 𝑦𝑦 = −15 + 3𝑎𝑎 + 𝑎𝑎, � � −𝑦𝑦 = 3𝑎𝑎 − 2. 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 ∙ (−3) + 2ǀ(−1); 17 Додамо почастинно ліві і праві частини рівнянь і отримаємо: 0 = -17 + 7а; а = .

7 З рівняння другої функції шукана ордината у точки перетин у дорівнює: 17 51 2 2 у = ∙ (−3) + 2 = − + 2 = −7 + 2 = −5 .

7 7 7 7 1332. Побудуйте графік функції y = 2x + 3. Користуючись графіком, знайдіть значення аргументу, при яких значення функції: 1) дорівнюють 5; 2) більші за 5; 3) менші від 5; 4) більші за –3, але менші від 7.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) значення функції дорівнює 5, якщо х = 1; 2) значення функції більше за 5, якщо х > 1; 3) значення функції менше від 5, якщо x < 1; 4) значення функції більше за –3, але менше від 7, якщо –3 < х < 2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1333. Не виконуючи побудови графіка функції y = 12x – 6, знайдіть координати: 1) точок перетину графіка з осями координат; 2) точки перетину графіка даної функції з графіком функції y = 6x + 24.

1) Якщо х = 0, то у = 12 ∙ 0 – 6 = -6. Отже, точка перетину графіка функції у = 12х – 6 з віссю ординат (0; -6). Якщо у = 0, то 0 = 12х – 6; х = 0,5. Отже, точка перетину графіка функції у = 12х – 6 з віссю абсцис (0,5; 0); 2) Координати точки перетину графіка даної функції з графіком функції у = 6х + 24 знайдемо з системи: 𝑦𝑦 = 12𝑥𝑥 − 6, 𝑦𝑦 = 12𝑥𝑥 − 6, 6𝑥𝑥 − 30 = 0; х = 5. � � 𝑦𝑦 = 6𝑥𝑥 + 24ǀ ∙ (−1); −𝑦𝑦 = −6𝑥𝑥 − 24; З першого рівняння системи отримаємо: у = 12 ∙ 5 – 6 = 54.

1334. Побудуйте графік функції: 1) у = ǀхǀ - 3. Якщо х < 0, то у = -х – 3, якщо ж х ≥ 0, то у = х – 3. у = -х – 3, х < 0; х -3 -1 у 0 -2 у = х – 3, х 0; х 0 3 shkola.in.ua у -3 0

2) у = ǀх - 3ǀ. Якщо х < 3, то у = -х + 3, якщо ж х ≥ 3, то у = х – 3. у = -х + 3, х < 3; х 0 2 у 3 1 у = х – 3, х 3; х 3 4 у 0 1

shkola.in.ua

1335. При якому значенні a пара (a; –a) є розв’язком рівняння: 1) Якщо пара (а; –а) є розв’язком рівняння 6х + 5у = 7, то: 6а + 5(–а) = 7; а = 7; 2) якщо пара (а; –а) є розв’язком рівняння 8х – 2у – 4, то: 8а – 2(–а) = 4; 10а = 4; а = 0,4; 3) якщо пара (а; –а) є розв’язком рівняння х2 – Зу = 0, то: а2 – 3(–а)= = 0; а2 + За = 0; а(а + 3) = 0; а = –3 або а – 0; 4) якщо пара (а; –а) є розв’язком рівняння х + |у| = –2, то: а + |–а|= = –2; а + |а| = –2. Нехай а < 0, тоді: а – а = –2; 0а = –2 — коренів немає. Нехай а ≥ 0, тоді: а + а = –2; 2а = –2; о = –1 — не задовольняє умову а > 0. Отже, пара (а; –а) не є розв’язком рівняння х + |у| = –2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1336. Побудуйте графік рівняння y + 1,5x = c, якщо він проходить через точку A (–2; 1). Якщо графік рівняння у + 1,5 х = с проходить через точку A(–2; 1), то: 1 + 1,5 ∙ (–2) = с; с = –2. Будуємо графік рівняння у + 1,5х = –2. х 0 -2 у -2 1 shkola.in.ua

1337. Складіть систему двох лінійних рівнянь із двома змінними, розв’язком якої є пара чисел: 1) (1; 1); 2) (–3; 5).

1) Система двох лінійних рівнянь з двома 2) Система двох лінійних рівнянь з двома змінними, розв’язком якої є пара чисел змінними, розв’язком якої є пара чисел (1; 1) може бути, наприклад, така: (-3; 5) може бути, наприклад, така: 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 1, 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = −11, � � 3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4; 3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = −4.

1338. Розв’яжіть систему рівнянь: 3𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = 1, 3𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = 1ǀ ∙ 5, 15𝑥𝑥 + 35𝑦𝑦 = 5, 1) � 53у = 53; у = 1. � � 6𝑦𝑦 − 5𝑥𝑥 = 16; −5𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 16ǀ ∙ 3; −15𝑥𝑥 + 18𝑦𝑦 = 48; З першого рівняння системи отримаємо: 3х + 7 = 1; х = -2. Відповідь: (-2; 1); 3𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 19ǀ ∙ (−2), −6𝑥𝑥 + 10𝑦𝑦 = −38, 2) � 19у = -38; у = -2. � 6𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = 0; 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 0ǀ ∙ 3; З першого рівняння системи отримаємо: 3х + 10 = 19; х = 3. Відповідь: (3; -2); 3(2𝑎𝑎 − 1) + 6(7 − 𝑏𝑏) = 51, 6𝑎𝑎 − 3 + 42 − 6𝑏𝑏 = 51, 3) � � 2(𝑎𝑎 + 6) − 7(1 + 6𝑏𝑏) = 49; 2𝑎𝑎 + 12 − 7 − 42𝑏𝑏 = 49; 6𝑎𝑎 − 6𝑏𝑏 = 12, 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 2, 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 2, 𝑎𝑎 = 1, � � � � 2𝑎𝑎 − 42𝑏𝑏 = 44; 𝑎𝑎 − 21𝑏𝑏 = 22; 20𝑏𝑏 = −20; 𝑏𝑏 = −1. Відповідь: (1; -1); 4) 3𝑥𝑥−2𝑦𝑦

−

4𝑥𝑥+5

= −5ǀ ∙ 12, 3(3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦) − 4(4𝑥𝑥 + 5) = −60, � + = 9ǀ ∙ 10; 5(6𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦) + 2(2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) = 90; 2 5 9𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 − 16𝑥𝑥 − 20 = −60, −7𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = −40ǀ ∙ (−23), 161𝑥𝑥 + 138𝑦𝑦 = 920, � � � 30𝑥𝑥 − 25𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 90; 204𝑥𝑥 − 138𝑦𝑦 = 540; 34𝑥𝑥 − 23𝑦𝑦 = 90ǀ ∙ 6; 365х = 1460; х = 4. З першого рівняння передостанньої системи отримаємо: -28 – 6у = 40; у = 2. Відповідь: (4; 2).

4 � 6𝑥𝑥−5𝑦𝑦

3 2𝑥𝑥+𝑦𝑦

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1339. При якому значенні a сума x + y набуває найменшого значення, якщо: 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 2𝑎𝑎2 − 12𝑎𝑎 + 8ǀ ∙ 2, 4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 4𝑎𝑎2 − 24𝑎𝑎 + 16, � � 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 3𝑎𝑎2 + 8𝑎𝑎 + 12ǀ ∙ 3; 9𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = 9𝑎𝑎2 + 24𝑎𝑎 + 36; 13х = 13а2 + 52; х = а2 + 4. З першого рівняння першої системи отримаємо: 2(а2 + 4) + 3у = 2а2 – 12а + 8; 3у = 2а2 – 12а + 8 – 2а2 – 8; 3у = -12а; у = -4а. Знайдемо суму х + у: х + у = а2 + 4 – 4а = (а – 2)2. Сума х + у набуває найменшого значення, якщо а = 2.

1340. При якому значенні a різниця x – y набуває найменшого значення, якщо: 𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 𝑎𝑎2 + 10𝑎𝑎 + 1, 𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 𝑎𝑎2 + 10𝑎𝑎 + 1, 21х = 21а2 + 21; х = а2 + 1. � � 2 2 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎 + 4ǀ ∙ 5; 20𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 20𝑎𝑎 − 10𝑎𝑎 + 20; З другого рівняння першої системи отримаємо: 4(а2 + 1) + у = 4а2 – 2а + 4; у = 4а2 – 2а + 4 – 4а2 – 4; у = -2а. Знайдемо різницю х – у: х – у = а2 + 1 + 2а = (а + 1)2. Різниця х – у набуває найменшого значення, якщо а = -1.

1341. Учні та учениці 7 класу зібралися на екскурсію. Якщо кожен з них здасть на екскурсію 12 грн 50 к., то для її оплати не вистачить 100 грн; якщо кожний внесе 16 грн, то утвориться надлишок у розмірі 12 грн. Скільки учнів та учениць у цьому класі? Нехай у класі х учнів, а на екскурсію потрібно у грн. Система рівнянь: 12,5𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 − 100ǀ(−1), −12,5𝑥𝑥 = −𝑦𝑦 + 100, 35х = 112; х = 32. � � 16𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 + 12; 16𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 + 12; Відповідь: у класі 32 учні.

1342. По колу, довжина якого дорівнює 100 м, рухаються два тіла. Коли вони рухаються в одному напрямі, то зустрічаються кожні 20 с. Коли вони рухаються в протилежних напрямах, то зустрічаються кожні 4 с. З якою швидкістю рухаються тіла? Нехай швидкість першого тіла х м/с, а швидкість другого – у м/с. Система рівнянь: 20𝑥𝑥 − 20𝑦𝑦 = 100, 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 5, 2𝑥𝑥 = 30; 𝑥𝑥 = 15. � � 4𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 100; 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 25; З першого рівняння системи отримаємо: 15 – у = 5; у = 10. Відповідь: 15 м/с, 10 м/с.

1343. Сплавили два злитки. Маса одного з них становила 105 г, і він містив 40 % міді. Маса другого злитка становила 75 г. Знайдіть відсотковий вміст міді в другому злитку, якщо отриманий сплав містить 50 % міді.

1) 105 + 75 =180 (г) — маса двох злитків; 2) 180 ∙ 0,5 = 90 (г) — маса міді в усьому сплавові; 3) 105 ∙ 0,4 = 42 (г) — маса міді в першому злиткові; 4) 90 – 42 = 48 (г) — маса міді в другому злиткові; 5) 48 : 75 = 0,64 = 64% — відсотковий вміст міді в другому злитку. Відповідь: 64%.

1344. Скільки грамів 4 %–го та скільки грамів 10 %–го розчинів солі треба взяти, щоб одержати 180 г 6 %–го розчину? Нехай треба взяти х г 4–відсоткового і у г 10–відсоткового розчинів. Перше рівняння: x + у = 180. У 4–відсотковому розчині буде 0,04х г солі, у 10–відсотковому — 0,1у г, а у 6– відсотковому — (0,04х + 0,1у) г. Друге рівняння: 0,04x + 0,1у = 0,06 ∙ 180. Система рівнянь: 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 180, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 180, 0,6х = 72; х = 120. � � 0,04𝑥𝑥 + 0,1𝑦𝑦 = 0,06 ∙ 180ǀ ∙ (−10); −0,4𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = −108; З першого рівняння системи отримаємо: 120 + у = 180; у = 6,. Відповідь: 120 г, 60 г.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

1345. У першому бідоні було молоко жирністю 3 %, а в другому — вершки жирністю 18 %. Скільки літрів молока та скільки літрів вершків треба взяти, щоб одержати 10 л молока жирністю 6 %? Нехай треба взяти х л 3–відсоткового молока і у л 18–відсоткових вершків. Перше рівняння: х + у= 10. У 3–відсотковому молоці буде 0,03х л жиру, у 18–відсоткових вершках — 0,18у л, а у 6–відсотковому молоці — (0,03х + 0,18y) л. Друге рівняння: 0,03х + 0,18у = 0,06 ∙ 10. Система рівнянь: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 10, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 10, -5х = -0; х = 2. � � 0,03𝑥𝑥 + 0,18𝑦𝑦 = 0,6ǀ: (−0,03); −𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = −20; З першого рівняння системи отримаємо: 2 + у = 10; у = 8. Відповідь: 2 л, 8 л.

1346. З одного поля зібрали по 40 ц ячменю з гектара, а з другого — по 35 ц з гектара. Усього було зібрано 2600 ц. Наступного року врожайність першого поля збільшилася на 10 %, другого — на 20 %. У результаті з двох полів разом було зібрано ячменю на 400 ц більше, ніж попереднього року. Знайдіть площу кожного поля. Нехай площа першого поля х га, а площа другого — у га. Тоді з першого поля зібрали 40х ц ячменю, а з другого — 35у ц. Перше рівняння: 40х + 35у = 2600. Наступного року з першого поля зібрали на 0,1 ∙ 40х = 4х (ц) ячменю більше, а з другого — на 0,2 ∙ 35у = 7у (ц) більше. Друге рівняння: 4х + 7у = 400. Система рівнянь: 40𝑥𝑥 + 35𝑦𝑦 = 2600ǀ: (−5), −8𝑥𝑥 − 7𝑦𝑦 = −520, -4х = -120; х = 30. � � 4𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = 400; 4𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = 400; З другого рівняння системи отримаємо: 120 + 7у = 400; 7у = 280; у = 40. Відповідь: 30 га, 40 га.

1347. З одного поля зібрали по 45 ц пшениці з гектара, а з другого — по 40 ц з гектара. Усього було зібрано 1900 ц. Наступного року внаслідок посухи врожайність першого поля зменшилася на 20 %, другого — на 15 %. У результаті з двох полів разом було зібрано пшениці на 330 ц менше, ніж попереднього року. Знайдіть площу кожного поля. Нехай площа першого поля х га, а площа другого — у га. Тоді з першого поля зібрали 45х ц пшениці, а з другого — 40у ц. Перше рівняння: 45х + 40у= 1900. Наступного року з першого поля зібрали на 0,2 ∙ 45х = 9х (ц) пшениці менше, а з другого — на 0,15 ∙ 40у = 6у (ц) менше. Друге рівняння: 9х + 6у = 330. Система рівнянь: 45𝑥𝑥 + 40𝑦𝑦 = 1900ǀ: (−5), −9𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 = −380, -2у = -50; у = 25. � � 9𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 330; 9𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 330; З другого рівняння системи отримаємо: 9х + 150 = 330; 9х = 180; х = 20. Відповідь: 20 га, 25 га.

1348. Половину цукерок розфасували в мішечки по 500 г у кожний, а другу половину — у менші мішечки по 300 г у кожний. Усього вийшло 32 мішечки. Якою є маса всіх цукерок? Нехай було х мішечків по 500 г у кожному і у мішечків по 300 г у кожному. Перше рівняння: х + у= 32. Друге рівняння: 500х = 300у. Система рівнянь: 3𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 96, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 32ǀ ∙ 3, 8х = 96; х = 12. � � 500𝑥𝑥 = 300𝑦𝑦ǀ: 100; 5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 0; З першого рівняння системи отримаємо: 12 + у = 32; у = 20. Усього було 12 ∙ 500 + 20 ∙ 300 = 6000 + 6000 = 12000 (г) = 12 (кг). Відповідь: 12 кг.

1349. Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 11. Якщо до цього числа додати 63, то отримаємо число, записане тими самими цифрами у зворотному порядку. Знайдіть дане число.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html

Нехай дане число дорівнює ху. Першу рівняння: х + у = 11. Згідно умови, ху + 63 – ух. Друге рівняння: 10х + у + 63 = 10у + х. Систем рівнянь: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 11, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 11, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 11, 2х + 4; х = 2. � � � 10𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 63 = 10𝑦𝑦 + 𝑥𝑥; 9𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 = −63ǀ: 9; 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = −7; З першого рівняння системи отримаємо: 2 + у = 11; у = 9. Відповідь: 29.

1350. До деякого двоцифрового числа ліворуч і праворуч дописали цифру 1. У результаті отримали число, яке у 21 раз більше за дане. Знайдіть дане двоцифрове число. Нехай дане число дорівнює ху. Згідно умови, ǀхуǀ = 21 ∙ ху; 1000 + 10 ∙ xу + 1 = 21 ∙ ху; 11 ∙ ху = 1001; ху =91. Відповідь: 91.

1351. Сума двох чисел дорівнює 28, а різниця їхніх квадратів становить 112. Знайдіть ці числа. Нехай більше число дорівнює х, а менше – у. Система рівнянь: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 28, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 28, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 28, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 28, 2х = 32; х = 16. � � � 2 � 2 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 112; (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) = 112; (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) ∙ 28 = 112; 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 4; З першого рівняння системи отримаємо: 16 + у = 28; у = 12. Відповідь: 16; 12.

1352. Розгадайте кросворд: По горизонталі: 5. Пропорційність. 6. Куб. 9. Визначення. 14. Функція. 15. Тотожність. 18. Многочлен. 20. Коефіцієнт. 21. Декарт. 23. Означення. 24. Хорезмі. По вертикалі: 1. Корінь. 2. Аргумент. 3. Групування. 4. Степінь. 7. Квадрат. 8. Пряма. 10. Графік. 11. Абсциса. 12. Ординат. 13. Основа. 16. Одночлен. 17. Алгоритм. 19. Показник.

22. Точка.

 shkola.in.ua