Issuu

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ГДЗ Геометрія 8 клас Бевз 2025 Вибери номер параграфа або завдання: §1 №1-44

§2 №45-109

§3 №110-185

Завдання на ст. 33-36

§4 №186-246

§5 №247-319

Завдання на ст. 54-55

§6 №320-382

§7 №383-454

Завдання на ст. 74-77

§8 №455-499

§9 №500-537

§10 №538-599

§11 №600-655

§12 №656-700

Завдання на ст. 126-129

§13 №701-780

§14 №781-818

§15 №819-880

§16 №881-934

Завдання на ст. 170-174

§17 №935-987

§18 №988-1021

§19 №1022-1071

Завдання §20 §21 на ст. 221№1072-1155 №1156-1225 225 © shkola.in.ua

Задачі Задачі для підвищеної повторення складності №1226-1325 №1326-1378

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

РОЗДІЛ 1. Чотирикутники §1. Загальні властивості чотирикутників 1. Три кути чотирикутника дорівнюють 50°, 60° і 100°. Знайди міру четвертого кута. У будь-якому чотирикутнику сума всіх внутрішніх кутів дорівнює 360°. Обчислимо суму відомих кутів: 50° + 60° + 100° = 210°. Тоді четвертий кут: 360° - 210° = 150°. Відповідь: 150°. 2. Чи існує чотирикутник, який має три кути по 120°? Сума внутрішніх кутів чотирикутника завжди дорівнює 360°. Якщо три кути по 120°, то їхня сума: 120° + 120° + 120° = 360°. Це означає, що для четвертого кута залишається: 360° - 360° = 0°. А кут у 0° неможливий у звичайному чотирикутнику. Висновок: такого чотирикутника не існує. 3. Чи існує чотирикутник, який має три тупі кути? Сума внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює 360°. Тупий кут — це кут більше ніж 90°. Нехай три кути тупі, тобто кожен > 90°. Тоді: Сума трьох тупих кутів > 3 ⨯ 90° = 270°. Отже, на четвертий кут залишиться: 360° - (сума трьох тупих кутів) < 90°. Це означає, що четвертий кут буде гострим (менше ніж 90°). Висновок: так, існує чотирикутник з трьома тупими кутами, але четвертий кут тоді обов’язково буде гострим. 4. Чи можуть усі кути чотирикутника бути гострими? Сума внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює 360°. Гострий кут — це кут менше ніж 90°. Якщо всі 4 кути гострі, то: Сума чотирьох кутів < 4 ⨯ 90° = 360°. Але сума кутів у чотирикутнику має бути рівно 360°, а не менше. Тому така ситуація неможлива. Висновок: усі кути чотирикутника не можуть бути гострими. 5. Які з наведених нижче предметів мають форму чотирикутника (мал. 1.9)?

Відповідь: б, г, д, е. 6. Знайди сторони чотирикутника, якщо кожна з них менша від його периметра на 6 см. Позначимо сторони чотирикутника a, b, c, d, периметр P = a + b + c + d. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

a = P - 6, b = P - 6, c = P - 6, d = P - 6. Складаємо всі сторони: a + b + c + d = 4(P - 6). Але ліва частина — це сам периметр P, тому: P = 4(P - 6). P = 4P - 24. 0 = 3P - 24 3P = 24 P = 8. Тоді кожна сторона: a = P - 6 = 8 - 6 = 2 (см). Отже, всі сторони по 2 см. Відповідь: чотирикутник зі сторонами по 2 см (квадрат). 7. Периметр чотирикутника дорівнює 20 м. Як він зміниться, якщо кожну сторону збільшити на 1 м? Чотирикутник має 4 сторони. Якщо кожну збільшити на 1 м, то загальне збільшення периметра буде: ∆P = 4 ⨯ 1 м = 4 (м). Новий периметр: P = 20 м + 4 м = 24 м. Відповідь: периметр стане 24 м (збільшиться на 4 м). 8. Периметр чотирикутника дорівнює 10 дм. Як він зміниться, якщо кожну сторону збільшити втричі? Нехай сторони — a, b, c, d, тоді: a + b + c + d = 10. Якщо кожну сторону збільшити в 3 рази, нові сторони будуть 3a, 3b, 3c, 3d. Новий периметр: P = 3a + 3b + 3c + 3d = 3(a + b + c + d) = 3 ⨯ 10 = 30 (дм). Відповідь: периметр стане 30 дм, тобто збільшиться в 3 рази. 9. Яку найбільшу кількість гострих кутів може мати опуклий чотирикутник? У чотирикутника сума кутів дорівнює 360°. Якщо всі чотири кути гострі, то сума буде менше ніж 360°, а це неможливо. Якщо три кути гострі, то залишок для четвертого буде більше 90°, тобто він буде тупим. Тому найбільше може бути три гострих кути. 10. Поміркуйте, чи в кожному чотирикутнику діагоналі перетинаються. Якщо чотирикутник опуклий, то його діагоналі завжди перетинаються.

Якщо чотирикутник неопуклий (вгнутий), одна діагональ може повністю лежати зовні, і вони не перетнуться.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Висновок: у кожному опуклому — так, але в загальному випадку для будь-якого чотирикутника — ні, не завжди. 11. Накресли чотирикутник 𝐴𝐵𝐶𝐾. Назви його протилежні сторони, протилежні вершини, протилежні кути. Протилежними сторонами даного чотирикутника є АВ і СК та ВС і АК; протилежними вершинами - А і С та В і К; протилежними кутами −∠A і ∠C та ∠B і ∠K.

12. Накресли чотирикутник 𝑀𝑁𝑃𝐾. Виміряй довжини його сторін і знайди периметр. P = 5 + 7 + 7 + 10 = 29 см.

Відповідь: периметр чотирикутника дорівнює 29 см. 13. Чи існує чотирикутник, у якого один із кутів дорівнює 60∘ , а кожний наступний на 20∘ більший від попереднього? Нехай кути чотирикутника позначимо як 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿, причому: 𝛼 = 60∘ ; 𝛽 = 𝛼 + 20∘ = 60∘ + 20∘ = 80∘ ; 𝛾 = 𝛽 + 20∘ = 80∘ + 20∘ = 100∘ ; 𝛿 = 𝛾 + 20∘ = 100∘ + 20∘ = 120∘ . Сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360∘ : 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝛿 = 60∘ + 80∘ + 100∘ + 120∘ = 360∘ Відповідь: Так, існує чотирикутник із заданими кутами. 14. Три кути чотирикутника дорівнюють 37∘ , 58∘ і 75∘ . Опуклим чи неопуклим буде цей чотирикутник? Сума кутів чотирикутника завжди дорівнює 360∘ . Знайдемо четвертий кут: 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝛿 = 360∘ ; 𝛿 = 360∘ − (37∘ + 58∘ + 75∘ ); 𝛿 = 360∘ − 170∘ = 190∘ . © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Чотирикутник буде опуклим, якщо всі його кути менші за 180∘ . Оскільки четвертий кут дорівнює 190∘ , він перевищує 180∘ , що робить чотирикутник неопуклим. Відповідь: цей чотирикутник 𝜖 неопуклим, оскільки один із його кутів більший за 180∘ . 15. Знайди кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам: а) 1, 2, 3, 4; б) 1, 2, 2, 13. Опуклим чи неопуклим буде чотирикутник? а) Нехай кути пропорційні числам 1, 2, 3, 4, тобто: 𝛼 = 𝑥, 𝛽 = 2𝑥, 𝛾 = 3𝑥, 𝛿 = 4𝑥. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360∘ : 𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 = 360∘ ; 10𝑥 = 360∘ ; 𝑥 = 36∘ . 𝛼 = 36∘ , 𝛽 = 72∘ , 𝛾 = 108∘ , 𝛿 = 144∘ ; Перевіримо, чи всі кути менші за 180∘ : 36∘ + 72∘ + 108∘ + 144∘ = 360∘ ; Усі кути менші за 180∘ , отже, чотирикутник опуклий. б) Нехай кути пропорційні числам 1, 2, 2, 13, тобто: 𝛼 = 𝑥, 𝛽 = 2𝑥, 𝛾 = 2𝑥, 𝛿 = 13𝑥. Сума кутів: 𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 + 13𝑥 − 360∘ ; 18𝑥 = 360∘ ; 𝑥 = 20∘ . 𝛼 = 20∘ , 𝛽 = 40∘ , 𝛾 = 40∘ , 𝛿 = 260∘ ; Оскільки один із кутів (260∘ ) перевищує 180∘ , такий чотирикутник неопуклий. Відповідь: a) Чотирикутник опуклий з кутами 36∘ , 72∘ , 108∘ і 144∘ . б) Чотирикутник неопуклий з кутами 20∘ , 40∘ , 40∘ і 260∘ . 16. Кути чотирикутника, взяті послідовно, пропорційні числам 3, 4, 5 і 6. Знайди кути чотирикутника. Чи має цей чотирикутник паралельні сторони? Нехай кути пропорційні числам 3, 4, 5, 6, тобто: 𝛼 = 3𝑥, 𝛽 = 4𝑥, 𝛾 = 5𝑥, 𝛿 = 6𝑥. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360∘ : 3𝑥 + 4𝑥 + 5𝑥 + 6𝑥 = 360∘ ; 18𝑥 = 360∘ ; 𝑥 = 20∘ . 𝛼 = 3 × 20∘ = 60∘ ; 𝛽 = 4 × 20∘ = 80∘ ; 𝛾 = 5 × 20∘ = 100∘ ; 𝛿 = 6 × 20∘ = 120∘ . Отже, кути чотирикутника: 60∘ , 80∘ , 100∘ , 120∘ . Для того щоб чотирикутник мав паралельні сторони, пари протилежних кутів повинні дорівнювати 180∘ (це ознака трапеції або паралелограма). Перевіримо: 60∘ + 100∘ = 160∘ ; 80∘ + 120∘ = 200∘ . Жодна пара протилежних кутів не дає в сумі 180∘ , отже, цей чотирикутник не має паралельних сторін. Відповідь: Кути чотирикутника: 60∘ , 80∘ , 100∘ , 120∘ . Цей чотирикутник не має паралельних сторін. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

17. Знайди сторони одного із чотирикутників на поверхні вази, якщо його периметр дорівнює 38 см, а сторони пропорційні числам 2, 3, 5 і 9. Сторони пропорційні числам 2, 3, 5, 9, тобто: 2𝑥 + 3𝑥 + 5𝑥 + 9𝑥 = 38; 19𝑥 = 38; 𝑥 = 2. 2𝑥 = 4 см; 3𝑥 = 6 см; 5𝑥 = 10 см; 9𝑥 = 18 см. Відповідь: Довжини сторін чотирикутника: 4 см, 6 см, 10 см, 18 см. 18. Знайди довжини сторін чотирикутника, якщо його периметр дорівнює 21 см, а одна зі сторін удвічі коротша від кожної з інших. Нехай довжини трьох сторін чотирикутника дорівнюють 𝑥, а четверта сторона удвічі 𝑥 коротша від кожної з них, тобто дорівнює . Периметр чотирикутника дорівнює 21 см: 2 𝑥 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + = 21; 2 7𝑥 = 21; 2 7𝑥 = 42; 𝑥 = 6. 𝑥 = 3 см; 2 𝑥 = 6 см; Відповідь: Довжини сторін чотирикутника: 3 см, 6 см, 6 см, 6 см. 19. Одна зі сторін чотирикутника вдвічі більша за кожну з інших сторін. Знайди сторони чотирикутника, якщо його периметр дорівнює 20 см. Нехай три сторони чотирикутника дорівнюють 𝑥, а четверта сторона удвічі більша за кожну з них, тобто 2𝑥. Периметр чотирикутника дорівнює 20 см: 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 = 20; 5𝑥 = 20; 𝑥 = 4. 2𝑥 = 8 см. Відповідь: Довжини сторін чотирикутника: 4 см, 4 см, 4 см, 8 см. 20. Find the lengths of the sides of a quadrilateral if its perimeter is 15 см and one of the sides is twice as long as each of the others. Нехай три сторони чотирикутника дорівнюють 𝑥 кожна, а четверта сторона удвічі більша за кожну з них, тобто 2𝑥. Периметр чотирикутника дорівнює 15 см: 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 = 15; 5𝑥 = 15; 𝑥 = 3. 2𝑥 = 6 см. Відповідь: Довжини сторін чотирикутника: 3 см, 3 см, 3 см, 6 см. 21. Чи існує чотирикутник зі сторонами 3 см, 5 см, 8 см і 16 см? Для існування чотирикутника сума довжин будь-яких трьох його сторін повинна бути більшою за довжину четвертої сторони. Перевіримо: 3 + 5 + 8 = 16; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

3 + 5 + 16 = 24 > 8; 3 + 8 + 16 = 27 > 5; 5 + 8 + 16 = 29 > 3. Оскільки в першому випадку сума трьох сторін дорівнює четвертій (3 + 5 + 8 = 16), такий чотирикутник не існує, бо нерівність повинна бути суворою. Відповідь: Чотирикутник зі сторонами 3 см, 5 см, 8 см і 16 см не існує. 22. Гра. Кожен із чотирьох учасників / учасниць називає довжину сторони чотирикутника, а перший / перша зазначає, чи існує такий чотирикутник. Потім гра починається знову з другого учасника.

Чотирикутник із такими сторонами існує, якщо найбільша сторона менша від суми трьох інших. Приклад ходу гри. Названо 3 см, 4 см, 5 см, 6 см: 6 < 3 + 4 + 5 = 12 — такий чотирикутник існує. Названо 2 см, 3 см, 4 см, 10 см: 10 > 2 + 3 + 4 = 9 — такого чотирикутника не існує. 23. Доведи, що довжина будь-якої сторони чотирикутника менша від суми довжин трьох інших його сторін. Для доведення використаємо нерівність для сторін чотирикутника, яка стверджує, що довжина будь-якої сторони менша за суму довжин трьох інших його сторін: 𝑎 < 𝑏 + 𝑐 + 𝑑; 𝑏 < 𝑎 + 𝑐 + 𝑑; 𝑐 < 𝑎 + 𝑏 + 𝑑; 𝑑 < 𝑎 + 𝑏 + 𝑐. Це випливає з того, що будь-які три сторони чотирикутника формують частину замкненої ламаної лінії, довжина якої завжди більша за довжину найкоротшої сторони, щоб утворити замкнену фігуру. Інакше неможливо з'єднати кінці цієї ламаної лінії, щоб утворити чотирикутник. Відповідь: Довжина будь-якої сторони чотирикутника менша за суму довжин трьох інших його сторін, що випливає з основної нерівності для замкнених багатокутників. 24. Знайди діагональ 𝐵𝐷 чотирикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷, якщо ∠𝐴 = 90∘ , ∠𝐴𝐷𝐵 = 30∘ i 𝐴𝐵 = 4 см. Трикутник 𝐴𝐵𝐷 є прямокутним, оскільки ∠𝐴 = 90∘ . Відомо, що: 𝐴𝐵 = 4 см; ∠𝐴𝐷𝐵 = 30∘ . У прямокутному трикутнику, де один із кутів дорівнює 30∘ , катет, прилеглий до цього кута, дорівнює половині гіпотенузи. Позначимо 𝐵𝐷 = 𝑥. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Тоді:

𝑥 ; 2 Підставимо значення 𝐴𝐵 = 4 см: 𝑥 4= ; 2 𝑥 = 8 см. Відповідь: Діагональ 𝐵𝐷 чотирикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 дорівнює 8 см. 25. Чи існують чотирикутники з такими даними, як на малюнку? Якщо ні, то як змінити сторони і кути, щоб чотирикутник існував? 𝐴𝐵 =

а): чотирикутник ABCD не існує тому, що AB = BC + CD + AD. Він буде мати місце, якщо зменшити довжину його сторони AB , або незначною мірою збільшити хоча б одну з трьох інших його сторін. б, в): чотирикутники PMNK і EFLT не існують, бо сума їх внутрішніх кутів перевищує 360∘ . Щоб ці чотирикутники існували, потрібно так змінити міру їх внутрішніх кутів, щоб їх сума складала 360∘ . г): кожна з сторін чотирикутника HOXG має довжину меншу від суми довжин трьох інших його сторін, тому такий чотирикутник існує. 26. Знайди довжину планки 𝐴𝐶 повітряного змія 𝐴𝐵𝐶𝐷, якщо його периметр дорівнює 26 дм, а периметри трикутників 𝐴𝐵𝐶 і 𝐴𝐷𝐶 дорівнюють відповідно 17 дм і 25 дм. Периметр чотирикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 дорівнюе 26 дм, а периметри трикутників: 𝐴𝐵𝐶 = 17 дм; 𝐴𝐷𝐶 = 25 дм. Позначимо сторони: 𝐴𝐵 − 𝑎; 𝐵𝐶 = 𝑏; 𝐶𝐷 = 𝑐;𝐷𝐴 = 𝑑; 𝐴𝐶 = 𝑥 (шукана довжина планки). Периметр чотирикутника: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 26 дм; Периметри трикутників: 𝑎 + 𝑏 + 𝑥 = 17 дм; 𝑑 + 𝑐 + 𝑥 = 25 дм. Додаємо ці два рівняння: (𝑎 + 𝑏 + 𝑥) + (𝑑 + 𝑐 + 𝑥) = 17 + 25 = 42; 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 2𝑥 = 42. Підставимо периметр чотирикутника: 26 + 2𝑥 = 42; 2𝑥 = 42 − 26; 2𝑥 = 16; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

𝑥 = 8 дм. Відповідь: Довжина планки 𝐴𝐶 повітряного змія дорівнює 8 дм. 27. Знайди довжину діагоналі чотирикутника, якщо його периметр дорівнює 𝑐, а периметри трикутників, на які ця діагональ ділить даний чотирикутник, дорівнюють 𝑎 і 𝑏. Позначимо: 1. периметр чотирикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑐; 2. периметри трикутників, на які ділить чотирикутник 3. діагональ, −𝑎 i 𝑏; довжина діагоналі −𝑑. Сума периметрів двох трикутників, утворених діагоналлю, включає всі сторони чотирикутника і двічі діагональ: 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 2𝑑; 2𝑑 = 𝑎 + 𝑏 − 𝑐; 𝑎+𝑏−𝑐 𝑑= . 2 𝑎+𝑏−𝑐 Відповідь: Довжина діагоналі чотирикутника дорівнює . 2 28. Знайди кути чотирикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷, якщо 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐴 = 𝐶𝐴 = 𝑎. Якщо 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐴 = 𝐶𝐴 = 𝑎, то цей чотирикутник 𝜖 рівностороннім. Це означає, що всі його сторони рівні, але умова 𝐶𝐴 = 𝑎 вказує, що 𝐴𝐵𝐶𝐷 має бути ромбом (оскільки всі сторони рівні і кожна сторона з'єднується з іншою). Для ромба: - протилежні кути рівні, - діагоналі перпендикулярні і ділять кути навпіл. Нехай: ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐶𝐷𝐴 = 𝑥; ∠𝐵𝐶𝐷 = ∠𝐷𝐴𝐵 = 𝑦. Сума всіх кутів чотирикутника: 2𝑥 + 2𝑦 = 360∘ ; 𝑥 + 𝑦 = 180∘ . Оскільки діагоналі ромба ділять його на чотири рівних прямокутних трикутники, кожен із кутів поділяється навпіл: 𝑥 = 𝑦 = 90∘ Відповідь: Кожен кут ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 дорівнює 90∘ . 29. Усі сторони чотирикутника рівні. Доведи, що його протилежні кути рівні. Нехай у чотирикутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷 усі сторони рівні. Проведемо діагоналі 𝐴𝐶 і 𝐵𝐷, які перетинаються в точці 𝑂. Розглянемо трикутники △ 𝐴𝐵𝑂 і △ 𝐶𝐷𝑂: 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, 𝐴𝑂 = 𝐶𝑂, 𝐵𝑂 = 𝐷𝑂 ⇒△ 𝐴𝐵𝑂 ≅△ 𝐶𝐷𝑂 (за трьома сторонами) ⇒ ∠𝐴 = ∠𝐶. Аналогічно △ 𝐴𝐷𝑂 ≅△ 𝐵𝐶𝑂 ⇒ ∠𝐷 = ∠𝐵. Відповідь: ∠𝐴 = ∠𝐶, ∠𝐵 = ∠𝐷. 30. Три кути чотирикутника прямі. Доведи, що і четвертий його кут прямий. Сума внутрішніх кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360∘ . Якщо три кути прямі, тобто по 90∘ , то їх сума: 90∘ + 90∘ + 90∘ = 270∘ ; Отже, четвертий кут: 360∘ − 270∘ = 90∘ . Відповідь: Четвертий кут прямий. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

31. Зовнішні кути опуклого чотирикутника пропорційні числам 7, 8, 9 і 12. Знайди міри його внутрішніх кутів. Сума всіх зовнішніх кутів опуклого чотирикутника завжди дорівнює 360∘ . Нехай зовнішні куть пропорційні числам 7, 8, 9, 12. Позначимо загальний множник як 𝑥, тоді: 7𝑥 + 8𝑥 + 9𝑥 + 12𝑥 = 360∘ ; 36𝑥 = 360∘ ; 𝑥 = 10∘ . 7𝑥 = 70∘ ; 8𝑥 = 80∘ ; 9𝑥 = 90∘ ; 12𝑥 = 120∘. Внутрішній кут суміжний із зовнішнім, тому: 180∘ − 70∘ = 110∘ ; 180∘ − 80∘ = 100∘ ; 180∘ − 90∘ = 90∘ ; 180∘ − 120∘ = 60∘ . Відповідь: Внутрішні кути чотирикутника дорівнюють 110∘ , 100∘ , 90∘ і 60∘ . 32. Один із зовнішніх кутів опуклого чотирикутника на 20∘ менший від другого, на 30∘ менший від третього і на 50∘ більший за четвертий. Знайди міри його зовнішніх і внутрішніх кутів. Нехай один із зовнішніх кутів −𝑥. Тоді інші виразимо через 𝑥: - другий: 𝑥 + 20 ∘ ; - третій: 𝑥 + 30∘ ; - четвертий: 𝑥 − 50∘ . Сума зовнішніх кутів опуклого чотирикутника завжди дорівнює 360∘ , отже: 𝑥 + (𝑥 + 20∘ ) + (𝑥 + 30∘ ) + (𝑥 − 50∘ ) = 360∘ ; 4𝑥 + 0 = 360∘ ⇒ 𝑥 = 90∘ . Тоді: 1 − й кут: 90∘ ; 2-й кут: 110∘ ; 3-й кут: 120∘ ; 4-й кут: 40∘ . Внутрішні кути - доповнення до 180∘ , тому: 1-й: 180∘ − 90∘ = 90∘ ; 2-й: 70∘ ; З-й: 60∘ ; 4 − й: 140∘ . Відповідь: Зовнішні кути: 90∘ , 110∘ , 120∘ , 40∘ ; Внутрішні кути: 90∘ , 70∘ , 60∘ , 140∘ . 33. У трикутнику 𝑀𝑁𝐾∠𝑀 = 44∘ , а ∠𝑁 = 56∘ . Бісектриси 𝑁𝐸 і 𝑀𝑃 цього трикутника перетинаються в точці 𝑂. Установіть відповідність між кутами (1-4) утвореного чотирикутника 𝐸𝑂𝑃𝐾 і кутами, визначеними умовами (А-Д). 𝟏. ∠𝐸𝑂𝑃 𝟐. ∠𝑂𝑃𝐾 𝟑. ∠𝑃𝐾𝐸 𝟒. ∠𝐾𝐸𝑂 © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

А. Більший кут рівнобедреного трикутника, у якого Б. Кут, суміжний з кутом 50∘ В. Менший кут чотирикутника, у якого три кути рівні між собою, а четвертий на 16∘ менший від кожного з них Г. Зовнішній кут рівностороннього трикутника Д Найменший кут чотирикутника, кути якого пропорційні числам 4,5,5 і 6 1. Б; 2. А; 3. Г; 4. В. 34. У чотирикутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷 сторона 𝐵𝐶 на 1 см , а сторона 𝐴𝐷 на 6 см більша за 𝐴𝐵. Знайди периметр чотирикутника, якщо довжина сторони 𝐶𝐷 є середнім арифметичним сторін 𝐴𝐵 та 𝐴𝐷 і 𝐶𝐷 = 5 см. Нехай 𝐴𝐵 = 𝑥 Toдi: 𝐵𝐶 = 𝑥 + 1; 𝐴𝐷 = 𝑥 + 6; 𝐶𝐷 = 5 (за умовою). Також відомо, що: 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 𝑥 + (𝑥 + 6) 2𝑥 + 6 𝐶𝐷 = ⇒5= ⇒5= ⇒ 10 = 2𝑥 + 6 ⇒ 2𝑥 = 4 ⇒ 𝑥 = 2. 2 2 2 Toдi: 𝐴𝐵 = 2; 𝐵𝐶 = 3; 𝐴𝐷 = 8; 𝐶𝐷 = 5. Периметр: 𝑃 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝐴 = 2 + 3 + 5 + 8 = 18 см; Відповідь: 18 см. 35. Одна зі сторін чотирикутника дорівнює середньому арифметичному трьох інших сторін, які пропорційні числам 2, 3 і 6. Знайди сторони чотирикутника, якщо його периметр дорівнює 44 см. Доведи, що такий чотирикутник існує. Нехай три сторони чотирикутника пропорційні 2𝑥, 3𝑥, 6𝑥, а четверта - їх середнє арифметичне: 2𝑥 + 3𝑥 + 6𝑥 11𝑥 четверта сторона = = ; 3 3 Периметр чотирикутника: 11𝑥 11𝑥 33𝑥 + 11𝑥 44𝑥 2𝑥 + 3𝑥 + 6𝑥 + = 11𝑥 + = = ; 3 3 3 3 За умовою: 44𝑥 = 44 ⇒ 𝑥 = 3; 3 Знаходимо сторони: 2𝑥 = 6; 3𝑥 = 9; 6𝑥 = 18; 11𝑥 33 = = 11. 3 3 36. У чотирикутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶‖𝐴𝐷, ∠𝐴 = 50∘ , ∠𝐴𝐷𝐵 = 70∘ , ∠𝐵𝐷𝐶 = 60∘ . Доведіть, що 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷 і 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

У чотирикутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷 відомо: 𝐵𝐶‖𝐴𝐷, ∠𝐴 = 50∘ , ∠𝐴𝐷𝐵 = 70∘ , ∠𝐵𝐷𝐶 = 60∘ . Обчислимо кут 𝐷: ∠𝐷 = ∠𝐴𝐷𝐵 + ∠𝐵𝐷𝐶 = 70∘ + 60∘ = 130∘ . Оскільки ∠𝐴 + ∠𝐷 = 50∘ + 130∘ = 180∘ , то 𝐵𝐶‖𝐴𝐷 - умова виконується, і чотирикутник є трапецією з паралельними сторонами 𝐴𝐷 і 𝐵𝐶. У трикутнику 𝐴𝐵𝐷 : ∠𝐴 = 50∘ , ∠𝐴𝐷𝐵 = 70∘, тому третій кут ∠𝐴𝐵𝐷 = 60∘ . У трикутнику 𝐶𝐷𝐵 : ∠𝐵𝐷𝐶 = 60∘ , ∠𝐷𝐶𝐵 = 50∘ , отже третій кут теж 70∘ . Тобто трикутники 𝐴𝐵𝐷 і 𝐶𝐷𝐵 мають рівні кути та спільну сторону 𝐵𝐷, отже рівні за першою ознакою рівності трикутників. Із рівності випливає, що відповідні сторони рівні: 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶. Відповідь: 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷, 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷. 37. У чотирикутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 і ∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐶𝐷𝐴. Доведи, що діагоналі чотирикутника рівні. У чотирикутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷 відомо, що 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 і ∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐶𝐷𝐴. Розглянемо трикутники 𝐴𝐵𝐷 і 𝐶𝐷𝐴. Вони мають спільну сторону 𝐴𝐷, по одній стороні 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 та по одному прилеглому куту ∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐶𝐷𝐴. Отже, трикутники 𝐴𝐵𝐷 і 𝐶𝐷𝐴 рівні за двома сторонами і кутом між ними. Із рівності трикутників випливає рівність відповідних сторін: 𝐵𝐷 = 𝐴𝐶, тобто діагоналі чотирикутника рівні. Відповідь: 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷. Діагоналі чотирикутника рівні. 38. У чотирикутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 і ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐷𝐶𝐴. Доведи, що протилежні сторони чотирикутника паралельні. Дано: у чотирикутнику ABCD сторони AB = CD і ∠BAC = ∠DCA Довести: AB‖CD i AD‖BC Доведення: 1. Розглянемо трикутники △ ABC і △ CDA. 2. У цих трикутниках: AB = CD (за умовою); ∠BAC = ∠DCA (за умовою); Спільна сторона: AC = AC. 3. Отже, за двома сторонами і кутом між ними ΔABC в ΔDCA (за 2 -ою ознакою рівності трикутників). 4. Із рівності трикутників випливає, що ∠ABC = ∠CDAі∠BCA = ∠DAB. 5. Оскільки ці пари кутів - спряжені внутрішні кути при прямих AB і CD, а також AD і BC , то з рівності цих кутів випливає, що: AB‖CD і AD‖BC. Відповідь: протилежні сторони чотирикутника паралельні. 39. Доведи, що сума діагоналей опуклого чотирикутника менша від периметра цього чотирикутника. Кожна з діагоналей опуклого чотирикутника ABCD розбиває його на два трикутника. За властивістю сторін трикутника маємо нерівності AC < AB + BC, AC < CD + AD, BC < BC + CD, BC < AB + AD. Тобто, 2AC < AB + BC + CD + AD i 2BD < AB + BC + CD + AD, звідки 2AC + 2BD < 2(AB + BC + CD + DA) або AC + BD < AB + BC + CD + AD, що й треба було довести. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

40. Доведи, що коли бісектриси кутів 𝐴 і 𝐵 чотирикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 перетинаються в точці 𝑂, то кут 𝐴𝑂𝐵 дорівнює півсумі кутів 𝐶 і 𝐷. Згідно умови задачі ∠ABO = ∠OBC, ∠BAO = ∠OAD. З △ AOB маємо ∠AOB = 180∘ − ∠ABO − ∠BAO. 1 1 Але ∠ABO = ∠ B, ∠BAO = ∠ A, тому 2 2 1 1 ∠AOB = 180∘ − (∠ A + ∠B) = (360∘ − ∠A − ∠B) = 2 2 1 = (∠C + ∠D), що й треба було довести. 2

41. Повітряний змій своїми руками. Виріж із кольорового або білого паперу квадрат розміром 50 × 50. Склади його так, як показано на малюнку 1.15. Приклей до змія хвіст і вуздечки. Прикрась його симетричним геометричним візерунком. Запускай його проти вітру. Дізнайся, як можна виготовити інші моделі повітряного змія.

Складаємо квадрат за малюнком 1.15: згинаємо його по діагоналі, а бічні кути загинаємо до діагоналі — виходить чотирикутник-«дельтоїд» (дві пари рівних суміжних сторін), він симетричний відносно діагоналі, тому змій летить рівно. До нижнього кута приклеюємо хвіст, до діагоналі — вуздечку. Інші моделі повітряного змія: плаский ромбоподібний на рейках-хрестовині, коробчастий (з двох паралелепіпедів-рамок), «пташка», змій-«дельтаплан» з трикутним крилом. 42. Відрізки 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 перетинаються в точці 𝑂 так, що 𝐴𝑂 = 𝐵𝑂, 𝐶𝑂 = 𝐷𝑂. Доведи, що 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 і 𝐴𝐶‖𝐵𝐷. Відрізки 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 перетинаються в точці 𝑂, причому 𝐴𝑂 = 𝐵𝑂, 𝐶𝑂 = 𝐷𝑂. Тоді трикутники 𝐴𝑂𝐶 і 𝐵𝑂𝐷 мають відповідні сторони рівні: 𝐴𝑂 = 𝐵𝑂, 𝐶𝑂 = 𝐷𝑂, і спільну сторону 𝑂𝐶 = 𝐶𝑂. Отже, трикутники 𝐴𝑂𝐶 і 𝐵𝑂𝐷 рівні за трьома сторонами, тому їх відповідні сторони рівні: 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷, а також відповідні кути рівні: ∠𝐴𝐶𝑂 = ∠𝐵𝐷𝑂, ∠𝐶𝐴𝑂 = ∠𝐷𝐵𝑂. А оскільки ці кути внутрішньо відповідні при перетині прямих 𝐴𝐶 і 𝐵𝐷 січною, то з рівності відповідних кутів випливає, що 𝐴𝐶‖𝐵𝐷. Відповідь: 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷, 𝐴𝐶‖𝐵𝐷. 43. Знайди кути трикутника, якщо один із них на 20∘ більший за другий і вдвічі менший від третього. Нехай один із кутів трикутника дорівнює 𝑥. Тоді другий кут дорівнює 𝑥 − 20∘ , бо перший на 20∘ більший за нього, а третій −2𝑥, бо перший у 2 рази менший за нього. Сума кутів трикутника дорівнює 180∘ , отже: 𝑥 + (𝑥 − 20∘ ) + 2𝑥 = 180∘ ⇒ 4𝑥 − 20∘ = 180∘ ⇒ 4𝑥 = 200∘ ⇒ 𝑥 = 50∘ Тоді кути: © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

перший = 50∘ ; другий = 30∘ ; третій = 100∘ . Відповідь: 30∘ , 50∘ , 100∘. 44. Знайди міри внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих та січній, якщо вони пропорційні числам 2 і 3. Нехай внутрішні односторонні кути при паралельних прямих і січній пропорційні числам 2 і 3, тобто мають вигляд 2𝑥 і 3𝑥. Відомо, що сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180∘ , тому: 2𝑥 + 3𝑥 = 180∘ ⇒ 5𝑥 = 180∘ ⇒ 𝑥 = 36∘ Тоді кути: перший 2𝑥 = 72∘ другий 3𝑥 = 108∘ Відповідь: 72∘ і 108∘ . §2. Паралелограм 45. Які з фігур, зображених на малюнку, - паралелограми?

Відповідь: 1. 46. Сторони паралелограма завдовжки 3 см і 5 см. Знайди його периметр. Р = (3 + 5) ∙ 2 = 8 ∙ 2 = 16 (см) Відповідь: 16 см. 47. Периметр паралелограма 60 см, а одна зі сторін 10 см. Знайди другу сторону паралелограма. A. 50 см Б. 40 см B. 20 см Г. 10 см P = 2(a + b); 60 = 2(10 + b); 60 = 20 + 2b; 2b = 40; b = 20 (см). Відповідь: 20 см. 48. Знайди периметр паралелограма, якщо середнє арифметичне всіх його сторін дорівнює 3 м. Середнє арифметичне всіх 4 сторін: 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 + 𝑏 2𝑎 + 2𝑏 2(𝑎 + 𝑏) 𝑎 + 𝑏 = = = 4 4 4 2 За умовою: 𝑎+𝑏 =3⇒𝑎+𝑏=6 2 Периметр паралелограма: 𝑃 = 2(𝑎 + 𝑏) = 2 ⋅ 6 = 12 м Відповідь: 12 м. 49. Один із кутів паралелограма дорівнює 70∘ . Знайди інші кути паралелограма. Властивості паралелограма: 1. Протилежні кути рівні. 2. Сусідні кути (які розташовані поруч) у сумі дають 180°. Нехай один з кутів 70°, тоді другий (суміжний) кут = 180° - 70° = 110°. Протилежні кути дорівнюють відповідно: © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

- третій кут = 70° - четвертий кут = 110° Відповідь: 70°, 110°, 70°, 110°. 50. Знайдіть менший кут паралелограма, якщо сума двох із них дорівнює 120∘ . A. 120∘ Б. 60∘ B. 45∘ Г. 30∘ Якщо сума двох кутів паралелограма дорівнює 120°, то ці кути не можуть бути сусідніми, бо сусідні кути завжди в сумі дають 180°. Отже, це два різні кути з протилежних пар: один — гострий, інший — тупий. Якщо їх сума — 120°, то один з них обов’язково 60°, і протилежний йому — 60° (бо в паралелограмі протилежні кути рівні). Тоді всі кути: 60°, 120°, 60°, 120°. Відповідь: Б. 60° — менший кут паралелограма. 51. Гра. Один з учасників /одна із учасниць називає суму двох протилежних кутів паралелограма, а другий / друга знаходить усі його кути. Умова 1: Сума двох протилежних кутів паралелограма дорівнює 140°. Знайти всі кути паралелограма. Умова 2: Сума двох протилежних кутів паралелограма дорівнює 200°. Назвати всі чотири кути паралелограма. 52. Знайди кути паралелограма, якщо сума трьох із них дорівнює 300∘ . Згідно властивості паралелограма, всі чотири кути паралелограма в сумі дають 360°. Якщо три кути в сумі — 300°, то четвертий кут: 360∘ − 300∘ = 60∘ Отже, один з кутів дорівнює 60° У паралелограмі протилежні кути рівні, тому ще один кут також 60°. Тоді сума двох інших кутів: 360∘ − 2 ⋅ 60∘ = 240∘ Відповідно, кожен із них: 240∘ = 120∘ 2 Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°. 53. Розглянь малюнки, 𝑎, б. Поясни дію механізмів, заснованих на властивостях паралелограма.

Малюнок а — розкладна сушарка: Її конструкція складається з послідовно з’єднаних паралелограмів. Коли ви розсовуєте сушарку, кути між сторонами змінюються, але довжина сторін залишається сталою. Завдяки цьому, сушарка легко складається і розкладається, зберігаючи форму й рівновагу.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Це можливо, бо протилежні сторони паралелограма рівні та паралельні, а рух відбувається без деформації самих елементів. Малюнок б — розсувні ворота (ґрати): Ворота побудовані з перехресних металевих планок, які утворюють сітку з паралелограмів. При руханні вбік ворота складаються або розкладаються за тим самим принципом, як і сушарка. Паралелограми змінюють кути, але зберігають зв’язки між сторонами — це дозволяє конструкції залишатися міцною та рухомою. 54. Знайди кути паралелограма, якщо один із них дорівнює: а) 50∘ ; б) 90∘ . a) Використовуючи властивості паралелограма, заключаємо, що кут, протилежний даному, дорівнює 50∘ , а два інших кути рівні між собою i дорівнюють 180∘ − 50∘ = 130∘ . б) Оскільки даний кут дорівнює 90∘ , то і решта кутів дорівнюють 90∘ . 55. Знайди кути паралелограма, що утворюється на перилах гірки, якщо один із них дорівнює 120∘ . Дано: ABCD - паралелограм; ∠B = 120∘ . Знайти: ∠A, ∠C, ∠D. За властивістю кутів паралелограма ∠B = ∠D = 120∘ . ∠A + ∠B = 180∘ - внутрішні односторонні при BC‖AD і січній AB → ∠A = 180∘ − 120∘ = 60∘ , ∠C = ∠A = 60∘ - протилежні кути паралелограма. Відповідь: ∠A = 60∘ , ∠C = 60∘ , ∠D = 120∘

56. Кути чотирикутника пропорційні числам 2, 3, 2 і 5. Чи може бути даний чотирикутник паралелограмом? У паралелограмі протилежні кути рівні між собою. В даному випадку 2: 2 ≠ 3: 5, отже, чотирикутник не являється паралелограмом. 57. Знайди менший кут паралелограма, якщо сума двох із них дорівнює 124∘ . Дано: ABCD - паралелограм; ∠A + ∠C = 124∘. Знайти: ∠A. 124∘ може бути сума лише гострих кутів. За властивістю кутів паралелограма: ∠A = ∠C i ∠A + ∠C = 124∘ ∠A = ∠C = 124∘ : 2 = 62∘ - гострий кут, отже, це і є менший кут паралелограма. Відповідь: ∠A = 62∘ 58. Сума двох кутів паралелограма дорівнює 156∘ . Знайди кути паралелограма. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180∘ . Тоді в умові задачі дана сума двох протилежних кутів, рівних між собою. Ці кути дорівнюють 156∘ : 2 = 78∘ . Два інших кути при цьому дорівнюють 180∘ − 78∘ = 102∘ . 59. Обчисли кути паралелограма, якщо: a) один із кутів на 20∘ менший від другого; б) один із кутів у 5 разів більший за другий;

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

в) два з них пропорційні числам 4 і 5; г) різниця двох із них дорівнює 40∘ . a) Нехай міра меншого кута дорівнює x , тоді міра більшого кута становить 𝑥 + 20. Оскільки сума цих кутів дорівнює 180∘ , маємо 𝑥 + 𝑥 + 20 = 180∘ ; 2x = 180 − 20; x = 80∘ ; x + 20∘ = 100. б) Якщо 𝑥 - міра меншого кута, то 5𝑥 - міра більшого кута. Тоді 𝑥 + 5𝑥 = 180∘; 6x = 180∘ ; x = 30∘ i 5x = 5 ⋅ 30∘ = 150∘ . в) Можна вважати, що 4 x і 5 x - шукані міри кутів, де x - деяке число. Тоді 4x + 5x = 180; 9x = 180; x = 20; 4 ⋅ 20∘ = 80∘ , 5 ⋅ 20∘ = 100∘ - шукані кути. г) Нехай 𝑥 - менша міра кута, тоді 𝑥 + 40 - міра більшого кута, тоді x + x + 40 = 180; 2x = 180 − 40; 2x = 140; x = 70. Отже, менший кут паралелограма дорівнює 70∘ , айого більший кут −70∘ + 40∘ = 110∘ . 60. Обчисли кути паралелограма, якщо: a) один із кутів на 42∘ більший за другий; б) один із кутів у 3 рази менший від другого; в) два з них пропорційні числам 2 і 3. Дано: ABCD - паралелограм. Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

a) ∠B = 42∘ > ∠A. Нехай ∠A = x ∘ , тоді ∠B = x + 42∘ . ∠A + ∠B = 180∘ - внутрішні односторонні при BC‖AD і січній AB. Отже, x + x + 42∘ = 180∘ , 2x = 180∘ − 42∘ , 2x = 138∘ , 𝑥 = 138∘ : 2, x = 69∘ . Отже, ∠A = ∠C = 69∘ , ∠B + ∠D = 180∘ − 69∘ = 111∘ . б) ∠A y 3 p < ∠B. Нехай ∠A = x ∘ , тоді ∠B = 3x, x + 3x = 180∘ , 4x = 180∘ , x = 45∘ . ∠A = ∠C = 45∘ ; ∠B + ∠D = 3 ⋅ 45∘ = 135∘ . в) ∠A: ∠B = 2: 3. ∠A = 2x, ∠B = 3x. 2x + 3x = 180∘ , 5x = 180∘ , x = 180∘ : 5, x = 36∘ . ∠A = ∠C = 36∘ ⋅ 2 = 72∘ ; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∠B = ∠D = 36∘ ⋅ 3 = 108∘ . 61. Сторона CD паралелограма ABCD утворює з прямою AD кут, градусна міра якого дорівнює {55}^\circ. Знайди градусну міру кута MAB.

Дано: ABCD - паралелограм; ∠CDK = 55∘ . Знайти: ∠MAB. ∠BAD = ∠CDK = 55∘ - як відповідні при AB‖CD і січні МК. ∠MAB + ∠BAD = 180∘ як суміжні → ∠MAB = 180∘ − 55∘ = 125∘. Відповідь: ∠MAB = 125∘. 62. Обчисли кути паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷, якщо ∠𝐶𝐴𝐷 = 32∘ , ∠𝐴𝐶𝐷 = 37∘ .

За умовою задачі ∠CAD = 32∘ , ∠ACD = 37∘ . ∠ACB = ∠CAD - як внутрішні різносторонні кути, утворені січною АС з паралельними прямими BC i AD. Зважаючи на властивості паралелограма, маємо: ∠A = ∠C = 37∘ + 32∘ = 69∘ . Тоді ∠B = ∠D = 180∘ − 69∘ = 111∘ . Зауваження. Кут D (a, отже, i∠B) можна було б знайти з △ ACD, маючи на увазі, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180∘ . Далі знаходимо ∠B = ∠D із співвідношення, наприклад, ∠A + ∠B = 180∘ (властивість паралелограма). 63. Бісектриси кутів 𝐴 і 𝐵 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 перетинаються в точці 𝑂. Знайди міру кута 𝐴𝑂𝐵, якщо ∠𝐶 = 100∘. Дано: ABCD - паралелограм; ∠C = 100∘ ; АО бісектриса ∠A; ВО - бісектриса ∠B. Знайти: ∠AOB. За властивістю кутів паралелограма: ∠A = ∠C = 100∘ . АО - бісектриса ∠A → ∠AOB = 100∘ : 2 = 50∘. ∠A + ∠B = 180∘ - внутрішні односторонні при AD‖BC і січній AB → ∠B = 180∘ − 100∘ = 80∘ . ВО - бісектриса ∠B → ∠ABO = 80∘ : 2 = 40∘ . У △ AOB∠OAB = 50∘ , ∠ABO = 40∘ . З теореми про суму кутів Δ : ∠AOB = 180∘ − (50∘ + 40∘ ) = 90∘ . Відповідь: ∠AOB = 90∘ .

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

64. Під яким кутом перетинаються бісектриси двох кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони?

Якщо АО і ВО - бісектриси кутів А і В, то ∠BAO = ∠ A, ∠ABO = ∠ B. 1

ABCD - паралелограм, тому ∠BAO + ∠ABO = (∠ A + ∠B) = ∙ 180∘ = 90∘ . 2 2 З трикутника ABO отримуємо: ∠AOB = 180∘ − ∠BAO − ∠ABO = 180∘ − 90∘ = 90∘. Тим самим доведено ствердження: у будь-якому паралелограмі бісектриси його кутів, прилеглих до однієї сторони, перетинаються під прямим кутом. 65. Знайдіть кути паралелограма, якщо всі його сторони рівні і кожна з них дорівнює одній діагоналі. Дано: ABCD - паралелограм; AB = BC = CD = AD = BD. Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

За умовою AB = BD = AD →△ ABD - рівносторонній → ∠A = 60∘ (180∘ : 3). Отже, ∠A = ∠C = 60∘ ; ∠A + ∠B = 180∘ → ∠B = 180∘ − 60∘ = 120∘ ; отже, ∠B = ∠D = 120∘ . Відповідь: ∠A = 60∘ , ∠B = 120∘ , ∠C = 60∘ , ∠D = 120∘ . 66. Знайди кути паралелограма, якщо одна з його діагоналей дорівнює стороні паралелограма і перпендикулярна до неї.

Нехай в паралелограмі ABCDAB = BD і ∠ABD = 90∘ . Оскільки ABCD паралелограм, то AB‖CD, тому ∠ABD = ∠BDC = 90∘ як внутрішні різносторонні, утворені січною BD з паралельними прямими AB і CD . Трикутник ABD - прямокутний, тому ∠A + ∠ADB = 90∘ . 3 паралельності прямих BC і AD та січної BD маємо рівність кутів: ∠CBD = ∠ADB. ∠Ai∠B - прилеглі кути до однієї з сторін паралелограму, тому ∠A + ∠B = 180∘. За умовою AB = BD, тобто △ ABD - рівнобедрений, що означає: ∠A = ∠ADB = 45∘ . Отже, ∠CBD = 45∘ і ∠B = 90∘ + 45∘ = 135∘ . Таким чином, шукані кути дорівнюють 45∘ і 135∘ . 67. Бісектриса кута паралелограма перетинає його сторону під кутом 29∘ . Знайди кути паралелограма. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай АМ - бісектриса кута А, тоді ∠BAM = ∠MAD + ∠ A за ознакою бісектриси кута, 2 ∠AMB = 29∘ за умовою; але ∠BAM = ∠AMB як внутрішні різносторонні кути з січною AM і паралельними прямими BC i AD. Отже, ∠A = 2 ⋅ ∠AMB = 2 ⋅ 29∘ = 58∘ . З рівності ∠A + ∠B = 180∘ отримуємо ∠B = 180∘ − 58∘ = 122∘ . 68. В давнину українці для створення візерунків на тканині наносили фарбу на дерев'яні штампи та робили відтиски на тканині. Периметр паралелограма на заданому штампі дорівнює 4,8 см, а одна зі сторін 1,3 см. Знайди довжину іншої сторони паралелограма на штампі. Дано: ABCD - паралелограм; PABCD = 4,8 см; AB = 1,3 см. Знайти: BC PABCD = 4,8 см → PABCD = 4,8 ∶ 2 = 2,4 см - пів периметр (AB + BC). Отже, AB + BC = 2,4 см, AB = 1,3 → BC = 2,4 − 1,3 = 1,1 см. Відповідь: BC = 1,1 см. 69. Знайди довжину діагоналі 𝐴𝐶 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷, якщо його периметр дорівнює 40 дм, а периметр трикутника 𝐴𝐵𝐶 становить 27 дм.

Згідно з умовою задачі 2 ⋅ (AB + BC) = 40, AB + BC + AC = 27. Тоді AB + BC = 20, AC = 27 − 20 = 7 (дм). Відповідь: довжина діагоналі АС дорівнює 7 дм 70. Find the length of the diagonal 𝐾𝑃 of parallelograм 𝐾𝐵𝑃𝐷 if its periмeter is 30 см and the periмeter of triangle 𝐾𝐵𝑃 is 21 см. Дано: КВРD - паралелограм; PKВРD = 30 см; PKВР = 21 см. Знайти: КР. Якщо PкВр = 30 см, то PKВРD = 30 ∶ 2 = 15 см - пів периметр (КВ + BP). Отже, КВ +BP = 15 см, PKВРD = КВ + BP + КР = 21 см → КР = 21 − (КВ + ВР); © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

КР = 21 − 15 = 6 см. Відповідь: КР = 6 см. 71. Обчисліть сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 42 см і: а) одна зі сторін на 5 см більша за другу; б) одна зі сторін у 2 рази більша за другу; в) різниця сторін дорівнює 7 см; г) сторони відносяться як 3 ∶ 4. Розглянемо по черзі кожен із пунктів, знаючи, що периметр паралелогұ дорівнює 42 см . Периметр паралелограма: p 42 P = 2(a + b) → a + b = = = 21(см) 2 2 a) Одна зі сторін на 5 см більша за другу. Нехай коротша сторона - x , тоді інша −x + 5. Складаємо рівняння: x + (x + 5) = 21; 2x + 5 = 21; 2x = 16; x = 8. Отже, сторони паралелограма: 8 см і 13 см б) Одна зі сторін у 2 рази більша за другу. Нехай коротша сторона - x, тоді інша -2 x. Складаємо рівняння: x + 2x = 21; 3x = 21; x = 7. Сторони паралелограма: 7 см i 14 см. в) Різниця сторін дорівнюе 7 см. Нехай коротша сторона -x , тоді інша -x+7. Складаємо рівняння: x + (x + 7) = 21; 2x + 7 = 21; 2x = 14; x = 7. Сторони паралелограма: 7 см i 14 см г) Сторони відносяться як 3:4. Нехай сторони - 3 x i 4 x. Складаємо рівняння: Складаємо рівняння: 3x + 4x = 21; 7x = 21; x = 3. Сторони паралелограма: 9 см і 12 см Відповідь: а) 8 см і 13 см ; б) 7 см i 14 см ; в) 7 см i 14 см ; г) 9 см i 12 см 72. Периметр паралелограма дорівнює 48 см. Знайди довжини його сторін, якщо: а) сума двох із них дорівнює 32 см; б) дві з них відносяться як 3: 5; в) одна зі сторін на 6 см менша від другої. Нехай сторони паралелограма — a і b. Тоді: © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

P = 2(a + b) = 48 ⇒ a + b = 24 (см). а) Сума двох із них дорівнює 32 см Це неможливо, бо ми вже знаємо, що a + b = 24. Відповідь: Немає розв’язку. Суперечлива умова. б) Дві сторони відносяться як 3:5 Нехай a = 3x, b = 5x, тоді: a + b = 3x + 5x = 8x = 24 ⇒ x = 3 Знаходимо сторони: a = 3 ∙ 3 = 9 (см) b = 5 ∙ 3 = 15 (см) Перевірка: 2(a + b) = 2(9 + 15) = 2 ∙ 24 = 48 (см) Відповідь: сторони — 9 см і 15 см. в) Одна зі сторін на 6 см менша від другої Нехай a = x, b = x + 6, тоді: a + b = x + x + 6 = 2x + 6 = 24 2x = 18 x=9 Отже: a = 9 (см) b = 15 (см) Перевірка: 2(a + b) = 2(9 + 15) = 48 (см) Відповідь: сторони — 9 см і 15 см. 73. На стороні 𝐵𝐶 рівностороннього трикутника 𝐴𝐵𝐶 взято точку 𝑀, через яку проведено прямі, паралельні до сторін 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶. Знайди кути утвореного чотирикутника. У трикутнику ABC всі кути по 60∘ (рівносторонній). Через точку M ∈ BC проведено: MF‖AB; MD‖AC → чотирикутник ADMF — паралелограм. У паралелограмі протилежні кути рівні: ∠A = ∠M = 60∘ ; ∠D = ∠F = 120∘ .

74. На основі 𝐴𝐶 рівностороннього трикутника 𝐴𝐵𝐶 взято точку 𝑀, через яку проведено прямі, паралельні сторонам 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶. Знайди кути утвореного чотирикутника.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Дано: △ ABC(AB = BC = AC), M ∈ AC; MP‖AB; DM‖BC. Знайти: ∠𝐷ВР, ∠В𝐷М, ∠DМР, ∠MPB. Так як DМ ‖ ВС та МР ‖AB → DВРМ - паралелограм. ΔABC - рівносторонній за умовою → ∠B = 180∘ : 3 = 60∘ . Отже, за властивістю кутів паралелограма: ∠𝐷ВР = ∠DМР = 60∘ . ∠BDM + ∠𝐷ВР = 180∘ - внутрішні односторонні при ВР ‖ DМ і січній ВD → ∠MDB = ∠BPM = 180∘ − 60∘ = 120∘ . Відповідь: ∠𝐷ВР = 60∘ , ∠В𝐷М = 120∘ , ∠𝐷МР = 60∘ , ∠MPB = 120∘ . 75. Сторони грані гумки, що є паралелограмом, дорівнюють 8 см і 3 см. Знайди висоту гумки, якщо гострий кут паралелограма дорівнює 30∘ .

Дано: ABCD - паралелограм; AB = 3 см, BC = 8 см; ∠A = 30∘ . Знайти: BE . Розглянемо △ ABE (∠E = 90∘ ). BE - катет навпроти ∠A = 30∘ → BE = 1 AB, отже, BE = 3 ∶ 2 = 1,5 см. 2 Відповідь: BE = 1,5 см. 76. У паралелограмі 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 = 10 см, 𝐵𝐶 = 15 см, ∠B = 150∘ . Знайди висоти, проведені з вершини B.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Дано: ABCD - паралелограм; AB = 10 см, BC = 15 см; ∠𝐵 = 150∘. Знайти: BE та BH . Сума суміжних кутів паралелограма рівна 180°, отже ∠A = 180° - ∠B = 180° - 150° = 30°. Оскільки в паралелограма протилежні кути рівні, то ∠A = ∠С, ∠B = ∠D. Оскільки BE – висота, то ∆AEB – прямокутний (∠E = 90°). BE – катет, що лежить навпроти кута 30°, отже BE = AB : 2 = 10 : 2 = 5 см. У ∆BHC (∠H = 90°), отже він прямокутний. BН – катет, що лежить навпроти кута 30°, отже BН = BС : 2 = 15 : 2 = 7,5 см. Відповідь: BE = 5 см, BН = 7,5 см. 77. На сторонах 𝐵𝐶 і 𝐴𝐷 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 позначено точки 𝑀 і 𝐾 такі, що 𝑀𝐾‖𝐴𝐵. Доведи, що чотирикутник 𝐴𝐵𝑀𝐾 - паралелограм.

Дано: ABCD - паралелограм; К ∈ AD; M ∈ BC; КМ‖AB. Довести: АВМК - паралелограм. Так як ABCD - паралелограм за умовою → AB‖CD, AD‖BC. Точки К і М лежать на паралельних сторонах АD і ВС → АК ‖ ВМ, AB‖MK - за умовою → ABMK - паралелограм. Відповідь: АВМК - паралелограм. 78. Бісектриси кутів 𝐴 і 𝐶 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 перетинають сторони BC і AD у точках М і N відповідно. Доведи, що чотирикутник AМCN – паралелограм.

Дано: ABCD - паралелограм; AM - бісектриса ∠A; CN - бісектриса ∠C. Довести: AMCN - паралелограм. Так як ABCD - паралелограм → BC‖AD, отже MC‖AN - лежать на паралельних прямих. АМ - бісектриса ∠A → ∠BAM = ∠MAN. CN - бісектриса ∠C → ∠MCN = ∠NCD. Т. як ABCD - паралелограм → ∠A = ∠C, отже ∠BAM = ∠MAN = ∠MCN = ∠NCD. BC‖AD → ∠MCN = ∠NCD - внутрішні рівносторонні при BC‖AD і січній CN → ∠CND = ∠MAN як відповідні → AM‖CN. Отже, MC‖AN, AM‖CN → AMCN - паралелограм. Відповідь: AMCN - паралелограм. 79. Точки 𝑀, 𝑁, 𝑃, 𝐾 - середини сторін паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷. Доведи, що 𝑀𝑁𝑃𝐾 паралелограм.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Дано: ABCD - паралелограм; M - середина AB; N - середина BC; P - середина CD; К - середина AD. Довести: MNPK - паралелограм. ABCD - паралелограм → ∠A = ∠C; ∠B = ∠D. ΔMBN = ΔKPD − за I ознакою (за двома сторонами і кутом між ними): 1. MB = PD - як половини рівних сторін. 2. BN = KD - як половини рівних сторін. 3. ∠B = ∠D. → MN = KP. ΔAMK = ΔNCP − за I ознакою (за двома сторонами і кутом між ними): 1. АМ = СР - як половини рівних сторін. 2. АК = NC - як половини рівних сторін. 3. ∠A = ∠C. → MK = NP. Отже, MN = KP, MK = NP → MNPK - паралелограм. Відповідь: MNPK - паралелограм. 80. У колі проведено діаметри 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷. Доведи, що чотирикутник 𝐴𝐶𝐵𝐷 - паралелограм.

Дано: Коло з центром в точці O; AB i CD - діаметри. Довести: ABCD - паралелограм. CO = OD = OA = OB - радіуси кола. ΔCOB = ΔAOD - за двома сторонами і кутом між ними: 1. CO = OD - як радіуси. 2. AO = OB - як радіуси. 3. ∠COB = ∠AOD − вертикальні. → CB = AD. Аналогічно: ΔCOA = ΔBOD - за двома сторонами і кутом між ними: 1. CO = OD - як радіуси. 2. AO = OB - як радіуси. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

3. ∠COA = ∠BOD − вертикальні. → AC = BD. Отже, CB = AD, AC = BD → CABD - паралелограм. Відповідь: CABD - паралелограм. 81. Які з наведених тверджень є правильними? I. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники. II. Діагоналі паралелограма є бісектрисами його кутів. III. Менша діагональ паралелограма ділить його на два гострокутні трикутники. Правильні твердження: I. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники. III. Менша діагональ паралелограма ділить його на два гострокутні трикутники. 82. З вершини 𝐵 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 до сторони 𝐴𝐷 проведено висоту 𝐵𝐻. Знайди кути паралелограма, якщо 𝐴𝐻 = 𝐵𝐻 i: a) ∠𝐵 - тупий; б) ∠𝐵 - гострий.

Дано: BH ⊥ AD, AH = BH. а) AH = BH → ΔABH рівнобедрений прямокутний → ∠HAB = ∠ABH = 45∘ . Якщо проекція Н лежить між А і D, то ∠B = ∠ABH + 90∘ = 45∘ + 90∘ = 135∘ (тупий). Тоді сусідній ∠A = 45∘ . Відповідь: ∠B = ∠𝐷 = 135∘ , ∠A = ∠C = 45∘ .

б) Якщо H лежить на продовженні AD за точкою A (тобто з іншого боку), то кут при В утворюється з «іншого боку» прямого, і буде 45∘ (гострий), а ∠A = 135∘. Відповідь: ∠B = ∠𝐷 = 45∘ , ∠A = ∠C = 135∘ . 83. На стороні 𝐵𝐶 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 взято точку 𝑃 так, що 𝐴𝐵 = 𝐵𝑃. Знайди ∠𝑃𝐴𝐷, якщо ∠𝐴𝐵𝐶 = 100∘ .

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Дано: ABCD - паралелограм AB = BR, тобто точка R - середина відрізка BC ∠ABC = 100∘ Знайти: ∠PAD У паралелограмі: - Протилежні кути рівні → ∠DAB = ∠BCD = 100∘ ; - сума прилеглих кутів ∠DAB + ∠ABC = 180∘ → ∠DAB = 80∘ . У трикутнику PAD , розглянемо точку R на BC , де BR = AB, і знайдемо ∠PAD. Оскільки AB = BR, то трикутник ABR - рівнобедрений з кутом ∠ABR = 100∘ . Отже, кути при основі: 180∘ −100∘ ∠BAR = ∠ARB = = 40∘ . 2 Точка P - це точка R, отже: ∠PAD = ∠DAB − ∠BAR = 80∘ − 40∘ = 40∘ . Відповідь: ∠PAD дорівнює 40∘ 84. Бісектриса ∠𝐴 ділить сторону 𝐵𝐶 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 навпіл. Знайди периметр паралелограма, якщо сторона 𝐴𝐵 = 5 см.

Згідно з умовою задачі 𝐵𝑀 = 𝑀𝐶, ∠𝐵𝐴𝑀 = ∠𝑀𝐴𝐷. Але ∠BMA = ∠MAD як внутрішні різносторонні з січною AM і паралельними прямими BC та AD. Тому ΔABM - рівнобедрений. Отже, BM = AB = 5. Тоді BC = 2BM = 10. Таким чином, периметр паралелограма 𝑃 = 2(𝐴𝐵 + 𝐵𝐶) = 2 ⋅ (5 + 10) = 30(см). Відповідь: периметр паралелограма дорівнює 30 см 85. Бісектриса ∠𝐴 ділить сторону 𝐵𝐶 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 на відрізки 𝐵𝑀 = 6 см, 𝑀𝐶 = 8 см. Знайди периметр паралелограма.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Дано: ABCD - паралелограм; AM - бісектриса ∠A; BM = 6 см; MC = 8 см. Знайти: PABCD . AM - бісектриса ∠A → ∠BAM = ∠MAD. BC‖AD → ∠BMA = ∠MAD - як внутрішні різносторонні при BC‖AD і січні AM → ∠BMA = ∠BAM → →△ ABM − рівнобедрений → AB = BM = 6 см. Так як ABCD - паралелограм, то AB = CD = 6 см. BC = AD = 6 + 8 = 14 см. Отже, PABCD = (6 + 14) ⋅ 2 = 40 см. Відповідь: PАВCD = 40 см. 86. Бісектриса ∠𝐴 ділить сторону 𝐶𝐷 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 у точці 𝑀 так, що 𝐶𝑀 − 𝑀𝐷 = 2 см. Знайди сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 34 см. За умовою задачі ∠𝐵𝐴𝑀 = ∠𝑀𝐴𝐷 𝑖 СМ − 𝑀𝐷 = 2 см. Але ∠𝐴𝑀𝐷 = ∠𝐵𝐴𝑀 як внутрішні різносторонні з січною AM і паралельними прямими AB та CD. Тому Δ𝐴𝑀𝐷 - рівнобедрений, 𝑀𝐷 = 𝐴𝐷 = 𝑥. Тоді СМ = 𝑥 + 2 𝑖 𝐶𝐷 = СМ + 𝑀𝐷 − 2𝑥 + 2. Згідно умови задачі 2(𝐴𝐷 + 𝐶𝐷) = 34. Отже, 2(𝑥 + 2𝑥 + 2) = 34; 3𝑥 + 2 = 17; 3x = 15; x = 5. Тоді 2x + 2 = 2 ⋅ 5 + 2 = 12. Таким чином, AD = 5 см, CD = 12 см. Відповідь: AD = 5 см; CD = 12 см 87. Знайдіть периметр паралелограма, якщо бісектриса його кута ділить одну зі сторін на відрізки завдовжки 5 см і 3 см . Скільки розв'язків має задача? 1-й випадок Згідно умови задачі ∠BAM = ∠MAD, СМ = 5 см, MD = 3 см. Оскільки ∠BAM = ∠AMD, то △ AMD - рівнобедрений, тобто AD = MD = 3 (см). CD = СМ + MD = 8 (см). Отже, периметр P = 2(AD + CD) = 2 ⋅ (3 + 8) = 22 (см). Відповідь: периметр паралелограма дорівнює 22 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

2-й випадок AD = MD = 5 (см). CD = СМ + MD = 8 (см). Отже, периметр P = 2(AD + CD) = 2 ⋅ (5 + 8) = 26 (см). Відповідь: периметр паралелограма дорівнює 26 см.

88. 𝐴𝐸 і 𝐷𝐾 - бісектриси кутів 𝐴 і 𝐷 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷, які перетинають сторону 𝐵𝐶 у точках 𝐸 і 𝐾 так, що 𝐵𝐾 = 𝐾𝐸 = 𝐸𝐶. Знайди сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 40 см.

Дано: ABCD - паралелограм; AE - бісектриса ∠A; DK - бісектриса ∠D; BK = KE = EC; PABCD = 40 см. Знайти: AB, BC, CD, AD. BK = KE = EC = x. AE − бісектриса ∠A → ∠BAE = ∠EAD. ∠EAD = ∠BEA - як внутрішні різносторонні при BC‖AD і січній AE → отже, ∠𝐵𝐸𝐴 = ∠𝐵𝐴𝐸 →△ 𝐴𝐵𝐸 − рівнобедрений AB = BE = 2x. Аналогічно ∠CKD = ∠KDA - внутрішні різносторонні при BC‖AD і січній DK → ∠CKD = ∠CDK →△ КС𝐷 − рівнобедрений → CK = CD = 2x. BC = AD = 3x. PABCD = 40 см → pABCD = 40 ∶ 2 = 20 см (пів периметр), отже, pABCD = AB + BC. 3x + 2x = 20, 5x = 20, x = 20 ∶ 5, x = 4 см. Тоді AB = CD = 2 ⋅ 4 = 8 см, BC = AD = 3 ⋅ 4 = 12 см. Відповідь: AB = CD = 8 см, BC = AD = 12 см. 89. 𝐴𝐸 і 𝐷𝐾 - бісектриси кутів 𝐴 і 𝐷 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷, які перетинають сторону 𝐵𝐶 у точках 𝐸 і 𝐾 так, що 𝐵𝐸 = 𝐸𝐾 = 𝐾C. Знайди сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 40 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Дано: ABCD - паралелограм; AE - бісектриса ∠A; DK - бісектриса ∠D; PABCD = 40 см; BE = EK = KC. Знайти: AB, BC, CD, AD. Нехай BE = EK = КС = x. AE - бісектриса ∠A → ∠BAE = ∠EAD. ∠EAD = ∠BEA - як внутрішні різносторонні при BC‖AD і січній AE , отже, ∠BAE = ∠BEA →△ ABE − рівнобедрений → BE = AB = x. Аналогічно: DK - бісектриса ∠D → ∠ADK = ∠KDC. ∠ADK = ∠CKD − як внутрішні різносторонні при BC‖AD і січній DK , отже, ∠CKD = ∠KDC →△ КCD − рівнобедрений → КС = CD = x. BC = 3x. PABCD = 40 см → pABCD = AB + BC = 40: 2 = 20 см (пів периметр). 3x + x = 20, 4x = 20, 𝑥 = 20: 4, x = 5 см. Отже, AB = CD = 5 см, BC = AD = 3 ⋅ 5 = 15 см. Відповідь: AB = CD = 5 см, BC = AD = 15 см. 90. 𝐴𝐵𝐶𝐷 - паралелограм, точки 𝑀 і 𝑁 - середини сторін 𝐵𝐶 і 𝐴𝐷. Доведи, що чотирикутник 𝐴𝑀𝐶𝑁 - паралелограм. За умовою ABCD - паралелограм, в якому BM = MC, AN = ND. Тоді в чотирикутнику AMCN сторони MC і AN паралельні і рівні між собою. Отже, цей чотирикутник паралелограм.

91. На діагоналі 𝐴𝐶 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 позначили точки 𝑀 і 𝑁 так, що 𝐴𝑀 = 𝐶𝑁. Доведи, що чотирикутник 𝑀𝐵𝑁𝐷 - паралелограм. В паралелограмі ABCDAM = CN. AC - січна при паралельних прямих AB і CD та прямих BC і AD, тому ∠BAM = ∠DCN і ∠BCN = ∠DAM як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AB і CD та прямих BC і AD відповідно. AB = CD і BC = AD як протилежні сторони паралелограма, AM = CN за умовою, тому △ ABM =△ CDN і △ BCN =△ ADM. Отже, BM = DN і BN = DM, тобто MBND паралелограм. 92. 𝐴𝐵𝐶𝐷 - паралелограм. Доведи, що 𝑀𝑁𝑃𝐾 - паралелограм, якщо 𝐴𝑀 = 𝐴𝐾 = 𝐶𝑁 = 𝐶𝑃.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

В паралелограмі ABCDAM = AK = CN = CP. Крім того ∠A = ∠C як протилежні кути паралелограма. Отже, △ AMK =△ CNP, тобто MK = NP. З рівності AM = CN маємо MB = BN, а з рівності AK = CP маємо KD = DP. ∠B = ∠D як протилежні кути паралелограма, тому ΔMBN = ΔKDP, тобто MN = КР. В чотирикутнику MNPK протилежні сторони рівні між собою, тому згідно з теоремою 4 підручника MNPK - паралелограм. 93. Середини півдіагоналей 𝑀, 𝑁, 𝑃, 𝐾 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 послідовно сполучили відрізками. Доведи, що чотирикутник 𝑀𝑁𝑃𝐾 - паралелограм. В паралелограмі ABCDBM = MO, CN = NO, AK = KO і OP = PD. ΔMOK = ΔNOP, бо MO = OP, KO = NO і ∠MOK = ∠NOP як вертикальні. Аналогічно △ MON =△ KOP. Отже, MK = NP і MN = КР, тому чотирикутник MNPK - паралелограм. 94. Доведи, що бісектриси кутів паралелограма з нерівними сторонами, перетинаючись, утворюють паралелограм. За умовою в паралелограмі ABCD, сторони якого мають різну довжину, проведено бісектриси всіх його кутів. Для будь-якого паралелограма бісектриси його кутів, прилеглих до однієї сторони, перетинаються під прямим кутом. Тому всі кути чотирикутника MNPK дорівнюють 90∘ . Зокрема ∠M = ∠P = 90∘ i∠N = ∠K = 90∘ . Тоді MNPK - паралелограм. 95. Доведи, що бісектриси зовнішніх кутів паралелограма, перетинаючись, утворюють паралелограм. В паралелограмі ABCD проведені бісектриси його зовнішніх кутів, що перетинаються в точках M, N, P і К. Оскільки бісектриси внутрішніх кутів паралелограма, прилеглих до однієї його сторони, перетинаються під прямим кутом, то ця властивість має місце і для бісектрис зовнішніх кутів. Отже, в чотирикутнику MNPK ∠M = ∠P = 90∘ i ∠N = ∠K = 90∘ . Рівність протилежних кутів означає, що чотирикутник MNPK паралелограм. 96. У паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 = 12 дм, ∠𝐴 = 30∘ . Знайдіть відстань від точки 𝐶 : 1) до прямої 𝐴𝐷; 2 ) до відрізка 𝐴𝐷. За умовою в паралелограмі ABCD ∠A = 30∘ , AB = 12 дм. Відстань від точки C до прямої AD - це довжина перпендикуляра CH .

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Оскільки ∠CDH = 30∘ , то в прямокутному трикутнику CH - катет, який лежить проти кута 30∘ , тому дорівнює половині довжини гіпотенузи:° 1 1 1 CH = CD = AB = ∙ 12 = 6 (дм). 2 2 2 Найкоротша відстань від точки C до відрізка AD – це відрізок CD = 12 (дм). 97. Діагональ 𝐴𝐶 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 є бісектрисою кута 𝐴. Доведи, що діагоналі паралелограма перпендикулярні. Нехай ABCD — паралелограм, а діагональ AC є бісектрисою кута A, тобто ∠BAC = ∠CAD. 1) Доведемо рівність сусідніх сторін Оскільки BC ∥ AD, то кут ∠ACB (між AC і CB) дорівнює куту ∠CAD (між CA і AD). Але ∠CAD = ∠BAC (бо AC — бісектриса). Отже, ∠BAC = ∠ACB. У трикутнику ABC це означає, що він рівнобедрений, тому AB = BC. У паралелограмі ABCD маємо також BC = AD (протилежні сторони рівні). Звідси AB = AD. Паралелограм із рівними сусідніми сторонами — це ромб, отже всі сторони рівні, а ABCD — ромб. 2) Доведемо, що діагоналі ромба перпендикулярні Нехай O — точка перетину діагоналей. У паралелограмі діагоналі перетинаються і діляться навпіл, тому AO = OC, BO = OD. У ромбі AB = AD. Розглянемо трикутники ∆AOB і ∆AOD: AO — спільна, BO = DO, AB = AD. Отже, ∆AOB = ∆AOD (за трьома сторонами). Звідси рівні кути при O: ∠BOA = ∠AOD. Але промені OB і OD лежать на одній прямій BD, тож кути ∠BOA і ∠AOD є суміжними і в сумі дають 180°. Якщо вони рівні, то кожен дорівнює 90°. Тобто, AC ⊥ BD, що й треба було довести. 98. На поверхні будівлі металеві конструкції утворюють паралелограми. Дано: ABCD - паралелограм; BD - бісектриса ∠B. Довести: AB = BC = CD = AD. ABCD - паралелограм → ∠B = ∠D. BD - бісектриса ∠B → ∠CBA = ∠DBA. Так як ∠B = ∠D, DB - бісектриса ∠D → ∠CDB = ∠BDA. Так як ∠B = ∠D → ∠CBD = ∠CDB →△ BCD рівнобедрений → CB = CD. Так як ABCD - паралелограм → CB = AD, CD = BA → CB = CD = DA = AB. Відповідь: AB = BC = CD = AD. 99. Діагональ паралелограма утворює з його сторонами рівні кути. Знайди сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 48 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Згідно з умовою задачі діагональ BD є бісектрисою кута B паралелограма ABCD , периметр якого дорівнює 48 см. Тобто, 2(AB + BC) = 48; AB + BC = 24, Але AB = BC, тому 2AB = 24; AB = 12(см).

100. Установи відповідність між найменшим кутом вказаного трикутника (1-4) та найменшим кутом паралелограма, для якого виконуються умови (А-Д). Трикутник, у якого 1. всі кути рівні; 2. катет дорівнює половині гіпотенузи; 3. катети рівні; 4. зовнішні кути дорівнюють 150∘ i 162∘ . Паралелограм, у якого А. всі кути рівні; Б. сума протилежних кутів дорівнює 90∘ ; В. один із кутів на 60∘ менший від другого; Г. найбільший із кутів у 9 разів більший за найменший; Д. два кути пропорційні числам 1 і 5. Аналізуємо трикутники: 1. Усі кути рівні → це рівносторонный трикутник, усі кути по 60∘ . Найменший кут: 60∘ . 2. Катет дорівнює половині гіпотенузи → це прямокутний трикутник з кутом 30∘ (властивість прямокутного трикутника з кутами 30∘ , 60∘ , 90∘ ). Найменший кут: 30∘ . 3. Катети рівні → прямокутний рівнобедрений трикутник, кути при основі по 45∘ . Найменший кут: 45∘ . 4. Зовнішні кути дорівнюють 150∘ і 162∘ → внутрішні відповідно 30∘ і 18∘ , третій буде 180∘ − (30∘ + 18∘ ) = 132∘ . Найменший кут: 18∘ . Аналізуємо паралелограми: А. Усі кути рівні → це прямокутник, усі кути 90∘ . Найменший кут: 90∘ . Б. Сума протилежних кутів −90∘ → не може бути у паралелограмі (бо в паралелограмі протилежні кути рівні і їх сума - 180∘ ), некоректна умова. В. Один із кутів на 60∘ менший за інший → нехай менший кут - 𝑥, тоді інший 𝑥 + 60, 𝑎𝑥 + 𝑥 + 60 = 180 → 2𝑥 = 120 → 𝑥 = 60, інший - 120 . Найменший кут: 60∘ . Г. Найбільший кут у 9 разів більший за найменший → x + 9x = 180 → 10x = 180 → x = 18∘ , найбільший −162∘ . Найменший кут: 18∘ . Д Два кути пропорційні 1 і 5 → x + 5x − 180 → 6x − 180 → x = 30∘ , 5x = 150∘ . Найменший кут: 30∘ . Відповідь: 1 - В; 2 - Д; 3 - немає відповідності; 4 - Г 101. Скільки різних паралелограмів можна скласти, прикладаючи один до одного два рівні різносторонні трикутники?

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відповідь: 3 шт. 102. Iз двох рівних прямокутних трикутників з кутом 30∘ склали паралелограм. Знайди кути цього паралелограма. Згідно умови задачі ΔABD = ΔCBD, ∠ADB = 90∘ , ∠BAD = 30∘ . Тоді, оскільки сума кутів паралелограма, прилеглих до кожної з його сторін, дорівнює 180∘ , то ∠ABC = 180∘ − 30∘ = 150∘ . Відповідь: кути даного паралелограма дорівнюють 30∘ і 150∘ 103. Сторони трикутника дорівнюють 𝑎, 𝑏 і 𝑐. Знайди периметр паралелограма, складеного з двох таких трикутників. Розглянь три випадки. Згідно з умовою паралелограм складено з двох рівних трикутників зі сторонами a, b і с. Можливі три випадки: 1) сторони паралелограма - відрізки а і b; 2) сторони паралелограма - відрізки а і с; 3) сторони паралелограма - відрізки b і с. Відповідно, периметр паралелограма дорівнює: 1) 𝑃 = 2(𝑎 + 𝑏); 2) 𝑃 = 2(𝑎 + 𝑐); 3) 𝑃 = 2(𝑏 + 𝑐). 104. 𝐴𝐵𝐶𝐷 - паралелограм. Зовні нього побудовано рівносторонні трикутники 𝐴𝐵𝑀 і 𝐷𝐶𝑇. Доведи, що 𝑀𝐷 = 𝐵𝑇 і 𝑀𝐶 = 𝐴𝑇.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Згідно з умовою ABCD - паралелограм і △ ABM та △ CDT - рівносторонні. Оскільки за властивостями паралелограма AB = CD, то ΔABM = ΔCDT, тобто AM = MB = CT = DT = CD = AB. Згідно з умовою ∠MAB = ∠DCT = 60∘ . Ці кути можна розглядати як внутрішні різносторонні кути при січній МС і паралельних прямих АМ і СТ. Отже, в чотирикутнику АМСТ АМ = СТ і АМ ‖ СТ. Тоді АМСТ - паралелограм і МС= АТ. Аналогічно доводиться, що МD= BT. 105. Дано три точки, що не лежать на одній прямій. Скільки можна побудувати паралелограмів з вершинами в цих точках? Через дві точки можна провести пряму і тільки одну (основна властивість прямих). Через точки А і В проведемо пряму АВ. Через точку С, яка не належить прямій AB можна провести лише одну пряму а ‖AB, так як протилежні сторони паралелограма попарно паралельні. Через точки B і C проведемо пряму BC , а через точку A проведемо пряму b‖BC, a ∩ b в точці D . ABCD - паралелограм. Відповідь: побудувати можна лише один паралелограм 106. Штурмани кораблів на морській карті можуть проводити паралельні прямі за допомогою паралельних лінійок. Зроби модель паралельних лінійок і покажи, як ними користуватись.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Дві рівні лінійки AD і BC з’єднано двома рівними планками AB і CD, закріпленими на шарнірах так, що AD = BC і AB = CD. Чотирикутник ABCD з попарно рівними протилежними сторонами — паралелограм, тому за будь-якого розсування лінійок AD ∥ BC. Як користуватися: прикладаємо одну лінійку до даної прямої і, притримуючи її, розсуваємо другу до потрібної точки — уздовж другої лінійки проводимо пряму, паралельну даній. 107. Відкрита задача. Знайди сторони чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 3, 5, 6 і 10 , а ... …а периметр чотирикутника дорівнює 72 см. Тоді: 3x + 5x + 6x + 10x = 72 24x = 72 x=3 Сторони: 3 ⋅ 3 = 9; 5 ⋅ 3 = 15; 6 ⋅ 3 = 18; 10 ⋅ 3 = 30 Відповідь: 9 см, 15 см, 18 см, 30 см. 108. В опуклому чотирикутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴 = ∠𝐶, ∠𝐵 = 3∠𝐴, а ∠𝐷 = 135∘ . Чи має чотирикутник паралельні сторони? У опуклому чотирикутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷 відомо: ∠𝐴 = ∠𝐶, ∠𝐵 = 3∠𝐴, ∠𝐷 = 135∘. Нехай ∠𝐴 = 𝑥, тоді: ∠𝐶 = 𝑥, ∠𝐵 = 3𝑥, ∠𝐷 = 135∘ Сума всіх кутів у чотирикутнику дорівнює 360∘ , отже: 𝑥 + 3𝑥 + 𝑥 + 135∘ = 360∘ ⇒ 5𝑥 + 135∘ = 360∘ ⇒ 5𝑥 = 225∘ ⇒ 𝑥 = 45∘ Отже: ∠𝐴 = ∠𝐶 = 45∘ , ∠𝐵 = 135∘ , ∠𝐷 = 135∘ Оскільки ∠𝐴 + ∠𝐷 = 45∘ + 135∘ = 180∘ , а також ∠𝐵 + ∠𝐶 = 135∘ + 45∘ = 180∘ , то внутрішні односторонні кути при кожній парі протилежних сторін у сумі дають 180∘ , отже ці сторони паралельні. Відповідь: Так, чотирикутник має дві пари паралельних сторін. 109. Чи буде чотирикутник опуклим, якщо один із його кутів дорівнює 65∘ , другий на 25∘ більший, а третій у 5 разів менший від першого? Діагональ 𝐵𝐷 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 є бісектрисою кута 𝐵. Доведи, що сторони паралелограма рівні. Один з кутів дорівнює 65∘ , другий на 25∘ більший: 65∘ + 25∘ = 90∘ , третій у 5 разів 65∘ менший за перший: = 13∘ . Знайдемо суму трьох відомих кутів: 5 65∘ + 90∘ + 13∘ = 168∘ Оскільки сума кутів чотирикутника дорівнює 360∘ , то четвертий кут: 360∘ − 168∘ = 192∘ Цей кут більший за 180∘ , отже чотирикутник не є опуклим, бо в опуклому чотирикутнику всі кути повинні бути менші за 180∘ . Відповідь: Ні, чотирикутник не буде опуклим. §3. Прямокутник, ромб і квадрат 110. Сторона ромба дорівнює 𝑎. Знайди його периметр. Сформулюй та розв'яжи обернену задачу.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

У ромбі всі сторони рівні: P = 4a. Обернена задача Дано периметр ромба P. Знайти довжину його сторони a. Розв’язання: 𝑃 Оскільки 𝑃 = 4𝑎 ⇒ 𝑎 = . 𝑃

Відповідь: 𝑎 = . 4

111. Гра. Один із гравців / одна із гравчинь задає периметр квадрата. А другий / друга має знайти його сторону. Потім гравці / гравчині міняються ролями.

Усі сторони квадрата рівні, тому периметр P = 4a, звідки a = P : 4. Приклад: перший гравець називає P = 36 см, другий знаходить сторону a = 36 : 4 = 9 (см). Потім ролі міняються: наприклад, P = 2 дм, тоді a = 2 : 4 = 0,5 дм = 5 см. 112. Знайди периметр квадрата, якщо він на 30 дм довший за одну сторону. A 10 см; Б 20 см; В 30 см; Г 40 см. Позначимо сторону квадрата через a. Периметр квадрата: P = 4a За умовою: 4a = a + 30 Звідси: 4𝑎 − 𝑎 = 30 ⇒ 3𝑎 = 30 ⇒ 𝑎 = 10 дм. Тоді P = 4a = 4 ⋅ 10 = 40 дм = 400 см. Відповідь: периметр квадрата дорівнює 40 дм. Жоден варіант відповіді не підходить! 113. Знайди більший кут ромба, якщо один із них має 40∘ . A 40∘ ; Б 140∘ ; B 50∘ ; Г 280∘ Ромб — це паралелограм, у якому сусідні кути доповняльні: α + β = 180∘. β = 180∘ − 40∘ = 140∘ ⇒ більший кут = 140∘ . Відповідь: Б 140∘ . 114. Знайди кути ромба, якщо сума двох із них дорівнює 200∘ . У ромбі (як у будь-якому паралелограмі) протилежні кути рівні, а суміжні кути — додаткові (їхня сума дорівнює 180∘ ). © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Якщо взяти два протилежні кути, то їх сума: α + α = 2α = 200∘ ⇒ α = 100∘ . Тоді другий кут: β = 180∘ − 100∘ = 80∘ . Отже, кути ромба: 100∘ , 80∘ , 100∘ , 80∘ . Відповідь: кути ромба дорівнюють 100∘ і 80∘ . 115. Знайди кути ромба, якщо його діагоналі рівні. У ромбі всі сторони рівні. Якщо діагоналі рівні, то ромб одночасно є квадратом. У квадраті всі кути прямі. α = 90∘ Відповідь: кути ромба дорівнюють 90∘ , 90∘ , 90∘ , 90∘ . 116. Доведи, що кожна сторона прямокутника коротша від його діагоналі. Доведення Кожна діагональ прямокутника ділить його на два рівних прямокутних трикутники. У цих трикутниках сторони прямокутника є катетами, а діагональ — гіпотенузою. У прямокутному трикутнику завжди гіпотенуза довша за кожен катет. Отже, кожна сторона прямокутника коротша за його діагональ. 117. Доведи, що діагональ ділить прямокутник на два рівні трикутники. Нехай ABCD — прямокутник. Проведемо діагональ AC. Розглянемо трикутники △ABC і △ADC. Обидва — прямокутні (бо кути ∠ABC = 90° і ∠ADC = 90°). Вони мають спільну гіпотенузу AC. У прямокутнику протилежні сторони рівні: AB = CD і BC = AD. Отже, два прямокутні трикутники мають рівні гіпотенузи (AC = AC) і по одному рівному катету (наприклад, AB = CD). За ознакою рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою і катетом трикутники △ABC і △ADC рівні. Висновок: діагональ ділить прямокутник на два рівні (конгруентні) трикутники. 118. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 48 см і: Периметр прямокутника P = 48 см ⇒ 2(𝑎 + 𝑏) = 48 ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 24. а) Одна зі сторін 10 см 𝑎 = 10 ⇒ 𝑏 = 24 − 10 = 14. Відповідь: 10 см і 14 см. б) Одна зі сторін на 6 см більша за іншу Нехай 𝑏 = 𝑎 + 6. Тоді 𝑎 + 𝑏 = 24 ⇒ 𝑎 + (𝑎 + 6) = 24 ⇒ 2𝑎 = 18 ⇒ 𝑎 = 9; 𝑏 = 15. Відповідь: 9 см і 15 см. в) Одна зі сторін у 3 рази більша за іншу Нехай 𝑏 = 3𝑎. Тоді © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

𝑎 + 𝑏 = 24 ⇒ 𝑎 + 3𝑎 = 24 ⇒ 4𝑎 = 24 ⇒ 𝑎 = 6; 𝑏 = 18. Відповідь: 6 см і 18 см. г) Сторони пропорційні числам 3 і 5 Нехай 𝑎 = 3𝑘; 𝑏 = 5𝑘. Тоді 𝑎 + 𝑏 = 24 ⇒ 3𝑘 + 5𝑘 = 24 ⇒ 8𝑘 = 24 ⇒ 𝑘 = 3 ⇒ 𝑎 = 9; 𝑏 = 15. Відповідь: 9 см і 15 см. 119. Знайди сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 64 см i: Периметр прямокутника 𝑃 = 64 см ⇒ 2(𝑎 + 𝑏) = 64 ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 32. а) Одна зі сторін 12 см Нехай 𝑎 = 12 ⇒ 𝑏 = 32 − 12 = 20. Відповідь: 12 см і 20 см. б) Одна зі сторін на 10 см менша від іншої Нехай більша = 𝑎, менша = 𝑎 − 10. Тоді 𝑎 + (𝑎 − 10) = 32 ⇒ 2𝑎 = 42 ⇒ 𝑎 = 21; 𝑏 = 11. Відповідь: 21 см і 11 см. в) Сторони пропорційні числам 7 і 9 Нехай 𝑎 = 7𝑘; 𝑏 = 9𝑘. Тоді 7𝑘 + 9𝑘 = 32 ⇒ 16𝑘 = 32 ⇒ 𝑘 = 2 ⇒ 𝑎 = 14; 𝑏 = 18. Відповідь: 14 см і 18 см. 120. На малюнку зображено прямокутник 𝐴𝐵𝐶𝐷, периметр якого дорівнює 46 см. Визнач довжину сторони 𝐵𝐶, якщо 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 18 см. У прямокутника протилежні сторони рівні: AB = CD, BC = AD. AB + CD = 18 ⇒ 2AB = 18 ⇒ AB = 9 см. Периметр: P = 2(AB + BC) = 46 ⇒ AB + BC = 23 ⇒ BC = 23 – AB = = 23 – 9 = 14 см. Відповідь: BC = 14 см. 121. Знайди довжини діагоналей прямокутника, якщо вони перетинаються під кутом 60∘ , а менша сторона прямокутника дорівнює 7 см. Нехай ABCD — заданий прямокутник. 1. У прямокутнику діагоналі рівні і перетинаються навпіл, тож AO = OC і BO = OD. 2. У трикутнику △AOB маємо рівні сторони AO = BO, а кут між ними ∠AOB = 60°. Отже це рівнобедрений трикутник з вершиною в O, тому 180∘ −60∘ ∠OAB = ∠OBA = = 60∘ . 2

3. У △AOB всі три кути по 60° ⇒ трикутник рівносторонній: AB = AO = BO. Менша сторона прямокутника AB = CD = 7 см ⇒ AO = 7 см. Діагональ дорівнює AC = 2 ∙ AO = 14 см. Обидві діагоналі прямокутника рівні, тож AC = BD = 14 см. Відповідь: діагоналі дорівнюють 14 см. 122. Діагоналі прямокутника дорівнюють 12 см і перетинаються під кутом 60∘ . Знайди довжину меншої сторони прямокутника.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай діагоналі AC і BD перетинаються в точці O. У прямокутнику діагоналі рівні й діляться навпіл, 1 тому AO = BO = ⋅ 12 = 6 см. 2 Кут між діагоналями — це ∠AOB = 60°. У трикутнику AOB маємо AO = BO і кут при вершині 60° ⇒ він рівнобедрений, а його прилеглі кути також по 60°. Отже, △AOB рівносторонній, тому AB = AO = 6 см. Відповідь: менша сторона дорівнює 6 см. 123. Кут між діагоналями прямокутника дорівнює 40∘ . Знайди кути, які діагональ утворює зі сторонами прямокутника. Нехай ABCD — прямокутник, його діагоналі AC і BD перетинаються в точці O, а кут між діагоналями ∠AOB = 40°. У прямокутнику діагоналі діляться навпіл, тому AO = BO. Трикутник AOB — рівнобедрений із основою AB, тож кути при основі рівні: 180∘ −∠𝐴𝑂𝐵

180∘ −40∘

∠OAB = ∠OBA = = = 70∘ . 2 2 Кут ∠OAB — це якраз кут між діагоналлю AC і стороною AB. Оскільки ∠DAB = 90°, то другий кут при вершині A між діагоналлю AC і стороною AD дорівнює 90° - 70° = 20°. Відповідь: діагональ утворює зі сторонами прямокутника кути 70° і 20°.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

124. Діагональ прямокутника утворює з більшою стороною кут 40∘ . Знайди кут між діагоналями прямокутника.

Нехай ABCD – заданий прямокутник. Діагональ AC утворює кут 40° зі стороною DC. O – точка перетину діагоналей. Знайти: ∠DOC та ∠COB. Розв’язок: Використаємо властивість прямокутника: кут між діагоналями удвічі більший за кут між діагоналлю та довшою стороною. Маємо ∠ACD = 40° (діагональ AC з довшою стороною DC), отже ∠COB = 2 · 40° = 80°. Кути ∠COB і ∠DOC — суміжні (при перетині діагоналей), тому їх сума 180°: ∠DOC = 180° − 80° = 100°. Відповідь: ∠COB = 80°, ∠DOC = 100°. 125. Діагональ прямокутника дорівнює 15 см і утворює зі стороною кут 30∘ . Знайди довжину меншої сторони прямокутника.

Нехай ABCD – заданий прямокутник. Діагональ AC = 15 см і утворює кут 30° зі стороною BC. Знайти: AB. Розв’язок: У трикутнику ABC: ∠ABC = 90° (прямокутний), AC = 15 см, ∠ACB = 30°. Властивість: у прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Тут проти кута 30° лежить катет AB, гіпотенуза — AC. Тому AB = AC : 2 = 15 : 2 = 7,5 см. Відповідь: AB = 7,5 см. 126. Діагональ екрана монітора дорівнює 5 дм і утворює з його сторонами кути, один з яких удвічі більший за другий. Знайди довжину меншої сторони екрана монітору.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Розв’язок: Нехай кут між діагоналлю та однією стороною дорівнює x°, а з іншою — 2x°. У прямокутнику ці кути доповнюють один одного до 90°, тому: x + 2x = 90°; 3x = 90°; x = 30° (отже другий кут 60°). Властивість: у прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Тут гіпотенуза — діагональ екрана 5 дм, а менша сторона лежить проти кута 30°. Тому: менша сторона = 5 : 2 = 2,5 дм. Відповідь: 2,5 дм. 127. Менша сторона прямокутника дорівнює 8 см і утворює з діагоналлю кут 60∘ . Знайди довжину діагоналі прямокутника.

Розв’язок: Нехай ABCD — прямокутник, AC — його діагональ. За умовою кут між AC і CD дорівнює 60°, тобто ∠ACD = 60°. Оскільки ∠BCD = 90° (властивість прямокутника), то ∠BCA = 90° − 60° = 30°. У прямокутному трикутнику ABC катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи (властивість катета, що лежить проти кута 30°). Проти кута 30° лежить катет AB, гіпотенуза — AC. Маємо AB = 8 см, отже AB = AC : 2 ⇒ AC = 16 см. Відповідь: 16 см. 128. Менша сторона прямокутника дорівнює 22 см. Знайди довжину діагоналі прямокутника, якщо вона утворює зі сторонами кути, один із яких на 30∘ більший за другий.

Розв’язок: Нехай ∠BCA = x, ∠ACD = x + 30° (кути між діагоналлю AC і сторонами BC, CD). У прямокутника BC ⟂ CD, тому ці кути доповняють один одного до 90° (властивість прямого кута): x + (x + 30°) = 90°; 2x + 30° = 90°; 2x = 60°; x = 30°. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Отже, ∠BCA = 30°, ∠ACD = 60°. У прямокутному трикутнику ABC катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи (властивість 30°-трикутника). Тут AB = 22 см — катет проти 30°, гіпотенуза AC, тому AB = AC : 2 ⇒ AC = 2 · 22 = 44 см. Відповідь: AC = 44 см. 129. Діагоналі прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 перетинаються в точці 𝑂. Знайди довжини діагоналей, якщо периметр трикутника 𝐶𝑂𝐷 = 12 см, a ∠𝐶𝐴𝐷 = 30∘ .

Розв’язок: 1. Властивість прямокутника: діагоналі рівні й перетинаються навпіл ⇒ CO = DO та AC = BD. Нехай AC = d. Тоді CO = DO = d/2. 2. Розглянемо трикутник ACD (прямий кут при D). Дано ∠CAD = 30°. Властивість: катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи ⇒ CD = AC/2 = d/2. 3. Периметр трикутника COD: CO + DO + CD = d/2 + d/2 + d/2 = 3d/2 = 12 ⇒ d = 8. Відповідь: AC = BD = 8 см. 130. Бічні грані коробки для серветок є прямокутниками. Діагоналі прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 перетинаються в точці 𝑂. Знайди периметр трикутника 𝐶𝑂𝐷, якщо 𝐴𝐶 = 24 см, ∠𝐶𝐴𝐷 = 30∘ .

Розв’язок: Властивість прямокутника: діагоналі рівні й перетинаються навпіл, тому CO = DO = AC : 2 = 24 : 2 = 12 см. У трикутнику ACD (прямий кут при D) дано ∠CAD = 30°. Властивість: катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи ⇒ CD = AC : 2 = 24 : 2 = 12 см. Периметр трикутника COD: CO + DO + CD = 12 + 12 + 12 = 36 см. Відповідь: 36 см. 131. Бісектриса ∠𝐴 ділить сторону 𝐵𝐶 прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 навпіл. Знайди периметр паралелограма, якщо сторона 𝐴𝐵 = 7 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ABCD — прямокутник, AM — бісектриса ∠A, BM = MC. ∠BAM = 90° : 2 = 45°, тому в прямокутному △ABM ∠BMA = 90° − 45° = 45°. Отже, △ABM рівнобедрений: BM = AB = 7 см. BC = 2BM = 14 см. P = 2(AB + BC) = 2 · (7 + 14) = 42 (см). Відповідь: 42 см. 132. Бісектриса ∠𝐴 ділить сторону 𝐵𝐶 прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 на відрізки 𝐵𝑀 = 12 см, 𝑀𝐶 = 9 см. Знайди периметр прямокутника.

AM — бісектриса ∠A прямокутника ABCD, M ∈ BC. ∠BAM = 45°, тоді ∠BMA = 90° − 45° = 45°, і △ABM рівнобедрений: AB = BM = 12 см. BC = BM + MC = 12 + 9 = 21 (см). P = 2(AB + BC) = 2 · (12 + 21) = 66 (см). Відповідь: 66 см. 133. Бісектриса ∠𝐵 ділить сторону 𝐴𝐷 прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 у точці 𝑀 так, що 𝐴𝑀 ∶ 𝑀𝐷 = 2 ∶ 3. Знайди сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 56 см.

BM — бісектриса ∠B прямокутника ABCD, M ∈ AD, AM : MD = 2 : 3. ∠ABM = 45°, ∠BAM = 90°, тому ∠AMB = 45° і AB = AM. Нехай AM = 2x, MD = 3x, тоді AB = 2x, AD = 5x. P = 2(AB + AD) = 2(2x + 5x) = 14x = 56, x = 4. AB = 2 · 4 = 8 (см), AD = 5 · 4 = 20 (см). Відповідь: 8 см і 20 см. 134. У прямокутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷 бісектриса кута 𝐴 перетинає сторону 𝐵𝐶 в точці 𝑀, 𝐵𝑀 ∶ 𝑀𝐶 = 4 ∶ 5. Обчисли периметр прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷, якщо 𝐵𝐶 = 18 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BM : MC = 4 : 5, BC = 18 см, тоді BM = 18 : 9 · 4 = 8 (см), MC = 10 см. AM — бісектриса ∠A, тому ∠BAM = 45° і ∠BMA = 90° − 45° = 45°: △ABM рівнобедрений, AB = BM = 8 см. P = 2(AB + BC) = 2 · (8 + 18) = 52 (см). Відповідь: 52 см. 135. Якщо діагоналі паралелограма рівні, то він — прямокутник. Доведи.

За умовою AC = BD. Крім того, AB = CD і BC = AD як протилежні сторони паралелограма. Тобто ∆ABD = ∆BCD за трьома сторонами. Але і ∆ABC = ∆ACD за трьома сторонами (AC — спільна). Отже, діагональ AC ділить паралелограм ABCD на два рівних трикутники, тоді за властивостями прямокутників ABCD — прямокутник. 136. Доведи: а) якщо всі кути чотирикутника рівні, то він - прямокутник; б) якщо один кут паралелограма прямий, то цей паралелограм - прямокутник.

а) За умовою в паралелограмі ABCD всі кути рівні, тобто дорівнюють 90° (оскільки сума всіх внутрішніх кутів дорівнює 360°). Отже, всі суміжні сторони паралелограма взаємно перпендикулярні, тобто ABCD — прямокутник. Наприклад ∠A = 90°, тоді сторони AB і AD паралелограма взаємно перпендикулярні. Отже, ABCD — прямокутник. б) У паралелограмі протилежні кути рівні, а прилеглі (сусідні) – суміжні, тобто в сумі дають 180°. Нехай ∠A = 90°. Тоді ∠C = 90° (як протилежні в паралелограмі). © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Прилеглий до ∠A кут, наприклад ∠B: ∠A + ∠B = 180° ⇒ 90° + ∠B = 180° ⇒ ∠B = 90°. Аналогічно ∠D = 90°. Отже, всі кути паралелограма прямі, а паралелограм з усіма прямими кутами – це прямокутник. 137. Через точку M, що лежить на гіпотенузі прямокутного трикутника ABC, проведено прямі, паралельні катетам. Вони перетинають катети BC і AC у точках F і E. Доведи, що MFCE - прямокутник.

3а умовою в прямокутному ∆ABC ME ∥ ВC, MF ∥ AC. Тоді ∠AEM = ∠MFB = 90°. В чотирикутнику MFCE всі суміжні сторони взаємно перпендикулярні. Отже, MFCE — прямокутник. 138. Через точку P, що лежить на гіпотенузі прямокутного трикутника ABC, проведено прямі, паралельні катетам. Вони перетинають катети BC і AC у точках M і K. Доведи, що MK=PC.

△ABC, ∠C = 90°, P ∈ AB, PM ∥ AC (M ∈ BC), PK ∥ BC (K ∈ AC). У чотирикутнику CMPK: PM ∥ CK і PK ∥ CM, тому CMPK — паралелограм. Його кут C прямий, отже, CMPK — прямокутник. Діагоналі прямокутника рівні: MK = PC, що й треба було довести. 139. Бісектриса кута A прямокутника ABCD перетинає сторону BC у точці M так, що AM=MC. Знайди кути трикутника AMC.

AM — бісектриса ∠A прямокутника ABCD, M ∈ BC, AM = MC. ∠BAM = 45°, тому ∠AMB = 90° − 45° = 45°. ∠AMC = 180° − ∠AMB = 180° − 45° = 135° (суміжні кути). △AMC рівнобедрений (AM = MC), тому ∠MAC = ∠MCA = (180° − 135°) : 2 = 22,5°. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відповідь: 135°, 22,5°, 22,5°. 140. Серединний перпендикуляр діагоналі BD прямокутника ABCD перетинає сторону AD у точці K так, що AK:KD=1:2. Знайди: ∠ABK, ∠KBD, ∠DBC.

K лежить на серединному перпендикулярі до BD, тому KB = KD. Нехай AK = x, тоді KD = 2x і KB = 2x. У прямокутному △ABK катет AK = x дорівнює половині гіпотенузи KB = 2x, тому ∠ABK = 30°. Тоді ∠AKB = 90° − 30° = 60°. △BKD рівнобедрений (KB = KD), ∠AKB — його зовнішній кут: ∠KBD = ∠KDB = 60° : 2 = 30°. ∠DBC = ∠BDA = 30° (внутрішні різносторонні при BC ∥ AD і січній BD). Відповідь: ∠ABK = 30°, ∠KBD = 30°, ∠DBC = 30°. 141. Знайдіть периметр прямокутника ABCD, якщо бісектриси його кутів A і B ділять сторону CD на три відрізки по 3 см.

За умовою AM і BN — бісектриси кутів А і В прямокутника ABCD. При цьому CM = MN = ND = 3 см. Тоді AB = CD = 9 (см). Оскільки AМ — бісектриса, то ∠MAD = 45°, тоді ∠AMD = 90° – ∠MAD = 45° і ∆AMD — рівнобедрений, тобто AD = MD = 6 (см). Отже, шуканий периметр прямокутника P = 2(АВ + AD) = 2 • (9 + 6) = 30 (см). 142. Знайди кути ромба, якщо: а) один із них дорівнює 40°; б) сума двох із них дорівнює 130°; в) один із них у 3 рази більший за другий; г) один із них на 20° менший від другого.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Протилежні кути ромба рівні, а сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°. а) 40°, 180° − 40° = 140°: кути 40°, 140°, 40°, 140°. б) Сума двох суміжних кутів — 180°, тому 130° — сума двох протилежних (рівних) кутів: 130° : 2 = 65°, 180° − 65° = 115°. Кути 65°, 115°, 65°, 115°. в) x + 3x = 180°, x = 45°, 3x = 135°. Кути 45°, 135°, 45°, 135°. г) x + (x + 20°) = 180°, 2x = 160°, x = 80°. Кути 80°, 100°, 80°, 100°. Відповідь: а) 40°, 140°, 40°, 140°; б) 65°, 115°, 65°, 115°; в) 45°, 135°, 45°, 135°; г) 80°, 100°, 80°, 100°. 143. Знайди кути ромба, якщо: a) сума двох із них дорівнює 40°; б) один із них у 5 рази менший від другого; в) один із них на 50° більший за другий.

Протилежні кути ромба рівні, кути, прилеглі до однієї сторони, разом дають 180°. а) 40° — сума двох протилежних кутів: 40° : 2 = 20°, 180° − 20° = 160°. Кути 20°, 160°, 20°, 160°. б) x + 5x = 180°, x = 30°, 5x = 150°. Кути 30°, 150°, 30°, 150°. в) x + (x + 50°) = 180°, 2x = 130°, x = 65°. Кути 65°, 115°, 65°, 115°. Відповідь: а) 20°, 160°, 20°, 160°; б) 30°, 150°, 30°, 150°; в) 65°, 115°, 65°, 115°. 144. Один із кутів поверхні сережки у формі ромба дорівнює 50°. Знайди кут між меншою його діагоналлю і стороною.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

За умовою гострий кут ромба ABCD дорівнює 50°. BD — менша з діагоналей ромба. Потрібно визначити величину ∠CBD. Згідно з теоремою 6 підручника діагональ ромба — 1 бісектриса його кута, тому ∠CBD = ∠B. 2 Але ∠C + ∠B = 180°, ∠B = 180° – ∠C = 180° – 50° = 130°. Отже, ∠CBD = 65°. 145. Знайди кути ромба, якщо одна з його діагоналей дорівнює стороні.

Нехай BD = AВ, тоді ∆ABD — правильний, тобто ∠A = 60°, тоді ∠B = 180° – ∠A = 120°. Отже, кути ромба дорівнюють 60° і 120°. 146. Кути ромба пропорційні числам 1 і 2. Знайди меншу діагональ ромба, якщо його периметр дорівнює 40 см .

Можна вважати, що кути ромба мають міру х та 2х, де х — деяке число. Але х + 2х = 180; 3х = 180; х = 60; 2х = 120. Отже, кути ромба дорівнюють 60° і 120°. За умовою периметр ромба P = 40 м. Тоді 4ВС = 40, BС = 10 (м). Оскільки ∠C = 60°, то трикутник CBD — рівносторонній, тобто BC = BD = 10 (м). Отже, менша діагональ ромба дорівнює 10 м. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

147. Один із кутів ромба на 60° менший від другого. Знайди периметр ромба, якщо менша його діагональ дорівнює 6 см.

Нехай менший кут ромба має міру х, тоді міра більшого кута становить (х + 60). Маємо рівняння х + х + 60 = 180, звідки 2х = 180 – 60, 2х = 120, х = 60. Отже, кути ромба дорівнюють 60° і 120°. За умовою менша діагональ BD = 6 см. Але ∠A = 60°, тому ∆ABD — правильний і AB = BD = 6 (см). Тоді шуканий периметр P = 4АВ = 24 (см). 148. Висота ромба, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону навпіл. Знайди: а) кути ромба; б) периметр ромба, якщо менша його діагональ дорівнює 5 см.

За умовою в ромбі ABCD BM ⊥ AD і AM = MD. Тоді в ∆ABD висота BM одночасно є його медіаною, тобто ∆ABD — рівнобедрений, ∠A = ∠ADB. Оскільки в будь–якому ромбі його діагональ — бісектриса кута, то ∠D = 2∠ADB, крім того ∠A + ∠D = 180°, ∠A + 2∠ADB = 180°, 3∠A = 180°, звідки ∠A = 60°, ∠D = 120°. Якщо BD = 5 см, то периметр ромба P = 4AB = 4BD = 20 см. 149. Кут A ромба ABCD дорівнює 140°. Знайди кути трикутника AOB, якщо O - точка перетину діагоналей ромба.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

За умовою ∠A = 140°, О — точка перетину діагоналей ромба ABCD. Згідно теореми 6 підручника діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, тому ∠AOB = 90°. Далі 1 ∠BAO = ∠A = 70°, тоді ∠ABO = 90° – ∠BAO = 90° – 70° = 20°. 2 150. Знайди кути ромба ABCD, якщо ∠CBO:∠BCO = 2:3 де O - точка перетину діагоналей ромба.

Діагоналі ромба перпендикулярні, тому △BOC прямокутний: ∠CBO + ∠BCO = 90°. Нехай ∠CBO = 2x, ∠BCO = 3x: 2x + 3x = 90°, x = 18°, ∠CBO = 36°, ∠BCO = 54°. Діагоналі ромба — бісектриси його кутів: ∠B = 2 · 36° = 72°, ∠C = 2 · 54° = 108°. ∠D = ∠B = 72°, ∠A = ∠C = 108°. Відповідь: ∠A = ∠C = 108°, ∠B = ∠D = 72°. 151. Сторона ромба дорівнює а см, а кут 150∘ . Знайди відстань між протилежними сторонами ромба.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

За умовою в ромбі ABCD ∠B = 150°; сторона (наприклад, AB) має довжину а. Потрібно визначити відстань між протилежними сторонами ромба. З вершини В опустимо перпендикуляр BM на сторону AD. ∆ABM — прямокутний і ∠A = 180° – ∠B = 180° – 150° = 30°. В ∆ABM катет BM (шукана відстань) лежить проти кута в 1 а 30°, тому має довжину, рівну половині довжини гіпотенузи, тобто BM = AВ = . 2 2 152. M, N, P, K - середини сторін квадрата ABCD. Доведи, що MNPK - квадрат.

За умовою AM = MB, BN = NC, CP = PD і AK = KD. Тому всі прямо–кутні рівнобедрені трикутники рівні між собою, тобто MN = NP = PK = MK і ∠BMN = ∠BNM = ∠CNP = = ∠DPK = ∠AKM = ∠AMK = 45°, тобто ∠M = ∠N = ∠P = ∠K = 180° – 45° – 45° = 90°. Отже, у чотирикутника MNPK MN = NP = PK = MK і ∠M = ∠N = ∠P = ∠K = 90°. За означенням такий чотирикутник — квадрат. 153. Доведи, що ромб, у якого діагоналі рівні, - квадрат.

За умовою діагоналі рівні, тому чотирикутник ABCD — прямокутник, крім того його діагональ ділить прямокутник на два рівних прямокутних трикутники, тобто AB = BC = = CD = AD. Тоді за означенням ABCD — квадрат. 154. Доведи, що прямокутник, у якого діагоналі перпендикулярні, - квадрат.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Згідно з теоремою 6 підручника чотирикутник, діагоналі якого взаємно перпендикулярні, є квадрат, що й треба було довести. 155. Доведи, що точка перетину діагоналей квадрата рівновіддалена від сторін квадрата.

O — точка перетину діагоналей квадрата ABCD; OK ⊥ AB, OL ⊥ BC, OM ⊥ CD, ON ⊥ AD. Діагоналі квадрата рівні й точкою перетину діляться навпіл: OA = OB = OC = OD. Тоді △AOB = △BOC = △COD = △DOA за трьома сторонами (сторони квадрата теж рівні). У рівних трикутниках рівні й висоти, проведені до рівних сторін: OK = OL = OM = ON. Отже, точка O рівновіддалена від сторін квадрата, що й треба було довести. 156. Українці часто робили святкові прикраси із соломи. Периметр такої квадратної прикраси дорівнює 16 см. Знайди відстань від точки перетину діагоналей до сторін прикраси.

За умовою в ∆ABD відрізок OM — середня лінія, тому OM = 1

АВ. Периметр

чотирикутника дорівнює 16 см, 4AB = 16 см, AB = 4 см, OM = • 4 = 2 см. 2 157. На діагоналі 𝐴𝐶 квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 взято точку 𝑀 так, що 𝐵𝑀: 𝑀𝑂 = 2 ∶ 1, де 𝑂 точка перетину діагоналей квадрата. Установи відповідність між кутами, заданими умовами (13), та їх градусними мірами (А-Д). 1. ∠𝑂𝐵𝑀; 2. ∠𝐴𝑀𝐵; 3. ∠𝑀𝑅𝐶. А. 15∘ ; Б. 30∘ ; В. 45∘ ; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Г. 75∘ ; Д. 120∘ .

Діагоналі квадрата перпендикулярні, тому △BOM прямокутний (∠BOM = 90°). Катет MO дорівнює половині гіпотенузи BM, отже, ∠OBM = 30° і ∠BMO = 60°. 1) ∠OBM = 30° — Б. 2) Точка M лежить між A і O, тому ∠AMB = 180° − ∠BMO = 180° − 60° = 120° — Д. 3) ∠MBC = ∠MBO + ∠OBC = 30° + 45° = 75° — Г. Відповідь: 1 — Б, 2 — Д, 3 — Г. 158. На малюнку зображено частину загону для коней. Скільки метрів дерев'яних рейок знадобиться для огорожі нового загону, якщо він матиме форму прямокутника зі сторонами 30 м і 40 м?

На малюнку огорожа має 3 горизонтальні рейки. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Периметр нового загону P = 2(30 + 40) = 140 (м). Рейок потрібно 3 · 140 = 420 (м). Відповідь: 420 м. 159. 𝐵𝐸 і 𝐶𝐾 - бісектриси кутів 𝐵 і 𝐶 прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷, які перетинають сторону 𝐴𝐷 у точках 𝐸 і 𝐾 так, що 𝐴𝐸 = E𝐾 = 𝐾𝐷. Знайди сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 64 см.

BE — бісектриса ∠B, тому ∠ABE = 45°; у прямокутному △ABE ∠AEB = 45°, отже, AE = AB. Так само з △CDK: KD = CD = AB. AE = EK = KD = AB, тому AD = 3AB. P = 2(AB + AD) = 2(AB + 3AB) = 8AB = 64, AB = 8 см, AD = 24 см. Відповідь: 8 см і 24 см. 160. 𝐵𝐿 and 𝐶𝑃 are the bisectors of the angles 𝐵 and 𝐶 of the rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷, intersecting the side 𝐴𝐷 at points 𝐿 and 𝑃 so that 𝐴𝐿 = 𝐿𝑃 = 𝑃𝐷. Find the sides of 𝑎 rectangle if its periмeter is 32 см .

BL — бісектриса ∠B, тому ∠ABL = 45°, і в прямокутному △ABL ∠ALB = 45°: AL = AB. Так само з △CDP: PD = CD = AB. AL = LP = PD = AB, тому AD = 3AB. P = 2(AB + AD) = 8AB = 32, AB = 4 см, AD = 12 см. Відповідь: 4 см і 12 см (the sides are 4 cm and 12 cm). 161. З вершини 𝐵 прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 опущено перпендикуляр 𝐵𝐾 на діагональ 𝐴𝐶, 𝐾 ∈ 𝐴𝐶. Знайди 𝐴𝐾 і 𝐾𝐶, якщо 𝐴𝐶 = 12 см i ∠𝐵𝐴𝐾 = 60∘ .

3а умовою BO ⊥ AC, O ∈ AC, AC = 12 см, ∠BAO = 60°. Потрібно визначити довжину 1 сторони квадрата. За умовою ∠BAK = 60°, тоді ∠ABK = 30° AK = AB, як катет, що лежить 2 проти кута в 30°. Нехай AK = х, тоді AB = 2х. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

У ∆АВС: AB2 = AC • AK; 4х2 – 12 • х; 4x – 12; х = 3. Отже AK = 3 см; KC = 9 – 3 = 6 (см). Відповідь: 3 см; 6 см. 162. З вершини 𝐵 прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 опущено перпендикуляр 𝐵𝐾 на діагональ 𝐴𝐶, 𝐾 ∈ 𝐴𝐶. У якому відношенні точка 𝐾 ділить 𝐴𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 6 см і ∠𝐴𝐵𝐾 ∶ ∠𝐾𝐵𝐶 = 1 ∶ 2 ?

За умовою BK ⊥ AC, K ∈ AC, AB = 6 см, ∠ABK : ∠KBC = 1 : 2. ∠ABK + ∠KBC = 90°, отже ∠ABK = 30°, ∠KBC = 60°. 1 1 У ∆ABK : AK = АВ = • 6 = 3 (см). 2 2 Позначимо KC = х, тоді AB2 = AC • AK; 36 = (х + 3) • 3; 3х = 27; х = 9. Отже, KC = 9 см. AK : KC = 3 : 9 = 1 : 3. Відповідь: 1 : 3. 163. У прямокутний ∆ABC вписано прямокутник CKLM так, що ∠C у них спільний, а 1 точка L — середина AB. Доведи, що KM = АВ. 2

За умовою у прямокутний ∆АВС вписано прямокутник CKLM так, що ∠C у них спільний, 1 а точка L — середина AВ, потрібно довести, що KM = AB. За умовою AL = LB, тоді AK 1

= KC, KM — середня лінія ∆ABC, тому KM = AB, що й треба було довести. 2 164. У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано прямокутник, який має з трикутником спільний прямий кут. Знайди катети трикутника, якщо сторони прямокутника дорівнюють 2 см і 7 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

За умовою ∆ABC — прямокутний рівнобедрений, в який вписано прямокутник CMNK зі сторонами CM = 2 см і MN = 7 см. Потрібно визначити довжини катетів ∆ABC. За умовою MN ∥ AC і NK ∥ ВC. Тоді BM = MN і NK = AK. BC = BM + CM = MN + CM = 7 + 2 = 9 (см). Отже, катети прямокутного ∆ABC мають довжину, рівну 9 см. 165. У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано прямокутник, дві вершини якого лежать на гіпотенузі, а дві інші — на катетах (мал.3.19). Знайди периметр прямокутника, якщо його сторони пропорційні числам 2 і 5, а довжина гіпотенузи дорівнює 18 см.

За умовою, в прямокутний рівнобедрений трикутник ABC вписано прямокутник. Потрібно обчислити периметр прямокутника, якщо його сторони відносяться як 2 : 5, а гіпотенуза трикутника дорівнює 18 см. NK ∥ AВ, тому ∆CNK — рівнобедрений, CN = CK. Менша 2 сторона прямокутника MN дорівнює згідно з умовою ML. Тоді периметр чотирикутника 2

дорівнює: P = 2(MN + ML) = 2 • ( ML + ML) = ML. 5 5 ∆MAN і ∆BKL — рівнобедрені і ∆MAN = ∆BKL, тобто MN = AM = LK = LB. Тоді AB = 4 9 AM + ML + LB = MN + ML + MN – 2MN + ML = ML + ML = ML = 18, звідки 5

5 14

ML = • 18 = 10 (см), MN = • 10 = 4 (см). Отже, P = ML = • 10 = 28 (см). 9 5 5 5 166. Дано прямокутний рівнобедрений трикутник. Якщо з будь-якої точки гіпотенузи опустити перпендикуляри на катети, то утвориться прямокутник, півпериметр якого дорівнює катету. Доведи.

3а умовою в прямокутному рівнобедреному трикутнику ABC на гіпотенузі AB взята довільна точка N, з якої опущені перпендикуляри на катети ∆ABC. При цьому утворюється прямокутник MNKC. Потрібно довести, що півпериметр прямокутника дорівнює катету ∆АВС. Дійсно, за умовою ∆ABC — рівнобедрений, тобто AC = BC. Але тоді і ∆MBN також рівнобедрений, тобто MB = MN (оскільки MN ∥ AC). 1 Далі, BC = MC + MB = MC + MN = Р, що й потрібно було довести. 2 167. Якщо діагоналі паралелограма ділять його кути навпіл, то цей паралелограм - ромб. Доведи. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

За умовою діагоналі паралелограма ділять його кути навпіл. ∠ABD = ∠CBD, ∠BAC = ∠CAD. Тоді ∠1 = ∠2 як різносторонні внутрішні кути при січній BD та паралельних прямих AB і CD. Так само ∠3 = ∠4. За властивостями паралелограма ∠A + ∠B = 180°, 2∠1 + 2∠4 = 180°, ∠1 + ∠4 = 90°, але ∠4 = ∠BAO, тому ∠1 + ∠BAO = 90°, тобто ∠AOB = 180° – 90° = 90°. Отже, діагоналі паралелограма взаємно перпендикулярні, що згідно з теоремою 6 підручника означає: ABCD – ромб. 168. Доведи, що чотирикутник, у якого всі сторони рівні, - ромб.

За умовою AB = BC = CD = AD. Тоді ∆АОВ = ∆СОD (AB = CD за умовою, AO = ОС, BO = OD за властивостями діагоналей паралелограма) за трьома сторонами. Так само ∆BOC = ∆AOD. Далі, ∠ABO = ∠CDO як різнобічні внутрішні кути при січній BD та паралельних прямих AB і CD, тобто в чотирикутнику ABCD протилежні сторони паралельні і рівні між собою. Тоді ABCD — паралелограм, у якого за умовою всі сторони рівні. Отже, ABCD є ромб. 169. Установи вид чотирикутника, вершини якого середини сторін прямокутника.

3а умовою ABCD — прямокутник, в якому AM = MB, BN = NC, CP = PD і AK = KD. Проведемо діагоналі прямокутника AC і BD. Кожна з них ділить прямокутник на два 1 рівних прямокутних трикутники. В ∆ABC відрізок MN — середня лінія, тобто MN = AC 2

і MN ∥ AC. Так само PK = АС і PK ∥ AC. Отже, в чотирикутнику MNPK протилежні 2 сторони MN і PK рівні і паралельні. Ту ж властивість мають сторони NP і MK. Таким чином, MNPK — ромб, бо діагоналі будь–якого прямокутника згідно з теоремою 5 підручника рівні (тоді MN = NP = PK = MK). 170. Рамка для дзеркала має форму ромба. Знайди периметр цього ромба, якщо сума трьох його кутів дорівнює 210∘ , а висота ромба 17 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Сума всіх кутів ромба 360°, тому четвертий кут 360° − 210° = 150°, а гострий кут ромба 180° − 150° = 30°. Проведемо висоту BH = 17 см. У прямокутному △ABH ∠A = 30°, тому катет BH дорівнює половині гіпотенузи AB: AB = 2 · 17 = 34 (см). P = 4 · 34 = 136 (см). Відповідь: 136 см. 171. Один із кутів ромба у два рази більший за другий. 3 вершини тупого кута ромба проведено висоту, яка відтинає від сторони ромба відрізок довжиною 6 см. Знайди: а) периметр ромба; б) довжину меншої діагоналі.

Кути ромба x і 2x: x + 2x = 180°, x = 60°. Отже, ∠A = 60°, ∠B = 120°. BH — висота з вершини тупого кута, AH = 6 см. У прямокутному △ABH ∠ABH = 90° − 60° = 30°, тому AH = AB : 2, AB = 12 см. а) P = 4 · 12 = 48 (см). б) Менша діагональ BD: у △ABD AB = AD і ∠A = 60°, тому △ABD рівносторонній, BD = 12 см. Відповідь: а) 48 см; б) 12 см. 172. Один із кутів ромба на 120∘ менший від іншого, а периметр дорівнює 48 см . Знайди висоту ромба, проведену з вершини тупого кута.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Кути ромба x і x + 120°: x + x + 120° = 180°, x = 30°. Гострий кут ромба 30°, тупий — 150°. Сторона ромба 48 : 4 = 12 (см). BH — висота з вершини тупого кута B на сторону AD. У прямокутному △ABH ∠A = 30°, тому BH = AB : 2 = 12 : 2 = 6 (см). Відповідь: 6 см. 173. Один із кутів ромба у 5 разів більший за інший, а периметр дорівнює 56 см. Знайди висоту ромба, проведену з вершини гострого кута.

3а умовою ABCD — ромб, периметр якого P = 56 см, ∠B = 5∠A і AM ⊥ CD. ∠A + ∠B = 180° як сума кутів, прилеглих до однієї сторони ромба. Тоді ∠A + 5∠A = 180°, 6∠A = 180°, ∠A = 30°. Але ∠A = ∠ADM як внутрішні різносторонні кути при січній AD і паралельних прямих AB і CD. Тоді в прямокутному ∆ADM AM — катет, що лежить проти 1 кута в 30°, тобто AM = AD. AD знаходимо з умови: P = 4AD, 4AD = 56, AD = 14 (см). 2

Отже, від вершини гострого кута ромба до його протилежної сторони OM = • 14 = 7 (см). 2 174. Доведи, що точка перетину діагоналей ромба рівновіддалена від усіх його сторін.

В ромбі ABCD, O — точка перетину його діагоналей; OM ⊥ AB, ON ⊥ ⊥BC, OP ⊥ CD, OK ⊥ AD. Згідно теоремі 6 підручника BD ⊥ AC. За властивостями ромба його діагоналі в точці їх перетину діляться навпіл, тобто BO = OD і AO = ОС. Відрізки ОМ, ON, OP і OK — відстані від точки O до сторін ромба AВ, BC, CD і AD відповідно. Прямокутні трикутники ∆АОВ, ∆BOC, ∆COD і ∆AOD за двома катетами. В цих трикутниках з вершин прямих кутів на гіпотенузи опущені перпендикуляри ОМ, ON, OP і OK. Оскільки трикутники рівні, то рівні і відповідні їх елементи, тобто OM = ON = OP = OK, що й треба було довести. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

175. У рівносторонній △ 𝐴𝐵𝐶 вписано ромб, периметр якого дорівнює 16 см. Знайди периметр трикутника.

За умовою ∆АВС — правильний, AMNK — ромб, периметр якого дорівнює 16 см. P = 4MN, 4MN = 16, MN = 4 (см). MN ∥ AC, тобто ∆MBN також правильний, MN = MB. Але MN = AM як сторони ромба, тоді AM = MB і MN — середня лінія ∆ABC, AC = 2MN. Аналогічно, NK — середня лінія ∆АВС, AB = 2NK. Отже, сторони ∆ABC вдвічі довші за сторони ромба AMNK, AB = BC = AC = 2АМ = 2 • 4 = 8 (см). Таким чином, периметр ∆ABC P = 3АВ = 3 • 8 = 24 (см). 176. 3 вершини тупого кута 𝐵 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 до сторін 𝐶𝐷 і 𝐴𝐷 проведено перпендикуляри 𝐵𝑀 і 𝐵𝑁(𝑀 ∈ 𝐶𝐷, 𝑁 ∈ 𝐴𝐷). Доведи, що: а) 𝐵𝑀 = 𝐵𝑁; б) ∠𝑁𝐵𝑀 = ∠𝐵𝐴𝐷.

В ромбі ABCD BM ⊥ CD, BN ⊥ AD. а) Прямокутні ∆BMC і ∆ANB рівні за рівними гіпотенузами BC і AB (сторони ромба) і гострими кутами (∠А = ∠C як протилежні кути ромба). Отже, BM = BN. б) ∠A + ∠B = 180° як сума кутів, прилеглих до сторони ромба. ∠B = ∠ABN + ∠NBM + ∠MBC = 90° – ∠A + ∠NBM + 90° – ∠C = 2 • (90° – ∠A) + ∠NBM. Тоді ∠A + ∠B = ∠A + 2 • (90° – ∠A) + ∠NBM = 180° – ∠A + ∠BNM. Маємо рівність 180° – ∠A + ∠NBA = 180°, звідки ∠A = ∠NBM, що й потрібно було довести. 177. На сторонах квадрата, зовні від нього, побудовано рівносторонні трикутники, вершини яких послідовно сполучено. Доведи, що утворений чотирикутник – квадрат.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

За умовою на сторонах квадрата ABCD зовні його побудовано правильні трикутники, вершини яких К, Р, T і N послідовно з’єднані відрізками. Потрібно довести, що чотирикутник KPTN квадрат, тобто, що всі його сторони рівні між собою і всі кути прямі. Або ж, що діагоналі PN і KT одночасно рівні і взаємно перпендикулярні. Побудуємо діагоналі PN і KT і позначимо точки їх перетину зі сторонами квадрата ABCD. За умовою ∆BPC — правильний, тому відрізок PL одночасно являється висотою і медіаною ∆ВРС, 1 тобто BL = LC = ВС. Теж саме має місце і для інших трьох трикутників. Діагоналі PN і 2 KP проходять через середини протилежних сторін квадрата паралельно його відповідним сторонам. Оскільки суміжні сторони квадрата взаємно перпендикулярні, то і діагоналі PN та KT взаємно перпендикулярні. Доведемо, що діагоналі рівні між собою. Дійсно, PN = PL + LF + FN = 2h + а, h = PL = FN — довжина сторони квадрата ABCD. Точно такий же вигляд має вираз і для діагоналі KT. Отже, діагоналі чотирикутника KPTN одночасно рівні між собою і взаємно перпендикулярні, що можливо лише в тому разі, коли чотирикутник KPTN являється квадратом. 178. Точки 𝑀, 𝑁, 𝑃, 𝐾 ділять сторони квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 у відношенні 1 ∶ 2. Доведи, що 𝑀𝑁𝑃𝐾 - квадрат.

Всі чотири прямокутні трикутники MBN, NCP, PDK і KAM рівні між собою за двома катетами. Тоді всі сторони чотирикутника MNPK рівні. Крім того, сума кутів при кожній вершині чотирикутника MNPK дорівнює 180°. Наприклад, при вершині M ∠AMK + ∠M + ∠BMN = 180°, ∠M = 180° – (∠AMK + ∠BMN). Але сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, тому ∠M – 180° – 90° = 90°. Отже, всі кути чотирикутника MNPK — прямі, а це означає, що даний чотирикутник — квадрат, що й потрібно було довести. 179. У квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписано прямокутник 𝑀𝑁𝑃𝐾. Доведи, що довжина діагоналі квадрата дорівнюе півпериметру прямокутника.

Півпериметр прямокутника дорівнює сумі його суміжних сторін, наприклад, P = MN + 2 NP. Кожна з діагоналей квадрата ділить його кут навпіл. Всі чотири прямокутні © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

трикутники, утворені діагоналлю квадрата та двома протилежними сторонами прямокутника — рівнобедрені з кутом при основі, рівним 45°. Всі вони рівні між собою за двома катетами. Тоді діагональ квадрата 1 AC = AT + TL + LC = MT + MN + NL = MN + NP = Р, що й потрібно було довести. 2 180. Установіть відповідність між множинами чотирикутників (1-4) і властивостями, які мають усі чотирикутники цих множин (А-Д). 1. множина всіх паралелограмів; 2. множина всіх прямокутників; 3. множина всіх ромбів; 4. множина всіх квадратів. А. суміжні сторони чотирикутника рівні між собою, а протилежні сторони не завжди рівні; Б. усі кути і всі сторони чотирикутника рівні між собою; В. діагоналі чотирикутника не завжди рівні, але є бісектрисами всіх внутрішніх кутів; Г. протилежні тупі кути чотирикутника рівні між собою, а діагоналі не завжди є перпендикулярними; Д. діагоналі чотирикутника рівні між собою, але не завжди перпендикулярні. 1) Паралелограми: протилежні кути рівні, діагоналі не завжди перпендикулярні — Г. 2) Прямокутники: діагоналі рівні, але не завжди перпендикулярні — Д. 3) Ромби: діагоналі не завжди рівні, але є бісектрисами кутів — В. 4) Квадрати: усі кути й усі сторони рівні — Б. Відповідь: 1 — Г, 2 — Д, 3 — В, 4 — Б. 181. На сторонах 𝐵𝐶 і 𝐶𝐷 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 у зовнішню сторону побудовано квадрати 𝐵𝑀𝑁𝐶 і 𝐶𝐾𝑃𝐷. Доведи, що 𝐴𝑀 = 𝐴𝑃, 𝐴𝑀 ⊥ 𝐴𝑃.

Нехай ∠BAD = α, тоді ∠ABC = ∠ADC = 180° − α. Сторона ромба a = AB = BC = CD = AD. У квадратів BM = BC = a, DP = CD = a, ∠CBM = ∠CDP = 90°. ∠ABM = 360° − ∠ABC − ∠CBM = 360° − (180° − α) − 90° = 90° + α; так само ∠ADP = 90° + α. △ABM = △ADP за двома сторонами і кутом між ними (AB = AD, BM = DP, ∠ABM = ∠ADP), тому AM = AP. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

△ABM рівнобедрений (AB = BM), тому ∠BAM = (180° − 90° − α) : 2 = 45° − α/2; так само ∠DAP = 45° − α/2. ∠MAP = ∠BAM + ∠BAD + ∠DAP = 45° − α/2 + α + 45° − α/2 = 90°, тобто AM ⊥ AP, що й треба було довести. 182. Складання серветок. Розглянь малюнок. Візьми паперову серветку і склади її за вказаним алгоритмом. Запропонуй інший спосіб складання серветок.

183. Бісектриса кута 𝐴 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 ділить сторону 𝐵𝐶 на відрізки 7 см і 3 см , починаючи від вершини 𝐵. Знайди периметр паралелограма.

AM — бісектриса ∠A, M ∈ BC, BM = 7 см, MC = 3 см. ∠BAM = ∠MAD (AM — бісектриса), ∠MAD = ∠BMA (внутрішні різносторонні при BC ∥ AD і січній AM). Отже, ∠BAM = ∠BMA, △ABM рівнобедрений: AB = BM = 7 см. BC = 7 + 3 = 10 (см). P = 2(AB + BC) = 2 · (7 + 10) = 34 (см). Відповідь: 34 см. 184. З вершин 𝐵 і 𝐷 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 на діагональ 𝐴𝐶 опущено перпендикуляри 𝐵𝑀 і 𝐷𝑁 ( 𝑀 ∈ 𝐴𝐶, 𝑁 ∈ 𝐴𝐶 ). Доведи, що 𝐵𝑀𝐷𝑁 - паралелограм.

BM ⊥ AC, DN ⊥ AC, тому BM ∥ DN. △ABM = △CDN (прямокутні): гіпотенузи AB = CD (протилежні сторони паралелограма), ∠BAM = ∠DCN (внутрішні різносторонні при AB ∥ CD і січній AC). Отже, BM = DN. У чотирикутнику BMDN сторони BM і DN рівні й паралельні, тому BMDN — паралелограм, що й треба було довести. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

185. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 7 см. Якими натуральними числами може виражатися довжина третьої сторони?

За нерівністю трикутника третя сторона c задовольняє умову 7 − 3 < c < 7 + 3, тобто 4 < c < 10. Натуральні значення: 5, 6, 7, 8, 9 (см). Відповідь: 5 см, 6 см, 7 см, 8 см або 9 см. Задачі за готовими малюнками (Сторінка 33) А 1. Дано: ∠A = ∠C = 30°, ∠D= 2∠B. Знайти: ∠B, ∠D

Сума внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює 360°, тому ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°, 30° + ∠B + 30° + ∠D = 360°, ∠B + ∠D = 300°, ∠B + 2∠B = 300°, 3∠B = 300°, ∠B = 100°, ∠D = 2 • 100° = 200°. 2. Дано: ▱ABCD, AB ⟂ BD, ∠ACD = 30°. Довести: AO = BD.

Потрібно довести, що: AO = BD. ∠BAO = ∠ACD = 30° як внутрішні різносторонні кути при січній AC та паралельних прямих AB і CD. ∆ABO — прямокутний, катет BO лежить проти кута в 30°, тому його довжина складає половину довжини гіпотенузи: 1 BO = АО, AO = 2ВО, але BO = OD за властивостями діагоналей паралелограма. 2 Тоді BD = BO + OD = 2ВО, отже, AO = BD, що й потрібно було довести. 3. Дано: ▱ABCD, AB = AK, ∠CBK = 55°. Знайти: ∠A, ∠D.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AB = BK, тому ∆ABK — рівнобедрений, ∠ABK = ∠AKВ, але ∠AKB = ∠CBK = 55° як внутрішні різносторонні кути при січній BK та паралельних прямих BC і AD, тому ∠ABK = 55° і ∠B = ∠ABK + ∠CBK = 110°, тоді ∠A= 180° – ∠B = 180° – 110° = 70°. ∠D = ∠B як протилежні кути паралелограма, ∠D = 110°. 4. Дано: ABCD — прямокутник, AC = 2AB. Знайти: ∠COB.

В прямокутному ∆ABC AC = 2АВ, тоді ∠ACB = 30°, ∆СОВ — рівнобедрений, бо BO = CO за властивостями діагоналей прямокутника, тоді ∠CBO = ∠ACB = 30° і ∠COB = 180° – ∠ACB – ∠CBO = 180° – 30° – 30° = 120°. Б 1. Дано: ▱ABCD, ∠A : ∠B = 1 : 2. Знайти: ∠B, ∠C.

Сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°: ∠A + ∠B = 180°. ∠A = x, ∠B = 2x: x + 2x = 180°, x = 60°. ∠B = 120°, ∠C = ∠A = 60°. Відповідь: ∠B = 120°, ∠C = 60°. 2. Дано: ▱ABCD, AD = DM, ∠AMC = 140°. Знайти: ∠B, ∠C.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∠AMD = 180° − ∠AMC = 180° − 140° = 40° (суміжні кути). △ADM рівнобедрений (AD = DM), тому ∠DAM = ∠AMD = 40°. ∠D = 180° − 40° − 40° = 100°. ∠B = ∠D = 100°, ∠C = 180° − 100° = 80°. Відповідь: ∠B = 100°, ∠C = 80°. 3. Дано: ▱ABCD, CD = DK, ∠A = 45°. Знайти: ∠B, ∠K.

∠B = 180° − ∠A = 180° − 45° = 135°. ∠CDK = ∠A = 45° (відповідні кути при AB ∥ DC і січній AK). △CDK рівнобедрений (CD = DK), тому ∠K = ∠DCK = (180° − 45°) : 2 = 67,5°. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відповідь: ∠B = 135°, ∠K = 67,5°. 4. Дано: ABCD — прямокутник, ∠MBC = 60°, AB = a, BM⊥AC. Знайти: MC.

У прямокутному △BMC ∠MBC = 60°, тому ∠MCB = 30°, тобто ∠ACB = 30°. У прямокутному △ABC катет AB лежить проти кута 30°, тому AC = 2AB = 2a. У прямокутному △ABM ∠BAM = 90° − 30° = 60°, ∠ABM = 30°, тому AM = AB : 2 = a/2. MC = AC − AM = 2a − a/2 = 1,5a. Відповідь: 1,5a. Самостійна робота (Сторінка 34) Варіант 1 1. Знайди кути паралелограма, якщо вони пропорційні числам 2 і 3.

Кути паралелограма, прилеглі до однієї сторони, разом дають 180°: 2x + 3x = 180°, x = 36°. 2 · 36° = 72°, 3 · 36° = 108°. Відповідь: 72°, 108°, 72°, 108°. 2. Знайди сторони прямокутника, якщо одна з них на 3 см менша від другої, а периметр прямокутника дорівнює 34 см .

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай більша сторона x см, тоді менша x − 3 см. P = 2(x + x − 3) = 34, 2x − 3 = 17, x = 10. Сторони 10 см і 10 − 3 = 7 (см). Відповідь: 7 см і 10 см. 3. На діагоналі AC ромба ABCD відклали рівні відрізки AM і CN. Доведіть, що чотирикутник DMBN — ромб. ABCD — ромб, AM = CN. Потрібно довести, що MBND — ромб. Діагональ ромба ділить його кути навпіл: ∠BAM = ∠MAD, ∠BCN = ∠DCN. ∆BCN = ∆CDN за вдома сторонами і кутом між ними (BC = CD як сторони ромба, CN — спільна сторона). Так само ∆ABM = ∆ADM. Тоді BN = ND i BM = MD. Але ∆BMN = ∆MDN за трьома сторонами. Отже, BM = DN і BN = DM. Таким чином, в чотирикутнику MBND всі сторони рівні; за означенням чотирикутник MBND — ромб, що й потрібно було довести. 4. У прямокутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷 бісектриса кута 𝐴 перетинае сторону 𝐶𝐷 у точці 𝑀. Знайди периметр прямокутника, якщо 𝐴𝐵 = 10 см i 𝐶𝑀 ∶ 𝑀𝐷 = 1 ∶ 4.

CD = AB = 10 см, CM : MD = 1 : 4, тому CM = 2 см, MD = 8 см. AM — бісектриса ∠A: ∠DAM = 45°, у прямокутному △ADM ∠AMD = 45°, отже, AD = DM = 8 см. P = 2(AB + AD) = 2 · (10 + 8) = 36 (см). Відповідь: 36 см. Варіант 2 1. Знайдіть кути ромба, якщо один із них на 30° більший за другий. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай менший кут ромба має міру х, тоді міра більшого кута дорівнює (х + 30), де х — деяке число. Сума суміжних кутів ромба дорівнює 180°. Маємо рівняння: х + (х + 30) = 180; 2х + 30 = 180; 2х = 150; тоді х = 75°, х + 30 = 105°. Отже, кути ромба дорівнюють 75° і 105°. 2. Знайди сторони паралелограма, якщо одна з них у 2 рази більша за другу, а периметр паралелограма дорівнює 36 см.

Нехай менша сторона x см, тоді більша 2x см. P = 2(x + 2x) = 6x = 36, x = 6. Сторони 6 см і 12 см. Відповідь: 6 см і 12 см. 3. 𝑀 і 𝑁 - середини сторін 𝐵𝐶 і 𝐴𝐷 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷. Доведи, що чотирикутник 𝐴𝑀𝐶𝑁 паралелограм.

M і N — середини сторін BC і AD ромба ABCD, тому MC = BC : 2, AN = AD : 2. BC = AD (сторони ромба), отже, MC = AN. Крім того, MC ∥ AN, бо BC ∥ AD. У чотирикутнику AMCN дві протилежні сторони рівні й паралельні, тому AMCN — паралелограм, що й треба було довести. 4. У прямокутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷 бісектриса кута 𝐴 перетинае сторону 𝐵𝐶 у точці 𝑀. Знайди сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 56 см і 𝐵𝑀 ∶ 𝑀𝐶 = 2 ∶ 3.

AM — бісектриса ∠A, тому ∠BAM = 45° і ∠BMA = 45°: AB = BM. Нехай BM = 2x, MC = 3x, тоді AB = 2x, BC = 5x. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

P = 2(2x + 5x) = 14x = 56, x = 4. AB = 8 см, BC = 20 см. Відповідь: 8 см і 20 см. Варіант 3 1. Знайдіть кути паралелограма, якщо різниця двох із них дорівнює 40°. За умовою ABCD — паралелограм, в якому ∠B – ∠A = 40°. Але в будь–якому паралелограмі сума суміжних кутів ∠A + ∠B = 180°. Маємо систему рівнянь: ∠B + ∠A = 180° ∠A = 180° – ∠B ∠A = 70° { { { ∠B – ∠A = 40° 2∠B = 180° + 40° ∠B = 110° Отже, в даному паралелограмі ∠A = 70°, ∠B = 110°. 2. Знайди сторони прямокутника, якщо одна з них у 3 рази менша від другої, а периметр прямокутника дорівнює 48 см.

Нехай менша сторона x см, тоді більша 3x см. P = 2(x + 3x) = 8x = 48, x = 6. Сторони 6 см і 18 см. Відповідь: 6 см і 18 см. 3. На сторонах BC і AD прямокутника ABCD відклали рівні відрізки BK і DL. Доведіть, що чотирикутник AKCL — паралелограм.

ABCD — прямокутник, BK = DL. Потрібно довести, що AKCL — паралелограм. За умовою BK = DL і ABCD — прямокутник, тому BC = AD. Тоді KC = AL. Крім того, BC ∥ AD, тому KC ∥ AL. Отже, в чотирикутнику AKCL протилежні сторони паралельні і рівні між собою, а це означає, що ∆KCL — паралелограм, що й потрібно було довести. 4. У паралелограмі 𝐴𝐵𝐶𝐷 бісектриса кута 𝐴 перетинає сторону 𝐶𝐷 у точці 𝑀. Знайди периметр паралелограма, якщо 𝐴𝐷 = 6 см i 𝐶𝑀: 𝑀𝐷 = 4: 3.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∠DAM = ∠MAB (AM — бісектриса), ∠MAB = ∠AMD (внутрішні різносторонні при AB ∥ CD). Отже, ∠DAM = ∠AMD, △ADM рівнобедрений: DM = AD = 6 см. CM : MD = 4 : 3, тому CM = 6 : 3 · 4 = 8 (см), CD = 8 + 6 = 14 (см). P = 2(AD + CD) = 2 · (6 + 14) = 40 (см). Відповідь: 40 см. Варіант 4 1. Знайдіть кути ромба, якщо один із них у 3 рази більший за другий.

ABCD — ромб, ∠B = 3∠A. Знайти ∠A і ∠B. Нехай менший кут має міру х, тоді згідно умови міра більшого кута становить 3х, де х — деяке додатне число. В будь–якому ромбі сума кутів, прилеглих до однієї сторони ромба, дорівнює 180°. Отримуємо рівняння: х + 3х = 180°; 4х = 180°; х = 45°. Отже, в ромбі ABCD ∠A = 45°, ∠B = 3∠A = 3 • 45° = 135°. 2. Знайди сторони паралелограма, якщо одна з них на 5 см більша за другу, а периметр паралелограма дорівнює 46 см.

Нехай менша сторона x см, тоді більша x + 5 см. P = 2(x + x + 5) = 46, 2x + 5 = 23, x = 9. Сторони 9 см і 14 см. Відповідь: 9 см і 14 см. 3. Бісектриси кутів A і C прямокутника ABCD перетинають сторони BC і AD у точках M і N відповідно. Доведіть, що чотирикутник AMCN — паралелограм.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ABCD — прямокутник; AM — бісектриса ∠A, CN — бісектриса ∠C. Потрібно довести: AMCN — паралелограм. ∆ABM і ∆CDN — прямокутні рівнобедрені з кутом 45° при основі. Вони рівні між собою за двома катетами, тоді AM = CN. Далі, BC = AD як протилежні сторони прямокутника, BM = DL як катети рівних трикутників, тоді CM = AN, бо CM = BC – BM і AN = AD – DL. Але BC ∥ AD як протилежні сторони прямокутника, тоді і CM ∥ AN. Отже, в чотирикутнику AMCN протилежні сторони паралельні і рівні між собою, а це означає, що AMCN — паралелограм, що й треба було довести. 4. У паралелограмі 𝐴𝐵𝐶𝐷 бісектриса кута 𝐴 перетинає сторону 𝐵𝐶 у точці 𝑀. Знайди сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 40 см і 𝐵𝑀 ∶ 𝑀𝐶 = 1 ∶ 3.

∠BAM = ∠MAD (AM — бісектриса), ∠MAD = ∠AMB (внутрішні різносторонні при BC ∥ AD). Отже, △ABM рівнобедрений: AB = BM. Нехай BM = x, MC = 3x, тоді AB = x, BC = 4x. P = 2(x + 4x) = 10x = 40, x = 4. AB = 4 см, BC = 16 см. Відповідь: 4 см і 16 см. ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ (сторінка 35) 1. 𝐴𝐵𝐶𝐷 - прямокутник. Яке з тверджень хибне? A 𝐴𝐵 ⊥ 𝐵𝐶; Б 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷; B 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷; Г. 𝐵𝐶‖𝐴𝐷.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Твердження а), б) і г) — правильні: а) за означенням прямокутника; б) згідно теоремі 5 підручника; г) як протилежні сторони прямокутника. Твердження в) — хибне, бо взаємно перпендикулярні діагоналі мають лише ромб і квадрат. 2. 𝐴𝐵𝐶𝐷 - ромб. Який знак слід поставити замість *: 𝐴𝐶 * 𝐵𝐷 ? A. =; Б. ⊥; B. ‖; Г. не можна визначити.

AC і BD — діагоналі ромба, які згідно з теоремою 6 підручника взаємно перпендикулярні, тому замість * слід поставити знак ⊥. 3. Сума кутів чотирикутника дорівнює: A. 120∘ ; Б. 90∘ ; B. 180∘ ; Г. 360∘ . Правильною є відповідь г). В будь–якому чотирикутнику сума його внутрішніх кутів дорівнює 360°. 4. Бісектриса гострого кута паралелограма ділить його більшу сторону навпіл. Знайди периметр паралелограма, якщо його менша сторона дорівнює 6 см. А. 12 см; Б. 18 см; B. 36 см ; Г. не можна визначити.

AM — бісектриса гострого кута A, M — середина більшої сторони BC. △ABM рівнобедрений (∠BAM = ∠MAD = ∠BMA), тому BM = AB = 6 см, BC = 2 · 6 = 12 (см). P = 2(6 + 12) = 36 (см). Відповідь: В. 36 см. 5. Сума кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює: A. 90∘ ; Б. 180∘ ; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

B. 360∘ ; Г. 120∘ . В будь–якому паралелограмі сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°, правильною є відповідь б). 6. Одна зі сторін паралелограма дорівнює 5 см, а периметр 16 см. Знайди довжину другої сторони. A. 5 см; Б. 6 см; B. 11 см; Г. 3 см. Периметр паралелограма зі сторонами а і b обчислюється за формулою P = 2(а + b). В даному випадку маємо 16 = 2(а + 5), а + 5 = 8, а = 3 (см). Отже, правильною є відповідь г). 7. Знайдіть кути ромба, якщо вони пропорційні числам 2 і 7. A. 20∘ i 70∘ ; Б. 20∘ i 140∘ ; B. 40∘ i 140∘ ; Г. 80∘ i 280∘ . Якщо менший кут має міру 2х, то міра більшого кута становить 7х. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°, тому 2х + 7х = 180, 9х = 180, х = 20; тоді 2х = 40 і 7х = 140. Отже, кути ромба дорівнюють 40° і 140°. в) — правильна відповідь 8. Менша сторона прямокутника дорівнює 5 см. Знайди довжину діагоналі, якщо вона утворює з більшою стороною кут 30∘ . А. 10 см; Б. 5 см; B. 2,5 см; Г. 20 см.

CD = AB = 5 см. В прямокутному ∆САD катет CD лежить проти кута в 30°, тому дорівнює 1 половині гіпотенузи AC, тобто CD = AC, AC = 2CD = 2 • 5 = 10 (см). а) — правильна 2 відповідь. 9. 𝑂 - точка перетину діагоналей ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷. Визнач вид △ 𝐴𝑂𝐵. А. гострокутний; Б. прямокутний; В. тупокутний; Г. рівносторонній.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

В будь–якому ромбі діагоналі взаємно перпендикулярні, тобто ∠AOB = 90°, ∆АОВ — прямокутний. Правильною є відповідь б). 10. Периметр квадрата 20 см. Знайди відстань від точки перетину діагоналей квадрата до його сторони. А. 20 см; Б. 10 см; B. 5 см; Г. 2,5 см.

Периметр квадрата P = 4AD, 4AD = 20, AD = 5 (см), тобто, сторона квадрата дорівнює 5 см. Точка O рівновіддалена від усіх сторін квадрата, OM = ON, але OM + ON = AD, 1 1 2OM = AD, OM = AD = • 5 = 2,5 (см). Отже, відстань точки O від сторони квадрата 2 2 дорівнює 2,5 см. Тим самим г) — правильна відповідь. ТИПОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ТЕМАТИЧНОГО КОНТРОЛЮ (сторінка 36) 1. Кути чотирикутника пропорційні числам 2, 4, 6 і 8. Знайди найбільший кут цього чотирикутника. A. 18∘ ; Б. 36∘ ; B. 108∘ ; Г. 144∘ .

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Кути чотирикутника ABCD пропорційні числам 2, 4, 6 і 8. Знайти ці кути. Нехай x — коефіцієнт пропорційності. Тоді можна вважати, що міра ∠A, ∠B, ∠C і ∠D відповідно рівна 2х, 4х, 6x і 8х, де x — деяке число. Оскільки сума внутрішніх кутів будь– якого чотирикутника дорівнює 360°, маємо рівняння: 2х + 4x + 6х + 8x = 360; 20x = 360; х = 18. Тоді ∠A = 2х = 2 • 18° = 36°, ∠B = 4x = 4 • 18° = 72°, ∠C = 6x = 6 • 18° = 108°, ∠D = 8х = 8 • 18° = 144°. 2. Периметр паралелограма дорівнює 120 см, а менша сторона 25 см. Знайди довжину більшої сторони паралелограма. А. 25 см; Б. 95 см; B. 35 см; Г. 45 см.

ABCD — паралелограм. P = 120 см, AB = 25 см, AD > AB. Знайти довжину AD. Оскільки P = 2(AB + AD), маємо рівняння: 2 • (25 + AD) = 120, 25 + AD = 60, AD = 60 – 25 = 35 (см). Отже, сторона AD має довжину 35 см. 3. Діагональ прямокутника дорівнює 10 см і утворює зі стороною кут 30∘ . Знайди довжину меншої сторони прямокутника. А. 5 см; Б. 10 см; B. 20 см; Г. 2,5 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ABCD — прямокутник; AC = 10 см, ∠CAD = 30°. АВ > AD. Знайти AB. В прямокутному ∆CAD катет CD = AB (як протилежні сторони прямокутника) лежать проти кута в 30°, 1 1 тому його довжина вдвічі менша від довжини гіпотенузи ∆CAD; CD = AC = • 10 = 5 2 2 (см). Таким чином, менша сторона прямокутника дорівнює 5 см. 4. Діагональ паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 утворює зі сторонами кути 42∘ і 34∘ . Установи відповідність між кутами, заданими умовами (1 − 3), та їх градусними мірами (А-Д). 1. менший кут паралелограма; 2. більший кут паралелограма; 3. кут між 𝐴𝐵 і висотою 𝐵𝐻(𝐻 ∈ 𝐴𝐷). А. 14∘ Б. 24∘ В. 76∘ Г. 104∘ Д. 116∘ ABCD — паралелограм, ∠BAC = 42°, ∠CAD = 34°. Потрібно знайти ∠A і ∠B. ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 42° + 34° = 76°. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°, тому ∠A + ∠B = 180°, звідки ∠B = 180 – ∠A = 180° – 76° = 104°. 5. Знайди кут між діагоналями прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷, якщо ∠𝐶𝐴𝐷 = 35∘ .

Діагоналі прямокутника рівні й точкою перетину O діляться навпіл, тому OA = OD. △AOD рівнобедрений: ∠ODA = ∠OAD = 35°. ∠AOD = 180° − 35° − 35° = 110°, а суміжний з ним ∠AOB = 70°. Кут між діагоналями — менший із цих кутів. Відповідь: 70°. 6. Один із кутів ромба дорівнює 120∘ . Знайди меншу діагональ ромба, якщо його периметр дорівнює 24 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ABCD — ромб; ∠B = 120°; BD — менша діагональ; P = 24 см. Знайти довжину BD. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони ромба, дорівнює 180°, тобто ∠A + ∠B = 180°, звідси ∠A = 180° – ∠B = 180° – 120° = 60°. Згідно теоремі 6 підручника, діагоналі ромба перпендикулярні і ділять кути при вершинах 1 навпіл, тобто ∠ABD = ∠B =60°. 2 Тоді в ∆ABD ∠A = ∠ABD = 60°, звідки ∠ADB = 180° – ∠A – ∠ADB = 180° – 60° – 60° = 60°. Отже, ∆ABD — рівносторонній, BD = AB. За умовою P = 24 см, але P = 4AB. Маємо рівняння: 4AB = 24, AB = 6 (см). Таким чином, менша діагональ ромба дорівнює 6 см. 7. Знайди периметр паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷, якщо його менша сторона дорівнює 5 см, а бісектриси кутів 𝐴 і 𝐷 перетинаються в точці 𝐾, яка лежить на стороні 𝐵𝐶. Знайди міру ∠𝐴𝐾𝐷.

ABCD — паралелограм; ∠BAK = ∠KAD; ∠CDK = ∠ADK; AB = 5 см. Знайти міру ∠AKD, Р. Сума кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°, 1 1 тобто ∠A + ∠D = 180°. Але ∠KAD = ∠A, ∠ADK = ∠D, 1

тому ∠KAD + ∠ADK = (∠A + ∠D)= 90°. 2 Звідси ∠AKD = 180° – 90° = 90°. Далі, ∠KAD = ∠AKB як внутрішні різносторонні кути при січній AK та паралельних прямих BC і AD, тобто, ∆АBK — рівнобедрений, BK = AB. Так само ∆CKD — рівнобедрений, CK = CD = AB. Отже, BK = CK = AB, BC = 2АВ. P = AB + BC = 2(АВ + 2АВ) = 2 • 3АВ = 6АВ = 6 • 5 = 30 (см). 8. У рівнобедрений прямокутний трикутник з гіпотенузою 15 см вписано прямокутник так, що дві його вершини лежать на гіпотенузі, а дві інші - на катетах. Знайди периметр прямокутника, якщо одна з його сторін утричі більша за другу.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ABC — рівнобедрений прямокутний трикутник; AB = 15 см. MNLK — прямокутник; MN = 3MK. Знайти периметр прямокутника. ∆MNB і ∆AKP — прямокутні рівнобедрені і рівні між собою за двома катетами. Тоді BN = AL = MN. P = 2(MN + NL). Спочатку знайдемо значення MN. Маємо: AB = BM + NL + AL = NL + MN + MN = NL + 2MN = NK + 2 • ЗNL = 7NL. 1 1 15 Тоді NL = АВ = • 15 = (см). 7

Отже, P = MN + NL = ЗNL + NL = 4NL = 4 • = (см). 7 7 9. На діагоналі 𝐵𝐷 квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 взято точки 𝑀 і 𝑁 такі, що 𝐵𝑀 = 𝐷𝑁. Доведи, що 𝐴𝑀𝐶𝑁 - ромб. Знайди його периметр, якщо 𝑀𝑁 = 4 см і ∠𝐵𝐴𝑀 = 15∘ .

ABCD — квадрат; BM = ND. Потрібно побудувати ромб AMCN. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони квадрата, дорівнює 180°, тобто ∠A + ∠B = 180°. Кожна з діагоналей квадрата ділить його кути навпіл, 1 1 1 1 тобто ∠BAM + ∠ABM = ∠A + ∠B = (∠A + ∠B) = • 180° = 90°, 2 2 2 2 тобто всі чотири трикутники — прямокутні. Далі, ∆AMB = ∆BMC за гіпотенузами AB і BC (як сторони квадрата) і спільним катетом BM. Так само ∆AND = ∆CND, тобто AM = MC = AN = ND. Це означає, що AMCN це ромб. Якщо MN = 4 см, то P = 4AM. Однозначно визначити довжину катета за відомим гострим кутом можна лише за допомогою тригонометричних функцій. Але задачі такого виду ми розглянемо дещо пізніше. Тепер же довжину сторони ромба знаходимо приблизно за допомогою циркуля та мірної лінійки. Тому довжину периметра ромба знаходимо приблизно. §4. Застосування властивостей паралелограма 186. У якому трикутнику: а) дві середні лінії рівні? б) три середні лінії рівні? а) АВС — трикутник; MN і NK — середні лінії, MN = MK. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Визначити вид ΔАВС.

Згідно з теоремою 8 підручника MN ∥ AC і MN = АС; NK ∥ AB і NK = АВ. 2 2 За умовою MN = NK, тоді АВ = АС, тобто ΔАВС — рівнобедрений. б) АВС — трикутник; MN, NL і ML — середні лінії, MN = NL = ML. Визначити вид ΔАВС.

Згідно з теоремою 8 підручника MN ∥ AC, NL ∥ AB, ML ∥ BC; 1 1 1 MN = АС, NL = АВ і ML = ВС. 2 2 2 За умовою MN = NL = ML, тоді АВ = ВС = АС, тобто ΔАВС — правильний (рівносторонній). 187. Відомо, що довжина задньої будівлі школи 𝐷𝐸 = 23 м. Користуючись малюнком, знайди довжину фасадної частини школи 𝐵𝐶.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

За малюнком 4.9 точки B і C — середини сторін AD і AE трикутника ADE, тому BC — середня лінія. BC = DE : 2 = 23 : 2 = 11,5 (м). Відповідь: 11,5 м. 188. Сторони трикутника дорівнюють 6 м, 8 м і 10 м. Знайди довжини його середніх ліній.

АВ = 6 см, ВС = 8 см, АС = 10 см; MN, NK, KL — середні лінії. Знайти довжини MN, NK, KL. Згідно з теоремою 8 підручника 1 1 1 MN = АС, NK = АВ і KL = ВС. 2

Тому MN = ·10 = 5 (см), NK = · 6 = 3 (см), KL = · 8 = 4 (см). 2 2 2 189. Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 15 см і 18 см. Знайди довжину найбільшої середньої лінії трикутника. A. 18 см; Б. 6 см; В. 9 см; Г. 36 см.

Середня лінія трикутника дорівнює половині паралельної їй сторони, тому найбільша середня лінія паралельна найбільшій стороні: 18 : 2 = 9 (см). Відповідь: В. 9 см. 190. Гра. Кожен з трьох учасників /кожна з трьох учасниць задає довжини сторін трикутника. Четвертий учасник / четверта учасниця має перевірити існування такого трикутника і знайти довжини трьох середніх ліній цього трикутника. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Трикутник існує, якщо найбільша сторона менша від суми двох інших. Середня лінія дорівнює половині паралельної їй сторони. Приклад ходу гри. Задано 6 см, 8 см, 10 см: 10 < 6 + 8 — трикутник існує, його середні лінії 6 : 2 = 3 (см), 8 : 2 = 4 (см), 10 : 2 = 5 (см). Задано 3 см, 4 см, 9 см: 9 > 3 + 4 — такого трикутника не існує. 191. 𝐾, 𝑃, 𝑇 - середини сторін △ 𝐴𝐵𝐶, периметр якого дорівнює 40 см. Знайди периметр трикутника 𝐾𝑃𝑇. А. 40 см; Б. 20 см; В. 80 см; Г. 10 см.

В ΔАВС: AP = PB, BK = KC, AT = TC. РΔАВС = 40 см. Знайти РΔKPT. РΔАВС = AB + BC + AC, тобто AB + BC + AC = 40 (см). За умовою PK, KT і PT — середні 1 1 1 лінії ΔАВС, тоді PK = АС, KT = АВ, PT = ВС. 2

2 1

РΔKPT = PK + KT + PT = (AB + BC + AC) = · 40 = 20 (см). 2 2 192. Дві сторони трикутника відносяться як 2 ∶ 3. Як відносяться його середні лінії, паралельні цим сторонам?

AB : BC = 2 : 3; MN і NK — середні лінії ΔABC, MN ∥ BC, NK ∥ AB. Знайти відношення NK : MN. 1 1 1 Згідно теореми 8 підручника NK = AB, MN = BC, тому NK : MN = (AB : BC). 1

Отже, NK : MN = (2 : 3) = 2 : 3. 2

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

193. Три паралельні прямі перетинають одну сторону кута 𝐴 в точках 𝐵, 𝐶 і 𝐷, а другу в точках 𝐾, 𝑃, 𝑇. При цьому 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 4 см, 𝐾𝑃 = 3 см. Обчисли відстані AK, AP, AT, KT.

Якщо відрізки, відкладені на одній стороні кута, рівні і через кінці цих відрізків проведені паралельні прямі, то на другій стороні кута одержимо таку ж кількість відрізків. Тоді довжини цих відрізків, відкладені від вершини кута, згідно з теоремою Фалеса, також рівні. Отже, AK = KP = PT = 3 см; AP = AK + KP = 6 см; AT = AK + KP + PT = 9 см; KT = KP + PT = 6 см. 194. Побудуй довільний відрізок. Поділи даний відрізок на 3 рівні частини.

Потрібно даний відрізок AC розділити на три рівні частини. За допомогою транспортира побудуємо деякий гострий кут з вершиною в точці A і відкладемо на другій стороні побудованого кута три рівні відрізки AK = KM = MN. Тоді, згідно з теоремою Фалеса, через точки N і С проводимо пряму. Далі, паралельно прямій NC проводимо прямі через точки M і K. На відрізку AC утвориться ще 2 точки B і D, які ділять даний відрізок AC на три рівні відрізки AB = BD = DC. 195. Побудуй довільний відрізок. Поділи даний відрізок на 4 рівні частини двома способами.

Даний відрізок AD фіксованої довжини потрібно розділити на 4 рівні частини. I метод. На площині фіксуємо точку A, із початком в цій точці проводимо промінь AT, на якому за допомогою циркуля відкладаємо даний відрізок AD. За допомогою транспортира з точки A проводимо другий промінь під деяким фіксованим гострим кутом α. Отримаємо ∠SAT = α з вершиною в точці A. За допомогою циркуля на стороні AS кута і починаючи від точки A, відкладаємо чотири відрізки однакової довжини AM = MN = NK = KL. Через кінцеві точки L і D проводимо січну LD, потім через точки M, N і K проводимо прямі, паралельні LD. Вони перетинають відрізок AD відповідно в точках B, C і E. Тоді згідно з теоремою Фалеса, AB = BC = CE = ED. Задачу розв’язано. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ІІ метод (ділення даного відрізка побудовою його серединного перпендикуляра).

На прямій m за допомогою циркуля відкладаємо даний відрізок AD. З кінців відрізка AD і обох півплощинах проводимо засічки дугами радіусом, дещо перевищуючим довжину половини відрізка; знаходимо їх точки перетину. Через ці точки перетину проводимо пряму. Це і є серединний перпендикуляр відрізка AD; він перетинає відрізок AD і точці C і в цій точці ділить відрізок AD навпіл. Отримаємо відрізки AC = CD. До кожного з цих відрізків, використовуючи той же метод, будуємо серединні перпендикуляри, які ділять навпіл відрізки AC і CD відповідно в точках B і E. Тоді AB = BC = CE = ED і задачу розв’язано. 196. Накресли гострокутний трикутник, одна зі сторін якого дорівнює 6 см . Поділи кожну сторону трикутника на три рівні частини.

ΔАВС — гострокутний, АС = 6 см. Потрібно всі сторони ΔАВС розділити на три рівні частини. Спочатку АС, довжина якої відома, ділимо на три рівні частини за допомогою 1 циркуля та мірної лінійки. Отримуємо точки D і E такі, що AD = DE = EC = АС = 2 (см). 2 Через точки D і E проводимо прямі паралельно стороні ВС та прямі паралельно стороні. Відповідно, перші з них перетинають сторону АВ в точках M і N, другі — сторону ВС в 1 точках K і L. Тоді, згідно з теоремою Фалеса, AM = MN = NB = АВ і BK = KL = 2

= LC = ВС. Задачу розв’язано. 2 197. Накресли тупокутний трикутник, одна зі сторін якого дорівнює 8 см . Поділи кожну сторону трикутника на 4 рівні частини.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Накреслимо тупокутний △ABC, у якому AC = 8 см, ∠B — тупий. Сторону AC = 8 см ділимо лінійкою: 8 : 4 = 2 (см) — відкладаємо по 2 см. Сторони AB і BC ділимо за теоремою Фалеса: з кінця A проводимо промінь, відкладаємо на ньому 4 рівні відрізки довільної довжини, останню точку сполучаємо з B і через інші точки поділу проводимо прямі, паралельні цьому відрізку. Вони ділять AB на 4 рівні частини. Так само ділимо BC. 198. Сторону 𝐴𝐵 △ 𝐴𝐵𝐶, яка удвічі менша від 𝐵𝐶, поділили на 4 рівні частини і через точки поділу провели прямі, паралельні 𝐴𝐶. Порівняй довжини відрізків, утворених на сторонах 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶.

За умовою в ΔABC BC = 2AB; AM = MN = NK = KB = AB. Прямі MT, NS і KP паралельні 4 стороні AC ΔABC (рис. 98 е). Тоді, згідно з теоремою Фалеса, BP = PS = ST = TC = 1 1 = BC = AB, бо за умовою BC = 2AB. 4 2 199. Сторону 𝐴𝐵 △ 𝐴𝐵𝐶, яка на 6 см менша від 𝐵𝐶, поділили на 3 рівні частини і через точки поділу провели прямі, паралельні 𝐴𝐶. Порівняй довжини відрізків, утворених на сторонах 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶.

За умовою в ΔABC BC − AB = 6 (см). AM = MN = NB = AB; ML ∥ NK ∥ AC. Тоді, згідно з теоремою Фалеса, BK = KL = LC = 1

1 3

BC. Враховуючи умову BC = AB + 6,

отримуємо: BK = KL = LC = AB + 2 (см), тобто кожен із трьох відрізків на BC на 2 см 3 більший від кожного з відрізків на AB. 200. Сторони трикутника дорівнюють 3 м, 4 м і 5 м. Знайди довжини його середніх ліній.

За умовою в ΔАВС АС = 3 м, ВС = 4 м, АВ = 5 м; MN, NK та MK — середні лінії ΔАВС. Потрібно знайти довжини відрізків MN, NK і MK. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Згідно з теоремою 8 підручника, середня лінія трикутника паралельна одній із сторін ΔАВС, а довжина середньої лінії дорівнює половині довжини відповідної сторони даного трикутника. 1 1 1 1 Тобто MN ∥ ВС і MN = ВС = · 4 = 2 (см), NK ∥ АС і NK = АС = · 3 = 1,5 (см). Нарешті, 1

2 1

MK ∥ АВ і MK = АВ = · 5 = 2,5 (см). 2 2 В даному випадку ΔАВС — прямокутний з прямим кутом при вершині С (∠С = 90°). 201. Середні лінії трикутника дорівнюють 2 см, 5 см і 6 см. Знайди довжини його сторін.

Кожна сторона трикутника вдвічі більша за паралельну їй середню лінію: 2 · 2 = 4 (см), 2 · 5 = 10 (см), 2 · 6 = 12 (см). Відповідь: 4 см, 10 см, 12 см. 202. Сторони трикутника − 𝑎, 𝑏 і 𝑐. Знайди периметр трикутника, вершинами якого є середини сторін даного трикутника.

За умовою сторони ΔАВС дорівнюють a, b і c; в ΔАВС проведено середні лінії MN, NK, MK. Потрібно знайти периметр ΔMNK. Оскільки точки M, N і K — середини сторін трикутника ABC, то MN, NK і MK – середні лінії трикутника: 1 1 MN = AC = c, 2 1

2 1

NK = AB = a, MK = BC = b. 1

Отже, РΔMNK = (a + b + c). 2 203. Сторони трикутника дорівнюють 5 см, 6 см і 10 см. Знайди периметр трикутника, який відтинає від даного трикутника його: а) найменша середня лінія; б) найбільша середня лінія.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Середня лінія відтинає від трикутника трикутник, сторони якого вдвічі менші від сторін даного (середня лінія і дві половини інших сторін). Тому периметр відтятого трикутника дорівнює половині периметра даного, яку б середню лінію не взяти. P = 5 + 6 + 10 = 21 (см), 21 : 2 = 10,5 (см). а) 10,5 см; б) 10,5 см. Відповідь: а) 10,5 см; б) 10,5 см. 204. Сторони трикутника дорівнюють 8 см, 10 см і 14 см. Знайди периметр трикутника, який відтинає від даного трикутника його середня лінія. Скільки розв'язків має задача?

За умовою AB = 8 см, BC = 10 см, AC = 14 см; MN, NK, MK — середні лінії ΔАВС. 1 1 1 PΔMBN = MB + BN + MN, але MB = AB, BN = BC і MN = AC як середня лінія ΔАВС. 1

2 1

Тому PΔMBN = (AB + BC + AC) = · (8 + 10 + 14) = 16 (см). 2 2 Оскільки в кожному трикутнику є три середні лінії, то задача має три розв’язки. 205. Підвіс із макраме утворює рівнобедрений трикутник. Середня лінія цього трикутника паралельна основі і дорівнює 8 см. Знайди сторони трикутника, якщо його периметр дорівнюе 54 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Середня лінія, паралельна основі, дорівнює половині основи: AC = 2 · 8 = 16 (см). Бічні сторони рівні: AB = BC = (54 − 16) : 2 = 19 (см). Відповідь: 19 см, 19 см, 16 см. 206. Середня лінія рівнобедреного трикутника, паралельна бічній стороні, дорівнює 7 см. Знайди сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 48 см.

△ABC рівнобедрений, AB = BC; середня лінія MN ∥ AB дорівнює 7 см, тому AB = 2 · 7 = 14 (см) і BC = 14 см. AC = 48 − 14 − 14 = 20 (см). Відповідь: 14 см, 14 см, 20 см. 207. Доведіть, що середні лінії трикутника розбивають його на чотири рівні трикутники.

MN, NK, MK — середні лінії ΔАВС. Потрібно довести, що: ΔMBN = ΔNCK = ΔKAM = = ΔMNK. 1 1 Оскільки M, N і K — середини сторін ΔАВС, то AM = MB = AB, BN = NC = АC. Крім 1

того, MN = AC, NK = AB і MK = BC. 2 2 2 ΔMBN = ΔAMK за трьома сторонами (MB = AM, BN = MK, MN = AK). Аналогічно встановлюється, що ΔMBN = ΔCKN і ΔAMK = ΔKNC. Отже, ΔMBN = ΔKAM = ΔKCN = ΔMNK, що й потрібно було довести. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

208. Сторони прямокутника дорівнюють 7 см і 10 см. Знайди відстані від точки перетину діагоналей до сторін прямокутника.

Згідно з умовою в прямокутнику ABCD AB = 7 см, AD = 10 см. В прямокутному ΔABD проведемо відрізки OM ∥ AD і ON ∥ AB. Тоді OM і ON — середні лінії ΔABD, тобто 1 1 OM = AD = 5 (см), ON = AB = 3,5 (см). 2 2 Ці величини і визначають відстань від точки перетину діагоналей прямокутника до його сторін. 209. The sides of a rectangle are 23 см and 15 см . Find the distances froм the intersection of the diagonals to the sides of the rectangle.

Діагоналі прямокутника точкою перетину O діляться навпіл. Відрізок, проведений з O перпендикулярно до сторони, є середньою лінією трикутника, утвореного діагоналлю і двома сторонами, тому він дорівнює половині сторони, паралельної йому. Відстань до сторін завдовжки 23 см: 15 : 2 = 7,5 (см); до сторін завдовжки 15 см: 23 : 2 = 11,5 (см). Відповідь: 7,5 см і 11,5 см (the distances are 7.5 cm and 11.5 cm). 210. Відстані від точки перетину діагоналей прямокутника до його сторін дорівнюють 3 см і 4 см. Знайди периметр прямокутника.

Згідно з умовою OM = 4 см, ON = 3 см. Тоді (див. розв’язок задачі № 208) AD = 2OM = = 8 (см), AB = 2ON = 6 (см). Периметр прямокутника P = 2(AB + AD) = 2·(6 + 8) = 28 (см). © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

211. Відстань від точки перетину діагоналей прямокутника до однієї зі сторін на 3 см більша, ніж до другої. Знайди сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 28 см.

Нехай ON має довжину x см, тоді OM = (x + 3) см. За умовою периметр прямокутника P = 28 см, тобто 2(AB + AD) = 28, 2(2ON + 2OM) = 28, 4(ON + OM) = 28, ON + OM = 7. Маємо рівняння x + x + 3 = 7; 2x = 4; x = 2; AB = 2x = 4 (см), AD = 2(x + 3) = 10 (см). 212. 𝐾, 𝑃, 𝑇, 𝐻 - середини сторін чотирикутника, діагоналі якого дорівнюють 45 дм і 32 дм. Знайди периметр чотирикутника 𝐾𝑃𝑇𝐻.

ABCD — довільний опуклий чотирикутник; AC = 45 дм, BD = 32 дм; AK = KB, BP = PC, CT = TD, AH = HD. Знайти периметр чотирикутника KРТН. Відрізки KP, PT, TH і KH — середні лінії в ΔABC, ΔBCD, ΔCDA і ΔABD відповідно. 1 KP ∥ TH і AC і KP = TH = AC. 2

Так само PT ∥ KH і BD і PT = KH = BD. Тому в чотирикутнику KРТН протилежні 2 сторони паралельні і рівні, тобто KРТН — паралелограм. Отже, шуканий периметр P = 2(KP + PT) = AC + BD = 45 + 32 = 77 (дм). 213. Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 18 см. Знайди периметр чотирикутника, вершинами якого є середини сторін ромба．

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Сторони чотирикутника, вершини якого — середини сторін ромба, є середніми лініями трикутників, утворених сторонами ромба і діагоналями. Тому дві його сторони дорівнюють 12 : 2 = 6 (см), а дві інші 18 : 2 = 9 (см). P = 2 · (6 + 9) = 30 (см). Відповідь: 30 см. 214. Діагоналі чотирикутника дорівнюють 𝑑 i 𝑑1 ．Знайди периметр чотирикутника, вершинами якого є середини сторін даного чотирикутника．

ABCD — довільний опуклий чотирикутник; AM = MB, BN = NC, CP = PD і AK = KD; AC = d1, BD = d. Знайти периметр чотирикутника MNPK. MNPK — паралелограм (див. розв’язок задачі №212). Тому його периметр P = 2(MN + NP) = AC + BD = d1 + d. Дійсно, MN, NP, PK і KM — середні лінії ΔABC, ΔBCD, ΔDAB і ΔABD, тобто 1 1 MN = AC, NP = BD, звідси і знаходимо значення периметра P. 2 2 215. Знайди сторони трикутника, якщо вони пропорційні числам 3, 5 і 7, а периметр трикутника，утвореного середніми лініями, дорівнює 30 см．

AB : BC : AC = 3 : 5 : 7; AM = MB, BN = NC, AK = KC; PΔMNK = 30 см. Знайти AB, BC, AC. 1 Згідно з умовою MN, NK і MK — середні лінії в ΔABC, тому MN ∥ AC і MN = AC, 1

NK ∥ AB і NK = AB, MK ∥ BC і MK = BC. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай AB = 3x, BC = 5x і AC = 7x, де x — деяке додатне число. Тоді AB + BC + AC = 2(MN + NK + MK) = 2·30 = 60 (см). Маємо рівняння: 3x + 5x + 7x = 60; 15x = 60; x = 4. Тоді AB = 3·4 = 12 (см), BC = 5·4 = 20 (см) і AC = 7·4 = 28 (см). 216. Знайди сторони трикутника, якщо одна з них у 2 рази менша від другої і на 3 см менша від третьої, а периметр трикутника, утвореного середніми лініями, дорівнює 9,5 см．

Периметр трикутника, утвореного середніми лініями, удвічі менший від периметра даного, тому P = 2 · 9,5 = 19 (см). Нехай найменша сторона x см, тоді друга 2x см, третя x + 3 см. x + 2x + x + 3 = 19, 4x = 16, x = 4. Сторони: 4 см, 8 см, 7 см. Відповідь: 4 см, 8 см, 7 см. 217. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см．Знайди відстань від середини гіпотенузи до катетів трикутника．

BC ⟂ AC, BC = 6 см, AC = 8 см; MN ⟂ BC, NK ⟂ AC, BN = AN. Знайти: MN, NK. За умовою точка N в прямокутному ΔABC — середина гіпотенузи, з якої опущені перпендикуляри на катети і являються середніми лініями трикутника, тобто паралельні 1 відповідним катетам і вдвічі коротші ніж відповідні катети, тобто MN ∥ AC і MN = AC, 2

NK ∥ BC і NK = BC. 1

MN = ·8 = 4 см, NK = ·6 = 3 см. 2 2 218. Точка 𝐴 лежить на прямій 𝑎, а точка 𝐵 віддалена від прямої на 8 см. Знайди відстань від середини відрізка 𝐴𝐵 до прямої 𝑎.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Задана деяка пряма a, A ∈ a; AB ⟂ a, AB = 8 см, AC = BC. Знайти AC. 1 1 За умовою C — середина відрізка AB, тобто AC = BC = AB = · 8 = 4 (см). 2 2 219. На одній зі сторін кута відклали рівні відрізки і через їх кінці провели прямі, перпендикулярні до бісектриси кута. Доведи, що відрізки, утворені на обох сторонах кута, рівні．

За умовою на стороні AB ∠BAC відкладені рівні відрізки AB1 = B1B2 = ... = Bn–1Bn. Через кінці цих відрізків перпендикулярно до бісектриси AL ∠BAC проведені прямі. Нехай ці прямі перетинають бісектрису AL і другу сторону AC ∠BAC відповідно в точках L1, L2, ..., Ln та точках C1, C2, ..., Cn. Згідно з теоремою Фалеса, відрізки AL1 = L1L2 = ... = Ln–1Ln та відрізки AC1 = C1C2 = ... = Cn–1Cn. Дійсно, оскільки прямі B1C1, B2C2, ..., BnCn утворюють з бісектрисою AL один і той самий прямий кут, то всі ці прямі паралельні між собою і всі твердження теореми Фалеса виконуються. Більше того, в трикутниках B1AC1, де i = 1, 2, ..., n (більш короткий еквівалентний запис i = 1, n), пряма AL є одночасно і висотою, і медіаною, тому ΔB1AC1, i = 1, 𝑛 — рівнобедрені, тобто AB1 = AC1, і = 1, 𝑛, значить, відрізки AB1 = C1C2 = B1B2 = C1C2 = ... = Bn–1Bn, i = 1, 𝑛, що й треба було довести. 220. На одній зі сторін кута відклали рівні відрізки і через їх кінці провели прямі, перпендикулярні до другої сторони. Доведи, що відрізки, утворені на другій стороні кута, рівні між собою．

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

На стороні OA кута відкладено рівні відрізки OA₁ = A₁A₂ = A₂A₃, і через A₁, A₂, A₃ проведено прямі, перпендикулярні до сторони OB; вони перетинають OB у точках B₁, B₂, B₃. Прямі, перпендикулярні до однієї прямої, паралельні: A₁B₁ ∥ A₂B₂ ∥ A₃B₃. Паралельні прямі, які відтинають на одній стороні кута рівні відрізки, відтинають рівні відрізки і на другій стороні (теорема Фалеса). Отже, OB₁ = B₁B₂ = B₂B₃, що й треба було довести. 221. 𝐾, 𝑃, 𝑇 − середини сторін 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 і 𝐴𝐶 трикутника 𝐴𝐵𝐶. Доведи, що чотирикутник 𝐴𝐾𝑃𝑇 − паралелограм.

AK = KB, BP = PC, AT = TC. Довести: AKPT — паралелограм. Дійсно, згідно з умовою KP і PT — середні лінії ΔABC, тому KP ∥ AC і PT ∥ AB. В чотирикутнику AKPT протилежні сторони паралельні, значить, AKPT — паралелограм, що й треба було довести. 222. Середини сторін ромба послідовно сполучили відрізками. Доведи, що утворений чотирикутник − прямокутник．

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ABCD — ромб; AM = MB, BN = NC, CP = PD і AK = KD. Довести: MNPK — прямокутник. Згідно з умовою MN, NP, PK і MN — середні лінії ΔABC, ΔBCD, ΔCDA і ΔABD відповідно. Тоді MN ∥ PK ∥ AC; NP ∥ MK ∥ BD. Але ABCD — ромб, то AC ⟂ BD як діагоналі ромба. Отже, в чотирикутнику MNPK всі кути — прямі, що означає MNPK — прямокутник. 223. Середини сторін прямокутника послідовно сполучили відрізками. Доведи, що утворений чотирикутник − ромб.

K, L, M, N — середини сторін AB, BC, CD, DA прямокутника ABCD. KL і MN — середні лінії трикутників ABC і ACD, тому KL = MN = AC : 2. LM і NK — середні лінії трикутників BCD і ABD, тому LM = NK = BD : 2. Діагоналі прямокутника рівні (AC = BD), отже, KL = LM = MN = NK, і KLMN — ромб, що й треба було довести. 224. Відкрита задача. М, N, P і 𝐾 − середини сторін 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 і 𝐴𝐷 чотирикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷. Установи вид чотирикутника 𝑀𝑁𝑃𝐾, якщо 𝐴𝐵𝐶𝐷 − … . Сторони MNPK — середні лінії трикутників, утворених сторонами ABCD і його діагоналями: MN ∥ AC ∥ PK, NP ∥ BD ∥ MK, MN = PK = AC : 2, NP = MK = BD : 2. Тому MNPK завжди паралелограм. Далі: якщо ABCD — довільний чотирикутник, то MNPK — паралелограм; якщо ABCD — прямокутник (або має рівні діагоналі), то MNPK — ромб; якщо ABCD — ромб (або має перпендикулярні діагоналі), то MNPK — прямокутник; якщо ABCD — квадрат, то MNPK — квадрат. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

225. Основу рівнобедреного трикутника, яка дорівнює 8 см, поділили на 4 рівні частини і через точки поділу провели прямі, паралельні бічній стороні. Відрізки, утворені на бічній стороні, на 1 см більші за відповідні відрізки основи. Знайди периметр трикутника．

ΔABC — рівнобедрений, AB = BC, AC = 8 см, 1 AM = MN = NK = KC = AC; MP ∥ AB, NK ∥ AB, KL ∥ AB; BP = AM + 1 (см). 4 Знайти периметр ΔABC. 1 Згідно з теоремою Фалеса, BP = PK = KL = LC = BC, 4 тоді BC = 4BP = 4AM + 4 = AC + 4 = 8 + 4 = 12 (см). Але AB = BC, AB = 12 см. Отже, шуканий периметр P = AB + BC + AC = 12 + 12 + 8 = 32 (см). 226. Діагональ 𝐴𝐶 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 поділили на 6 рівних частин і через точки поділу провели прямі, паралельні другій діагоналі. Знайди периметр ромба, якщо довжина одного з утворених на стороні 𝐴𝐵 відрізків дорівнює 2,5 см.

ABCD — ромб; діагональ BD точки M1, M2, …, M5 розбивають на 6 рівних відрізків 1 BM1 = M1M2 = … = M5D = BD. Через точки M1, M2, …, M5, проведені прямі, паралельні 6 діагоналі AC. Ці прямі перетинають сторони ромба в точках N1 та K1, i = 1,4; при цьому довжина одного з відрізків AN1 дорівнює 2,5 см. Знайти периметр ромба ABCD. Оскільки всі сторони ромба рівні, то P = 4AB. Згідно з теоремою Фалеса, BN 1 = N1N2 = 1 = AN2 = AB, тоді AB = 3AN2 і P = 12AN2. Якщо відрізок AN2, даний в умові, це 2,5 см, то 3 AB = 3AN2 = 3 • 2,5 = 7,5 (см). P = 4AB = 4 • 7,5 = 30 (см). 227. 𝑀 - довільна точка відрізка 𝐴𝐶. Доведи, що середня лінія △ 𝐴𝐵𝐶, паралельна 𝐴𝐶, ділить відрізок 𝐵𝑀 навпіл. M — довільна фіксована точка сторони AC ΔABC; KL — середня лінія ΔABC, MN ∥ AC. Потрібно довести, що BN = NM при будь–якому положенні точки M, M ∈ AC. За умовою KL — середня лінія ΔABC, KN ∥ AC. Відрізок BM перетинає відрізок KL і деякій точці N, причому N ∈ KL, при будь–якому положенні точки M ∈ AC. Тоді точка N ділить відрізок KL на дві відрізки KN і NL, причому KN + NL = KL. Зауважимо, що при © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

будь–якому фіксованому положенні точки завжди виконується умова: N ∈ KL, тому KN ∥ AC і NL ∥ AC, тобто KN і NL являються середніми лініями ΔABM і ΔMBC відповідно. За означенням середньої лінії трикутника BN = NM, що й потрібно було довести. 228. Гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює 𝑐. Знайди, на які відрізки середня лінія трикутника ділить медіану, проведену до гіпотенузи.

△ABC — рівнобедрений прямокутний, ∠C = 90°, AB = c; CM — медіана, KL — середня лінія, KL ∥ AB. Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи: CM = c/2. Середня лінія KL проходить через середини CA і CB, тому за теоремою Фалеса ділить і відрізок CM навпіл: CO = OM = c/4. Відповідь: c/4 і c/4. 229. Доведи, що пряма, яка містить середню лінію трикутника, рівновіддалена від усіх його вершин. У довільному ΔABC KL — середня лінія, KL ∥ AD. Довести: KL рівновіддалена від вершин A, B і C ΔABC. Твердження задачі завідомо є неправильним, і ми це зараз доведемо. Дійсно, найкоротша відстань від KL до вершини B — це висота BH ΔKBL. Найближче до точок відрізка KL вершини A знаходиться точка K ∈ KL, бо за основною властивістю сторін трикутника є нерівність AK < KN + AN (трикутник існує, коли кожна із сторін має довжину меншу, ніж сума двох інших сторін, тобто найменша відстань від точки A — це довжина відрізка BK). Так само найменша відстань від точок KL до вершини C — довжина відрізка LC. За умовою KL — середня лінія ΔABC, тому AK = KB і LC = BL. Тобто найменша відстань точок KL до вершин A, B і C ΔABC становить: від вершини B — довжина висоти BH ΔKBL; від вершин A і C — це довжини бокових сторін KB і BL ΔKBL відповідно. А це доводить: по-перше, в будь-якому трикутнику висота завжди коротша за бокові сторони, тобто BH < KB і BH коротша від бокової сторони BL ΔKBA (похила завжди довша за перпендикуляр, проведений з деякої фіксованої точки до однієї прямої). У даному випадку похила — це бічна сторона KB, а перпендикуляр — це висота BH ΔKBL, тобто KB > BH. Так само бокова KL > BH. Це очевидно. Що й потрібно довести. Нерівність відстаней від точок середньої лінії KL ΔABC до його вершин A, B, C. 230. Сторону 𝐴𝐵 △ 𝐴𝐵𝐶 точками 𝐸, 𝐹, 𝐾 поділили на 4 рівні частини і через них провели прямі, паралельні 𝐴𝐶. Знайди 𝐴𝐶 і 𝐾𝑃, якщо 𝐹𝑇 = 5 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

E, F, K ділять AB на 4 рівні частини, тому F — середина AB, а K — середина FB. FT ∥ AC і проходить через середину AB, отже, FT — середня лінія △ABC: AC = 2FT = 2 · 5 = 10 (см). T — середина BC. KP ∥ FT і проходить через середину FB, тому KP — середня лінія △FBT: KP = FT : 2 = 5 : 2 = 2,5 (см). Відповідь: AC = 10 см, KP = 2,5 см. 231. Сторону 𝐴𝐵 △ 𝐴𝐵𝐶 точками 𝐸, 𝐹, 𝐾 поділили на 4 рівні частини і через них провели прямі, паралельні 𝐴𝐶. Знайди 𝐹𝑇 і 𝐾𝑃, якщо 𝐴𝐶 = 8 см.

AE = EF = FK = KB = AB; EN ∥ FT ∥ KP ∥ AC; FT = 5 см. 4 Знайти AC і KP. 1 Перш за все зауважимо, що, згідно з теоремою Фалеса, BP = PT = TN = NC = BC. 4

За умовою FT = 5 см. AF = FB і BT = TC, то FT — середня лінія ΔABC, тобто FT = AC, 2 AC = 2FT = 2 • 5 = 10 (см). Оскільки FK = KB за умовою і BP = PT згідно з теоремою 1 1 Фалеса, то KP — середня лінія ΔFBT, тобто KP = T = • 5 = 2,5 (см). 2 2 232. Відрізок 𝐴𝐵 точками 𝑀, 𝑁, 𝐾 поділили на 4 рівні частини. Знайди відстані від точок 𝑀 і 𝑁 до прямої, яка проходить через точку 𝐴 на відстані 12 см від точки 𝐵.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AM = MN = NK = KB = AB; BC = 12 см, BC ⟂ a, де a — деяка пряма. 4 ML ⟂ a, NP ⟂ a (L, P ∈ a). Знайти: ML і NP. За умовою ML ⟂ a і NP ⟂ a, тому ML ∥ NP ∥ BC і, згідно з теоремою Фалеса, AL = LP. В 1 1 ΔABC AN = NB і AP = PC, тоді NP — середня лінія трикутника ABC, NP = BC = • 12 = 2 2 = 6 (см). Аналогічно, AM = MN і AL = LP, тому ML — середня лінія ΔAPN, тобто 1 1 ML = NP = • 6 = 3 (см). 2 2 233. Як, користуючись властивістю середньої лінії трикутника, визначити відстань від пункта 𝐴 до пункта 𝐵, між якими не можна пройти?

Вибираємо точку C, з якої можна дійти і до A, і до B. Вимірюємо відрізки AC і BC та позначаємо їх середини T і P. TP — середня лінія △ABC, тому AB = 2TP: вимірюємо TP і подвоюємо. 234. Сума діагоналей чотирикутника дорівнює 𝑎. Знайди периметр чотирикутника, вершинами якого є середини сторін даного чотирикутника.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Сторони чотирикутника, вершини якого — середини сторін даного, є середніми лініями трикутників, утворених сторонами і діагоналями даного чотирикутника. Дві з них дорівнюють половині однієї діагоналі d₁, дві — половині другої d₂. P = 2 · d₁/2 + 2 · d₂/2 = d₁ + d₂ = a. Відповідь: a. 235. 𝐾, 𝑃, 𝑇, 𝐻 - середини сторін чотирикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷. За якої умови чотирикутник 𝐾𝑃𝑇𝐻 є: 1) ромбом; 2) прямокутником?

Легко довести, що в будь-якому опуклому чотирикутнику ABCD, чотирикутник, вершинами якого є середини сторін чотирикутника ABCD, — паралелограм. Дійсно, за умовою AK = KB, BP = PC, CT = TD і AH = HD. Тому KP і HT — середні лінії ΔABC і 1 1 ΔADC відповідно, тобто KP ∥ AC, KP = AC і HT ∥ AC, HT = AC. 2 2 Звідси отримуємо: KP ∥ HT і KP = HT. Що означає: чотирикутник KРТН — паралелограм. При цьому ΔKBP = ΔHDT і ΔPCT = ΔKAN. Переходимо до відповіді на запитання задачі: чотирикутник KРТН — ромб — це паралелограм, якщо всі його сторони рівні. Для цього достатньо, щоб ΔKBP = ΔPCT; KРТН — прямокутник — це паралелограм, всі кути якого прямі. Для цього достатньо, щоб ΔKBP був рівнобедреним. Дійсно, якщо ΔKBP — рівнобедрений, то BL ⟂ BP, але BL ∥ PT, тобто BP ⟂ PT, і ∠P = 90°. 236. 𝑆, 𝑃, 𝐹, 𝑅 - середини сторін чотирикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷. За якої умови чотирикутник 𝑆𝑃𝐹𝑅 є квадратом?

Легко довести, що в будь–якому опуклому чотирикутнику ABCD, чотирикутник, вершинами якого є середини сторін чотирикутника ABCD, — паралелограм. Дійсно, за © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

умовою AS = SB, BP = PC, CF = FD і AR = RD. Тому SP і RF — середні лінії ΔABC і ΔADC 1 1 відповідно, тобто SP ∥ AC, SP = AC і RF ∥ AC, RF = AC. 2 2 Звідси отримуємо: KP ∥ HT і KP ∥ HT. Що означає: чотирикутник SPRF — паралелограм. ABCD — паралелограм. При цьому ΔSBP = ΔRDF і ΔPCF = ΔSAR. SPRF — квадрат — це ромб, всі кути якого прямі або прямокутник, всі сторони якого рівні. Для цього достатньо, щоб виконувались умови: а) ΔSBP і ΔPCF — рівнобедрені; б) ΔSBP = ΔPCF. 237. Якщо 𝐾, 𝑃, 𝑇 - середини сторін △ 𝐴𝐵𝐶, то 𝐴𝐾 ∶ 𝐴𝐵 = 𝐴𝑇 ∶ 𝐴𝐶 = 𝐾𝑇 ∶ 𝐵𝐶. Доведи.

В ΔABC K, P і T — середини його сторін. Потрібно довести, що AK : AB = AT : AC = KT : BC. Дійсно, за умовою AK = KB і AT = TC, тому AB = 2AK, AC = 2AT, AK : AB = AT : AC = = 1 : 2. Крім того, KT — середня лінія ΔABC, тобто KT ∥ BC і BC = 2KT. Отже, AK : AB = = AT : AC = KT : BC = 1 : 2, що й потрібно було довести. 238. Якщо на прямій а відкласти кілька рівних відрізків і через них провести паралельні прямі до перетину з прямою 𝑏, то і на прямій 𝑏 вони відсічуть рівні відрізки. Доведи це твердження． На прямій a відкладені відрізки A1A2 = A2A3, через їх кінці — точки A1, A2 і A3 — проведені паралельні прямі, які перетинають пряму b відповідно в точках B1, B2 і B3. Довести: B1B2 = B2B3. Насамперед зауважимо, що для наглядності ми обмежились двома рівними відрізками на прямій a. Спочатку розглянемо випадок, коли прямі a і b паралельні (на малюнку взята пряма c ∥ a, яка проходить через точку B2).

Очевидно, при цьому утворилися два рівні паралелограми A1B1C2A2 і A2B2C3A3. Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то C1B2 = B2C3, і в цьому випадку твердження задачі доведено. Нехай тепер прямі a і b перетинаються в деякій точці O під гострим кутом α. Тоді ∠C1B2B1 = ∠B3B2C3 = α як вертикальні, і ∠C1B1B2 = ∠B3C1B2 як внутрішні різносторонні кути при січній B1B3 та паралельних прямих A1B1 і A1A3. Тобто ΔC1B2B1 = ΔB3B2C3 за стороною (C1B2 = B2C3) і двома прилеглими кутами. Отже, B1B2 = B2B3, і справедливість твердження задачі доведена повністю. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

239. Як розрізати довільний трикутник на дві частини, щоб із них можна було скласти паралелограм?

ΔABC — довільний зі сторонами BC = a, AC = b і AB = c. Як треба провести BD, щоб чотирикутник, заклеєний з ΔABD і ΔBDC був паралелограмом? Пам’ятайте, що паралелограм — це чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні (і рівні). Нехай D — середина сторони AC, тобто AD = DC. Розрізавши ΔABC по медіані BD, отримуємо два трикутники: ΔABD і ΔDBC. ΔDBC паралельним переносом перемістимо так, щоб вершина B ΔABD співпала з вершиною D ΔDBC. Потім повернемо ΔBDC навколо точки D на 180° по (чи проти) годинниковій стрілці. При цьому вершина D ΔABD повинна співпасти з вершиною B ΔBDC, а відрізки AD і DC займуть положення: AD залишиться на місці, а DC займе положення MD. В чотирикутнику MNKL ML = AB, LK = AD, MN = DC, MK — лінія склейки (сторона BD ΔABD суміщується зі стороною DB ΔBDC). Тоді чотирикутник MNKL — шуканий паралелограм. 240. Точки 𝐴 і 𝐵 лежать по різні боки від прямої 𝑎 і віддалені від неї на 6 см і 10 см. Знайди відстань від середини відрізка 𝐴𝐵 до прямої 𝑎.

За умовою AC ⟂ a, BD ⟂ a, MN ⟂ a і AM = MB, тоді AC ∥ MN ∥ BD і, згідно з теоремою 1 Фалеса, CM = MD = CD. 2 Зробимо допоміжну побудову: через точку M проведемо пряму b ∥ a і подовжимо відрізок AC до перетину його з прямою b. Нехай точка N — точка перетину відрізка AC (подовженого) і K — точка перетину відрізка BD з прямою b. Тоді прямокутні ΔANO і ΔBKO — рівні, тому 1 1 AN = BK = (AC + BD) = • (6 + 10) = 8 (см). 2 2 Але MN = AN − AC = 8 − 6 = 2 (см). 241. Одна з вершин трикутника міститься за межами зошита. Проведи медіани цього трикутника або їх частини.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай вершина C трикутника ABC за межами зошита. 1) Знаходимо середину M сторони AB. 2) Через M проводимо пряму, паралельну AC; вона перетинає BC у середині A₁ сторони BC (середня лінія). AA₁ — медіана. 3) Через M проводимо пряму, паралельну BC; вона перетинає AC у середині B₁ сторони AC. BB₁ — медіана. 4) Медіани AA₁ і BB₁ перетинаються в точці G. Третя медіана проходить через M і G — проводимо пряму MG, її частина в межах зошита і є частиною медіани CM. 242. Виріж із паперу три рівні різносторонні трикутники. Один з них розріж по середній лінії і з двох утворених частин склади паралелограм. Інші трикутники розріж по інших середніх лініях і склади з них паралелограми. Чи рівні всі утворені таким способом паралелограми? Чи рівні їх периметри?

Нехай сторони трикутника a, b, c. Розрізаємо трикутник по середній лінії, паралельній стороні a, і відрізаний трикутник повертаємо на 180° навколо середини сторони b (або c) — отримуємо паралелограм зі сторонами a і c/2 (або a і b/2). Отже, з одного трикутника можна скласти паралелограми зі сторонами a і b/2, a і c/2, b і a/2, b і c/2, c і a/2, c і b/2. Вони не рівні між собою (мають різні сторони й кути), а їх периметри 2a + b, 2a + c, 2b + a, … у різностороннього трикутника різні. Рівні в них лише площі — кожна дорівнює площі трикутника. 243. Підготуй презентацію на тему: 1. Фалес Мілетський - один із семи мудреців світу. 2. Математичні здобутки в школі Фалеса. Орієнтовний план презентації. 1. Фалес Мілетський (бл. 625–547 рр. до н. е.) — давньогрецький філософ і математик із міста Мілет, його вважали першим із семи мудреців Стародавньої Греції. 2. Подорожував до Єгипту, де визначив висоту піраміди за довжиною її тіні; передбачив сонячне затемнення 585 р. до н. е.; знаходив відстань до корабля в морі. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

3. Фалесу приписують перші доведення геометричних тверджень: діаметр ділить коло навпіл; кути при основі рівнобедреного трикутника рівні; вертикальні кути рівні; ознаку рівності трикутників за стороною і прилеглими кутами; вписаний кут, що спирається на діаметр, — прямий; теорему про паралельні прямі, які відтинають на сторонах кута рівні відрізки (теорема Фалеса). 4. Мілетська школа: учні й послідовники Фалеса — Анаксимандр, Анаксимен; перехід від практичних правил до доведень. 244. На сторонах 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 відкладено рівні відрізки 𝐴𝑁 і 𝐶𝑀. Доведи, що 𝑁𝐵𝑀𝐷 - паралелограм.

NB = AB − AN, MD = CD − CM. AB = CD (протилежні сторони прямокутника) і AN = CM, тому NB = MD. Крім того, NB ∥ MD, бо AB ∥ CD. У чотирикутнику NBMD сторони NB і MD рівні й паралельні, отже, NBMD — паралелограм, що й треба було довести. 245. Доведи, що периметр ромба, вписаного в рівносторонній трикутник (гострий кут ромба збігається з кутом трикутника), дорівнює 2𝑎, де 𝑎 - довжина сторони трикутника.

△ABC рівносторонній зі стороною a, ромб AMNP: M ∈ AB, N ∈ BC, P ∈ AC. MN ∥ AC, тому ∠BMN = ∠A = 60°; ∠B = 60°, отже, △MBN рівносторонній: MB = MN. MN = AM (сторони ромба), тому AM = MB = a/2. Периметр ромба 4 · a/2 = 2a, що й треба було довести. 246. На скільки частин ділять площину два рівні квадрати, розміщені на ній?

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Залежно від розміщення: квадрати збігаються — 2 частини; не мають спільних внутрішніх точок — 3 частини; частково перекриваються, і їхні межі перетинаються у 2 точках — 4 частини; межі перетинаються в 4 точках — 6 частин, у 6 точках — 8 частин. Найбільше частин — 10, коли межі перетинаються у 8 точках: наприклад, квадрати мають спільний центр, а один повернуто відносно другого на 45° (спільна частина — восьмикутник, 8 трикутників і зовнішня частина). Відповідь: найбільше на 10 частин (найменше — на 2). §5. Трапеція 247. Чи існує трапеція, сторони якої дорівнюють 1 м, 2 м, 3 м і 7 м?

У будь-якому чотирикутнику найбільша сторона менша від суми трьох інших. Тут 7 > 1 + 2 + 3 = 6, тому чотирикутника, а отже, і трапеції з такими сторонами не існує. Відповідь: ні. 248. Один кут поверхні столу, що є рівнобічною трапецією, дорівнює 100∘ . Знайди інші кути поверхні столу.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

У рівнобічній трапеції кути при кожній основі рівні, а сума кутів, прилеглих до бічної сторони, — 180°. Отже, кути поверхні столу: 100°, 100°, 180° − 100° = 80°, 80°. Відповідь: 100°, 80°, 80°. 249. Сума трьох кутів трапеції дорівнює 280∘ . Знайди її четвертий кут. A. 100∘ ; Б. 140∘ ; В. 70∘ ; Г. 80∘ . Сума кутів чотирикутника 360°, тому четвертий кут 360° − 280° = 80°. Відповідь: Г. 80°. 250. Знайди кути рівнобічної трапеції, якщо сума трьох із них дорівнює 300∘ .

Сума кутів трапеції 360°, тому четвертий кут 360° − 300° = 60°. Він гострий. У рівнобічній трапеції кути при основі рівні: два кути по 60°, два інші по 180° − 60° = 120°. Відповідь: 60°, 60°, 120°, 120°. 251. Два кути трапеції в сумі становлять 200∘ . Чи правильно, що вони - протилежні? Знайдіть суму двох інших кутів.

Кути, прилеглі до бічної сторони, разом дають 180°, тому ці два кути не прилягають до однієї бічної сторони. Але вони можуть бути і протилежними, і кутами при меншій основі: наприклад, у трапеції з кутами 80°, 100°, 100°, 80° сума 100° + 100° = 200° — це кути при одній основі. Отже, твердження неправильне. Сума двох інших кутів: 360° − 200° = 160°. Відповідь: ні, не обов’язково; 160°. 252. Периметр рівнобічної трапеції дорівнює 20 см, а сума її основ 12 см. Знайди довжину бічної сторони. А. 8 см; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Б. 4 см; В. 12 см; Г. 6 см. Сума бічних сторін 20 − 12 = 8 (см), вони рівні: 8 : 2 = 4 (см). Відповідь: Б. 4 см. 253. Установи відповідність між елементами трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷(1 − 4) та відповідними відрізками (А-Д). 1. основа; 2. бічна сторона; 3. середня лінія; 4. діагональ. А. 𝐵𝐷; Б. 𝑀𝑁; В. 𝐶𝐷; Г. 𝐵𝐶; Д. 𝐵𝐾.

1) основа — BC (Г) (або AD); 2) бічна сторона — CD (В); 3) середня лінія — MN (Б); 4) діагональ — BD (А). BK — висота трапеції (Д) — зайва. Відповідь: 1 — Г, 2 — В, 3 — Б, 4 — А. 254. Накресли рівнобічну трапецію 𝑀𝑁𝑃𝐾. Вкажи її основи і бічні сторони.

MNPK — рівнобічна трапеція: MK ∥ NP, MN = PK. Основи: MK і NP. Бічні сторони: MN і PK. 255. Накресли прямокутну трапецію 𝐸𝐹𝑇𝑃. Вкажи її основи та бічні сторони.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

EFTP — прямокутна трапеція: EP ∥ FT, EF ⊥ EP. Основи: EP і FT. Бічні сторони: EF (перпендикулярна до основ) і TP. 256. Знайди периметр трапеції, основи якої дорівнюють 8 см і 12 см , а бічні сторони 7 см і 11 см. P = 8 + 12 + 7 + 11 = 38 (см). Відповідь: 38 см. 257. Знайди периметр рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 18 см і 7 см, а бічна сторона - 11 см.

Бічні сторони рівнобічної трапеції рівні. P = 18 + 7 + 11 + 11 = 47 (см). Відповідь: 47 см. 258. Бічними гранями пакування є рівнобічні трапеції з основами 15 см і 17 см та периметром 54 см. Знайди бічну сторону такої грані пакування.

Бічні сторони рівнобічної трапеції рівні: 2x = 54 − 15 − 17 = 22, x = 11 (см). Відповідь: 11 см. 259. Бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнює 7 см, а периметр 41 см. Знайди основи трапеції, якщо одна з них: а) на 3 см більша за другу; б) у 2 рази більша за другу.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Сума основ 41 − 2 · 7 = 27 (см). а) x + x + 3 = 27, 2x = 24, x = 12. Основи 12 см і 15 см. б) x + 2x = 27, x = 9. Основи 9 см і 18 см. Відповідь: а) 12 см і 15 см; б) 9 см і 18 см. 260. Бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнює 11 см, а периметр 47 см. Знайди основи трапеції, якщо одна з них: а) на 5 см менша від другої; б) у 4 рази менша від другої.

Сума основ 47 − 2 · 11 = 25 (см). а) x + (x − 5) = 25, 2x = 30, x = 15. Основи 15 см і 10 см. б) x + 4x = 25, x = 5. Основи 5 см і 20 см. Відповідь: а) 10 см і 15 см; б) 5 см і 20 см. 261. Один із кутів рівнобічної трапеції дорівнює 42∘ . Знайди інші кути трапеції.

У рівнобічній трапеції кути при основі рівні, а кути, прилеглі до бічної сторони, разом дають 180°. Кути: 42°, 42°, 180° − 42° = 138°, 138°. Відповідь: 42°, 138°, 138°. 262. Один із кутів рівнобічної трапеції дорівнює 128∘ . Знайди інші кути трапеції.

Кут 128° — тупий, він при меншій основі; другий кут при цій основі теж 128°. Кути при більшій основі: 180° − 128° = 52°. Відповідь: 128°, 52°, 52°. 263. Менший із кутів прямокутної трапеції дорівнює 74∘ . Знайди інші кути трапеції. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

У прямокутній трапеції два кути прямі. Гострий кут 74°, прилеглий до тієї ж бічної сторони кут 180° − 74° = 106°. Відповідь: 90°, 90°, 106°. 264. Більший із кутів прямокутної трапеції дорівнює 139∘ . Знайди інші кути трапеції.

Більший кут 139° — тупий, прилеглий до тієї ж бічної сторони кут 180° − 139° = 41°. Два інші кути прямокутної трапеції — прямі. Відповідь: 41°, 90°, 90°. 265. Знайди кути рівнобічної трапеції, якщо один із них на 10∘ більший за другий.

ABCD — рівнобічна трапеція; ∠B – ∠A = 10°. Знайти: ∠A і ∠B. За умовою ∠B – ∠A = 10°. Крім того, ∠B + ∠A = 180°, бо ∠A і ∠B — прилеглі кути до бічної сторони трапеції. Знаходимо розв’язок системи рівнянь: ∠В − ∠A = 10 { ; ∠B + ∠A = 180 2∠В = 190, тоді ∠B = 95° і ∠A = ∠B – 10° = 95° – 10° = 85°. Отже, кути при верхній основі трапеції і кути при її нижній основі відповідно дорівнюють 85° і 95°. 266. Знайди кути рівнобічної трапеції, якщо один із них у 4 рази більший за протилежний.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

У рівнобічній трапеції ∠C = ∠B, а ∠A + ∠B = 180°, тому сума протилежних кутів ∠A + ∠C = 180°. Нехай ∠A = x, ∠C = 4x: x + 4x = 180°, x = 36°. Кути: ∠A = ∠D = 36°, ∠B = ∠C = 144°. Відповідь: 36°, 36°, 144°, 144°. 267. Знайди кути трапеції, якщо її можна розрізати на паралелограм і рівносторонній трикутник.

ABCD — рівнобічна трапеція; CM ∥ AВ; ∆MCD — рівносторонній. Потрібно знайти ∠A і ∠В. За умовою ∆MCD — рівносторонній, тому ∠M = ∠D = 60°. Але AB ∥ MC, тому ∠A = ∠M = 60°. Крім того, ∠A + ∠B = 180° як сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, тобто ∠B = 180° – ∠A = 180° – 60° = 120°. 268. Знайди кути трикутника, якщо пряма, паралельна його стороні, відтинає від нього рівнобічну трапецію з кутом 100∘ . В ∆АВС AB = BC; MN ∥ AC; AM = CN; ∠M = 100°. Знайти ∠A. ∠A + ∠M = 180° як сума кутів, прилеглих до однієї бічної сторони трапеції, тому ∠A = 180° – ∠M = 80°. 269. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 80∘ . Знайди кути трапеції, яку відтинає від даного трикутника пряма, паралельна: а) основі трикутника; б) бічній стороні трикутника.

△ABC: AB = BC, ∠B = 80°, тоді ∠A = ∠C = (180° − 80°) : 2 = 50°. а) Пряма MN ∥ AC (M ∈ AB, N ∈ BC) відтинає трапецію AMNC: ∠A = ∠C = 50°, ∠AMN = ∠CNM = 180° − 50° = 130°. б) Пряма KL ∥ AB (K ∈ AC, L ∈ BC) відтинає трапецію ABLK: ∠A = 50°, ∠B = 80°, ∠BLK = 180° − 80° = 100°, ∠AKL = 180° − 50° = 130°. Відповідь: а) 50°, 50°, 130°, 130°; б) 50°, 80°, 100°, 130°.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

270. Два кути трапеції - 100∘ і 50∘ . Знайди інші її кути.

В трапеції ABCD ∠A = 50°, ∠C = 100°. Знайти ∠B і ∠D. Оскільки сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює 180°, то міру ∠B і ∠D знаходимо досить легко. А саме, ∠B = 180° – ∠A = 180° – 50° = 130°; ∠D = 180° – ∠C = 180° – 100° = 80°. 271. Два кути трапеції −35∘ і 140∘ . Знайди інші її кути.

35° + 140° ≠ 180°, тому ці кути не прилягають до однієї бічної сторони. Кут, прилеглий з 35° до бічної сторони: 180° − 35° = 145°; кут, прилеглий з 140°: 180° − 140° = 40°. Відповідь: 145° і 40°. 272. 𝐵𝐶 і 𝐴𝐷 - основи рівнобічної трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐵𝑀 і 𝐶𝐾 - висоти. Доведи, що: а) △ 𝐴𝐵𝑀 =△ 𝐷𝐶𝐾; б) 𝐴𝑀 = 𝐾𝐷.

AB = CD, BM ⊥ AD, CK ⊥ AD. Довести: ∆ABM = ∆DCK. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

За умовою трикутники ABM і DCK — прямокутні, причому BM = CK як відстані між паралельними прямими BC і AD, крім того, ∠A = ∠D як кути, прилеглі до основи рівнобічної трапеції. Отже, ∆ABD = ∆DCK за гіпотенузою і двома прилеглими до неї гострими кутами, що й потрібно було довести. 273. 𝐵𝐻 - висота вікна у формі рівнобічної трапеції з основами 𝐴𝐷 = 2,4 м і 𝐵𝐶 = 1,6 м. Знайди довжини відрізків 𝐴𝐻 та 𝐻𝐷.

У рівнобічній трапеції висота BH відтинає від більшої основи відрізок AH = (AD − BC) : 2. AH = (2,4 − 1,6) : 2 = 0,4 (м), HD = AD − AH = 2,4 − 0,4 = 2 (м). Відповідь: AH = 0,4 м, HD = 2 м. 274. 𝐵𝐾 - висота рівнобічної трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷 з основами 𝐴𝐷 і 𝐵𝐶. Знайди основи трапеції, якщо 𝐴𝐾 = 6 см, 𝐾𝐷 = 15 см.

У рівнобічній трапеції AK = (AD − BC) : 2. AD = AK + KD = 6 + 15 = 21 (см), BC = AD − 2AK = 21 − 12 = 9 (см). Відповідь: 21 см і 9 см. 275. У рівнобічній трапеції більша основа дорівнює 17 см, бічна сторона — 10 см, а кут між ними — 60°. Знайди її периметр.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

В трапеції ABCD AD = 17 cм, AB = CD = 10 cм, ∠A = 60°. Знайти периметр трапеції. Насамперед з точок B i C опустимо перпендикуляри на сторону AD. Нехай це відрізки BM і CK, тоді чотирикутник BCKM — прямокутник, бо всі його кути прямі. В попередній задачі було доведено, бо прямокутні ∆ABM і ∆CKD — рівні, AM = KD, але, згідно з 1 1 умовою, катет AM лежить проти кута в 30°, тому AM = АВ = • 10 = 5 (см), тоді і 2 2 KD = 5 см. Знаходимо периметр трапеції P = AB + BC + CD + AD = 2AB + BC + AD. В цьому виразі невідомою поки що залишилася величина BC. Але BC = MK як протилежні сторони прямокутника BCKM, тому BC = AD – 2АМ = 17 – 2 • 5 = 17 – 10 = 7 (см). Отже, P = 2 • 10 + 7 + 17 = 44 (см). 276. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 8 см i 14 см. Знайди периметр трапеції, якщо її гострий кут дорівнює 60∘ .

AB = CD; BC = 8 см, AD = 14 см; ∠A = 60°. Знайти периметр трапеції. Зауважимо, що розв’язок багато в чому нагадує розв’язок попередньої задачі. Тому надаємо розв’язок без особливих роз’яснень, бо вони майже дослівно повторюють роз’яснення, дані в № 275. Отже, AM = KD, AD = 2AM + + MK = (MK = BC) = 2AM + BC, 1 1 1 тобто AM = (АD – BC) = • (14 – 8) = • 6 = З (см). Оскільки в ∆ABM ∠A = 60°, то 2

2 1

∠ABM = 30°, тобто AM = АВ, AB = 2AM = 2 • 3 =6 (см). За умовою AB = CD, тому 2 P = AB + BC + CD + AD = 2АВ + BC + AD = 2 • 6 + 8 + 14 = 34 (см). 277. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 13 см і 6 см, а тупий кут −120∘ . Знайди довжину більшої бічної сторони.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ABCD — прямокутна трапеція, AB ⊥ AD, AD = 13 см, BC = 6 см, ∠C = 120°. Проведемо висоту CH. ABCH — прямокутник, AH = BC = 6 см, HD = 13 − 6 = 7 (см). ∠D = 180° − 120° = 60°, у прямокутному △CHD ∠HCD = 30°, тому HD = CD : 2, CD = 14 см. Відповідь: 14 см. 278. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 7 дм і 4 дм, а гострий кут - 45∘ . Знайди довжину меншої бічної сторони.

BC = 4 дм, AD = 7 дм, AD ⊥ CD, ∠A = 45°. Знайти CD. Насамперед проведемо відрізок BM ⊥ AD. Тоді MD = BC = 4 дм як протилежні сторони прямокутника BCDM. Тоді AM = AD – MD = 7 – 4 = 3 (дм). За умовою ∠A = 45°, тому прямокутний ∆ABM — рівнобедрений, BM = AM = 3 дм. Але BM = CD як протилежні сторони прямокутника BCDM. Отже, CD = 3 дм. 279. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 5 см і 9 см, а тупий кут - 135∘ . Знайди відстань між основами трапеції.

В трапеції ABCD AB = CD, BC = 5 см, AD = 9 см, ∠B = 135°, BM ⊥ AD. Знайти довжину BM. Оскільки ∠A + ∠B = 180°, як сума кутів, прилеглих до бічної сторони AВ, тобто © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∠A = 180° – ∠B = 45°. Отже, ∆AMB — прямокутний і рівнобедрений, AM = BM. Опустимо з вершини C перпендикуляр на AD. Нехай це відрізок CK. Тоді прямокутні рівнобедрені ∆АВМ і ∆KCD — рівні, AM = KD. Отже, AD = AM + MK + KD = 2AM + MK, MK = BC як 1 протилежні сторони прямокутника ВСКМ. Тоді AD = 2AM + BC і AM = (АD – BC) = 1

= • (9 – 5) = • 4 = 2 (см). Таким чином, BM = 2 см. 2 2 280. Обчисли довжину середньої лінії трапеції, основи якої дорівнюють 7 м і 12 м. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ: (7 + 12) : 2 = 9,5 (м). Відповідь: 9,5 м. 281. Основи трапеції дорівнюють 0,5 м і 1,7 м. Знайди довжину її середньої лінії.

ВC ∥ AD; BC = 0,5 м; AD = 1,7 м; MN — середня лінія ABCD. Знайти довжину MN. За 1 означенням, якщо MN — середня лінія трапеції, то MN ∥ BC і MN = (BC + AD) = 1

= • (0,5 + 1,7) = • 2,2 = 1,1 (м). 2 2 282. The bases of a trapezoid are 6 дм and 8 дм. Find the length of its мidline. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ: (6 + 8) : 2 = 7 (дм). Відповідь: 7 дм (the midline is 7 dm). 283. Основи трапеції дорівнюють 6 см і 10 см. Знайди відрізки, на які діагональ ділить її середню лінію.

BC ∥ AD; BC = 6 см, AD = 10 см; MN — середня лінія трапеції. Знайти MK, KL, LN. 1 1 За умовою MN — середня лінія трапеції, тоді MN ∥ BC і MN = (BC + AD) = • (6 + 10) = 2 2 = 8 (см). Оскільки MN ∥ BC і K ∈ MN, то MK ∥ BC, тобто MK — середня лінія ΔABC. Так 1 1 1 само LN — середня лінія ΔBCD. Тоді MK = BC, LN = BC, MK = LN = • 6 = 3 (см). 2 2 2 Отже, KL = MN − MK − LN = 8 − 3 − 3 = 2 (см). Особливої уваги заслуговує випадок, коли AB = CD (трапеція рівнобічна). В цьому випадку діагоналі BD і AC рівні і точка їх перетину O ∈ MN, причому MO = ON, тобто середня лінія MN ділиться лише на два рівних 1 відрізка MO = ON = MN = 4 (см). 2 284. Діагональ ділить середню лінію трапеції на відрізки, довжини яких дорівнюють 2 см і 5 см. Знайди основи трапеції. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BC ∥ AD; MN — середня лінія трапеції; MK = 5 см, KL = 2 см. Знайти довжину BC і AD. Ця задача — обернена до попередньої задачі №283. Тому MN = MK + KL + LN = 2MK + KL = 2 • 5 + 2 = 12 (см). Але MK — середня лінія ∆АВС, тому BC = 2MK = 2 • 5 = 10 (см). Оскільки BC + AD = 2MN, тo AD = 2MN – BC = 2 • 12 – 10 = 14 (см). 285. Середня лінія трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷‖𝐵𝐶) дорівнює 30 см. Знайдіть основи трапеції, якщо: a) 𝐴𝐷 більша за 𝐵𝐶 на 6 см; б) 𝐴𝐷 більша за 𝐵𝐶 у 5 разів; в) 𝐴𝐷 ∶ 𝐵𝐶 = 2 ∶ 3.

BC ∥ AD, MN — середня лінія трапеції, MN = 30 см. Знайти BC і AD, якщо: a) AD – BC = 6 см; 6) AD = 5BC; в) BC : AD = 2 : 3. Насамперед, з умови, знаходимо AD + BC = 2MN = 2 • 30 = 60 (см). Тоді: а) розв’язуємо систему рівнянь: AD + BC = 60 { AD − BC = 6 2AD = 66, AD =33. Тоді BC = 60 – AD = 60 – 33 = 27 (см). Отже, основи трапеції дорівнюють 27 см і 33 см. б) Розв’язуємо систему рівнянь: AD + BC = 60 5BC + BC = 60 { ;{ AD = 5BC AD = 5ВС 6ВС = 60 ВС = 10 (см) ;{ { AD = 5ВС AD = 50 (см) в) Можна вважати, що BC = 2х, AD = Зх, де х — деяке додатне число. З умови AD + BC = 60 знаходимо: Зх + 2х = 60, 5х = 60, х = 12, тоді 2х = 24, Зх = 36. Отже, сторони основ трапеції дорівнюють 24 см і 36 см. 286. Середня лінія трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷‖𝐵𝐶) дорівнює 36 см. Знайди основи трапеції, якщо: а) одна з них на 6 см більша за другу; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

б) одна з них у 2 рази менша від другої; в) вони пропорційні числам 4 і 5 .

AC ∥ BD; AC : BD = 4 : 5; MN — середня лінія трапеції; MN = 36 см. Знайти довжини основ трапеції AC і BD. Можна вважати, що AC = 4х, BD = 5х, де х — деяке додатне число. Тоді із співвідношення AC + BD = 2MN отримуємо рівняння 4х + 5х = 72, 9х = 72, х = 8. Отже, AC = 4 • 8 = 3 • 2 (cм), BD = 5 • 8 = 40 (см). 287. Висота, проведена з вершини тупого кута прямокутної трапеції, поділяє її більшу основу на відрізки завдовжки 20 см і 30 см, рахуючи від вершини прямого кута. Знайди довжину середньої лінії трапеції.

BC ∥ AD; BH ⊥ AD; AH = 20 см, HD = 30 см, MN — середня лінія трапеції, CD ⊥ AD. Знайдіть довжину MN. За умовою знаходимо AD = AH + HD = 20 + 30 = 50 (см). За умовою CD ⊥ AD, тому BC = HD = 30 (см) як протилежні сторони прямокутника. 1 1 Отже, MN = (ВС + AD) = • (30 + 50) = 40 (см). 2 2 288. Кінці відрізка, що не перетинає пряму, віддалені від цієї прямої на 6 см і 14 см. Знайди відстань від середини відрізка до цієї прямої.

AC ⊥ а; AC = 6 см; BD ⊥ a, BD = 14 см; AM = MB; MN ⊥ а. Знайти відстань MN від прямої а. За умовою AC ⊥ a, BD ⊥ a i MN ⊥ а, тоді AC ∥ BD ∥ MN. Крім того, з умови AM = MB, згідно з теоремою Фалеса, CN = ND, тобто MN — середня лінія трапеції ABCD. Отже, MN 1 1 = (АС + BD) = • (6 + 14) = 10 (см). 2

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

289. Основи трапеції дорівнюють 4 см і 10 см. Знайди довжину відрізка середньої лінії, який лежить між діагоналями.

BC ∥ AD, BC = 4 см, AD = 10 см; MN — середня лінія. Знайти KL. Згадаймо (див. розв’язок 1 задачі № 283), що MK = LN = BС, MK + LN = BC = 4 см. 1

Тоді KL = MN – BC = (ВС + AD) – BC = (AD – BC) = • (10 – 4) = 3 (см). 2 2 2 290. Доведи, що коли діагоналі трапеції рівні, то вона рівнобічна.

Трапеція ABCD (AD ∥ BC), AC = BD. Проведемо висоти BK і CM: BK = CM (відстань між паралельними прямими). Прямокутні △BKD і △CMA рівні за гіпотенузою і катетом (BD = AC, BK = CM), тому ∠BDA = ∠CAD. △ABD = △DCA за двома сторонами і кутом між ними (AD — спільна, BD = CA, ∠BDA = ∠CAD). Отже, AB = DC — трапеція рівнобічна, що й треба було довести. 291. Кути при основі рівнобічної трапеції рівні. Сформулюйте обернене твердження. Чи правильне воно?

Якщо в трапеції AB = CD, то справедливе твердження: ∠A = ∠D. Обернене твердження має зміст: ∠A = ∠D. Потрібно довести, що AB = CD. Дійсно, ∆BAD = ∆ACD за стороною і двома кутами між ними: (AD — спільна, ∠A = ∠D за умовою, ∠BDA = ∠CDA, бо ∠CAD = = ∠ACB як внутрішні різносторонні кути з січною AC та паралельними прямими BC і AD. Тоді ∠ADB = ∠CAD як кути, прилеглі до основи рівнобедреного ∆AOD. Отже, AB = CD, що й потрібно було довести. 292. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута. Знайди периметр трапеції, якщо її основи дорівнюють 7 см і 12 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ABCD — рівнобічна трапеція, BC = 7 см, AD = 12 см, AC — бісектриса гострого кута A. ∠BAC = ∠CAD (бісектриса), ∠CAD = ∠BCA (внутрішні різносторонні при BC ∥ AD). Отже, ∠BAC = ∠BCA, △ABC рівнобедрений: AB = BC = 7 см, CD = AB = 7 см. P = 7 + 7 + 7 + 12 = 33 (см). Відповідь: 33 см. 293. Гранями торшера є рівнобічні трапеції. Діагональ грані є бісектрисою її тупого кута. Знайдіть усі сторони грані, якщо її основи пропорційні числам 2 і 5, а периметр дорівнює 66 см.

ABCD — рівнобічна трапеція, BC : AD = 2 : 5, BD — бісектриса тупого кута B. ∠ABD = ∠DBC (бісектриса), ∠DBC = ∠BDA (внутрішні різносторонні при BC ∥ AD). Отже, ∠ABD = ∠BDA, △ABD рівнобедрений: AB = AD. Тоді й CD = AD. Нехай BC = 2x, AD = 5x, AB = CD = 5x: 2x + 5x + 5x + 5x = 102, 17x = 102, x = 6. BC = 12 см, AD = AB = CD = 30 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відповідь: 12 см, 30 см, 30 см, 30 см. 294. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута. Знайди більшу основу трапеції, якщо ііі менша основа дорівнює 6 см і менший кут −60∘ .

AB = CD, BC = 6 см; ∠BAC = ∠CAB; ∠A = 60°. Знайти довжину AD. За умовою ∠A = 60° 1 1 і ∠BAC = ∠CAD = ∠A = • 60° = 30°. Але ∠CAD = ∠BCA як внутрішні різносторонні кути 2 2 з січною AC та паралельними прямими BC і AD, тобто ∠ACB = ∠CAD = ∠BAC = 30°. Тоді в ∆АВС кути при стороні AC рівні, ∠BAC = ∠BCA, що означає рівнобедреність ∆ABC, AB = BC = 6 (см). В ∆ABD більший з гострих кутів ∠BAD = 60°, а менший ∠ADB = 30° за умовою. Тоді ∆ABD — прямокутний (∠B = 90°) і катет AB лежить проти кута в 30°, тому 1 AB = AD або AD = 2АВ = = 2 • 6 = 12 (см). Отже, довжина більшої основи даної трапеції 2 дорівнює 12 см. 295. У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою тупого кута, а основи дорівнюють 3 см і 7 см. Знайди периметр трапеції.

AB = CD; ∠ABD = ∠CBD = ∠B; BC = 3 см, AD = 7 см. 2 Знайти периметр трапеції P. За умовою в ΔABC ∠ABO = ∠CBO, тобто ΔABC — рівнобедрений, BO одночасно висота і медіана ΔABC. Але важливіше інше: AB = BC = 3 (см). Тоді Pтр. = AB + BC + CD + AD = 3 • 3 + AD = 3 • 3 + 7 = 16 (см). 296. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її тупого кута, а основи дорівнюють 3 см і 7 см. Знайди периметр трапеції.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ABCD — рівнобічна трапеція, BD — бісектриса тупого кута B. ∠ABD = ∠DBC = ∠BDA, тому △ABD рівнобедрений: AB = AD; отже, бічні сторони дорівнюють більшій основі. Нехай BC = x, тоді AD = AB = CD = x + 8. x + 3(x + 8) = 32, 4x = 8, x = 2. BC = 2 см, AD = AB = CD = 10 см. Відповідь: 10 см, 10 см, 10 см, 2 см. 297. Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює бічній стороні, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Знайди кути трапеції.

ABCD — рівнобічна трапеція, BC = AB = CD, AC ⊥ CD. △ABC рівнобедрений (AB = BC), тому ∠BAC = ∠BCA; ∠BCA = ∠CAD (внутрішні різносторонні), отже, ∠BAC = ∠CAD = α, ∠A = 2α. У рівнобічній трапеції ∠D = ∠A = 2α. У прямокутному △ACD: α + 2α = 90°, α = 30°. ∠A = ∠D = 60°, ∠B = ∠C = 180° − 60° = 120°. Відповідь: 60°, 60°, 120°, 120°. 298. Бісектриса тупого кута 𝐵 трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷 паралельна бічній стороні 𝐶𝐷 і перетинає сторону 𝐴𝐷 у точці 𝑀. Знайди периметр трапеції, якщо 𝑀𝐷 = 30 м, а периметр △ 𝐴𝐵𝑀 дорівнює 42 м.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BC ∥ AD, ∠ABM = ∠MBC, P∆ABM = 42 м, MD = 30 м. BM ∥ CD. Знайти PABCD. За умовою BC ∥ AD і BM ∥ CD, тоді ABCD — паралелограм і BC = MD = 30 м. Шуканий периметр P = AB + BC + CD + AD= AB + BM + AM + BC + MD = P∆ABM + 2BC = = 42 + 2 • 30 = 102 (м). 299. Сторону 𝐴𝐵 △ 𝐴𝐵𝐶 поділено на 3 рівні частини і через точки поділу проведено прямі, паралельні 𝐴𝐶. Знайди довжини відрізків, які лежать між сторонами 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶, якщо найменший із них дорівнює 5 см.

AM = MN = NB; NK ∥ ML ∥ AC; NK = 5 см. Знайти MN. За умовою MN = NB, NK ∥ ML і NK = 5 см. Тоді NK — середня лінія ∆MBL, тобто ML = 2NK, ML = 10 см. 300. Бічну сторону трапеції поділили на 4 рівні частини і через точки поділу провели прямі, паралельні основам. Знайди довжини відрізків, які містяться між бічними сторонами трапеції, якщо її основи дорівнюють 4 см і 10 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BC ∥ AD, BC = 4 см, AD = 10 см, AP = PM = MK = KB; KL ∥ MN ∥ PT. Знайти KL, MN і PT. Насамперед зауважимо, що MN — середня лінія трапеції ABCD. 1 1 MN = (BC + AD) = • (4 + 10) = 7 (см). 2 2 Так само KL і PT — середні лінії трапецій MBCN і AMNB відповідно. 1 1 1 1 Отже, KL = (ВС + МN) = • (4 + 7) = 5,5 (см); PT = (MN + AD) = • (7 + 10) = 8,5 (см). 2 2 2 2 301. Бісектриса тупого кута 𝐵 рівнобічної трапецїї 𝐴𝐵𝐶𝐷 паралельна бічній стороні 𝐶𝐷 і перетинає сторону 𝐴𝐷 у точці 𝑀. Знайди сторони трапеції, якщо її периметр 32 см і 𝐴𝑀 ∶ 𝑀𝐷 = 2 ∶ 1. BC ∥ AD, AB = CD; ∠ABM = ∠MBC; BM ∥ CD; PABCD = 32 см; AM : MD = 2 : 1. Знайти: AB = CD, BC і AD. З умов задачі та розв’язку попередньої задачі № 300 отримуємо: MD = BC, AM = 2BC, тобто AD = 3ВС. Тоді P = 2АВ + BC + AD = 2АВ + 4ВС, 2АВ + 4ВС = 32, AB + 2BC = 16 (см). 302. У трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷(𝐴𝐷‖𝐵𝐶) діагоналі перпендикулярні, ∠𝐶𝐴𝐷 = 30∘. Знайди довжину діагоналі 𝐵𝐷, якщо основи трапеції дорівнюють 5 см і 9 см.

BC ∥ AD; AC ⊥ BD; ∠CAD = 30°; BC = 5 см, AD = 9 см. Знайти BD. Насамперед з умов задачі приходимо до висновку, що ∆AOD — прямокутний і катет OD знаходиться проти 1 1 1 кута в 30°, тому OD = AD = • 9 = 4,5 (см). Залишається довести, що BO = BC = 2 (см). 2 2 2 Отже, BD = BO + OD = 6,5 см. Дійсно, в прямокутному BOC ∠BCO = ∠CAD = 30° як внутрішні різносторонні кути з січною AC та паралельними прямими BC і AD. Крім 1 того, катет BO знаходиться проти кута в 30°. Таким чином, BO = BC = 2 (см), BD = 6,5 2 см. 303. Діагоналі трапеції перпендикулярні, і одна з них утворює з більшою основою кут 30∘ . Доведи, що друга діагональ дорівнює середній лінії трапеції.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BC ∥ AD; BD ⊥ AC; ∠CAD = 30°; MN — середня лінія трапеції ABCD. Потрібно довести, що при будь–яких умовах, коли можлива побудова трапеції ABCD, BD = MN, де MN — 1 1 1 середня лінія трапеції ABCD. Дійсно, MN = (BC + AD), BO = BC, OD = AD (див. 1

розв’язок задачі № 302), тому BD = BC + AD = (BC + AD), BD = MN. 2 2 2 304. Сторони трапеції дорівнюють 𝑎, 𝑎, 𝑎 і 2𝑎. Знайдіть її кути і кут між діагоналями. Чи існує точка, рівновіддалена від усіх вершин трапеції.

AB = BC = CD = a; AD = 2а. Знайти ∠A, ∠B, ∠BOC. За умовою AB = BC, тому ∆ABC — рівнобедрений, ∠BAC = ∠BCA. Крім того, ∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні кути з січною AC та паралельними прямими BC і AD. 1 1 Тоді ∠BAC = ∠CAD = ∠A. Так само ∠ADB = ∠BDC = ∠D. Отже, ∠BAC = ∠BCA = 2

∠CAD = ∠ADB = ∠CDB = ∠CBD = ∠А. Далі, сума кутів, прилеглих до бічної сторони 2 трапеції, дорівнює 180°, тобто ∠A + ∠B = 180°. Зробимо допоміжну побудову: BM ⊥ AD і CN ⊥ AD, тоді BCNM — прямокутник і MN = BC = а як протилежні сторони прямокутника. ∆ABM і ∆CDM — прямокутні і рівні (за гіпотенузою і катетом: AB = CD; 1 BM = CN), AM = ND; але АМ + ND = AD – MN = AD – BC = 2а – а = а, тоді AM = а = 2

АB. Це означає, що в ∆ABM ∠ABM = 30°, тобто ∠A = 60°. Отже, ∠B = 180° – ∠A = 180° – 60° = 120°. Таким чином, ∠A = 60°, ∠B = 120°, ∠BOC = 120°. 305. Кінці діаметра кола віддалені від дотичної до цього кола на 2 см і 7 см. Знайди радіус кола. 2

AB — діаметр кола; а — дотична до кола в т. M; AD ⊥ a, BC ⊥ а, AD = 2 см, BC = 7 см. Знайти OM — радіус кола. Насамперед зауважимо, що ABCD — прямокутна трапеція, в © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

якій AO = OB як радіуси одного кола, тоді CM = DM згідно з теоремою Фалеса, тому MO 1 1 = (AD + BC) = • (2 + 7) = 4,5 (см). 2 2 306. Діагоналі трапеції перетинають її середню лінію 𝐾𝑃 у точках 𝐸 і 𝐹. Доведи, що 𝐾𝐸 = 𝐹𝑃.

ВС ∥ AD; КР — середня лінія трапеції. Потрібно довести, що КЕ = FP. За умовою KP — 1 середня лінія трапеції, тоді KP ∥ BC і KP = (BC + AD). Оскільки KP ∥ BC і E ∈ KP, то 2 KE ∥ BC, тобто KE — середня лінія ∆АВС. Так само FP — середня лінія ∆BCD. Тоді KE 1 1 = ВC і FP = ВС, KE = FP. 2 2 307. Діагоналі трапеції ділять її середню лінію на три рівні частини. Як відносяться основи трапеції?

BC ∥ AD; MN — середня лінія трапеції, MK = KL = LN. Знайти відношення BC : AD. 1 Спочатку проведемо відрізок CP. Згідно з розв’язком задачі № 306 MK = BC, але за 2 умовою MK = KL, тому ML = BC і ML ∥ ВС. Отже, чотирикутник BCLM — паралелограм, тобто, чотирикутник ABCP — теж паралелограм і AP = ВС. Оскільки AD 1 = AP + PD, то PD = 2LN як середня лінія ∆PCD, тобто PD = 2 • ВC = ВС. Отже, AD = BC 2 + BC = 2BC і BC : AD = 1 : 2 (АР = ВС). 308. Доведи, що відрізок, який сполучає середини діагоналей трапеції, паралельний основам трапеції і дорівнює їх піврізниці.

BC ∥ AD; AK = KC, BL = LD. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html 1

Потрібно довести, що KL ∥ AD ∥ ВС, KL = (AD – ВС). 2 MN — середня лінія трапеції, тобто KL ∥ BC ∥ AD; 1 KL = MN – MK = LN = ВC (див., наприклад, розв’язок до №283 або №306). Крім того, 1

MN = (AD + BC), тому KL = (AD + ВС) – BC = (AD – ВС). 2 2 2 309. Довжини сторін трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷(𝐴𝐷‖𝐵𝐶) задовольняють співвідношення 𝐴𝐵 ∶ 𝐵𝐶 ∶ 𝐶𝐷 ∶ 𝐴𝐷 = 2 ∶ 3 ∶ 4 ∶ 7. Точки 𝐾 і 𝑀 − середини сторін 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 відповідно. Обчисли периметр чотирикутника 𝐴𝐾𝑀𝐷, якщо периметр трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷 дорівнює 80 см.

AB : BC : CD : AD = 2 : 3 : 4 : 7, тому 2x + 3x + 4x + 7x = 80, x = 5: AB = 10 см, BC = 15 см, CD = 20 см, AD = 35 см. KM — середня лінія: KM = (15 + 35) : 2 = 25 (см). AK = 10 : 2 = 5 (см), MD = 20 : 2 = 10 (см). P(AKMD) = 5 + 25 + 10 + 35 = 75 (см). Відповідь: 75 см. 310. Доведи, що бісектриси кутів 𝐴 і 𝐵 трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷(𝐴𝐷‖𝐵𝐶) перетинаються під прямим кутом і точка їх перетину лежить на середній лінії трапеції.

BC ∥ AD; MN — середня лінія трапеції; MO = ON; ∠BAO = ∠OAD; ∠ABO = ∠CBO. Потрібно довести, що a) ∠BOC = 90°; б) O ∈ MN. а) Скористаємось тим фактом, що для будь–якої трапеції ∠A + ∠B = 180°. Далі, за 1 1 1 умовою ∠BAO = ∠A, ∠ABO = B. Тоді сума ∠BAO + ∠ABO = (∠A + ∠B) = 90°. 2 2 2 Залишилося з ∆АВО знайти міру ∠AOВ: ∠AOB = 180° – ∠BAO – ∠ABO = 180° – 90° = 90°. Отже, дійсно діагоналі BD і AC перетинаються під прямим кутом. б) За умовою MN — середня лінія трапеції, тому AM = MB і AO = ОС, тобто M ∈ MN і O ∈ MN. 311. Основи трапеції 𝑎 і 2𝑎. Дві прямі, паралельні її основам, ділять одну з бічних сторін на три рівні відрізки. Знайди довжини відрізків цих прямих, що лежать усередині трапеції.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BC ∥ AD; BC = a; AD = 2а; AM = MK = KB = AB; MN ∥ KL ∥ ВС. Знайти MN і KL. 3 Насамперед з точки А і точки D продовжуємо промені до тих пір, доки не знаходимо точку їх перетину — точку О. Надеякий час (може назавжди) точка O знаходиться за межами цієї сторінки. Наступний етап: а) на стороні AO ∠AOD відкладаємо точки А, М, 1 K і B, при цьому фіксуємо отримані співвідношення: AM = MK = KB = AB, AK = MB = 3

AB і BC = a, AD = 2а. Потім через точки M і K проводимо промені, паралельно основам даної трапеції до тих пір, поки не отримуємо на стороні OD ∠AOD, фіксуємо точки C, L, N і D і до відрізка CD застосовуємо теорему Фалеса. Всі отримані співвідношення між точками С, L, N і D фіксуємо на папері, тобто: 1 2 CL = LN = ND = СD; CN = LD = 2CL = СD. Таким чином, з усіх да– них залишаються 3 3 на цьому аркуші всі дані, які перед цим були підкреслені, а саме: 1 2 AM = MK = КВ = a, AK = MB = 2AM = AB, AD = 2BC = 2а (або BC : AD = 1 : 2). Для 3

надійності цей набір поповнимо очевидними співвідношеннями: KL = (BC + MN) і MN 2

= (KL + AD) або BC = 2KL – MN і AD = 2MN – KL. В останні два співвідношення 2 замість BC і AD вносимо відповідно а і 2а, тобто отримуємо систему двох рівнянь: 2𝐾𝐿 – 𝑀𝑁 = 𝑎; { – 𝐾𝐿 + 2𝑀𝑁 = 2𝑎. Спочатку перше рівняння без змін переписуємо ще раз 2KL – MN – а, друге рівняння подвоюємо і результат записуємо під першим рівнянням і отриману систему рівнянь записуємо: 2𝐾𝐿 – 𝑀𝑁 = 𝑎; { – 2𝐾𝐿 + 4𝑀𝑁 = 4𝑎. 5 Тепер додаємо почленно і результат заносимо до аркуша: ЗMN = 5а, звідси MN = а. 3 Нарешті перше рівняння системи подвоюємо, записуємо, під ним без змін записуємо друге рівняння. Ці рівняння знову почленно додаємо, і отримуємо рівняння 3KL = 4а, 4 4 звідси знаходимо KL = a. Таким чином, шукані величини набувають значень: KL = а, 5

MN = a. Задача розв’язана. 3

312. Бічна сторона рівнобічної трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷 дорівнює 5 см, а основа 𝐵𝐶 − 4 см. Яку з двох цих сторін трапеції перетинає бісектриса її кута 𝐴 ?

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BC ∥ AD; AB = CD = 5 см; BC = 4 см; ∠ABN = ∠NAD (або ∠ABM = ∠MAD). Потрібно довести, що N ∈ CD (або M ∈ BC). Спочатку зробимо допоміжну побудову, а саме: відрізки BC і AN продовжимо до їх точки перетину — точки K. Нехай ∠BAK = ∠KAD (∠BAN = ∠LND за умовою). Тоді ∠BAK = ∠AKB, бо ∠KAD = ∠AKB як внутрішні різносторонні кути з січною AK та паралельними прямими BK і AD. Отже, ∆ABK — рівнобедрений, тобто AB = BK = 5 см. Тому N ∈ CD — відповідь даної задачі. Випадок, коли N ∈ BC неможливий, бо AB > 5, BM < BC < 4 і AB > BC, тобто AB ≠ BC. Отже, випадок ∠BAM = ∠MAD, M ∈ BC — неможливий. 313. Діагоналі трапеції перпендикулярні. Доведи, що середня лінія трапеції дорівнює відрізку, який з’єднує середини її основ.

Трапеція ABCD, AC ⊥ BD; K, L — середини бічних сторін AB і CD, M, N — середини основ BC і AD. KM і NL — середні лінії трикутників ABC і ACD: KM ∥ AC ∥ NL. ML і KN — середні лінії трикутників BCD і ABD: ML ∥ BD ∥ KN. Тому KMLN — паралелограм, а оскільки AC ⊥ BD, його сусідні сторони перпендикулярні: KMLN — прямокутник. Діагоналі прямокутника рівні: KL = MN. KL — середня лінія трапеції, MN — відрізок, що сполучає середини основ, що й треба було довести. 314. У трапеції з основами 𝐴𝐷 і 𝐵𝐶 кути 𝐴𝐵𝐷 і 𝐴𝐶𝐷 прямі. Доведи, що вона рівнобічна.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BC ∥ AD; ∠ABD = ∠ACD = 90°. Довести, що AB = CD. По–перше, якщо ∠ABD = 90° і ∠ACD = 90°, то ∠CAD + ∠ADC = 90° і ∠BAD = ∠ADB = 90°. Але ∠CAD = ∠BCO і ∠ADB = ∠CBO як внутрішні різносторонні кути з січною AC та паралельними прямими BC і AD або з січною BD і тими ж прямими BC і AD відповідно. Тоді ∠BAC = ∠BDC. З отриманих співвідношень та з прямокутних ∆ABD і ∆ACD відповідно маємо: ∠ADB = 90° – ∠BAC – ∠CAD; ∠CAD = 90° – ∠BDC – ∠ADB або ∠CAD + ∠ADB = 90° – ∠BAC. Ця інформація буде корисною всім восьмикласникам і не тільки в цьому навчальному році. Відповідь же на питання, поставлене в даній задачі знаходиться в доведенні твердження, що ∆ABC = ∆BDC. Дійсно, в цих трикутниках сторона BC — спільна, а сума кутів, прилеглих до цієї сторони, однакова: ∠ACB = ∠CDB + 90°. Тоді AB = CD, що й потрібно було довести. 315. Чи правильно, що довільну трапецію можна розрізати на два чотирикутники, з яких можна скласти паралелограм?

Так, правильно. Розріжемо трапецію ABCD по середній лінії KL на дві трапеції AKLD і KBCL. Повернемо трапецію KBCL на 180° навколо точки L: C перейде в D, B — у точку B₁ на продовженні AD, K — у точку K₁ на продовженні KL. Отримаємо чотирикутник AKK₁B₁: KK₁ = 2KL = AD + BC, AB₁ = AD + DB₁ = AD + BC і KK₁ ∥ AB₁. Отже, AKK₁B₁ — паралелограм. 316. Виріж з паперу дві рівні трапеції і склади з них паралелограм. Скільки різних паралелограмів можна з них скласти? Чи рівні периметри таких паралелограмів?

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай основи трапеції a і b, бічні сторони c і d. Прикладемо другу трапецію, повернуту на 180°, до першої по бічній стороні так, щоб основи продовжували одна одну. Приклавши по стороні c, дістанемо паралелограм зі сторонами a + b і d; приклавши по стороні d — паралелограм зі сторонами a + b і c. Отже, можна скласти 2 різні паралелограми (якщо c ≠ d). Їх периметри 2(a + b + d) і 2(a + b + c) рівні лише тоді, коли c = d, тобто трапеція рівнобічна. 317. Основа рівнобедреного трикутника на 2 см менша від бічної сторони. Знайди сторони трикутника, якщо периметр трикутника, утвореного середніми лініями, дорівнює 11 см.

Периметр трикутника, утвореного середніми лініями, удвічі менший від периметра даного, тому P = 2 · 11 = 22 (см). Нехай бічна сторона x см, основа x − 2 см: x + x + x − 2 = 22, 3x = 24, x = 8. Відповідь: 8 см, 8 см, 6 см. 318. Бісектриси кутів 𝐴 і 𝐵 прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 перетинаються на стороні 𝐷𝐶. Знайди сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 24 см .

Бісектриси кутів A і B перетинаються в точці M на стороні DC. ∠DAM = 45°, у прямокутному △ADM ∠AMD = 45°, тому DM = AD. Так само CM = BC = AD. DC = DM + MC = 2AD. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

P = 2(AD + 2AD) = 6AD = 24, AD = 4 см, DC = 8 см. Відповідь: 4 см і 8 см. 319. З точки 𝐴 до кола із центром 𝑂 проведено дотичні 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶. Доведи, що точка 𝑂 лежить на бісектрисі ∠𝐵𝐴𝐶.

OB ⊥ AB і OC ⊥ AC (радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної). Прямокутні △AOB і △AOC рівні за гіпотенузою і катетом (AO — спільна, OB = OC — радіуси). Тому ∠BAO = ∠CAO, тобто AO — бісектриса ∠BAC, і точка O лежить на ній, що й треба було довести. Задачі за готовими малюнками (сторінка 54) А 1. Дано: P△ABC = 30. Знайти: MN.

M і N — середини сторін AB і BC, тому AB = 2 · 4 = 8, BC = 2 · 6 = 12. AC = P − AB − BC = 30 − 8 − 12 = 10. MN — середня лінія: MN = AC : 2 = 5. Відповідь: MN = 5. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

2. Дано: ABCD — трапеція. ∠B − ∠A = 30°. Знайти: ∠A, ∠B.

∠A + ∠B = 180° (кути, прилеглі до бічної сторони), ∠B − ∠A = 30°. 2∠B = 210°, ∠B = 105°, ∠A = 180° − 105° = 75°. Відповідь: ∠A = 75°, ∠B = 105°. 3. Дано: ABCD — трапеція. AD = 10, ∠A = 60°. Знайти: PABCD.

AB = CD, тому трапеція рівнобічна і ∠D = ∠A = 60°. У прямокутному △ACD (∠ACD = 90°) ∠CAD = 90° − 60° = 30°, тому CD = AD : 2 = 5. ∠BAC = 60° − 30° = 30° = ∠CAD = ∠BCA (внутрішні різносторонні), отже, △ABC рівнобедрений: BC = AB = 5. P = 5 + 5 + 5 + 10 = 25. Відповідь: 25. 4. Дано: ABCD — трапеція. BC = 8, AD = 12. Знайти: MP, PK, KN. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

MN — середня лінія трапеції: MN = (8 + 12) : 2 = 10. MP — середня лінія △ABC: MP = BC : 2 = 4. KN — середня лінія △BCD: KN = BC : 2 = 4. PK = MN − MP − KN = 10 − 4 − 4 = 2. Відповідь: MP = 4, PK = 2, KN = 4. Б 1. Дано: ABCD — прямокутник. AC = 16. Знайти: PMNPK.

M, N, P, K — середини сторін прямокутника. Сторони MNPK — середні лінії трикутників, утворених сторонами й діагоналями, тому кожна дорівнює половині діагоналі: 16 : 2 = 8 (діагоналі прямокутника рівні). P(MNPK) = 4 · 8 = 32. Відповідь: 32. 2. Дано: ABCD — трапеція. BC = 7, AD = 15, ∠A = 45°. Знайти: BK. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AB = CD, тому трапеція рівнобічна: AK = (AD − BC) : 2 = (15 − 7) : 2 = 4. У прямокутному △ABK ∠A = 45°, тому ∠ABK = 45° і BK = AK = 4. Відповідь: BK = 4. 3. Дано: ABCD — трапеція. BC : AD = 2 : 3, PABCD = 66. Знайти: BC, AD.

BD — бісектриса ∠B: ∠ABD = ∠DBC, а ∠DBC = ∠BDA (внутрішні різносторонні), тому ∠ABD = ∠BDA і AB = AD. Трапеція рівнобічна, отже, AB = CD = AD. Нехай BC = 2x, AD = 3x: 2x + 3x + 3x + 3x = 66, 11x = 66, x = 6. BC = 12, AD = 18. Відповідь: BC = 12, AD = 18. 4. Дано: ABCD — трапеція. AD : BC = 5 : 3, MN = 12. Знайти: EF, PK.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

MN — середня лінія: (AD + BC) : 2 = 12. Нехай AD = 5x, BC = 3x: 8x = 24, x = 3, AD = 15, BC = 9. E, F — середини BM і CN, тому EF — середня лінія трапеції MBCN: EF = (BC + MN) : 2 = (9 + 12) : 2 = 10,5. PK — середня лінія трапеції AMND: PK = (MN + AD) : 2 = (12 + 15) : 2 = 13,5. Відповідь: EF = 10,5, PK = 13,5. САМОСТІЙНА РОБОТА 2 (сторінка 55) Варіант 1 ∘ ∘ 1. Кути трапеції дорівнюють 70 і 80 . Знайди інші кути трапеції.

70° + 80° ≠ 180°, тому це кути при одній основі. Кути, прилеглі до них при бічних сторонах: 180° − 70° = 110°, 180° − 80° = 100°. Відповідь: 110° і 100°. 2. 𝑀𝑁 - середня лінія △ 𝐴𝐵𝐶 (𝑀𝑁‖𝐴𝐶). Знайди периметри трикутника 𝑀𝐵𝑁 і чотирикутника 𝐴𝑀𝑁𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 10 см, 𝐵𝐶 = 12 см, 𝑀𝑁 = 9 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

M, N — середини AB і BC, тому MB = 10 : 2 = 5 (см), BN = 12 : 2 = 6 (см), AC = 2MN = 18 см. P(MBN) = 5 + 6 + 9 = 20 (см). P(AMNC) = AM + MN + NC + AC = 5 + 9 + 6 + 18 = 38 (см). Відповідь: 20 см і 38 см. 3. Знайди основи трапеції, якщо вони пропорційні числам 3 і 7, а середня лінія трапеції дорівнює 25 см.

Нехай основи 3x і 7x. Середня лінія (3x + 7x) : 2 = 5x = 25, x = 5. Основи 15 см і 35 см. Відповідь: 15 см і 35 см. 4. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута. Знайди периметр трапеції, якщо її менша основа дорівнює 8 см, а тупий кут 120∘ .

ABCD — рівнобічна трапеція, AC — бісектриса гострого кута A, BC = 8 см, ∠B = 120°. ∠BAC = ∠CAD = ∠BCA, тому △ABC рівнобедрений: AB = BC = 8 см = CD. ∠A = 180° − 120° = 60°. Висоти BK і CM відтинають AK = MD = AB : 2 = 4 см (катет проти кута 30°). AD = 4 + 8 + 4 = 16 (см). P = 8 + 8 + 8 + 16 = 40 (см). Відповідь: 40 см. Варіант 2 ∘ ∘ 1. Кути трапеції дорівнюють 40 і 130 . Знайди інші кути трапеції.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

40° + 130° ≠ 180°, тому кути, прилеглі до них при бічних сторонах: 180° − 40° = 140° і 180° − 130° = 50°. Відповідь: 140° і 50°. 2. 𝐾𝑃 - середня лінія △ 𝐴𝐵𝐶 (𝐾𝑃‖𝐴𝐵). Знайди периметри трикутника 𝐾𝑃𝐶 і чотирикутника 𝐴𝐵𝐾𝑃, якщо 𝐵𝐶 = 16 см, 𝐴𝐶 = 12 см, 𝐾𝑃 = 10 см.

KP ∥ AB, тому K і P — середини BC і AC: KC = 8 см, PC = 6 см, AB = 2KP = 20 см. P(KPC) = 8 + 6 + 10 = 24 (см). P(ABKP) = AB + BK + KP + PA = 20 + 8 + 10 + 6 = 44 (см). Відповідь: 24 см і 44 см. 3. Знайди основи трапеції, якщо одна з них у 3 рази більша за другу, а середня лінія трапеції дорівнює 24 см.

Нехай основи x і 3x. Середня лінія (x + 3x) : 2 = 2x = 24, x = 12. Основи 12 см і 36 см. Відповідь: 12 см і 36 см. 4. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута. Знайди периметр трапеції, якщо її бічна сторона дорівнює 6 см, а гострий кут 60∘ .

AC — бісектриса гострого кута A: ∠BAC = ∠CAD = ∠BCA, тому BC = AB = 6 см, CD = 6 см. ∠A = 60°, висоти BK і CM відтинають AK = MD = 6 : 2 = 3 (см). AD = 3 + 6 + 3 = 12 (см). P = 6 + 6 + 6 + 12 = 30 (см). © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відповідь: 30 см. Варіант 3 1. Кути трапеції дорівнюють 110 і 100 . Знайди інші кути трапеції. ∘

∘

110° + 100° ≠ 180°, тому кути, прилеглі до них при бічних сторонах: 180° − 110° = 70° і 180° − 100° = 80°. Відповідь: 70° і 80°. 2. 𝐸𝐹 - середня лінія △ 𝐴𝐵𝐶(𝐸𝐹‖𝐴𝐶). Знайди периметри трикутника 𝐸𝐵𝐹 і чотирикутника 𝐴𝐸𝐹𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 20 см, 𝐵𝐶 = 16 см, 𝐸𝐹 = 11 см.

EF ∥ AC, тому E і F — середини AB і BC: EB = 10 см, BF = 8 см, AC = 2EF = 22 см. P(EBF) = 10 + 8 + 11 = 29 (см). P(AEFC) = AE + EF + FC + AC = 10 + 11 + 8 + 22 = 51 (см). Відповідь: 29 см і 51 см. 3. Знайди основи трапеції, якщо одна з них на 6 см більша за другу, а середня лінія трапеції дорівнює 10 см.

Нехай основи x і x + 6. Середня лінія (x + x + 6) : 2 = x + 3 = 10, x = 7. Основи 7 см і 13 см. Відповідь: 7 см і 13 см. 4. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута. Знайди периметр трапеції, якщо її менша основа дорівнює 12 см, а гострий кут 60∘ .

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AC — бісектриса гострого кута A: ∠BAC = ∠CAD = ∠BCA, тому AB = BC = 12 см = CD. ∠A = 60°, висоти відтинають від AD по 12 : 2 = 6 (см). AD = 6 + 12 + 6 = 24 (см). P = 12 + 12 + 12 + 24 = 60 (см). Відповідь: 60 см. Варіант 4 ∘ ∘ 1. Кути трапеції дорівнюють 50 і 115 . Знайди інші кути трапеції.

50° + 115° ≠ 180°, тому кути, прилеглі до них при бічних сторонах: 180° − 50° = 130° і 180° − 115° = 65°. Відповідь: 130° і 65°. 2. 𝐾𝑃 - середня лінія △ 𝐴𝐵𝐶 ( 𝐾𝑃‖𝐵𝐶 ). Знайди периметри трикутника 𝐴𝐾𝑃 і чотирикутника 𝐾𝐵𝐶𝑃, якщо 𝐴𝐵 = 10 см, 𝐴𝐶 = 14 см, 𝐾𝑃 = 9 см.

KP ∥ BC, тому K і P — середини AB і AC: AK = 5 см, AP = 7 см, BC = 2KP = 18 см. P(AKP) = 5 + 7 + 9 = 21 (см). P(KBCP) = KB + BC + CP + PK = 5 + 18 + 7 + 9 = 39 (см). Відповідь: 21 см і 39 см. 3. Знайди основи трапеції, якщо одна з них у 5 разів менша від другої, а середня лінія трапеції дорівнює 18 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай основи x і 5x. Середня лінія (x + 5x) : 2 = 3x = 18, x = 6. Основи 6 см і 30 см. Відповідь: 6 см і 30 см. 4. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута. Знайди периметр трапеції, якщо її бічна сторона дорівнює 10 см, а тупий кут 120∘ .

AC — бісектриса гострого кута A: ∠BAC = ∠CAD = ∠BCA, тому BC = AB = 10 см = CD. ∠A = 180° − 120° = 60°, висоти відтинають від AD по 10 : 2 = 5 (см). AD = 5 + 10 + 5 = 20 (см). P = 10 + 10 + 10 + 20 = 50 (см). Відповідь: 50 см. §6. Центральні і вписані кути 320. На яких малюнках проілюстровано: а) центральний кут; б) вписаний кут?

Центральний кут має вершину в центрі кола, вписаний — на колі, а сторони вписаного кута — хорди. а) Центральні кути — на малюнках б і ґ (лінії розрізу виходять із центра). б) Вписані кути — на малюнках в і г (дві хорди виходять з однієї точки кола). Відповідь: а) б, ґ; б) в, г. 321. Знайди вписаний кут, якщо градусна міра дуги, на яку він спирається, дорівнює: а) 24∘ ; б) 40∘ ; в) 90∘ ; г) 138∘ .

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку він спирається. а) 24° : 2 = 12°; б) 40° : 2 = 20°; в) 90° : 2 = 45°; г) 138° : 2 = 69°. Відповідь: а) 12°; б) 20°; в) 45°; г) 69°. 322. Знайди центральний кут, якщо відповідний йому вписаний кут дорівнює: а) 32∘ ; б) 48∘ ; в) 62∘ ; г) 85∘ .

Центральний кут удвічі більший за вписаний кут, що спирається на ту саму дугу. а) 2 · 32° = 64°; б) 2 · 48° = 96°; в) 2 · 62° = 124°; г) 2 · 85° = 170°. Відповідь: а) 64°; б) 96°; в) 124°; г) 170°. 323. Чи може центральний кут бути тупим? А розгорнутим? Може. Може. 324. Вписаний кут прямий. Яким є відповідний йому центральний кут? А гострий Б прямий В тупий Г розгорнутий Центральний кут — розгорнутий (Г). 325. Які значення мають бути у порожніх клітинках таблиці? Центральний кут Вписаний кут 60° 30° 100° 50° 70° 35° 240° 120° 2m° m° © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

n° 2 326. Чи може вписаний кут бути більшим за відповідний йому центральний кут? Ні. 1 327. Чому дорівнює центральний кут, який спирається на дугу, що становить кола? 6 ∘ Б. 60 ; 328. Коло із центром 𝑂 точками 𝐴, 𝐵, 𝐶 поділено на три рівні дуги. Знайди міри кутів 𝐴𝐵𝐶 і 𝐴𝑂𝐶. n°

∠ABC = АС = • 120° = 60°, ∠AOC = AC = 120°. 2 2 329. М'ячі 𝐴, 𝐵, 𝐶 і штанги воріт 𝐾 та 𝑃 розміщені на одному колі. Який із кутів більший: 𝐾𝐴𝑃, 𝐾𝐵𝑃 чи 𝐾𝐶𝑃?

∠KAP = ∠KBP = ∠KCP = КР. 2 330. Користуючись малюнками а, б, в, г, ґ і д, знайди невідомі елементи 𝑥 і 𝑦.

а) х = 80°, у = • 80° = 40°. 2

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html 1

б) х = 50°, у = • 50° = 25°. 2

в) х = 120°, у = • 120° = 60°. 2

г) x = 360° – 130° – 110° = 120°, у = • 120° = 60°. 1

ґ) х = 360° – 250° = 110°, у = • 110° = 55°. 2 д) х = 360° – 100° – 80° – 80° = 100°, у = 80°. 331. Знайди кутову міру: а) півкола; б) чверті кола.

а) АВ = 180°; б) АВ = 90°. 332. Познач на колі точки 𝐴 і 𝐵 та побудуй центральний кут, що відповідає дузі 𝐴𝐵.

Позначаємо на колі із центром O точки A і B, проводимо радіуси OA і OB. ∠AOB — центральний кут, що відповідає дузі AB (тій, яка лежить усередині кута). 333. Познач на колі точки 𝐴, 𝐵 і 𝐶 та побудуй вписаний кут, що відповідає дузі 𝐴𝐶.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Позначаємо на колі точки A, B і C, проводимо хорди BA і BC (точка B не лежить на дузі AC). ∠ABC — вписаний кут, що відповідає дузі AC. 334. Міра вписаного кута 70∘ . Знайди кутову міру дуги, на яку він спирається. Знайди міру відповідного центрального кута.

∠ABC = 70°, тоді ∠AOC = 2 • ∠ABC = 2 • 70° = 140°. AC = 140°. Відповідь: 140°. 335. Міра вписаного кута 55∘ . Знайди кутову міру дуги, на яку він спирається. Знайди міру відповідного центрального кута.

Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку він спирається: дуга = 2 · 55° = 110°. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Центральний кут дорівнює дузі, на яку спирається: 110°. Відповідь: 110°; 110°. 336. Гра. Один з учасників /одна з учасниць називає міру вписаного кута, а інший / інша кутову міру дуги, на яку він спирається. Потім учасники/учасниці міняються ролями.

Дуга, на яку спирається вписаний кут, удвічі більша за цей кут. Приклад: перший учасник називає вписаний кут 35° — другий відповідає: дуга 2 · 35° = 70°. Потім другий називає дугу 150° — перший відповідає: вписаний кут 150° : 2 = 75°. 337. Міра центрального кута 130∘ . Знайди кутову міру дуги, на яку він спирається. Знайди міру відповідного вписаного кута.

Центральний кут дорівнює дузі, на яку спирається: дуга 130°. Вписаний кут, що спирається на цю дугу, дорівнює її половині: 130° : 2 = 65°. Відповідь: 130°; 65°. 338. Міра центрального кута 80∘ . Знайди кутову міру дуги, на яку він спирається. Знайди міру відповідного вписаного кута.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Центральний кут дорівнює дузі, на яку спирається: дуга 80°. Вписаний кут, що спирається на цю дугу: 80° : 2 = 40°. Відповідь: 80°; 40°. 339. Знайди міру вписаного кута, який спирається на третю частину кола.

∠AOB = • 360° = 120°, ∠ACB = АВ = • 120° = 60°. 3 2 2 Відповідь: 60°. 340. Знайди міру вписаного кута, який спирається на п'яту частину кола.

П’ята частина кола — це дуга 360° : 5 = 72°. Вписаний кут, що на неї спирається: 72° : 2 = 36°. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відповідь: 36°. 341. Як співвідносяться кутові міри дуг, на які коло розбиває його 0 центральний кут 60∘ ?

𝐴𝐵 60° 60° 1 = = = 𝐴𝑚𝐵 360° − 60° 300° 5 Відповідь: 1 : 5. 342. Як співвідносяться кутові міри дуг, на які коло розбиває його центральний кут 120∘ ?

Центральний кут 120° спирається на дугу 120°, а друга дуга 360° − 120° = 240°. 240° : 120° = 2, тобто дуги відносяться як 1 : 2. Відповідь: 1 : 2. 343. Який центральний кут більший за відповідний йому вписаний кут на 70∘ ? 140°. 344. Який центральний кут більший за відповідний йому вписаний кут на 25∘ ?

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Центральний кут удвічі більший за відповідний вписаний: нехай вписаний кут x, центральний 2x. 2x − x = 25°, x = 25°, 2x = 50°. Відповідь: 50°. 345. Шестерня має 32 зубці. Знайди міру центрального кута, який відповідає одному зубцеві і западині.

360° : 32 = 11°15’. 346. У колі проведено дві хорди 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶. Знайди міру кута 𝐵𝐴𝐶, якщо кутові міри дуг 𝐴𝐶 і 𝐴𝐵 дорівнюють 32∘ 15′ і 78∘ 45′.

1 випадок. AB = 32°15’, AС = 78°55’, тоді ВС = 360° – (АB + АС) = 360° – (32°15’ + 78°55’) = 360° – 111°10’= 248°50’. 1 1 ∠ВАС = BC = • 248°50’ = 124°25’. 2

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

2 випадок. 1 1 1 ∠ВАС = (AB – АC) = (78°55’ – 32°15’) = ∙ 46°40’ = 23°20’. 2 2 2 Відповідь: 124°25’ або 23°20’. 347. У колі проведено дві хорди 𝑀𝐾 і 𝑀𝑃. Знайди міру кута 𝐾𝑀𝑃, якщо кутові міри дуг 𝑀𝐾 і 𝑀𝑃 дорівнюють 17∘ 42′ і 105∘ 18′.

∠KMP — вписаний, він дорівнює половині дуги KP, яка не містить точки M. 1) Якщо точки K і P лежать по різні боки від M, то дуга KP = 360° − 17°42′ − 105°18′ = 237°, ∠KMP = 237° : 2 = 118°30′. 2) Якщо K лежить на дузі MP, то дуга KP = 105°18′ − 17°42′ = 87°36′, ∠KMP = 87°36′ : 2 = 43°48′. Відповідь: 118°30′ або 43°48′. 348. Кут між двома радіусами кола дорівнює 105∘ . Знайди кут між дотичними, проведеними через кінці цих радіусів.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∠AOB = 105°, OA ⊥ AC, OB ⊥ BC, тоді ∠ACB = 360° – 105° – 90° – 90° = 180° – 105° = 75°. Відповідь: 76°. 349. Дві точки ділять коло у відношенні 11: 13. Знайди кут між дотичними, що проходять через ці точки.

360° •11

AmB : AnB = 13:11, тоді ∠AOB = = 165°. 13+11 ∠OAC = 90°. ∠OBC = 90°, тоді ∠ACB = 360° – 165° – 90° – 90° = 15°. Відповідь: 15°. 350. Дві точки ділять коло на дві дуги, градусна міра однієї з яких на 40∘ більша за градусну міру другої. Знайди кут між дотичними, що проходять через ці точки.

Нехай дуги x і x + 40°: x + x + 40° = 360°, x = 160°; друга дуга 200°. Дотичні AM і BM, проведені через точки A і B, перпендикулярні до радіусів OA і OB, ∠AOB = 160°. У чотирикутнику AOBM: ∠AMB = 360° − 90° − 90° − 160° = 20°. Відповідь: 20°. 351. Коло точками 𝐴, 𝐵, 𝐶, … , 𝐾 поділено на 10 рівних дуг. Знайди міри кутів: 𝐴𝐾𝐵, 𝐴𝐾𝐶, 𝐾𝐴𝐵, 𝐾𝐴𝐶.

AB = BC = ... = KA = 1

1 10

• 360° = 36°.

∠AKB = AB = • 36° = 18°. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html 1

2 1

∠AKC = AC = • 72° = 36°. 1

∠КАВ = (360° – 72°) = • 288° = 144°. 2 1

∠КАС = (360° – 108°) = • 252° = 126°. 2 2 Відповідь: 18°, 36°, 144°, 126°. 352. Навколо трикутника 𝐴𝐵𝐶, у якого ∠𝐴 = 40∘ , ∠𝐵 = 60∘ , описано коло. Знайди кутові міри дуг 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 і 𝐶𝐴.

∠A = 40°, ∠B = 60°, тоді AC = 120°, BC = 2 • 40° = 80°, BA = 360° – AC – BC = 360° – 120° – 80° = 160°. Відповідь: 160°, 80°, 120°. 353. Один із кутів прямокутного трикутника дорівнює 40∘ . Знайди кутові міри дуг, на які вершини трикутника розбивають описане коло.

∠CAB = 40°, ∠ACB = 90°, тоді ∠CBA = 50°. AC = 2 • ∠CBA = 2 • 50° = 100°, BC = 2 • ∠CAB = 2 • 40° = 80°, AВ = 2 • ∠ACB = 2 • 90° = 180°. Відповідь: 80°, 100°, 180°. 354. Точки 𝐴, 𝐵 і 𝐶 ділять коло на три дуги, кутові міри яких пропорційні числам 6,7 і 11 . Знайди кути трикутника 𝐴𝐵𝐶.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AВ : BC : AC = 6 : 7 : 11, тоді AВ = BC =

360° • 7

= 105°, AC =

6+7+11 1 1

360° • 11 6+7+11

360° • 6 6+7+11

= 90°.

= 165°. 1

∠A = BC = • 105° = 52°30’, ∠B = AC = • 165° = 82°30’, ∠C = АВ = • 90° = 45°. 2 2 2 2 2 2 Відповідь: 45°, 52°30’, 82°30’. 355. Хорда ділить коло на дві дуги, одна з яких у 5 разів більша за другу. Знайди міри вписаних кутів, які опираються на цю хорду.

AnB = 5AmB, тоді AnB, тоді 360° • 5 AnB = = 300°, AmB =

1+5 360° • 1 1+5 1

= 60°. 1

∠AC1B = AmB = • 60° = 30°, 2 1

2 1

∠AC2B = AnB = • 300° = 150°. 2 2 Відповідь: 30° або 150°. 356. A chord divides a circle into two arcs, one of which is 2 tiмes larger than the other. Find the мeasures of the inscribed angles that are based on this chord.

Нехай дуги x і 2x: x + 2x = 360°, x = 120°; дуги 120° і 240°. Вписані кути, що спираються на хорду, дорівнюють половинам цих дуг: 120° : 2 = 60° і 240° : 2 = 120°. Відповідь: 60° і 120° (the inscribed angles are 60° and 120°). 357. Хорда ділить коло на дві дуги, одна з яких на 46∘ менша від другої. Знайди міри вписаних і центральних кутів, які опираються на цю хорду. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

АnВ – AmB = 46°, тоді 360° +46° AnB = = 203°, 2 360° −46°

AmB = =157°. 2 ∠1 = 203°, ∠AOB = 157°. 1 1 ∠AC1B = AmB = • 157° = 78°30’; 2 1

2 1

∠AC2B = AnB = • 203° = 101°30’. 2 2 Відповідь: 78°30’ і 101°30’; 157° і 203°. 358. 𝐵𝐷 - діаметр кола, точки 𝐴, 𝑃 і 𝐶 лежать на колі. Установи відповідність між кутами, заданими умовами (1 − 4), та їх градусними мірами (А-Д), якщо ∠𝐴𝐵𝐷 = 40∘.

BD — діаметр, тому ∠BAD = ∠BCD = 90° (вписані кути, що спираються на півколо). 1) ∠ACD = ∠ABD = 40° (спираються на дугу AD) — Б. 2) ∠ADB = 90° − ∠ABD = 90° − 40° = 50° — В. 3) Точка P лежить на дузі AB, тому APBD — вписаний чотирикутник: ∠APB = 180° − ∠ADB = 130° — Д. 4) ∠BCD = 90° — Г. Відповідь: 1 — Б, 2 — В, 3 — Д, 4 — Г. 359. Доведи, що рівні хорди стягують рівні дуги. Нехай AB = CD, AB і CD — хорди кола з центром О. ∆AOB = ∆COD за трьома сторонами (AO = BO = CO = OD — як радіуси, AB = CD — за умовою), тоді ∠AOB = ∠COD, тоді AB = CD. Дуги рівні. 360. Доведи, що коли дві дуги кола рівні, то рівні і хорди, які їх стягують.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай дуги AB і CD кола із центром O рівні. Проведемо радіуси OA, OB, OC, OD. Центральні кути, що спираються на рівні дуги, рівні: ∠AOB = ∠COD. △AOB = △COD за двома сторонами і кутом між ними (OA = OB = OC = OD — радіуси). Отже, AB = CD, що й треба було довести. 361. Рівнобедрений трикутник 𝐴𝐵𝐶(𝐴𝐵 = 𝐵𝐶) уписано в коло. Визнач градусну міру меншої дуги 𝐴𝐵, якщо ∠𝐴𝐵𝐶 = 20∘ .

△ABC рівнобедрений (AB = BC), ∠ABC = 20°, тому ∠BAC = ∠BCA = (180° − 20°) : 2 = 80°. Менша дуга AB — та, на яку спирається вписаний кут ACB: 2 · 80° = 160°. Відповідь: 160°.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

362. На стороні 𝐴𝐶 △ 𝐴𝐵𝐶, як на діаметрі, побудовано коло, яке перетинає сторони 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶 у точках 𝑀 і 𝑁 відповідно. Доведи, що 𝐴𝑁 і 𝐶𝑀 - висоти △ 𝐴𝐵𝐶.

∠AMC і ∠ANC — вписані в коло, то ∠AMC = ∠ANC = AC = • 180° = 90°. 2 2 Оскільки CM ⊥ AB, AN ⊥ BC, то CM, АN — висоти трикутника ABC. 363. На стороні 𝐴𝐶 △ 𝐴𝐵𝐶 як на діаметрі побудовано коло, яке перетинає сторону 𝐵𝐶 у точці 𝑀 так, Мал. 6.20 що 𝐵𝑀 = 𝐶𝑀. Доведи, що △ 𝐴𝐵𝐶 - рівнобедрений.

M лежить на колі з діаметром AC, тому ∠AMC = 90° (вписаний кут, що спирається на діаметр), тобто AM ⊥ BC. За умовою BM = CM, тому AM — медіана △ABC. У △ABM і △ACM: AM — спільна, BM = CM, ∠AMB = ∠AMC = 90°, тому вони рівні, і AB = AC. Отже, △ABC рівнобедрений, що й треба було довести. 364. На стороні 𝐴𝐶 △ 𝐴𝐵𝐶, як на діаметрі, побудовано коло, яке перетинає сторону 𝐴𝐵 у точці 𝑃 так, що ∠𝐴𝐶𝑃 = ∠𝐵𝐶𝑃 Доведи, що △ 𝐴𝐵𝐶 - рівнобедрений.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

P лежить на колі з діаметром AC, тому ∠APC = 90°, тобто CP ⊥ AB. У прямокутних △ACP і △BCP: катет CP — спільний, ∠ACP = ∠BCP (за умовою). Тому вони рівні (за катетом і прилеглим гострим кутом), і CA = CB. Отже, △ABC рівнобедрений, що й треба було довести. 365. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 40∘ . На бічній стороні, як на діаметрі, побудовано півколо, яке ділиться сторонами трикутника на 3 частини. Знайди кутові міри утворених дуг.

AB = BC, ∠ABC = 40°, O — центр кола. 180°− ∠𝐴𝐵𝐶 180°− 40° ∠ВАС = ∠BCA = = = 70°. 2 2 ∠BMA = 90°, тоді ∠ВАМ = 90° – 40° = 50°, BM = 2 • 50° = 100°. ∠BNA = 90°, тоді ∠ABN = 90° – 70° = 20°, AN = 2 • 20° = 40°. MN = 180°– BM – AM = 180° – 100° – 40° = 40°. Відповідь: 40°, 40°, 100°. 366. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 50∘ . На бічній стороні, як на діаметрі, побудовано півколо, яке ділиться сторонами трикутника на 3 частини. Знайди кутові міри утворених дуг.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

△ABC: AB = BC, ∠A = ∠C = 50°, ∠B = 80°. Півколо побудоване на AB як на діаметрі перетинає AC у точці K і BC у точці M. ∠AKB = ∠AMB = 90° (спираються на діаметр), тому BK — висота і бісектриса: ∠ABK = 40°; AM ⊥ BC: ∠BAM = 90° − 80° = 10°. Дуги: ∪AK = 2∠ABK = 80°, ∪MB = 2∠BAM = 20°, ∪KM = 180° − 80° − 20° = 80°. Відповідь: 20°, 80°, 80°. 367. Коло, вписане в △ 𝐴𝐵𝐶, дотикається до нього у точках 𝑀, 𝑁, 𝐾. Знайди кути △ 𝑀𝑁𝐾, якщо ∠𝐴 = 56∘ , ∠𝐵 = 48∘ .

∠A = 56°, ∠B = 48°, тоді ∠C = 180° – 56° – 48° = 76° ∠MON = 360° – 90° – 90° – 48° = 132°, 1 MN = 132°, ∠MKN = • 132° = 66°. 2 ∠KON = 360° – 90° – 90° – 56° = 124°, 1 KN = 124°, ∠KMM = • 124° = 62°. 2 ∠МОК = 360° – 90° – 90° – 76° = 104°, 1 МK = 104°, ∠KNM = • 104° = 52°. 2 Відповідь: 66°, 62°, 52°. 368. Кути △ 𝐴𝐵𝐶 пропорційні числам 2,3 і 5 . Яким числам пропорційні кути △ 𝐸𝐹𝐾, якщо 𝐸, 𝐹 і 𝐾 є точками, у яких коло, вписане в △ 𝐴𝐵𝐶, дотикається до його сторін?

Оскільки ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 5 i ∠A + ∠B + ∠C = 180°, то 180° ∙ 2° ∠A = = 36°, ∠B =

2+3+5 180° ∙ 3° 2+3+5

= 54°, © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html 180° ∙ 5°

∠C = = 90°. 2+3+5 ∠EOF = 360° – 90° – 90° – 36° = 144°, 1 ∠EKF = • 144° = 72°. 2 ∠FOK = 360° – 90° – 90° – 54° = 126°, 1 ∠FEK = • 126° = 63°. 2 ∠KOE = 360° – 90° – 90° – 90° = 90°, 1 ∠KFE = • 90° = 45°. 2 ∠EKF : ∠FEK : ∠KFE = 72° : 63°: 45° = 8 : 7 : 5. Відповідь: 5, 7, 8. 369. Відкрита задача. Дві рівні непаралельні хорди 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 не мають спільних точок. Доведи, що 𝐴𝐵𝐶𝐷 - ...

Дано: AB = CD, тоді AB = CD. 1 1 ∠A = BCD = (BC + CD). 2 1

2 1

∠В = CDA = (CD + AD), тоді 2

∠A + ∠B = (BC + CD + CD + AD) = (BC + AB + CD + AD) = 1

= • 360° = 180°. 2 Оскільки ∠A + ∠В = 180° і ці кути внутрішні односторонні при прямих BC і AD та січній AB, то ВС ∥ АD. Оскільки ВС ∥ АD і AB = CD, то ABCD — рівнобічна трапеція. ̆ = 42∘ , 𝐵𝑃 ̆ = 106∘. Знайди 370. Хорди 𝐴𝐵 і 𝑃𝐾 перетинаються в точці 𝐶 так, що 𝐴𝐾 ∠𝐴𝐶𝐾.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Кут між хордами, що перетинаються, дорівнює півсумі дуг, на які спираються він і вертикальний до нього кут. ∠ACK = (∪AK + ∪BP) : 2 = (42° + 106°) : 2 = 74°. Відповідь: 74°. 371. Хорди 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 перетинаються в точці 𝑀, ∠𝐴𝑀𝐶 = 80∘ . Знайди кутові міри дуг 𝐴𝐶 і 𝐵𝐷, якщо дуга 𝐵𝐷 на 20∘ більша за дугу 𝐴𝐶.

∠AMC = 80°, BD – AC = 20°. ∠MBD + ∠BDM = ∠AMD = 100°. 1 1 1 1 ∠MBD = AD, ∠CDB = CB, тоді AD + CB = 100°, 2 2 2 2 AD + CB = 200°, тоді AC + BD = 360° – AD – CB = 360° – 200° = 160°. Враховуючи, що BD – AC = 20°, BD + AC = 160°, маємо BD = 20° + AC, тоді 20° + AC + AC = 160° 2AC = 140° ⇒ AC = 70° BD = 20° + 70° = 90° Відповідь: 70°, 90°. 372. Хорди 𝑀𝐵 і 𝐾𝑃 перетинаються в точці 𝑂, ∠𝑃𝑂𝐵 = 66∘ . Знайди кутові міри дуг 𝑀𝐾 і 𝐵𝑃, якщо дуга 𝐵𝑃 у 2 рази більша за дугу 𝑀𝐾.

∠POB = (∪BP + ∪MK) : 2 (кут між хордами, що перетинаються). Нехай ∪MK = x, ∪BP = 2x: (2x + x) : 2 = 66°, 3x = 132°, x = 44°. Відповідь: ∪MK = 44°, ∪BP = 88°. 373. На колі послідовно взято точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, які ділять коло на частини, пропорційні числам 6, 5, 12 і 13. Знайди ∠𝐴𝑀𝐵 і ∠𝐴𝐾𝐷, де 𝑀 - точка перетину хорд 𝐴𝐶 і 𝐵𝐷, а 𝐾 точка перетину прямих 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AB = BC = CD = AD =

360° • 6 6+5+12+13 360° • 5 6+5+12+13 360° • 12 6+5+12+13 360° • 13 6+5+12+13

= 60°, = 50°, = 120°, = 130°. 1

2 1

∠AMB = ∠BDC + ∠ACD = BC + AD = • 50° + • 130° = 25° + 65° = 90°. 1

∠AKD = ∠ABD – ∠BDC= AD – BC = • 130° – • 50° = 65° – 25° = 40°. 2 2 2 2 Відповідь: 90°, 40°. 374. Сторони ∠𝐴 = 40∘ перетинають коло в точках 𝐵, 𝐶, 𝐾 і 𝐿. Знайди кутові міри дуг 𝐶𝐿 ̂ = 𝐿𝐾 ̂ = 100∘ . і 𝐵𝐾, якщо 𝐶𝐵

∠A = 40°, CB = LK = 100°. 1 1 ∠A = ∠CBL – ∠BLK (як зовнішній кут), тоді 40° = CL – BK, звідси 2 2 CL – BK = 80°. CL + BK = 360° – CB – LK = 360° – 100° – 100° = 160°. 160°+ 80° Оскільки CL + ВK = 160° і CL – BK = 80°, то CL = = 120°, 2

160°− 80°

ВK = = 40°. 2 Відповідь: 120°, 40°. 375. Через кінець хорди, яка ділить коло у відношенні 3 ∶ 5, проведено дотичну. Знайди гострий кут між даною хордою і дотичною.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AnB : AmB = 3 : 5, OB ⊥ BC. 360° • 3 AnB = = 135°, 3+5 360° • 5

AmB = = 225°; 3+5 ∠CBA = ∠CBK – ∠DBK – ∠ABD = 1 1 1 = 180° – 90° – AD = 90° – AD = 90° – (AmB – DmB) = 1

= 90° – (225° – 180°) = 90°– • 45° = 90°– 22°30’ = 67°30’. 2 2 Відповідь: 67°30’. 376. Через кінець хорди, яка ділить коло на дві дуги, одна з яких на 80∘ більша за другу, проведено дотичну. Знайди гострий кут між даною хордою і дотичною.

Нехай дуги x і x + 80°: 2x + 80° = 360°, x = 140°. Кут між хордою і дотичною, проведеною через її кінець, дорівнює половині дуги, що лежить усередині кута. Гострий кут: 140° : 2 = 70°. Відповідь: 70°. 377. Якщо дві рівні хорди перетинаються і одна з них точкою перетину ділиться на відрізки 𝑚 і 𝑛, то на такі самі відрізки ділиться і друга хорда. Доведи.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AB = CD, AM = m, MB = n Якщо AB = CD, то AB = CD. ∆АСВ = ∆DВС за стороною і двома прилеглими кутами (AB = CD — за умовою, ∠CAB = 1 ∠BDC = BC, 2

∠CBA = ∠BCD = (AB – BC) = (CD – BD), тоді AC = DB. ∆ACM = ∆DBM за стороною і двома прилеглими кутами (AC = DB, ∠ACD = ∠ABD = 1

1 2

AD, ∠CAB = ∠CDB = BC), тоді AM = DM = m, CM = BM = n. Отже, DM = m, CM = n. 2 378. Як, маючи лише косинець, знайти центр кола?

Прикладаємо косинець так, щоб вершина прямого кута лежала на колі. Катети перетинають коло в точках A і B: вписаний прямий кут спирається на діаметр, тому AB — діаметр. Проводимо його. Повторюємо в іншому положенні косинця і проводимо другий діаметр CD. Точка перетину діаметрів AB і CD — центр кола. 379. Із цупкого різнокольорового паперу виріж два круги одного радіуса. Розріж кожен із них по радіусу (мал. а). Вклади один круг в інший через прорізи, щоб утворився центральний кут, як на малюнку б. Покажи за допомогою виготовленої моделі центральні кути: а) 180∘ ; б) 120∘ ; в) 45∘ ; г) 30∘ .

Обертаючи один круг відносно другого, змінюємо видимий сектор — центральний кут. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

а) 180° — видимий сектор становить половину круга (межі сектора утворюють діаметр); б) 120° — третину круга; в) 45° — восьму частину круга (половина прямого кута); г) 30° — дванадцяту частину круга (третина прямого кута). 380. Обчисли кути рівнобічної трапеції, якщо один з них на 42∘ більший за інший.

ABCD — трапеція, BC ∥ AD, AB = CD. ∠B – ∠A = 42°. Враховуючи, що ∠A + ∠B = 180° і ∠B – ∠A = 42°, маємо 180°−42° 138° ∠A = = = 69°, 2 180°+42°

2 222°

∠B = = = 111°. 2 2 ∠C = ∠B = 111°, ∠D = ∠A = 69°. Відповідь: 69°, 111°, 69°, 111°. 381. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 6 см і 15 см. Знайди периметр трапеції, якщо її гострий кут дорівнює 60∘ .

ABCD — трапеція, BC ∥ AD, AB = CD. BC = 6 см, AD = 15 см, ∠A = 60°. AD−BC 15−6 Проведемо BK ⊥ AD, тоді AK = = = 4,5 (см) 2 2 Із трикутника ABK, у якому ∠ABK = 90° – ∠A = 90° – 60° = 30°, маємо AB = 2АК = 2 • 4,5 = 9 (см). PABCD = 6 + 15 + 9 + 9 = 39 (см). Відповідь: 39 см. 382. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 23,6 см, а висота - 11,8 см. Знайди тупий кут між бісектрисами кутів при основі. Скільки розв'язків має задача? 1–й випадок.

AB = BC = 23,6 см, BK ⊥ AC, BK = 11,8 см, ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Із прямокутного трикутника АВК, у якому AB = 23,6 см, BK = 11,8 см, AB = 2ВК, маємо ∠BAK = 30°. 30° Тоді ∠BCK = 30°, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = = 15°, 2 ∠AOC = 180° – ∠2 – ∠4 = 180° – 15° – 15° = 150°. 2–й випадок.

AB = BC = 23,6 см, AK ⊥ BC, AK = 11,8 см. ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. Із прямокутного трикутника АВК, у якому AB = 23,6 см, AK = 11,8 см, AB = 2AK, маємо ∠B = 30°, тоді 180°−30° ∠BAC = ∠BCA = = 75°. 2 75°

∠1 = ∠2= ∠3 = ∠4 = . 2 ∠AOC = 180° – 2∠2 = 180° – 75° = 105°. Відповідь: 150° або 105°. §7. Вписані й описані чотирикутники 383. Сформулюй іншими словами: «чотирикутник вписано в коло», «коло вписано в чотирикутник». Коло описане навколо чотирикутника. Чотирикутник описаний навколо кола. 384. Чи правильно, що кожний описаний чотирикутник опуклий? Чи правильне обернене твердження? Так, кожний описаний чотирикутник опуклий: коло, вписане в чотирикутник, дотикається до всіх його сторін, тому весь чотирикутник лежить по один бік від кожної сторони. Обернене твердження «кожний опуклий чотирикутник описаний» неправильне: наприклад, у прямокутник зі сторонами 2 см і 5 см не можна вписати коло, бо 2 + 2 ≠ 5 + 5. Відповідь: так; ні. 385. Наведіть приклад чотирикутника, який є: a) водночас вписаним і описаним;

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Квадрат — чотирикутник, який є водночас вписаним і описаним. б) вписаним, але не є описаним;

Прямокутник з нерівними сторонами є вписаним, але не є описаним. в) описаним, але не є вписаним.

Ромб (відмінний від квадрата), є описаним, але не є вписаним. 386. Три послідовні кути вписаного чотирикутника дорівнюють 70∘ , 100∘ і 110∘ . Знайди міру четвертого кута. A. 70∘ ; Б. 80∘ ; B. 90∘ ; Г. 100∘ . У вписаному чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180°. Кути 70° і 110° — протилежні, тому кут, протилежний 100°, дорівнює 180° − 100° = 80°. Відповідь: Б. 80°. 387. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 8 см і 12 см. Знайди бічну сторону трапеції, якщо в неї можна вписати коло. A. 20 см; Б. 10 см; B. 5 см; Г. 40 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

У трапецію можна вписати коло, тому сума бічних сторін дорівнює сумі основ: 8 + 12 = 20 (см). Бічні сторони рівні: 20 : 2 = 10 (см). Відповідь: Б. 10 см. 388. Знайди сторону квадрата, описаного навколо кола радіуса 3 см. А. 3 см; Б. 6 см; В. 1,5 см; Г. 9 см.

Сторона квадрата, описаного навколо кола, дорівнює діаметру: 2 · 3 = 6 (см). Відповідь: Б. 6 см. 389. Знайди діагональ квадрата, вписаного в коло радіуса 𝑟.

ABCD — квадрат, AO = OC = BO = DO = r. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AC = BD = 2r. Відповідь: 2r. 390. Доведи, що навколо будь-якого прямокутника можна описати коло.

У прямокутника ABCD діагоналі рівні AC = BD і точкою перетину діляться пополам AO = CO = BO = DO. Отже, O — центр кола, описаного навколо прямокутника ABCD. Таким чином, навколо будь–якого прямокутника можна описати коло. 391. Чи правильно, що коло, описане навколо чотирикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷, є також описаним навколо трикутника 𝐴𝐵𝐶 ? Так. Коло, описане навколо чотирикутника ABCD, проходить через усі його вершини, зокрема через A, B і C, тому воно описане й навколо △ABC. 392. Чи правильно, що коло, вписане в чотирикутник 𝐴𝐵𝐶𝐷, є також вписаним у трикутник 𝐴𝐵𝐶 ?

Ні. Коло, вписане в чотирикутник ABCD, дотикається до сторін AB, BC, CD і DA, але не дотикається до діагоналі AC — третьої сторони △ABC. Тому в △ABC воно не вписане. 393. Проаналізуй частину коду в Python. Які значення мають стояти в двох останніх рядках, щоб утворився квадрат, у який вписане коло?

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Перші вісім рядків малюють квадрат зі стороною 100, і черепашка повертається у вершину, з якої починала, дивлячись уздовж нижньої сторони. Щоб намалювати вписане коло, треба пройти до середини нижньої сторони і намалювати коло радіуса 50 (центр кола turtle.circle лежить ліворуч від черепашки — у центрі квадрата): turtle.forward(50) turtle.circle(50) 394. Два послідовні кути вписаного чотирикутника дорівнюють 67∘ і 112∘ . Знайди два інші його кути.

Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°. Кут, протилежний 67°: 180° − 67° = 113°; кут, протилежний 112°: 180° − 112° = 68°. Відповідь: 113° і 68°. 395. Гра. Кожен з двох перших учнів/кожна з двох перших учениць називає міру двох послідовних кутів вписаного чотирикутника. Два наступні гравці/дві гравчині мають назвати міри двох інших кутів.

У вписаному чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180°, тому кожний з двох інших кутів дорівнює 180° мінус протилежний йому кут. Приклад: названо послідовні кути 75° і 100°. Два інші: 180° − 75° = 105° і 180° − 100° = 80°. 396. Два послідовні кути чотирикутної клумби дорівнюють 80∘ i 120∘ . Знайди два iншi і її кути. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∠B = 120°, ∠C = 80°. Оскільки ∠А + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°, то ∠А = 180° – ∠C = 180°– 80°= 100°, ∠D = 180° – ∠B = 180° – 120° = 60°. Відповідь: 100° і 60°. 397. Чи можна описати коло навколо чотирикутника, кути якого, взяті послідовно, пропорційні числам: а) 2, 5, 7 і 4; б) 3, 4, 7 і 5? а) Дано: кути А, В, С, D чотирикутника ABCD пропорційні числам 2, 5, 7, 4 тоді 360°•2 360°•5 360°•7 360°•4 ∠A = = 40°, ∠B = = 100°, ∠C = = 140°, ∠D = = 80°. 2+5+7+4 18 18 18 Оскільки ∠А + ∠C = ∠B + ∠D = 180°, то коло можна описати навколо даного чотирикутника. б) Дано: кути А, В, С, D чотирикутника ABCD пропорційні числам 3, 4, 7, 5, тоді 360°•3 1080° 360°•4 1440° 360°•7 2520° 360°•5 1800° ∠A = = , ∠B = = , ∠C = = , ∠D = = . 3+4+7+5

1080°

19 2520°

19 3600°

Оскільки ∠А + ∠C = + = ≠ 180°, то коло не можна описати навколо даного 19 19 19 чотирикутника. 398. Чи можна описати коло навколо прямокутної трапеції? Чому?

ABCD — прямокутна трапеція: ∠A = ∠B = 90°, ∠C ≠ ∠D, BC ∥ AD. Оскільки ∠A = ∠B і ∠C ≠ ∠D , то ∠A + ∠C ≠ ∠B + ∠D. Отже, навколо прямокутної трапеції не можна описати коло. 399. Доведи, що вписана в коло трапеція рівнобічна.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Дано: ABCD — трапеція, вписана в коло, тоді ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°. Оскільки ∠B + ∠D = 180° і ∠A + ∠B = 180° (бо BC ∥ AD), то ∠A = ∠D, тоді AB = CD, отже, ABCD — рівнобічна трапеція. 400. Три послідовні сторони описаного чотирикутника дорівнюють 2 см, 3 см і 4 см. Знайди четверту сторону.

CD = 2 см, BC = 3 см, AB = 4 см. Оскільки BC + AD = AB + CD, то AD = AB + CD – BC = 4 + 2 – 3 = 3 (см). Відповідь: 3 см. 401. The three consecutive sides of the quadrilateral are 7in, 10in and 15 in . Find the fourth side.

Чотирикутник описаний, тому суми протилежних сторін рівні: 7 + 15 = 10 + x, x = 12 (дюймів). Відповідь: 12 in (the fourth side is 12 inches). 402. Три послідовні сторони описаного чотирикутника пропорційні числам 3, 4 і 6 . Знайди їх, якщо довжина четвертої сторони дорівнює 20 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AB : BC : CD = 3 : 4 : 6. AD = 20 см. Нехай AB = 3x см, BC = 4х см, CD = 6х см, тоді AB + DC = AD + BC, AD = AB + DC – BC = 3х + 6х – 4х = 5х (см). Оскільки 5х = 20, то х = 4 см. Тоді AB = 3 • 4 = 12 (см), ВС = 4 • 4 = 16 (см), CD = 6 • 4 = 24 (см). Відповідь: 12 см, 16 см, 24 см. 403. Три послідовні сторони описаного чотирикутника пропорційні числам 3, 6 і 7 , а його периметр 40 м. Знайди довжину четвертої сторони.

AB : BC : CD = 3 : 6 : 7. PABCD = 40 м. Оскільки AB = 3x м, BC = 6x м, CD = 7x м і AB + CD = AD + BC, То AD = AB + CD – BC = 3x + 7x – 6x = 4x м. Тоді 3x + 6x + 7х + 4x = 40, 20х = 40, х = 2. Звідси AD = 4 • 2 = 8 (м). Відповідь: 8 м. 404. Чотирикутник 𝐴𝐵𝐶𝐷 описаний навколо кола. 𝐴𝐵 = 12 см, 𝐵𝐶 = 8 см, 𝐶𝐷 = 18 см. Знайди довжину сторони 𝐴𝐷.

У описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні: AB + CD = BC + AD. 12 + 18 = 8 + AD, AD = 22 см. Відповідь: 22 см. 405. Доведи, що точка перетину діагоналей квадрата є центром кола, вписаного у квадрат. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Діагоналі квадрата — бісектриси його кутів. Точка O їх перетину лежить на бісектрисах усіх кутів, тому вона рівновіддалена від усіх сторін: OK = OL = OM = ON (перпендикуляри до сторін). Отже, коло із центром O і радіусом OK дотикається до всіх сторін квадрата, тобто O — центр вписаного кола. 406. В Українських Карпатах, у Стрийському районі Львівської області, можна відвідати середньовічну наскельну фортецю-град і митницю XII-XVI століть Тустань (мал. 1, 2). До наших днів збереглись лише скелі, але знахідки свідчать, що потрапити у фортецю можна було через міст, що опускався і підіймався за допомогою механізму, зображеного на мал. 2. Спробуйте пояснити, як працював механізм. Доведіть, що точка перетину діагоналей квадрата буде центром кола, описаного навколо квадрата (мал. 3).

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Міст піднімали ланцюгами (канатами), перекинутими через блоки над входом: коли ланцюги намотували на вал (ворот), міст повертався навколо осі біля входу і закривав прохід, коли відпускали — опускався власною вагою. Поворотна частина та ланцюги разом зі стіною утворювали трикутник, сторона якого (ланцюг) змінювала довжину. Доведемо, що точка перетину діагоналей квадрата — центр описаного кола. Діагоналі квадрата рівні й точкою перетину O діляться навпіл, тому OA = OB = OC = OD. Отже, коло із центром O радіуса OA проходить через усі вершини квадрата, тобто O — центр описаного кола. 407. Доведи, що центр кола, описаного навколо прямокутника, знаходиться в точці перетину його діагоналей.

Діагоналі прямокутника рівні й точкою перетину O діляться навпіл: OA = OB = OC = OD. Тому коло із центром O і радіусом OA проходить через усі вершини прямокутника, тобто центр описаного кола лежить у точці перетину діагоналей, що й треба було довести. 408. Менша сторона прямокутника дорівнює 5 см і утворює з діагоналлю кут 60∘ . Знайди радіус описаного кола.

AB = 5 см, ∠BAC = 60°. Тоді ∠BCA = 90° – ∠BAC = 90° – 60° = 30°. Із прямокутного трикутника ABC маємо AC = 2AB = 2 • 5 = 10 (см), тоді AO = BO = CO = DO = 5 см. Відповідь: 5 см. 409. Коваль має створити елемент кованих воріт. Менша сторона прямокутника дорівнює 12 дм, а кут між його діагоналями дорівнює 60∘ . Який радіус буде мати коло, описане навколо прямокутника?

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AB = 12 дм, ∠BOA = 60°. Оскільки ∆AOB рівнобедрений (AO = BO) і ∠BOA = 60°, 180°−60° то ∠ABO = ∠BAO = = 60°, то ∆AOB — рівносторонній і 2 тоді AO = BO = CO = DO = 12 дм. Отже, радіус описаного кола 12 дм. Відповідь: 12 дм. 410. Діагональ трапеції перпендикулярна до бічної сторони. Доведи, що центр кола, описаного навколо трапеції, лежить на середині більшої сторони.

Дано: ABCD — трапеція, AC ⊥ CD. Оскільки AC ⊥ CD, то ∠ACD = 90° і тоді AD — діаметр кола, ∠ABD = 90°. Отже, AO = BO = CO = DO. Центр кола O лежить на середині більшої основи. 411. Діагональ трапеції перпендикулярна до бічної сторони, що дорівнює 6 см.

Дано: ABCD — трапеція, AB = 6 см, BD ⊥ AB, ∠BAD = 60°. Оскільки ∠ABD = 90°, то AD — діаметр. Із прямокутного трикутника ABD маємо AD = 2AB = 2 • 6 = 12 (см). (оскільки ∠BDA = 30°). AD 12 Тоді AO = BO = OD = = = 6 (см). 2 2 Відповідь: 6 см. 412. Діагональ трапеції перпендикулярна до бічної сторони, що дорівнює 11 см. Знайди радіус кола, описаного навколо трапеції, якщо її тупий кут дорівнює 120∘ .

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Трапеція, вписана в коло, рівнобічна. Нехай ABCD (AD ∥ BC), CD = 11 см, AC ⊥ CD, ∠C = 120°. ∠D = 180° − 120° = 60°. Коло, описане навколо трапеції, описане й навколо прямокутного △ACD, тому його центр — середина гіпотенузи AD, а R = AD : 2. У △ACD: ∠CAD = 90° − 60° = 30°, тому CD = AD : 2, AD = 22 см. R = 22 : 2 = 11 (см). Відповідь: 11 см. 413. Кути трапеції пропорційні числам 1 і 2, а діагональ є бісектрисою гострого кута. Знайди радіус описаного кола, якщо бічна сторона трапеції дорівнює 12 см.

ABCD — трапеція, ∠BAD : ∠B = 1 : 2, AB = CD = 12 см, ∠1 = ∠2. 180°•1 180°•2 60° ∠BAD = = 60°. ∠B = = 120°, ∠1 = ∠2 = = 30°. 1+2 1+2 2 Оскільки BC ∥ АD, то ∠BCA = ∠2 = 30°, тоді ∠ACD = ∠BCD – ∠BCA = 120° – 30° = 90°. Із прямокутного трикутника ACD маємо AD = 2CD = 2 • 12 = 24 (см). Згідно із задачею № 410 AO — радіус кола, описаного навколо трапеції AD 24 AO = DO = = = 12 (см). 2 2 Відповідь: 12 см. 414. Знайди периметр квадрата, описаного навколо кола радіуса 6 дм.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ABCD — квадрат, OK ⊥ AB, OK = 6 дм. PABCD = 4 • AD = 4 • (2 • 6) = 48 (дм). Відповідь: 8r. 415. Периметр квадрата дорівнює 20 см. Знайди радіус кола, вписаного у квадрат.

ABCD — квадрат, PABCD = 20 см, тоді АВ = 1

P ABCD 4

20 4

= 5 (см).

OK ⊥ AB, OK = АВ = • 5 = 2,5 (см). 2 2 Відповідь: 2,5 см. 416. Доведи, що радіус кола, вписаного в ромб, дорівнює половині висоти ромба.

Центр O вписаного в ромб кола — точка перетину діагоналей. Коло дотикається до паралельних сторін AD і BC у точках K і M; OK ⊥ AD, OM ⊥ BC, тому K, O, M лежать на одній прямій, перпендикулярній до AD і BC. KM — висота ромба, а KM = OK + OM = 2r. Отже, r = h : 2, що й треба було довести. 417. Сторона ромба дорівнює 6 см, а гострий кут 30∘ . Знайди радіус кола, вписаного в ромб.

Дано: ABCD — ромб, AB = BC = CD = AD = 6 см, ∠A = 30°. O — центр кола, вписаного в ромб. Радіус кола, вписаного в ромб, дорівнює половині висоти ромба. Проведемо BK ⊥ AD, тоді із прямокутного трикутника ABK матимемо 1 1 BK = AB = • 6 = 3 (см). 2

ВК

Тоді радіус кола дорівнює = = 1,5 (см). 2 2 Відповідь: 1,5 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

418. Периметр трапеції, описаної навколо кола, дорівнює 8 м. Знайди її середню лінію.

Дано: ABCD — трапеція, BC ∥ AD, MN — середня лінія трапеції PABCD = 8 м. Оскільки AB + CD = BC + AD, тоді PABCD = 2(ВС + AD), P ABCD 8 BC+ AD 4 звідси BC + AD = = = 4 (м). MN = = = 2 (м). 2 2 2 2 Відповідь: 2 м. 419. Різниця основ прямокутної трапеції дорівнює 3 см, а гострий кут 45∘ . Знайди радіус вписаного кола. ABCD — трапеція, AB ⊥ AD, ∠D = 45°, AD – BC = 3 см. Проведемо CK ⊥ AD, тоді KD = AD – BC = 3 см. ∆CKD — рівнобедрений (бо ∠CKD = ∠D = 45°), тоді CK = 3 см. Оскільки радіус вписаного кола дорівнює половині висоти трапеції, 1 1 то OF = СК = • 3 = 1,5 (см). 2 2 Відповідь: 1,5 см. 420. Знайди радіус кола, вписаного в рівнобічну трапецію, якщо її бічна сторона дорівнює 18 см , а кути пропорційні числам 1 і 5.

Кути трапеції x і 5x: x + 5x = 180°, x = 30°. Гострий кут 30°. Висота BH: у прямокутному △ABH ∠A = 30°, тому BH = AB : 2 = 18 : 2 = 9 (см). Висота трапеції, описаної навколо кола, дорівнює діаметру: r = 9 : 2 = 4,5 (см). Відповідь: 4,5 см. 421. Знайди периметр прямокутної трапеції, описаної навколо кола радіуса 5 см , якщо один із її кутів 30∘ .

Дано: ABCD — трапеція, AB ⊥ AD, OF = 5 см, OF ⊥ AD, ∠D = 30°. AB = 2ОF = 10 см. Проведемо CK ⊥ AD, тоді CK = AB = 10 см. Із прямокутного трикутника CKD маємо CD = 2СК = 2 • 10 = 20 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Оскільки BC + AD = AB + CD то PABCD = 2(AB + CD) = 2(10 + 20) = 2 • 30 = 60 (см). Відповідь: 60 см. 422. Радіус кола, вписаного в прямокутну трапецію, дорівнює 7 см, а тупий кут 150∘ . Знайди середню лінію трапеції.

У прямокутній трапеції ABCD (AB ⊥ AD) менша бічна сторона дорівнює діаметру: AB = 2 · 7 = 14 (см). ∠C = 150°, ∠D = 30°. Висота CH = AB = 14 см, у △CHD катет CH лежить проти кута 30°, тому CD = 28 см. У описаній трапеції сума основ дорівнює сумі бічних сторін: AD + BC = 14 + 28 = 42 (см). Середня лінія: 42 : 2 = 21 (см). Відповідь: 21 см. 423. Коло, вписане у прямокутну трапецію, ділить точкою дотику більшу бічну сторону на відрізки 4 см і 9 см, а радіус вписаного кола дорівнює 6 см. Установіть відповідність між елементами трапеції, заданими умовами (1-3), та їх числовим значенням (А-Д). Більша бічна сторона: 4 + 9 = 13 (см) — В. Менша бічна сторона перпендикулярна до основ і дорівнює діаметру: 2 · 6 = 12 (см) — Б. У описаній трапеції сума основ дорівнює сумі бічних сторін: 12 + 13 = 25 (см); середня лінія 25 : 2 = 12,5 (см) — Г. Відповідь: 1 — В, 2 — Б, 3 — Г. 424. Основи дерев'яної рівнобічної трапеції пропорційні числам 2 і 7, а бічна сторона дорівнює 18 дм. Знайди основи цієї трапеції, якщо в неї можна вписати коло.

ABCD — трапеція, AB = CD = 18 дм, BC : AD = 2 : 7, O — центр кола, вписаного в трапецію. Оскільки AB + CD = BC + AD і AB = CD = 18, то BC + AD = 2 • 18 = 36 (дм). 36•2 36•7 Тоді BC = = 8 (дм), AD = = 28 (дм). 2+7 2+7 Відповідь: 8 дм і 28 дм. 425. У трапецію, середня лінія якої дорівнює 20 см, вписано коло. Знайди периметр трапеції.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ABCD — трапеція, MN — середня лінія трапеції, MN = 20 см. O — центр кола, вписаного в трапецію. Оскільки ВС + AD = 2MN = 2 • 20 = 40 (см) і AB + CD = BC + AD = 40 см, то PABCD = 40 + 40 = 80 (см). Відповідь: 80 см. 426. У трапецію 𝐴𝐵𝐶𝐷(𝐴𝐷‖𝐵𝐶) вписано коло із центром 𝑂. Доведи, що ∠𝐴𝑂𝐵 = 90∘.

BCD — трапеція, BC ∥ AD. Оскільки O — точка перетину бісектрис кутів DAB і СВА, 1 то ∠AOB = 180° – ∠OBA – ∠OAB = 180° – (∠OAB + ∠OBA) = 180° – (∠DAB + ∠ABC) = 2

= 180° – • 180° = 180° – 90° = 90°. 2 Отже, ∠AOB = 90°. 427. Чи можна вписати коло в паралелограм, відмінний від ромба?

Якщо ABCD — паралелограм (AB ≠ BC), то в нього не можна вписати коло, бо 2АВ ≠ 2СВ, отже, AB + CD ≠ BC + AD. 428. Чи можна описати коло навколо паралелограма, відмінного від прямокутника? Чому?

Якщо ABCD — паралелограм (∠A ≠ ∠B), то навколо нього не можна описати коло, бо 2∠A ≠ 2∠B то ∠A + ∠C ≠ ∠B + ∠D. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

429. Які з наведених тверджень є правильними? І. У будь-який трикутник можна вписати коло. II. У будь-який прямокутник можна вписати коло. III. У будь-який ромб можна вписати коло. І. Правильне: у будь-який трикутник можна вписати коло. ІІ. Неправильне: коло можна вписати лише в прямокутник, у якого суміжні сторони рівні (квадрат). ІІІ. Правильне: у ромба суми протилежних сторін рівні. Відповідь: І і ІІІ. 430. Коло, вписане в рівнобічну трапецію, ділить точкою дотику бічну сторону на відрізки, один з яких на 2 см більший за інші. Знайди сторони трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 20 см .

Відрізки дотичних з однієї точки рівні. Нехай точка дотику ділить бічну сторону на відрізки x і x + 2; тоді половина меншої основи x, половина більшої x + 2. Бічна сторона дорівнює (x + x + 2) = 2x + 2, а сума основ 2x + 2(x + 2) = 4x + 4. Середня лінія (4x + 4) : 2 = 2x + 2 = 20, x = 9. Основи: 2 · 9 = 18 (см) і 2 · 11 = 22 (см), бічні сторони по 20 см. Відповідь: 18 см, 20 см, 22 см, 20 см. 431. Коло, вписане у прямокутну трапецію, ділить точкою дотику більшу бічну сторону на відрізки 9 см і 16 см. Знайди радіус вписаного кола, якщо периметр трапеції дорівнює 98 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Більша бічна сторона CD = 9 + 16 = 25 (см). У описаній трапеції AB + CD = AD + BC, тому AB + CD = 98 : 2 = 49 (см), AB = 49 − 25 = 24 (см). Менша бічна сторона прямокутної трапеції дорівнює діаметру вписаного кола: r = 24 : 2 = 12 (см). Відповідь: 12 см. 432. Знайди кути чотирикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷, вписаного в коло, якщо ∠𝐴𝐶𝐵 = 42∘ , ∠𝐷𝐴𝐶 = 68∘ , ∠𝐴𝐵𝐷 = 60∘ .

Вписані кути, що спираються на одну дугу, рівні: ∠ADB = ∠ACB = 42° (дуга AB), ∠DBC = ∠DAC = 68° (дуга DC), ∠ACD = ∠ABD = 60° (дуга AD). ∠B = ∠ABD + ∠DBC = 60° + 68° = 128°; ∠C = ∠ACB + ∠ACD = 42° + 60° = 102°. ∠D = 180° − ∠B = 52°; ∠A = 180° − ∠C = 78°. Відповідь: ∠A = 78°, ∠B = 128°, ∠C = 102°, ∠D = 52°. 433. Знайди кути чотирикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷, вписаного в коло, якщо ∠𝐵𝐷𝐶 = 48∘ , ∠𝐶𝐴𝐷 = 40∘ , ∠𝐵𝐶𝐴 = 38∘ .

Вписані кути, що спираються на одну дугу, рівні: ∠BAC = ∠BDC = 48° (дуга BC), ∠CBD = ∠CAD = 40° (дуга CD), ∠BDA = ∠BCA = 38° (дуга AB). ∠A = 48° + 40° = 88°; ∠D = 38° + 48° = 86°. ∠B = 180° − ∠D = 94°; ∠C = 180° − ∠A = 92°. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відповідь: ∠A = 88°, ∠B = 94°, ∠C = 92°, ∠D = 86°. 434. У чотирикутнику 𝐴𝐵𝐶𝐷, вписаному в коло, діагональ 𝐵𝐷 перпендикулярна до діагоналі 𝐴𝐶 і ділить її навпіл. Знайди кути чотирикутника, якщо ∠𝐵 = 68∘ .

У чотирикутнику ABCD BD ⊥ AC і AK = KC. ∠B = 68°. Оскільки чотирикутник вписаний, то ∠D = 180° – ∠B = 180° – 68° = 112°. Оскільки BD ⊥ AC і AK = KC, то BD — діаметр, тоді ∠DAB = ∠DCB = 90°. Відповідь: 112°, 90°, 90°. 435. З точки 𝑀, яка належить внутрішній області кута 𝑃, проведено перпендикуляри 𝑀𝐴 і 𝑀𝐵 до сторін кута. Знайди ∠𝐴𝑃𝑀, якщо ∠𝐴𝐵𝑀 = 23∘ .

∠PAM = ∠PBM = 90°, їх сума 180°, тому навколо чотирикутника PAMB можна описати коло (теорема 15). Вписані кути APM і ABM спираються на ту саму дугу AM, тому ∠APM = ∠ABM = 23°. Відповідь: 23°. 436. У гострокутному трикутнику 𝐴𝐵𝐶 проведено висоти 𝐴𝐻 і 𝐵𝐾, які перетинаються в точці 𝑀. Доведи, що ∠𝑀𝐾𝐻 = ∠𝑀𝐶𝐻.

∠MKC = 90° (BK — висота) і ∠MHC = 90° (AH — висота). Їх сума 180°, тому навколо чотирикутника MKCH можна описати коло. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Вписані кути MKH і MCH спираються на ту саму дугу MH, тому ∠MKH = ∠MCH, що й треба було довести. 437. Якщо вписане в чотирикутник 𝐴𝐵𝐶𝐷 коло дотикається до його сторін 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 в точках 𝐾 і 𝑃, то ∠𝐴𝐾𝑃 = ∠𝐾𝑃𝐷. Доведи.

ABCD — чотирикутник описаний навколо кола з центром О.К, P — точки дотику OK ⊥ AB, OP ⊥ CD. Якщо точки К, О, P не лежать на одній прямій, то ∆OKP — рівнобедрений і ∠OKP = ∠OPK, тоді ∠AKP = ∠AKO ± ∠OKP = ∠OPD ± ∠OPK = ∠KPD (мінус береться у випадку, якщо O і точки A i D лежать в різних півплощинах відносно KP). Якщо точки К, О, P лежать на одній прямій, то ∠AKP = ∠KPD = 90°. 438. Діагоналі чотирикутника ділять його кути навпіл. Доведи, що в такий чотирикутник можна вписати коло.

Нехай у чотирикутнику ABCD маємо ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, ∠5 = ∠6, ∠7 = ∠8. Точка O — центр кола, вписаного в чотирикутник ABCD, оскільки вона лежить на бісектрисах AC і BD і рівновіддалена від усіх сторін чотирикутника. 439. У ромб зі стороною 8 см і гострим кутом 60∘ вписано коло. Знайди відрізки, на які точка дотику ділить сторону ромба.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ABCD — ромб, ∠A = 60°, AB = BC = CD = AD = 8 см. ∠AOB = 90° (оскільки AO і BO — бісектриси кутів А і В 1 1 1 1 та ∠AOB = 180° – ∠A – ∠B = 180° – (∠A + ∠B ) = 180° – • 180° = 180° – 90° = 90°), 2

2 1

тоді ∠BAO = 30° і BO = AB = • 8 = 4(см). OK ⊥ AB. 2 2 Із трикутника KBO (у якому ∠BOK = 90° – ∠KBO = 90° – 60° = 30°) 1 1 маємо BK = BO = • 4 = 2 (см). 2 2 Отже. BK = 2 см, АK = AB – BK = 8 – 2 = 6 (см). Відповідь: 2 см і 6 см. 440. У ромб, тупий кут якого дорівнює 120∘ , вписано коло. У якому відношенні точка дотику ділить сторону ромба?

ABCB — ромб, ∠ABC = 120°, тоді ∠KBO = 60°. OK ⊥ AB, тоді ∠BOK = 90° – ∠KBO = 30°. 1 Із трикутника KBO маємо BK = ВО. 2 ∆АВО — прямокутний з кутом ВАО, що дорівнює 30°, тоді AB = 2BO. АК AB− BK АВ 2BO Тоді = = – 1 = 1 – 1 = 4 – 1 = 3. ВК

ВК

Отже, AK : BK = 3 : 1. Відповідь: 3 : 1. 441. У ромб, один із кутів якого на 46∘ більший за інший, вписано коло. Знайди кутові міри дуг, на які коло ділиться точками дотику.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ABCD — ромб, O — центр кола, вписаного в ромб; К, L, М, N — точки дотику, ∠B – ∠A = 46°. 180°−46° 134° ∠A = = = 67°, ∠B = 180° – 67° = 113°. 2 2 Із чотирикутника KBLO маємо ∠KOL = 360° – 90° – 90° – 113° = 67°. ∠MON = 67°. Із чотирикутника AKON маємо ∠KON = 360° – 90° – 90° – 67° = 113°, ∠LOM = 113°. Отже, KL ̅ = 67°, LM ̅ = 113°, MN ̅ = 67°, KN ̅ = 113°. Відповідь: 67°, 113°, 67°, 113°. 442. У квадрат, периметр якого дорівнює 24 см , вписано коло. До кола проведено дотичну, яка перетинає дві сторони квадрата. Знайди периметр утвореного трикутника.

ABCD — квадрат, PABCD = 24 см, NM — дотична до кола, OK ⊥ MN, P i R — точки дотику кола до квадрата. Оскільки PN = KN, RM = MK (як дві дотичні проведені з однієї точки), PABCD то PMDN = MD + ND + NK + KM = (MD + RM) + (ND + PN) = RD + PD = AB = = 4

= = 6(см). 6 Відповідь: 6 см. 443. Діагоналі чотирикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷, вписаного в коло, перетинаються в точці 𝐾, ∠𝐴𝐾𝐵 = 70∘ . Знайди кутові міри дуг 𝐵𝐶 і 𝐴𝐷, якщо одна з них на 60∘ більша за другу.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∠AKD = 180° – ∠AKB = 180° – 70° = 110°. ∠AKD — зовнішній кут трикутника DCK, тоді 1 1 1 1 ∠AKD = ∠KCD + ∠KDC = AD ̅ + ВC ,̅ AD ̅ + BC ̅ = 110°, 2 2 2 2 AD ̅ + BC ̅ = 220°. Оскільки AD ̅ + BC ̅ = 220° і AD ̅ – BC ̅ = 60°, 220°+60° 220°−60° то AD ̅ = = 140°, BC ̅ = = 80°. 2 2 Відповідь: 140° і 80°. 444. Діагоналі чотирикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷, вписаного в коло, перетинаються в точці 𝐾, ∠𝐴𝐾𝐵 = 70∘ . Знайди кутові міри дуг 𝐵𝐶 і 𝐴𝐷, якщо одна з них у 4 рази менша від другої.

∠BKC = 180° − ∠AKB = 180° − 70° = 110°. Кут між хордами, що перетинаються: ∠BKC = (∪BC + ∪AD) : 2, тому ∪BC + ∪AD = 220°. За малюнком дуга BC менша: ∪BC = x, ∪AD = 4x, 5x = 220°, x = 44°. Відповідь: ∪BC = 44°, ∪AD = 176°.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

445. У рівнобічній трапеції кут при основі дорівнює 50∘ , а кут між діагоналями, який спирається на бічну сторону, дорівнює 30∘ . Де лежить центр описаного кола?

ABCD — трапеція, AB = CD, ∠BAD = ∠CDA = 50°, ∠BQA = ∠CQD = 30°. Оскільки ∠ADC = 50°, то AB ̅C = 100°. ∠BQA — зовнішній кут трикутника BQC, тоді 1 1 1 1 ∠BQA = ∠BCQ + ∠CBQ = AB ̅ + CD ̅ , 30° = AB ̅ + СD ̅, AB ̅ + CD ̅ = 60°. Враховуючи, 2 2 2 2 що AB ̅ = CD, маємо AB ̅ = 30°. Тоді AD ̅ = AB ̅ + BC ̅ + CD ̅ = 100°+ 30° = 130°. Оскільки AD ̅ = 130°, то центр кола лежить поза трапецією. Відповідь: Поза трапецією. 446. У рівнобічній трапеції з кутом 100∘ діагональ є бісектрисою гострого кута. Доведи, що центр описаного кола лежить усередині трапеції.

ABCD — трапеція, ∠B = 100°, ∠1 = ∠2. ∠BAD = 180° – ∠B = 180° – 100° = 80°, тоді ∠1 = ∠2 = 40°, ∠3 = ∠2 = 40°. Тоді AD ̅ = AB ̅ + BC ̅ + CD ̅ = 2 • 40°+ 2 • 40° + 2 • 40° = 240°. Оскільки AD ̅ = 240° > 180°, то центр кола лежить в середині трапеції. 447. Доведи, що коли три кути описаного чотирикутника рівні, то він - дельтоїд.

Нехай ∠A = ∠B = ∠C, O — центр кола вписаного в чотирикутник ABCD; точки М, N, Р, Q — точки дотику, тоді OM ⊥ AB, ON ⊥ BC, OP ⊥ CD, OQ ⊥ AD. AO і CO — бісектриси кутів A i С. Доведемо, що відрізки AO і CO лежать на діагоналі AC. 1 1 1 1 ∠AOC = ∠MOQ + ∠MON + ∠NOP = (180° – ∠A) + (180° – ∠B) + (180° – ∠C) = 2

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html 1

= 90° – ∠A + 180° – ∠B + 90° – ∠C = 360° – ( ∠A + ∠C + ∠B) = 360° – 180° = 180°. 2 2 2 2 ∆NOC = ∆QOA за катетом і прилеглим кутом, тоді NC = AQ. Тоді AB = AM + MB = AQ + BN = NC + BN = BC, AD = AQ + QD = AQ + DP = NC + DP = CP + DB = CD. Оскільки AB = BC, AD = CD, то ABCD — дельтоїд. 448. Дослідіть, яким є: a) вписаний чотирикутник, три кути якого рівні;

а) Нехай ∠A = ∠B = ∠C, оскільки ∠A = ∠C та ∠A + ∠C = 180°, то ∠A = ∠C = 90°, тоді ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°. Отже, ABCD — прямокутник або квадрат. б) вписаний чотирикутник, три сторони якого рівні;

б) Нехай AB = BC = CD, тоді AB ̅ = BC ̅ = CD ̅ = α. 1 1 1 1 ∠A = (BC ̅ + CD ̅) = • 2α = α, ∠D = (АB ̅ + ВC ̅) = • 2α = α. 2 2 2 2 Оскільки ∠В + ∠D = 180°, то маємо ∠B + ∠D = ∠B + α = ∠B + ∠A = 180°. Оскільки ∠B + ∠A = 180°, а кути A і В — внутрішні односторонні при прямих BC і AD та січній AB, то BC ∥ AD. Отже, ABCD — рівнобічна трапеція. в) описаний чотирикутник, три сторони якого рівні.

в) Нехай AB = BC = CD. Оскільки AB + CD = BC + AD, то AD = BC. Тоді AB = BC = CD = AD, тобто ABCD — ромб або квадрат. 449. Доведи, що периметр трапеції, описаної навколо кола радіуса більший за 8𝑟.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ABCD — трапеція, описана навколо кола радіуса r і з центром О. Оскільки висота трапеції дорівнює подвоєному радіусу і висота менша за бічну сторону, то AB + CD > 2r + 2r = 4r. Отже, AB + CD > 4r. Оскільки трапеція описана, то ВС + AD = AB + CD, то BC + AD > 4r. Тоді PABCD = (AB + CD) + (BC + AD) > 4r + 4r > 8r. Отже, периметр трапеції, описаної навколо кола радіуса r, більший за 8r. 450. Сума двох кутів, під якими із центра кола, вписаного в чотирикутник, видно дві його протилежні сторони, дорівнює 180∘ . Доведи.

Оскільки O — точка перетину бісектрис кутів А, В, С, D чотирикутника ABCD, 1 1 1 1 1 то ∠AOB + ∠COD = 180° – ∠B – ∠A + 180° – ∠C – ∠D = 360° – 2

(∠A + ∠B + ∠C + ∠D) = 360° – • 360° = 360° – 180° = 180°. 2 451. Із цупкого різнокольорового паперу виготов модель, за допомогою якої можна показати правильність теореми 16. Скористайся малюнком.

Теорема 16: у описаному чотирикутнику AB + CD = BC + AD. Вона спирається на рівність відрізків дотичних, проведених з однієї точки до кола. Модель: вирізаємо круг і чотирикутник, описаний навколо нього. Від кожної вершини вздовж двох сторін до точок дотику наклеюємо смужки одного кольору (у кожної вершини свій колір). Повертаючи смужку навколо вершини (мал. 7.15), бачимо, що відрізки дотичних однакові. Тоді AB + CD і BC + AD складаються з тих самих чотирьох пар кольорових смужок, отже, ці суми рівні. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

452. Точки 𝐴 і 𝐵 ділять коло на частини, одна з яких на 80∘ більша за другу. Знайди міри вписаних кутів, які спираються на хорду 𝐴𝐵.

AM ̅B – AN B ̅ = 80°. Оскільки АM ̅В + AN ̅B = 360°, то AM B ̅ = AN ̅B =

360°−80° 1

360°+80° 2

= 220°.

= 140°. 1

∠AMB = AN ̅B= • 140° = 70°, 2 1

2 1

∠ANB = AM ̅B = • 220° = 110°. 2 2 Відповідь: 70° і 110°. 453. Точки 𝑀, 𝑁, 𝑃 ділять коло на частини, пропорційні числам 2, 5 і 11 . Знайди кути △ 𝑀𝑁𝑃.

MN ̅ : NP ̅ : MP ̅ = 2 : 5 : 11. 360°•2 MN ̅ = = 40°, NP ̅ =

2+5+11 360°• 5

MP ̅ = 1

= 100°,

18 360°•11 18

= 220°. 1

∠P = MN ̅ = • 40° = 20°, ∠M = NP ̅ = • 100° = 50°, ∠N = MP ̅ = • 220° = 110°. 2 2 2 2 2 2 Відповідь: 20°, 50°, 110°. 454. Кут між хордою 𝐴𝐵 і дотичною, проведеною через точку 𝐴, дорівнює 72∘ . Знайди кутові міри дуг, на які хорда 𝐴𝐵 розбиває коло.

OA ⊥ AD, ∠DAB = 72°. ∠CAB = 90° – 72° = 18°, тоді BC = 2 • 18° = 36°, Am ̅B = 180° – BC = 180° – 36° = 144°, © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

An ̅B = 360° – Am ̅B = 360° – 144° = 216°. Відповідь: 144° і 216°. Задачі за готовими малюнками (сторінка 74) А 1. Дано: ∠AOB = 130°. Знайти: ∠ACB.

̆ = 130°, ∠ACB = 1 (360° – 𝐴𝐶𝐵 ̆ ) = 1 (360° – 130°) = 1 • 230° = 115°. 𝐴𝐶𝐵 2 2 2 Відповідь: 115°. ̆ ∶ 𝑀𝐶 ̆ = 4 ∶ 3, ∠ABC = 70°. 2. Дано: 𝐴𝑀 Знайти: ∠A, ∠C.

̆ = 2∠ABC = 2 • 70° = 140°, 𝐴𝑀𝐶 ̆ = 140°+4 = 80°, 𝐴𝑀 ̆ = 𝑀𝐶

4+3 140° •3

= 60°. ̆ = 1 • 80° = 40°, ∠ABM = 𝐴𝑀 2 2 ∠A = ∠ABM = 40°, 1 ̆ = 1 • 60° = 30°, ∠MBC = 𝑀𝐶 2 2 ∠C = ∠MBC = 30°. Відповідь: 40° і 30°. 3. Дано: ABCD — прямокутник, ∠2 − ∠1 = 30°, CD = 5. Знайти: R. 4+3 1

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

90°+30°

Оскільки ∠2 – ∠1 = 30°, ∠1 + ∠2 = 90°, то ∠2 = = 60°, ∠1 = 2 Із прямокутного трикутника ACD маємо AC = 2 • CD = 2 • 5 = 10. 1 1 R = AС = • 10 = 5. 2 2 Відповідь: 5. 4. Дано: ABCD — трапеція, MN = 9, ∠D = 30°. Знайти: AB, CD.

90°−30°

= 30°.

Оскільки MN = 9, то BC + AD = 18, тоді AB + CD = 18, AB = CD, тобто CD = 2АВ, тоді 18 •1

18 •2

АВ = = 6, CD = = 12. 1+2 1+2 Відповідь: 6 і 12. Б 1. Дано: AB = CD. Довести: BK = KC.

1 ̆ , ∠CAB = ∠BDC = 1 𝐵𝐶 ̆, Оскільки AB = CD, ∠ABD = ∠ACD = 𝐴𝐷 2 2 то ∆ABK = ∆DCK (за стороною і двома прилеглими кутами). Із рівності трикутників випливає, що BK = CK. 2. Дано: ∠B = 50°. ̆ , 𝑀𝐶 ̆. Знайти: 𝐴𝑀

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∠A = 90° – ∠B = 90° – 50° = 40°, ̆ = 2∠A = 2 • 40° = 80°. 𝐶𝑀 ̆ = 180° – 𝐶𝑀 ̆ = 180° – 80° = 100°. 𝐴𝑀 Відповідь: 100° і 80°. 3. Дано: ABCD — трапеція, CD = 7, ∠D = 60°. Знайти: R.

∠CAD = 90° – ∠D = 90° – 60° = 30°. Із прямокутного трикутника ACD маємо AD = 2 • CD = 2 • 7 = 14. 1 1 R = AD = • 14 = 7. 2 2 Відповідь: 7. 4. Дано: ABCD — ромб, ∠ABC : ∠BCD = 1 : 5, r = 3. Знайти: AB.

180° •1

180° •5

∠ABC = = 30°, ∠BCD = = 150°. 1+5 1+5 AH = 2OК = 2 • 3 = 6. Із трикутника ABH маємо AB = 2АН = 2 • 6 = 12. Відповідь: 12. САМОСТІЙНА РОБОТА 3 (сторінка 75) Варіант 1 © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

1. Два послідовні кути вписаного чотирикутника дорівнюють 70∘ i 80∘ . Знайди два інші його кути.

ABCD — трапеція, ∠A = 70°, ∠D = 80°, тоді ∠B = 180° – ∠A = 180° – 70° = 110°, ∠C = 180° – ∠D = 180° – 80° = 100°. Відповідь: 100° і 110°. 2. Точки 𝑃 і 𝐾 ділять коло на дві частини, одна з яких у 4 рази менша від другої. Знайди міри вписаних кутів, які спираються на хорду 𝑃𝐾.

̆ ∶ 𝑃𝑀𝐾 ̆ = 2 : 7, тоді 𝑃𝑁𝐾 ̆ = 360° •2 = 80°, 𝑃𝑁𝐾 ̆ = 𝑃𝑀𝐾

2+7

360° •7

= 280°. ̆ = 1 • 80° = 40°, ∠PMK = 𝑃𝑁𝐾 2 2 1 1 ̆ = • 280° = 140°. ∠PNK = 𝑃𝑀𝐾 2+7 1

Відповідь: 40° і 140°. 3. Знайди периметр рівнобічної трапеції, у яку можна вписати коло, якщо її основи дорівнюють 5 см і 17 см.

У трапецію можна вписати коло, тому сума бічних сторін дорівнює сумі основ: 5 + 17 = 22 (см). P = 22 + 22 = 44 (см). © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відповідь: 44 см. 4. Знайди градусні міри дуг, на які ділять коло вершини рівнобедреного трикутника, вписаного у це коло, якщо кут при вершині дорівнює 40∘ .

△ABC: AB = BC, ∠B = 40°, тому ∠A = ∠C = (180° − 40°) : 2 = 70°. Кожна дуга, на яку спирається вписаний кут, удвічі більша за кут: ∪AC = 2 · 40° = 80°, ∪AB = ∪BC = 2 · 70° = 140°. Відповідь: 80°, 140°, 140°. Варіант 2 1. Два послідовні кути вписаного чотирикутника дорівнюють 40∘ і 115∘ . Знайди два інші його кути.

Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника 180°: 180° − 40° = 140°, 180° − 115° = 65°. Відповідь: 140° і 65°. 2. Точки 𝐸 і 𝐹 ділять коло на дві частини, одна з яких на 100∘ менша від другої. Знайди міри вписаних кутів, які спираються на хорду 𝐸𝐹.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

̆ = 1 𝐸𝑀𝐹 ̆ , тоді 𝐸𝑁𝐹 ̆ = 360°•1 = 90°, 𝐸𝑁𝐹 3

1+3

̆ = 360°•3 = 270°. 𝐸𝑀𝐹 1+3 1 ̆ = 1 • 90° = 45°, ∠ENF = 1 𝐸𝑀𝐹 ̆ = 1 • 270° = 135°. ∠EMF = 𝐸𝑁𝐹 2

Відповідь: 45° і 135°. 3. Знайди периметр рівнобічної трапеції, у яку можна вписати коло, якщо бічна сторона дорівнює 15 см.

У трапецію можна вписати коло, тому сума основ дорівнює сумі бічних сторін: 15 + 15 = 30 (см). P = 30 + 30 = 60 (см). Відповідь: 60 см. 4. Знайди градусні міри дуг, на які ділять коло вершини рівнобедреного трикутника, вписаного у це коло, якщо кут при основі дорівнює 65∘ .

△ABC: AB = BC, ∠A = ∠C = 65°, ∠B = 180° − 130° = 50°. ∪AC = 2 · 50° = 100°, ∪AB = ∪BC = 2 · 65° = 130°. Відповідь: 100°, 130°, 130°. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Варіант 3 1. Два послідовні кути вписаного чотирикутника дорівнюють 72∘ і 100∘ . Знайди два інші його кути.

Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника 180°: 180° − 72° = 108°, 180° − 100° = 80°. Відповідь: 108° і 80°. 2. Точки 𝐴 і 𝐵 ділять коло на дві частини, одна з яких у 5 разів більша за другу. Знайди міри вписаних кутів, які спираються на хорду 𝐴𝐵.

̆ = 5𝐴𝑁𝐵 ̆ , тоді 𝐴𝑁𝐵 ̆ = 360°•1 = 60°, 𝐴𝑀𝐵 ̆ = 360°•5 = 300°. 𝐴𝑀𝐵 1+5 1+5 1 1 1 ̆ = • 60° = 30°, ∠ANB = 𝐴𝑀𝐵 ̆ = 1 • 300° = 150°. ∠AMB = 𝐴𝑁𝐵 2

Відповідь: 30° і 150°. 3. Знайди периметр рівнобічної трапеції, у яку можна вписати коло, якщо її основи дорівнюють 6 см і 13 см.

Сума бічних сторін дорівнює сумі основ: 6 + 13 = 19 (см). © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

P = 19 + 19 = 38 (см). Відповідь: 38 см. 4. Знайди градусні міри дуг, на які ділять коло вершини рівнобедреного трикутника, вписаного у це коло, якщо кут при вершині дорівнює 100∘ .

△ABC: AB = BC, ∠B = 100°, ∠A = ∠C = (180° − 100°) : 2 = 40°. ∪AC = 2 · 100° = 200°, ∪AB = ∪BC = 2 · 40° = 80°. Відповідь: 200°, 80°, 80°. Варіант 4 1. Два послідовні кути вписаного чотирикутника дорівнюють 112∘ і 80∘ . Знайди два інші його кути.

Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника 180°: 180° − 112° = 68°, 180° − 80° = 100°. Відповідь: 68° і 100°. 2. Точки 𝑀 і 𝑁 ділять коло на дві частини, одна з яких на 80∘ більша за другу. Знайди міри вписаних кутів, які спираються на хорду 𝑀𝑁.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

̆ − 𝑀𝐵𝑁 ̆ = 80°, тоді 𝑀𝐵𝑁 ̆ = 360°−80° = 140°, 𝑀𝐴𝑁 ̆ = 𝑀𝐴𝑁

360°+80°

= 220° = • 140° = 70° 2 1 1 ̆ ∠MAN = 𝑀𝐵𝑁 = • 140° = 70°, 2

2 1

̆ = 1 • 220° = 110°. ∠MBN = 𝑀𝐴𝑁 2 2 Відповідь: 70° і 110°. 3. Знайди периметр рівнобічної трапеції, у яку можна вписати коло, якщо бічна сторона дорівнює 12 см.

Сума основ дорівнює сумі бічних сторін: 12 + 12 = 24 (см). P = 24 + 24 = 48 (см). Відповідь: 48 см. 4. Знайди градусні міри дуг, на які ділять коло вершини рівнобедреного трикутника, вписаного у це коло, якщо кут при основі дорівнює 50∘ .

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

△ABC: AB = BC, ∠A = ∠C = 50°, ∠B = 180° − 100° = 80°. ∪AC = 2 · 80° = 160°, ∪AB = ∪BC = 2 · 50° = 100°. Відповідь: 160°, 100°, 100°. ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ (сторінка 76) 1. Знайди периметр трикутника, якщо його середні лінії дорівнюють 3 см, 5 см і 7 см. A. 15 см; Б. 30 см; B. 7,5 см; Г. 7 см. Відповідь: Б. 2. Радіус кола, вписаного у квадрат зі стороною 4 см, дорівнює... A. 2 см; Б. 4 см; B. 8 см; Г. 6 см. Відповідь: А. 3. Основи трапеції дорівнюють 4 см і 10 см. Знайди середню лінію трапеції. A. 14 см; Б. 6 см; B. 3 см; Г. 7 см. Відповідь: Г. 4. Центральний кут дорівнює 36∘ . Чому дорівнює відповідний вписаний кут? A. 18∘ ; Б. 36∘ ; B. 72∘ ; Г. 12∘ . Відповідь: А. 5. Бічна сторона рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює 7 см. Знайди довжину середньої лінії. A. 7 см; Б. 14 см; B. 3,5 см; Г. 21 см. Відповідь: А. 6. Знайди радіус кола, описаного навколо прямокутника, менша сторона якого дорівнює 4 см, а кут між діагоналями 60∘ . A. 8 см; Б. 2 см; B. 4 см; Г. 6 см. Відповідь: В. 7. Радіус кола, вписаного в трапецію, дорівнює r. Знайди відстань між прямими, яким належать основи трапеції. 𝑟 A. ; 2 Б. 𝑟; B. 2𝑟; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Г. не можна встановити. Відповідь: В. 8. Периметр рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює 20 см. Знайди бічну сторону трапеції. А. 10 см; Б. 2,5 см; B. 5 см; Г. 7,5 см. Відповідь: В. 9. Радіус кола, описаного навколо чотирикутника ABCD, дорівнює 5 см. Чому дорівнюе радіус кола, описаного навколо △ABC? A. 10 см; Б. 2,5 см; B. 5 см; Г. 7,5 см. Відповідь: В. 10. Діагональ трапеції, вписаної в коло, перпендикулярна до бічної сторони. Де лежить центр кола? А. усередині трапеції; Б. на середині більшої основи; В. поза трапецією; Г. не можна встановити. Відповідь: Б. ТИПОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ТЕМАТИЧНОГО КОНТРОЛЮ (сторінка 77) 1. Середня лінія рівнобедреного трикутника дорівнює 7 см, а бічна сторона 10 см. Знайди периметр трикутника. A. 20 см; Б. 27 см; B. 34 см; Г. 38 см.

І випадок. MN — середня лінія, MN = 7 см, AC = 10 см, тоді AB = BC = 2MN = 2 • 7 = 14 (см). Р∆АВС = 14 + 14 + 10 = 38 (см).

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

II випадок. MN — середня лінія, MN = 7 см, AC = 2 • MN = 2 • 7 = 14 см, тоді AB = BC = 10 (см). Р∆АВС = 10 + 10 + 14 = 34 (см). Відповідь: 34 см або 38 см. 2. △ 𝐴𝐵𝐶 вписаний у коло із центром 𝑂. Знайди ∠𝐴𝑂𝐶, якщо ∠𝐴 = 40∘ , а ∠𝐵 удвічі більший. A. 80∘ ; Б. 160∘ ; B. 40∘ ; Г. 120∘ .

∠A = 40°, ∠B = 2∠A = 2 • 40° = 80°. AС ̅ = 2∠B = 2 • 80° = 160°, ∠AOC = AС ̅ = 160°. Відповідь: 160°. 3. Менша сторона прямокутника дорівнює 8 см і утворює з діагоналлю кут 60∘ . Знайди радіус кола, описаного навколо прямокутника. A. 4 см; Б. 8 см; B. 16 см; Г. 24 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

У прямокутному △ABD (AB = 8 см — менша сторона) ∠ABD = 60°, тому ∠ADB = 30° і діагональ BD = 2AB = 16 см. Центр описаного кола — точка перетину діагоналей, R = BD : 2 = 8 (см). Відповідь: Б. 8 см. 4. У △ 𝐴𝐵𝐶∠𝐴 ∶ ∠𝐵 ∶ ∠𝐶 = 2 ∶ 3 ∶ 4. На стороні 𝐴𝐶 цього трикутника як на діаметрі побудовано півколо, яке перетинає сторони 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶 у точках 𝑀 і 𝑁 відповідно. Установи відповідність між дугами (1-3) та їх градусними мірами (А-Д). ̆; 1. 𝐴𝑀 ̆; 2. 𝑀𝑁 ̆. 3. 𝑁𝐶 A. 20∘ ; Б. 40∘ ; B. 60∘ ; Г. 80∘ ; Д. 100∘ . 2x + 3x + 4x = 180°, x = 20°: ∠A = 40°, ∠B = 60°, ∠C = 80°. M і N лежать на колі з діаметром AC, тому ∠AMC = ∠ANC = 90°. ∪AM = 2∠ACM = 2 · (90° − 40°) = 100° — Д; ∪NC = 2∠NAC = 2 · (90° − 80°) = 20° — А; ∪MN = 180° − 100° − 20° = 60° — В. Відповідь: 1 — Д, 2 — В, 3 — А. 5. Діагональ трапеції ділить середню лінію завдовжки 15 см на два відрізки, один з яких на 8 см менший від другого. Знайди основи трапеції.

MN — середня лінія трапеції ABCD, MN = 15 см, MK – KN = 8 см. 15+8 23 МK = = = 11,5 (см). 2 15−8

2 7

KN = = = 3,5 (см). 2 2 AD = 2МК = 2 • 11,5 = 23 (см), © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BC = 2KN = 2 • 3,5 = 7 (см). Відповідь: 23 см і 7 см. 6. Радіус кола, вписаного в прямокутну трапецію, дорівнює 5 см, а бічна сторона 20 см. Знайди периметр трапеції та її кути.

Менша бічна сторона прямокутної трапеції дорівнює діаметру: AB = 2 · 5 = 10 (см), більша CD = 20 см. Сума основ дорівнює сумі бічних сторін: AD + BC = 10 + 20 = 30 (см), P = 30 + 30 = 60 (см). Висота CH = AB = 10 см — половина CD, тому в △CHD ∠D = 30°, ∠C = 150°. Відповідь: 60 см; 90°, 90°, 150°, 30°. 7. Периметр трикутника, утворений середніми лініями △ 𝐴𝐵𝐶, дорівнює 15 см. Знайди сторони △ 𝐴𝐵𝐶, якщо одна з них на 2 см менша від другої й удвічі менша від третьої.

Якщо P∆KLM = 15 см, то P∆ABC = 30 см. Нехай АВ = х см, тоді AC = (x + 2) см, BC = 2х см, тоді х + х + 2 + 2x = 30, 4x = 28, x = 7. Тоді AB = 7 см, AC = 9 см, BC = 14 см. Відповідь: 7 см, 9 см, 14 см. 8. Знайди периметр рівнобічної трапеції, основи якої пропорційні числам 2 і 5, тупий кут дорівнює 120∘ , а бічні сторони - 6 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ABCD — рівнобічна трапеція, BC : AD = 2 : 5, ∠B = ∠C = 120°, AB = CD = 6 см. Проведемо BK ⊥ AD, ∠ABK = 2ABC – 90° = 120° – 90° = 30°. Із прямокутного трикутника ABK маємо 1 1 AK = AB = • 6 см = 3 см. 2

AD− BC

5x−2x

Нехай BC = 2х см, тоді AD = 5х см, AK = = = 1,5х (см). 2 2 Отже, 1,5x = З, тоді х = 2. Тоді BC = 2 • 2 = 4 (см), AD = 5 • 2 = 10 (см). PABCD = 2AB + BC + AD = 2 • 6 + 4 + 10 = 26 (см). Відповідь: 26 см. 9. Кути трапеції пропорційні числам 1 і 2, а діагональ є бісектрисою гострого кута. Знайди периметр трапеції, якщо радіус описаного кола дорівнює 8 см.

Оскільки в рівнобічну трапецію з основами 2 см і 6 см можна вписати коло, то подвоєна бічна сторона дорівнює 2 см + 6 см = 8 см, а бічна сторона трапеції дорівнює 8 см : 2 = AD−BC 6−2 = 4 см. Проведемо BK ⊥ AD, CM ⊥ AD, тоді AK = MD = = = 2 см. Із трикутника 2 2 ABK маємо ∠ABK = 30°, ∠BAK = 60°, оскільки AB = 2AK. Спочатку будуємо прямокутний трикутник ABK, в якому AK = 2 см, AB = 4 см. Далі продовжуємо промінь AK і на ньому від точки K відкладаємо відрізок KD, KD = 4 см. Точка C — точка перетину кола з центром в точці В і радіусом 2 см та кола радіуса 4 см і з центром в точці D. ABCD — шукана трапеція. РОЗДІЛ 2. Подібність трикутників §8. Пропорційні відрізки 455. Чому дорівнює відношення висот 2 дідухів?

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Висоти дідухів 1 м = 100 см і 60 см. 100 : 60 = 5 : 3. Відповідь: 5 : 3. 456. Які відрізки називають пропорційними відрізкам 𝑎, 𝑏 і 𝑐 ? Відрізки a₁, b₁, c₁ називають пропорційними відрізкам a, b і c, якщо відношення їх довжин рівні: a₁ : a = b₁ : b = c₁ : c. 457. Поділи відрізок завдовжки 20 см на частини, пропорційні числам 1, 2 i 2. х + 2 х + 2х = 10, 5х = 10, х = 2. Відповідь: 2, 4, 4. 458. Стрічку завдовжки 10 дм розрізали на дві частини, одна з яких дорівнює 2 дм. У якому відношенні розрізали стрічку? А. 1 ∶ 5; Б. 1 ∶ 4; В. 1 ∶ 10; Г. 1 ∶ 6. х + 2 х + 2х = 20, 5х = 20, х = 4. Відповідь: 4 дм; 8 дм; 8 дм. 459. Більша частина мотузки, поділеної вузлом у відношенні 2 ∶ 3, дорівнює 9 м. Яка довжина всієї мотузки? A. 5 м; Б. 6 м; В. 22,5 м; Г. 15 м. 3х = 9; х = 3. Довжина мотузки 2х + 3х = 5х; 5 • 3 = 15. Відповідь: 15 м. 460. Спершу Олег йшов пішки по Олександрівському шосе від вул. Олени Теліги до вул. Пляжева, де сів в авто. Автомобіль зробив одну зупинку на перетині з вулицею

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Канежська і привіз Олега у Фан-Клуб. Знайди відстань, яку подолав Олег, якщо пішки він пройшов 100 м.

Вимірюємо на малюнку 8.9 відрізки маршруту: пішки (від вул. Олени Теліги до вул. Пляжевої) — близько 0,8 см, весь маршрут до Фан-Клубу — близько 5,4 см. Відрізки маршруту пропорційні справжнім відстаням: 5,4 : 0,8 ≈ 6,6. Весь шлях ≈ 6,6 · 100 ≈ 660 (м), з них автомобілем ≈ 560 м. Відповідь: ≈ 660 м. 461. Використовуючи малюнок (𝑀𝑁‖𝑃𝐾), назви пропущені члени пропорції: 𝐴𝑀 а) = −; б) в) г)

𝐴𝑁 𝐴𝑀

𝑀𝐾 𝐴𝑀 𝐴𝐾 𝐴𝑁

= −; = −; =

𝐴𝐾

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

MN ∥ PK, тому прямі MN і KP відтинають на сторонах кута A пропорційні відрізки: а) AM/AN = AK/AP; б) AM/MK = AN/NP; в) AM/AK = AN/AP; г) AN/AP = AM/AK. В умові пункту г, ймовірно, друкарська помилка: замість AN/AK має бути AN/AP. 462. На малюнку 𝐴𝐵‖𝐶𝐷. Знайди: а) 𝐵𝐷, якщо 𝑂𝐷 = 2 см; б) 𝑂𝐷, якщо 𝐵𝐷 = 8 см.

AB ∥ CD, тому OC : CA = OD : DB, тобто 3 : 6 = OD : DB, DB = 2 · OD. а) BD = 2 · 2 = 4 (см). б) OD = 8 : 2 = 4 (см). Відповідь: а) 4 см; б) 4 см. 463. Знайди відношення сторони: a) рівностороннього трикутника до його периметра; б) сторони квадрата до його півпериметра.

а) Периметр рівностороннього трикутника зі стороною a дорівнює 3a: a : 3a = 1 : 3. б) Півпериметр квадрата зі стороною a дорівнює 2a: a : 2a = 1 : 2. Відповідь: а) 1 : 3; б) 1 : 2. 464. Накресли довільний відрізок 𝑖 поділи його у відношенні 1 ∶ 3.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Із точки А під довільним кутом проведемо промінь AC і відкладемо на ньому послідовно 1 і 3 рівних відрізка АK, KP, PF, FM. Проведемо пряму MB і паралельні їй прямі через точки К, Р, F, М. Відповідь: AD : DB = 1 : 3. 465. Накресли довільний відрізок 𝑖 поділи його у відношенні 2 ∶ 5.

Нехай дано відрізок AB. З точки A проводимо промінь і відкладаємо на ньому 7 рівних відрізків: AA₁ = A₁A₂ = … = A₆A₇. Сполучаємо A₇ з B, а через A₂ проводимо пряму, паралельну A₇B; вона перетинає AB у точці C. За теоремою про пропорційні відрізки AC : CB = AA₂ : A₂A₇ = 2 : 5. 466. Точка 𝑀 ділить відрізок 𝐴𝐵 у відношенні 𝐴𝑀: 𝑀𝐵 = 7 ∶ 2. Знайди відношення 𝐴𝑀: 𝐴𝐵 і 𝑀𝐵: 𝐴𝐵.

АМ : МВ = 7 : 2; AМ : АВ = 7 : 9; MB : AB = 2 : 9. 467. Гра. Один з учнів / одна з учениць задає довжину відрізка 𝐴𝐵. Другий / друга задає відношення, у якому його ділить точка 𝐶. Третій / третя знаходить відношення довжин 𝐴𝐶 до 𝐴𝐵, а четвертий / четверта - відношення довжин 𝐶𝐵 до 𝐴𝐵.

Якщо AC : CB = m : n, то AB містить m + n рівних частин, тому AC : AB = m : (m + n), CB : AB = n : (m + n). Приклад: AB = 12 см, точка C ділить його у відношенні 1 : 3. Тоді AC = 3 см, CB = 9 см, AC : AB = 3 : 12 = 1 : 4, CB : AB = 9 : 12 = 3 : 4. 468. Відрізок 𝐴𝐵 точками 𝐶 і 𝐷 поділений пропорційно числам 2, 3 і 5. Знайди відношення відрізків: а) 𝐴𝐶: 𝐷𝐵; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

б) 𝐶𝐷 ∶ 𝐴𝐷; в) 𝐴𝐶 ∶ 𝐴𝐵; г) 𝐷𝐵 ∶ 𝐴𝐷. a) AC : DB = 2 : 5; б) CD : AD = 3 : 5; в) AC : АВ = 2 : 10 = 1 : 5; г) DB : AD = 5 : 5 = 1 : 1. 469. Точка 𝐾 ділить відрізок 𝐴𝐵 у відношенні 𝑚: 𝑛. Знайди відношення 𝐴𝐾 ∶ 𝐴𝐵 i 𝐾𝐵 ∶ 𝐴𝐵.

AK : КВ = m : n; 𝑚 AK : AB = ; 𝑚+𝑛 𝑚

KB : AB = . 𝑚+𝑛 470. Виміряй відстань між двома пунктами на карті. Яка справжня відстань між цими пунктами (по прямій), якщо масштаб карти 1 ∶ 3500000 ?

На карті (мал. 8.12) відстань між Тернополем і Хмельницьким близько 3 см. Масштаб 1 : 3 500 000 означає, що 1 см на карті — це 3 500 000 см = 35 км на місцевості. 3 · 35 = 105 (км). Відповідь: ≈ 105 км. 471. На малюнку подано боковий фасад проєкту хати, який зробив Тарас Шевченко аквареллю в 1860 p. Знайди довжину самої хати, використовуючи поданий лінійний масштаб. Запиши довжину хати в метрах.

За лінійним масштабом на малюнку 8.13 відрізок «1 сажень» має довжину близько 1 см (від 0 до позначки «4 саж.» — близько 4 см). © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Довжина хати (між кутами стін) на малюнку — близько 8 см, тобто близько 8 сажнів. 1 сажень ≈ 2,13 м, тому довжина хати ≈ 8 · 2,13 ≈ 17 (м). Відповідь: ≈ 17 м. 472. Один із кутів прямокутного трикутника дорівнює 60∘ . Знайди відношення його меншого катета до гіпотенузи.

∠C = 90°; ∠A = 60°; ∠В = 30°; AC = а; AB = 2а; AC : AB = а : 2а = 1 : 2. 473. Знайди відношення катетів прямокутного рівнобедреного трикутника.

Дано: ∆ABC — рівнобедрений прямокутний; AC = BC = а; AC : BC = а : а = 1 : 1. 474. Основа рівнобедреного трикутника відноситься до бічної сторони як 2 ∶ 3. Як відноситься його основа до периметра? Як відноситься бічна сторона до периметра?

AC: AB = 2 : 3; P∆ABC = 2 + 3 + 3 = 8; AC 2 1 = = ; P∆ABC AB

8 3

= . 8 475. Користуючись малюнком, де 𝑎‖𝑏, знайдіть невідомі елементи 𝑥. P∆ABC

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

а) = ; х+4 15 5x + 20 = 60; 5x = 40; x = 8. х 2 б) = ; х+4 7 7x = 2x + 8; 5x = 8; x = 1,6. х 2 в) = ; х+8 х+2 x2 + 2x = 2x + 16; x2 = 16; x = 4. 476. Користуючись малюнком , де 𝑎‖𝑏, знайди невідомі елементи 𝑥.

a ∥ b, тому прямі a і b відтинають на сторонах кута пропорційні відрізки. а) x : 3 = 5 : 6, x = 3 · 5 : 6 = 2,5. б) 6 : 15 = 4 : x, x = 15 · 4 : 6 = 10. в) 12 : x = x : 3, x² = 36, x = 6. Відповідь: а) 2,5; б) 10; в) 6.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

477. На сторонах 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶 трикутника 𝐴𝐵𝐶 взято точки 𝑀 і 𝐻 так, що 𝑀𝐻‖𝐵𝐶 і 𝐴𝑀 ∶ 𝑀𝐵 = 2 ∶ 3. Знайди: а) 𝐴𝐻, якщо 𝐻𝐶 = 9 см; б) 𝐻𝐶, якщо 𝐴𝐶 = 15.

MH ∥ BC, тому AH : HC = AM : MB = 2 : 3. а) AH = 9 : 3 · 2 = 6 (см). б) AC містить 2 + 3 = 5 частин: HC = 15 : 5 · 3 = 9 (см). Відповідь: а) 6 см; б) 9 см. 478. На сторонах 𝐴𝐵 і B𝐶 трикутника 𝐴𝐵𝐶 взято точки 𝐾 і 𝑃 так, що 𝐾𝑃‖𝐴𝐶 і 𝐴𝐾 ∶ 𝐾𝐵 = 3 ∶ 5. Знайди: а) 𝑃𝐶, якщо 𝐵𝑃 = 12 см; б) 𝐵𝑃, якщо 𝐵𝐶 = 24 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

KP ∥ AC, тому BP : PC = BK : KA = 5 : 3. а) PC = 12 : 5 · 3 = 7,2 (см). б) BC містить 5 + 3 = 8 частин: BP = 24 : 8 · 5 = 15 (см). Відповідь: а) 7,2 см; б) 15 см. 479. На скільки треба подовжити відрізок 𝐾𝐿 завдовжки 32 см, щоб отримати відрізок 𝐾𝑀, який задовольняє пропорцію 𝐾𝑀 ∶ 𝐾𝐿 = 9 ∶ 4?

KM : KH = 9 : 4; 4х = 32; x = 8 см; KM = 9 • 8 = 72 см; LM = 72 см – 32 см = 40 см. Відповідь: 40 см. 480. На відрізку 𝐴𝐵 завдовжки 6 см дано точку 𝐶. Відстань від цієї точки до 𝐴 дорівнює 3,6 см. На продовженні відрізка 𝐴𝐵 за точку 𝐵 взято таку точку 𝐷, що 𝐴𝐷 ∶ 𝐷𝐵 = 𝐴𝐶 ∶ 𝐵𝐶. Знайди відношення 𝐴𝐵 ∶ 𝐵𝐷 і 𝐴𝐷 ∶ 𝐴𝐵.

BC = 6 см – 3,6 см = 2,4 см. AD : DB = AC : BC = 3,6 : 2,4 = 3 : 2 AB : BD = 5 : 2; AD : AB = 7 : 5. 481. Відрізок завдовжки 7 дюймів поділили на частини, пропорційні числам 2, 3, 4 і 5. Знайдіть довжини (у сантиметрах) найбільшої і найменшої частин (вважати, що 1 дюйм = 2,54 см). 2х + 3х + 4х + 5х = 7; 14х = 7; х = 0,5. Довжина найбільшої частини: 2,5 дюйма, а найменшої частини: 1 дюйм. 482. Відрізок а вдвічі довший за с. Поділи відрізок завдовжки 9 м на частини, пропорційні відрізкам 𝑎 і 𝑐.

a = 2c, тому відрізок треба поділити у відношенні 2 : 1. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

9 : (2 + 1) = 3 (м); частини 2 · 3 = 6 (м) і 3 м. Відповідь: 6 м і 3 м. 483. Відрізок завдовжки 𝑎 поділено на частини, пропорційні числам 5, 1 і 4. Знайди довжини утворених частин. 5х + 1x + 4x = а; 10x = a; x = 0,1а. Довжини частини: 0,5а; 0,1а; 0,4а. 484. A segмent of length 𝑎 is divided into parts in the ratio 𝑚 ∶ 𝑛. Find the lengths of the resulting parts.

mх + nх = а , х(m + n) = а, x = ma

m+n

Довжини частин: ; . m+n m+n 485. Чи пропорційні відрізки 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, якщо: а) два перші відносяться як 2 ∶ 3, а два другі - як 3 ∶ 4; б) 𝑎 ∶ 𝑏 = 2,4 ∶ 5,6; 𝑐 ∶ 𝑑 = 9,1 ∶ 21,7 ? a) 2 : 3 = 3 : 4, ні не пропорційні. б) 2,4 : 5,6 = 9,1 : 21,7, ні не пропорційні. Відношення цих відрізків не дорівнюють одне одному. 486. Користуючись малюнком, де 𝑎‖𝑏‖𝑐, знайди невідомі елементи 𝑥 та 𝑦.

x+6

а) = ; 4 x 16x = 4x + 24; 12x = 24; 32 + 2y = 52; 16+y 13 = ; 2y = 20; 4 2 x = 2; y = 10; OA1 = 2; BC = 10. Відповідь: 2; 10; 9 x б) = ; x+9 x+4 2 9x + 36 = x + 9x; x2 = 36; 90 + 6y = 135; 15+y 15 = ; 6y = 45; 9 6 x = 6; y = 7,5. Відповідь: 6; 7,5. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

487. Користуючись малюнком, де 𝑎‖𝑏‖𝑐, знайди невідомі елементи 𝑥 та 𝑦.

a ∥ b ∥ c, тому паралельні прямі відтинають на сторонах кута пропорційні відрізки. а) OA : OA₁ = AB : A₁B₁ = BC : B₁C₁: 4 : 5 = 6 : x = y : 15. x = 5 · 6 : 4 = 7,5; y = 4 · 15 : 5 = 12. б) OA : AB : BC = OA₁ : A₁B₁ : B₁C₁: 6 : 2 : x = y : x : 8. 2 : x = x : 8, x² = 16, x = 4; 6 : 2 = y : x, y = 3 · 4 = 12. Відповідь: а) x = 7,5, y = 12; б) x = 4, y = 12.

488. У трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 = 10 см, 𝑀𝑁‖𝐴𝐷, 𝐴𝑀 ∶ 𝑀𝐵 = 2 ∶ 3. Установіть відповідність між відрізками, заданими умовами (1-3), та їх довжинами (А-Д). 1. 𝑀𝐵; 2. C𝑁, якщо 𝑁𝐷 = 6 см; 3. 𝐶𝐷, якщо 𝐶𝑁 = 9 см. А. 4 см; Б. 6 см; В. 9 см; Г. 15 см; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Д. 30 см.

Нехай АМ = х , BM = х + 2; AB = 10 см; х + х + 2 = 10 см; 2х + 2 = 10; 2х = 8; х = 4; AM = 4; BM = 6; Проведемо СK ∥ AB; CP = BM = 6 см; PK = AM = 4 см; DN = 6 см; Відрізок CN — четвертий пропорційний. CP : СК = CD : CN, CN = y; CD = y + 6. 6 : 10 = (у + 6) : y; 10 y+6 = ; 6

10y = 6y + 36; 4у = 36; у = 9; CN = 9 см; CD = 9 + 6 = 15 (см). Відповідь: CD = 15 см. 489. 𝐴𝑀 − медіана △ 𝐴𝐵𝐶. 𝐴𝐾 ∶ 𝐾𝑀 = 2 ∶ 3. Знайди відношення 𝐴𝑃 ∶ 𝑃𝐶 і 𝐴𝑃 ∶ 𝐴𝐶.

CM = MB, AK : KM = 2 : 3. Проведемо SM ∥ PВ, тоді CS = PS. З іншого боку AP : PS = AK : KM = 2 : 3, АР : PS = 2 : (3 + 3) = 1 : 3, AP : AC = 1 : 4. Відповідь: 1 : 3, 1 : 4. 490. Точка 𝑀 ділить сторону 𝐴𝐵 △ 𝐴𝐵𝐶 у відношенні 𝐴𝑀 ∶ 𝑀𝐵 = 3 ∶ 2, а точка 𝑁 ділить сторону 𝐵𝐶 △ 𝐴𝐵𝐶 у відношенні 𝐵𝑁 ∶ 𝑁𝐶 = 5 ∶ 4. Відрізки 𝐴𝑁 і 𝐶𝑀 перетинаються в точці 𝑂. Знайди відношення 𝐴𝑂 ∶ 𝑂𝑁 і 𝐶𝑂 ∶ 𝑂𝑀.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AM : MB = 3 : 2, BN : NC = 5 : 4. Проведемо NK ∥ CM, тоді МК : КВ = 4 : 5, тобто MK = 4х, КВ = 5х, МВ = 9х, 9x •3 27x тоді AM = = , 2

2 27x

тоді AО : ОN = : 4х = . 2 8 Проведемо ML ∥ ON, тоді ML : LB = 3 : 2, тоді СО : ОМ = 4 : 3. Відповідь: 27 : 8, 4 : 3. 491. Основи трапеції дорівнюють 6 см і 10 см, а бічні сторони 5 см і 8 см. На скільки треба продовжити бічні сторони, щоб вони перетнулися?

Нехай BC = 6 см; AD = 10 см; AB = 5 см, CD = 8 см. ВС ∥ AD, тому ∆BMC ~ ∆AMD, отже: AM BM x+5 x = ; BM = x; = ; AD BC 10 6 6х + 30 = 10х; 4х = 30; х = 7,5. BM = 7,5 см. MC MD y y+8 = , MD = y. = ; BC AD 6 10 10у = 6у + 48; 4у = 48; у = 12. MC = 12 см. Відповідь: MC = 12 см; MB = 7,5 см. 492. На стороні 𝐴𝐵 трикутника 𝐴𝐵𝐶 позначено точку Побудуй відрізок, четвертий пропорційний відрізкам 𝑎, 𝑏 і 𝑐, та знайди його довжину (493, 494), якщо:

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай дано ∆АВС. AK = 10 см; BK = 5 см; PK ⊥ AC; BD ⊥ AC; тому PX ∥ BD. AK PK 10 2 ∆APK ~ ∆ABD, з їх подібності маємо; = = = . 2

Відповідь: . 3 493. а) 𝑎 = 4 см; 𝑏 = 2 см; 𝑐 = 3 см; б) 𝑎 = 4,8 см; 𝑏 = 4 см; 𝑐 = 2,1 см;

а) Дано: а = 4 см; b = 2 см; с = З см. На одній стороні до вільного нерозгорнутого кута O відкладемо OA = 4 см; OB = 2 см; на другій стороні OC = 3 см. Проведемо пряму BC і паралельну їй пряму АХ. Відрізок OX — четвертий пропорційний трьох даних відрізів. ОА : ОВ = ОС : ОХ; 4 : 2 = 3 : х; 4х = 6; х = 1,5. Відповідь: OX = 1,5 см. б) 4,8 : 4 = 2,1 : х; 4 •2,1 х= ; 4,8

x = 1,75. Відповідь: OX = 1,75 см. 494. а) 𝑎 = 4 см; 𝑏 = 10 см; 𝑐 = 6 см; б) 𝑎 = 1,5 см; 𝑏 = 4,5 см; 𝑐 = 2 см.

а) 4 : 10 = 6 : х; 4х = 60; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

х = 15. Відповідь: OX = 15 см. б) 1,5 : 4,5 = 2 : х; 1,5х = 4,5 • 2; 1,5х = 9; х = 6. Відповідь: OX = 6 см. 495. Накресли кут 𝑂, градусна міра якого 60∘ . З його вершини як із центра проведи дуги радіусів 𝑟 = 2 см і 2𝑟. Познач буквами точки перетину сторін кута цими дугами і послідовно сполучи їх відрізками. Який чотирикутник утворився? Знайди його кути, сторони і периметр.

На сторонах кута O позначимо точки A і C (OA = OC = 2 см) та B і D (OB = OD = 4 см). △OAC і △OBD рівнобедрені з кутом 60° між бічними сторонами, тому вони рівносторонні: AC = 2 см, BD = 4 см. OA : OB = OC : OD = 1 : 2, тому AC ∥ BD, і ABDC — трапеція; AB = CD = 4 − 2 = 2 (см) — рівнобічна. Кути: ∠B = ∠D = 60°, ∠A = ∠C = 180° − 60° = 120°. P = 2 + 2 + 4 + 2 = 10 (см). Відповідь: рівнобічна трапеція; 120°, 60°, 60°, 120°; 2 см, 4 см, 2 см, 2 см; 10 см. 496. Запиши значення для 𝑛, де 5 < 𝑛 < 15. Поділи дошку або аркуш картону на 𝑛 рівних частин.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай AB — ширина дошки. Проведемо промінь AC під довільним кутом. Відкладемо на промені AC необхідну кількість рівних відрізків, сполучимо BM. Проведемо прямі паралельні BM. Дошку поділіли на потрібну кількість рівних частин. 497. Радіус 𝑂𝐵 кола із центром 𝑂 ділить вписаний кут 𝐴𝐵𝐶 на два кути так, що один із ̆ = 110∘ . них на 15∘ більший за другий. Знайди ці кути, якщо 𝐴𝐶

Нехай ∠ABO = x; ∠CBO = х + 15°. ̆ = 110°, отже центральний кут ∠AOC = 110°. AC 1 Вписаний ∠ABC = ∠AOC; 2 ∠ABC = 55°. х + х + 15° = 55°, 2х = 40°, х = 20°. Відповідь: ∠ABO = 20°; ∠CBO = 35°. 498. Чи можна описати коло навколо ромба, відмінного від квадрата? Чому?

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом BD ⊥ AC. Діагоналі ромба перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. AO = ОС; OB = OD; O — точка

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

перетину діагоналей ромба; O — центра вписаного кола в ромб. OK ⊥ AD, OK — радіус вписаного кола. Будуємо коло з центром у точці О, радіусом OK. 499. Знайди кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 2, 3, 5 i 8. Сума кутів опуклого чотирикутника 360°. ∠1 : ∠2 : ∠3 : ∠4 = 2 : 3 : 5 : 8; ∠1 = 2x; ∠2 = 3х; ∠3 = 5x; ∠4 = 8x; Складемо рівняння: 2х + 3х + 5х + 8х = 360°, 18х = 360°, х = 20°, ∠1 = 40°; ∠2 = 60°; ∠3 = 100°; ∠4 = 160°. Відповідь: 40°, 60°, 100°, 160°. §9. Подібність фігур 500. Вулиця 𝐾𝑃 - є середньою лінією трикутника 𝐴𝐵𝐶, що утворюється вулицями 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 та 𝐴𝐶. a) Чи подібні трикутники 𝐴𝐵𝐶 і 𝐾𝐵𝑃? б) Чи пропорційні відрізки 𝐵𝑃 і 𝐵𝐶 відрізкам 𝐾𝑃 і 𝐴𝐶? А відрізки 𝐵𝑃 і 𝑃𝐶 відрізкам 𝐾𝑃 і 𝐴𝐶? в) Знайди відношення 𝐾𝐵 ∶ 𝐴𝐵, 𝐵𝑃 ∶ 𝑃𝐶, 𝐾𝑃 ∶ 𝐴𝐶. г) У скільки разів 𝑃△𝐴𝐵𝐶 більший за 𝑃△𝐾𝐵𝑃 ?

а) ∆ABC ~ ∆KBP; б) так; 1 1 в) KB : AB = ; BP : PC = 1 : 1; КР : АС = . 2 2 501. Через точки 𝐾 і 𝑃 на стороні 𝐵𝐶 трикутника 𝐴𝐵𝐶 проведено прямі, паралельні 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶. Скільки пар подібних трикутників утворилося?

6 пар. 502. У трикутнику проведено всі його середні лінії. Скільки утворилося трикутників, подібних даному трикутнику? 4 трикутники. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

503. Чи подібні два трикутники, якщо сторони одного дорівнюють 2 м, 3 м і 4 м, а другого 3 м, 4 м і 5 м? Ні, не подібні трикутники, у них сторони не пропорційні. 504. Чи можуть бути подібними прямокутний і тупокутний трикутники? Ні, не подібні трикутники, у них відповідні кути не дорівнюють один одному. 505. Чи правильно, що трикутник, подібний рівнобедреному трикутнику, рівнобедрений? Так, вірно. 506. Скільки пар подібних трикутників зображено на малюнку?

5 пар трикутників. 507. Намалюй фігури, що утворяться після виконання частини коду в Scratch. Чи є подібними ці фігури?

Перший блок 3 рази виконує «переміститись на 150 кроків, поворот на 120°» — малює рівносторонній трикутник зі стороною 150. Другий блок малює рівносторонній трикутник зі стороною 100. Усі рівносторонні трикутники подібні (усі кути по 60°), коефіцієнт подібності 150 : 100 = 1,5. Відповідь: два рівносторонні трикутники зі сторонами 150 і 100; подібні. 508. На малюнку 𝐴𝐵‖𝐴1 𝐵1 ‖𝐴2 𝐵2 . a) Укажи пари подібних трикутників; б) напиши пропорції, що починаються з відношення: 𝑂𝐴 ∶ 𝑂𝐵, 𝑂𝐴 ∶ 𝐴𝐵, 𝐴𝐵 ∶ 𝐴1 𝐵1 , 𝐴2 𝐵2 : 𝑂𝐵2 . © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

а) AB ∥ A₁B₁ ∥ A₂B₂, тому △OAB ∽ △OA₁B₁ ∽ △OA₂B₂ (і △OA₁B₁ ∽ △OA₂B₂). б) OA : OB = OA₁ : OB₁ = OA₂ : OB₂; OA : AB = OA₁ : A₁B₁ = OA₂ : A₂B₂; AB : A₁B₁ = OA : OA₁ = OB : OB₁; A₂B₂ : OB₂ = A₁B₁ : OB₁ = AB : OB. 509. Промені OA, OB і OC перетинають паралельні прямі AB і A1B1. При цьому OA : OA1 = 2 : 3.

a) Укажи пари подібних трикутників. ∆OAC ~ ∆OA1C1; ∆OAB ~ ∆OA1B1; ∆OBC ~ ∆OB1C1; б) Знайди відношення OB : OB1 = 2 : 3; OC : OC1 = 2 : 3; AB : A1B1 = 2 : 3; OA : AA1 = 2 : 1; AC : A1C1 = 2 : 1. в) Склади кілька пропорцій, які починаються з відношення: 𝑂𝐴 𝐴𝐶 𝑂𝐶 2 = = = ; 𝑂𝐴1 𝐴1 𝐶1 𝑂𝐶1 3 𝑂𝐵 — можливо, помилка в умові. 𝐵𝐶 г) Чи правильні пропорції: 𝑂𝐴 ∶ 𝐴𝐴1 = 𝑂𝐵 ∶ 𝐵𝐵1 — так 𝐴𝐵 ∶ 𝐵𝐶 = 𝐴1 𝐵1 ∶ 𝐵1 𝐶1 — так © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

𝑂𝐴 ∶ 𝑂𝐵 = 𝑂𝐵 ∶ 𝑂𝐶 — ні 𝐴𝐵 ∶ 𝐴1 𝐵1 = 𝑂𝐵 ∶ 𝑂𝐵1 — так 510. Гра. Через довільну точку 𝑂, що лежить усередині △ 𝐴𝐵𝐶, проведено прямі, паралельні його сторонам. Скільки при цьому утворилося трикутників? Чи подібні будьякі два з них? Один з учнів / одна з учениць визначає два трикутники, другий / друга має записати одну пропорцію, а третій / третя - ще одну.

Утворилося 7 трикутників; ∆A1BB2 ~ ∆ABC; ∆C2B1C ~ ∆ABC; ∆A2C1A ~ ∆BCA. 511. У трикутнику 𝐴𝐵𝐶 через точку 𝐾 сторони 𝐴𝐶 проведено пряму, паралельну стороні 𝐵𝐶, до перетину зі стороною 𝐴𝐵 у точці 𝐿. Знайди: a) відрізок 𝐵𝐶, якщо 𝐾𝐿 = 15 см і 𝐴𝐿 ∶ 𝐴𝐵 = 3 ∶ 5; б) відрізок 𝐾𝐿, якщо 𝐵𝐶 = 27 см і 𝐴𝐾 ∶ 𝐾𝐶 = 4 ∶ 5; в) периметр △ 𝐴𝐾𝐿, якщо 𝐴𝐵 = 30 см, 𝐵𝐶 = 36 см, 𝐴𝐶 = 42 см, 𝐿𝐾 = 12 см.

a) KL ∥ BC, отже за теоремою 15. ∆ALK ~ ∆ABC, AK 𝐿K 4 𝐿K тому = , = , AC 4 ∙ 27

BC 9

LK = = 12 (см). 9 б) AB = 30 cм; BC = 36 см, AC = 42 см; 𝐵𝐶 36 LK = 12 см; k = = = 3. LK 12 AL = 10 см; AK = 14 cм; Р∆AKL = 10см + 14 cм + 12 см = 36 (cм). Відповідь: 36 (см). 512. In triangle 𝐴𝐵𝐶, a line parallel to side 𝐵𝐶 is drawn through point 𝑃 of side 𝐴𝐵 to intersect with side 𝐴𝐶 at point 𝐾. Find: a) the segмent 𝐴𝐵, if 𝐾𝑃 = 9ft and 𝐾𝑃: 𝐶𝐵 = 3: 4; b) the periмeter △ 𝐾𝑃𝐴, if 𝐴𝐵 = 18ft, 𝐵𝐶 = 15ft, 𝐴𝐶 = 22ft, 𝐾𝑃 = 6ft.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

PK ∥ BC, тому △APK ∽ △ABC. a) KP : CB = 3 : 4, тому CB = 9 : 3 · 4 = 12 (ft). Довжину AB за цими даними знайти не можна: в умові, ймовірно, друкарська помилка — треба знайти відрізок CB. CB = 12 ft. b) k = KP : BC = 6 : 15 = 2 : 5. P(ABC) = 18 + 15 + 22 = 55 (ft). P(KPA) = 55 · 2/5 = 22 (ft). Відповідь: a) CB = 12 ft; b) 22 ft. 513. На сторонах 𝐴𝐵 та 𝐴𝐶 трикутника 𝐴𝐵𝐶 задано точки 𝐾 і 𝑀 відповідно, 𝐾𝑀‖𝐵𝐶. Визнач довжину відрізка 𝐾𝑀, якщо 𝐴𝐾 = 6 см, 𝐾𝐵 = 2 см, 𝐵𝐶 = 10 см.

KM ∥ BC, тому △AKM ∽ △ABC, і KM : BC = AK : AB. AB = 6 + 2 = 8 (см), KM = 10 · 6 : 8 = 7,5 (см). Відповідь: 7,5 см. 514. На сторонах 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶 трикутника 𝐴𝐵𝐶 взято точки 𝑀 і 𝐾 такі, що 𝑀𝐾‖𝐴𝐶. Знайди відношення 𝐴𝐵 ∶ 𝑀𝐵, 𝑀𝐾 ∶ 𝐴𝐶 і 𝐵𝐾 ∶ 𝐾𝐶, якщо периметр трикутника 𝐴𝐵𝐶 дорівнює 21 см, а периметр трикутника 𝑀𝐵𝐾 дорівнює 7 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

MK ∥ AC, тому △MBK ∽ △ABC. Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності: k = 7 : 21 = 1 : 3. MB : AB = 1 : 3, тому AB : MB = 3 : 1; MK : AC = 1 : 3; BK : BC = 1 : 3, тому BK : KC = 1 : 2. Відповідь: 3 : 1; 1 : 3; 1 : 2. 515. Довжина тіні хлопчика відноситься до відстані від хлопчика до ліхтаря як 3 до 5. Знайди відношення периметрів утворених трикутників 𝐴𝐵𝐷 та 𝐸𝐶𝐷 на малюнку.

Ліхтар AB і хлопчик EC перпендикулярні до землі, тому EC ∥ AB і △ECD ∽ △ABD. CD : BC = 3 : 5, тому BD : CD = (3 + 5) : 3 = 8 : 3. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності: P(ABD) : P(ECD) = 8 : 3. Відповідь: 8 : 3. 516. ЗНО У трикутнику 𝐴𝐵𝐶 ∶ 𝐴𝐵 = 31 см, 𝐵𝐶 = 15 см, 𝐴𝐶 = 26 см. Пряма 𝑎, паралельна стороні 𝐴𝐵, перетинае сторони 𝐵𝐶 і 𝐴𝐶 у точках 𝑀 і 𝑁 відповідно. Обчисли периметр трикутника 𝑀𝑁𝐶, якщо 𝑀𝐶 = 5 см.

MN ∥ AB, тому △MNC ∽ △BAC, k = MC : BC = 5 : 15 = 1 : 3. P(ABC) = 31 + 15 + 26 = 72 (см). P(MNC) = 72 : 3 = 24 (см). Відповідь: 24 см. 517. З точки 𝐷 гіпотенузи 𝐴𝐵 прямокутного трикутника 𝐴𝐵𝐶 опущено перпендикуляр 𝐷𝐸 на катет 𝐵𝐶. Доведи, що △ 𝐴𝐵𝐶 ∼△ 𝐷𝐵𝐸.

Нехай DE ⊥ BC. ∆ABC ~ ∆DBE за двома рівними кутами. ∠BED = ∠BCA = 90°. ∠B — спільний. 518. Зобрази прямокутний трикутник із катетами 6 см і 8 см. Паралельно гіпотенузі проведи пряму так, щоб периметр утвореного трикутника був у 2 рази менший. Чому дорівнюють катети цього трикутника?

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Гіпотенуза трикутника з катетами 6 см і 8 см дорівнює 10 см, периметр 6 + 8 + 10 = 24 (см). Пряма, паралельна гіпотенузі, відтинає подібний трикутник; периметр у 2 рази менший, тому k = 1/2. Такою прямою є середня лінія, що сполучає середини катетів. Катети: 6 : 2 = 3 (см), 8 : 2 = 4 (см). Відповідь: 3 см і 4 см. 519. На малюнку подано зображення двох картин української художниці Катерини Білокур. Картина «Квіти» (1959) має розміри 23 × 34 см, а картина «Соняшники» (1950) −27 × 38 см. Установіть коефіцієнт подібності оригіналів картин і зображень в підручнику.

Вимірюємо зображення на малюнку 9.18: «Соняшники» — близько 2,8 × 4,0 см, «Квіти» — заввишки близько 3,6 см (зображення трохи обрізане по ширині). Коефіцієнт подібності оригінала і зображення: 38 : 4,0 ≈ 9,5 і 27 : 2,8 ≈ 9,6; для «Квітів» 34 : 3,6 ≈ 9,5. Відповідь: k ≈ 9,5 (оригінали приблизно в 9,5 раза більші за зображення). 520. Основи 𝐴𝐷 і 𝐵𝐶 рівнобічної трапеції дорівнюють 30 см і 20 см. Прямі 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 перетинаються в такій точці 𝑃, що 𝑃𝐵 = 10 см. Знайдіть довжини бічних сторін трапеції.

ABCD — трапеція, отже BC ∥ AD, тому ∆BPC ~ ∆ADP. A𝑃 B𝑃 x+10 10 AB = x; = ; = ; AD BC 30 20 20x + 200 = 300; 20x = 100; x = 10, AB = 10 см. Відповідь: AB = CD = 10 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

521. У трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷 бічна сторона 𝐴𝐵 = 12 см, а більша основа 𝐴𝐷 = 25 см. Прямі 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 перетинаються в такій точці 𝑂, що 𝐴𝑂 = 30 см. Знайди довжину меншої основи трапеції.

OB = AO − AB = 30 − 12 = 18 (см). BC ∥ AD, тому △OBC ∽ △OAD: BC : AD = OB : OA. BC = 25 · 18 : 30 = 15 (см). Відповідь: 15 см. 522. Іринка зробила власноруч дерев'яну рамку для фото родини у формі рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 16 см і 12 см, а бічна сторона - 7 см. Потім вона вирішила, що хоче доклеїти ще планки, щоб утворився трикутник і рамку було легко повісити. На скільки треба подовжити бічні сторони?

Нехай ABCD — трапеція; BC ∥ AD; BC = 12 см; AD = 16 см. AB = CD = 7 см; ∆BCK ~ ∆AKD (BC ∥ AD). ВК = КС = х; BK BC x 12 = ; = ; AK AD x + 7 16 16x = 12x + 84; 4х = 84; х = 21. Відповідь: 21 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

523. Основи трапеції дорівнюють 48 см і 72 см, а бічні сторони - 24 см і 22 см. На скільки треба подовжити кожну з бічних сторін, щоб вони перетнулися?

ABCD — трапеція; BC ∥ AD, BC = 48 см; AD = 72 см; AB = 22 см; CD = 24 см. Необхідно знайти BF і FC. ∆FBC ~ ∆AFD, BC ∥ AD; BF BC = ; нехай BF = х; AF AD x 48 x 2 = ; = ; x + 22 72 x + 22 3 Зх = 2х + 44; х = 44; BF = 44. FC BC Нехай FC = у; тоді = ; y y+24

2 3

; 3y = 2y + 48;

y = 48; FC = 48. Відповідь: 44 см; 48 см. 524. На сторонах 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶 △ 𝐴𝐵𝐶 взято точки 𝑀 і 𝑁 відповідно так, що 𝑀𝑁‖𝐴𝐶, 𝐴𝑀 = 𝐵𝑁, 𝑀𝐵 = 4 см, 𝑁𝐶 = 9 см, 𝑀𝑁 = 7 см. Знайди 𝐴𝐶 i 𝐵𝑁.

Нехай дано ∆ABC, MN ∥ AC, AM = BN, MB = 4см; NC = 9 см, MN = 7 см. ∆MBN ~ ∆ABC за теоремою 15, (MN ∥ AC за умовою). Нехай AM = BN = x; складемо рівняння: MB BN 4 x = ; = ; AB BC x+4 x+9 4x + 36 = x2 + 4x; x2 = 36; х = 6. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Отже BN = 6 см. Знайдемо AC: AC AB AC 10 = ; – ; MM MB 7 4 10 ∙ 7 AC = = 17,5. 4 Відповідь: MN = 7 см; AC = 17,5 см. 525. 𝐾 і 𝑃 - такі точки на сторонах 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶 △ 𝐴𝐵𝐶, що 𝐾𝑃‖𝐴𝐶 і 𝐵𝐾 ∶ 𝐵𝐴 = 1 ∶ 3. Чи подібні трикутники 𝐴𝐵𝐶 і 𝐾𝐵𝑃 ? Чому? Знайди: а) відношення 𝐾𝐵 ∶ 𝐴𝐾, 𝐵𝑃 ∶ 𝑃𝐶, 𝐾𝑃 ∶ 𝐴𝐶; б) периметри трикутників 𝐴𝐵𝐶 і 𝐾𝐵𝑃, якщо 𝐴𝐾 = 𝐾𝑃 = 𝑃𝐵 = 8 см.

∆ABC ~ ∆KBP тому, що K P ∥ AC (теорема 15). a) KB : AK = 1 : 2; BP : PC = 1 : 2; KP : AC = 1 : 2. б) AK = KP = PB = 8 см; AK = 8 см; ВK = 4 см; Р∆BKP = 4 + 8 + 8 = 20 (см). Р∆ABC = 3 ∙ 20 = 60 (см). Відповідь: 20 см; 60 см. 526. На сторонах 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 взято точки 𝐾 і 𝑃 такі, що 𝐴𝐾 = 𝐶𝑃 = 0,25𝐴𝐵. Як відносяться відрізки, на які діагональ 𝐴𝐶 паралелограма ділиться прямими 𝐾𝐷 і 𝐵𝑃? Знайди відношення 𝐾𝐸 ∶ 𝐵𝐹.

AK = CP = 0,25 АВ = АВ; 4 AE : EF : FC = 1 : 4 : 1; ∆BCP = ∆DAK, з їх рівності BP ∥ KD. ∆AKE ~ ∆ABF, AK : KB = AE : EF = 1 : 4. Аналогічно: CF : FE = 1 : 4. 527. Через точку 𝑀, узяту на стороні 𝐵𝐶 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷, проведено пряму 𝐴𝑀, яка перетинає пряму 𝐶𝐷 у точці 𝑁, 𝐴𝑀: 𝑀𝑁 = 5: 2. Знайди периметри △ 𝐴𝑁𝐷 і △ 𝑀𝑁𝐶, якщо їх різниця дорівнює 16 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AM : MN = 5 : 2; P∆AND – P∆MNC = 16см; ABCD — паралелограм, BC ∥ AD, тому MC ∥ AD. Отже ∆AND ~ ∆MNC. 𝑃∆AND AN 7 = = . 𝑃∆MNC MN 2 Нехай P∆MNC = x; P∆AND = x + 16. x + 16 7 = ; x 2 2x + 32 = 7x; 5x = 32; x = 6,4. Отже P∆AND = 6,4 + 16 = 22,4 (см). P∆MNC = 6,4 см. Відповідь: 22,4 см; 6,4 см. 528. У △ 𝐴𝐵𝐶 вписано ромб 𝐴𝑀𝑃𝐾. Знайди сторону ромба, якщо 𝐴𝐵 = 12 см, 𝐴𝐶 = 18 см.

AMPK — ромб, тому MP ∥ AC і MP = AM = x. △MBP ∽ △ABC: MP : AC = BM : AB, тобто x : 18 = (12 − x) : 12. 12x = 216 − 18x, 30x = 216, x = 7,2 (см). Відповідь: 7,2 см. 529. Знайди довжину сторони квадратної плитки, якщо △ 𝐴𝐵𝐶 - прямокутний, 𝐴𝐶 = 30 м, 𝐵𝐶 = 2 м.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай сторона квадратної плитки CMNL дорівнює x, M ∈ AC, N ∈ AB, L ∈ BC. MN ∥ CB, тому △AMN ∽ △ACB: MN : CB = AM : AC, x : BC = (30 − x) : 30. При BC = 2 м: 30x = 60 − 2x, x = 1,875 м. В умові, ймовірно, друкарська помилка: BC = 20 м (так на малюнку 9.23 і у відповіді підручника). Тоді x : 20 = (30 − x) : 30, 30x = 600 − 20x, x = 12 (м). Відповідь: 12 м (при BC = 2 м — 1,875 м). 530. У △ 𝐴𝐵𝐶 вписано прямокутний рівнобедрений △ 𝑀𝐾𝑁 так, що гіпотенуза 𝑀𝑁‖𝐴𝐶, а 𝐾 ∈ 𝐴𝐶. Знайди 𝑀𝑁, якщо 𝐴𝐶 = 30 см, а висота 𝐵𝐻 = 10 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

△MKN — прямокутний рівнобедрений (∠K = 90°), MN ∥ AC, K ∈ AC. Нехай MN = x. Висота KF трикутника MKN (F ∈ MN) дорівнює x/2 — це відстань між MN і AC. MN ∥ AC, тому △MBN ∽ △ABC, і відношення сторін дорівнює відношенню висот: MN : AC = (BH − x/2) : BH, x : 30 = (10 − x/2) : 10. 10x = 300 − 15x, 25x = 300, x = 12 (см). Відповідь: 12 см. 531. На малюнку 𝐴𝐵‖𝐷𝐶 і 𝐾𝐶‖𝐴𝐷. Доведи, що △ 𝐾𝐶𝐵 ∽△ 𝐷𝑂𝐶.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AB ∥ DC і січна OB: ∠KBC = ∠DCO (відповідні кути). KC ∥ AD (тобто KC ∥ OA) і січна OB: ∠KCB = ∠DOC (відповідні кути). Отже, △KCB ∽ △DOC за двома кутами, що й треба було довести. 532. На кожній стороні ромба лежить по одній вершині квадрата, сторони якого паралельні діагоналям ромба. Знайди сторону квадрата, якщо діагоналі ромба дорівнюють 8 см і 12 см.

ABCD — ромб; MNPK — квадрат. ∆BOC — прямокутний (діагоналі ромба — перпендикулярні). EP ⊥ OB, NP ∥ AC; ∆BEP ~ ∆BOC. B𝐸 EP Нехай = ;OE = OF = x; BO OC BD = 8 см; ОВ = 4 см; AC = 12 см; ОС = 6 см; 4 –x x = ; 24 – 6x = 4x; 4 6 10x = 24; x = 2,4 см. NP = 2x = 4,8 см. Відповідь: сторона квадрата: 4,8 см. 533. На малюнку 𝑎 зображено квадрат. Поділимо його на 4 рівних квадрати, а потім один з утворених квадратів ще раз поділимо на 4 менших квадрати. Повторимо такі самі дії, щоб вийшли квадрати, як на малюнку б. Скільки квадратів зображено на малюнку б? Чим вони відрізняються? Чи будуть подібними такі квадрати? У скільки разів периметр найбільшого квадрата більший за периметр найбільшого квадрата? © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

На малюнку 9.26, б: даний квадрат, 4 квадрати зі стороною, у 2 рази меншою, 4 квадрати зі стороною, у 4 рази меншою, і 4 найменші квадрати зі стороною, у 8 разів меншою. Усього 1 + 4 + 4 + 4 = 13 квадратів. Вони відрізняються розмірами. Усі квадрати подібні (кути прямі, сторони пропорційні). Сторона найбільшого квадрата у 8 разів більша за сторону найменшого, тому й периметр більший у 8 разів. Відповідь: 13 квадратів; подібні; у 8 разів. 534. Розглянь малюнок, на якому зображено послідовну побудову трикутника (решітки) Серпінського. Подумай і встанови алгоритм побудови такого трикутника. Спробуй самостійно намалювати такий трикутник з найбільшою кількістю «отворів». Скільки синіх трикутників утворюється на кожному етапі? Доведи, що всі сині трикутники подібні між собою.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Алгоритм: у синьому рівносторонньому трикутнику проводимо три середні лінії — він ділиться на 4 рівні трикутники; середній «вирізаємо» (робимо білим). Те саме повторюємо з кожним синім трикутником. Кількість синіх трикутників: 1, 3, 9, 27, 81, … — на кожному етапі втричі більше (3ⁿ). Кожен новий синій трикутник утворено середніми лініями попереднього, тому його сторони вдвічі менші, а кути ті самі (по 60°). Отже, усі сині трикутники рівносторонні й подібні між собою. 535. У трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑀𝑁‖𝐴𝐷, 𝑀 ∈ 𝐴𝐵, 𝑁 ∈ 𝐶𝐷. Знайди 𝐴𝑀 і 𝐵𝑀, якщо 𝐴𝐵 = 24 см і 𝐶𝑁 ∶ 𝑁𝐷 = 5 ∶ 7.

Нехай ABCD — трапеція. MN ∥ AD, AB = 24 см; CD : ND = 5 : 7. Проведемо діагональ AC. ∆CKN ~ ∆CAD (KN ∥ AD). CK CN 5 = = ; CA CD 12 ∆AMK ~ ∆ABC (MK ∥ KC). AM AK 7 = = ; AB AC 12 AM = 7x; MB = 5х. 7х + 5х = 24; 12х = 24; х = 2; AM = 14 см; MB = 10 см. 536. Точка 𝑀 - основа перпендикуляра, опущеного з точки перетину діагоналей ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 на сторону 𝐵𝐶. Знайди відношення 𝐵𝑀 ∶ 𝑀𝐶, якщо ∠𝐵 = 60∘.

O — точка перетину діагоналей ромба ABCD, OM ⊥ BC. Діагоналі ромба перпендикулярні й ділять його кути навпіл, тому в прямокутному △BOC ∠OBC = 30°, ∠OCB = 60°. Нехай сторона ромба BC = a. Катет OC лежить проти кута 30°: OC = a/2. У прямокутному △OMC ∠MOC = 30°, тому MC = OC : 2 = a/4, BM = a − a/4 = 3a/4. BM : MC = 3a/4 : a/4 = 3 : 1. Відповідь: 3 : 1. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

537. Діагоналі паралелограма дорівнюють 10 см і 14 см. Знайди периметр чотирикутника, вершинами якого є середини сторін паралелограма.

Нехай ABCD — паралелограм. AC і BD — діагоналі. BD = 10 см; AC = 14 см. MNPK – чотирикутник, вершини якого є серединами сторін паралелограма. ∆АВС, MN — середня лінія, 1 1 MN = АС = ∙ 14 = 7 (см); 2

∆DAC, KP — середня лінія, 1 KP = АС = 7 см; 2

∆BDC, NP — середня лінія, 1 1 NP = BD = ∙ 10 = 5 см; 2

∆BAD, MK — середня лінія, MK = BD = 5 см. Р∆MNPK = (7 + 5) ∙ 2 = 24 (см). Відповідь: 24 см.

§10. Ознаки подібності трикутників 538. Чи будь-які два рівносторонні трикутники подібні? Чому? Будь–які 2 рівносторонніх трикутники подібні, тому, що у них сторони пропорційні. 539. Доведи, що два будь-які прямокутні рівнобедрені трикутники подібні. Будь–які 2 прямокутні рівнобедрені трикутники подібні тому, що у них кути рівні: 90°, 45°, 45°. 540. 𝐾, 𝑃, 𝑀 - середини сторін △ 𝐴𝐵𝐶. Чи подібні трикутники 𝑃𝑀𝐾 і 𝐴𝐵𝐶 ? Чому?

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html 1

PT = АВ; KT = ВС; KP = АС (властивість середньої лінії трикутника). 2 2 2 ∆PTK ~ ∆ABC за теоремою 18. 541. Довжини сторін одного трикутника дорівнюють 𝑎, 𝑏, 𝑐, а другого - 3𝑎, 3𝑏 і 3𝑐. Чи подібні ці трикутники? 3𝑎 3𝑏 3𝑐 = = = 3, ці трикутники подібні. a

542. Чи подібні трикутники на Заставці для дипломатичних документів УНР, автором якої є Василь Кричевський?

Так. Усі білі трикутники на заставці мають однакову форму — їх відповідні кути рівні, тому за першою ознакою (за двома кутами) будь-які два з них подібні; однакові за розміром трикутники ще й рівні (k = 1). 543. Чи подібні два прямокутні трикутники, якщо один із них має кут 30∘ , а другий − 60∘ ? Ці трикутники подібні, тому що у них кути рівні (30°, 60°, 90°). 544. 𝐴𝐵𝐶 - довільний трикутник, а 𝑋 - довільна точка. 𝐴1 і 𝐴2 , 𝐵1 і 𝐵2 , 𝐶1 і 𝐶2 ділять відрізки 𝑋𝐴, 𝑋𝐵, 𝑋𝐶 на 3 рівні частини. Доведи, що кожний із трикутників 𝐴1 𝐵1 𝐶1 і 𝐴2 𝐵2 𝐶2 подібний △ 𝐴𝐵𝐶.

∆ABC — довільний. Х – точка. XB2 = B2B1 = B1B; XA2 = A2A1 = A1A; XC2 = C2C1 = C1C тому за теоремою Фалеса В2С2 ∥ B1С1, B1C1 ∥ BC, B2C2 ∥ BC, ці трикутники подібні за двома рівними кутами. 545. Чи може пряма, не паралельна жодній стороні трикутника, відтинати від нього трикутник, подібний даному? Так, може, якщо у цих трикутників сторони пропорційні, а кути рівні. 546. Чи подібні два трикутники, якщо їхні сторони мають довжини: а) 3 см, 4 см, 6 см і 9 дм, 14 дм, 18 дм; б) 2 см, 4 см, 3 см і 10 м, 15 м, 20 м? 3 4 6 1. ≠ ≠ ; трикутники не подібні; 2.

90 2

1000

140

≠

1500

180

≠

3 2000

; трикутники не подібні, тому що у них сторони не пропорційні. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

547. Чи подібні трикутники 𝐴𝐵𝐶 і 𝐾𝑃𝑇, якщо ∠𝐴 = 50∘ , ∠𝐵 = 60∘ , ∠𝑃 = 60∘ , ∠𝑇 = 70∘ ?

∠C = 180° – (50° + 60°) = 70°; ∠K = 180° – (60° + 70°) = 50°. ∆ABC ~ ∆KPT тому, що у них кути рівні (за теоремою 16). 548. Чи подібні трикутники 𝐴𝐵𝐶 і 𝑀𝐾𝐸, якщо ∠𝐴 = 42∘ , ∠𝐶 = 28∘ , ∠𝐾 = 110∘ , ∠𝐸 = 28∘ ?

У △ABC: ∠B = 180° − 42° − 28° = 110°. У △MKE: ∠M = 180° − 110° − 28° = 42°. ∠A = ∠M = 42°, ∠C = ∠E = 28°, тому △ABC ∽ △MKE за двома кутами. Відповідь: так.

549. Чи подібні прямокутні трикутники, в одного з яких є гострий кут 42∘ , а в другого гострий кут 48∘ ?

∠B = 42°; ∠A1 = 48°; ∠А = 90° – 42° = 48°; ∠А = ∠A1 = 48°. Трикутники подібні тому, що у них кути рівні. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

550. У двох рівнобедрених трикутників кути при вершині мають по 52∘ . Чи подібні ці трикутники?

∠C = ∠C1 = 52°; ∠A = ∠В = (180° – 52°) : 2 = 64°; ∠A1 = ∠B1 = (180° – 52°) : 2 = 64° (за властивістю рівнобедреного трикутника). Ці трикутники подібні тому, що у них відповідні кути рівні. 551. Кут при основі одного рівнобедреного трикутника дорівнює 50∘ . Кут при вершині другого рівнобедреного трикутника дорівнює 80∘ . Чи подібні ці трикутники?

∠A = ∠C = 50° (кути при основі рівнобедреного трикутника рівні). ∠B = 180°– (∠A + ∠C) = 180° – 100° = 80°; ∠B = ∠B1. Ці трикутники подібні, тому що у них кути рівні. 552. Гра. Один з учнів / одна з учениць задає міру кута при основі рівнобедреного трикутника, а другий / друга - кут при вершині другого рівнобедреного трикутника. Третій / третя має сказати, чи подібні ці трикутники.

Рівнобедрені трикутники подібні, якщо в них рівні кути при вершині (тоді рівні й кути при основі). Кут при вершині першого трикутника: 180° − 2 · (кут при основі).

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Приклад: кут при основі першого 40°, тоді кут при вершині 180° − 80° = 100°. Якщо другий гравець назвав кут при вершині 100° — трикутники подібні, якщо, наприклад, 70° — не подібні. 553. Доведіть, що два рівнобедрені трикутники подібні, якщо кут при основі одного з них дорівнює куту при основі другого трикутника. А якщо рівні їхні кути при вершинах? а) ∠A = ∠A1, ∠A = ∠C, тоді ∠A1 = ∠C1, ∠C = ∠С1. ∠B = 180° – (∠A + ∠C). ∠B1 = 180° – (∠A1 +∠C1) = 180° – (∠A + ∠C). Отже, ∆ABC ~ ∆A1B1С1 тому, що у них всі кути рівні (за теоремою 16). б) Якщо кути при вершинах у рівнобедрених трикутниках рівні, то при основах кути будуть також рівні, отже трикутники подібні. 554. Чи подібні трикутники, утворені паралельними прямими на орнаменті Василя Кричевського? Знайдіть 𝐵𝑅, якщо: а) 𝐴𝐶: 𝑅𝐾 = 3, 𝐵𝐴 = 5,4; б) 𝑅𝐾 = 0,45 см, 𝐷𝐿 = 0,9 см, 𝐷𝐵 = 3,6 см; в) 𝑅𝐾: 𝐷𝐿 = 1: 2, 𝐷𝑅 = 1,8. Чи подібні трикутники, суцільно зафарбовані чорним? Знайдіть на малюнку ще пари подібних трикутників. Дізнайтеся більше про орнаменти Василя Кричевського.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Прямі RK, DL, AC паралельні, тому △BRK ∽ △BDL ∽ △BAC (спільний кут B, відповідні кути при паралельних прямих). а) AC : RK = BA : BR = 3, BR = 5,4 : 3 = 1,8. б) BR : BD = RK : DL = 0,45 : 0,9 = 1 : 2, BR = 3,6 : 2 = 1,8. в) BR : BD = RK : DL = 1 : 2, тобто BR = RD = 1,8. Суцільно зафарбовані чорні трикутники мають однакові кути, тому теж подібні. Подібні також, наприклад, △BDL і △BAC, △BRK і △BAC. Відповідь: так; а) 1,8; б) 1,8; в) 1,8. 555. Дано трикутники 𝐴𝐵𝐶 і 𝐾𝑃𝑇 такі, що ∠𝐴 = ∠𝐾, ∠𝐶 = ∠𝑇, 𝐴𝐵 = 8 см, 𝐴𝐶 = 12 см, 𝑃𝑇 = 15 см, 𝐾𝑇 = 18 см. Знайди невідомі сторони трикутників.

∠A = ∠K, ∠C = ∠T, тому △ABC ∽ △KPT (A ↔ K, B ↔ P, C ↔ T), AB : KP = BC : PT = AC : KT. k = AC : KT = 12 : 18 = 2/3. KP = AB : k = 8 · 3/2 = 12 (см); BC = PT · k = 15 · 2/3 = 10 (см). Відповідь: BC = 10 см, KP = 12 см.

556. Дано трикутники 𝐴𝐵𝐶 і 𝑀𝐾𝑃 такі, що ∠𝐵 = ∠𝐾, ∠𝐶 = ∠𝑃, 𝐴𝐵 = 18 см, 𝐵𝐶 = 12 см, 𝑀𝐾 = 15 см, 𝑀𝑃 = 20 см. Знайди невідомі сторони трикутників.

∠B = ∠K, ∠C = ∠P, тому △ABC ∽ △MKP (A ↔ M, B ↔ K, C ↔ P), AB : MK = BC : KP = AC : MP. k = AB : MK = 18 : 15 = 6/5. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

KP = BC : k = 12 · 5/6 = 10 (см); AC = MP · k = 20 · 6/5 = 24 (см). Відповідь: AC = 24 см, KP = 10 см.

557. Використовуючи малюнку, вкажи пари подібних трикутників, доведи їх подібність і знайди довжину відрізка 𝑥.

а) △AOB ∽ △COD: ∠AOB = ∠COD (вертикальні), ∠A = ∠C (за малюнком). Тоді AB : CD = BO : DO. BO = OD = 5, тому CD = AB = 6: x = 6. б) Трикутник, відтятий відрізком x, і даний трикутник мають спільний кут і рівні кути, позначені на малюнку, тому вони подібні: x : 18 = 10 : 15, x = 12. в) Трикутники мають рівні вертикальні кути і рівні кути, позначені дугами, тому подібні: x : 8 = 5 : 10, x = 4. Відповідь: а) 6; б) 12; в) 4. 558. Сторони одного трикутника дорівнюють 7 м, 9 м і 11 м. Знайди сторони трикутника, подібного даному, якщо його найменша сторона дорівнює 28 м. Нехай x — коефіцієнт пропорційності, тоді 7x = 28; x = 4; сторони подібного трикутника: 28 м; 36 м; 44 м. 559. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 12 см, а бічна сторона -18 см. Визнач периметр подібного трикутника, якщо його бічна сторона дорівнює 6 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай ∆ABC — рівнобедрений. AB = BC = 18 см; AC = 12 см. ∆ABC ~ ∆A1B1C1. A1B1 = B1C1 = 6 см. 𝐴𝐵 18 = k; k = = 3. 𝐴1 𝐵1 6 𝐴𝐶 12 = 3; 𝐴1 𝐶1 = = 4. (см). 𝐴1 𝐶1

P∆A1B1C1 = 6 см + 6 см + 4 см = 16 см. Відповідь: 16 см. 560. Сторони трикутника пропорційні числам 3, 5 і 6. Визнач сторони подібного йому трикутника, у якого: a) найменша сторона дорівнює 18 см; б) різниця найбільшої і найменшої сторін дорівнює 27 см; в) периметр дорівнює 28 см.

Сторони подібного трикутника: 3x, 5x, 6x. а) 3x = 18, x = 6: 18 см, 30 см, 36 см. б) 6x − 3x = 27, x = 9: 27 см, 45 см, 54 см. в) 3x + 5x + 6x = 28, x = 2: 6 см, 10 см, 12 см. Відповідь: а) 18 см, 30 см, 36 см; б) 27 см, 45 см, 54 см; в) 6 см, 10 см, 12 см. 561. Сторони трикутника пропорційні числам 2, 4 і 7. Визнач сторони подібного йому трикутника, у якого: а) найбільша сторона дорівнює 21 см; б) сума найбільшої і найменшої сторін дорівнює 18 см; в) периметр дорівнює 39 см. Сторони подібного трикутника: 2x, 4x, 7x. а) 7x = 21, x = 3: 6 см, 12 см, 21 см. б) 7x + 2x = 18, x = 2: 4 см, 8 см, 14 см. в) 2x + 4x + 7x = 39, x = 3: 6 см, 12 см, 21 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Зауважимо: 2x + 4x < 7x, тобто трикутника зі сторонами, пропорційними числам 2, 4 і 7, насправді не існує (не виконується нерівність трикутника) — в умові, ймовірно, друкарська помилка. Вище наведено формальний розв’язок. Відповідь: а) 6 см, 12 см, 21 см; б) 4 см, 8 см, 14 см; в) 6 см, 12 см, 21 см. 562. Усередині даного трикутника міститься другий трикутник, сторони якого паралельні сторонам даного. Чи подібні ці трикутники?

∆ABC; ∆MNP. MN ∥ AB; PN ∥ AC; MP ∥ BC; ці трикутники подібні. 563. Дано 𝐴𝐵𝐶𝐷 - паралелограм. Доведи, що: a) △ 𝐴𝐵𝐸 ∼△ 𝐷𝐹𝐸; б) △ 𝐵𝐶𝐹 ∼△ 𝐸𝐴𝐵.

Нехай дано ABCD — паралелограм. а) Доведемо, що ∆ABE ~ ∆DFE: 1. ∠BEA = ∠FED; (вертикальні кути). 2. ∠A = ∠C (протилежні кути паралеграма). ∠EDF = ∠BCD (відповіді кути, BC ∥ ED) тоді: ∠EDF = ∠BAE. ∆ABE ~ ∆DFE тому, що у них 2 кути рівні. б) ∆BCF ~ ∆EAB (за двома кутами). ∠BAE = ∠BCF; ∠ABE = ∠BFC, внутрішні навхрест лежачі кути. AB ∥ CF, BF — січна. 564. Дано 𝐴𝐵𝐶𝐷 - паралелограм. Доведи, що: а) △ 𝐾𝐵𝐹 ∼△ 𝐿𝐴𝐹; б) △ 𝐾𝐵𝐹 ∼△ 𝐿𝐷𝑀; в) △ 𝐴𝐹𝐿 ∼△ 𝐶𝑀𝐾.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай дано паралелограм ABCD. a) ∆KBF ~ ∆LAF (за двома рівними кутами). ∠KFB = ∠LFA (вертикальні кути). ∠KBF = ∠FAL (внутрішні різносторонні кути). KB ∥ AL, AB — січна. б) ∆KBF ~ ∆LDM (за двома рівними кутами). ∠1 = ∠2 (внутрішні різносторонні кути; KC ∥ AD). ∠2 = ∠3 (вертикальні кути), тоді ∠1 = ∠3. ∠4 = ∠5, кути суміжні рівним кутам паралелограма ∠ABC та ∠ADC. в) ∆AFL ~ ∆CMK (за двома рівними кутами). ∠FAL = ∠KCM (протилежні кути паралелограма). ∠AFL = ∠XMC, внутрішні різносторонні кути. AB ∥ CD, FM — січна. 565. Користуючись малюнком, доведи, що 𝐴𝐵‖𝐶𝐷.

∆AOB ~ ∆DOC, за теоремою 17. AO BO 3 2 1 = ; = = ; OD OC 6 4 2 ∠AOB = ∠DOC (вертикальні кути). Отже, ∠BCD = ∠OBA, а це внутрішні різносторонні кути, отже CD ∥ AB, що й треба було довести. 566. Дано трикутник 𝐴𝐵𝐶 зі сторонами 𝐴𝐵 = 40 см, 𝐵𝐶 = 24 см і 𝐴𝐶 = 56 см. На 𝐴𝐵 відкладено відрізок 𝐴𝐷 = 15 см і проведено пряму 𝐷𝐸‖𝐴𝐶. Визнач сторони △ 𝐷𝐵𝐸.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

а) Нехай дано ∆ABC. AB = 40 см; AC = 56 см; ВС = 24 см. DE ∥ AC; DE ∥ AC, тому ∆DEB ~ ∆ACB. DB = AB – AD = 40 – 15 = 25 см. 3 їх подібності маємо: AC AB 56 40 = ; = ; DE BD DE 25 40DE = 1400; DE = 35 см. BE BD BE 25 б) = ; = ; BC BA 24 40 40BE = 600; ВЕ = 15 см. 567. У △ 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 15 см, 𝐵𝐶 = 9 см, 𝐴𝐶 = 12 см. З точки 𝑀 сторони 𝐴𝐵 проведено прямі 𝑀𝑁 і 𝑀𝐾(𝑁 ∈ 𝐵𝐶, 𝐾 ∈ 𝐴𝐶), паралельні 𝐴𝐶 і 𝐵𝐶. Знайди 𝑀𝑁, 𝑀𝐾, 𝐴𝐾, якщо 𝐴𝑀 = 5 см.

Нехай дано ∆ABC, AB = 15 см, BC = 9 cм; AC = 12 cм; MN ∥ AC, MK ∥ BC. AM = 5 cм. KM ∥ BC, отже ∆AKM ~ ∆ACB, тоді AM AB 5 15 = ; = ; KM BC KM 9 KM = 3 cм; MN ∥ AC, отже, ∆MNB ~ ∆ACB, тоді MN MB MN 10 = ; = ; AC AB 12 15 MN = 8 см; AK AM AK 5 = ; = ; AC AB 12 15 MN = 4 см. Відповідь: MK = 3 см; AK = 4 см; MN = 8 см. 568. 𝑂 - точка перетину діагоналей трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷(𝐴𝐷‖𝐵𝐶), у якої 𝐴𝐷 = 15 см, 𝐵𝐶 = 12 см, 𝐴𝐶 = 18 см. Знайди 𝐴𝑂 і 𝑂𝐶.

BC ∥ AD, тому △BOC ∽ △DOA (∠BOC = ∠DOA — вертикальні, ∠OCB = ∠OAD — внутрішні різносторонні). OC : OA = BC : AD = 12 : 15 = 4 : 5. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AC = OA + OC = 9 частин = 18 см, одна частина 2 см: AO = 10 см, OC = 8 см. Відповідь: AO = 10 см, OC = 8 см. 569. 𝑂 - точка перетину діагоналей трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷(𝐴𝐷‖𝐵𝐶), у якої 𝐴𝐷 = 24 см, 𝐵𝐶 = 9 см, 𝐵𝑂 = 6 см. Знайди довжину діагоналі 𝐵𝐷.

△BOC ∽ △DOA, тому BO : OD = BC : AD = 9 : 24 = 3 : 8. OD = 6 : 3 · 8 = 16 (см), BD = 6 + 16 = 22 (см). Відповідь: 22 см. 570. 𝑂 - точка перетину діагоналей трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝑂𝐵 = 14 см, 𝑂𝐷 = 18 см, 𝐴𝐶 = 24 см. Знайди довжини відрізків 𝑂𝐴 і 𝑂𝐶.

Нехай ABCD — трапеція. O — точка перетину діагоналей трапеції ABCD. OB = 14 см; OD = 18 см; AC = 24 см; BC ∥ AD. ∆BOC ~ ∆DOA (3а двома рівними кутами). З їх подібності маємо: OC = х , OA = 24 – х, OB OC 14 x = ; = ; OD AO 18 24 − x 366 – 14x = 18x, 32х = 336, x = 10,5. OC = 10,5 см; OA = 13,5 см. Відповідь: 10,5 см; 13,5 см. 571. На скільки треба продовжити бічну сторону трапеції завдовжки 12 см, щоб вона перетнула продовження другої бічної сторони, якщо основи трапеції пропорційні числам 5 і 9?

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай ABCD трапеція. BC ∥ AD. 5 AB = 12 см; BC : AD = . 9 ∆BMC ~ ∆AMD. (BC ∥ AD). BC BM = , нехай BM = x, AD 5

A𝑀 x

= , x+12 5х + 60 = 9х, 4х = 60, x = 15. BM = 15 см. Відповідь: 15 см. 572. У трикутник вписано паралелограм, кут якого збігається з кутом трикутника. Сторони трикутника, що утворюють цей кут, дорівнюють 6 см і 9 см, а відповідні паралельні їм сторони паралелограма пропорційні числам 2 і 3. Знайди сторони паралелограма. 9

Нехай у ∆ABC вписано паралелограм. AB = 6 см; AC = 9 см; NK : AK = 2 : 3. ∆MBN ~ ∆ABC (MN ∥ AC, ∠B — спільний) Нехай AM = 2х, MN = 3x тоді AB MB 6 6 − 2x = ; = ; AC MN 9 3x 36x = 54; x = 1,5; Отже, AM = 3 (см); MN = 4,5 (см). Відповідь: 3 см і 4,5 см. 573. У трикутник вписано паралелограм, кут якого збігається з кутом трикутника. Сторони трикутника, що утворюють цей кут, дорівнюють 6 см і 15 см, а різниця відповідних паралельних їм сторін паралелограма дорівнює 8 см. Знайди сторони паралелограма.

AB = 6 см; AC = 15 см; MN – NK = 8 см. Нехай паралелограм AMNK вписано у трикутник ABC. MN ∥ AC, ∆MBN ~ ∆ABC (∠B — спільний) MB AB = ; AM = х, MN AC MN = х + 8; MB = 6 – x. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

6−x 6 = ; x + 8 15 90 – 15х = 6х + 48; 21x = 42; х = 2. AM = 2 см; MN = 10 см. Відповідь: 2 см і 10 см. 574. На сторонах 𝐴𝐶 і 𝐴𝐵 △ 𝐴𝐵𝐶 позначено точки 𝐾 і 𝑃 такі, що ∠𝐴𝐾𝑃 = ∠𝐵. Доведи, що △ 𝐴𝐾𝑃 ∽△ 𝐴𝐵𝐶.

Нехай дано ∆ABC, ∠АКР = ∠ABC. ∆АКР ~ ∆ABC тому, що у них: 1) ∠AKP = ∠ABC — 2 кути рівні (за умовою). 2) ∠ВАС — спільний. 575. На сторонах 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶 △ 𝐴𝐵𝐶 позначено точки 𝑀 і 𝐾 такі, що ∠𝑀𝐾𝐵 = ∠𝐵𝐴𝐶. Визнач подібні трикутники і доведи їх подібність.

У △KBM і △ABC: ∠B — спільний, ∠MKB = ∠BAC (за умовою). Отже, △KBM ∽ △ABC за двома кутами (K ↔ A, B ↔ B, M ↔ C). 576. У трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐶𝐷. Доведи, що △ 𝐴𝐵𝐶 ∼△ 𝐷𝐶𝐴.

AD ∥ BC, тому ∠BCA = ∠CAD (внутрішні різносторонні при січній AC). ∠ABC = ∠ACD (за умовою). © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Отже, △ABC ∽ △DCA за двома кутами (B ↔ C, C ↔ A, A ↔ D), що й треба було довести. 577. На стороні 𝐴𝐷 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 взято точку 𝐾 так, що 𝐴𝐾 ∶ 𝐾𝐷 = 1 ∶ 8. Знайди 𝐴𝐶, якщо 𝐴𝑀 = 2 см.

Проведемо DL ∥ BK, тоді ∆AMB = ∆CND, звідси AM = NC = 2 см. Через точки поділу сторони AD проведемо прямі, паралельні BK, тоді A𝐾 1 = ; KD

тоді К ділить AD у відношенні ; A𝑀 MC

1 9

; 1

тоді AM = ∙ AC; 10 AC = 10 ∙ AM = 10 ∙ 2 = 20 см. Відповідь: 20 см. 578. On the 𝐴𝐷 side of the parallelograм 𝐴𝐵𝐶𝐷, the point 𝐾 is taken so that 𝐴𝐾: 𝐴𝐷 = 1: 10. Find 𝐵𝑀 and 𝑀𝐾 if 𝐵𝐾 = 22 in.

M — точка перетину BK і діагоналі AC. AK ∥ BC, тому △AMK ∽ △CMB, MK : MB = AK : CB = AK : AD = 1 : 10. BK = 11 частин = 22 in, одна частина 2 in: MK = 2 in, BM = 20 in. Відповідь: BM = 20 in, MK = 2 in. 579. У паралелограмі 𝐴𝐵𝐶𝐷 на стороні 𝐴𝐷 вибрано точку 𝐾. Діагональ 𝐴𝐶 і відрізок 𝐵𝐾 перетинаються в точці 𝑂. Визнач довжину сторони 𝐵𝐶, якщо 𝐴𝐾 = 12 см, 𝑂𝐾 = 2 см, 𝑂𝐵 = 3 см.

AK ∥ BC, тому △AOK ∽ △COB (∠AOK = ∠COB — вертикальні, ∠OAK = ∠OCB — внутрішні різносторонні). © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BC : AK = OB : OK = 3 : 2, BC = 12 · 3/2 = 18 (см). Відповідь: 18 см. 580. У трикутнику 𝐴𝐵𝐶 проведено відрізок 𝐷𝐸 так, що 𝐷𝐸‖𝐴𝐶, 𝐷 ∈ 𝐴𝐵, 𝐸 ∈ 𝐵𝐶. Знайди 𝐷𝐸, якщо: a) 𝐴𝐵 = 𝑐, 𝐴𝐶 = 𝑏, 𝐷𝐵 = 𝑚; б) 𝐴𝐶 = 𝑏, 𝐴𝐵 = 𝑐, 𝐴𝐷 = 𝑛.

a) DE ∥ AC, AB = с; АС = b; DB = m. ∆DBE ~ ∆ABC. BD AB m c mb = ; = ; 𝐷𝐸 = . DE AC DE b c б) AC = b; AB = c; AD = n; c− n c (c − n)b = ; 𝐷𝐸 = . DE b c 581. Основи трапеції дорівнюють 16 см і 20 см , а діагоналі 12 см і 18 см. Знайди відрізки, на які діагоналі трапеції діляться в точці перетину.

Нехай ABCD — трапеція, BC ∥ AD. BC = 16 см; AD = 20 см; AC = 12 см; BD = 18 см. ∆BOC ~ ∆DOA (за двома кутами). ∠BOC = ∠DOA — вертикальні кути. ∠ACB = ∠CAD (внутрішні різносторонні кути, BC ∥ AD, AC — січна). AD 20 5 k = = = . BC 16 4 Отже, BO = 4x; OD = 5х; 4х + 5х = 18; 9х = 18, х = 2. BO = 8 см; OD = 10 см; OC = 4y; ОА = 5у: 45 + 5у = 12; 9у = 12; 12 4 y = = ; 9 3 4 ∙ 4 16 1 OC = = = 5 см; 3 3 3 © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

4 20 2 = = 6 см; 3 3 3 1 2 Відповідь: 8 см і 10 см; 5 см і 6 см. 3 3 582. У трапеції точка перетину діагоналей ділить одну з діагоналей на частини 12 см і 16 см, а частина другої діагоналі дорівнює 8 см. Визнач другу діагональ і меншу основу, якщо більша основа дорівнює 20 см. O𝐴 = 5 ∙

Нехай дано трапецію ABCD. AO = 16 см; OC = 12 см; OD = 8 см. BC ∥ AD. ∆BOC ~ ∆DOA (за двома рівними кутами). OC OB 12 x = ; = ; OB = x = 6 см. AO OD 16 8 BD = BO + OD = 6 + 8 = 14 (см). AD AO 16 20 = ; = ; BC OC 12 y y = 15 см. BC = 15 см. Відповідь: 15 см; і 14 см. 583. Основи трапеції дорівнюють 𝑎 і 𝑏. У якому відношенні діляться діагоналі трапеції точкою їх перетину?

BC = а; AD = b; ∆BOC ~ ∆DOA. ∠BOC = ∠DOА, вертикальні кути; ∠OBC = ∠ODА, внутрішні різносторонні кути; BC OB a = = ; AD OD b a Відповідь: . b 584. Знайди за малюнком відстань 𝐴𝐵, якщо 𝐴𝐶 = 300 м, 𝐷𝐶 = 10 м, 𝐵𝐶 = 360 м, 𝐶𝐹 = 12 м, 𝐷𝐹 = 13 м.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AС = 300 м, DC = 10 м, BC = 360 м, CF = 12 м, F = 13 м; ∆DCF ~ ∆ACB. AC 300 BC 360 = = 30; = = 30; DC 10 CF 12 з подібності трикутників маємо: AB = 30; 𝐴𝐵 = 30 ∙ 𝐷𝐹 = 30 ∙ 13 = 390. DF Відповідь: 390 м. 585. У △ 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 = 10 см, 𝐵𝐶 = 12 см. На стороні 𝐵𝐶 взято точку 𝑀 так, що ∠𝐴𝑀𝐶 = ∠𝐵𝐴𝐶. Знайди 𝑀𝐵 і 𝑀𝐶. Нехай дано ∆АВС, AC = 10 см, BC = 12 см; ∠AMC = ∠BAC. ∆АВС ~ ∆МАС за двома рівними кутами. ∠AMC = ∠BAC за умовою, ∠C — спільний. З їх подібності маємо: A𝐶 BC 10 12 = ; = ; MC AC MC 10 100 1 𝑀𝐶 = = 8 см; 12 3 1 2 𝑀𝐵 = 12– 8 = 3 см, 3 3 1 2 Відповідь: MC = 8 см, MB = 3 см. 3 3 586. У △ 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 18 см, 𝐵𝐶 = 16 см, 𝐴𝐶 = 24 см. На сторонах 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶 взято точки M і N так, що ∠𝑀𝑁𝐵 = ∠𝐵𝐴𝐶 і BN : NC = 3 : 5. Знайди MN.

Нехай дано ∆ABC. AB = 18 см, BC = 16 см; AC = 24 см; ∠MNB = ∠ВАС. BN : NC = 3 : 5. Знайдемо BN і NC. Зk + 5k = 16. 8k = 16. k = 2. BN = 6 см; NC = 10 см. ∆MBN ~ ∆CBA за двома рівними кутами. ∠B — спільний, ∠MNP = ∠ВАС за умовою. Маємо:

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

MN BN MN 6 = ; = ; AC BA 24 18 MN = 8 см. Відповідь: MN = 8 см. 587. У трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐶𝐷. Знайди довжину діагоналі 𝐴𝐶, якщо основи 𝐵𝐶 і 𝐴𝐷 трапеції дорівнюють відповідно 9 см і 16 см.

Як у задачі 576, △ABC ∽ △DCA (∠ABC = ∠ACD, ∠BCA = ∠CAD). Тоді BC : CA = CA : AD, AC² = BC · AD = 9 · 16 = 144, AC = 12 см. Відповідь: 12 см. 588. Бічні сторони трапеції дорівнюють 8 см і 12 см, а більша основа 27 см. Знайди довжину меншої основи, якщо діагональ ділить трапецію на два подібні трикутники.

Нехай ABCD — трапеція. ∠1 = ∠2 (внутрішні різносторонні кути). ∆ABC ~ ∆DCA (за умовою). 3 їх подібності маємо: CD AB 12 8 = ; = ; AD AC 27 AC AC = 18 см. BC AC BC 18 = ; = ; AB CD 8 12 BC = 12 см. Відповідь: 12 см. 589. Діагоналі трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷(𝐴𝐷‖𝐵𝐶) перетинаються в точці 𝑂. Знайди довжину основи 𝐵𝐶 трапеції, якщо 𝐴𝐷 = 24 см, 𝐴𝑂 = 9 см, 𝑂𝐶 = 6 см. Д A Б B Г 6 см 9 см 12 см 16 см 18 см 590. Доведи, що в подібних трикутниках відповідні висоти (бісектриси, медіани) пропорційні відповідним сторонам.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

а) Нехай ∆ABC ~ ∆A1B1C1. 𝐴𝐵 = 𝑘. 𝐴1 𝐵1 BK ⊥ AC; B1K1 ⊥ A1C1. ∆ABK ~ ∆A1B1K1. 𝐵𝐾 𝐴𝐵 Отже = = 𝑘. 𝐵1 𝐾1

𝐴1 𝐵1

У подібних трикутниках відповідні висоти пропорційні відповідним cторонам.

б) BM і B1M1 — меридіани трикутників. AM = MC; A1M1 = M1C1. ∆ABM ~ ∆A1B1M1. 𝐴𝐵 𝐴𝑀 = = 𝑘. 𝐴1 𝐵1 𝐴1 𝑀1 ∠A = ∠A1. З їх подібності маємо: 𝐴𝐵 𝐵𝑀 = = 𝑘. 𝐴1 𝐵1 𝐵1 𝑀1 У подібних трикутниках відповідні медіани пропорційні відповідним сторонам.

в) BP і B1P1 — бісектриси трикутників. ∆ABP ~ ∆A1B1P1 (за двома кутами) 𝐴𝐵 = 𝑘; 𝐴1 𝐵1 ∠A = ∠A1; ∠ABP = ∠A1B1P1. З подібності трикутників маємо: © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

𝐴𝐵 𝐵𝑃 = = 𝑘. 𝐴1 𝐵1 𝐵1 𝑃1 У подібних трикутниках відповідні бісектриси пропорційні відповідним сторонам. 591. Знайди відстані від точки перетину діагоналей до основ трапеції, які дорівнюють 8 см і 12 см, якщо висота трапеції дорівнює 15 см.

Нехай дано трапецію ABCD, BC ∥ AD. BF ⊥ AD, BF — висота трапеції. BF = 15 см; BC = 8 см; AD = 12 см. OK ⊥ BC; OP ⊥ AD. O — точка перетину діагоналей трапеції. ∆BOC ~ ∆DOA (за двома рівними кутами). BC 8 2 =k= = ; AD 12 3 OK : OF = 2 : 3 – OK і OF — висоти даних трикутників. KP = BF = 15. 2х + 3х = 15, 5х = 15, х = 3. OK = 6 cм; OP = 9 см. Відповідь: 6 см і 9 см. 592. У рівнобедрений △ 𝐴𝐵𝐶 з основою 𝐴𝐶 = 10 см і висотою 𝐵𝐾 = 6 см вписано квадрат. Знайди периметр квадрата.

Нехай дано ∆ABC — рівнобедрений AB = BC, AC = 10 см, BK ⊥ AC, BK = 6 см. MNPT — квадрат. ∆AMN ~ ∆АКВ, MN ∥ BK. MK = х; MN = 2х; AK = 5 см; AM = 5 – х. AM AK 5 − x 5 = ; = ; MN BK 2x 6 30 – 6х = 10x; 16х = 30; х = 1,875. MN = NP = PT = MT = 2х = 3,75. Відповідь: Pкв. = 15 см. 593. У △ 𝐴𝐵𝐶 зі стороною 𝐴𝐶 = 27 см і висотою 𝐵𝐾 = 30 см вписано прямокутник. Знайди сторони прямокутника, якщо вони пропорційні числам 5 i 9.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∆FBP ~ ∆ABC; ∠В — спільний кут. AC FP 27 9k = ; = ; BK BM 30 x BM = 10k. BK = 10k + 5k = 15k; 15k = 30; k = 2. FE = 10 см; FP = 18 см. Відповідь: 10 см; і 18 см. 594. Пряма, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції, ділить одну з її основ у відношенні 𝑚 ∶ 𝑛. У якому відношенні вона ділить другу основу?

𝐵𝐾 m AF n = ; = ; K𝐶 n FD m 595. Знайди кути рівнобедреного трикутника, якщо бісектриса кута при основі відтинає від нього трикутник, подібний даному.

Нехай ∆ABC — рівнобедрений AB = BC. AP — бісектриса кута при основі, тоді ∠ВАР = ∠РАС. ∆ABC ~ ∆РАС, отже PA = AC. ∠APC = ∠ACP. Нехай ∠PAC = X, тоді ∠BAC = 2x; ∠ACP = ∠APC = 2x. х + 2х + 2х = 180°; 5х = 180°; х = 36°. Отже ∠A = ∠C = 72°. ∠B = 36°. Відповідь: 72°; 72°; 36°. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

596. Виріж із паперу два подібні трикутники 𝐴𝐵𝐶 і 𝐴1 𝐵1 𝐶1 . Розташуй їх на столі так, щоб прямі 𝐴𝐴1 , 𝐵𝐵1 , 𝐶𝐶1 перетиналися в одній точці. Скількома способами це можна зробити?

Розташуємо трикутники так, щоб їх відповідні сторони були паралельні: AB ∥ A₁B₁, BC ∥ B₁C₁, AC ∥ A₁C₁. Тоді прямі AA₁, BB₁, CC₁ перетнуться в одній точці O (центрі подібності). Це можна зробити двома способами: трикутники «однаково повернуті» (точка O лежить поза трикутниками) або другий трикутник повернуто на 180° (точка O лежить між трикутниками). Саму точку O можна вибрати будь-де, тож положень безліч, але суттєво різних способів — два. 597. Чи подібні два квадрати, якщо їхні периметри різні? А два прямокутники? Квадрати подібні. Прямокутники можуть бути подібними, можуть бути не подібні. 598. Радіус одного кола дорівнює 5 см, а діаметр другого 14 см. Чи подібні ці кола? Якщо так, то знайди коефіцієнт подібності. R1 = 5 см; R2 = 7 см; 𝑅2 7 𝑘= = . 𝑅1 5 599. На малюнку зображено коло із центром у точці 𝑂. Градусна міра кута 𝐴𝐵𝐶 дорівнює 30∘ . Установи відповідність між кутами (1-4) і градусними мірами цих кутів (А-Д). 1. ∠𝐴𝑂𝐶; 2. ∠𝐴𝐵𝐷; 3. ∠𝐶𝐸𝐷; 4. ∠𝐴𝐹𝐶. A. 30∘ ; Б. 150∘ ; B. 90∘ ; Г. 60∘ ; Д. 120∘ .

За малюнком 10.23 BC і AD — діаметри кола. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

1) ∠AOC — центральний, спирається на дугу AC, на яку спирається вписаний ∠ABC = 30°: ∠AOC = 60° — Г. 2) ∠ABD спирається на діаметр AD: ∠ABD = 90° — В. 3) ∪AC = 60°, ∪AB = 180° − 60° = 120°, тому ∪BD = 180° − 120° = 60°, ∪DC = 120°. ∠CED спирається на дугу CAD = 360° − 120° = 240°: ∠CED = 120° — Д. 4) ∠AFC спирається на дугу ABC = 360° − 60° = 300°: ∠AFC = 150° — Б. Відповідь: 1 — Г, 2 — В, 3 — Д, 4 — Б. §11. Застосування подібності трикутників 𝐴𝐵 3 600. 𝐴𝐿 - бісектриса △ 𝐴𝐵𝐶 і = . Знайди: 𝐴𝐶 5 а) відношення 𝐵𝐿: 𝐿𝐶; б) відношення 𝐵𝐿: 𝐵𝐶; в) 𝐵𝐿, якщо 𝐶𝐿 = 15 см; г) 𝐶𝐿, якщо 𝐵𝐿 = 12 см.

AL – бісектриса ∠А ∆ABC, AB = 0,6AC. a) BL : LC = 3 : 5; б) BL : BC = 3 : 8; AB BL 3 BL в) = ; = ; AC LC 5 15 5BL = 45; BL = 9 см; 3 12 5∙12 г) = ; 𝑥 = = 20; CL = 20 см. 5 x 3 601. У якому відношенні діляться висоти рівностороннього трикутника точкою перетину?

AO : OH = ВО : ОK = 2 : 1. 602. Чи можуть бісектриси рівностороннього трикутника точкою перетину ділитися на частини 2 см і 8 см, 5 см і 10 см? Ні, не можуть. 8 : 2 = 4 : 1; 10 : 5 = 1 : 2. 603. Хорди 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 перетинаються в точці 𝑃. Знайди значення 𝑥.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Добутки відрізків хорд, що перетинаються, рівні: AP · PB = CP · PD. а) x · 5 = 3 · 10, x = 6. б) x · x = 4 · 9, x² = 36, x = 6. Відповідь: а) 6; б) 6. 604. Через точку перетину медіан трикутника проведено пряму, паралельну одній зі сторін. У якому відношенні ця пряма ділить інші сторони трикутника?

МN ∥ AC. ∆MBN ~ ∆ABC. FK : FD = 1 : 2. AM : MB = 1 : 2. CN : NB = 1 : 2. 605. Порівняй відрізки, на які бісектриса 𝐵𝐾 △ 𝐴𝐵𝐶 ділить сторону 𝐴𝐶, якщо 𝐴𝐵 > 𝐵𝐶. Зроби малюнок до задачі. A. 𝐴𝐾 < 𝐾𝐶; Б. 𝐴𝐾 > 𝐾𝐶;

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

B. 𝐴𝐾 = 𝐾𝐶; Γ. не можна встановити. AB > BC, тоді AM > MC.

606. 𝐴𝐾 - бісектриса △ 𝐴𝐵𝐶. Знайди 𝐾𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 16 см, 𝐴𝐶 = 20 см, 𝐵𝐾 = 8 см.

Бісектриса ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам: BK : KC = AB : AC. 8 : KC = 16 : 20, KC = 8 · 20 : 16 = 10 (см). Відповідь: 10 см. 607. 𝐴𝑀 - bisector of △ 𝐴𝐵𝐶. Find 𝐵𝑀 if 𝐴𝐵 = 15 in, 𝐴𝐶 = 18 in, 𝑀𝐶 = 12in.

BM : MC = AB : AC (властивість бісектриси), BM = 12 · 15 : 18 = 10 (in). Відповідь: 10 in. 608. 𝐶𝑃 бісектриса △ 𝐴𝐵𝐶. Знайди невідомі сторони трикутника, якщо 𝐴𝑃 = 12 см, 𝐵𝑃 = 10 см і сторона 𝐴𝐶 на 3 см більша за сторону 𝐵𝐶.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

CP — бісектриса, тому AP : PB = AC : BC = 12 : 10 = 6 : 5. Нехай BC = x, AC = x + 3: (x + 3) : x = 6 : 5, 5x + 15 = 6x, x = 15. BC = 15 см, AC = 18 см, AB = 12 + 10 = 22 (см). Відповідь: AB = 22 см, BC = 15 см, AC = 18 см. 609. 𝐵𝐸 бісектриса △ 𝐴𝐵𝐶. Знайди периметр трикутника, якщо 𝐴𝐸 = 12 см, 𝐶𝐸 = 20 см і різниця сторін 𝐵𝐶 і 𝐴𝐵 дорівнює 10 см.

BE — бісектриса, тому AB : BC = AE : EC = 12 : 20 = 3 : 5. Нехай AB = 3x, BC = 5x: 5x − 3x = 10, x = 5. AB = 15 см, BC = 25 см, AC = 12 + 20 = 32 (см). P = 15 + 25 + 32 = 72 (см). Відповідь: 72 см. 610. 𝐴𝐿 - бісектриса △ 𝐴𝐵𝐶. Знайдіть: a) 𝐵𝐿 i 𝐿𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 8 см, 𝐵𝐶 = 10 см, 𝐴𝐶 = 12 см; б) 𝐴𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 16 см і 𝐵𝐿 ∶ 𝐿𝐶 = 4 ∶ 5; в) 𝑃△𝐴𝐵𝐶 , якщо 𝐵𝐿 = 3 см, 𝐶𝐿 = 5 см, 𝐴𝐶 − 𝐴𝐵 = 4 см; г) 𝐵𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 15 см, 𝐴𝐶 = 12 см і 𝐵𝐿 на 2 см більша за 𝐶𝐿.

а) АВ = 8 cм; BC = 10 cм; AC = 12 см, за властивістю бісектриси кута трикутника: AB BL 8 x = ; = ; AC LC 12 10 − x 80 – 8х = 12х;

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

20х = 80; x = 4. BL = 4 cм; LC = 6 см. б) AB = 16 cм; BL : LC = 4 : 5. 16 4 = ; AC 5 4AC = 80; АС = 20; AC = 20 см. в) BL = 3 см; CL = 5 см; AC – AB = 4 см; АВ = х; AC = х + 4, x 3 = ; x+4 5 5х = 3х + 12; 2x = 12; х = 6; AB = 6 см; AC = 10 см; Р∆ABC = 6 + 10 + 8 = 24 (см). г) AB = 15 см; AC = 12 см, BL – CL = 2 см; CL = x; BL = х + 2; 15 x+2 = ; 12 x 15х = 12х + 24; Зх = 24; х = 8; CL = 8 см; BL = 10 см; BC = 18 см. 611. 𝐶𝐾 - бісектриса △ 𝐴𝐵𝐶. Знайди: a) 𝐴𝐾 і 𝐾𝐵, якщо 𝐴𝐶 = 8 см, 𝐵𝐶 = 20 см, 𝐴𝐵 = 21 см; б) 𝐵𝐶, якщо 𝐴𝐶 = 27 см і 𝐴𝐾 ∶ 𝐾𝐵 = 9 ∶ 4; в) 𝐴𝐵, якщо 𝐵𝐶 = 28 см, 𝐴𝐶 = 20 см і 𝐴𝐾 на 6 см менша від 𝐵𝐾.

CK — бісектриса, тому AK : KB = AC : BC. а) AK : KB = 8 : 20 = 2 : 5; AB = 7 частин = 21 см, частина 3 см: AK = 6 см, KB = 15 см. б) BC = AC · KB : AK = 27 · 4 : 9 = 12 (см). в) AK : BK = 20 : 28 = 5 : 7; нехай AK = 5x, BK = 7x: 7x − 5x = 6, x = 3. AB = 12x = 36 (см). Відповідь: а) 6 см і 15 см; б) 12 см; в) 36 см. 612. Чи є 𝐵𝐾 бісектрисою △ 𝐴𝐵𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 15 см, 𝐵𝐶 = 20 см, 𝐴𝐾 = 12 см, 𝐶𝐾 = 16 см?

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

= ; = ; = ; BC KC 20 16 4 4 ВK – є бісектрисою ∆ABC. 613. Бісектриса одного кута прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 ділить діагональ на відрізки, пропорційні числам 5 і 9. Знайди сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 140 см. Склади план розв'язування задачі та розв'яжи її.

BF : FD = 5 : 9. ∆ABD. AF — бісектриса; AB BF 5 = = ; A𝐷 FD 9 AB = 5х; AD = 9x; (5х + 9х) ∙ 2 = 140; 28х = 140; х = 5; AB = 25 см; AD = 45 см. 614. Бісектриса одного кута прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 ділить діагональ на відрізки, пропорційні числам 3 і 8. Знайди периметр прямокутника, якщо його менша сторона дорівнює 12 см . Склади план розв'язування задачі та розв'яжи її.

Нехай AL — бісектриса кута A прямокутника ABCD, L ∈ BD. У △ABD AL — бісектриса, тому BL : LD = AB : AD. Менша сторона AB = 12 см прилягає до меншого відрізка: 12 : AD = 3 : 8, AD = 32 см. P = 2 · (12 + 32) = 88 (см). Відповідь: 88 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

615. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 24 см, а бічна сторона 20 см. Знайди, у якому відношенні бісектриса кута при основі ділить висоту, проведену до основи. Знайди довжини цих відрізків, якщо висота дорівнює 16 см.

Нехай дано ∆ABC, AB = BC, AC = 24 см, AB = BC = 20 см. За властивостями бісектриси кута: AB BM 20 x = ; = ; AD MF 12 16 − x 320 – 20x = 12x; 320 = 32х, х = 10; BM = 10 см; MD = 6 см. Відповідь: BM = 10 см; MD = 6 см. 616. У рівнобедреному △ 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 10 см, 𝐴𝐶 = 12 см. Знайди радіус вписаного кола, якщо висота 𝐵𝐻 дорівнює 8 см.

AB = BC = 10 см, AC = 12 см, BH = 8 см; BH ⊥ AC. AO — бісектриса. O — центр вписаного в трикутник кола. OH — радіус вписаного кола. За властивістю бісектриси маємо: AB BO 10 x = ; = . AH OH 6 8− x 80 – 10х = 6х; 16х = 80; х = 5; OB = 5 см; OH = 3 см. Відповідь: 3 см. 617. У рівнобедреному трикутнику центр вписаного кола ділить висоту, проведену до основи, у відношенні 5 ∶ 12, а бічна сторона дорівнює 36 см. Знайди периметр трикутника. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

OH : ОВ = 5 : 12. AB = 36 см; AB OB = , за властивістю бісектриси. AH OH 36 12 36 ∙ 5 = ; AH = = 15 см; AH 5 12 AC = 30 см; P∆ABC = 36 + 36 + 30 = 102 (см). Відповідь: 102 см. 618. Висота рівностороннього трикутника дорівнює 12 см. Знайди радіуси вписаного й описаного кіл.

BD ⊥ AC, AK ⊥ BC. O — центр вписаного та описаного кіл. AO — радіус описаного кола. OD — радіус вписаного кола. OD : BO = 1 : 2 (властивость медіан трикутника). х + 2х = 12, 3х = 12, х = 4. OD = 4 см; OB = 8 см. Відповідь: 4 см; 8 см. 619. Медіана 𝐴𝑃 трикутника 𝐴𝐵𝐶 дорівнює 21 см. Знайди довжини відрізків 𝐴𝑀 і 𝑀𝑃, де 𝑀 - точка перетину медіан трикутника 𝐴𝐵𝐶.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Медіани перетинаються в точці M, яка ділить кожну з них у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини. AM = 21 : 3 · 2 = 14 (см), MP = 21 : 3 = 7 (см). Відповідь: AM = 14 см, MP = 7 см. 620. Медіани трикутника дорівнюють 12 см, 15 см і 18 см . Знайди довжини частин, на які вони діляться точкою їх перетину. Медіани трикутника точкою перетину діляться у відношенні 2 : 1. 2 12 ∙ = 8 (см). 8 см і 4 см; 3 10 см і 5 см; 12 см і 6 см. 621. Пряма, яка проходить через точку перетину медіан трикутника 𝐴𝐵𝐶, перетинаЄ сторони 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶 у точках 𝐾 і 𝑃 відповідно. Знайди 𝐾𝑃, якщо 𝐴𝐶 = 15 см і 𝐾𝑃‖𝐴𝐶.

Нехай BN — медіана, O — точка перетину медіан, BO : BN = 2 : 3. KP ∥ AC, тому △KBP ∽ △ABC з коефіцієнтом BO : BN = 2/3. KP = 15 · 2/3 = 10 (см). Відповідь: 10 см. 622. Пряма, яка проходить через точку перетину медіан трикутника 𝐴𝐵𝐶, перетинає сторони 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶 у точках 𝑀 і 𝐸 відповідно. Знайди 𝐵𝐶, якщо 𝑀𝐸 = 8 см і 𝑀𝐸‖𝐵𝐶.

Нехай AN — медіана, O — точка перетину медіан, AO : AN = 2 : 3. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ME ∥ BC, тому △AME ∽ △ABC з коефіцієнтом 2/3. BC = ME : 2/3 = 8 · 3/2 = 12 (см). Відповідь: 12 см. 623. У трикутнику зі сторонами 12 см, 15 см і 21 см через точку перетину медіан проведено пряму, паралельну одній зі сторін. Обчисли сторони утвореного трикутника.

Нехай дано ∆ABC, AB = 12 см, BC = 15 см, AC = 21 см. O — точка перетину медіан трикутника. MN ∥ AC. ∆MBN ~ ∆ABC. 2 k = . OK : OB = 1 : 2 (властивість медіан). 3

MB = 12 ∙ = 8 см, 3 2

BN = 15 ∙ = 10 см, 3 2

MN = 21 ∙ = 14 см. 3 Відповідь: 8 см; 10 см; 14 см. 624. Хорди 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 перетинаються в точці 𝑀. Знайди 𝐶𝑀, якщо 𝐴𝑀 = 8 см, 𝐵𝑀 = 3 см, 𝐷𝑀 = 6 см.

AM = 8 см; BM = 3 см; DM = 6 см. ∆CMA ~ ∆DMB за двома рівними кутами. ∠CMA = ∠DMB, вертикальні кути. ∠ACM = ∠MBD (вписані кути вимірюються однією дугою). З подібності трикутників маємо: MB CM 3 x = ; CM = x; = , MD AM 6 8 x = 4. CM = 4 см. Відповідь: CM = 4 см. 625. Хорди 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 перетинаються в точці 𝐹 так, що 𝐹𝐵 − 𝐹𝐶 = 5 см, 𝐴𝐹 = 10 см, 𝐹𝐷 = 12 см. Знайдіть довжини хорд. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∆ACF ~ ∆DBF (див. попередню задачу). FB – FC = 5; FC = x; FB = x + 5. AF FD 10 12 = ; = , CF FB x x+5 10х + 50 = 12х, 2х = 50, х = 25, CF = 25 см; FB = 30 см. CD = CF + FD = 25 + 12 = 37 (см). AB = AF + FB = 10 + 30 = 40 (см). 626. Хорди 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 перетинаються в точці 𝑀, яка ділить хорду 𝐴𝐵 на відрізки, пропорційні числам 1 і 3. Знайди їх довжини, якщо 𝐶𝑀 = 9 см, 𝐷𝑀 = 12 см.

AM : MB = 1 : 3. CM = 9 см; DM = 12 см. ∆CMA ~ ∆BMD. Нехай AM = х, MB = 3х. CM MB = , AM MD CM ∙ MD = AM ∙ MB, 9 ∙ 12 = х ∙ 3х. Зх2 = 9 ∙ 12, x2 = 36, х = 6. AM = 6 см, MB = 18 см. 627. Хорди 𝑀𝑁 і 𝐸𝐹 перетинаються в точці 𝐾, яка ділить хорду 𝑀𝑁 навпіл. Знайди 𝑀𝑁, якщо 𝐾𝐸 = 4 см, 𝐾𝐹 = 16 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай MK = KN = x, ∆AMEK ~ ∆FNK. KE = 4 см, KF = 16 см. EK KN = , MK KF EK ∙ KF = MK ∙ KN. 4 ∙ 16 = x2, x2 = 64, х = 8. MN = 2х = 16 см. Відповідь: 16 см. 628. Із точки до кола проведено січну і дотичну. Визнач довжину січної, якщо дотична дорівнює 12 см, а зовнішня частина січної 8 см.

Нехай січна AB, AM = 8 см, AK = 12 см. ∆AMK ~ ∆AKB. (∠A — спільний, ∠MKA = ∠ABK, рівні вписані кути). З їх подібності маємо: AM AK 8 12 = , = , МВ = х. AK AB 12 x+8 8х + 64 = 144, 8х = 80, x = 10. AB = AM + MB = 8 + 10 = 18 (см). Відповідь: 18 см. 629. Із точки до кола проведено січну і дотичну. Знайди довжину дотичної, якщо внутрішня частина січної дорівнює 9 см, а зовнішня частина на 7 см більша.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай AK — дотична, AB — січна, MB = 9 см, AM = 16 см. AM AK 16 AK = , = , AK AB AK 25 AK2 = 16 ∙ 25, AK = 20 (см). Відповідь: 20 см. 630. Із точки до кола проведено січну і дотичну. Відношення внутрішньої і зовнішньої частин січної дорівнює 8 ∶ 1, а довжина дотичної 12 см. Знайди довжину січної.

Нехай AM : MB = 1 : 8. AK = 12 см. AM AK x 12 = , = , AK AB 12 9x 9x2 = 144, x2 = 16, х = 4. AM = 4 см; MB = 32 см; AB = 36 см. Відповідь: 36 см. 631. Із точки 𝑃 до кола проведено дві січні, які перетинають коло у точках 𝐴, 𝐵 та 𝐶, 𝐷. Знайди 𝑃𝐷 і 𝐶𝐷, якщо 𝑃𝐴 = 4 см, 𝑃𝐵 = 10 см, 𝑃𝐶 = 5 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Добутки відрізків січних, проведених з однієї точки: PA · PB = PC · PD. 4 · 10 = 5 · PD, PD = 8 см. CD = PD − PC = 8 − 5 = 3 (см). Відповідь: PD = 8 см, CD = 3 см. 632. Бісектриси кутів 𝐵 і 𝐶 прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 перетинаються в точці 𝐾, 𝐾 ∈ 𝐴𝐷. Знайди, на які відрізки бісектриса кута 𝐵 ділить діагональ 𝐴𝐶, якщо 𝐴𝐶 = 18 см.

ABCD — прямокутник, BK і CK — бісектриси. K ∈ AD. AC — діагональ. AC = 18 см, знайти: AM і MC. ∆ABK, ∠A = 90°, ∠B = 45°, ∠K = 45°, АВ = АК = а; ∆KCD, CD = a, ∠K = ∠C = 45°, KD = а, тому BC = 2а, BC = AD = 2а. ∆ABC за властивістю бісектриси маємо AM AB a 1 = = = , MC BC 2a 2 АМ = х, MC = 2х; AC = Зх; 18 = 3х; х = 6 см. Відповідь: 6 см і 12 см. 633. Користуючись умовою попередньої задачі, доведи, що бісектриси кутів 𝐵 і 𝐷 ділять діагональ 𝐴𝐶 на три рівні відрізки.

Доведемо, що AM = MK = KC. У попередній задачі було доведено, © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

що AB = а; BC = 2а. AB : ВС = 1 : 2, тому АМ : МС = 1 : 2. 1 AM = AC. 3

Аналогічно KC = АС, тому AM = MK = KC, 3 що й треба довести. 634. У прямокутний трикутник 𝐴𝐵𝐶(∠𝐶 = 90∘ ) вписано квадрат 𝐶𝑀𝑁𝐾 так, що точки 𝑀 і 𝐾 лежать на катетах, а точка 𝑁 - на гіпотенузі. Знайди 𝐴𝑁 і 𝐵𝑁, якщо 𝐴𝐶 = 21 см, 𝐵𝐶 = 28 см, 𝐴𝐵 = 35 см.

Сторона квадрата CMNK, вписаного в прямокутний трикутник зі спільним прямим кутом: нехай MN = x (M ∈ AC). MN ∥ CB, тому △AMN ∽ △ACB: x : 28 = (21 − x) : 21, 21x = 588 − 28x, x = 12. AM = 21 − 12 = 9 (см). AN : AB = AM : AC = 9 : 21 = 3 : 7, AN = 35 · 3/7 = 15 (см). BN = 35 − 15 = 20 (см). Відповідь: AN = 15 см, BN = 20 см. 635. У △ 𝐴𝐵𝐶 вписано ромб 𝐴𝑀𝑁𝐾 так, що ∠𝐴 в них спільний і 𝑁 ∈ 𝐵𝐶. Точка 𝑁 ділить сторону 𝐵𝐶 на відрізки, різниця яких дорівнює 4 см. Знайди 𝐵𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 10 см, 𝐴𝐶 = 15 см.

Нехай у ∆ABC вписано ромб AMNK N ∈ BC. AN — діагональ ромба, яка є бісектрисою кута А. За властивістю бісектриси кута маємо: AB BN 10 x = ; = ; AC BC 15 x+4

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

10х + 40 = 15х; 5х = 40; х = 8. Отже BN = 8 см; NC = 12 см. Відповідь: BC = BN + NC = 8 + 12 = 20 (см). 636. Відкрита задача. У △ 𝐴𝐵𝐶 зі сторонами 10 см і 12 см вписано чотирикутник 𝐴𝑀𝑁𝐾 так, що кут 𝐴 у них спільний і 𝑀 ∈ 𝐴𝐵, 𝑁 ∈ 𝐵𝐶, 𝐾 ∈ 𝐴𝐶, 𝑀𝑁‖𝐴𝐶, 𝑁𝐾‖𝐴𝐵. Знайдіть периметр чотирикутника 𝑀𝑁𝑃𝐾, якщо він є ..., а про його сторони відомо таке: ... .

AMNK — паралелограм (MN ∥ AK, NK ∥ AM). Нехай AB = 10 см, AC = 12 см (у назві чотирикутника в умові, ймовірно, друкарська помилка: має бути AMNK). Варіант 1. AMNK — ромб. Нехай його сторона x. △MBN ∽ △ABC: MN : AC = BM : AB, x : 12 = (10 − x) : 10, 10x = 120 − 12x, x = 60/11. P = 4 · 60/11 = 240/11 = 21 9/11 (см). Варіант 2. AMNK — паралелограм, у якого AM = 4 см. Тоді BM = 6 см, MN = 12 · 6/10 = 7,2 (см), P = 2 · (4 + 7,2) = 22,4 (см). 637. У тупокутний трикутник 𝐴𝐵𝐶 (кут 𝐵 тупий) вписано ромб 𝑀𝐵𝐾𝑃 так, що кут 𝐵 спільний, а точка 𝑃 ділить сторону 𝐴𝐶 на відрізки 𝐴𝑃 = 10 см і 𝑃𝐶 = 16 см. Установіть відповідність між сторонами трикутника (1-3) та їх довжинами (А-Д), якщо периметр трикутника дорівнює 65 см. 1. AB; 2. BC; 3. AC. A. 10 см; Б. 15 см; B. 16 см; Г. 24 см; Д. 26 см. MBKP — ромб, тому його діагональ BP — бісектриса кута B, і AB : BC = AP : PC = 10 : 16 = 5 : 8. AC = 10 + 16 = 26 (см), AB + BC = 65 − 26 = 39 (см). AB = 39 : 13 · 5 = 15 (см), BC = 24 см. Відповідь: 1 — Б, 2 — Г, 3 — Д. 638. У трикутник зі сторонами 4 см, 16 см і 18 см вписано ромб, який має з трикутником спільний найбільший кут. Знайди відрізки, на які вершина ромба ділить найбільшу сторону.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай дано ∆ABC, AB = 4 см, BC = 18 см, AC = 16 см. AMNP — ромб, AN — бісектриса кута А, яка ділить його навпіл. За властивістю бісектриси маємо: AB BN 4 x = ; = ; AC NC 16 18 − x 72 – 4x = 16x, 20x = 72, x = 3,6. Відповідь: BN = 3,6 см; NC = 14,4 см. 639. 𝐸 - середина дуги 𝐵𝐶 кола, описаного навколо △ 𝐴𝐵𝐶 зі сторонами 𝐴𝐵 = 15 см, 𝐵𝐶 = 18 см, 𝐴𝐶 = 12 см. Знайди відрізки, на які пряма 𝐴𝐸 ділить 𝐵𝐶.

Нехай дано ∆ABC, AB = 15 см, BC = 18 см, AC = 12 см. E — середина дуги BC. ∠BAE = ∠CAE— вписані кути рівні. AE — бісектриса кута А. За властивістю бісектриси кута: AB BM 15 18 − x = ; = ; AC MC 12 x 15х = 216 – 12х, 27х = 216, х = 8. MC = 8 см; BM = 10 см. Відповідь: BM = 10 см, MC = 8 см. 640. У трикутник зі сторонами 10 см, 14 см і 18 см вписано півколо, яке дотикаеться до двох сторін трикутника і центр якого лежить на більшій стороні. Знайди, на які частини центр кола ділить більшу сторону.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай дано ∆ABC. OK ⊥ AB, OF ⊥ BC. OK і OF — радіуси півкола. OK = OF. ∆KBO = ∆FBO (OB — спільна сторона) за двома катетами, тому ∠ABO = ∠CBO, BO — бісектриса кута В. За властивістю бісектриси маємо: AB AO 10 14 = ; = , BC OC x 18 − x 180 – 10x = 14x, x = 7,5. AO = 7,5 cм; OC = 10,5 см. Відповідь: AO = 7,5 см; OC = 10,5 см. 641. У рівнобедреному трикутнику, периметр якого 72 см, радіус вписаного кола 5 становить висоти, проведеної до основи. Знайди сторони трикутника. 18

Нехай дано ∆АВС, AB = BC. Р∆ABC = 72 см. BK — бісектриса, AF — бісектриса. 5 OK — радіус вписаного кола. OK = ВК. 18 Нехай OK = 5x, OB = 13x. За властивістю бісектриси кута трикутника маємо: AB BO 15 = = , AK OK 5 тоді AB = 13x, AK = 5x. Складаємо рівняння: 13x + 10x + 13x = 72, 36x = 72, x = 2. AB = 26 см; BC = 26 см; AC = 20 см. Відповідь: AB = 26 см; BC = 26 см; AC = 20 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

642. Через точку перетину медіан трикутника проведено пряму, паралельну одній зі сторін. Знайди довжину відрізка цієї прямої, що міститься між сторонами трикутника, якщо середня лінія трикутника, паралельна їй, дорівнює 4 см.

Нехай дано ∆ABC, O — точка перетину його медіан. PK ∥ AC, NM — середня лінія трикутника ABC. MN ∥ AC. AC = 2NM = 8 см, ∆PBK ~ ∆ABC. OB BN OB 𝑃𝐾 2 𝑃𝐾 = , = ; = , PK AC BN AC 3 8 16 1 ЗРК = 16, PK = , PK = 5 см. 1

Відповідь: 5 см. 3 643. Знайди довжини медіан трикутника, якщо відстані від точки їх перетину до вершин трикутника дорівнюють 26 см, 14 см і 18 см.

Нехай дано ∆ABC, CM, AN, BP — його медіани. O — точка їх перетину. OB = 26 см, OA = 14 см, OC = 18 см. За властивістю медіан трикутника: ОР : ОВ = 1 : 2, ON : AO = 1 : 2, OM : OC = 1 : 2, AN = 21 см, BP = 39 см, CM = 27 см. Відповідь: 21 см, 39 см, 27 см. 644. Знайди довжини висот трикутника, якщо відстані від точки перетину медіан трикутника до його сторін дорівнюють 5 см, 7 см і 8 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

M — точка перетину медіан, BK — медіана, тоді BK : MK = 3 : 1. Нехай MN ⊥ AC, BS ⊥ AD, тоді AS : MN = 3 : 1. Отже, висоти втричі більші від відстаней від точки перетину медіан до його сторін. Отже, висоти дорівнюють 5 ∙ 3 = 15 см, 7 ∙ 3 = 21 см, 8 ∙ 3 = 24 см. Відповідь: 15 см, 21 см, 24 см. 645. Знайди довжини хорд 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷, які перетинаються в точці 𝐾 так, що 𝐴𝐾 = 18 см, 𝐶𝐾 = 20 см, 𝐾𝐵 + 𝐾𝐷 = 19 см.

Нехай хорди AB і CD перетинаються в точці К. AK = 18 см, CK = 20 см, KB + KD = 19. ∆САК ~ ∆DKB (за двома кутами). ∠CKA = ∠DKB — вертикальні кути, ∠ABD = ∠ACB — рівні вписані кути. З їх подібності маємо: CK BK 20 𝑥 = , = ; AK KD 18 19 − x 18x = 380 – 20x, x = 10. Отже, BK = 10 см, KD = 9 см. CD = CK + KD = 20 + 9 = 29 см, АК + ВК = 18 + 10 = 28 см. Відповідь: 29 см, 28 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

646. Точка 𝑃 розташована всередині кола радіуса 11 см, віддалена від центра на 5 см і ділить хорду 𝐴𝐵 у відношенні 2 ∶ 3. Знайди довжину хорди 𝐴𝐵.

Нехай точка P ∈ AB, AP : PB = 3 : 2. OM = ON = 11 см — радіуси кола. OP = 5 см. NP = 11 – 5 = 6 (см). РМ = 11 + 5 = 16 (см). За властивістю хорд маємо: AP ∙ PB = NP ∙ PM. 3х ∙ 2х = 6 ∙ 16, x2 = 16, х = 4. AB = 5х = 20 см. Відповідь: 20 см. 647. Знайди довжини відрізків, позначених на малюнку буквою 𝑥.

Квадрат відрізка дотичної дорівнює добутку відрізків січної: (2x)² = x(x + 6). 4x² = x² + 6x, 3x² = 6x, x = 2. Відповідь: x = 2 (відрізки 2 і 4). 648. За даними малюнка знайди 𝑥.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Для двох січних, проведених з точки P: x(x + 14) = 6 · (6 + x + 2). x² + 14x = 6x + 48, x² + 8x − 48 = 0, x = 4 (другий корінь −12 не підходить). Відповідь: 4. 649. Бісектриси кутів при основі рівнобедреного трикутника перетинають бічні сторони в точках 𝑃 і 𝐾. Знайди 𝑃𝐾, якщо довжина бічної сторони дорівнює 𝑚, а довжина основи 𝑛.

Нехай дано рівнобедрений ∆ABC. AB = BC = m, AC = n. AP і CK — бісектриси кутів при основі рівнобедреного трикутника. ∆ABC, за властивістю бісектриси кута трикутника маємо: AB BP = , AC PC BP = x, PC = m – х, m x = , n m– х 𝑚2 m2 – хm = хn, х = . m+ n ∆BKP ~ ∆BAC (дві сторони пропорційні, а кут В між ними спільний). KP AC = , BP BC

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

KP n = , 𝑚2 m m+ n 𝑚2 m𝑛 𝑃𝐾 = = . (m + n) ∙ 𝑚 m+n m𝑛 Відповідь: . m+n 650. Бісектриса зовнішнього кута трикутника 𝐴𝐵𝐶 при вершині 𝐵 перетинає пряму 𝐴𝐶 у точці 𝑃. Доведи, що 𝐴𝑃 ∶ 𝐴𝐵 = 𝑃𝐶 ∶ 𝐵𝐶.

Проведемо CK ∥ BP (K ∈ AB). Нехай D — точка на продовженні AB за точку B. ∠BKC = ∠DBP (відповідні кути при CK ∥ BP), ∠BCK = ∠CBP (внутрішні різносторонні). BP — бісектриса зовнішнього кута: ∠DBP = ∠CBP, тому ∠BKC = ∠BCK і BK = BC. У △APB CK ∥ PB, тому AP : PC = AB : BK = AB : BC, звідки AP : AB = PC : BC, що й треба було довести. 651. Відстань від центроїда трикутника до довільної прямої, яка не перетинає трикутник, дорівнює середньому арифметичному відстаней від усіх його вершин до цієї прямої. Доведи це, користуючись малюнком.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай M — середина BC, D — центроїд (точка перетину медіан), AA₁ = a, BB₁ = b, CC₁ = c — відстані від вершин до прямої e, DD₁ = m, MM₁ — відповідні перпендикуляри. MM₁ — середня лінія трапеції BB₁C₁C: MM₁ = (b + c) : 2. Точка D лежить на медіані AM і AD : DM = 2 : 1. Через A проведемо пряму, паралельну e; перпендикуляри DD₁ і MM₁ відтинають на ній і на AM пропорційні відрізки, тому (m − a) = 2/3 · (MM₁ − a). m = a + 2/3 · ((b + c)/2 − a) = a/3 + (b + c)/3 = (a + b + c) : 3, що й треба було довести. 652. Виріж із цупкого паперу гострокутний，прямокутний і тупокутний трикутники. У кожному з них проведи медіани та познач їх точки перетину. Переконайся на практиці, що для кожного з цих трикутників точка перетину медіан буде центром мас.

Вирізаємо три трикутники (гострокутний, прямокутний, тупокутний), у кожному з’єднуємо вершини з серединами протилежних сторін. Медіани кожного трикутника перетинаються в одній точці. Якщо поставити трикутник цією точкою на вістря олівця, він тримається в рівновазі (мал. 11.18) — отже, точка перетину медіан є центром мас трикутника. Для тупокутного трикутника вона так само лежить усередині трикутника. 653. Кути △ 𝐴𝐵𝐶 пропорційні числам 3, 5 і 10. Один із кутів △ 𝑀𝑁𝐾 на 20∘ більший за другий і на 50∘ менший від третього. Чи подібні ці трикутники?

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∠A : ∠B : ∠C = 3 : 5 : 10. 3х + 5х + 10х = 180°, 18x = 180°, x = 10°. Кути ∆ABC: ∠A = 30°, ∠B = 50°, ∠C = 100°. Кути ∆MNK : ∠M = x, ∠N = x – 20°, ∠K = x + 50°. х + х – 20° + х + 50° = 180°, х = 50°. ∠M = 50°, ∠N = 30°, ∠K = 100°. Ці трикутники подібні тому, що у них кути рівні. 654. Діагоналі трапеції точкою перетину діляться у відношенні 3 ∶ 5. Як відносяться основи трапеції?

△BOC ∽ △DOA (вертикальні кути, внутрішні різносторонні кути при BC ∥ AD), тому BC : AD = OC : OA = 3 : 5. Відповідь: 3 : 5. 655. На малюнку зображено лінійку з поперечним масштабом, якою можна виміряти відстані з точністю до 0,1 мм. Знайди відстані 𝐴𝐵, 𝐶𝐷, 𝐾𝑃. Відповідь поясни．

Ціна поділки великої шкали — 1 см, ліва частина розділена похилими лініями на 10 частин (по 1 мм), а 10 горизонтальних рядів дають ще по 0,1 мм: на n-му ряду похила лінія зсунута на n · 0,1 мм. AB: від вертикалі 0 до B — 1 см; A лежить на 2-й похилій у 8-му ряду: 2 мм + 0,8 мм. AB = 12,8 мм = 1,28 см. CD: до D — 2 см; C — на 3-й похилій у 7-му ряду: 3,7 мм. CD = 23,7 мм = 2,37 см. KP: до P — 3 см; K — на 5-й похилій у 2-му ряду: 5,2 мм. KP = 35,2 мм = 3,52 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відповідь: AB = 1,28 см, CD = 2,37 см, KP = 3,52 см. §12. Подібність прямокутних трикутників 656. Назви усі висоти прямокутного трикутника 𝐴𝐵𝐶. Яка з них найменша? Чому?

Висоти ∆ABC : AC, BC, CH. CH — найменша висота. 657. Назви проєкцію катета 𝐴𝐶 на гіпотенузу 𝐴𝐵, на пряму 𝐶𝐻, на пряму 𝐵𝐶.

Проекція катета AC на гіпотенузу AB ∈ AH. На пряму CH ∈ CH, на пряму BC ∈ точка С. 658. Яка з рівностей хибна? A. 𝐴𝐶 2 = 𝐴𝐵 ⋅ 𝐴𝐻; Б. 𝐶𝐻 = 𝐴𝐻 ⋅ 𝐵𝐻; B. 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵 ⋅ 𝐻𝐵; Г. 𝐶𝐻2 = 𝐴𝐻 ⋅ 𝐵𝐻.

У прямокутному △ABC (∠C = 90°) CH² = AH · BH, тому рівність CH = AH · BH хибна. Відповідь: Б. 659. Знайди 𝐶𝐻, якщо 𝐴𝐻 = 2 см, 𝐵𝐻 = 8 см． А. 10 см; Б. 6 см;

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

B. 16 см; Г. 4 см.

CH² = AH · BH = 2 · 8 = 16, CH = 4 см. Відповідь: Г. 4 см. 660. Знайди 𝐴𝐶, якщо 𝐴𝐻 = 4 см, 𝐵𝐻 = 12 см． A. 4√3 см; Б. 8 см; B. 64 см; Г. 2√5.

AB = 4 + 12 = 16 (см). AC² = AB · AH = 16 · 4 = 64, AC = 8 см. Відповідь: Б. 8 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

661. Чи подібні трикутники 𝐴𝐵𝐶 і 𝐶𝐵𝐻? За якою ознакою?

Так. У △ABC і △CBH: ∠B — спільний, ∠ACB = ∠CHB = 90°. Отже, △ABC ∽ △CBH за двома кутами. 662. Чому подібні трикутники 𝐴𝐶𝐻 і 𝐶𝐵𝐻?

∆АСH і ∆СВH — подібні за двома рівними кутами. 663. Чи те саме означають вислови: «висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи»; «висота прямокутного трикутника，проведена з вершини його прямого кута»; «найменша висота прямокутного трикутника»? Ці вислови однакові. 664. Запиши теореми про середні пропорційні відрізки для трикутника 𝑀𝑃𝐾.

У прямокутному △MPK (∠K = 90°) KO — висота, проведена до гіпотенузи MP: KO² = MO · OP (висота — середнє пропорційне проєкцій катетів); MK² = MP · MO, KP² = MP · OP (катет — середнє пропорційне гіпотенузи і своєї проєкції). 665. Запиши теореми про середні пропорційні відрізки для трикутника 𝐸𝐹𝐿.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

У прямокутному △EFL (∠F = 90°) FT — висота, проведена до гіпотенузи EL: FT² = LT · TE; LF² = LE · LT, EF² = LE · TE. 666. Знаючи, що 𝐴𝐶 ⊥ 𝐴𝑃, 𝐴𝐶 ⊥ 𝐶𝐵, ∠𝐴𝐶𝑃 = 40∘ , знайди: а) ∠𝐵; б) ∠𝑃; в) ∠𝐻𝐴𝐶 − ∠𝐻𝐶𝐵.

AC ⊥ АР; AC ⊥ CВ; ∠ACP = 40°. а) ∠B = 40°; б) ∠P = 50°; в) ∠HAC – ∠HCВ = 50° – 50° = 0. 667. Скільки різних трикутників зображено на малюнку? Чи всі ці трикутники подібні один одному? Чому?

5 трикутників, всі подібні, тому що у них кути рівні. 668. Знайдіть довжини відрізків, позначених на малюнках а, б, в і г буквою 𝑥.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

a) ∆ACH ~ ∆ВАС; СН2 = AH ∙ HB; 36 = 4 ∙ х; х = 9; HB = 9. б) ∆ACH ~ ∆CBH; 3 : х = х : 12; x2 = 36; х = 6 см. CH = 6 см. 𝑥 12 в) ∆ACH ~ ∆BAC; = ; 3 𝑥 х2 = 3 ∙ 12 = 36; х = 6 см. AC = 6 см. 1 3 г) 1 : 3 = 3 : (х + 1); = ; 9 = х + 1; 3

(x+1)

х = 8 см. HB = 8 см. 669. Знайди висоту прямокутного трикутника, проведену до гіпотенузи, якщо вона ділить гіпотенузу на відрізки 2 см і 8 см.

Висота, проведена до гіпотенузи, — середнє пропорційне відрізків гіпотенузи: h² = 2 · 8 = 16, h = 4 см. Відповідь: 4 см.

670. Катет прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а його проєкція на гіпотенузу 4 см. Знайди гіпотенузу.

Катет — середнє пропорційне гіпотенузи і своєї проєкції: a² = c · aₙ, 36 = c · 4, c = 9 см. Відповідь: 9 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

671. Знайди катети прямокутного трикутника, якщо висота, проведена з вершини прямого кута, ділить гіпотенузу на відрізки 2 см i 8 см.

c = 2 + 8 = 10 (см). Катети: a² = 10 · 2 = 20, a = 2√5 см; b² = 10 · 8 = 80, b = 4√5 см. Відповідь: 2√5 см і 4√5 см. 672. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 8 см, а один із гострих кутів - 60∘ . Знайди проєкції катетів на гіпотенузу.

Нехай дано прямокутний трикутник ∆ABC, AB = 8 см; ∠A = 60°, СМ ⊥ АВ; MB і MA — проекції катетів на гіпотенузу. ∆CMA; ∠MCA = 30°, ∠CBM = 30°; 1 1 AC = AB = 4 см; МА = АС = 2 см. (катет, що лежить против кута 30°); 2 2 MB = 8 см – 2 см = 6 см. Відповідь: MA = 2 см; MB = 6 см. 673. Один із кутів прямокутного трикутника дорівнює 30∘ , а проєкція меншого катета на гіпотенузу 5 см. Знайди проєкцію більшого катета на гіпотенузу і найменшу висоту трикутника.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай дано прямокутний ∆АВС. ∠B = 30°; АK = 5 см. 1 ∆АКС. ∠KCA = 30°; AK = АС; AC = 10 см. 2 1

∆АВС. ∠CBA = 30°; CA = АВ; AB = 20 см. 2 BK = 20 см – 5 см = 15 см. 𝐴𝐾 𝐶𝐾 5 𝐶𝐾 = ; = ; CK2 = 75; CK = 5√3. 𝐶𝐾

𝐵𝐾 𝐶𝐾

Відповідь: BK = 15 см; CK = 5√3. 674. Знайди довжину перпендикуляра, опущеного з вершини прямокутника на діагональ, якщо він ділить цю діагональ на відрізки завдовжки 4 см і 9 см.

ABCD — прямокутник. BK ⊥ AC; AK = 4 см; KC = 9 см. AK BK ∆ABK ~ ∆CBK, тому = ; 4

= ; BK = 36; BK = 6. 9 Відповідь: 6 см. BK

675. Знайди проєкції сторін прямокутника на його діагональ завдовжки 18 см, яка зі стороною прямокутника утворює кут 30∘ .

AK і KC — проекції сторін прямокутника на його діагональ. AC = 18 см; ∠ACB = 30°. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html 1

∆ABC — прямокутний. ∠ACB = 30°. АB = АС = 9 см. AB

AC 9

∆ABK ~ ∆ACB, тому = ; = ; х = 4,5. AK AB x 9 AK = 4,5 см; KC = 13,5 см. Відповідь: 4,5 см і 13,5 см. 676. Коло, вписане в ромб, точкою дотику ділить сторону на відрізки 2 см і 8 см. Знайди радіус кола.

O — центр ромба, OK ⊥ AB — радіус, K — точка дотику, AK = 2 см, KB = 8 см (або навпаки). Діагоналі ромба перпендикулярні, тому △AOB прямокутний і OK — його висота до гіпотенузи: OK² = AK · KB = 2 · 8 = 16, r = 4 см. Відповідь: 4 см. 677. Радіус кола, вписаного в ромб, дорівнює 6 см. Знайди периметр ромба, якщо коло точкою дотику ділить сторону на відрізки, пропорційні числам 1 і 4.

Відрізки x і 4x; r² = x · 4x (як у задачі 676): 36 = 4x², x = 3. Сторона ромба 3 + 12 = 15 (см), P = 4 · 15 = 60 (см). Відповідь: 60 см. 678. Перпендикуляр, опущений з центра ромба на його сторону, ділить її на відрізки завдовжки 3 см і 12 см. Знайди відстань між протилежними сторонами ромба.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ABCD — ромб. ∆AOD — прямокутний. AC ⊥ BD (діагоналі ромба взаємно перпендикулярні). 𝑂𝐾 𝐾𝐷 OK ⊥ AD. ∆AOK ~ ∆DOK. = ; 𝑥

𝐴𝐾

𝑂𝐾

= ; х = 6. OK = 6 см. OF ⊥ BC. 𝑥 OF = OK = 6 см. FK ⊥ BC, OK ⊥ AD. FK — відстань між протилежними сторонами ромба. FK = 12 см. Відповідь: 12 см. 12

679. Перпендикуляр, опущений з центра ромба на його сторону, дорівнює 24 см і ділить цю сторону на відрізки, пропорційні числам 9 і 16. Установи відповідність між відрізками, заданими умовами (1-3), та їх довжинами (А-Д). 1. сторона ромба; 2. менша діагональ ромба; 3. більша діагональ ромба. A. 30 см; Б. 40 см; B. 50 см; Г. 60 см; Д. 80 см. OK = 24 см, AK = 9x, KB = 16x (AK — ближче до вершини тупого кута не має значення). △AOB прямокутний, OK — висота: 24² = 9x · 16x, 576 = 144x², x = 2; AK = 18 см, KB = 32 см. Сторона ромба 18 + 32 = 50 (см) — В. OA² = AK · AB = 18 · 50 = 900, OA = 30 см; OB² = KB · AB = 32 · 50 = 1600, OB = 40 см. Діагоналі 60 см — Г (менша) і 80 см — Д (більша). Відповідь: 1 — В, 2 — Г, 3 — Д.

680. Довжина тіні від сосни 14 м, а від двометрового клена - 1 м. Знайди висоту сосни.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AB — висота вишки, AC = 14 м — тінь від вишки. MN = 2 м, MC = 1 м. ∆NМС ~ ∆ВАС, NM ∥ AB. 𝐴𝐵

𝑁𝑀 𝑥

= , = 𝐴𝐶 𝑀𝐶 14 1 x = 28. Відповідь: 28 м. 681. Задача Фалеса. Визначте відстань від берега до корабля в морі, Q знаючи висоту щогли. Розв'язання легко зрозуміти, скориставшись малюнком.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

За малюнком 12.13: спостерігач тримає перед оком вертикальну паличку завдовжки 4 см на відстані 60 см від ока так, щоб вона «закривала» щоглу заввишки 20 м. Трикутники, утворені променями зору з паличкою і зі щоглою, подібні: x : 0,6 = 20 : 0,04, x = 0,6 · 20 : 0,04 = 300 (м). Відповідь: 300 м. 682. За даними елементами прямокутного трикутника знайди значення довжини 𝑥.

а) AK = 17, KB = 9. ∆KPB ~ ∆CBA, тоді 𝐵𝑃 𝐾𝐵 𝑃𝐵 9 = ; = ; 𝐴𝐵 𝐶𝐵 26 2𝑃𝐵 2РВ2 = 26 ∙ 9; PB2 = 117. KD = √𝑃𝐵2 – 𝐾𝐵2 = √117 – 81 = 6. б) AC2 = AH ∙ HB, 𝐴𝐶 2

тоді HB = = = 12. 𝐴𝐻 3 ∆PKB ~ ∆ACB; 𝐴𝐶

𝐴𝐵

= ; = ,𝑥 = 𝑃𝐾 𝑃𝐵 3 𝑥 Відповідь: 1) 6; 2) 7,5.

15 ∙ 3 6

15 2

= 7,5.

683. Один із гострих кутів прямокутного трикутника на 18∘ більший за другий. Знайди відношення мір кутів, утворених найменшою висотою трикутника з його катетами.

∆BCA — прямокутний, ∠C = 90°. ∠A = x, ∠B = x + 18°.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

x + x + 18° = 90°; 2х = 72°; х = 36°. ∠A = 36°; ∠B = 54. CK ⊥ AB, CK — найменша висота ∆АВС. ∠KCA = 54°; ∠KCB = 36°. ∠KСА : ∠KCB = 54 : 36 = 3 : 2. Відповідь: 3 : 2. 684. Коло, вписане в прямокутну трапецію, ділить точкою дотику більшу бічну сторону на відрізки 3 см і 12 см. Знайди периметр трапеції.

Більша бічна сторона CD = 3 + 12 = 15 (см). Як у задачі 676: r² = 3 · 12 = 36, r = 6 см. Менша бічна сторона дорівнює діаметру: AB = 12 см. Сума основ дорівнює сумі бічних сторін: 12 + 15 = 27 (см). P = 27 + 27 = 54 (см). Відповідь: 54 см. 685. A circle inscribed in an equilateral trapezoid divides the side into segмents 7 см and 28 см by the point of contact. Find the height of the trapezoid.

Центр вписаного кола O, відрізки дотичних від кінців бічної сторони — 7 см і 28 см. Кут між бісектрисами кутів, прилеглих до бічної сторони, прямий, тому радіус OK — висота прямокутного трикутника до гіпотенузи: r² = 7 · 28 = 196, r = 14 см. Висота трапеції дорівнює діаметру: 2 · 14 = 28 (см). Відповідь: 28 см (the height of the trapezoid is 28 cm). 686. Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони. Знайди периметр трапеції, якщо основи трапеції дорівнюють 31 м і 49 м.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ABCD — рівнобічна трапеція, AD = 49 м, BC = 31 м, AC ⊥ CD. Проведемо висоту CH: HD = (49 − 31) : 2 = 9 (м). У прямокутному △ACD CD² = AD · HD = 49 · 9 = 441, CD = 21 м. P = 31 + 49 + 2 · 21 = 122 (м). Відповідь: 122 м. 687. Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони. Знайди периметр трапеції, якщо бічна сторона дорівнює 15 см , а радіус описаного кола 12,5 см.

△ACD прямокутний (AC ⊥ CD), тому AD — діаметр описаного кола: AD = 2 · 12,5 = 25 (см). CH — висота: CD² = AD · HD, 225 = 25 · HD, HD = 9 см. BC = AD − 2 · HD = 25 − 18 = 7 (см). P = 25 + 7 + 15 + 15 = 62 (см). Відповідь: 62 см. 688. Доведіть, що в кожному прямокутному трикутнику відношення квадратів катетів дорівнює відношенню їх проекцій на гіпотенузу. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∆АВС — прямокутний, CM ⊥ AB. Доведемо, що BC2 : AC2 = BM : MA. ∆CBM ~ ∆ACM (за двома рівними кутами). З їх подібності маємо: 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶

𝐵𝑀 𝐵𝐶 𝐴𝑀

; BC2 = AB ∙ BM; (1)

= ; AC2 = AB ∙ AM. (2) 𝐴𝐶 Поділимо почленно рівності (1) і (2). BC2 : AC2 = BM : АМ, що й треба довести. 𝐴𝐵

689. Катети прямокутного трикутника відносяться як 2 ∶ 3, а висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 42 дм. Знайди проєкції катетів на гіпотенузу.

∆ABC — прямокутний. AC : BC = 2 : 3. CK ⊥ AB, CK = 42 см. AC2 : BC2 = 4 : 9, отже BK : KA = 4 : 9. ∆СВK ~ ∆АСK, з їх подібності маємо: 𝐶𝐾

𝐴𝐾

9𝑥

= ; = ; 𝐵𝐾 𝐶𝐾 4𝑥 42 З6х2 = 1764; x2 = 49; х = 7. ВK = 28 см; AK = 63 см. Відповідь: 28 см і 63 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

690. Гіпотенуза трикутника дорівнює 122 дм, а катети відносяться як 5 ∶ 6. Знайди проєкції катетів на гіпотенузу.

∆ABC — прямокутний, AB = 122 см. BC : AC = 5 : 6, CK ⊥ AB. BK і AK — проекції катетів на гіпотенузу. BK : AK = BC2 : AC2 = 25 : 36; ВК = 25х; АК = 36х; 25х + 36х = 122; 61х = 122; х = 2. ВК = 50 cм; AК = 72 см. Відповідь: 50 см і 72 см. 691. Знайди довжину гіпотенузи, якщо катети відносяться як 2 ∶ 3, а проєкція одного катета на гіпотенузу на 2 см більша за проєкцію другого.

∆ABC — прямокутний. AC : BC = 2 : 3. BK – AK = 2 см. ∙ BK : KA = AC2 : BC2 = 9 : 4. ВК = 9х, AK = 4х. 9х – 4х = 2, 5х = 2, х = 0,4. ВK = 9 ∙ 0,4 = 3,6 см; AK = 4 ∙ 0,4 = 1,6 см, AB = 5,2 см. Відповідь: 3,6 см; 1,6 см; 5,2 см. 692. Кут 𝐶 △ 𝐴𝐵𝐶 прямий, проєкції гіпотенузи 𝐴𝐵 на прямі 𝐴𝐶 і 𝐵𝐶 дорівнюють 15 см і 20 см. Знайди проєкції катетів на гіпотенузу.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай дано ∆ABC, ∠C = 90°; BC = 15 см, AC = 20 см. CK ⊥ AB, AK і BK — проекції катетів на гіпотенузу. AC : BC = 20 : 15 = 3 : 4. BK : AK = 9 : 16. ВК = 9х, AK = 16х, AB = 25х. ∆CBK ~ ∆KCA, з їх подібності маємо: AC2 = AB ∙ AK, 400 = 16х ∙ 25х, х = 1. BC2 = AB ∙ BK, 225 = 9х ∙ 25х. AK = 16 см; BK = 9 см. Відповідь: 16 см; 9 см. 693. Доведи, що в кожному прямокутному трикутнику добуток катетів дорівнює добутку його найменшої висоти і гіпотенузи.

Довести, що AC ∙ BC = CK ∙ AB. ∆ACB ~ ∆BKC (∠B — спільний). З їх подібності маємо: 𝐴𝐶 𝐶𝐾 = ; 𝐴𝐵 𝐵𝐶 тому: AC ∙ BC = CK ∙ AB. 694. Доведи, що діаметр кола, вписаного в рівнобічну трапецію, є середнім пропорційним основ трапеції.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай дано рівнобічну трапецію ABCD. MN — діаметр кола, вписаного в рівнобічну трапецію. Доведемо, що MN2 = BC ∙ AD. Оскільки коло вписано, то BC + AD = 2АВ, тоді AB =

BC+AD 2

Проведемо BK ⊥ AD тоді AK =

AD−BC 2

BC + AD 2 A𝐷– BC 2 BK = AB – AK = ( ) –( ) = 2 2 2

BC2 + 2BC ∙AD+ AD2 − AD2 + 2AD ∙BC− BC2

4AD ∙ BC

= = = BC ∙ AD. 4 4 Отже, BK2 = BC ∙AD і BK = MN, то MN2 = BC ∙ AD. 695. Відстань між протилежними сторонами ромба дорівнює 𝑎, а проєкція його меншої діагоналі на сторону - 𝑐. Обчисли сторони ромба, якщо 𝑎 = 18 см, 𝑐 = 8 см.

Нехай ABCD — ромб. MF ⊥ BC, MF ⊥ AD. MF — відстань між протилежними сторонами ромба. MF = а = 18 см. BD — менша діагональ ромба. BK ⊥ DC, DK — проекція меншої діагоналі ромба на сторону. DK = с = 8 см. У ромба сторони рівні. 696. Доведи геометрично нерівність: якщо 𝑎 > 0 і 𝑏 > 0, то

𝑎+𝑏 2

⩾ √𝑎𝑏.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

𝑎+𝑏

Доведіть геометрично: якщо а > 0, b > 0 , то ⩾ √𝑎𝑏. 2 ∆АВС — прямокутний. BK ⊥ AC. AK = а, KC = b; BK = √𝑎𝑏, BK — є середнє пропорційне між відрізками а і b. 𝑎+𝑏 AC = а + b; AO = OC = OB = . ∆KBO — прямокутний. 2

BO > BK, отже Отже

𝑎+𝑏 2

> аb, якщо ∆ABC — рівнобедрений, то а = b, тоді

𝑎+𝑏 2

= аb.

⩾ √𝑎𝑏, що й треба було довести.

697. Виріж із картону прямокутний трикутник і визнач за його допомогою висоту обраного тобою об’єкта (мал. 1). Порівняй цей спосіб із тим, що запропонував Жуль Верн у романі «Таємничий острів» (мал. 2). У чому їх схожість, а в чому - відмінність?

Спосіб із картонним трикутником: беремо прямокутний рівнобедрений трикутник, тримаємо його так, щоб один катет був горизонтальний, і відходимо від предмета, поки гіпотенуза не «націлиться» на його верхівку. Тоді висота предмета дорівнює відстані до нього плюс висота очей над землею (трикутники подібні, кут 45°). Жуль Верн: спостерігач лежить на землі, між ним і скелею ставить жердину відомої висоти так, щоб верхівки жердини і скелі були на одній прямій з оком; висоту знаходять із пропорції: H : (d до скелі) = h : (d до жердини). © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Схожість: обидва способи ґрунтуються на подібності прямокутних трикутників. Відмінність: з трикутником 45° обчислень майже не треба (катети рівні), а в способі Жуля Верна вимірюють дві відстані й висоту жердини та розв’язують пропорцію. 698. Знайди кути рівнобічної трапеції, якщо один із них на 30∘ більший за другий.

ABCD — трапеція. ∠B – ∠A = 30°; ∠A = x, ∠B = x + 30°. х + х + 30° = 180°; 2х = 150°; х = 75°. ∠A = ∠D = 75°; ∠B = ∠C = 105°. 699. Знайди периметр ромба з кутом 30∘ , описаного навколо кола радіуса 𝑟 = 3 см.

ABCD — ромб. ∠A = 30°. OK ⊥ AD, OK = r = 3 см. BK ⊥ AD. BK = 2OК. OK — середня лінія ∆KBD. B K = 6 см. ∆ABK — прямокутний, ∠A = 30°; 1 BK = АВ, отже АВ = 12 см. 2 PABCD = 4 ∙ 8 = 48 см. Відповідь: 48 см. 700. Знайди довжину хорди, перпендикулярної до діаметра кола, що ділить його на відрізки 2 дм і 8 дм.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

CD — хорда, CD⊥ MN, CB, MN — діаметр. KN = 2 дм, KM = 8 дм. ∆MKD ~ ∆NKC (за двома рівними кутами). KC = KD = x, ∆COD — рівнобедрений (CO = OD). 𝑀𝐾 𝐾𝐶 8 8 = , = , KD

x2 = 16, x = 4. CD = 8 дм. Відповідь: 8 дм. ЗАДАЧІ ЗА ГОТОВИМИ МАЛЮНКАМИ (СТОРІНКА 126) А 1. Дано: MN ∥ AC. Знайти: AM.

MN ∥ AC, тому △MBN ∽ △ABC: BM : BA = MN : AC = 7 : 21 = 1 : 3. BA = 3 · 3 = 9, AM = 9 − 3 = 6. Відповідь: AM = 6. 2. Дано: AB ∥ CD. Довести: OC · OB = OA · OD.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AB ∥ CD, тому ∠OAB = ∠OCD, ∠OBA = ∠ODC (внутрішні різносторонні), і △AOB ∽ △COD. OA : OC = OB : OD, звідки OC · OB = OA · OD, що й треба було довести. 3. Дано: AC ⊥ CB, CH ⊥ AB, AH = 1, HB = 4. Знайти: AC, CB, HC.

AB = AH + HB = 1 + 4 = 5. У прямокутному △ACB (∠C = 90°) CH — висота: AC² = AB · AH = 5 · 1 = 5, AC = √5; CB² = AB · HB = 5 · 4 = 20, CB = 2√5; HC² = AH · HB = 4, HC = 2. Відповідь: AC = √5, CB = 2√5, HC = 2. 4. Дано: AB = BC, AB : AC = 8 : 6, BK = 22. Знайти: OK.

△ABC рівнобедрений, BK — висота й медіана, AK = AC : 2. AB : AC = 8 : 6, тому AB : AK = 8 : 3. O — центр вписаного кола, AO — бісектриса кута A в △ABK, тому BO : OK = AB : AK = 8 : 3. OK = 22 : 11 · 3 = 6. Відповідь: OK = 6. Б 1. Дано: KP ∥ AC. Знайти: PC : BC, PB : PC.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

KP ∥ AC, тому △PBK ∽ △CBA (∠PBK = ∠CBA — вертикальні, ∠KPB = ∠ACB — внутрішні різносторонні). PB : BC = PK : CA = 3 : 5. Тоді PC = PB + BC = 8 частин: PC : BC = 8 : 5, PB : PC = 3 : 8. Відповідь: PC : BC = 8 : 5, PB : PC = 3 : 8. 2. Дано: ▱ABCD, BK : BH = 1 : 2. Знайти: AB : BC.

△ABH ∽ △CBK: ∠A = ∠C (протилежні кути паралелограма), ∠AHB = ∠CKB = 90°. AB : CB = BH : BK = 2 : 1. Відповідь: AB : BC = 2 : 1. 3. Дано: O — точка перетину медіан, MN ∥ AC, BM = 5, MN = 7. Знайти: AB, AC.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

O — точка перетину медіан, тому на медіані, проведеній з вершини B, BO : (вся медіана) = 2 : 3. MN ∥ AC, тому △MBN ∽ △ABC з коефіцієнтом 2/3. AB = BM : 2/3 = 5 · 3/2 = 7,5; AC = MN : 2/3 = 7 · 3/2 = 10,5. Відповідь: AB = 7,5, AC = 10,5. 4. Дано: AK : KB = 3 : 1, OD = 10, OK = KB. Знайти: CK, KD.

CD — діаметр, OD = OC = 10. Нехай KB = OK = t, AK = 3t (K між C і O). CK = 10 − t, KD = 10 + t. Добутки відрізків хорд: AK · KB = CK · KD, 3t² = (10 − t)(10 + t) = 100 − t², 4t² = 100, t = 5. CK = 10 − 5 = 5, KD = 10 + 5 = 15. Відповідь: CK = 5, KD = 15.

САМОСТІЙНА РОБОТА (сторінка 127) Варіант 1 1. На сторонах 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶 △ 𝐴𝐵𝐶 взято точки 𝑀 і 𝑁 так, що 𝑀𝑁‖𝐵𝐶. Знайди 𝑀𝑁, якщо 𝐴𝑀 = 6 см, 𝐵𝑀 = 4 см, 𝐵𝐶 = 15 см.

MN‖BC, △ AMN ∼△ ACB, = , = , MN BC MN 5 MN = 9(см). © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відповідь: 9 см.

2. Хорди 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 перетинаються в точці 𝑀 так, що 𝐴𝑀 = 8 см, 𝐵𝑀 = 12 см, 𝐶𝑀 = 6 см. Знайди 𝑀𝐷.

AM · MB = CM · MD (добутки відрізків хорд, що перетинаються): 8 · 12 = 6 · MD, MD = 16 см. Відповідь: 16 см.

3. Укажи трикутник, подібний △ 𝐴𝐵𝐶, і доведи, що вони подібні.

△ ABC ∼△ PBK, ∠K = ∠C = 90∘ , ∠B - спільний, за двома рівними кутами.

4. У △ 𝐴𝐵𝐶 сторона 𝐴𝐵 на 15 см менша від 𝐵𝐶. Знайди периметр трикутника, якщо бісектриса ∠𝐵 ділить сторону 𝐴𝐶 на відрізки 4 см і 14 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BD — бісектриса, AD = 4 см, DC = 14 см. AB : BC = AD : DC = 4 : 14 = 2 : 7. Нехай AB = 2x, BC = 7x: 7x − 2x = 15, x = 3. AB = 6 см, BC = 21 см, AC = 18 см. P = 6 + 21 + 18 = 45 (см). Відповідь: 45 см.

Варіант 2 1. На сторонах 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶 △ 𝐴𝐵𝐶 взято точки 𝐸 і 𝐹 так, що 𝐸𝐹‖𝐴𝐶. Знайди 𝐴𝐵, якщо 𝐸𝐹 = 5 см, 𝐵𝐸 = 4 см, 𝐴𝐶 = 8 см.

EF‖AC, △ FEB ∼△ CAB. BE BA 4 x + 4 = ; = ; EF CA 5 8 5x + 20 = 32; 5x = 12; x = 2,4. AB = 6,4 см. Відповідь: 6,4 см. 2. Хорди 𝐾𝑀 і 𝐷𝐸 перетинаються в точці 𝐵 так, що 𝐾𝐵 = 3 см, 𝐵𝑀 = 16 см, 𝐵𝐸 = 12 см. Знайди 𝐵𝐷.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

KB · BM = DB · BE: 3 · 16 = BD · 12, BD = 4 см. Відповідь: 4 см.

3. Укажи трикутник, подібний △ 𝐴𝐾𝑇, і доведи, що вони подібні.

△ AKT ∼△ PCT (за двома рівними кутами). ∠K = ∠C = 90∘ , ∠T спільний. 4. У △ 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 12 см, 𝐵𝐶 = 24 см, 𝐴𝐶 = 30 см. Знайди відрізки, на які бісектриса ∠𝐵 ділить сторону 𝐴𝐶.

BD — бісектриса: AD : DC = AB : BC = 12 : 24 = 1 : 2. AC = 3 частини = 30 см. AD = 10 см, DC = 20 см. Відповідь: 10 см і 20 см.

Варіант 3

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

1. На сторонах 𝐴𝐶 і 𝐵𝐶 △ 𝐴𝐵𝐶 взято точки 𝐾 і 𝑃 так, що 𝑃𝐾‖𝐴𝐵. Знайди 𝐴𝐵, якщо 𝐶𝐾 = 5 см, 𝐴𝐾 = 4 см, 𝑃𝐾 = 3 см.

PK‖AB. △ KCP ∼△ ACB. KC KP 5 3 3⋅9 = ; = ; MN = = 5,4. AC AB 9 AB 5 Відповідь: 5,4 см. 2. Хорди 𝐴𝐵 і 𝐾𝑃 перетинаються в точці 𝐶 так, що 𝐾𝐶 = 8 см, 𝐶𝑃 = 10 см, 𝐶𝐵 = 5 см. Знайди 𝐴𝐶.

KC · CP = AC · CB: 8 · 10 = AC · 5, AC = 16 см. Відповідь: 16 см.

3. Укажи трикутник, подібний △ 𝐾𝐵𝑃, і доведи, що вони подібні.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

△ ABC ∼△ CTP (за двома кутами). ∠K = ∠C = 90∘ , ∠B - спільний. 4. У △ 𝐴𝐵𝐶 сторона 𝐴𝐶 на 6 см більша за 𝐴𝐵. Знайди периметр трикутника, якщо бісектриса ∠𝐴 ділить сторону 𝐵𝐶 на відрізки 5 см і 10 см.

AD — бісектриса: BD : DC = AB : AC = 5 : 10 = 1 : 2, тому AC = 2AB. AB + 6 = 2AB, AB = 6 см, AC = 12 см, BC = 15 см. P = 6 + 12 + 15 = 33 (см). Відповідь: 33 см.

Варіант 4 1. На сторонах 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶 △ 𝐴𝐵𝐶 взято точки 𝐷 і 𝐸 так, що 𝐷𝐸‖𝐴𝐶. Знайди 𝐵𝐸, якщо 𝐴𝐷 = 7 см, 𝐵𝐷 = 3 см, 𝐵𝐶 = 15 см.

DE‖AC; △ DBE ∼△ ABC. DB BE 3 BE 3⋅15 = ; = ; BE = = 4,5(см). AB BC 10 15 10 Відповідь: 4,5 см. 2. Хорди 𝐸𝐹 і 𝐶𝐷 перетинаються в точці 𝐿 так, що 𝐸𝐿 = 15 см, 𝐶𝐿 = 10 см, 𝐿𝐷 = 12 см. Знайди 𝐿𝐹.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

EL · LF = CL · LD: 15 · LF = 10 · 12, LF = 8 см. Відповідь: 8 см.

3. Укажи трикутник, подібний △ 𝐶𝑃𝑇, і доведи, що вони подібні.

△ CPT ∼△ KPB - за двома рівними кутами. ∠K = ∠C = 90∘ , ∠CPT = ∠BPK - вертикальні кути.

4. У △ 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 20 см, 𝐵𝐶 = 6 см, 𝐴𝐶 = 24 см. Знайди відрізки, на які бісектриса ∠𝐶 ділить сторону 𝐴𝐵.

CK — бісектриса: AK : KB = AC : BC = 24 : 6 = 4 : 1. AB = 5 частин = 20 см. AK = 16 см, KB = 4 см. Відповідь: 16 см і 4 см.

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ (сторінка 128) © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

1. Знайди 𝐴𝑂, якщо 𝑂𝐶 ∶ 𝐶𝐷 = 5 ∶ 3, 𝐵𝑂 = 16 см. A. 10 см; Б. 6 см; B. 12 см; Г. 5 см.

Відповідь: B. 12 см. 2. Знайди відношення 𝐴𝑂 ∶ 𝐴𝐵, якщо 𝐴𝐶 ∶ 𝐵𝐷 = 3 ∶ 5. A. 3 : 2; Б. 2 : 3; B. 3 : 5; Г. 5 : 3.

Відповідь: A. 3 : 2. 3. 𝑂𝐴 ∶ 𝐴𝐵 = 3 ∶ 2. Яке з тверджень хибне? A. 𝑂𝐶 ∶ 𝐶𝐷 = 3 ∶ 2; Б. 𝑂𝐴 ∶ 𝑂𝐵 = 3 ∶ 5; B. 𝐴𝐶 ∶ 𝐵𝐷 = 3 ∶ 2; Г. 𝑂𝐷 ∶ 𝑂𝐶 = 5 ∶ 3.

Відповідь: B. 𝐴𝐶 ∶ 𝐵𝐷 = 3 ∶ 2. 4. 𝐴𝑂 = 4 см, 𝐴𝐵 = 3 см. Знайди периметр △ 𝑂𝐴𝐶, якщо 𝑃△𝐵𝑂𝐷 = 21 см. A. 12 см; Б. 36,75 см; B. 28 см; Г. 15,75 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відповідь: Б. 36,75 см. 5. Знайди коефіцієнт подібності трикутників 𝑂𝐵𝐷 i 𝑂𝐴𝐶, якщо 𝑂𝐴 = 10 см, 𝐴𝐵 = 6 см. 5 A. 𝑘 = ; Б. 𝑘 = B. 𝑘 =

3 3 5 8 3 8

; ;

Г. 𝑘 = . 5

Відповідь: B. 𝑘 = . 3

6. 𝐴𝐶 = 5 см, 𝐵𝐷 = 7 см. Знайди 𝐶𝐷, якщо 𝑂𝐷 = 14 см. A. 10 см; 1 Б. 8 см; 6 B. 4 см; 5 Г. 5 см. 6

Відповідь: A. 10 см. 7. Медіани 𝐴𝐴1 i 𝐵𝐵1 △ 𝐴𝐵𝐶 перетинаються в точці 𝑂. Знайди відношення 𝐴1 𝑂 ∶ 𝐴1 𝐴. A. 1 : 2; Б. 2 : 1; B. 3 : 1; Г. 1 : 3. Відповідь: Г. 1 : 3.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

8. Сторони трикутника дорівнюють 6 см, 18 см і 20 см. У якому відношенні ділить сторону бісектриса, проведена з вершини найбільшого кута? A. 1 : 3; Б. 3 : 5; B. 5 : 9; Г. 1 : 2. Відповідь: B. 5 : 9. 9. 𝐴𝑀 - бісектриса △ 𝐴𝐵𝐶(∠𝐶 = 90∘ , 𝑀 ∈ 𝐵𝐶). Який знак слід поставити замість: 𝐶𝑀 ∗ 𝑀𝐵? A. ˂ Б. ˃ B. = Г. ≤ Відповідь: A. ˂ 10. Проєкції катетів на гіпотенузу в прямокутному трикутнику дорівнюють 2 см і 8 см . Знайди довжину висоти, проведеної з вершини прямого кута. A. 10 см; Б. 16 см; B. 4 см; Г. 5 см. Відповідь: B. 4 см.

ТИПОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ТЕМАТИЧНОГО КОНТРОЛЮ (сторінка 129) 1. △ 𝐴𝐵𝐶 ∼△ 𝐴1 𝐵1 𝐶1 . Знайди сторону 𝐴𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 15 см, 𝐴1 𝐵1 = 30 см, 𝐴1 𝐶1 = 48 см. A. 48 см; Б. 24 см; B. 60 см; Г. 96 см. AC : A₁C₁ = AB : A₁B₁ = 15 : 30 = 1 : 2, AC = 48 : 2 = 24 (см). Відповідь: Б. 24 см. 2. Сторони трикутника дорівнюють 3 см, 5 см і 7 см. Знайди найменшу сторону подібного йому трикутника, периметр якого дорівнює 75 см. A. 49 см; Б. 35 см; B. 21 см; Г. 15 см. Периметр даного трикутника 3 + 5 + 7 = 15 (см), k = 75 : 15 = 5. Найменша сторона 3 · 5 = 15 (см). Відповідь: Г. 15 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

3. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 6 см і 10 см, а бічні сторони 4 см. На скільки треба продовжити бічні сторони, щоб вони перетнулися? A. 24 см; Б. 2,4 см; B. 6 см; Г. 1,5 см.

Продовжимо бічні сторони до перетину в точці O. BC ∥ AD, тому △OBC ∽ △OAD: OB : OA = BC : AD. x : (x + 4) = 6 : 10, 10x = 6x + 24, x = 6 (см). Відповідь: В. 6 см. 4. Хорди 𝐴𝐵 і 𝐶𝐾 кола перетинаються в точці 𝐸 так, що 𝐴𝐸 ∶ 𝐵𝐸 = 2 ∶ 3, 𝐶𝐸 = 𝐴𝐸 і 𝐾𝐸 = 12 см. Установи відповідність між відрізками, заданими умовами (1-3), та їх довжинами (А-Д). 1. AE; 2. BE; 3. CK. A. 4 см; Б. 8 см; B. 6 см; Г. 12 см; Д. 20 см. Нехай AE = 2x, BE = 3x, CE = AE = 2x. AE · BE = CE · KE: 2x · 3x = 2x · 12, x = 4. AE = 8 см — Б; BE = 12 см — Г; CK = CE + KE = 8 + 12 = 20 (см) — Д. Відповідь: 1 — Б, 2 — Г, 3 — Д. 5. Через точку 𝑂 перетину діагоналей трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷 проведено пряму, яка перетинає основи 𝐴𝐷 і 𝐵𝐶 у точках 𝑀 і 𝑁 відповідно. Доведи, що △ 𝐴𝑂𝑀 ∼△ 𝐶𝑂𝑁.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∠AOM = ∠CON (вертикальні), ∠OAM = ∠OCN (внутрішні різносторонні при AD ∥ BC і січній AC). Отже, △AOM ∽ △CON за двома кутами, що й треба було довести. 6. З вершини 𝐵 прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 опущено перпендикуляр 𝐵𝐾 на діагональ 𝐴𝐶. Знайди 𝐴𝐶, якщо 𝐵𝐾 = 12 см і 𝐴𝐾 ∶ 𝐾𝐶 = 4 ∶ 9.

У прямокутному △ABC (∠B = 90°) BK — висота: BK² = AK · KC. Нехай AK = 4x, KC = 9x: 144 = 36x², x = 2. AC = 13x = 26 см. Відповідь: 26 см. 7. З вершини тупого кута паралелограма на його сторони опущено перпендикуляри завдовжки 5 см і 8 см. Знайди сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 78 см.

Нехай з вершини тупого кута B проведено BH ⊥ AD (BH = 5 см) і BK ⊥ CD (BK = 8 см). △ABH ∽ △CBK (∠A = ∠C, прямі кути), тому AB : CB = BH : BK = 5 : 8. AB + BC = 78 : 2 = 39 (см): AB = 39 : 13 · 5 = 15 (см), BC = 24 см. Відповідь: 15 см і 24 см. 8. У △ 𝐴𝐵𝐶 зі сторонами 𝐴𝐵 = 12 см і 𝐴𝐶 = 15 см вписано паралелограм так, що один кут у них спільний. Знайди сторони паралелограма, якщо одна з них на 6 см більша за другу.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Паралелограм AMNP: M ∈ AB, N ∈ BC, P ∈ AC. Нехай AM = a, AP = MN = b. MN ∥ AC, тому △MBN ∽ △ABC: b : 15 = (12 − a) : 12. 1) b = a + 6: (a + 6) : 15 = (12 − a) : 12, 12a + 72 = 180 − 15a, a = 4, b = 10. 2) a = b + 6: b : 15 = (6 − b) : 12, 12b = 90 − 15b, b = 10/3, a = 28/3. Відповідь: 4 см і 10 см (або 9⅓ см і 3⅓ см). 9. У трикутник вписано півколо, яке дотикається до двох сторін трикутника і центр якого ділить третю сторону на відрізки 7,5 см і 10,5 см. Знайди сторони трикутника, якщо його периметр 42 см.

Центр O півкола лежить на третій стороні AC і рівновіддалений від двох інших сторін, тому BO — бісектриса. AB : BC = AO : OC = 7,5 : 10,5 = 5 : 7. AC = 18 см, AB + BC = 42 − 18 = 24 (см). AB = 24 : 12 · 5 = 10 (см), BC = 14 см. Відповідь: 10 см, 14 см, 18 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

РОЗДІЛ 3. Розв’язування прямокутних трикутників §13. Теорема Піфагора 701. Знайди гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють: а) 3 см і 4 см; б) 1 дм і 2 дм; в) 𝑐 i 𝑐. а) 32 + 42 = с2, с = 5; б) с2 = 1 + 4 = 5, с = √5; в) с2 + с2 = 2с2, с√2. 702. Знайди катет прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза і другий катет дорівнюють: а) 5 см і 3 см ; б) 10 дм і 1 дм; в) 𝑐 і 𝑎. а) а2 = 25 – 9 = 16, а = 4; б) а2 = 100 – 1 = 99, a = √99 = 3√11; в) b2 = с2 – а2, b = √с2 – 𝑎2 . 703. Знайди невідомі сторони трикутника, використовуючи таблицю, якщо 𝑎 і 𝑏 - катети прямокутного трикутника, а 𝑐 - його гіпотенуза. a

0,5

√10

√3 2

√5

√13

√26

√19

704. За малюнком знайди невідомі сторони трикутників.

1) с2 = 36 + 64 = 100, с = 10; 2) с2 = 9 + 9 = 18, с = 3√2;

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

3) а2 = 169 – 25 = 144, а = 12; 4) с = 10, b2 = 100 – 25 = 75, b = 𝑏√3. 705. Визначаючи вид трикутника зі сторонами 10 см, 24 см і 26 см, учень міркує: «Оскільки 102 + 242 = 676 = 262 , то за теоремою Піфагора цей трикутник прямокутний». Чи правильно міркує учень? Вірно. 706. Сторони трикутника дорівнюють 6 м, 8 мі 10 м. Чи прямокутний цей трикутник? 62 + 82 = 102; 36 + 64 = 100. Так, прямокутний. 707. Знайди гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють: а) 9 м i 12 м; б) 12 см і 16 см; в) 3𝑎 і 4𝑎. 1) c2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225, c = 15. 2) c2 = 122 + 162 = 144 + 256 = 400, c = 20. 3) c2 = 9a2 + 16a2 = 25a2, c = 5a. 708. Гра. Один із учнів / одна з учениць задає довжину одного катета, другий/друга - довжину другого, а третій/третя - знаходить довжину гіпотенузи.

Гіпотенуза c = √(a² + b²) (теорема Піфагора). Приклад гри: катети 6 см і 8 см — гіпотенуза √(36 + 64) = √100 = 10 (см); катети 5 см і 12 см — гіпотенуза √(25 + 144) = 13 (см). 709. Знайди катет прямокутного трикутника, якщо інші його сторони дорівнюють: а) 5 м і 4 м; б) 13 см і 12 см; в) 17 м і 15 м. 1) a2 = 25 – 16 = 9, a = 3; 2) a2 = 169 – 144 = 25, a = 5; 3) a2 = 289m2 – 225m2 = 49m2, a = 7m. 710. Заповни порожні клітинки таблиці, якщо 𝑎 і 𝑏 - катети прямокутного трикутника, а 𝑐 - його гіпотенуза. a

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

711. Доповни блок-схему, яку почав будувати Максим.

У порожньому ромбі (умова) записуємо: «Квадрат найбільшої сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін?», наприклад AC² = AB² + BC², якщо AC — найбільша сторона (обернена теорема Піфагора). Стрілка «+» веде до блоку «Трикутник є прямокутним», стрілка «−» — до блоку «Трикутник не є прямокутним». Від обох блоків стрілки ведуть до блоку «Кінець». 712. Сторони прямокутника дорівнюють 32 см і 60 см. Знайди його діагональ.

Нехай дано прямокутник ABCD. AB = 32 см, BC = 60 см. ∆ABC — прямокутний. За теоремою Піфагора маємо: AC2 = AB2 + BC2 = 3600 + 1024 = 4624. AC = √4624 = 68. Відповідь: AC = 68 см. 713. Діагональ прямокутника дорівнюе 26 см, а одна зі сторін - 10 см. Знайди другу сторону прямокутника. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

За теоремою Піфагора друга сторона: √(26² − 10²) = √(676 − 100) = √576 = 24 (см). Відповідь: 24 см. 714. Точка 𝑀 лежить усередині прямого кута 𝐴𝐵𝐶 на відстані 5 см і 12 см від його сторін. Знайди 𝐵𝑀.

∠ABC = 90°, KM ⊥ AB. KM = 5 см, MF ⊥ BC, MF = 12 см. ∆MBF — прямокутний. MB2 = MF2 + BF2, BF = KM. MB2 = 144 + 25 = 169. МВ = √169. MB = 13 см. Відповідь: 13 см. 715. Діагоналі ромба 10 м і 24 м. Знайди його сторони.

Нехай ABCD — ромб. AC = 10 м, BD = 24 м. BD ⊥ AC, ∆BOC — прямокутний. 1 1 OB = BD = 12 м, OC = АС = 5 м. 2

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BC2 = OB2 + OC2 = 144 + 25 = 169, за теоремою Піфагора BC = 13. Відповідь: 13 м. 716. Сторона ромба дорівнює 10 дм, а одна з діагоналей 12 дм. Знайди другу діагональ ромба.

Діагоналі ромба перпендикулярні й діляться навпіл. Половина відомої діагоналі 12 : 2 = 6 (дм). Половина другої діагоналі: √(10² − 6²) = √64 = 8 (дм). Друга діагональ 16 дм. Відповідь: 16 дм. 717. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 7 см і 24 см. Знайди радіус описаного кола.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AC = 7 см, BC = 24 см. За теоремою Піфагора: AB2 = BC2 + AC2 = 49 + 576 = 625. 1 AB = 25 см. R = OB = OA = АВ = 12,5 см. 2 Відповідь: 12,5 см. 718. Один із катетів прямокутного трикутника дорівнює 9 см, а радіус описаного кола 20,5 см. Знайди другий катет.

CM = 5 см, AC = 6 см, MB = MC = MA = 5 см. AB = 10 см. За теоремою Піфагора: AB2 = BC2 + AC2. 100 = BC2 + 36, BC2 = 64, BC = 8 см. P∆ABC = 10 + 6 + 8 = 24 (см). 719. Один із катетів прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а медіана, проведена до гіпотенузи, 5 см. Знайди периметр трикутника.

Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині: c = 2 · 5 = 10 (см). Другий катет: √(10² − 6²) = 8 (см). P = 6 + 8 + 10 = 24 (см). Відповідь: 24 см. 720. Знайди гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо відстані від її середини до катетів дорівнюють 5 см і 12 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∆ABC — прямокутний. MK ⊥ BC, MK = 5 см, MP ⊥ AC, MP = 12 см. MP ∥ BC , MK ∥ AC, MK і MP — середні лінії ∆ABC. AC = 2МК = 10 см, BC = 2МР= 24 см. За теоремою Піфагора маємо: AB2 = BC2 + AC2 = 576 + 100 = 676. AB = 26. Відповідь: 26 см. 721. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайди медіани трикутника.

За теоремою Піфагора: AB2 = BC2 + AC2 = 64 + 36 = 100. AB = 10 см. 10 CO = BO = OA = = 5 см, 2

BK = BC + CK = 64 + 9 = 73, BK = √73. AM2 = AC2 + MC2 = 36 + 16 = 52. AM = √52. AM, CO, BK — медіани ∆ABC. 722. Знайди катети прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 5 м, а один із кутів 60∘ .

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AB = 5 см, ∠A = 60°, ∠B = 30°. 1 AC = АВ = 2,5 cм (катет AC лежить проти кута 30°). 2 За теоремою Піфагора: BC2 = AB2 – AC2 = 52 – 2,52 = 25 – 6,25 = 18,75, BC = √18,75. Відповідь: 2,5 і √18,75. 723. Знайди невідомі сторони прямокутного трикутника, якщо один із його катетів дорівнює 6 см, а протилежний кут 30∘ .

Катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи: c = 2 · 6 = 12 (см). Другий катет: √(12² − 6²) = √108 = 6√3 (см). Відповідь: 12 см і 6√3 см. 724. Знайди сторони прямокутника, якщо: а) одна зі сторін дорівнює 12 см, а діагональ 13 см; б) діагональ дорівнює 12 см і утворює зі стороною кут 30∘ ; в) діагональ дорівнює 10 см, а кут між діагоналями 60∘ ; г) одна зі сторін удвічі більша за другу, а діагональ дорівнює 5 см; ґ) одна зі сторін дорівнює 8 см, а друга на 4 см менша за діагональ.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

а) AB = 12 см, AC = 13 см. BC2 = AC2 – AB2 = 169 – 144 = 25, BC = 5 см. 1

б) AC = 12 см, ∠ACB = 30°, AB = АС = 6 см; 2

BC2 = 144 – 36 = 108, BC = √108 = 6√3 (см).

в) ∆ОСК. OC = OD, ∠COD = 60°, ∠OCD = ∠ODC = 60°, CD = OC = OD = 5 см, CD = 5 см, ∆BDC. BC2 = BD2 – CD2 = √100 − 25 = √75, BC = 5√3 см.

г) x2 + 4x2 = 25, 5х2 = 25, х2 = 5, х = √5, AB = CD = √5 см, BC = AD = 2√5 см.

ґ) x2 + 64 = x2 + 16, 8x = 48, х = 6. BC = AD = 6 см; AB = CD = 8 см. 725. Знайди сторони прямокутника, якщо: а) одна зі сторін дорівнює 5 см, а діагональ 13 см; б) діагональ дорівнює 10 см і утворює зі стороною кут 60∘ ; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

в) сторони пропорційні числам 5 і 12, а діагональ дорівнює 26 см; г) одна зі сторін дорівнює 15 см, а друга на 9 см менша за діагональ.

а) √(13² − 5²) = √144 = 12 (см). Сторони 5 см і 12 см. б) У прямокутному трикутнику, утвореному діагоналлю і сторонами, кут проти сторони, прилеглої до кута 60°, дорівнює 30°, тому ця сторона 10 : 2 = 5 (см); друга √(100 − 25) = 5√3 (см). в) Сторони 5x і 12x: (5x)² + (12x)² = 26², 169x² = 676, x = 2. Сторони 10 см і 24 см. ґ) Друга сторона x, діагональ x + 9: 15² + x² = (x + 9)², 225 = 18x + 81, x = 8. Сторони 15 см і 8 см. Відповідь: а) 5 см і 12 см; б) 5 см і 5√3 см; в) 10 см і 24 см; ґ) 15 см і 8 см.

726. Знайди висоту рівностороннього трикутника, якщо його сторона дорівнює 𝑎.

𝑎

BK ⊥ AC. ∆ABK — прямокутний, AK = KC = . BK = а – 2

𝑎2 2

3𝑎2 4

, BK =

𝑎 √3 2

727. Знайди діагональ квадрата, якщо його сторона дорівнює 𝑎.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Діагональ ділить квадрат на два рівнобедрені прямокутні трикутники: d² = a² + a² = 2a², d = a√2. Відповідь: a√2. 728. Катет рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює 𝑎. Знайди його гіпотенузу.

AB2 = а2 + а2, AB2 = 2а2, АВ = 𝑎√2. 729. Гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює 𝑐. Знайди його катети.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BC = AC = x, x2 + x2 = c2, 2x2 = c2, x2 = AC = BC =

𝑐

𝑐2 𝑐

√2

730. У рівнобедреному трикутнику знайдіть: a) висоту, проведену до основи, якщо бічна сторона і основа відповідно дорівнюють 26 см і 20 см; б) сторони, якщо бічна сторона відноситься до основи як 5 ∶ 6, а висота, проведена до основи, дорівнює 12 см; в) бічну сторону, якщо основа дорівнює 6 см, а кут при основі 45∘ . ∆АВС. AB = BC = 26 см, AC = 20 см.

a) BK ⊥ AC. ∆ABK. 1

AK = АС = 10 см. 2 BK2 = AB2 – AK2 = 676 – 100 = 576, BK = 24 см. б) AB : AC = 5 : 6. ВК = 12 см. AB : AK = 5 : 3. AB = 5х, AK = Зх. 25x2 = 9х2 + 144, 16x2 = 144, x2 = 9, х = 3. AB = BC = 15 см; AC = 18 см.

в) AK = BK = 3 см;

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∆ABK — прямокутний рівнобедрений, AB = х. x2 = 9 + 9, x2 = 18, x = √18, х = 3√2. AB = BC = 3√2 см. 731. У рівнобедреному трикутнику знайди: a) бічну сторону, якщо основа і висота, проведена до неї, дорівнюють відповідно 30 см і 20 см; б) периметр, якщо основа дорівнює 12 см , а бічна сторона на 2 см більша за висоту, проведену до основи; в) основу, якщо бічна сторона 12 см , а кут при вершині 120∘ .

У рівнобедреному трикутнику висота BH, проведена до основи, ділить основу навпіл. а) AH = 30 : 2 = 15 (см), AB = √(15² + 20²) = √625 = 25 (см). б) AH = 6 см, BH = h, AB = h + 2: (h + 2)² = h² + 36, 4h = 32, h = 8; AB = 10 см. P = 10 + 10 + 12 = 32 (см). в) ∠A = (180° − 120°) : 2 = 30°, BH = AB : 2 = 6 см, AH = √(144 − 36) = 6√3 (см), AC = 12√3 см. Відповідь: а) 25 см; б) 32 см; в) 12√3 см. 732. У ромбі 𝐴𝐵𝐶𝐷 з вершини тупого кута 𝐷 до сторони 𝐵𝐶 проведено перпендикуляр 𝐷𝐾, 𝐵𝐾 = 4 см, 𝐾𝐶 = 6 см. Визнач довжину перпендикуляра 𝐷𝐾.

BC = BK + KC = 4 + 6 = 10 (см); CD = BC = 10 см (сторони ромба). У прямокутному △DKC: DK = √(10² − 6²) = 8 (см). Відповідь: 8 см. 733. Бічна сторона рівнобедреного трикутника на 8 см більша за висоту, проведену до основи. Знайди периметр трикутника, якщо основа дорівнює 24 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∆АBC — рівнобедрений. AB = BC. 1 AB – BK = 8 см. AC = 24 см, AK = АС = 12 см. 2 ∆ВАK — прямокутний, за теоремою Піфагора: (x + 8)2 = х2 + 144, x2 + 16х + 64 = x2 + 144, 16x = 80, х = 5. AB = 5 + 8 = 13 см. P∆ABC = 13 + 13 + 24 = 50 (см). Відповідь: 50 см. 734. Катет прямокутного трикутника дорівнює 28 дм, а різниця двох інших сторін 8 дм. Знайди периметр трикутника.

∆ABC — прямокутний. AC = 28 дм, AB – BC = 8 дм. ВС = х, AB = x + 8. x2 + 784 = x2 + 16x + 64, 16x = 720, x = 45. BC = 45 дм; AB = 53 дм. Р∆ABC = 45 + 53 + 28 = 126. Відповідь: 126 дм. 735. У коло радіуса 34 см вписано прямокутник, відношення сторін якого 8 ∶ 15. Знайди периметр прямокутника. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AB : AD = 8 : 15. AС = 2R = 68 см. За теоремою Піфагора маємо: AB2 + BC2 = AC2, 64x2 + 225x2 = 4624, 289х2 = 4624, x2 = 16, x = 4. AB = 32 см; AD = 60 см. PABCD = (32 + 60) ∙ 2 = 184 (см). Відповідь: 184 см. 736. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 11 см і 59 см, а бічна сторона 25 см. Знайди висоту трапеції.

BC = 11 см, AD = 59 см. AB = CD = 25 см. Проведемо висоти BF і CK. ∆ABF = ∆DCK (за гіпотенузою і катетом). AF = KD = (59 – 11) : 2 = 24 см. ∆ABF — прямокутний. BK2 = AB2 – AF2 = 625 – 576 = 49. BK = 7 см. 737. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 17 см і 27 см, а висота 12 см. Знайди периметр трапеції.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Висоти відтинають від більшої основи відрізки (27 − 17) : 2 = 5 (см). Бічна сторона: √(12² + 5²) = 13 (см). P = 17 + 27 + 2 · 13 = 70 (см). Відповідь: 70 см. 738. У колі радіуса 17 см проведено хорду завдовжки 16 см. Знайди відстань від центра кола до хорди.

AB = 16 см. OB = 17 см. OK ⊥ AB. ∆AOB — рівнобедрений. AO = OB. KB = 8 см. ∆KOB — прямокутний. OK2 = OB2 – BK2 = 289 – 64 = 225, OK = 15 см. 739. Хорда 𝐴𝐵 і перпендикулярний до неї радіус 𝑂𝐶 перетинаються в точці 𝐾. Знайди 𝐴𝐵, якщо 𝑂𝐾 = 9 см, 𝐾𝐶 = 32 см.

OK = 9 см, KC = 32 см, ОС ⊥ АВ. AK = KB, ∆AOB — рівнобедрений. AO = OB — радіуси. ∆CKB ~ ∆MKA. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

OC = OB = CK = KO = 9 = 32 = 41 (см) З ∆КОВ: KB = √OB 2 − KO2 = √1681 − 81 = √1600 = 40 (см). AB = AK + KB = 40 + 40 = 80 (см). 740. Довжина сторони ромба дорівнює 12 см . Визнач довжину більшої діагоналі цього ромба, якщо його тупий кут дорівнює 120∘ . A. 6√3 см; Б. 8√3 см; B. 12 см; Г. 12√3 см.

Гострий кут ромба 180° − 120° = 60°. Діагоналі ділять кути навпіл і перпендикулярні. У прямокутному △ABO ∠BAO = 30°, тому BO = AB : 2 = 6 см, AO = √(12² − 6²) = 6√3 (см). Більша діагональ AC = 2 · 6√3 = 12√3 (см). Відповідь: Г. 12√3 см. 741. Діаметр колоди 12 см. Чи можна з цієї колоди витесати квадратний брус із ребром: a) 10 см; б) 8 см?

AB = 12 см, MP = 12 см, MNPK — квадрат. ∆MNP — прямокутний. MN2 + NP2 = MP2, x2 + x2 = 144, 2х2 = 144, x2 = 72. х = 6√2 = 8,48 см. а) не можна; б) можна. 742. Дерево надломилося на висоті 6 м, і його вершина впала на землю на відстані 8 м від стовбура. Якою була висота дерева? © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

АС = 6 м, AB = 8 м, BC2 = AC2 + AB2 = 36 + 64 = 100. BC = 10 м. Висота дерева; ВС + AC = 10 + 6 = 16 м. Відповідь: 16 м. 743. Відстань між деревами заввишки 13 м і 27 м дорівнює 48 м. Знайди відстань між вершинами дерев.

AD = 13 м, CB = 27 м. AB = 48 м. Знайдемо DC. DK ⊥ BC. DK = AB = 48 м. CK = BC – BK = 27 – 13 = 14 (м). AB = DK = 48 м. ∆DCK — прямокутний. За теоремою Піфагора маємо: CK2 + DK2 = DC2. 196 + 2304 = DC2, DC2 = 2500, DC = 50 м. Відповідь: 50 м. 744. Для транспортування матеріалів між двома фабричними будівлями споруджено похилий жолоб, кінці якого розміщено на висоті 8 мі 3 м. Відстань між будівлями - 10 м. Обчисли довжину жолоба. Відповідь округли до десятих.

ВС = 3 м, AD = 8 м, DC = 10 м. Знайти AB. BK ⊥ AD, BC = KD = 3 м. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BK = DC = 10 м, AK = AD – KD = 8 – 3 = 5 (м). ∆AKB — прямокутний. AB2 = AK2 + KB2 = 25 + 100 = 125. AB = √125 = 5√5. 745. Кроквова ферма має крокви 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶 по 10 м і прогін 𝐴𝐶 завдовжки 16 м. Визнач висоту ферми 𝐵𝐷.

AB = BC = 9 м, AC = 14 м. AD = DC = 7 м. BD2 = BC2 – DC2 = 81 – 49 = 32. BD = √32 = 4√2. Відповідь: 4√2. 746. За малюнком знайди невідомі елементи 𝑥 і 𝑦.

а) 1) ∆СKА ~ ∆АСВ. 2 𝑥

𝑥 10

, x2 = 20,

x = √20, х = 2√5;

2) ∆CKA. CK2 = √20 – 4 = 20 – 4 = 16, CK = 4; 3) ∆CKB. BC2 = BK2 + CK2,

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

у2 = 64 + 16 = 80, у = √80 = 4√5.

б) ∆KBC. KC2 = BC2 – BK2 = 262 – 102 = 676 – 100 = 576. KC = 24 см. y = 24. AK = 29 – 24 = 5 см. ∆ABK. AB2 = BK2 + AK2 = 100 + 25 = 125, АВ = √125 = 5√5. х = 5√5. 747. За малюнком знайди невідомі елементи 𝑥 і 𝑦.

а) ∆AKC. KC2 = AC2 – AK2 = 900 – 576 = 324. KC = у = 18 см. AB = х + 18. ∆ABK. AB2 = BK2 + AK2. (x + 18)2 = x2 + 576, x2 + 36x + 324 = x2 + 576, 36x = 252, х = 7.

б) AK = FD =

(11−5) 2

= 3. AB = BC = CD = 5.

∆ABK. BK = √25 − 9 = √16 = 4. x = 4. х = 4. ∆BKD. BD2 = BK2 + KD2 = 16 + 64 = 80, BD = √80 = 4√5. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

y = 4√5. 748. Знайди периметр прямокутного трикутника, якщо бісектриса гострого кута ділить протилежний катет на відрізки завдовжки 10 см і 26 см.

△ABC, ∠C = 90°, AD — бісектриса, CD = 10 см, DB = 26 см, CB = 36 см. AC : AB = CD : DB = 10 : 26 = 5 : 13. Нехай AC = 5x, AB = 13x: (13x)² = (5x)² + 36², 144x² = 1296, x = 3. AC = 15 см, AB = 39 см. P = 15 + 36 + 39 = 90 (см). Відповідь: 90 см.

749. Знайди радіус кола, вписаного в трикутник зі сторонами 10 см, 10 см і 12 см.

△ABC: AB = BC = 10 см, AC = 12 см. Висота BK ділить основу навпіл: AK = 6 см, BK = √(100 − 36) = 8 (см). Центр O вписаного кола лежить на BK, AO — бісектриса кута A в △ABK: BO : OK = AB : AK = 10 : 6. r = OK = 8 · 6/16 = 3 (см). Відповідь: 3 см.

750. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайди висоту, проведену до гіпотенузи.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

CK ⊥ AB, ∆ABC ~ ∆CAK. 𝐴𝐶 𝐴𝐵 6 8 = , = ; 𝐴𝐾

𝐴𝐶 𝐴𝐾

8AK = 36, AK = 4,5. ∆AKC. CK2 = AC2 – AK2 = 36 – 20,25 = 15,75; CK = √15,75 = 3,97 cм. Відповідь: висота CK = 3,97 см. 751. Знайди висоту 𝐵𝐻 △ 𝐴𝐵𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 13, 𝐴𝐶 = 14, 𝐵𝐶 = 15.

З ∆ABH, BH2 = AB2 – AH2. З ∆BHC, BH2 = BC2 – HC2. Нехай АН = х, тоді HC = 14 – х. 132 – х2 = 152 – (14 – х)2; 169 – х2 = 225 – 196 + 28x – x2. 28х = 140; х = 5. AH = 5 cм; BH2 = 169 – 25 = 144; BH = 12 см. Відповідь: 12 см. 752. Відкрита задача. Знайдіть периметр трикутника, якщо дві його сторони дорівнюють 12 см і 16 см і трикутник є... Приклади доповнення умови: 1) трикутник прямокутний, 12 см і 16 см — катети: гіпотенуза √(144 + 256) = 20 (см), P = 12 + 16 + 20 = 48 (см); 2) трикутник прямокутний, 16 см — гіпотенуза: другий катет √(256 − 144) = 4√7 (см), P = 28 + 4√7 (см); 3) трикутник рівнобедрений з бічними сторонами по 12 см: P = 12 + 12 + 16 = 40 (см); 4) трикутник рівнобедрений з бічними сторонами по 16 см: P = 16 + 16 + 12 = 44 (см). © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

753. На катеті 𝐵𝐶 прямокутного △ 𝐴𝐵𝐶 з гіпотенузою 𝐴𝐵 = 50 см взято точку 𝑀 таку, що 𝐴𝑀 = 41 см і 𝐶𝑀 ∶ 𝑀𝐵 = 3 ∶ 7. Знайди катети трикутника.

Нехай ∆BС — прямокутний. AB = 50 см, CM : MB = 3 : 7. AM = 41 см. MC = 3x, MB = 7x, CB = 10x. З ∆ABC: AC2 = 2500 – 100x2. З ∆МАС: AC2 = 1681 – 9х2, 2500 – 100x2 = 1681 – 9х2, 91х2 = 819, x2 = 9, х = 3. ВС = 10х = 30 см; AC2 = 2500 – 900 = 1600, АС = 40 см. Відповідь: 30 см; 40 см. 754. Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить гіпотенузу на відрізки 3 см і 10 см. Знайди сторони трикутника.

Відрізки дотичних з однієї точки рівні. Нехай r — радіус; катети r + 3 і r + 10, гіпотенуза 13 см. (r + 3)² + (r + 10)² = 13², 2r² + 26r + 109 = 169, r² + 13r − 30 = 0, r = 2 (r = −15 не підходить). Катети 5 см і 12 см, гіпотенуза 13 см. Відповідь: 5 см, 12 см, 13 см.

755. The point of contact of a circle inscribed in a right triangle divides one of the legs into segмents 3 см and 5 см. Find the periмeter of the triangle.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Від вершини прямого кута до точок дотику — відрізки, рівні r. Якщо r = 5, а від гострого кута 3, то гіпотенуза коротша за катет — неможливо, тому r = 3, катет 3 + 5 = 8 (см). Нехай відрізок дотичної з третьої вершини t: другий катет 3 + t, гіпотенуза 5 + t. 8² + (3 + t)² = (5 + t)², 64 + 9 + 6t = 25 + 10t, t = 12. Сторони 8 см, 15 см, 17 см; P = 40 см. Відповідь: 40 см (the perimeter is 40 cm).

756. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 22 см і 42 см, а бічна сторона 26 см. Знайди діагоналі трапеції.

Нехай ABCD — трапеція. BC ∥ AD, AB = CD = 26 см, BC = 22 см, AD = 42 см. CK ⊥ AD, BF ⊥ AD. ∆ABF = ∆DCK, тому AF = KD = (42 – 22) : 2 = 10 см. ∆ABF — прямокутний, за теоремою Піфагора: BF2 = AB2 – AF2 = 626 – 100 = 576. BF = 24 см, CK = FB. ∆ACK — прямокутний. AC2 = CK2 – AK2 = 242 + 322 = 576 + 1024 = 576 + 1024 = 1600. AC = 40 см. Відповідь: 40 см. 757. Знайди діагоналі прямокутної трапеції з основами 3 см і 6 см та кутом 120∘ .

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай ABCD — прямокутна трапеція. AB ⊥ BC, AB ⊥ AD. BC = З, AD = 6. CK ⊥ AD, KD = AD – BC = 3 см. 1 ∆KDC. ∠KCD = 30°. KD = CD. CD = 6 см. 2

∆CKD. CK = 36 – 9 = 27. CK = √27 = 3√3. ∆АСК. AC2 = АК2 + КС2 = 9 + 27 = 36. AC = 6 см. ∆ABD — прямокутний. BD2 = AB2 + AD2 = 27 + 36 = 63. 2

BD = √63 см. Відповідь: 6 см; √63 см. 758. Доведи, що в прямокутній трапеції різниця квадратів діагоналей дорівнює різниці квадратів основ.

Доведемо, що AD2 – BC2 = BD2 – AC2. ∆ABD. AD2 = BD2 – AB2 (1). ∆ABC. BC2 = AC2 – AB2 (2). З (1) віднімемо (2). AD2 – BC2 = BD2 – AB2 – AC2 + AB2. AD2 – BC2 = BD2 – AC2, що й треба було довести. 759. У прямокутній трапеції менша основа дорівнює 𝑚, а більша бічна сторона і менша діагональ дорівнюють по 𝑛. Знайди більшу діагональ трапеції.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нexaй дано прямокутну трапецію ABCD. BC = m, CD = AC = n. ∆ABC. AB2 = n2 – m2. AB = √𝑛2 – 𝑚2 ∆ACD — рівнобедрений. AC = CD = n. AK = KD. CK ⊥ AD. ∆CKD. KD2 = CD2 – CK2, KD2 – N2 – N2 + m2 = m2. KD = m. ∆ABD. BD2 = AB2 + AD2. BD2 = N2 – m2 + 4m2. BD = √𝑛2 + 3𝑚2 Відповідь: √𝑛2 + 3𝑚2 760. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута. Знайди довжину цієї діагоналі, якщо основи трапеції дорівнюють 10 см і 22 см.

AC — бісектриса гострого кута A: ∠BAC = ∠CAD = ∠BCA, тому AB = BC = 10 см. Висота CH відтинає HD = (22 − 10) : 2 = 6 (см), CH = √(10² − 6²) = 8 (см), AH = 22 − 6 = 16 (см). AC = √(16² + 8²) = √320 = 8√5 (см). Відповідь: 8√5 см.

761. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її тупого кута. Знайди довжину цієї діагоналі, якщо основи трапеції дорівнюють 6 см і 26 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BD — бісектриса тупого кута B: ∠ABD = ∠DBC = ∠BDA, тому AB = AD = 26 см. Висота BH відтинає AH = (26 − 6) : 2 = 10 (см), BH = √(26² − 10²) = 24 (см), HD = 26 − 10 = 16 (см). BD = √(16² + 24²) = √832 = 8√13 (см). Відповідь: 8√13 см.

762. Знайди радіус кола, вписаного в рівнобічну трапецію з основами 4 см і 16 см.

Нехай дано рівнобічну трапецію ABCD. AB = CD, BC = 4 см; AD = 16 см. OK ⊥ AD. OK = r. Проведемо висоти BF і CM. AF = MD = (16 – 4) : 2 = 6 см. Якщо в трапецію вписати коло, то BC + AD = AB + CD = 4 +16 = 20 (см). AB = CD = 20 : 2 = 10 см. ∆ABF. BF2 = AB2 – AF2 = 100 – 36 = 64. 1

BF = 8. OK = BF = 4 см. 2 Відповідь: 4 см. 763. Радіус кола, вписаного в рівнобічну трапецію, дорівнює 3 см, а бічна сторона - 10 см. Знайди основи трапеції.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Висота трапеції дорівнює діаметру: h = 6 см. Проєкція бічної сторони на основу: √(10² − 6²) = 8 (см). Сума основ дорівнює сумі бічних сторін: a + b = 20; різниця основ a − b = 2 · 8 = 16. a = 18 см, b = 2 см. Відповідь: 18 см і 2 см.

764. Знайди основи трапеції, вписаної в коло, якщо бічна сторона і діагональ відповідно дорівнюють 6 см і 8 см, а центр кола лежить на більшій стороні трапеції.

Нехай ABCD — трапеція, вписана в коло. AB = 6 см, BD = 8 см, центр O лежить на стороні AD. ∠ABD = ∠ACD, якщо трапеція вписана в коло. Тому AB = CD. ∆ABD — прямокутний. ∠ABD = 90°. AD2 = AB2 – BD2 = 36 + 64 = 100. AD = 10 см. BF ⊥ AD, CK ⊥ AD. OB = OA. ∆ABF. BF2 = AB2 – AF2, ∆OBF. BF2 = OB2 – FO2, тоді AB2 – AF2 = OB2 – OF2, нехай AF = x, FO = 5 – х. 36 – x2 = 25 – (5 – х)2, 36 – х2 = 25 – 25 + 10x – x2, х = 3,6. FO = AO – AF = 5 – 3,6 = 1,4 см; BC = FK = 1,4 ∙ 2 = 2,8 см. Відповідь: 2,8 см; 10 см. 765. У трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴 = 90∘ , 𝐴𝐵 = 12 см. Діагональ 𝐵𝐷 ділить середню лінію 𝐾𝐿 трапеції на відрізки 𝐾𝑀 і 𝑀𝐿, причому 𝐾𝑀 = 5,5 см і 𝑀𝐿 = 3 см. Обчисли периметр трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

KM — середня лінія △ABD, тому AD = 2 · 5,5 = 11 (см); ML — середня лінія △BCD, тому BC = 2 · 3 = 6 (см). Висота CH = AB = 12 см, HD = 11 − 6 = 5 (см), CD = √(12² + 5²) = 13 (см). P = 12 + 6 + 13 + 11 = 42 (см). Відповідь: 42 см. 766. Радіуси двох концентричних кіл дорівнюють 𝑟 і 2𝑟. Знайди довжину хорди більшого кола, яка дотикається до меншого кола.

Нехай дано 2 концентричні кола. OA = r, OB = 2r. Хорда MN дотикається меншого кола в точці А. ∆OMA — прямокутний. OM = ON = 2r, MA2 = OM2 – OA2 = 4r2 – r2 = 3r2. MA = r√3. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∆OMN — рівнобедрений. MN = 2МА = 2r√3. Відповідь: 2r√3. 767. У колі радіуса 15 см по одну сторону від центра проведено дві паралельні хорди завдовжки 18 см і 24 см. Знайди відстань між хордами.

а) Нехай AB = 18 см, CD = 24 см. AO = OB = R = 15 см. AB ∥ CD. MN — відстань між хордами. 1 1 MB = АВ; ND = CD; MN = OM + ON. 2 2 ∆MOB. OM2 = OB2 – MB2 = 225 – 81 = 144, OM = 12 см. ∆NOD. ON2 = OD2 – ND2 = 225 – 144 = 81, ON = 9 см. MN = 12 + 9 = 21 (см).

б) MN = OM – ON. ∆OBM. OM2 = OB2 – BM2 = 144, OM = 12 см. ∆NOD. ON = 9 см. CN = 12 – 9 = 3 см. 768. У колі радіуса 10 см по різні сторони від центра проведено дві паралельні хорди завдовжки 12 см і 16 см. Знайди відстань між хордами.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відстані від центра до хорд (перпендикуляр ділить хорду навпіл): d₁ = √(10² − 6²) = 8 (см), d₂ = √(10² − 8²) = 6 (см). Хорди по різні боки від центра: відстань між ними 8 + 6 = 14 (см). Відповідь: 14 см.

769. З листа жерсті вирізали круги, дотичні один до одного. Знайди відстань між прямими, на яких розташовані центри кругів, якщо діаметр кожного круга дорівнює 28 см.

OA = BD = R = 28 : 2 = 14 см. OD = R + R = 28 см. AD — відстань між прямими, на яких розташовані центри кругів. ∆OAD — прямокутний, за теоремою Піфагора маємо: AD2 = OD2 – OA2 = 282 – 142 = 484 – 196 = 588. AD = √588 = 2√147 = 14√3. 770. Відстань між центрами двох кіл, радіуси яких 10 см і 17 см, дорівнює 21 см. Знайди довжину спільної хорди.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай BC — спільна хорда кіл, що перетинаються. OO1 = 21, OB = 10 см, О1В = 17 см. Нехай ОК = х, О1К = 21 – х. ∆OBK. BK2 = OB2 – OK2 = 100 – х2. ∆O1BK. BK2 = O1B2 – KO12 = 289 – (21 – x)2, 100 – x2 = 289 – 441 + 42x – x2, 42x = 252, x = 6. OK = 6 см, BK2 = 100 – 36 = 64. BK = 8 см, ВС = 2ВК, ВС = 16 см. Тому ∆BOC — рівнобедрений. Відповідь: 16 см. 771. Радіуси двох кіл, що перетинаються, дорівнюють 13 см і 15 см, а спільна хорда дорівнює 24 см. Знайди відстань між центрами кіл.

OA = 13 см, O1A = 15, AB = 24 см. ∆AOB — рівнобедерний, AO = OB, AK = BK = 12 см. ∆AOK — прямокутний. O1K2 = AO12 – AK2 = 225 – 144 = 81, KO1 = 9 см. OO1 = ОК + КО1 = 5 + 9 = 14 (см). Відповідь: 14 см. 772. Кола радіусів 8 см і 18 см дотикаються зовні. Знайди довжину спільної зовнішньої дотичної.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

OK = 8 см, O1K1 = 18 см; M – точка дотику. KK1 — спільна зовнішня дотикна. OO1 = OМ + МO1 = 8 + 18 = 26 (см). KO ∥ K1O1. OKK1O1 — трапеція. OP ⊥ K1O1. PO1 = 18 – 8 = 10 см. ∆ОРО1: За теоремою Піфагора: OP2 = OO12 – PO12 = 262 – 102 = 676 – 100 = 576, OP = 24, OP = KK1. Відповідь: 24 см. 773. Радіуси двох кіл дорівнюють 2 см і 8 см, а відстань між їхніми центрами 15 см. Знайдіть довжину спільної: а) зовнішньої дотичної; б) внутрішньої дотичної. OA = 2 см, O1A1 = 8, OO1 = 15 см. MN — довнішня дотикна. OK ⊥ NO1. OMNO1 — трапеція. OM ∥ O1N, ОМ ⊥ l, O1N ⊥ l. O1K = 8 – 2 = 6 см. ∆OKO1 — прямокутний. OK2 = OO12 – O1K2 = 225 – 36 = 189. OK = √189. 774. У прямокутному трикутнику катет завдовжки 18 см лежить проти кута 15∘ . Знайди довжину другого катета.

△ABC, ∠C = 90°, ∠A = 15°, BC = 18 см. Проведемо BD (D ∈ AC) так, що ∠ABD = 15°. △ABD рівнобедрений: AD = BD. ∠BDC = 15° + 15° = 30° (зовнішній кут), тому BD = 2BC = 36 см. DC = √(36² − 18²) = 18√3 (см). AC = AD + DC = 36 + 18√3 = 18(2 + √3) (см). Відповідь: 18(2 + √3) см. 775. Доведи, що квадрат найменшої медіани прямокутного трикутника менший від суми квадратів інших його медіан у 5 разів.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

OB — найменша медіана прямокутного трикутника, доведемо, що: 5ВO2 = PC2 + AK2. 1

𝐴𝐶 2

BO = АС; ВO2 =

∆ABK: AK2 = AB2 + ∆PBC: PC2 = BC2 + AK2 + PC2 = AB2 + 2

5BO =

𝐴𝐶 2 4

;

𝐵𝐶 2 4

𝐴𝐵2 4 𝐵𝐶 2 4

;

. + BC2 +

𝐴𝐵2 4

5(𝐴𝐵2 +𝐵𝐶 2 ) 4

= AC2. 4

; 𝐴𝐶 2

AK2 + PC2 = 5 . 4 Тому: 5ВО2 = РС2 + АК2, що й треба було довести. 776. Дев'ять прямокутних трикутників розміщено, як показано на малюнку. Знайди відношення 𝑂𝐴 ∶ 𝑂𝑁, якщо всі ланки ламаної ABCDEFKLМN - рівні відрізки і OA = 2AB.

OA = 2AB, AB = k; OA = 2k; OB = √4𝑘 2 + 𝑘 2 = 𝑘√5; OC = √5𝑘 2 + 𝑘 2 = 𝑘√6; OD = 𝑘√7; OE = 𝑘√8; OF = 𝑘√9 = 3k; OK → = 𝑘√10; OH = 𝑘√11; OM = 𝑘√12; ON = 𝑘√13; OA : ON = 2k : 𝑘√13; = 2 : √13. Відповідь: 2 : √13.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

777. Підготуй презентацію чи запиши відео на одну з тем: 1) Піфагор Самоський і його теорема; 2) математичні здобутки в школі Піфагора. Орієнтовний план. 1) Піфагор Самоський (бл. 570–495 рр. до н. е.) — давньогрецький філософ і математик, народився на острові Самос, заснував школу (союз) піфагорійців у місті Кротон. 2) Теорема Піфагора: у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів; її частинні випадки знали в Єгипті, Вавилоні, Індії, Китаї, але доведення приписують Піфагору; відомо понад 300 доведень. 3) Піфагорові трійки: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17 — «єгипетський трикутник» використовували для побудови прямого кута. 4) Здобутки школи Піфагора: вчення про парні й непарні, прості та «досконалі» числа, відкриття несумірних відрізків (сторона й діагональ квадрата), теорема про суму кутів трикутника, правильні многогранники, музичні гармонії.

778. Знайди кути паралелограма, якщо один із них на 100∘ менший від суми трьох інших кутів.

ABCD — паралелограм. ∠A = ∠C = x; ∠B = ∠D = y; x + y = 180°, х + 100° = х + у + у; х + у = 180°, 2у = 100°. у = 50°; х = 130°. Відповідь: ∠A = ∠C = 130°; ∠B = ∠D = 50°. 779. Укажи вид трикутника, якщо його кути пропорційні числам: а) 2, 3 і 5; б) 5, 5 і 8; в) 1, 1 і 2. а) різносторонній; б) рівнобедрений; в) рівнобедрений. 780. Довжина тіні людини зростом 1,8 м дорівнює 2,5 м. Знайди висоту дерева, тінь від якого завдовжки 10 м.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AC = 10 м; MN = 1,8 м; MA = 2,5 м. Знайдемо BC — висоту дерева. MN ⊥ AC; ВС ⊥ AC; BC ∥ MN; ∆АМN ~ ∆АСВ. BC/AC = NM/AM; 𝐵𝐶 𝑁𝑀 𝑥 1,8 = ; = ; 𝐴𝐶 𝐴𝑀 10 2,5 2,5x = 10 ∙ 1,8; х = 7,2. Відповідь: 7,2 м.

§14. Перпендикуляр і похила 781. Назви: а) перпендикуляри до прямих 𝐴𝑂, 𝐵𝑂, 𝐴𝐵; б) похилі до прямих 𝐴𝑂, 𝐵𝑂, 𝐴𝐵, зображені на малюнку.

a) BO ⊥ AO; AO ⊥ BO; CO ⊥ AB. б) AB похила до AO, AO похила до AC, OB похила до BC. 782. Скільки різних перпендикулярів можна провести через дану точку до даної прямої? А з даної точки до даної прямої? Один перпендикуляр. 783. 3 точки 𝐴 до прямої 𝑎 проведено перпендикуляр 𝐴𝐻 і похилу 𝐴𝐵 завдовжки 30 см. Кут між ними 30∘ . Знайди довжину проєкції цієї похилої. A. 30 см; Б. 60 см; B. 15 см; Г. 20 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AB = 30 см; ∆AHB — прямокутний, ∠H = 90°. 1 HB = АВ = 15. 2 Відповідь: 15 см. 784. Проєкція похилої, проведеної з 𝐴 на пряму 𝑎, дорівнює 4 м і утворює з похилою кут 45∘ . Знайди відстань від точки 𝐴 до прямої 𝑎. A. 4 м; Б. 8 м; В. 2 м; Г. 4√2 м.

AC ⊥ a; AB — похила; CB — проекція. CB = 4 м. ∠ABC = 45°; AC — відстань від точки А до прямої а. ∠B = ∠A = 45°; BC = AC = 4 м. Відповідь: 4 м. 785. Гра. Один із гравців / одна із гравчинь креслить пряму, другий/друга ставить точку, що не належить цій прямій, а третій/третя - проводить з точки перпендикуляр до прямої. Потім учні/учениці міняються ролями.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Перпендикуляр з точки до прямої будують за допомогою косинця: один катет прикладають до прямої, другий пересувають до даної точки і проводять відрізок. Приклад: перший гравець провів пряму a, другий поставив точку M, третій провів перпендикуляр MH ⊥ a; H — основа перпендикуляра. Потім гравці міняються ролями. 786. Познач в зошиті точки 𝐴, 𝐵, 𝐶 і накресли пряму 𝑎, як на малюнку. Проведи з названих точок перпендикуляри до 𝑎.

З кожної точки проводимо за допомогою косинця пряму, перпендикулярну до a: AA₁ ⊥ a, BB₁ ⊥ a, CC₁ ⊥ a (A₁, B₁, C₁ — основи перпендикулярів). Точки A і B лежать по один бік від a, точка C — по інший, тому перпендикуляр з C спрямований угору. 787. З точки 𝐴 до прямої 𝑎 проведено перпендикуляр 𝐴𝑂 і похилу 𝐴𝐵. Знайди 𝐴𝑂, якщо довжина похилої та її проєкції дорівнюють відповідно 13 см і 5 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

△AOB прямокутний (∠O = 90°), AB = 13 см — похила, OB = 5 см — її проєкція. AO = √(13² − 5²) = √144 = 12 (см). Відповідь: 12 см. 788. The perpendicular 𝑀𝑂 = 8 см and the oblique line 𝑀𝐴 = 10 см are drawn froм point 𝑀 to line 𝑎. Find the length of the projection of the oblique line.

△MOA прямокутний: OA = √(MA² − MO²) = √(10² − 8²) = 6 (см). Відповідь: 6 см (the projection is 6 cm). 789. З точки 𝑃 до прямої 𝑝 проведено перпендикуляр 𝑃𝐾 і похилу 𝑃𝑀, кут між якими 45∘ . Знайди довжину похилої та її проєкції, якщо 𝑃𝐾 = 7 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

PK — перпендикуляр, PM — похила. PK = 7 см. ∆MPK — прямокутний. ∠M = ∠P = 45°. MK = KP. З ∆MPK за теоремою Піфагора: MP2 = MK2 + PK2 = 72 + 72 = 98. MP = 7√2. Відповідь: 7√2 см; 7 см. 790. З точки 𝐴, віддаленої від прямої 𝑎 на 10 см , проведено похилу під кутом 30∘ до прямої 𝑎. Знайди довжину похилої та її проєкцію на пряму 𝑎.

AK ⊥ a, ∠AMK = 60°, AK = 10 см. 1 ∆MAK, ∠A = 30°, ∠K = 90°, MK = МА. 2 MK = х, МА = 2х. За теоремою Піфагора: 10 4х2 = x2 + 100; 3х2 = 100; x = ; МК =

10 √3

см. AM =

20 √3

√3

см.

791. 𝑀－внутрішня точка прямого кута 𝐴𝐵𝐶. Проєкції відрізка 𝑀𝐵 на сторони кута дорівнюють 9 см і 12 см. Знайди відстань від точки 𝑀 до вершини кута．

Нехай дано: ∠ABC = 90°, MK ⊥ AB, BK — проекція BM на AB. MN ⊥ BC, BN — проекція BM на BC. BKMN — прямокутник. ∆BMN — прямокутний. BM2 = MN2 + BN2 = 81 + 144 = 225. BM = 15 см. Відповідь: 15 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

792. 𝐴𝐵𝐶－рівносторонній трикутник зі стороною 6 см. Побудуй проєкцію сторони трикутника на пряму, на якій лежить інша його сторона. Знайди довжину цієї проєкції．

Нехай ∆АВС — рівносторонній. AB = BC = AC = а. BK ⊥ AC. AK — проекція AB на сторону AC. 𝑎 1 AK = ; AK = АС. (BK — висота і медіана). 2

𝑎

Відповідь: . 2

793. Сторони трикутника дорівнюють 10 см, 10 см і 15 см. Знайди проєкцію меншої сторони трикутника на пряму, якій належить його більша сторона．

Нехай дано ∆АВС — рівнобедрений. AB = BC = 10 см. AK — проекція AB на AC. 1 15 AK = AC = = 7,5 (см). 2 2 Відповідь: 7,5 см. 794. Точка 𝑀 кута 𝐴𝐵𝐶 рівновіддалена від його сторін. Доведи, що проєкції відрізка 𝑀𝐵 на сторони кута рівні.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай дано ∠ABC. МА ⊥ АВ, MC ⊥ BC. AB і BC — проекції відрізка BM на сторони кута ABC. ∆ABM = ∆CBM. (MA = MC, MB — спільна), тому AB = BC. 795. Проєкції катетів на гіпотенузу прямокутного трикутника дорівнюють 2 см і 18 см. Знайди усі три висоти трикутника. Склади план розв’язування задачі та розв’яжи її．

Нехай ∆ABC — прямокутний. ∠C = 90°. AH і HB — проекції катетів на гіпотенузу. AH = 2 см, HB = 18 см. CH — висота. CH2 = AH ∙ HВ = 2 ∙ 18 = 36, CH = 6 см. ∆CAH: AC2 = CH2 + AH2 = 36 + 4 = 40, AC = √40 = 2√10. ∆BCH: CB2 = HВ2 + CH2 = 324 + 36 = 360; CB = √360 = 6√10. Відповідь: 6 см; 6√10; 2√10. 796. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 15 см і 20 см. Знайди їх проекції на гіпотенузу.

∆ABC — прямокутний, AC = 15 см, BC = 20 см. CK ⊥ AB, AK і BK — проекції катетів на гіпотенузу. За теоремою Піфагора: AB2 = 225 + 400 = 625, АВ = 25. ∆ВСК ~ ∆ABC, BK =

𝐵𝐶 2 𝐴𝐵 𝐴𝐶 2

400 25 225

= 16 (см).

∆ACK ~ ∆ABC, AK = = = 9 (см). 𝐴𝐵 25 Відповідь: 16 см і 9 см. 797. Бічна сторона прямокутного рівнобедреного трикутника дорівнює a. Знайди її проекцію на гіпотенузу трикутника.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай дано прямокутний рівнобедрений ∆ABC. AC = ВС = а. CK ⊥ AB. АК — проекція AC на AB. AB2 = AC2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2; АВ = 𝑎√2; AK = Відповідь:

𝑎 √2 2

798. Знайди проекцію бічної сторони рівнобічної трапеції з основами 30 см і 60 см на її більшу основу.

Нехай дано трапецію ABCD. AB = CD; BC ∥ AD. AK — проекція сторони AB на AD. AD− BC 60−30 AK = FD = = = 15 (см). 2 2 Відповідь: 15 см. 799. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 5 см і 13 см. Знайди проекцію більшої бічної сторони на її більшу основу.

ABCD — прямокутна трапеція, AB ⊥ AD, BC = 5 см, AD = 13 см. Висота CH відтинає прямокутник ABCH, AH = 5 см. Проєкція більшої бічної сторони CD на AD — відрізок HD = 13 − 5 = 8 (см). Відповідь: 8 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

800. З точки M до прямої a проведено перпендикуляр MH = 24 см і похилі MA = 25 см і MB = 30 см. Знайдіть відстань між основами похилих. Скільки розв’язків має задача?

HA = √(25² − 24²) = 7 (см), HB = √(30² − 24²) = 18 (см). Якщо A і B лежать по один бік від H: AB = 18 − 7 = 11 (см); якщо по різні боки: AB = 18 + 7 = 25 (см). Задача має два розв’язки. Відповідь: 11 см або 25 см. 801. З точки 𝑀 до прямої 𝑎 проведено перпендикуляр 𝑀𝐻 = 10 см і похилі 𝑀𝐴 і 𝑀𝐵, які утворюють з прямою а кути 30∘ і 45∘ . Знайди відстань між основами похилих. Скільки розв'язків має задача?

У △MHA ∠A = 30°, тому MA = 2MH = 20 см, HA = √(400 − 100) = 10√3 (см). У △MHB ∠B = 45°, тому HB = MH = 10 см. Якщо A і B по різні боки від H: AB = 10√3 + 10 = 10(√3 + 1) (см); якщо по один бік: AB = 10√3 − 10 = 10(√3 − 1) (см). Задача має два розв’язки. Відповідь: 10(√3 + 1) см або 10(√3 − 1) см. 802. З точки до прямої проведено перпендикуляр та дві похилі, одна з яких на 5 см довша за другу. Знайди довжину перпендикуляра, якщо довжини проєкцій похилих на пряму дорівнюють 18 см і 7 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Більшій проєкції відповідає більша похила. Нехай менша похила x, більша x + 5, перпендикуляр h: h² = x² − 7² = (x + 5)² − 18², x² − 49 = x² + 10x + 25 − 324, 10x = 250, x = 25. h = √(25² − 7²) = √576 = 24 (см). Відповідь: 24 см. 803. З точки до прямої проведено перпендикуляр та дві похилі, довжини яких 13 см і 15 см. Знайди довжину перпендикуляра, якщо довжини проєкцій похилих на пряму відносяться як 5 ∶ 9.

Нехай проєкції 5x і 9x (меншій похилій 13 см — менша проєкція). h² = 13² − (5x)² = 15² − (9x)². 169 − 25x² = 225 − 81x², 56x² = 56, x = 1. h = √(169 − 25) = 12 (см). Відповідь: 12 см. 804. 𝑂𝐴 і 𝑂𝐵 - радіуси одного кола, ∠𝐴𝑂𝐵 = 60∘ . Знайди відношення радіуса 𝑂𝐴 до його проєкції на 𝑂𝐵.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∠AOB = 60°, ∆AOB — рівносторонній. ∠AOB = ∠OAB = ∠OBA = 60°. AK ⊥ OB. OK — проекція OA на OB. 1 1 ОК = ОВ = ОВ. ОА : ОК = 2 : 1. 2 2 Відповідь: 2 : 1. 805. Знайди кут між радіусами кола, якщо проєкція одного з них на другий становить четверту частину діаметра.

OH = МА, MA — діаметр кола. 4 OA = 2OH. ∠BOA = 60°. Відповідь: 60°. 806. Вкажіть значення величин у порожніх клітинках таблиці，якщо ℎ, 𝑎 і 𝑚－ відповідно перпендикуляр，похила та її проєкція на деяку пряму, а 𝛼 - кут між похилою та її проєкцією.

1) m2 = a2 – h2 = 16 – 4 = 12, m = √12 = 2√3; 2) h2 = а2 – m2 = 36 – 9 = 27, h = √27 = 3√3; 3) h2 = а2 – m2 = 100 – 25 = 75, h = 5√3; 4) а2 = 16 + 16 = 32, а = 4√2; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

5) а2 = 49 + 49 = 98. 𝑎√98; = 7√2; 6) m2 = а2 – h2 = 256 – 64 = 192, m = √192; h

3√3

5√3

4√2

7√2

2√3

√192

30∘

60∘

45∘

30∘

5 60∘

807. Сторона 𝐴𝐵 рівностороннього трикутника 𝐴𝐵𝐶 дорівнює 𝑎. Знайди її проєкцію на пряму, якій належить висота 𝐵𝐻 цього трикутника．

Нехай дано ∆ABC, AB = BC = AC = а. BH — проекція AB на пряму BH. 𝑎 AH = ; ∆ABH — прямокутний. 2

BH2 = a2 – Відповідь:

𝑎2

4 𝑎 √3 2

3𝑎2 4

, BH =

𝑎 √3 2

808. Сторони трикутника дорівнюють 𝑎, 2𝑎 і 2𝑎. Знайди проєкції на одну бічну сторону двох інших сторін трикутника．

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай дано ∆ABC, AB = BC = 2а, AC = а. KC — проекція AC на BC, BK — проекція AB на BC. ∆AKB — прямокутний. AK ⊥ BC. BK = x, KC = 2а – х. AK2 = AB2 – BK2 = 4a2 – x2. ∆АКС — прямокутний. AK2 = AC2 – KC2 = а2 – (2а – х)2, 4а2 – x2 = а2 – 4а2 + 4ах – х2; 7𝑎 4ах = 7a2; 4х = 7а; x = = 1,75а; 4 KC = 2а – 1,75а = 0,25а. 809. Проєкція сторони прямокутника на його діагональ становить третину діагоналі. Як відносяться сторони прямокутника?

ABCD — прямокутник, AC — діагональ, AK — проекція AB на AC, KC — проекція BC на AC. 1 2 Нехай AC = а, тоді АК = а, KC = а; 3

2 2

𝑎 √2

BK2 = AK ∙ KC = а , BK =

𝑎2

9 2 2

9 4 2

9 6 2

3 2 2

√3 𝑎 √2

√3

∆ABK, AB2 = BK2 + AK2 = а2 + а2 = а2 =

; AB =

∆BKC, BC2 = BK2 + KC2 = а + а = а = а ; BC = AB : BC =

𝑎 √3

𝑎 √2 √3

𝑎

;

= 1 ∶ √2.

Відповідь: 1 ∶ √2. 810. Задача Бхаскари. Квітка лотоса при вертикальному положенні стебла піднімалась 1 над водою на фута．Вітер відхилив її на 2 фути від попереднього положення (по 2 поверхні води). Після цього квітка лотоса опинилась на рівні води. Визнач глибину озера в цьому місці.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AB = фута, BC = 2 фута. 2 CD — глибина озера; CB ⊥ AB1. AB1 = B1C. 1 Нехай BB1 = х, тоді B1C = AB1 = х + ; 2 ∆BB1C — прямокутний, за теоремою Піфагора маємо: BB12 + BC2 = B1C2. 1 x2 + 4 = (x + )2; 2

x2 + 4 = x2 + x + ; x = 3 фута. 3

Відповідь: 3 фута. 4

811. На малюнку 14.16 зображено рівнобедрену трапецію 𝐴𝐵𝐶𝐷, у якій 𝐴𝐷 = 8 см, 𝐵𝐶 = 4 см, 𝐴𝐶 = 10 см. Установіть відповідність між проєкцією відрізка на пряму (1-4) та довжиною проекції (А-Д). 1. проєкція відрізка BC на пряму AD; 2. проєкція відрізка CD на пряму AD; 3. проєкція відрізка AC на пряму AD; 4. проєкція відрізка AD на пряму AC. A. 2 см; Б. 4 см; B. 4,8 см; Г. 5,6 см; Д. 6 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Проведемо висоти BK і CH. KH = BC = 4 см, AK = HD = (8 − 4) : 2 = 2 (см). 1) Проєкція BC на AD — KH = 4 см — Б. 2) Проєкція CD на AD — HD = 2 см — А. 3) Проєкція AC на AD — AH = 8 − 2 = 6 (см) — Д. 4) Проєкція AD на AC: DP ⊥ AC. △ADP ∽ △ACH (спільний кут A, прямі кути), AP : AH = AD : AC, AP = 6 · 8 : 10 = 4,8 (см) — В. Відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — Д, 4 — В. 812. Точка 𝐾－середина сторони 𝐴𝐵 квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷. Знайди проєкції відрізків 𝐾𝐵, 𝐵𝐶 і 𝐶𝐷 на пряму 𝐾𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 9.

Нехай ABCD – квадрат, K – середина AB. BK = AK = 4,5 см. KM – проекція BK на KC. MC – проекція BC на KC. PC – проекція CD на KC. ∆KBC, KC2 + BC2 + KB2 = 81 + 20,25 = 101,25, KC = √101,25. KM =

𝐵𝐾 2 𝐾𝐶

; KM =

20,25 √101,25

MC = KC – KM = 4,5√5 –

4,5

. 4,5 √5

√5 √5 ∆KDC: KD = KC = √101,25. Нехай PC = x, тоді KP = √101,25 – x. З ∆KPD: PD2 = KD2 – KP2.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

З ∆CPD: PD2 = CD2 – PC2. 101,25 – (√101,25 – x)2 = 81 – x2. 101,25 – 101,25 + 2x√101,25 – x2 = 81 – x2, 2x√101,25 = 81. 81 81 9 x = = – . 2√101,25 9√5 √5 813. 𝐴𝐻 і 𝐻𝐵－проєкції катетів трикутника 𝐴𝐵𝐶 на гіпотенузу 𝐴𝐵, 𝐴𝐾 і 𝑃𝐵－їх проєкції на катети 𝐴𝐶 і 𝐵𝐶. Знайди відношення 𝐴𝐾 ∶ 𝑃𝐵, якщо: а) 𝐴𝐶 = 𝑏, 𝐵𝐶 = 𝑎; б) ∠𝐵 = 30∘.

∆ABC — прямокутний. Знайти AK : PB, AC = b, BC = а, ∠B = 30°. Якщо ∠В = 30°, то AB = 2AC = 2b. 1 𝑏 ∠A = 60°, ∠HCA = 30°, HА = АС; BH = 2b – = 1,5b. 1

∆PBH: РН = ВН = b, AK = b – b = b. 2

∆PBH: BP = BH – PH 2

BP =

3√3𝑏 𝑏 ; AK : PB = : 4 4

4 4 9 2 9 2 27 2 = b – b = b; 4 16 16 3√3𝑏 4

= 3√3.

Відповідь: 3√3. 814. Перпендикуляр, опущений з вершини прямокутника на його діагональ, ділить її у відношенні 𝑚 ∶ 𝑛. Як відносяться сторони прямокутника?

ABCD — прямокутник. BK ⊥ AC; AK : KC = m : n. Нехай AK = mх, KC = nх. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Тоді BK2 = mnx2, BK = 𝑥√𝑚𝑛. ∆ABK: AB2 = BK2 + AK2 = x2mn + m2x2 = x2(mn + m2), AB = 𝑥√𝑚𝑛 + 𝑚2 . ∆BKC: BC2 = BK2 + KC2 = mnx2 + n2x2 = x2(mn + n2), BC = 𝑥√𝑚𝑛 + 𝑚2 . 𝐴𝐵 𝐵𝐶

√𝑚𝑛+𝑚2 √𝑚𝑛+𝑛2

√𝑚(𝑛+𝑚) √𝑛(𝑚+𝑛)

√𝑚 . √𝑛

815. Лінійка переміщається так, що один ії кінець лежить на одній стороні прямого кута, а другий - на другій стороні. Як при цьому переміщається середина лінійки? Як змінюються проєкції лінійки на сторони кута? З’ясуй це, переміщаючи лінійку в прямому куті стола.

Лінійка AB — гіпотенуза прямокутного трикутника AOB (O — вершина прямого кута). Середина M лінійки — середина гіпотенузи, тому OM = AB : 2 завжди. Отже, середина лінійки рухається по дузі кола із центром O і радіусом, що дорівнює половині довжини лінійки. Проєкції лінійки на сторони кута — катети OA і OB: коли одна з них збільшується, друга зменшується, причому OA² + OB² = AB² (сталe). 816. Знайди периметр прямокутника, якщо відстані від точки перетину діагоналей до сторін дорівнюють 3 см і 5 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відстані від точки перетину діагоналей до сторін дорівнюють половинам сусідніх сторін, тому сторони 6 см і 10 см. P = 2 · (6 + 10) = 32 (см). Відповідь: 32 см. 817. У квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписано △ 𝐴𝑀𝐷, де 𝑀 - середина сторони 𝐵𝐶. Знайди периметр квадрата, якщо 𝐴𝑀 = 4√5 см.

Нехай сторона квадрата a, BM = a/2. У прямокутному △ABM: AM² = a² + a²/4 = 5a²/4, AM = a√5/2. a√5/2 = 4√5, a = 8 см. P = 4 · 8 = 32 (см). Відповідь: 32 см. 818. Знайди периметр трикутника з попередньої задачі, якщо сторона квадрата дорівнює 𝑎.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AM = MD = a√5/2 (див. попередню задачу), AD = a. P = a + 2 · a√5/2 = a + a√5 = a(1 + √5). Відповідь: a(1 + √5).

§15. Синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника 819. Знайди sin 𝐴, sin 𝐵, cos 𝐴, cos 𝐵, tg 𝐴, tg 𝐵, якщо 𝐴 і 𝐵 - гострі кути египетського трикутника.

sin A = ; sin B = ; cos A = ; tg A = ; tg B = . 820. Катети прямокутного трикутника 𝐴𝐵𝐶 дорівнюють 1 і 2. Знайди тангенс його найменшого кута. A. 0,5; Б. 2; B. √5; 1 Г. . √5

∆ABC — прямокутний AB = √5 (т. Піфагора), ∠A — найменший, 1 2 1 sin A = ; cos A = ; tg A = . √5

√5

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

821. Катети прямокутного трикутника 𝐴𝐵𝐶 дорівнюють 1 і 2. Знайди синус його найменшого кута. 1 A. ; Б. В. Г.

√3 2

;

√5 2

;

√3 1

√5

Гіпотенуза √(1² + 2²) = √5. Найменший кут лежить проти меншого катета 1: sin = 1/√5. Відповідь: Г. 1/√5. 822. Тангенс гострого кута прямокутного трикутника дорівнює 1. Знайди синус і косинус цього кута. tg A =

C𝐵

= 1. Отже, CB = AC = x, тоді AB = √𝑥 2 + 𝑥 2 = 𝑥√2;

AC x

sin A =

𝑥 √2

; cos A =

√2

x 𝑥 √2

√2

823. Чи існує кут 𝛼 такий, що: 3 а) sin 𝛼 = ; 5 4

б) cos 𝛼 = ; в) sin 𝛼 = г) cos 𝛼 =

3 21

;

20 20 23

? 3

Кут α існує, якщо: sin α = ; cos α = 5

Кут α не існує, якщо: cos α = ; sin α = 3

824. Чи може тангенс гострого кута бути більшим за 1? А меншим від 1? Тангенс гострого кута може бути більшим за 1 і може бути меншим за 1. 825. Чи завжди косинус одного гострого кута прямокутного трикутника дорівнює синусу другого гострого кута? Так, завжди. У прямокутному △ABC (∠C = 90°) cos A = AC/AB, а sin B = AC/AB (протилежний катет до гіпотенузи), тобто cos A = sin B (кути A і B доповнюють один одного до 90°). 826. На малюнку зображено прямокутний паралелепіпед, ребра якого 𝐴𝐵 = 3, 𝐵𝐾 = 𝐵𝐶 = 4. Знайди синус, косинус i тангенс кутів 𝛼, 𝛽, 𝛾.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AK = √32 + 42 = √25 = 5; (з ∆ABK за т. Піфагора) KC = √42 + 42 = 4√2; 3 4 4 cos α = ; sin α = ; tg α = . 5 3

5 4

3 3

sin β = ; cos β = ; tg β = . sin γ =

; cos γ =

4√2

4 4√2

4 1

; tg γ = = 1.

√2

827. Трикутник зі сторонами 6 м, 8 м і 10 м - прямокутний. Знайди синуси, косинуси і тангенси його гострих кутів.

sin A =

; cos A =

10 8

10 6

tg A = ; sin B = cos B =

;

; tg B = .

828. Катет і гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнюють 24 см і 25 см. Знайди синус, косинус і тангенс меншого гострого кута трикутника.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

CB = √𝐴𝐵2 − 𝐴𝐶 2 = √252 − 242 = √625 − 576 = √49 = 7. 24 7 7 cosA = ; sinA = ; tgA = . sinB =

25 24

25 7

24 24

; cosB =

; tgB =

829. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 5 см і 12 см. Знайди синус, косинус і тангенс більшого гострого кута трикутника.

AB = √52 + 122 = √25 + 144 = √169 = 13. 5 12 5 sin A = ; cos A = ; tg A = . sin B =

13 12

13 5

12 12

; cos B =

; tg B =

830. Знайдіть синус, косинус і тангенс гострих кутів 𝐴 і 𝐵 прямокутного трикутника 𝐴𝐵𝐶, якщо: а) 𝐴𝐶 = 40 см, 𝐵𝐶 = 9 см; б) 𝐴𝐵 = 1,7 м, 𝐵𝐶 = 0,8 м; в) 𝐴𝐵 = √3 м, 𝐴𝐶 = 1 м; г) 𝐶𝐴 = 𝐶𝐵 = √2 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

a) AB = √402 + 92 = √1600 + 81 = √1681 = 41; 9 40 9 sin A = ; cos A = ; tg A = ; sin B =

41 40

41 9

40 40

; cos B =

; tg B =

б) AC = √1,72 − 0,82 = √2,25 = 15; 0,8 8 15 8 sin A = = ; cos A = ; tg A = ; sin B =

1,7 15

; cos B =

; tg B =

в) CB = √(√3)2 − 12 = √2; 2

√3

sin A = √ ; cos A = sin B =

; tg A = √2

√2

; cos B = √ ; tg B =

√3

г) AB = √(√2)2 + (√2)2 = 2 (см); sin A =

√2 √2 √2 ; cos B = ; cos A = ; 2 2 2 √2 √2 √2

sin B = ; tg A = = 1; tg B = = 1. 2 2 2 831. Знайди синус, косинус і тангенс гострих кутів 𝐴 і 𝐵 прямокутного трикутника 𝐴𝐵𝐶, якщо: а) 𝐴𝐵 = 25, 𝐵𝐶 = 7; б) 𝐴𝐶 = 2,1, 𝐵𝐶 = 7,2.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

a) AC = √𝐴𝐵2 − 𝐶𝐵2 = √252 − 72 = √625 − 49 = 24; 24 7 7 cos A = ; sin A = ; tg A = ; sin B =

25 24

25 7

24 24

; cos B =

; tg B =

б) AB = √2,12 + 7,22 = √4,41 + 51,84 = 7,5 (см). 7,2 7,2 2,1 sin A = ; cos B = ; cos A = ; 7,5

sin B =

2,1

7,2

7,5

2,1

; tg A =

; tg B =

7,5

2,1 7,2

832. Користуючись малюнком, знайди синус, косинус і тангенс кутів 𝛼 і 𝛽.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

а) √92 + 122 = 15; 15 9 3 12 sin α = = 3; cos α = = ; tg α = , sin β =

5 9

б) sin α = sin β =

15 12

, cos α =

= ; cos β = 6

, cos β =

5 4

9 9

= ; tg β =

= ; 4

, tg α = ,

, tg β = .

√2 ∙ 8 = 4; 2 1 4 2 2 1 sin α = = , cos α = = , tg α = = , sin β =

2√5 8

4√5

√5 2

2√5 4

√5

4√5

, cos β =

√5 1

4 8

√5

, tg β = = 2.

AB = √152 + 82 = √225 + 64 = 17; ∠ACK = 90° – β = α; ∠CBA = 90° – β, отже ∠CBA = α; 8 15 8 sin α = ; cos α = ; tg α = ; sin β =

17 15

17 8

15 15

; cos β =

; tg β =

833. Знайди кути трикутників на малюнку.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

а) CA = √𝐴𝐵2 − 𝐶𝐵2 = √36 − 27 = √9 = 3; 𝐴𝐶 3 1 sin α = = = ; α = 30°; 𝐴𝐵

∠β = 90° – 30° = 60°. б) sin α =

𝐶𝐵 𝐴𝐵

2√2 √2 = ; α = 45°; 4 2

∠β = 90° – 45° = 45°. 𝐵𝑀 4 1 в) З ∆АВМ : sin α = = = ; 𝐴𝐵

α = 30°, тому ∠ABM = 60°. ∆ABC — прямокутний, ∠β = 90° – α = 90° – 30° = 60°. З ∆ВМС ∠MBC = 90° – 60° = 30°. г) CM = √√3 ∙ 3√3 = √9 = 3; З ∆CMB: tg α =

𝐶𝑀 𝑀𝐵

3 √3

;

√3

α = 30°; ∠β = 90° – α = 90° – 30° = 60°. 834. Дано △ 𝐴𝐵𝐶(∠𝐶 = 90∘ ). Знайди: √3 ; 2 √2

а) sin 𝐴, якщо sin 𝐵 = б) tg𝐵, якщо cos 𝐴 =

;

в) cos 𝐴, якщо sin 𝐵 = ; 2

г) tg𝐵, якщо tg𝐴 = √3. 1 √3 ; ∠B = 60° , тоді ∠A = 30°, sin A = sin 30° = . 2 2 √2 б) cos A = ; ∠А = 45°, тоді ∠B = 45°, tg B = 1. 2 1 1

a) sinB =

в) sin В = ; ∠B = 30°, тоді ∠A = 60°, cos А = cos 60° = . 2

г) tg А = √3; ∠A = 60°, тоді ∠B = 30°; tg B =

√3

835. Чи буде △ 𝐴𝐵𝐶 прямокутним, якщо: 1

a) sin 𝐴 = , sin 𝐵 =

√3 ; 2

2 √2 б) cos 𝐴 = , tg𝐵 = 1; 2 √2

в) tg𝐴 = √3, cos 𝐵 = г) sin 𝐴 =

2 1

;

√3 , cos 𝐵 = ? 2 2

а) Так А = 30°; В = 60°; ∠C = 90°. б) Так А = 45°; В = 45°; ∠C = 90°. в) Ні ∠А = 60°; В = 45°; ∠C = 75°, ∆АВС не є прямокутним. г) А = 60°; B = 60°; ∠C = 180° – (60° + 60°) = 60°, ∆АВС не є прямокутним. 836. Обчисли: а) cos 30∘ − tg60∘ ; б) tg30∘ cos 30∘ − sin 30∘ tg45∘ ; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

в) sin 45∘ cos 45∘ − 1; г) cos 2 30∘ sin 30∘ − tg 2 45∘ . a) cos 30° – tg 60° =

√3 √3 – √3 = – ; 2 2 1

б) tg30° cos 30° – sin 30° tg 45° =

–

1 1 √3 1 – = – = 0; 2 2 2 2

√3 1 √2 √2 в) sin 45° cos 45° – 1 = ∙ – 1 = – . 2 2 2

837. Обчисли: а) tg45∘ − 2sin 30∘ ; б) tg60∘ tg45∘ − cos 30∘ ; в) 2cos 30∘ sin 30∘ − tg60∘ ; г) tg 2 60∘ cos 60∘ − sin2 60∘ . 1

а) tg 45°– 2 sin 30° = 1 – 2 ∙ = 1 – 1 = 0; 2

√3 √3 = ; 2 2 √3 1

б) tg 60° tg 45° – cos 30° = √3 ∙ 1 – в) 2 cos 30° sin 30° – tg60° = 2 ∙

∙ – √3 = 2

√3 √3 – √3 = – . 2 2

838. Сторони прямокутника дорівнюють 9 см і 12 см . Знайди синус, косинус і тангенс кута, який діагональ прямокутника утворює з більшою стороною.

Діагональ AC = √(9² + 12²) = 15 (см). Кут CAD між діагоналлю і більшою стороною AD = 12 см: sin ∠CAD = CD/AC = 9/15 = 0,6; cos ∠CAD = AD/AC = 12/15 = 0,8; tg ∠CAD = CD/AD = 9/12 = 0,75. Відповідь: 0,6; 0,8; 0,75. 839. У ромбі 𝐴𝐵𝐶𝐷 діагоналі 𝐴𝐶 і 𝐵𝐷 дорівнюють відповідно 24 см і 10 см. Знайди синус, косинус і тангенс кута 𝐴𝐵𝑂, де 𝑂 - точка перетину діагоналей.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Діагоналі ромба перпендикулярні й діляться навпіл: AO = 12 см, BO = 5 см, AB = √(144 + 25) = 13 (см). У прямокутному △ABO: sin ∠ABO = AO/AB = 12/13, cos ∠ABO = BO/AB = 5/13, tg ∠ABO = AO/BO = 12/5. Відповідь: 12/13; 5/13; 12/5. 840. Знайди кути прямокутного трикутника, якщо катет і гіпотенуза дорівнюють 3√2 см і 6 см. AC =

3 √2

см — катет, AB = 6 см — гіпотенуза. 𝐴𝐶

3√2

√2

cos А = = = , тому ∠A = 45°, 𝐴𝐵 6 2 ∠B = 90° – 45° = 45°. 841. Знайди кути прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 4√3 см і 4 см. ∆ABC — прямокутний, AC = 4√3 см; CB = 4 см — катети. tg B =

𝐴𝐶 𝐶𝐵

4 √3 4

= √3, тому ∠B = 60°, ∠A = 90° – 60° = 30°.

842. Дано три точки: 𝑂(0; 0), 𝐴(1; 0), 𝐵(1; 1). Знайди синус, косинус і тангенс кута 𝑂𝐵𝐴.

OB = √12 + 12 = √2 – гіпотенуза; 1 1 1 sin ∠OBA = ; cos ∠OBA = ; tg ∠OBA = = 1. √2

√2

843. Знайди синус, косинус і тангенс кута 𝐾𝐴𝑂, якщо 𝐴(1; 0), 𝑂(0; 0), 𝐾(0; 2).

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∆ОКА – прямокутний. OK = 2; OA = 1 — катети; AK = √22 + 12 = √5 – гіпотенуза; 𝑂𝐾 2 sin ∠KAO = = ; 𝐴𝐾

cos ∠KAO =

𝑂𝐴 𝐴𝐾

√5

;

√5

tg ∠KAO = = 2. 1

844. Користуючись таблицею значень тригонометричних функцій, знайди значення синуса, косинуса, тангенса для кожного з кутів: а) 7∘ , 20∘ , 37∘ , 59∘ , 81∘ ; б) 43∘ , 84∘ , 12∘ , 52∘ . sin7° = 0,1219 cos7° = 0,9925; tg7° = 0,1208; sin 20° = 0,342; cos 20° = 0,9397; tg 20° = 0,364; sin 37° = 0,6018; cos 37° = 0,7986; tg 37° = 0,7536; sin 59° = 0,8572; tg59° = 1,6643; sin 81° = 0,9877; tg 81° = 6,314. 845. Гра. Один із гравців / одна із гравчинь задає тригонометричну функцію, другий/друга - градусну міру гострого кута, а третій/ третя має знайти значення, користуючись таблицею. Потім учні/ учениці міняються ролями. Приклад: перший гравець називає «синус», другий — 35°, третій за таблицею знаходить sin 35° ≈ 0,574. Інший хід: «тангенс» і 50° — tg 50° ≈ 1,192 (у таблиці на с. 259 — у рядку 40°, стовпці «котангенси», бо tg 50° = ctg 40°). 846. За допомогою таблиці значень тригонометричних функцій знайди: а) sin 12∘ , sin 71∘ ; б) cos 44∘ , cos 19∘ ; в) tg 42∘ , tg 13∘ . За таблицею (з точністю до тисячних): а) sin 12° ≈ 0,208; sin 71° ≈ 0,946; б) cos 44° ≈ 0,719; cos 19° ≈ 0,946; в) tg 42° ≈ 0,900; tg 13° ≈ 0,231. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

847. Користуючись калькулятором, знайди:sin 20∘ , sin 4, 8∘ , sin 64, 25∘ , cos 25∘ , cos 45, 8∘ , tg 49∘ , tg 72∘ . sin 20° ≈ 0,34202; sin 4,8° ≈ 0,08368; sin 64,25° ≈ 0,900698; cos 25° ≈ 0,90631; cos 45,8° ≈ 0,69717. 848. Користуючись калькулятором, знайди:sin 37∘ , sin 68∘ , sin 55, 25∘ , cos 17∘ , cos 68, 5∘ , tg87∘ , tg18∘ . sin 37° ≈ 0,6018; sin 68° ≈ 0,9272; sin 55,25° ≈ 0,8216; cos 17° ≈ 0,9563; cos 68,5° ≈ 0,3665; tg 87° ≈ 19,0811; tg 18° ≈ 0,3249. 849. Користуючись калькулятором, визнач міру кута 𝑥, якщо: а) sin 𝑥 = 0,1392; б) cos 𝑥 = 0,5446; в) tg𝑥 = 0,7536; г) tg𝑥 = 1,881. a) sin x = 0,1392, x = 8°; б) cos x = 0,5446, x = 57°; в) tg x = 0,7536, x = 37°; г) tg x = 1,881, x = 62°. 850. Користуючись калькулятором, визнач міру кута 𝑥, якщо: а) sin 𝑥 = 0,2924; б) cos 𝑥 = 0,6896; в) tg𝑥 = 0,2642; г) tg𝑥 = 6,314. а) sin x = 0,2924, x = 17°; б) cos x = 0,6896, x = 46°24’; в) tg x = 0,2642, x = 14°48’; г) tg x = 6,314, x = 81°. 851. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 𝑐, а один із кутів 𝛼. Знайди катети трикутника.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

852. Катет прямокутного трикутника дорівнює 𝑚, а прилеглий кут 𝛼. Знайди другий катет і гіпотенузу трикутника.

c =

𝑚 cos α

853. Катет прямокутного трикутника дорівнює 𝑛, а протилежний кут 𝛼. Знайди гіпотенузу і другий катет трикутника.

c =

𝑛 𝑛 ;m = sin α tg α

854. Знайди кути рівнобедреного трикутника, якщо основа і бічна сторона відповідно дорівнюють 6√3 см і 6 см.

△ABC: AB = BC = 6 см, AC = 6√3 см. Висота BH ділить основу навпіл: AH = 3√3 см. cos A = AH/AB = 3√3/6 = √3/2, тому ∠A = 30°, ∠C = 30°, ∠B = 180° − 60° = 120°. Відповідь: 30°, 30°, 120°.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

855. Менша висота паралелограма дорівнює 3 см, а менша сторона 2√3. Знайди кути паралелограма. Склади план розв'язування задачі та розв'яжи її.

AB — менша сторона, BK ⊥ AD, BK — менша висота, AB = 2√3; BK = 3. ∆АВK — прямокутний sin ∠A = ∠A = 60°; ∠C = ∠А = 60°;

𝐵𝐾 𝐴𝐵

3 2 √3

√3 ; 2

∠B = ∠D = 180° – 60° = 120°. 856. Знайди кути ромба, якщо висота ділить сторону на відрізки √2 і 2 − √2, починаючи від вершини гострого кута.

ABCD — ромб, BN – висота. AN = √2. ND = 2 – √2, тоді AD = AN + ND = √2 + 2 – √2 = 2. ∆ABN — прямокутний, AB = 2 — гіпотенуза, AN = √2 — катет. 𝐴𝑁

√2

cos А = = , тому А = 45°. 𝐴𝐵 2 ∠B = ∠D = 180° – 45° = 135°. 857. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 3 см і 7 см, а бічна сторона 2√2. Знайди кути трапеції.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

ABCD — рівнобічна трапеція, BK ⊥ AD; CM ⊥ AD; BC = KM = 3 (см), 7−3 AK = MD = = 2 (см). 2

∆ABK — прямокутний; cos ∠A =

𝐴𝐾 𝐴𝐵

2 2√2

√2 ; 2

∠A = 45°; ∠D = ∠А = 45; ∠B = ∠C = 180°– 45° = 135°. 858. Знайди кути прямокутної трапеції, основи якої дорівнюють 4 см і 6 см, а радіус вписаного кола √3.

Висота прямокутної трапеції дорівнює діаметру вписаного кола: h = 2√3 см. Висота CH відтинає від більшої основи відрізок HD = 6 − 4 = 2 (см). tg D = CH/HD = 2√3/2 = √3, тому ∠D = 60°, ∠C = 180° − 60° = 120°, ∠A = ∠B = 90°. Зауважимо: при таких даних сума бічних сторін (2√3 + 4) не дорівнює сумі основ (10), тобто умова суперечлива; кути знайдено за висотою трапеції. Відповідь: 90°, 90°, 120°, 60°. 859. ЗШ Діагональ 𝐵𝐷 прямокутної трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷 є бісектрисою кута 𝐴𝐷𝐶 й утворює з основою AD кут 30∘ . Визнач довжину середньої лінії трапеції ABCD (у см), якщо BD = 20√3 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

У прямокутному △ABD: ∠BDA = 30°, тому AB = BD : 2 = 10√3 см, AD = BD · cos 30° = 20√3 · √3/2 = 30 (см). BD — бісектриса ∠ADC: ∠BDC = 30°; ∠CBD = ∠BDA = 30° (внутрішні різносторонні), тому BC = CD. ∠D = 60°; висота CH = AB = 10√3 см, CD = CH : sin 60° = 20 см, тому BC = 20 см. Середня лінія: (20 + 30) : 2 = 25 (см). Відповідь: 25 см. 4

860. Синус одного з гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює . Знайди косинус 5 і тангенс цього кута. 4

sin A = , а = 4, с = 5, b = √52 − 42 = 3, 5

тому соs α = ; tg α = . 861. Косинус одного з гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 0,6. Знайди синус і тангенс цього кута.

cos α = 0,6 = 3/5. Нехай прилеглий катет 3k, гіпотенуза 5k, тоді протилежний катет √(25k² − 9k²) = 4k. sin α = 4/5 = 0,8; tg α = 4/3. Відповідь: 0,8; 4/3. 862. Тангенс одного з гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 1,5. Знайди синус і косинус цього кута. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

а, b — катети, с — гіпотенуза. 2 3 с = √32 + 22 = √13; sin A = ; cos α = . √13

√13

863. Дано прямокутний △ 𝐴𝐵𝐶(∠𝐶 = 90∘ ). Знайди: а) 𝐵𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 6 см, sin 𝐴 = 0,3; 2 б) 𝐴𝐵, якщо 𝐵𝐶 = 5 см, cos 𝐵 = . 5

a) AB = 6 cм, sin A = 0,3; BC = AB ∙ sin A = 6 ∙ 0,3 = 1,8 cм. 2 б) BC = 5 cм, cos B = ; 5

AB =

BC cos B

=2= 5

25 2

= 12,5 см.

864. Дано прямокутний △ 𝐴𝐵𝐶(∠𝐶 = 90∘ ). Знайди: а) 𝐴𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 4 см, sin 𝐵 = 0,25; 3 б) 𝐵𝐶, якщо 𝐴𝐶 = 8 см, tg𝐴 = . 4

б) AC = 8 cм, tg A = ; BC = AC ∙ tgA = 8 ∙ = 6 cм. 4

865. Тангенс гострого кута прямокутного трикутника дорівнює , а протилежний катет -8 3 см. Знайди гіпотенузу цього трикутника.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

tg α = 8/b = 4/3, звідки прилеглий катет b = 6 см. Гіпотенуза √(8² + 6²) = 10 (см). Відповідь: 10 см. 3

866. The sine of the acute angle of a right triangle is , and the hypotenuse is 10 yd . Find the 5 triangle's legs.

Протилежний катет a = c · sin α = 10 · 3/5 = 6 (yd); другий катет √(10² − 6²) = 8 (yd). Відповідь: 6 yd і 8 yd. 867. Відомо, що 𝑎, 𝑏 - катети, 𝑐 - гіпотенуза △ 𝐴𝐵𝐶, 𝛼, 𝛽 - протилежні до них кути. Перенесіть таблицю в Excel, задайте формули для порожніх клітинок та обчисліть їх значення. № a

sin α

cos α

sin β

2√3

0,5

2√3 √3 = 4 2

2√ 3

3√3

√3 2

cos β √3 2

0,5 √3 2

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

2√6

2) cos β =

2√6 5

0,2

2√6 5

𝑎 √3 √3 , отже = . 2 𝑐 2

Нехай a = √3x; c = 2x, за умовою b = 3. За т. Піфагора; 32 + (√3x)2 = (2х)2; 9 + 3х2 = 4x2; x2 = 9. х = 3 тому а = 3√3, с = 2 ∙ 3 = 6. 868. Діагональ прямокутника дорівнює 𝑑 і утворює з більшою стороною кут 𝛼. Знайди меншу сторону прямокутника.

Діагональ утворює кут α зі стороною CD. Отже, необхідно знайти сторону AD, так як вона менше. З ∆ACD (∠D = 90°); AD = d sin α. 869. З точки, що лежить на відстані ℎ від прямої, проведено похилу, яка утворює з прямою кут 𝛼. Знайди довжину похилої.

А ∉ n; AM ⊥ n; AM = h; AB — похила; ∠ABM = α, ℎ ∆ABM — прямокутний, AB – гіпотенуза, AB = . sin α

870. Прямокутний трикутник із гострим кутом 𝛼 вписано в коло радіуса 𝑟. Знайди катети трикутника.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Якщо коло описане навколо прямокутного трикутника, то центр описаного кола — середина гіпотенузи, тому гіпотенуза с = 2r; а і b — катети, а = с sin α = 2r sin α; b = 2r cos α. 871. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 𝑎, а кут при основі 𝛼. Знайди основу трикутника.

∆ABC – рівнобедрений трикутник, BK ⊥ AC, BK — медіана, отже K — середина AC. ∆ABK — прямокутний, AK = a cos α; AC = 2AK = 2а cos α. 872. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 𝑎 i 𝑏, а гострий кут при основі 𝛼. Знайди бічну сторону і висоту трапеції.

ABCD — рівнобічна трапеція. BN ⊥ AD; CK ⊥ AD. BKCN — прямокутник; NK = BC = а; b−a ∆ABN = ∆DCK тому AN = DK = . ∆ABN: ∠A = α; AB = BN = AN, tg α =

b−a 2

b−a 2cos α

;

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

873. 𝐵𝐻 і 𝐴𝑃 - висоти рівнобедреного трикутника 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑏, а кут при вершині 𝛼. Установи відповідність між умовами (1-3) та виразами, які їм відповідають (А-Д). 1. AC; 2. BH; 3. AP. 𝛼

A. 𝑏 sin ; 2 𝛼

Б. 𝑏 cos ; 2

𝛼

B. 2𝑏 sin ; 2 Г. 𝑏 sin 𝛼; 𝛼 Д. 2𝑏 cos . 2

△ABC: AB = BC = b, ∠B = α. Висота BH — бісектриса і медіана: ∠ABH = α/2. 1) AC = 2AH = 2b · sin(α/2) — В. 2) BH = b · cos(α/2) — Б. 3) У прямокутному △ABP (P ∈ BC): AP = AB · sin B = b · sin α — Г. Відповідь: 1 — В, 2 — Б, 3 — Г. 874. У трикутнику 𝐴𝐵𝐶 сторони 𝐴𝐵 = 13 см, 𝐵𝐶 = 15 см, 𝐴𝐶 = 14 см. Знайди синус, косинус і тангенс кутів 𝐴 і 𝐶.

Проведемо BK ⊥ AC; AK = х см, КС = 14 – х см. З ∆ABK : BK2 = 132 – x2; З ∆BCK : BK2 = 152 – (14 – х), звідси 132 – x2 = 152 – (14 – х)2; 169 – х2 = 225 – 196 + 26х – х2; 28х = 140, х = 5, AK = 5; ВК = √132 − 52 = √169 − 25 = 12 (см), KC = 14 – 5 = 9 (см). 𝐵𝐾 12 𝐴𝐾 5 sin ∠A = = ; cos ∠A = = ; tg ∠A =

𝐴𝐵 𝐵𝐾

13 12

𝐴𝐵 13 𝐵𝐾 12

𝐴𝐾 𝐾𝐶

𝐵𝐶 𝐵𝐾

cos ∠C =

𝐵𝐶

; sin ∠C =

; tg ∠C =

𝐾𝐶

;

15 12 9

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

875. 𝐵𝐻 і 𝐴𝑀 - висоти рівнобедреного трикутника 𝐴𝐵𝐶(𝐴𝐵 = 𝐵𝐶). Знайди кути трикутника, якщо 𝐵𝐻 = 6 см, 𝐴𝑀 = 6√3 см.

Нехай ∠A = ∠C = γ. З прямокутного △ABH: BH = AB · sin γ; з прямокутного △AMC: AM = AC · sin γ. AM : BH = AC : AB = 6√3 : 6 = √3. Але AC = 2AH = 2AB · cos γ, тому 2cos γ = √3, cos γ = √3/2, γ = 30°. ∠A = ∠C = 30°, ∠B = 120°. Відповідь: 30°, 30°, 120°. 876. З точки до прямої проведено дві похилі, довжини яких відносяться як √6 ∶ 2. Знайди кут між похилими, якщо проєкції похилих пропорційні числам √3 і 1.

Нехай похилі √6·k і 2k, їх проєкції √3·t і t, перпендикуляр h (більшій похилій відповідає більша проєкція). h² = 6k² − 3t² = 4k² − t², звідки k = t, h = √3·t. Перша похила: tg кута з перпендикуляром = √3t/√3t = 1 — кут 45°; друга: t/√3t = 1/√3 — кут 30°. Якщо похилі по різні боки від перпендикуляра, кут між ними 45° + 30° = 75°, якщо по один бік — 45° − 30° = 15°. Відповідь: 75° або 15°. 877. Накресли на міліметровому папері чверть кола радіуса 100 мм і поділи його транспортиром на 9 рівних частин. Користуючись цим малюнком, склади таблицю наближених значень синуса і косинуса для кутів 10∘ , 20∘ , 30∘ , … , 80∘ . α

10°

20°

30°

40°

50°

60°

70°

80°

sin α

0,18

0,35

0,51

0,65

0,77

0,87

0,94

0,98

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

cos α

0,98

0,94

0,87

0,76

0,64

0,5

0,33

0,18

878. Сума двох кутів рівнобічної трапеції дорівнює 80∘ . Знайди кути трапеції. ∠1 + ∠2 = 80°, отже, ∠1 і ∠2 — гострі кути рівнобічної трапції, але ∠1 = ∠2, тому ∠1 = 40°, ∠2 = 40°. ∠3 = 180° – ∠1 = 180° – 40° = 140°. ∠4 = 180° – ∠2 = 180° – 40° = 140°. 879. Знайди периметр ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 14 см і 48 см.

ABCD — ромб, AC ⊥ BD, O — середина AC і BD, BD = 14 см, тому BO = 7 (см), AC = 48 см, тому AO = 24 (см). ∆ABO — прямокутний, AB = √𝐴𝑂2 + 𝐵𝑂2 = √242 + 72 = √576 + 49 = √625 = 25 (см), PABCD = 4 ∙ AB = 4 ∙ 25 = 100 (см). 880. Один із кутів, утворених при перетині двох прямих, становить третю частину від суми інших кутів. Доведи, що прямі взаємно перпендикулярні. а перетинає b.

∠1 = (∠2 + ∠3 + ∠4); 3 ∠2 + ∠3 = 180° (бо ∠2 і ∠3 — суміжні); ∠4 = 180° – ∠1. 1 Отже, ∠1 = (180° + 180° – ∠1); 3 1

3 4

∠1 = 120° – ∙ ∠1; ∠1 + ∙ ∠1 = 120°; 1

∠1 ∙ (1 + ) = 120°; ∠1 ∙ = 120°; ∠1 = 90°; тому ∠3 = 90° (вертикальні). 3 3 ∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 90°; ∠4 = ∠2 = 90°. Отже, а ⊥ b.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

881. Розв'яжи прямокутний трикутник, у якому: а) 𝑐 = 10, 𝛼 = 30∘ ; б) 𝑎 = 5, 𝛼 = 45∘ ; в) 𝑎 = 𝑏 = 7.

а) с = 10; α = 30°; а = sin α = 10 sin 30° = 5; 10√3

а = с cos α = 10 cos 30° = = 5√3; 2 ∠B = 90° – 30° = 60°; б) a = 5; α = 45°. β = 90° – 45° = 45°, b = 5 (трикутник рівнобедрений). c = √𝑎2 + 𝑏 2 = √25 + 25 = 5√2; в) а = b = 7, c = √𝑎2 + 𝑏 2 = √72 + 72 = 7√2; α = β = 45°. 882. Використовуючи малюнок, знайди 𝐵𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 6 см, cos 𝐵 = 0,2. А. 0,3 мм; Б. 30 см; В. 1,2 см; Г. 12 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BC = AB · cos B = 6 · 0,2 = 1,2 (см). Відповідь: В. 1,2 см. 883. Знайди кути прямокутного трикутника, якщо гіпотенуза дорівнює 5 см, а один із катетів 2,5 см.

Катет 2,5 см дорівнює половині гіпотенузи 5 см, тому протилежний йому кут 30° (sin = 2,5/5 = 0,5). Другий гострий кут 90° − 30° = 60°. Відповідь: 30°, 60°, 90°. 884. Які вирази мають бути в порожніх клітинках таблиці, що відповідає трикутнику на малюнку? AB

∠A

∠B

c cos α

c sin α

90° – α

c sin β

c cos β

90° – β

b tg α

90° – α

b tg(90° – β)

90° – β

c cos α c cos β

885. а) 𝑐 = 9,85, 𝛼 = 65∘ ; б) 𝑐 = 3,84, 𝛼 = 50∘ ; а) с = 9,85; α = 65°; ∠β = 90° – 65° = 25°; a = c sin α = 9,85 ∙ sin 65° = 9,85 ∙ 0,9063 = 8,9; b = c cos α = 9,85 ∙ cos 65° = 9,85 ∙ 0,4226 = 4,16; б) с = 3,84; α = 50°; ∠β = 90° – 50° = 40°; a = c sin α = 3,84 ∙ sin 50° = 3,84 ∙ 0,766 = 2,94; b = c cos α = 3,84 ∙ cos50° = 3,84 ∙ 0,6428 = 2,47. 886. а) 𝑐 = 0,798, 𝛼 = 68, 5∘ ; б) 𝑐 = 28,6, 𝛼 = 37∘ 12′ . а) c = 0,798; α = 68,5°; ∠β = 90° – 68,5° = 21,5°; а = с sin α = 0,798 ∙ sin 68,5° = 0,798 ∙ 0,9304 = 0,74; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

b = с cos α = 0,798 ∙ cos 68,5° = 0,798 ∙ 0,3665 = 0,29. б) c = 28,6; α = 37°12’; ∠β = 90° – 37°12’ = 52°48’; а = c sin α = 28,6 ∙ sin 37°12’ = 28,6 ∙ 0,6046 = 17,29; b = c cos α = 28,6 ∙ cos 37°12’ = 28,6 ∙ 0,7965 = 22,78. 887. Розв'яжи прямокутний трикутник за катетом 𝑎 і гострим кутом 𝛼 або 𝛽, якщо a) 𝑎 = 38, 𝛼 = 47∘ ; б) 𝑎 = 6,87, 𝛼 = 4, 5∘ ; a) α = 47° ∠β = 90° – 47° = 43°; c = а : sin α = 38 : sin 47° = 38 : 0,7314 = 52; b = a tg β = 38 ∙ tg 43° = 38 ∙ 0,9325 = 35,4. б) a = 6,87; α = 4,5°; ∠β = 90° – 4,5° = 85,5°; c = a : sin α = 6,87 : sin 4,5° = 6,87 : 0,0785 = 87,5; b = a tg β = 6,87 ∙ tg 85,5° = 6,87 ∙ 12,71 = 87,3. 888. Розв'яжи прямокутний трикутник за катетом 𝑎 і гострим кутом 𝛼 або 𝛽, якщо a) 𝑎 = 0,274, 𝛽 = 36∘ ; б) 𝑎 = 0,895, 𝛽 = 64, 5∘ . а) a = 0,274; β = 36°; ∠α = 90° – 36° = 54°; c = a : sin α = 0,274 : sin 54° = 0,274 : 0,809 = 0,34; b = a tg β = 0,274 ∙ tg 36° = 0,274 ∙ 0,7265 = 0,2. б) a = 0,895; β = 64,5°; ∠α = 90° – 64,5° = 25,5°; c = a : sin α = 0,895 : sin 25,5° = 0,895 : 0,4305 = 2,08; b = a tg β = 0,895 ∙ tg 64,5° = 0,895 ∙ 2,097 = 1,88. 889. Розв'яжи прямокутний трикутник за гіпотенузою 𝑐 і катетом 𝑎 або 𝑏, якщо: а) 𝑐 = 113, 𝑎 = 35; б) 𝑐 = 130, 𝑎 = 82; a) c = 113; a = 35; b = √𝑐 2 − 𝑎2 = √12769 − 1225 = √11544 = 107,4; 𝑎 35 sin α = = = 0,3097; 𝑐 113 α = 18°2’; ∠β = 90° – 18°2’ = 71°58’. б) c = 130; a = 82; b = √𝑐 2 − 𝑎2 = √1302 − 822 = √48 ∙ 212 = 100,8; 𝑎 82 sin α = = = 0,6308; 𝑐 130 α = 39°7’; ∠β = 90° – 39°7’ = 50°53’. 890. Розв'яжи прямокутний трикутник за гіпотенузою 𝑐 і катетом 𝑎 або 𝑏, якщо: а) 𝑐 = 687, 𝑏 = 528; б) 𝑐 = 17,1, 𝑏 = 8,28. а) c = 687; b = 528; 𝑏 528 sin β = = = 0,7686; 𝑐 687 β = 50°13’; ∠α = 90° – 50°13’ = 39°47’; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

a = c sin α = 687 sin 39°47’ = 687 ∙ 0,6399 = 493,6. б) c = 17,1; b = 8,28; 𝑏 8,28 sin β = = = 0,4842; 𝑐

17,1

β = 28°58’; ∠α = 90° – 28°58’ = 39°47’; a = c sin α = 17,1 ∙ sin 61°2’ = 17,1 ∙ 0,8749 = 14,9. 891. Розв'яжи прямокутний трикутник за даними катетами 𝑎 і 𝑏, якщо: а) 𝑎 = 183, 𝑏 = 156; б) 𝑎 = 26,1, 𝑏 = 38. a) a = 183; b = 156; 𝑏 156 tg β = = = 0,8525; β = 40°27’; 𝑎 183 ∠α = 90° – 40°27’ = 49°33’; 𝑎 183 183 c= = = = 240,5. sin α

sin 49°33′

0,761

б) a = 26,1; b = 38; 𝑏 38 tg β = = = 1,4559; β = 55°31’; 𝑎

26,1

∠α = 90° – β = 90° – 55°31’ = 34°29’; 𝑎 26,1 26,1 c= = = = 46,1. sin α

sin 34°29′

0,5662

892. Solve 𝑎 right triangle if you know the legs 𝑎 and 𝑏 : a) 𝑎 = 1,08, 𝑏 = 0,97; b) 𝑎 = 12,1, 𝑏 = 6,92. а) a = 1,08; b = 0,97; 𝑏 0,98 tg β = = = 0,9074; β = 42°13’; 𝑎

1,08

∠α = 90° – β = 90° – 42°13’ = 47°47’; 𝑎 0,97 0,97 c= = = = 1,44. sin α

sin 42°13′

0,6719

б) a = 12,1; b = 6,92; 𝑏 6,92 tg β = = = 0,5719; β = 29°46’; 𝑎

12,1

∠α = 90° – β = 90° – 29°46’ = 60°14’; 𝑎 6,92 6,92 c= = = = 13,94. sin α

sin 29°46′

0,4965

893. Знайди висоту дерева, якщо 𝑏 = 10 м, ℎ = 2 м, 𝛼 = 70∘ .

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

H — висота дерева. H = btg α + h = 10tg70° + 2 = 10 ∙ 2,747 + 2 = 27,47 + 2 = 29,47. 894. Для визначення висоти колони відміряли по прямій від основи колони 150 м . Вершину колони видно під кутом 20∘ . Висота кутоміра дорівнює 1,5 м. Знайди висоту колони.

Кутомір на висоті 1,5 м, відстань до колони 150 м, кут 20°. Частина колони над рівнем кутоміра: 150 · tg 20° ≈ 150 · 0,364 = 54,6 (м). Висота колони ≈ 54,6 + 1,5 ≈ 56 (м). Відповідь: ≈ 56 м. 895. Драбину довжиною 12 м приставлено до карниза стіни будинку під кутом 27∘ . Знайди висоту стіни до карниза.

H — висота стіни; H = 12 cos 27° = 12 ∙ 0,891 = 10,7 (м). 896. Дерево при кутовій висоті Сонця 37∘ відкидає тінь завдовжки 10,2 м. Знайди висоту дерева.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

897. Дерево заввишки 20 м, що росте на одному березі річки, з другого берега видно під кутом 15∘ . Знайдіть ширину річки. (Припускаємо, що основа дерева і око спостерігача на одному рівні.)

а — ширина річки. a =

20 tg15°

20 0,2679

= 74,65 (м).

898. Для завантаження силосної башти на висоті 4,5 м треба приладнати похилий жолоб із нахилом 12∘ до поверхні землі. Якої довжини слід взяти жолоб?

∆SAB — прямокутний. SA 4,5 SB = = = 4,6 (м). cos 12°

0,9781

899. Ширина будинку 7 м , довжина крокви 4,5 м. Під яким кутом крокви нахилені до стелі?

∆ABC — рівнобедрений, BK ⊥ AC, K — середина AC. 1 1 ∆ABAT — прямокутний. AK = АС = ∙ 7 = 3,5 (см). 2

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AB = 4,5 м ∙ cos ∠А =

𝐴𝐾 𝐴𝐵

3,5 4,5

= 0,7778.

∠A = 51°4’ — кут нахилу крокви до стелі. 900. До стовпа заввишки 8 м зробили похилу підпору завдовжки 10 м. Знайди кут між ними.

x = √102 − 82 = √100 − 64 = √36 = 6; 6 8 sin α = = 0,6; cos α = = 0,8. 8

901. Переріз залізничного насипу має форму рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 8 м і 28 м. Бічні сторони нахилені до горизонту під кутом 31∘ . Знайди висоту насипу.

ABCD — переріз насипу, трапеція. Проведемо BK ⊥ AD; CM ⊥ AD. AD− BC 28−8 KM = BC; AK = MD = = = 10 (см). 2 2 З ∆АВK: BK = AKtg31° = 10 ∙ 0,6 = 6 (см). 902. Ширина полотна залізничного насипу дорівнює 30 м, а ширина підошви - 62 м. Знайдіть висоту насипу, якщо кут відкосу становить 32∘ . ABCD — переріз насипу. Проведено BK ⊥ AD, CM ⊥ AD, KM = BC = 30 см. 62− 30 AK = MD = = 16 (м). 2 З ∆ABK — прямокутного: BK = AKtgA = 16 ∙ tg32° = 16 ∙ 0,6249 = 9,9984 = 10 м. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

903. Знайди основу рівнобедреного трикутника, якщо його бічна сторона дорівнює 87 см, а кут при основі 44∘ .

∆ABC — рівнобедрений, AB = BC = 87 (cм). ∠A = ∠C = 44°. Проведемо BK ⊥ AC, K — середина AC. ∆ABK — прямокутний, AK = ABcos∠А = 87cos 44° = 87 ∙ 0,7193 = 62,6 (см). AC = 2 ∙ AK = 2 ∙ 62,6 = 125,2 (см). 904. Гострий кут ромба дорівнює 54∘ . Його більша діагональ дорівнює 26 см. Знайди сторону ромба.

ABCD — ромб, ∠A = 54°; AC = 26 cм, AC ⊥ BD, ∆ABO — прямокутний, 1 1 ∠BAO = 54° : 2 = 27°; AO = АС = ∙ 26 = 13 (см). AB =

AO cos ∠BAO

13 cos27°

0,891

= 14,6.

905. Діагональ прямокутника дорівнює 85 см і утворює зі стороною кут 65∘ . Знайди сторони прямокутника.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

b = 85 cos 65° = 85 ∙ 0,4226 = 35,9. a = 85 sin 65° = 85 ∙ 0,9063 = 77. 906. Сторони прямокутника дорівнюють 20 см і 17 см. Знайди його діагональ і кути, які вона утворює зі сторонами прямокутника.

ABCD — прямокутник, AC — діагональ, 17 ∆АВС — прямокутний; tg ∠BCA = = 0,85; 20 ∠BCA = 40°22’, тоді ∠ВАС = 90° – 40°22’ = 49°38’. 907. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 60 см, бічна сторона 65 см. Знайди кути цього трикутника.

∆АВС — рівнобедрений, AB = BC = 65 см; AC = 60 см. Проведемо BX ⊥ AC; K — середина AC. ∆ABK — прямокутний; AK = 30 см; AB = 65 см. 𝐴𝐾 30 cos ∠A = = = 0,4615, тоді ∠A = 62°31’; ∠C = ∠A = 62°31’; 𝐴𝐵 65 ∠B = 180° – (∠A + ∠C) = 180° – (62°31’ + 62°31’) = 180° – 125°2’ = 54°58’. 908. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 17,5 см, кут при вершині дорівнює 43∘ . Знайди основу й кути при основі цього трикутника.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∆ABC — рівнобедрений, AB = BC = 17,5 см, ∠B = 43°. ∠А + ∠C = 180° – ∠В = 180°– 43° = 137°. 137° ∠A = ∠C = = 68°30’; ВK ⊥ AC, K — середина AC. 2 ∆ABK — прямокутний, у якому AB = 17,5 (см) — гіпотенуза; AK — катет. АK = AB cos ∠А = 17,5 cos 68°30’ = 17,5 ∙ 0,3665 ≈ 6,4 (см), тоді AC = 2 ∙ AK = 2 ∙ 6,4 = 12,8 (см). 909. Основа рівнобедреного трикутника відноситься до бічної сторони як 8 ∶ 7. Знайди кути трикутника.

∆ABC — рівнобедрений, AC : AB = 8 : 7. Нехай AC = 8x, AB = 7x. Проведемо BK ⊥ AC; ∆АВK — прямокутний, 1 AK = AC = 4х — катет. AB = 7 x — гіпотенуза. 2

cos ∠A = = = 0,5714. 𝐴𝐵 7𝑥 ∠A = 55°9’, тоді ∠C = 55°9’, ∠B = 180° – (∠A + ∠C) = 180° – (55°9’ + 55°9’) = 180° – 110°18’ = 69°42’. 910. Знайди кути рівнобедреного трикутника, якщо його висота дорівнює основі.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∆АВС — рівнобедрений, AB = BC. 1 1 BH — висота; BH = AC. H — середина AC, AH = АС = ВН. 2 2 Нехай AH = х, тоді BH = 2х. BH 2𝑥 З ∆ABN — прямокутного: tg A = = = 2 тоді 𝐴𝐻 𝑥 ∠A = 63°26’, ∠A = ∠C = 63°26’. ∠В = 180° – (∠А + ∠С) = 180° – (6З°26’ + 63°26’) = 180° – 126°52’ = 53°8’. 911. Прогін двосхилого даху дорівнює 8,2 м, а висота даху 3,2 м. Знайди довжину схилу даху і кут між кроквами.

∆АВС — рівнобедрений, AB ⊥ BC, BK ⊥ AC, AC = 8,2 м, BK = 3,2 м. Оскільки AC = 8,2 м, то AK = KC = 4,1 м. Із трикутника ABK маємо: AB = √𝐴𝐾 2 + 𝐵𝐾 2 = √4,12 + 3,22 = √27,05 = 5,2 м; 𝐴𝐾 4,1 tg ∠ABK = = = 1,28125, тоді ∠ABK = 52°, звідси ∠ABK = 52° ∙ 2 = 104°. 𝐵𝐾

3,2

Відповідь: = 52 м, = 104°. 912. У металевій деталі зроблено паз, поперечний розріз якого має форму рівнобічної трапеції. Обчисли кути нахилу бічних граней паза за зазначеними на малюнку розмірами (в міліметрах).

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

За малюнком 16.14 ширина паза вгорі 30 мм, унизу 60 мм, глибина 20 мм. Перпендикуляр AC до дна відтинає відрізок BC = (60 − 30) : 2 = 15 (мм). tg ∠B = AC/BC = 20/15 = 4/3 ≈ 1,333, ∠B ≈ 53°. Бічні грані паза нахилені до дна під кутом ≈ 53° (до вертикалі — під кутом ≈ 37°). Відповідь: ≈ 53°. 913. Висота підйому дороги 0,4 м на кожні 3 м, взяті в горизонтальному напрямі. Знайди кут підйому дороги.

α – кут підйому дороги; tg α =

0,4 3

= 0,1333; α = 7°36’ — кут підйому.

914. Підйом дороги характеризується числом tg α =

1 15

. Визнач кут підйому.

= 0,0667; α = 3°49’.

915. Дорожній знак «Крутий спуск» попереджає водіїв про небезпеку і вказує, на скільки метрів у середньому піднімається дорога на кожні 100 метрів шляху. Знайди кут нахилу дороги, про яку попереджає знак.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Знак 12 % означає, що на кожні 100 м шляху дорога піднімається (опускається) на 12 м. sin α = 12/100 = 0,12, α ≈ 6°54′ ≈ 7°. Відповідь: ≈ 7°. 916. Знайди кути рівнобічної трапеції, якщо її бічна сторона і діагональ перпендикулярні одна до одної і дорівнюють відповідно 3 дм і 4 дм.

ABCD — рівнобічна трапеція, AB — бічна сторона, BD — діагональ. ∆ABD — прямокутний. 𝐵𝐷 4 tg ∠A = = = 1,3333. 𝐴𝐵 3 ∠A = 53°8’, ∠A = ∠A = 53°8’; ∠B = ∠C = 180° – 53°8’ = 126°52’. 917. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 𝑎 і 𝑏(𝑏 > 𝑎), а гострий кут 𝛼. Визнач бічну сторону трапеції та її висоту.

ABCD — трапеція (AB = CD), BC = а; AD = b, ∠A = ∠D = α. Проведемо BK ⊥ AD; CM ⊥ AD. b–a BCDK — прямокутник, KM = BC = а, AK + MD = b – a, AK = MD = . ∆ABK — прямокутний, AB = BK = AK ∙ tgα = tgα =

b–a 2

AK cos α

b–a 2 cos α

;

∙ tgα.

918. Дві сторони трикутника дорівнюють 36 см і 87 см, а кут між ними −58∘ . Визнач висоти трикутника, опущені на ці сторони.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

У ∆ABC : AB = 36 cм, AC = 87 cм, ∠A = 58°. Проведемо BK ⊥ AC, ∆АВК — прямокутний, BK = ABsin∠A = 36sin58° = 36 ∙ 0,848 = 30,5. 1 1 S∆ABC = АС ∙ BK = 87 ∙ 30,5 = 1326,75 (cм2). 2

919. Сторони паралелограма дорівнюють 14,8 см і 7,4 см, а його гострий кут дорівнює 62∘ . Визнач висоти паралелограма.

ABCD — паралелограм, AD = 14,8 cм, AB = 7,4 cм, ∠A = 62°. Проведемо BK ⊥ AD; ∆ABK — прямокутний. BK = AB sin ∠A = 7,4 sin 62° = 7,4 ∙ 0,8829 = 6,5 (cм). SABCD = AD ∙ BK = 14,8 ∙ 6,5 = 96,2 (cм2). 920. Визнач висоти рівнобедреного трикутника, у якого кут при вершині дорівнює 50∘ , а бічна сторона 8,4 дм.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

△ABC: AB = BC = 8,4 дм, ∠B = 50°, ∠A = ∠C = 65°. Висота до основи BH = AB · cos 25° ≈ 8,4 · 0,906 ≈ 7,61 (дм). Висоти до бічних сторін рівні: AM = AB · sin 50° ≈ 8,4 · 0,766 ≈ 6,43 (дм). Відповідь: ≈ 7,61 дм і ≈ 6,43 дм (дві рівні). 921. Визнач висоти рівнобедреного трикутника, основа якого дорівнює 8,6 дм, а кут при основі 37∘ .

△ABC: AC = 8,6 дм, ∠A = ∠C = 37°. Висота BH ділить основу навпіл: AH = 4,3 дм. BH = AH · tg 37° ≈ 4,3 · 0,754 ≈ 3,24 (дм). Висота до бічної сторони: AM = AC · sin 37° ≈ 8,6 · 0,602 ≈ 5,18 (дм) (з прямокутного △AMC). Відповідь: ≈ 3,24 дм і ≈ 5,18 дм (дві рівні). 922. Діагоналі ромба дорівнюють 56 мм і 84 мм. Визнач кути ромба та його сторону.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BCD — ромб AC = 84 см; BD = 56 см, AC ⊥ BD; O — середина діагоналей. 84 1 56 AO = = 42(см), BO = BD = = 28 (см). 2 2 2 ∆ABO — прямокутний, за т. Піфагора AB = √𝐴𝑂2 + 𝐵𝑂2 = √422 + 282 = √1764 + 784 = √2548 = 14√13 =50,5 (см). 𝐵𝑂 28 sin ∠BAO = = = 0,5545, тоді 𝐴𝐵

50,5

∠А = ∠C = 2 ∙ ∠BAO = 2 ∙ 33°41’ = 66°82’. ∠В = ∠D = 180° – 66°82’ = 113°8’. 923. Сторона ромба дорівнює 8,5 дм, а гострий кут 88∘ . Визнач радіус кола, вписаного у цей ромб.

Висота ромба h = a · sin 88° ≈ 8,5 · 0,9994 ≈ 8,495 (дм). Радіус вписаного кола дорівнює половині висоти: r ≈ 4,25 дм. Відповідь: ≈ 4,25 дм. 924. З точки 𝑀, яка лежить поза кругом, цей круг видно під кутом 𝛼. Визнач відстань від точки 𝑀 до центра круга, якщо його діаметр дорівнює 𝑑.

∆MOK — прямокутний, ∠KMO = , OK = — катет, MO =

OK α sin 2

d 2

α sin 2

𝑑 2 sin

α 2

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

925. Із зовнішньої точки до кола проведено дві дотичні. Довжина дотичної дорівнює 7,8 см, радіус кола 4 см. Визнач кут між дотичними.

∆MPO — прямокутний, tg ∠OMP =

4 7,8

= 0,5128.

926. Із точки 𝑀, що лежить на відстані 𝑎 від центра кола, проведено дві дотичні 𝑀𝐴 і 𝑀𝐵, кут між якими дорівнює 𝛼. Визнач довжини дотичних та радіус кола.

∆MOA = ∆МОВ; (OA = OB = R — катети, α MO — спільна гіпотенуза), тому ∠AMO = ∠BMO = . 2

∆MOA — прямокутний, MO = а — гіпотенуза, ∠AMO = . α

R = OA = a sin , AM = a cos . 927. Периметр прямокутного трикутника дорівнює 82 см, а один із гострих кутів 28∘ . Знайди гіпотенузу.

Р∆ABC = 82 см, ∆ABC — прямокутний. Нехай гіпотенуза AB = х, AB = cos 28°. CB = х sin 28°; х + x соs 28° + х sin 28° = 82; х(1 + cos 28° + sin 28°) = 82; х(1 + 0,8829 + 0,4695) = 82; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

х ∙ 2,3524 = 82 х = 82 : 2,3524; х = 34,9. Отже, AB = 34,9 см. 928. Знайди кути трикутника 𝐴𝐵𝐶 та сторону 𝐵𝐶, якщо його сторони 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 і висота 𝐴𝐻 дорівнюють відповідно 3 см, 5 см і 2 см.

AB = 3 см, AC = 5 см, AH ⊥ BC, AH = 2 см. ∆ABH — прямокутний. 𝐴𝐻 2 sin ∠B = = = 0,6667, ∠B = 41°49’; 𝐴𝐵

𝐴𝐻

∆AHC — прямокутний, sin ∠C = = = 0,4, ∠C = 23°35’, 𝐴𝐶 5 ∠A = 180° – (∠B + ∠C) = 180° – (41°49’ + 23°35’) = 180° – 65°24’ = 114°36’. 929. Знайди кути трапеції, основи якої дорівнюють 20 см і 45 см, а бічні сторони 7 см і 24 см.

BM ⊥ AD; CK ⊥ AD BKCM — прямокутник. MK = BC = 20 см, AM + KD = 45 – 20 = 25 см. Нехай AM = х см, тоді KD = 25 – х см. ∆ABM — прямокутний. BM2 = AB2 – AM2 = 72 – x2; ∆CKD — прямокутний. CK2 = CD2 – KD2 = 242 – (25 – x)2; BM = CK, тому 72 – x2 = 242 – (25 – x)2;

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

49 – x2 = 576 – 625 + 50x – x2; 50x = 98; x = 98 : 50, x = 1,96. AM = 1,96 см, KD = 25 – 1,9 6 = 23,04 см. 𝐴𝑀 1,96 З ∆ABM — прямокутного: cos ∠A = = = 0,28, тоді 𝐴𝐵 7 ∠A = 73°44’; ∠B = 180° – ∠А = 180° – 73°44’ = 106°16’; 𝐾𝐷 23,04 З ∆CKD — прямокутного: cos ∠D = = = 0,96, тоді 𝐶𝐷 24 ∠D = 16°16’, ∠C = 180° – ∠D = 180° – 16°16’ = 163°44’. 930. У колі з центром 𝑂 і радіусом 12 см проведено хорду 𝐴𝐵. Знайди довжину цієї хорди, якщо з дуги кола хорду видно під кутом: а) 20∘ ; б) 130∘ .

а) Вписаний кут 20° спирається на дугу 40°, тому ∠AOB = 40°. Перпендикуляр OK до хорди ділить її і кут AOB навпіл: AK = R · sin 20° ≈ 12 · 0,342 = 4,104, AB ≈ 8,21 см. б) Якщо хорду видно з дуги під кутом 130°, то точка лежить на меншій дузі, а більша дуга AB = 260°; менша дуга 100°, ∠AOB = 100°, AB = 2R · sin 50° ≈ 24 · 0,766 ≈ 18,38 (см). Відповідь: а) ≈ 8,21 см; б) ≈ 18,38 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

1. Тригонометрія як наука про розв'язування трикутників. 2. Творці тригонометрії. 1. Тригонометрія (від грец. «тригонон» — трикутник і «метрео» — вимірюю) виникла з потреб астрономії, мореплавства, землемірства: за двома сторонами і кутом або за стороною і двома кутами знаходять інші елементи трикутника. 2. Творці тригонометрії: Гіппарх (II ст. до н. е.) склав перші таблиці хорд; Клавдій Птолемей («Альмагест»); індійські математики (Аріабхата) увели синус; ал-Баттані, Абу-л-Вафа, Насір ад-Дін атТусі виділили тригонометрію в окрему науку; Региомонтан склав точні таблиці; Леонард Ейлер увів сучасні позначення sin, cos, tg. 932. Скільки сторін може мати многокутник, утворений прикладанням одного трикутника до другого? 1) три сторони;

2) 4 сторони;

3) 5 сторін;

4) сторін.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

933. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 13 см, а периметр 30 см2 . Знайди катети.

∆АВС — прямокутний, ∠B = 90°. АВ + ВС = 30 – 13 = 17 (см). За т. Піфагора АВ2 + ВС2 = 132 = 169; АВ + ВС = 17; { 2 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 2 = 169; ВС = 17 – АВ; АВ2 + (17 – АВ)2 = 169; АВ2 + 289 – 34АВ + АВ2 = 169; 2АВ2 – 34АВ + 120 = 0; АВ2 – 17АВ + 60 = 0; АВ = 5 см. ВС = 17 см – 5 см = 12 см. Відповідь: 5 см і 12 см. 934. У піраміді 𝑃𝐴𝐵𝐶 кожне ребро - завдовжки 20 см, 𝑀 і 𝐻 середини ребер 𝐴𝑃 і 𝐵𝐶. Знайди: a) кути 𝑃𝐵𝐶, 𝐵𝐻𝑃, 𝐵𝑃𝐻, 𝑃𝑀𝐵, 𝑀𝐵𝑃; б) відстані 𝐵𝐻, 𝐴𝑀, 𝑀𝑃, 𝑃𝐻, 𝑀𝐵. Чи паралельні прямі 𝐵𝑀 і 𝑃𝐻?

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Так як у піраміди всі ребра рівні, то ∆АPB, ∆BPC — рівносторонні, отже, всі кути у них по 60°, всі сторони по 20 cм; M — середина АР, тому BM ⊥ AP H — середина ВС, тому PH ⊥ BC. Звідси маємо ∠PBC = 60°; ∠BHP = 90°; ∠ВРН = 30°; ∠PMB = 90°; ∠MBP = 30°. 1 1 ВH = ВС = ∙ 20 = 10 (см), 2 1

2 1

MP = HP = ∙ 20 = 10 (см); AM = АР = ∙ 20 = 10 (см). 2

2 2 PH = √𝑃𝐵 − 𝑃𝐻2 = √202 − 102 = √400 − 100 = √300 = 10√3 (см). (з теореми

Піфагора з ∆PBH). MB = √𝐴𝐵2 − 𝐴𝑀2 = √202 − 102 = √400 − 100 = √300 = 10√3 (см) (з ∆АВМ за теоремою Піфагора). ЗАДАЧІ ЗА ГОТОВИМИ МАЛЮНКАМИ (сторінка 170) А 1. Дано: BC ∥ AD, AB = BC = CD = 10, ∠A = 60°. Знайти: AD, BH.

BH = AB · sin 60° = 10 · √3/2 = 5√3. AH = AB · cos 60° = 5. Трапеція рівнобічна (AB = CD), тому AD = BC + 2AH = 10 + 10 = 20. Відповідь: AD = 20, BH = 5√3. 2. Дано: ABCD — прямокутник, d, α. Знайти: AB, BC.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

У прямокутному △ACD (∠D = 90°): CD = AC · sin α = d sin α, AD = AC · cos α = d cos α. AB = CD = d sin α, BC = AD = d cos α. Відповідь: AB = d sin α, BC = d cos α. 3. Дано: BC ∥ AD, AH = DH. Знайти: CD, DA.

У прямокутному △ABH: BH = a sin α, AH = a cos α. CD = BH = a sin α (DHBC — прямокутник); DA = 2AH = 2a cos α (AH = DH). Відповідь: CD = a sin α, DA = 2a cos α. 4. Дано: ABCD — ромб, AB = a, ∠BAD = α. Знайти: AC, BD.

Діагоналі ромба перпендикулярні, діляться навпіл і є бісектрисами кутів: ∠BAO = α/2. У прямокутному △ABO: AO = a cos(α/2), BO = a sin(α/2). AC = 2a cos(α/2), BD = 2a sin(α/2). Відповідь: AC = 2a cos(α/2), BD = 2a sin(α/2). 5. Дано: AC = 3, BC = 4. Знайти: sin α, cos α, tg α.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AB = √(3² + 4²) = 5. Кут α — при вершині B: sin α = AC/AB = 3/5, cos α = BC/AB = 4/5, tg α = AC/BC = 3/4. Відповідь: 3/5; 4/5; 3/4. 6. Дано: BK ⊥ AC, AK = 1, KC = 9. Знайти: sin α, cos α.

У прямокутному △ABC (∠B = 90°) BK — висота: BK² = AK · KC = 1 · 9, BK = 3. BC = √(KC² + BK²) = √(81 + 9) = 3√10. Кут α — при вершині C: sin α = BK/BC = 3/(3√10) = √10/10, cos α = KC/BC = 9/(3√10) = 3√10/10. Відповідь: √10/10; 3√10/10. 7. Дано: AB = 4, BC = 2√3. Знайти: ∠A, ∠B, AC.

AC = √(AB² − BC²) = √(16 − 12) = 2. sin A = BC/AB = 2√3/4 = √3/2, тому ∠A = 60°, ∠B = 30°. Відповідь: ∠A = 60°, ∠B = 30°, AC = 2. 8. Дано: AL = 6, tg α = √3/3. Знайти: ∠A, ∠B, AB, AC, BC.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

tg α = √3/3, тому α = 30°, ∠A = 2α = 60°, ∠B = 30°. У прямокутному △ACL: AC = AL · cos 30° = 6 · √3/2 = 3√3, CL = AL : 2 = 3. AB = 2AC = 6√3 (катет AC лежить проти кута 30°), BC = √(AB² − AC²) = √(108 − 27) = 9. Відповідь: ∠A = 60°, ∠B = 30°, AB = 6√3, AC = 3√3, BC = 9. Б 1. Дано: OA = 2, SP = 8. Знайти: AP.

Кола дотикаються зовні, тому OS = 2 + 8 = 10. OA ⊥ AP, SP ⊥ AP (радіуси в точки дотику). Проведемо OK ∥ AP (K ∈ SP): KP = OA = 2, SK = 8 − 2 = 6, OK = √(10² − 6²) = 8. AP = OK = 8. Відповідь: AP = 8. 2. Дано: AB = BC. Знайти: AB, AC.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

∠A = ∠C = 70°, ∠B = 180° − 140° = 40°. AH ⊥ BC, AH = h. З прямокутного △AHC: AC = h : sin 70° ≈ 1,064h. З прямокутного △AHB: AB = h : sin 40° ≈ 1,556h. Відповідь: AB = h/sin 40° ≈ 1,56h, AC = h/sin 70° ≈ 1,06h. 3. Дано: OB = r, ∠A = 50°. Знайти: AC, CB.

AB — діаметр, AB = 2r; ∠ACB = 90° (спирається на діаметр). AC = AB · cos 50° = 2r cos 50° ≈ 1,29r, CB = AB · sin 50° = 2r sin 50° ≈ 1,53r. Відповідь: AC = 2r cos 50°, CB = 2r sin 50°. 4. Дано: AB = BC = c, ∠ABC = β. Знайти: AC, BH.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BH — висота рівнобедреного трикутника, вона ж бісектриса і медіана: ∠ABH = β/2. BH = c cos(β/2), AH = c sin(β/2), AC = 2c sin(β/2). Відповідь: AC = 2c sin(β/2), BH = c cos(β/2). 5. Дано: AB = 10, AC = 6. Знайти: tg α, cos β.

BC = √(10² − 6²) = 8. α — кут при вершині A, β — при вершині B. tg α = BC/AC = 8/6 = 4/3; cos β = BC/AB = 8/10 = 0,8. Відповідь: tg α = 4/3, cos β = 0,8. 6. Дано: ∠C = 90°, AM = MB, ∠HCM = α. Знайти: sin α.

AB = √(6² + 8²) = 10, CM — медіана: CM = AB : 2 = 5. CH — висота: CH = 6 · 8 : 10 = 4,8; AH = AC² : AB = 36 : 10 = 3,6, HM = AM − AH = 5 − 3,6 = 1,4. У прямокутному △CHM: sin α = HM/CM = 1,4/5 = 0,28. Відповідь: 0,28. 7. Дано: BC = 4, cos α = √3/2. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Знайти: AB, AC, ∠B.

cos α = √3/2, тому α = ∠A = 30°, ∠B = 60°. Катет BC лежить проти кута 30°: AB = 2 · 4 = 8. AC = √(64 − 16) = 4√3. Відповідь: AB = 8, AC = 4√3, ∠B = 60°. 8. Дано: sin α = √3/2, cos β = √2/2. Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, AB, BC.

sin α = √3/2, тому α = 60°; cos β = √2/2, тому β = 45°. ∠B = 60° + 45° = 105°. У прямокутному △ABK: ∠A = 90° − 60° = 30°, AB = 2BK = 10, AK = √(100 − 25) = 5√3. У прямокутному △CBK: ∠C = 45°, KC = BK = 5, BC = 5√2. AC = 5√3 + 5 = 5(√3 + 1). Відповідь: ∠A = 30°, ∠B = 105°, ∠C = 45°, AB = 10, BC = 5√2. САМОСТІЙНА РОБОТА (сторінка 172) Варіант 1 1. Знайди сторону ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 16 см і 12 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html 1

AO = АС = 6 см; BO = BD = ∙ 16 = 8 см. 2 2 2 ∆АОВ за теоремою Піфагора: AB2 = AO2 + BO2, AB2 = 36 + 64, AB2 = 100. AB = √100 = 10 см. Відповідь: сторона ромба 10 см. 2. З точки 𝐴 до прямої 𝑚 проведено перпендикуляр 𝐴𝑀 = 12 см і похилу 𝐴𝑃 = 13 см. Знайди синус, косинус та тангенс кута 𝐴𝑃𝑀.

△AMP прямокутний (∠M = 90°): MP = √(13² − 12²) = 5 (см). sin ∠APM = AM/AP = 12/13, cos ∠APM = MP/AP = 5/13, tg ∠APM = AM/MP = 12/5. Відповідь: 12/13; 5/13; 12/5. 3. Дано трикутник 𝐴𝐵𝐶(∠𝐶 = 90∘ ). Знайди 𝐵𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 7 см i cos ∠𝐵 = 0,6.

BC — катет, прилеглий до кута B: BC = AB · cos B = 7 · 0,6 = 4,2 (см). Відповідь: 4,2 см. 4. Менша сторона прямокутника дорівнює 6 см, а діагональ утворює з більшою стороною кут 40∘ . Знайди периметр прямокутника (з точністю до сотих). © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

△ACD: CD = 6 см — менша сторона, ∠CAD = 40°. AD = CD : tg 40° ≈ 6 : 0,8391 ≈ 7,15 (см). P = 2 · (6 + 7,15) ≈ 26,30 (см). Відповідь: ≈ 26,30 см. Варіант 2 1. Знайди висоту рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 7 см i 17 см, а бічна сторона 13 см.

ABCD — трапеція. AB = CD, BC = 7 см, AD = 17 см, BK ⊥ AD, CM ⊥ AD. AK = MD = (17 – 7) : 2 = 5 см. ∆ABK: BK2 = AB2 – AK2 = 169 – 25 = 144. BK = 12 см. 2. З точки 𝐻 до прямої 𝑎 проведено перпендикуляр 𝐻𝑂 = 6 см і похилу 𝐻𝐴 = 10 см. Знайди синус, косинус та тангенс кута 𝑂𝐻𝐴.

△HOA прямокутний (∠O = 90°): OA = √(10² − 6²) = 8 (см). sin ∠OHA = OA/HA = 0,8; cos ∠OHA = HO/HA = 0,6; tg ∠OHA = OA/HO = 4/3. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відповідь: 0,8; 0,6; 4/3. 3. Дано трикутник 𝐴𝐵𝐶 (∠𝐶 = 90∘ ). Знайди 𝐴𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 15 см і sin ∠𝐵 = 0,2.

AC — катет, протилежний куту B: AC = AB · sin B = 15 · 0,2 = 3 (см). Відповідь: 3 см. 4. Висота ромба дорівнює 5 см, а гострий кут 70∘ . Знайди периметр ромба (з точністю до сотих).

Сторона ромба a = h : sin 70° ≈ 5 : 0,9397 ≈ 5,32 (см) (з прямокутного трикутника, утвореного висотою і стороною). P = 4a ≈ 21,28 (см). Відповідь: ≈ 21,28 см. Варіант 3 1. Сторона ромба дорівнює 15 см , а діагональ 24 см. Знайди другу діагональ ромба.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AO2 = AB2 – OB2 = 225 – 144 = 81. AO = 9, AC = 18 см Відповідь: 18 см. 2. З точки 𝑀 до прямої 𝑎 проведено перпендикуляр 𝑀𝑃 = 8 см і похилу 𝑀𝐾 = 17 см. Знайди синус, косинус та тангенс кута 𝑀𝐾𝑃.

△MPK прямокутний (∠P = 90°): PK = √(17² − 8²) = 15 (см). sin ∠MKP = MP/MK = 8/17, cos ∠MKP = PK/MK = 15/17, tg ∠MKP = MP/PK = 8/15. Відповідь: 8/17; 15/17; 8/15. 3. Дано трикутник 𝐴𝐵𝐶(∠𝐶 = 90∘ ). Знайди 𝐵𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 3 см і sin ∠𝐴 = 0,8.

BC — катет, протилежний куту A: BC = AB · sin A = 3 · 0,8 = 2,4 (см). Відповідь: 2,4 см. 4. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 6 см і 10 см, а кут 50∘ . Знайди периметр трапеції (з точністю до сотих).

Висоти відтинають від більшої основи по (10 − 6) : 2 = 2 (см). Бічна сторона c = 2 : cos 50° ≈ 2 : 0,6428 ≈ 3,11 (см). P ≈ 6 + 10 + 2 · 3,11 ≈ 22,22 (см). © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відповідь: ≈ 22,22 см. Варіант 4 1. Знайди більшу бічну сторону прямокутної трапеції, основи якої дорівнюють 9 см і 14 см , а висота 12 см .

ABCD — прямокутна трапеція. CK ⊥ AD, CX = 12 см, BC = 9 см, AD = 14 см. ∆CKD — прямокутний. KD = AD – BC = 14 – 9 = 5 см. CD2 = 144 + 25 = 169, CD = 13 см. Відповідь: 13 см. 2. З точки 𝑂 до прямої 𝑝 проведено перпендикуляр 𝑂𝐾 = 12 см і похилу 𝑂𝐶 = 15 см. Знайди синус, косинус та тангенс кута 𝐾𝑂𝐶.

△OKC прямокутний (∠K = 90°): KC = √(15² − 12²) = 9 (см). sin ∠KOC = KC/OC = 0,6; cos ∠KOC = OK/OC = 0,8; tg ∠KOC = KC/OK = 0,75. Відповідь: 0,6; 0,8; 0,75. 3. Дано трикутник 𝐴𝐵𝐶 ( ∠𝐶 = 90∘ ). Знайди 𝐴𝐶, якщо 𝐴𝐵 = 5 см і cos ∠𝐴 = 0,7.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AC — катет, прилеглий до кута A: AC = AB · cos A = 5 · 0,7 = 3,5 (см). Відповідь: 3,5 см. 4. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 8 см, а кут при основі 40∘ . Знайди периметр трикутника (з точністю до сотих).

Висота ділить основу навпіл: AH = 4 см. Бічна сторона AB = AH : cos 40° ≈ 4 : 0,766 ≈ 5,22 (см). P ≈ 8 + 2 · 5,22 ≈ 18,44 (см). Відповідь: ≈ 18,44 см.

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ (сторінка 173) 1. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 10 см, а катет - 6 см. Знайди третю сторону трикутника. A. 6 см; Б. 4 см; B. 16 см; Г. 8 см. Другий катет: √(10² − 6²) = 8 (см). Відповідь: Г. 8 см. 2. Яке з тверджень завжди хибне? A. sin 𝛼 = 1; Б. tg𝛼 = 3; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

B. cos 𝛼 = 2; Г. sin 𝛼 = 0,5. Синус і косинус гострого кута менші за 1, тому рівність cos α = 2 завжди хибна. Відповідь: В. 3. Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на: А. синус прилеглого кута; Б. косинус прилеглого кута; B. тангенс протилежного кута; Г. косинус протилежного кута. Катет дорівнює добутку гіпотенузи на косинус прилеглого до нього кута (або на синус протилежного). Відповідь: Б. 1

4. У △ 𝐴𝐵𝐶 з прямим кутом 𝐶sin 𝐴 = . Знайди ∠𝐵. 2 A. 30∘ ; Б. 60∘ ; B. 45∘ ; Г. 90∘ . sin A = 1/2, тому ∠A = 30°, ∠B = 90° − 30° = 60°. Відповідь: Б. 60°. 5. Діагональ квадрата зі стороною 𝑎 дорівнює: A. 𝑎√3; Б.

𝑎 √3 2

;

B. 𝑎√2; 𝑎 Г. . √2

d² = a² + a² = 2a², d = a√2. Відповідь: В. a√2. √2

√3

6. Установи вид △ 𝐴𝐵𝐶, якщо sin 𝐴 = , cos 𝐶 = . 2 2 А. гострокутний; Б. прямокутний; В. тупокутний; Г. рівнобедрений. cos C = √3/2, тому ∠C = 30°; sin A = √2/2, тому ∠A = 45° (або 135°). Тоді ∠B = 105° (або 15° при ∠A = 135°) — в обох випадках трикутник має тупий кут. Відповідь: В. тупокутний. 7. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 3 см і 4 см. Знайди синус більшого гострого кута. 3 A. ; 5

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html 4

Б. ; 5 3

В. ; 4 5

Г. . 3

Гіпотенуза 5 см. Більший гострий кут лежить проти більшого катета 4 см: sin = 4/5. Відповідь: Б. 4/5. 8. У △ 𝐴𝐵𝐶(∠𝐶 = 90∘ ), tg𝐴 = 1. Який знак слід поставити замість *: 𝐴𝐶 * 𝐵𝐶? А. ˃ Б. ˂ В. = Г. не можна встановити. tg A = BC/AC = 1, тому AC = BC. Відповідь: В. =. 9. У △ 𝐴𝐵𝐶(∠𝐶 = 90∘ ), 𝐴𝐵 = 𝑎, ∠𝐴 = 𝛼. Знайди 𝐴𝐶. A. 𝑎 sin 𝑎; Б. 𝑎 cos 𝑎; 𝑎 B. ; Г.

sin 𝛼 𝑎

cos 𝛼

AC — катет, прилеглий до кута A: AC = AB · cos A = a cos α. Відповідь: Б. a cos α. 10. З точки до прямої проведено перпендикуляр і похилу, довжини яких дорівнюють відповідно 8 см і 17 см. Знайди довжину проєкції похилої. A. √353; Б. 9; B. 5; Г. 15. Проєкція похилої: √(17² − 8²) = √225 = 15 (см). Відповідь: Г. 15. ТИПОВІ ЗАДАЧI ДЛЯ ТЕМАТИЧНОГО КОНТРОЛЮ (сторінка 174) 1. З точки 𝐴 до прямої 𝑎 проведено перпендикуляр 𝐴𝐻 і похилі 𝐴𝐵 = 17 см, 𝐴𝐶 = 12 см. Який знак потрібно поставити замість * у виразі 𝐵𝐻 * 𝐶𝐻 ? A. > Б. < B. = Г. не можна встановити. З двох похилих, проведених з однієї точки, більша має більшу проєкцію. AB = 17 см > AC = 12 см, тому BH > CH. Відповідь: А. >. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

2. Знайди периметр ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 16 см i 30 см. А. 17 см; Б. 34 см; B. 68 см; Г. 136 см.

Половини діагоналей 8 см і 15 см, сторона ромба √(64 + 225) = 17 (см). P = 4 · 17 = 68 (см). Відповідь: В. 68 см. 3. Знайди гіпотенузу 𝑀𝑃 прямокутного трикутника 𝑀𝑃𝐾, якщо 𝑀𝐾 = 9 см, cos ∠𝑀 = 0,6. А. 5,4 см; Б. 15 см; B. 54 см; Г. 1,5 см. MP — гіпотенуза, MK — катет, прилеглий до кута M: MK = MP · cos M, MP = 9 : 0,6 = 15 (см). Відповідь: Б. 15 см. 4. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 25 см, а синус одного з кутів 0,2. Установи відповідність між заданими умовами (1-3) та довжинами цих відрізків (А-Д). 1. менший катет трикутника дорівнює; 2. більший катет трикутника дорівнює; 3. висота, проведена до гіпотенузи дорівнює. A. 5; Б. 2√6; B. 6√10; Г. 10√6; Д. 30√10. Менший катет: 25 · 0,2 = 5 — А. Більший катет: √(625 − 25) = √600 = 10√6 — Г. Висота до гіпотенузи: h = 5 · 10√6 : 25 = 2√6 — Б. Відповідь: 1 — А, 2 — Г, 3 — Б. 5. Знайди периметр рівнобедреного трикутника, основа якого дорівнює 16 см, а бічна сторона на 4 см більша за висоту, проведену до основи. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Висота BH ділить основу навпіл: AH = 8 см. Нехай BH = h, AB = h + 4: (h + 4)² = h² + 64, 8h = 48, h = 6; AB = 10 см. P = 10 + 10 + 16 = 36 (см). Відповідь: 36 см. 6. Знайди кути і сторони прямокутного трикутника, якщо проєкції катетів на гіпотенузу дорівнюють 2 см і 6 см.

Гіпотенуза c = 2 + 6 = 8 (см). Катети: a² = 8 · 2 = 16, a = 4 см; b² = 8 · 6 = 48, b = 4√3 см. Катет 4 см дорівнює половині гіпотенузи, тому протилежний кут 30°, другий гострий кут 60°. Відповідь: 4 см, 4√3 см, 8 см; 30°, 60°, 90°. 7. Вершину дерева, віддаленого від даного пункту на 16 м, видно під кутом 16∘ до горизонту, а вершину другого дерева, віддаленого від цього самого пункту на 24 м, видно під кутом 19∘ . Яке дерево вище і на скільки?

Висота першого дерева: 16 · tg 16° ≈ 16 · 0,287 ≈ 4,59 (м). Висота другого дерева: 24 · tg 19° ≈ 24 · 0,344 ≈ 8,26 (м). Друге дерево вище на 8,26 − 4,59 ≈ 3,7 (м). Відповідь: друге, на ≈ 3,7 м. 8. Гострий кут рівнобічної трапеції дорівнює 𝛼, а радіус вписаного кола 𝑟. Знайди периметр трапеції.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Висота трапеції дорівнює діаметру: h = 2r. Бічна сторона c = h : sin α = 2r/sin α. У описаній трапеції сума основ дорівнює сумі бічних сторін, тому P = 2 · 2c = 4c = 8r/sin α. Відповідь: 8r/sin α. 9. Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. На які відрізки ділить середню за довжиною сторону висота, проведена до неї?

Нехай BH — висота до сторони AC = 14 см, AB = 13 см, BC = 15 см, AH = x, HC = 14 − x. BH² = 13² − x² = 15² − (14 − x)², 169 − x² = 225 − 196 + 28x − x², 28x = 140, x = 5. Висота ділить сторону на відрізки 5 см і 9 см. Відповідь: 5 см і 9 см.

РОЗДІЛ 4. Многокутники та їх площі §17. Многокутники 935. Скільки ланок мають ламані, зображені на малюнку 17.1? Назви їх вершини і кінці. а) 5; б) 5; в) 5. 936. Знайди довжину ламаної 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, довжини ланок якої 3 м, 5 м, 8 м і 4 м. Чи може відстань між її кінцями дорівнювати 21 м? 3 + 5 + 8 + 4 = 20 (м). Відстань між її кінцями не може дорівнювати 21 м. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

937. Знайди суму кутів опуклого дванадцятикутника. A. 360∘ ; Б. 1800∘ ; B. 3240∘; Г. 3600∘ .

Сума кутів опуклого n-кутника 180° · (n − 2). Для n = 12: 180° · 10 = 1800°. Відповідь: Б. 1800°. 938. Скільки діагоналей має десятикутник? A. 10; Б. 7; В. 35; Г. 70.

З кожної вершини n-кутника виходить n − 3 діагоналі, кожну враховано двічі: n(n − 3) : 2 = 10 · 7 : 2 = 35. Відповідь: В. 35. 939. Чи може число вершин опуклого многокутника не дорівнювати числу його сторін? Ні, не може. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

940. Чи перетинає ламана пряму, якщо кінці ламаної розміщені: а) з різних боків від прямої; б) з одного боку від прямої? а) Ламана перетинає пряму; б) Ламана не перетинає пряму.

941. Накресли шестикутник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹. Назви усі його вершини, сторони, діагоналі. Скільки діагоналей мае шестикутник?

А, В, С, D, Е, F — вершини. AB, BC, CD, DE, EF, FА — сторони. AC, AD, AE — діагоналі. Всього 12 діагоналей. 942. а) Периметр якого з п'ятикутників, зображених на малюнку, більший? б) Знайди периметри цих п'ятикутників, якщо 𝐴𝐵 = 𝐾𝑃 = 4 см. а) Периметри рівні. б) P1 = P2 = 20 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

943. Знайди сторони шестикутника, якщо вони пропорційні числам 2, 2, 3, 4, 4, 6, а його периметр дорівнює 84 см.

2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 6 = 21 частина, одна частина 84 : 21 = 4 (см). Сторони: 8 см, 8 см, 12 см, 16 см, 16 см, 24 см. Відповідь: 8 см, 8 см, 12 см, 16 см, 16 см, 24 см. 944. Знайди сторону 𝐴𝐵 п'ятикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, якщо кожна наступна сторона на 3 см більша за попередню, а периметр п’ятикутника дорівнює 55 см.

Нехай AB = x, тоді BC = x + 3, CD = x + 6, DE = x + 9, EA = x + 12. 5x + 30 = 55, x = 5. Відповідь: 5 см. 945. Find the side 𝐴𝐵 of hexagon 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 if all other sides are 2 in larger than 𝐴𝐵 and the periмeter of the hexagon is 46 in.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Let AB = x; then each of the other five sides is x + 2: x + 5(x + 2) = 46, 6x = 36, x = 6. Нехай AB = x, інші п’ять сторін по x + 2: 6x + 10 = 46, x = 6 (дюймів). Відповідь: 6 in. 946. Чи існує п'ятикутник, довжини сторін якого дорівнюють 1 м, 2 м, 3 м, 4 м і 12 м? У будь-якому многокутнику найбільша сторона менша від суми інших. Тут 12 > 1 + 2 + 3 + 4 = 10, тому такого п’ятикутника не існує. Відповідь: ні. 947. Гра. Кожен/кожна з 4 учасників/учасниць по черзі задає довжину однієї з чотирьох сторін п'ятикутника, перший учасник / перша учасниця задає ще довжину п'ятої сторони, а другий учасник / друга учасниця має визначити, чи існує такий многокутник. Потім учасники/учасниці міняються ролями. П’ятикутник з такими сторонами існує, якщо найбільша сторона менша від суми чотирьох інших. Приклад: названо 2 см, 3 см, 4 см, 5 см і 6 см: 6 < 2 + 3 + 4 + 5 = 14 — існує. Названо 1 см, 2 см, 3 см, 4 см і 11 см: 11 > 1 + 2 + 3 + 4 = 10 — не існує. 948. Чи існує п'ятикутник, сторони якого пропорційні числам 7, 13, 15, 45 і 19? Існує. 949. На малюнку зображено прямокутник 𝐴𝐵𝐶𝐷 і рівносторонній трикутник 𝐴𝐵𝐾, периметри яких відповідно дорівнюють 20 см і 12 см. Знайди периметр п'ятикутника 𝐴𝐾𝐵𝐶𝐷. A. 23 см; Б. 24 см; B. 26 см; Г. 28 см; Д. 32 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Сторона рівностороннього трикутника AB = 12 : 3 = 4 (см). Периметр п’ятикутника AKBCD = P(ABCD) − AB + AK + KB = 20 − 4 + 4 + 4 = 24 (см). Відповідь: Б. 24 см. 950. Скільки сторін має вікно у формі многокутника? Знайди суму його кутів. n = 8 сторін. 180° • (8 – 2) = 180° • 6 = 1080°.

951. Знайдіть суму кутів опуклого: а)десятикутника; б)шістнадцятикутника. 180° • (n – 2) — сума кутів опуклого n — кутника. а) n = 10, 180° • (10 – 2) = 1440°; б) n = 16, 180° • (16 – 2) = 2520°. 952. Знайди суму кутів опуклого: a) п'ятикутника; б) шестикутника; в) стокутника. Сума кутів опуклого n-кутника 180° · (n − 2). © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

а) n = 5: 180° · 3 = 540°; б) n = 6: 180° · 4 = 720°; в) n = 100: 180° · 98 = 17640°. Відповідь: а) 540°; б) 720°; в) 17640°. 953. Чи існує опуклий многокутник, сума кутів якого дорівнює: а) 1080∘ ; б) 2150∘ ; в) 2340∘ ? Якщо такий многокутник існує, то скільки він має сторін?

Сума кутів опуклого n-кутника 180°(n − 2), тобто вона ділиться на 180°. а) 1080° : 180° = 6 = n − 2, n = 8 — існує, 8 сторін. б) 2150° : 180° — не ціле число, такого многокутника не існує. в) 2340° : 180° = 13 = n − 2, n = 15 — існує, 15 сторін. Відповідь: а) так, 8; б) ні; в) так, 15. 954. Чи існує опуклий многокутник, сума кутів якого дорівнює: а) 900∘ ; б) 2850∘; в) 9000∘? а) 180° • (n – 2) = 900°, 180°n – 360° = 900°, 180°n = 1260°, n = 7. б) 180° • (n – 2) = 2850°, 180°n – 360° = 2850°, 180°n = 3210°, n = 17,83, ні існує. в) 180° • (n – 2) = 9000°, 180°n – 360° = 9000°, 180°n = 9360°, n = 52. 955. Усі кути шестикутника рівні. Знайди міру одного з них. 180° • (6 – 2) = 180° • 4 = 720°, 720° : 6 = 120°. 956. Усі кути десятикутника рівні. Знайди міру одного з них. 180° • (10 – 2) = 180° • 8 = 1440°, 1440° : 10 = 144°. 957. Чи існує опуклий многокутник, кожний кут якого дорівнює: а) 115∘ ; б) 156∘ ? a) ∠1 = 115°, 115° • n = 180° • (n – 2); 115° • n = 180° • n – 360°, 65°n = 360°, n = 5,538, отже, многокутник із кутом 115° не може бути правильним. б) ∠1 = 156°, 156° • n = 180° • (n – 2); 156° • n = 180° • n – 360°, 24°n = 360°, n = 15 сторін. 958. Скільки сторін має многокутник, кожний кут якого дорівнює 135∘ ? А 140∘ ? © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

a) ∠1 = 135°, 135° • n = 180° • (n – 2); 135° • n = 180° • n – 360°, 45°n = 360°, n = 8 сторін. б) ∠1 = 140°, 140° • n = 180° (n – 2); 140° • n = 180° • n – 360°, 40°n = 360°, n = 9 сторін. 959. Чи існує многокутник, кожний зовнішній кут якого дорівнює 36∘ ? Сума зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°; 36°n = 360°, n = 10; 10 сторін. 960. Знайди кути п'ятикутника, якщо вони пропорційні числам 2, 3, 3, 5, 5. Склади план розв'язування задачі та розв'яжи її.

План: 1) знайти суму кутів п’ятикутника; 2) скласти рівняння; 3) знайти кути. Сума кутів 180° · 3 = 540°. Кути 2x, 3x, 3x, 5x, 5x: 18x = 540°, x = 30°. Кути: 60°, 90°, 90°, 150°, 150°. Відповідь: 60°, 90°, 90°, 150°, 150°. 961. Знайди кути шестикутника, якщо вони пропорційні числам 3, 5, 6, 7, 7, 8. Сума кутів шестикутника 180° · 4 = 720°. Кути 3x, 5x, 6x, 7x, 7x, 8x: 36x = 720°, x = 20°. Кути: 60°, 100°, 120°, 140°, 140°, 160°. Відповідь: 60°, 100°, 120°, 140°, 140°, 160°. 962. Скільки діагоналей має: а) восьмикутник; б) сімнадцятикутник?

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

а) 8 · 5 : 2 = 20; б) 17 · 14 : 2 = 119. Відповідь: а) 20; б) 119. 963. Опуклий многокутник має 104 діагоналі. Скільки він має сторін? n(n − 3) : 2 = 104, n² − 3n − 208 = 0, D = 9 + 832 = 841, n = (3 + 29) : 2 = 16 (від’ємний корінь не підходить). Відповідь: 16 сторін. 964. Чи існує п'ятикутник з трьома прямими кутами? Із чотирма прямими кутами?

Сума кутів п’ятикутника 540°. З трьома прямими кутами: на два інші кути припадає 540° − 270° = 270°, наприклад по 135° — такий п’ятикутник існує. З чотирма прямими кутами п’ятий кут дорівнював би 540° − 360° = 180°, а це неможливо. Відповідь: так; ні. 965. Чи може в квадраті з периметром 𝑃 вміститися многокутник з периметром 2𝑃? Покажи на прикладі.

Так. Нехай квадрат має сторону 1, P = 4. Розмістимо в ньому многокутник-«гребінку» з п’ятьма вузькими зубцями заввишки 0,81 (мал.). Лише 10 вертикальних ланок зубців дають 10 · 0,81 = 8,1 > 8 = 2P, тож периметр «гребінки» більший за 2P. Відповідь: так, наприклад «гребінка». © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

966. Накресли неопуклий п'ятикутник, у якого тільки дві діагоналі лежать у внутрішній області. Знайди суму його кутів. n = 5. S = 180° • (n – 2). 180° • (5 – 2) = 180° • 3 = 540°.

967. Вершини чотирикутника мають такі координати: 𝐴(1; 2), 𝐵(1; 3), 𝐶(6; 3), 𝐷(3; 0). Знайди периметр чотирикутника, міри його кутів і довжини діагоналей.

𝐴𝐵 = 1; 𝐵𝐶 = 5; 𝐴𝐷 = 2√2; 𝐷𝐶 = 3√2; 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷 = 5√2 + 6; ∠𝐵 = 90°; ∠𝐶 = 45°; ∠𝐴 = 135°; ∠𝐷 = 90° 𝐴𝐶 = √30 + 1 = √37 𝐵𝐷 = √9 + 4 = √13. 968. На кожній стороні квадрата завдовжки 𝑎 зовні нього добудували рівносторонній трикутник так, що утворився неопуклий восьмикутник. Знайди його кути і довжини найдовших діагоналей.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

𝐵𝑀𝐶𝑃𝐷𝐾𝐴𝐹𝐵 — неопуклий восьмикутник. ∠𝑁 = ∠𝑃 = ∠𝐾 = ∠𝐹 = 60°; ∠𝐵 = ∠𝐶 = ∠𝐷 = ∠𝐴 = 60° + 60° + 90° = 210°; 𝐹𝑃 — найдовша діагональ. 𝑎2 3𝑎2 𝑎 √3 𝐹𝐸 = 𝑎 − = ; 𝐹𝐸 = . 4 4 2 2

𝐹𝐸 + 𝐸𝑁 + 𝑁𝑃 =

𝑎 √3 𝑎 √3 + + 𝑎 = 𝑎√3 + 𝑎; 2 2

△ 𝐴𝐹𝐸. 969. У 2010 році випущено 6 марок, присвячених мінералам, властивим певним регіонам України: сингеніт (калушит) - Прикарпаття, родоніт - Карпати, лабрадор - Черкащина, агат 𝑖 бурштин - Волинь, карпатит - Закарпаття. Розміри кожної марки 47 × 47 × 47 мм. Разом ці марки утворюють шестикутник. Для цього шестикутника знайди: а) суму внутрішніх кутів; б) периметр; в) більшу діагональ; г) меншу діагональ; ґ) відстань між протилежними сторонами.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Шість рівносторонніх трикутників зі стороною 47 мм утворюють правильний шестикутник зі стороною 47 мм. а) Сума внутрішніх кутів: 180° · (6 − 2) = 720°. б) P = 6 · 47 = 282 (мм). в) Більша діагональ складається з двох сторін трикутників: 2 · 47 = 94 (мм). г) Менша діагональ — дві висоти рівностороннього трикутника: 2 · 47√3/2 = 47√3 ≈ 81,4 (мм). ґ) Відстань між протилежними сторонами теж дорівнює двом висотам: 47√3 ≈ 81,4 мм. Відповідь: а) 720°; б) 282 мм; в) 94 мм; г) ≈ 81,4 мм; ґ) ≈ 81,4 мм. 970. а) Доведи, що протилежні сторони опуклого шестикутника з рівними кутами паралельні. б) Доведи, що опуклий семикутник з рівними кутами не має паралельних сторін. a) ABCDEF — опуклий шестикутник, AB = BC = CD = DE = FE = AF. Доведемо, що AB ∥ DE, BC ∥ FE, AF ∥ CD. 180° • (n – 2) = 180° • 4 = 720°; 720° : 6 = 120°. ∆FOE = ∆BOC (за двома сторонами і кутом між ними, ∠OBC = ∠OEF, а це внутрішні різносторонні кути, отже BC ∥ FE, що й треба довести).

б) опуклий семикутник з рівними кутами не має паралельних сторін тому, що ∆BOC ≠ ∆FOE.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

971. 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝑀𝑁 - опуклий восьмикутник з рівними кутами. Доведи, що: а) прямі 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 перпендикулярні; б) 𝐷𝐸‖𝐴𝑁. а) Знайдемо кут опуклого восьмикутника. 180° • (8 – 2) : 8 = 135° = 135°; ∠ABC = ∠DCB = 135°; ∆BMC: ∠MBC суміжний куту ABC. ∠MBC = 45°, тоді ∠BMC = 90°, отже AB ⊥ CD. б) ∆ANO = ∆DEO, (NO = OD, AO = OE, ∠AON = ∠EOD), тому ∠1 = ∠2, а це внутрішні різносторонні кути. Тому DE ∥ AN.

972. Шестикутник, усі кути якого рівні й кожна сторона дорівнює 𝑎, розрізано на три рівні п'ятикутники найменших периметрів. Знайди периметр і кути п'ятикутника. Проведемо OM ⊥ CD, OL ⊥ AB, ON ⊥ FG. П’ятикутники LBCMO, MONFD, OLAGN мають кути по 120°, 120°, 120°, 90° і 90°, а їх периметр дорівнюватиме 𝑎+2⋅

𝑎 𝑎 √3 +2⋅ = 2𝑎 + 𝑎√3. 2 2

973. Доведи на прикладі ламаної з шести ланок, що довжина простої ламаної більша за відстань між її кінцями. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AB + BC + CD + DE + EF + FK > AK.

974. Спробуй розрізати квадрат на два рівні п'ятикутники та на два рівні семикутники.

Нехай квадрат має сторону 4 клітинки. Розріжемо його ламаною, симетричною відносно центра квадрата O. На два рівні п’ятикутники — ламаною з двох ланок PO і OQ (P — на верхній стороні, Q — на нижній, симетрично відносно O): кожна частина має 2 вершини квадрата + 3 вершини ламаної = 5 вершин. На два рівні семикутники — ламаною з чотирьох ланок P → V₁ → O → V₂ → Q (V₁ і V₂ симетричні відносно O): у кожної частини 2 вершини квадрата + 5 вершин ламаної = 7 вершин. Частини рівні, бо одна переходить у другу при повороті на 180° навколо O.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

975. Як зображений на малюнку шестикутник розрізати на 4 подібні йому шестикутники?

Шестикутник складається з трьох рівних квадратів (у формі букви Г). Поділимо кожен квадрат на 4 менші квадрати — отримаємо 12 маленьких квадратів. Їх можна згрупувати по три так, щоб утворилися 4 шестикутники такої самої форми, удвічі менші (мал.): один — у куті, два — на кінцях «поличок», один — у середині. Усі кути в них ті самі, а сторони вдвічі менші, тому кожен подібний даному (k = 1/2). 976. Яке найменше число гострих кутів може мати опуклий многокутник? Чому?

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Найменше — жодного (0): наприклад, у прямокутника чи правильного шестикутника гострих кутів немає. (Найбільше опуклий многокутник може мати 3 гострі кути, бо сума його зовнішніх кутів 360°, а при кожному гострому куті зовнішній кут тупий.) Відповідь: 0. 977. Скільки вершин має опуклий многокутник, жоден із кутів якого не перевищує 120∘ ? 3, 4, 5, 6 вершин. 978. Чи існує опуклий п'ятикутник, найбільший кут якого дорівнює 107∘ ? Ні, не існує. 979. Доведи, що чотири гострі кути може мати тільки неопуклий многокутник. 180° • (4 – 2) = 360°, 360° : 4 = 90°. Опуклий многокутник не може мати чотири гострих кути. 980. Доведи, що сума діагоналей опуклого п’ятикутника більша за його периметр. AM + MB > AB, BK + KC > BC, CN + ND > CD, DP + PE > DE, AR + RE > AE, тоді AM + MB + BK + KC + CN + ND + DE + PE + AK + КЕ > P. Оскільки АС + СЕ + BE + BD +AD > AM + МВ + BK + KC + CN + ND + DE + РЕ + AK + KE, то AС + CE + BE + BD + AD > P.

981. Дельтоїд - це чотирикутник, діагоналі якого перпендикулярні і одна з них проходить через середину другої. Досліди властивості дельтоїда. ABCD — дельтоїд. AB і CD —перпендикулярні діагоналі, AO = OB. Властивості: AC = BC; AD = BD; ∠A = ∠B.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

982. Уяви безліч паркетин у формі хреста, складеного з п'яти рівних квадратів, як зображено на малюнку. Чи можна такими паркетинами замостити всю площину?

Всю площину такими паркетинами замостити не можна. 983. На звичайній шаховій дошці можна виділити 139 різних квадратів, що мають від 2 × 2 до 7 × 7 клітинок. Доведи це. Скільки серед них таких, які мають більше чорних клітинок?

Квадрат k × k на дошці 8 × 8 можна розмістити (9 − k)² способами (по (9 − k) положень у кожному напрямку): 2 × 2 — 49, 3 × 3 — 36, 4 × 4 — 25, 5 × 5 — 16, 6 × 6 — 9, 7 × 7 — 4. Разом 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 = 139. У квадраті з парною стороною чорних і білих клітинок порівну. Квадрат з непарною стороною має більше чорних клітинок тоді, коли його кутова клітинка чорна, — так буде рівно в половині положень: 3 × 3 — 36 : 2 = 18, 5 × 5 — 16 : 2 = 8, 7 × 7 — 4 : 2 = 2. Разом 28. Відповідь: 28. 984. Виріж з паперу дві трапеції зі сторонами 4 см, 4 см, 4 см і 8 см. Які фігури можна утворити, прикладаючи трапеції рівними сторонами одна до одної? Накресли ці фігури в масштабі 1 ∶ 2, знайди їх периметри і міри кутів.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

а) шестикутник: PABCDEF = 6 • 4 = 24 см; ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ∠F = 120°. б) паралелограм: PABDE = (4 + 12) – 2 = 32 (см), ∠A = ∠D = 120°;∠B = ∠E = 60°. 985. Знайди кути паралелограма, якщо: a) два з них пропорційні числам 2 і 3; б) один із них на 20∘ більший за другий; в) один становить 80% від другого.

а) ∠A : ∠B = 2 : 3, ∠A = 2x, ∠B = ∠x. 2х + 3х = 180°, 5x = 180°, х = 36°; ∠A = 72°, ∠B = 108°; б) ∠B – ∠A = 20°, ∠A = x. ∠В = х + 20°. х + х + 20° = 180°, 2х + 20° = 180°; 1,8х = 180°, х = 100°, ∠A = 80°, ∠B = 100°. 986. Знайди периметр ромба, якщо він на 60 см більший за сторону ромба.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

PABCD – AB = 60 см; AB = BC = DC = AD; AD + DC + BC = 60 см; AB = BC = DC = AD = 20 см, PABCD = 80 см. 987. У рівнобедреному трикутнику бічна сторона ділиться точкою дотику вписаного кола у відношенні 2 ∶ 3 (починаючи від вершини). Знайди відношення бічної сторони до основи.

∆АВС — рівнобедрений, AM : MB = 2 : 3, MB = BP, AM = AN. BN ⊥ AC, BN — висота і медіана. АВ : АС = 5 : 6.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

§18. Вписані й описані многокутники 988. Знайди радіус кола, вписаного у квадрат, якщо сторона квадрата дорівнює 17 см. A. 34 см; Б. 17 см; B. 8,5 см; Г. 9,5 см.

Діаметр кола, вписаного у квадрат, дорівнює стороні квадрата: r = 17 : 2 = 8,5 (см). Відповідь: В. 8,5 см. 989. У коло, діаметр якого дорівнює 30 дм, вписано квадрат. Знайди: а) діагональ квадрата; б) сторону квадрата.

а) Діагональ квадрата, вписаного в коло, — діаметр кола: d = 30 дм. б) Сторона a: a² + a² = 30², a = 30/√2 = 15√2 (дм). Відповідь: а) 30 дм; б) 15√2 дм. 990. Що більше: периметр квадрата, довжина вписаного в нього кола чи довжина описаного кола? © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай сторона квадрата a. Периметр квадрата 4a. Діаметр вписаного кола a, його довжина πa ≈ 3,14a. Діаметр описаного кола — діагональ квадрата a√2, довжина кола πa√2 ≈ 4,44a. Отже, найбільша — довжина описаного кола, далі периметр квадрата, найменша — довжина вписаного кола. Відповідь: довжина описаного кола. 991. Знайди відношення радіусів кіл, вписаного в рівносторонній трикутник і описаного навколо нього.

У рівносторонньому трикутнику центри вписаного й описаного кіл збігаються з точкою перетину медіан, яка ділить медіану у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини. R = OB (2 частини), r = OH (1 частина). r : R = 1 : 2. Відповідь: 1 : 2. 992. Накресли коло і впиши у нього довільний п’ятикутник.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Креслимо коло, позначаємо на ньому 5 довільних точок A, B, C, D, E і послідовно сполучаємо їх відрізками. ABCDE — п’ятикутник, вписаний у коло (усі його вершини лежать на колі). 993. Гра. Один із учасників / одна із учасниць креслить коло, а другий/друга має описати навколо нього п'ятикутник. Потім учні/учениці міняються ролями.

Щоб описати п’ятикутник навколо кола, позначаємо на колі 5 точок і в кожній проводимо дотичну — пряму, перпендикулярну до радіуса в цій точці. Точки перетину сусідніх дотичних — вершини п’ятикутника; усі його сторони дотикаються до кола. Приклад ходу гри — на малюнку. Потім учасники міняються ролями. 994. Накресли коло i опиши навколо нього довільний шестикутник.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Позначаємо на колі 6 точок і в кожній проводимо дотичну (перпендикуляр до радіуса). Точки перетину сусідніх дотичних — вершини шестикутника, описаного навколо кола. 995. Трикутник 𝐴𝐵𝐶 - рівнобедрений. Радіус 𝑂𝐴 описаного кола утворює з основою 𝐴𝐶 кут 𝑂𝐴𝐶, який дорівнює 24∘ . Визнач кут 𝐵𝐴𝐶.

O — центр описаного кола, лежить на висоті BH (серединному перпендикулярі до основи AC); OA = OB. Нехай ∠BAC = x, тоді ∠B = 180° − 2x і ∠OBA = ∠B : 2 = 90° − x, ∠OAB = ∠OBA = 90° − x. 1) Центр усередині трикутника: ∠BAC = ∠OAB + ∠OAC, x = 90° − x + 24°, x = 57°. 2) Центр поза трикутником (за основою): ∠BAC = ∠OAB − ∠OAC, x = 90° − x − 24°, x = 33°. Відповідь: 57° або 33°. 996. Нехай 𝑂 - центр кола, вписаного в △ 𝐴𝐵𝐶. Знайди кути цього трикутника, якщо ∠𝑂𝐴𝐵 = 40∘ і ∠𝑂𝐵𝐴 = 30∘ .

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Центр вписаного кола — точка перетину бісектрис, тому ∠A = 2 · 40° = 80°, ∠B = 2 · 30° = 60°. ∠C = 180° − 80° − 60° = 40°. Відповідь: 80°, 60°, 40°. 997. Знайди кути △ 𝐴𝐵𝐶, якщо 𝑂 - центр описаного кола і ∠𝐴𝑂𝐵 = 120∘ , ∠𝐵𝑂𝐶 = 140∘ .

Вписаний кут дорівнює половині центрального, що спирається на ту саму дугу. ∠AOC = 360° − 120° − 140° = 100°. ∠C = ∠AOB : 2 = 60°, ∠A = ∠BOC : 2 = 70°, ∠B = ∠AOC : 2 = 50°. Відповідь: ∠A = 70°, ∠B = 50°, ∠C = 60°. 998. У рівнобедреному трикутнику бічна сторона дорівнює 8 см, а один із кутів 120∘ . Знайди радіус описаного кола.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Кут 120° може бути лише при вершині: AB = BC = 8 см, ∠B = 120°, ∠A = ∠C = 30°. O — центр описаного кола: ∠AOB = 2∠C = 60°, OA = OB, тому △AOB рівносторонній і R = AB = 8 см. Відповідь: 8 см. 999. Навколо рівностороннього △ 𝐴𝐵𝐶 описано коло і середину 𝐾 його дуги 𝐵 сполучено відрізками з 𝐵 і 𝐶. Знайди кути чотирикутника 𝐴𝐵𝐾𝐶.

∠A = 60° (кут рівностороннього трикутника). ABKC вписаний, тому ∠K = 180° − 60° = 120°. K — середина дуги BC (60° + 60°): ∠CBK = ∠BCK = 60° : 2 = 30°. ∠ABK = 60° + 30° = 90°, ∠ACK = 90°. Відповідь: ∠A = 60°, ∠B = 90°, ∠K = 120°, ∠C = 90°. 1000. Знайдіть радіус кола: а) вписаного в рівносторонній трикутник зі стороною 𝑎; б) описаного навколо рівностороннього трикутника зі стороною 𝑎; в) описаного навколо квадрата зі стороною 𝑎.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

а) Висота рівностороннього трикутника h = a√3/2; центр ділить її у відношенні 2 : 1, тому r = h/3 = a√3/6. б) R = 2h/3 = a√3/3. в) Діаметр кола, описаного навколо квадрата, — діагональ a√2, тому R = a√2/2. Відповідь: а) a√3/6; б) a√3/3; в) a√2/2. 1001. Розв'яжи задачі, користуючись малюнком. Сторона правильного 𝑛-кутника дорівнює 𝑎, радіус описаного кола 𝑅. Знайди радіус вписаного кола.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

O — центр правильного n-кутника, AB = a — сторона, OK ⊥ AB. OK = r, OA = R, AK = a/2 (OK — медіана рівнобедреного △AOB). З прямокутного △AOK: r = √(R² − a²/4). Відповідь: r = √(R² − a²/4). 1002. Розв'яжи задачі, користуючись малюнком. Сторона правильного 𝑛-кутника дорівнює 𝑎, радіус вписаного кола 𝑟. Знайди радіус описаного кола.

З прямокутного △AOK (OK = r, AK = a/2, OA = R): R = √(r² + a²/4). Відповідь: R = √(r² + a²/4). 1003. Розв'яжи задачі, користуючись малюнком. Знайди довжину сторони правильного 𝑛-кутника, якщо радіус описаного кола 𝑅, радіус вписаного кола 𝑟.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

З прямокутного △AOK: AK = √(R² − r²), сторона a = 2AK = 2√(R² − r²). Відповідь: a = 2√(R² − r²). 1004. У рівнобічну трапецію з основами 8 см і 18 см вписано коло. Знайди його радіус.

У трапецію вписано коло, тому сума бічних сторін дорівнює сумі основ: 2c = 8 + 18, c = 13 см. Висота відтинає від більшої основи відрізок (18 − 8) : 2 = 5 (см), h = √(13² − 5²) = 12 (см). r = h : 2 = 6 см. Відповідь: 6 см. 1005. Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить більшу бічну сторону на відрізки 2 см і 8 см . Знайди сторони трапеції і радіус кола.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

O — центр кола; OC і OD — бісектриси кутів C і D, ∠C + ∠D = 180°, тому ∠COD = 90°, а OK — висота прямокутного △COD: r² = CK · KD = 16, r = 4 см. AB = 2r = 8 см. Відрізки дотичних: від B і A — по 4 см, від C — 2 см, від D — 8 см. BC = 4 + 2 = 6 (см), AD = 4 + 8 = 12 (см). Відповідь: AB = 8 см, BC = 6 см, CD = 10 см, AD = 12 см; r = 4 см. 1006. П'ятикутник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, усі сторони якого рівні, вписано в коло. 1) Доведіть, що всі його кути рівні. 2) Знайдіть міру одного з його кутів. 3) Знайдіть кут між діагоналями, що виходять з однієї вершини. 4) Знайдіть кут між двома діагоналями, які перетинаються у внутрішніх точках. 5) Доведіть, що в п'ятикутника, обмеженого всіма діагоналями п'ятикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, всі кути рівні.

а) Рівні хорди стягують рівні дуги, тому 5 сторін ділять коло на 5 рівних дуг по 360° : 5 = 72°. Кожен кут п’ятикутника — вписаний і спирається на 3 такі дуги, тому всі кути рівні. б) 3 · 72° : 2 = 108°. в) Кут між діагоналями з однієї вершини (наприклад, ∠CAD) спирається на одну дугу: 72° : 2 = 36°. г) Кут між діагоналями, що перетинаються всередині (AC і BD), дорівнює півсумі дуг AB і CD: (72° + 72°) : 2 = 72° (суміжний з ним — 108°). ґ) Кожен кут внутрішнього п’ятикутника утворений двома діагоналями, що перетинаються, і дорівнює 180° − 72° = 108°; отже, усі його кути рівні. Відповідь: б) 108°; в) 36°; г) 72° (і 108°); ґ) усі по 108°. 1007. Знайди кути п'ятикутника 𝐴𝐵𝐾𝑃, вписаного в коло, якщо 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐴, а точки 𝐾 і 𝑃 − середини дуг 𝐵𝐶 і 𝐶𝐴.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

△ABC рівносторонній, тому дуги AB, BC, CA — по 120°; K і P — середини дуг BC і CA: ∪BK = ∪KC = ∪CP = ∪PA = 60°. Кожен кут вписаного п’ятикутника дорівнює половині дуги, на яку він спирається: ∠A = (∪BK + ∪KC + ∪CP) : 2 = 180° : 2 = 90°; ∠B = (∪KC + ∪CP + ∪PA) : 2 = 90°; ∠K = (∪CP + ∪PA + ∪AB) : 2 = 240° : 2 = 120°; ∠C = (∪PA + ∪AB + ∪BK) : 2 = 120°; ∠P = (∪AB + ∪BK + ∪KC) : 2 = 120°. Відповідь: 90°, 90°, 120°, 120°, 120°. 1008. В опуклий шестикутник з рівними сторонами і кутами вписано коло і точки дотику через одну послідовно сполучено відрізками. Доведи, що утворений трикутник рівносторонній.

У правильний шестикутник вписано коло; точки дотику — середини сторін, і вони ділять коло на 6 рівних дуг по 60° (центральні кути між радіусами, проведеними в сусідні точки дотику, рівні). Точки, взяті через одну, ділять коло на 3 рівні дуги по 120°, тому хорди, що їх сполучають, рівні. Отже, утворений трикутник рівносторонній, що й треба було довести.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

1009. Навколо рівностороннього △ 𝐴𝐵𝐶 зі стороною а описано коло і середини дуг 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 послідовно сполучено з вершинами трикутника. Доведи, що сторони і кути утвореного шестикутника рівні, та знайди їх міри.

Вершини трикутника ділять коло на дуги по 120°, а середини M, K, P дуг AB, BC, CA — кожну навпіл. Отже, точки A, M, B, K, C, P ділять коло на 6 рівних дуг по 60°. Сторони шестикутника AMBKCP стягують рівні дуги — вони рівні; кожен його кут спирається на дугу 240° і дорівнює 120°. Кожна сторона стягує дугу 60°, тобто дорівнює радіусу: R = a√3/3 (див. № 1000). Відповідь: сторони по a√3/3, кути по 120°. 1010. Сторона рівностороннього трикутника, описаного навколо кола, дорівнює 𝑐 = 2√3 см. Знайди сторону квадрата, вписаного в це коло.

Радіус кола, вписаного в рівносторонній трикутник: r = c√3/6 = 2√3 · √3 : 6 = 1 (см). Діагональ квадрата, вписаного в це коло, дорівнює діаметру 2 см, тому сторона квадрата 2 : √2 = √2 (см). Відповідь: √2 см. 1011. Сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 10 см, 10 см і 12 см. Знайдіть: а) радіус кола, вписаного в трикутник; б) радіус кола, описаного навколо трикутника. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

△ABC: AB = BC = 10 см, AC = 12 см, BH — висота: AH = 6 см, BH = 8 см. а) Центр вписаного кола O лежить на BH; AO — бісектриса △ABH: BO : OH = AB : AH = 10 : 6, r = OH = 8 · 6/16 = 3 (см). б) Центр описаного кола Q лежить на BH, QA = QB = R, QH = 8 − R: R² = 6² + (8 − R)², 16R = 100, R = 6,25 см. Відповідь: а) 3 см; б) 6,25 см. 1012. Знайди радіус кола, описаного навколо трапеції з основами 20 см і 4 см та висотою 12 см (мал. 18.12).

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Навколо трапеції можна описати коло, лише якщо вона рівнобічна. Центр O лежить на осі симетрії MN (M, N — середини основ BC = 4 см і AD = 20 см). Нехай ON = x, тоді OM = 12 − x. OA² = AN² + x² = 10² + x², OB² = BM² + (12 − x)² = 2² + (12 − x)². 100 + x² = 4 + 144 − 24x + x², 24x = 48, x = 2. R² = 100 + 4 = 104, R = 2√26 ≈ 10,2 (см). Відповідь: 2√26 см. 1013. Find the radius of the circle circuмscribed around the trapezoid with bases 12 yd and 24 yd and legs 6√10yd.

The trapezoid is isosceles (a circle can be circumscribed). Height: h = √((6√10)² − 6²) = √(360 − 36) = 18 (yd), бо (24 − 12) : 2 = 6. Центр на осі симетрії на відстані x від більшої основи: 12² + x² = 6² + (18 − x)², 144 + x² = 360 − 36x + x², 36x = 216, x = 6. R² = 144 + 36 = 180, R = 6√5 (yd). Відповідь: 6√5 yd. 1014. Знайди радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника з основою 24 см, якщо висота, проведена до неї, дорівнює 8 см. Де лежить центр кола?

△ABC, AC = 24 см, BH = 8 см, AH = 12 см. Центр O описаного кола лежить на прямій BH, OB = OA = R. Якщо O лежить на продовженні BH за точку H: OH = R − 8, R² = 12² + (R − 8)², 16R = 208, R = 13 см. OH = 13 − 8 = 5 (см) — центр лежить поза трикутником, за основою AC (кут B тупий). © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відповідь: 13 см; поза трикутником, на продовженні висоти на відстані 5 см від основи. 1015. Радіус вписаного у прямокутний трикутник кола позначено через 𝑟, а половину периметра трикутника - через 𝑝. Визнач гіпотенузу.

Відрізки дотичних з однієї вершини рівні. Від вершини прямого кута вони дорівнюють r, тому a + b = c + 2r. 2p = a + b + c = 2c + 2r, звідки c = p − r. Відповідь: p − r. 1016. В опуклий шестикутник, усі сторони якого дорівнюють 𝑎 і кути рівні, вписано коло, а в це коло вписано квадрат. Знайди довжину сторони квадрата.

Шестикутник правильний зі стороною a. Радіус вписаного кола дорівнює висоті рівностороннього трикутника зі стороною a: r = a√3/2. Сторона квадрата, вписаного в коло радіуса r: r√2 = a√3/2 · √2 = a√6/2. Відповідь: a√6/2. 1017. У квадрат вписано коло, а в коло вписано рівносторонній трикутник. Знайди відношення сторін трикутника і квадрата.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай сторона квадрата a. Радіус вписаного в нього кола r = a/2. Для трикутника, вписаного в це коло, R = a/2, а сторона рівностороннього трикутника R√3 = a√3/2. Відношення сторін трикутника і квадрата: a√3/2 : a = √3 : 2. Відповідь: √3 : 2. 1018. Знайди суму діаметрів кіл, вписаних у трикутники (мал. 𝑎), і суму діаметрів кіл, вписаних у трикутники (мал. б). Порівняйте ці суми. Чи справджується для цих вписаних многокутників. Японська теорема: незалежно від того, як розбито на трикутники вписаний в коло многокутник, сума радіусів вписаних у трикутники кіл -величина стала?

Вимірюємо діаметри вписаних кіл на малюнку 18.14 лінійкою (з точністю до 0,5 мм): а) ≈ 0,8 см + 0,85 см + 1,05 см + 0,95 см ≈ 3,6 см; б) ≈ 0,6 см + 1,5 см + 0,5 см + 0,95 см ≈ 3,6 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Суми однакові (з точністю вимірювань). Отже, для цих вписаних многокутників японська теорема справджується: сума радіусів кіл, вписаних у трикутники розбиття, не залежить від способу розбиття. 1019. Чи подібні два рівнобедрені трикутники, один із яких має кут 100∘ , а другий - 40∘ ? У першому трикутнику кут 100° може бути лише при вершині: його кути 100°, 40°, 40°. Якщо в другому трикутнику 40° — кут при основі, то його кути теж 40°, 40°, 100° — трикутники подібні. Якщо 40° — кут при вершині, то кути 40°, 70°, 70° — трикутники не подібні. Відповідь: подібні, якщо 40° — кут при основі другого трикутника; інакше — ні. 1020. Дві прямі перетинаються в точці 𝑂, їх перетинають дві паралельні прямі, розташовані по різні боки від точки 𝑂. Доведи, що утворені при цьому два трикутники подібні один одному.

Прямі AC і BD перетинаються в точці O, AB ∥ CD, точки A, B і C, D — по різні боки від O. ∠AOB = ∠COD (вертикальні), ∠OAB = ∠OCD (внутрішні різносторонні при AB ∥ CD і січній AC). Отже, △AOB ∽ △COD за двома кутами, що й треба було довести. 1021. Накресли п'ятикутник, який однією прямою можна розрізати на три трикутники.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Пряма AD перетинає сторону BC у точці X і розрізає п’ятикутник на три трикутники: ABX, XCD і ADE. §19. Площа многокутника 1022. Знайди площу квадрата, сторона якого дорівнює: 2 см; 3 дм; 10 м; 0,5 км; 100 км.

Площа квадрата S = a². 2² = 4 (см²); 3² = 9 (дм²); 10² = 100 (м²); 0,5² = 0,25 (км²); 100² = 10 000 (км²). 1023. Знайди сторону квадрата, площа якого дорівнює: 9 см2 ; 1 дм 2 ; 4мм2 ; 400 м2 ; 0,16км2 .

Сторона квадрата a = √S. √9 = 3 (см); √1 = 1 (дм); √4 = 2 (мм); √400 = 20 (м); √0,16 = 0,4 (км). 1024. Які числа мають стояти в порожніх клітинках таблиці, де 𝑎, 𝑏 - сторони прямокутника, 𝑆 - його площа? 𝑎, см

0,2

𝑏, см

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

𝑆, см2

S = ab, тому a = S : b, b = S : a. a, см 5 0,2 3 0,5 5 b, см 4 2 4 4 1,2 S, см² 20 0,4 12 2 6 1025. Як зміниться площа квадрата, якщо кожну його сторону збільшити у 3 рази? А. не зміниться; Б. збільшиться у 3 рази; В. збільшиться у 6 разів; Д. збільшиться у 9 разів.

Сторона 3a, площа (3a)² = 9a² — у 9 разів більша. Відповідь: Г. 1026. У скільки разів треба зменшити сторони квадрата, щоб його площа зменшилася у 25 разів? А. у 2 рази; Б. у 5 разів; В. у 10 разів; Г. у 25 разів. Площа квадрата пропорційна квадрату сторони: 25 = 5², тому сторони треба зменшити у 5 разів. Відповідь: Б. 1027. Два прямокутники мають однакові площі. Чи рівні в них сторони?

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Не обов’язково. Наприклад, прямокутники 2 × 6 і 3 × 4 мають однакову площу 12, але різні сторони. Відповідь: ні, не обов’язково. 1028. Знайди площі зображених фігур. Чи є серед них рівновеликі? (Площа 1 клітинки -1 кв. од.)

Рахуємо клітинки (у фігурі в два трикутники й прямокутник з третього стовпчика дають разом 4 клітинки): а) 8; б) 9; в) 12 + 4 = 16; г) 10; ґ) 16; д) 6 + 4 = 10; е) 12 − 2 = 10; є) 9 − 1 = 8; ж) 16 (кв. од.). Рівновеликі: а і є (по 8); г, д, е (по 10); в, ґ, ж (по 16). 1029. Сторони двох квадратів відносяться як 2 : 5. Як відносяться їх площі? Площі квадратів відносяться як квадрати сторін: 2² : 5² = 4 : 25. Відповідь: 4 : 25. 1030. Гра. Один із учнів / одна з учениць задає довжину сторони квадрата, а другий / друга знаходить його площу. Потім учні / учениці міняються ролями. S = a². Приклад: перший гравець задає сторону 7 см — другий: S = 49 см²; сторона 1,5 дм — S = 2,25 дм². Потім гравці міняються ролями. 1031. Знайди площу квадрата, якщо його сторона дорівнює: а) 1,1 см; 3

б) дм; 4

в) 8√2 м. а) 1,1² = 1,21 (см²); б) (3/4)² = 9/16 (дм²); в) (8√2)² = 64 · 2 = 128 (м²). 1032. Обчисли сторону квадрата, якщо його площа дорівнює: a) 36 см2 ; б) 2,25 дм2 ; в) 12 м2 ; г) 𝑄. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

а) √36 = 6 (см); б) √2,25 = 1,5 (дм); в) √12 = 2√3 (м); г) √Q. 1033. Площа квадрата дорівнює 124 см2 . Вирази площу цього квадрата: а) у квадратних міліметрах; б) у квадратних дециметрах; в) у квадратних метрах. 1 см² = 100 мм², 1 дм² = 100 см², 1 м² = 10 000 см². а) 124 · 100 = 12 400 (мм²); б) 124 : 100 = 1,24 (дм²); в) 124 : 10 000 = 0,0124 (м²). 1034. Сторони двох квадратів дорівнюють відповідно 15 м і 17 м. Знайди сторону квадрата, площа якого дорівнює різниці площ даних квадратів.

Різниця площ: 17² − 15² = 289 − 225 = 64 (м²). Сторона квадрата √64 = 8 (м). Відповідь: 8 м. 1035. Знайди сторону квадрата, що має таку саму площу, як і прямокутник зі сторонами 7 см і 28 см.

Площа прямокутника 7 · 28 = 196 (см²). Сторона квадрата √196 = 14 (см). Відповідь: 14 см. 1036. Дано прямокутник зі сторонами 3 м і 4 м. Знайди площу квадрата, сторона якого дорівнює діагоналі цього прямокутника.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Діагональ BD = √(3² + 4²) = 5 (м). Площа квадрата 5² = 25 (м²). Відповідь: 25 м². 1037. Одещина - це значний пласт історичного, культурного, економічного і духовного життя України; сонячний край степів, теплого моря, виноградників та смачних фруктів. У 2014 році випущено поштовий блок «Краса і велич України», присвячений Одеській області. Цей блок складається з 4 різних марок. Розміри блоку - 128 × 100 мм, а марок 52,2 × 24,36 мм; 40,02 × 29,58 мм; 57,42 × 45,24 мм. Знайди площу кожної марки. Дізнайся, що зображено на цих марках.

Розміри марок на малюнку: дві марки (з будівлею і з храмом) однакові, тому розмірів три. 52,2 · 24,36 ≈ 1271,6 (мм²) — марка з фортецею (Білгород-Дністровська фортеця); 40,02 · 29,58 ≈ 1183,8 (мм²) — кожна з двох марок: морський вокзал Одеси і храм; 57,42 · 45,24 ≈ 2597,7 (мм²) — марка з маяком в Одеському порту. 1038. За даними попередньої задачі встанови, що більше: загальна площа чотирьох марок чи площа блоку, вільна від марок? Площа блока 128 · 100 = 12 800 (мм²). Площа чотирьох марок ≈ 1271,6 + 2 · 1183,8 + 2597,7 ≈ 6236,9 (мм²). © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Вільна від марок площа ≈ 12 800 − 6236,9 ≈ 6563,1 (мм²). Відповідь: вільна площа більша (≈ на 326 мм²). 1039. Сторони прямокутника дорівнюють 2 м і 8 м, а одна зі сторін іншого прямокутника 5 м. Чому дорівнює друга його сторона, якщо площі цих прямокутників рівні?

Площа першого прямокутника 2 · 8 = 16 (м²). Друга сторона: 16 : 5 = 3,2 (м). Відповідь: 3,2 м. 1040. У коло радіуса 5 м вписано прямокутник зі стороною 6 м. Знайди площу прямокутника.

Діагональ прямокутника, вписаного в коло, — діаметр: 2 · 5 = 10 (м). Друга сторона √(10² − 6²) = 8 (м). S = 6 · 8 = 48 (м²). Відповідь: 48 м². 1041. Менша сторона прямокутника дорівнює 4 см, а кут між його діагоналями −60∘ . Визнач площу (у см2 ) прямокутника. A. 8√3; Б. 16; В. 16√3; Г. 32; Д. 32√3.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Кут між діагоналями 60° лежить проти меншої сторони AB. △AOB рівнобедрений (OA = OB) з кутом 60°, тобто рівносторонній: OA = 4 см, діагональ AC = 8 см. AD = √(8² − 4²) = 4√3 (см). S = 4 · 4√3 = 16√3 (см²). Відповідь: В. 16√3. 1042. Відстані від взятої всередині прямокутника точки до протилежних його сторін дорівнюють 2 см і 6 см. Периметр прямокутника 24 см. Знайди його площу.

Сума відстаней від точки до двох протилежних сторін дорівнює відстані між ними: 2 + 6 = 8 (см) — одна сторона. Друга сторона 24 : 2 − 8 = 4 (см). S = 8 · 4 = 32 (см²). Відповідь: 32 см². 1043. Знайди довжини сторін однієї з граней світильника, якщо вони відносяться як 2 ∶ 3, а площа прямокутника дорівнює 54 см2 .

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Сторони 2x і 3x: 2x · 3x = 54, x² = 9, x = 3. Сторони 6 см і 9 см. Відповідь: 6 см і 9 см. 1044. Знайди сторони прямокутника, периметр якого дорівнює 30 м, а площа 56 м2 .

a + b = 15, ab = 56. Нехай a = x, b = 15 − x: x(15 − x) = 56, x² − 15x + 56 = 0, x = 7 або x = 8. Відповідь: 7 м і 8 м. 1045. Знайди площу прямокутника, якщо його діагональ дорівнює 25 см, а одна зі сторін на сантиметр коротша.

Сторона на 1 см коротша за діагональ: a = 24 см, друга сторона √(25² − 24²) = 7 (см). S = 24 · 7 = 168 (см²). Відповідь: 168 см². 1046. Обчисли площу прямокутника, сторони якого

Діагональ — діаметр описаного кола: 50 см. Сторони 4x і 3x: (4x)² + (3x)² = 50², 25x² = 2500, x = 10. Сторони 40 см і 30 см, S = 1200 см². © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відповідь: 1200 см². 1047. Відстань від точки перетину діагоналей прямокутника до однієї зі сторін на 3 см більша за відстань до другої. Знайди площу прямокутника, якщо його периметр 52 см.

Відстані від точки перетину діагоналей до сторін — половини сусідніх сторін: b/2 − a/2 = 3, тобто b − a = 6. a + b = 26: b = 16 см, a = 10 см. S = 160 см². Відповідь: 160 см². 1048. На чотири рушники майстриня витратила 2,45 м2 полотна. Скільки метрів мережива вона використала для їх оздоблення, як на малюнку, якщо довжина рушника у 5 разів більша за ширину?

Площа одного рушника 2,45 : 4 = 0,6125 (м²). Ширина x, довжина 5x: 5x² = 0,6125, x² = 0,1225, x = 0,35 (м). Мереживо пришите на обох кінцях кожного рушника (по ширині): 4 · 2 · 0,35 = 2,8 (м). Відповідь: 2,8 м. 1049. Дві ділянки землі огороджено парканами однакової довжини. Перша ділянка має форму прямокутника зі сторонами 220 м і 160 м, а друга має форму квадрата. Площа якої ділянки більша й на скільки?

Довжина паркану 2(220 + 160) = 760 (м); сторона квадрата 760 : 4 = 190 (м). S₁ = 220 · 160 = 35 200 (м²), S₂ = 190² = 36 100 (м²). Квадратна ділянка більша на 900 м². Відповідь: квадратна, на 900 м². © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

1050. Підлогу кімнати, яка має форму прямокутника зі сторонами 5,7 м і 6 м, треба покрити паркетом прямокутної форми. Довжина кожної плитки паркету дорівнює 30 см, а ширина – 5 см. Скільки таких плиток потрібно для покриття всієї підлоги у спосіб, зображений на малюнку.

Площа підлоги 5,7 · 6 = 34,2 (м²) = 342 000 см². Площа плитки 30 · 5 = 150 (см²). 342 000 : 150 = 2280 (плиток) (без урахування підрізання по краях). Відповідь: 2280 плиток. 1051. Використовуючи властивості площ, знайдіть площі зафарбованих фігур. (Прийміть сторону клітинки за одиницю довжини.)

а) Трикутник ABC складається з трикутників ABP і BPC — половин прямокутників AMBP і PBNC, тому S = ½ S(AMNC) = ½ · 6 · 3 = 9. б) △AKM = △BEM і △DLN = △CFN, тому S(трапеції) = S(EFLK) = 5,5 · 3 = 16,5. в) S = S(ABCM) + S(CMD) = 2 · 3 + ½ · 3 · 3 = 10,5. г) △AMB = △DNC, тому S(ABCD) = S(AMND) = 6 · 2 = 12. ґ) △AFM = △BEM, △DPN = △CKN, тому S(ABCD) = S(EKPF) = 7 · 3 = 21. д) Ромб ABCD складається з половин чотирьох прямокутників, на які діагоналі ділять прямокутник NPKM: S = ½ · 6 · 2 = 6. Відповідь: а) 9; б) 16,5; в) 10,5; г) 12; ґ) 21; д) 6. 1052. Знайди відношення площ квадратів, один із яких вписаний у коло, а другий описаний навколо того самого кола.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Нехай радіус кола r. Описаний квадрат має сторону 2r, площу 4r². Вписаний квадрат має діагональ 2r, площу (2r)² : 2 = 2r². Відношення 2r² : 4r² = 1 : 2. Відповідь: 1 : 2. 1053. Середини сторін одного квадрата 𝜖 вершинами другого. Як відносяться площі цих квадратів?

Діагоналі меншого квадрата дорівнюють стороні a більшого, тому його площа a² : 2 — удвічі менша. Відповідь: 1 : 2. 1054. Кожну квадратну секцію прозорого паркану хочуть перекрити відповідною квадратною дерев'яною дошкою. Користуючись малюнком, знайди площу кожної квадратної дошки.

Діагональ квадратної секції 6 дм. Площа квадрата через діагональ: S = d² : 2 = 36 : 2 = 18 (дм²). Відповідь: 18 дм². © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

1055. Знайди площу квадрата, якщо його діагональ 𝑎.

Сторона x: x² + x² = a², S = x² = a²/2. Відповідь: a²/2. 1056. Бісектриса кута 𝐴 прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 ділить сторону 𝐵𝐶 навпіл. Знайди площу прямокутника, якщо 𝐴𝐵 = 8 см.

Бісектриса AM відтинає рівнобедрений △ABM: BM = AB = 8 см, BC = 2 · 8 = 16 (см). S = 8 · 16 = 128 (см²). Відповідь: 128 см². 1057. The bisector of angle 𝐴 of rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 divides the side 𝐵𝐶 into segмents 𝐵𝑀 = 2 см and 𝑀𝐶 = 6 см. Find the area of the rectangle.

△ABM is isosceles (∠BAM = ∠BMA = 45°): AB = BM = 2 cm, BC = 2 + 6 = 8 cm. S = 2 · 8 = 16 (cm²). Відповідь: 16 см². 1058. Знайди площу прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷, якщо перпендикуляр, опущений з вершини 𝐵 на діагональ 𝐴𝐶, ділить її на відрізки 2 см і 8 см.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BK ⊥ AC, AK = 2 см, KC = 8 см. У прямокутному △ABC: BK² = AK · KC = 16, BK = 4 см. S(ABC) = ½ · AC · BK = ½ · 10 · 4 = 20 (см²), S(ABCD) = 2 · 20 = 40 (см²). Відповідь: 40 см². 1059. Знайди площу прямокутника 𝐴𝐵𝐶𝐷, якщо перпендикуляр, опущений з вершини 𝐵 на діагональ 𝐴𝐶, дорівнює 6 см і утворює зі стороною 𝐵𝐶 кут 60∘ .

BK ⊥ AC, BK = 6 см, ∠KBC = 60°. У прямокутному △BKC: BC = BK : cos 60° = 12 см, ∠BCA = 30°. У прямокутному △ABC: AB = BC · tg 30° = 12 · √3/3 = 4√3 (см). S = 12 · 4√3 = 48√3 (см²). Відповідь: 48√3 см². 1060. Радіуси двох концентричних кіл дорівнюють 𝑟 і 2𝑟. Знайдіть площу вписаного в більше коло прямокутника, дві сторони якого дотикаються до меншого кола.

Сторони прямокутника, що дотикаються до меншого кола, віддалені від центра на r, тому друга сторона 2r. Половина першої сторони: √((2r)² − r²) = r√3, сторона 2r√3. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

S = 2r · 2r√3 = 4√3 r². Відповідь: 4√3 r². 1061. Діагоналі ромба дорівнюють 𝑎 і 𝑐. Знайди площу чотирикутника, вершини якого середини сторін ромба.

Сторони чотирикутника — середні лінії трикутників, утворених сторонами і діагоналями ромба, тому вони дорівнюють a/2 і c/2 і паралельні діагоналям; діагоналі ромба перпендикулярні, тож це прямокутник. S = a/2 · c/2 = ac/4. Відповідь: ac/4. 1062. Діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні, середня лінія дорівнює 𝑚. Знайди площу чотирикутника, вершинами якого є середини сторін трапеції.

Діагоналі рівнобічної трапеції рівні (d) і за умовою перпендикулярні. Чотирикутник із вершинами в серединах сторін має сторони d/2 і сусідні сторони перпендикулярні — це квадрат зі стороною d/2. Одна з його діагоналей — середня лінія трапеції m, тому S = m² : 2. Відповідь: m²/2. 1063. Як зміниться площа прямокутника, якщо: а) одну пару протилежних сторін збільшити в два рази; б) кожну сторону збільшити в два рази; в) одну пару протилежних сторін збільшити у два рази, а другу зменшити в два рази? S = ab. а) 2a · b = 2ab — площа збільшиться у 2 рази; б) 2a · 2b = 4ab — збільшиться у 4 рази; © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

в) 2a · b/2 = ab — не зміниться. 1064. Діагональ одного квадрата у два рази більша за діагональ другого квадрата. У скільки разів площа першого квадрата більша за площу другого? Площа квадрата через діагональ S = d²/2, тому при діагоналі, більшій у 2 рази, площа більша у 2² = 4 рази. Відповідь: у 4 рази. 1065. Площа квадрата, побудованого на діагоналі прямокутника, удвічі більша за площу цього прямокутника. Доведи, що сторони прямокутника рівні.

Нехай сторони прямокутника a і b, діагональ d. d² = a² + b² і за умовою d² = 2ab. a² + b² − 2ab = 0, (a − b)² = 0, a = b, що й треба було довести. 1066. Прямокутний трикутник з катетами 𝑎 i 𝑏 наклали на рівний йому трикутник так, що їх спільною частиною виявився найбільший квадрат. Знайди площу цього квадрата.

Спільна частина — квадрат, вписаний у прямокутний трикутник зі спільним прямим кутом. Нехай його сторона x. Відтятий трикутник подібний даному: x : b = (a − x) : a, ax = ab − bx, x = ab/(a + b). S = x² = a²b²/(a + b)². Відповідь: a²b²/(a + b)². 1067. Перемалюй в зошит фігуру і проведи пряму так, щоб розбити її на дві частини рівних площ.

Фігура — прямокутник з прямокутним отвором. Будь-яка пряма, що проходить через центр прямокутника (точку перетину діагоналей), ділить його на дві рівновеликі частини.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Тому проводимо пряму через центр великого прямокутника і центр отвору: вона ділить навпіл і прямокутник, і отвір, а отже, і фігуру. 1068. Визнач, скільки рулонів шпалер потрібно придбати, щоб обклеїти ними твою кімнату. Довжина рулону 10 м, ширина: а) 0,5 м; б) 1 м. Приклад розрахунку для кімнати 4 м × 3 м заввишки 2,7 м (дверей і вікон не віднімаємо — на запас). Периметр 2(4 + 3) = 14 (м). З рулону завдовжки 10 м виходить 3 смуги по 2,7 м (10 : 2,7 ≈ 3,7). а) Ширина 0,5 м: смуг 14 : 0,5 = 28, рулонів 28 : 3 ≈ 9,3 → 10 рулонів. б) Ширина 1 м: смуг 14, рулонів 14 : 3 ≈ 4,7 → 5 рулонів. Для своєї кімнати підставте свої розміри. 1069. Знайди периметр трикутника, середні лінії якого дорівнюють 7 м, 8 м і 9 м.

Кожна сторона вдвічі більша за паралельну їй середню лінію: P = 2(7 + 8 + 9) = 48 (м). Відповідь: 48 м. 1070. Знайди кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 6, 7, 9 і 8. Чи можна такий чотирикутник вписати в коло?

6x + 7x + 9x + 8x = 360°, 30x = 360°, x = 12°. Кути: 72°, 84°, 108°, 96°. Суми протилежних кутів: 72° + 108° = 180° і 84° + 96° = 180°, тому чотирикутник можна вписати в коло. Відповідь: 72°, 84°, 108°, 96°; так. 1071. Скільки трикутників зображено на малюнку? Скільки серед них таких, що містять синіх трикутників удвічі більше, ніж червоних? © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Великий трикутник поділено на 16 маленьких: 10 синіх (повернуті, як великий) і 6 червоних. Трикутників зі стороною 1: 16; зі стороною 2: 6 (як великий) + 1 (протилежно) = 7; зі стороною 3: 3; зі стороною 4: 1. Усього 16 + 7 + 3 + 1 = 27. Трикутник зі стороною 3 містить 6 синіх і 3 червоні — синіх удвічі більше; інші розміри цієї умови не задовольняють (сторона 2: 3 і 1 або 1 і 3; сторона 4: 10 і 6). Таких трикутників 3. Відповідь: 27; 3. §20. Площі паралелограма, ромба і трапеції 1072. Знайди площу паралелограма, основа якого дорівнює 5 см, а висота 6 см. A. 11 см; Б. 22 см; B. 30 см2 ; Г. 15 см2 .

S = ah = 5 · 6 = 30 (см²). Відповідь: В. 30 см². 1073. Площа паралелограма 20 см2 , висота 5 см. Знайди його основу. A. 15 см; Б. 4 см; B. 5 см; Г. 100 см. a = S : h = 20 : 5 = 4 (см). © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відповідь: Б. 4 см. 1074. Чи існує паралелограм, сторони якого дорівнюють 9 і 7, а висоти 7 і 8? Висота паралелограма не може бути більшою за сторону, до якої вона не проведена (перпендикуляр коротший за похилу). Висота 8 більша за сторону 7, тому вона може бути проведена лише до сторони 7 і має бути не більшою за 9 — це можливо; тоді висота 7 проведена до сторони 9 і дорівнює другій стороні 7, тобто паралелограм — прямокутник 9 × 7, але тоді висота до сторони 7 дорівнювала б 9, а не 8. Крім того, площі не збігаються: 9 · 7 = 63 ≠ 7 · 8 = 56. Відповідь: ні. 1075. Які числа мають стояти в порожніх клітинках таблиці, де 𝑎 і 𝑏 - основи трапеції, ℎ, 𝑆 - відповідно її висота і площа. 𝑎

𝑏

ℎ

𝑆 S = (a + b)/2 · h. a 1 2 1 3 b 3 3 4 7 h 2 4 2 2 S 4 10 5 10

2 7 2

2 6 3 12

1076. Знайди площу ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 8 см і 9 см. A. 17 см2 ; Б. 8,5 см2; B. 72 см2 ; Г. 36 см2 .

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

Відповідь: Г. 36 см². 1077. Знайди площу чотирикутника, діагоналі якого перпендикулярні і мають довжини 12 см і 15 см.

Діагоналі ділять чотирикутник на чотири прямокутні трикутники; площа чотирикутника дорівнює половині добутку діагоналей: S = 12 · 15 : 2 = 90 (см²). Відповідь: 90 см². 1078. Знайди площі зображених фігур. Чи є серед них рівновеликі? (Прийми сторону клітинки за одиничний відрізок.)

а) паралелограм: 3 · 3 = 9; б) паралелограм: 6 · 2 = 12; в) ромб: 4 · 6 : 2 = 12; г) трапеція: (3 + 5) : 2 · 3 = 12; ґ) трапеція: (2 + 5) : 2 · 4 = 14; д) паралелограм: 3 · 3 = 9; е) трапеція: (5 + 4) : 2 · 3 = 13,5; є) трапеція: (3 + 6) : 2 · 3 = 13,5 (кв. од.). Рівновеликі: а і д; б, в і г; е і є. 1079. Сторона паралелограма дорівнює 12 см, а висота, яка до неї проведена, - 8 см. Знайди площу паралелограма.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

S = ah = 12 · 8 = 96 (см²). Відповідь: 96 см². 1080. Гра. Один із учасників / одна із учасниць задає довжину сторони паралелограма, другий/друга висоту, проведену до цієї сторони, а третій/третя знаходить площу цього паралелограма. Потім учні/учениці міняються ролями. S = ah. Приклад: сторона 7 см, висота 4 см — S = 28 см²; сторона 2,5 дм, висота 8 дм — S = 20 дм². 1081. Площа паралелограма дорівнює 36 см2, а одна зі сторін 9 см. Знайди висоту, проведену до цієї сторони. h = S : a = 36 : 9 = 4 (см). Відповідь: 4 см. 1082. Площа паралелограма дорівнює 24 см2, а одна з висот - 4 см. Знайди сторону паралелограма, до якої проведено цю висоту. a = S : h = 24 : 4 = 6 (см). Відповідь: 6 см. 1083. Знайди сторони паралелограма, якщо його площа 72 см2 , а висоти дорівнюють 6 см і 9 см.

a = S : h₁ = 72 : 6 = 12 (см), b = S : h₂ = 72 : 9 = 8 (см). Відповідь: 12 см і 8 см. 1084. Висоти паралелограма 3 мі 4 м, а більша сторона 6 м. Знайди другу сторону паралелограма.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

До більшої сторони проведено меншу висоту: S = 6 · 3 = 18 (м²). Друга сторона: 18 : 4 = 4,5 (м). Відповідь: 4,5 м. 1085. Суміжні сторони паралелограма дорівнюють 12 см і 14 см, його гострий кут дорівнює 30∘ . Знайди площу паралелограма.

Висота, проведена до сторони 14 см, лежить у прямокутному трикутнику проти кута 30°: h = 12 : 2 = 6 (см). S = 14 · 6 = 84 (см²). Відповідь: 84 см². 1086. Сторони паралелограма дорівнюють 4 см і 5 см, а кут між ними 120∘ . Знайди його площу.

Гострий кут 180° − 120° = 60°. Висота до сторони 5 см: h = 4 · sin 60° = 2√3 (см). S = 5 · 2√3 = 10√3 (см²). Відповідь: 10√3 см². 1087. Гострий кут паралелограма дорівнює 30∘ , а висоти, проведені з вершини тупого кута, дорівнюють 2 см і 3 см. Обчисли площу паралелограма.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BH = 2 см ⊥ AD, BK = 3 см ⊥ CD, ∠A = ∠C = 30°. З прямокутного △ABH: AB = 2BH = 4 см. З прямокутного △BKC: BC = 2BK = 6 см. S = AD · BH = 6 · 2 = 12 (см²). Відповідь: 12 см². 1088. Знайди площу паралелограма, якщо його діагональ дорівнює 14 см і перпендикулярна до сторони, довжина якої 25 см.

ABCD — паралелограм, BD ⊥ AB, AB = 25 см, BD = 14 см. Діагональ ділить паралелограм на два рівні трикутники: S = 2 · S(ABD) = 2 · ½ · 25 · 14 = 350 (см²). Відповідь: 350 см². 1089. Сторони паралелограма дорівнюють 17 м і 15 м. Одна з діагоналей перпендикулярна до меншої сторони. Яка площа цього паралелограма?

Діагональ BD ⊥ AD, AD = 15 м — менша сторона, AB = 17 м. BD = √(17² − 15²) = 8 (м). S = AD · BD = 15 · 8 = 120 (м²). Відповідь: 120 м². 1090. Бісектриса кута 𝐴 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 ділить сторону 𝐵𝐶 на відрізки 𝐵𝐿 = 12 см і 𝐿𝐶 = 20 см. Знайди площу паралелограма, якщо ∠𝐴 = 30∘ . © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

AL — бісектриса: △ABL рівнобедрений, AB = BL = 12 см; AD = BC = 12 + 20 = 32 (см). Висота до AD: h = AB · sin 30° = 6 см. S = 32 · 6 = 192 (см²). Відповідь: 192 см². 1091. The bisector of angle 𝐵 of parallelograм 𝐴𝐵𝐶𝐷 divides the side 𝐴𝐷 into segмents 𝐴𝑀 = 18ft and 𝑀𝐷 = 6ft. Find the area of the parallelograм, if ∠𝐵 = 150∘ . ЗНО

BM is the bisector of ∠B: △ABM is isosceles, AB = AM = 18 ft; AD = 18 + 6 = 24 ft. ∠A = 180° − 150° = 30°. Висота до AD: h = AB · sin 30° = 9 ft. S = 24 · 9 = 216 (ft²). Відповідь: 216 ft². 1092. У паралелограмі 𝐴𝐵𝐶𝐷 з вершини тупого кута 𝐵 проведено висоти 𝐵𝐾 та 𝐵𝑀. 𝐵𝐾 = 16 см, 𝐴𝐾 = 12 см, 𝐵𝑀 = 24 см. 1. Визнач довжину сторони 𝐴𝐵 (у см). 2. Обчисли площу (y см2) паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷.

1. △ABK прямокутний: AB = √(16² + 12²) = 20 (см). 2. S = AD · BK = CD · BM, CD = AB = 20 см: S = 20 · 24 = 480 (см²) (тоді AD = 480 : 16 = 30 см). Відповідь: 1) 20 см; 2) 480 см². 1093. Дано шарнірний паралелограм зі сторонами 4 дм і 5 дм. У яких межах може змінюватися площа паралелограма?

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

S = ab · sin α = 4 · 5 · sin α = 20 sin α, де α — кут між сторонами. Коли кут змінюється від 0° до 90°, sin α зростає від 0 до 1. Тому 0 < S ≤ 20 дм²; найбільша площа 20 дм² — коли паралелограм стає прямокутником. Відповідь: від 0 (не включно) до 20 дм². 1094. Знайди площу ромба, якщо його сторона дорівнює 9 см, а висота -5 см.

S = ah = 9 · 5 = 45 (см²). Відповідь: 45 см². 1095. Знайди площу ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 10 см і 15 см.

S = d₁d₂/2 = 10 · 15 : 2 = 75 (см²). Відповідь: 75 см². 1096. Знайди площу ромба, якщо його висота 10 см, а гострий кут 30∘ .

З прямокутного △ABH (∠A = 30°): AB = 2BH = 20 см. S = AD · BH = 20 · 10 = 200 (см²). Відповідь: 200 см².

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

1097. Випуклий геометричний узор на дверях хочуть перефарбувати. Яка площа узору з двох ромбів, якщо сторона ромба дорівнює 6 дм, а один із кутів ромба дорівнює 150∘ ?

Гострий кут ромба 180° − 150° = 30°. Висота ромба 6 · sin 30° = 3 (дм), площа одного ромба 6 · 3 = 18 (дм²). Площа узору з двох ромбів: 2 · 18 = 36 (дм²). Відповідь: 36 дм². 1098. Знайди площу ромба за його стороною 𝑎 і кутом 30∘ .

Висота ромба h = a · sin 30° = a/2. S = a · a/2 = a²/2. Відповідь: a²/2. 1099. Знайди площу ромба за його висотою 20 см

З прямокутного △ABH (∠A = 45°): AB = BH : sin 45° = 20√2 (см). S = AD · BH = 20√2 · 20 = 400√2 (см²). Відповідь: 400√2 см². 1100. Знайди площу ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷, якщо його висота 𝐵𝐻 = 45 см, а 𝐻 - середина сторони 𝐴𝐷.

https://shkola.in.ua/3334-hdz-heometriia-8-klas-bevz.html

BH ⊥ AD і H — середина AD, тому BH — висота й медіана △ABD, отже AB = BD = AD: △ABD рівносторонній, ∠A = 60°. Сторона a: BH = a√3/2 = 45, a = 90/√3 = 30√3 (см). S = AD · BH = 30√3 · 45 = 1350√3 (см²). Відповідь: 1350√3 см². 1101. Основа перпендикуляра, проведеного з вершини тупого кута ромба, ділить сторону на відрізки 9 см і 6 см , починаючи від вершини гострого кута. Знайди площу ромба.

BH ⊥ AD, AH = 9 см, HD = 6 см, AB = AD = 15 см. BH = √(15² − 9²) = 12 (см). S = 15 · 12 = 180 (см²). Відповідь: 180 см². 1102. Знайди площу ромба, якщо його сторона дорівнює 13 см, а одна з діагоналей - 10 см.

Діагоналі ромба перпендикулярні й діляться навпіл: половина відомої 5 см, половина другої √(13² − 5²) = 12 (см). Друга діагональ 24 см. S = 10 · 24 : 2 = 120 (см²). Відповідь: 120 см². 1103. Площа ромба дорівнює 240 см2 , а одна з діагоналей 16 см. Знайди другу діагональ ромба та його периметр. © shkola.in.ua