Onderzoeksopdracht 3 - Omtrek, oppervlakte, dimensie van een fractaal Een fractaal is een verzameling van punten in het vlak die voldoet aan de eigenschap schaalinvariantie, dat wil zeggen de figuur ziet er steeds ‘van hetzelfde type’ uit, ongeacht in welk punt (en hoeveel) je inzoomt. Zo is bijvoorbeeld een lijnstuk een fractaal, want ongeacht in welk punt we inzoomen, de figuur heeft steeds dezelfde vorm. Over fractalen werd reeds in de 17de eeuw gefilosofeerd, maar het wachten op Karl Weierstrass die in 1872 een eerste voorbeeld van een niet-triviale fractaal gaf. Eens deze figuren gevisualiseerd konden worden dankzij computers, werden ze een echte Mandelbrot verzameling hype. De term fractaal werd ge¨ıntroduceerd in 1975 door Benoˆıt Mandelbrot en is afgeleid van het Latijnse fractus (gebroken). Niet-triviale fractalen zijn bijvoorbeeld de Mandelbrot verzameling en de Julia verzameling. Zoek op het internet afbeeldingen van deze fractalen. Het filmlaat pje op de link http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/Fractal-zoom-1-15-rupture.ogg zien dat in sommige fractalen motieven voorkomen die zich op steeds kleinere schaal herhalen. In deze opdracht werken we met twee fractalen: de driehoek van Sierpi´ nski en de sneeuwvlok van Koch. Daarna laten we zien hoe je kan spreken over de dimensie van een fractaal. 3 De driehoek van Sierpi´ nski Deze fractaal werd in 1915 beschreven door de Poolse wiskundige Waclaw . Om de fractaal te bekomen, starten we met een gelijkzijdige driehoek (bijvoorbeeld met hoogte Sierpi´ nski 1), waarbij we de volgende drie stappen herhaaldelijk blijven toepassen. Stap 1 Neem het middelpunt van elke zijde. Stap 2 Verbind de drie middelpunten tot een nieuwe driehoek. Stap 3 Laat die nieuwe driehoek weg. Voor elke nieuwe figuur doorloop je de drie stappen opnieuw. Hieronder zie je de bekomen figuur na 1 keer, 2 keer, 3 keer en 4 keer. De driehoek van Sierpi´ nski bestaat uit de punten die nooit verwijderd worden.
Dynamische applets met de constructie van de fractaal en inzoomfunctie zijn terug te vinden op de website http://en.wikipedia.org/wiki/Sierpi%C5%84ski− triangle . 3 De sneeuwvlok van Koch Deze fractaal werd in 1904 bestudeerd door Helge von Koch . Om de fractaal te bekomen, starten we opnieuw met een gelijkzijdige driehoek, waarbij we de volgende drie stappen herhaaldelijk blijven toepassen. Stap 1 Verdeel elke zijde in drie gelijke delen. Stap 2 Op elke zijde teken je een gelijkzijdige driehoek op het middelste deel, dat naar buiten wijst. Stap 3 Het middelste deel laat je weg. Voor elke nieuwe figuur doorloop je de drie stappen opnieuw. Hieronder zie je de bekomen figuur na 1 keer, 2 keer, 3 keer en 4 keer. De sneeuwvlok van Koch bestaat uit de punten die nooit verwijderd worden.
1 We
geven hier slechts een vage omschrijving van het begrip fractaal, dat volstaat voor onze doeleinden.
A-137