Uit de definitie van sinus en cosinus volgt onmiddellijk de volgende 3 Stelling (grondformule van de goniometrie). Voor elke hoek α geldt: sin2 α + cos2 α = 1 . Bewijs. Neem een willekeurige hoek α. Het beeldpunt Eα ligt op de goniometrische cirkel. Bijgevolg voldoen de coördinaten van Eα aan de vergelijking van die cirkel: Eα ∈ C(O, 1)
⇒
⇒ ⇒
co(Eα ) = (cos α, sin α) voldoet aan de vergelijking van de cirkel C(O, 1) : x2 + y 2 = 1
(cos α)2 + (sin α)2 = 1 sin2 α + cos2 α = 1.
3 Gevolgen (afgeleide formules van de grondformule). 1. Delen we beide leden van de grondformule door cos2 α dan verkrijgen we tan2 α + 1 =
1 cos2 α
voor elke hoek α waarvoor cos α 6= 0.
2. Delen we beide leden van de grondformule door sin2 α dan verkrijgen we 1 + cot2 α =
1 sin2 α
voor elke hoek α waarvoor sin α 6= 0.
3 Opmerkingen. 2
1. Hierboven en in het vervolg is sin2 α een andere schrijfwijze voor (sin α) . Analoog voor andere machten en goniometrische getallen.6 2. De grondformule en de twee afgeleide formules zijn voorbeelden van wat men noemt goniometrische identiteiten: uitdrukkingen van de vorm = 4 die opgaan voor alle hoeken α, β, . . . waarvoor de uitdrukking gedefiniëerd is. Veelal laat men de specificaties zoals voor elke hoek α of voor elke hoek α waarvoor cos α 6= 0 weg. Goniometrische identiteiten blijven uiteraard geldig indien we de hoeken vervangen door een hoekwaarde. Voorbeeld. Voor elke reëel getal a is sin2 a + cos2 a = 1. 3. Is van een hoek α één goniometrisch getal gekend, dan laat de grondformule en de twee afgeleide formules toe om andere goniometrische getallen te berekenen (zie onderstaand schema). Is daarenboven het kwadrant van de hoek α gekend, dan zijn alle goniometrische getallen welbepaald.
sin α
cosec α =
sin2 α + cos2 α = 1
cos α
1 sin α
sec α =
cosec α
sec α
1 + tan2 α = sec2 α
1 + cot2 α = cosec2 α
cot α
6 Deze
1 cos α
1 cot α = tan α
tan α
notatie is conform met onze afspraken uit Deel Precalculus 1 waar voor een functie f ook f 2 (x) = (f (x))2 .
II-10