Relying on these rules, the computation of the derivative of any function composed of elementary functions (Descartes’ great dream, see quotation at the beginning of this section) has become a banality.1 Ernst Hairer en Gerhard Wanner, 1996 [10, p.87]
Hoofdstuk 5
Afgeleiden van goniometrische en cyclometrische functies In dit hoofdstuk wordt van de lezer de volgende parate kennis verondersteld (zie Deel Goniometrie en Precalculus 2): ▷ verband tussen graden en radialen: 360◦ = 2π(rad) 360◦ 2π π = = ; 6 6 3 ▷ sinus, cosinus, tangens van een hoek aflezen op goniometrische cirkel (projectie op resp. y-as, x-as, rechte x = 1); waaruit bijvoorbeeld: 60◦ =
▷ goniometrische getallen van enkele veelvoorkomende hoeken: π π α 0 6 4 √ 1 2 sin α 0 2 2 √ √ 3 2 cos α 1 2 2 √ 3 tan α 0 1 3
√
π 3
3 2 1 2 √ 3
π 2 1 0 |
▷ formules voor verwante hoeken (in de praktijk volstaat het om een schets van de goniometrische cirkel te maken waarbij je enkel de verwante hoeken aanduidt die je op dat moment nodig hebt); ▷ oplossen van goniometrische basisvergelijkingen:
sin x = sin a
⇔
cos x = cos a
⇔
tan x = tan a
⇔
x = a + k 2π
of x = (π − a) + k 2π
(k ∈ Z)
x = ±a + k 2π
(k ∈ Z)
x = a+kπ
(k ∈ Z)
▷ definitie en meetkundige betekenis van het begrip periodieke functie (wordt herhaald verderop dit hoofdstuk); ▷ grafieken van de goniometrische functies sin x, cos x, tan x en de cyclometrische functies Arcsin x, Arccos x en Arctan x vlot voor de geest kunnen halen, zodat kenmerken meteen uit deze grafieken kunnen worden afgelezen; ▷ grondformules van cyclometrische hoeken: Arcsin y = x
⇔
y = sin x
⇔
y = cos x
voor
i π πh , y ∈ [−1, 1] x∈ − , 2 2
x ∈ ]0, π[ , y ∈ [−1, 1] i π πh Arctan y = x ⇔ y = tan x voor x ∈ − , ,y ∈ R 2 2 Å ã π 1 π 1 π i π πh waaruit bijvoorbeeld: Arcsin = want = sin ∈ − , . en 2 6 2 6 6 2 2 Naast deze parate kennis kan het overzicht van formules van de goniometrie in Bijlage D vrij gebruikt worden. Arccos y = x
1 Hairer
voor
en Wanner illustreren deze uitspraak met een opgave die we als Oefening 3 op het einde van dit hoofdstuk hebben opgenomen.
VIII-86