Een formeel bewijs van de volgende stelling steunt op de zogenaamde veralgemeende middelwaardestelling van Cauchy (Bijlage B) en laten we achterwege.2 Onder bepaalde voorwaarden is een zeer eenvoudig bewijs echter wel mogelijk. 3 Stelling (regel van de l’Hospital). 4 Zij f en g twee functies die beide bestaan, afleidbaar zijn en waarvoor g(x) ̸= 0 en g ′ (x) ̸= 0 in een verminderde omgeving van □ ∈ {a− , a+ , a, +∞, −∞}. Dan geldt: Å ã ∞ 0 of 0 ∞ f ′ (x) lim ′ bestaat x→□ g (x)
f (x) lim = x→□ g(x)
⇒
f ′ (x) f (x) = lim ′ x→□ g (x) x→□ g(x) lim
Bewijs voor het geval 00 , □ = a en f en g bestaan in a, f en g zijn afleidbaar in a, f ′ en g ′ zijn continu in a, g ′ (a) ̸= 0. Å ã f (x) 0 lim = x→a g(x) 0 = lim
x→a
f (x) − f (a) g(x) − g(a)
Guillaume-François-Antoine 3 de l’Hospital (1661 - 1704)
want . . .
f (x) − f (a) x−a = lim x→a g(x) − g(a) x−a
want . . .
f (x) − f (a) x−a = g(x) − g(a) lim x→a x−a
want . . .
=
f ′ (a) g ′ (a)
want . . .
f ′ (x) x→a g ′ (x)
want . . .
lim
x→a
= lim
Praktische werkwijze. Bij een onbepaaldheid van de vormen 00 en ∞ ∞ nemen we de afgeleide van de teller en de noemer en herberekenen we de limiet. Het toepassen van de regel van de l’Hospital wordt aangeduid met de letter H boven het gelijkheidsteken. Voorbeeld. De volgende limiet kan berekend worden door in de teller de factor x − 2 af te zonderen (schema van Horner, zie Interludium 1): Å ã x5 − 32 0 lim = x→2 x − 2 0 (x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16)(x − 2) = lim x→2 x−2 4 3 2 = lim (x + 2x + 4x + 8x + 16) = 80. x→2
Door voortaan de regel van de l’Hospital te gebruiken, kunnen we het rekenwerk flink inkorten: Å ã x5 − 32 0 H 5x4 = lim lim = = 80. x→2 x − 2 x→2 1 0
2 Bij de regel van de l’Hospital komen vijf types van limieten ter sprake, namelijk □ ∈ {a− , a+ , a, +∞, −∞}; vijf soorten quotiënten die +∞ +∞ −∞ −∞ tot een onbepaaldheid leiden, namelijk 00 , +∞ , −∞ , +∞ , −∞ ; en drie types van uitkomsten: een reëel getal, +∞ of −∞. In het totaal moeten dus 5 × 5 × 3 = 75 gevallen worden bewezen. Net om die reden maakt men in de literatuur bij een bewijs van de regel van de l’Hospital meestal gebruik van de veralgemeende middelwaardestelling van Cauchy, die in heel wat leerboeken over calculus zelfs enkel om die reden behandeld wordt. Voor een meer elementair bewijs verwijzen we naar de blog van Chris Impens [25, l’Hospital’s rule, 1 idea with 75 cases] van 6 september 2015. 3 . . . , Marquis de Sainte-Mesme et du Montellier, Compte d’Autremonts, Seigneur d’Ouques-la-Chaise. De schrijfwijze l’Hospital is oud Frans, waarbij de letter s niet uitgesproken wordt. Na de dood van de l’Hospital schreef men in de Franse taal ook wel l’Hôpital, waarbij men de letter s laat vallen (aangezien deze toch niet uitgesproken wordt) en men de letter o voorziet van een accent circonflexe om de uitspraak van de klinker aan te geven. 4 Edelman de l’Hospital publiceerde in 1696 anoniem het allereerste boek over analyse. De inhoud was grotendeels afkomstig van Johann Bernoulli 1691/92, die door de l’Hospital betaald werd om hem om de hoogte te houden van de ontwikkelingen in de differentiaalrekening en hem te helpen om problemen op te lossen waar de l’Hospital tegenaan liep. De historische fout dat deze regel naar de l’Hospital vernoemd wordt, is in het geheel niet te wijten aan de l’Hospital zelf, zo getuige het citaat uit zijn boek bovenaan de vorige pagina.
VIII-81