3 Definitie (hoekpunt). Zij f een functie en a ∈ R zodat f continu is in a. De grafiek van f bereikt een hoekpunt in a indien de linker- en rechterafgeleide van f in a beide bestaan in R maar verschillend zijn van elkaar, in symbolen: 1 ′ − 1 f (a ) ∈ R en f ′ (a+ ) ∈ R en f ′ (a− ) ̸= f ′ (a+ ) x x Voorbeeld. Onderstaande grafiek bereikt een hoekpunt in a.
y
f
a
x
3 Definitie (keerpunt). De grafiek van f bereikt een keerpunt in a indien ofwel de linkerafgeleide van f in a gelijk is aan +∞ en de rechterafgeleide van f in a gelijk is aan −∞, ofwel de linkerafgeleide van f in a gelijk is aan −∞ en de rechterafgeleide van f in a gelijk is aan +∞, in symbolen: 1 ′ − 1 f (a ) = ±∞ en f ′ (a+ ) = ∓∞ x x Voorbeelden. Onderstaande grafieken bereiken een keerpunt in a (vul aan).
y
y f f
a
f ′ (a− ) = . . .
en
a
x
f ′ (a+ ) = . . .
f ′ (a− ) = . . .
en
x
f ′ (a+ ) = . . .
3 Definitie (verticale raaklijn). De rechte x = a noemt een verticale raaklijn aan de grafiek van f indien minstens één van de eenzijdige afgeleiden van f in a gelijk is aan +∞ of gelijk is aan −∞, in symbolen: 1 ′ − 1 f (a ) = ±∞ of f ′ (a+ ) = ±∞ x x Voorbeelden. Onderstaande grafieken bereiken een verticale raaklijn in a (vul aan).
y
y
f f
a
f ′ (a− ) = . . .
en
a
x
f ′ (a+ ) = . . .
f ′ (a− ) = . . . VIII-59
en
f ′ (a+ ) = . . .
x