4. Hoekpunt, keerpunt en verticale raaklijn In deze laatste paragraaf geven we zin aan de begrippen linker- en rechterafgeleide van een functie f . Op die manier achterhalen we punten waar de raaklijn aan de grafiek verticaal is, of waar de linker- en rechterraaklijn wel bestaan maar verschillend zijn van elkaar. Zo kunnen we dan onder andere spreken over een hoekpunt of een keerpunt van de grafiek van een functie. 3 Definitie (linker- en rechterafgeleide). Zij f een functie en a ∈ R zodat f bestaat in een linkeromgeving resp. rechteromgeving van a. De linkerafgeleide van f in a resp. rechterafgeleide van f in a is gelijk aan de eenzijdige limiet (indien ze bestaat):8 def
f ′ (a− ) = lim
h→ 0 <
f (a + h) − f (a) h
resp.
def
f ′ (a+ ) = lim
h→ 0 >
f (a + h) − f (a) h
Meetkundige betekenis. De linker- resp. rechterafgeleide van f in a is (indien een reëel getal) de rico van de linker- resp. rechterraaklijn in het punt P (a, f (a)) aan de grafiek van f .
rico tl = f ′ (a− )
y
y
f
f
rico tr = f ′ (a+ )
a
x
a
x
De stelling van de eenzijdige limieten uit Deel Limieten, asymptoten en continuı̈teit impliceert nu de volgende 3 Eigenschap. Gegeven is een functie f en a ∈ R zodat f bestaat in een geperforeerde omgeving van a. Dan geldt: 1 1 f is afleidbaar in a ⇔ f ′ (a− ) en f ′ (a+ ) bestaan in R en zijn gelijk x x en in dat geval hebben de linkerafgeleide, rechterafgeleide en afgeleide van f in a dezelfde waarde. Is f ′ continu in a, dan kunnen de linker- en rechterafgeleide van f in a praktisch berekend worden als linker- en rechterlimiet van de afgeleide functie f ′ in de waarde a: f ′ (a− ) = lim f ′ (x) x→ a
resp.
f ′ (a+ ) = lim f ′ (x)
<
x→ a >
Dat is bijvoorbeeld het geval als f een rationale of irrationale functie is. √ 3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de functie f (x) = x3 + 3x2 . (a) Bereken algebraı̈sch de linker- en rechterafgeleide van f in 0. (b) Maak een correcte schets van de grafiek van f waarop je de meetkundige betekenis van linker- en rechteafgeleide aanduidt en benoemt. Hanteer de correcte notaties! Oplossing.
8 In tegenstelling tot de definitie van afleidbaarheid kan de linker- en rechterafgeleide van f in a wel gelijk zijn aan ±∞. Lees f ′ (a− ) als de linkerafgeleide van f in a, en zeker niet als de functiewaarde van f ′ in a− want a− is geen getal. Analoog voor f ′ (a+ ).
VIII-58