3 Horizontale asymptoot. Zij f een functie en b ∈ R. We zeggen dat de rechte y = b een horizontale asymptoot (kortweg H.A.) voor x → −∞ (resp. x → +∞) aan de grafiek van f is indien: lim f (x) = b
x→−∞
resp.
lim f (x) = b
x→+∞
Praktische werkwijze. Om alle horizontale asymptoten van een functie f te berekenen, gaan we als volgt te werk (hieronder voor x → +∞, analoog voor x → −∞). (1) Bereken lim f (x). x→+∞
(2) Als deze limiet bestaat en gelijk is aan een reëel getal b, dan is de rechte y = b een H.A. voor x → +∞ aan de grafiek van f . In elk ander geval is er geen H.A. voor x → +∞. 3 Schuine asymptoot. Zij f een functie en a, b ∈ R met a ̸= 0. We zeggen dat de rechte y = ax + b een schuine asymptoot (kortweg S.A.) voor x → −∞ (resp. x → +∞) aan de grafiek van f is indien: lim
x→−∞
f (x) − (ax + b) = 0
resp.
lim
x→+∞
f (x) − (ax + b) = 0
Praktische werkwijze. Om alle schuine asymptoten van een functie f te berekenen, gaan we als volgt te werk (hieronder voor x → +∞, analoog voor x → −∞). f (x) . x (2) Als deze limiet bestaat en gelijk is aan een reëel getal a, bereken dan lim (f (x) − ax).
(1) Bereken lim
x→+∞
x→+∞
(3) Als ook deze limiet bestaat en gelijk is aan een reëel getal b, dan is de rechte y = ax + b een S.A. voor x → +∞ aan de grafiek van f . In elk ander geval is er geen S.A. voor x → +∞. 3 Modelvoorbeeld 2. Beschouw de functie f (x) =
p 9x2 + x − 3x.
(a) Bepaal algebraı̈sch de eventuele horizontale en schuine asymptoten aan de grafiek van f . (b) Duid op een assenstelsel de verkregen informatie over de grafiek van f aan. ⋆
(c) Plot de grafiek van f met je grafische rekenmachine, en maak een correcte schets van de grafiek waarop je de verkregen informatie aanduidt en benoemt.
Oplossing.
Controle met behulp van de grafische rekenmachine bij (a).
VIII-50