Be wise! Generalize! Max August Zorn, ±1950 [24]
Hoofdstuk 3
Afgeleiden van rationale en irrationale functies In Hoofdstuk 1 kwam de afgeleide van een product aan bod. In dit hoofdstuk leren we de afgeleide van een quotiënt berekenen. Op die manier kunnen we de afgeleide functie van eender welke rationale functie bepalen. Door de rekenregel voor de afgeleide van een macht met een natuurlijke exponent te veralgemenen tot die met een rationale exponent, kunnen we ook irrationale functies afleiden. Na deze rekenregels komen de intussen vertrouwde toepassingen aan bod: raaklijn en normaal in een punt van de grafiek van een functie, verloop van een functie en extremumproblemen.
3.1
Rekenregels
3 Rekenregel 6 (afgeleide van een quotiënt van functies). Å ã′ f ′ (x) · g(x) − f (x) · g ′ (x) f (x) = . Zij f en g functies. Dan is g g(x)2 Å ã f Bewijs. Noem h(x) = (x). We zoeken h′ (x). g Welnu,
h(x) =
f (x) g(x)
⇒
h(x) · g(x) = f (x)
⇒
...
Voorbeeld. Bereken en vereenvoudig de afgeleide functie van y =
VIII-29
2x2 − 1 . 3x + 5
Å
□ △
ã′
=
□′ · △ − □ · △ ′ △2