1.5
Afgeleide functie
Met behulp van het begrip afgeleide wordt het raaklijnprobleem herleid tot het berekenen van een limiet. Om te vermijden dat we telkens limieten moeten berekenen, stellen we in wat volgt de zogenaamde afgeleide functie op. Daarmee zullen we in het vervolg afgeleiden efficiënter kunnen berekenen. 3 Op ontdekking. Beschouw de functie f (x) = x2 +3. We berekenen de afgeleide van f in een aantal verschillende x-waarden (gebruik je grafische rekenmachine): x
−2
−1
0
1
2
f ′ (x)
...
...
...
...
...
Hiermee ontstaat een verband dat bij elke x-waarde hoogstens één y-waarde associeert, namelijk y = f ′ (x). We vermoeden dat in dit geval f ′ (x) = 2x. Dat vermoeden kunnen we met de grafische rekenmachine controleren: Y=
MATH
8:nDeriv(
2ND
TABLE
We kunnen het vermoeden dat f ′ (x) = 2x ook algebraı̈sch aantonen, door gebruik te maken van de definitie van afleidbaarheid. Neem a ∈ R willekeurig. Dan is (vul aan): f ′ (a) = lim h→0 | {z }
f (a + h) − f (a) = ... h
bestaat?
Omdat 2a ∈ R is f is afleidbaar in a en is f ′ (a) = 2a voor elke a ∈ R. Hieruit volgt dat inderdaad f ′ (x) = 2x.9 3 Definitie (afgeleide functie). Zij f een functie. De afgeleide functie van f is het verband dat bij elke x-waarde de y-waarde f ′ (x) associeert indien f afleidbaar is in x, en geen y-waarde associeert indien f niet afleidbaar is df dy in x. Naast f ′ (x) noteren we de afgeleide functie ook wel met y ′ of of of Df of Dy.10 dx dx 3 Modelvoorbeeld. Gegeven is de functie f (x) = −2x2 + 6x. Bepaal met behulp van de definitie van afleidbaarheid de afgeleide functie f ′ (x). Controleer je resultaat met behulp van je grafische rekenmachine. Oplossing.
9 Voor concrete functies zoals f (x) = x2 + 3 schrijven we, naast f ′ (x) = 2x, gemakshalve maar eigenlijk onjuist (f (x))′ = 2x, dus ook (x2 + 3)′ = 2x. Voor de afgeleide in een welbepaalde x-waarde, bijvoorbeeld x = 7, schrijven we niet “(72 + 3)′ = 14” maar wel degelijk f ′ (7) = 14. 10 De notatie ẏ is afkomstig van Isaac Newton 1671 (publ. 1736) en wordt vooral in de natuurkunde gehanteerd. Merk op dat uit deze definitie van afgeleide functie volgt dat dom f ′ ⊆ dom f . Beide extremen kunnen voorkomen: voor sommige functies is dom f = dom f ′ (bijvoorbeeld f (x) = x2 + 3), bij andere functies geldt dom f ′ = ∅ (zie de voetnoot bij §1.4).
VIII-9