Das gestattet erst der sogenannte Mittelwertsatz, und es ist das Große Verdienst Cauchys, dessen zentrale Stellung voll erkannt und demgemäß ihn an die Spitze der Differentialrechnung gestellt zu haben; es ist nicht zuviel gesagt, wenn man Cauchy deshalb als Begründer der exakten Infinitesimalrechnung im modernen Sinne feiert.
Bijlage B
Felix Christian Klein, 1908 [13]
Middelwaardestellingen In een strenge opbouw van de theorie van de calculus spelen de volgende stellingen een fundamentele rol:1 (i) tussenwaardestelling van Bolzano, (ii) extremumstelling van Weierstrass, (iii) stelling van Rolle, (iv) middelwaardestelling van Lagrange (ook wel tussenwaardestelling voor afgeleiden genoemd), (v) middelwaardestelling van Cauchy (ook wel veralgemeende of tweede middelwaardestelling genoemd), (vi) bestaansstelling van primitieve functies, (vii) hoofdstelling van de calculus. Als eerbetoon aan het historisch en wiskundig belang van deze zeven stellingen, worden ze in deze cursus ook expliciet bewezen. Stellingen (i) en (ii) werden in Deel Limieten, asymptoten en continuı̈teit besproken. In deze bijlage zullen we (iii), (iv) en (v) bewijzen. Zoals dat gebruikelijk is, zullen we daarvoor steunen op (ii). Stellingen (vi) en (vii) komen in Deel Integralen aan bod, onder de namen hoofdstelling 1 en hoofdstelling 2 van de integraalrekening. Om de stelling van Rolle aan te tonen, zullen we gebruik maken van het volgend hulpresultaat dat in Hoofdstuk 1 vermeld werd en dat we in de vorige hoofdstukken meermaals toegepast hebben. 3 Lemma. Zij f een functie en a, b ∈ R met a < b. Als: (1) f is afleidbaar over ]a, b[, en (2) f bereikt een (lokaal) extremum in c ∈ ]a, b[.
dan geldt dat f ′ (c) = 0.
Bewijs. We moeten aantonen dat f ′ (c) = 0. Daar f afleidbaar is over ]a, b[, geldt alvast dat f ′ (c) bestaat. Het idee van het bewijs is om f (x) − f (c) af te schatten in een omgeving van c. Stel dat f een lokaal maximum bereikt in c. Wegens de definitie van lokaal maximum bestaat er een omgeving ]c − R, c + R[ van c waarvoor: f (x) ≤ f (c) voor elke x ∈ ]c − R, c + R[
⇒ ⇒
⇒
⇒ ⇒
f (x) − f (c) ≤ 0 voor elke x ∈ ]c − R, c + R[ f (x) − f (c) ≤ 0 voor elke x ∈ ]c, c + R[ x−c f (x) − f (c) ≤ 0 voor elke x ∈ ]c − R, c[ x−c f (x) − f (c) lim ≤0 x → c x−c < f (x) − f (c) ≥0 xlim →c x−c > f (x) − f (c) ≤0 lim x→c x−c f (x) − f (c) lim ≥0 x→c x−c f (x) − f (c) lim =0 x→c x−c
waaruit we besluiten dat f ′ (a) = 0. Bereikt f een lokaal minimum in c, dan is het bewijs analoog. 1 Deze
opsomming is geenszins volledig, maar raakt enkel een selectie van hoofdresultaten aan waarvan de formulering in de loop van de derde graad aan bod komt. De indrukwekkende stamboom van stellingen die nodig zijn om de hoofdstelling van de calculus rigoureus te bewijzen vanuit de definitie van reële getallen, limieten en de logica, is bijvoorbeeld terug te vinden in [10, p.242].
VIII-103