If y is a function of u, and u is a function of x, then we say “y is a function of the function u”. Murray Bourne [27]
Bijlage A De kettingregel
In de voorgaande hoofdstukken hebben we rekenregels voor afgeleiden als volgt uitgebreid: vervang elke x door een functie in x (symbolisch genoteerd als □) en vermenigvuldig het eindresultaat met de afgeleide van die functie naar x, bijvoorbeeld: Ä ä′ ′ uit (2x ) = 2x ln 2 volgt 2□ = 2□ ln 2 · □′ . Dat principe volgt uit de zogenaamde kettingregel: een formule om afgeleiden van samengestelde functies te berekenen. 3 Stelling (kettingregel). Zij f en g functies en a ∈ R. Als: (1) f is afleidbaar in a, en (2) g is afleidbaar in f (a), dan is g ◦ f afleidbaar in a en (g ◦ f )′ (a) = g ′ (f (a)) · f ′ (a). Schets van het bewijs. Als x ≈ a dan is wegens definitie van de ogenblikkelijke hellingsgraad (zie Hoofdstuk 1): f ′ (a) ≈ waaruit:
f (x) − f (a) x−a
f (x) − f (a) ≈ f ′ (a)(x − a).
(A.1)
g(y) − g(b) ≈ g ′ (b)(y − b).
(A.2)
Noemen we b = f (a), dan vinden we analoog voor y ≈ b:
Is x ≈ a dan is y = f (x) ≈ b = f (a) zodat na substitutie van (A.1) in (A.2):
g(f (x)) − g(f (a)) ≈ g ′ (f (a))(f (x) − f (a)) ≈ g ′ (f (a)) · f ′ (a)(x − a)
zodat g ′ (f (a)) · f ′ (a) = lim
x→a
g(f (x)) − g(f (a)) (g ◦ f )(x)) − (g ◦ f )(a) = lim = (g ◦ f )′ (a). x→a x−a x−a
Zijn f en g functies, dan geeft de kettingregel ons de afgeleide van de samengestelde functie g ◦ f als (g ◦ f )′ (x) = g ′ (f (x)) · f ′ (x)
Schrijven we y = f (x) dan is (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(y), zodat wegens de kettingregel: g ′ (x) = g ′ (y) · y ′ . In de notatie van Leibniz wordt dit:1 dg dg dy = · (A.3) dx dy dx 3 Modelvoorbeeld. Gegeven zijn de functies y(u) = u3 + 3 en u(x) = 2x + 1. Bereken de afgeleide functie y ′ (x) op twee manieren: (a) door de samengestelde functie uit te werken, en (b) met behulp van de kettingregel. Oplossing. (a) We bepalen eerst de samengestelde functie y(x) en bereken daarna y ′ (x): 3
y(x) = (u(x)) + 3 = (2x + 1)3 + 1 = 8x3 + 12x2 + 6x + 2
zodat
y ′ (x) = 24x2 + 24x + 6.
(b) We passen de kettingregel in de notatie van Leibniz toe, zie (A.3): y ′ (x) =
dy dy du = · = 3u2 · 2 = 3(2x + 1)2 · 2 = 24x2 + 24x + 6. dx du dx
Als we in (a) de afgeleide van y(x) = (2x + 1)3 + 1 berekenen met de rekenregel (□3 )′ = 3□2 · □′ uit Hoofdstuk 2, dan passen we eigenlijk de kettingregel in (b) toe. dy keuze om de afgeleide van y naar x te noteren als dx , werd gemotiveerd door de formulering van de kettingregel, die informeel dy kan worden opgevat als het vermenigvuldigen van twee quotiënten. Merk echter op dat dx geen quotiënt is, maar de limiet van een quotiënt. 1 Leibniz’
VIII-102