Oefening 4. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Toon nauwkeurig alle tussenstappen. B
B B
(1)
(2) (3)
B⋆ (4) B⋆⋆ (5)
ex − e−x x→0 sin x
B⋆⋆ (6)
x − sin x x→0 x3
B⋆ (7)
lim
1
lim (sin x) ln x
x→ 0 >
lim
2 Arctan x − x lim x→0 2x − Arcsin x Å ã 1 lim x · Arctan x→+∞ x
⋆
B (8) B⋆⋆ (9)
cos x
limπ (tan x)
V
x→
< 2
ex − esin x x→0 x − sin x lim
sin x1 lim x→+∞ Arctan lim (sin x)
1 x
tan2 x
x→ π 2
(10) lim (x − Arcsin x) · cosec3 x x→0
Oefeningen bij §5.2 U
Oefening 5 (differentiaalvergelijking). Een vergelijking in y, y ′ , y ′′ , . . . noemt men een differentiaalvergelijking. Oplossingen van differentiaalvergelijkingen zijn functies. Bewijs dat y = sin x + 2 cos x voldoet aan de differentiaalvergelijking y ′′′ + y ′′ + y ′ + y = 0.
B
Oefening 6. Bepaal algebraı̈sch de vergelijking van de raaklijn in x =
U⋆
Oefening 7 (differentiaalvergelijking). Een vergelijking in y, y ′ , y ′′ , . . . noemt men een differentiaalvergelijking. Oplossingen van differentiaalvergelijkingen zijn functies. Gegeven is de functie f (x) = x(a cos(2x) + b sin(2x)) met a, b ∈ R. Bepaal de waarde(n) voor a, b ∈ R waarvoor y = f (x) voldoet aan de differentiaalvergelijking
π aan de grafiek van f (x) = sin2 x. 3
y ′′ + 4y = sin x cos x. U⋆⋆
Oefening 8 (hoek tussen twee snijdende krommen). De hoek tussen twee snijdende krommen is bij definitie de scherpe hoek tussen de raaklijnen in dat snijpunt. Karel wenst een nieuwe decoratiestrook aan te brengen.7 Hij heeft een mooi motief gevonden, namelijk de grafieken van de functies f (x) = 2 sin2 x en g(x) = cos(2x). Bepaal algebraı̈sch de hoek waaronder de grafieken van f en g elkaar snijden.
y 2 y = f (x)
1
1
2
3
4
5
6
x
y = g(x) −1
6 Naar
Ernst Hairer en Gerhard Wanner [10, p.89] waarmee zij de uitspraak vermeld in het begin van dit hoofdstuk rijkelijk illustreren. decoratiestrook geeft aanleiding tot een wiskundige structuur, de zogenaamde symmetriegroep, die alle symmetrieën (translaties en spiegelingen) van de decoratiestrook representeert. Op deze manier kan men aantonen dat er in wezen slechts 7 soorten decoratiestroken zijn. Analoog geeft elk behangpatroon aanleiding tot een symmetriegroep, waarvan men bewijst dat er 17 verschillende types behangpatronen bestaan. Dit werd aangetoond door Evgraf Stepanovich Fedorov 1891. 7 Elke
VIII-98