In het model van de ongedempte trilling blijft de beschreven grootheid, eenmaal uit evenwicht gebracht, altijd veranderen. In de realiteit zal een trillende massa een wrijvingskracht ondervinden, die haar uiteindelijk tot stilstand brengt. Een model dat daaraan tegemoet komt, is de gedempte trilling waarbij het periodiek gedrag van de grootheid y beschreven wordt door:5 y(t) = Ae−γt sin(ωt + φ)
waarbij A, γ, ω en φ constanten zijn.
3 Modelvoorbeeld 2 (massa-veersysteem). Een massa wordt aan een elastische veer opgehangen en uit evenwichtsstand gebracht (zie figuur), zodat de massa omheen haar evenwichtsstand op de y-as oscileert. Ten gevolge van de luchtweerstand ondervindt de massa een terugwerkende kracht, zodat dit systeem kan worden gemodelleerd door een gedempte trilling: Ä√ ä 3t . y(t) = e−t/2 sin Hierbij is y(t) de afstand van de massa tot de evenwichtsstand (in meter) op tijdstip t (in seconden) na het duwen van de massa. (a) Plot met je grafische rekenmachine de grafiek van deze functie en neem een schets over op je blad. (b) Welke uitspraak is juist? Verklaar je antwoord. (A) Op tijdstip t = 0 kreeg de massa vanuit de evenwichtsstand een duw in verticale richting. (B) Op tijdstip t = 0 werd de massa losgelaten vanuit een andere positie dan de evenwichtsstand. (c) Schets in hetzelfde assenstelsel de grafieken van de functies f1 en f2 , en toon algebraı̈sch aan dat de grafiek van y tussen deze twee grafieken ligt: f1 (t) = e−t/2
en
f2 (t) = −e−t/2 .
(d) Bereken algebraı̈sch de snelheid van de massa op tijdstip t = 0. Interpreteer je resultaat met het antwoord op vraag (b). (e) Bepaal algebraı̈sch de tijdstippen t ∈ [0, 6] waarvoor de snelheid van de massa gelijk is aan nul.
(f) Lees uit de grafiek de limiet van y(t) voor t → +∞ af. Welke fysische betekenis hecht je hieraan? Bereken daarna deze limiet algebraı̈sch.
Oplossing.
5 Bij
het voorbeeld van een massa-veersysteem wordt in het model van een gedempte trilling rekening gehouden met de luchtweerstand. − → Bij goede benadering is de grootte van die tegenwerkende kracht Fd evenredig met de snelheid v die de massa op dat moment heeft, zodat − → − → − → → − → − → Fd = −c− v voor een zekere c ∈ R+ 0 . De som van de krachtvectoren die inwerken op de massa is bij dit model gelijk aan Fv + Fd = −k y −c v , ′ ′′ zodat wegens de tweede wet van Newton −ky(t) − cv(t) = ma(t). Omdat v(t) = y (t) en a(t) = y (t) vinden we dat de functie y(t) voldoet aan de differentiaalvergelijking my ′′ (t) + cy ′ (t) + ky(t) = 0. De lezer kan weerom nagaan dat voor geschikte constanten γ en ω een functie van de vorm y(t) = Ae−γt sin(ωt + φ) inderdaad een oplossing is van zo’n differentiaalvergelijking. Omgekeerd kan men met meer geavanceerde wiskunde aantonen dat elke oplossing van zo’n differentiaalvergelijking noodzakelijk van die vorm is.
VIII-96