76
Dimensie
proces stopt zodra V = Wn met n = dim V . Om die manier hebben we deelruimten w0 , W1 , W2 , . . . , Wn van V gevonden waarvoor dim Wk = k voor elke 0 6 k 6 n. Merk op dat de deelruimte elkaar omvatten: {0V } = W0 ⊆ W1 ⊆ W2 ⊆ · · · ⊆ Wn−1 ⊆ Wn = V.
Opdracht 5.33. Schrijf een willekeurige 3 × 3-matrix als de som van een symmetrische en een scheefsymmetrische matrix. Oplossing. Neem een willekeurige 3 × 3-matrix A =
a b c d e f g h i
. Uit §5.3 volgt dat A (op
een unieke manier) kan geschreven worden als de som van een symmetrische matrix B en een scheefsymmetrische matrix C. Omdat B T = B en C = −C T volgt nu: A=B+C
⇒
AT = (B + C)T
⇒
AT = B T + C T
⇒
AT = B − C.
Tellen we de gelijkheden A = B + C en AT = B − C lid aan lid op dan verkrijgen we A + AT = 2B zodat B = 12 (A + AT ). De gelijkheden van elkaar aftrekken geeft C = 21 (A − AT ). Op die manier vinden we: A=B+C 1 1 = (A + AT ) + (A − AT ) 2 2 a b c a d 1 = d e f + b e 2 g h i c f
a g 1 h + d 2 g i
b e h
c a f − b i c
d e f
g h i
zodat we een willekeurige 3 × 3-matrix als de som van een symmetrische en een scheefsymmetrische matrix geschreven hebben: c+g c−g b+d b−d a 0 a b c 2 2 2 2 f +h f −h − b−d d e f = b+d + . e 0 2 2 2 2 c+g c−g f +h f −h g h i − i − 0 2 2 2 2