71
20. Beschouw in de vectorruimte R, R3 , + de vectoren v1 = (2, −1, 3) en v2 = (−5, 2, −6). Breid de lineair onafhankelijke verzameling {v1 , v2 } uit tot een basis van R3 .
Oplossing. Beschouw de standaardbasis E = (e1 , e2 , e3 ) van R3 . Wegens Lemma 4.8 is R3 = Span{e1 , e2 , e3 } = Span{v1 , v2 , e1 , e2 , e3 } zodat {v1 , v2 , e1 , e2 , e3 } voortbrengend is voor R3 . Nu reduceren we deze voortbrengende verzameling door de vectoren te ordenen en het vijftal vectoren (v1 , v2 , e1 , e2 , e3 ) van links naar rechts te overlopen. Telkens een vector geschreven kan worden als een lineaire combinatie van de voorgaande vectoren, verwijderen we die vector. (1-2) {v1 , v2 } is lineair onafhankelijk (zie opgave). We behouden v1 en v2 . (3) Om na te gaan of {v1 , v2 , e1 } lineair afhankelijk of onafhankelijk is, volstaat het om na te gaan of e1 al dan niet tot Span{v1 , v2 } behoort (zie Lemma 4.18). Er geldt: e1 ∈ Span{v1 , v2 }
⇔
∃r, s ∈ R : e1 = rv1 + sv2
⇔
∃r, s ∈ R : (1, 0, 0) = r(2, −1, 3) + s(−5, 2, −6) ( r = −2 ∃r, s ∈ R : s = −1
⇔
zodat e1 ∈ Span{v1 , v2 }. Zodoende is {v1 , v2 , e1 } lineair afhankelijk. Verwijder e1 . (4) Om na te gaan of {v1 , v2 , e2 } lineair afhankelijk of onafhankelijk is, volstaat het om na te gaan of e2 al dan niet tot Span{v1 , v2 } behoort (zie Lemma 4.18). Er geldt: e2 ∈ Span{v1 , v2 }
⇔
∃r, s ∈ R : e2 = rv1 + sv2
⇔
∃r, s ∈ R : (0, 1, 0) = r(2, −1, 3) + s(−5, 2, −6) 2r − 5s = 0 − r + 2s = 1 ∃r, s ∈ R : 3r − 6s = 0 r = 0 ∃r, s ∈ R : s = 0 0=1
⇔
⇔
Dit stelsel heeft duidelijk geen oplossingen, zodat e2 6∈ Span{v1 , v2 }. Zodoende is {v1 , v2 , e2 } lineair onafhankelijk. We behouden e2 . (5) Om na te gaan of {v1 , v2 , e2 , e3 } lineair afhankelijk of onafhankelijk is, volstaat het om na te gaan of e3 al dan niet tot Span{v1 , v2 , e2 } behoort (zie Lemma 4.18).