Uitgewerkte opdrachten en oefeningen bij SOHO Wiskunde Plantyn Lineaire algebra I

Page 66

58

Basis We lossen dit stelsel op door de trapvorm van de    1 3 1 0 0  1 1 0 0 ∼ 0 −1 2 1 0 0

uitgebreide matrix te berekenen:  0 0 0 1 0 0 . 0 1 0

Op die manier verkrijgen we:

c1 (3, 1, −1) + c2 (1, 1, 2) + c3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0)

   c1 = 0 c2 = 0   c3 = 0.

We besluiten dat D lineair onafhankelijk is. (b) Om na te gaan of D = {(5, 0, −2), (0, 1, 1)} lineair onafhankelijk is, bepalen we alle lineaire relaties van D. Voor c1 , c2 ∈ R geldt:    5c1 = 0 c2 = 0 c1 (5, 0, −2) + c2 (0, 1, 1) = (0, 0, 0) ⇔   − 2c1 + c2 = 0 ( c1 = 0 ⇔ c2 = 0. We besluiten dat D lineair onafhankelijk is. (c) Om na te gaan of D = {(0, −1, 0), (1, 0, 1), (2, 1, 2), (3, 2, 3)} lineair onafhankelijk is, bepalen we alle lineaire relaties van D. Voor c1 , c2 , c3 , c4 ∈ R geldt: c1 (0, −1, 0) + c2 (1, 0, 1) + c3 (2, 1, 2) + c4 (3, 2, 3) = (0, 0, 0)    c2 + 2c3 + 3c4 = 0 − c1 + c3 + 2c4 = 0 ⇔   c2 + 2c3 + 3c4 = 0. We lossen dit stelsel op door  0 1 2  −1 0 1 0 1 2

de trapvorm van   3 0 1 2 0 ∼ 0 3 0 0

de uitgebreide matrix te berekenen:  0 −1 −2 0 1 2 3 0 . 0 0 0 0

Op die manier verkrijgen we:

c1 (0, −1, 0) + c2 (1, 0, 1) + c3 (2, 1, 2) + c4 (3, 2, 3) = (0, 0, 0) ( c1 − c3 − 2c4 = 0 c2 + 2c3 + 3c4 = 0.  c1 = r + 2s     c2 = −2r − 3s (r, s ∈ R).   c3 = r   c4 = s

Elke r, s ∈ R met (r, s) 6= (0, 0) levert een niet-triviale relatie van D op. Is bijvoorbeeld r = 10 en s = 0 dan vinden we de niet-triviale relatie 10(0, −1, 0) + (−20)(1, 0, 1) + 10(2, 1, 2) + 0(3, 2, 3) = (0, 0, 0). Bijgevolg is D lineair afhankelijk.


Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.