58
Basis We lossen dit stelsel op door de trapvorm van de 1 3 1 0 0 1 1 0 0 ∼ 0 −1 2 1 0 0
uitgebreide matrix te berekenen: 0 0 0 1 0 0 . 0 1 0
Op die manier verkrijgen we:
c1 (3, 1, −1) + c2 (1, 1, 2) + c3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0)
⇔
c1 = 0 c2 = 0 c3 = 0.
We besluiten dat D lineair onafhankelijk is. (b) Om na te gaan of D = {(5, 0, −2), (0, 1, 1)} lineair onafhankelijk is, bepalen we alle lineaire relaties van D. Voor c1 , c2 ∈ R geldt: 5c1 = 0 c2 = 0 c1 (5, 0, −2) + c2 (0, 1, 1) = (0, 0, 0) ⇔ − 2c1 + c2 = 0 ( c1 = 0 ⇔ c2 = 0. We besluiten dat D lineair onafhankelijk is. (c) Om na te gaan of D = {(0, −1, 0), (1, 0, 1), (2, 1, 2), (3, 2, 3)} lineair onafhankelijk is, bepalen we alle lineaire relaties van D. Voor c1 , c2 , c3 , c4 ∈ R geldt: c1 (0, −1, 0) + c2 (1, 0, 1) + c3 (2, 1, 2) + c4 (3, 2, 3) = (0, 0, 0) c2 + 2c3 + 3c4 = 0 − c1 + c3 + 2c4 = 0 ⇔ c2 + 2c3 + 3c4 = 0. We lossen dit stelsel op door 0 1 2 −1 0 1 0 1 2
de trapvorm van 3 0 1 2 0 ∼ 0 3 0 0
de uitgebreide matrix te berekenen: 0 −1 −2 0 1 2 3 0 . 0 0 0 0
Op die manier verkrijgen we:
⇔
⇔
c1 (0, −1, 0) + c2 (1, 0, 1) + c3 (2, 1, 2) + c4 (3, 2, 3) = (0, 0, 0) ( c1 − c3 − 2c4 = 0 c2 + 2c3 + 3c4 = 0. c1 = r + 2s c2 = −2r − 3s (r, s ∈ R). c3 = r c4 = s
Elke r, s ∈ R met (r, s) 6= (0, 0) levert een niet-triviale relatie van D op. Is bijvoorbeeld r = 10 en s = 0 dan vinden we de niet-triviale relatie 10(0, −1, 0) + (−20)(1, 0, 1) + 10(2, 1, 2) + 0(3, 2, 3) = (0, 0, 0). Bijgevolg is D lineair afhankelijk.