50
Basis
We onderzoeken de oplosbaarheid van uitgebreide matrix (A | B): 1 3 −2 0 7 5 a 3 6 2 7 2 4 b −2 −4 −1 −5 −1 −2 c 5 10 7 8 6 15 d 1 0 0 1 ∼ 0 0 0 0
dit stelsel door rijoperaties toe te passen op de
0 0 1 0
13 0 −36 −5 0 18 −1 0 3 0 1 −1
−2a + 151b + 180c − 18d a − 76b − 91c + 9d . −7b − 8c + d 9b + 11c − d
Voor elke a, b, c, d ∈ R is rang A = rang(A | B), zodat voor elke a, b, c, d ∈ R het oorspronkelijk stelsel oplossingen heeft. We besluiten dat de verzameling D voortbrengend voor R2×2 is. Opdracht 4.21. Ga na dat met deze afspraak Lemma 4.16 en Lemma 4.18 ook betekenis hebben voor D1 = ∅ respectievelijk D = ∅. Oplossing. Beschouw een vectorruimte R, V, +. Bij afspraak is D1 = ∅ lineair onafhankelijk (Opmerking 4.20), zodat voor elke eindige deelverzameling D2 van V de uitspraak als D2 lineair onafhankelijk is, dan is ook D1 = ∅ lineair onafhankelijk waar is. Dus Lemma 4.16 heeft ook betekenis voor D1 = ∅. Bij afspraak is Span{} = {0V } (Opmerking 3.16) en wegens Lemma 4.17 geldt voor elke w ∈V: {w} is lineair onafhankelijk m w 6∈ Span{}. Samen met de afspraak dat D = ∅ lineair onafhankelijk is (Opmerking 4.20) geeft dit betekenis aan Lemma 4.18 voor D = ∅. Opdracht 4.23. Zij R, V, + een vectorruimte en D ⊆ V . Toon aan: D is lineair onafhankelijk als en slechts als de nulvector van V op hoogstens één manier als een lineaire combinatie van D te schrijven is. Oplossing. Zij R, V, + een vectorruimte en D ⊆ V . Wegens Stelling 4.22 volstaat het om aan te tonen: elke vector van V is op hoogstens één manier te schrijven als een lineaire combinatie van D m 0V is op hoogstens één manier te schrijven als een lineaire combinatie van D.
Stel dat elke vector van V op hoogstens één manier te schrijven is als een lineaire combinatie van D. Dan is ook 0V op hoogstens één manier te schrijven is als een lineaire combinatie van D.