46
Deelruimten
21. Zij R, V, + een vectorruimte en u, v ∈ V . Bewijs: Span{u, v} = Span{u + v, u − v}. Oplossing. Uit 1 1 1 1 (u + v) + (u − v) en v = (u + v) − (u − v) 2 2 2 2 volgt dat u, v ∈ Span{u + v, u − v}. Anderzijds is u=
u + v = 1 · u + 1 · v ∈ Span{u, v}
en
u − v = 1 · u − 1 · v ∈ Span{u, v}
zodat ook u+v, u−v ∈ Span{u, v}. Toepassen van Eigenschap 3.17 levert dat Span{u, v} = Span{u + v, u − v}. 22. Beschouw de vectorruimte R, R3 , +. Bepaal de waarde(n) van r waarvoor de deelruimte voortgebracht door {(4, 5, 6), (r, 5, 1), (4, 3, 2)} een echte deelruimte is. Oplossing. Neem r ∈ R willekeurig. Dan geldt: Span{(4, 5, 6), (r, 5, 1), (4, 3, 2)} is een echte deelruimte van R3 ⇔
Span{(4, 5, 6), (r, 5, 1), (4, 3, 2)} = 6 R3
⇔
∃(x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) 6∈ Span{(4, 5, 6), (r, 5, 1), (4, 3, 2)} 4a + rb + 4c = x 5a + 5b + 3c = y heeft geen oplossingen. ∃(x, y, z) ∈ R3 : het stelsel 6a + b + 2c = z
⇔
Voor elke (x, y, z) ∈ R3 gaan de oplosbaarheid van uitgebreide matrix. We vinden: 4 r 4 x 6 1 2 (A | B) = 5 5 3 y ∼ 5 5 3 6 1 2 z 4 r 4
dit stelsel na door rijherleiding van de 1 0 z y ∼ 0 1 x 0 0
∗ ∗ 72−8r 25
∗ ∗ ∗
waarbij we de elementen ∗ (voorlopig) niet nader bepalen. Als volgende stap in het eliminatie-algoritme van Gauss-Jordan willen we de derde rij delen door (72−8r)/25. Maar dat mag enkel als (72 − 8r)/25 6= 0, dat wil zeggen r = 6 9. Vandaar het gevalsonderscheid. Eerste geval Als r 6= 9 dan is
1 0 0 (A | B) ∼ 0 1 0 0 0 1
∗ ∗ ∗
zodat voor elk drietal (x, y, z) ∈ R3 het stelsel een (unieke) oplossing heeft. In dit geval zal dus Span{(4, 5, 6), (r, 5, 1), (4, 3, 2)} = R3 . Tweede geval Als r = 9 dan is
1 0 (A | B) ∼ 0 1 0 0
∗ ∗ 0
∗ . ∗ x − 2y + z
Hieruit besluiten we dat het lineair stelsel oplossingen heeft als en slechts als het drietal (x, y, z) voldoet aan de relatie x − 2y + z = 0. Voor sommige drietallen heeft het stelsel dus geen oplossingen, bijvoorbeeld (x, y, z) = (1, 0, 0). In dit geval zal dus Span{(4, 5, 6), (r, 5, 1), (4, 3, 2)} = 6 R3 . Besluit: Span{(4, 5, 6), (r, 5, 1), (4, 3, 2)} is een echte deelruimte als en slechts als r = 9.