92
Dimensie
19. De matrix A hieronder is geschreven als de som van een symmetrische nulsommatrix en een magische blokmatrix: 6 9 −6 5 4 −9 1 5 3 7 = 4 −6 2 + 7 6 5 . A = 11 0 −5 4 13 −9 2 7 4 2 6 Een symmetrische nulsommatrix is een symmetrische matrix waarvoor alle rijen en alle kolommen een nulsom hebben. Een magische blokmatrix is een vierkante matrix waarvan 1 5 3 alle 2 × 2-deelmatrices met aansluitende elementen eenzelfde som hebben. Zo is 7 6 5 een magische blokmatrix, want in elke 2 × 2-deelmatrix met aansluitende 426
elementen, zoals ( 62 56 ), is de som van de elementen gelijk aan 19. (a) Kan elke 3 × 3-matrix geschreven worden als de som van een symmetrische nulsommatrix en een magische blokmatrix? Zo ja, is die schrijfwijze dan uniek? Verklaar je antwoord. (b) Ga na of er een analoge eigenschap voor 4 × 4-matrices geldt. Oplossing. (a) Beschouw de vectorruimte R, R3×3 , +. De deelverzameling nulsommatrices kan geschreven worden als:
a b −a − b
c −b − c
a, b, c ∈ R U= b −a − b −b − c a + 2b + c
0 1 −1 0 1 0 −1 0 −1 , 0 = Span 0 0 0 , 1 −1 0 1 −1 −1 2 0
U van symmetrische
0 1 −1
0 −1 . 1
Hieruit volgt dat U een deelruimte van R3×3 is en men gaat eenvoudig na dat deze voortbrengende verzameling van U ook lineair onafhankelijk is, zodat dim U = 3. Vervolgens kan de deelverzameling W van magische blokmatrices geschreven worden als:
b e a
d a + c − e
a, b, c, d, e, f ∈ R W = c f a + b − f −a + e + f
0 1 0 0 0 0 1 0 0 = Span 0 0 1 , 0 0 0 , 1 0 1 0 1 −1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 , 0 0 −1 , 0 0 0 . 0 0 0 0 0 1 1 −1 1 Hieruit volgt dat W een deelruimte van R3×3 is en men gaat eenvoudig na dat deze voortbrengende verzameling van W ook lineair onafhankelijk is, zodat dim W = 6. Nu kan elke 3 × 3-matrix geschreven worden als de som van een symmetrische nulsommatrix en een magische blokmatrix als en slechts als U + W = R3×3
⇔
dim(U + W ) = 9
⇔
dim U + dim W − dim(U ∩ W ) = 9
⇔
dim(U ∩ W ) = 0.