1.2
Standaardvorm van een tweedegraadsvergelijking
3 Vraagstuk. De oppervlakte van een rechthoek is 12 m2 . Als je weet dat de lengte van de rechthoek 4 m langer is dan de breedte, bepaal dan de lengte en de breedte van de rechthoek. Oplossing. Om het vraagstuk beter te begrijpen, maken we een schets:
x 12 m2
x−4
Noem x de lengte van de rechthoek. Wat is de breedte dan? x − 4 De oppervlakte van de rechthoek is 12 m2 , dus
x(x − 4) = 12
⇔ x2 − 4x − 12 = 0 ⇔ x =?
2
De vergelijking x − 4x − 12 = 0 is een zogenaamde tweedegraadsvergelijking. Voorlopig weten we nog niet hoe je zo’n vergelijking kan oplossen. Misschien kun je wel een oplossing raden? We raden x = 6. Th 4
3 Definitie. Een tweedegraadsvergelijking in x is een vergelijking die kan geschreven worden in standaardvorm ax2 + bx + c = 0
waarbij
a, b, c ∈ R
en
a 6= 0
Een tweedegraadsvergelijking wordt ook wel kwadratische vergelijking of vierkantsvergelijking genoemd. 3 Modelvoorbeeld. Welke van de volgende vergelijkingen zijn een eerstegraadsvergelijking en welke zijn een tweedegraadsvergelijking? Herleid telkens naar standaardvorm. (a) 2x(x + 3) = (x − 7)2 (b) (x − 3)(−x − 5) = 7 − x2 + 6x
2x2 − 4x + 1 1 2 − (x − 3) = 0 3 2 Oplossing. (c)
Onthoud:
2x(x + 3) = (x − 7)2
(a)
2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
2
⇔ 2x + 6x = x − 14x + 49 ⇔ 2x2 + 6x − x2 + 14x − 49 = 0 ⇔ x2 + 20x − 49 = 0
tweedegraadsvergelijking: a = 1, b = 20, c = −49
(x − 3)(−x − 5) = 7 − x2 + 6x
(b) ⇔
− x2 − 5x + 3x + 15 = 7 − x2 + 6x
⇔
− x2 − 2x + 15 − 7 + x2 − 6x = 0
⇔
− 8x + 8 = 0
eerstegraadsvergelijking
2x2 − 4x + 1 1 2 − (x − 3) = 0 3 2
(c) ⇔
2x2 − 4x + 1 1 2 − (x − 3) = 0 3 2
⇔ 2(2x2 − 4x + 1) − 3(x2 − 3) = 0 ⇔ 4x2 − 8x + 2 − 3x2 + 9 = 0 ⇔ x2 − 8x + 11 = 0
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
tweedegraadsvergelijking: a = 1, b = −8, c = 11 I-3