1.6
Vergelijkingen die herleidbaar zijn tot een tweedegraadsvergelijking
We hebben geleerd hoe je elke kwadratische vergelijking kan oplossen in R. Maar als een vergelijking niet kwadratisch is, dan moeten we op een andere manier te werk gaan. In deze laatste paragraaf bekijken we vergelijkingen van de vorm a 2 + b + c = 0
waarbij
a, b, c ∈ R
en
a 6= 0.
Hierbij staat voor een uitdrukking in x. In zo’n geval voer je een hulponbekende in: noem je t = , dan herleid je de vergelijking naar een kwadratische vergelijking. Op die manier kun je toch alle reële oplossingen vinden. Als = x2 dan spreken we van een bikwadratische vergelijking: ax4 + bx2 + c = 0
waarbij
a, b, c ∈ R
en
a 6= 0.
3 Modelvoorbeeld 1. Bepaal algebraı̈sch alle reële oplossingen van de bikwadratische vergelijking 9x4 + 23x2 − 12 = 0.
9x4 + 23x2 − 12 = 0
Oplossing. ⇔
9 x2
2
+ 23x2 − 12 = 0
noem t = x2 ⇔
9t2 + 23t − 12 = 0 D = 232 − 4 · 9 · (−12) = 961 = 312
⇔
t=
−23 ± 31 18
⇔
t=
4 9
⇔
x2 =
⇔
x=
of 4 9
2 3
t = −3 x2 = −3
of
x=−
of
2 3
3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal algebraı̈sch de oplossingenverzameling van de vergelijking (x2 + x)2 − 14x2 − 14x + 24 = 0.
(x2 + x)2 − 14x2 − 14x + 24 = 0
Oplossing. ⇔
(x2 + x)2 − 14(x2 + x) + 24 = 0 noem t = x2 + x
⇔
t2 − 14t + 24 = 0 D = (−14)2 − 4 · 1 · 24 = 100 = 102 14 ± 10 2
⇔
t=
⇔
t = 12
⇔
x2 + x = 12
⇔
x2 + x − 12 = 0
of
t=2 of
x2 + x = 2 of
D = 49 = 72 −1 ± 7 2
⇔
x=
⇔
x=3
of
x2 + x − 2 = 0 D = 9 = 32
of
x=
x = −4
−1 ± 3 2 of
x=1
of
x = −2
Oplossingenverzameling: V = {3, −4, 1, −2} I-13