TAJEMSTVÍ BLESKOVÉ MATEMATIKY — Arthur Benjamin Michael Shermer
Tuto knihu věnuji své ženě Deeně a dcerám Laurel a Ariel. — Arthur Benjamin
Mé věnování patří mojí ženě Kim, která je mi tím nejspolehlivějším přítelem a rádcem. — Michael Shermer
25
ÚVOD
Již od dětství miluji hrátky s čísly a v této knize bych se s vámi o tuto vášeň rád podělil. Čísla pro mne měla vždycky určitý magický půvab a strávil jsem nespočet hodin tím, že jsem bavil sebe i ostatní jejich nádhernými vlastnostmi. Jako náctiletý jsem pořádal kouzelnická vystoupení a později se mi podařilo spojit svoji lásku k matematice a kouzlům v plnohodnotném představení nazvaném Matemagika, kde jsem předváděl a vysvětloval tajemství rychlých z hlavy prováděných výpočtů publiku všech věkových kategorií. Od získání doktorátu vyučuji matematiku na Harvey Mudd College, stále mi ale přináší požitek, když můžu svoji radost z čísel sdílet s dětmi a dospělými po celém světě. V této knize vám prozradím všechna svá tajemství no. (Plně si uvědomuji, že kouzelníci by neměli odhalovat svá tajemství, ale matematikové mají poněkud odlišný etický kodex. Matematika by totiž měla být podivuhodná, ale nikoli záhadná.) Co se v této knize naučíte? Naučíte se z hlavy provádět výpočty rychleji, než byste to kdy považovali za možné. S trochou cviku si dramaticky zlepšíte paměť na čísla. Osvojíte si intelektuální kousky, kterými ohromíte své přátele, kolegy a učitele. Především se však naučíte
26
Úvod
vidět matematiku jako činnost, která ve skutečnosti může být i zábavná. Velmi často se matematika vyučuje jako soubor přesných pravidel, který ponechává jen malý prostor pro tvůrčí myšlení. Tajemství vám ale ukáže, že k vyřešení jednoho problému vede často hned několik cest. Těžké úlohy můžete rozložit na několik snazších, lépe zvládnutelných částí. Budeme zkoumat zvláštní vlastnosti čísel, které nám umožní snazší řešení úloh. Domnívám se, že tohle všechno s sebou nese hodnotná životní ponaučení, která vám pomohou řešit všechny typy problémů, nejen ty matematické. „Není ale talent pro matematiku něčím, s čím se člověk musí narodit?“ Tuto otázku dostávám neustále. Mnoho lidí je přesvědčeno, že zázrační počtáři jsou nějak neobvykle nadaní. Snad jsem byl skutečně obdařen jakousi zvědavostí, jak věci fungují, ať jde o matematický problém, nebo o kouzelnický trik. Na základě svých mnohaletých učitelských zkušeností jsem však skálopevně přesvědčen, že rychlé počítání je schopnost, kterou si může osvojit kdokoli. Avšak stejně jako u každé smysluplné činnosti je i tady zapotřebí tréninku a odhodlání, abyste se stali experty. Chcete-li tohoto cíle dosáhnout efektivně, je důležité, abyste trénovali správným způsobem. Dovolte mi, abych vám ukázal, který to je! Nechť vás matemagie provází! dr. Arthur Benjamin Claremont, Kalifornie
27 Kapitola 0
RYCHLÉ TRIKY: Jednoduché (a působivé) počty
Na následujících stránkách se naučíte počítat z hlavy rychleji, než byste vůbec považovali za možné. Pokud budete věnovat procvičování metod z této knihy alespoň malou chvíli, vaše schopnost manipulovat s čísly se dramaticky zlepší. Když budete v tréninku pokračovat ještě dál, budete schopni provádět mnoho výpočtů rychleji než kdekdo jiný s kalkulačkou. V této kapitole je však mým cílem seznámit vás s několika jednoduchými, ale přesto působivými výpočty, které se lze naučit ihned. Závažnější materiál si vyšetříme na později. NÁSOBENÍ V OKAMŽIKU Začněme jedním z mých oblíbených kousků mentální matematiky — jak z hlavy vynásobit libovolné dvojciferné číslo jedenácti. Jakmile máte v ruce správný klíč, je to velmi jednoduché. Uvažte úlohu: 32 × 11 K vyřešení stačí sečíst číslice, 3 + 2 = 5 5 mezi 3 a 2. Výsledek je na světě: 352
28
Tajemství bleskové matematiky
Může být vůbec něco snazšího? Teď zkuste: 53 × 11 Protože 5 + 3 = 8, správný výsledek je jednoduše: 583 Zkuste to ještě jednou. Nedívejte se na výsledek ani si nic nezapisujte na papír a určete, kolik je: 81 × 11 Dostali jste 891? Gratuluji! Neradujte se však předčasně, zatím jsem vám prozradil pouze polovinu toho, co potřebujete vědět. Podívejte se na úlohu: 85 × 11 Ačkoli je 8 + 5 = 13, výsledkem NENÍ 8 135! Obdobně jako dříve vsunete 3 mezi zadané číslice, ale krom toho musí být 1 přičtena k 8, abyste obdrželi správný výsledek: 935 Dívejte se na problém tímto způsobem: 1 835 935 Tady je další příklad: zkuste 57 × 11. Jelikož 5 + 7 = 12, výsledkem je:
RYCHLÉ TRIKY: Jednoduché (a působivé) počty
1 527 62 7 Dobrá, nyní jste na řadě zase vy. Určete co nejrychleji, kolik je: 77 × 11 Pokud jste dospěli k výsledku 847, můžete se poplácat po zádech. Jste na dobré cestě stát se matemagikem. Z vlastní zkušenosti vím, že když se teď pochlubíte libovolné dvojciferné číslo jedenácti, nebude trvat dlouPodívejme se na příklad nyní, abyste pak nebyli překvapeni. Protože 9 + 9 = 18, odpověď zní: 1 989 1 08 9 Nově nabytou dovednost si ještě na pár příkladech chvíli procvičujte a pak ji můžete začít předvádět veřejně. Budete ohromeni ohlasem, kterého se vám dostane. (Je jenom na vás, zda se rozhodnete odhalit tajemství výpočtu!) Vítejte zpět. V tuto chvíli vás patrně trápí několik otázek. Například: „Můžu tuto metodu použít i pro násobení trojciferných (nebo víceciferných) čísel jedenácti?“
29
30
Tajemství bleskové matematiky
Samozřejmě. Vezměme si třeba 314 × 11. Výsledek bude opět začínat 3 a končit 4. Protože 3 + 1 = 4 5, odpovědí je 3 454. Podobné úlohy s většími čísly si ale nechejme na později. Možná vás ale napadá důležitější poznámka: šími násobky? Jak násobit čísla dvanácti, třinácti nebo šestatřiceti?“ Má odpověď zní: „Trpělivost!“ Právě to je obsahem zbytku knihy. V kapitolách 2, 3, 6 a 8 se naučíte vypočíst součin dvou téměř libovolných čísel. A nejlepší na tom je, že se nemusíte učit zpaměti zvláštní pravidlo pro každé číslo — stačí jen zvládnout hrstku početních technik a budete násobit čísla z hlavy snadno a rychle. NEJEN DRUHÉ MOCNINY Podívejme se na další rychlý trik. Jak jistě víte, druhá mocnina čísla je součinem toho čísla se sebou samým. Druhá mocnina čísla 7 je tedy 7 × 7 = 49. Později vás naučím jednoduchou metodu, která vám umožní snadno spočíst druhou mocninu jakéhokoli dvoj- nebo trojciferného (či ještě většího) čísla. Zmíněná metoda je obzvláště jednoduchá, pokud číslo končí na 5, a právě tento trik si nyní ukážeme. Abyste zvládli druhé mocniny dvojciferných čísel končících na 5, stačí si zapamatovat dvě pravidla. 1. Výsledek začíná součinem první číslice a čísla o jedničku většího. 2. Výsledek končí na 25.
RYCHLÉ TRIKY: Jednoduché (a působivé) počty
Pro umocnění na druhou například čísla 35 jednoduše stačí vynásobit první číslici (tj. 3) číslem o jedničku větším (tj. 4) a připojit 25. Protože platí 3 × 4 = 12, výsledek je 1 225. Tedy 35 × 35 = 1 225. Naše kroky mohou být vyjádřeny schématem: 35 × 35 3×4=12 25 5× 5 = Výsledek : 1 2 2 5
dostáváme okamžitě 85 × 85 = 7 225. 85 × 85 8× 9 =72 25 5× 5 = Výsledek : 7 2 2 5 Podobný trik můžeme použít při násobení dvojciferných čísel, pokud mají stejnou první číslici a součet druhých číslic je 10. Výsledné číslo začíná obdobně jako o jedničku většího) a následuje součin druhých číslic. Vyzkoušejme si to na 83 × 87. (Obě čísla začínají na 8 a 3 × 7 = 21, výsledek je 7 221.
83 × 87 8× 9 =72 21 3× 7 = Výsledek : 7 2 2 1
Obdobně platí 84 × 86 = 7 224.
31