Texto paralelo

UNIVERSIDAD MARIANO GALVES DE GUATEMALA, CENTRO CUILAPA SANTA ROSA ALGEBRA LINEAL TEXTO PARALELO

Nombre: kevin yahir galdames

Carne: 7490-22-11840

Ingeniero: NOE ABEL CASTILLO LEMUS

Indice Introducción .................................................................................................................................. 3 Semana 1....................................................................................................................................... 5 TEORIA DE CONJUNTOS ............................................................................................................. 6 Determinación de Conjuntos: .................................................................................................... 6 Clases de Conjuntos:.................................................................................................................. 6 Ejemplos (Operaciones con conjuntos): .................................................................................... 7 SEMANA 2 ..................................................................................................................................... 9 Semana 3..................................................................................................................................... 13 Definición de matriz ............................................................................................................ 14 Semana 4..................................................................................................................................... 17 Semana 6..................................................................................................................................... 20 Semana 7..................................................................................................................................... 25 Semana 8..................................................................................................................................... 28 Definición ............................................................................................................................ 36 Subespacios triviales ................................................................................................................ 37 Ejercitación sobre subespacios ................................................................................................. 37 Semana 10................................................................................................................................... 41 Semana 11................................................................................................................................... 45 Semana 12................................................................................................................................... 47 SEMANA 13 ................................................................................................................................. 50 Conclusión ................................................................................................................................... 53 Recomendaciones ....................................................................................................................... 54 Comentario personal ................................................................................................................... 55 Agrafia......................................................................................................................................... 56

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Introducción El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, espacio dual, sistemas de ecuaciones lineales y en su enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.

El presente proyecto que verán a continuación es una recopilación de todos los temas vistos en el curso de algebra lineal espero que sea de su agrado.

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Semana 1

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TEORIA DE CONJUNTOS

Hablando estrictamente, se considera al <<Conjunto>> como un concepto no definido, acostumbrándose a usar como sinónimos de conjuntos a las palabras: colección, reunión, agregados, etc.

Es por ello que podemos afirmar que la palabra "conjunto" nos da la idea de agrupación de objetos homogéneos de posibilidades reales o abstractas. Los integrantes que pertenecen a la agrupación se llaman "ELEMENTOS".

Notación: conjunto que sus elementos son letras del alfabeto.  Cardinal de un conjunto: es el número de elementos que posee un conjunto.  Relación de pertenencia: es aquella que relaciona a todos y cada uno de los elementos de un conjunto.

Determinación de Conjuntos: 

La determinación de conjuntos se puede hacer de dos maneras: 1. Por comprensión o de forma constructiva.

2. Por extensión o de forma tabular.

Clases de Conjuntos:   

Conjunto unitario: consta de solo un elemento.

Conjunto vacío: no posee elementos Conjunto finito: conjunto con una limitada cantidad de elementos.

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 

Conjunto infinito: cantidad ilimitada de elementos.

Conjunto universal: conjunto para el análisis de una situación en particular.

Ejemplos (Operaciones con conjuntos):

UNION: A={4;6;8} B={8;9;11}

INTERSECCIÓN: A={3;5;8} B={1;2;3;4;5}

R//: A U B={4;6;8;9;11}

R//: A∩B={3;5}

DIFERENCIA: A={6;8;10;15} B={9;12;14;15}

DIFERENCIA SIMETRICA: A={6;4;2;8} B={3;4;5;6;7}

R//: A-B={8;10;15}

R//: AΔB={2;8;3;5;7}

Ejercicios 7

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SEMANA 2

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Estructuras básicas del algebra lineal: Semigrupo: si A cumple la propiedad asociativa se entiende que (a*b)*c=a*(b*c), entonces diremos que es un grupo asociativo, pero si a cumple con la propiedad conmutativa se entiende que a*b=b*a, entonces diremos que A es un semigrupo conmutativo.

Monoide: si A es un semigrupo que además tiene un elemento neutro que denotamos por: e: a*e=e e*a=a.

Grupo: diremos que G es un grupo solamente di cumple con las siguientes propiedades: es asociativo, existe un elemento neutro y existo un elemento simétrico o inverso.

Estructuras algebraicas.

1. Semianillo: diremos que A es un semianillo si cumple con las propiedades: (A,*) es un monoide, (A,°) es un semigrupo.

2. Anillo: diremos que A es un anillo si cumple con las propiedades: (A,*) es un grupo conmutativo, (A,°) es un semigrupo.

Operaciones binarias: Interna: (z,+) -> z*z=z; (x,y) ->x+y ∈ z.

Elemento neutro: x+e=x; e=x-x=0 ∈ z.

Elemento simétrico: a+a¹=0; a¹=-a ∈ z.

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Propiedad conmutativa: a+b=b+a; a-b=b-a; 0=0.

EJEMPLOS Ley de composición interna (no cumple): A={-1,0,1} (suma)

Ley de composición interna (si cumple): A={-1,0,1} (multiplicación)

Estructuras algebraicas con tablas.

Inverso multiplicativo: 5*1=5 -3*1=-3 2*1=2 5*1/5=1 2/4*4/2= 11

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Semana 3

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Definición de matriz

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n). Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas despuésComúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.

Ejemplo: Dada la matriz:

que es una matriz 4x3. El elemento A[2,3] es el 7 La matriz:

es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.

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Operaciones

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Ejercicio

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Semana 4

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DETERMINANTES DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz de dimensión mxn es el resultado de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal con la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria.

En otras palabras, el determinante de una matriz 2×2 se obtiene dibujando una X sobre sus elementos. Primero dibujamos la diagonal que empieza por arriba en lado izquierdo de la X (diagonal principal). Después dibujamos la diagonal que empieza por arriba en el lado derecho de la X (diagonal secundaria).

Para calcular el determinante de una matriz, necesitamos que su dimensión tenga el mismo número de filas (m) y de columnas (n).

Por tanto, m=n. La dimensión de una matriz se representa como la multiplicación de la dimensión de la fila con la dimensión de la columna.

Existen otras maneras más complejas para calcular el determinante de una matriz de dimensión mayor de 2×2. Estas formas se conocen como la regla de Laplace y la regla de Sarrus.

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MATRIZ INVERSA Recordad que si una matriz es de dimensión nxn, diremos que es una matriz cuadrada de dimensión n. Si, por el contrario, el número de filas y de columnas no es el mismo, diremos que es una matriz rectangular.

Sea A una matriz cuadrada de dimensión n, decimos que la matriz B es una matriz inversa de A si se cumplen: siendo In la matriz identidad de dimensión n. De la definición se sigue que la dimensión de B tiene que ser también nxn (para poder calcular los productos matriciales por ambos lados).

Durante el texto, veremos que realmente sólo existe una matriz inversa y que, si se cumple una de las dos igualdades anteriores, entonces también se cumple la otra. Como dicha matriz es única, la denotamos por A−1 y la llamamos la inversa de A. Ejemplo

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Semana 6

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una Matriz 3X3 Como es una matriz de 3x3, el rango máximo que puede alcanzar esta matriz es de 3 (3 filas ó 3 columnas linealmente independientes). Calculando el determinante de la matriz se tiene que es distinto de cero, en concreto es igual a -10, lo que indica que esas tres columnas (o filas) son linealmente independientes.

Ejemplo MATRIZ 3X3

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EJERCICIO

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Sistemas de Ecuaciones:

Métodos de resolución

En esta página vamos a exponer los 3 métodos básicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: sustitución, reducción e igualación. Para facilitar la comprensión de los métodos, sólo vamos a resolver sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

Cuando sepamos resolver un sistema, ya podemos resolver problemas de aplicación: Problemas de sistemas.

Recordatorio:

El coeficiente de una incógnita es el número que la multiplica. Por ejemplo,

el coeficiente de 2x es 2, el coeficiente de x es 1, el coeficiente de -x es -1

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Ecuaciones de 2 incógnitas Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad del tipo ax+by=c, donde a, b, y c son números, y «x» e «y» son las incógnitas. Una solución es todo par de números que cumple la ecuación

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Semana 7

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Espacios Vectoriales

Un espacio vectorial real v es un conjunto de objetos denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y satisfacen los diez axiomas Suma de Vectores La suma de vectores es formar una cadena de vectores donde el vector que engloba a todos los vectores es el vector de la suma.

En otras palabras, la suma de vectores es la unión de vectores a través de juntar la parte delantera de un vector con la parte trasera del otro y cumple con la propiedad conmutativa Resta de Vectores Qué es la resta de vectores El vector, por lo tanto, es un segmento AB. La resta de vectores es una operación que se realiza con dos de estos segmentos. Para realizar la resta de dos vectores, lo que se hace es tomar un rector y sumarle su opuesto.

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Ejemplo

Ejercicio

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Semana 8

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Ecuación con 3 incognititas El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente. Tomando el sistema siguiente, lo vamos a resolver paso por paso usando el método de Gauss

1 Ponemos como primera ecuación la que tenga como coeficiente de : ó , en caso de que no fuera posible lo haremos con o , cambiando el orden de las incógnitas.

2 Hacemos reducción con la y ecuación, para eliminar el término en de la ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

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3 Hacemos lo mismo con la ecuación eliminar el término en .

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y

ecuación, para

4 Tomamos las ecuaciones y , trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en .

5 Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

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6 Encontramos las soluciones.

Definición de espacios vectoriales Espacio vectorial real.

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

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Notación. Si “x” y “y” están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como

“x + y” y el producto escalar de a y x como ax.

Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R2 o R3 al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libro está dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad. [1]

Axiomas de un espacio vectorial. [1]

1- Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

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2-

Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).

3- Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X. 4-

Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.

5-

Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.

6V.

Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a

7-

Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay

8- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.

9- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.

10- Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.

Definición de operaciones en un espacio vectorial Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u, v y w en V y todos los escalares α y β reales.

Llamamos u+v a la suma de vectores en V, y αv al producto de un número real α por un vector v∈V. 1. u+v∈V 2. u+v=v+u 3. (u+v)+w=u+(v+w) 4. Existe un vector nulo 0V∈V tal que v+0V=v 5. Para cada v en V, existe un opuesto (–v)∈V tal que v+(–v)=0V 34

6. αv∈V 7. α(u+v)=αu+αv 8. (α+β)v=αv+βv 9. α(βv)=(αβ)v 10. 1v=v Observación: En la definición anterior, cuando decimos «escalares» nos estamos refiriendo a números reales. En este caso, se dice que V es un espacio vectorial real.

También es posible que los escalares pertenezcan a otro conjunto numérico, por ejemplo los números complejos con los cuales trabajaremos en la última unidad.

Ejemplo 1 De acuerdo con las propiedades que vimos en la primera unidad, podemos afirmar que R3 es un espacio vectorial.

Los espacios Rn , con n≥1 , son los ejemplos principales de espacios vectoriales. La intuición geométrica desarrollada para R3 nos ayudará a entender y visualizar muchos conceptos de esta unidad.

Los vectores de Rn son n-uplas de números reales, o sea: Rn={(x1,x2,…,xn),conxi∈R} En Rn , la suma de vectores y el producto por un escalar se definen así: Sean u=(u1,u2,…,un)yv=(v1,v2,…vn)∈Rn u+v=(u1+v1,u2+v2,…,un+vn)∈Rn αv=(αv1,αv2,…,αvn)∈Rn Puede comprobarse que las operaciones definidas verifican los axiomas de espacio vectorial.

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Definición Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V. Ejemplo W={(x1,x2)∈R2:x2=3x1} ¿es un subespacio de R2?

Primero analicemos el conjunto W. Son todos vectores de R2 tales que la segunda componente es el triple de la primera: (x1,3x1)=x1(1,3) W es la recta que pasa por el origen y tiene vector director (1,3), o sea la recta de ecuación y = 3x.

Para decidir si W es un subespacio de R2 habría que verificar que se cumplen los axiomas del 1 al 10. El lector puede comprobar que todos se cumplen en este caso.

Pero en general no es necesario verificar los axiomas porque existe un criterio sencillo para determinar si un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio, es el que sigue.

Condiciones necesarias y suficientes para caracterizar subespacios Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V (W⊆V).

W es subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones: a. 0V está en W. b. Si u y v están en W, entonces u+v está en W. c. Si u está en W y k es un escalar, ku está en W. Observaciones

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1. La condición (a) asegura que W no es vacío. La mejor manera de comprobar si W es un subespacio es buscar primero si contiene al vector nulo. Si 0V está en W, entonces deben verificarse las propiedades (b) y (c). Si 0V no está en W, W no puede ser un subespacio y no hace falta verificar las otras propiedades.

2. Las propiedades a, b y c corresponden a los axiomas 4, 1 y 6 de espacios vectoriales.

3. Los axiomas 2, 3, 7, 8, 9 y 10 de espacio vectorial se cumplen para W porque éste es un subconjunto de V. Puede decirse que W «hereda» esas propiedades de V. 4. Faltaría comprobar que cada vector de W tiene su opuesto en W (axioma 5 de espacios vectoriales): Teniendo en cuenta la condición (c) de subespacios, c. Si u está en W y k es un escalar, ku está en W. Si tomamos k=–1, resulta: Para cada u∈W,(–1)u=–u∈W. Y por lo tanto cada vector de W tiene su opuesto en W. De las observaciones anteriores se deduce que las condiciones (a), (b) y (c) son suficientes para demostrar que W es un espacio vectorial, y por lo tanto subespacio de V. Subespacios triviales Si V es un espacio vectorial, entonces V es un subespacio de sí mismo.

0V+0V=0V y k0V=0Vparacualquierkreal Los subespacios {0V} y V se denominan subespacios triviales de V. Ejercitación sobre subespacios Ejemplo 1 Consideremos el conjunto W={(x,y)∈R2|xy=0}, ¿Es un subespacio de R2?

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Se cumple (a) pues (0,0)∈W No se cumple (b) porque la suma de dos vectores de W puede no estar en W, por ejemplo: (1,0)+(0,1)=(1,1)∉W

Suma

resta y

producto de vectores PLANTEAMIENTO Se expone el concepto de vector y las operaciones básicas entre dos vectores.

VECTOR Un vector es un segmento de recta con dirección y sentido. Su representación gráfica consiste en una flecha, cuya punta va dirigida en dirección a la magnitud del estudio.

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SUMA DE VECTORES Para sumar dos vectores libres vector y vector se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

Método del paralelogramo: Dados dos vectores y ; si se aplica el método del paralelogramo para sumarlos, se debe considerar dos vectores iguales, a los dados, que se unen en su origen. Luego se dibuja un paralelogramo que tiene a ambos vectores como lados adyacentes, siendo la diagonal, del paralelogramo, la dirección del vector suma, cuyo origen coincide con el origen de los dos vectores.

Gráficamente esto es:

RESTA DE VECTORES Para restar dos vectores libres vector y vector se suma vector con el opuesto de vector.

Para restar gráficamente un vector de un vector simplemente se suma con el opuesto a , es decir, .

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PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR La multiplicación de un número por un vector es otro vector: Con igual dirección que el vector .

Con el mismo sentido que el vector si .

Con sentido contrario del vector si .

De módulo Ejemplo.

Ejercicio

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Semana 10

41

Calculo de magnitud de vectores Un vector es un objeto geométrico que posee una magnitud y una dirección.

[1] La magnitud es la longitud del vector, mientras que la dirección indica hacia donde apunta el vector. Calcular la magnitud del vector es simple y solo debes seguir unos pasos sencillos. Otras operaciones importantes que puedes hacer con ellos son sumar y restar vectores, hallar el ángulo entre dos vectores y hallar el producto vectorial.

Calculo de dirección de vectores La dirección del vector es el ángulo que forma la recta que lo contiene con el eje de las abscisas (eje horizontal). Este ángulo es el mismo para rectas paralelas. Por tanto, una forma de saber si dos vectores tienen la misma dirección es calcular el ángulo que forman con una recta horizontal.

Producto escalar y proyecciones R2 En la introducción a los vectores se habló de las dos características que posee un vector: la magnitud y dirección; ahora es turno de revisar estos conceptos y dar una fórmula para su cálculo; además, revisar una fórmula que ayude a establecer cuando dos vectores son perpendiculares y buscar la proyección de un vector sobre otro.

4.2.1 Magnitud de un vector La magnitud de un vector es la longitud que posee el mismo desde su punto inicial hasta su punto final, a veces también es llamado norma de un vector.

Por ejemplo, al tener un vector de dos dimensiones para encontrar la magnitud de v, Calculo del Angulo entre dos vectores y 2 vectores paralelos Ángulo entre los dos vectores - Explicación y ejemplos Los vectores, específicamente la dirección de los vectores y los ángulos en los que están orientados, tienen una importancia significativa en la geometría y la física de los vectores. Si hay dos vectores, digamos a y b en un plano tal que las colas de ambos vectores están unidas, entonces existe algún ángulo entre ellos, y que ángulo entre los dos vectores Se define como: 42

"El ángulo entre dos vectores es el ángulo más corto en el que cualquiera de los dos vectores gira sobre el otro vector de modo que ambos vectores tengan la misma dirección.

Ejemplo

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Ejercicio

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Semana 11

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Vectores en R3

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

Producto escalar en R3. Propiedades del producto escalar. Ángulo entre vectores. Condición de perpendicularidad.

Proyección de un vector.

Ejemplo

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Semana 12

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Producto escalar y proyección en R3 Ya hemos aprendido a sumar y restar vectores. En este capítulo, investigamos dos tipos de multiplicación de vectores. El primer tipo de multiplicación de vectores se denomina producto escalar, basado en la notación que utilizamos para ello, y se define como sigue:

DEFINICIÓN El producto escalar de los vectores u=〈u1,u2,u3〉 y v=〈v1,v2,v3〉 está dado por la suma de los productos de las componentes

Aplicaciones del producto cruz Geométricamente, el producto vectorial es útil como método de construcción de un vector perpendicular al plano, si se tiene dos vectores en ese plano. Físicamente, aparece en el cálculo de par de fuerza y en el cálculo de la fuerza magnética de una carga en movimiento.

Ejemplo

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Ejercicios

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SEMANA 13

50

Calculo de proyecciones en R3.

Aplicaciones del producto cruz.

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Paralelogramo en R3.

Ejercicio.

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Conclusión 1. Resulto interesante cuanto contenido se puede aprender en un determinado periodo de tiempo el cual no sentimos su pasar 2. Cada tema resulto ser interesante algunos difíciles y otros fáciles 3. Considero que el catedrático resulto ser muy bueno en su labor facilitándonos mucho el contenido debido a su forma y desempeño de enseñarnos cada temas

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Recomendaciones 1. Es recomendable prestar mucha atención en cada clase debido a que un pequeño descuido puede significar no entender el tema 2. Es recomendable no dejar las tareas a última hora debido a que podemos subestimar el tiempo en que tardaremos en elaborar la tarea y tal vez no alcancemos a entregarlo a tiempo 3. Consideró que hay que aprovechar cuando tengamos a un catedrático de calidad debido a que escasean, aprovechar toda la información que se nos dé y aprenderla

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Comentario personal Considero que algebra es una clase muy interesante y de mis favoritas debido a su complejidad y utilidad que tiene en el mundo laboral debido a que el mundo se rige por números por lo que tener agilidad con los números nos ayudara mucho con nuestra vida sobre todo la laboral y algebra es un curso muy bueno para desarrollarnos con los números

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Agrafia https://sites.google.com/site/algebralinealmoralescamacho/u2-matrices/21-definicion-de-matriz-notacion-y-orden

https://economipedia.com/definiciones/determinante-de-unamatriz.html#:~:text=El%20determinante%20de%20una%20matriz,una%20X% 20sobre%20sus%20elementos

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