Semana 8

Ecuación con 3 incognititas

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente. Tomando el sistema siguiente, lo vamos a resolver paso por paso usando el método de Gauss

1 Ponemos como primera ecuación la que tenga como coeficiente de : ó , en caso de que no fuera posible lo haremos con o , cambiando el orden de las incógnitas.

2 Hacemos reducción con la y ecuación, para eliminar el término en de la ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

3 Hacemos lo mismo con la ecuación y ecuación, para eliminar el término en .

4 Tomamos las ecuaciones y , trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en .

5 Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6 Encontramos las soluciones.

Definición de espacios vectoriales Espacio vectorial real. Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si “x” y “y” están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como

“x + y” y el producto escalar de a y x como ax.

Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R2 o R3 al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libro está dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad. [1]

Axiomas de un espacio vectorial. [1]

1- Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

2- Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z). 3- Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X. 4- Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0. 5- Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.

6- Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.

7- Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay 8- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by. 9- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.

10- Para cada vector X pertenece a V, 1x = x. Definición de operaciones en un espacio vectorial

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u, v y w en V y todos los escalares α y β reales. Llamamos u+v a la suma de vectores en V, y αv al producto de un número real α por un vector v∈V. 1. u+v∈V 2. u+v=v+u 3. (u+v)+w=u+(v+w) 4. Existe un vector nulo 0V∈V tal que v+0V=v 5. Para cada v en V, existe un opuesto (–v)∈V tal que v+(–v)=0V

6. αv∈V 7. α(u+v)=αu+αv 8. (α+β)v=αv+βv 9. α(βv)=(αβ)v 10. 1v=v

Observación: En la definición anterior, cuando decimos «escalares» nos estamos refiriendo a números reales. En este caso, se dice que V es un espacio vectorial real. También es posible que los escalares pertenezcan a otro conjunto numérico, por ejemplo los números complejos con los cuales trabajaremos en la última unidad.

Ejemplo 1

De acuerdo con las propiedades que vimos en la primera unidad, podemos afirmar que R3 es un espacio vectorial. Los espacios Rn , con n≥1 , son los ejemplos principales de espacios vectoriales. La intuición geométrica desarrollada para R3 nos ayudará a entender y visualizar muchos conceptos de esta unidad. Los vectores de Rn son n-uplas de números reales, o sea: Rn={(x1,x2,…,xn),conxi∈R} En Rn , la suma de vectores y el producto por un escalar se definen así: Sean u=(u1,u2,…,un)yv=(v1,v2,…vn)∈Rn u+v=(u1+v1,u2+v2,…,un+vn)∈Rn αv=(αv1,αv2,…,αvn)∈Rn Puede comprobarse que las operaciones definidas verifican los axiomas de espacio vectorial.