Page 1

EJERCICIOS DE LÍMITES DE FUNCIONES Ejercicio nº 1.A partir de la gráfica de f(x), calcula:

Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2

2

4

6

8

X

4 6 a) lim f x  x 

b) lim f x  x 

c) lim f x  x 1

d) lim f x  x 1

e) lim f x  x 5

Ejercicio nº 2.La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:

Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2

2

4

6

8

X

4 6 a) lim f x  x 

b) lim f x  x 

c) lim f x  x 3

d) lim f x 

e) lim f x 

x 3

x 0

Ejercicio nº 3.Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:

Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2

2

4

6

8

X

4 6 a) lim f x  x 

b) lim f x  x 

c) lim f x  x 2

d) lim f x  x 2

e) lim f x  x 0

1


Ejercicio nº 4.Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):

Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2

2

4

6

8

X

4 6 a) lim f x  x 

b) lim f x  x 

c) lim f x  x 3

d) lim f x 

e) lim f x 

x 3

x 0

Ejercicio nº 5.Sobre la gráfica de f(x), halla :

Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2

2

4

6

8

X

4 6 a) lim f x  x 

b) lim f x  x 

c) lim f x  x 2

d) lim f x  x 2

e) lim f x  x 0

Ejercicio nº 6.Representa gráficamente los siguientes resultados: a) lim f x   

b) lim g x    x 

x 

Ejercicio nº 7.x 1 , sabemos que : x 3 x 1 y lim   x 3  x  3

Para la función f x   lim

x 3 

x 1   x 3

Representa gráficamente estos dos límites.

2


Ejercicio nº 8.Representa gráficamente: a) lim f x   1 x 

b) lim g x   0 x 1

Ejercicio nº 9.Representa los siguientes límites:

lim f x   

lim f x   

x 2 

x 2 

Ejercicio nº 10.Representa en cada caso los siguientes resultados: a) lim f x   2 x 

b) lim g x    x 

Ejercicio nº 11.Calcula: 2 a) lim 3  x  x 2

b) lim 1   2 x x 8

c) lim sen x x

 2

Ejercicio nº 12.Halla los límites siguientes: x 3 a) lim 2 x 2 x  x  1 b) lim 6  3 x x 1

c) lim log x x 1

Ejercicio nº 13.Resuelve:  x2 x3   a) lim    x 2 4   2

b) lim 3 x 1 x 2

c) lim tg x x

 4

3


Ejercicio nº 14.Calcula el límite de la función f x   

x4 x  en x  1 y en x  3. 3 2

Ejercicio nº 15.Calcula los siguientes límites: 4 a) lim 2 x 3 x  2 x  3

b) lim x 2  9 x 3

c) lim cos x x 0

Ejercicio nº 16.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x  2: x 1 lim x 2 x  22

Ejercicio nº 17.x 1 , calcula el límite de f ( x ) en x  2. Representa la x 2  5x  6 información que obtengas. Dada la función f x  

Ejercicio nº 18.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x  3: 1 lim 2 x 3 x 9

Ejercicio nº 19.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x  0: 2x  1 lim 2 x 0 x  2x

Ejercicio nº 20.Calcula el límite de la siguiente función en el punto x  3 y estudia su comportamiento por la izquierda y por la derecha:

f x  

1 x 3

4


Ejercicio nº 21.-

Calcula el límite cuando x   y cuando x    de la siguiente función y representa la información que obtengas: f x  

1 2x 2  4 x 3

Ejercicio nº 22.-

Halla el límite cuando x   de las siguientes funciones y representa gráficamente la información que obtengas: x x3  1 2 2  3x 2  2x 3 b) f x   5 a) f x  

Ejercicio nº 23.Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:

a) lim 2  x  x 4 x 

 x3 x2  b) lim    2 x  x   2  3  Ejercicio nº 24.Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:

 x x2  a) lim    x  x   3 4   4 x x  b) lim    x  x   3 4  

Ejercicio nº 25.Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:

a) lim 4  x 

2

b) lim 4  x 

2

x  x 

Ejercicio nº 26.Calcula y representa gráficamente la información obtenida

x 2  3x  4 x  1 x 2  2 x  1 lim

5


Ejercicio nº 27.Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:

lim x 1

x 2  4x  5 x 3  3x 2  3x  1

Ejercicio nº 28.Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.

2 x 2  12x  18 x  3 x2  x 6 lim

Ejercicio nº 29.Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos: lim x 0

2x 2 x 4  2x 3

Ejercicio nº 30.Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente: x2  4 x 2 2 x  4 lim

Ejercicio nº 31.Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos a) lim

x  

1

1  x 3

3  x3 x   x2

b) lim

Ejercicio nº 32.Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:

a) lim

x  

3x 2  1

2  x  3

2  x3 x   x 2  1

b) lim

6


Ejercicio nº 33.Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:

 x 4  2x x   4  3 x 4 3x 2  2x  1 b) lim 2 x   x  1  x 3 a) lim

Ejercicio nº 34.-

Halla el límite cuando x   y cuando x   de la siguiente función, y representa los resultados que obtengas: f x  

x 2

1  x 3

Ejercicio nº 35.Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas: 3x 5  3x 3x b) lim x   5  3 x a) lim

x  

Continuidad Ejercicio nº 36.A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x  0 y en x  3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.

Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2

2

4

6

8

X

4 6

7


Ejercicio nº 37.-

La siguiente gráfica corresponde a la función f x  : Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2

2

4

6

X

8

4 6 Di si es continua o no en x  1 y en x  2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.

Ejercicio nº 38.¿Son continuas las siguientes funciones en x  2? a)

b)

Y

Y

8

8

6

6

4

4

2

2

8 6 4 2 2

2

4

6

8

X

8 6 4 2 2

4

4

6

6

2

4

6

8

X

Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad.

Ejercicio nº 39.-

Dada la gráfica de f x  :

Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2

2

4

6

8

X

4 6 a) ¿Es continua en x  1?

8


b) ¿Y en x  2? Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.

Ejercicio nº 40.-

Esta es la gráfica de la función f x  :

Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2

2

4

6

8

X

4 6 a) ¿Es continua en x = 2? b) ¿Y en x  0? Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad. Ejercicio nº 41.-

Halla el v alorde k para que f x  sea continua en x  1 :

2 x  1 si x  1 f x    si x  1 k

Ejercicio nº 42.Estudia la continuidad de:  2 f x    x  2 x 3 x  1

si x  1 si x  1

Ejercicio nº 43.Comprueba si la siguiente función es continua en x  0 2 x 2  1 si  f x    x  2 si   2

x 0 x 0

9


Ejercicio nº 44.Averigua si la siguiente función es continua en x  2:

2 x f x    x  2

si x  2 si x  2

Ejercicio nº 45.Estudia la continuidad de la función: x 1  f x    3 2   x  15

si

x4

si

x 4

10


SOLUCIONES EJERC. LÍMITES DE FUNCIONES Ejercicio nº 1.A partir de la gráfica de f(x), calcula:

Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2

2

4

6

8

X

4 6 a) lim f x  x 

b) lim f x  x 

c) lim f x 

d) lim f x 

x 1

e) lim f x 

x 1

x 5

Solución: a) lim f x    x 

b) lim f x    x 

c) lim f x   2

d) lim f x   3

x 1

e) lim f x   0 x 5

x 1

Ejercicio nº 2.La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:

Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2

2

4

6

8

X

4 6 a) lim f x  x 

b) lim f x  x 

c) lim f x  x 3

d) lim f x  x 3

e) lim f x  x 0

Solución: a) lim f x   0 x 

b) lim f x    x 

c) lim f x    x 3

d) lim f x    x 3

e) limf x   1 x 0

11


Ejercicio nº 3.Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:

Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2

2

4

6

8

X

4 6 a) lim f x  x 

b) lim f x  x 

c) lim f x  x 2

d) lim f x 

e) lim f x 

x 2

x 0

Solución: a) lim f x    x 

b) lim f x    x 

c) lim f x   2

d) lim f x   4

x 2

e) limf x   0

x 2

x 0

Ejercicio nº 4.Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):

Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2

2

4

6

8

X

4 6 a) lim f x  x 

b) lim f x  x 

c) lim f x  x 3

d) lim f x  x 3

e) lim f x  x 0

Solución: a) lim f x   0 x 

b) lim f x   0 x 

c) lim f x    x 3

d) lim f x    x 3

e) limf x   1 x 0

12


Ejercicio nº 5.Sobre la gráfica de f(x), halla :

Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2

2

4

6

8

X

4 6 a) lim f x  x 

b) lim f x  x 

c) lim f x  x 2

d) lim f x  x 2

e) lim f x  x 0

Solución: a) lim f x   1 x 

b) lim f x   1 x 

c) lim f x    x 2

d) lim f x    x 2

e) limf x   1 x 0

Ejercicio nº 6.Representa gráficamente los siguientes resultados: a) lim f x   

b) lim g x    x 

x 

Solución: a)

b)

Ejercicio nº 7.x 1 , sabemos que : x 3 x 1 y lim   x 3  x  3

Para la función f x   lim

x 3 

x 1   x 3

Representa gráficamente estos dos límites.

13


Solución:

3

Ejercicio nº 8.Representa gráficamente: a) lim f x   1 x 

b) lim g x   0 x 1

Solución: a)

1

1

o bien b) Por ejemplo:

1

Ejercicio nº 9.Representa los siguientes límites:

lim f x   

lim f x   

x 2 

x 2 

Solución:

2

Ejercicio nº 10.Representa en cada caso los siguientes resultados: a) lim f x   2 x 

b) lim g x    x 

14


Solución: a)

2

2

o bien b)

Ejercicio nº 11.Calcula: 2 a) lim 3  x  x 2

b) lim 1   2 x x 8

c) lim sen x x

 2

Solución:

a) lim 3  x   52  25 2

x 2

b) lim 1   2x  1  16  1  4  5 x 8

c ) lim sen x  sen x

2

 2

1

Ejercicio nº 12.Halla los límites siguientes: x 3 a) lim 2 x 2 x  x  1 b) lim 6  3 x x 1

c) lim log x x 1

Solución:

a) lim x 2

x 3 x  x 1 2

1 1  4  2 1 7

b) lim 6  3 x  6  3  9  3 x 1

c) lim log x  log 1  0 x 1

15


Ejercicio nº 13.Resuelve:  x2 x3   a) lim    x 2 4   2

b) lim 3 x 1 x 2

c) lim tg x x

 4

Solución:

 x2 x3    2  2  0 a) lim    x 2  4   2 1 b) lim 3 x 1  3 1  x 2 3  c) lim tg x  tg 1  4 x 4

Ejercicio nº 14.Calcula el límite de la función f x   

x4 x  en x  1 y en x  3. 3 2

Solución:

 x4 x  1 1 1 lim       x 1  2  3 2 6  3

 x4 x  3 51 lim      27      x 3 2 2 2  3

Ejercicio nº 15.Calcula los siguientes límites: 4 a) lim 2 x 3 x  2 x  3

b) lim x 2  9 x 3

c) lim cos x x 0

Solución: a) lim x 3

4 4 4 2    x 2  2x  3 9  6  3 18 9

b) lim x 2  9  9  9  0  0 x 3

c) limcos x  cos 0  1 x 0

16


Ejercicio nº 16.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x  2: x 1 lim x 2 x  22

Solución: lim

x 2

x 1

x  2

2

 lim x 2

x 1

x  2

2

 lim x 2

x 1

x  2 2

 

2

Ejercicio nº 17.x 1 , calcula el límite de f ( x ) en x  2. Representa la x  5x  6 información que obtengas. Dada la función f x  

2

Solución:

x 1 x 1  x  5 x  6 x  2x  3 2

Calculamos los límites laterales:

lim

x 2

x 1

x  2x  3

 

lim

x 2

x 1 x  5x  6 2

 

2

Ejercicio nº 18.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x  3: 1 lim 2 x 3 x 9

Solución:

lim

x 3

1 x 9 2

 lim x 3

1

x  3x  3

Calculamos los límites laterales:

17


lim

x 3

1 x 9 2

 

lim

x 3

1 x 9 2

 

3

Ejercicio nº 19.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x  0: 2x  1 lim 2 x 0 x  2x

Solución:

lim

x 0

2x  1 x  2x 2

2x  1 x 0 x x  2

 lim

Calculamos los límites laterales:

lim

x 0

2x  1 x  2x 2

 

lim

x 0

2x  1 x 2  2x

 

Ejercicio nº 20.Calcula el límite de la siguiente función en el punto x  3 y estudia su comportamiento por la izquierda y por la derecha:

f x  

1 x 3

Solución:

x 3  0  x  3 Calculamos los límites laterales: 1 lim   x 3 x  3

lim

x 3

1   x 3

3

18


Ejercicio nº 21.-

Calcula el límite cuando x   y cuando x    de la siguiente función y representa la información que obtengas: f x  

1 2x 2  4 x 3

Solución:

1  2x 2  4 x   x  3 lim

1  2x 2  4 x   x  3 lim

Ejercicio nº 22.-

Halla el límite cuando x   de las siguientes funciones y representa gráficamente la información que obtengas: x x3  1 2 2  3x 2  2x 3 b) f x   5 a) f x  

Solución:

 x x3  a) lim    1   x  2 2  

 3 x 2  2x 3   x  5

b) lim

Ejercicio nº 23.-

19


Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:

a) lim 2  x  x 4 x 

 x3 x2  b) lim    2 x  x   2  3 

Solución:

a) lim 2  x  x 4   x 

 x3 x2  b) lim    2x     x   3 2  

Ejercicio nº 24.Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:

 x x2  a) lim    x  x   3 4   4 x x  b) lim    x  x   3 4  

Solución:

 x x2  a) lim    x     x   3 4  

 x x4  b) lim    x      x  3 4  

20


Ejercicio nº 25.Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:

a) lim 4  x 

2

b) lim 4  x 

2

x  x 

Solución:

a) lim 4  x    2

x 

b) lim 4  x    2

x 

Ejercicio nº 26.Calcula y representa gráficamente la información obtenida

x 2  3x  4 x  1 x 2  2 x  1 lim

Solución:

lim

x 2  3x  4

x 1

x  2x  1 2

x  1x  4  lim x  4 x 1 x 1 x  1 x  12

 lim

Calculamos los límites laterales:

lim

x 1

x4   x 1

lim

x 1

x4   x 1

1

21


Ejercicio nº 27.Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:

lim x 1

x 2  4x  5 x  3x 2  3x  1 3

Solución:

x 2  4x  5

lim

x 1 x 3

 3x  3x  1 2

 lim x 1

x  1x  5  lim x  5 x 1 x  12 x  13

 

1

Ejercicio nº 28.Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.

2 x 2  12x  18 x  3 x2  x 6 lim

Solución:

lim

2x 2  12x  18 x2  x  6

x 3

2x  3 2x  3  lim 0 x 3 x  3x  2 x 3 x  2 2

 lim

3

Ejercicio nº 29.Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos: lim x 0

2x 2 x 4  2x 3

Solución:

lim

x 0

2x 2 x  2x 4

3

 lim x 0

2x 2 x

3

x  2

 lim x 0

2 x x  2 

22


Calculamos los límites laterales:

lim

x 0

2   x x  2

lim

x 0

2   x x  2

Ejercicio nº 30.Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente: x2  4 x 2 2 x  4 lim

Solución:

x  2x  2  lim x  2   4  2 x2  4  lim x 2 2 x  4 x 2 x 2 2x  2 2 2 lim

2 2

Ejercicio nº 31.Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos a) lim

x  

1

1  x 3

3  x3 x   x2

b) lim

Solución: a) lim

x 

b) lim

x 

1

1  x 3

3  x3 x2

0

 

23


Ejercicio nº 32.Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:

a) lim

x  

3x 2  1

2  x  3

2  x3 x   x 2  1

b) lim

Solución:

a) lim

x 

b) lim

x 

3x 2  1

2  x  3

2  x3 x2 1

0

 

Ejercicio nº 33.Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:

 x 4  2x x   4  3 x 4 3x 2  2x  1 b) lim 2 x   x  1  x 3 a) lim

Solución: a) lim

x 

 x 4  2x 4  3x

4

1 1  3 3

24


1/3

b) lim

x 

3 x 2  2x  1 x 2  1 x 3

0

Ejercicio nº 34.-

Halla el límite cuando x   y cuando x   de la siguiente función, y representa los resultados que obtengas: f x  

x 2

1  x 3

Solución: lim

x 

x2

1  x 

3

0

lim

x 

x2

1  x 3

0

Ejercicio nº 35.Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas: 3x 5  3x 3x b) lim x   5  3 x a) lim

x  

Solución: a) lim

x 

3x 3  1 5  3x 3

1

25


b) lim

x 

3x 1 5  3x

1

Continuidad Ejercicio nº 36.A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x  0 y en x  3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.

Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2

2

4

6

8

X

4 6

Solución: En x = 0, sí es continua. En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).

Ejercicio nº 37.-

La siguiente gráfica corresponde a la función f x  : Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2

2

4

6

8

X

4 6 Di si es continua o no en x  1 y en x  2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.

26


Solución: En x  1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que lim f x   lim f x  x 1 x 1 . En x  2 sí es continua.

Ejercicio nº 38.¿Son continuas las siguientes funciones en x  2? a)

b)

Y

Y

8

8

6

6

4

4

2

2

8 6 4 2 2

2

4

6

8

X

8 6 4 2 2

4

4

6

6

2

4

6

8

X

Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad.

Solución: a) No es continua en x  2; aunque esté definida en x  2, tiene el punto desplazado. Es una discontinuidad evitable porque existe limf x  x 2 . b) Sí es continua en x  2.

Ejercicio nº 39.-

Dada la gráfica de f x  :

Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2

2

4

6

8

X

4 6 a) ¿Es continua en x  1? b) ¿Y en x  2? Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.

27


Solución: a) Sí es continua en x  1. b) No, en x  2 es discontinua porque no está definida en ese punto. Como sí tiene límite en ese punto, es una discontinuidad evitable.

Ejercicio nº 40.-

Esta es la gráfica de la función f x  :

Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2

2

4

6

X

8

4 6 a) ¿Es continua en x = 2? b) ¿Y en x  0? Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.

Solución: a) No es continua en x  2 porque no está definida, ni tiene límite finito en ese punto. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical). b) Sí es continua en x  0.

Ejercicio nº 41.-

Halla el v alorde k para que f x  sea continua en x  1 :

2 x  1 si x  1 f x    si x  1 k

Solución:

lim f x   lim 2 x  1  3 x 1  lim f x   k  x 1  f  1  3  x 1

Para que sea continua en x  1, lim f x   lim f x   f  1 x 1

x 1

.

Ha de ser k  3.

28


Ejercicio nº 42.Estudia la continuidad de:  2 f x    x  2 x 3 x  1

si x  1 si x  1

Solución: Si x 1, la función es continua. Si x  1:

lim f x   lim x 2  2 x  1  x 1  lim f x   lim 3 x  1  2  x 1 x 1  x 1

No es continua en x  1 porque lim f x   lim f x . Es decir, no tienelímiteen ese punto. x 1

x 1

Ejercicio nº 43.Comprueba si la siguiente función es continua en x  0 2 x 2  1 si  f x    x  2 si   2

x 0 x 0

Solución:

lim f x   lim 2 x 2  1  1 x 0    x  2 lim f x   lim    1  Es continuaen x  0 porque limf x   f 0 . x 0 x 0  x 0  2   f 0   1   x 0 

Ejercicio nº 44.Averigua si la siguiente función es continua en x  2:

2 x f x    x  2

si x  2 si x  2

Solución:

lim f  x   lim  2x   4  x 2  lim f  x   lim x  2  4 Es continuaen x  2 porque limf x   f  2. x 2 x 2 x 2  f 2  4  x 2 

29


Ejercicio nº 45.Estudia la continuidad de la función: x 1  f x    3 2   x  15

si

x4

si

x 4

Solución: Si x  4, la función es continua. Si x  4:

x 1  1  x 4 x 4 3  lim f x   lim x 2  15  1 Tambiénes continuaen x  4 porque lim f x   f 4 . x 4 x 4 x 4  f 4   1   lim f x   lim

30

Ejercicios de limites y continuidad  

En primera instancia se presenta ejercicios de límites para que resuelva y luego se presenta la solución.

Ejercicios de limites y continuidad  

En primera instancia se presenta ejercicios de límites para que resuelva y luego se presenta la solución.

Advertisement