EJERCICIOS DE LÍMITES DE FUNCIONES Ejercicio nº 1.A partir de la gráfica de f(x), calcula:
Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) lim f x x
b) lim f x x
c) lim f x x 1
d) lim f x x 1
e) lim f x x 5
Ejercicio nº 2.La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:
Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) lim f x x
b) lim f x x
c) lim f x x 3
d) lim f x
e) lim f x
x 3
x 0
Ejercicio nº 3.Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:
Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) lim f x x
b) lim f x x
c) lim f x x 2
d) lim f x x 2
e) lim f x x 0
1
Ejercicio nº 4.Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):
Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) lim f x x
b) lim f x x
c) lim f x x 3
d) lim f x
e) lim f x
x 3
x 0
Ejercicio nº 5.Sobre la gráfica de f(x), halla :
Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) lim f x x
b) lim f x x
c) lim f x x 2
d) lim f x x 2
e) lim f x x 0
Ejercicio nº 6.Representa gráficamente los siguientes resultados: a) lim f x
b) lim g x x
x
Ejercicio nº 7.x 1 , sabemos que : x 3 x 1 y lim x 3 x 3
Para la función f x lim
x 3
x 1 x 3
Representa gráficamente estos dos límites.
2
Ejercicio nº 8.Representa gráficamente: a) lim f x 1 x
b) lim g x 0 x 1
Ejercicio nº 9.Representa los siguientes límites:
lim f x
lim f x
x 2
x 2
Ejercicio nº 10.Representa en cada caso los siguientes resultados: a) lim f x 2 x
b) lim g x x
Ejercicio nº 11.Calcula: 2 a) lim 3 x x 2
b) lim 1 2 x x 8
c) lim sen x x
2
Ejercicio nº 12.Halla los límites siguientes: x 3 a) lim 2 x 2 x x 1 b) lim 6 3 x x 1
c) lim log x x 1
Ejercicio nº 13.Resuelve: x2 x3 a) lim x 2 4 2
b) lim 3 x 1 x 2
c) lim tg x x
4
3
Ejercicio nº 14.Calcula el límite de la función f x
x4 x en x 1 y en x 3. 3 2
Ejercicio nº 15.Calcula los siguientes límites: 4 a) lim 2 x 3 x 2 x 3
b) lim x 2 9 x 3
c) lim cos x x 0
Ejercicio nº 16.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 2: x 1 lim x 2 x 22
Ejercicio nº 17.x 1 , calcula el límite de f ( x ) en x 2. Representa la x 2 5x 6 información que obtengas. Dada la función f x
Ejercicio nº 18.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x 3: 1 lim 2 x 3 x 9
Ejercicio nº 19.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 0: 2x 1 lim 2 x 0 x 2x
Ejercicio nº 20.Calcula el límite de la siguiente función en el punto x 3 y estudia su comportamiento por la izquierda y por la derecha:
f x
1 x 3
4
Ejercicio nº 21.-
Calcula el límite cuando x y cuando x de la siguiente función y representa la información que obtengas: f x
1 2x 2 4 x 3
Ejercicio nº 22.-
Halla el límite cuando x de las siguientes funciones y representa gráficamente la información que obtengas: x x3 1 2 2 3x 2 2x 3 b) f x 5 a) f x
Ejercicio nº 23.Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:
a) lim 2 x x 4 x
x3 x2 b) lim 2 x x 2 3 Ejercicio nº 24.Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:
x x2 a) lim x x 3 4 4 x x b) lim x x 3 4
Ejercicio nº 25.Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
a) lim 4 x
2
b) lim 4 x
2
x x
Ejercicio nº 26.Calcula y representa gráficamente la información obtenida
x 2 3x 4 x 1 x 2 2 x 1 lim
5
Ejercicio nº 27.Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:
lim x 1
x 2 4x 5 x 3 3x 2 3x 1
Ejercicio nº 28.Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.
2 x 2 12x 18 x 3 x2 x 6 lim
Ejercicio nº 29.Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos: lim x 0
2x 2 x 4 2x 3
Ejercicio nº 30.Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente: x2 4 x 2 2 x 4 lim
Ejercicio nº 31.Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos a) lim
x
1
1 x 3
3 x3 x x2
b) lim
Ejercicio nº 32.Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:
a) lim
x
3x 2 1
2 x 3
2 x3 x x 2 1
b) lim
6
Ejercicio nº 33.Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
x 4 2x x 4 3 x 4 3x 2 2x 1 b) lim 2 x x 1 x 3 a) lim
Ejercicio nº 34.-
Halla el límite cuando x y cuando x de la siguiente función, y representa los resultados que obtengas: f x
x 2
1 x 3
Ejercicio nº 35.Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas: 3x 5 3x 3x b) lim x 5 3 x a) lim
x
Continuidad Ejercicio nº 36.A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.
Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6
7
Ejercicio nº 37.-
La siguiente gráfica corresponde a la función f x : Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
X
8
4 6 Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.
Ejercicio nº 38.¿Son continuas las siguientes funciones en x 2? a)
b)
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
8 6 4 2 2
4
4
6
6
2
4
6
8
X
Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad.
Ejercicio nº 39.-
Dada la gráfica de f x :
Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) ¿Es continua en x 1?
8
b) ¿Y en x 2? Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.
Ejercicio nº 40.-
Esta es la gráfica de la función f x :
Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) ¿Es continua en x = 2? b) ¿Y en x 0? Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad. Ejercicio nº 41.-
Halla el v alorde k para que f x sea continua en x 1 :
2 x 1 si x 1 f x si x 1 k
Ejercicio nº 42.Estudia la continuidad de: 2 f x x 2 x 3 x 1
si x 1 si x 1
Ejercicio nº 43.Comprueba si la siguiente función es continua en x 0 2 x 2 1 si f x x 2 si 2
x 0 x 0
9
Ejercicio nº 44.Averigua si la siguiente función es continua en x 2:
2 x f x x 2
si x 2 si x 2
Ejercicio nº 45.Estudia la continuidad de la función: x 1 f x 3 2 x 15
si
x4
si
x 4
10
SOLUCIONES EJERC. LÍMITES DE FUNCIONES Ejercicio nº 1.A partir de la gráfica de f(x), calcula:
Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) lim f x x
b) lim f x x
c) lim f x
d) lim f x
x 1
e) lim f x
x 1
x 5
Solución: a) lim f x x
b) lim f x x
c) lim f x 2
d) lim f x 3
x 1
e) lim f x 0 x 5
x 1
Ejercicio nº 2.La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:
Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) lim f x x
b) lim f x x
c) lim f x x 3
d) lim f x x 3
e) lim f x x 0
Solución: a) lim f x 0 x
b) lim f x x
c) lim f x x 3
d) lim f x x 3
e) limf x 1 x 0
11
Ejercicio nº 3.Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:
Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) lim f x x
b) lim f x x
c) lim f x x 2
d) lim f x
e) lim f x
x 2
x 0
Solución: a) lim f x x
b) lim f x x
c) lim f x 2
d) lim f x 4
x 2
e) limf x 0
x 2
x 0
Ejercicio nº 4.Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):
Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) lim f x x
b) lim f x x
c) lim f x x 3
d) lim f x x 3
e) lim f x x 0
Solución: a) lim f x 0 x
b) lim f x 0 x
c) lim f x x 3
d) lim f x x 3
e) limf x 1 x 0
12
Ejercicio nº 5.Sobre la gráfica de f(x), halla :
Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) lim f x x
b) lim f x x
c) lim f x x 2
d) lim f x x 2
e) lim f x x 0
Solución: a) lim f x 1 x
b) lim f x 1 x
c) lim f x x 2
d) lim f x x 2
e) limf x 1 x 0
Ejercicio nº 6.Representa gráficamente los siguientes resultados: a) lim f x
b) lim g x x
x
Solución: a)
b)
Ejercicio nº 7.x 1 , sabemos que : x 3 x 1 y lim x 3 x 3
Para la función f x lim
x 3
x 1 x 3
Representa gráficamente estos dos límites.
13
Solución:
3
Ejercicio nº 8.Representa gráficamente: a) lim f x 1 x
b) lim g x 0 x 1
Solución: a)
1
1
o bien b) Por ejemplo:
1
Ejercicio nº 9.Representa los siguientes límites:
lim f x
lim f x
x 2
x 2
Solución:
2
Ejercicio nº 10.Representa en cada caso los siguientes resultados: a) lim f x 2 x
b) lim g x x
14
Solución: a)
2
2
o bien b)
Ejercicio nº 11.Calcula: 2 a) lim 3 x x 2
b) lim 1 2 x x 8
c) lim sen x x
2
Solución:
a) lim 3 x 52 25 2
x 2
b) lim 1 2x 1 16 1 4 5 x 8
c ) lim sen x sen x
2
2
1
Ejercicio nº 12.Halla los límites siguientes: x 3 a) lim 2 x 2 x x 1 b) lim 6 3 x x 1
c) lim log x x 1
Solución:
a) lim x 2
x 3 x x 1 2
1 1 4 2 1 7
b) lim 6 3 x 6 3 9 3 x 1
c) lim log x log 1 0 x 1
15
Ejercicio nº 13.Resuelve: x2 x3 a) lim x 2 4 2
b) lim 3 x 1 x 2
c) lim tg x x
4
Solución:
x2 x3 2 2 0 a) lim x 2 4 2 1 b) lim 3 x 1 3 1 x 2 3 c) lim tg x tg 1 4 x 4
Ejercicio nº 14.Calcula el límite de la función f x
x4 x en x 1 y en x 3. 3 2
Solución:
x4 x 1 1 1 lim x 1 2 3 2 6 3
x4 x 3 51 lim 27 x 3 2 2 2 3
Ejercicio nº 15.Calcula los siguientes límites: 4 a) lim 2 x 3 x 2 x 3
b) lim x 2 9 x 3
c) lim cos x x 0
Solución: a) lim x 3
4 4 4 2 x 2 2x 3 9 6 3 18 9
b) lim x 2 9 9 9 0 0 x 3
c) limcos x cos 0 1 x 0
16
Ejercicio nº 16.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 2: x 1 lim x 2 x 22
Solución: lim
x 2
x 1
x 2
2
lim x 2
x 1
x 2
2
lim x 2
x 1
x 2 2
2
Ejercicio nº 17.x 1 , calcula el límite de f ( x ) en x 2. Representa la x 5x 6 información que obtengas. Dada la función f x
2
Solución:
x 1 x 1 x 5 x 6 x 2x 3 2
Calculamos los límites laterales:
lim
x 2
x 1
x 2x 3
lim
x 2
x 1 x 5x 6 2
2
Ejercicio nº 18.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x 3: 1 lim 2 x 3 x 9
Solución:
lim
x 3
1 x 9 2
lim x 3
1
x 3x 3
Calculamos los límites laterales:
17
lim
x 3
1 x 9 2
lim
x 3
1 x 9 2
3
Ejercicio nº 19.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 0: 2x 1 lim 2 x 0 x 2x
Solución:
lim
x 0
2x 1 x 2x 2
2x 1 x 0 x x 2
lim
Calculamos los límites laterales:
lim
x 0
2x 1 x 2x 2
lim
x 0
2x 1 x 2 2x
Ejercicio nº 20.Calcula el límite de la siguiente función en el punto x 3 y estudia su comportamiento por la izquierda y por la derecha:
f x
1 x 3
Solución:
x 3 0 x 3 Calculamos los límites laterales: 1 lim x 3 x 3
lim
x 3
1 x 3
3
18
Ejercicio nº 21.-
Calcula el límite cuando x y cuando x de la siguiente función y representa la información que obtengas: f x
1 2x 2 4 x 3
Solución:
1 2x 2 4 x x 3 lim
1 2x 2 4 x x 3 lim
Ejercicio nº 22.-
Halla el límite cuando x de las siguientes funciones y representa gráficamente la información que obtengas: x x3 1 2 2 3x 2 2x 3 b) f x 5 a) f x
Solución:
x x3 a) lim 1 x 2 2
3 x 2 2x 3 x 5
b) lim
Ejercicio nº 23.-
19
Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:
a) lim 2 x x 4 x
x3 x2 b) lim 2 x x 2 3
Solución:
a) lim 2 x x 4 x
x3 x2 b) lim 2x x 3 2
Ejercicio nº 24.Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:
x x2 a) lim x x 3 4 4 x x b) lim x x 3 4
Solución:
x x2 a) lim x x 3 4
x x4 b) lim x x 3 4
20
Ejercicio nº 25.Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
a) lim 4 x
2
b) lim 4 x
2
x x
Solución:
a) lim 4 x 2
x
b) lim 4 x 2
x
Ejercicio nº 26.Calcula y representa gráficamente la información obtenida
x 2 3x 4 x 1 x 2 2 x 1 lim
Solución:
lim
x 2 3x 4
x 1
x 2x 1 2
x 1x 4 lim x 4 x 1 x 1 x 1 x 12
lim
Calculamos los límites laterales:
lim
x 1
x4 x 1
lim
x 1
x4 x 1
1
21
Ejercicio nº 27.Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:
lim x 1
x 2 4x 5 x 3x 2 3x 1 3
Solución:
x 2 4x 5
lim
x 1 x 3
3x 3x 1 2
lim x 1
x 1x 5 lim x 5 x 1 x 12 x 13
1
Ejercicio nº 28.Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.
2 x 2 12x 18 x 3 x2 x 6 lim
Solución:
lim
2x 2 12x 18 x2 x 6
x 3
2x 3 2x 3 lim 0 x 3 x 3x 2 x 3 x 2 2
lim
3
Ejercicio nº 29.Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos: lim x 0
2x 2 x 4 2x 3
Solución:
lim
x 0
2x 2 x 2x 4
3
lim x 0
2x 2 x
3
x 2
lim x 0
2 x x 2
22
Calculamos los límites laterales:
lim
x 0
2 x x 2
lim
x 0
2 x x 2
Ejercicio nº 30.Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente: x2 4 x 2 2 x 4 lim
Solución:
x 2x 2 lim x 2 4 2 x2 4 lim x 2 2 x 4 x 2 x 2 2x 2 2 2 lim
2 2
Ejercicio nº 31.Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos a) lim
x
1
1 x 3
3 x3 x x2
b) lim
Solución: a) lim
x
b) lim
x
1
1 x 3
3 x3 x2
0
23
Ejercicio nº 32.Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:
a) lim
x
3x 2 1
2 x 3
2 x3 x x 2 1
b) lim
Solución:
a) lim
x
b) lim
x
3x 2 1
2 x 3
2 x3 x2 1
0
Ejercicio nº 33.Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
x 4 2x x 4 3 x 4 3x 2 2x 1 b) lim 2 x x 1 x 3 a) lim
Solución: a) lim
x
x 4 2x 4 3x
4
1 1 3 3
24
1/3
b) lim
x
3 x 2 2x 1 x 2 1 x 3
0
Ejercicio nº 34.-
Halla el límite cuando x y cuando x de la siguiente función, y representa los resultados que obtengas: f x
x 2
1 x 3
Solución: lim
x
x2
1 x
3
0
lim
x
x2
1 x 3
0
Ejercicio nº 35.Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas: 3x 5 3x 3x b) lim x 5 3 x a) lim
x
Solución: a) lim
x
3x 3 1 5 3x 3
1
25
b) lim
x
3x 1 5 3x
1
Continuidad Ejercicio nº 36.A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.
Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6
Solución: En x = 0, sí es continua. En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).
Ejercicio nº 37.-
La siguiente gráfica corresponde a la función f x : Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.
26
Solución: En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que lim f x lim f x x 1 x 1 . En x 2 sí es continua.
Ejercicio nº 38.¿Son continuas las siguientes funciones en x 2? a)
b)
Y
Y
8
8
6
6
4
4
2
2
8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
8 6 4 2 2
4
4
6
6
2
4
6
8
X
Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad.
Solución: a) No es continua en x 2; aunque esté definida en x 2, tiene el punto desplazado. Es una discontinuidad evitable porque existe limf x x 2 . b) Sí es continua en x 2.
Ejercicio nº 39.-
Dada la gráfica de f x :
Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6 a) ¿Es continua en x 1? b) ¿Y en x 2? Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.
27
Solución: a) Sí es continua en x 1. b) No, en x 2 es discontinua porque no está definida en ese punto. Como sí tiene límite en ese punto, es una discontinuidad evitable.
Ejercicio nº 40.-
Esta es la gráfica de la función f x :
Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
X
8
4 6 a) ¿Es continua en x = 2? b) ¿Y en x 0? Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.
Solución: a) No es continua en x 2 porque no está definida, ni tiene límite finito en ese punto. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical). b) Sí es continua en x 0.
Ejercicio nº 41.-
Halla el v alorde k para que f x sea continua en x 1 :
2 x 1 si x 1 f x si x 1 k
Solución:
lim f x lim 2 x 1 3 x 1 lim f x k x 1 f 1 3 x 1
Para que sea continua en x 1, lim f x lim f x f 1 x 1
x 1
.
Ha de ser k 3.
28
Ejercicio nº 42.Estudia la continuidad de: 2 f x x 2 x 3 x 1
si x 1 si x 1
Solución: Si x 1, la función es continua. Si x 1:
lim f x lim x 2 2 x 1 x 1 lim f x lim 3 x 1 2 x 1 x 1 x 1
No es continua en x 1 porque lim f x lim f x . Es decir, no tienelímiteen ese punto. x 1
x 1
Ejercicio nº 43.Comprueba si la siguiente función es continua en x 0 2 x 2 1 si f x x 2 si 2
x 0 x 0
Solución:
lim f x lim 2 x 2 1 1 x 0 x 2 lim f x lim 1 Es continuaen x 0 porque limf x f 0 . x 0 x 0 x 0 2 f 0 1 x 0
Ejercicio nº 44.Averigua si la siguiente función es continua en x 2:
2 x f x x 2
si x 2 si x 2
Solución:
lim f x lim 2x 4 x 2 lim f x lim x 2 4 Es continuaen x 2 porque limf x f 2. x 2 x 2 x 2 f 2 4 x 2
29
Ejercicio nº 45.Estudia la continuidad de la función: x 1 f x 3 2 x 15
si
x4
si
x 4
Solución: Si x 4, la función es continua. Si x 4:
x 1 1 x 4 x 4 3 lim f x lim x 2 15 1 Tambiénes continuaen x 4 porque lim f x f 4 . x 4 x 4 x 4 f 4 1 lim f x lim
30