FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA UNIDAD 9 DESCOMPOSICION FACTORIAL
FACULTAD DE ARQUITECTURA UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA
“Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32
Página 0
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Para empezar a ver este capítulo de la matemática debemos aclarar primeramente que es un factor y que es un término. Términos: son expresiones matemáticas que están separadas por signos positivos y negativos. Factores: son expresiones matemáticas separadas por la multiplicación y la división. Ejemplos: ax + 3bx – 5c ax con respecto a 3bx son términos porque se suman. a con respecto a x son factores porque se multiplican. 3bx con respecto a 5c son términos porque se restan. 3 con respecto a bx son factores porque se multiplican. 5 con respecto a c son factores porque se multiplican. Además, se debe tener conocimientos previos de productos notables.
Casos de descomposición factorial Caso I Factor común Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común, que es divisible para cada uno de ellos. 1. Descomponer en factores a2+2a. Observamos que a2 +2a el factor común a. escribimos el factor a como coeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir: a2/a = a; 2a /a= 2 y tendremos. a2 +2a = a(a+2). R.
“Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32
Página 1
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 2. Descomponer 10b-30ab2. Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos diez porque siempre se escoge el mayor factor común. De las letras tienen en común la b porque está en los 2 términos. Y en las letras se la toma con su menor exponente que es b (no b2), entonces el factor común es 10b y repetimos el mismo proceso, y tendremos: 10b -30 = 10b(1+3ab). En síntesis, el caso de factor común consiste en observar y escoger, de los números el máximo común divisor, y de las letras cual o cuales se repiten en cada uno de los términos, de lo contrario no saldrá bien la operación, luego dividir el factor común para cada uno de sus términos. Ejercicios: a2 +ab. x-x2+x3-x4. 15y3+20y2-5y. Caso II Factor común por agrupación de términos 1. Descomponer ax +bx +ay +by. Los dos primeros factores tienen el factor común X y los dos últimos el factor común Y. Agrupamos los primeros términos en paréntesis y los dos últimos en otro a continuación del signo del tercer término que en este caso es el más y si fuera el signo menos los términos que están dentro del paréntesis irían con los signos cambiados, y tendremos: ax + bx +by + by = (ay +by) + (ay+by). = y(a + b) + y(a+b). = (x + y) (a + b).
“Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32
Página 2
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 La agrupación puede tener varias formas de agruparse como: el 1ero y el 2do, el 3ero y el 4to; el 1ero y el 4to, el 3ero y el 2do; el 1ero y el 3ero, el 2do y el 4to; etc. con tal que la agrupación tenga algún factor común, si esto no se da, la expresión no puede descomponerse por este método, y además pueden ser más de 4 términos, con tal de que sea un numero par para poder agruparlo de 2 en 2, o de 3 en 3, o de 4 en 4,etc. Si es posible.
2. Factorizar: ax + ay + az + x – y + z = (ax – ay+az) + (x – y + z) = a(x - y + a) + 1(x- y + z) = (x – y + a) (a+1) Caso III Trinomio cuadrado perfecto Regla para conocer si es un trinomio cuadrado perfecto: Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercero termino son cuadrados perfectos y positivos (no deben ser negativos), y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas (puede ser negativo). Así, a2 – 4ab + 4y2, es un cuadrado perfecto porque es un trinomio, el primero y tercero termino son positivos, y son cuadrados perfectos porque, la raíz cuadrada de a2 es a, la raíz cuadrada de 4y2 es 2y, el segundo término es el doble producto se sus raíces cuadradas, 2(a)(2y) = 4ay. Quedando así a2 - 4ab + 4y2= (a-b)2 Modo de resolver: Se saca la raíz cuadrada del primer y tercer término (el trinomio puede estar desordenado), se comprueba si el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas, se introduce dentro de un paréntesis la raíz cuadrada de primer termino seguido del signo del segundo término (+) o (-) y la raíz cuadrada del tercer término, todo eso elevado al cuadrado.
“Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32
Página 3
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 Ejemplo: 4x2 + 25y2 – 20xy. Ordenando el trinomio nos queda: 4x2 – 20xy + 25y2 = sacamos la raíz del primero y tercero termino. 2x y 5y = lo introducimos en un paréntesis separado por el signo del segundo factor, y elevado al cuadrado y tenemos. (2x – 5y) 2.
Caso IV Diferencia de cuadrados perfectos Como reconocer este caso: se caracteriza por estar formado por 2 términos separados por el signo (-), y ambos términos son cuadrados perfectos. Ejemplo: 4a2 – 16b2. Modo de resolver: Es muy sencillo, solo se sacan las raíces cuadradas a ambos términos: 4a2 -16b2 la raíz cuadrada de 4a2 es 2a, la raíz cuadrada de 16b2 es 4b, los resultados los introducimos en un paréntesis, (2a + 4b) y lo multiplicamos con su diferencia, quedándonos: (2a + 4b)(2a – 4b)
Caso V Trinomio cuadrado por adición y sustracción
Este caso es muy parecido al trinomio cuadrado perfecto, pero con la diferencia de que el segundo término no es doble producto del primero por el tercero.
“Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32
Página 4
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017
Factorizar x4+ x2y2 + y4.
Lo primero que hay que hacer es comprobar si es un trinomio cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de x4 es x2; la raíz cuadrada de y4 es y2, el doble producto del primero por el segundo (2) (x2) (y2) es 2x2y2, (no es x2y2) entonces no es cuadrado perfecto. Lo que hay que hacer es transformarlo en trinomio cuadrado perfecto, para lo cual se debe sumarle x2y2 (lo que falte), y restarle el mismo valor para que no se altere. X4 + x2y2 + y4 + x2y2 - x2y2 X4 + 2x2y2 + y4 - x2y2 = (x4 + 2x2y2 +y4) – x2y2 ; agrupamos el trinomio cuadrado perfecto en un paréntesis y tenemos dos factores. = (x2 + y2) – x2y2 ; resolvemos lo que está en el paréntesis. = ((x + y) + xy) ((x + y) – xy); resolvemos por la diferencia de cuadrados. = (x + xy + y) (x – xy + y) ; y por ultimo ordenamos la expresión. (x + xy +y) (x -xy +y). R. Caso VI Trinomio de la forma x2 +bx +c Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como: X2 + 5x + 6, m2 + 5m – 14 a2 + 2a – 15, y2 - 8y + 15 Que cumplen las siguientes condiciones: 1) El coeficiente del primer término es uno. 2) El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. 3) El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. 4) El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1ero y 2do términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. “Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32
Página 5
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 Ejemplos: 1) Factorizar x2 + 5x + 6 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x2 o sea x: x2 + 5x + 6 (x ) (x ) En el primer binomio después de x se pone signo del segundo término que en esta caso es +. En el segundo binomio ponemos el signo que dé como resultado del producto de los signos del 2do y 3ero, que en este caso sería +, porque se tiene que + por + da +: (x+ ) (x+ ) Como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos números cuya suma sea 5 y su producto 6. Estos números son 3 y 2, luego: x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2).R. 2) Factorizar n2 + 28n -29. Extraemos la raíz de n2 que sería n y lo agrupamos en los dos binomios como vimos antes. (n ) (n ) El signo del primer binomio es +; El signo del segundo binomio sería – porque el producto de + por – es (-) (n + ) (n- ) Ahora hay que buscar dos números que restando de 28 (el segundo término); y multiplicando de 29. Esos números son 29 y 1. (n + 29) (n – 1). R
“Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32
Página 6
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 Caso VII Trinomio de la forma ax2 + bx +c Se diferencian del caso anterior solo en que el primer término su coeficiente no es 1 Son trinomios de esta forma: 2x2 + 11x + 5 3a2 + 7a – 6 10n2 – n – 2 7m2 – 23m + 6 Descomposición en factores de un trinomio de la forma ax2 +bx + c 1) Factorizar 6x2 - 7x – 3 Lo que hay que hacer es multiplicar el coeficiente del 1er término para cada uno de los términos. (6) (6x2) – (6) (7x) – (6)(3) = 36x2 – (6)(7x) – 18 Pero 36x2 = (6x)2 lo que se hizo fue introducirlo en un paréntesis y elevarlo al cuadrado, y podemos escribir: (6x) 2 – 7(6x) – 18 Descomponiendo este trinomio según el caso anterior, el primer término de cada factor será la raíz cuadrada de (6x2) o sea 6x: (6x - ) (6x- ) Dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 18 son: 9 y 2. Tendremos (6x – 9) (6x – 2) Y como al principio multiplicamos toda la expresión por 6, para que no se altere se debe dividir. (6x – 9) (6x -2) 6 Sacamos factor común: 3(2x -3) 2(3x -1) 6 Simplificamos y nos queda: (2x – 3) (3x – 1) R.
“Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32
Página 7
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 2) Factorizar 20x2 + 7x – 6= Multiplicando toda la expresión por 20 y haciendo el mismo proceso nos queda: (20x)2 +7(20x) – 120. Resolviendo como un trinomio de la forma x2 + bx +c nos queda. (20x + 15) (20x – 8) Sacamos Factor común y dividimos toda la expresión para 20. 5(4x + 3) 4(5x – 2) 20 (4x + 3) (5x – 2). R. Caso VIII Cubo perfecto de binomios Según los productos notables sabemos que (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Entonces este tiene relación con este producto notable y reúne unas condiciones que son: 1. Tener cuatro términos. 2. Que el primero y ultimo términos sean cubos perfectos. 3. Que el segundo término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cubica del primer término por la raíz cubica del último. (3)(a)2(b) 4. Que el tercero sea más o menos el triplo de la raíz cubica del primer término por el cuadrado de la raíz cubica del último. (3)(a)(b)2 Factorizar una expresión que es el cubo de un binomio. 1 + 12a + 48a2 +64a3 Extraemos las raíces cubicas del primero y el ultimo, lo introducimos en un paréntesis y lo elevamos al cubo. (1 + 4a)3
Comprobamos si el segundo término cumple la tercera condición: 3(1)2(4) = 12 a si cumple la condición. Comprobamos si el tercero término cumple la cuarta condición. 3(1)(4)2 = 64a3 “Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32
Página 8
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 Entonces la respuesta sería: (1 + 4a)3 R. Caso IX Suma o diferencia de cubos perfectos Sabemos por los cocientes notables que: a3 + b3 = a2 – ab + b ; y a3 – b3 = a2 + ab +b2 a+b a–b Y como en toda división exacta el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, tendremos: a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) (1) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) (2) La fórmula (1) nos dice que: La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1) La suma de sus raíces cubicas. 2) El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. La fórmula (2) nos dice: La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores. 1) La diferencia de sus raíces cubicas. 2) El cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. Factorizar una suma o una diferencia de cubos perfectos: 1) Factorizar: x3 +1. La raíz cubica de x3 es x; la raíz cubica de 1 es 1. Según la regla 1. x3 + 1 = (x +1) (x2 - x + 1). R.
“Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32
Página 9
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 2) Factorizar: a3 – 8. La raíz cubica de a3 es a; la raíz cubica de 8 es 2. Según la regla 2: a3 – 8 = (a – 2) (a2 +2a+ 4). R.
Caso X Suma o diferencia de dos potencias impares e iguales Este caso es muy parecido al caso anterior porque también se compone de dos términos, aunque varía en algunas cosas. Factorizar una suma o diferencia de potencias impares e iguales: 1) Factorizar: m5 +n5 Extraemos la raíz quinta a cada término: (m + n) Y lo dividimos (aplicando la regla de cocientes notables) : m5 + n5 = m4 – m3n + m2n2 + mn3 +n (m + n) Luego. (m5 + n5) = (m +n) (m4 – m3n + m2n2 + mn3 +n) R. 2) Factorizar : x7 – 1 Repetimos los mismos pasos solo con la diferencia de que los signos no van alternados, sino que todo es positivo. x7 – 1 = (x – 1) (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x +1) R.
“Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32
Página 10
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 EJERCICIOS PLANTEADOS: Factorizar 1) a2b - ab2 2) 6p2q + 24pq2 3) 12x3y - 48x2y2 4) 9m2n + 18 mn2 - 27mn
7) x2 - 8x + 16 8) 16y2 + 24y + 9 9) 36a2 - 12a + 1 10) 4x2 + 20xy + 25y2 11) 16x2 - 25y2 12) 144 - x2y2 13) 36 - 25a2 14) 25 - 4a2 15) 16m2n2 - 9p2 16) x2 - 4x + 3 17) x2 - 2x - 15 18) x2 - 7xy - 18y2 19) 12 - 4x - x2 20) 5x2 - 11x + 2 21) 6x2 - 7x - 5 22) 12x2 + 17x - 5 23) 7u4 - 7u2v2 24) kx3 + 2kx2 - 63kx 25) 5x3 - 55x2 + 140x 26) 4m2n2 + 24m2n - 28m2 27) 7hkx2 + 21 hkx + 14hk 28) wx2y - 9wxy + 14wy 29) 2x3 + 10x2 + x + 5 30) px + py + qx + qy 31) 3x3 + 12x2 – 2x – 8 32) 3x3 + 2x2 + 12x + 8 33) x3 – 27 34) 125x3 + y3 35) 8y3 + z3 36) 64 – y3 “Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32
Página 11
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 Respuestas a los ejercicios planteados 1) ab(a - b) 2) 6pq(p + 4q) 3) 12x2y(x - 4y) 4) 9mn(m + 2n - 3)
7) (x - 4)2 8) (4y + 3)2 9) (6a - 1)2 10) (2x + 5y)2 11) (4x - 5y)(4x + 5y) 12) (12 + xy)(12 - xy) 13) (6 + 5a)(6 - 5a) 14) (5 + 2a)(5 - 2a) 15) (4mn + 3p)(4mn - 3p) 16) (x - 3)(x - 1) 17) (x - 5)(x + 3) 18) (x - 9y)(x + 2y) 19) (6 + x)(2 - x) 20) (5x - 1)(x - 2) 21) (3x - 5)(2x + 1) 22) (4x -1)((3x + 5) 23) 7u2(u2 - v2) = 7u2(u + v)(u - v) 24) kx(x2 + 2x -63) = kx(x + 9)(x - 7) 25) 5x(x2 - 11x +28) = 5x(x - 4)(x - 7) 26) 4m2(n2 + 6n - 7) = 4m2(n + 7)(n - 1) 27) 7hk(x2 + 3x + 2) = 7hk(x + 1)(x +2) 28) wy(x2 - 9x + 14) = wy(x - 2)(x - 7) 29) (2x2 + 1)(x + 5) 30) (p + q)(x + y) 31) (3x2 – 2)(x + 4) 32) (x2 + 4)(3x + 2) 33) (x – 3)(x2 + 3x + 9) 34) (5x + y)(25x2 – 5xy + y2) 35) (2y + z)((4y2 – 2yz + z2) 36) (4 – y)(16 + 4y + y2)
“Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32
Página 12
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 BIBLIOGRAFÍA Baldor, Aurelio, Dr. (1,987). Algebra. (4ª. Reimpresión) México: Compañía Cultural editora y Distribuidora de Textos Americanos, S.A., Ediciones y Distribuciones Códice, S.A., Madrid.
“Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32
Página 13