FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA UNIDAD 7 7.1 PRODUCTOS NOTABLES 7.2 COCIENTES NOTABLES
FACULTAD DE ARQUITECTURA UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA
“Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32
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UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017
7.1 PRODUCTOS NOTABLES En la resolución de los polinomios hay expresiones que se presentan frecuentemente y por eso tienen un estudio especial. Saber identificarlos y resolverlos nos dan un ahorro de tiempo cuando se factorizan dichas expresiones. Los productos notables son los que cumplen ciertas reglas para su resolución y el resultado puede ser por simple inspección, sin necesidad de hacer la prueba correspondiente. 7.1.1 PRODUCTO DE LA FORMA (x ± a)(x ± b) PASOS PARA RESOLVERLO: Cuadrado del primer término ( sería la variable x ) Más el producto del primer término por la suma algebraica de a con b Más el producto de a con b
Ejemplos resueltos: 1) (x + 3)(x + 5) Sigamos los pasos: x² + x(3+5) +(3x5) x² + 8x +15 Este es el resultados, nótese que es de tres términos (trinomio). La prueba consiste en factorizar este resultado para que de la expresión inicial. (Factorización o descomposición factorial unidad 9) 2) (z + 3)(z – 2) Sigamos los pasos: z² + z(3-2) + (3x(-2)) z² + z – 6
Este es el resultado
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3) (y³ - 3y)(y³ + 8y) Sigamos los pasos: (y³)² + (y³)(-3y + 8y) + (-3y)(8y) (y³)² + (y³)(5y) + (-24y²) Y⁶ + 5y⁴ - 24y²
Multiplicar signos ( + x - = - )
Esta es el resultado
Nota: (y³)²
Se multiplican las potencias, entonces y⁶
(y³)(5y)
Se suman las potencias, entonces 5y⁴
4) (- x – ⅞)(- x - ⅔) Sigamos los pasos: (- x)² + (- x )( - ⅞ - ⅔ ) + ( - ⅞ )( - ⅔) x² + ( - x )( - 37/24 ) + ( 7/12 ) x² + 37/24 x + 7/12
Este es el resultado
Ejercicios propuestos con respuesta: 1) (b – 1)(b + 1)
R// b² - 1
2) (c + 0.3 )(c + 0.5)
R// c² + 0.8c + 0.15
3) (- 3 + x)(x + 1)
R// x² - 2x - 3
4) (x + y – 1)(x + y – 3)
R// (x+y)² - 4(x+y) + 3
5) (x³ - 2x²)(x³ + 5x²)
R// x⁶ + 3x⁵ - 10x⁴
6) (1 – 3ax)(3ax + 1)
R// 1 – 9a²x²
7) (x² + a²)(x² - a²)
R// x⁴ - a⁴
8) (x + y + z)(x + y – z)
R// (x+y)² - z²
9) (x² - 5x + 6)(x² + 5x – 6)
R// x⁴+25x²+60x-36
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10)
(2a – b – c)(2a – b + c)
R// (2ª-b)²-c²
11)
(t +3)(t + 7)
R// t²+10t+21
12)
(x² - ⅔)(x² - ⅓)
R// x⁴- x² + 2/9
13)
(x³ - x²)(x³ + x²)
R// x⁶- x⁴
14)
(y)(y – 2)
R// y²- 2y
15) (m + 2n – y)(m + 2n – y) 2y(m+2n) + y²
R// (m+2n)² -
7.1.2 PRODUCTO DE LA FORMA ( x ± a)² CUADRADO DE UN BINOMIO PASOS PARA RESOLVERLO: Cuadrado del primer término ( variable x) Si es positivo más, si es negativo menos; el doble producto del primer término por el segundo Más el cuadrado del segundo término ( x + a )²
x² + 2ax + a² El primer y tercer término siempre serán positivos
( x – a )²
x² - 2ax + a² El primer y tercer término siempre serán positivos.
Ejemplos resueltos: 1) ( w + 5 )² Sigamos los pasos: w² + 2(w)(5) + 5² w² + 10w + 25
Este es el resultado
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UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 2) ( 4x³ - 2y³ )² Sigamos los pasos (4x³)² - 2(4x³)(2y³) + (2y³)² 16x⁶ - 16x³y³ + 4y⁶
Este es el resultado
3) (3z² + 5z)² Sigamos los pasos (3z²)² + 2(3z²)(5z) + (5z)² 9z⁴ + 30z³ + 25z²
Este es el resultado
4) ((x² - x) – (y³ + ⅔ y²))² Sigamos los pasos (x² - x)² - 2(x² - x)(y³ + ⅔ y²) + (y³ + ⅔ y²)²
Producto Notable
Multiplicación Algebraica
Producto Notable
(x²)²-2(x²)(x) + x² - 2(x²y³ + ⅔x²y² - xy³ - ⅔xy²) + (y³)² + 2(y³)(⅔y²) + (⅔y²)² x⁴ - 2x³ + x² - 2x²y³ - 4/3x²y² + 2xy³ + 4/3xy² + y⁶ + 4/3y⁵ + 4/9y² es el resultado
Este
Ejercicios propuestos con respuesta: 1) ( x + y )²
R// x² + 2xy + y²
2) ( y – 2 )²
R// y² - 4y + 4
3) ( z² - z )²
R// z⁴ - 2z³ + z²
4) ( x + ⅔ )²
R// x² + 4/3x + 4/9
5) ( y² + y – 1 )²
R// y⁴ + 2y³ - y² - 2y + 1
6) ( -z + 3 )²
R// z² - 6z + 9
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UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 7) ( x² - 2x + 3y - y² )² 12xy + 4xy² + 9y² - 6y³ + y⁴ 8) ( a – 2 )²
R// x⁴ - 4x³ + 4x⁴ + 6x⁴y – 2x²y² -
9) ( x – y + 2 )²
R// x² - 2xy + y² + 4x – 4y + 4
10)( y – 0.2 )²
R// y² - 0.4y + 0.04
11)( 0.3x + 0.5 )²
R// 0.09x² + 0.3x + 0.25
12)( 1 – 2x + 3x² )²
R// 1 – 4x + 10x² - 12x³ + 9x⁴
13)( x – 1 + x² - x³ )²
R// x⁶ - 2x⁵ - x⁴ + 4x³ - x² - 2x + 1
14)( 1 – 2a )²
R// 1 – 4a + 4a²
15)( y - y² )²
R// y² - 2y³ + y⁴
R// a² - 4ª + 4
7.1.3 PRODUCTO DE LA FORMA ( x ± a )³ CUBO DE UN BINOMIO PASOS PARA RESOLVERLO:
Cubo del primer término ( variable x ) Más o menos tres veces el cuadrado del primer término por el segundo Más o menos tres veces el primer término por el cuadrado del segundo Más o menos el cubo del segundo término Si este signo es positivo en el resultado todos son positivos
( x + a )³
x³ + 3x²a + 3xa² + a³ Si este signo es negativo se van intercalando los signos, más menos más menos
( x – a )³
x³ - 3x²a + 3xa² - a³
Ejemplos resueltos: 1) ( x + 3 )³ Sigamos los pasos: x³ + 3((x²)(3)) + 3((x)(3²)) + 3³ x³ + 9x² + 27x + 27
Este es el resultado
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2) ( x – y )³ Sigamos los pasos: x³ - 3((x²)(y)) + 3((x)(y²)) - y³ x³ - 3x²y + 3xy² - y³
Este es el resultado
3) ( x² + x )³ Sigamos los pasos: (x²)³ + 3((x²)²(x)) + 3((x²)(x)²) + x³ x⁶ + 3x⁵ + 3x⁴ + x³
Este es el resultado
4) ( 3x – 2)³ Sigamos los pasos: (3x)³ - 3((3x)²(2)) + 3((3x)(2²)) - 2³ 27x³ - 54x² + 36x – 8
Este es el resultado
Ejercicios propuestos con respuestas: 1) ( x - 1 )³
R// x³ - 3x² + 3x – 1
2) ( y + 3 )³
R// y³ + 9y² + 27y + 27
3) ( z² - z )³
R// z⁶ - 3z⁵ + 3z⁴ - z³
4) ( 3x – 2y )³
R// 27x³ - 54x²y + 36xy² - 8y³
5) ( a + bc )³
R// a³ + 3b²c + 3bc² + b³c³
6) ( ⅓x + ⅔ )³
R// 1/27x³ + 2/9x² + 4/9x +8/27
7) ( y² - 3y )³
R// y⁶ - 9y⁵ + 27y⁴ - 27y³
8) ( y - ⅞ )³ 343/512
R// y³ - 21/8y² + 147/64y –
9) ( x + 11 )³
R// x³ + 33x² + 363x + 1331
10)( y – 0.2 )³
R// y³ - 0.6y² + 0.12y – 0.008
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R// 0.000001x³ + 0.00009x² +
12)( y² + 0.5 y )³
R// y⁶ + 1.5y⁵ + 0.75y⁴ + 0.125y³
13)( x – 2 )³
R// x³ - 6x² + 12x – 8
14)( ab + cy )³ c³y³
R// a³b³ + 3a²b²cy + 3abc²y² +
15)( 0.2a – 0.3b )³ - 0.027b³
R// 0.008a³ - 0.036a²b + 0.054ab²
7.2 COCIENTES NOTABLES Son divisiones algebraicas, que siguiendo reglas establecidas se puede llegar al resultado en forma rápida y sencilla. La forma general de los cocientes notables sería la siguiente: aⁿ ± bⁿ a±b
Numerador o dividendo Denominador o divisor
Donde n es cualquier número entero. Reglas básicas: El numerador o dividendo debe de ser de mayor grado (mayor potencia) que el denominador o divisor. Los dos términos en el numerador deben de tener la misma potencia y los dos términos en el denominador deben de tener la misma potencia. Pasos para resolverlos: a² - b² a+b
R// a - b
Dividimos a² y nos da a, nótese que se restan los exponentes de la a expresión del numerador menos la expresión en el denominador. Si el signo de la expresión del denominador de + entonces en la respuesta el signo es intercalado más menos más menos mas, así sucesivamente. Si el signo de la expresión del denominador - entonces en la respuesta el signo es más en todos sus términos. Por último dividimos b² y nos da b, nótese que se restan los exponentes b “Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32
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UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 de la expresión del numerador menos la expresión del denominador. a³ + b³ a-b
R// a² + ab + b²
Dividimos a³ y nos da a², nótese que se restan los exponentes de la a expresión del numerador menos la expresión en el denominador. Si el signo de la expresión del denominador de + entonces en la respuesta el signo es intercalado más menos más menos mas, así sucesivamente. Si el signo de la expresión del denominador - entonces en la respuesta el signo es más en todos sus términos. Copiamos el primer término de la respuesta y le restamos una unidad a la potencia multiplicada por el segundo término con potencia uno, nótese que el primer término va disminuyendo la potencia hasta que se hace cero y el segundo término va en aumento hasta llegar a la misma potencia que el primer término. Por último dividimos b³ y nos da b², nótese que se restan los exponentes b de la expresión del numerador menos la expresión del denominador.
Ejemplos resueltos: 1) x² - y² x+y Sigamos los pasos: x² - y² x y x–y
Este es el resultado
2) x⁴ + y⁴ x–y Sigamos los pasos: Disminución de potencia en el primer término
x³ + x²y + xy² + y³
Este es el resultado Aumento de potencia en el segundo término
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UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 3) a³ + b³ a+b Sigamos los pasos: a² – ab + b²
Este es el resultado
4) x⁵ - y⁵ x–y Sigamos los pasos: x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴
Este es el resultado
5) a⁶ - 729 a–3 a⁵ + a⁴(3) + a³(3²) + a²(3³) + a(3⁴) + 3⁵ a⁵ + 3a⁴ + 9a³ 27a² + 81a + 243
Este es el resultado
6) 64m⁶ - 729n⁶ 2m + 3n Sigamos los pasos: (2m)⁵ - (2m)⁴(3n) + (2m)³(3n)² - (2m)²(3n)³ + (2m)(3n)⁴ - (3n)⁵ 32m⁵ - 48m⁴n + 72m³n² - 108m²n³ + 162mn⁴ - 243n⁵ resultado
Este es el
Ejercicios propuestos con respuesta: 1) 1 + a³ 1+a
R// 1 – a + a²
2) 1 - a³ 1–a
R// 1 + a + a²
3) x⁶ - 27y³ x² - 3y
R// x⁴ + 3x²y + 9y²
4) m¹⁰ - n¹⁰ m² - n²
R// m⁸ + m⁶n² + m⁴n⁴ + m²n⁶ + n⁸
5) x⁴⁰ - y⁴⁰ x⁸ - y⁸
R// x³² + x²⁴y⁸ + x¹⁶y¹⁶+ x⁸y²⁴ + y³²
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UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 6) x⁸ - 256 x–2
R// x⁷ + 2x⁶ + 4x⁵ + 8x⁴ + 16x³ + 32x² + 64x + 128
7) 1 - x¹² 1 - x⁴
R// 1 + x⁴ + x⁸
8) 27x⁶ + 1 3x² + 1
R// 9x⁴ - 3x² + 1
9) 8a³ - 1 2a -1
R// 4a² + 2a + 1
10) x⁷ - 128 x–2 11) a²⁵ + b²⁵ a⁵ + b⁵
R// x⁶ + 2x⁵ + 4x⁴ + 8x³ +16x² + 32x + 64 R// a²º - a¹⁵b⁵ + a¹ºb¹º - a⁵b¹⁵ + b²º
12) ( a + x )² - y² (a+x)–y
R// a + x + y
13) 25 – 36x⁴ 5 – 6x²
R// 5 + 6x²
14) 64a³ + b⁹ 4a + b³
R// 16a² - 4ab³ + b⁶
15) x⁴ - 16 x-2
R// x³ + 2x² + 4x + 8
BIBLIOGRAFÍA BALDOR A. (2007) Álgebra. México. Grupo Editorial Patria. SWOKOWSKI E. y COLE J. (2007) Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México: Edamsa impresiones S.A. de C.V. MORALES ALDANA, DR. LEONEL (2000) Introducción a la Matemática Universitaria. Guatemala: Súper aprendizaje.
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