3. ESPAÇOS VETORIAIS 3.1 Definição Seja V um conjunto não vazio, sobre o qual estão definidas as operaçþes adição e multiplicação por escalar, isto Ê,
 u, v ďƒŽ V temos: u + v ďƒŽ V e,  u ďƒŽ V e ď Ą ďƒŽ â„? (conj. dos num. reais), temos: ď Ą u ďƒŽ V V com essas operaçþes ĂŠ chamado espaço vetorial real se forem verificados 8 axiomas: Em relação Ă adição: Sejam os vetores u, v, w ďƒŽ V (A1) (A2) (A3) (A4)
(u + v) + w = u + (v + w) u+v=v+u Existe um Ăşnico elemento neutro neutro 0 ďƒŽ V tal que u + 0 = 0 + u = u Existe um Ăşnico elemento simĂŠtrico -u ďƒŽ V tal que u + (-u) = 0
Em relação Ă multiplicação: Sejam os vetores u,v ďƒŽ V e os escalares ď Ą , ď ˘ ďƒŽ ďƒ‚ (M1) (M2) (M3) (M4)
( ď Ą . ď ˘ )u = ď Ą ( ď ˘ u) ( ď Ą + ď ˘ )u = ď Ą u + ď ˘ u ď Ą (u + v) = ď Ą u + ď Ą v 1u = u
Observação: Os elementos de um espaço vetorial V podem ser polinômios, matrizes, números, funçþes, desde que as operaçþes definidas neste conjunto satisfaçam os oito Axiomas. Mas independente de sua natureza os elementos de um Espaço Vetorial V serão chamados vetores. 3.2 Exemplo: Verifique em cada caso se V Ê um espaço vetorial: a) V = conjunto das matrizes 2x2
ďƒŹďƒŠ x y ďƒš ďƒź ou V = M(2x2) = ďƒďƒŞ : x, y, z, w ďƒŽ ďƒ‚ďƒ˝ , com as ďƒş ďƒŽďƒŤ z wďƒť ďƒž
operaçþes usuais. b) V = como:
đ?’‚ đ?’ƒ đ?’„ / đ?’‚, đ?’ƒ, đ?’„ ∈ â„?
= conj. das matrizes linha M(1x3) e as operaçþes definidas
đ?‘Ž1 đ?‘Ž2 đ?‘Ž3 + đ?‘?1 đ?‘?2 đ?‘?3 = đ?‘Ž1 đ?‘Ž2 đ?‘Ž3 (Cuidado, adição nĂŁo usual) đ?›ź ∙ đ?‘Ž1 đ?‘Ž2 đ?‘Ž3 = đ?›ź ∙ đ?‘Ž1 đ?›ź ∙ đ?‘Ž2 đ?›ź ∙ đ?‘Ž3 (Multiplicação usual) c) V ={(x, y) ďƒŽ ďƒ‚ 2}, conjunto dos vetores em ďƒ‚ 2 e as operaçþes definidas: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e ď Ą (a,b)= ( ď Ą 2a, ď Ą 2b) d) V = M(m,n) = conjunto das matrizes do tipo mxn, com as operaçþes usuais (de adição e de multiplicação por escalar). e) V = ďƒ‚ n = {(x1, x2, x3, ... , xn): xi ďƒŽ ďƒ‚ }, 1 ď‚Ł i ď‚Ł n ; com as operaçþes de adição e de multiplicação por escalar usuais.