Cap 03 espaços vetoriais parte b

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3.6 Combinação linear de vetores Seja V um espaço vetorial tal que v1, v2 ,..., vn ďƒŽ V e a1, a2,..., an ∈ â„?.

EntĂŁo, o vetor

v = a1 v1 + a2 v2 +. . . + an vn ĂŠ uma combinação linear de v1, v2 ,..., vn e v ďƒŽ V. OBS: O conjunto W de todos os vetores de V que sĂŁo combinaçþes lineares de {v1 , v2 , . . . , vn } ĂŠ um subespaço vetorial de V. Este conjunto ĂŠ chamado subespaço gerado por v1, v2 ,..., vn e pode representado por: W = [ v1, v2 ,..., vn ] = {v ďƒŽ V / v = a1 v1 + a2 v2 +. . . + an vn } 3.7 Exemplos: a) Considerando os vetores v1=(1, 0, 0) e v2=(0, 1, 0), escrever v = (2, 3, 0) como combinação linear de v1 e v2 e que w = (1, 2 ,3) nĂŁo ĂŠ uma combinação linear de v1 e v2. b) Considerando os vetores v1 = (1, 2, -1) e v2 = (6, 4, 2), mostrar que o vetor v = (9, 2, 7) ĂŠ combinação linear de v1 e v2 e que o vetor w = (4, -1, 8) nĂŁo ĂŠ combinação linear de v1 e v2. c) Seja V = â„?3 e u = (3, 4, 5) ďƒŽ â„?3 . Determine o subespaço gerado por u, isto ĂŠ, encontrar S = [u]. d) Seja V = â„?đ?&#x;‘ , encontre S = [v1, v2], em que v1 = (2, 0, 1) e v2 = (0, 3, 3).

3.8 DependĂŞncia e IndependĂŞncia Linear Seja V um espaço vetorial e A = { v1, v2 ,..., vn } ďƒŽ V. Consideremos a equação: a1 v1 + a2 v2 +. . . + an vn = 0

(1)

Vejamos: 

O conjunto A Ê linearmente independente (LI), ou os vetores v1, v2 ,..., vn são LI, se, e somente se, a equação (1) admitir apenas a solução trivial, ou seja: a1 = a2 =...= an = 0 .



Se existirem soluçþes ai  0, entĂŁo o conjunto A ou os vetores v1, v2 ,..., vn sĂŁo linearmente dependente (s) (LD).

3.9 Exemplos: Verifique se os vetores abaixo sĂŁo LI: a) V = â„?3 , v1 = (2, -1, 3); v2 = (-1, 0, -2) e v3 = (2, -3, 1). b) V = â„?3 , v1 = (1, 0, 0); v2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, 1). c) V = â„?4 , v1 = (2, 2, 3, 4); v2 = (0, 5, -3, 1) e v3 = (0, 0, 4, -2). d) V = M(2, 2), đ??´ = {

−1 2 2 −3 3 −4 , , } −3 1 3 0 3 1


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