Cap 03 espaços vetoriais parte b

3.6 Combinação linear de vetores Seja V um espaço vetorial tal que v1, v2 ,..., vn ďƒŽ V e a1, a2,..., an ∈ â„?.

EntĂŁo, o vetor

v = a1 v1 + a2 v2 +. . . + an vn ĂŠ uma combinação linear de v1, v2 ,..., vn e v ďƒŽ V. OBS: O conjunto W de todos os vetores de V que sĂŁo combinaçþes lineares de {v1 , v2 , . . . , vn } ĂŠ um subespaço vetorial de V. Este conjunto ĂŠ chamado subespaço gerado por v1, v2 ,..., vn e pode representado por: W = [ v1, v2 ,..., vn ] = {v ďƒŽ V / v = a1 v1 + a2 v2 +. . . + an vn } 3.7 Exemplos: a) Considerando os vetores v1=(1, 0, 0) e v2=(0, 1, 0), escrever v = (2, 3, 0) como combinação linear de v1 e v2 e que w = (1, 2 ,3) nĂŁo ĂŠ uma combinação linear de v1 e v2. b) Considerando os vetores v1 = (1, 2, -1) e v2 = (6, 4, 2), mostrar que o vetor v = (9, 2, 7) ĂŠ combinação linear de v1 e v2 e que o vetor w = (4, -1, 8) nĂŁo ĂŠ combinação linear de v1 e v2. c) Seja V = â„?3 e u = (3, 4, 5) ďƒŽ â„?3 . Determine o subespaço gerado por u, isto ĂŠ, encontrar S = [u]. d) Seja V = â„?đ?&#x;‘ , encontre S = [v1, v2], em que v1 = (2, 0, 1) e v2 = (0, 3, 3).

3.8 DependĂŞncia e IndependĂŞncia Linear Seja V um espaço vetorial e A = { v1, v2 ,..., vn } ďƒŽ V. Consideremos a equação: a1 v1 + a2 v2 +. . . + an vn = 0

(1)

Vejamos: 

O conjunto A Ê linearmente independente (LI), ou os vetores v1, v2 ,..., vn são LI, se, e somente se, a equação (1) admitir apenas a solução trivial, ou seja: a1 = a2 =...= an = 0 .



Se existirem soluçþes ai  0, então o conjunto A ou os vetores v1, v2 ,..., vn são linearmente dependente (s) (LD).

3.9 Exemplos: Verifique se os vetores abaixo sĂŁo LI: a) V = â„?3 , v1 = (2, -1, 3); v2 = (-1, 0, -2) e v3 = (2, -3, 1). b) V = â„?3 , v1 = (1, 0, 0); v2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, 1). c) V = â„?4 , v1 = (2, 2, 3, 4); v2 = (0, 5, -3, 1) e v3 = (0, 0, 4, -2). d) V = M(2, 2), đ??´ = {

−1 2 2 −3 3 −4 , , } −3 1 3 0 3 1

3.10 Teorema: O conjunto A = { v1, v2 ,..., vn } é LD se, e somente se pelo menos um desses vetores for combinação linear dos demais.

OBS: Esse teorema é equivalente a: O conjunto A = { v1, v2 ,..., vn } é LI se, e somente se nenhum desses vetores for combinação linear dos demais.

3.11 Base e Dimensão





Seja V um espaço vetorial. O conjunto v1 , v2 ,..., vn de vetores de V será uma base de V se:





(i) v1 , v2 ,..., vn é LI ; (ii) v1 , v2 ,..., vn   V .

 Teorema 1: Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores v1, v2 ,..., vn . Então, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD. Corolário 1: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. Este número é chamado dimensão de V, e é denotado por dim V. OBS. Se V tem uma base consistindo em n vetores, dizemos que V tem dimensão n. O subespaço {0} de V é dito ter dimensão “0”. V é dito de dimensão finita se há um número finito de vetores que cobre V; Caso contrário, dizemos que V tem dimensão infinita.  Teorema 2: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V. Corolário 2: Se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V.  Teorema 3: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então dim U  dim V e dim W  dim V. Além disso: dim (U + W) = dim U + dim W - dim(U  W) .



 Teorema 4: Dada uma base B = v1 , v2 ,..., vn



de V, cada vetor de V é escrito de

maneira única como combinação linear de v1, v2 ,..., vn .





Definição: Sejam B = v1 , v2 ,..., vn , base de V e v V , onde v  a1v1  a2 v2  ...  an vn , com a1, a2, ...,an R . Os números a1, a2, ...,an serão denotados como as coordenadas de

v em relação a base B, sendo indicadas por: a1  a  v    2   B     an 



OBS. Considera-se nesse estudo que a base B = v1 , v2 ,..., vn



é ordenada.

3.12 Exemplos: Verificar se B é base de V. Em caso afirmativo, identificar a dimensão do espaço vetorial. a) V = R2; B = {(1, 0) ; (0, 1)} b) V = R2; B = {(1, 1) ; (0, 1)} c) V = R2; B = {(0, 1) ; (0, 2)} d) V = R3; B = {(1, 0, 0) ; (0, 1, 0), (0, 0, 1} e) V = R3; B = {(1, 0, 0) ; (0, 1, 0)}

 1   2   1          f) V = R ; B   2 , 1 , 0       3   0   1          3

3.13 Mudança de Base



Sejam B = u1 , u2 ,..., un

 e B´ = w , w ,..., w  1

2

n

duas bases ordenadas de um mesmo

espaço vetorial V. Dado v V , podemos escrevê-lo como: (1)

v  x1u1  x2 u2  ...  xn un

v  y1w1  y 2 w2  ...  y n wn

As coordenadas de v em relação as bases são dadas por:

 x1  x  v    2   B      xn 

e

 y1  y  v    2   B`      y n 

Como B é base de V, podemos escrever os elementos de B´ como combinação linear dos elementos de B, ou seja: w1  a11u1  a21u2  ...  an1un

(2)

w2  a12 u1  a22 u2  ...  an 2 un wn  a1n u1  a2n u2  ...  ann un

Substituindo (2) em (1):

v  y1w1  y 2 w2  ...  y n wn

v  y1(a11u1  a21u2  ...  an1un )  y 2 (a12 u1  a22 u2  ...  an 2 un )  ...  y n (a1n u1  a2n u2  ...  ann un ) Como v  x1u1  x2 u2  ...  xn un e as coordenadas em relação a uma base são únicas, segue que: x1  a11y1  a12y 2  ...  a1n y n

(3)

x2  a21y1  a22y 2  ...  a2n y n xn  an1y1  an 2y 2  ...  ann y n

Na forma matricial:

(4)

Denota-se por I B

B`

 x1   a11 a12 ... a1n   y1     a a ...a    2n   y 2   x2    21 22        x   a a ...a   y   n   n1 n 2 nn   n 

 a11 a12 ... a1n    a21 a22 ...a2n  B`  , sendo I B chamada matriz mudança da base B´       an1 an 2 ...ann 

para a base B.  Teorema 5: Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Se B e B´ são duas bases de B` B` V, então I B admite o cálculo da matriz inversa ( I B é invertível) e além disso, tem-se que ( I B )-1 = I B ` .

B`

B

3.13 Exemplos: a) Sejam B = {(2, -1) ; (3, 4)} e B´={ (1, 0); (0, 1)} bases de R2. Encontre I B e I B ` .

B`

B

b) Sejam B = {(1, 1 , 1); (1, 1, 0); (1, 0, 0)} e B´ = {(1, 2, 0); (1, 3, 2); (0, 1, 3)} bases de R3.

Determine: b1) I B

B`

b2) I B ` B

b 3) As coordenadas de v  (3, 2, 1)  R3 em cada uma das bases.