1.7. LÍMITE DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES Ejemplo 60 Calcula l m
x!3
h
(x 3)2 x+1
:
x 3 x+3
Solución: 2 3 3)2 l m (xx+1 =0 6 x!3 7 Como4 5; entonces y l m xx+33 = 0
i
43
. ¿La función es continua para x =3?
x!3
lm
x!3
"
# 2 (x 3) x 3 0 : = x+1 x+3 0
Operando y simpli…cando " # 2 (x + 3) (x 3) lm x!3 (x + 1) (x 3) " # x2 9 lm x!3 (x + 1)
= =
(x
lm
x!3
3) (x + 3) = (x + 1)
0 2
g(x) 3) Ayuda Al ser f (x) = t(x) donde g(x) = (xx+1 (D(g) = R x 3 t(x) = x+3 (D(t) = R f 3g) , su dominio de de…nición será
D(f ) [(R
f 1g) \ (R
= D(g) \ D(t)
f 3g)]
f3g = R
x2R/
f 1g) y
x 3 =0 x+3
=
f 3; 1; 3g
Conclusión: La función presenta para x = 3 una discontinuidad evitable; puesto que no existe f (3) y 9 l m f (x) = 0 x!3
(x2 9) 3) La grá…ca de y = (xx+1 : xx+33 es la misma que la de y = (x+1) pero quitándole el punto P (3; 0) y también el punto Q( 3; 0) (Compruébalo) h i (x+2)2 . ¿ La función es continua para x = Ejemplo 61 Calcula l m x+2 x+1 : x+3 2
x! 2
2?
Solución: 2 6 Como6 4
x+2 x! 2 x+1
lm
=0
y lm
x! 2
(x+2)2 x+3
=0
lm
3
7 7; entonces 5
x! 2
"
2
x + 2 (x + 2) : x+1 x+3
#
=
0 0