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Cálculo de límites de funciones Juan José Isach Mayo 15/10/2012


ii


Índice general I

Cálculo de límites

1

1. l m f (x)

3

x!a

1.1. Funciones polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Límites de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Límites de funciones a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Límites de funciones que tienen alguna raíz . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Límite de la suma o resta de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Límite del producto de dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Límite del cociente de dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Límites de funciones exponenciales, potenciales y potenciales exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2. Límites que presentan la indeterminación 11 . . . . . . . 1.9. Límites de funciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.

l m f (x) o

x!+1

l m f (x)

3 3 3 14 14 22 23 32 34 34 37 37 40 41 48 51 56 59 61 67

x! 1

2.1. Funciones polinómicas . . . . . . . . . . . . 2.2. Límites de funciones racionales . . . . . . . 2.2.1. Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . 2.3. Funciones racionales con alguna raíz . . . . 2.4. Suma o resta de funciones con alguna raíz . 2.5. Suma o resta de funciones racionales . . . . 2.6. Límite del producto de funciones racionales 2.7. Límite de la división de funciones . . . . . . iii

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

67 69 69 79 84 91 95 99


iv

ÍNDICE GENERAL 2.8. Límites de funciones exponenciales, ponenciales . . . . . . . . . . . . . 2.8.1. Indeterminación 11 . . . . 2.9. Límites de funciones logarítmicas .

potenciales y potenciales ex. . . . . . . . . . . . . . . . . 104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 105


Parte I

Cálculo de límites

1


Capítulo 1

l m f (x)

x!a 1.1.

Funciones polinómicas

Como las funciones polinómicas son continuas en R;entonces: l m Pn (x) = P ( l m x) = P (a)

x!a

1.1.1.

x!a

Ejemplos

Ejemplo 1 Calcula los siguientes límites a) l m (3x2 x!2

b) l m ( x3

3x + 1) 2x2 + 3x

x! 3

c) l m (3x5 x! 1

4)

3x3 + 1)

Solución

2

a) l m (3x2 b) l m ( x3

x!2 2

x! 3

2x + 3x

c) l m (3x5 x! 1

1.2.

3x + 1) = 3 (2) 4) =

3

3 (2) + 1 = 7 2

( 3)

2 ( 3) + 3 ( 3) 5

3x3 + 1) = 3 ( 1)

3

3 ( 1) + 1 = 1

Límites de funciones racionales

Vamos a calcular

Pn (x) x!a Qm (x) lm

Se pueden presentar tres casos 3

4=

4


4

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

n (x) 1. Si a pertenece al dominio de la función y = QPm (x) . Como todas las funciones racionales son continuas en todo punto de su dominio; entonces:

Pn (x) Pn (a) = x!a Qm (x) Qm (a) lm

Ejemplo 2 Calcula los siguientes límites: 2x 4 x2 + 1 x+3 b) l m2 x! 3 x + 1

a) l m

x! 1

x!

x2 + 3 2 1 3 x

lm p 3

x6 + 3x3 6 x3 2 x

c) l m p d)

x!

Solución

6 2x 4 = = 3 x2 + 1 2 2 +3 11 x+3 b) l m2 = 32 = 5 x! 3 x + 1 3 +1 a) l m

x! 1

x!

x2 + 3 3+3 = =3 2 x 1 3 1 3

lm p 3

x6 + 3x3 4+6 = =5 6 3 x x 4 2 2

c) l m p d)

x!

2. Si a no pertenece al dominio de la función.Es evidente que Qm (a) = 0. En este situación (Qm (a) = 0)se pueden distinguir dos casos: Pn (a) n (x) 2a Si Qm (a) = 0 y Pn (a) 6= 0 ! l mx!a QPm (x) = 0 : La recta x = a es una asíntota vertical de la función y tendremos que estudiar, imperiosamente, los límites laterales de la función cuando x!a Pudiéndose presentar las siguientes cuatro situaciones 1a l m f (x) = +1 y l m+ f (x) = +1. Diremos que la recta x = a x!a

x!a

es una asíntota vertical de ramas convergentes hacia +1 2a l m f (x) = 1 y l m+ f (x) = 1. Diremos que la recta x = a x!a

x!a

es una asíntota vertical de ramas convergentes hacia 1 3a l m f (x) = +1 y l m f (x) = 1. Diremos que la recta x = a x!a

x!a+


1.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES

5

es una asíntota vertical de ramas divergentes 4a l m f (x) = 1 y l m+ f (x) = +1. Diremos que la recta x = a x!a

x!a

es una asíntota vertical de ramas divergentes En todas estas situaciones diremos que la función presenta para x = a una discontinuidad inevitable de salto in…nito.

Nota: Para el cálculo de límites laterales de este tipo; es fundamental saber que: 3 0+

= +1

3 0

=

1

3 0+

=

1

3 0

= +1

Ejemplo 3 Calcula los siguientes límites a) l m

x+3 2

x!2

(x 2) 2x 4 b) l m x! 1 x + 1 x 3 c) l m 2 x!2 (x 2) 3x d) l m x!3 x 3

indicando si existe alguna asíntota vertical y de que tipo es. Solución a) Observa que el dominio de de…nición de la función y = D(f ) = R x+3 2 x!2 (x 2)

Como l m

x+3 (x 2)2

es:

f2g

= 05 ; entonces la recta x = 2 es una asíntota vertical. Para

ver de que tipo es (ramas convergentes o ramas divergentes); vamos a estudiar sus límites laterales lm

x!2

lm

x!2+

x+3 2

=

2

=

(x 2) x+3 (x

2)

5 = +1 0+ 5 = +1 0+

La recta x = 2 es una asíntota vertical de ramas convergentes a +1. La función presenta para x = 2 una discontinuidad inevitable de salto in…nito


6

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

y

8 6 4 2

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-2

7

8

x

-4 -6 -8

b) Observa que el dominio de de…nición de la función y = D(f ) = R Como

l m 2x 4 x! 1 x+1

=

6 0 ;

2x 4 x+1 es:

f 1g

entonces la recta x =

1 es una asíntota vertical.

Para ver de que tipo es; vamos a estudiar sus límites laterales 6 2x 4 = = +1 lm x+1 0 x! 1 2x 4 6 lm = = 1 + + x+1 0 x! 1 La recta x = 1 es una asíntota vertical de ramas divergentes y gracias a los límites laterales anteriores, conocemos la posición de la grá…ca con respecto a su asíntota vertical

y

8 6 4 2

-8

-6

-4

-2

2 -2 -4 -6 -8

4

6

8

x


1.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES y=

7

2x 4 x+1

La función presenta para x = 1 una discontinuidad inevitable de salto in…nito c) Observa que el dominio de de…nición de la función y = (x x 2)32 es: D(f ) = R x 3 2 x!2 (x 2)

Como l m

=

5 0 ;

f2g

entonces la recta x = 2 es una asíntota vertical.

Para ver de que tipo es; vamos a estudiar sus límites laterales lm

x!2

l m+

x!2

x

3

(x

2

2) x 3

=

(x

2

=

2)

5 0+ 5 0+

=

1

=

1

La recta x = 2 es una asíntota vertical de ramas convergentes a

y

1

8 6 4 2

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-2

4

5

6

7

8

x

-4 -6 -8

La función presenta para x = 2 una discontinuidad inevitable de salto in…nito d) Observa que el dominio de de…nición de la función y = x3x3 es: D(f ) = R 3x x!3 x 3

Como l m

f3g

= 90 ; entonces la recta x = 3 es una asíntota vertical. Para

ver de que tipo es; vamos a estudiar sus límites laterales lm

x!3

lm

x!3+

3x x

3 3x

x

3

= =

9 = 1 0 9 = +1 0+


8

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

La recta x = 3 es una asíntota vertical de ramas divergentes y gracias a los límites laterales anteriores, conocemos la posición de la grá…ca con respecto a su asíntota vertical

y

10

5

-10

-5

5

10

x

-5

-10

La función presenta para x = 3 una discontinuidad inevitable de salto in…nito Pn (x) presenta x!a Qm (x)

2b Si Qm (a) = 0 y Pn (a) = 0.El límite l m

la indetermi-

nación 00 Al ser Pn (a)

= 0 y Qm (a) = 0; en virtud del teorema del factor, sabemos que x a es un factor de la descomposición de Pn (x) y Qm (x). Así pues; la descomposición factorial de ambos polinomios será Pn (x)

=

(x y

a)Pn

Qm (x)

=

(x

a)Qm

1 (x)

siendo Pn

1 (x)siendo

Pn (x) x!a Qm (x)

Por consiguiente; el l m lm

x!a

Pn (x) (x = lm Qm (x) x!a (x

Qm

1 (x)

el cociente de

1 (x)

el cociente de

Pn (x) x a Qm (x) x a

coincidirá con a)Pn 1 (x) Pn 1 (x) = lm a)Qm 1 (x) x!a Qm 1 (x)

Dicho límite puede presentar cualquiera de las tres situaciones anteriores: a) Si Qm

1 (a)

6= 0;entonces: lm

x!a

Pn (x) Pn 1 (x) Pn 1 (a) = lm = Qm (x) x!a Qm 1 (x) Qm 1 (a)

Cuando se dé esta situación, diremos que la grá…ca de la función


1.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES y=

Pn (x) Qm (x)

9

coincide con la grá…ca de y =

Pn Qm

1 (x)

si a esta última

1 (x)

Pn Qm

1 (a) le quitamos el punto de coordenadas P a; :Diremos 1 (a) que la función presenta para x = a una discontinuidad evitable b) Si Qm 1 (a) = 0 y Pn 1 (a) 6= 0

lm

x!a

Pn (x) Pn 1 (x) Pn 1 (a) = lm = x!a Qm (x) Qm 1 (x) 0

La recta x = a es una asíntota vertical de la grá…ca de la función. Tendremos que estudiar la posición de la grá…ca con respecto a n 1 (x) y su asíntota con ayuda de los límites laterales l m QPm 1 (x) x!a+

lm

x!a

Pn Qm

1 (x) 1 (x)

La función presenta una discontinuidad inevitable de salto in…nito para x = a Pn 1 (x) n (x) c) Si Qm 1 (a) = 0 y Pn 1 (a) = 0. El límite l m QPm (x) = l m Qm 1 (x) x!a

x!a

presenta la indeterminación 00 : Volvemos a factorizar lm

x!a

Pn 1 (x) (x Pn (x) = lm = lm Qm (x) x!a Qm 1 (x) x!a (x

n Pudiendo presentar este límite l m QPm x!a situaciones anteriores.

Ejemplo 4 Dada la siguiente función y =

x2 5x+6 9 x2

a)Pn 2 (x) Pn 2 (x) = lm a)Qm 2 (x) x!a Qm 2 (x) 2 (x) 2 (x)

cualquiera de las dos

calcula

D(f ) x2 lm

5x + 6 x!3 9 x2 x2 5x + 6 lm x! 3 9 x2 Solución Dada la función y =

x2 5x+6 9 x2

su dominio de de…nición es

D(f ) = R

f 3; 3g

Veamos que ocurre cuando x = 3 2 l m x 9 5x+6 = 00 Indeterminación x2 x!3

Factorizemos aplicando la regla de Ru…nni los dos polinomios 1 3 1

-5 3

6 -6

-2

0

-1

0 -3

9 -9

-1

-3

0

3


10

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

lm

x!3

x2

(x 3)(x 2) (x 2) 5x + 6 = lm = lm = 2 x!3 x!3 9 x (x 3)( x 3) ( x 3)

1 6

Por lo anterior; sabemos que la recta x = 3 no es una asíntota vertical 2 y además la grá…ca de la función y = x 9 5x+6 coincide con la grá…ca de la x2 función y = ((xx 2)3) si a esta última le quitamos el punto P 3; 16 . La función presenta una discontinuidad evitable para x = 3 Comprueba tú que la recta x = 3 es una asíntota vertical (para x = 3 la función tiene una discontinuidad inevitable de salto in…nito) de ramas divergentes calculando: lm

x2

3+

x!

5x + 6 y 9 x2

lm

x2

x! 3

5x + 6 9 x2

8

y

y

6

8 6

4

4

2

2

-8 -6 -4 -2 -2

2

4

6

-8 -6 -4 -2 -2

8

x

-4

-4

-6

-6

(x 2) ( x 3)

y=

Ejemplo 5 Dada la siguiente función y =

x2 +5x+6 9 x2

calcula

x2 + 5x + 6 x!3 9 x2 y lm

lm

x!

x2 + 5x + 6 3 9 x2

Indica si su grá…ca tiene alguna asíntota vertical Solución Dada la función y =

2

4

-8

-8

y=

P(3,-1/6)

x2 +5x+6 9 x2

su dominio de de…nición es

D(f ) = R

f 3; 3g

(x 2)(x 3) ( x 3)(x 3)

6

8

x


1.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES

11

Veamos que ocurre para x = 3 18 x2 + x + 6 = x!3 9 x2 0 lm

La recta x = 3 es una asíntota vertical de la función (La función presenta para x = 3 una discontinuidad inevitable de salto in…nito) Para saber su posición con respecto a la grá…ca, calculamos sus límites laterales x2 + x + 6 9 x2 x!3 2 x +x+6 lm 9 x2 x!3 l m+

x2 + x + 6 18 18 = 1 = + = 3)( x 3) 0 ( 6) 0 x!3 (x x2 + 5x + 6 18 18 = lm = = + = +1 (x 3)( x 3) 0 ( 6) 0 x!3 =

l m+

La recta x = 3 es una asíntota vertical de ramas divergentes: Veamos que ocurre para x = 3 lm

x!

x2 + x + 6 12 = 2 3 9 x 0

La recta x = 3 es una asíntota vertical de la función (La función presenta para x = 3 una discontinuidad inevitable de salto in…nito) Para saber su posición con respecto a la grá…ca, calculamos sus límites laterales l m+

x! 3

lm

x! 3

x2 + x + 6 9 x2 2 x +x+6 9 x2

La recta x =

x2 + x + 6 12 12 = = + = +1 3)( x 3) ( 6)0 0 x! 3 (x x2 + x + 6 12 12 = lm = = = 1 3)( x 3) ( 6)0+ 0 x! 3 (x =

l m+

3 es una asíntota vertical de ramas divergentes:

y

8 6 4 2

-8

-6

-4

-2

2 -2 -4 -6 -8

y=

x2 +x+6 9 x2

4

6

8

x


12

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

3

2x 11x 12x+9 3x3 16x2 15x+18 Calcula

Ejemplo 6 Dada la función y = ción y el siguiente límite lm

x! 3

2

2x3 3x3

11x2 16x2

su dominio de de…ni-

12x + 9 15x + 18

¿Qué podemos a…rmar sobre su grá…ca? Solución 3

3

2

2

2x +11x +12x 2x 11x 12x+9 La función y = 3x 3 16x2 15x+18 = 3x3 +16x2 +15x El dominio de de…nición de esta función es

D(f ) = R

9 18

x 2 R = 3x3 + 16x2 + 15x

18 = 0

Resolvamos pues la ecuación 3x3 + 16x2 + 15x

18 = 0

si descomponemos aplicando la regla de Ru…nni el polinomio 3x3 + 16x2 + 15x 18 3 16 15 -18 -3 -9 -21 18 3

7 -9

-6 6

3

-2

0

-3 3

2

obtendremos 3x + 16x + 15x

(3x

18 = (3x

0

2)(x + 3)2 :Así pues:

3x3 + 16x2 + 15x 18 = 0 m 3 2 3 2 3x 2 = 0 x = 32 5,4 5 o o 2)(x + 3)2 = 0 , 4 x+3=0 x = 3 sol doble

Con lo que

D(f ) = R

3;

2 3

Fijate bien en lo que hago previamente lm

x! 3

2x3 3x3

11x2 16x2

12x + 9 2x3 + 11x2 + 12x 9 0 = lm = 3 2 x! 3 15x + 18 3x + 16x + 15x 18 0

Como este límite presenta la indeterminación 00 , hemos de factorizar ambos polinomios al máximo 2 -3 2 -3 2

11 -6

12 -15

-9 9

5 -6

-3 3

0

-1

0

3

16 -9

15 -21

-18 18

3

7 -9

-6 6

0

3

-2

0

-3 -3


1.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES

13

Teniendo presente la descomposición factorial 3 2 l m 2x3 +11x2 +12x 9 x! 3 3x +16x +15x 18

(x+3)2 (2x 1) 2 x! 3 (x+3) (3x 2)

(2x 1) x! 3 (3x 2)

= lm

3

= lm

=

7 11

2

2x 11x 12x+9 La grá…ca de la función y = 3x 3 16x2 15x+18 coincide con la grá…ca de la 2x 1 7 función y = 3x 2 si a esta última le quitamos el punto P 3; 11 . La función presenta para x = 3 una discontinuidad evitable.

10

y

8 6 4 P(-3,7/11) -10

-8

-6

-4

2

-2

2

4

6

-2

8

10

x

-4 -6 -8 -10

3

11x2 12x+9 16x2 15x+18

(2x

1) (x + 3)

(3x

2) (x + 3)

2x Nota 7 Dada la función y = 3x 3 máximo, hubiesemos observado que

y=

Si hubiesemos factorizado al

2 2

Pudiendo a…rmar entonces: la grá…ca de la función coincide con la de la 1 7 hipérbola equilatera y = 2x 3x 2 si a ésta le quitamos el punto P ( 3; 11 )

Ejercicio 8 Sea f (x) =

Solución

2x x 3

calcula l m

x!2

f (x) f (2) x 2


14

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

f (x) = x2x3 f (x) = 4

Como

entonces

2x ( 4) f (2) = lm x 3 = x!2 2 x 2 6x 12 2x +4 = lm x 3 = = lm x 3 x!2 x x!2 x 2 2 6x 12 0 = lm = x!2 (x 2) (x 3) 0

f (x) x!2 x lm

Factoriando el numerador yu simpli…cando 6x 12 x!2 (x 2) (x 3) 6 lm x!2 (x 3) lm

1.2.1.

=

6 (x 2) = x!2 (x 2) (x 3) lm

=

6

Ejercicios

Ejemplo 9 Calcula ahora los siguientes límites 4x x2 2 +4x 3x x!0 l m 3x24+4x x! 34

x2 +4x 2 +4x 20 3x x!2 2 l m 2x 4x x!3 x 6x+9

lm

lm

x!5

x2 25 6x+5

x!

x3 +5x2 25x 125 3 2 x! 5 x +11x +35x+25

16x2 +9 64x2 +96x+36

4

4 2 2 x! 2 (3x +6x)

lm

1.3.

lm

lm

x2

l m3

x2 3x+2 3 4x2 +5x 2 x x!1 2 l m 2x +4x x!3 x 6x+9

lm

l m1

x!

2x+1 (4x2 +4x+1)2

2

4 2 2 x!0 (3x +6x)

lm

l m1

x!

2x2 x 1 2x2 +3x+1

2

x3 +2x2 4x 8 x2 +4x+4 x! 2

lm

l m3

x!

4x+3 16x2 +24x+9

4

x2 3x+2 3 2x2 x+2 x x!1 2 l m 2x +2x x! 2 x 4x+4

lm

2

l m3

x!

x 1 16x2 +24x+9

4

x3 +2x2 4x 8 3 +6x2 +12x+8 x x! 2

lm

lm

x!3

x3 9x2 +27x 27 x2 6x+9

Límites de funciones a trozos

Para calcular el límite de una función a trozos en un punto donde cambia el criterio de la función, tendremos que recurrir a los límites laterales; ya que dicha función a la derecha y a la izquierda de dicho punto tiene diferentes de…niciones. Ejemplo 10 Dada la función f (x) = calcula l m f (x) x!2

Solución Calculemos l m f (x) x!2+

2x 1 si x 2 x + 2 si x > 2

x2 +2x 15 2 x! 5 x +5x+6 2 l m 2x 2x x! 2 x +4x+4

lm

4(x2 1) 2 x!1 (x 1)

lm

5x x2 +2 2 +4x+3 3x x!0

lm

2 l m 5x2 x 6 x!2 3x +4x 20


1.3. LÍMITES DE FUNCIONES A TROZOS Si x ! 2+ ; entonces f (x) =

15

x + 2. Por lo que

l m f (x) = l m+ ( x + 2) = 0

x!2+

x!2

Calculemos ahora l m f (x) x!2

Si x ! 2 ; entonces f (x) = 2x

1. Por lo que

l m f (x) = l m (2x

x!2

1) = 3

x!2

Al no coincidir ambos límites, no existe l m f (x) x!2

La imagen de la función para x = 2 es f (2) = 3 Conclusión: Si miras la gra…ca; observarás que la función no es continua para x = 2. Al ser los límites laterales de la función en ese punto diferentes y …nitos; diremos que la función presenta para x = 2 una discontinuidad de salto …nito.

y

5 4

P(2,3)

3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1

5

x

-2 -3 -4 -5

f (x) =

2x 1 si x 2 x + 2 si x > 2

Ejemplo 11 Dada la función f (x) =

x+1 si x x2 + 1 si x >

1 1

calcula l m f (x) x! 1

Solución Como la función tiene diferentes criterios a la izquierda y a la derecha de 1. tendremos que calcular sus límites laterales.


16

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

Calculemos su límite lateral por la derecha Observa que si x ! x + 1. Por lo que

1+ (x >

l m f (x) =

x! 1+

1 y muy próximo a

l m (x + 1) =

1

(x <

l m f (x) =

x! 1

1) entonces f (x) =

1+1=0

x! 1+

Calculemos su límite lateral por la izquierda Observa que si x ! x2 + 1. Por lo que

l m f (x)

x! 1+

l m f (x)

x! 1

1 y muy próximo a x2 + 1 =

lm

x! 1

1) entonces f (x) =

1+1=0

como ambos coinciden; podemos a…rmar que l m f (x) = 0

x! 1

Fíjate además que f ( 1) = ( 1)2 + 1 = 1 + 1 = 0 Conclusión:La función es continua en x = 1 ya que l m f (x) = f ( 1) = x! 1

0.Mira ahora su grá…ca

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1 -2 -3 -4 -5

f (x) =

x+1 si x x2 + 1 si x >

1 1

5

x


1.3. LÍMITES DE FUNCIONES A TROZOS

17

Ejemplo 12 Dada la función 2x2 + 3 si x < 1 3x + 2 si x > 1

f (x) = calcula l m f (x) x! 1

Solución Como la función tiene diferentes criterios a la izquierda y a la derecha de 1; tendremos que calcular sus límites laterales. Calculemos su límite lateral por la derecha l m f (x) x!1+

+

Observa que si x ! 1 Por lo que

(x > 1 y muy próximo a 1) entonces f (x) = 3x + 2.

l m f (x) = l m (3x + 2) = 5 x!1+

x!1+

Calculemos su límite lateral por la izquierda l m f (x) x!1

Observa que si x ! 1 (x < 1 y muy próximo a 1) entonces f (x) = 2x2 + 3. Por lo que l m f (x) = l m 2x2 + 3 = 5 x!1

x!

como ambos coinciden; podemos a…rmar que l m f (x) = 5

x!1

Fíjate además que no existe f (1) Conclusión:La función no es continua en x = 1. Si miras ahora su grá…ca, verás que a la grá…ca le falta el punto de coordenadas P (1; 5) Diremos que la función presenta para x = 1 una discontinuidad evitable ( Si pudiesemos añadir ese punto P la función sería continua para x = 1)

y

8

6

P(1,5) 4

2

-4

-2

2

4

-2

f (x) =

2x2 + 3 si x < 1 3x + 2 si x > 1

x


18

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

2x2 + 3 si x 1 y f (x) = 3x + 2 si x > 1 en qué se diferencian? Mira sus grá…cas ¿Las funciones g(x) =

y

2x2 + 3 si x < 1 3x + 2 si x > 1

8

y

6

8 6

P(1,5)

-4

P(1,5)

4

4

2

2

-2

2

4

-4

x

-2

-2

f (x) =

(

x2

1 si x 1

x

2

si x > 2

2

calcula l m f (x) x!2

Solución Como la función tiene diferentes criterios a la izquierda y a la derecha del 2; tendremos que calcular sus límites laterales. Calculemos su límite lateral por la derecha l m f (x) x!2+

Observa que si x ! 2+ (x > 2 y muy próximo a 2) entonces f (x) =

Por lo que

l m f (x) = l m+ x!2

1 x

2

=

1 x

2

.

1 = +1 0+

Calculemos su límite lateral por la izquierda l m f (x) x!2

Observa que si x ! 2 (x < 2 y muy próximo a 2) entonces f (x) = x2 Por lo que l m f (x) = l m x2 1 = 3 x!2

x

2x2 + 3 si x 1 3x + 2 si x > 1

g(x) =

Ejemplo 13 Dada la función

x!2+

4

-2

2x2 + 3 si x < 1 3x + 2 si x > 1

f (x) =

2

x!2

1


1.3. LÍMITES DE FUNCIONES A TROZOS

19

como no coinciden; podemos a…rmar que No existe l m f (x) x!2

Fíjate además que f (2) = 3 Conclusión:La función no es continua en x = 2. Si miras ahora su grá…ca verás que la grá…ca tiene por asíntota vertical la recta x = 2 ( a la derecha ) Diremos que la función presenta para x = 2 una discontinuidad inevitable de salto in…nito 8

y

6

4

P

2

-4

-2

2

4

x

-2

f (x) =

(

x2

1 si x 1

x

2

si x > 2

2

Ejemplo 14 Dada la función

f (x) =

calcula l m f (x) x!2

8 > < > :

1 x 2 1 x 2

si x < 2 si x > 2

Solución Como la función tiene diferentes criterios a la izquierda y a la derecha del 2; tendremos que calcular sus límites laterales. Calculemos su límite lateral por la derecha l m+ f (x) x!2

Observa que si x ! 2+ (x > 2 y muy próximo a 2) entonces f (x) =

Por lo que

l m f (x) = l m+

x!2+

x!2

1 x

2

=

1 = +1 0+

1 x

2

.


20

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

Calculemos su límite lateral por la izquierda l m f (x) x!2

Observa que si x ! 2 Por lo que

(x < 2 y muy próximo a 2) entonces f (x) = 1

l m f (x) = l m

x como coinciden; podemos a…rmar que x!2

x!2

2

=

1 x 2

1 = +1 0

l m f (x) = +1

x!2

Fíjate además que no existe f (2) Conclusión:La función no es continua en x = 2. Si miras ahora su grá…ca verás que la grá…ca tiene por asíntota vertical la recta x = 2 ( Esta asíntota es de ramas convergentes a +1) Diremos que la función presenta para x = 2 una discontinuidad inevitable de salto in…nito

y

8

6

4

2

-4

-2

2

4

x

-2

f (x) =

Ejemplo 15 Dada la función

8 > < > :

f (x) =

1 x 2 1 x 2

si x < 2 si x > 2

x2 9 x2 2x 3

si x 6= 3 5 si x = 3

calcula l m f (x) y l m f (x) x!3

x!1

Solución Comportamiento de la función para x = Calculemos su límite lateral por la derecha

1 l m f (x)

x! 1+


1.3. LÍMITES DE FUNCIONES A TROZOS Observa que si x ! Por lo que

1+ (x >

21

1 y muy próximo a

1) entonces f (x) =

x2 9 x2 2x 3 .

l m f (x)

x!

1+

= =

x2

lm

x!

1+

lm

x! 1+

9

=

x2

lm

2x 3 x! (x + 3) 2 = + = +1 (x + 1) 0

1+

Calculemos su límite lateral por la izquierda Observa que si x ! Por lo que

1

(x <

(x (x

3) (x + 3) = 3) (x 1)

l m f (x)

x! 1

1 y muy próximo a

1) entonces f (x) =

x2 9 x2 2x 3 .

l m f (x)

x! 1

= =

lm

x! 1

lm

x! 1

x2

9

=

x2

lm

2x 3 x! 1 (x + 3) 2 = = 1 (x + 1) 0

(x (x

3) (x + 3) = 3) (x 1)

como no coinciden; podemos a…rmar que no existe l m f (x) x!1

Fíjate además que no existe f ( 1) Conclusión:La función no es continua en x = 1. Si miras ahora su grá…ca verás que la grá…ca tiene por asíntota vertical la recta x = 1 ( Esta asíntota es de ramas divergentes) Diremos que la función presenta para x = 1 una discontinuidad inevitable de salto in…nito Comportamiento de la función para x = 3 Calculemos directamente su límite l m f (x) x!3

l m f (x)

x!3

lm

x!3

(x (x

3) (x + 3) 3) (x + 1)

lm

x!3

l m f (x) =

x!3

Fíjate además que f (3) = 5

x2

0 2x 3 0 (x + 3) 6 3 = lm = = x!3 (x + 1) 4 2 =

9

=

x2

3 2

2

Conclusión:La función no es continua en x = 3 ya que4

dicho valor la función presenta una discontinuidad evitable

l m f (x) =

x!3

y f (3) = 5

3 2

3

5..Para


22

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

x+3 x+1 si a esta última le quitamos el punto Q(3; 32 ) y después le añadimos el punto P (3; 5) La grá…ca de esta función coincide con la grá…ca de la función g(x) =

8

y

6

P(3,5)

4

2

-4

Q(3, 1.5)

-2

2

4

x

-2

8 < (x f (x) = (x :

3) (x + 3) 3) (x + 1) 5

si

x 6= 3

si

x= 3

Nota: Todo lo anterior lo hubiesemos podido evitar ya que al ser

x2 2

x

2x

9 = (x 3)(x + 3) 3 = (x 3)(x + 1)

podemos de…nir la función así: 8 < (x f (x) = (x :

3) (x + 3) 3) (x 1) 5

( x+3 , f (x) = x+1 5 si x = 3 si x 6= 3

Su grá…ca será la de la hiperbola y =

si x 6= 3 si x = 3

x+3 quitándole el punto Q(3; 32 ) y x+1

añadiéndole el punto P (3; 5)

1.3.1.

Ejercicios

Ejercicio 16 Dada la función

f (x) =

8 < :

x 2 x+3

x x2

si 2 si 2 si

x< 3 3 x<0 x 0

calcula l m f (x) y l m f (x) e indica en esos puntos si la función es continua. x! 3

x!0

En caso de no serlo, clasi…ca sus discontinuidades


1.4. LÍMITES DE FUNCIONES QUE TIENEN ALGUNA RAÍZ Ejercicio 17 Dada la función 8 p x 2 si < 1+ f (x) = x2 4 si : 2x 4 si

23

x< 2 2 x<0 x 0

calcula l m f (x) y l m f (x) e indica en esos puntos si la función es continua. x! 2

x!0

En caso de no serlo, clasi…ca sus discontinuidades Ejercicio 18 Dada la función x2 1 x2 +2x 3

f (x) =

si x 6= 1 si x = 1

3

calcula su dominio de de…nición, l m f (x) , l m f (x) e indica en esos puntos x! 3

x!1

si la función es continua. En caso de no serlo, clasi…ca sus discontinuidades

1.4.

Límites de funciones que tienen alguna raíz

Ejemplo 19 Dada la función f (x) = de…nición y los siguientes límites

3+

p

x + 2 calcula su dominio de

a) l m f (x) x!1

b) l m f (x) x!0

c) l m f (x) x! 3

Solución El dominio de de…nición de la función es: D(f ) = fx 2 R /

x+2

0g = fx 2 R / x

2g = ( 1; 2]

Recuerda que la función es continua en su dominio de de…nición. Por esta razón, para calcular l m f (x) siempre que a 2 D(f );bastará con x!a sustituir x por a en la función l m f (x) = f (a)

x!a

Calculemos pues los tres límites a) l m ( 3 +

p

b) l m

p

x!1

x!0

c) l m

x! 3

x + 2) =

3+1= 2 p 3+ x+2 = 3+ 2 p p 3+ x+2 = 3+ 5

p p Los puntos P (1; 2); Q(0; 3 + 2) y R( 3; 3 + 5) son puntos de la grá…ca donde la función es continua. Mira su grá…ca


24

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

y

3

2

1

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

-1

R

Q -2

P -3

y=

3+

p

x+2

Nota: Si al calcular un límite obtenemos la indeterminación 00 y nos aparece una resta de monomios donde al menos uno de éstos aparece una raíz cuadrada; tendremos que multiplicar numerador y denominador por su expreión conjugada 2 determina su dominio de de…niEjemplo 20 Dada la función f (x) = 2 xpx+2 ción y después estudia el comportamiento de la función para x = 2 y para x=2

Solución Su dominio de de…nición es D(f ) = fx 2 R = x + 2 0g x2R/2 D(f ) = [ 2; +1) f2g = [ 2; 2) [ (2; +1)

p

x+2=0

Ya sabemos que la función es continua en [ 2; 2) [ (2; +1) Para estudiar el comportamiento de la función para x = estudiar l m + f (x). Veámoslo

2; bastará con

x! 2

l m + f (x) =

x! 2

La función para x = punto de la grá…ca)

l m+

x! 2

x 2 p 2 x+2

=

4 = 2

2

2 es continua por la derecha ( H( 2; 2) es el primer


1.4. LÍMITES DE FUNCIONES QUE TIENEN ALGUNA RAÍZ

25

Para estudiar el comportamiento de la función para x = 2; calcularemos l m f (x) x!2

l m f (x) = l m

x!2

x!2

x 2 p x+2

2

=

0 0

Al obtener la indeterrminación 00 ; para eliminarla y calcular el límite multiplicaremos numerador y denominador por la conjugada del denominador p (x 2) 2 + x + 2 x 2 p p p = lm lm = x!2 2 x + 2 x!2 2 x+2 2+ x+2 p p (x 2) 2 + x + 2 (x 2) 2 + x + 2 = lm = lm x!2 x!2 4 (x + 2) x+2 x 2 = 1: Por lo que Fíjate que x+2 p = lm 2+ x+2 = 4 x!2

2

Como 4

3

No existe f (2) 5 la función presenta para x = 2 una discontinuidad y l m f (x) = 4

x!2

2 evitable. La grá…ca de la función y = 2 xpx+2 coincide con la grá…ca de y = p x + 2 si a esta última le quitamos el punto de coordenadas P (2; 4) 2

y -4

-3

-2

1

-1

1

2

3

4

5

x

-1

H

-2

-3

-4

P -5

y=

2

xp 2 x+2

2 Ejemplo 21 Dada la función f (x) = 1 xpx+1 determina su dominio de de…nición y después estudia el comportamiento de la función para x = 1 y para x=0


26

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

Solución Su dominio de de…nición es D(f ) = fx 2 R = x + 1 0g x2R/1 D(f ) = [ 1; +1) f0g = [ 1; 0) [ (0; +1)

p

x+1=0

Ya sabemos que la función es continua en [ 1; 0) [ (0; +1) Para estudiar el comportamiento de la función para x = estudiar l m + f (x). Veámoslo

1; bastará con

x! 2

l m + f (x) =

x! 1

La función para x = punto de la grá…ca)

l m+

x! 1

x 2 p 1 x+1

=

3 = 1

3

1 es continua por la derecha ( H( 1; 3) es el primer

Para estudiar el comportamiento de la función para x = 0; calcularemos l m f (x) x!0

l m f (x) = l m

x!0

x!0

x 2 p 1 x+1

=

2 0

Al obtener 02 ; sabemos que x = 0 es una asíntota vertical. La función no es continua para x = 0 Para x = 0 la función presenta una discontinuidad inevitable de salto in…nito Para saber la posición de la grá…ca de la función con respecto a esa asíntota vertical, tendemos que estudiar sus límites lateralesw x 2 2 p = = +1 0 x!0 1 x+1 x 2 2 p lm = + = 1 0 x!0 1 x+1 l m+

Conclusión: x = 0 es una asíntota vertical, de ramas divergentes, de la fun2 cion y = 1 xpx+1


1.4. LÍMITES DE FUNCIONES QUE TIENEN ALGUNA RAÍZ

27

10

y

x=0 A.V. 8 6 4 2

-10

-8

-6

-4

-2

2

P -2

4

6

8

10

x

-4 -6 -8 -10

Ejemplo 22 Dada la función f (x) = 1 pxx+1 determina su dominio de de…nición y después estudia el comportamiento de la función para x = 1 y para x=0 Solución Su dominio de de…nición es D(f ) = fx 2 R = x + 1 0g x2R/1 D(f ) = [ 1; +1) f0g = [ 1; 0) [ (0; +1)

p

x+1=0

Ya sabemos que la función es continua en [ 1; 0) [ (0; +1) Para estudiar el comportamiento de la función para x = estudiar l m + f (x). Veámoslo

1; bastará con

x! 1

l m + f (x) =

x! 1

La función para x = punto de la grá…ca)

l m+

x! 1

x p x+1

1

=

1 = 1

1

1 es continua por la derecha ( P ( 1; 1) es el primer

Para estudiar el comportamiento de la función para x = 0; calcularemos l m f (x) x!0

l m f (x) = l m

x!0

x!0

1

x p x+1

=

0 0


28

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

Al obtener la indeterrminación 00 ; para eliminarla y calcular el límite multiplicaremos numerador y denominador por la conjugada del denominador p x 1+ x+1 x p p p lm = lm = x!0 1 x!0 1 x+1 x+1 1+ x+1 p p p x 1+ x+1 x 1+ x+1 lm = lm = lm 1+ x+1 = 2 x!0 x!0 x!0 1 (x + 1) x 2

3 No existe f (0) 5 la función presenta para x = 0 una discontinuidad y Como 4 l m f (x) = 2 x!0

evitable. La grá…ca de la función y = 1 pxx+1 coincide con la grá…ca de y = p 1 x + 1 si a esta última le quitamos el punto de coordenadas H(0; 2)

y -4

-3

-2

1

-1

P

1

2

3

4

5

x

-1

-2

H

-3

-4

-5

y=

1

px x+1 p

Ejemplo 23 Dada la función f (x) = 1 xx+1 determina su dominio de de…nición y después estudia el comportamiento de la función para x = 1 y para x=0 Solución Su dominio de de…nición es D(f ) = fx 2 R = x + 1 0g fx 2 R / x = 0g D(f ) = [ 1; +1) f0g = [ 1; 0) [ (0; +1) Ya sabemos que la función es continua en [ 1; 0) [ (0; +1)


1.4. LÍMITES DE FUNCIONES QUE TIENEN ALGUNA RAÍZ Para estudiar el comportamiento de la función para x = estudiar l m + f (x). Veámoslo

29

1; bastará con

x! 1

l m f (x) =

x! 1+

La función para x =

lm

p

x+1 x

1

x! 1+

=

1 = 1

2

6 1 es continua por la derecha ya que 4

1

3 f (1) = 1 7 y 5( l m f (x) = 1

x! 1+

P ( 1; 1) es el primer punto de la grá…ca)

Para estudiar el comportamiento de la función para x = 0; calcularemos l m f (x) x!0

l m f (x)

x!0

l m f (x)

x!0

=

lm

1

p

x!0

x+1 x

=

0 0

p Multiplicando numerador y denominador por 1 + x + 1 p p 1 x+1 1+ x+1 1 (x + 1) p p = lm = lm = x!0 x!0 x 1 + x 1+ x+1 x+1 =

lm

x!0

x 1+

x p = x+1

lm

1+

x!0

1 p x+1

=

1 2

2

3 No existe f (0) 5 la función presenta para x = 0 una discony Como 4 l m f (x) = 12 x!0

p

tinuidad evitable. La grá…ca de la función y = 1 xx+1 coincide con la grá…ca 1 de y = 1+px+1 si a esta última le quitamos el punto de coordenadas H(0; 12 )


30

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

y -4

-3

-2

1

-1

P

1

H

2

3

4

5

x

-1

-2

-3

-4

-5

y=

1

p

x+1 x

p 2 x+1 determina su dominio de x2 9 de…nición y después estudia el comportamiento de la función para x = 1 y para x = 3 Ejemplo 24 Dada la función f (x) =

4

Solución El dominio de de…nición de esta función D(f ) = fx 2 R = x + 1 0g x 2 R / x2 9 = 0 D(f ) = [ 1; +1) f 3; 3g = [ 1; 3) [ (3; +1) Ya sabemos que la función es continua en [ 1; 3) [ (3; +1) Para estudiar el comportamiento de la función para x = estudiar l m + f (x). Veámoslo

1; bastará con

x! 1

l m f (x) =

x! 1+

La función para x = P ( 1;

1 2)

lm

x! 1+

4

p 2 x+1 x2 9

= 2

6 1 es continua por la derecha 4

es el primer punto de la grá…ca)

4 = 8

1 2

f ( 1) = 21 y l m + f (x) =

x! 1

1 2

3

7 5(


1.4. LÍMITES DE FUNCIONES QUE TIENEN ALGUNA RAÍZ

31

Para estudiar el comportamiento de la función para x = 3; calcularemos su limite p 4 2 x+1 0 l m f (x) = l m = x!3 x!3 x2 9 0 p Multiplicando numerador y denominador por 4 + 2 x + 1 p p 4 2 x+1 4 2 x+1 16 4(x + 1) p p l m f (x) = l m = lm 2 = 2 x!3 x!3 x!3 (x 9) 4 + 2 x + 1 (x 9) 4 + 2 x + 1 4(x 3) 4x + 12 p p =1 = lm = = lm 2 x!3 (x x!3 (x 9) 4 + 2 x + 1 3)(x + 3) 4 + 2 x + 1 1 4 4 p = = lm = x!3 (x + 3) 4 + 2 x + 1 68 12 2

3 No existe f (3) 5 la función presenta para x = 3 una discony Como 4 1 l m f (x) = 12 x!3 p 4 2 x+1 tinuidad evitable. La grá…ca de la función y = coincide con la x2 9 4p grá…ca de y = (x+3) 4+2 si a esta última le quitamos el punto de coordex+1) ( 1 nadas H(3; 12 )

y -4

-3

-2

1

H

-1

1

P -1 -2 -3 -4 -5

y= Ejemplo 25 Sea f (x) =

p

4

p 2 x+1 x2 9

x calcula lm

x!a

f (x) x

f (a) a

2

3

4

5

x


32

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

Solución p p f (x) f (a) x a = lm = 00 x!a x!a x a x a Para eliminar la indeterminación 00 ; multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del numerador p p p p p p x a ( x a) ( x + a) p p = lm = lm x!a x!a x a (x a) ( x + a) x a 1 1 p p = lm p p = p = lm x!a (x a) ( x + a) x!a ( x + a) 2 a lm

Ejemplo 26 Sea f (x) =

p1 x

calcula l m

x!a

f (x) x

f (a) a

Solución 1

1

p p f (a) x a = lm = x!a a x a p p p p pa p x a x 0 a x = lm = lm p = x!a x x!a a 0 ax (x a)

f (x) x!a x lm

Para eliminar la indeterminación 00 ; multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del numerador p p p p p p a x ( a x) ( a + x) p p = lm p = lm p x!a ax (x a) x!a ax (x a) ( a + x) a x p p = lm p x!a ax (x a) ( a + x) Ahora fíjate que = lm p x!a

1.4.1.

a x x a

=

1 con lo que

1 p p = ax ( a + x)

1 p = a (2 a)

1 p 2a a

Ejercicios p

Ejercicio 27 Dada la siguiente función y = 34 p2x+3 calcula su dominio de 5x+1 de…nición y los siguientes límites p 3 2x + 3 p a) l m 4 5x + 1 x! 15 + p 3 2x + 3 p b) l m x!3 4 5x + 1


1.4. LÍMITES DE FUNCIONES QUE TIENEN ALGUNA RAÍZ Ejercicio 28 Dada la siguiente función y = de…nición y los siguientes límites

2 x p 4x+4 calcula x+2 2

33

su dominio de

x2 4x + 4 p x! 2+ x+2 2 x2 4x + 4 b) l m p x!2 x+2 2

a) l m

Ejercicio 29 Dada la siguiente función y = de…nición y los siguientes límites

x2 +3x 2 p calcula 2 x+3 4

su dominio de

x2 + 3x 2 p x! 3 2 x+3 4 x2 + 3x 2 b) l m p x!1 2 x + 3 4

a) l m +

Ejercicio 30 Dada la siguiente función y = de…nición y los siguientes límites 4 3

a) l m x!

1+ 5

4 3

b) l m

x!3

x!

2+

b) l m

p 5x + 1 p 2x + 3

p

x!2

p

x!1

c) l m

x!1

su dominio de

x+2 2 4x + 4

x+2 2 x2 4x + 4 p

x+3 2 x2 +3x 2 calcula

p

a) l m b) l m

p x+2 2 x2 4x+4 calcula

x2

Ejercicio 32 Dada la siguiente función y = de…nición y los siguientes límites

x! 3+

calcula su dominio de

p 5x + 1 p 2x + 3

Ejercicio 31 Dada la siguiente función y = de…nición y los siguientes límites a) l m

p 4 p5x+1 3 2x+3

p

x+3 2 x2 + 3x 2

x+3 2 x2 + 3x 2 p x+3 2 x2 + 3x 2

su dominio de


34

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

1.5.

Límite de la suma o resta de funciones

Para calcular l m (f (x) + g(x) tendremos presente la siguiente tabla x!a

l m f (x)

x!a

b c l m g(x)

x!a

+1 +1 x = a A:V +1 x = a A:V

b+c +1 x = a A:V 1 x = a A:V

+1 1

1 1 x = a A:V Ind 1 x = a A:V

Ind

cuando nos aparezca "1 1" diremos que es una indeterminación. No podremos evaluar directamente el límite; ya que éste dependerá de las funciones f y g que intervangan. Para eliminar la indeterminación operaremos y ...

1.5.1.

Ejemplos y ejercicios

Ejemplo 33 Calcula l m

x!3

h

x2 5x x+1

1 x+5

i

Solución Calculamos por separado cada límite

x2 5x x!3 x + 1 1 lm x!3 x + 5 lm

3 2

= =

1 8

Por lo que x2 5x 1 = x!3 x+1 x+5 h 2 i Ejemplo 34 Calcula l m xx+15x 3 1 x lm

3 2

1 = 8

3 2 1 = 0

1

13 8

x!3+

Solución Calculamos por separado cada límite x2 5x x+1 x!3 1 l m+ x x!3 3 l m+

= =

Por lo que: l m+

x!3

x2 5x x+1

1 3

x

=

3 2

( 1) =

3 + 1 = +1 2


1.5. LÍMITE DE LA SUMA O RESTA DE FUNCIONES h

Ejercicio 35 Calcula tú l m x!3

Ejemplo 36 Calcula l m

x!2+

h

x2 5x x+1

1 3 x

4 (x 3)2

x 3 x 2

i

35

i

Solución Calculamos por separado cada límite x x 4

lm

x!2+

lm

3 2 2

(x

x!2+

2)

1 = 1 0+ 4 = +1 0+

= =

Por lo que: lm

x!2+

"

x x

3 2

4 2

(x

2) h

Ejercicio 37 Calcula l m x!2

Ejemplo 38 Calcula l m+ x!2

h

#

=

x 3 x 2

x 3 x 2

1

(+1) =

4 (x 2)2

+

4 (x 2)2

i

1

1=

1

¿Cuál es el valor del l m

x!2

i

h

4 (x 3)2

x 3 x 2

i

?

i

?

Solución Calculamos por separado cada límite l m+

x!2

lm

x!2+

x x 4

(x

Por lo que: " # x 3 4 lm + = 2 (x 2)2 x!2+ x

3 2 2

2)

1 = 1 0+ 4 = +1 0+

= =

1 + (+1) =

1 + 1 Indeterminación

Para eliminar la indeterminación, calcularemos la suma de fracciones reduciéndola a común denominador " # " # x 3 4 (x 3) (x 2) 4 lm + = l m+ + 2 2 = 2 (x 2)2 x!2+ x x!2 (x 2) (x 2) " # x2 5x + 10 4 = lm = + = +1 2 + 0 x!2 (x 2) Ejercicio 39 Calcula l m x!2

h

x 3 x 2

+

4 (x 2)2

i

¿Cuál es el valor del l m

x!2

h

x 3 x 2

+

4 (x 2)2


36

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

h

Ejemplo 40 Calcula l m x!2

5x 10 (x 2)2

x+3 x 2

i

Solución Calculamos por separado cada límite x+3 5 = 1 = 2 0 x!2 x 0 5 5x 10 5 (x 2) 5 = lm = 2 = 0 ! lm 2 = l m (x 2) 0 x!2 (x x!2 x!2 2) (x 2) lm

1

Por lo que: lm

x!2

"

x+3 x 2

5x

10

(x

2)

2

#

=

1

( 1) =

1 + 1 Indeterminación

Para eliminar la indeterminación, calcularemos la suma de fracciones reduciéndola a común denominador " # x+3 5x 10 x+3 5 lm = lm = 2 x 2 (x 2) x 2 (x 2) x!2 x!2 = l m+ x!2

Ejercicio 41 Calcula l m+ x!2

h

Observa que: 5x La grá…ca de y = xx+32 (x quitamos el punto P (2; 1) Ejemplo 42 Calcula l m

x!1+

h

x+3 x 2 10 2)2

x+2 x 1

x x

2 = l m+ 1 = 1 2 x!2 5x 10 (x 2)2

i

. ¿Cuál es el valor del l m

x!2

h

x+3 x 2

coincide con la función constante y = 1 si le

x+11 (x 1)(x+3)

i

Solución Calculamos por separado cada límite x+2 1 x!1 x x + 11 lm 1) (x + 3) x!1+ (x l m+

= =

3 = +1 0+ 12 6 = + = +1 0+ 2 0

Por lo que: lm

x!1+

x+2 x 1

(x

5x 10 (x 2)2

x + 11 = +1 1) (x + 3)

(+1) = 1

1 Indeterminación

i

?


1.6. LÍMITE DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES

37

Para eliminar la indeterminación, calcularemos la suma de fracciones reduciéndola a común denominador lm

x!1+

x + 11 (x + 11) (x + 2) (x + 3) = lm = (x 1) (x + 3) 1) (x + 3) (x 1) (x + 3) x!1+ (x x2 + 5x + 6 x 11 x2 + 4x 5 0 = l m+ = l m+ = (x 1) (x + 3) (x 1) (x + 3) 0 x!1 x!1

x+2 x 1

Factorizando el numerador y simpli…cando (x + 5) (x 1) x2 + 4x 5 = l m+ = (x 1) (x + 3) (x 1) (x + 3) x!1 6 3 x+5 = lm = = 4 2 x!1+ x + 3

= l m+ x!1

Ejercicio 43 l m x!1

h

x+2 x 1

x+11 (x 1)(x+3)

i

: ¿Cuál es el valor del l m

x!1

h

x+2 x 1

x+11 (x 1)(x+3)

Observa que: x+11 La grá…ca de y = xx+21 (x 1)(x+3) coincide con la función constante y = si le quitamos el punto P (1; 32 )

1.6.

i

?

x+5 x+3

Límite del producto de dos funciones

Para calcular l m (f (x) g(x) tendremos presente la siguiente tabla x!a

l m f (x)

x!a

b 6= 0

0

bc

0

c 6= 0 l m g(x)

x!a

0 +1

1

0

2

3

+1 si b > 0 1 si b < 0 5 x = a A:V 3 2 1 si b > 0 4 +1 si b < 0 5 x = a A:V

4

+1 3 +1 si c > 0 4 1 si c < 0 5 x = a A:V Ind 2

0

1 3 1 si c > 0 4 +1 si c < 0 5 x = a A:V Ind 2

Ind

+1 x = a A:V

1 x = a A:V

Ind

+1 x = a A:V

+1 x = a A:V

Cuando nos aparezca "0 1" diremos que es una indeterminación. No podremos evaluar directamente el límite; ya que éste dependerá de las funciones f y g que intervengan. Para eliminar la indeterminación operaremos y ...

1.6.1.

Ejemplos y ejercicios

Ejemplo 44 Calcula l m

x!3

h

x2 5x x+1

3

1 x+5

i


38

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

Solución Calculamos por separado cada límite x2 5x x!3 x + 1 1 lm 3 x!3 x+5 lm

3 2

= =

1 23 = 8 3

3

Por lo que x2 5x x+1

lm

x!3

Ejercicio 45 l m

x!4

h

x2 9 x+1

Ejercicio 46 Calcula Ejercicio 47 Calcula

l m+

x! 1

lm

x! 1

x!3

3 2

=

h

h

h

x2 9 x+1

1

1 (x 3)2

x2 9 x+1

1

1 (x 3)2

x2 9 x+1

x2 9 x+1 x!3 1 1 (x 3)2 l m+

x!3

=

69 16

=

0

=

1

i

i

1 (x 3)2

1

Solución Calculamos por separado cada límite

l m+

23 8

1 (x 3)2

1

Ejemplo 48 Calcula l m+

1 x+5 i

3

i

1 =1 0+

1=

1

Por lo que x2 9 x+1

l m+

x!3

1

1 (x

3)2

= "0 1"

Calculando x2 9 x+1

x2 9 x2 6x + 8 = (x 3)2 x + 1 (x 3)2 (x 3)(x + 3) x2 6x + 8 = x+1 x+5 1

1

=

Así pues l m+

x!3

= lm

x!3+

x2 9 x+1 "

(x

1

1 (x

3)2

= l m+ x!3

"

(x

3)(x + 3) x2 6x + 8 (x + 1) (x + 5)

#

=

0 0

simpli…cando la fracción resultante # " # 3)(x + 3) x2 6x + 8 (x + 3) x2 6x + 8 6 = lm = 2 (x + 1) (x 3) 4 0+ x!3+ (x + 1) (x 3)

1


1.6. LÍMITE DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES

39

Ayuda: El dominio de de…nición de f (x) = g(x) h(x) donde g(x) = ( D(g) = R f 1g) y h(x) = 1 (x 13)2 ( D(h) = R f3g)es D(f ) = D(g) \ D(h) = R 2

La grá…ca de y = xx+19 1 (x 13)2 ya que ambos dominios son iguales h 2 Ejercicio 49 Calcula l m xx+19 1 h

Ejercicio 50 Calcula l m

x!2

Ejercicio 51 Calcula l m x!2

Ejemplo 52 Calcula l m

x!1+

x+3 x+2

h

h

1

3 (x 2)2

x+3 (x 1)2

f 1; 3g

es la misma que la de y =

3x 5 x 1

1

i

3x 5 x 1

x+3 4x

1

(x+3)(x2 6x+8) (x+1)(x 3)

i

1 (x 3)2

x!3

x2 9 x+1

i

i

Solución Calculando cada límite por separado lm

x!1+

4 2 = 0+ = +1 1) x+3 1 =0 4x

x+3 (x

lm

x!1+

Con lo que lm

x!1+

"

x+3 2

(x

1)

x+3 4x

1

#

= "0 1"

Para eliminar la indeterminación operaremos lo de dentro del límite " " " # # # x+3 x+3 ( 3x + 3) (x + 3 0 x+3 3x + 3 = lm 1 = lm = lm 2 2 2 + + + 4x 4x 0 x!1 x!1 x!1 (x 1) (x 1) 4x (x 1) Factorizando numerador y denominador " # " # ( 3x + 3) (x + 3) 3 (x 1) (x + 3) 3(x + 3) 12 3 lm = l m+ = l m+ = = + = 2 2 + 4x(x 1) 4 0 0 x!1+ x!1 x!1 4x (x 1) 4x (x 1) Ejercicio 53 Calcula l m x!1

h

x+3 (x 1)2

Observa que: x+3 La grá…ca de y = (xx+3 4x 1)2 ambos dominios son iguales

x+3 4x

1

i

1 es la misma que la de y =

3(x+3) 4x(x 1)

ya que

1


40

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

Ejemplo 54 Calcula l m+ x!0

Ejemplo 55 Calcula l m+ x!1

h

h

x+3 (x 1)2 x+3 x 1

x+3 4x

x+3 4x

1 1

Solución Calculando cada límite por separado

i

i

y lm x!0

h

x+3 (x 1)2

x+3 4x

1

i

x+3 4 = + = +1 1 0 x!1 x x+3 lm 1 =0 x!1 4x l m+

Con lo que x+3 x+3 1 = "0 1" (x 1) 4x Para eliminar la indeterminación operaremos lo de dentro del límite lm

x!1+

l m+

x!1

x+3 x 1

x+3 4x

1

x+3 x 1

= l m+ x!1

3x + 3 4x

= l m+ x!1

( 3x + 3) (x + 3 0 = 4x (x 1) 0

Factorizando numerador y denominador ( 3x + 3) (x + 3) 3 (x 1) (x + 3) = lm = lm 4x (x 1) 4x (x 1) x!1+ x!1+ h i Ejercicio 56 l m (xx+31) x+3 1 4x lm

x!1+

3(x + 3) = 4x

3

x!1

Observa que: Ayuda: El dominio de de…nición de f (x) = g(x) h(x) donde g(x) = 1 (D(h) = R f0g)es (D(g) = R f1g) y h(x) = x+3 4x D(f ) = D(g) \ D(h) = R La grá…ca de y = (xx+31) x+3 4x quitándole el punto P (1; 3)

1.7.

x+3 (x 1)

f0; 1g

1 es la misma que la de y =

3(x+3) ; 4x

pero

Límite del cociente de dos funciones f (x) x!a g(x)

Para calcular l m

tendremos presente la siguiente tabla l m f (x)

x!a

c 6= 0 l m g(x)

x!a

0 +1 1

b 6= 0

0

b c

0

x = a A.V calculan límites laterales

0 0

Ind 0 0

+1 3 +1 si c > 0 4 1 si c < 0 5 x = a A:V x = a A.V 2

1 3 1 si c > 0 4 +1 si c < 0 5 x = a A:V x = a A.V 2

calculan límites laterales

clculan límites laterale

Ind Ind

Ind Ind


1.7. LÍMITE DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES

41

No podremos evaluar directamente el límite cuando nos aparezcan las indeterminaciones 00 o 1 1 ; ya que éste dependerá de las funciones f y g que intervengan. Cuando nos aparezca la indeterminación " 00 " factorizaremos al máximo (x) la fracción fg(x) y simpli…caremos En esta última situación, si aparece al menos un binomio que contenga alguna raíz cuadrada, primero multiplicaremos numerador y denominador por su expresión conjugada y, después intentaremos factorizar al máximo. 1 Cuando aparezca la indeterminación " 1 "operaremos la fracción.

1.7.1.

Ejemplos y ejercicios

Ejemplo 57 Calcula l m

x!2

Solución: 2 6 Como 4

l m 3x+2 x!2 x+3

=

8 5

y l m 2x 1 x!2 x+1

=1

h

3x+2 x+3

:

2x 1 x+1

3

i

7 5; entonces

3x + 2 2x 1 8 8 : = :1= x+3 x+1 5 5

lm

x!2

Conclusión: La función para x = 2 es continua; ya que f (2) = 58 y h i 3x+2 1 l m x+3 : 2x = x+1

x!2

Ejemplo 58 Calcula l m

x!2

h

x+4 x 1

:

x 2 x+3

Solución: 2 3 l m x+4 = 6 x!2 x 1 6 7 y Como4 5; entonces l m xx+32 = 0

i

8 5

. ¿ La función es continua para x = 2?

x!2

lm

x!2

x+4 x 2 6 : = x 1 x+3 0

Ya sabemos que x = 2 es una asíntota vertical de la función y = Tendremos que estudiar los límites laterales lm

x!2+

lm

x!2

x+4 x 2 : x 1 x+3 x+4 x 2 : x 1 x+3

= =

lm

x!2+

lm

x!2

x+4 x 1

(x + 4) (x + 3) 30 = = +1 (x 1) (x 2) 1 0+ (x + 4) (x + 3) 30 = = 1 (x 1) (x 2) 10

:

x 2 x+3 .


42

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

Conclusión: La recta x = 2 es una asíntota vertical de ramas divergentes de la función La función presenta para x = 2 una discontinuidad inevitable de salto in…nito g(x) donde g(x) = xx+41 (D(g) = R f1g) y t(x) = xx+32 Ayuda Al ser f (x) = t(x) (D(t) = R f 3g) , su dominio de de…nición será D(f ) [(R

f1g) \ (R

= D(g) \ D(t)

f 3g)]

f2g = R

x 2 =0 x+3

=

f 3; 1; 2g

x+4 x 1

Nota: La grá…ca de la función y =

x2R/

:

x 2 x+3

coincide con la de y =

(x+4)(x+3) (x 1)(x 2)

quitándole el punto P ( 3; 0) (Compruébalo) i h x 3 : 5x+15 . ¿La función es continua para x =3? Ejemplo 59 Calcula l m 2x+1 x+2 x!3

Solución: 2 6 Como4

lm x 3 x!3 2x+1

=0

y

lm

x!3

5x+15 x+2

=0 lm

x!3

3

7 5; entonces x 3 : 2x + 1

5x + 15 0 = x+2 0

Operando y simpli…cando [ 5x + 15 = lm

x!3

(x 3) (x + 2) (2x + 1) ( 5x + 15) (x + 2) lm x!3 5 (2x + 1)

= =

5(x

3)]

(x 3) (x + 2) = 5 (2x + 1) (x 3) 5 1 = 35 7

lm

x!3

g(x) x 3 Ayuda Al ser f (x) = t(x) donde g(x) = 2x+1 (D(g) = R 5x+15 t(x) = x+2 (D(t) = R f 2g) , su dominio de de…nición será

D(f ) R

1 2

\ (R

= D(g) \ D(t)

f 2g)

f3g = R

x2R/ 2;

1 2

) y

5x + 15 =0 x+2

1 ;3 2

Conclusión: La función presenta para x = 3 una discontinuidad evitable; puesto que no existe f (3) y 9 l m f (x) = 71 x!3

(x+2) La grá…ca de : es la misma que la de y = 5(2x+1) pero 1 quitándole el punto P (3; 7 ) y también el punto Q( 2; 0) (Compruébalo) x 3 y= 2x+1

5x+15 x+2

=


1.7. LÍMITE DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES Ejemplo 60 Calcula l m

x!3

h

(x 3)2 x+1

:

x 3 x+3

Solución: 2 3 3)2 l m (xx+1 =0 6 x!3 7 Como4 5; entonces y l m xx+33 = 0

i

43

. ¿La función es continua para x =3?

x!3

lm

x!3

"

# 2 (x 3) x 3 0 : = x+1 x+3 0

Operando y simpli…cando " # 2 (x + 3) (x 3) lm x!3 (x + 1) (x 3) " # x2 9 lm x!3 (x + 1)

= =

(x

lm

x!3

3) (x + 3) = (x + 1)

0 2

g(x) 3) Ayuda Al ser f (x) = t(x) donde g(x) = (xx+1 (D(g) = R x 3 t(x) = x+3 (D(t) = R f 3g) , su dominio de de…nición será

D(f ) [(R

f 1g) \ (R

= D(g) \ D(t)

f 3g)]

f3g = R

x2R/

f 1g) y

x 3 =0 x+3

=

f 3; 1; 3g

Conclusión: La función presenta para x = 3 una discontinuidad evitable; puesto que no existe f (3) y 9 l m f (x) = 0 x!3

(x2 9) 3) La grá…ca de y = (xx+1 : xx+33 es la misma que la de y = (x+1) pero quitándole el punto P (3; 0) y también el punto Q( 3; 0) (Compruébalo) h i (x+2)2 . ¿ La función es continua para x = Ejemplo 61 Calcula l m x+2 x+1 : x+3 2

x! 2

2?

Solución: 2 6 Como6 4

x+2 x! 2 x+1

lm

=0

y lm

x! 2

(x+2)2 x+3

=0

lm

3

7 7; entonces 5

x! 2

"

2

x + 2 (x + 2) : x+1 x+3

#

=

0 0


44

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

Operando y simpli…cando " # 2 x + 2 (x + 2) lm : x! 2 x + 1 x+3 (x + 3) (x + 1) (x + 2)

lm

x! 2

Ya sabemos que x = (x+2) x+3

2

=

lm

x! 2

"

(x + 3) (x + 2) 2

(x + 1) (x + 2)

#

=

1 0

=

2 es una asíntota vertical de la función y =

x+2 x+1

:

. Tendremos que estudiar los límites laterales (x + 3) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 1) (x + 2)

l m+

x! 2

lm

x! 2

1 1 = = 1 1 0+ 0 1 1 = + = +1 10 0

= =

Conclusión: La recta x = 2 es una asíntota vertical de ramas divergentes de la función La función presenta para x = 2 una discontinuidad inevitable de salto in…nito g(x) Ayuda Al ser f (x) = t(x) donde g(x) = x+2 f 1g) y t(x) = x+1 (D(g) = R (x+2)2 x+3

(D(t) = R

f 3g) , su dominio de de…nición será ( D(f )

[(R

f 1g) \ (R

= D(g) \ D(t)

f 3g)]

f 2g = R

2

(x + 2) =0 x2R/ x+3

)

=

f 3; 2; 1g

2

(x+3) x+2 NOTA: La grá…ca de y = x+1 : (x+2) coincide con la de y = (x+1)(x+2) x+3 pero si le quitamos el punto P ( 3; 0) h i 3 2 x+5 l m (xx+3 2 : x 1 1) 6 x!1+ 7 7 Ejemplo 62 Calcula 6 4 h y i 5 ¿ La función es continua para x+3 x+5 l m (x 1)2 : x 1 x!1

x = 1?

Solución: Calculemos primero l m+ x!1

2

6 Como4

l m+

x!1

lm

x+3 (x 1)2

x!1+

x+5 x 1

=

y =

4 0+

6 0+

lm

x!1+

h

x+3 (x 1)2

= +1

= +1 "

x+5 x 1

i

7 5; entonces

# x+5 +1 = 2 : x 1 +1 1)

x+3 (x

3

:


1.7. LÍMITE DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES Operando y simpli…cando " # x+3 x+5 lm 2 : x 1 x!1+ (x 1)

=

"

lm

x!1+

45

(x + 3) (x (x

1)

2

1) (x + 5)

#

=

#

=

4 4 (x + 3) = = + = +1 1) (x + 5) 0+ 6 0 h i x+5 Calculemos ahora l m (xx+3 2 : x 1 1) lm

x!1+

(x

x!1

2

6 Como4

x+3 (x 1)2

lm

x!1

lm

x!1

=

y =

x+5 x 1

4 0

6 0

=

= "

lm

x!1

lm

# x+5 = 2 : x 1 1)

x+3 (x

(x + 3) 1) (x + 5)

(x

7 5; entonces

1

Operando y simpli…cando " # x+3 x+5 lm 2 : x 1 x!1 (x 1) x!1

3

1

= =

"

lm

x!1

1 1

(x + 3) (x (x

1)

2

1) (x + 5)

4 4 = = 0 6 0

1

Conclusión: La recta x = 1 es una asíntota vertical, de ramas divergentes,de la función.. Ésta presenta para x = 1 una discontinuidad inevitable de salto in…nito. g(x) Ayuda Al ser f (x) = t(x) donde g(x) = (xx+3 (D(g) = R f1g) y t(x) = 1)2 x+5 x 1

(D(t) = R

f1g) , su dominio de de…nición será

D(f ) [R

= D(g) \ D(t)

f1g]

f 5g = R

x2R/

x+5 =0 x 1

=

f 5; 1g

NOTA: La grá…ca de y = (xx+3 : xx+51 coincide con la de y = (x (x+3) 1)(x+5) 1)2 h i Ejemplo 63 Calcula l m (xx+2 : (2xx+38)2 ¿La función es continua para x = 4)2 x!4

1?

Solución: 2 6 Como4

l m x+2 2 x!4 (x 4)

l m x+3 2 x!4 (2x 8)

=

6 0+

= +1

y =

7 0+

= +1

"

x+2

lm

x!4

(x

2

4)

3

7 5; entonces :

x+3 (2x

2

8)

#

=

+1 +1


46

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

2

Operando y simpli…cando ((2x 8)2 = [2(x 4)] = 4(x 4)2 ) " # " # 2 x+2 x+3 (x + 2) (2x 8) lm = lm = 2 : 2 2 x!4 (x x!4 4) (2x 8) (x 4) x + 3 " # 4 (x + 2) 24 (x + 2) 4(x 4)2 = lm = lm 2 x!4 x!4 (x + 3) 7 (x 4) (x + 3) Ayuda Al ser f (x) = x+3 (2x 8)2

(D(t) = R D(f ) [R

g(x) t(x) donde

g(x) =

x+2 (x 4)2

(D(g) = R

f4g) , su dominio de de…nición será (

x2R/

= D(g) \ D(t)

f4g]

f 3g = R

x+3 (2x

2

8)

f4g) y t(x) = )

=0

=

f 3; 4g

Conclusión: La función presenta para x = 4 una discontinuidad evitable; puesto que no existe f (4) y 9 l m f (x) = 24 7 x!4

La grá…ca de y quitándole el punto

= (xx+2 4)2 P (4; 24 7 ) 2

6 Ejemplo 64 Calcula 6 4

:

l m+

x!5

lm

x!5+

x = 1?

x+3 (2x 8)2

h h

x+1 x 5

es la misma que la de y =

:

x+2 (x 5)2

:

x+2 (x 5)2

y x+1 x 5

i 3

x!5

lm

x!5+

pero

7 7 i 5 ¿ La función es continua para

Solución: h i Calculemos primero l m+ xx+15 : (xx+2 2 5) x!5 2 3 l m+ xx+15 = 06+ = +1 6 x!5 7 y Como4 5; entonces x+2 7 l m (x 5)2 = 0+ = +1 "

4(x+2) (x+3)

x+2 x+1 : x 5 (x 5)2

#

=

+1 +1

Operando y simpli…cando " # x+1 x+2 (x + 1) (x lm : = l m+ 5 (x 5)2 x+2 x!5 x!5+ x

5)

=0


1.7. LÍMITE DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES

47

i h Calculemos ahora l m xx+15 : (xx+2 2 5) x!5 2 3 l m xx+15 = 06 = 1 x!5 6 7 y Como4 5; entonces 7 l m (xx+2 2 = 0+ = +1 5) x!5

lm

x!5

"

x+1 x+2 : x 5 (x 5)2

#

=

1 +1

Operando y simpli…cando " # x+1 x+2 (x + 1) (x lm : = l m+ 2 x 5 (x 5) x+2 x!5 x!5

5)

g(x) Ayuda Al ser f (x) = t(x) donde g(x) = xx+15 (D(g) = R x+2 (D(t) = R f5g) , su dominio de de…nición será (x 5)2

D(f ) [R

f5g]

= D(g) \ D(t) f 2g = R

(

x2R/

x+2 (x

2

5)

=0 f5g) y t(x) = )

=0

=

f 2; 5g

Conclusión: La función presenta para x = 5 una discontinuidad evitable; puesto que no existe f (5) y 9 l m f (5) = 0 x!3

La grá…ca de y = xx+15 : quitándole el punto P (5; 0)

x+2 (x 5)2

es la misma que la de y =

(x+1)(x 5) x+2

pero


48

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

1.8.

Límites de funciones exponenciales, potenciales y potenciales exponenciales

Vamos a explicar todas las situaciones posibles para poder calcular los siguientes límites 8 + 0 > > < a donde a 2 R+ f1g g(x) l m [f (x)] donde l m f (x) = 1 > x!b x!b > : +1 Si el l m f (x) = a; Es conveniente recordar las siguientes grá…cas x!b

y

y

4 2

-5

-4

-3

-2

4 2

-1

1

2

3

4

5

-5

x

-4

-3

-2

-1

1

-2

-2

-4

-4

y = ax si a > 1

y = ax si 0 < a < 1

Las cuales nos permitirán a…rmar Si a > 1 a+1 = +1 a 1 = 0+

Si 0 < a < 1 a+1 = 0+ a 1 = +1

Veamos ahora algunas situaciones concretas con los símbolos matématicos +1 y 1 Recuerda que Si k > 0 k + +1 = 0 k 1 =0

Si k > 0 k (+1) = +1 +1

(+1)

= +1

2

Si k < 0 k +1 = 0 k + 1 =0

Si k < 0 k (+1) = 0

(+1)

1

= 0+

3

4

5

x


1.8. LÍMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES, POTENCIALES Y POTENCIALES EXPONENCIALES49 Veamos ahora algunas situaciones con el 0 Si k > 0 k (0+ ) = 0+ +1

(0+ )

Si k < 0 k (0+ ) = +1

= 0+

(0+ )

1

= +1

Cuando nos aparezcan las siguientes situaciones: 0

(+1) ; 00 ,1+1 ; y 1

1

diremos que son indeterminaciones (no se puede deducir directamente el resultado). Más adelante ya veremos como se resuelven. En este curso sólo explicaremos como eliminar la indeterminación 11 , dejando para segundo de bachiller las otras indeterminaciones. Nota 1: El dominio de de…nición de la función potencial,h(x) = k [f (x)] donde k 2 R f0g, es D(h) = D(f ) Nota 2: El dominio de de…nición de la función exponencial,h(x) = [k] donde k 2 R+ f1g, es f (x)

D(h) = D(f ) Nota 3: El dominio de de…nición de la función potencial- expog(x) nencial ,h(x) = [f (x)] , es: D(h) = fx 2 R / f (x) > 0g \ D(g) 1

Ejemplo 65 Dada la función y = 2 x calcula su dominio de de…nición y los siguientes límites laterales 1

l m+ 2 x

x!0

1

l m 2x

x!0

Solución El dominio de de…nción de esta función es D(f ) = R

f0g

La función es continua en todo punto de su dominio ¿Qué ocurre con la función en los alrededores de x = 0? Para saberlo, determinamos sus límites laterales 1

l m 2x

x!0+

1

l m 2x

x!0

1

=

2 0+ = 2+1 = +1

=

20

1

=2

1

= 0+


50

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

La función no es continua para x = 0. Presenta una discontinuidad inevitable de salto in…nito; ya que la recta x = 0 es una asíntota vertical de la función (a la derecha de dicho valor). Por otro lado; para valores de x que se aproximan a 0 por la izquierda, los valores de sus y correspondientes tienden a aproximarse a cero por arriba. Mira su grá…ca

y

6

5

4

x=0 A. Vertical 3 2

1

y=1 A. Horizontal -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-1

Nota: El conjunto imagen de esta función es Im f = (0; 1) [ (1; +1) Más adelante podrás comprobar que la recta y = 1 es una asíntota horizontal de la función Ejercicio 66 Haz lo mismo que antes para la función y = Ejemplo 67 Dada la función y = siguientes límites laterales

2 3

1 x

1 2

1 x

calcula su dominio de de…nición y los 1

2 3

x

l m+

2 3

x

lm

x!2

x!2

2

1 2

Solución El dominio de de…nción de esta función es D(f ) = R

f2g


1.8. LÍMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES, POTENCIALES Y POTENCIALES EXPONENCIALES51 La función es continua en todo punto de su dominio ¿Qué ocurre con la función en los alrededores de x = 2? Para saberlo, determinamos sus límites laterales 1

2 3

x

lm

2 3

x

lm

x!2+

x!2

=

2 3

=

2 3

2

1 2

1 0+

2 3

+1

= =

2 3

1

1 0

= 0+ = +1

La función no es continua para x = 2. Presenta una discontinuidad inevitable de salto in…nito; ya que la recta x = 2 es una asíntota vertical de la función (por la izquierda de dicho valor). Por otro lado; para valores de x que se aproximan a 0 por la derecha, los valores de sus y correspondientes tienden a aproximarse a cero por arriba. 1 Mira su grá…ca y = 32 x 2

y

6

5

4

x=2 A. Vertical

3

2

1

y=1 A. Horizontal -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-1

y=

2 3

Ejercicio 68 Dada la la función y = ientes límites laterales

5 3

1.8.1.

1 x

2

Ejercicios 1 x+2

lm

5 3

lm

5 3

x!2+

x!2

determina su dominio y los sigu1 x+2

1 x+2


52

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

Ejercicio 69 Dada la función y = después estudia los siguientes límites

2

x 2 x 1

calcula su dominio de de…nición y

x x

2 1

2

a) l m+

x x

2 1

2

b) l m+

x!1

x!1

Ayuda: D(f ) = ( 1; 1) [ (1; +1) Ejercicio 70 Dada la función y = después estudia los siguientes límites

2

x 1 x 2

calcula su dominio de de…nición y

x x

1 2

2

a) l m+

x x

1 2

2

b) l m

x!2

x!2+

Ejercicio 71 Dada la función y = después estudia los siguientes límites

3

x 1 x 2

calcula su dominio de de…nición y

x x

1 2

3

a) l m+

x x

1 2

3

b) l m

x!2

x!2+

Ejercicio 72 Dada la función y = después estudia los siguientes límites

3

x 2 x 1

calcula su dominio de de…nición y

x x

2 1

3

a) l m+

x x

2 1

3

b) l m

x!1

x!1+

Ejercicio 73 Calcula los siguientes límites a) l m (2x + 2) (x x!3

d) l m ( 31 ) x!2

j) l m (x x!1

2

e) l m ( 12 ) 5

1)

c) l m 3 x

x

h) l m (x (x

3 1)4

x!2

1

2

f ) l m ( x12 )x+3

x

2

x

2)

x 3

k) l m (2x + 1) x!2

1

x!2

x!5

2)

2

1 3)2

1 b) l m ( 2x+1 ) (x x!3

1 (x 1)2

x!1

g) l m (x

1 3)2

5

x!0

i) l m (x x!1

1)4

(x

1 1)2


1.8. LÍMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES, POTENCIALES Y POTENCIALES EXPONENCIALES53 Solución a) l m (2x + 2) (x

1 3)2

1

= 8 0+ = 8+1 = +1

x!3

1 ) (x b) l m ( 2x+1

1 3)2

x!3

c) l m 3 x

1 3

x!2

1 7

=

1 0+

1

1

= 7 0+ = 7

= 0+

1

= 3 0 . Tenemos que estudiar los límites laterales para saber el

comportamiento de la función a la derecha y a la izquierda del 2 l m 3x

1

l m 3x

=

3 0+ = 3+1 = +1

2

=

30

1

x!2

d) l m ( 13 ) (x

1 1)2

x!1

e) l m ( 12 ) 5

1

1 3

=

1 0+

1

2

x!2+

1

=3

1

= 0+

1

= 3 0+ = 3+1 = +1

1

= ( 12 ) 0 . Tenemos que estudiar los límites laterales para saber

x

x!5

el comportamineto de la función a la derecha y a la izquierda del 5 1 1 l m ( )5 x x!5+ 2 1 1 l m ( )5 x 2 x!5 1 3 0+

f) l m ( x12 )x+3 = x!0

g) l m (x

2)2

h) l m (x

2)2

i) l m (x

1)4

x!2

x!2

x!1

l m (x

x!1

1)2

(x

k) l m (2x + 1)x x!2

x

x

(x

=

3

= (+1) = +1 4

= (0+ ) = 0+ 5

= (0+ )

1 1)2

3 1)4

3

1 1 1 ( ) 0 = 2 0 = 2+1 = +1 2 1 1 1 + ( ) 0+ = 2 0 = 2 1 = 0+ 2

=

3

=

1 (0+ )3

1

Ejercicio 74 Calcula l m

x!0+

1 0+

+1

= (0+ ) 0+ = (0+ ) 3

= (0+ ) 0+ = (0+ )

=5

=

1

=

x+3 4x

1

= +1 = 0+

= +1

1 5 x+3 (x 1)2

y lm x!0

x+3 4x

x 3 (x 1)2

Ejercicio 75 Dada la función f (x) = xx su dominio de de…nición es D(f ) = (0; +1)


54

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

Fíjate bien en la siguiente tabla de valores para esta función 1 1 0 0 xx x B 0;2 C B 0;724 779 663 7 C C C B B B 0;1 C B 0;794 328 234 7 C C C B B C C B fB B 0;01 C = B 0;954 992 586 C B 0;001 C B 0;993 116 048 4 C C C B B @ 0;0001 A @ 0;999 079 390 0 A 0;999 884 877 4 0;00001

Fíjate que l m xx presenta la indeterminación 00 ¿ Cuál crees que es el valor x!0+

de l m xx observando la tabla anterior? x!0+

1

x 1 Ejercicio 76 Dada la función h(x) = x+3 cuyo dominio es D(h) = 4x ( :1; 3) [ (0; 1) [ (1; +1). Observa las siguientes tablas de valores 1 0 1 0 0 1 0 1 1 x+3 x 1 x+3 x 1 x x 4x 4x C B 0;493 528 005 9 C C B 0;449 137 107 1 B B 1;1 0;9 C B C B B C B B 1;01 C B 0;474 570 513 8 C B 0;99 C B 0;470 141 971 2 C B C B B C B C B C B C B hB B 1;001 C = B 0;472 587 871 5 C h B 0;999 C = B 0;472 145 027 8 B 1;0001 C B 0;472 388 693 9 C B 0;9999 C B 0;472 344 409 5 C B C B B C B @ 1;00001 A @ 0;472 368 766 9 A @ 0;99999 A @ 0;472 364 338 5 1;000001 0;999999 0;472 366 774 2 0;472 366 331 3

1 C C C C C C C C A

Observa que al calcular lm

x!1+

x+3 4x

1 x

1

=

1

1 0+ = 1+1 y

lm

x!1

x+3 4x

1 x

1

=

1

10

=1

1

Obtenemos la indeterminación11 . ¿Crees que tiene límite la función para x = 3 1? Calcula el siguiente valor e 4 y cómpáralo con los valores obtenidos en la tabla x+3

x 1 Ejercicio 77 Dada la función j(x) = x+3 cuyo dominio es D(j) = ( 4x (0; 1) [ (1; +1). Observa las siguientes tablas de valores 0 1 0 1 0 1 0 x+3 x+3 x 1 x x 4x B C B 5: 528 131 B C B 1;1 0;9 810 10 2 C C B B C B C B B 1;01 C B 5: 034 612 055 10 2 C B 0;99 C B C B C B B C B C B C B 2 C jB jB B 1;001 C = B 4: 984 306 832 10 C B 0;999 C = B B 1;0001 C B 4: 979 266 931 10 2 C B 0;9999 C B C B C B B C B @ 1;00001 A @ 4: 978 762 847 10 2 A @ 0;99999 A @ 1;000001 0;999999 4: 978 712 438 10 2

:1; 3)[ x+3 4x

x+3 x 1

4: 408 368 149 4: 922 591 589 4: 973 104 742 4: 978 146 722 4: 978 650 826 4: 978 701 236

10 10 10 10 10 10

2 2 2 2 2 2

1 C C C C C C C C A


1.8. LÍMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES, POTENCIALES Y POTENCIALES EXPONENCIALES55

Observa que al calcular lm

x!1+

x+3 4x

x+3 x 1

=

4

1 0+ = 1+1 y

lm

x!1

x+3 4x

x+3 x 1

=

4

10

=1

1

Obtenemos la indeterminación11 . ¿Crees que tiene límite la función para x = 1? Calcula el siguiente valor e 3 y cómparalo con los valores obtenidos en la tabla x+3

(x 1)2 cuyo dominio es D(r) = Ejercicio 78 Dada la función r(x) = x+3 4x ( :1; 3) [ (0; 1) [ (1; +1). Observa las siguientes tablas de valores

0

B B B B rB B B B @

x 1;1 1;01 1;001 1;0001 1;00001 1;000001

1

0

x+3 4x

x+3 (x 1)2

B 2: 665 531 970 10 13 C B C B 1: 572 537 946 10 130 C B C C = : B 4: 025 032 916 10 1303 B C B 4: 509 075 985 10 13029 C B C @ 1: 393 178 143 10 130288 A 1: 103 751 153 10 1302883

1 C C C C C C C C A

0

B B B B rB B B B @

x 0;9 0;99 0;999 0;9999 0;99999 0;999999

1

0

x+3 4x

x+3 1 (x 1)2 (x 1)2

(x+3)

C B 3: 607 625 442 1013 C B C B 6: 034 196 843 10130 C B C : B 2: 357 185 322 101303 C B C B 2: 104 141 956 1013029 C B A @ 6: 810 138 307 10130288 8: 595 901 179 101302883

1

C C C C C:: C C C A

Observa que al calcular lm

x!1

x+3 4x

x+3 (x 1)2

=

4

1 0+ = 1+1 y

lm

x!1

x+3 4x

x+3 (x 1)2

=

4

1 0+ = 1+1

Obtenemos la indeterminación11 . ¿Puedes decir algo sobre el comportamiento de dicha función en el entorno de x = 1? x2 +3x

(x 1)2 cuyo dominio es D(t) = Ejercicio 79 Dada la función t(x) = x+3 4x ( :1; 3) [ (0; 1) [ (1; +1). Observa las siguientes tablas de valores 1 0 0 1 0 1 0 x2 +3 x2 +3 x+3 (x 1)2 x+3 (x 1)2 x x 4x 4x C B B C B C B 1;1 0;9 C 1: 225 820 495 10 13 1: 590 374 109 1012 B B C B C B C B B B 1;01 C B B 0;99 C B 2: 970 388 662 10129 B B C B 7: 407 384 569 10 131 C C C C=B B 0;999 C = B 1303 1;001 tB t C B 1: 900 756 527 10 1: 172 252 95 101302 B B C C C B 1;0001 C B B 0;9999 C B 13029 C B B 2: 129 876 778 10 1: 047 472 738 1013028 B C B C C @ 1;00001 A B @ 0;99999 A B @ 6: 580 889 057 10 130289 A @ 3: 390 530 071 10130287 1;000001 0;999999 5: 213 749 805 10 1302884 4: 279 642 382 101302882

1 C C C C C C C C C A


56

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

Observa que al calcular x2 +3x (x 1)2

x+3 4x

lm

x!1

4

1 0+ = 1+1

=

y x2 +3x (x 1)2

x+3 4x

lm

x!1

4

1 0+ = 1+1

=

Obtenemos la indeterminación11 . ¿Puedes decir algo sobre el comportamiento de dicha función en el entorno de x = 1?

Límites que presentan la indeterminación 11

1.8.2.

g(x)

Si al menos uno de los límites l m+ [f (x)] 1

o 1

x!b

g(x)

o l m [f (x)] x!b

nos da 1+1

utilizaremos que g(x)

l m+ [f (x)]

x!b

l m g(x)[f (x) 1]

= ex!b+

g(x)

(o l m [f (x)] x!b

l m g(x)[f (x) 1]

= ex!b

Si calculamos dicho límite, todos los resultados que podemos obtener son: ea siendo a 2 R e0 =1 e+1 = +1, al ser e > 1 e

1

= 0+ al ser e > 1

x!1

x!1

x+3 4x

1 x

1

lm

x!1+

1 x

1

x+3 4x

1

cuyo dominio es D(f ) = ( :1; 3)[ 1 x

1

x+3 4x

x

1

lm

= ex!1+

x!1+

lm

1

1

= 1+1 utilizando la regla anterior; tendremos

Calculando, por separado, el l m

x!1+

x

x+3 4x

l m+

Solución Como l m+

1

x+3 4x

Ejemplo 80 Dada la función y = (0; 1) [ (1; +1) calcula

= l m+ x!1

h

1 x 1

1 x

1

[ x 1 1 ( x+3 4x

x+3 4x

1

3x + 3 4x

i

1)]

tendremos = l m+ x!1

3x + 3 0 = 4x (x 1) 0


1.8. LÍMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES, POTENCIALES Y POTENCIALES EXPONENCIALES57 Factorizando numerador y denominador lm

x!1+

3x + 3 3 (x = lm 4x (x 1) x!1+ 4x (x

3 1) 3 = lm = 1) 4 x!1+ 4x

Por lo que l m+

x!1

1

x+3 4x

x

1

3 4

=e x+3 4x

Ejercicio 81 Comprueba tú que l m x!1

p 4 1 e = p = 4 3 e e 1 x

1

3 4

=e

¿La función es contin-

ua para x = 1?. En caso de no serlo, ¿qué tipo de discontinuidad presenta? x+3 4x

Ejemplo 82 Dada la función y = (0; 1) [ (1; +1) calcula lm

x!1

x+3 4x

x+3 x 1

l m+

x!1

= 1+1 utilizando la regla anterior; tendremos x+3 x 1

x+3 4x

x!1

x!1

x+3 x 1

x+3 4x

1

lm

= ex!1+

Calculando, por separado, el l m+ l m+

cuyo dominio es D(f ) = ( :1; 3)[ x+3 x 1

x+3 4x

x!1+

Solución Como l m+

x+3 x 1

h

x+3 4x

x+3 x 1

x+3 x 1

= l m+ x!1

[ xx+31 ( x+3 4x

1

i

1)]

tendremos

3x + 3 4x

= lm

x!1+

( 3x + 3) (x + 3 0 = 4x (x 1) 0

Factorizando numerador y denominador lm

x!1+

( 3x + 3) (x + 3 = l m+ 4x (x 1) x!1

3 (x 1) (x + 3) = l m+ 4x (x 1) x!1

3(x + 3) = 4x

3

Por lo que l m+

x!1

x+3 4x

x+3 x 1

Ejercicio 83 Comprueba tú que l m x!1

=e

3

x+3 x 1

x+3 4x

=

1 e3

=e

3

. ¿ La función es con-

tinua para x = 1?. En caso de no serlo, ¿qué tipo de discontinuidad presenta? Ejemplo 84 Dada la función y = (0; 1) [ (1; +1) calcula lm

x!1+

x+3 4x

x+3 (x 1)2

x+3 4x

cuyo dominio es D(f ) = ( :1; 3)[

x+3 (x 1)2


58

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

Solución Como l m+ x!1

x+3 (x 1)2

x+3 4x

= 1+1 utilizando la regla anterior; tendremos x+3 (x 1)2

x+3 4x

l m+

x!1

lm

= ex!1+

x+3 (x 1)2

( x+3 4x

1)

x+3 x+3 lm 1) 2 ( 4x Calculando, por separado, el x!1+ (x 1) tendremos # " # " " # x+3 x+3 3x + 3 ( 3x + 3) (x + 3 x+3 0 1 = l m+ = l m+ l m+ = 2 2 2 4x 4x 0 x!1 x!1 x!1 (x 1) (x 1) 4x (x 1)

Factorizando numerador y denominador " # " # ( 3x + 3) (x + 3) 3(x + 3) 12 3 3 (x 1) (x + 3) lm = l m+ = l m+ = = + = 2 2 + 4x(x 1) 4 0 0 x!1+ x!1 x!1 4x (x 1) 4x (x 1) Por lo que lm

x!1+

x!1

x+3 4x

Solución 2 6 Como 6 4

x+3 4x

lm

x!1+

lm

x!1+

x +3x (x 1)2

=

lm

4 0+

x!1+

cuyo dominio es D(f ) =

3

=1

y 2

x2 +3x (x 1)2

x2 +3x (x 1)2

x+3 4x

lm

=0

y comprúeba que da +1

Ejemplo 85 Dada la función y = t(x) = ( :1; 3) [ (0; 1) [ (1; +1) calcula x!1+

1

=e

x+3 (x 1)2

x+3 4x

Nota: Calcula tú l m

x+3 (x 1)2

x+3 4x

= +1 x+3 4x

7 7; entonces 5

x2 +3x (x 1)2

= 1+1

Aplicando la regla l m+

x!1

x+3 4x

x2 +3x (x 1)2

=e

Calculemos por separado l m+ x!1

lm

x!1+

"

h

x2 + 3x (x

2

1)

x2 +3x l m (x 1)2 x!1+

x2 +3x (x 1)2

x+3 4x

x+3 4x

1

1 #

( x+3 4x

1)

i

= +1 0

1


1.9. LÍMITES DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS

59

Operando lm

x!1+

"

x2 + 3x 2

(x

1)

x+3 4x "

= lm

1

#

= l m+ x!1

"

x2 + 3x (x

x2 + 3x ( 3x + 3) 4x (x

x!1+

2

1)

3x + 3 4x

2

#

1) =

#

0 0

Factorizando el numerador " # 3 x2 + 3x (x 1) = l m+ = 2 x!1 4x (x 1)

= lm

x!1+

"

Y simpli…cando # 3 x2 + 3x 12 = + = 4x (x 1) 0

1

Por lo que

l m+

x!1

x+3 4x

x2 +3x (x 1)2

=e

x2 +3x l m (x 1)2 x!1+

( x+3 4x

1)

=e

1

= 0+

Ejercicio 86 Comprueba tú que

lm

x!1

x+3 4x

x2 +3x (x 1)2

= +1

¿ La función es continua para x = 1?. ¿x = 1 es una asíntota vertical de la función?

1.9.

Límites de funciones logarítmicas

Dada la función g(x) = loga f (x). Su dominio de de…nición es: D(g) = fx 2 R /f (x) > 0g Sabemos además que dicha función es continua en D(g). Por lo que si c 2 D(g) entonces l m loga f (x) = loga f (c): x!c

En el resto de casos; para poder calcular el l m loga f (x) tendremos presente x!c

: Si a > 1 loga 0+ = 1 loga (+1) = +1

Si 0 < a < 1 loga 0+ = +1 loga (+1) = 1


60

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

Para acordarte de estos resultados; basta con que conozcas la grá…ca de y = loga x si a > 1 o si 0 < a < 1 Si a > 1

y

Si 0 < a < 1

y

4 2

4 2

0

0 2

4

2

x

-2

-2

-4

-4

y = loga x si a > 1

4

x

y = loga x si 0 < a < 1

También hay que recordar todas las propiedades relativas a los logaritmos: loga b = z , az = b siendo a 2 R+ 2 3 loga 1 = 0 6 7 loga a = 1 6 7 6 loga an = n 7 6 7 4 loga a n = n 5 p loga k an = nk log a1 x =

f1g y b 2 R+

loga x

loga (b c) = loga b + loga c siendo a 2 R+ loga

b c

= loga b

2

3 b 2 R+ 5 y f1g y 4 + c2R

loga c

loga (bn ) = n loga b 2 3 log b , log10 b logaritmos decimales (base 10) 4 5 ln b = loge b logaritmos neperianos (base e 2: 718 281 828) aloga b = b


1.9. LÍMITES DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS 2 6 6 6 6 6 4

61 3

log b log a ln b loga b = ln a logc b loga b = con a; c 2 R+ logc a loga b =

f1g y b 2 R+

7 7 7 7 F. Cambio de base 7 5

AB = eB ln A siempre que A > 0 y B 2 R. Cualquier función potencialexponencial se puede escribir como función exponencial de base el número e:

1.9.1.

Ejemplos

Ejemplo 87 Calcula el dominio de la función y = log2 (x+6) y después l m log2 (x+ x!2

6) Solución El dominio de y = log2 (x + 6) es: D(f ) = fx 2 R /x + 6 > 0g = ( 6; +1) Calculemos ahora l m log2 (x + 6) x!2 h i l m log2 (x + 6) = log2 l m (x + 6) = log2 8 = log2 23 = 3 x!2

x!2

Ejemplo 88 Calcula el dominio de la función y = log2 (2x) y después l m1 log2 (2x) x! 2

Solución El dominio de y = log2 (2x) es D(f ) = fx 2 R /2x > 0g = (0; +1) Calculemos ahora l m1 log2 (2x) x! 2

l m log2 (2x) = log2

x! 21

"

#

l m (2x) = log2 1 = 0

x! 12

Ejemplo 89 Calcula el dominio de la función y = log 12 (x + 6) y después l m log 12 (x + 6)

x!2

Solución El dominio de la función y = log 21 (x + 6) es: D(f ) = fx 2 R /x + 6 > 0g = ( 6; +1) Calculemos ahora l m log 21 (x + 6) x!2

h i l m log 12 (x + 6) = log 12 l m (x + 6) = log 12 8 =

x!2

x!2

Nota: La función y = log 21 (x + 6) =

log2 (x + 6)

log2 23 =

3


62

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

Ejemplo 90 Calcula el dominio de la función y = log 21 (2x) y después l m1 log 12 (2x) x! 2

Solución El dominio de y = log 12 (2x) es D(f ) = fx 2 R /2x > 0g = (0; +1) Calculemos l m1 log 21 (2x) x! 2

l m log 21 (2x) = log 12

x! 12

"

#

l m (2x) = log 12 1 = 0

x! 12

Ejemplo 91 Calcula el dominio de la función y = log2 (x 2) y después l m+ log2 (x x!2

2) Solución El dominio de la función es: D(f ) = (2; +1) Calculemos l m+ log2 (x x!2

l m log2 (x

x!2+

2)

2) = log2

l m (x

x!2+

2) = log2 0+ =

1

Ejemplo 92 Calcula el dominio de la función y = log 21 (x 2) y después l m log( 1 ) (x 2 x!2+ 2) Solución El dominio de la función es: D(f ) = (2; +1) Calculemos l m+ log 12 (x x!2

l m log( 1 )+ (x 2

x!2+

2)

2) = log( 1 ) 2

Nota: La función y = log 12 (x

l m (x

x!2+

2) =

2) = log( 1 ) 0+ = +1

log2 (x

2

2)

Ejemplo 93 Calcula el dominio de la función y = log3 ( x 1 2 ) y después l m+ log3 ( x 1 2 ) x!2

Solución El dominio de la función es:: D(f ) = (2; +1)


1.9. LÍMITES DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS

63

Calculemos l m+ log3 ( x 1 2 ) x!2

l m+ log3 (

x!2

1 x

= log3

2 1 0+

) = log3

l m+ (

x!2

1 x

2

=

= log3 (+1) = +1

Nota: La función y = log3 ( x 1 2 ) =

log3 (x

2)

1 1 Ejemplo 94 Calcula el dominio de la función y = log3 ( x+7 ) y después l m log 13 ( x+7 ) x!2

Solución El dominio de la función es:: D(f ) = ( 7; +1) 1 ) Calculemos l m log3 ( x+7 x!2

1 1 ) = log 13 l m ( = x!2 x + 7 x+7 " # 2 1 1 = log 31 = log 13 =2 9 3

l m log 31 (

x!2

1 Nota: la función y = log3 ( x+7 )=

log3 (x + 7)

Ejemplo 95 Calcula el dominio de la función y = log3 ( xx+11 ) y después l m+ log3 ( xx+11 ) x!1

Solución El dominio de la función es: D(f ) =

x2R/

x+1 >0 x 1

= ( 1; 1) [ (1; +1)

Calculemos su límite cuando x tiende a 1+ x+1 x+1 = log3 l m+ x 1 x 1 x!1 2 = log3 = log3 [+1] = +1 0+

l m+ log3

x!1

=

Ejemplo 96 Calcula el dominio de la función y = log 31 ( xx+11 ) y después l m log 13 ( xx+11 ) x!1+


64

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A

Solución El dominio de la función es: D(f ) =

x2R/

x+1 >0 x 1

= ( 1; 1) [ (1; +1)

Calculemos su límite cuando x tiende a 1+ x+1 x+1 = log 31 l m+ x 1 x 1 x!1 2 = log 13 [+1] = 1 = log 13 0+

l m log 31

x!1+

=

Ejemplo 97 Calcula el dominio de de…nición de y = log 12 (x + 3) log 21 (x y después l m+ log 21 (x + 3)

log 21 (x

x!2

2)

2)

Solución Como la función es una resta de otras dos funciones, su dominio será: D(f )

= fx 2 R / x + 3 > 0g \ fx 2 R / x = ( 3; +1) \ (2; +1) = (2; +1)

2 > 0g =

Determinemos ahora su límite cuando x tienda a 2+ lm

x!2+

= log 13 (5)

log 21 (x + 3)

log 21 (x

2) =

log 31 0+ = log 13 (5)

1=

1

Ejemplo 98 Calcula el dominio de de…nición de y = log2 spués l m log2 x!2

x2 +5x 6 x 2

2

x +5x 6 x 2

Solución El dominio de la función es: D(f )

= = = =

x2 + 5x 6 >0 x 2 x2 5x + 6 x2R/ <0 = x 2 (x 2) (x 3) x2R/ <0 = x 2 ( 1; 3) f2g = ( 1; 2) [ (2; 3) x2R/

Si calculamos ahora su límite cuando x ! 2 l m log2

x!2

x2 + 5x x 2

6

= log2 l m

x!2

x2 + 5x x 2

6

y de-


1.9. LÍMITES DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS x2 +5x 6 x 2

Calculamos por separado l m

x!2

x2 + 5x x 2

lm

x!2

65

6

0 0

=

Factorizando el numerador y simpli…cando x2 + 5x x 2

lm

x!2

6

2) (x 3) = x 2 l m ( x + 3) = 1

=

lm

(x

x!2

=

x!2

Por lo que; el límite inicial vale: x2 + 5x x 2

log2 l m

x!2

6

= log2 1 = 0

2

x +5x 6 Nota: La grá…ca de y = log2 coincide con la grá…ca de y = x 2 log2 ( x + 3) si a ésta le quitamos el punto P (2; 0) 2x2 4x x 2

Ejemplo 99 Calcula l m log2 x!2

Solución l m log2

x!2

2x2 x

4x 2

= log2 l m

x!2

x!2

x!2

4x 2

2x2 4x x 2

Si calculamos por separado l m lm

2x2 x

2x2 x

4x 2

=

0 0

Factorizando el numerador y simpli…cando lm

x!2

2x2 x

4x 2

= lm

x!2

2x (x 2) = l m 2x = 4 x!2 x 2

Por lo que: log2 l m

x!2

2x2 x

4x 2

= log2 4 = 2


66

CAPÍTULO 1. LIM F (X) X!A


Capítulo 2

l m f (x) o

x!+1

l m f (x)

x! 1

Para calcular el límite de una función cuando x ! +1 o x ! presente que l m Kxn = K (+1) =

x!+1

Si n es par Si n es impar

+1 si k > 0 1 si k < 0

l m Kxn = K ( 1)n = K (+1) =

x! 1

l m Kxn = K ( 1)n = K ( 1) =

x! 1

1 tendremos

+1 si k > 0 1 si k < 0

1 si K > 0 +1 si K < 0

K K 0+ si K > 0 = = n 0 si k < 0 x!+1 x +1 8 0 si K > 0 > > si n es impar < = K1 = K K 0+ si K < 0 lm n = n = 0+ si K > 0 x! 1 x > ( 1) K > = si n es par : = +1 0 si K < 0 lm

Y además todas las consideraciones que aparecen en los cuadros del capítulo anterior. Recuerda: Nunca podremos calcular directamente los límites de una función cuando x ! +1 (o x ! 1)cuando aparezcan alguna de estas siete indeterminaciones 1 1 0 1 00 1 11 00 10 1

2.1.

Funciones polinómicas

Para calcular el límite de una función polinómica procederemos de la siguiente manera: "sacaremos factor común la potencia de x de mayor grado. A continuación, el límite del producto de ambas expresiones coincidirá con el producto de los límites ( ya que el primero siempre será +1 o 1 y el segundo 67


68

CAPÍTULO 2.

LIM F (X) O LIM F (X) X! 1

X!+1

será el coe…ciente de la potencia de mayor grado )y por último concluiremos cuanto ha de valer su límite". Nota: Éste siempre será +1 o 1 Ejemplo 100 Calcula el l m (5x3

2x + 1)

x!+1

l m (5x3

2x + 1) =

x!+1

1 2 + 3 = x2 x 2 1 + 3 = +1 5 = +1 x2 x

= l m x3 5 x!+1

l m x3

x!+1

lm

x!+1

Ejemplo 101 Calcula el

5

l m (5x3

2x + 1)

x! 1

l m (5x3

x! 1

2x + 1) =

2 1 + 3 2 x x 1 2 + 3 = x2 x

= l m x3 5 x! 1

l m x3

x! 1

lm

x! 1

Ejemplo 102 Calcula el l m ( 7x3

x! 1

l m ( 7x3

x! 1

lm

7

1 2 + 3 x2 x

Ejemplo 103 Calcula el l m ( 7x3 x!+1

l m ( 7x3

x!+1

lm

x!+1

7

x!+1

l m (5x4

x!+1

= l m x4

7

2 1 + 3 x2 x

x!+1

=

1 ( 7) = +1

1 2 + 3 x2 x

= 1

2x + 1)

x!+1

5

2 1 + 3 x2 x

= +1 ( 7) =

2x + 1) = l m x4 5 lm

1

2x + 1)

x!+1

Ejemplo 104 Calcula el l m (5x4

x!+1

=

2x + 1) = l m x3

x!+1

= l m x3

7

x! 1

x! 1

15=

2x + 1)

2x + 1) = l m x3

x! 1

= l m x3

5

=

2 1 + 4 3 x x

2 1 + 4 3 x x

=

= +1 5 = +1


2.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES Ejemplo 105 Calcula el

l m (5x4

2x + 1) = l m x4 5

x! 1

= l m x4 x! 1

2x + 1)

x! 1

l m (5x4

69

x! 1

lm

2 1 + 4 x3 x

5

x! 1

1 2 + 4 x3 x

=

= +1 5 = +1

Nota: Aunque últimamente se está extendiendo el siguiente criterio l m (an xn + an

n 1 1x

+ ::: + a1 x + a0 )

=

l m (an xn + an

n 1 1x

+ ::: + a1 x + a0 )

=

x!+1

x! 1

l m an xn

x!+1

l m an xn

x! 1

segun este criterio; los límites anteriores se pueden determinar fácilmente así: l m (5x3

2x + 1)

=

l m (5x3

2x + 1)

=

l m ( 7x3

2x + 1)

=

l m ( 7x3

2x + 1)

=

l m (5x4

2x + 1)

=

l m (5x4

2x + 1)

=

x!+1 x! +1 x!+1

x! 1

x!+1

x! 1

2.2.

l m 5x3 = 5 (+1) = +1

x!+1

l m 5x3 = 5 ( 1) =

x! 1

1

lm

7x3 =

7 (+1) =

lm

7x3 =

7 ( 1) = +1

x!+1 x! 1

1

l m 5x4 = 5 (+1) = +1

x!+1

l m 5x4 = 5 (+1) = +1

x! 1

Límites de funciones racionales P n(x) x!+1 Qm(x)

Al calcular el l m 1 1.

P n(x) ) x! 1 Qm(x)

(o l m

siempre obtenemos la indetermi-

Para eliminirla dividiremos numerador y denominador por la potencia nación de x de mayor grado que nos aparezca en ambos

2.2.1.

Ejemplos y ejercicios

Ejemplo 106 Dada la función f (x) =

3x 4 2x 2

cuyo dominio es

D(f ) = ( 1; 1) [ (1; +1) estudia el comportamiento de ésta cuando x ! +1 y cuando x ! Solución Calculemos l m f (x) x!+1

lm

x!+1

3x 2x

4 +1 =" " 2 +1

1


70

CAPÍTULO 2.

LIM F (X) O LIM F (X) X! 1

X!+1

dividiendo arriba y abajo por x 4 x 2 x

3 4 = lm 2 x!+1 2

3x x!+1 2x lm

=

3 2

Si los valores de x tienden a +1 sus ordenadas se aproximan al número real 3 2.

Nos queda una duda: ¿lo hacen por encima del Para saberlo completa la siguiente tabla 0

B B fB B @

10 100 1000 10000 10000

1

0

13 9 148 99 1498 999 14 998 9999 14 998 9999

C B C B C=B C B A @

0

1

C B C B C=B C B A @

Esta claro que si x ! +1 entonces f (x) !

3 2

o por debajo?

1: 444 444 444 1: 494 949 495 1: 499 499 499 1: 499 949 995 1: 499 949 995

1 C C C C A

3 2

Calculemos l m f (x) x! 1

lm

x! 1

3x 2x

4 1 =" " 2 1

dividiendo arriba y abajo por x 3 4 = lm 2 x! 1 2

3x 1 2x

lm

x!

Si los valores de x tienden a 3 2.

4 x 2 x

B B fB B @

10 100 1000 10000 10000

1

3 2

1 sus ordenadas se aproximan al número real

Nos queda una duda: ¿lo hacen por encima del Para saberlo completa la siguiente tabla 0

=

0

C B C B C=B C B A @

17 11 152 101 1502 1001 15 002 10 001 15 002 10 001

1

0

C B C B C=B C B A @

3 2

o por debajo?

1: 545 454 545 1: 504 950 495 1: 500 499 5 1: 500 049 995 1: 500 049 995 +

1 C C C C A

Esta claro que si x ! 1 entonces f (x) ! 23 Conclusión: la recta horizontal y = 32 es una asíntota horizontal por ambos lados Estudia tú el comportamiento de la función cuando x ! 1 y verás que es una asíntota vertical de ramas divergentes.Miralo en su grá…ca


2.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES

y

71

4

2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-2

-4

y=

3x 4 2x 2

Nota: Los dos límites anteriores se pueden calcular considerando de cada polinomio su término correspondiente de mayor grado 3x x!+1 2x 3x lm x! 1 2x lm

4 2 4 2

3x 3 = x!+1 2x 2 3x 3 = lm = x! 1 2x 2 =

lm

3x 4 La recta y = 23 es una asíntota horizontal de la función y = 2x 2 . Para determinar la posición de la curva con respecto a la asíntota horizontal tendremos que recurrir a las tablas anteriores

Ejercicio 107 Dada la función f (x) =

3x2 4 x2 1

cuyo dominio es

D(f ) = ( 1; 1) [ ( 1; 1) [ (1; +1) estudia el comportamiento de ésta cuando x ! +1 y cuando x ! Ejercicio 108 Dada la función f (x) =

3x 4 x2 1

1

cuyo dominio es

D(f ) = ( 1; 1) [ ( 1; 1) [ (1; +1) estudia el comportamiento de ésta cuando x ! +1 y cuando x ! Solución Calculemos l m f (x) x!+1

lm

x!+1

3x x2

4 +1 =" " 1 +1

1


72

CAPÍTULO 2.

LIM F (X) O LIM F (X)

X!+1

X! 1

dividiendo arriba y abajo por x 3 4 = lm x 1 x!+1 1

3x x!+1 x2 lm

4 x2 1 x2

=

0 =0 1

Si los valores de x tienden a +1 sus ordenadas se aproximan al número real 0. Nos queda una duda: ¿lo hacen por encima del 0 o por debajo? Para saberlo completa la siguiente tabla 0

B B fB B @

10 100 1000 10000 10000

0

1

C B C B C=B C B A @

26 99 296 9999 428 142 857 29 996 99 999 999 29 996 99 999 999

1

0

C B C B C=B C B A @

0;262 626 262 6 2: 960 296 030 10 2: 996 002 996 10 2: 999 600 030 10 2: 999 600 030 10

2 3 4 4

1 C C C C A

+

Esta claro que si x ! +1 entonces f (x) ! (0) Calculemos l m f (x) x! 1

lm

x! 1

3x x2

4 1 =" " 1 +1

dividiendo arriba y abajo por x 3 4 = lm x 1 x! 1 1

3x 1 x2

lm

x!

Si los valores de x tienden a 0.

4 x2 1 x2

=

0 =0 1

1 sus ordenadas se aproximan al número real

Nos queda una duda: ¿lo hacen por encima del 0 o por debajo? Para saberlo completa la siguiente tabla 0

B B fB B @

10 100 1000 10000 10000

1

0

C B C B C=B C B A @

34 99 304 9999 3004 999 999 30 004 99 999 999 30 004 99 999 999

1

0

C B C B C=B C B A @

0;343 434 343 4 0;030 403 040 3 3: 004 003 004 10 3: 000 400 03 10 3: 000 400 03 10

3 4 4

1 C C C C A

Esta claro que si x ! 1 entonces f (x) ! (0) Conclusión: la recta horizontal y = 0 es una asíntota horizontal por ambos lados Si estudiaras con detenimiento el comportamiento de la función en los alrededores de x = 1 y de x = 1 comprobarías que son asíntotas verticales. Aquí tienes su grá…ca


2.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES

y

73

4

2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-2

-4

y=

3x 4 x2 1

Nota: Los dos límites anteriores se pueden calcular considerando de cada polinomio su término correspondiente de mayor grado 3x x!+1 x2 3x lm x! 1 2x lm

4 1 4 2

3x 3 3 = lm = = 0+ 2 x!+1 x x!+1 x +1 3x 3 3 = lm = lm = =0 x! 1 x2 x! 1 x 1

=

lm

4 La recta y = 0 es una síntota horizontal de la función y = 3x x2 1 . Para determinar la posición de la curva con respecto a la asíntota horizontal, en este ejercicio, podemos evitar la utilización de las tablas anteriores

Ejercicio 109 Dada la función f (x) =

x2 4 x 1

cuyo dominio es

D(f ) = ( 1; 1) [ (1; +1) estudia el comportamiento de ésta cuando x ! +1 y cuando x ! Solución Calculemos l m f (x) x!+1

x2 x!+1 x lm

4 +1 =" " 1 +1

dividiendo arriba y abajo por x x2 x!+1 x lm

1 4 = lm 1 x!+1 1 x

4 x2 1 x2

=

1 = +1 0+

1


74

CAPÍTULO 2.

LIM F (X) O LIM F (X) X! 1

X!+1

Si los valores de x tienden a +1 sus ordenadas tienden a +1. Esta claro que si x ! +1 entonces f (x) ! +1 Calculemos l m f (x) x! 1

x2 1 x

4 +1 =" " 1 1

lm

x!

dividiendo arriba y abajo por x x2 1 x

1 4 = lm 1 x! 1 1 x

lm

x!

4 x2 1 x2

=

1 = 0

1

Si los valores de x tienden a 1 sus ordenadas tienden a 1. Esta claro que si x ! 1 entonces f (x) ! 1 Si estudiaras con detenimiento el comportamiento de la función en los alrededores de x = 1 comprobarías que es asíntota vertical. Aquí tienes su grá…ca Nota: Creo que Marta podría determinar su conjunto Im f

y

4

2

-4

-2

2

4

x

-2

-4

y=

x2 4 x 1

Nota: Los dos límites anteriores se pueden calcular considerando de cada polinomio su término correspondiente de mayor grado x2 x!+1 x x2 lm x! 1 x lm

4 1 4 1

x2 = l m x = +1 x!+1 x x!+1 x2 = lm = lm x= 1 x! 1 x x! 1 =

lm

Nota 110 Si ahora dividiesemos x2 y=

x2 x

4 entre x

4 =x+1 1

1 obtendríamos 3

x

1


2.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES

75

Diremos que la recta y = x + 1 es una asíntota oblícua de la función Construye las siguientes tablas y compáralas 2

x f (x) = xx 14 10 100 100 1000 10000 100000 2 x f (x) = xx 14 10 100 100 1000 10000 100000

x g(x) = x + 1 10 100 100 1000 10000 100000 x g(x) = x + 1 10 100 100 1000 10000 100000

Mira su grá…ca y la de la asíntota

y

10

5

-10

-5

5

10

x

-5

-10

y=

x2 4 x 1

Ejercicio 111 Dada la función f (x) =

x3 8 x 1

cuyo dominio es

D(f ) = ( 1; 1) [ (1; +1) estudia el comportamiento de ésta cuando x ! +1 y cuando x ! Solución

1


76

CAPÍTULO 2.

LIM F (X) O LIM F (X)

X!+1

X! 1

Calculemos l m f (x) x!+1

x3 x!+1 x lm

8 +1 =" " 1 +1

dividiendo arriba y abajo por x x3 x!+1 x

1 8 = lm 1 x!+1 2 1 x

lm

8 x3 1 x3

=

1 = +1 0+

Si los valores de x tienden a +1 sus ordenadas tienden a +1. Esta claro que si x ! +1 entonces f (x) ! +1 Calculemos l m f (x) x! 1

x3 x! 1 x dividiendo arriba y abajo por x

1 8 =" " 1 1

lm

x3 1 x

1 8 = lm 1 x! 1 2 1 x

lm

x!

8 x3 1 x3

=

1 = +1 0+

Si los valores de x tienden a 1 sus ordenadas tienden a +1. Esta claro que si x ! 1 entonces f (x) ! +1 Si estudiaras con detenimiento el comportamiento de la función en los alrededores de x = 1 comprobarías que es asíntota vertical. Aquí tienes su grá…ca

y

10

5

-10

-5

5

10

x

-5

-10

y=

x3 8 x 1

Nota: Los dos límites anteriores se pueden calcular considerando de cada polinomio su término correspondiente de mayor grado x3 x!+1 x x3 lm x! 1 x lm

8 1 8 1

x3 = l m x2 = +1 x!+1 x x!+1 3 x = lm = l m x2 = +1 x! 1 x x! 1 =

lm


2.2. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES Nota 112 Si ahora dividiesemos x3 3

y=

x x

8 entre x

8 = x2 + x + 1 1

77 1 obtendríamos 7 x

1

Diremos que la función y = x2 + x + 1 es una asíntota parabólica de la función Construye las siguientes tablas y compáralas 3

x g(x) = x2 + x + 1 10 100 100 1000 10000 100000 x g(x) = x2 + x + 1 10 100 100 1000 10000 100000

x f (x) = xx 18 10 100 100 1000 10000 100000 3 x f (x) = xx 18 10 100 100 1000 10000 100000

Mira su grá…ca y la de la asíntota parabólica

y

15 10 5

-15

-10

-5

5

10

15

x

-5 -10 -15

y=

x3 8 x 1

Resumen 113 Siempre que calculemos lm

x!+1

lm

x!+1

an xn +an bm xm +bm

n

an x +an bm xm +bm

n 1 +:::+a1 x+a0 1x m 1 +:::+b x+b 1x 1 0

n

1x

m 1x

1

+:::+a1 x+a0 1 +:::+b x+b 1 0

=

"

1 " 1 n

8 > > <

an x = lm = x!+1 bm xm > > :

an bm

0 +1 1

si n = m si n < m si n > m


78

CAPÍTULO 2.

Ocurrirá lo mismo cuando x !

1

LIM F (X) O LIM F (X)

X!+1

X! 1

Nota 114 Diremos que la recta y = b es una asíntota horizontal de la función f (x) =

an xn +an bm xm +bm

n 1 +:::+a1 x+a0 1x m 1 +:::+b x+b x 1 1 0

si y solo si an xn +an m b x!+1 m x +bm

n 1 +:::+a1 x+a0 1x m 1 +:::+b x+b x 1 1 0

an xn +an m b x! 1 m x +bm

n 1 +:::+a1 x+a0 1x m 1 +:::+b x+b 1x 1 0

lm

=b

o lm

=b

Nota 115 Todas las funciones racionales ( sin discontinuidades evitables) de la forma n n 1 +:::+a1 x+a0 n 1x f (x) = bamnxxm+a +bm 1 xm 1 +:::+b1 x+b0 tendrán asíntota horizontal siempre que n casos: a) Si n b) si n

<

m .Presentándose los siguientes

m su asintota horizontal será y = 0 (eje x) an = m su asintota horizontal será y = bm


2.3. FUNCIONES RACIONALES CON ALGUNA RAÍZ

2.3.

79

Funciones racionales con alguna raíz

Ejemplo 116 Calcula l m

p

x!+1

1 x2 +1+x

Solución

1 1 = = 0+ +1 +1+x La recta y = 0 es una asíntota horizontal de la función (a la derecha de la grá…ca) lm p

x!+1

Ejemplo 117 Calcula l m

x! 1

x2

p

1 x2 +1+x

Solución

1 1 = "1 1" +1+x Realizamos el siguiente cambio de variable x = z. Es evidente que si lm p

x! 1

x2

x!

1 , z ! +1

por lo que 1 = "1 1" p Multiplicando numerador y denominador por z 2 + 1 + z p p ( z2 +1+z) l m pz2 +1 z pz2 +1+z = l m z 2 + 1 + z = +1 )( ) z!+1 z!+1 ( lm

x! 1

p

1 x2 +1+x

= lm

z!+1

p

(

1 z 2 +1 z )

Con lo que

lm

x! 1

p

1 x2 +1+x

= +1

Mira su grá…ca

y

10 8 6 4 2

y=0 A. Horizontal -5

-4

-3

-2

-1

y=

0

p

1

1 x2 +1+x

2

3

4

5

x


80

CAPÍTULO 2.

Ejemplo 118 Calcula l m

x!+1

LIM F (X) O LIM F (X) X! 1

X!+1

p x+3 x2 +1+x

Solución

+1 x+3 =" " +1 +1+x Dividimos numerador y denominador por x lm p

x!+1

lm

x!+1

La recta y =

1 2

p

1+ x2 +1 x

x2

3 x

1 + x3 1 = = lm q x!+1 2 1 +1 1 + x2 + 1

es una asíntota horizontal de la función (por la derecha solo)

Ejemplo 119 Calcula l m

x! 1

p x+3 x2 +1+x

Solución

1 x+3 =" " +1 1 +1+x Realizamos el siguiente cambio de variable x = z. Es evidente que si lm p

x! 1

x2

x!

1 , z ! +1

por lo que x+3 z+3 1 = lm p =" " +1 1 x2 + 1 + x z!+1 z 2 + 1 z p Multiplicamos numerador y denominador por z 2 + 1 + z p p ( z+3)( z 2 +1+z ) l m pz2 +1 z pz2 +1+z = l m ( z + 3) z2 + 1 + z = )( ) z!+1 z!+1 ( lm p

x! 1

Con lo que

lm p

x! 1

x+3 = +1+x

x2

Mira la grá…ca de la función y =

1

p x+3 x2 +1+x

y

4

2

y=1/2 A. Horizontal -5

-4

-3

-2

-1

1 -2

-4

2

3

4

5

x

1


2.3. FUNCIONES RACIONALES CON ALGUNA RAÍZ y= p

Ejemplo 120 Calcula l m

x!+1

Solución

81

p x+3 x2 +1+x

x4 +x2 x2 3x+2

p

x4 + x2 x2 +1 1 =" " x!+1 3x + 2 +1 p Multiplicando numerador y denominador por x4 + x + x2 lm

p

(

lm

x!+1

p x4 +x2 x2 )( x4 +x2 +x2 ) p (3x+2)( x4 +x2 +x2 )

2 px 4 +x2 +x2 (3x+2) x ( ) x!+1

= lm

="

+1 " +1

Dividiendo numerador y denominador por x3 2 px x!+1 (3x+2)( x4 +x2 +x2 )

lm

1

= lm

x!+1

(3x+2) x3

px ( x4 +x2 +x2 )

1

= lm

x!+1

(3x+2) x

1

px

(

x4 +x2 +x2

)

= lm

(

2 3+ x

x!+1

x2

qx 1+ x12 +1

)

=

= 0+

La recta y = 0 es una asíntota horizontal de la función (por la derecha) p

Ejemplo 121 Calcula l m

x! 1

Solución

x4 +x2 x2 3x+2

p

x4 + x2 x2 +1 1 =" " x! 1 3x + 2 1 Realizamos el siguiente cambio de variable x = z. Es evidente que si lm

x!

1 , z ! +1

por lo que p

p

z4 + z2 z2 x! 1 3z + 2 p Multiplicamos numerador y denominador por z 4 + z 2 + z 2 p p p z4 + z2 z2 z4 + z2 + z2 z4 + z2 z2 p lm = lm = z!+1 z!+1 3z + 2 ( 3z + 2) z 4 + z 2 + z 2 lm

x4 + x2 x2 = lm z!+1 3x + 2

z2 +1 p = z!+1 ( 3z + 2) 1 z4 + z2 + z2

= lm

dividiendo numerador y denominador por z 3 z2 p z!+1 ( 3z+2)( z 4 +z 2 +z 2 )

lm

1 z p z!+1 ( 3z+2) ( z 4 +z 2 +z 2 ) z z2

= lm

1

= lm

z!+1

(

3z+2) z3

pz ( z4 +z2 +z2 )

1

= lm

z!+1

(

3+ z2 )

z q 1+ z12 +1

=

= 0+ =0 6


82

CAPÍTULO 2. Con lo que lm

p

x! 1

LIM F (X) O LIM F (X)

X!+1

X! 1

x4 + x2 x2 =0 3x + 2

La recta y = 0 es una asíntota horizontal dep la función (por la izquierda) 4 +x2 x2 es El dominio de de…nición de la función y = x 3x+2 2 2 )[( ; +1) 3 3

D(f ) = ( 1;

Puedes comprobar que la recta x = 23 es una asíntota vertical de ramas divergentes calculando sus límites laterales. Mira su grá…ca

y

4

2 y=0 A. Horizontal -4

-2

2

4

x

-2

-4

y=

p

x=-2/3 A. Vertical

x4 +x2 x2 3x+2

Realizando un zoom hacia adentro

y

2

1 y=0 A. Horizontal

-2

-1

1 -1

x=-2/3 A. Vertical -2

y=

p

x4 +x2 x2 3x+2

2

x


2.3. FUNCIONES RACIONALES CON ALGUNA RAÍZ Ejemplo 122

83

p 2 p4x +x 3x 9x2 +x x x!+1

lm

Solución

p 4x2 + x 3x +1 1 =" lm p " x!+1 +1 1 9x2 + x x Dividiendo numerador y denominador por x p p 4x2 +x 3 4x2 + x 3x = l m p x2 lm p = 2 9x +x x! 1 x!+1 9x + x x 1 x q p 4 + x1 3 4 3 1 =p = = lm q x! 1 2 1 9 1 1 9+ x

La recta y = Ejemplo 123

1 2

lm

es una asíntota horizontal de la función (por la derecha)

x! 1

p 2 p4x +x 3x 9x2 +x x

Solución

p 4x2 + x 3x +1 lm p " =" 2 x! 1 +1 9x + x x Realizamos el siguiente cambio de variable x = z. Es evidente que si x!

1 , z ! +1

por lo que p p 4x2 + x 3x 4z 2 lm p = lm p x! 1 z!+1 9x2 + x x 9z 2

z + 3z z+z

Dividiendo numerador y denominador por z p 4z 2 lm p z!+1 9z 2

p

2

4z z +3 z + 3z = l m p z2 = 9x +x z!+1 z+z +1 x q p 4 z1 + 3 4+3 5 = lm q =p = z!+1 4 9+1 9 z1 + 1

La recta y = 54 es una asíntota horizontal de la función (por la izquierda) p 2 +x 3x El dominio de la función y = p4x es 9x2 +x x n o p D(f ) = x 2 R /4x2 +x 0 \ x 2 R /9x2 +x 0 x 2 R / 9x2 + x x = 0 = =

1;

1 [ [0; 1) \ 9

1;

1 [ [0; 1) 4

f0g =

1;

1 [ (0; 1) 4


84

CAPÍTULO 2. Si calculas

LIM F (X) O LIM F (X) X! 1

X!+1

p 4x2 + x 3x lm p x!0+ 9x2 + x x

obtendrás como resultado1 (el punto P (0; 1)no está) y si calculas p 4x2 + x 3x p lm 9x2 + x x x!( 14 ) p obtendrás como resultado 43 5 43 :(El punto Q( grá…ca. Diremos que la función es continua en x = Aquí tienes su grá…ca

y

y=1.25 A. Horizontal

1 4

p

5 43 ) si está en la por la izquierda)

1 3 4; 4

2

1 P(0.1)

Q

-2

-1

1

2

x

-1 y=-0.5 A. Horizontal -2

y= Q(

2.4.

p 2 p4x +x 3x 9x2 +x x

P (0;p1) 5

1 3 4; 4

3 4)

Suma o resta de funciones con alguna raíz

La determinación que más veces nos puede aparecer, cuando calculamos el límite de una suma o resta de funciones con alguna raíz, será la del tipo "1 1" . Para eliminarla y que nos aparezca otra, multiplicaremos por su expresión conjugada numerador y denominador. Ejemplo 124 Calcula el l m

x!+1

Solución

p

x2 + x

x


2.4. SUMA O RESTA DE FUNCIONES CON ALGUNA RAÍZ Como el

p

x2 + x

x presenta la indeterminación 1 p eliminarla multiplicaremos arriba y abajo por x2 + x + x lm

x!+1

lm

x!+1

p x2 + x

x

=

lm

p

(

x!+1

p x2 +x x)( x2 +x+x) p ( x2 +x+x)

85 1; para

=

+1 p x =" " 2 +x+x x ( ) x!+1 +1 Dividiendo numerador y denominador por x 1 p 1 = = lm = l m p 11 x2 +x x!+1 x!+1 1+ +1 2 +1 x x

=

lm

La recta y = 21 es asíntota horizontal de la función. Si te …jas en la siguiente tabla 0

B B B hB B B @

x 10 100 1000 10000 100000

1

0 p

C B C B C B C=B C B C B A @

x2 + x x 0;488 088 481 7 0;498 756 211 2 0;499 875 062 5 0;499 987 500 6 0;499 998 75

1 C C C C C C A

podrás concluir que: lm

x!+1

Ejemplo 125 Calcula el Solución Para calcular el l m

x! 1

lm

p x2 + x

x! 1

p

p

x2 + x

x2 + x

x! 1

x

x) = l m

z!+1

1 , z ! +1: p z2

Nota: El dominio de la función h(x) = D(h) = x 2 R / x2 + x Su grá…ca es ésta:

1 2

x realizamos el siguiente cambio de vari-

able x = z. Es evidente que si x ! Por lo que p l m ( x2 + x

x =

p

z + z = +1 + (+1)

x2 + x

x es

0 = ( 1; 1] [ [0; 1)


86

CAPÍTULO 2.

LIM F (X) O LIM F (X) X! 1

X!+1

4

y

3 2 1

-4

-3

-2

-1

1

2

-1

3

4

x

-2 -3 -4

p

y = x2 + x x y = 2x 21 asíntota oblícua p Ejemplo 126 Calcula el l m x2 + x + x x!+1

Solución Como el l m

p

x!+1

x2 + x + x = 1 + 1 = +1

Ejemplo 127 Calcula el Solución Para calcular el l m

x! 1

lm

x! 1

p

p

x2 + x + x

x2 + x + x realizamos el siguiente cambio de vari-

able x = z. Es evidente que si x ! 1 , z ! +1: Por lo que p p l m ( x2 + x + x) = l m z 2 z z = +1 x! 1

z!+1

(+1)

Para eliminar la indeterminación multiplicamos arriba y abajo por

z lm

z!+1

p z2

z

z

p

p

z2

p z z z2 z + z p = lm = z!+1 z2 z + z z 1 = lm p = = 2 z!+1 +1 z z+z Dividendo numerador y denominador por z 1 1 = lm q = z!+1 2 1 +1 1 z2

z

z+


2.4. SUMA O RESTA DE FUNCIONES CON ALGUNA RAÍZ Nota: El dominio de la función h(x) = D(h) = x 2 R / x2 + x

p

87

x2 + x + x es

0 = ( 1; 1] [ [0; 1)

Su grá…ca es ésta: 4

y

3 2 1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-1

4

x

-2 -3 -4

y= y = 2x + Ejemplo 128 Calcula el l m

x!+1

Solución Como el l m

x!+1

p

la p indeterminación 1 x2 + x + (3x 1) lm

x!+1

p x2 + x

= lm

x!+1

x2 + x

p

p 1 2

x2 + x + x asíntota oblícua

x2 + x

3x + 1

3x + 1 = l m

x!+1

p

x2 + x

(3x

1; para eliminarla multiplicaremos arriba y abajo por (3x

1) = l m

p

(

x!+1

x2 +x (3x 1)2 p x2 +x+(3x 1))

(

= lm

x!+1

p x2 +x (3x 1))( x2 +x+(3x 1)) p 2 ( x +x+(3x 1)) 2 1 p 8x +7x 1 " " x2 +x+(3x 1)) +1

(

Dividiendo numerador y denominador por x2 1 8 8+ 7 = l m q 1 1 x 3x2 1 = + = 1 x!+1 + + 0 ( ) 4 3 2 x x x x Ejemplo 129 Calcula el Solución

1) presenta

lm

x! 1

p

x2 + x

(3x

1)

=


88

CAPÍTULO 2. Para calcular el l m

x! 1

de variable x =

x! 1

x2 + x

(3x

p x2 + x

(3x

1)

=

z2 p z2

z!+1

=

lm

z!+1

Nota: El dominio de la función h(x) = D(h) = x 2 R / x2 + x

1 , z ! +1:

p

lm

X! 1

1) realizamos el siguiente cambio

z. Es evidente que si x !

Por lo que lm

p

LIM F (X) O LIM F (X)

X!+1

p

z

( 3z

1)

z + 3z + 1 = +1 + (+1) = +1

x2 + x

(3x

1) es

0 = ( 1; 1] [ [0; 1)

Su grá…ca es ésta:

y

8 6 4 2

-8

-6

-4

-2

2

4

-2 -4 -6 -8

p

y = x2 + x (3x 1) y = 4x + 21 asíntota oblícua y = 2x + 23 asíntota oblícua

Ejemplo 130 Calcula el l m

x!+1

Solución

p

x2 + x

p

x2

4x

6

8

x


2.4. SUMA O RESTA DE FUNCIONES CON ALGUNA RAÍZ p

Como el l m

p

x2 + x

89

x2

4x presenta la indeterminación 1 p p para eliminarla multiplicaremos arriba y abajo por x2 + x + x2 4x x!+1

lm

x!+1

p x2

p x2 + x

p

(

4x = l m

x2 +x

x!+1

p

p p x2 4x)( x2 +x+ x2 4x) p p 2 2 ( x +x+ x 4x)

1;

=

1 x2 +x (x2 4x) 5xp p p = lm p " " ( x2 +x+ x2 4x) x!+1 ( x2 +x+ x2 4x) +1 Dividiendo numerador y denominador por x 5 = l m p 1 5p 4 = 1+ x + 1 x x!+1 2

= lm

x!+1

La recta y =

5 2

es una asíntota horizontal

Ejemplo 131 Calcula el Solución Para calcular el l m de variable x = Por lo que lm

x! 1

x! 1

lm

x! 1

p

p

x2 + x

p

x2 + x

p

x2

p x2

x2 + x

p

z!+1

p

p

1 , z ! +1: z2

p z 2 + 4z = "+1 (+1)"

z

z 2 + 4z presenta la indeterminación 1 p p para eliminarla multiplicaremos arriba y abajo por z 2 z + z 2 + 4z Como el l m

z!+1

lm

z!+1

p z2

z+

z2

4x = l m

4x

4x realizamos el siguiente cambio

z. Es evidente que si x !

p

x2

p

z

z 2 + 4z = l m

z 2 z (z 2 +4z ) p p z!+1 z 2 z+ z 2 +4z

= lm

p

(

z2 z

p

z!+1

= lm

z!+1

p

p p z 2 +4z )( z 2 z+ z 2 +4z ) p p z 2 z+ z 2 +4z

1;

=

1

5z p " " z 2 z+ z 2 +4z +1

Dividiendo numerador y denominador por z 5 = l m p 1 5p 4 = 1 z + 1+ z x!+1 2 La recta y =

5 2

es una asíntota horizontal p Nota: El dominio de la función h(x) = x2 + x D(h)

p

x2

4x es

= x 2 R / x2 + x 0 \ x 2 R / x2 4x 0 = = [( 1; 1] [ [0; 1)] \ [( 1; 0] [ [4; 1)] = ( 1; 1] [ [4; 1)

Su grá…ca es ésta:


90

CAPÍTULO 2.

y

LIM F (X) O LIM F (X)

X!+1

8 6 4 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

-2 -4 -6 -8

y= y= y=

p

p x2 + x x2 4x 5 2 asíntota horizontal 5 2 asíntota horizontal

8

x

X! 1


2.5. SUMA O RESTA DE FUNCIONES RACIONALES

2.5.

91

Suma o resta de funciones racionales

La determinación que más veces nos puede aparecer, cuando calculamos el límite de una suma o resta de funciones, será la del tipo "1 1" . Para eliminarla y que nos aparezca otra realizaremos las operaciones oportunas reduciendo a común denominador. Ejemplo 132 Calcula l m

x!+1

Solución 2 6 Como 4

2 l m 3x x x!+1 2x+3

3x2 x 2x+3

3x2 x!+1 2x

= lm

y = lm

3x x!+1 3x

2

lm

3x x!+1 2

= lm

l m 3x+1 x!+1 3x+2 x!+1

3x+1 3x+2

3x x 2x+3

Ejercicio 133 Calcula l m

x! 1

x!+1

3x+1 3x+2

= +1

3x2 x 2x+3

Solución 2 6 Como 4

4x3 +x 2 x!+1 3x +x

lm

4x3 +x 3x2 +x

4x3 2 x!+1 3x

= lm

3x+1 3x+2

4x x!+1 3

= lm =

lm 3 x!+1 4x

3x 4x3 + x + 2 2 3x + x 4x + 1

lm

x!+1

Ejercicio 136 Calcula l m

x! 1

4x3 +x 3x2 +x

+

+1

=0

Solución 2 6 Como 6 4

4x2 +1 x! 1 x+3

lm

2 l m 3x x! 1 x+2

lm

x! 1

4x2 +1 x+3

4x2 x! 1 x

= lm

+

3x2 x! 1 x

= lm

x! 1

= l m 3x =

4x2 + 1 3x2 + x+3 x+2

7 5;entonces

x(16x4 +17x2 +3x+1) x(3x+1)(4x2 +1)

3x2 x+2

= l m 4x =

y

3

3x 4x2 +1

3

x! 1

su

= +1 + 0 = +1

+x 3x Ejercicio 137 Dada la función y = 4x 3x2 +x + 4x2 +1 = su dominio y clasi…ca sus discontinuidades.

Ejemplo 138 Calcula l m

9x3 3x2 13x 3 (2x+3)(3x+2) calcula

=

3x 4x2 +1

+

y 3x lm l m 3x2 2 x!+1 4x +1 x!+1 4x

1 = +1

3x+1 3x+2 2

x!+1

7 5;entonces

= lm 1=1

x Ejercicio 134 Dada la función y = 3x 2x+3 dominio y clasi…ca sus discontinuidades

Ejemplo 135 Calcula l m

3

+1

x! 1

=

1 1

3

7 7;entonces 5

1 + ( 1) =

1

calcula


92

CAPÍTULO 2.

Ejercicio 139 Calcula l m

x!+1

4x2 +1 x+3

LIM F (X) O LIM F (X) X! 1

X!+1

3x2 x+2

+ 2

2

3

2

+1 3x +17x +x+2 Ejercicio 140 Dada la función y = 4xx+3 + x+2 = 7x(x+3)(x+2) . Calcula su dominio y clasi…ca las discontinuidades. ¿Existe alguna asíntota oblícua? 3 +17x2 +x+2 49x+110 Ayuda: 7x(x+3)(x+2) = 7x 18 + (x+3)(x+2)

Ejemplo 141 Calcula l m

x! 1

Solución 2 6 Como 4

4x2 +1 2 x! 1 2x +x

lm

4x2 +1 2x2 +x

3x 2 x+3

+

4x2 2 x! 1 2x

= lm

= l m ( 2) = x! 1

y

l m 3x 2 x! 1 x+3

=

l m 3x x! 1 x

x! 1

x! 1

=

3

7 5;entonces

= l m (3) = 3

4x2 + 1 3x 2 + 2x2 + x x+3

lm

2

2+3=1

La recta y = 1 es una asíntota horizontal Ejercicio 142 Calcula

4x2 +1 2x2 +x

lm

x!+1

+

3x 2 x+3

. ¿La recta y = 1 es una asín-

tota horizontal? 2

+1 Ejercicio 143 Dada la función y = 4x 2x2 +x + su dominio y clasi…ca las discontinuidades.

Ejemplo 144 Calcula l m

x!+1

Solución 2 6 Como 6 4

lm

x!+1

2x2 3x 2x+3

2x2 3x 2x+3

2x2 x!+1 2x

= lm

3x 2 x+3

=

2x3 19x2 +x 3 x(x+3)(2x 1)

3x2 3x+5

= l m (x) = +1 x!+1

y 2 l m 3x x!+1 3x+5

lm

x!+1

3x2 x!+1 3x

= lm

2x2 3x 2x + 3

. Calcula

= l m (x) = +1 x!+1

3x2 3x + 5

Como aparece la indeterminación "1 de funciones que aparecen

= +1

3

7 7;entonces 5

(+1)

1"; tendremos que calcular la resta

2x2 3x 3x2 (2x2 3x)(3x+5) 3x2 (2x+3) = lm = (2x+3)(3x+5) x!+1 x!+1 2x + 3 3x + 5 +1 4 8x2 15x 8x2 4 = lm = " " = l m = = lm 2 x!+1 6x2 + 19x + 15 x!+1 x!+1 +1 6x 3 3 lm

Ejercicio 145 Calcula l m tota horizontal?

x! 1

2x2 3x 2x+3

3x2 3x+5

. ¿La recta y =

4 3

es una asín-


2.5. SUMA O RESTA DE FUNCIONES RACIONALES 2

Ejercicio 146 Dada la función y = 2x2x+33x dominio y clasi…ca las discontinuidades. 2

+1 Ejercicio 147 Dada la función y = 4x 2x2 +x + su dominio y clasi…ca las discontinuidades.

Ejemplo 148 Calcula l m

x!+1

Solución 2 6 Como 6 4

3x2 +x x!+1 2x+1

lm

3x2 +x 2x+1

93

3x2 3x+5

=

8x2 15x 6x2 +19x+15 .

3x 2 x+3

=

2x3 19x2 +x 3 x(x+3)(2x 1)

3x3 2 +5 x x!+1

3x2 x!+1 2x

= lm

= lm

x!+1

3x3 2 x!+1 x

= lm

3 2x

= +1

= l m (3x) = +1 x!+1

2

3x3 +5

3x + x 2x + 1

lm

x!+1

. Calcula

3x3 x2 +5

y lm

Calcula su

= +1

x2

Como aparece la indeterminación "1 de funciones que aparecen

3

7 7;entonces 5

(+1)

1"; tendremos que calcular la resta

3x2 + x 3x3 (3x2 +x)(x2 +5) 3x3 (2x+1) = = lm (2x+1)(x2 +5) 2 x!+1 x!+1 2x + 1 x +5 3x4 2x3 + 15x2 + 5x 1 3x4 3 lm =" "= lm = lm x 3 2 x!+1 x!+1 2x3 x!+1 2x + x + 10x + 5 +1 2 lm

3x2 +x 2x+1

Ejercicio 149 Calcula l m

x! 1

3x3 x2 +5 2

Ejemplo 151 Calcula l m

x!+1

Solución 2 6 Como 6 4

x2 +x x!+1 x+2

lm

x2 x!+1 x

lm

2

x!+1

x +3x x+3

2

x x!+1 x

= lm 2

lm

= l m (x) = +1 x!+1

x +x x+2

= l m (x) = +1 x!+1

2

x + 3x x+3

Como aparece la indeterminación "1 de funciones que aparecen x!+1

lm

x!+1

3x4 2x3 +15x2 +5x . (2x+1)(x2 +5)

y

x!+1

lm

=

Calcula

x2 +3x x+3

x2 +x x+2

= lm

.

3x3 x2 +5

+x Ejercicio 150 Dada la función y = 3x 2x+1 su dominio y clasi…ca las discontinuidades.

= +1

3

7 7;entonces 5

(+1)

1"; tendremos que calcular la resta

x2 + x x2 + 3x (x2 +x)(x+3) (x2 +3x)(2x+1) = lm = (x+2)(x+3) x!+1 x+2 x+3 x2 3x 1 x2 =" "= lm = l m ( 1) = 1 x!+1 x2 x!+1 (x + 2) (x + 3) +1

La recta y =

=

1 es asíntota horizontal de la función

1


94 Ejercicio 152 Calcula tota horizontal?

CAPÍTULO 2. lm

x! 1

x2 +x x+2

x2 +3x x+3

2

+x Ejercicio 153 Dada la función y = xx+2 dominio y clasi…ca las discontinuidades.

LIM F (X) O LIM F (X) X! 1

X!+1

.¿La recta y =

x2 +3x x+3

=

1 es una asín-

x(x+3) (x+2)(x+3) .

Calcula su


2.6. LÍMITE DEL PRODUCTO DE FUNCIONES RACIONALES

2.6.

95

Límite del producto de funciones racionales

Las indeterminaciones que más veces nos pueden aparecer, cuando calculamos el límite de un producto de funciones, será las del tipo "0 1"y "1 1" . Para eliminarlas y que nos aparezca otra, realizaremos las operaciones oportunas . 3x2 +1 2 x!+1 2x +1

x+2 3x+1

Ejemplo 154 Calcula l m Solución Para calcular el

3x2 +1 2 +1 2x x!+1

x+2 3x+1

lm

2x 6x+1

2x 6x+1

calcularemos previamente por

separado los siguientes límites 3x2 + 1 x!+1 2x2 + 1 lm

x+2 3x + 1 2x lm x!+1 6x + 1 lm

x!+1

=

"

=

"

3+ +1 "= lm x!+1 +1 2+

1+ +1 "= lm x!+1 3 + +1 +1 2 " "= lm x!+1 6 + +1

=

1 3 x2 1 = 2 x2 2 1 x 1 = 3 x 1 x

=

1 3

Por lo que: 3x2 + 1 x!+1 2x2 + 1

x+2 3x + 1

lm

2x 6x + 1

3x2 +1 2 x!+1 2x +1

x+2 3x+1

Ejemplo 155 Calcula l m Solución Para calcular el l m de variable x =

3x2 +1 2 x! 1 2x +1

x+2 3x+1

=

3 2

1 3

1 3

=0

2x 6x+1

2x 6x+1

Realizamos el siguiente cambio

z. Es evidente que si x!

1 , z ! +1

por lo que 3x2 + 1 1 2x2 + 1

lm

x!

x+2 3x + 1

2x 6x + 1

3z 2 + 1 z!+1 2z 2 + 1

z+2 + 3z + 1

, lm

Calculamos por separado los siguientes límites 3z 2 + 1 z!+1 2z 2 + 1 lm

lm

z!+1

lm

z!+1

z+2 3z + 1 2z 6z + 1

=

3+ +1 "= lm z!+1 2 + +1

=

"

=

1 z2 1 z2

=

3 2

1 + z2 1 1 "= lm = 1 z!+1 1 3 3+ z +1 2 1 " " lm = 1 z!+1 6 + x1 3

2z 6z + 1


96

CAPÍTULO 2.

LIM F (X) O LIM F (X) X! 1

X!+1

Así pues: 3z 2 + 1 z!+1 2z 2 + 1

z+2 + 3z + 1

lm

Ejemplo 156 Calcula l m

x!+1

Para calcular el l m

x!+1

3x3 x x2 +3

3x3 x x2 +3

2z 6z + 1 2x+3 x+2

2x+3 x+2

=

3 2

1 3

1 3

=0

1

1 calcularemos previamente por sep-

arado los siguientes límites 3x3 x x2 + 3

=

"

2x + 3 x!+1 x + 2

=

"

lm

x!+1

lm

3 x12 3 +1 = "= lm 1 3 = 0 x!+1 1 + x x3 2+ +1 "= lm x!+1 1 + +1

3 x 2 x

1

=2

Por lo que: lm

x!+1

3x3 x x2 + 3

2x + 3 x+2

Ejercicio 157 Calcula l m

x! 1

Ejemplo 158 Calcula l m

x!+1

Solución Para calcular el l m

x!+1

1

3x3 x x2 +3 3x2 +x x+1

3x2 +x x+1

=

1 (2

2x+3 x+2

1

2x2 +x x+1

x

2x2 +x x+1

1) =

1

y comprueba que da +1

x calcularemos previamente por sep-

arado los siguientes límites 3x2 + x x!+1 x + 1 lm

=

"

3 + x12 +1 3 "= lm = + = +1 1 1 x!+1 + + 2 +1 0 x x

2 + x1 2 +1 "= lm 1 1 = 0+ = +1 x!+1 +1 + x x2 +1

2x2 + x = x!+1 x + 1 lm x = lm

"

x!+1

Por lo que: 3x2 + x x!+1 x + 1 lm

2x2 + x x+1

x

= " + 1 (+1

(+1)) " =

Al obtener una indeterminación; tendremos que operar, con lo que 3x2 + x x!+1 x + 1 lm

2x2 + x x+1 4

= lm

x!+1

3x2 + x x!+1 x + 1

x

x2 x+1

= lm

1 x

3

3x + x = lm x2 + 2x + 1 x!+1

1 x2

3+ + x23 +

1 x4

=

= lm

x!+1

3x4 + x3 2

(x + 1)

3 = +1 0+

="

1 " 1


2.6. LÍMITE DEL PRODUCTO DE FUNCIONES RACIONALES Ejercicio 159 Calcula l m

x! 1

3x2 +x x+1

2x2 +x x+1

x y comprueba que da +1

2

2x2 +x x+1

+x Ejercicio 160 Comprueba que l m 3xx+1 x x!+1 1

Ejercicio 161 Comprueba que l m xx+4 2 +x x!+1 1 Ejemplo 162 Dada la función g(x) =

x3 +x x+2

x+2 x3 +1

da

x3 +x x+2

D(f ) = R

x3 +x x+2

x! 1

3x2 +x x+1

x+4 2 x! 1 x +x

x3 +x x+2

x! 1

x+2 x3 + 1

x es

f 2; 1g

x3 + x x+2

x

=

1

y lm

x! 1

x+2 x3 + 1

3

x +x x+2

x

=1

Para x = 2 la función presenta una discontinuidad evitable ya que x + 2 x3 + x x = "0 1" x! 2 x3 + 1 x+2 x + 2 x3 + x x + 2 x3 x2 x 0 lm 3 x = lm 3 =" " x! 2 x + 1 x! 2 x + 1 x+2 x+2 0 3 2 3 2 x+2 x x x x x x 10 = lm 3 = lm = x! 2 x! 2 x + 1 x+2 x3 + 1 7 lm

3

x +x (La grá…ca de y = xx+2 3 +1 x+2 si a ésta le quitamos el punto

P

2; l m x!

x+2 2 x3 + 1

x coincide con la grá…ca de y =

x3 + x x+2

x

2x2 +x x+1

x3 +x x+2

x =

x+2 3 x! 1 x +1

x y lm

Para x = 1 la función tiene una discontinuidad inevitable de salto in…nito; ya que x = 1es una asíntota vertical de ramas convergentes al ser l m+

x

x determina su dominio

x+2 3 x!+1 x +1

x+2 x3 +1

1 y que l m

x = +1 y que l m

y clasi…ca sus discontinuidades. Después calcula l m Solución El dominio de la función y =

97

=P

2;

10 7

x3 x2 x x3 +1

x3 +x x+2

x

=


98

CAPÍTULO 2. x3 +x x+2

l m x+2 3 x!+1 x +1

Para calcular el

x

LIM F (X) O LIM F (X) X! 1

X!+1

calcularemos previamente por

separado los siguientes límites x+2 x!+1 x3 + 1 lm

=

"

1 1 0+ +1 2 + x3 = "= lm x = 0+ 1 x!+1 1 + 3 +1 1 x

1 + 12 x3 + x +1 1 = " " = l m 1 x 2 = + = +1 x!+1 x + 2 x!+1 +1 0 x2 + x3 l m x = +1 lm

x!+1

Por lo que: x3 + x x+2

x+2 x!+1 x3 + 1 lm

x

= "0+ (+1

(+1)) " =

Al obtener una indeterminación; tendremos que operar, con lo que x3 + x x+2

x+2 x!+1 x3 + 1 lm

x3

x+2 x!+1 x3 + 1

x

= lm

x2 x x+2

Simpli…cando la fracción = lm

x3

x!+1

= lm

x3

x2 x 1 =" " +1 1 1 x

1

1+

x!+1

1 x2

1 x3

=1

La recta y = 1 es una asíntota horizontal de la función. x3 +x Fíjate en la siguiente tabla g(x) = xx+2 x 3 +1 x+2 0

B B B gB B B @

x 10 100 1000 10000 10000

Así pues:

1

x+2 x3 +1

x3 +x x+2

x3 + x x+2

x

x 0;889 110 889 1 0;989 899 010 1 0;998 998 999 0;999 899 990 0 0;999 899 990 0

C B C B C B C=B C B C B A B @

x+2 x!+1 x3 + 1 lm

0

1 C C C C C C C A

=1

Comprueba tú que x+2 1 x3 + 1

lm

x!

Aquí tienes su grá…ca

x3 + x x+2

x

= 1+

=


2.7. LÍMITE DE LA DIVISIÓN DE FUNCIONES

y

99

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-1

4

5

x

-2 -3 -4 -5

y=

2.7.

x+2 x3 +1

x3 +x x+2

x

Límite de la división de funciones

Las indeterminaciones que más veces nos pueden aparecer, cuando calculamos el límite de una división de funciones, serán las del tipo " 00 ", "1 1" 1 y "1 " . Para eliminarlas y que nos aparezca otra, realizaremos las operaciones oportunas . Ejercicio 163 Calcula l m

x!+1

h

x2 x+3

x :

x2 +x x+2

i

Solución Calculamos por separado los siguientes límites 1) l m

x!+1

1)

x2 x+3

lm

x2 x+3

lm

x2 x+3

x!+1

x!+1

x

x

x

=

"1

1"

Operando 3x 1 = lm =" " x!+1 x + 3 +1 Dividiendo por x numerador y denominador 3 = lm = 3 x!+1 1 + 3 x


100

CAPÍTULO 2.

2) l m

x!+1

LIM F (X) O LIM F (X) X! 1

X!+1

x2 +x x+2

2)

x2 + x x+2

lm

x!+1

="

+1 " +1

Dividiendo por x2 numerador y denominador 1 + x1 1 2 x + x2

= lm

x!+1

=

1 = +1 0+

Por lo anterior: x2 x+3

lm

x!+1

x

x2 + x x+2

:

=

3 =0 +1

La recta y = 0 es asíntota horizontal de la función y = Ejemplo 164 Calcula l m

x! 1

h

x2 x+3

i

x2 +x x+2

x :

x2 x+3

Solución Calculamos por separado los siguientes límites x2 1) l m x x+3 x! 1

1)

lm

x! 1

x2 x+3

x

=

1+1

Operando lm

x! 1

x2 x+3

x

3x +1 =" " 1 x+3 1

= lm x!

Dividiendo por x numerador y denominador 3 = lm = 3 x! 1 1 + 3 x 2) l m

x! 1

x2 +x x+2

2)

x2 + x x+2

lm

x! 1

="

+1 " 1

Dividiendo por x2 numerador y denominador = lm

x! 1

1 + x1 1 2 x + x2

=

1 = 0

1

Por lo anterior: lm

x!+1

x2 x+3

x

:

x2 + x x+2

=

3 = 0+ 1

x :

x2 +x x+2


2.7. LÍMITE DE LA DIVISIÓN DE FUNCIONES

101

La recta y = 0 es asíntota horizontal de la función y = Nota: El dominio de de…nición de la función y = D(f )

x2 x+3 x x2 +x x+2

x2 x+3

x :

x2 +x x+2

es

f 3; 2g] x 2 R / x2 + x = 0 = f 3; 2; 1; 0g

= [R = R

Comprueba que para x = 3 y para x = 1 la función presenta una discontinuidad inevitable de salto in…nito (las rectas x = 3 y x = 1 son asíntotas verticales de ramas divergentes) Comprueba que para x = 0 y x = 2 la función presenta una discontinuidad evitable ya que no existen sus imágenes y sus límites valen x2 x+3 l m x2 +x x!0 x+2

x

x2 x+3 lm x2 +x x! 2 x+2

x

La grá…ca de la función y =

x2 x+3 x x2 +x x+2

=

=

2

0

coincide con la grá…ca de y =

a ésta le quitamos los puntos P (0; 2) y Q( 2; 0).Mira su grá…ca:

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4 -5

y= Ejercicio 165 Calcula el l m

x!+1

x2 x+3 x x2 +x x+2

2 x 2x+3 x x+2 x2 +3

2

3

4

5

x

3x+6 (x+3)(x+1) si


102

CAPÍTULO 2.

Ejercicio 166 Calcula el

2 x 2x+3 x x+2 x2 +3

lm

x! 1

Ejercicio 167 Calcula el l m

x!+1

x x2 +5 x2 +x x+1

y el

lm

x! 1

LIM F (X) O LIM F (X) X! 1

X!+1

x x2 +5 x2 +x x+1

Solución Para calcular l m 2x x!+1 x +5

lm

x!+1

x x2 +5 3x2 2x3 +1 2

calculamos por separado los siguientes límites

3x 3 x!+1 2x +1

y lm

x +1 = +5 +1 Dividiendo por x numerador y denominador 1)

lm

x!+1 2

x2

1 x x = l m = 0+ x!+1 1 + 52 x!+1 x2 + 5 x

lm

3x2 +1 = x!+1 2x3 + 1 +1 Dividiendo por x3 numerador y denominador 2) l m

3 3x2 x = l m = 0+ x!+1 2 + 13 x!+1 2x3 + 1 x

lm

Por lo que x x2 +5 2 x!+1 3x 2x3 +1

lm

=

0 0

Operando x 2 l m x3x+5 2 x!+1 2x3 +1

+1 2x3 + 1 = x!+1 3x3 + 15x +1

= lm

Dividiendo arriba y abajo por x3 2+ x!+1 3 +

= lm

Comprueba tú que l m

x! 1

Nota: La función y =

x x2 +5 3x2 2x3 +1

x x2 +5 3x2 2x3 +1

=

2 3

1 x3 15 x2

=

2 3

.La recta y =

tiene por dominio

D(f ) = R

1 p ;0 3 2

2 3

es asíntota horizontal


2.7. LÍMITE DE LA DIVISIÓN DE FUNCIONES

103

Puedes comprobar que para x = 0 la función tiene una asíntota vertical 1 de ramas divergentes y para x = p 3 la función presenta una discontinuidad 2 evitable ya que

l m1

x!

p 32

x x2 +5 3x2 2x3 +1

=0

Su grá…ca coincide con la grá…ca de j(x) = 1 quitamos el punto P (( p 3 ; 0). 2

2x3 +1 3x3 +15x

si a esta última le

Mira su grá…ca

5

y

4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

-1 -2 -3 -4 -5

y=

Ejercicio 168 Calcula el l m

x x2 +5 x2 x4 +1

Ejercicio 169 Calcula el l m

x x2 +5 3x2 2x3 +1

x!+1

x!+1

x x2 +5 3x2 2x3 +1

y el

y el

lm

x! 1

lm

x! 1

x x2 +5 x2 x4 +1

x x2 +5 3x2 2x3 +1

3

4

5

x


104

CAPÍTULO 2.

2.8.

LIM F (X) O LIM F (X) X! 1

X!+1

Límites de funciones exponenciales, potenciales y potenciales exponenciales

Ejercicio 170 Comprueba que los siguientes límites son correctos 1

1

l m 2x = 1

l m 2x = 1

x! 1

x!+1

lm 2

x+3 x

x!+1

=2

x!+1

4x 8 x 1

lm

4x 8 x 1

lm

x!+1

lm

x!+1

lm

x!+1

lm

x!+1

lm

x!+1

lm

x!+1

lm

x!+1

lm 2

x+3 x

=4

lm

x! 1

x

4x 8 x 1 x2 +3 2x2 +1

3x

2x2 +1 x2 +3

3x

x2 +3 2x2 +1 x2 +3 2x2 +1

lm

=1

x2 x+1

x! 1

=1

lm

x! 1

=0 =1

3x 4x+2

3x 4x2 +2

x2 +3 2x3 +1

3x+3 2x

x! 1

=

lm

x! 1

lm

p 1 4 2

x! 1

2

lm

x! 1

=1

lm

x! 1

3

=1

lm

x!+1

p =2 2 x+3 x

4x 8 x 1

=4

x

4x 8 x 1

=0 x2 x+1

4x 8 x 1 x2 +3 2x2 +1

3x

2x2 +1 x2 +3

3x

x2 +3 2x2 +1 x2 +3 2x2 +1 x2 +3 2x3 +1

=0 =1 =0

3x 4x+2

=

3x 4x2 +2

1 2

p 4

2

=1

3

=0

Indeterminación 11

2.8.1.

Nota: si un límite presenta la indeterminación 1+1 o 1 límite, utilizaremos la relación siguiente: g(x)

l m [f (x)]

x!+1

lm

= ex!+1

g(x)[f (x) 1]

(o

g(x)

l m [f (x)]

x! 1

1

para calcular su

lm

= ex!

1

g(x)[f (x) 1]

Si calculamos dicho límite, todos los resultados que podemos obtener son: ea siendo a 2 R e0 =1 e+1 = +1, al ser e > 1 e

1

= 0+ al ser e > 1


2.9. LÍMITES DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS

105

Ejercicio 171 Comprueba que lm

x!+1

2x2 +3 2x2 +1

3x

=1 3x2 4x+1

lm

x2 +2x x2 +1

lm

4x+5 4x+3

lm

4x3 +5x2 4x3 +3

x!+1

x!+1

x!+1

lm

x!+1

2.9.

p

2

3x2 4x+1

lm

x! 1 3

= e2 3

3x3 4x+1

x2 + x

x

x

=e

1 4

=e 3x2 x+1

x2 +x x2 +1

lm

x2 +5 x2 +3x

lm

4x3 +5x2 4x3 +3

x! 1

=1

3x

lm

x!+1

= e8

3x2 +x 3x2 +1

x! 1

lm

x! 1

2

p

x2

= e3

3x2 4x+1

=e

3x3 4x+1

9 4

=0

x+x

x

1

= e4

Límites de funciones logarítmicas

Ejercicio 172 Comprueba que l m log2 ( x1 ) =

x!+1

l m log 21 ( x1 ) = 1

1

x!+1

l m log2 ( 8xx 4 ) = 3

l m log2 ( 8xx 4 ) =

x!+1

2

l m log2 ( 8xx 4 ) x!+1 l m log2 ( 8xx2 4 ) x!+1 l m (log2 (2x

x!+1

x!+1

=1

=

1

3)

log2 (8x

l m (3x + 2) (log3 (3x

x!+1

l m (x + 2) (ln(2x

x!+1

2 l m log 21 ( 8xx 4 ) x!+1 l m log 21 ( 8xx2 4 ) x!+1 log(2x 3) lm log 12 x!+1

3)

2)

2)) =

2

log3 (3x + 2)) =

ln(2x + 1)) =

2

4 ln 3

=

log(8x 2) log 12

log2 (2x

lm

log(2x2 + 3)

x!+1

1

=1

lm

x!+1

3

3)

=2 2

log2 (x + 1) = log(x + 1) = 1

1

LIMITES DE FUNCIONES  

CALCULO DE LIMITES DE UNA FUNCION

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